Capítulo Ecuaciones diferenciales Este capítulo explica cómo resolver los cuatro tipos de ecuaciones diferenciales listados a continuación.
3-1-1 Usando el modo DIFF EQ 3-1 Usando el modo DIFF EQ Se pueden resolver las ecuaciones diferenciales numéricas y graficar las soluciones. El procedimiento general para resolver una ecuación diferencial se describe a continuación. Ajustes básicos 1. Desde el menú principal, ingrese el modo DIFF EQ. Ejecución 2. Seleccione el tipo de ecuación diferencial. • 1(1st) ........ Cuatro tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden. • 2(2nd) ...... Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.
-1-2 Usando el modo DIFF EQ 6. Especifique las variables a graficar o almacenar en LIST. Presione 5(SET) y seleccione c(Output) para visualizar la pantalla de ajuste de lista. x, y, y(1), y(2), ....., y(8) representan la variable independiente, la variable dependiente, la derivativa de primer orden, la derivativa de segundo orden, ..., y la derivativa de octavo orden, respectivamente. 1st, 2nd, 3rd, ... 9th representan los valores iniciales en orden.
3-2-1 Ecuaciones diferenciales de primer orden 3-2 Ecuaciones diferenciales de primer orden k Ecuación separable Descripción Para resolver una ecuación separable, simplemente ingrese la ecuación y especifique los valores iniciales. dy/dx = f(x)g(y) Ajustes básicos 1. Desde el menú principal, ingrese el modo DIFF EQ. Ejecución 2. Presione 1(1st) para visualizar el menú de las ecuaciones diferenciales de primer orden, y luego seleccione b(Separ). 3. Especifique f(x) y g(y). 4.
3-2-2 Ecuaciones diferenciales de primer orden ○ ○ ○ ○ ○ Ejemplo Graficar las soluciones de la ecuación separable dy/dx = y2 –1, x0 = 0, y0 = {0, 1}, –5 < x < 5, h = 0,1. Utilice los ajustes de la ventana de visualización siguientes. Xmin = –6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (ajustes por omisión iniciales) Procedimiento 1 m DIFF EQ 6 -fw 2 1(1st)b(Separ) fw 3 bw 7 a.
3-2-3 Ecuaciones diferenciales de primer orden k Ecuación lineal Para resolver una ecuación lineal, simplemente ingrese la ecuación y especifique los valores iniciales. dy/dx + f(x)y = g(x) Ajustes básicos 1. Desde el menú principal, ingrese el modo DIFF EQ. Ejecución 2. Presione 1(1st) para visualizar el menú de las ecuaciones diferenciales de primer orden, y luego seleccione c(Linear). 3. Especifique f(x) y g(x). 4. Especifique el valor inicial para x0, y0. 5. Presione 5(SET)b(Param). 6.
3-2-4 Ecuaciones diferenciales de primer orden ○ ○ ○ ○ ○ Ejemplo Graficar la solución de la ecuación lineal dy/dx + xy = x, x0 = 0, y0 = –2, –5 < x < 5, h = 0,1. Utilice los ajustes de ventana de visualización siguientes. Xmin = –6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (ajustes por omisión iniciales) Procedimiento 1 m DIFF EQ 6 -fw 2 1(1st)c(Linear) fw 3 vw 7 a.
3-2-5 Ecuaciones diferenciales de primer orden k Ecuación de Bernoulli Para resolver una ecuación de Bernoulli, simplemente ingrese la ecuación y especifique la potencia de y y los valores iniciales. dy/dx + f(x)y = g(x)y n Ajustes básicos 1. Desde el menú principal, ingrese el modo DIFF EQ. Ejecución 2. Presione 1(1st) para visualizar el menú de las ecuaciones diferenciales de primer orden, y luego seleccione d(Bern). 3. Especifique f(x), g(x) y n. 4. Especifique el valor inicial para x0, y0. 5.
3-2-6 Ecuaciones diferenciales de primer orden ○ ○ ○ ○ ○ Ejemplo Graficar la solución de la ecuación de Bernoulli dy/dx – 2y = –y2, x0 = 0, y0 = 1, –5 < x < 5, h = 0,1. Utilice los ajustes de ventana de visualización siguientes. Xmin = –6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (ajustes por omisión iniciales) Procedimiento 1 m DIFF EQ 5 5(SET)b(Param) 2 1(1st)d(Bern) 6 -fw 3 -cw fw -bw 7 a.
3-2-7 Ecuaciones diferenciales de primer orden k Otros Para resolver una ecuación diferential general de primer orden, simplemente ingrese la ecuación y especifique los valores iniciales. Utilice los mismos procedimientos que aquéllos descritos anteriormente para las ecuaciones diferenciales típicas de primer orden. dy/dx = f(x, y) Ajustes básicos 1. Desde el menú principal, ingrese el modo DIFF EQ. Ejecución 2.
3-2-8 Ecuaciones diferenciales de primer orden ○ ○ ○ ○ ○ Ejemplo Graficar la solución de la ecuación diferencial de primer orden dy/dx = – cos x, x0 = 0, y0 = 1, –5 < x < 5, h = 0,1. Utilice los ajustes de ventana de visualización siguientes. Xmin = –6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (ajustes por omisión iniciales) Procedimiento 1 m DIFF EQ 6 -fw 2 1(1st)e(Others) fw 3 -cvw 7 a.
3-3-1 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden 3-3 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Descripción Para resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden, simplemente ingrese la ecuación y especifique los valores iniciales. Los campos de pendiente no se visualizan para una ecuación diferencial lineal de segundo orden. y앨 + f(x) y쎾 + g(x)y = h(x) Ajustes básicos 1. Desde el menú principal, ingrese el modo DIFF EQ. Ejecución 2. Presione 2(2nd). 3.
3-3-2 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden ○ ○ ○ ○ ○ Ejemplo Graficar la solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden y앨 + 9y = sin 3x, x0 = 0, y0= 1, y쎾0 = 1, 0 < x < 10, h = 0,1. Utilice los ajustes de la ventana de visualización siguientes. Xmin = –1, Xmax = 11, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 Procedimiento 1 m DIFF EQ 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 2 2(2nd) 9 !K(V-Window) 3 aw -bw jw bbw sdvw bwc -d.bw 4 aw bw d.
3-4-1 Ecuaciones diferenciales de orden enésimo 3-4 Ecuaciones diferenciales de orden enésimo Se pueden resolver ecuaciones del primer al noveno orden. El número de valores iniciales requeridos para resolver la ecuación diferencial depende de su orden. • Ingrese las variables dependientes y, y쎾, y앨, y(3), ....., y(9) como sigue. a-(Y) 3(y(n))b(Y1) 3(y(n))c(Y2) 3(y(n))d(Y3) … y .................... y쎾 ................... y앨 ................... y(3)(=y쎾앨) ......... y(8) .................
3-4-2 Ecuaciones diferenciales de orden enésimo ○ ○ ○ ○ ○ Ejemplo Graficar la solución de la ecuación diferencial de cuarto orden siguiente. y(4) = 0, x0 = 0, y0 = 0, y쎾0 = –2, y앨0 = 0, y(3)0 = 3, –5 < x < 5, h = 0,1. Utilice los ajustes de la ventana de visualización siguientes. Xmin = –6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (ajustes por omisión iniciales) Procedimiento 1 m DIFF EQ 6 5(SET)b(Param) 2 3(N-th) 7 -fw fw 3 3( n )ew 4 aw 8 a.
3-4-3 Ecuaciones diferenciales de orden enésimo k Convirtiendo una ecuación diferencial de orden alto a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden Puede convertir una sola ecuación diferencial de orden enésima simple a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden n. Ajustes básicos 1. Desde el menú principal, ingrese el modo DIFF EQ. Ejecución (N = 3) 2. Presione 3(N-th). 3. Presione 3(n)d para seleccionar una ecuación diferencial de tercer orden. 4.
3-4-4 Ecuaciones diferenciales de orden enésimo ○ ○ ○ ○ ○ Ejemplo Expresar la ecuación diferencial siguiente como un juego de ecuaciones diferenciales de primer orden. y(3) = sinx – y쎾 – y앨, x0 = 0, y0 = 0, y쎾0 = 1, y앨0 = 0. Procedimiento 1 m DIFF EQ 2 3(N-th) 3 3( n )dw 4 sv-3( y(n)) b-3( y(n))cw 5 aw aw bw aw 6 2(→SYS) 7 w(Yes) La ecuación diferencial es convertida a un juego de ecuaciones diferenciales de primer orden como se muestra a continuación.
3-5-1 Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden 3-5 Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, por ejemplo, tiene variables dependientes (y1), (y2), ... e (y9), y la variable independiente x. El ejemplo siguiente muestra un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. (y1)쎾= (y2) (y2)쎾= – (y1) + sin x Ajustes básicos 1. Desde el menú principal, ingrese el modo DIFF EQ. Ejecución 2. Presione 4(SYS). 3.
3-5-2 Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden ○ ○ ○ ○ ○ Ejemplo 1 Graficar las soluciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden con dos incógnitas siguientes. (y1)쎾= (y2), (y2)쎾 = – (y1) + sin x, x0 = 0, (y1)0 = 1, (y2)0 = 0,1, –2 < x < 5, h = 0,1. Utilice los ajustes de la ventana de visualización siguientes.
3-5-3 Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden ○ ○ ○ ○ ○ Ejemplo 2 Graficar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden siguiente. (y1)쎾 = (2 – (y2)) (y1) (y2)쎾 = (2 (y1) – 3) (y2) x0 = 0, (y1)0 = 1, (y2)0 = 1/4, 0 < x < 10, h = 0,1. Utilice los ajustes de la ventana de visualización siguientes.
3-5-4 Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden k Análisis adicional Para un análisis adicional del resultado, podemos graficar la relación entre (y1) e (y2). Procedimiento 1 m STAT 2 List 1, List 2 y List 3 contienen valores para x, ( y 1) e ( y 2) respectivamente.
3-5-5 Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden ¡Importante! • Esta calculadora puede cancelar un cálculo en el medio de una operación, cuando se produce un exceso de capacidad durante el cálculo, cuando las soluciones calculadas ocasionan que la curva de solución se extienda en una región discontinua, cuando un valor calculado es claramente falso, etc. • Se recomiendan los pasos siguientes cuando la calculadora cancela un cálculo como se describe a continuación. 1.
