HP 50g grafische rekenmachine gebruikershandleiding H Editie 1 HP artikelnummer F2229AA-90011
Mededeling MELD JE PRODUCT AAN: www.register.hp.com DE INHOUD VAN DEZE HANDLEIDING EN DE HIERIN VERVATTE FICTIEVE PRAKTIJKVOORBEELDEN KUNNEN ZONDER AANKONDIGING VERANDERD WORDEN. HEWLETT–PACKARD COMPANY GEEFT GEEN GARANTIE AF VAN WELKE AARD DAN OOK MET BETREKKING TOT DEZE HANDLEIDING, WAARONDER OOK STILZWIJGENDE GARANTIES VAN VERHANDELBAARHEID, GESCHIKTHEID VOOR EEN BEPAALD DOEL EN GEEN INBREUK VORMEND VAN TOEPASSING ZIJN, MAAR DIE HIER NIET TOT BEPERKT ZIJN. HEWLETT–PACKARD CO.
Voorwoord U heeft een compacte symbolische en numerieke computer in handen die de berekening en wiskundige analyse van problemen in een verscheidenheid van disciplines vergemakkelijkt. Deze problemen kunnen variëren van elementaire wiskunde tot de gevorderde techniek en wetenschappelijke onderwerpen.
Het hart van de rekenmachine bestaat uit een besturingssysteem dat u kunt updaten door nieuwe versies te downloaden van de webpagina van de rekenmachine. Voor symbolische bewerkingen beschikt de rekenmachine over een krachtig Computer Algebraïsch Systeem (CAS) dat u in staat stelt verschillende bewerkingsmodi te selecteren, bijv. complexe nummers vs. reële nummers of exacte (symbolisch) modus vs. benaderende (numerieke) modus. Het scherm kan zo aangepast worden dat het tekstboekuitdrukkingen kan weergeven.
Inhoudsopgave Inhoudsopgave ,1-1 Hoofdstuk 1 - Beginnen ,1-1 Basisbediening ,1-1 Batterijen ,1-1 De rekenmachine in- en uitschakelen ,1-2 Het beeldschermcontrast instellen ,1-2 Inhoud van het beeldscherm van de rekenmachine ,1-3 Menu's ,1-4 SOFT menu's versus CHOOSE boxes ,1-4 SOFT menu's of CHOOSE boxes selecteren ,1-5 Het menu TOOL ,1-7 Tijd en datum instellen ,1-8 Het toetsenbord van de rekenmachine ,1-11 Modi van de rekenmachine selecteren ,1-13 Bedieningsmodus ,1-14 Getalopmaak en decimale punt of komm
Het bewerken van aritmetische uitdrukkingen ,2-6 Het aanmaken van algebraïsche uitdrukkingen ,2-8 Het bewerken van algebraïsche uitdrukkingen ,2-8 Het gebruiken van de Vergelijkingenschrijver (EQW) voor het aanmaken van uitdrukkingen ,2-11 Het aanmaken van aritmetische uitdrukkingen ,2-12 Het bewerken van aritmetische uitdrukkingen ,2-17 Het aanmaken van algebraïsche uitdrukkingen ,2-19 Het bewerken van algebraïsche uitdrukkingen ,2-21 Het aanmaken en bewerken van optellingen, afleidingen en integralen ,2-3
Hoofdstuk 3 - Berekeningen met reële getallen ,3-1 De instellingen van de rekenmachine nagaan ,3-1 De rekenmodus nagaan ,3-2 Berekeningen met reële getallen ,3-2 Het teken van een getal, variabele of uitdrukking wijzigen ,3-3 De inversiefunctie ,3-3 Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen ,3-3 Het gebruik van de haakjes ,3-4 Absolute waardefunctie ,3-4 Kwadraten en vierkantswortels ,3-5 Machten en wortels ,3-5 Basis-10 logarithmen en machten van 10 ,3-6 Het gebruik van machten van 10 bij het invoeren
Functies definiëren en gebruiken ,3-34 Functies die worden gedefinieerd met behulp van meer dan één uitdrukking ,3-36 De functie IFTE ,3-36 Gecombineerde IFTE functies ,3-37 Hoofdstuk 4 - Berekeningen met complexe getallen ,4-1 Definities ,4-1 De rekenmachine in de modus COMPLEX instellen ,4-1 Complexe getallen invoeren ,4-2 Polaire weergave van een complex getal ,4-3 Eenvoudige bewerkingen met complexe getallen ,4-4 Wijziging teken van een complex getal ,4-5 Het invoeren van de denkbeeldige getaleenheid ,
Uitbreiding en factorisering met log-exp-functies ,5-8 Uitbreiding en factorisering met trigonometrische functies ,5-9 Functies in het menu ARITHMETIC ,5-9 DIVIS ,5-10 FACTORS ,5-10 LGCD ,5-10 PROPFRAC ,5-10 SIMP2 ,5-10 Het menu INTEGER ,5-11 Het menu POLYNOMIAL ,5-11 Het menu MODULO ,5-12 Toepassingen van het menu ARITHMETIC ,5-12 Modulaire rekenkunde ,5-12 Eindige rekenkundige ringen in de rekenmachine ,5-15 Polynomen ,5-18 Modulaire rekenkunde met polynomen ,5-18 De functie CHINREM ,5-18 De functie EGCD
De functie FCOEF ,5-25 De functie FROOTS ,5-26 Stapsgewijze bewerking van polynomen en breuken ,5-26 Het menu CONVERT en algebraïsche bewerkingen ,5-27 UNITS in het menu convert ,5-28 BASE in het menu convert ,5-28 TRIGONOMETRIC in het menu convert ,5-28 MATRICES in het menu convert ,5-28 REWRITE in het menu convert ,5-28 Hoofdstuk 6 - Oplossingen voor enkelvoudige vergelijkingen ,6-1 Symbolische oplossing van algebraïsche vergelijkingen ,6-1 De functie ISOL ,6-1 De functie SOLVE ,6-2 De functie SOLVEVX ,6
Oplossingen van simultane vergelijkingen met MSLV ,7-5 Voorbeeld 1 – Voorbeeld uit de helptekst ,7-5 Voorbeeld 2 - Binnenstroming van een meer in een open kanaal ,7-6 Gebruik van de Meervoudige Vergelijkingenoplosser (MES) ,7-10 Toepassing 1 - Oplossing van driehoeken ,7-11 Toepassing 2 - Snelheid en versnelling in polaire coördinaten ,7-19 Hoofdstuk 8 - Bewerkingen met lijsten ,8-1 Definities ,8-1 Het aanmaken en opslaan van lijsten ,8-1 Het samenstellen en ontleden van lijsten ,8-2 Bewerkingen met lijste
Vectoren invoeren ,9-2 Vectoren invoeren in het stapelgeheugen ,9-2 Vectoren opslaan in variabelen ,9-3 De Matrixschrijver (MTRW) invoeren om vectoren in te voegen ,9-3 Een vector opbouwen met ARRY ,9-6 Vectorelementen identificeren, onttrekken en invoegen ,9-7 Eenvoudige bewerkingen met vectoren ,9-9 Het teken wijzigen ,9-9 Optellen, aftrekken ,9-9 Vermenigvuldiging met een scalair, deling door een scalair ,9-10 Absolute waardefunctie ,9-10 Het menu MTH/VECTOR ,9-10 Grootte ,9-11 Scalair product ,9-11 Vec
Invoeren van matrices in het stapelgeheugen ,10-2 De Matrixbewerker gebruiken ,10-2 De matrix rechtstreeks invoeren in het stapelgeheugen ,10-3 Aanmaken van matrices met de functies van de rekenmachine ,10-4 De functies GET en PUT ,10-6 De functies GETI en PUTI ,10-6 De functie SIZE ,10-7 De functie TRN ,10-7 De functie CON ,10-8 De functie IDN ,10-9 De functie RDM ,10-9 De functie RANM ,10-11 De functie SUB ,10-11 De functie REPL ,10-11 De functie DIAG ,10-12 De functie DIAG ,10-12 De functie VANDERMONDE
Hoofdstuk 11 - Matrixbewerkingen en lineaire algebra ,11-1 Bewerkingen met matrices ,11-1 Optellen en aftrekken ,11-2 Vermenigvuldiging ,11-2 Een matrix karakteriseren (Het matrixmenu NORM) ,11-7 De functie ABS ,11-8 De functie SNRM ,11-8 De functies RNRM en CNRM ,11-9 De functie SRAD ,11-10 De functie COND ,11-10 De functie RANK ,11-11 De functie DET ,11-12 De functie TRACE ,11-14 De functie TRAN ,11-15 Aanvullende matrixbewerkingen (Het matrixmenu OPER) ,11-15 De functie AXL ,11-16 De AXM ,11-16 Functie L
De functie JORDAN ,11-47 De functie MAD ,11-48 Het factoriseren van matrices ,11-49 De functie LU ,11-50 Orthogonale matrices en singuliere-waardedecompositie ,11-50 De functie SCHUR ,11-51 De functie LQ ,11-51 De functie QR ,11-52 Matrix Kwadratische Vormen ,11-52 Het menu QUADF ,11-53 Lineaire toepassingen ,11-54 De functie IMAGE ,11-55 De functie ISOM ,11-55 De functie KER ,11-55 De functie MKISOM ,11-56 Hoofdstuk 12 - Grafieken ,12-1 Grafische opties in de rekenmachine ,12-1 Een uitdrukking in de vorm
Kolomdiagrammen, staafdiagrammen en puntgrafieken plotten ,12-31 Staafdiagrammen ,12-31 Puntgrafieken ,12-33 Richtingscoëfficiëntvelden ,12-34 Snelle 3D-grafieken ,12-36 Draaddiagrammen ,12-38 Ps-Contour-diagrammen ,12-40 Y-snede-diagrammen ,12-42 Roosterdiagrammen ,12-43 Pr-oppervlakdiagrammen ,12-44 De variabele VPAR ,12-45 Interactief tekenen ,12-46 DOT+ en DOT- ,12-47 MARK ,12-47 LINE ,12-47 TLINE ,12-48 BOX ,12-48 CIRCL ,12-48 LABEL ,12-49 DEL ,12-49 ERASE ,12-49 MENU ,12-49 SUB ,12-49 REPL ,12-49 PICT
ZTRIG ,12-52 Het SYMBOLIC-menu en grafieken ,12-53 Het SYMB/GRAPH-menu ,12-53 De functie DRAW3DMATRIX ,12-56 Hoofdstuk 13 - Calculustoepassingen ,13-1 Het menu CALC (Calculus) ,13-1 Limieten en afgeleiden ,13-1 De functie lim ,13-2 Afgeleiden ,13-3 De functies DERIV en DERVX ,13-4 Het menu DERIV&INTEG ,13-4 Afgeleiden berekenen met ∂ ,13-5 De kettingregel ,13-6 Afgeleiden van vergelijkingen ,13-7 Impliciete afgeleiden ,13-8 Toepassing van afgeleiden ,13-8 Grafieken van functies analyseren ,13-8 De functie
Oneindige reeksen ,13-23 Taylor- en Maclaurin-reeksen ,13-23 Taylorpolynoom en geheugensteun ,13-24 De Functies TAYLR, TAYLR0 en SERIES ,13-25 Hoofdstuk 14 - Multi-variabele calculustoepassingen ,14-1 Multi-variabele functies ,14-1 Partiële afgeleiden ,14-1 Afgeleiden van hogere orde ,14-3 De kettingregel voor partiële afgeleiden ,14-4 Differentiaaltotale van een functie z = z(x,y) ,14-5 Uiterste waarden in functies van twee variabelen bepalen ,14-5 De functie HESS gebruiken om uiterste waarden te analyser
Oplossing voor lineaire en niet-lineaire vergelijkingen ,16-4 De functie LDEC ,16-4 De functie DESOLVE ,16-7 De variabele ODETYPE ,16-8 Laplace-transformaties ,16-10 Definities ,16-10 Laplace-transformaties en inversies in de rekenmachine ,16-11 Stelling van de Laplace-transformatie ,16-12 Dirac’s deltafunctie en Heaviside’s stapfunctie ,16-15 Toepassingen van Laplace-transformatie voor de oplossing van lineaire ODE’s ,16-17 Fourierreeksen ,16-26 De functie FOURIER ,16-28 Fourierreeks voor een kwadratische
De functie RKF ,16-69 De functie RRK ,16-70 De functie RKFSTEP ,16-71 Functie RRKSTEP ,16-71 De functie RKFERR ,16-72 De functie RSBERR ,16-73 Hoofdstuk 17 - Waarschijnlijkheidstoepassingen ,17-1 Het submenu MTH/PROBABILITY..
Het softmenu STAT ,18-15 Het submenu DATA ,18-15 Het submenu ΣPAR ,18-15 Het submenu 1VAR ,18-16 Het submenu PLOT ,18-17 Het submenu FIT ,18-17 Het submenu SUMS ,18-18 Voorbeeld van handelingen in het menu STAT ,18-18 Betrouwbaarheidsintervallen ,18-21 Schatting van betrouwbaarheidsintervallen ,18-22 Definities ,18-23 Betrouwbaarheidsintervallen voor het populatiegemiddelde als de populatievariantie bekend is ,18-23 Betrouwbaarheidsintervallen voor het populatiegemiddelde als de populatievariantie onbekend
Betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetoetsing in lineaire regressie ,18-52 Procedure voor inferentiestatistieken van lineaire regressie met de rekenmachine ,18-53 Meervoudige lineaire aanpassing ,18-56 Polynomiale aanpassing ,18-58 De beste aanpassing selecteren ,18-62 Hoofdstuk 19 - Getallen met verschillende grondtallen ,19-1 Definities ,19-1 Het menu BASE ,19-1 De functies HEX, DEC, OCT en BIN ,19-2 Conversie tussen talstelsels ,19-3 Woordlengte ,19-4 Bewerkingen met binaire gehele getallen ,19-4 Het
Hoofdstuk 21 - Programmeren in de RPL-gebruikerstaal ,21-1 Een programmeervoorbeeld ,21-1 Globale en lokale variabelen en sub-programma’s ,21-2 Bereik van de globale variabele ,21-4 Bereik van de lokale variabele ,21-5 Het menu PRG ,21-5 Navigeren door RPN submenu’s ,21-7 Lijst van functies per submenu ,21-7 Sneltoetsen in het menu PRG ,21-9 Toetsencombinatie voor veelgebruikte commando’s ,21-11 Programma’s voor het aanmaken van lijsten met nummers ,21-14 Voorbeelden van sequentieel programmeren ,21-15 Prog
De FOR-constructie ,21-64 De DO-constructie ,21-66 De WHILE-constructie ,21-68 Fouten en het ontdekken van fouten ,21-69 DOERR ,21-69 ERRN ,21-70 ERRM ,21-70 ERR0 ,21-70 LASTARG ,21-70 Submenu IFERR ,21-70 Programmeren met de RPL-gebruikerstaal in de algebraïsche modus ,21-72 Hoofdstuk 22!- Programma’s voor het werken met grafieken ,22-1 Het menu PLOT ,22-1 Door de gebruiker gedefinieerde toets voor het menu PLOT ,22-1 Beschrijving van het menu PLOT ,22-2 Diagrammen genereren met programma’s ,22-15 Tweedim
Grafieken laten bewegen ,22-28 Een verzameling van grafieken laten bewegen ,22-29 Meer informatie over de functie ANIMATE ,22-32 Grafische objecten (GROBs) ,22-32 Het menu GROB ,22-34 Een programma met plot- en tekenfuncties ,22-37 Modulair programmeren ,22-39 Het programma activeren ,22-40 Een programma om de voornaamste drukpunten te berekenen ,22-41 De variabelen ordenen in de subdirectory ,22-42 Een tweede voorbeeld van de berekening van de cirkel van Mohr ,22-42 Een invoerscherm voor het programma van
Berekeningen met tijden ,25-4 Alarmfuncties ,25-4 Hoofdstuk 26!- Geheugen beheren ,26-1 Structuur van het geheugen ,26-1 De HOME directory ,26-2 Poortgeheugen ,26-3 Objecten in het geheugen controleren ,26-3 Back-upobjecten ,26-4 Een back-up maken van objecten in het poortgeheugen ,26-5 Een back-up maken van de HOME directory en terugzetten ,26-5 Opslaan, verwijderen en terugzetten van back-upobjecten ,26-6 Gegevens gebruiken in back-upobjecten ,26-7 SD-kaarten gebruiken ,26-8 Plaatsen en verwijderen van e
Variabelen bekijken en eenheden selecteren ,27-5 Bekijken van de afbeelding ,27-6 Gebruik van de Multiple-Equation Solver ,27-7 Definiëren van een verzameling vergelijkingen ,27-9 Interpreteren van de resultaten van de Multiple-Equation Solver ,27-11 Controleren van oplossingen ,27-12 Aanhangsels Bijlage A - Werken met invoerschermen ,A-1 Bijlage B - Het toetsenbord van de rekenmachine ,B-1 Bijlage C - CAS-instellingen ,C-1 Bijlage D - Extra tekenset ,D-1 Bijlage E - De selectieboom in de Vergelijkingensch
Hoofdstuk 1 Beginnen Dit hoofdstuk beschrijft de basisinformatie betreffende het gebruik van uw rekenmachine. De doelstelling van de oefeningen is dat u vertrouwd raakt met de basisfuncties en instellingen voordat u daadwerkelijk een berekening maakt. Basisbediening De volgende hoofdstukken zijn bedoeld om de hardware van uw rekenmachine beter te leren kennen. Batterijen De rekenmachine gebruikt 4 AAA(LR03)-batterijen als hoofdvoeding en een CR2032 lithiumbatterij voor geheugenbackup.
b. Plaats een nieuwe CR2032 lithiumbatterij. Zorg ervoor dat de positieve kant (+) naar boven is geplaatst. c. Plaats het afdekplaatje terug en duw het in de beginpositie. Druk, nadat de batterijen zijn geplaatst, op [ON] om de rekenmachine in te schakelen. Waarschuwing: als de pictogram van een zwakke batterij in het beeldscherm verschijnt, dienen de batterijen zo spoedig mogelijk vervangen te worden.
Inhoud van het beeldscherm van de rekenmachine Schakel uw rekenmachine opnieuw aan. Het beeldscherm moet er als volgt uitzien. In het bovenste gedeelte van het beeldscherm worden twee regels met informatie getoond die de instellingen van de rekenmachine beschrijven. De eerste regel toont de lettertekens R D XYZ HEX R= 'X' Raadpleeg Hoofdstuk 2 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine voor meer informatie over de betekenis van deze symbolen.
De zes labels die in onder in het scherm worden weergegeven, kunnen veranderen als er een ander menu wordt getoond. A hoort altijd bij het eerste weergegeven label en B altijd bij het tweede label, enz . Menu's De zes labels die bij de toetsen A tot en met F horen, maken deel uit van een menu met functies. Omdat de rekenmachine slechts zes softmenutoetsen heeft, worden er maar 6 labels per keer weergegeven. Een menu kan echter uit meer dan zes invoeren bestaan softmenutoets .
CHOOSE box venstergeven: Dit CHOOSE box draagt het label BASE MENU en verschaft een lijst van genummerde functies, van 1. HEX x tot en met 6. B R. Dit beeldscherm betreft de eerste pagina van dit CHOOSE box en toont zes menufuncties. U kunt door het menu bladeren met de pijltoetsen omhoog en omlaag, —˜, die zich rechtsbovenin het toetsenbord bevinden, meteen onder de softmenutoetsen E en Fsoftmenutoets.
Uw rekenmachine zal het volgende beeld tonen, waarin de regel is gemarkeerd die met nummer 117 begint: Standaard ziet de regel eruit zoals in de bovenstaande afbeelding. De gemarkeerde regel (117 CHOOSE boxes) geeft aan dat CHOOSE boxes kaste de huidige menuinstelling is. Indien u verkiest de Softmenutoets te gebruiken, druk dan op desoftmenutoets @ @CHK@@ (C), gevolgd door @@@OK@@@ (F). Druk opnieuw op @@@OK@@@ (F) om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren.
Gebruik om terug te keren naar de instelling van de CHOOSE boxes: H @)FLAGS —„ —˜ @ @CHK@@ @@@OK@@@ @@@OK@@@. Opmerkingen: 1. Het menu TOOL, verkregen door op Ite drukken, zal altijd een SOFT menu produceren. 2. De meeste voorbeelden die in deze handleiding getoond worden, gebruiken zowel SOFT menus als CHOOSE boxes. Bij het programmeren van toepassingen (Hoofdstuk 21 en 22) worden uitsluitend SOFT menu's gebruikt. 3.
detoets L (menu NEXT) te drukken. Deze toets is de derde toets links in de derde toetsenrij op het toetsenbord. In dit geval zijn er alleen aan de eerste twee softmenutoetsen commando’s verbonden.Deze commando’s zijn: @CASCM A CASCMD: CAS CoMmanD, gebruikt om een commando te lanceren vanuit het CAS door middel van het selecteren van een lijst @HELP B HELP voorziening die de beschikbare commando’s beschrijft. Door op de toets L te drukken, verschijnt het originele menu TOOL.
interessant. Met de pijltoets omlaag, ˜, wordt deze optie gemarkeerd en druk op de softmenutoets !!@@OK#@ soft. Het volgende invoerscherm (zie bijlage 1A) voor het instellen van tijd en datum wordt getoond: Het instellen van het uur van de dag Met de nummertoetsen 1234567890 kan het uur van de dag worden ingesteld. Stel dat we het uur naar 11 veranderen door op 11 te drukken als het uurveld in het invoerscherm SET TIME AND DATE gemarkeerd is.
Nu wordt het tijdveld gemarkeerd. Om de huidige instelling van dit veld te veranderen, kunt u op de toets W (de tweede toets links in de vijfde toetsenrij onder in het toetsenbord) of op de softmenutoets @CHOOS drukken.
Om de datum in te stellen, moet eerst de datumopmaak worden ingesteld. De standaardopmaak is M/D/Y (maand/dag/jaar). Druk op de pijltoets omlaag om deze opmaak te wijzigen. Dit zal de datumopmaak als volgt markeren: Gebruik de softmenutoets @CHOOS om de opties voor de datumopmaak te visualiseren: Markeer uw keuze met de pijltoetsen omhoog en omlaag ,— ˜, en druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om uw keuze te maken.
Column: 1 3 2 5 4 6 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Column: 1 2 3 4 5 De afbeelding toont 10 toetsenrijen gecombineerd met 3, 5 of 6 kolommen Rij 1 heeft 6 toetsen, rijen 2 en 3 hebben elk 3 toetsen en rijen 4 tot en met 10 hebben elk 5 toetsen. Er zijn 4 pijltoetsen aan de rechterkant van het toetsenbord bij de rijen 2 en 3. Elke toets heeft drie, vier of vijf functies. De hoofdfunctie van een toets heeft de g meest zichtbare markering op de toets.
P Hoofdfunctie, het activeren van het menu SYMBolic „´ Functie links-shift, het activeren van het menu MTH (wiskundig) …N Functie rechts-shift, het activeren van de functie CATalog ~p functie ALPHA, het invoeren van de hoofdletter P ~„p functie ALPHA-Links-shift, het invoeren van de kleine letter p ~…p functie ALPHA-Rechts-shift, het invoeren van het symbool P Van de zes functies die met een toets kunnen worden uitgevoerd, worden alleen de eerste vier op het toetsenbord weergegeven.
Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om terug te keren naar het normale beeldscherm. Hier volgen enkele voorbeelden voor het selecteren van verschillende rekenmachinemodi. Bedieningsmodus De rekenmachine bevat twee bedieningsmodi: de modus Algebraic en de modus Reverse Polish Notation (RPN). De rekenmachine staat standaard in de modus Algebraic (zoals in de bovenstaande afbeelding te zien is), maar gebruikers van oudere modellen van HP-rekenmachines zijn misschien meer bekend met de RPN-modus.
Om deze uitdrukking in de rekenmachine in te voeren, gebruiken we eerst de vergelijkingenschrijver, ‚O. Zoek de volgende toetsen op het toetsenbord, samen met de numerieke toetsenuitdrukking: !@.#*+-/R Q¸Ü‚Oš™˜—` De vergelijkingenschrijver is een beeldschermmodus waarmee u wiskundige uitdrukkingen kunt opstellen met expliciet wiskundige aanduidingen, zoals breuken, afgeleiden, integralen, wortels, enz.
/23.Q3+!¸2.5` Zo krijgt u hetzelfde resultaat. Verander de bedieningsmodus in RPN door eerst op de toets H te drukken. Selecteer de bedieningsmodus RPN met de toets \ of door op de softmenutoets @CHOOS te drukken. Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om de handeling te voltooien. Het beeldscherm ziet er bij de RPN-modus als volgt uit: U ziet dat het beeldscherm meerdere niveaus van de uitkomst heeft genummerd met van onder naar boven 1, 2, 3, enz. Dit wordt het stapelgeheugen van de rekenmachine genoemd.
x is (stapelgeheugenniveau 1) voordat de toets Q wordt ingedrukt. In de derdemachtswortel is y (stapelgeheugenniveau 2) het getal onder het wortelteken en x (stapelgeheugenniveau 1) de wortel. Probeer de volgende oefening met de volgende 3 factoren: (5 + 3) × 2 5`3+ Berekent eerst (5 + 3). 2X Voltooit de berekening. Probeer nu de eerder genoemde uitdrukkinguitdrukking: ⎛ ⎝ 3 ⋅ ⎜5 − 23 ⎞ ⎟ 3⋅3⎠ 2.
RPN-modus kunt u bijvoorbeeld zien hoe de vergelijking zich stapsgewijs ontvouwt. Dit is buitengewoon nuttig om een mogelijke invoerfout te achterhalen. Zodra u efficiënter in deze modus wordt en de trucjes beter kent, zult u in staat zijn uitdrukkinguitdrukkingen sneller te berekenen met veel minder toetsaanslagen. Voer bijvoorbeeld de berekening uit van (4×6 - 5)/ (1+4×6 - 5). U kunt in de RPN-modus: 4`6*5-`1+/ schrijven.
• In de ALG-modus, CF(-95) selecteert de RPN-modus • In de RPN-modus, 95 \` SF selecteert de ALG-modus meer informatie over het systeemvlaggen van de rekenmachine Raadpleeg Hoofdstuk 2 voor meer informatie over het systeemvlaggen van de rekenmachine. Getalopmaak en decimale punt of komma Door de getalopmaak te wijzigen, kunt u de manier aanpassen waarop reële cijfers worden weergegeven door de rekenmachine.
In de standaardopmaak van de decimale weergave, worden volledige getallen altijd zonder decimale nullen getoond. Getallen met verschillende decimale cijfers worden in het beeldscherm aangepast, zodat alleen de noodzakelijke decimale cijfers worden getoond. Hieronder worden meer voorbeelden van getallen in standaardopmaak getoond: • Vaste opmaak zonder decimalen: Druk op de toets H. Selecteer daarna met de toets pijltje omlaag, ˜, de optie .
Deze instelling verplicht dat alle resultaten worden dichtstbijzijnde volledige getal (0 cijfers na de komma). nog steeds in de rekenmachine opgeslagen met significante cijferprecisie. Als we het aantal weer te veranderen, zult u zien dat de aanvullende cijfers getoond. • afgerond op het Het getal is echter de complete 12 geven decimalen opnieuw worden Vaste opmaak met decimalen: Deze modus wordt hoofdzakelijk gebruikt wanneer met eindige precisie wordt gewerkt.
Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om terug te keren naar het beeldscherm van de rekenmachine. Het getal wordt nu weergegeven als: U ziet dat het getal is afgerond en niet afgekapt. Het getal 123.4567890123456 wordt voor deze instelling dus weergegeven als 123.457 en niet als 123.
notatie geeft het getal 3 voor de getalopmaak Sci (zoals eerder getoond) het aantal significante cijfers na de komma weer. De wetenschappelijke notatie heeft altijd één geheel getal, zoals hierboven. In dit geval is het aantal significante cijfers dus vier.. • Technische opmaak De technische opmaak (Engineering) lijkt sterk op de wetenschappelijke opmaak, maar de tiende machten zijn hier meervouden van drie. U stelt deze opmaak in door op de toets H te drukken.
• • • Decimale komma versus decimale punt De punten in cijfers met zwevende punten kunnen worden vervangen door komma's als de gebruiker hier liever mee werkt. Om de punten te vervangen door komma's wijzigt u de optie FM in CALCULATOR MODES als volgt naar komma's (U ziet dat we Number Format hebben gewijzigd in Std). Druk op de toets H. Druk daarna een keer op de toets pijltje omlaag, ˜, en keer op het pijltje rechts, ™, om de optie __FM, te markeren.
De hoekmeting is van invloed op trigonometrische functies als SIN, COS, TAN en de bijbehorende functies. Gebruik de volgende procudure om de hoekmetingmodus te wijzigen: • Druk op de toets H. Druk daarna twee keer op de toets pijltje omlaag, ˜. Selecteer de modus Hoekmeting met de toets \ (tweede van links in de vijfde rij onder in het toetsenbord) of door op de softmenutoets @CHOOS te drukken. Bij de tweede methode kunt u de pijltjes omhoog en omlaag, —˜, gebruiken om de gewenste modus te selecteren.
⎛ y⎞ ⎝ x⎠ y = r ⋅ sin(θ ) θ = tan −1 ⎜ ⎟ z=z In een Sferisch coördinatenstelsel worden de coördinaten gegeven door (ρ,θ,φ) waar ρ een radiale afstand is gemeten vanaf het beginpunt van een Cartesisch stelsel, θ een hoek is die de hoek vormd door de projectie van de lineaire afstand ρ tot aan de xy-as voorstelt (zoals θ bij Polaire coördinaten) en φ de hoek is van de positieve z-as naar de radiale afstand ρ.
Door het aankruisvakje naast elk van deze opties te kiezen, wordt de overeenkomstige optie geactiveerd. Deze opties worden hierna beschreven: _Beep : Indien geselecteerd, wordt het geluidssignaal van de rekenmachine geactiveerd. Deze functie wordt hoofdzakelijk toegepast bij foutmeldingen, evenals voor enkele gebruikersfuncties zoals BEEP. _Key Click : Indien geselecteerd, laat elke toetsaanslag een “klikkend” geluid horen.
geprogrammeerd en uitgevoerd worden. Het CAS biedt een aantal instellingen die aangepast kunnen worden in overeenstemming met de gewenste bewerking.
• • Als u het lettertype voor het beeldscherm wilt selecteren, markeert u het veld voor de optie Font: in het invoerveld DISPLAY MODES en drukt u op de softmenutoets @CHOOS . Druk op de softmenutoets @@@OK@@@ als u alle gewenste opties in het invoervenster DISPLAY MODES heeft geselecteerd en gedeselecteerd. U keert nu terug naar het invoervenster CALCULATOR MODES. Druk nogmaals op de softmenutoets @@@OK@@@ om weer terug te keren naar het normale rekenmachinebeeldscherm.
Eigenschappen van de regeleditor selecteren Druk eerst op de toets H om het invoervenster REKENMACHINE MODI te activeren. Druk in het invoervenster REKENMACHINE MODI op de softmenutoets @@DISP@ om het invoervenster BEELDSCHERM MODI weer te geven. Druk een keer op de toets pijltje omlaag, ˜, om naar de Edit-regel te gaan. In deze regel staan drie eigenschappen die kunnen worden aangepast.
In de algebraïsche modus toont het volgende scherm het resultaat van deze toetsencombinaties terwijl _Small en _Textbook beide niet zijn geselecteerd: Als alleen de optie _Small is geselecteerd, ziet het beeldscherm er als volgt uit: Als de optie _Textbook is geselecteerd (standaardwaarde), ongeacht of de optie _Small is geselecteerd, geeft het beeldscherm het volgende resultaat weer: Eigenschappen van de vergelijkingenschrijver (EQW) selecteren Druk eerst op de toets H om het invoervenster REKENMACHINE
In het bovenstaande voorbeeld van de integraal ∫ ∞ 0 e − X dX , krijgt u het volgende resultaat als u _Small Stack Disp selecteert in de EQW-regel van het invoervenster DISPLAY MODES: De grootte van de kop selecteren Druk eerst op de toets H om het invoerscherm CALCULATOR MODES te activeren. Druk daarna in het invoerscherm CALCULATOR MODES op de softmenutoets @@DISP@ zodat het invoerscherm DISPLAY MODES wordt getoond. Druk vier keer op de pijltoets naar omlaag, ˜, om naar de regel Header te gaan.
Hoofdstuk 2! Introductie van de rekenmachine In dit hoofdstuk laten we een aantal basisbewerkingen zien van de rekenmachine, waaronder het gebruik van de vergelijkingenschrijver en de bewerkingen van gegevensobjecten in de rekenmachine. Bestudeer de voorbeelden in dit hoofdstuk om een goed overzicht te krijgen van de capaciteiten van de rekenmachine voor toekomstige toepassingen. Objecten van de rekenmachine Elk getal, uitdrukking, letterteken, variabele, enz.
Indien u de benaderingsmodus (APPROX) in het CAS selecteert (zie bijlage C), worden hele getallen automatisch omgezet in reële getallen. Indien u niet van plan bent het CAS te gebruiken, kan het een goed idee zijn direct in te stellen op de benaderingsmodus. Raadpleeg bijlage C voor meer informatie. Het komt vaak voor dat hele en reële getallen door elkaar gebruikt worden of dat een heel getal in de war wordt gehaald met een reël getal.
hangt samen met de omvang of het bereik van de variabele in een gegeven programma. Een algebraïsch object, of eenvoudigweg, een algebraïsche (objecttype 9), is een geldige algebraïsche uitdrukking tussen aanhalingstekens of omgekeerde komma’s. Binaire hele getallen, objecttype 10, worden in enkele computertoepassingen gebruikt. Grafische objecten, objecttype 11, slaan de door de rekenmachine voortgebrachte grafische informatie op.
1.0 7.5 5.0 ⋅ 3.0 − 2.0 3 1.0 + Voor de invoer van deze uitdrukking maakt u gebruik van de volgende toetsencombinaties: 5.*„Ü1.+1./7.5™/ „ÜR3.-2.Q3 Hetgeen resulteert in deuitdrukking: 5.*(1.+1./7.5)/(√3.-2.^3). Druk op ` om de uitdrukking als volgt in het beeldscherm te krijgen: U ziet dat als uw CAS ingesteld is op EXACT (zie bijlage C) en de uitdrukking wordt ingevoerd met hele getallen voor hele getalwaarde, het resultaat een symbolische hoeveelheid is, bijvoorbeeld, 5*„Ü1+1/7.
De toetsencombinaties voor de invoer van de uitdrukking uitdrukkingzijn de volgende: ³5*„Ü1+1/7.5™/ „ÜR3-2Q3` Het resultaat: Om de uitdrukking te evalueren, kunnen we de functie EVAL als volgt gebruiken: μ„î` Zoals in het vorige voorbeeld wordt u gevraagd de verandering van de CASinstelling naar Approx. te accepteren. Wanneer dit gedaan is, krijgt u hetzelfde resultaat als tevoren. Voor een andere wijze van evalueren van de uitdrukking, die eerder tussen haakjes is ingevoerd, dient u te optie …ï.
De stappen worden nu in detail besporken: Evalueer de uitdrukking eerst met de functie EVAL. De resulterende uitdrukking is halfsymbolisch in de zin dat het resultaat drijvende punten bevat, evenals een √3. Vervolgens moet u terugkeren naar de stapelgeheugenlokaties en de uitdrukking evalueren met de functie NUM.
1 7.5 heeft u de onjuiste in plaats van de bedoelde uitdrukking: 5 ⋅ 3 − 23 1+ uitdrukking ingevoerd door middel van: ³5*„Ü1+1/1.75™/„Ü R5-2Q3` Voor het invoeren van de regeleditor gebruik „˜. Het beeldscherm ziet er nu als volgt uit: De opmaakcursor wordt getoond als een knipperende pijl (naar links) boven het eerste letterteken van de op te maken regel.
Het aanmaken van algebraïsche uitdrukkingen Algebraïsche uitdrukkingen bevatten niet alleen getallen maar ook namen van variabelen. Als oefening voert u de volgende algebraïsche uitdrukking in: x R +2L R+ y b 2L 1 + U stelt de modus van de rekenmachine in op Algebraic, het CAS op Exact en het beeldscherm op Textbook.
De opmaakcursor wordt getoond als een knipperende pijl (naar links) boven het eerste letterteken van de te bewerken regel. Net zoals in een eerdere oefening over het bewerken van regels, dient u de pijltoetsen naar rechts, naar links, š™, te gebruiken, om de cursor naar de juiste opmaakpositie te bewegen en de wistoets, ƒ, om lettertekens te wissen.
U ziet dat de uitdrukking uitgebreid is om termen in te sluiten zoals |R|, de absolute waarde, en SQ(b⋅R), het kwadraat van b⋅R. Indien u wilt zien of u dit resultaat kunt vereenvoudigen, dient u FACTOR(ANS(1)) in de ALGmodus te gebruiken: • Druk op „˜ om de regeleditor opnieuw te activeren. Het resultaat is nu: • Druk opnieuw op ` om naar het normale beeldscherm terug te keren.
Het gebruiken van de Vergelijkingenschrijver (EQW) voor het aanmaken van uitdrukkingen De vergelijkingenschrijver is een buitengewoon krachtig hulpmiddel waarmee u niet alleen een vergelijking kunt invoeren of bekijken, maar waarmee u de hele of een gedeelte van de vergelijking kunt aanpassen en er functies bij kunt gebruiken.
Indien u op de toets L drukt, verschijnen nog twee softmenuopties, zoals hieronder getoond: De zes softmenutoetsen voor de Vergelijkingenschrijver activeren de volgende functies: @CMDS : Hiermee kan de verzameling van CAS-commando’s geopend worden die in alfabetische volgorde staan. Dit is handig voor het invoegen van CAS-commando’s in een beschikbare uitdrukking in de Vergelijkingenschrijver.
*„Ü5+1/3 De bewerkte uitdrukking ziet er als volgt uit: Stel dat u de hoeveelheid tussen haakjes in de noemer (d.w.z. 5+1/3) wilt vervangen door (5+π2/2). U gebruikt eerst de wistoets (ƒ) om de huidige 1/3 uitdrukking te wissen en daarna vervangt u als volgt deze breuk door π2/ 2: ƒƒƒ„ìQ2 Hierna ziet het beeldscherm er als volgt uit: Om de noemer 2 in de uitdrukking in te voegen, moet u de volledige π2 uitdrukking markeren. U kunt dit doen door één keer op de pijltoets naar rechts (™) te drukken.
uitdrukking gemarkeerd is, d.w.z. dat u zeven keer moet drukken. Het volgende komt in het beeldscherm te staan: Opmerking: vanuit de oorspronkelijke positie van de cursor (rechts van de 2 in de noemer van π2/2) kunt u de toetsencombinatie ‚— gebruiken, in de vorm van (‚ ‘ ).
Exact CAS-modus (d.w.z. de _Approx CAS modus is niet gemarkeerd), dan krijgt u het volgende symbolische resultaat: Gebruik de functie UNDO, d.w.z. …¯(keyboarded eerste toets in de derde rij boven in het toetsenbord) asl u nu de ongeëvalueerde uitdrukking wit herstellen. De herstelde uitdrukking verschijnt met de eerdere markering: Indien u een drijvende punt (numerieke) evaluatie wilt, gebruik de functie NUM (d.w.z., …ï).
˜ ™ Markeert de eerste factor in de tweede term in de noemer van de eerste breuk Markeert de uitdrukking tussen haakjes in noemer van de eerste breuk Aangezien dit de subuitdrukking is die wij willen evalueren, kunt u nu op de softmenutoets @EVAL drukken, hetgeen resulteert in: Opnieuw een symbolische evaluatie. Stel dat u nu alleen de breuk wilt evalueren die zich aan de linkerzijde van de breuk bevindt.
Voor het markeren en evalueren van de uitdrukking in de Vergelijkingenschrijver gebruikt u — D, hetgeen resulteert in: Het bewerken van aritmetische uitdrukkingen Als oefening worden enkele van de bewerkingsfuncties in de Vergelijkingenschrijver getoond.
Druk op de pijltoets omlaag (˜) om de bewerkingscursor in te activeren. Nu ziet het beeldscherm er als volgt uit: Door gebruik te maken van de pijltoets naar links (š) kunt u de cursor in de gangbare richting naar links verplaatsen, maar u kunt bij ieder specifiek element van de uitdrukking stoppen. We gaan ervan uit dat u bijvoorbeeld, eerst de uitdrukking π 2/2 wilt veranderen in de uitdrukking LN(π5/3) .
Daarna markeert u de volledige uitdrukking tussen haakjes en voegt u het vierkantswortelsymbool in met: ————R Vervolgens verandert u de 2 vóór de haakjes in de noemer in 2/3 met: šƒƒ2/3 Nu ziet de uitdrukking er als volgt uit: De laatste stap is het verwijderen van 1/3 rechts van de uitdrukking.
Ter verduidelijking van het gebruik van de Vergelijkingenschrijver voor het invoeren van een algebraïsche vergelijking maken we gebruik van het volgende voorbeeld.
afbeeldingen geven verschillende geselecteerde subuitdrukkingen en het bijbehorende beeldscherm van de Vergelijkingsschrijver weer na het indrukken van `. Het bewerken van algebraïsche uitdrukkingen Het bewerken van algebraïsche vergelijkingen wordt op dezelfde manier uitgevoerd als bij het bewerken van algebraïsche vergelijkingen. Dat wil zeggen: • Gebruik de pijltoetsen (š™—˜) om uitdrukkingen te markeren • Gebruik herhaaldelijk de pijltoets omlaag (˜) om de bewerkingscursor te activeren.
element naar element te bewegen. De volgorde van selectie van de bewerkingscursor in dit voorbeeld is (druk herhaaldelijk de pijltoets š): 1. De 1 in de 1/3 exponent 2. θ 3. Δy 4. μ 5. 2 6. x 7. μ in de exponentiële functie 8. λ 9. 3 in de √3 term 10. de 2 in de 2/√3 breuk Op elk willekeurig punt kunt u de bewerkingscursor veranderen in de invoegcursor door op de wistoets (ƒ) te drukken.
Het evalueren van een subuitdrukking ( ) Aangezien de subuitdrukking SIN θ 1 / 3 al gemarkeerd is, drukt u nu op de softmenutoets @EVAL om deze subuitdrukking te evalueren. Het resultaat is: Enkele algebraïsche uitdrukkingen kunnen niet meer vereenvoudigd worden. Gebruik de volgende toetsencombinatie: —D. U zult zien dat alleen het hele argument van de functie LN gemarkeerd wordt. Dit komt omdat de uitdrukking, overeenkomstig de CAS-regels,niet meer geëvalueerd of vereenvoudigd kan worden.
Zelfs met het grotere lettertype is het mogelijk door de hele uitdrukking te bewegen met de bewerkingscursor. Probeer de volgende toetsencombinatie: C˜˜˜˜, om de bewerkingscursor op factor 3 in de eerste term van de teller te plaatsen. Druk daarna op de pijltoets naar rechts, ™, om door de uitdrukking te bewegen. Het vereenvoudigen van een uitdrukking: Druk op de softmenutoets @BIG , zodat het beeldscherm weer getoond wordt zoals in de vorige afbeelding (zie hierboven).
Selecteer nu de eerste 3 termen in de uitdrukking en probeer deze subuitdrukking te factoriseren: ‚—˜‚™‚™ . Het resultaat: Druk nu op de softmenutoets @FACTO om het volgende te krijgen Druk op ‚¯om de oorspronkelijke uitdrukking te herstellen. Voer vervolgens de volgende toetsencombinatie uit: ˜˜˜™™™™™™™———‚™ om de laatste twee termen in de uitdrukking te selecteren, d.w.z. Druk nu op de softmenutoets @FACTO om het volgende te krijgen Druk op ‚¯om de oorspronkelijke uitdrukking te herstellen.
Opmerking: Door op de softmenutoetsen @EVAL of @SIMP te drukken, terwijl de volledige oorspronkelijke uitdrukking geselecteerd is, wordt de volgende vereenvoudiging van de uitdrukking gegeven: Het gebruiken van de menutoets CMDS Druk op de toets L voor de softmenutoetsen @CMDS en @HELP , terwijl de oorspronkelijke in de vorige oefening gebruikte polynoomuitdrukking nog steeds geselecteerd is. Deze twee commando’s horen bij het tweede gedeelte van het softmenu in de Vergelijkingenschrijver.
Het menu HELP gebruiken Druk op de toets L voor de softmenutoetsen @CMDS en @HELP . Druk op de softmenutoets @HELP voor de lijst van CAS-commando’s. Druk vervolgens op ~ d ˜ ˜ ˜ om het commando DERVX te selecteren. Druk op de softmenutoets @@OK@@ om informatie over het commando DERVX te krijgen: In Hoofdstuk 1 wordt het gebruik van de helptekst voor het CAS uitvoerig behandeld. Druk op de softmenutoets @EXIT om naar de Vergelijkingenschrijver terug te keren.
De oorspronkelijke uitdrukking is de volgende: U wilt de subuitdrukking x+2⋅λ⋅Δy van het argument van de functie LN verwijderen en deze verplaatsen naar de rechterzijde van de λ in de eerste term. Hier is een mogelijke methode: : ˜ššš———‚ªšš—*‚¬ De gewijzigde uitdrukking ziet er als volgt uit: Vervolgens kopieert u de breuk 2/√3 van de factor helemaal links in de uitdrukking en plaatst deze in de teller van het argument voor de functie LN.
regeleditor bewerkt.
Het aanmaken en bewerken van optellingen, afleidingen en integralen Optellingen, afleidingen en integralen worden normaal gebruikt voor berekeningen, kansberekening en statistische toepassingen. Deze sectie toont enkele voorbeelden van bewerkingen die zijn uitgevoerd met de Vergelijkingenschrijver. Gebruik de ALG-modu. Optellingen De Vergelijkingenschrijver wordt gebruikt om de volgende optelling in te voeren: ∞ 1 ∑k k =1 2 Druk op ‚O om de Vergelijkingenschrijver te activeren.
Druk op ‚¯om de optelling te zien. Om de optelling opnieuw te evalueren, kunt u de softmenutoets D gebruiken. Dit laat opnieuw zien dat 1 π2 . = ∑ 2 6 k =1 k ∞ u de Vergelijkingsschrijver kunt gebruiken om het volgende te evalueren ∞ 1 ∑ k = +∞ . k =1 Van deze optelling (stelt een oneindige reeks voor) wordt gezegd dat hij divergerend is.
Druk op ‚— en de softmenutoets A om de bijbehorende uitdrukking in de regeleditor te visualiseren: Dit duidt erop dat de algemene uitdrukking voor een afleiding in de regeleditor of in het stapelgeheugen de volgende is: ∂variabele(functie van variabelen) Druk op de toets ` om naar de Vergelijkingenschrijver terug te keren. Het resulterende beeldscherm is echter niet de afleiding dat u heeft ingevoerd, maar bestaat uit de symbolische waarde, d.w.z. Druk op ‚¯ om de afleiding te herstellen.
Opmerking: de notatie ∂ ( ∂x ) is kenmerkend voor gedeeltelijke afleidingen. De juiste notatie voor hele afleidingen (d.w.z. afleidingen van een variabele) is d ( ) . De rekenmachine maakt echter geen onderscheid dx tussen gedeeltelijke en hele afleidingen. Bepaalde integralen De Vergelijkingrnschrijver wordt gebruikt om de volgende gegeven integraal in te voeren: τ ∫ t ⋅ sin(t ) ⋅ dt . Druk op ‚O om de Vergelijkingenschrijver te 0 activeren. Druk daarna op ‚ Á om het integraalteken in te voeren.
τ ∫ t ⋅ sin(t ) ⋅ dt = sin(τ ) − τ ⋅ cos(τ ) 0 tweevoudige integralen ook mogelijk zijn. Bijvoorbeeld, hetgeen evalueert tot 36. Gedeeltelijke evaluatie is mogelijk, bijvoorbeeld: Deze integraal evalueert tot 36 Gegevens organiseren in de rekenmachine U kunt gegevens in uw rekenmachine organiseren door variabelen in een directorystructuur op te slaan. Om de werking van het rekenmachinegeheugen te begrijpen, moet u eerst het directorybestand openen.
Het beeldscherm File Manager heeft drie functies die behoren bij de softmenutoetsen: @CHDIR Wisselt naar geselecteerde directory @CANCL Annuleert bewerking @@OK@@ : Keurt een selectie goed Om bijvoorbeeld de directory in de CASDIR te wijzigen, drukt u op de pijltoets omlaag, ˜ en vervolgens op @CHDIR. Deze bewerking sluit het venster File Manager en keert terug naar het normale beeldscherm van de rekenmachine.
@EDITB @HEADE @LIST @SORT @XSEND @CHDIR Om de inhoud van een binaire variabele te bewerken (vergelijkbaar met @EDIT) Voor het weergeven van de directory met de variabele in de kop Voor het weergeven van een lijst van namen en beschrijvingen van een variabele Voor het rangschikken van variabelen volgens een volgorde, Indien u op de toets L drukt, worden de laatste functies beschikbaar gemaakt: Voor het zenden van een variabele met X-modem protocol Voor het wijzigen van de directory Voor het verplaatsen naa
De CASDIR subdirectory De CASDIR subdirectory bevat een aantal variabelen vereist voor de juiste bewerking van het CAS (Computer Algebraïsche Systeem, zie bijlage C). Om de inhoud van de directory zichtbaar te maken, kunt u de volgende toetsencombinatie gebruiken: „¡waardoor de File Manager opnieuw wordt geactiveerd: Dit keer wordt de CASDIR in het beeldscherm gemarkeerd.
REALASSUME 27.5 bytes inneemt (1 byte = 8 bits, 1 bit is de kleinste geheugeneenheid in computers en rekenmachines). CASDIR-variabelen in het stapelgeheugen Door op de toets $ te drukken, sluit het vorige beeldscherm en keert u terug naar het normale beeldscherm van de rekenmachine. U keert standaard terug naar het menu TOOL: U kunt de variabelen in de huidige CASDIR directory bekijken door op de toets J te drukken (eerste toets in de tweede rij boven in het toetsenbord).
MODULO Modulus voor modulaire aritmetica (standaard = 13) REALASSUME Lijst van variabelennamen aangenomen als reële waarden PERIOD Periode voor trigonometrische functies (standaard = 2π) VX Naam van standaard onafhankelijke variabele (standaard = X) EPS Waarde van kleine toename (epsilon) (standaard = 10-10) Deze variabelen worden gebruikt voor de bewerking van het CAS De directory en namen van variabelen invoeren Om subdirectories, en soms variabelen te benoemen, moet u letterketens in één keer in
~~math` ~~m„a„t„h` ~~m„~at„h` Het beeldscherm van de rekenmachine zal het volgende tonen (links staat de ALG-modus en rechts de RPN-modus: Opmerking: als systeemvlag 60 is ingesteld, kunt u het alfabetische toetsenbord vergrendelen door alleen op ~te drukken. Raadpleeg Hoofdstuk 1 voor meer informatie over systeemvlaggen. Het aanmaken van subdirectories U kunt subdirectories aanmaken in de FILES-omgeving of met het commando CRDIR.
en toont dat er momenteel in de HOME directory slechts een object staat, namelijk de CASDIR subdirectory. We gaan nu een andere subdirectory aanmaken met de naam MANS (voor MANualS), waarin de variabelen staan die zijn aangemaakt in de oefeningen in deze handleiding. Voer eerst L @@NEW@@ in om deze subdirectory aan te maken. Dit zal het volgende invoerscherm geven: Het invoerveld Object, het eerste invoerveld in het beeldscherm wordt standaard gemarkeerd.
Het scherm geeft aan dat er in de HOME directory een nieuwe directory (MANS) staat. Vervolgens maakt u een subdirectory aan met de naam INTRO (voor INTROduction) in MANS, voor de variabelen die zijn aangemaakt in de oefeningen in dit hoofdstuk. Druk op de softmenutoets $ om naar het normale beeldscherm terug te keren (het menu TOOLS zal weergegeven worden). Druk dan op J zodat de inhoud van de HOME directory in de labels van de softmenutoetsen getoond worden.
Het gebruiken van het commando CRDIR Het commando CRDIR kan gebruikt worden om directory's aan te maken. Dit commando is beschikbaar via de commandocatalogus (de toets ‚N, tweede toets in de vierde rij boven in het toetsenbord, via de programmeermenus (de toets „°, dezelfde toets als de toets‚N) of door het gewoon in te voeren. • Via de catalogustoets Druk op ‚N~c. Gebruik vn de pijltoetsen omhoog en omlaag (—˜) om het commando CRDIR te vinden.
Gebruik daarna de pijltoets omlaag, ˜, om de optie 5. CRDIR te selecteren en druk op @@OK@@.
(VARiables) te drukken. , Gebruik de functie UPDIR, d.w.z. voer „§in om in de directorystructuur naar boven te gaan. Als alternatief kunt u het menu FILES gebruiken, d.w.z. druk op „¡. Maak gebruik van de pijltoetsen omhoog en omlaag (—˜) om de gewenste subdirectory te selecteren en druk daarna op !CHDIR (CHange DIRectory) of A. Dit zal de inhoud van de huidige subdirectory weergeven in de labels van de softmenutoetsen.
en u moet op @@OK@@ drukken voordat u terugkeert naar de variabelenlijst. Via het commando PGDIR Het commando PGDIR kan gebruikt worden om directory's te wissen. Zoals bij het commando CRDIR, is het commando PGDIR beschikbaar via de toetsen ‚N of „°, of het kan gewoon ingevoerd worden. • Via de catalogustoets Druk op ‚N~~pg. Het commando PGDIR moet gemarkeerd worden. Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om het commando te activeren. • Via de programmeermenus Druk op „°.
Gebruik daarna de pijltoets omlaag, ˜, om de optie 6. PGRDIR te selecteren en druk op @@OK@@.
Het commando PGDIR in de RPN-modus Om de PGDIR in de RPN-modus te gebruiken, moet u de naam van de directory tussen haakjes al in het stapelgeheugen staan voordat het commando wordt toegepast.
daarentegen niet. Geldige voorbeelden van variabelennamen zijn: ‘A’, ‘B’, ‘a’, ‘b’, ‘α’, ‘β’, ‘A1’, ‘AB12’, ‘ A12’,’Vel’,’Z0’,’z1’, enz. Een variabele kan niet dezelfde naam hebben als een functie van de rekenmachine. U kunt bijvoorbeeld geen variabele met de naam SIN hebben, aangezien de rekenmachine een SIN commando heeft.
Druk op @@OK@@ om de directory in te voeren: Er verschijnt een bestandenlijst zonder invoer (momenteel is de INTRO subdirectory leeg) Druk op de toets L om naar de volgende softmenutoetsen te gaan en druk op de softmenutoets @@NEW@@. Nu verschijnt het invoerscherm NEW VARIABLE: Voor het invoeren van variabele A (zie tabel hierboven) voert u eerst als volgt de inhoud in, d.w.z. het getal 12.5 en dan de naam A: 12.5 @@OK@@ ~a@@OK@@.
De lijst geeft een reële variabele (|R) aan met de naam A en 10.5 bytes aan geheugen. Druk op L@VIEW@ om de inhoud van de variabele op dit beeldscherm te zien. • Druk op de softmenutoets @GRAPH om de inhoud in een grafische opmaak te bekijken. • • • Druk op de softmenutoets @TEXT om de inhoud in een tekstopmaak te bekijken. Druk op @@OK@@ om naar de variabelenlijst terug te keren. Druk opnieuw op $ om naar het normale beeldscherm terug te keren.
Gebruik de volgende toetsenaanslagen om de waarde van –0.25 in de variabele α op te slaan: 0.25\ K ~‚a. Nu zal het beeldscherm er als volgt uitzien: Deze uitdrukking betekent dat de waarde –0.25 opgeslagen is in α (het symbool stelt de bewerking voor). Druk op ` om de variabele aan te maken.
Met –0,25 op het niveau 2 van de stapel en 'α' op het niveau 1 van de stapel, kunt u de K toets gebruiken om de variabele te scheppen.
eerdere oefening voor het aanmaken van de variabele A, toonden wij u hoe het menu FILES gebruikt kan worden om de inhoud van een variabele zichtbaar te maken. In deze paragraaf wordt een eenvoudige manier getoond om de inhoud van een variabele te bekijken. Door op het label van de softmenutoets voor de variabele te drukken Deze werkwijze toont de inhoud van een variabele zolang de variabele een numerieke of een algebraïsche waarde heeft of een array bevat.
Het programma heeft de volgende structuur: << → r 'π*r^2' >> De symbolen « » duiden op een programma in de User RPL-taal. De lettertekens → r geven aan dat er een invoer, gelezen als r, aan het programma gegeven moet worden. Het programma moet die waarde van r nemen en de algebraïsche 'π*r^2' evalueren. In het bovenstaande voorbeeld nam r de waarde van 5 en daarom wordt de waarde van πr2 = π⋅25 geretourneerd. Dit programma berekent dus de oppervlakte van een cirkel met de gegeven radius r.
Via de rechter shifttoets ‚ gevolgd door de softmenutoetslabel In Algebraïsche modus kan u de inhoud van een variabele weergeven door J @@ in te drukken, en vervolgens de overeenstemmende softmenutoets. Probeer de volgende voorbeelden: J‚@@p1@@ ‚ @@z1@@ ‚ @@@R@@ ‚@@@Q@@ ‚ @@A12@@ Opmerking: in RPN modus is het niet nodig om @ te gebruiken (enkel J en vervolgens de overeenstemmende softmenutoets).
Controleer de nieuwe inhoud van de variabele A12 met ‚@@A12@@ . In de RPN-modus: ³~‚b/2` ³@@A12@@ ` K of eenvoudiger: ³~‚b/2™ ³@@A12@@ K Het gebruik van de linker shifttoets „ gevolgd door de softmenutoets van de variabele (RPN) Dit is een zeer eenvoudige manier om de inhoud van een variabele te veranderen maar het werkt alleen in de RPN-modus.
INTRO} staan de variabelen p1, z1, R, Q, A12, α en A. Stel dat u variabele A wilt kopiëren en een kopie in subdirectory {HOME MANS} wilt plaatsen. Tevens kopiërt u variabele R en plaatst een kopie in de HOME directory. Hieronder wordt de procedure weergegeven. Druk op „¡@@OK@@ voor de volgende lijst van variabelen: Gebruik de pijltoets omlaag ˜ om variabele A te selecteren (de laatste in de lijst), druk dan op @@COPY@.
Via het geheugen in de Algebraïsche modus Hier ziet u een manier om het geheugen (stapelgeheugen) te gebruiken voor het kopiëren van een variabele van een directory naar een ander met de rekenmachine ingesteld op de Algebraïsche modus. Stel dat u in de subdirectory {HOME MANS INTRO} staat en u de inhoud van variabele z1 wilt kopiëren naar subdirectory {HOME MANS}. Voer de volgende toetsencombinatie uit: ‚@@z1@ K@@z1@ `. Nu wordt de inhoud van z1 in zichzelf opgeslagen (geen verandering uitgevoerd in z1).
Gebruik nu „§„§ om naar de HOME directory te gaan en druk op K om de bewerking te voltooien. Gebruik vervolgens ‚@@z1@ om de inhoud van de variabele te verifiëren. Het kopiëren van twee of meer variabelen via het stapelgeheugen in de Algebraïsche modus Hier volgt een oefening voor het kopiëren van twee of meer variabelen via het stapelgeheugen terwijl de rekenmachine op de Algebraïsche modus is ingesteld.
subdirectory {HOME MANS} staat met de variabelen A12, R, Q, z1, A en de subdirectory INTRO, zoals hieronder getoond wordt. (Kopieer A12 vanuit INTRO naar MANS). Algebraïsche modus In dit geval heeft u de rekenmachine ingesteld op de Algebraïsche modus. Stel dat u de volgorde van de variabelen wilt veranderen in INTRO, A, z1, Q, R, A12.
—— @@OK@@ Selecteert ORDER in het menu DIRECTORY Hetgeen resulteert in het volgende beeldscherm: Het verplaatsen van variabelen via het menu FILES Voor het verplaatsen van een variabele van een directory naar een andere, kunt u het menu FILES gebruiken. In de subdirectory {HOME MANS INTRO} staan bijvoorbeeld de variabelen p1, z1, R, Q, A12, α en A. Stel dat u variabele A12 wilt verplaatsen naar subdirectory {HOME MANS}. Druk op „¡@@OK@@ voor de variabelenlijst.
Het verwijderen van variabelen Variabelen kunnen verwijderd worden met de functie PURGE . Deze functie is rechtstreeks toegankelijk het menu TOOLS (I) of via het menu FILES „¡@@OK@@ . Via het commando FILES Het commando FILES kan gebruikt worden om één variabele per keer te verwijderen. Voor het verwijderen van een variabele van een bepaalde directory, kunt u het menu FILES gebruiken. In de subdirectory {HOME MANS INTRO} staan bijvoorbeeld de variabelen p1, z1, R, Q, α en A aan de linkerzijde.
Voor het beeindigen van het uitwissen van variabelen Druk op ` om het verwijderen van variabelen te voltooien. Het beeldscherm toont nu de overige variabelen: Via de functie PURGE in het stapelgeheugen in de RPN-modus U staat weer in de subdirectory {HOME MANS INTRO} dat de variabelen p1, z1, Q, R, en α bevat. U gebruikt het commando PURGE om de variabele p1 te verwijderen. Druk op ³@@p1@@ ` I @PURGE@.
Om het gebruik van CMD te verduidelijken, kunt u het volgende in de ALGmodus invoeren. Druk na elke invoer op ` . Gebruik vervolgens de functie CMD („®) om de vier meest recente, door de gebruiker ingevoerde commando’s te tonen, d.w.z. U kunt de pijltoetsen omhoog en omlaag (—˜) gebruiken om door deze commando’s te schuiven en om elk commando te markeren dat u opnieuw wilt uitvoeren. Druk op @@OK@@ zodra u het in te voeren commando geselecteerd heeft.
systeemvlaggen genoemd en hebben betrekking op de werkwijze van de rekenmachine. Druk op de toets H en vervolgens op de softmenutoets @FLAGS! (d.w.z. F1) voor de huidige instelling van het systeemvlaggen. Het beeldscherm SYSTEM FLAGS verschijnt met een lijst met vlaggetallen en de bijbehorende instelling. (Opmerking: aangezien in dit beeldscherm alleen systeemvlaggen staan, wordt alleen de absolute waarde van het flaggetal getoond.
Algebraïsche modus Gebruik de volgende toetsencombinatie: ‚N~q (gebruik de pijltoetsen omhoog en omlaag, —˜, om het commando QUAD te selecteren) en druk op @@OK@@ . Gebruik de volgende toetsencombinatie om de vergelijking als het eerste argument van de functie QUAD in te voeren: ‚O~ „t Q2™+5*~ „t+6—— ‚Å0` ‚í ~ „t` Het resultaat is: Verander nu de instelling van vlag 1 naar General solutions (Algemene oplossingen): H@FLAGS@ @ @CHK@@ @@OK@@ @@OK@@ . En probeer de oplossing opnieuw: ——``.
Gebruik de volgende toetsencombinatie om het commando QUAD in te voeren: ‚N~q (gebruik de pijltoetsen omhoog en omlaag, —˜, om het commando QUAD te selecteren) en druk op @@OK@@ . Het beeldscherm geeft de hoofdoplossing: Verander nu de instelling van vlag 01 naar General solutions: H@FLAGS@ @ @CHK@@ @@OK@@ @@OK@@ . En probeer de oplossing opnieuw: ƒ³ ~ „t` ‚N~q (gebruik de pijltoetsen omhoog en omlaag, —˜, om het commando QUAD te selecteren) en druk op @@OK@@ .
„°˜ Voor het weergeven van de menulijst in PROG en het selecteren van MEMORY @@OK@@ ˜˜˜˜ Voor het weergeven van de menulijst in MEMORY en het selecteren van DIRECTORY @@OK@@ —— Voor het weergeven van de menulijst in DIRECTORY menulijst en het selecteren van ORDER @@OK@@ Voor het activeren van het commando ORDER Er bestaat een andere manier omdeze menu's te openen als soft MENU toetsen door de instelling van vlag 117 te veranderen.
Druk op de softmenutoets @ @CHK@@! om de vlag 117 op soft MENU te stellen. Het beeldscherm zal de volgende verandering weergeven: Druk twee keer op @@OK@@ om naar het normale beeldscherm terug te keren. Probeer nu het commando ORDER te vinden met de toetsencombinatie zoals die hierboven werd gebruikt, d.w.z. u begint met „°. U ziet dat in plaats van een menulijst er softmenulabels met de verschillende opties worden weergegeven in het menu PROG, d.w.z.
• Het menu APPS (APPlicationS), geactiveerd met de toets G, de eerste toets in de tweede rij boven in het toetsenbord: • Het menu CAT (CATalog), geactiveerd met de toets‚N, tweede toets in de vierde rij boven in het toetsenbord: • Het menu HELP, geactiveerd met I L @HELP • Het menu CMDS (CoMmanDS), geactiveerd in de Vergelijkingenschrijver, d.w.z. ‚O L @CMDS Blz.
Hoofdstuk 3 Berekeningen met reële getallen In dit hoofdstuk laten we het gebruik van de rekenmachine voor bewerkingen en functies met reële getallen zien. Dit soort bewerkingen zijn handig voor de meest frequente berekeningen in de fysica en de bouwtechniek. We gaan er vanuit dat de gebruiker bekend is met het toetsenbord zodat hij bepaalde functies op het toetsenbord herkent (b.v. SIN, COS, TAN, enz.). We gaan er ook vanuit dat de lezer weet hoe hij de bewerkingen van de rekenmachine kan instellen, d.w.z.
radialen, 2π radialen in een volledige cirkel rangordeninggraden, 400 rangordeninggraden in een volledige cirkel 3/ Specificatie van het coördinatensysteem (XYZ, R∠Z, R∠∠). Symbool ∠ duidt een hoekcoördinaat aan. RAD : GRD : XYZ : Cartesiaans of rechthoekig (x,y,z) R ∠Z : cilindrische poolcoördinaten (r,θ,z) R∠∠ : sferische coördinaten (ρ,θ,φ) 3.
voorkeurselecties. Berekeningen met reële getallen worden weergegeven in zowel de Algebraïsche (ALG) als in de RPN-modus. Het teken van een getal, variabele of uitdrukking wijzigen Maak gebruik van de \-toets. In de ALG-modus, kunt u op de \-toets drukken vóór u het getal invoert, bijv. \2.5`. Resultaat = -2.5. In de RPN-modus moet u tenminste een deel van het getal ingevoerd te hebben, vóór u de \-toets kunt gebruiken, bijv. 2.5\. Resultaat = -2.5.
6.3` 8.54.2` 2.5* 2.3` 4.5/ In de RPN-modus daarentegen, kunt u de operanden van elkaar scheiden met een spatie (#), alvorens op de operator te drukken. Voorbeelden: 3.7#5.2 6.3#8.5 4.2#2.5 2.3#4.5 + * / Het gebruik van de haakjes Haakjes kunnen gebruikt worden om groepsbewerkingen uit te voeren en om argumenten van functies samen te voegen. U krijgt de haakjes met de volgende toetsencombinatie „Ü. Haakjes moeten altijd als paar worden ingevoerd. Bijvoorbeeld, om (5+3.2)/(7-2.
modus, moet u de functie vóór het argument in te voeren, bijv. „Ê \2.32` In de RPN-modus, moet u eerst het getal in te voeren en vervolgens de functie, bijvv.: 2.32\„Ê Kwadraten en vierkantswortels De kwadraatfunctie, SQ, kan met de volgende toetsencombinatie geactiveerd worden: „º. Indien u in het stapelgeheugen werkt in de ALG-modus, moet u de functie vóór het argument invoeren, bijv. „º\2.3`. In de RPN-modus, moet u eerst het getal invoeren en vervolgens de functie, bijv.: 2.
Basis-10 logarithmen en machten van 10 Logaritmen van basis 10 worden berekend met de toetsencombinatie ‚Ã (functie LOG), terwijl de inverse functie (ALOG of antilogaritme) wordt berekend met „Â. In de ALG-modus wordt de functie ingevoerd vóór het argument: ‚Ã2.45` „Â\2.3` In de RPN-modus wordt het argument vóór de functie ingevoerd. 2.45` ‚Ã 2.3\` „Â Het gebruik van machten van 10 bij het invoeren van gegevens Machten van 10, d.w.z. getallen in de vorm -4.5´10 -2, enz., worden ingevoerd met de V-toets.
S30` T45` U135` In de RPN-modus: 30`S 45`T 135`U Inverse trigonometrische functies De inverse trigonometrische functies die rechtstreeks beschikbaar zijn op het toetsenbord zijn de boogsinus (ASIN), boogcosinus (ACOS) en boogtangent (ATAN) en kunnen geactiveerd worden met respectievelijk de volgende toetsencombinaties „¼, „¾ en „À. Aangezien de inverse trigonometrische functies hoeken vertegenwoordigen, vindt u het antwoord voor deze functies in de geselecteerde hoekmeting (DEG, RAD, GRD).
Operatoren worden daarentegen na één argument of tussen twee argumenten geplaatst. De operator factor (!) wordt bijvoorbeeld na een getal geplaatst, bijv. 5~‚2`. Aangezien deze operator één argument vereist, wordt het een monadische operator genoemd. Operatoren die twee argumenten vereisen, zoals + - * / Q, zijn binaire operatoren, bijv. 3*5 of 4Q2. Functies voor reële getallen in het menu MTH Het menu MTH (MaTHematics) bevat een aantal wiskundige functies die meestal van toepassing zijn op reële getallen.
moet selecteren en daarna het argument moet invoeren, terwijl u in de RPNmodus eerst het argument in het stapelgeheugen moet invoeren en vervolgens de functie moet selecteren. Het gebruik van rekenmenu’s: 1. Aangezien de werking van functies in het menu MTH (en van vele andere rekenmenu’s) erg op elkaar lijken, zullen we een gedetailleerde beschrijving geven van het gebruik van het menu 4. HYPERBOLIC..
In de ALG-modus kan met de volgende toetsencombinatie bijvoorbeeld tanh(2.5) berekend worden: „´ Selecteert het menu MTH 4 @@OK@@ Selecteert het menu 4. HYPERBOLIC.. 5 @@OK@@ Selecteert de functie 5. TANH 2.5` Evalueert tanh(2.5) Het beeldscherm geeft ons de volgende informatie: In de RPN-modus kan deze berekening met de volgende toetsencombinaties worden uitgevoerd: 2.5` „´ 4 @@OK@@ 5 @@OK@@ Voert het argument in in het stapelgeheugen Selecteert het menu MTH Selecteert het menu 4. HYPERBOLIC..
Opmerking: Door op „« te drukken, keert u terug naar de eerste reeks MTH-opties. Met de toetsencombinatie ‚˜ verschijnen alle menufuncties in het beeldscherm, bijv.: Druk op @HYP om bijvoorbeeld het hyperbolische functiemenu in de volgende opmaak te selecteren: Druk op @@TANH . om bijvoorbeeld de hyperbolische tangentfunctie (tanh) te selecteren. Opmerking: druk op L of „«om de overige opties van deze softmenu's te bekijken. Volg de volgende procedure uit om in de ALG-modus tanh(2.
Om te oefenen met het toepassen van de hyperbolische functies, kunt u de volgende waarden nagaan: SINH (2.5) = 6.05020.. SINH-1(2.0) = 1.4436… COSH (2.5) = 6.13228.. ACOSH-1(2.0) = 1.3169… TANH (2.5) = 0.98661.. TANH-1(0.2) = 0.2027… EXPM(2.0) = 6.38905…. LNP1(1) = 0.69314…. Nogmaals, de algemene procedure die in dit gedeelte is gebruikt, kan worden toegepast voor het selecteren van opties uit elk menu van deze rekenmachine. Reële getalfuncties Door optie 5. REAL..
Met de allerlaatste optie, @MTH, keert de gebruiker weer terug naar het menu MTH. Percentagefuncties Deze functies worden gebruikt om percentages en verwante waarden als volgt te berekenen: % (y,x) : berekent het x-percentage van y %CH(y,x) : berekent 100(y-x)/x, d.w.z. de percentageverandering, het verschil tussen twee getallen. %T(y,x) : berekent 100 x/y d.w.z. het totaalpercentage, het gedeelte dat een getal (x) is van een ander (y). Deze functies vereisen 2 argumenten.
5 @@OK@@ Selecteert het menu 5. REAL.. 3 @@OK@@ Selecteert de functie 5. %T Opmerking: de oefeningen in dit gedeelte illustreren het algemene gebruik van de functies van de rekenmachines met 2 argumenten. De werking van functies met 3 of meer argumenten kan worden afgeleid uit deze voorbeelden. Als oefening voor functies met percentages kunt u de volgende waarden berekenen: %(5,20) = 1, %CH(22,25) = 13.6363..
RND(x,y) : rond y af tot x aantal decimalen TRNC(x,y) : snijd y af tot x aantal decimalen FLOOR(x) : dichtste hele getal dat kleiner of gelijk is aan x CEIL(x) : dichtste hele getal dat groter of gelijk is aan x Ga als oefening het volgende na: RND(1.4567,2) = 1.46, TRNC(1.4567,2) = 1.45, FLOOR(2.3) = 2, CEIL(2,3) = 3 Radialen-naar-graden en graden-naar-radialenfunctie D R (x) : zet graden om in radialen : zet radialen om in graden. R D (x) Ga als oefening het volgende na: D R(45) = 0.78539 (d.w.z.
Γ(α) = (α−1) Γ(α−1), voor α > 1. Daarom kan deze functie in relatie gebracht worden met het factorieel van een getal, m.a.w. Γ(α) = (α−1)!, als α een positief heel getal is. We kunnen de factoriële functie ook gebruiken om de Gamma-functie te berekenen, en viceversa. Bijvoorbeeld, Γ(5) = 4! of 4~‚2`. De factorieelfunctie kan geactiveerd worden met optie 7. PROBABILITY.. in het menu MTH. De PSI-functie: Y(x,y) stelt de y-ste afgeleide voor van de digamma-functie, d.w.z.
De constanten worden als volgt weergegeven: Indien u één van deze opties selecteert, wordt de geselecteerde waarde in het stapelgeheugen opgeslagen, ongeacht het nu gaat om een symbool (bijv. e, i, π, MINR of MAXR) of een waarde (2.71.., (0,1), 3.14.., 1E-499, 9.99..E499). e is rechtstreeks te activeren via het toetsenbord als exp(1), d.w.z. „¸1` in de ALG-modus of 1` „¸ in de RPN-modus. π is eveneens rechtstreeks te activeren met „ì. i kan ook geactiveerd worden met „¥.
Optie 1. Tools bevat functies die gebruikt worden om met eenheden te werken (dit wordt later besproken). Opties 3. Length.. tot en met 17.Viscosity .. bevatten menu’s met een aantal eenheden voor ieder van de beschreven hoeveelheden. Bijvoorbeeld, door optie 8. Force..
Door op de juiste softmenutoets te drukken, wordt het submenu geopend met eenheden voor die specifieke selectie. Voor het SPEED-submenu zijn bijvoorbeeld de volgende eenheden beschikbaar: Door op )UNITS te drukken, keert u terug naar het menu UNITS. We hebben al gezien dat u alle menulabels in het scherm kunt weergeven door middel van ‚˜. Voor de @)ENRG-eenheden worden de volgende labels weergegeven: Opmerking: gebruik de toets L of de toetsencombinatie „« om door de menu’s te bladeren.
OPPEVLAKTE m^2 (vierkante meter), cm^2 (vierkante centimeter), b (barn), yd^2 (vierkante yard), ft^2 (vierkante feet), in^2 (vierkante inch), km^2 (vierkante kilometer), ha (hectare), a (are), mi^2 (vierkante mijl), miUS^2 (vierkante Amerikaanse mijl), acre (acre) VOLUME m^3 (kubieke meter), st (stère), cm^3 (kubieke centimeter), yd^3 (kubieke yard), ft^3 (kubieke feet), in^3 (kubieke inch), l (liter), galUK (Engelse gallon), galC (Canadese gallon), gal (Amerikaanse gallon), qt (quart), pt (pint), ml (mill
DRUK Pa (pascal), atm (atmosfeer), bar (bar), psi (pond per vierkante inch), torr (torr), mmHg (millimeters kwikkolom), inHg (inches kwikkolom), inH20 (inches waterkolom), TEMPERATUUR o C (graden Celsius), o F (graden Fahrenheit), K (Kelvin), o R (graden Rankine), ELECTRISCHE STROOM (Electrische meeteenheden) V (volt), A (ampère), C (coulomb), W (ohm), F (farad), W (watt), Fdy (faraday), H (henry), mho (mho), S (siemens), T (tesla), Wb (weber) HOEK (planaire en ruimtehoekmetingen) o (sexagesimale graa
Deze eenheden zijn eveneens beschikbaar via de catalogus, bijvoorbeeld: gmol: ‚N~„g lbmol: ‚N~„l rpm: ‚N~„r dB: ‚N~„d Omzetting naar basiseenheden Om één van deze eenheden om te zetten naar de standaardeenheden in het SIsysteem, dient u gebruik te maken van de functie UBASE.
In de ALG-modus met systeemvlag 117 ingesteld op SOFT menus: ‚Û Selecteert het menu UNITS )@TOOLS Selecteert het menu TOOLS @UBASE Selecteert de functie UBASE 1 ‚Ý Voert 1 in met onderliggend streepje ‚Û Selecteert het menu UNITS „« @)VISC Selecteert de optie VISCOSITEIT @@@P@@ Selecteert de eenheid P (poise) ` Zet de eenheden om In de RPN-modus met systeemvlag 117 ingesteld op SOFT menus: 1 Voert 1 in (zonder onderliggend streepje) ‚Û Selecteert het menu UNITS „« @)VISC Selecteert de optie VISCOSITEIT @@@P
Opmerking : als u het onderliggende streepje vergeet, is het resultaat 5*N, waar N dan staat voor een mogelijke variabelenaam en niet Newton. Om dezelfde waarde in te voeren in de RPN-modus moet u de volgende stappen volgen: 5 Voert het getal in (zonder onderliggend streepje) ‚Û Opent het menu UNITS 8 @@OK@@ Selecteert de eenheden voor kracht (8. Force..) @@OK@@ Selecteert Newton (N) Het ondeliggende streepje wordt automatisch ingevoegd in de RPN-modus.
Prefixen voor eenheden U kunt prefixen voor eenheden invoeren volgens de hieronder beschreven tabel voor prefixen van het SI-systeem.
foutmelding wanneer u LN(10_m) probeert te berekenen: Fout: Slecht Argument Type. Hieronder volgen enkele voorbeelden van berekeningen in de ALG-modus. Let er wel op dat u bij het vermenigvuldigen of delen elke waarde met de eenheden tussen haakjes moet zetten. Gebruik de volgende toetsencombinatie om bijvoorbeeld het product 12.5m ´ 5.2_yd in te voeren: (12.5_m)*(5.2_yd) `: wat resulteert in 65_(m×yd).
Bij ingewikkeldere uitdrukkingen moet u wel haakjes gebruiken, bijv.: (12_mm)*(1_cm^2)/(2_s) `: Bij berekeningen in het stapelgeheugen in de RPN-modus is het ook niet nodig haakjes te gebruiken, bijv.: 12_m ` 1.
Instrumenten voor het bewerken van eenheden Het menu UNITS bevat een submenu TOOLS met de volgende functies: CONVERT(x,y) : zet het eenheidobject x om in de eenheden van object y UBASE(x) : zet het eenheidobject x om in SI-eenheden UVAL(x) : trekt de waarde van eenheidobject x af UFACT(x,y) : factoriseert eenheid y van eenheidobject x UNIT(x,y) : combineert de waarde van x met de eenheden van y De functie UBASE werd eerder in dit hoofdstuk uitvoerig beschreven.
UFACT(1_mm,15.1_cm) ` Voorbeelden van UNIT UNIT(25,1_m) ` UNIT(11.3,1_mph) ` Fysische constanten in de rekenmachine Als vervolg op de bewerking van eenheden,wordt het gebruik van fysieke constanten besproken die beschikbaar zijn in het geheugen van de rekenmachine. Deze fysische constanten staan in een constants library die wordt geactiveerd met het commando CONLIB.
De softmenutoetsen voor het CONSTANTS LIBRARY-beeldscherm bevatten de volgende functies: SI als deze functie is geselecteerd, worden de waarden van de constanten in SI-eenheden weergegeven ENGL als deze functie is geselecteerd, worden de waarden van de constanten in Engelse meeteenheden weergegeven (*) UNIT als deze functie is geselecteerd, worden de waarden weergegeven met de eenheden eraan vastgehecht (*) VALUE als deze functie is geselecteerd, worden de waarden zonder eenheden weergegeven STK als deze f
Druk op de optie @ENGL om de waarden van de constanten in het Engelse (of Imperial) systeem te zien: Als we de optie UNITS deselecteren (druk op UNITS), worden alleen de waarden weergegeven (in dit geval zijn de Engelse eenheden geselecteerd): Om de waarde van Vm te kopiëren naar het stapelgeheugen, selecteert u de benaming van de variabele en drukt u op ²STK, vervolgens drukt u op QUIT.
Dezelfde bewerking in de RPN-modus, vereist de volgende toetsencombinatie (nadat de waarde van Vm uit de constantenbibliotheek was gehaald): 2`*‚ ¹ Speciale fysische functies Het menu 117, dat opgeroepen wordt met behulp van MENU(117) in de ALGmodus of 117` MENU in de RPN-modus, geeft het volgende menu weer (de labels kunnen in het beeldscherm worden weergegeven met ‚˜): De functies bestaan uit: ZFACTOR : Samendrukbaarheid van gas Z factor-functie FANNING : Factor voor ventilatiefrictie bij het stromen
Van alle beschikbare menu’s in dit MENU (menu UTILITY), namelijk ZFACTOR, FANNING, DARCY, F0λ, SIDENS, TDELTA en TINC , worden de functies FANNING en DARCY beschreven in Hoofdstuk 6, wanneer het gaat over het oplossen van vergelijkingen voor de stroming in pijpleidingen. De overige functies worden hieronder beschreven. De functie ZFACTOR De functie ZFACTOR berekent de correctiefactor voor de samendrukbaarheid van gas voor niet-ideaal gedrag van koolwaterstof.
De functie TDELTA De functie TDELTA(T0,Tf) geeft ons de temperatuursverhoging Tf – T0. Het resultaat wordt weergegeven met dezelfde eenheden, indien die er zijn, als T0. Anders wordt eenvoudigweg het verschil in getallen weergegeven. Bijvoorbeeld: De bedoeling van deze functie is om de berekening te vergemakkelijken van temperatuursverschillen, wanneer we te maken hebben met temperaturen in verschillende eenheden. Anders berekent de functie eenvoudigweg een aftrekking, bijv.
de uitdrukking aan de rechterzijde voor elke afzonderlijke waarde hoeft in te voeren. In het volgende voorbeeld gaan we ervan uit dat uw rekenmachine is ingesteld in de ALG-modus. Voer de volgende toetsencombinatie in: „à³~h„Ü~„x™‚Å ‚¹~„x+1™+„¸~„x` Het beeldscherm zal er als volgt uitzien: Door op de toets J te drukken, ziet u dat er een nieuwe variabele in uw softmenutoets (@@@H@@) staat. Om de inhoud van deze variabele te bekijken, drukt u op ‚@@@H@@.
Om de functie te activeren in de RPN-modus moet eerst het argument ingevoerd worden en daarna op de softmenutoets gedrukt worden van de benaming van de variabele @@@H@@@. Probeer bijvoorbeeld: 2@@@H@@@ . De andere bovenstaande voorbeelden kunnen als volgt worden ingevoerd: 1.2@@@H@@@ en 2`3/@@@H@@@ . Functies kunnen meer dan twee argumenten hebben. In het onderstaande beeldscherm vindt u bijvoorbeeld de definitie terug van de functie K(α,β) = α+β en de evaluatie met de argumenten K(√2,π) en K(1.2,2.
commando DEF(f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)) om deze functie in de ALGmodus weer te geven. Druk vervolgens op `. Voer in de RPN-modus de functiedefinitie in tussen aanhalingstekens: ‘f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’ druk vervolgens op „à. Druk op J om terug te keren naar het variabelenmenu. De functie @@f@@@ zou dan beschikbaar moeten zijn in het softtoetsenmenu.
Hoofdstuk 4 Berekeningen met complexe getallen In dit hoofdstuk laten wij voorbeelden zien van berekeningen en toepassingen van functies voor complexe getallen. Definities Een complex getal z wordt geschreven als z = x + iy, waarbij x en y reële getallen zijn en i de denkbeeldige eenheid is die wordt gedefinieerd door i2 = -1. Het complexe getal x+iy heeft een reël deel, x = Re(z) en een denkbeeldig, y = Im(z).
Druk twee keer op @@OK@@ om terug te keren naar het stapelgeheugen. Complexe getallen invoeren Complexe getallen kunnen in de rekenmachine op een van de twee Cartesische weergaven worden ingevoerd, namelijk x+iy of (x,y). De resultaten in de rekenmachine worden weergegeven in de vorm van gerangschikte paren, dus (x,y). Als de rekenmachine bijvoorbeeld in de ALG-modus staat, wordt het complex getal (3.5,-1.2),ingevoerd als: „Ü3.5‚í\1.2` Een complex getal kan ook ingevoerd worden in de vorm x+iy.
Zodra de algebraïsche formule is geëvalueerd, achterhaalt u het complex getal (3.5,1.2). Polaire weergave van een complex getal Het hierboven getoonde resultaat geeft een Cartesische (rechthoekige) weergave weer van het complex getal 3.5-1.2i. Een polaire weergave is mogelijk als we het coördinatenstelsel wijzigen naar cilindrisch of polair met de functie CYLIN. U vindt deze functie in de catalogus (‚N).
Als echter het coördinatenstelsel ingesteld is op cilindrische coördinaten (gebruik CYLIN), zal het invoeren van een complex getal (x,y), waar x en y reële getallen zijn, een polaire weergave opleveren. Voer bijvoorbeeld in de cilindrische coördinaten het getal (3.,2.) in. De onderstaande afbeelding geeft het RPN-stapelgeheugen weer voor en na het invoeren van dit getal: Eenvoudige bewerkingen met complexe getallen Complexe getallen kunnen gecombineerd worden met de vier basisbewerkingen (+-*/).
Opmerkingen: Het product van twee getallen wordt weergegeven door: (x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2 - y1y2) + i (x1y2 + x2y1).
Andere bewerkingen Bewerkingen zoals grootte, argument, reële en denkbeeldige delen en complex geconjugeerde zijn beschikbaar via de menu's CMPLX die later uitvoerig beschreven worden. De CMPLX-menu's De rekenmachine beschikt over twee CMPLX-menu's (CoMPLeX getallen). Een is toegankelijk via het menu MTH (zie in Hoofdstuk 3) en en de ander is direct toegankelijk via het toetsenbord (‚ß). Hierna worden de twee CMPLXmenu's toegelicht.
SIGN(z) : NEG : CONJ(z): Berekent een complex getal van eenheidgrootte als z/|z|. Wijzigt het teken van z Produceert de complex geconjugeerde van z Hierna worden voorbeelden van toepassingen van deze functies weergegeven. Vergeet niet dat in de ALG-modus de functie voor het argument moet staan, terwijl in de RPN-modus het argument eerst moet worden ingevoerd en vervolgens de functie moet worden geselecteerd.
In het volgende beeldscherm worden de functies SIGN, NEG (weergegeven als het negatieve teken -) en CONJ weergegeveb. Menu CMPLX in het toetsenbord Er kan een tweede CMPLX-menu worden geopend met de optie rechtershift optie samen met de toets 1, d.w.z. ‚ß. Met systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE boxes, verschijnt het toetsenbordmenu CMPLX als volgt in het scherm: Het menu bevat enkele functies die al eerder zijn behandeld, namelijk ARG, ABS, CONJ, IM, NEG, RE en SIGN.
de volgende voorbeelden. Deze functies worden op dezelfde manier toegepast als bij reële getallen (zie Hoofdstuk 3). Opmerking: als u trigometrische functies en hun inversies met complex getallen gebruikt, zijn de argumenten geen hoeken meer. De hoekmeting die voor de rekenmachine is geselecteerd, heeft dus geen invloed meer op de berekening van deze functies met complexe argumenten.
De functie DROITE: vergelijking van een rechte lijn De functie DROITE heeft twee complexe getallen als argument, bijvoorbeeld x1+iy1 and x2+iy2 en geeft de vergelijking van een rechte lijn, bijvoorbeeld y = a+bx, die de punten (x1,y1) en (x2,y2) bevat. De lijn tussen de punten A(5,-3) en B(6,2) kan bijvoorbeeld als volgt gevonden worden (voorbeeld weergegeven in de Algebraïsche modus): De functie DROITE staat in de commandocatalogus (‚N). Met EVAL(ANS(1)) wordt het resultaat vereenvoudigd tot: Blz.
Hoofdstuk 5 Algebraïsche en rekenkundige bewerkingen Een algebraïsch object , of eenvoudig algebraïsch, is elk getal, variabelenaam of algebraïsche uitdrukking die uitgevoerd, bewerkt en gecombineerd kan worden in overeenstemming met de regels van de algebra. Hier volgen voorbeelden van algebraïsche objecten: • Een getal: 12.3, 15.2_m, ‘π’, ‘e’, ‘i’ • Een variabelenaam: ‘a’, ‘ux’, ‘breedte’, enz. • Een formule: ‘p*D^2/4’,’f*(L/D)*(V^2/(2*g))’ • Een vergelijking: ‘Q=(Cu/n)*A(y)*R(y)^(2/3)*So^0.
Eenvoudige bewerking met algebraïsche objecten Algebraïsche objecten kunnen worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd, gedeeld (behalve door nul), tot een macht worden verheven, als argumenten voor verscheidene standaardfuncties worden gebruikt (exponentieel, logaritmisch, trigonometrisch, hyperbolisch, enz.), zoals u met elk willekeurig reël of complex getal zou doen.
@@A1@@ * @@A2@@ ` ‚¹@@A1@@ @@A1@@ / @@A2@@ ` „¸@@A2@@ In de RPN-modus worden dezelfde resultaten verkregen als de volgende toetsencombinatie wordt gebruikt: @@A1@@ @@A2@@ + μ @@A1@@ @@A2@@ - μ @@A1@@ @@A2@@ * μ @@A1@@ @@A2@@ / μ @@A1@@ ‚ ¹ μ @@A2@@ „ ¸ μ Functies in het menu ALG Het ALG (Algebraïsch)-menu wordt geactiveerd met de toetsencombinatie ‚× (behorende bij de toets 4 ). Met systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE boxes geeft het ALG-menu de volgende functies weer: Blz.
Wij zullen in deze handleiding niet alle beschrijvingen van de functies geven. De gebruiker kan deze vinden in de helptekst van de rekenmachine. I L @)HELP@ ` . Voer de eerste letter van de functie in om een specifieke functie te vinden. Voor de functie COLLECT voeren we bijvoorbeeld ~c in. Daarna gebruiken we de pijltoetsen omhoog en omlaag, —˜, om COLLECT in het hulpvenster te zoeken. Druk op @@OK@@ om de bewerking te voltooien.
voorbeeld gekopieerd wordt naar het stapelgeheugen (druk op ` om het commando uit te voeren.): Verder laten we de gebruiker zelf de lijst met de beschikbare CAS-functies verkennen. Hieronder vindt u enkele voorbeelden: De helptekst geeft de volgende informatie over de commando’s: COLLECT: EXPAND: FACTOR: LNCOLLECT: LIN: PARTFRAC: SOLVE: SUBST: Blz.
TEXPAND: Opmerking : als u deze of elke andere functie in de RPN-modus wilt gebruiken, moet u eerst het argument invoeren en dan de functie. Het voorbeeld for TEXPAND wordt in de RPN-modus als volgt ingevoerd: ³„¸+~x+~y` Selecteer nu de functie TEXPAND in het ALG-menu (of direct uit de catalogus ‚N), om de bewerking te voltooien. Andere vormen van substitutie in algebraïsche formules De hierboven weergegeven functie SUBST wordt gebruikt om een variabel in een uitdrukking te substitueren.
De volgende toetsencombinatie is vereist: ³~„x+~„xQ2` „ä~„x#2` ‚¦` In de ALG-modus is de substitutie van meer dan één variabele mogelijk zoals te zien is in het volgende voorbeeld (voor en na het indrukken van `) In de RPN-modus is het ook mogelijk meer dan één variabele per keer te substitueren, zoals in het volgende voorbeeld te zien is. Denk eraan dat de RPN-modus een lijst gebruikt met namen en waarden van variabelen voor substitutie.
De laatst ingevoerde uitdrukking wordt automatische geëvalueerd na het indrukken van de toets ` en geeft het bovenstaande resultaat. Bewerkingen met transcendente functies De rekenmachine biedt een aantal functies die gebruikt kunnen worden om uitdrukkingen met logaritmische, exponentiële, trigonometrische en hyperbolische functies te vervangen met betrekking tot trigonometrische identiteiten of exponentiële functies.
Uitbreiding en factorisering met trigonometrische functies Het functie TRIG menu, geactiveerd met ‚Ñ, bevat de volgende functies: Deze functies staan het vereenvoudigen van uitdrukkingen toe door sommige categorieën van trigonometrische functies door een andere te vervangen. De functie ACOS2S bijvoorbeeld kan de functie boogcosinus (acos(x)) vervangen door de uitdrukking van boogsinus (asin(x)). Informatie over en voorbeelden van deze commando’s staan in de hulptekst van de rekenmachine (IL@HELP).
In deze menulijst komen opties 5 tot en met 9 (DIVIS, FACTORS, LGCD, PROPFRAC, SIMP2) overeen met veelgebruikte functies die van toepassing zijn op hele getallen of op polynomen. De overige opties (1. INTEGER, 2. POLYNOMIAL, 3. MODULO en 4. PERMUTATION) zijn eigenlijk submenus van functies die van toepassing zijn op specifieke wiskundige objecten.
De functies behorende bij de ARITHMETIC-submenus: INTEGER, POLYNOMIAL, MODULO en PERMUTATION, zijn de volgende: Het menu INTEGER EULER IABCUV IBERNOULLI ICHINREM IDIV2 IEGCD IQUOT IREMAINDER ISPRIME? NEXTPRIME PA2B2 PREVPRIME Aantal hele getallen < n, co -priem met n Lost au + bv = c op met a,b,c = integers (hele getallen) n-de Bernoulli-getal Chinese rest voor hele getallen Euclidische deling van twee hele getallen Retourneert u,v, zodat au + bv = gcd(a,b) Euclidische coëfficiënt van twee hele getallen E
Het menu MODULO ADDTMOD DIVMOD DIV2MOD EXPANDMOD FACTORMOD GCDMOD INVMOD MOD MODSTO MULTMOD POWMOD SUBTMOD Telt twee formules modulo current modulus Deelt 2 polynomen modulo current modulus Euclidische deling van 2 polynomen met modulaire coëfficiënten Breidt uit/vereenvoudigt polynoom modulo current modulus Factoriseert een polynoom modulo current modulus GCD van 2 polynomen modulo current modulus Invers van heel getal modulo current modulus geen ingang beschikbaar in de hulptekst Verandert de moduloinste
Bewerkingen in de modulaire rekenkunde Optelling in modulaire rekenkunde van modulus n, dat een positief heel getal is, volgt de regels dat, indien j en k een van beide geen negatieve hele getallen zijn en beide kleiner zijn dan n, als j+k≥ n, dan wordt j+k gedefinieerd als j+kn. In het geval van de klok is dit bijvoorbeeld n = 12, 6+9 “=” 3.
6*0 6*1 6*2 6*3 6*4 6*5 (mod (mod (mod (mod (mod (mod 12) 12) 12) 12) 12) 12) 0 6 0 6 0 6 6*6 (mod 12) 6*7 (mod 12) 6*8 (mod 12) 6*9 (mod 12) 6*10 (mod 12) 6*11 (mod 12) 0 6 0 6 0 6 Formele definitie van een eindige rekenkundige ring De uitdrukking a ≡ b (mod n) wordt gelezen als “a is congruent aan b, modulus n” en betekent dat (b-a) een meervoud is van n.
Eindige rekenkundige ringen in de rekenmachine Vanaf het begin hebben wij onze eindige rekenkundige bewerking gedefinieerd zodat de resultaten altijd positief zijn. Het modulaire rekenkundige systeem in de rekenmachine is zodanig ingesteld dat de modulusring n de getallen -n/2+1, …,-1, 0, 1,…,n/2-1, n/2 betreft als n even is, en de getallen –(n-1)/2, -(n-3)/2,…,-1,0,1,…,(n-3)/2, (n-1)/2 als n oneven is.
ADDTMOD: voorbeelden 6+5 ≡ -1 (mod 12) 11+5 ≡ 4 (mod 12) 6+6 ≡ 0 (mod 12) 8+10 ≡ -6 (mod 12) SUBTMOD: voorbeelden 5 – 7 ≡ -2 (mod 12) 11 – 8 ≡ 3 (mod 12) 8 – 4 ≡ 4 (mod 12) 8 –- 12 ≡ -4 (mod 12) MULTMOD: voorbeelden 6⋅8 ≡ 0 (mod 12) 5⋅6 ≡ 6 (mod 12) 9⋅8 ≡ 0 (mod 12) 11⋅3 ≡ -3 (mod 12) 6+7 ≡ 1 (mod 12) 5 –10 ≡ -5 (mod 12) 3⋅2 ≡ 6 (mod 12) DIVMOD: voorbeelden 12/3 ≡ 4 (mod 12) 25/5 ≡ 5 (mod 12) 66/6 ≡ -1 (mod 12) 12/8 (mod 12) bestaat niet 64/13 ≡ 4 (mod 12) DIV2MOD: voorbeelden 2/3 (mod 12) bes
EXPANDMOD(125) ≡ 5 (mod 12) EXPANDMOD(17) ≡ 5 (mod 12) EXPANDMOD(6) ≡ 6 (mod 12) De modulaire inverse van een getal Een getal k behoort bijvoorbeeld tot een eindige rekenkundige ring van modulus n, dan is de modulaire inverse van k, d.w.z. 1/k (mod n), een getal j, zodat j⋅k ≡ 1 (mod n). De modulaire inverse van een getal kan verkregen worden met de functie INVMOD in het submenu MODULO van het menu ARITHMETIC.
Polynomen Polynomen zijn algebraïsche uitdrukingen bestaande uit één of meer termen met afnemende machten van een gegeven variabele. ‘X^3+2*X^2-3*X+2’ is bijvoorbeeld een polynoom van de derde orde in X, terwijl ‘SIN(X)^2-2’ een polynoom van de tweede orde in SIN(X) is. Een lijst van functies die betrekking hebben op polynomen in het menu ARITHMETIC werd al eerder gegeven. Hierna worden enkele algemene definities van polynomen gegeven. In deze definities zijn A(X), B(X), C(X), P(X), Q(X), U(X), V(X), enz.
getallen (functie ICHINREM). De invoer bestaat uit twee vectoren [uitdrukking_1, modulus_1] en [uitdrukking_2, modulus_2]. De uitvoer is een vector met [uitdrukking_3, modulus_3], waar modulus_3 verbonden is met het product van (modulus_1)⋅(modulus_2).
He0 = 1, Hen ( x) = (−1) n e x 2 /2 d n −x2 / 2 (e ), n = 1,2,... dx n Een andere definitie van de Hermite polynoom is d n − x2 H 0 * = 1, H n * ( x) = (−1) e (e ), n = 1,2,... dx n n x2 waar dn/dxn = n-de afageleide met betrekking tot x. Dit is de definitie die wordt gebruikt in de rekenmachine. Voorbeelden: de Hermite-polynomen van orde 3 en 5 worden gegeven door: HERMITE(3) = ‘8*X^3-12*X’ en HERMITE(5) = ‘32*x^5-160*X^3+120*X’.
De functie LAGRANGE De functie LAGRANGE vereist als invoer een matrix met twee rijen en n kolommen. De matrix slaat gegevenspunten op in de vorm [[x1,x2, …, xn] [y1, y2, …, yn]]. Het toepassen van de functie LAGRANGE geeft de polynoomuitbreiding van n n pn −1 ( x) = ∑ j =1 ∏(x − x ) k k =1, k ≠ j n ∏(x k =1, k ≠ j j − xk ) ⋅ y j.
De functie LEGENDRE Een Legendre-polynoom van orde n is een polynoomfunctie die de volgende differentiële vergelijking oplost (1 − x 2 ) ⋅ d2y dy − 2 ⋅ x ⋅ + n ⋅ (n + 1) ⋅ y = 0 2 dx dx Gebruik LEGENDRE(n), bijvoorbeeld voor het verkrijgen Legendre-polynoom van de n-de orde LEGENDRE(3) = ‘(5*X^3-3*X)/2’ LEGENDRE(5) = ‘(63*X ^5-70*X^3+15*X)/8’ De functie PCOEF Bij een array met de wortels van een polynoom, zal de functie PCOEF een array genereren met de coëfficiënten van de bijbehorende polynoom.
De functies QUOT en REMAINDER De functies QUOT en REMAINDER geven, respectievelijk, de coëfficiënt Q(X) en de restwaarde R(X) als resultaat van de deling van twee polynomen, P1(X) en P2(X). Met andere woorden, zij geven de waarden van Q(X) en R(X) vanaf P1(X)/P2(X) = Q(X) + R(X)/P2(X). Bijvoorbeeld, QUOT(X^3-2*X+2, X-1) = X^2+X-1 REMAINDER(X^3-2*X+2, X-1) = 1. Dus kunnen wij schrijven als: (X3-2X+2)/(X-1) = X2+X-1 + 1/(X-1).
resultaat is de evaluatie p(x0). De functie PEVAL is niet beschikbaar in het menu ARITHMETIC en moet geactiveerd worden vanuit de functiecatalogus (N). Voorbeeld: PEVAL([1,5,6,1],5) = 281. De functie TCHEBYCHEFF De functie TCHEBYCHEFF(n) geeft de Tchebycheff (of Chebyshev) polynoom van het eerste soort, orde n, gedefinieerd als Tn(X) = cos(n⋅arccos(X)).
De functie PROPFRAC De functie PROPFRAC zet een rationele breuk om in een “echte” breuk, d.w.z. een heel deel toegevoegd aan een breukdeel als deze ontleding mogelijk is. Voorbeeld: PROPFRAC(‘5/4’) = ‘1+1/4’ PROPFRAC(‘(x^2+1)/x^2’) = ‘1+1/x^2’ De functie PARTFRAC De functie PARTFRAC ontleedt een rationale breuk in de gedeeltelijke breuken die de originele breuk vormen.
FCOEF([2, 1, 0, 3, –5, 2, 1, –2, –3, –5]) = ‘(X--5)^2*X^3*(X-2)/(X--3)^5*(X1)^2’ Indien u μ„î` (of simpelweg μ, in RPN modus) indrukt, krijgt u: ‘(X^6+8*X^5+5*X^4-50*X^3)/(X^7+13*X^6+61*X^5+105*X^4-45*X^3297*X^2-81*X+243)’ De functie FROOTS De functie FROOTS bevat de wortels en polen van een breuk. Als we bijvoorbeeld de functie FROOTS zouden toepassen op het bovenstaande resultaat,zouden we het volgende krijgen: [1 –2. –3 –5. 0 3. 2 1. –5 2.].
Het menu CONVERT en algebraïsche bewerkingen Het menu CONVERT wordt geactiveerd met de toets „Ú (de toets 6). Dit menu bevat alle omzettingsmenus in de rekenmachine. Hierna wordt de menulijst getoond: Hierna worden de beschikbare functies in elk van de submenu's getoond. Blz.
UNITS in het menu convert (Optie 1) Dit menu is hetzelfde als het menu UNITS beschikbaar via ‚Û. De toepassingen van dit menu worden in hoofdstuk 3 nader behandeld. BASE in het menu convert (Option 2) Dit menu is hetzelfde als het menu UNITS beschikbaar via ‚ã. De toepassingen van dit menu worden in hoofdstuk 19 nader behandeld. TRIGONOMETRIC in het menu convert (Optie 3) Dit menu is hetzelfde als het menu TRIG beschikbaar via ‚Ñ. De toepassingen van dit menu worden in dit hoofdstuk nader behandeld.
De functies I R en R I worden gebruikt om een getal van een heel getal (I) om te zetten in een reël getal (R) of vice versa. Hele getallen worden weergegeven zonder zwevende decimale punten, aangezien reële getallen die hele getallen weergeven een zwevende decimale punt hebben, bijvoorbeeld, De functie NUM geeft dezelfde bewerking als de toetsencombinatie ‚ï (behorende bij de toets `). De functie NUM zet een symbolisch resultaat om in zijn zwevende kommawaarde.
EXP2POW FDISTRIB LIN LNCOLLECT POWEREXPAND SIMPLIFY Blz.
Hoofdstuk 6 Oplossingen voor enkelvoudige vergelijkingen Dit hoofdstuk beschrijft de functies van de rekenmachine voor het oplossen van enkelvoudige vergelijkingen in de vorm f(X) = 0. Er zijn twee menu's voor het oplossen van vergelijkingen, behorende bij de toets 7, Symbolic SOLVer („Î) en NUMerical SoLVer (‚Ï). Hierna worden enkele toepassingen van deze functies behandeld. Voor deze oefeningen moet u de CAS-modus op Complex in te stellen. (zie hoofdstuk 2).
In de RPN-modus wordt de oplossing verkregen door de vergelijking in het stapelgeheugen in te voeren, gevolgd door de variabele vóór het invoeren van de functie ISOL. Net vóór het uitvoeren van ISOL moet het RPN-stapelgeheugen er uit moeten zien zoals in de linkerafbeelding. Na het toepassen van ISOL, is het resultaat zoals in de rechterafbeelding: Het eerste argument in ISOL kan een uitdrukking zijn, zoals hierboven weergegeven, of een vergelijking.
De volgende voorbeelden tonen het gebruik van de functie SOLVE in de ALGmodus en de RPN-modus: Het bovenstaande beeldscherm laat twee oplossingen zien. In de eerste, β4 -5β =125, produceert SOLVE geen oplossingen { }. In de tweede, β4 - 5β = 6, produceert SOLVE vier oplossingen in de laatste uitvoerregel. De allerlaatste oplossing is niet zichtbaar omdat het resultaat meer tekens bevat dan de breedte van het beeldscherm van de rekenmachine.
Het gebruik van de pijltoets omlaag, (˜), in deze modus activeert de regeleditor: De functie SOLVEVX: De functie SOLVEVX lost een vergelijking op voor de standaard CASvariabelemet de variabelennaam VX. Deze variabele is standaard ingesteld op ‘X’. Hieronder worden voorbeelden in de ALG-modus met VX = ‘X’, getoond: In het eerste geval vond SOLVEVX geen oplossing. In het tweede geval vond SOLVEVX een enkele oplossing, X = 2.
De functie ZEROS: De functie ZEROS geeft de oplossingen van een polynoomvergelijking zonder hun veelvoud te tonen. Voor het oplossen vereist de functie als invoer de uitdrukking van de vergelijking en de op te lossen variabelennaam. Hieronder worden voorbeelden getoond in de ALG-modus: Voor gebruik van de functie ZEROS in de RPN-modus, moet u eerst de polynomische uitdrukking invoeren, gevolgd door de variabele die opgelost moet worden en uiteindelijk de functie ZEROS.
Item 2. Solve diff eq.. wordt behandeld in een later hoofdstuk over differentiële vergelijkingen. Item 4. Solve lin sys.. wordt behandeld in een later hoofdstuk over matrices. Item 6. MSLV (Multipele vergelijking SoLVer) wordt in het volgende hoofdstuk behandeld. Hieronder worden de toepassingen van items 3. Solve poly.., 5. Solve finance en 1. Solve equation.., in deze volgorde behandeld.
Selecteert Solve poly... ‚Ϙ˜@@OK@@ „Ô3‚í2‚í 0 ‚í 1\‚í1@@OK@@ Voert de coëfficiënten vector in @SOLVE@ Lost de vergelijking op: Het beeldscherm toont de oplossing als volgt: Druk op ` om naar het stapelgeheugen terug te keren. Het stapelgeheugen toont de volgende resultaten in de ALG-modus (de RPN-modus zou hetzelfde resultaat tonen): Druk op de pijltoets omlaag, (˜), om de regeleditor te activeren. Alle oplossingen zijn complexe getallen: (0.432,-0.389), (0.432,0.389), (0.766, 0.632), (-0.766, -0.
Het aanmaken van polynoomcoëfficiënten met gegeven polynoomwortels We gaan ervan uit dat u de polynoom wilt aanmaken waarvan de wortels de getallen [1, 5, -2, 4] zijn. Volg deze stappen om de rekenmachine hiervoor te gebruiken: ‚Ϙ˜@@OK@@ ˜„Ô1‚í5 ‚í2\‚í 4@@OK@@ Selecteert Solve poly... @SOLVE@ Lost de coëfficiënten op Voert de vector van wortels in Druk op ` om naar het stapelgeheugen terug te keren. Het stapelgeheugen zal de coëfficiënten tonen.
Probeer het volgende voorbeeld om de algebraïsche uitdrukking aan te maken met de coëfficiënten. We gaan ervan uit dat de coëfficiënten van de polynoom [1,5,-2,4] zijn. Gebruik de volgende toetsencombinaties: ‚Ϙ˜@@OK@@ „Ô1‚í5 ‚í2\‚í 4@@OK@@ —@SYMB@ ` Selecteert Solve poly... Voert de vector van coëfficiënten in Genereert de symbolische uitdrukking Keert terug naar het stapelgeheugen. De uitdrukking die op deze wijze aangemaakt is, wordt in het stapelgeheugen getoond als: 'X^3+5*X^2+-2*X+4'.
De uitdrukking die op deze wijze aangemaakt is, wordt in het stapelgeheugen getoond als: 'X^4+-3*X^3+ -3*X^2+11*X+-6*X^0'. Een lijst in het stapelgeheugen op niveau 2 geeft de coëfficiënten weer. Financiële berekeningen De berekeningen in item 5. Solve finance.. in het menu Numerical Solver (NUM.SLV) worden gebruikt voor berekeningen van geldtijdwaarde van belang in de economische wetenschappen en andere financiële toepassingen.
het doel de financiële berekeningsfunctie van de rekenmachine te gebruiken, nemen wij de volgende waarden: n = 60, I%YR = 6.5, PV = 2000000, FV = 0, P/YR = 12. Gebruik de volgende toetsencombinaties voor de invoer van de gegevens en de oplossing voor de betaling, PMT,: „Ò Activeert het invoerscherm van de financiële berekening 60 @@OK@@ Voert n = 60 in 6.5 @@OK@@ Voert 1%YR = 6.
In dit scherm wordt aangegeven dat na 24 maanden terugbetaling van de schuld, de lener US $ 723.211.43 betaald heeft van het geleende hoofdbedrag en US $ 215.963.68 aan rente. Gedurende de volgende 36 maanden moet de lener moet nog een restbedrag betalen van US $1,276,788.57. Kijk wat er gebeurt indien u 60 vervangt in Betalingen (Payments): voer het getal in het aflossingsbeeldscherm in en druk dan op @@OK@@ @@AMOR@@.
60 @@OK@@ 6.5 @@OK@@ 2000000 @@OK@@ ˜ 0 @@OK@@ @@CHOOS !—@@OK@@ — š @@SOLVE! Voert n = 60 in Voert 1%YR = 6.5 % in Voert PV = 2,000,000 US$ in Slaat PMT over, aangezien we dit gaan oplossen Voert FV = 0 in, Einde van de optie wordt gemarkeerd Wijzigt betalingsoptie in Begin Markeert PMT en lost het op Het beeldscherm toont nu de PMT-waarde als -38.921.47, d.w.z. de lener moet de leninggever US $ 38.921.48 betalen aan het begin van elke maand gedurende 60 maanden om het volledige bedrag terug te betalen.
™ ‚í ³ ‚@I©YR@ ™ ‚í ³ ‚@@PV@@ ™ ‚í ³ ‚@@PMT@@ ™ ‚í ³ ‚@@PYR@@ ™ ‚í ³ ‚@@FV@@. ` Voert Voert Voert Voert Voert Voert Voert Voert Voert Voert Voert een komma in variabelennaam 1%YR in een komma in variabelennaam PV in een komma in variabelennaam PMT in een komma in variabelennaam PYR in een komma in variabelennaam FV in PURGE commando uit De volgende twee beeldschermen tonen het commando PURGE voor het verwijderen van alle variabelen in de directory en de resultaten na het uitvoeren van het commando.
Het oplossen van vergelijkingen met een onbekend element via NUM.SLV Het menu NUM.SLV van de rekenmachine bevat item 1. Solve equation.. dat verschillende soorten vergelijkingen in een enkelvoudige variabele oplost, inclusief niet-lineaire algebraïsche en transcendentale vergelijkingen. Laten we bijvoorbeeld de volgende vergelijking oplossen: ex-sin(πx/3) = 0. Voer gewoon de uitdrukking als een algebraïsch object in en sla het in de variabele EQ op.
De vergelijking die in variabele EQ opgeslagen werd, is al in het Eq-veld geladen van het invoerscherm SOLVE EQUATATION. Er wordt ook een gelabeld veld x gegeven. Om de vergelijking op te lossen, dient u alleen het veld voor de X: te markeren met ˜ en op @SOLVE@ te drukken. Het resultaat is X: 4.5006E-2: Dit is echter niet de enige mogelijke oplossing voor deze vergelijking. Voer bijvoorbeeld een negatief getal in het X:-veld in voordat de vergelijking opgelost wordt om een negatieve oplossing te krijgen.
De rekenmachine voert een algoritmisch zoekopdracht uit om een stap aan te geven waarin de functie het teken verandert, wat het bestaan van een wortel of oplossing aanduidt. De rekenmachine gebruikt dan een numerieke methode om de oplossing te convergeren. De rekenmachine zoekt een oplossing die bepaald wordt door de initiële waarde aanwezig in het invoerveld van het onbekende element. AIs er geen waarde aanwezig is, gebruikt de rekenmachine een standaardwaarde van nul.
bouwen. De vergelijking die in het Eq-veld ingevoerd dient te worden, moet er als volgt uitzien zoals ondergaand (u ziet dat slechts een subindex gebruikt wordt voor de referentie van de variabelen, d.w.z. exx is vertaald als ex, enz. – Dit wordt gedaan om tijd voor het invoeren te sparen): Gebruik de volgende snelkoppelingen voor speciale tekens: σ: ~‚s α: ~‚a Δ: ~‚c en vergeet niet dat de kleine letters worden ingevoerd met ~„ voor de lettertoets, dus x wordt ingevoerd als ~„x.
U kunt de oplossing bekijken in het invoerscherm SOLVE EQUATION door op @EDIT te drukken, terwijl het ex:-veld gemarkeerd is. Het resultaat is 2.470833333333E-3. Druk op @@@OK@@ om de functie EDIT te verlaten. We gaan ervan uit dat u nu de Young’s modulus wilt bepalen die een kracht van exx = 0.005 zal produceren onder dezelfde toestand van uitrekking, ongeacht de thermische uitzetting. In dit geval dient u een waarde van 0.
z 2 n c We kunnen de vergelijking voor E invoeren zoals hierboven getoond en extra variabelen voor A en V gebruiken, zodat het invoerscherm de velden laat zien voor de basisvariabelen y, Q, g, m en b, zoals: • U moet eerst een subdirectory, genaamd SPEN (Specific Energy), aanmaken en in deze subdirectory werken. • Vervolgens moet u de volgende variabelen bepalen: • Activeer de numerieke probleemoplosser voor het oplossen van vergelijkingen: ‚Ï@@OK@@.
• Het resultaat is 0.149836.., d.w.z. y = 0.149836. Het is echter bekend dat er twee oplossingen beschikbaar zijn voor y in de specifieke energie vergelijking. De zojuist gevonden oplossing komt overeen met een numerieke oplossing met een initiële waarde van 0 (de standaardwaarde voor y, d.w.z. iedere keer dat het oplossingsveld leeg is, is de initiële waarde nul). Om de andere oplossing te vinden, moet er een grotere waarde voor y ingevoerd worden, bijv.
Speciale functie voor pijpstroming: DARCY (ε/D,Re) De Darcy-Weisbach-vergelijking wordt gebruikt voor het berekenen van het energieverlies (per gewichtseenheid), hf, in een pijpstroming door een pijp met diameter D, absolute ruwheid ε en lengte L, terwijl de stromingssnelheid in de pijp V is. De vergelijking wordt geschreven als hf = f ⋅ L V2 .
keer de Darcy-Weisbach-wrijvingsfactor, f. De rekenmachine heeft ook een functie genaamd FANNING die dezelfde invoer als die voor DARCY gebruikt, d.w.z. ε/D en Re, en deze functie geeft de FANNING-wrijvingsfactor. Controleer of FANNING(0.0001,1000000) = 0.0033603589181s. Voorbeeld 3 – Stroming in een pijp Waarschijnlijk wilt u een aparte subdirectory (PIPES) aanmaken om dit voorbeeld te proberen. De hoofdvergelijking die de stroming in een pijp uitrekent is, natuurlijk de Darcy-Weisbach-vergelijking.
voorbeeld werd de beeldscherminstelling veranderd zodat de volledige vergelijking in het beeldscherm te zien is: Op deze wijze ziet de op te lossen vergelijking het combineren van de verschillende variabelen in de directory als volgt: QD ⎞ ⎛ ⎜ 8Q L ε πD 2 / 4 ⎟⎟ ⎜ h f = 2 5 ⋅ DARCY , ⎜D Nu ⎟ π gD ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 De gecombineerde vergelijking bevat de primitieve variabelen: hf, Q, L, g, D, ε en Nu.
Indien de vergelijking dimensioneel constant is, kunt u eenheden aan de invoerwaarden toevoegen, zoals in de afbeelding hieronder. U moet echter deze eenheden toevoegen aan het aanvankelijke vermoeden in de oplossing. Dus, in het volgende voorbeeld werd 0_m in het D:-veld geplaatst voordat het probleem werd opgelost. De oplossing wordt in het rechterbeeldscherm getoond: Druk op ` om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. De oplossing voor D zal in het stapelgeheugen verschijnen.
Deze vergelijking wordt dan opgeslagen in EQ: Het activeren van de numerieke probleemoplosser voor deze vergelijking resulteert in een invoerscherm met de invoervelden voor F, G, m1, m2 en r. Laten we dit probleem oplossen door eenheden te gebruiken met de volgende waarden voor de bekende variabelen m1 = 1.0×106 kg, m2 = 1.0×1012 kg, r = 1.0×1011 m.
Opmerking: controleer, wanneer u eenheden in de numerieke probleemoplosser gebruikt, of alle variabelen de juiste eenheden hebben, of de eenheden compatibel zijn en of de vergelijking dimensioneel homogeen is. Verschillende manieren om vergelijkingen in EQ in te voeren In alle bovenstaande voorbeelden heeft u de op te lossen vergelijking rechtstreeks in de variabele EQ ingevoerd alvorens de numerieke probleemoplosser te activeren.
Als alternatief kunt u de vergelijkingsschrijver activeren nadat u op @EDIT heeft gedrukt om de vergelijking in te voeren. Druk op ` om naar het beeldscherm van de numerieke oplosser terug te keren. Een andere manier om een vergelijking in de EQ variabele in te voeren, is door een variabele te selecteren die al in uw directory staat en deze in EQ in te voeren. Dit betekent dat uw vergelijking opgeslagen zou moeten zijn in een variabelennaam voordat de numerieke probleemoplosser geactiveerd wordt.
Het softmenu SOLVE Het softmenu SOLVE staat toegang toe tot enkele functies van de numerieke probleemoplosser via de softmenutoetsen. Gebruik om dit menu te activeren in de RPN-modus: 74 MENU of in de ALG-modus: MENU(74). Daarnaast kunt u ‚(vasthouden) 7 gebruiken om het softmenu SOLVE te activeren.
Het submenu SOLVR Het submenu SOLVR activeert de softmenu probleemoplosser voor de vergelijking die momenteel is opgeslagen in EQ. Hierna worden enkele voorbeelden getoond: Voorbeeld 1 – Het oplossen van de vergelijking t2-5t = -4 Indien u bijvoorbeeld de vergelijking ‘t^2-5*t=-4’ opslaat in EQ en op @)SOLVR, drukt, zal het het volgende menu verschijnen: Dit resultaat geeft aan dat u een waarde van t kunt oplossen voor de vergelijking boven in het beeldscherm.
In deze SOLVR-omgeving kunt u waarden opgeven voor elke variabele die op de variabelenlijst staat door de waarde in het stapelgeheugen in te voeren en op de desbetreffende softmenutoetsen te drukken. U voert bijvoorbeeld de waarden Q = 14, a = 2 en b = 3 in. U zou dan gebruik maken van: 14 [ Q ], 2 [ a ], 3 [ b ]. Aangezien de variabelen Q, a en b, numerieke waarden toegekend krijgen, staan deze toekenningen in de linkerbovenhoek in het beeldscherm. Nu kunnen we t oplossen met „[ t ]. Het resultaat is t: 2.
Stel dat we de waarden k = 2, s = 12 invoeren. Los daarna Y op en druk op @EXPR=. Nu zijn de resultaten, Y: Vervolgens beweegt u van de eerste naar de tweede vergelijking , terwijl u de eerste vergelijking voor X oplost en de tweede voor Y, totdat de waarden van X en Y convergeren in een oplossing. Gebruik @NEXQ om tussen vergelijkingen te bewegen. Gebruik respectievelijk „[ X ] en „[ Y ] om X en Y op te lossen.
• invoert, betekent dit dat meters (m) zullen worden gebruikt voor die variabele. De uitdrukking die wordt gebruikt in de oplossing, moet consistente eenheden bevatten, aangezien u anders een fout zult bekomen wanneer u een waarde probeert op te lossen. Het submenu DIFFE Het submenu DIFFE bevat een aantal functies voor de numerieke oplossing van differentiële vergelijkingen. De volgende functies staan in het submenu DIFFE: Deze functies worden in Hoofdstuk 16 uitvoerig behandeld.
De functie PEVAL Deze functie evalueert een polynoom met een gegeven vector van de coëfficiënten, [an, an-1, … , a2, a1 , a0], en een waarde x0, d.w.z. PEVAL berekent anx0n + an-1x0n-1 + … + a2x02 + a1x0 + a0. Voor bijvoorbeeld de coëfficiënten [2, 3, -1, 2] en een waarde van 2, retourneert PEVAL de waarde 28. Het submenu SYS Het submenu SYS bevat een lijst van functies die gebruikt worden om lineaire systemen op te lossen.
Druk op J om de SOLVR-omgeving te verlaten. Keer terug naar het submenu TVM in het submenu SOLV en probeer de overige functies. De functie TVMROOT: Als argument vereist deze functie de naam van een van de variabelen in het TVM probleem. De functie retourneert de oplossing voor die variabele, mits de andere variabelen bestaan en dat hun waarden eerder zijn opgeslagen. Na het oplossen van een voorgaand TVM probleem, kunt u nu, bijv. ‘N’ als volgt oplossen: [ ‘ ] ~n` @TVMRO.
Blz.
Hoofdstuk 7 Oplossingen van meervoudige vergelijkingen Vele problemen uit de wetenschap en de techniek vereisen gelijktijdige oplossingen van meer dan een vergelijking. Deze rekenmachine bevat verschillende procedures om meervoudige vergelijkingen op te lossen, zoals hieronder wordt getoond. U ziet dat dit hoofdstuk geen paragraaf bevat over de oplossing van stelsels van lineaire vergelijkingen.
Nu hoeven we slechts twee keer op K te drukken om deze variabelen op te slaan. Wijzig voor het oplossen eerst de CAS-modus naar Exact, daarna geeft u de lijst van de inhoud van respectievelijk A2 en A1 : @@@A2@@@ @@@A1@@@ . Gebruik commando SOLVE nu (uit het menu S.
σ θθ = a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po ) , + b2 − a 2 r 2 ⋅ (b 2 − a 2 ) σ rr = a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po ) . − b2 − a 2 r 2 ⋅ (b 2 −a 2 ) U ziet dat de rechterzijden van beide vergelijkingen alleen verschillen in het teken tussen de twee termen. Daarom wordt aangeraden om bij het in deze rekenmachine schrijven van vergelijkingen de eerste term in te voeren en op te slaan in een variabele T1, daarna de tweede term in te voeren en op te slaan in T2.
Stel nu dat we een oplossing willen voor Pi en Po, waarbij a, b, r, σrr en σθθ zijn gegeven. We voeren een vector in met de onbekende elementen: Om een oplossing te vinden voor Pi en Po, gebruiken we het commando SOLVE uit het menu S.SLV („Î). De rekenmachine heeft misschien een minuut nodig om het resultaat te produceren: {[‘Pi=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*a^2)/(2*a^2))’ ‘Po=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*b^2)/(2*b^2))’ ] }, dus U ziet dat het resultaat een vector bevat [ ] in een lijst { }.
Voorbeeld 3 - Stelsel van polynoomvergelijkingen Het volgende scherm toont de oplossing van het stelsel X2+XY=10, X2-Y2=-5 met de functie SOLVE: Oplossingen van simultane vergelijkingen met MSLV De functie MSLV is als laatste optie beschikbaar in het ‚Ï menu: De helptekst van de functie MSLV wordt hieronder getoond: Voorbeeld 1 – Voorbeeld uit de helptekst Zoals bij alle functie-invoeren in de helptekst, is er een voorbeeld toegevoegd aan de bovenstaande MSLV-invoer.
In de RPN-modus wordt de oplossing van dit voorbeeld verkregen door: Door het activeren van de functie MSLV verschijnt het volgende scherm. Misschien heeft u gemerkt dat, tijdens het produceren van de oplossing, het scherm tussentijds informatie toont in de linkerbovenhoek. Gezien de oplossing van MSLV numeriek is, toont de informatie in de linkerbovenhoek de resultaten van het iteratieve proces dat is gebruikt om een oplossing te verkrijgen. De uiteindelijke oplossing is X = 1.8238, Y = -0.9681.
is de coëfficiënt van Manning, een meting van de ruwheid van het kanaaloppervlak (bijv. voor beton, n = 0.012), P is de natte omtrek van de dwarsdoorsnede (m of ft), So is de helling van de kanaalbedding uitgedrukt als een decimale breuk. Voor een trapezoïdaal kanaal, zoals hieronder getoond, wordt het gebied verkregen door A = (b + my ) y , de natte omtrek door P = b + 2 y 1 + m 2 , waarbij b de bodembreedte (m of ft) is en m het zijhelling (1V:mH) van de dwarsdoorsnede.
vergelijkingen zijn als volgt opgeslagen in het stapelgeheugen (de optie kleine lettertype is geselecteerd): We kunnen hier zien dat deze vergelijkingen inderdaad zijn gegeven uitgaande van de primitieve variabelen b, m, y, g, So, n, Cu, Q en Ho. Om y en Q op te lossen, moeten de andere variabelen voorzien worden van waarden. Stel dat we H0 = 5 ft, b = 1.5 ft, m = 1, n = 0.012, S0 = 0.00001, g = 32.2 en Cu = 1.486. gebruiken.
Als beginwaarden voor de variabelen y en Q gebruiken we y = 5 (gelijk aan de waarde van Ho, wat de maximale waarde is die y kan aannemen) en Q = 10 (dit is een schatting). Om de oplossing te verkrijgen, selecteren we de functie MSLV uit het menu NUM.SLV met ‚Ï6@@@OK@@@ om het commando op het scherm te krijgen: Daarna voeren we de variabele EQS in: LL@@EQS@ , gevolgd door vector [y,Q]: ‚í„Ô~„y‚í~q™ en door de beginschattingen ‚í„Ô5‚í 10.
De vector bovenaan stelt de huidige waarde voor van [y,Q] naargelang de oplossing voortzet en de waarde .358822986286 vertegenwoordigt de criteria voor de convergentie van de numerieke methode die werd gebruikt bij de oplossing. Als het systeem goed is opgesteld, zal deze waarde verminderen tot een waarde in de buurt van nul. Op dat punt zou een numerieke oplossing zijn gevonden. Nadat MSLV een oplossing vindt, ziet het scherm er als volgt uit: Het resultaat is een lijst met drie vectoren.
oplossen van meervoudige vergelijkingen, behandelen we in de volgende paragraaf een toepassing met betrekking tot trigonometrie. De hier getoonde voorbeelden worden toegepast in de RPN-modus. Toepassing 1 - Oplossing van driehoeken In deze paragraaf gebruiken we een belangrijke toepassing van trigonometrische functies: het berekenen van de afmetingen van een driehoek. De oplossing wordt toegepast in de rekenmachine met behulp van de Meervoudige Vergelijkingsoplosser, of MES.
Oplossing van driehoek met de Meervoudige Vergelijkingsoplosser (MES) De Meervoudige Vergelijkingsoplosser (MES) is een functie die u kunt gebruiken om twee of meer gekoppelde vergelijkingen op te lossen. Er moet echter wel op gewezen worden dat de MES de vergelijkingen niet simultaan oplost. De MES neemt de bekende variabelen en zoekt in een lijst met vergelijkingen tot hij er één vindt die een oplossing kan zijn voor één van de onbekende variabelen.
De variabele EQ bevat de lijst met vergelijkingen die zullen gescand door de MES wanneer die probeert om de onbekende elementen op te lossen. Een venstertitel invoeren Daarna maken we als volgt een ketenvariabele aan met de naam TITLEvoor de reeks (Driehoek oplossing): ‚Õ Plaatst dubbele aanhalingstekens in het stapelgeheugen ~~„~ Vergrendelt het toetsenbord in kleine letters alfa.
Daarna moet de inhoud van TITLE en LVARI, in het stapelgeheugen opgeslagen worden met: !@TITLE @LVARI! We gebruiken de volgende MES-functies: • MINIT: MES INITialization: begint met de variabelen in de vergelijkingen opgeslagen in EQ. • MITM: MES’ Menu Item: neemt een titel uit het stapelgeheugen niveau 2 en uit de lijst met variabelen uit het stapelgeheugenniveau 1, plaatst de titel boven het venster MES en de lijst met variabelen als programmeerbare menutoetsen in de rangorde zoals aangegeven in de lijst.
„[ α ] De rekenmachine rapporteert Solving for α, en toont het resultaat α: 72.5423968763. Opmerking: probeer het volgende als u een waarde groter dan 180 krijgt: 10[ α „[ α ] ] Begint opnieuw met a met een kleinere waarde. De rekenmachine rapporteert Solving for α Daarna berekenen we de andere twee waarden: „[ β ] Het resultaat is β: 34.9152062474. „[ γ Het resultaat is γ: 72.5423968763. ] U moet de waarden van de drie hoeken in het stapelgeheugen zetten op niveaus 3 tot en met 1.
Druk, wanneer u klaar bent, op $ om terug te keren naar de MES-omgeving. Druk op J om de MES-omgeving te verlaten en terug te keren naar het gewone beeldscherm van de rekenmachine. Organisatie van de variabelen in de subdirectory Het variabelenmenu bevat nu de variabelen (druk op L om de tweede set variabelen te zien): De variabelen corresponderen met alle variabelen in de vergelijkingen die in EQ werden aangemaakt.
5. Druk op L om het eerste variabelenmenu te herstellen. Programmeren van de MES-driehoekoplossing met de Gebruiker-RPL Om de activering van de MES te vergemakkelijken voor toekomstige oplossingen, creëren we een programma dat de MES oplaadt met één enkele toetsaanslag.
LL Gaat naar het volgende variabelenmenu. Voorbeeld 2 - Willekeurig type driehoek Gebruik a = 3, b = 4, c = 6. De oplossingsprocedure hierbij bestaat uit het onmiddellijk oplossen van alle variabelen en daarna het oproepen van de oplossingen in het stapelgeheugen: J @TRISO Wist gegevens en activeert MES opnieuw 3[ a ] 4 [ b ] 6[ c ] Voert gegevens in L Gaat naar het volgende variabelenmenu. „ @ALL! Lost alle onbekende elementen op.
nieuwe oplossing, indien nodig. Druk op J om terug te keren naar het gewone beeldscherm van de rekenmachine. De volgende tabel met oplossingen voor de driehoek toont de gegevensinvoer vetgedrukt en de oplossing cursief. Probeer het programma uit te voeren met deze invoer om de oplossingen te verifiëren. Vergeet niet op J @TRISO te drukken aan het einde van iedere oplossing om de variabelen te wissen en de MES-oplosser opnieuw te starten.
polaire coördinaten. Binnen deze subdirectory voert u de volgende variabelen in: ______________________________________________________________ Programma of waarde Opslaan in variabele: << PEQ STEQ MINIT NAME LIST MITM MSOLVR >> SOLVEP "vel. & acc. polaire coord.
Stel dat u over de volgende informatie beschikt: r = 2.5, rD = 0.5, rDD = -1.5, θD = 2.3, θDD = -6.5 en er wordt gezocht naar vr, vθ, ar, aθ, v en a. Start de meervoudige vergelijkingsoplosser door op J@SOLVE te drukken. De rekenmachine opent het scherm "vel. & acc. polar coord.", dat er als volgt uitziet: Om de waarden van de bekende variabelen in te voeren, schrijft u gewoon de waarde en drukt op de knop die bij de variabele hoort die u moet invoeren. Gebruik de volgende toetsencombinaties: 2.5 [ r ] 0.
Met een druk op de programmeerbare menutoets @EQNS krijgt u de vergelijkingen die gebruikt zijn voor de oplossing van iedere waarde in het scherm: Druk op @EXIT @@ALL@ LL of J @SOLVE om een nieuwe set waarden te gebruiken. Laten we een ander voorbeeld uitproberen met r = 2.5, vr = rD = -0.5, rDD = 1.5, v = 3.0, a = 25.0. Zoek, θD, θDD, vθ, ar en aθ. U krijgt de volgende resultaten: Blz.
Hoofdstuk 8 Bewerkingen met lijsten Lijsten zijn een soort objecten van de rekenmachine die handig zijn voor gegevensverwerking en voor programmering. Dit hoofdstuk geeft voorbeelden van bewerkingen met lijsten. Definities Een lijst, in de context van de rekenmachine, is een reeks objecten tussen haakjes en gescheiden door spaties (#) in de RPN-modus, of komma’s (‚í), in beide modi. Objecten die in een lijst kunnen staan, zijn getallen, letters, letterreeksen, namen van variabelen, en/of operators.
Het invoeren van dezelfde lijst in de RPN-modus vereist de volgende toetsencombinaties: „ä 1 # 2 # 3 # 4 ` ~l1`K De afbeelding hieronder toont het RPN-stapelgeheugen voordat op de K toets gedrukt werd: Het samenstellen en ontleden van lijsten Het samenstellen en ontleden van lijsten heeft alleen maar zin in de RPNmodus. In deze modus wordt het ontleden van een lijst tot stand gebracht met de functieOBJ .
Opmerking: de functie OBJ toegepast op een lijst in de ALG-modus, reproduceert eenvoudigweg de lijst en voegt deze toe aan de lijstopmaak: Bewerkingen met lijsten van getallen Om bewerkingen met getallenlijsten toe te lichten, maken we enkele andere lijsten aan, buiten de lijst L1 die hierboven aangemaakt werd: L2={-3,2,1,5}, L3={-6,5,3,1,0,3,-4}, L4={3,-2,1,5,3,2,1}.
De aftrekking van een enkelvoudig getal van een lijst, zal hetzelfde getal van elk element op de lijst worden afgetrokken, bijvoorbeeld: De optelling van een enkelvoudig getal bij een lijst geeft een lijst die vermeerderd is met het getal, en geen optelling van het enkelvoudige getal bij elk element dat op de lijst staat. Voorbeeld: De aftrekking, de vermenigvuldiging en de deling van getallenlijsten van dezelfde lengte produceren een lijst van dezelfde lengte door term-voor-term bewerkingen.
Indien de lijsten die betrokken zijn bij de bewerking verschillende lengtes hebben, verschijnt er een foutmelding (Error: Invalid Dimension). Het plusteken (+), wanneer toegepast op lijsten, werkt als een aaneenschakelingsoperator, die de twee lijsten samenvoegt in plaats van ze term-voor-term op te tellen. Voorbeeld: Om term-voor-term optelling van twee lijsten van dezelfde lengte te produceren, is het gebruik van de operator ADD vereist. Deze operator kunt u laden met de functiecatalogus (‚N).
SIN, ASIN COS, ACOS TAN, ATAN INVERSE (1/x) Reële getallen functie vanaf het menu MTH De belangrijke functies vanuit het menu MTH bevatten in het menu HYPERBOLIC: SINH, ASINH, COSH, ACOSH, TANH, ATANH en in het menu REAL: %, %CH, %T, MIN, MAX, MOD, SIGN, MANT, XPON, IP, FP, RND, TRNC, FLOOR, CEIL, D R, R D.
D R, R D Voorbeelden van de functies die twee argumenten gebruiken De volgende beeldschermen tonen toepassingen van de functie % om argumenten op te nemen. De functie % vereist twee argumenten. De eerste twee voorbeelden laten gevallen zien waarin slechts een van de twee argumenten een lijst is. De resultaten zijn lijsten waarbij de functie % verdeeld is volgens het argument van de lijst.
Complexe getallenlijsten De volgende oefening toont hoe u een lijst van complexe getallen kunt aanmaken met twee lijsten van dezelfde lengte, waarvan de ene de reële gedeelten en de andere de imaginaire gedeelten van de complexe getallen vertegenwoordigen. Gebruik L1 ADD i*L2 Functies zoals LN, EXP, SQ, enz.
Lijsten van algebraïsche objecten Hier volgen voorbeelden van lijsten van algebraïsche objecten waarop de functie SIN is toegepast: Het menu MTH/LIST Het menu MTH voorziet in een aantal functies die uitsluitend lijsten betreffen.
U kunt SORT en REVLIST combineren om een lijst in afnemende volgorde te rangschikken: Indien u in RPN modus werkt, voert u de lijst in het stapelgeheugen in en selecteert vervolgens de bewerking die u wenst uit te voeren. Om de toenames te bepalen tussen opeenvolgende elementen in een lijst L3, druk: l3`!´˜˜ #OK# #OK# Dit plaatst L3 bovenaan het stapelgeheugen en selecteert vervolgens de ΔLIST bewerking uit het MTH menu.
Lijstopmaak U kunt de functie SIZE, van het submenu PRG/LIST/ELEMENTS gebruiken om de opmaak (ook bekend als de lengte) van de lijst te verkrijgen, bijvoorbeeld: Het verwijderen en invoegen van elementen in een lijst Voor het uittrekken van een lijst gebruikt u de functie GET, beschikbaar in het submenu PRG/LIST/ELEMENTS. De argumenten van de functie GET zijn de lijst en het getal van het element dat u wenst uit te trekken.
De functies HEAD en TAIL De functie HEAD extraheert het eerste element van de lijst. De functie TAIL verwijdert het eerste element van een lijst en retourneert de rest van de lijst. Vervolgens worden enkele voorbeelden getoond: De functie SEQ Item 2. PROCEDURES.. in het menu PRG/LIST bevat de volgende functies die u kunt gebruiken voor de bewerking in lijsten: De functies REVLIST en SORT werden eerder behandeld als onderdeel van het menu MTH/LIST.
In het volgende voorbeeld die in de ALG-modus staat, identificeren we uitdrukking = n2, index = n, begin = 1, einde = 4, en toename = 1: De gevormde lijst komt overeen met de waarden {12, 22, 32, 42}. In de RPNmodus, kunt u op volgende wijze de verschillende argumenten van de functie op een lijst weergeven: alvorens de functie SEQ toe te passen.
In beide gevallen kan u het MAP commando uittypen (zoals in de hierboven beschreven voorbeelden) of deze selecteren uit het CAT menu. De volgende oproep voor de functie MAP gebruikt als tweede argument een programma in plaats van een functie: Het definiëren van functies die lijsten gebruiken In hoofdstuk 3 introduceerden we de functie DEFINE ( „à) om reële getallenfuncties met één of meer argumenten aan te maken.
Dit probleem kan worden opgelost door de inhoud van variabele @@@G@@@ te bewerken. We kunnen deze variabele in het stapelgeheugen weergeven met …@@@G@@@ . om het plusteken (+) te vervangen door ADD: Vervolgens slaat u de bewerkte uitdrukking op in variabele @@@G@@@: Het evalueren van G(L1,L2) geeft nu het volgende resultaat: Als alternatief, kunt u de functie definiëren met ADD in plaats van met het plusteken (+), d.w.z.
Toepassingen van lijsten Deze paragraaf toont enkele toepassingen van lijsten voor de berekeningen van statistieken van een monster. Onder monster verstaan we een lijst van waarden van bijv. {s1, s2, …, sn}. Stel dat het monster de volgende lijst is {1, 5, 3, 1, 2, 1, 3, 4, 2, 1} die u opslaat in een variabele genaamd S (Het onderstaande beeldscherm toont deze handeling in de ALG-modus, alhoewel de bewerking in de RPNmodus er zeer sterk op lijkt.
3/ Pas functie ΣLIST() toe op de resulterende lijst 1. 3. Deel het bovenstaande resultaat door n = 10: 4. Pas functie INV () toe op het laatste resultaat: De harmonische betekenis van lijst S is dus sh = 1.6348… De geometrische betekenis van een lijst De geometrische betekenis van een monster wordt gedefinieerd als xg = n n ∏x k =1 k = n x1 ⋅ x 2 L x n Voor de geometrische betekenis van de lijst opgeslagen in S kunt de volgende procedure gebruiken: 2/ Pas de functie ΠLIST() toe op lijst S: Blz.
3/ Pas functie XROOT(x,y), d.w.z. toetsencombinatie ‚», toe op het resultaat in 1: De geometrische betekenis van lijst S is dus sg = 1.003203… Het gewogen gemiddelde Stel dat de gegevens in lijst S, hierboven gedefinieerd, nl.: S = {1,5,3,1,2,1,3,4,2,1} beïnvloed zijn door de gewichten, W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Indien u de gewichtenlijst definieert als W = {w1,w2,…,wn}, ziet u dat u het k de element is in lijst W, hierboven, kunt definiëren door wk = k.
1. Vermenigvuldig de lijsten S en W: 3/ Gebruik de functie ΣLIST in dit resultaat voor de berekening van de teller sw: 4/ Gebruik de functie ΣLIST opnieuw voor de berekening van de noemer sw: 4. Gebruik de uitdrukking ANS(2)/ANS(1) voor de berekening van het gewogen gemiddelde: Het gewogen gemiddelde van de lijst S met de gewichten in lijst W is dus sw= 2.2. Opmerking: ANS(1) verwijst naar het meest recente resultaat (55), terwijl ANS (2) naar het voorlaatste resultaat (121) verwijst. Blz.
Stastistieken van gegroepeerde gegevens De gegroepeerde gegevens worden gewoonlijk uitgedrukt in een tabel met de frequentie (w) van gegevens in gegevenklassen of bins toont. Elke klasse of bin wordt weergegeven door een soortteken (s), gewoonlijk het middelpunt van de klasse.
U slaat deze waarde op in een variabele genaamd XBAR: De variantie van deze gegroepeerde gegevens worden gedefinieerd als n V = ∑ wk ⋅ ( s k − s ) 2 k =1 n ∑w k =1 k n = ∑w k =1 k ⋅ (sk − s ) 2 N Voor de berekening van dit laatste resultaat, kunt u het volgende gebruiken: De standaardafwijking van de gegroepeerde gegevens is de vierkantswortel van de variantie: Blz.
Hoofdstuk 9 Vectoren Dit hoofdstuk laat voorbeelden zien van het invoeren en bewerken van vectoren, zowel wiskundige vectoren die uit vele elementen bestaan, als fysieke vectoren met 2 en 3 componenten. Definities Wiskundig gezien is een vector een reeks van 2 of meer elementen, geplaatst in een rij of een kolom. Deze worden rij- en kolomvectoren genoemd.
k)⋅A. Optelling en aftrekking van vectoren kan worden gedefinieerd als A±B = [Ax ± Bx, Ay ± By, Az ± By], waarbij B de vector B = [Bx, By, Bz] is. Er zijn twee definities van producten van fysieke vectoren, een scalair of intern product (het scalaire product) en een vector of extern product (het vectoriële product). Het scalaire product geeft een scalair-waarde, gedefinieerd als A•B = |A||B|cos(θ), waarbij θ de hoek is tussen de twee vectoren.
In de RPN-modus kunt u een vector invoeren in het stapelgeheugen door twee haakjes te openen en de vectorcomponenten of -elementen in te voeren, gescheiden door komma’s (‚í) of spaties (#). U ziet dat nadat u op ` heeft gedrukt de rekenmachine de vectorelementen gescheiden door spaties weergeeft in beide modi. Vectoren opslaan in variabelen Vectoren kunnen worden opgeslagen in variabelen.
De toets @EDIT wordt gebruikt om de inhoud van een geselecteerde cel in de Matrixschrijver weer te geven. De toets @VEC@@ geeft, wanneer geselecteerd, een vector, die het tegenovergestelde is met een matrix van één rij en vele kolommen. Vectoren vs. matrices Om de @VEC@ toets beter te begrijpen, raden we de volgende oefeningen aan: (1) Activeer de Matrixschrijver („²). Indien u @VEC en @GO→ selecteert, voer dan 3`5`2`` in. Dit geeft [3. 5. 2.].
Naar rechts bewegen vs. naar beneden bewegen in de Matrix-schrijver Activeer de Matrixschrijver en voer 3`5`2`` in waarbij de toets @GO→ is geselecteerd (standaard). Voer vervolgens dezelfde getallen in waarbij de toets @GO↓ is geselecteerd om het verschil te zien. In het eerste geval heeft u een vector ingevoerd met drie elementen. In het tweede geval heeft u een matrix ingevoerd met drie rijen en één kolom.
2`1`5` 4`5`6` 7`8`9` (3) Breng de cursor twee posities omhoog met de pijltoets omhoog —— —. Druk vervolgens op -ROW. De tweede rij verdwijnt. (4) Druk op +ROW. Een rij met drie nullen verschijnt in de tweede rij. (5) Druk op -COL. De eerste kolom verdwijnt. (6) Druk op +COL@. Een rij met twee nullen verschijnt in de eerste rij. (7) Druk op @GOTO@ 3@@OK@@ 3@@OK@@ @@OK@@ om naar positie (3,3) te bewegen. (8) Druk op @→STK@@.
(2) Voer n in als laatste element. )4* Gebruik de functie ARRY. Het volgende beeldscherm geeft het RPN-stapelgeheugen weer vóór en na het toepassen van de functie ARRY. In de RPN-modus, neemt de functie [→ARRY] de objecten van het stapelgeheugenniveaus n+1, n, n-1, …, tot en met niveau 3 en 2 en verandert deze in een vector van n elementen.
Er kunnen ook meer ingewikkelde uitdrukkingen met elementen van A geschreven worden. Bijvoorbeeld met behulp van de vergelijkingenschrijver (‚O) kunnen we de volgende som van elementen van A weergeven: Door de volledige uitdrukking te markeren en door de softmenutoets @EVAL@ te gebruiken, krijgen we het volgende resultaat: -15.
In de RPN-modus kunt u de waarde van een element van A wijzigen door een nieuwe waarde op te slaan in dat element. Gebruik bijvoorbeel om de inhoud van A(3) te wijzigen in 4.5 in plaats van de huidige waarde van –3., 4.5`³~a„Ü3 `K Druk ‚@@@@A@@ om te controleren of de wijziging is doorgevoerd, . Het volgende resultaat wordt nu getoond: [-1 -2 4.5 -4 -5 ]. Opmerking: het op deze manier wijzigen van een waarde van een reekselement is niet mogelijk in de ALG-modus, indien u probeert om 4.5 op te slaan in A(3).
Bij het optellen en aftrekken van vectoren van een verschillende lengte, krijgt u een foutmelding (Invalid Dimension), bijv., v2+v3, u2+u3, A+v3,... Vermenigvuldiging met een scalair, deling door een scalair Vermenigvuldiging met een scalair of deling door een scalair is eenvoudig: Absolute waardefunctie De absolute waardefunctie (ABS), wanneer toegepast op een vector, geeft de grootte weer van de vector.
Het menu VECTOR bevat de volgende functies (systeemvlag 117 is ingesteld op CHOOSE boxes): Grootte De grootte van een vector, zoals we al eerder besproken hebben, kan worden nagegaan met behulp van de functie ABS. Deze functie kan ook rechtstreeks geactiveerd worden vanaf het toetsenbord („Ê). Voorbeelden van toepassingen van de functie ABS vindt u hierboven: Scalair product De functie DOT wordt gebruikt om het scalaire product te berekenen van twee vectoren van dezelfde lengte.
het berekenen van een vectorieel product, wordt een 2-D vector in de vorm [Ax, Ay], geïnterpreteerd als de 3-D vector [Ax, Ay,0]. Voorbeelden van twee 2-D en twee 3-D vectoren in de ALG-modus worden hieronder gegeven. U ziet dat het vectoriële product van twee 2-D vectoren een vector oplevert die alleen in de zrichting wijst, d.w.z.
Een twee-dimensionele vector opbouwen Functie V2 wordt gebruikt in de RPN-modus om een vector op te bouwen met waarden uit geheugenniveaus 1: en 2:. De volgende beeldschermen geven het stapelgeheugen weer vóór en na het toepassen van functie V2. Een driedimensionele vector opbouwen Functie V3 wordt gebruikt in de RPN-modus om een vector op te bouwen met de waarden in het stapelgeheugen op niveaus 1:, 2:, en 3:.
Wanneer het rechthoekige, of Cartesische coördinatenstelsel wordt geselecteerd, wordt in de bovenste regel van het scherm een XYZ-veld weergegeven, en elke 2-D of 3-D vector die in de rekenmachine wordt ingevoerd, wordt weergegeven als de (x,y,z) componenten van de vector.
De onderstaande afbeelding geeft de omzetting weer van de vector van sferische naar Cartesischee coördinaten, waarbij x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin (φ) cos (θ), z = ρ cos(φ). In dit geval x = 3.204, y = 1.494, en z = 3.536. Indien het CYLINdrisch systeem geselecteerd wordt, verschijnt er in de bovenste regel in het beeldscherm een R∠Z-veld en wordt er een vector ingevoerd met cilindrische coördinaten weergegeven in zijn cilindrische (of polaire) coördinatenvorm (r,θ,z).
Indien we een vector in sferische coördinaten invoeren wanneer het cilindrisch coördinatensysteem geselecteerd is, wordt de vector automatisch omgezet naar zijn cilindrische (polair) equivalent (r,θ,z) waarbij r = ρ sin φ, θ = θ, z = ρ cos φ. De volgende afbeelding geeft bijvoorbeeld een vector weer die werd ingevoerd in sferische coördinaten en die omgezet werd naar polaire coördinaten. In dit gevalis ρ = 5, θ = 25o en φ = 45o, terwijl de omzetting aangeeft dat r = 3.563 en z = 3.536.
De resultante is dus R = F1+ F2 + F3 = (3i+8j-6k)N. In de RPN-modus wordt dit als volgt uitgevoerd: [3,5,2] ` [-2,3,-5] ` [2,0,3] ` + + De hoek tussen vectoren De hoek tussen twee vectoren A, B, kan worden berekend als θ =cos-1(A•B/ |A||B|). Indien u bijvoorbeeld de hoek wil berekenen tussen vectoren A = 3i-5j+6k, B = 2i+j-3k, kunt u de volgende bewerking proberen (de hoekmeting wordt ingesteld op graden) in de ALG-modus: 1 - Voer vectoren [3,-5,6] in, druk op `, [2,1,-3], druk vervolgens weer op `.
Het moment van een kracht Het moment dat uitgeoefend wordt door kracht F op een punt O wordt gedefinieerd als het vectorïele product M = r×F, waar r, ook bekend als de arm van de kracht, de positievector is die vertrekt vanuit O en in de richting wijst van het toepassingspunt van de kracht. Stel dat een kracht F = (2i+5j-6k) N een arm r = (3i-5j+4k)m heeft. Om het moment te bepalen waarop de kracht uitgevoerd werd door die arm, gebruiken we de functie CROSS, zoals hieronder getoond: M = (10i+26j+25k) m⋅N.
eindigt bij punt P(x,y,z), een algemeen punt op het vlak. Deze vector r = P0P = (x-x0)i+ (y-y0)j + (z-z0)k kruist dus de normaalvector N, aangezien r volledig binnen het vlak valt. We hebben gezien dat voor twee normaalvectoren N en r, N•r =0. We kunnen dit resultaat dus gebruiken om de vergelijking te bepalen van het vlak. Om deze bewerking nader toe te lichten, neemt u het punt P0(2,3,-1) en de normaalvector N = 4i+6j+2k.
De vergelijking van het vlak door punt P0(2,3,-1) en met een normaalvector N = 4i+6j+2k, is de volgende: 4x + 6y + 2z – 24 = 0. In de RPN-modus maakt u gebruik van: [2,3,-1] ` ['x','y','z'] ` - [4,6,2] DOT EXP ND Rijvectoren, kolomvectoren en lijsten De vectoren die in dit hoofdstuk worden behandeld, zijn allemaal rijvectoren. Soms is het nodig om een kolomvector aan te maken (bijv. om gebruik te maken van de vooringestelde statistische functies van de rekenmachines).
Vervolgens wordt de bewerking van functies OBJ , LIST, ARRY en DROP uitgevoerd aan de hand van enkele voorbeelden. De functie OBJ Deze functie ontleedt een object in zijn componenten.
De functie ARRY Deze functie wordt gebruikt om een vector of een matrix aan te maken. In deze paragraaf zullen we deze functie gebruiken om een vector of een kolomvector samen te stellen (d.w.z. een matrix van n rijen en 1 kolom). Om een normaalvector samen te stellen, voeren we de elementen van de vector in in het stapelgeheugen en op niveau 1: van het stapelgeheugen voeren we de vectorgrootte als een lijst in, bijv.: 1` 2` 3` „ä 3` „°@)TYPE! ! ARRY@.
Deze drie stappen kunnen samengevoegd worden in een UserRPL-programma, dat als volgt wordt ingevoerd (nog steeds in de RPN-modus): ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ 1 + ! ARRY@ `³~~rxc` K Een nieuwe variabele, @@RXC@, zal beschikbaar zijn in de labels van het softmenu, nadat u op J gedrukt heeft: Druk op ‚@@RXC@@ om het programma te zien dat zich in de variabele RXC bevindt: << OBJ 1 + RRY >> Deze variabele, @@RXC@@, kan nu worden gebruikt om rechtstreeks een rijvector om te zetten in een kolomvector.
2 - Maak gebruik van de functie OBJ om de lijst op het geheugenniveau 1: te ontleden: 3- Druk op de wistoets ƒ (ook bekend als de functie DROP) om het cijfer in het stapelgeheugen op niveau 1: te wissen.
Een nieuwe variabele, @CXR, zal beschikbaar zijn in de labels van het softmenu, nadat u op J gedrukt heeft: Druk op ‚@@CXR@@ om het programma te zien in de variabele CXR: << OBJ OBJ DROP RRY >> Deze variabele, @@CXR@@, kan nu gebruikt worden om rechtstreeks een kolomvector om te zetten in een rijvector. In de RPN-modus, moet u de kolomvector invoeren en vervolgens op @@CXR@@ drukken. Probeer bijvoorbeeld: [[1],[2],[3]] ` @@CXR@@.
3 - Gebruik de functie ARRY om een vector samen te stellen Deze drie stappen kunnen worden samengevoegd in een UserRPL-programma, dat als volgt wordt ingevoerd (in de RPN-modus): ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ @OBJ 1 ! LIST@ ! ARRY@ ` ³~~lxv ` K Een nieuwe variabele, @@LXV@, zal beschikbaar worden in de labels van het softmenu door op de toets J te drukken: Druk op ‚@@LXV@@ om het programma te zien in de variabele LXV: << OBJ 1 LIST RRY >> Deze variabele, LXV, kan nu worden gebruikt om rechtstreeks een lijst in
‚N~~axl~@@OK@@ Als oefening past u de functie AXL toe op de vector [1,2,3] in de RPNmodus met [1,2,3] ` XL. Het volgende beeldscherm geeft de toepassing weer van de functie AXL op dezelfde vector in de ALG-modus. Blz.
Hoofdstuk 10 Aannmaken en gebruiken van matrices Dit hoofdstuk laat een aantal voorbeelden zien gericht op het maken van matrices in de rekenmachine en het gebruiken van matrixelementen. Definities Een matrix is niets meer dan een rechthoekige reeks van objecten (bijv., nummers, algebraïsch) met een aantal rijen en kolommen. Daarom heeft een matrix A met n rijen en m kolommen n×m elementen.
Invoeren van matrices in het stapelgeheugen In deze paragraaf stellen wij twee verschillende methoden voor om matrices in het stapelgeheugen van de rekenmachine in te voeren: (1) via de Matrixbewerker en (2) rechtstreeks invoeren van de matrix in het stapelgeheugen. De Matrixbewerker gebruiken Zoals bij de vectoren, behandeld in Hoofdstuk 9, kunnen matrices via de Matrixbewerker in het stapelgeheugen worden ingevoerd. Bijvoorbeeld, om de matrix in te voeren: ⎡− 2.5 4.2 2.0⎤ ⎢ 0.3 1.9 2.8⎥⎥, ⎢ ⎢⎣ 2 − 0.
Als u de optie Textbook heeft geselecteerd (met H@)DISP! en het aanvinken van Textbook), zal de matrix eruitzien zoals hierboven. Anders ziet het beeldscherm er als volgt uit: Het beeldscherm in de RPN-modus zal hier erg op lijken. Opmerking: raadpleeg Hoofdstuk 9 voor meer informatie over het gebruik van de matrixschrijver.
Aanmaken van matrices met de functies van de rekenmachine Sommige matrices kunnen worden aangemaakt met de functies van de rekenmachine, toegankelijk via het submenu MTH/MATRIX/MAKE in het menu MTH („´), of via het menu MATRICES/CREATE toegankelijk via „Ø: Het submenu MTH/MATRIX/MAKE (voortaan het menu MAKE genoemd) bevat de volgende functies: Het submenu MATRICES/CREATE (voortaan het menu CREATE genoemd) bevat echter de volgende functies: Blz.
Zoals u bij het bestuderen van deze menu’s (MAKE en CREATE) kunt zien, bevatten ze dezelfde functies GET, GETI, PUT, PUTI, SUB, REPL, RDM, RANM, HILBERT, VANDERMONDE, IDN, CON, →DIAG en DIAG→. Het menu CREATE bevat ook de submenu’s COLUMN (kolom) en ROW (rij), die ook toegankelijk zijn in het menu MTH/MATRIX. Het menu MAKE bevat ook de functie SIZE, die niet in het menu CREATE staat. Beide menu’s, MAKE en CREATE, bieden de gebruiker echter dezelfde functies.
In de volgende paragrafen passen we de matrixfuncties in de menu's MAKE en CREATE toe. De functies GET en PUT De functies GET, GETI, PUT, en PUTI werken op dezelfde wijze met matrices als met lijsten of vectoren, dat wil zeggen dat u de positie van het element dat u wilt met GET of PUT moet aangeven. Terwijl lijsten en vectoren echter maar één index verlangen om een element te identificeren, hebben matrices een lijst van twee indexen {rij, kolom} nodig om matrixelementen te identificeren.
Hieronder worden de schermen van het RPN-stapelgeheugen weergegeven voor en na het toepassen van de functie GETI: U ziet dat het scherm klaar is voor een volgend gebruik van GETI of GET, door de kolomindex van de originele referentie met 1 te verhogen, (bijv. van {2,2} naar {2,3}), terwijl de afgetrokken waarde, namelijk A(2,2) = 1.9 op niveau 1 van het stapelgeheugen zichtbaar is. Stel dat we de waarde 2 in element {3 1} door middel van PUTI willen invoeren.
(CONJ). De volgende beeldschermen laten bijvoorbeeld de originele matrix in variabele A zien en haar transpositie in een klein lettertype (zie Hoofdstuk 1) zien: Als het argument een echte matrix is, zorgt TRN eenvoudigweg voor de transpositie van de echte matrix. Probeer, bijvoorbeeld, TRN(A), en vergelijk dit met TRAN(A). In de RPN-modus wordt de transconjugaat of matrix A berekent met @@@A@@@ TRN.
In de RPN-modus wordt dit uitgevoerd met {4,3} ` 1.5 \ ` CON. De functie IDN De functie IDN (IdeNtity matrix) maakt een identiteitsmatrix aan naar gelang de opmaak. Een identiteitsmatrix moet een vierkantmatrix zijn, daarom is er maar één waarde vereist voor de volledige beschrijving. Voer het volgende in om een 4×4 identiteitsmatrix in de ALG-modus aan te maken: U kunt ook een bestaande vierkantmatrix gebruiken als het argument van functie IDN, bijv.
Een vector opnieuw in een matrix dimensioneren Het volgende voorbeeld laat zien hoe een vector van 6 elementen opnieuw in een matrix van 2 rijen en 3 kolommen kan worden gedimensioneerd in de ALGmodus: In de RPN-modus voeren we het volgende in [1,2,3,4,5,6] ` {2,3} ` RDM om de hierboven weergegeven matrix te genereren.
De functie RANM De functie RANM (RANdom matrix) zal een matrix met willekeurig hele elementen aanmaken volgens een gegeven lijst met het aantal rijen en kolommen (bijv. de dimensies van de matrix). In de ALG-modus worden bijvoorbeeld twee verschillende 2×3 matrices met willekeurige elementen aangemaakt met hetzelfde commando, namelijk: R NM({2,3}): Gebruik in de RPN-modus: {2,3} ` R NM. Het is bijna vanzelfsprekend dat de resultaten in uw rekenmachine verschillend zullen zijn dan de hierboven genoemde.
van de matrix uit het voorgaande voorbeeld de volgende matrix in: [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]. Het onderstaande linkerbeeldscherm laat de nieuwe matrix in de ALG-modus zien, voordat ` is ingedrukt.
produceert een diagonaalmatrix met de eerste 3 elementen van het vectorargument: In de RPN-modus kunnen we [1,-1,2,3] ` {3,3}` DI G gebruiken om hetzelfde resultaat te krijgen als hierboven. Een ander voorbeeld van de toepassing van de functie DIAG→ in de ALGmodus: Voer [1,2,3,4,5] ` {3,2}` DI G in in de ALG-modus. In dit geval moest een 3×2 matrix worden aangemaakt met zo veel mogelijk elementen van de vector [1,2,3,4,5] als hoofddiagonale elementen.
Gebruik bijvoorbeeld het volgende commando in de ALG-modus voor de lijst {1,2,3,4}: Gebruik in de RPN-modus: {1,2,3,4} ` V NDERMONDE. De functie HILBERT De functie HILBERT maakt de Hilbertmatrix aan overeenkomstig een dimensie n. De n×n Hilbertmatrix is per definitie Hn = [hjk]n×n, dus: h jk = 1 j + k −1 De Hilbertmatrix is van toepassing op numerieke curvenaanpassingen volgens de methode van lineaire vierkanten.
Lijsten symboliseren kolommen van de matrix Het programma @CRMC stelt u in staat een p×n matrix (bijv., p rijen, n kolommen) samen te voegen uit n lijsten met p elementen.
Opmerking: als u dit programma in uw HOME directory bewaart, zal het vanuit elke andere subdirectory toegankelijk zijn. voer om de inhoud van het programma te bekijken het volgende in J ‚@CRMC.
Lijsten symboliseren rijen van de matrix Het vorige programma kan makkelijk worden aangepast voor het maken van een matrix als de invoerlijsten de rijen van de uiteindelijke matrix zullen worden. De enige uit te voeren verandering is het veranderen van COL→ in ROW→ in de programmalijst.
Beide manieren zullen dezelfde functies weergeven: Wanneer systeemvlag 117 ingesteld is op SOFT menu’s, is het menu COL beschikbaar via „´!)MATRX !)@@COL@ of via „Ø!)@CREAT@ !)@@COL@ . Beide manieren zullen dezelfde functies laten zien: De werking van deze functies vindt u hieronder. De functie →COL De functie →COL neemt een matrix als argument en ontleedt deze in vectoren overeenkomstig de kolommen. Een toepassing van de functie COL in de ALGmodus vindt u hieronder.
Met dit resultaat staat na ontleding de eerste kolom op het hoogste niveau van het stapelgeheugen en op niveau 1 van het stapelgeheugen staat het aantal kolommen van de originele matrix. De matrix blijft bij de ontleding niet bestaan d.w.z. het is niet meer toegankelijk in het stapelgeheugen. De functie COL→ De functie COL→ geeft het tegenovergestelde effect van functie →COL, bijv.
In de RPN-modus voert u eerst de matrix in, daarna de vector en het kolomaantal en als laatste de functie COL+. De onderstaande afbeelding laat het RPN-stapelgeheugen zien voor en na het toepassen van de functie COL+. De functie COLDe functie COL- neemt als argument een matrix en een heel getal dat de positie van een kolom in de matrix vertegenwoordigt. De functie plaatst de originele matrix min een kolom en de verwijderde kolom voorgesteld als een vector terug.
In de RPN-modus wisselt de functie CSWP de kolommen van een matrix om in de lijst op niveau 3 van het stapelgeheugen, waarvan de indexen in de lijst op niveaus 1 en 2 van het stapelgeheugen staan. Voorbeeld: de volgende afbeelding laat het RPN-stapelgeheugen zien voor en na het toepassen van de functie CSWP bij matrix A om kolommen 2 en 3 te wisselen: Zoals u kunt zien zijn de kolommen verwisseld die oorspronkelijk de posities 2 en 3 innamen.
Wanneer systeemvlag 117 ingesteld is op SOFT menus is het menu ROW toegankelijk via „´!)MATRX !)@@ROW@ of via „Ø!)@CREAT@ !)@@ROW@ . Beide manieren zullen dezelfde functies weergeven: De werking van deze functies vindt u hieronder. De functie →ROW De functie →ROW neemt een matrix als argument en ontleedt deze in vectoren overeenkomstig de kolommen. Een toepassing van de functie ROW in de ALG-modus staat hieronder. De gebruikte matrix is al eerder opgeslagen onder de naam variabele A.
De functie ROW→ De functie ROW→ heeft de tegenovergestelde werking als de functie →ROW, d.w.z. n vectoren van dezelfde lengte en het aantal n, de functie ROW maakt een matrix aan door de invoervectoren als rijen van de uiteindelijke matrix in te voeren. Hier volgt een voorbeeld in de ALG-modus. Het gebruikte commando is: ROW ([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],3) Plaats in de RPN-modus de n vectoren op niveaus n+1, n, n-1,…,2 van het stapelgeheugen en het aantal n op niveau 1 van het stapelgeheugen.
De functie ROWDe functie ROW- neemt als argument een matrix en een heel getal dat de positie van een rij in de matrix vertegenwoordigt. De functie plaatst de originele matrix min een rij en de verwijderde rij voorgesteld als een vector terug. Hier volgt een voorbeeld in de ALG-modus met de in A opgeslagen matrix: Plaats in de RPN-modus eerst de matrix in het stapelgeheugen, voer daarna het getal in dat de positie van een rij vertegenwoordigt en als laatste de functie ROW-.
Zoals u kunt zien zijn de kolommen verwisseld die oorspronkelijk de posities 2 en 3 innamen. De functie RCI De functie RCI stelt u in staat Rij I te vermenigvuldigen met een Constante waarde en de uiteindelijke rij op dezelfde positie te vervangen. Het volgende voorbeeld in de ALG-modus neemt de in A opgeslagen matrix en vermenigvuldigt de constante waarde 5 in rij nummer 3, waardoor de rij met dit product vervangen wordt. Dezelfde oefening in de RPN-mode staat in de volgende afbeelding.
Voer in de RPN-modus eerst de matrix in gevolgd door de constante waarde, vervolgens door de met de constante waarde te vermenigvuldigende rij en tenslotte de rij die vervangen moet worden. De volgende afbeelding laat het RPN-stapelgeheugen zien voor en na het toepassen van de functie RCIJ onder dezelfde omstandigheden als in het bovengenoemde ALG-voorbeeld: Blz.
Hoofdstuk 11 Matrixbewerkingen en lineaire algebra In Hoofdstuk 10 hebben we een matrix geïntroduceerd en een aantal functies laten zien om matrices in te voeren, aan te maken of te bewerken. In dit Hoofdstuk laten we voorbeelden van matrixbewerkingen zien en toepassingen op problemen van lineaire algebra Bewerkingen met matrices Matrices kunnen net als andere wiskundige grootheden worden opgeteld en afgetrokken. Ze kunnen met een scalair of onderling worden vermenigvuldigd.
Optellen en aftrekken Neem enkele matrices als A = [aij]m×n en B = [bij]m×n als voorbeeld. Optellen en aftrekken van deze twee matrices is alleen mogelijk als ze hetzelfde aantal rijen en kolommen hebben. De resulterende matrix C = A ± B = [cij]m×n heeft de elementen cij = aij ± bij. Hieronder ziet u enkele voorbeelden in de ALG-modus met de hierboven opgeslagen matrices (e.g.
Door optellen en aftrekken te combineren met vermenigvuldiging met een scalair kunnen we combinaties vormen van matrices van dezelfde lengte, bijv. In een lineaire combinatie van matrices kunnen we een matrix vermenigvuldigen met een imaginair getal om een matrix van complexe getallen te krijgen, bijv. Matrix-vectorvermenigvuldiging Matrix-vectorvermenigvuldiging is alleen mogelijk indien het aantal kolommen van de matrix gelijk is aan de lengte van de vector.
Matrixvermenigvuldiging Matrixvermenigvuldiging is gedefinieerd als Cm×n = Am×p⋅Bp×n, waarbij A = [aij]m×p, B = [bij]p×n en C = [cij]m×n. Matrixvermenigvuldiging is alleen mogelijk als het aantal kolommen in de eerste operand gelijk is aan het aantal rijen in de tweede operand. De algemene term in het product cij wordt gedefinieerd als p cij = ∑ aik ⋅ bkj , for i = 1,2,K, m; j = 1,2,K, n.
een 1xn matrix (nog een rijvector) geeft. U dient dubbele haakjes te gebruiken zodat de rekenmachine een rijvector herkent: Term-voor-term vermenigvuldiging Term voor term vermenigvuldiging van twee matrices van dezelfde afmetingen is mogelijk met de functie HADAMARD. Vanzelfsprekend is het resultaat een matrix van dezelfde afmetingen. Deze functie is beschikbaar via de functiecatalogus (‚N), of via het submenu MATRICES/OPERATIONS („Ø).
In algebraïsche modus is de opeenvolging toetsenaanslagen de volgende: [voer de matrix in of selecteer hem] Q [voer de macht in] `. In RPN modus is de opeenvolging toetsenaanslagen de volgende: [voer de matrix in of selecteer hem] † [voer de macht in] Q `. Matrices kunnen eveneens tot een negatieve macht worden verheven. In dat geval is het resultaat equivalent aan 1/[matrix]^ABS(power).
Om de eigenschappen van de inverse matrix te verifiëren, geven we de volgende vermenigvuldigingen: Een matrix karakteriseren (Het matrixmenu NORM) Het matrixmenu NORM (NORMALIZE) is toegankelijk met de toetsencombinatie „´ (systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE boxes (keuzevensters)): !!! Dit menu bevat de volgende functies: Deze functies worden hieronder beschreven. Omdat veel van deze functies concepten uit de matrixtheorie zoals singuliere waarden, rangorde, enz.
De functie ABS De functie ABS berekent wat de Frobenius-norm van een matrix wordt genoemd. Voor een matrix A = [aij] m×n wordt de Frobenius-norm van de matrix gedefinieerd als A F = n m ∑∑ a i =1 j =1 2 ij Als de matrix in kwestie een rijvector of een kolomvector is dan is de Frobeniusnorm, ||A||F, simpelweg de grootheid van de vector. De functie ABS is direct via het toetsenbord beschikbaar als „Ê.
Singuliere waardeontbinding Om de werking van de functie SNRM, te begrijpen, is het nodig het begrip van matrixontbinding te introduceren. Matrixontbinding houdt de bepaling van twee of meer matrices in die de originele matrix geven wanneer ze in een bepaalde volgorde (en met misschien wat matrixinversie en transpositie toegevoegd) vermenigvuldigd worden.
De functie SRAD De functie SRAD bepaalt de Spectrale RADius van een matrix, gedefinieerd als de grootste van de absolute waarden van de eigenwaarden. Bijvoorbeeld: Definitie van eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix De eigenwaarden van een vierkante matrix zijn het resultaat van de matrixvergelijking A⋅x = λ⋅x. De waarden van λ die voldoen aan de vergelijking zijn de eigenwaarden van de matrix A.
Probeer de volgende oefening voor het conditiegetal op matrix A33. Het conditiegetal is COND(A33), rijnorm en kolomnorm voor A33 worden links getoond. De bijbehorende getallen voor de inverse matrix (INVA33), worden rechts getoond: Aangezien RNRM(A33) > CNRM(A33), nemen we ||A33|| = RNRM(A33) = 21. Aangezien ook CNRM(INV(A33)) < RNRM(INV(A33)), nemen we ||INV(A33)|| = CNRM(INV(A33)) = 0.261044... Het conditiegetal wordt dus ook berekend als CNRM(A33)*CNRM(INV(A33)) = COND(A33) = 6.
waarbij de dj constante waarden zijn, zeggen we dat ck lineair afhankelijk is van de kolommen in de optelling. (Merk op dat de waarden van j elke waarde in de verzameling {1, 2, …, n}, omvat in elke combinatie zolang j≠k). Als de bovenstaande uitdrukking voor geen enkele kolomvector geschreven kan worden, zeggen we dat de kolommen lineair onafhankelijk zijn.
De determinant van een matrix De determinant van een 2x2 of een 3x3 matrix wordt weergegeven in dezelfde ordening van elementen van de matrices, maar dan ingesloten tussen verticale lijnen: a11 a 21 a12 , a 22 a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 Een 2x2 determinant wordt berekend door de elementen in de diagonaal te vermenigvuldigen en deze producten begeleid door het plus- of minteken op te tellen zoals in het diagram hieronder.
Voor vierkante matrices van een hogere orde kunnen determinanten berekend worden door kleinere ordedeterminanten, co-factoren genoemd, te gebruiken. Het algemene idee is een determinant van een n×n matrix (wordt ook naar verwezen als n×n determinant) "uit" te breiden naar een som van de cofactoren, die (n-1)×(n-1) determinanten zijn, vermenigvuldigd met de elementen van een enkele rij of kolom met afwisselende plus- en mintekens.
De functie TRAN De functie TRAN geeft de getransponeerde van een reële of de toegevoegde getransponeerde van een complexe matrix. TRAN is gelijk aan TRN. De werking van de functie TRN is behandeld in Hoofdstuk 10.
behandeld verderop in dit hoofdstuk. In deze paragraaf behandelen we alleen de functies AXL en AXM De functie AXL De functie AXL converteert een rij (matrix) in een reeks en vice-versa. Bijvoorbeeld: Opmerking: deze laatste bewerking is vergelijkbaar met de bewerking van het CRMR-programma dat is behandeld in Hoofdstuk 10. De AXM De functie AXM converteert een rij met gehele of gebroken elementen in de corresponderende decimale vorm of benadering daarvan.
Om de functie LCXM uit te voeren, moet u in dit geval het volgende invoeren: 2`3`‚@@P1@@ LCXM ` De volgende afbeelding laat het RPN-stapelgeheugen voor en na het toepassen van de functie LCXM zien. In de ALG-modus kan dit voorbeeld verkregen worden door: Het programma P1moet nog steeds zijn aangemaakt en opgeslagen in de RPN-modus.
⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣an1 a12 L a1m ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢b ⎥ a22 L a2 m ⎥ x2 ⎥ ⎢ x= b = ⎢ 2⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥ M O M ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ an 2 L anm ⎦ n×m ⎣ xm ⎦ m×1 , ⎣bn ⎦ n×1 , De numerieke solver gebruiken voor lineaire stelsels Er zijn vele manieren om een stelsel van lineaire vergelijkingen met de rekenmachine op te lossen. Een mogelijkheid is met de numerieke solver ‚Ï. Selecteer optie 4. Solve lin sys.. in het hieronder (links) getoonde scherm van de numerieke solver en druk op @@@OK@@@.
Dit stelsel heeft hetzelfde aantal vergelijkingen als onbekenden en er zal naar worden verwezen als een vierkant stelsel. Over het algemeen zou er een enkele oplossing voor het stelsel moeten zijn. De oplossing is het kruispunt van de drie vlakken in het coördinatenstelsel (x1, x2, x3) weergegeven door de drie vergelijkingen. Om matrix A in te voeren, kunt u de Matrixschrijver activeren terwijl het A:-veld is geselecteerd.
Druk op ` om de oplossing in het stapelgeheugen te bekijken. De oplossing is x = [1,2,-1]. Voer de matrix A in en vermenigvuldig met deze oplossingsvector om te controleren of de oplossing correct is (voorbeeld weergegeven in de algebraïsche modus) Onderbepaald stelsel Het stelsel van lineaire vergelijkingen 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, kan worden geschreven als de matrixvergelijking A⋅x = b, indien ⎡ x1 ⎤ ⎡2 3 − 5⎤ A=⎢ , x = ⎢⎢ x2 ⎥⎥, and ⎥ ⎣1 − 3 8 ⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎡− 10⎤ b=⎢ ⎥.
vector b in zoals aangegeven in het vorige voorbeeld en druk op @SOLVE wanneer het X:-veld is gemarkeerd: Druk indien nodig op de toets @EDIT! om de details te zien van de oplossingsvector. Hiermee wordt de Matrixschrijver geactiveerd. Gebruik in deze omgeving de pijltoetsen rechts en links om door de vector te bewegen, bijv. De oplossing is dus x = [15.373, 2.4626, 9.6268]. Druk op ` om terug te keren naar de numerieke solveromgeving.
• • • Druk op ˜ ˜@CALC@ `, om de oplossingsvector X naar het stapelgeheugen te kopiëren. Druk op @@@OK@@@ om terug te keren naar de numerieke solveromgeving. Druk op ` om terug te keren naar het stapelgeheugen.
Overbepaald stelsel Het stelsel van lineaire vergelijkingen x1 + 3x2 = 15, 2x1 – 5x2 = 5, -x1 + x2 = 22, kan worden geschreven als de matrixvergelijking A⋅x = b, indien 3⎤ ⎡1 ⎡x ⎤ ⎢ A = ⎢ 2 − 5⎥⎥, x = ⎢ 1 ⎥, and ⎣ x2 ⎦ ⎢⎣− 1 1 ⎥⎦ ⎡15 ⎤ b = ⎢⎢ 5 ⎥⎥. ⎢⎣22⎥⎦ Dit stelsel heeft meer vergelijkingen dan onbekenden (een overbepaald stelsel). Het stelsel heeft niet een enkele oplossing.
Druk op ` om terug te keren naar de numerieke solveromgeving. Probeer het volgende om te controleren of de oplossing correct is: • • • • • • Druk op —— om het A:-veld te markeren. Druk op L @CALC@ ` om matrix A naar het stapelgeheugen te kopiëren. Druk op @@@OK@@@ om terug te keren naar de numerieke solveromgeving. Druk op ˜ ˜@CALC@ ` om de oplossingsvector X naar het stapelgeheugen te kopiëren. Druk op @@@OK@@@ om terug te keren naar de numerieke solveromgeving.
Kleinste kwadraat oplossing (functie SQ) De functie LSQ geeft de minimumnorm kleinste kwadraatoplossing van een lineair stelsel Ax = b, aan de hand van de volgende criteria: • • • Als A een vierkante matrix is en A is niet-singulier (d.w.z. de inverse matrix bestaat, of de determinant is niet gelijk aan nul), geeft LSQ de exacte oplossing voor het lineaire stelsel.
Onderbepaald stelsel Bekijk het stelsel 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, met ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 3 − 5⎤ A=⎢ , x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥, and ⎥ ⎣1 − 3 8 ⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎡− 10⎤ b=⎢ ⎥. ⎣ 85 ⎦ De oplossing met LSQ ziet u hieronder: Overbepaald stelsel Bekijk het stelsel x1 + 3x2 = 15, 2x1 – 5x2 = 5, -x1 + x2 = 22, met 3⎤ ⎡1 ⎡x ⎤ ⎢ A = ⎢ 2 − 5⎥⎥, x = ⎢ 1 ⎥, and ⎣ x2 ⎦ ⎢⎣− 1 1 ⎥⎦ ⎡15 ⎤ b = ⎢⎢ 5 ⎥⎥. ⎢⎣22⎥⎦ De oplossing met LSQ ziet u hieronder: Blz.
Vergelijk deze drie oplossingen met de oplossingen die berekend zijn met de numerieke solver. Oplossing met de inverse matrix De oplossing voor het stelsel A⋅x = b, waarbij A een vierkante matrix is, is x = A-1⋅ b. Dit is de uitkomst van vermenigvuldiging van de eerste vergelijking met A-1, d.w.z. A-1⋅A⋅x = A-1⋅b. Per definitie is A-1⋅A = I, dus schrijven we I⋅x = A1⋅b. Tevens is I⋅x = x, dus hebben we x = A-1.b.
paragraaf. De procedure voor b “delen” door A wordt hieronder getoond voor dit geval. 2x1 + 3x2 –5x3 = 13, x1 – 3x2 + 8x3 = -13, 2x1 – 2x2 + 4x3 = -6, De procedure ziet u in de volgende beeldschermen: Dezelfde oplossing als die hierboven werd gevonden met de inverse matrix.
[[14,9,-2],[2,-5,2],[5,19,12]] ` [[1,2,3],[3,-2,1],[4,2,-1]] `/ De uitkomst van deze bewerking is: 2⎤ ⎡1 2 ⎢ X = ⎢2 5 1 ⎥⎥. ⎢⎣3 − 1 − 2⎥⎦ Gauss' eliminatie en Gauss-Jordan-eliminatie Gauss' eliminatie is een procedure waarmee de vierkante matrix van coëfficiënten horende bij een stelsel van n lineaire vergelijkingen in n onbekenden is gereduceerd tot een bovendriehoeksmatrix (Echelon vorm) via een serie rijbewerkingen. Deze procedure staat bekend als de voorwaartse eliminatie.
Om het proces van voorwaartse eliminatie te starten, delen we de eerste vergelijking (E1) door 2 en slaan deze op in E1 en tonen de drie vergelijkingen opnieuw om te komen tot: Vervolgens vervangen we de tweede vergelijking E2 door (vergelijking 2 – 3×vergelijking 1, d.w.z. E1-3×E2) en de derde door (vergelijking 3 – 4×vergelijking 1), om te komen tot Vervolgens delen we de tweede vergelijking door –8 en krijgen Vervolgens vervangen we de derde vergelijking E3, door (vergelijking 3 + 6×vergelijking 2, d.
Vervolgens vervangen we Z=2 in vergelijking 2 (E2) en lossen E2 voor Y op: Vervolgens vervangen we Z=2 en Y=1 in E1 en lossen E1 voor X op: De oplossing is daarom X = -1, Y = 1, Z = 2. Voorbeeld van Gauss' eliminatie met matrices Het stelsel van vergelijkingen dat we hebben gebruikt in het voorbeeld hierboven kan worden geschreven als de matrixvergelijking A⋅x = b, als we het volgende gebruiken: 6⎞ ⎡ 14 ⎤ ⎡X ⎤ ⎛2 4 ⎟ ⎜ ⎥ ⎢ A = ⎜ 3 − 2 1 ⎟, x = ⎢ Y ⎥, b = ⎢⎢ − 3⎥⎥.
Wanneer de aangevulde matrix eenmaal samengesteld is, kunnen we doorgaan met het uitvoeren van rijbewerkingen aan de matrix die de originele A matrix zullen reduceren tot een bovendriehoeksmatrix. Voor deze oefening gebruiken we de RPN-modus (H\@@OK@@), met systeemvlag 117 ingesteld op SOFT menu. Gebruik in uw rekenmachine dan de volgende toetsencombinaties.
A aug ⎛1 2 3 7 ⎞ ⎛1 2 3 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≅ ⎜ 0 − 8 − 8 − 24 ⎟ ≅ ⎜ 0 1 1 3 ⎟ ⎜ 0 − 6 − 13 − 32 ⎟ ⎜ 0 − 6 − 13 − 32 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A aug ⎛1 2 3 7 ⎞ ⎜ ⎟ ≅ ⎜0 1 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 − 7 − 14 ⎟ ⎝ ⎠ Het teken ≅ (“ is equivalent aan”) geeft aan dat hetgeen volgt equivalent is aan de vorige matrix met enkele rij- (of kolom-) bewerkingen. De resulterende matrix is bovendriehoeks en equivalent aan het stelsel van vergelijkingen.
Aaug ⎛ 1 2 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≅ ⎜ 0 1 0 1 ⎟ ≅ ⎜ 0 1 0 1 ⎟. ⎜ 0 0 1 2⎟ ⎜ 0 0 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Pivoteren Als u zorgvuldig kijkt naar de rijbewerkingen in de hierboven getoonde voorbeelden zult u zien dat veel van deze bewerkingen een rij delen door het corresponderende element in de hoofddiagonaal. Dit element wordt een pivotelement genoemd, of eenvoudigweg een pivot. In veel situaties is het mogelijk dat het pivotelement nul wordt. In dat geval kunnen we de rij niet door de pivot delen.
van respectievelijk een rij of kolom in de permutatiematrix. Wanneer de oplossing wordt gegeven, vermenigvuldigen we de permutatiematrix met de onbekende vector x om de volgorde van de onbekenden in de oplossing te verkrijgen. Met andere woorden, de uiteindelijke oplossing wordt gegeven door P⋅x = b’, waarbij b’ de laatste kolom van de aangevulde matrix is nadat de oplossing is gevonden.
8 2 1 16 0 2 -1 3 3 41 -1 2 0 0 1 0 1 0 1 0 0 Als we de pivot op positie (1,1) controleren zien we dat 16 nu een betere pivot is dan 8, dus voeren we een kolomverwisseling uit: 1#2‚N@@OK@@ @RSWP. De aangevulde matrix en de permutatiematrix zijn nu: 16 0 2 8 2 1 -1 3 3 41 -1 2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Nu hebben we de grootst mogelijke waarde in positie (1,1), d.w.z. dat we volledig pivoteren hebben uitgevoerd op (1,1). Vervolgens gaan we door en delen door de pivot: 16Y1L @RCI@.
Als we de pivot op positie (2,2),controleren, zien we nu dat de waarde 25/8, op positie (3,2), groter is dan 3, dus verwisselen we de rijen 2 en 3 door: 2#3 L@RSWP 1 0 0 -1/16 25/8 3 1/2 41/16 0 -25/8 2 -1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Nu zijn we klaar om rij 2 te delen door de pivot 25/8, met: ³ 8/25™#2 L @RCI 1 0 0 -1/16 1/2 1 0 3 2 41/16 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Vervolgens elimineren we de 3 van de positie (3,2) met: 3\#2#3@RCIJ 1 0 0 -1/16 1/2 1 0 0 2 41/16 -1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 Nu we de positie onde
16 Y # 2#1@RCIJ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 -1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Nu hebben we een identiteitsmatrix in het gedeelte van de aangevulde matrix dat correspondeert met de originele coëfficiëntmatrix A en dus kunnen we verdergaan met het verkrijgen van de oplossing terwijl we de gecodeerde rijen kolomverwisselingen in de permutatiematrix P aanpakken.
Gebruik dan voor dit voorbeeld in de RPN-modus: [2,-1,41] ` [[1,2,3],[2,0,3],[8,16,-1]] `/ De rekenmachine laat een aangevulde matrix zien die bestaat uit de coëfficiëntenmatrix A en de identiteitsmatrix I en toont tegelijkertijd de volgende te berekenen procedure: L2 = L2-2⋅L1 staat voor “vervang rij 2 (L2) met de bewerking L2 – 2⋅L1. Als we deze bewerking met de hand hadden uitgevoerd, zou dat op volgende hebben geleken: 2\#1#1@RCIJ.
A aug ( I ) ⎡1 2 3 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ = ⎢3 − 2 1 0 1 0⎥. ⎢⎣4 2 − 1 0 0 1⎥⎦ Om de tussenstappen in de berekening en de inversie te zien, voert u de bovenstaande matrix A in en drukt op Y, terwijl de optie step/step in het CAS van de rekenmachine geactiveerd blijft.
Het resultaat (A-1)n×n = C n×n /det(A n×n), is een algemene uitkomst die van toepassing is op elke niet-singuliere matrix A. Een algemene vorm voor de elementen van C kan geschreven worden op basis van een Gauss-Jordan algoritme. Gebaseerd op de hierboven weergegeven vergelijking A-1 = C/det(A), is de inverse matrix A-1niet gedefinieerd als det(A) = 0. Dus de voorwaarde det(A) = 0 definieert ook een singuliere matrix.
Nog een voorbeeld in de ALG-modus. Voer het volgende in: LINSOLVE([X-2*Y+Z=-8,2*X+Y-2*Z=6,5*X-2*Y+Z=-12], [X,Y,Z]) om de oplossing te produceren: [X=-1,Y=2,Z = -3]. De functie LINSOLVE werkt met symbolische uitdrukkingen. De functies REF, rref en RREF, werken met de aangevulde matrix in een benadering volgens de Gauss' eliminatie.
De uitkomst is de bovendriehoekse (echelonvorm) coëfficiëntenmatrix die resulteert uit de voorwaartse eliminatiestap in een Gauss' eliminatieprocedure. De diagonale matrix die resulteert uit de Gauss-Jordan-eliminatie noemen we een gereduceerde echelonvorm. De RREF-function staat voorGereduceerde Echelonvorm Deze functieoproep moet een gereduceerde echelonvorm produceren zodat de coëfficiëntenmatrix is gereduceerd tot een identiteitsmatrix.
De functie SYST2MAT Deze functie converteert een stelsel van lineaire vergelijkingen in een equivalente aangevulde matrix.
Opmerking: Als we de vector Δx = x – x (0) de correctie in de waarden van x (0), laten vertegenwoordigen, kunnen we een nieuwe matrixvergelijking voor Δx, schrijven, namelijk A⋅Δx = e. Als we Δx oplossen, kunnen we de werkelijke oplossing vinden voor het originele stelsel als x = x(0) + Δx. Eigenwaarden en eigenvectoren Met een gegeven vierkante matrix A kunnen we de eigenwaardevergelijking A⋅x = λ⋅x schrijven, waarbij de waarden van λ die aan de vergelijking voldoen eigenwaarden van matrix A.
Met de variabele λ om eigenwaarden weer te geven, dient deze karakteristieke polynoom geïnterpreteerd te worden als λ 3-2λ 2-22λ +21=0. De functie EGVL De functie EGVL (Eigenwaarden) produceert de eigenwaarden van een vierkante matrix. De eigenwaarden van de matrix hieronder worden bijvoorbeeld berekend in de ALG-modus met de functie EGVL: De eigenwaarden λ = [ -√10, √10 ].
De functie EGV De functie EGV (eigenwaarden en eigenvectoren) produceert de eigenwaarden en eigenvectoren van een vierkante matrix. De eigenvectoren worden gegeven als de kolommen van een matrix, terwijl de corresponderende eigenwaarden de componenten van een vector zijn. De eigenvectoren en eigenwaarden in de ALG-modus van de matrix hieronder worden gevonden door bijvoorbeeld de functie EGV toe te passen. De uitkomst laat de eigenwaarden als de kolommen van de matrix zien in de uitkomstenlijst.
vierkante matrix A, geeft de functie JORDAN in de RPN-modus vier uitvoeritems, namelijk: • • • • De minimumpolynoom van matrix A (stapelgeheugenniveau 4) De karakteristieke polynoom van matrix A (stapelgeheugenniveau 3) Een lijst met eigenvectoren die overeenkomt met iedere eigenwaarde van matrix A (stapelgeheugenniveau 2) Een vector met de eigenvectoren van matrix A (stapelgeheugenniveau 4) Probeer bijvoorbeeld deze oefening in de RPN-modus: [[4,1,-2],[1,2,-1],[-2,-1,0]] De uitvoer is als volgt: JORD N
• • de matrix coëfficiënten van de polynoom p(x) gedefinieerd door (x⋅IA) ⋅p(x)=m(x)⋅I (stapelgeheugenniveau 2) de karakteristieke polynoom van de matrix (stapelgeheugenniveau 1) U ziet dat de vergelijking (x⋅I-A)⋅p(x)=m(x)⋅I in vorm vergelijkbaar is met de eigenwaardevergelijking A⋅x = λ⋅x. Probeer als voorbeeld in de RPN-modus: [[4,1,-2] [1,2,-1][-2,-1,0]] M D Het resultaat is: 4: -8.
De functies in dit menu zijn: LQ, LU, QR,SCHUR, SVD, SVL. De functie LU De functie LU neemt als invoer de vierkante matrix A en geeft een benedendriehoeksmatrix L, een bovendriehoeksmatrix U en een permutatiematrix P in respectievelijk stapelgeheugenniveau 3, 2 en 1. De uitkomsten L, U en P, voldoen aan de vergelijking P⋅A = L⋅U. Als u de functie LU oproept voert de rekenmachine een Crout LU-ontbinding van A uit met gedeeltelijk pivoteren.
De functie SVD In de RPN-modus neemt de functie SVD (Singuliere-waardedecompositie) als invoer de matrix An×m, en geeft de matrices Un×n, Vm×m en een vector s respectievelijk in stapelgeheugen niveaus 3, 2 en 1. De afmeting van vector s is gelijk aan het minimum van de waarden n en m. De matrices U en V zijn zoals eerder voor de singuliere-waardedecompositie gedefinieerd en de vector s vertegenwoordigt de hoofddiagonaal van de matrix S die we eerder hebben gebruikt.
een n×m matrix is het equivalent van een driehoeksmatrix uit een n×n matrix). Bijvoorbeeld: [[ 1, -2, 1][ 2, 1, -2][ 5, -2, 1]] LQ geeft het volgende: 3: [[-5.48 0 0][-1.10 –2.79 0][-1.83 1.43 0.78]] 2: [[-0.91 0.37 -0.18] [-0.36 -0.50 0.79] [-0.20 -0.78 -0.
Het menu QUADF De rekenmachine bevat het menu QUADF voor bewerkingen met kwadratische vormen. Het menu QUADF is toegankelijk via „Ø. Dit menu bevat de functies AXQ, CHOLESKY, GAUSS, QXA en SYLVESTER. De functie AXQ De functie AXQ produceert in RPN-modus de kwadratische vorm die correspondeert met een matrix An×n op stapelgeheugenniveau 2 met de n variabelen in een vector op stapelgeheugenniveau 1.
waarbij D een diagonale matrix is. Als Q = x⋅A⋅xT een kwadratische vorm gebaseerd op A is, dan is het mogelijk om de kwadratische vorm Q zo te schrijven dat deze alleen vierkante termen bevat van een variabele y, zo dat x = P⋅y, door Q te gebruiken als Q = x⋅A⋅xT = (P⋅y)⋅A⋅ (P⋅y)T = y⋅(PT⋅A⋅P)⋅yT = y⋅D⋅yT.
Informatie over de functies in dit menu vindt u hieronder met behulp van de eigen helpteksten van de rekenmachines. De afbeeldingen tonen de helpteksten en de bijgevoegde voorbeelden. De functie IMAGE De functie ISOM De functie KER Blz.
De functie MKISOM Blz.
Hoofdstuk 12 Grafieken In dit hoofdstuk introduceren we enkele van de grafische mogelijkheden van de rekenmachine. We geven grafieken van functies weer in Cartesische coördinaten en polaire coördinaten, parametrische diagrammen, conische grafieken, staafdiagrammen, puntgrafieken en een aantal driedimensionale grafieken. Grafische opties in de rekenmachine Voor de lijst van grafische opmaken van de rekenmachine gebruikt u de toetsencombinaties „ô(D).
Function: voor vergelijkingen in de vorm y = f(x) in Cartesische coördinaten voor oppervlakken Polar: voor vergelijkingen in de vorm van r = f(θ) in polaire coördinaten in het oppervlak Parametric: voor grafiekvergelijkingen in de vorm x = x(t), y = y(t) in het oppervlak Diff Eq: voor het plotten van de numerieke oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking Conic:voor het plotten van conische vergelijkingen (cirkels, ellipsen, hyperbolen, parabolen) Truth: voor het plotten van ongelijkheden in het o
f ( x) = 1 2π exp(− x2 ) 2 • Ga eerst naar de PLOT SETUP-omgeving door op „ô te drukken. Zorg dat de optie Function is geselecteerd als TYPE en dat ‘X’ is geselecteerd als de onafhankelijke variabele (INDEP). Druk op L@@@OK@@@ om terug te keren naar het normale beeldscherm van de rekenmachine. Het beeldscherm PLOT SETUP moet er ongeveer zo uitzien: • Opmerking: U ziet dat er een nieuwe variabele, PPAR, in de labels van de softmenutoets verschijnt. Dit staat voor Plot PARameters (diagramparameters).
Opmerking : Er verschijnen twee nieuwe variabelen in de labels van de softmenutoets, namelijk EQ en Y1. Druk op ‚@@@EQ@@ om de inhoud van EQ te bekijken. De inhoud van EQ is alleen de functienaam ‘Y1(X)’. De variabele EQ wordt door de rekenmachine gebruikt om de vergelijking(en) op te slaan en er een grafiek van te maken. Druk op ‚@@@Y1@@ om de inhoud van Y1 te bekijken. De functie Y1(X) wordt gedefinieerd als het programma: << →X ‘EXP(-X^2/2)/ √(2*π)‘ >>.
• Druk op L@CANCL om terug te keren naar het menu en de PLOT WINDOW-omgeving. Enkele handige PLOT-handelingen voor FUNCTION-diagrammen Als we deze PLOT-opties willen behandelen, moeten we de functie aanpassen, zodat hij echte wortels krijgt (omdat de huidige curve helemaal boven de x-as staat, heeft deze geen echte wortels). Druk op ‚@@@Y1@@ om de inhoud van de functie Y1 in het stapelgeheugen weer te geven: << →X ‘EXP(-X^2/2)/ √(2*π) ‘ >>.
• Als u bijvoorbeeld de wortel links van de curve wilt vinden, zet u de cursor bij dat punt en drukt u op @ROOT. U krijgt het volgende resultaat: ROOT: -1.6635…. Druk op L voor het menu . Dit is het resultaat van ROOT in het huidige diagram: • Als u de cursor naar de rechterzijde van de curve beweegt door op de pijlttoets rechts (™) te drukken en daarna op @ROOT, krijgt u als resultaat ROOT: 1.6635... De rekenmachine geeft voordat de wortel werd weergegeven, aan dat deze werd gevonden via SIGN REVERSAL.
• • • • • De toets geeft de waarde f(x) die overeenkomt met de positie van de cursor. Plaats de cursor ergens in de curve en druk op . De waarde wordt weergegeven in de linkeronderhoek in het beeldscherm. Druk op L voor het menu. Plaats de cursor op een punt in de diagram en druk op TANL om de vergelijking van de raaklijn naar de curve op dat punt te krijgen. De vergelijking wordt weergegeven in de linkeronderhoek in het beeldscherm. Druk op L voor het menu.
Op niveau 1 van het stapelgeheugen ziet u een grafiekobject beschreven als Grafiek 131 × 64. Die kan worden opgeslagen in een variabelennaam, bijvoorbeeld PIC1. Als u de afbeelding opnieuw weer wilt weergeven, roept u de inhoud van variabele PIC1 in het stapelgeheugen op. Het stapelgeheugen geeft de regel: Graphic 131 × 64. Als u de grafiek wilt zien, gaat u naar de PICTURE omgeving door op š te drukken. Wis de huidige afbeelding, @EDIT L@ERASE.
op @@@OK@@@ als u klaar bent. Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Nu gaan we de grootte van het diagramvenster wijzigen. Druk daarna, tegelijkertijd in de RPN-modus, op de toets links-shift „ en de toets ñ (A) voor het venster PLOT-FUNCTION. Als er een vergelijking is gemarkeerd in dit venster, drukt u zo vaak als nodig op @@DEL@@ om het venster volledig te wissen. Als het venster PLOT-FUNCTION leeg is, krijgt u de volgende melding: No Equ., Press ADD.
onder in het scherm weergegeven. Controleer of Y:1.00E0, X:2.72E0. Dit is het punt (e,1), omdat ln(e) = 1. Druk op L voor het grafiekmenu. Als we dan nu op @)FCN @ROOT drukken, krijgen we het snijpunt van de curve met de x-as. De rekenmachine geeft de waarde Root: 1, ter bevestiging dat ln(1) = 0. Druk op LL@)PICT @CANCL om terug te keren naar PLOT WINDOW – FUNCTION. Druk op ` om terug te keren naar het normale beeldscherm van de rekenmachine.
Druk daarna, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, op de toets links-shift „ en de toets ò (B) voor het venster PLOT WINDOW - FUNCTION. Verander de waarden van H-View als volgt: H-View: -8 2 met 8\@@@OK@@ @2@@@OK@@@. Druk daarna op @AUTO. Druk, nadat het verticale bereik is berekend, op @ERASE @DRAW om de exponentiële functie te plotten. Druk op @EDIT L@)LABEL om labels aan de grafiek toe te voegen. Druk op menu om de menulabels te verwijderen en de grafiek volledig te zien.
een lijst die de cijfernotatie specificeert op respectievelijk de x- en y-assen {10d # 10d}. Daarna vermeldt de PPAR het diagramtype dat moet worden gegenereerd, dus FUNCTION, en uiteindelijk het label van de y-as, dus Y. De variabele PPAR, als deze niet bestaat, wordt steeds gegenereerd wanneer u een diagram aanmaakt.
U ziet dat alleen de grafiek van y = exp(x) duidelijk zichtbaar is. Er ging iets verkeerd bij de selectie van @AUTO voor het verticale bereik. Het volgende is gebeurd: als u op @AUTO drukt in het scherm PLOT FUNCTION – WINDOW, dan geeft de rekenmachine het verticale bereik dat hoort bij de eerste functie in de lijst met functies die geplot moeten worden. In dit geval is dat dus Y1(X) = EXP(X). We moeten het verticale bereik zelf invoeren om de andere twee functies in hetzelfde diagram weer te geven.
• • Een vinkje bij _Pixels betekent dat de markeringen die door H-Tick en V-Tick worden aangegeven, door zoveel pixels worden gescheiden. De standaardwaarde voor de H-Tick en V-Tick is 10. Menuopties voor softtoetsen: • Gebruik @EDIT om functies van waarden in het geselecteerde veld te bewerken. • Gebruik @CHOOS om het diagramtype te selecteren dat moeten worden gebruikt als het veld Type: is gemarkeerd. Voor deze oefeningen moet het veld worden ingesteld op FUNCTION.
• • Gebruik @EDIT om de gemarkeerde vergelijking te bewerken. Gebruik @@ADD@! om nieuwe vergelijkingen aan het diagram toe te voegen. Opmerking : @@ADD@! of @EDIT zal de vergelijkingenschrijver EQW activeren, waarmee u nieuwe vergelijkingen kunt schrijven of oude vergelijkingen kunt bewerken. • • • • • • • • Gebruik @@DEL@@ om de gemarkeerde vergelijking te verwijderen.
• Low, (Indep) High en (Indep) Step wijzigt. Deze waarden bepalen respectievelijk de minimale, maximale en stapgroottewaarden van de onafhankelijke variabele die in het diagram moeten worden gebruikt. Als de optie Default in de velden Indep Low, (Indep) High en (Indep) Step is geselecteerd, zal de rekenmachine de minimale en maximale waarden gebruiken die door H-View worden bepaald.
functies die in het venster PLOT - FUNCTION zijn gedefinieerd. Als er al een grafiek, een andere dan de grafiek die u aan het plotten bent, in het grafiekscherm staat, wordt het nieuwe diagram over het bestaande diagram geschreven. Dit kan niet het gewenste resultaat zijn en dus raad ik u aan de softmenutoetsen @ERASE @DRAW in de vensters PLOT SETUP, PLOT-FUNCTION of PLOT WINDOW te gebruiken.
Een tabel met waarden voor een functie aanmaken Met de toetsencombinaties „õ(E) en „ö(F), tegelijkertijd ingedrukken in de RPN-modus, kan de gebruiker een tabel met waarden van functies maken. We maken als voorbeeld een tabel van de functie Y(X) = X/ (X+10) in het bereik -5 < X < 5 aan de hand van deze instructies: • • • • We genereren waarden van de hierboven gedefinieerde functie f(x) voor waarden van x van –5 tot 5 in stapgrootten van 0.5.
x = -5, -4.5, … en de corresponderende waarden van f(x), standaard als Y1 genoteerd. U kunt de pijltoetsen omhoog en omlaag gebruiken om in de tabel te bewegen. U ziet dat we geen eindwaarde voor de onafhankelijke variabele x aan hoefden te geven. De tabel gaat daarom verder dan de voorgestelde maximumwaarde voor x, namelijk x = 5.
Diagrammen in polaire coördinaten Ten eerste wilt u misschien de variabelen verwijderen die u in eerdere voorbeelden heeft gebruikt (bijvoorbeeld X, EQ, Y1, PPAR) met de functie PURGE (I @PURGE). Zo worden alle parameters voor de grafieken gewist. Druk op J om te controleren of de variabelen ook echt zijn verwijderd. We gaan als volgt proberen de functie f(θ) = 2(1-sin(θ)) te plotten: • Zorg eerst dat de hoekmeting van de rekenmachine op radialen is ingesteld.
• Druk op @EDIT L @LABEL @MENU om de grafiek met labels te bekijken. Druk op L voor het menu. Druk op L @)PICT om het originele grafiekmenu op te roepen. • Druk op @TRACE @x,y @ om de curve te traceren. De gegevens onder in het beeldscherm zijn de hoek θ en de radius r, hoewel de letter is voorzien van een Y (standaardnaam van een afhankelijke variabele). • Druk op L@CANCL om terug te keren naar het scherm PLOT WINDOW. Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren.
• cirkel: (x-xo)2+(y-yo)2 = r2 • ellips: (x-xo) 2/a2 + (y-yo) 2/b2 = 1 • • parabool: hyperbool: (y-b)2 = K(x-a) of (x-a)2 = K(y-b) (x-xo) 2/a2 + (y-yo) 2/b2 = 1 of xy = K, waarbij xo, yo, a, b en K constant zijn. Deze hebben de naam conische curven omdat deze figuren (cirkels, ellipsen, parabolen of hyperbolen) het resultaat zijn van het snijpunt van een vlak met een kegel. Een cirkel is bijvoorbeeld het snijpunt van een kegel met een loodvlak met de hoofdas van de kegel.
• nadat u op @RESET heeft gedrukt. Druk op @@OK@@ om het resetten van de waarden te voltooien. Druk op L om terug te keren naar het hoofdmenu. Plot de grafiek: @ERASE @DRAW. Opmerkingen: de bereiken H-View en V-View zijn geselecteerd om het snijpunt van de twee curven weer te geven. Er is geen algemene regel voor het selecteren van deze bereiken, alleen op basis van de informatie over de curven.
Parametrische diagrammen Parametrische diagrammen in het vlak zijn diagrammen waarvan de coördinaten worden gegenereerd via het systeem van vergelijkingen x = x(t) en y = y(t), waarbij t de parameter is. Een voorbeeld van zo’n grafiek is de baan van een projectiel, x(t) = x0 + v0⋅COS θ0⋅t, y(t) = y0 + v0⋅sin θ0⋅t – ½⋅g⋅t2. Om deze vergelijkingen, met de constante waarde x0, y0, v0 en θ0, te plotten, moeten we de waarden van deze parameters in variabelen opslaan.
• andere diagramtypen, maar we stellen de laagste en hoogste waarden van de onafhankelijke variabele eerst als volgt in: Selecteer het veld Indep Low door op ˜˜ te drukken. Wijzig deze waarde in 0@@@OK@@@. Wijzig daarna de waarde High in 2@@@OK@@@. Voer 0. 1@@@OK@@@ in voor de waarde Step (dus step = 0.1). Opmerking: door middel van deze instellingen geven we aan dat de parameter t de waarden van t = 0, 0.1, 0.2, …, enz. zal aannemen totdat de waarde 2.0 bereikt wordt. • Druk op @AUTO.
• Druk op L@CANCL om terug te keren naar de omgeving PLOT WINDOW. Druk vervolgens op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Als we dan naar de labels van de softmenutoetsen kijken, zien we dat we de volgende variabelen hebben: t, EQ, PPAR, Y, X, g, θ0, V0, Y0, X0.
• • Gebruik de pijltoetsen, š™—˜, om door de tabel te bewegen. Druk op $ om terug te keren naar het normale beeldscherm van de rekenmachine. Deze procedure voor het aanmaken van een tabel die overeenkomt met het huidige diagramtype, kan op andere diagramtypen worden toegepast. De oplossing van eenvoudige differentiaalvergelijkingen plotten Het diagram van een eenvoudige differentiaalvergelijking krijgt u door Diff Eq te selecteren in het veld TYPE van de PLOT SETUP-omgeving.
• • • • • • • • • • • • Druk op ˜. De cursor staat nu in het veld Indep. Druk op ³~ „t@@@OK@@@ om de onafhankelijke variabele te wijzigen in t. Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Druk op „ò, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om in het venster PLOT te komen (in dit geval heet het venster PLOT WINDOW – DIFF EQ). Wijzig de parameters van H-VIEW en V-VIEW in: H-VIEW: -15, V-VIEW: -11.
• Druk op @EDIT L @LABEL @MENU om de labels en het bereik van de assen te zien. U ziet dat de labels voor de assen worden weergegeven als 0 (horizontaal) en 1 (verticaal). Dit zijn de definities voor de assen die in het venster PLOT WINDOW (zie hierboven) worden gegeven, dus H-VAR (t): 0 en V-VAR(x): 1. • Druk op LL@)PICT voor het menu en terug te keren naar de PICTomgeving. Druk op (X,Y) om de coördinaten van een punt in de grafiek te bepalen.
• • Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Druk op „ò, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het venster PLOT te gaan (in dit geval wordt dit PLOT WINDOW – TRUTH window genoemd). We laten de standaardwaarde voor het bereik van het venster staan: H-View: -6,5 6,5, V-View: -3,9 4,0 (Gebruik L @RESET om ze te resetten (selecteer Reset all) @@OK@@ L).
• Druk op @ERASE @DRAW om het waarheidsdiagram te tekenen. Wees opnieuw geduldig terwijl de rekenmachine de grafiek aanmaakt. Als u het diagram wilt onderbreken, drukt u een keer op $. Druk vervolgens op @CANCEL . Kolomdiagrammen, staafdiagrammen en puntgrafieken plotten Kolomdiagrammen, staafdiagrammen en puntgrafieken worden gebruikt voor het plotten van discrete gegevens die in de gereserveerde variabele ΣDAT zijn opgeslagen.
In het stapelgeheugen moet een softmenutoets ΣDAT staan. In de onderstaande afbeelding wordt het opslaan van deze matrix in de ALG-modus weergegeven: Zo maakt u de grafiek: • • • • • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Verander TYPE in Bar. Er verschijnt een matrix in het veld ΣDAT. Dit is de matrix die we eerder in ΣDAT hebben opgeslagen. Markeer het veld Col:. In dit veld kunt u de kolom van ΣDAT kiezen die moet worden geplot.
Staafdiagrammen zijn handig voor het plotten van categorische (dus nietnumerieke) gegevens. Stel dat u de gegevens in kolom 2 van de ΣDAT-matrix wilt plotten: • • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Druk op ˜˜ om het veld Col: te markeren en typ 2 @@@OK@@@, gevolgd door L@@@OK@@@. Druk op „ò, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Wijzig de V-View in: V-View: 0 6 Druk op @ERASE @DRAW.
• • Druk op LL@)PICT om de EDIT-omgeving te verlaten. Druk op @CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOW-omgeving. Druk vervolgens op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Ga als volgt te werk om y vs. z te plotten: • • • • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Druk op ˜˜ om het veld Cols: te markeren.
Richtingscoëfficiëntvelden worden gebruikt om de oplossingen van een differentiaalvergelijking in de vorm y’ = f(x,y) te visualiseren. Eigenlijk staan er in het diagram segmenten die de oplossingscurven raken, omdat y’ = dy/dx, geëvalueerd op elk punt (x,y), de richtingscoëffiënt van de raaklijn bij punt (x,y) weergeeft.
Als u de diagram van de richtingscoëfficiëntvelden op papier kunt maken, kunt u lijnen met de hand volgen die de lijnsegmenten in het diagram raken. Deze lijnen bestaan uit lijnen van y(x,y) = constant, voor de oplossing van y’ = f(x,y). De richtingscoëfficiëntvelden zijn dus handig voor het in beeld brengen van moeilijk op te lossen vergelijkingen.
• • • • • Druk op ˜ en voer ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@ in. Zorg ervoor dat ‘X’ is geselecteerd als de variabele Indep: en ‘Y’ als de variabele Depnd:. Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Druk op „ò, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT WINDOW te gaan.
• • • Druk op @EXIT wanneer u klaar bent. Druk op @CANCL om terug te keren naar het PLOT WINDOW. Druk op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Probeer ook een Snelle 3D-grafiek voor het vlak z = f(x,y) = sin (x2+y2) • • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Druk op ˜ en voer ‘SIN(X^2+Y^2)’ @@@OK@@@ in. Druk op @ERASE @DRAW om het diagram te tekenen. Druk op @EXIT wanneer u klaar bent.
De coördinaten XE, YE, ZE staan voor “oogcoördinaten”, de coördinaten waar vandaan een toeschouwer het diagram ziet. De gegeven waarden zijn de standaardwaarden. De waarden Step Indep: en Depnd: geven het aantal stippellijnen aan dat in het diagram gebruikt moet worden. Hoe groter het aantal, hoe langer het duurt voordat de grafiek gemaakt is. Voor nu zullen we de standaardwaarden van 10 en 8 voor de Step-gegevens laten staan. • • • • • • Druk op @ERASE @DRAW om het driedimensionale oppervlak te tekenen.
• • Verander de oogcoördinaten als volgt: XE:3 YE:3 ZE:3 Druk op @ERASE @DRAW om het diagram van het oppervlak te zien. Nu zien we dat het grootste deel van het diagram aan de rechterzijde van het beeldscherm staat. • • Druk op @CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOW-omgeving. Druk op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren.
projecties van vlakke oppervlakken z = constant op het x-y-vlak. Als u bijvoorbeeld een Ps-Contour-diagram voor het oppervlak z = x2+y2 wilt maken, doet u het volgende: • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. • Wijzig TYPE in Ps-Contour. • Druk op ˜ en typ ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@. • Zorg dat ‘X’ is geselecteerd als de variabele Indep: en ‘Y’ als de variabele Depnd: . • Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren.
• Druk op @ERASE @DRAW om het diagram van het richtingscoëfficiëntveld te tekenen. Druk op @EDIT L@)LABEL @LABEL om het diagram zonder menu en met identificatielabels te bekijken. • • Druk op LL@)PICT om de EDIT-omgeving te verlaten. Druk op @CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOW-omgeving. Druk vervolgens op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Y-snede-diagrammen Y-snede-diagrammen (Y-Slice) zijn geanimeerde diagrammen van z-vs.
• • Druk op $ om de animatie te stoppen. Druk op @CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOW-omgeving. Druk op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Probeer ook een Ps-Contour-diagram voor het vlak z = f(x,y) = (x+y) sin y. • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. • Druk op ˜ en voer ‘(X+Y)*SIN(Y)’ @@@OK@@@ in. • Druk op @ERASE @DRAW om de Y-Slice-animatie te maken. • Druk op $ om de animatie te stoppen.
• • • • • Houd de standaardbereiken voor het diagramvenster als volgt: X-Left:-1, XRight:1, Y-Near:-1 Y-Far: 1, XXLeft:-1 XXRight:1, YYNear:-1, yyFar: 1, Step Indep: 10 Depnd: 8 Druk op @ERASE @DRAW om het roosterdiagram te tekenen. Het resultaat is een rooster van functies dat overeenkomt met de reële en denkbeeldige delen van een complexe functie. Druk op @EDIT L@LABEL @MENU om de grafiek met labels en bereiken te bekijken. Druk op LL@)PICT @CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOWomgeving.
Als u bijvoorbeeld een Pr-oppervlak-diagram voor het oppervlak x = x(X,Y) = X sin Y, y = y(X,Y) = x cos Y, z=z(X,Y)=X wilt maken, doet u het volgende: • • • • • • • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Wijzig TYPE in Pr-Surface. Druk op ˜ en voer ‘{X*SIN(Y), X*COS(Y), X}’ @@@OK@@@ in. Zorg dat ‘X’ is geselecteerd als de variabele Indep: en ‘Y’ als de variabele Depnd:.
Interactief tekenen Als we een tweedimensionale grafiek maken, krijgen we in het grafiekscherm de softmenutoets @)EDIT. Als u ediT drukt, verschijnt een menu met de volgende opties (druk op L voor extra functies): Met de bovenstaande voorbeelden kunt u de functies LABEL, MENU, PICT en REPL proberen. Veel van de overgebleven functies, zoals DOT+, DOT-, LINE, BOX, CIRCL, MARK, DEL, enz., kunnen worden gebruikt om punten, lijnen, cirkels, enz.
• Druk op @EDIT L @LABEL om labels aan de grafiek toe te voegen. Druk op LL (of „«) het originele menu EDIT op te roepen. We zullen nu het gebruik van de verschillende tekenfuncties op het resulterende grafiekscherm illustreren. Gebruik de cursor en de pijltjestoetsen (š™— ˜) om de cursor in het grafiekscherm te bewegen. DOT+ en DOTAls DOT+ is geselecteerd, worden de pixels geactiveerd als de cursor beweegt, waardoor er een spoor van de cursorpositie achterblijft.
naar rechts en druk op @LINE. Er wordt een lijn getekend tussen het eerste en het laatste punt. U ziet dat de cursor aan het eind van deze lijn nog altijd actief is, wat aangeeft dat de rekenmachine een lijn kan plotten vanuit dat punt. Druk op ˜ om de cursor omlaag te bewegen, bijvoorbeeld een cm, en druk weer op @LINE. U moet nu een rechte hoek krijgen met een horizontaal en een verticaal segment. De cursor is nog steeds actief. Als u op @LINE drukt, wordt de cursor zonder te bewegen geïnactiveerd.
Probeer dit commando door de cursor op een leeg gebied in de grafiek te zetten en op @MARK te drukken. Zet de cursor op een ander punt en druk op @CIRCL. Er wordt een cirkel centraal om MARK getekend die door het laatste punt loopt. LABEL Als u op @LABEL drukt, worden de labels in de x- en y-assen van het huidige diagram geplaatst. Deze functie hebben we al regelmatig gebruikt in dit hoofdstuk. DEL Dit commando wordt gebruikt om delen van de grafiek tussen de twee MARKposities te verwijderen.
bij de cursorpositie geplaatst. Als u dus een grafiek wilt maken uit het stapelgeheugen dat het grafiekvenster volledig vult, moet de cursor in de linkerbovenhoek in het beeldscherm staan. PICT Dit commando plaatst een kopie van de grafiek in het grafiekvenster in het stapelgeheugen als een grafiekobject. Het grafiekobject dat in het stapelgeheugen wordt geplaatst, kan worden opgeslagen met een variabelennaam voor opslag of andere bewerkingen.
horizontale en verticale door de gebruiker gedefinieerde eenheidbereiken voor de betreffende pixelbereiken. Wijzig de H-Factor in 8., en druk op @@@OK@@@, wijzig de V-Factor in 2., en druk op @@@OK@@. Verwijder het vinkje voor Recenter on cursor en druk op @@@OK@@. Als u weer in de grafiekweergave zit, drukt u op @@ZIN@ .
HZIN, HZOUT, VZIN en VZOUT Deze functies zoomen in en uit het grafiekscherm in horizontale of verticale richting aan de hand van de huidige H- en V-factoren. CNTR Zoomt in met het midden van het zoomvenster op de huidige cursorpositie. De gebruikte zoomfactoren zijn de huidige H- en V-factoren. ZDECI Zoomt de grafiek om de limieten van het x-interval tot een decimale waarde af te ronden. ZINTG Zoomt de grafiek in zodat de pixeleenheden door de gebruiker gedefinieerde eenheden worden.
Het SYMBOLIC-menu en grafieken Het SYMBOLIC-menu wordt geactiveerd met de toets P (vierde toets vanaf links in de vierde rij vanaf boven). In dit menu staan een aantal menu’s voor het Computer Algebraic System of CAS, namelijk: Op een na zijn deze menu’s direct toegankelijk via het toetsenbord door de juiste toetsencombinaties als volgt in te drukken. Het hoofdstuk van de gebruikershandleiding waarin deze menu’s worden beschreven, staat ook vermeld: ALGEBRA.. ‚× (the 4 key) Ch. 5 ARITHMETIC..
PLOTADD(functie): voegt deze functie toe aan de lijst met te plotten functies, hetzelfde als „ô Plot setup: hetzelfde als „ô SIGNTAB(functie): tekentabel van bepaalde functies met intervallen van positieve en negatieve variantie, nulpunten en oneindige asymptoten TABVAL: tabel met waarden voor een functie TABVAR: variantietabel voor een functie Voorbeelden van sommige van deze functies ziet u hieronder. PLOT(X^2-1) is gelijk aan „ô met EQ: X^2 -1.
TABVAR(LN(X)/X) produceert de volgende variatietabel: Een gedetailleerde interpretatie van de variatietabel is eenvoudiger te volgen in de RPN-modus: De uitkomst heeft een grafisch opmaak, met de originele functie, F(X), de afgeleide F’(X) meteen na de afleiding en na vereenvoudiging, en uiteindelijk een variantietabel. De tabel bestaat uit twee rijen, met rechts de labels. De bovenste rij geeft de waarden van X en de tweede rij geeft de waarden van F.
De functie DRAW3DMATRIX Deze functie heeft als argument een n×m-matrix, Z, = [ zij ], en de minimum- en maximumwaarden voor het diagram. U wilt de waarden vmin en vmax selecteren, zodat ze de waarde in Z bevatten. De algemene oproep voor deze functie is daarom DRAW3DMATRIX(Z,vmin,vmax). Om het gebruik van deze functie te illustreren, maken we eerst een matrix van 6×5 met RANM({6,5}) en roepen we daarna de functie DRAW3DMATRIX op. Dat ziet er als volgt uit: Het diagram heeft de opmaak van een FAST3DPLOT.
Hoofdstuk 13 Calculustoepassingen In dit hoofdstuk laten we toepassingen zien van de functies van de rekenmachine op bewerkingen die betrekking hebben op calculus, bijvoorbeeld limieten, afgeleiden, integralen, machtreeksen, enz. Het menu CALC (Calculus) Veel van de functies in dit hoofdstuk staan in het menu CALC van de rekenmachine dat toegankelijk is met de toetsencombinatie „Ö (behorende bij de toets 4).
De functie lim De rekenmachine biedt de functie lim om limieten van functies te berekenen. Deze functie gebruikt als invoer een uitdrukking die een functie weergeeft en de waarde waarvan de limiet dient te worden berekend. De functie lim is beschikbaar via de commandocatalogus (‚N~„l) of via optie 2 LIMITS & SERIES… in het menu CALC (zie hierboven).
Het oneindigheidssymbool behoort bij de toets 0, d.w.z. „è. Om een eenzijdige limiet te bepalen, dient men +0 of -0 bij te voegen aan de waarde van de variabele. Een “+0” betekent een rechter limiet, terwijl een “-0” een linker limiet betekent.
De functies DERIV en DERVX De functie DERIV wordt gebruikt om afgeleiden die betrekking op een onafhankelijke variabele aan te nemen, terwijl de functie DERVX afgeleiden aanneemt m.b.t. de standaard CAS-variabele VX (standaard ‘X’). Functie DERVX is direct via het menu CALC beschikbaar en beide functies zijn beschikbaar in het submenu DERIV.&INTEG in het menu CALCL („Ö). De functie DERIV vereist een functie, bijv. f(t), en een onafhankelijke variabele, bijv. t.
Van deze functies worden DERIV en DERVX gebruikt voor afgeleiden. De andere functies zijn functies voor primitieven en integralen (IBP, INTVX, PREVAL, RISCH, SIGMA en SIGMAVX), voor Fourierreeksen (FOURIER) en voor vectoranalyse (CURL, DIV, HESS, LAPL). Hieronder behandelen we de functies DERIV en DERVX, de resterende functies worden of later in dit Hoofdstuk of in volgende hoofdstukken behandeld. Afgeleiden berekenen met ∂ Het symbool is beschikbaar als ‚¿ (de toets T).
Voer vervolgens de te differentiëren functie in, bijv. s*ln(s): Om de afgeleide in de vergelijkingenschrijver te evalueren, drukt u vier keer op de pijltoets omhoog —om de hele uitdrukking te selecteren. Druk dan op @EVAL. De uitdrukking wordt in de vergelijkingenschrijver geëvalueerd als: Opmerking: het symbool ∂ wordt formeel in de wiskunde gebruikt om een partiële afgeleide aan te duiden, d.w.z. de afgeleide van een functie met meer dan een variabele.
De termen d1 voor g(x) en f(g(x)) in de bovenstaande uitdrukking zijn afkortingen die de rekenmachine gebruikt om een eerste afgeleide aan te duiden wanneer de onafhankelijke variabele, in dit geval x, duidelijk gedefinieerd is. Het laatste resultaat wordt dus geïnterpreteerd als in de hierboven getoonde uitdrukking voor de kettingregel. Hier is nog een voorbeeld van een kettingregeltoepassing: Afgeleiden van vergelijkingen U kunt de rekenmachine gebruiken om afgeleiden van vergelijkingen te berekenen, d.
het isteken verplaatst. Het isteken werd tevens verwijderd, maar het is duidelijk dat de resulterende uitdrukking gelijk is aan nul. Impliciete afgeleiden Impliciete afgeleiden zijn mogelijk in uitdrukkingen als: Toepassing van afgeleiden Afgeleiden kunnen gebruikt worden om grafieken van functies te analyseren en om functies van een variabele te optimaliseren (d.w.z. het vinden van de minima en maxima). Enkele toepassingen van afgeleiden ziet u hieronder.
Het resulterende diagram ziet er als volgt uit: • • • • U ziet dat er verticale lijnen zijn die asymptoten weergeven. Deze maken geen deel uit van de grafiek maar laten punten zien waar TAN(X) naar ± ∞ gaat voor bepaalde waarden van X. Druk op TRACE @(X,Y)@ en beweeg de cursor naar het punt X: 1.08E0, Y: 1.86E0. Druk vervolgens op L@)@FCN@ @SLOPE. De uitkomst is Richtingscoëfficiënt: 4.45010547846. Druk op LL@TANL.
aangeeft dat de functie tussen –∞ en -1 niet gedefinieerd is en tussen 1 en +∞ ook niet. Het domein van deze functie is daarom -1
Een tweede voorbeeld van de functie SIGNTAB ziet u hieronder: Hier is de functie negatief voor X<-1 en positief voor X> -1. De functie TABVAR Deze functie is toegankelijk via de commandocatalogus of via het submenu GRAPH in het menu CALC. Als invoer gebruikt deze functie de functie f(VX), waarbij VX de standaard CAS-variabele is.
Druk op $ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Druk op ƒ om deze laatste uitkomst uit het stapelgeheugen te halen. Twee reeksen die corresponderen met de bovenste en de onderste rij van de grafiekmatrix die eerder werd getoond, staan nu op niveau 1. Deze reeksen kunnen handig zijn voor programmeerdoeleinden. Druk op ƒ om deze laatste uitkomst uit het stapelgeheugen te halen.
In deze afbeelding beperken we ons tot het bepalen van de extreme punten van de functie y = f(x) in het x-interval [a,b]. Binnen dit interval vinden we twee punten x = xm en x = xm waarbij f’(x)=0. Het punt x = xm, waarbij f”(x)>0, geeft een lokaal minimum weer terwijl het punt x = xm waarbij f”(x)<0 een lokaal maximum weergeeft. Uit de grafiek van y = f(x) blijkt dat het absolute maximum in het interval [a,b] zich bevindt op x = a en het absolute minimum op x = b.
Het laatste scherm laat zien dat f”(11/3) = 14, dus x = 11/3 een relatief minimum is. Voor x = -1 krijgen we het volgende: Deze uitkomst geeft aan dat f”(-1) = -14, dus x = -1 een relatief maximum is. Evalueer de functie op deze punten om te verifiëren dat f(-1) > f(11/3) inderdaad waar is. Hogere orde afgeleiden Hogere orde afgeleiden kunnen berekend worden door meerdere keren een afgeleide functie toe te passen, bijv.
De functies INT, INTVX, RISCH, SIGMA en SIGMAVX De rekenmachine geeft de functies INT, INTVX, RISCH, SIGMA en SIGMAVX om primitieven van functies te berekenen. De functies INT, RISCH en SIGMA werken met functies met willekeurige variabelen. De functies INTVX en SIGMAVX gebruiken functies van de CAS variabele VX (standaard ‘x’). De functies INT en RISCH vereisen derhalve niet alleen dat de uitdrukking voor de functie geïntegreerd is maar ook de naam van de onafhankelijke variabele.
Om eindige integralen te berekenen, geeft de rekenmachine ook het integralensymbool als de toetsencombinaties ‚Á (behorende bij de toets U). De eenvoudigste manier om een integraal aan te maken, is met de vergelijkingenschrijver (zie hoofdstuk 2 voor een voorbeeld). In de vergelijkingenschrijver geeft het symbool ‚Á het integraalteken en voorziet in plaatshouders voor de integratielimieten (a,b), voor de functie f(x) en voor de integratievariabele (x).
De integraal kan ook in de vergelijkingenschrijver worden geëvalueerd door de hele uitdrukking te selecteren en de softmenutoets EVAL te gebruiken. Stap-voor-stap evaluatie van afgeleiden en integralen Met de optie Step/Step geselecteerd in de het scherm CAS MODES (zie hoofdstuk 1) wordt de evaluatie van afgeleiden en integralen stap voor stap getoond. Hier is bijvoorbeeld de evaluatie van een afgeleide in de vergelijkingenschrijver.
!!! U ziet dat de stap-voor-stapprocedure informatie verschaft over de tussenstappen van CAS om deze integraal op te lossen. Eerst identificeert CAS een vierkantswortelintegraal, vervolgens een rationele breuk en een tweede rationele uitdrukking om dan het uiteindelijke resultaat te tonen. U ziet dat deze stappen voor de rekenmachine belangrijk zijn, ook al krijgt de gebruiker niet voldoende informatie over de individuele stappen.
Substitutie of wissel van variabelen Stel dat we de integraal willen berekenen. Als we een stapsgewijze berekening gebruiken in de vergelijkingenschrijver is dit de opeenvolging van substituties van variabelen: Deze tweede stap laat de juiste te gebruiken substitutie zien u = x2-1. De laatste vier stappen laten de voortgang in de oplossing zien: een vierkantswortel gevolgd door een breuk, een tweede breuk en het uiteindelijke resultaat.
twee functies y = u(x)v(x) wordt gegeven door dy = u(x)dv(x) +du(x)v(x), of eenvoudigweg d(uv) = udv - vdu. Dus de integraal van udv = d(uv) - vdu, wordt geschreven als ∫ udv = ∫ d (uv) − ∫ vdu . Omdat volgens de definitie van een integraal ∫dy = y, schrijven we de vorige uitdrukking als ∫ udv = uv − ∫ vdu . Deze formulering, die we partiële integratie noemen, kan worden gebruikt om een integraal te vinden als dv makkelijk te integreren is.
∫ X5 +5 dX X 4 + 2X 3 + X te integreren, kunnen we de breuk als volgt ontleden in partiële componentbreuken: De directe integratie geeft met wat wisselen van de termen hetzelfde resultaat (Rigorous-modus ingesteld in het CAS – zie hoofdstuk 2): Oneigenlijke integralen Dit zijn integralen met oneindige limieten van integratie. Gewoonlijk gaan we met een oneigenlijke integraal om door eerst de integraal te berekenen als een limiet naar oneindig, bijv. ∫ ∞ 1 ε dx dx = lim x 2 ε →∞ ∫ 1 x 2 .
Anders kunt u de integraal direct naar oneindig evalueren, bijv. Integratie met eenheden Een integraal kan worden berekend met eenheden die in de integratiegrenzen zijn opgenomen, zoals u in het onderstaande voorbeeld in de ALG-modus kunt zien. Het CAS is ingesteld op de modus Approx. In de linkerafbeelding ziet u de integraal ingevoerd in de regeleditor voordat er op ` is gedrukt. In de rechterafbeelding ziet u het resultaat als er al wel op ` is gedrukt.
2 – De eenheden van de bovengrenzen moeten gelijk zijn aan de eenheden van de ondergrenzen. Anders geeft de rekenmachine gewoon de nietgewaardeerde integraal. Bijvoorbeeld: 3 – De integrant kan ook eenheden hebben. Bijvoorbeeld: 4 – Als beide integratiegrenzen en de integrant eenheden hebben, worden de resulterende eenheden gecombineerd volgens de integratieregels. Bijvoorbeeld: Oneindige reeksen ∞ Een oneindige reeks heeft de vorm: ∑ h ( n )( x − a ) n .
waarbij f(n)(x) de n-de afgeleide van f(x) weergeeft met betrekking tot x, f(0)(x) = f(x). Indien de waarde x0 nul is, wordt de reeks een Maclaurin-reeks genoemd, d.w.z.
De Functies TAYLR, TAYLR0 en SERIES De functies TAYLR, TAYLR0 en SERIES worden gebruikt om Taylor-polynomen en Taylor-reeksen met resttermen te genereren. Deze functies zijn beschikbaar in het menu CALC/LIMITS&SERIES dat eerder in dit hoofdstuk is behandeld. De functie TAYLOR0 ontwikkelt een Maclaurin-reeks uit, d.w.z. rond X = 0 van een uitdrukking in de standaard onafhankelijke variabele VX (standaard ‘X’). De uitbreiding gebruikt een 4e orde relatieve macht, d.w.z.
Plaats de inhoud op niveau 1van het stapelgeheugen door op ƒ te drukken en vervolgens op μ te drukken om de lijst te ontleden. Het resultaat ziet u hieronder: In de bovenstaande rechterafbeelding gebruiken we de regeleditor om de reeksuitbreiding in detail te bekijken. Blz.
Hoofdstuk 14 Multi-variabele calculustoepassingen Met multi-variabel calculus worden functies van twee of meer variabelen bedoeld. In dit hoofdstuk laten we de basisconcepten zien van multi-variabele calculus, met onder meer partiële afgeleiden en meervoudige integralen. Multi-variabele functies Een functie van twee of meer variabelen kan in de rekenmachine worden gedefinieerd met de functie DEFINE („à).
∂f f ( x + h, y ) − f ( x, y ) = lim . h → 0 ∂x h En: ∂f f ( x, y + k ) − f ( x , y ) . = lim k → 0 ∂y k We gebruiken de eerder gedefinieerde multi-variabele functies om partiële afgeleiden te berekenen aan de hand van deze definities. Dit zijn de afgeleiden van f(x,y) met betrekking tot respectievelijk x en y: U ziet dat bij de definitie van een partiële afgeleide met betrekking tot bijvoorbeeld x vereist daty vast wordt gehouden, terwijl we als limiet h 0 nemen.
te berekenen. U weet nog dat de functie DERVX de CAS-standaardvariabele VX (meestal ‘X’) gebruikt. Daarom kunt u met DERVX alleen afgeleiden berekenen met betrekking tot X.
Afgeleiden van de derde, vierde en vijfde orde worden op gelijke manier gedefinieerd. Als u afgeleiden van een hogere orde wilt berekenen met de rekenmachine, herhaalt u de afgeleidenfunctie gewoon zo vaak als nodig is. U ziet hieronder enkele voorbeelden: De kettingregel voor partiële afgeleiden Neem de functie z = f(x,y), waarbij x = x(t), y = y(t). De functie z staat eigenlijk voor een samengestelde functie van t als we deze schrijven als z = f[x(t),y(t)].
dz/dt = (dy/dt)⋅(∂z/∂y) + (dx/dt)⋅(∂z/∂x). Differentiaaltotale van een functie z = z(x,y) Uit de laatste vergelijking, als we vermenigvuldigen met dt, krijgen we de differentiaaltotale van de functie z = z(x,y), dus dz = (∂z/∂x)⋅dx + (∂z/∂y)⋅dy. Een andere versie van de kettingregel is van toepassing als z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v), dus z = f[x(u,v), y(u,v)].
We vinden kritische punten bij (X,Y) = (1,0) en (X,Y) = (-1,0). Om de discriminant te berekenen gaan we verder met het berekenen van de twee afgeleiden, fXX(X,Y) = ∂2f/∂X2, fXY(X,Y) = ∂2f/∂X/∂Y en fYY(X,Y) = ∂2f/∂Y2. Het laatste resultaat geeft aan dat de discriminant Δ = -12X is, dus voor (X,Y) = (1,0), Δ <0 (zadelpunt) en voor (X,Y) = (-1,0), Δ>0 en ∂2f/∂X2<0 (relatief maximum).
De functie HESS gebruiken om uiterste waarden te analyseren Met de functie HESS kunnen de uiterste waarden van een functie van twee variabelen worden geanalyseerd, zoals u hierna kunt zien. De functie HESS neemt meestal als invoer een functie van n onafhankelijke variabelen φ(x1, x2, …,xn) en een vector van de functies [‘x1’ ‘x2’…’xn’].
De resulterende matrix A heeft a11 elementen a11 = ∂2φ/∂X2 = -6., a22 = ∂2φ/ ∂X2 = -2. en a12 = a21 = ∂2φ/∂X∂Y = 0. De discriminant voor dit kritische punt s1(-1,0) is Δ = (∂2f/∂x2)⋅ (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 = (-6.)(-2.) = 12.0 > 0. Omdat ∂2φ/∂X2 <0, geeft punt s1 een relatief maximum. Nu vervangen we het tweede punt, s2, in H: J @@@H@@@ @@s2@@ SUBST ‚ï Vervang s2 door H De resulterende matrix heeft elementen a11 = ∂2φ/∂X2 = 6., a22 = ∂2φ/∂X2 = 2. en a12 = a21 = ∂2φ/∂X∂Y = 0.
Jacobi-matrix van coördinaattransformatie Neem de coördinaattransformatie x = x(u,v), y = y(u,v). De Jacobi-matrix van deze transformatie wordt gedefinieerd als: ⎛ ∂x ⎜ | J |= det( J ) = det⎜ ∂u ⎜ ∂y ⎜ ⎝ ∂u ∂x ⎞ ⎟ ∂v ⎟ . ∂y ⎟ ⎟ ∂v ⎠ Als u een integraal berekent met zo’n transformatie, moet u de uitdrukking ∫∫ φ ( x, y)dydx = ∫∫ φ[ x(u, v), y(u, v)] | J | dudv worden gebruikt, waarbij R R' R’ het gebied R uitdrukt in de coördinaten in (u,v).
∂x | J |= ∂r ∂y ∂r ∂x ∂θ = cos(θ ) − r ⋅ sin(θ ) = r ∂y sin(θ ) r ⋅ cos(θ ) ∂θ Met dit resultaat worden de integralen in polaire coördinaten geschreven als β ∫∫ φ (r,θ )dA = ∫α ∫ R' g (θ ) f (θ ) φ ( r,θ )rdrdθ waarbij het gebied R’ in polaire coördinaten wordt geschreven als R’ = {α < θ < β, f(θ) < r < g(θ)}. Dubbele integralen in polaire coördinaten kunnen in de rekenmachine worden ingevoerd, zodat de Jacobi-matrix |J| = r aan de integrant wordt toegevoegd.
Hoofdstuk 15 Toepassingen van vectoranalyse In dit hoofdstuk laten we een aantal functies zien uit het menu CALC die van toepassing zijn op de analyse van scalaire en vectorvelden. Het menu CALC is uitvoerig behandeld in hoofdstuk 13. Met name in het menu DERIV&INTEG zijn een aantal functies geïdentificeerd die in vectoranalyses worden toegepast, namelijk CURL, DIV, HESS, LAPL. Wijzig voor de oefeningen in dit hoofdstuk de hoekmeting naar radialen.
bepaalde vector. Deze veranderingssnelheid noemt men de directionele afgeleide van de functie, Duφ(x,y,z) = u•∇φ. Op elk moment doet de maximale veranderingssnelheid van de functie zich voor in de richting van de gradiënt, dus via een eenheidvector u = ∇φ/|∇φ|. De waarde van die directionele afgeleide is gelijk aan de grootte van de gradiënt op elk punt Dmaxφ(x,y,z) = ∇φ •∇φ/|∇φ| = |∇φ| De vergelijking φ(x,y,z) = 0 geeft een oppervlak in de ruimte aan.
De functie HESS gebruiken om de gradiënt te krijgen De functie HESS kan worden gebruikt om als volgt de gradiënt van een functie te verkrijgen. Zoals we al in hoofdstuk 14 lieten zien, neemt de functie HESS als invoer een functie van n onafhankelijke variabelen φ(x1, x2, …,xn) en een vector van de functies [‘x1’ ‘x2’…’xn’].
Omdat functie SQ(x) de waarde x2 geeft, betekent dit resultaat dat de potentiaalfunctie voor het vectorveld F(x,y,z) = xi + yj + zk, φ(x,y,z) = (x2+y2+z2)/2 is. U ziet dat de voorwaarden voor het bestaan van φ(x,y,z), namelijk f = ∂φ/∂x, g = ∂φ/∂y en h = ∂φ/∂z, gelijk zijn aan de volgende voorwaarden: ∂f/∂y = ∂g/ ∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x en ∂g/∂z = ∂h/∂y. Deze voorwaarden bieden een snelle manier om te bepalen of het vectorveld een bijbehorende potentiaalfunctie heeft.
Laplace-operator De divergentie van de gradiënt van een scalaire functie geeft een operator, de laplace-operator. De laplace-operator van een scalaire functie φ(x,y,z) wordt weergegeven als ∇ 2φ = ∇ • ∇ φ = ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 De partiële-differentieelvergelijking ∇2φ = 0 staat bekend als de laplacevergelijking. De functie LAPL kan worden gebruikt om de laplace-operator van een scalaire functie te berekenen.
Rotatievrije velden en potentiaalfunctie Eerder in dit hoofdstuk hebben we de functie POTENTIAL geïntroduceerd voor het berekenen van de potentiaalfunctie φ(x,y,z) voor een vectorveld, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+ g(x,y,z)j+ h(x,y,z)k, zodat F = grad φ = ∇φ. We hebben ook aangegeven dat de voorwaarden voor het bestaan van φ de volgende waren: ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x en ∂g/∂z = ∂h/∂y. Deze voorwaarden zijn gelijk aan de vectoruitdrukking. rotatie F = ∇×F = 0.
De rekenmachine bevat de functie VPOTENTIAL, via de commandocatalogus (‚N), voor de berekening van de vectorpotentiaal, Φ(x,y,z), met het vectorveld, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k. Met het vectorveld F(x,y,z) = -(yi+zj+xk) geeft de functie VPOTENTIAL bijvoorbeeld het volgende: dus Φ(x,y,z) = -x2/2j + (-y2/2+zx)k. We merken daarbij op dat er meerdere vectorpotentiaalfuncties Φ kunnen zijn voor een gegeven vectorveld F.
De voorwaarde ∇•F ≠ 0 staat weergegeven in het volgende beeldscherm: Blz.
Hoofdstuk 16 Differentiaalvergelijkingen In dit hoofdstuk laten we voorbeelden zien van oplossingen voor gewone differentiaalvergelijkingen (ODE) met de functies van de rekenmachine. Een differentiaalvergelijking is een vergelijking die betrekking heeft op afgeleiden van de onafhankelijke variabele. In de meeste gevallen zoeken we de afhankelijke functie die aan de differentiaalvergelijking voldoet.
De uitkomst is ‘∂x(∂x(u(x)))+3*u(x)*∂x(u(x))+u^2=1/x ’. Deze vorm verschijnt in het scherm wanneer de optie _Textbolk in de beeldscherminstellingen (H@)DISP) niet is geselecteerd. Druk op ˜ om de vergelijking te zien in de vergelijkingenschrijver.
SUBST(‘∂t(∂t(u(t)))+ ω0^2*u(t) = 0’,‘u(t)=A*SIN (ω0*t)’) ` EVAL(ANS(1)) ` In de RPN-modus: ‘∂t(∂t(u(t)))+ ω0^2*u(t) = 0’ ` ‘u(t)=A*SIN (ω0*t)’ ` SUBST EV L De uitkomst is ‘0=0’. Voor dit voorbeeld kunt u ook ‘∂t(∂t(u(t))))+ ω0^2*u(t) = 0’ gebruiken om de differentiaalvergelijking in te voeren.
Deze functies worden hieronder kort beschreven. Ze worden verderop in dit hoofdstuk uitvoeriger behandeld. DESOLVE: ILAP: LAP: LDEC: Differentiaalvergelijking SOLVer, geeft indien mogelijk een oplossing Inverse LAPlace transformatie, L-1[F(s)] = f(t) LAPlace transformatie, L[f(t)]=F(s) lost Lineaire Differentiaalvergelijking op met Constante coëfficiënten, inclusief stelsels van differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten.
Deze beide invoergegevens dienen gegeven te worden met betrekking tot de standaard onafhankelijke variabele voor het CAS van de rekenmachine (gewoonlijk X) De uitvoer van de functie is de algemene oplossing van de ODE. De functie LDEC is beschikbaar in het menu CALC/DIFF. De voorbeelden zijn weergegeven in de RPN-modus. Het omzetten naar de ALG-modus is echter eenvoudig. Voorbeeld 1 – De homogene ODE oplossen: d3y/dx3-4⋅(d2y/dx2)-11⋅(dy/ dx)+30⋅y = 0, voer in: 0 ` 'X^3-4*X^2-11*X+30' ` LDEC μ.
Als we de combinatie van constanten die de exponentiele termen vergezellen vervangen door eenvoudige waarden, dan wordt K3 = -(750*C0(125*C1+125*C2+2))/3000 de volgende uitdrukking y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x + (450⋅x2+330⋅x+241)/13500 We herkennen de eerste drie termen als de algemene oplossing van de homogene vergelijking (zie bovenstaande voorbeeld 1) Als yh de oplossing voor de homogene vergelijking weergeeft, d.w.z., yh = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x.
2x1’(t) + x2’(t) = 0. In algebraïsche vorm wordt dit geschreven als: A⋅x’(t) = 0, waarbij ⎡1 2 ⎤ A=⎢ ⎥ . Het stelsel kan worden opgelost door de functie LDEC te ⎣2 1 ⎦ gebruiken met argumenten [0,0] en matrix A zoals in het volgende scherm wordt getoond in de ALG-modus: De oplossing wordt gegeven als een vector die de functies [x1(t), x2(t)] bevat. Door op ˜ te drukken, zal de Matrixschrijver geactiveerd worden waardoor de gebruiker de twee componenten van de vector kan zien.
'd1y(x)+x^2*y(x)=5' ` 'y(x)' ` DESOLVE De gegeven oplossing is {‘y = (INT(5*EXP(xt^3/3),xt,x)+cC0)*1/EXP(x^3/3)’ }, d.w.z. ( ) y ( x) = exp(− x 3 / 3) ⋅ ∫ 5 ⋅ exp( x 3 / 3) ⋅ dx + cC 0 . De variabele ODETYPE In de toetslabels van het sofmenu zult u een nieuw variabele genaamd @ODETY (ODETYPE) zien staan. Deze variabele is aangemaakt bij het oproepen van de functie DESOL en bevat een string die het soort ODE toont dat gebruikt wordt als invoer voor DESOLVE.
U kunt in de rekenmachine proberen het volgende te integreren: ‘d1y(x) = (C + EXP(x))/x’ ` ‘y(x)’ ` DESOLVE De uitkomst is { ‘y(x) = INT((EXP(xt)+C)/xt,xt,x)+C0’ } d.w.z. y ( x) = ∫ ⋅ ex + C dx + C 0 x Als we de integratie met de hand uitvoeren, komen we niet verder dan: ex y ( x) = ∫ ⋅ dx + C ⋅ ln x + C 0 x omdat de integraal van exp(x)/x niet in gesloten vorm beschikbaar is. Voorbeeld 3 – Een vergelijking met beginvoorwaarden oplossen.
Druk op μμ om het resultaat te vereenvoudigen naar ‘y(t) = -((19*5*SIN(√5*t)-(148*COS(√5*t)+80*COS(t/2)))/190)’. Druk op J @ODETY om de string “Linear w/ cst coeff” te krijgen voor het ODE-type van dit geval. Laplace-transformaties De Laplace-transformatie van een functie f(t) geeft een functie F(s) in het imagedomein die gebruikt kan worden om de oplossing te vinden van een lineaire differentiaalvergelijking met betrekking tot f(t) middels algebraïsche methodes. Deze toepassing omvat drie stappen: 1. 2.
De convolutieintegraal of het convolutieproduct van twee functies f(t) en g(t), waarbij g wordt verplaatst in tijd wordt gedefinieerd als ( f * g )( t ) = ∫ t 0 f ( u ) ⋅ g ( t − u ) ⋅ du . Laplace-transformaties en inversies in de rekenmachine De rekenmachine geeft de functies LAP en ILAP om respectievelijk de Laplacetransformatie en de inverse Laplace-transformatie te berekenen voor een functie f(VX) waarin VX de standaard onafhankelijke CAS-variabele is, die u op X in zou moeten stellen.
Als u dit resultaat op papier zet, zou dat er als volgt uitzien F ( s ) = L{e 2t ⋅ sin t} = 1 s − 4⋅s +5 2 Voorbeeld 3 – Bepaal de inverse Laplace-transformatie van F(s) = sin(s). Gebruik: ‘SIN(X)’ ` ILAP. De rekenmachine geeft het volgende resultaat: ‘ILAP(SIN(X))’, hetgeen betekent dat er geen ‘closed form’ uitdrukking f(t) is, zo dat f(t) = L -1{sin(s)}. Voorbeeld 4 – Bepaal de inverse Laplace-transformatie van F(s) = 1/s3. Gebruik: ‘1/X^3’ ` ILAP μ.
• Differentiatiestelling voor de tweede afgeleide. Bij fo = f(0) en (df/dt)o = df/dt|t=0, dan L{d2f/dt2} = s2⋅F(s) - s⋅fo – (df/dt) o. Voorbeeld 2 – Als een vervolg op Voorbeeld 1, wordt de versnelling a(t) gedefinieerd als a(t) = d2r/dt2. Als de beginsnelheid vo = v(0) = dr/dt|t=0 is dan kan de Laplacetransformatie van de versnelling geschreven worden als: A(s) = L{a(t)} = L{d2r/dt2}= s2⋅R(s) - s⋅ro – v o. • Differentiatiestelling voor de n-de afgeleide.
L • {∫ t 0 } f (u )du = 1 ⋅ F ( s ). s Convolutiestelling. Bij F(s) = L{f(t)} en G(s) = L{g(t)}, dan L {∫ t 0 } f (u ) g (t − u )du = L{( f * g )(t )} = L{ f (t )} ⋅L{g (t )} = F ( s) ⋅ G ( s ) Voorbeeld 4 – Zoek met de convolutiestelling de Laplace-transformatie van (f*g)(t), als f(t) = sin(t), en g(t) = exp(t). Om F(s) = L{f(t)} te vinden en G(s) = L{g(t)}, gebruik: ‘SIN(X)’ ` LAP μ. Uitkomst ‘1/(X^2+1)’, d.w.z. F(s) = 1/ (s2+1). Ook ‘EXP(X)’ ` LAP. Uitkomst ‘1/(X-1)’, d.w.z. G(s) = 1/(s-1).
L{ f (t )} = • T 1 ⋅ f (t ) ⋅ e − st ⋅ dt. − sT ∫ 0 1− e Limietstelling voor de beginwaarde: Bij F(s) = L{f(t)}, dan f 0 = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s)]. t →0 • s →∞ Limietstelling voor de eindwaarde: Bij F(s) = L{f(t)}, dan f ∞ = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s)].
⎧1, x > 0 H ( x) = ⎨ ⎩0, x < 0 En voor een continue functie f(x), ∫ ∞ −∞ f ( x) H ( x − x0 )dx = ∫ ∞ x0 f ( x)dx. Dirac’s delta functie en Heaviside’s stapfunctie zijn met elkaar verbonden door dH/dx = δ(x). De twee functies worden geïllustreerd in de afbeelding hieronder. y y (x _ x 0 ) H(x _ x 0 ) 1 x0 U kunt bewijzen dat waaruit volgt dat x x0 x L{H(t)} = 1/s, L{Uo⋅H(t)} = Uo/s, L -1{1/s}=H(t), waarbij Uo een constante is. Ook en L -1{ Uo /s}= Uo⋅H(t).
U kunt Dirac’s delta functie in de rekenmachine verkrijgen door: 1` ILAP De uitkomst is ‘Delta(X)’. Deze uitkomst is gewoon symbolisch, d.w.z. u kunt geen numerieke waarde vinden voor bijv. ‘Delta(5)’. Deze uitkomst kan worden gedefinieerd als de Laplace-transformatie voor Dirac’s deltafunctie, want uit L -1{1.0}= δ(t), volgt dat L{δ(t)} = 1.0 En als we de verschuivingstelling gebruiken voor een verschuiving naar rechts, L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s), kunnen we L{δ(t-k)}=e–ks⋅L{δ(t)} = e–ks⋅1.
L{dh/dt + k⋅h(t)} = L{a⋅e–t}, L{dh/dt} + k⋅L{h(t)} = a⋅L{e–t}. Opmerking: ‘EXP(-X)’ ` LAP geeft ‘1/(X+1)’, d.w.z. L{e–t }=1/(s+1). Met H(s) = L{h(t)} en L{dh/dt} = s⋅H(s) - ho, waarbij ho = h(0) is de getransformeerde vergelijking s⋅H(s)-ho+k⋅H(s) = a/(s+1). Gebruik de rekenmachine om H(s) op te lossen door het volgende te schrijven: ‘X*H-h0+k*H=a/(X+1)’ ` ‘H’ ISOL De uitkomst is ‘H=((X+1)*h0+a)/(X^2+(k+1)*X+k)’.
h(t) = a/(k-1)⋅e -t +((k-1)⋅cCo -a)/(k-1)⋅e-kt. Dus geeft cC0 in de uitkomsten van LDEC de beginvoorwaarde h(0) weer. Opmerking: bij het gebruik van de functie LDEC om een lineaire ODE van de orde n in f(X) op te lossen, wordt de uitkomst gegeven in de vorm van n constanten cC0, cC1, cC2, ..., cC(n-1), die de beginvoorwaarden f(0), f’(0), f”(0), …, f(n-1) (0) weergeven. Voorbeeld 2 – Gebruik Laplace-transformaties om de tweede orde lineaire vergelijking op te lossen, d2y/dt2+2y = sin 3t.
Het resultaat is d.w.z. y(t) = -(1/7) sin 3x + yo cos √2x + (√2 (7y1+3)/14) sin √2x. Controleer wat de oplossing voor de ODE zou zijn met de functie LDEC: ‘SIN(3*X)’ ` ‘X^2+2’ ` LDEC μ Het resultaat is: d.w.z. hetzelfde als voorheen met C0 = y0 en C1 = y1. Opmerking: met de twee voorbeelden die u hier ziet, kunnen we bevestigen wat eerder is aangegeven, nl.
De uitkomst is ‘Y=(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)’. We moeten als volgt de inverse Laplace-transformatie gebruiken om de oplossing te vinden voor de ODE y(t): OBJ ƒ ƒ ILAPμ Isoleert de rechterzijde van de laatste uitdrukking Geeft de inverse Laplace-transformatie De uitkomst is ‘y1*SIN(X)+y0*COS(X)+SIN(X-3)*Heaviside(X-3)’. Opmerking: [1].
Controleer wat de oplossing voor de ODE zou zijn met de functie LDEC: ‘Delta(t-3)’ ` ‘X^2+1’ ` LDEC μ Het resultaat is: ‘SIN(X-3)*Heaviside(X-3) + cC1*SIN(X) + cC0*COS(X)’. U ziet dat de variabele X in deze uitdrukking eigenlijk de variabele t in de originele ODE weergeeft en dat de variabele t in deze uitdrukking een dummyvariabele is.
Verander het H-VIEW bereik in 0 tot 20 en het V-VIEW bereik in -2 tot 2. Druk op @ERASE @DRAW om de functie te plotten. Gebruik van de functie H(X) met LDEC, LAP of ILAP is niet toegestaan in de rekenmachine. U dient de hoofdresultaten die eerder gegeven zijn te gebruiken wanneer u de Heaviside stap-functie gebruikt, d.w.z. L{H(t)} = 1/s, L -1{1/ s}=H(t), L{H(t-k)}=e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = ⋅(1/s)⋅e–ks en L -1{e–as ⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a).
Voorbeeld 3 – Bepaal de oplossing voor de vergelijking d2y/dt2+y = H(t-3), waarbij H(t) Heaviside’s stap functie is. Met de Laplace-transformatie kunnen we L{d2y/dt2+y} = L{H(t-3)}, L{d2y/dt2} + L{y(t)} = L{H(t-3)} schrijven. De laatste term in de uitdrukking is: L{Η(t-3)} = (1/s)⋅e–3s. Met Y(s) = L{y(t)} en L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, waarbij yo = h(0) en y1 = h’(0), is de getransformeerde vergelijking s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + Y(s) = (1/s)⋅e–3s. Wijzig indien nodig de CASmodus in Exact.
Voorbeeld 4 – Plot de oplossing van Voorbeeld 3 met dezelfde waarden van yo en y1 die we hebben gebruikt in het diagram van Voorbeeld 1 hierboven. Nu plotten we de functie y(t) = 0.5 cos t –0.25 sin t + (1+sin(t-3))⋅H(t-3).
Voorbeelden van de diagrammen die gegenereerd worden door deze functies voor Uo = 1, a = 2, b = 3, c = 4, x-bereik = (0,5) en y-bereik = (-1, 1.5) worden getoond in de afbeeldingen hieronder: Fourierreeksen Fourrierreeksen zijn reeksen met sinus- en cosinusfuncties die meestal gebruikt worden om periodieke functies te ontwikkelen. Een functie f(x) wordt periodiek genoemd met periode T, als f(x+T) = f(t).
Approx. Zorg dat deze na het produceren van de grafiek weer op Exact staat.) Stel bijvoorbeeld dat de functie f(t) = t2+t periodiek is met periode T = 2. Om de coëfficiënten a0, a1, en b1 te bepalen voor de corresponderende Fourierreeks gaan we als volgt te werk. Definieer eerst de functie f(t) = t 2+t : Vervolgens gebruiken we de Vergelijkingenschrijver om de coëfficiënten te berekenen: Dus zijn de eerste drie termen van de functie: f(t) ≈ 1/3 – (4/π2)⋅cos (π⋅t)+(2/π)⋅sin (π⋅t).
De functie FOURIER Een alternatieve manier om een Fourierreeks te definiëren, is door complexe getallen als volgt te gebruiken: f (t ) = +∞ ∑c n = −∞ n ⋅ exp( 2inπt ), T waarbij cn = 1 T ∫ T 0 f (t ) ⋅ exp( 2 ⋅ i ⋅ n ⋅π ⋅ t ) ⋅ dt , n = −∞,...,−2,−1,0,1,2,...∞. T De functie FOURIER geeft de coëfficiënt cn van de complexe vorm van de Fourierreeks met de functie f(t) en de waarde van n gegeven.
Vervolgens gaan we naar de subdirectory CASDIR in HOME om de waarde van de variabele PERIOD te veranderen, bijv. „ (vasthouden) §`J @)CASDI `2 K @PERIOD ` Ga terug naar de subdirectory waar u de functies f en g heeft gedefinieerd en bereken de coëfficiënten (Accepteer de wijziging naar de Complex-modus als hierom wordt gevraagd): Dus c0 = 1/3, c1 = (π⋅i+2)/π2, c2 = (π⋅i+1)/(2π2).
De invulling is redelijk acceptabel voor 0
cn = (i⋅n⋅π+2)/(n2⋅π2). de uitkomst is De complexe Fourierreeks samenstellen Als de algemene uitdrukking voor cn eenmaal bepaald is, kunnen we als volgt een eindige complexe Fourierreeks samenstellen met de optelfunctie (Σ) van de rekenmachine: • Definieer eerst een functie c(n) die de algemene term cn weergeeft in de complexe Fourierreeks. • Definieer vervolgens de eindige complexe Fourierreeks F(X,k) waarbij X de onafhankelijke variabele is en k het aantal te gebruiken termen bepaald.
Of in de invoerregel van de rekenmachine invoeren als: DEFINE(‘F(X,k,c0) = c0+Σ(n=1,k,c(n)*EXP(2*i*π*n*X/T)+ c(-n)*EXP(-(2*i*π*n*X/T))’), waarbij T de periode T = 2 is. De volgende beeldscherm laten de definitie van functie F zien en het opslaan van T = 2. De functie @@@F@@@ kan worden gebruikt om de uitdrukking te genereren voor de complexe Fourierreeks voor een eindige waarde van k.
Accepteer indien gevraagd de verandering naar de Approx –modus. De uitkomst is de waarde –0.40467…. De eigenlijke waarde van de functie g(0.5) is g(0.5) = -0.25. De volgende berekeningen laten zien hoe goed de Fourierreeks deze waarde benadert met het stijgen van het aantal componenten in de reeks, gegeven door k. F (0.5, 1, 1/3) = (-0.303286439037,0.) F (0.5, 2, 1/3) = (-0.404607622676,0.) F (0.5, 3, 1/3) = (-0.192401031886,0.) F (0.5, 4, 1/3) = (-0.167070735979,0.) F (0.5, 5, 1/3) = (-0.294394690453,0.
U ziet dat de reeks, met 5 termen, de grafiek van de functie zeer dicht benadert in het interval 0 tot 2 (d.w.z. door de periode T = 2). U kunt ook een periodiciteit zien in de grafiek van de reeks. Deze periodiciteit is gemakkelijk te visualiseren door het x-bereik van het diagram uit te breiden naar (-0.5,4): Fourierreeks voor een zaagtandgolf Bekijk de functie ⎧ x, if 0 < x < 1 g ( x) = ⎨ ⎩2 − x, if 1 < x < 2 waarvan we aannemen dat deze periodiek is met periode T = 2.
De rekenmachine geeft een integraal die niet numeriek kan worden geëvalueerd, omdat deze afhankelijk is van de parameter n. De coëfficiënt kan toch worden berekend door de definitie in de rekenmachine in te voeren, d.w.z. 1 1 ⎛ i⋅2⋅n ⋅π⋅X⎞ ⋅ ∫ X ⋅ EXP⎜ − ⎟ ⋅ dX + 0 2 T ⎝ ⎠ 1 2 ⎛ i⋅2⋅n ⋅π⋅X⎞ ⋅ ∫ (2 − X) ⋅ EXP⎜ − ⎟ ⋅ dX 1 2 T ⎝ ⎠ waarbij T = 2 de periode is.
Druk op `` om deze uitkomst naar het scherm te kopiëren. Activeer dan de vergelijkingenschrijver opnieuw om de tweede integraal te berekenen door de coëfficiënt cn te definiëren, namelijk Nogmaals einπ = (-1)n vervangen en e2inπ = 1 gebruiken en dan krijgen we: Druk op `` om deze tweede uitkomst naar het scherm te kopiëren. Voeg nu ANS(1) en ANS(2) toe om de volledige uitdrukking voor cn te verkrijgen.
Nogmaals einπ = (-1)n vervangen, geeft: Deze uitkomst wordt gebruikt om de functie c(n) als volgt te definiëren: DEFINE(‘c(n) = - (((-1)^n-1)/(n^2*π^2*(-1)^n)’) d.w.z.
De resulterende grafiek ziet u hieronder voor k = 5 (het aantal elementen in de reeks is 2k+1, d.w.z. 11 in dit geval): Het is moeilijk om bij het diagram de originele functie te onderscheiden van de Fourierreeksbenadering. K = 2, of 5 termen in de reeks, blijkt geen erg goede invulling te zijn. De Fourierreeks kan worden gebruikt om een periodieke driehoeksgolf (of zaagtandgolf) te genereren door het x-asbereik bijvoorbeeld te veranderen van –2 in 4.
In dit geval is de periode T 4. Zorg ervoor dat de waarde van de variabele @@@T@@@ in 4 (gebruik: 4 K @@@T@@ `) wordt veranderd. Functie g(X) kan in de rekenmachine worden gedefinieerd met DEFINE(‘g(X) = IFTE((X>1) AND (X<3),1,0)’) De functie ziet als volgt uit (horizontaal bereik: 0 to 4, verticaal bereik:0 to 1.2 ): Met gebruik van een procedure die vergelijkbaar is met die van de driehoekige vorm in voorbeeld 2 hierboven, ziet u dat c0 = 1 T 3 ⋅ ⎛⎜ ∫ 1 ⋅ dX ⎞⎟ = 0.
De vereenvoudiging van de rechterzijde van c(n) hierboven is makkelijker op papier (d.w.z. met de hand). Voer dan nogmaals de uitdrukking in voor c(n) zoals in de bovenstaande linkerafbeelding om de functie c(n) te definiëren. De Fourierreeks wordt berekend met F(X,k,c0) zoals in de bovenstaande voorbeelden 1 en 2 met c0 = 0.5. Voor k = 5, d.w.z. met 11 componenten, wordt bijvoorbeeld de benadering hieronder getoond: Een betere benadering wordt verkregen met k = 10, d.w.z.
We kunnen deze uitkomst gebruiken als de eerste invoer in de functie LDEC wanneer deze wordt gebruikt om een oplossing te krijgen voor het stelsel d2y/ dX2 + 0.25y = SW(X), waarbij SW(X) staat voor de Vierkante Golffunctie van X. Het tweede invoeritem is de karakteristieke vergelijking die correspondeert met de homogene ODE hierboven, d.w.z. ‘X^2+0.25’.
Nu kunnen we het reële gedeelte van deze functie plotten. Wijzig de decimale modus in Standard en gebruik het volgende: De oplossing wordt hieronder getoond: Fouriertransformaties Alvorens Fouriertransformaties te introduceren, zullen we een algemene definitie van een integrale transformatie geven. In het algemeen is een integrale transformatie een transformatie die een functie f(t) verbindt met een nieuwe functie F(s) door integratie van de vorm b F ( s ) = ∫ κ ( s, t ) ⋅ f (t ) ⋅ dt.
Deze geeft een periodieke functie weer met een periode T. Deze Fourierreeks ∞ f ( x) = a0 + ∑ An ⋅ cos(ϖ n x + φ n ), kan worden herschreven als n =1 waarbij ⎛b ⎞ An = a n2 + bn2 , φ n = tan −1 ⎜⎜ n ⎟⎟, ⎝ an ⎠ voor n =1,2, … Naar de amplitude An zal worden verwezen als het spectrum van de functie en het zal een maat zijn voor de grootte van de component van f(x) met frequentie fn = n/T.
ωn = n⋅ω0 = n⋅Δω, (n = 1, 2, …, ∞) waarden aan die steeds dichter bij elkaar liggen en suggereren zo de behoefte aan een continu spectrum van waarden. De niet-periodieke functie kan dus worden geschreven als ∞ f ( x) = ∫ [C (ω ) ⋅ cos(ω ⋅ x) + S (ω ) ⋅ sin(ω ⋅ x)]dω , 0 waarbij C (ω ) = ∞ 1 ⋅ ∫ f ( x) ⋅ cos(ω ⋅ x) ⋅ dx, 2π −∞ S (ω ) = ∞ 1 ⋅ ∫ f ( x) ⋅ sin(ω ⋅ x) ⋅ dx.
De uitkomsten zijn respectievelijk: Het continue spectrum A(ω) wordt berekend als: Definieer deze uitdrukking als een functie met de functie DEFINE („à). Plot dan, binnen het bereik 0 < ω < 10 het continue spectrum als: Definitie van Fouriertransformaties Er kunnen verschillende soorten Fouriertransformaties worden gedefinieerd.
Fouriercosinustransformatie Fc{ f (t )} = F (ω ) = 2 π ⋅∫ ∞ 0 f (t ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ dt Inverse cosinustransformatie ∞ Fc−1 {F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ dt 0 Fouriertransformatie (echte) F { f (t )} = F (ω ) = ∞ 1 ⋅ ∫ f (t ) ⋅ e −iωt ⋅ dt 2π −∞ Inverse Fouriertransformatie (echte). F −1{F (ω )} = f (t ) = ∞ 1 ⋅ ∫ F (ω ) ⋅ e −iωt ⋅ dt 2π −∞ Voorbeeld 1 – Bepaal de Fouriertransformatie van de functie f(t) = exp(-t), voor t >0 en f(t) = 0 voor t<0.
= ω ⎞ 1 ⎛ 1 −i⋅ ⎜ ⎟ 2 1+ω 2 ⎠ 2π ⎝ 1 + ω en dat is een complexe functie. De reële en denkbeeldige delen van de functie kunnen worden geplot, zoals hieronder wordt getoond: Opmerkingen: De absolute waarde van de Fouriertransformatie |F(ω)| is het frequentiespectrum van de originele functie f(t). Voor het voorbeeld hierboven |F(ω)| = 1/[2π(1+ω2)]1/2. Het diagram van |F(ω)| vs. ω werd eerder afgebeeld. Sommige functies, zoals constante waarden, sin x, exp(x), x2, enz. hebben geen Fouriertransformatie.
De volgende eigenschap geldt voor convolutie: F{f*g} = F{f}⋅F{g}. Snelle Fouriertransformatie (FFT) De snelle Fouriertransformatie is een computeralgoritme waarmee men op zeer efficiënte wijze een discrete Fouriertransformatie (DFT) kan berekenen. Dit algoritme heeft toepassingen in de analyse van verschillende soorten tijdsafhankelijke signalen variërend van turbulentiemetingen tot communicatiesignalen.
Voorbeelden van FFT-toepassingen FFT wordt meestal toegepast op gegevens die zijn gediscretiseerd uit een tijdafhankelijk signaal. Die gegevens kunnen uit bijvoorbeeld een computer of een gegevenslogger in de rekenmachine ingevoerd worden om verwerkt te worden. U kunt ook uw eigen gegevens genereren door een functie te programmeren en er een aantal willekeurige getallen aan toe te voegen. Voorbeeld 1 – Definieer de functie f(x) = 2 sin (3x) + 5 cos(5x) + 0.
Om de FFT uit te voeren op de verzameling in stapelgeheugeniveau 1 gebruiken we de functie FFT via het menu MTH/FFT op verzameling ΣDAT: @£DAT FFT. DE FFT geeft een verzameling van complexe getallen die verzamelingen van coëfficiënten Xk van de DFT zijn. De grootte van de coëfficiënten Xk staan voor een frequentiespectrum van de originele gegevens. Om de grootte van de coëfficiënten te verkrijgen, kunt u de verzameling omzetten in een lijst en daarna de functie ABS toepassen op de lijst.
Sla deze versie van het programma op onder de naam GSPEC (Genereer SPECtrum). Voer het programma uit met m = 6, a = 0, b = 100. Gebruik in de RPN-modus: 6#0#100@GSPEC! Druk op ` als u klaar bent voor een extra kopie van de spectrumverzameling. Zet deze rijvector om in een kolomvector en sla deze op in ΣDAT. Na de procedure voor het genereren van een staafdiagram ziet het gegenereerde spectrum er voor dit voorbeeld zoals hieronder uit.
Oplossing voor specifieke tweede-orde differentiaalvergelijkingen In dit gedeelte behandelen we en lossen we specifieke soorten gewone differentiaalvergelijkingen op. De oplossingen van deze differentiaalvergelijkingen worden gedefinieerd met enkele klassieke functies zoals Bessel’s functies, Hermite polynomen, enz. De voorbeelden staan in de RPN-modus.
Wanneer n een niet-negatief heel getal is, noemen we de oplossingen Legendre’s polynomen. Legendre’s polynoom van de orde n wordt gegeven door M Pn ( x) = ∑ (−1) m ⋅ m =0 = (2n − 2m)! ⋅x n − 2 m 2 ⋅ m!⋅(n − m)!⋅(n − 2m)! n (2n)! (2n − 2)! ⋅ xn − n ⋅ x n − 2 + ... − .. 2 2 ⋅ (n!) 2 ⋅ 1!⋅(n − 1)!(n − 2)! n waarbij M = n/2 of (n-1)/2, afhankelijk welke een heel getal is.
worden gegeven in de termen van Besselfuncties van de eerste soort van orde ν: (−1) m ⋅ x 2 m , 2 m +ν ⋅ m!⋅Γ(ν + m + 1) m =0 2 ∞ J ν ( x ) = xν ⋅ ∑ waarbij ν geen heel getal is en de Gamma Γ(α)-functie die gedefinieerd wordt in hoofdstuk 3. Als ν = n, een heel getal, worden de Besselfuncties van de eerste soort voor n = heel getal gedefinieerd door (−1) m ⋅ x 2 m .
y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅J-ν(x). Voor waarden van hele getallen zijn de functies Jn(x) en J-n(x) lineair afhankelijk omdat Jn(x) = (-1)n⋅J-n(x), daarom kunnen we deze niet gebruiken om een algemene functie voor de vergelijking te krijgen.
Met deze definities wordt een algemene oplossing voor Bessel’s vergelijking voor alle waarden van ν gegeven door y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅Yν(x). In sommige gevallen is het noodzakelijk om complexe oplossingen te geven voor Bessel’s vergelijkingen door de Besselfuncties van de derde soort van ν orde te definiëren als Hn(1)(x) = Jν(x)+i⋅Yν(x) en Hn(2)(x) = Jν(x)−i⋅Yν(x), Deze functies noemen we ook de eerste en tweede Hankelfuncties van orde ν .
TCHEBYCHEFF een Tchebycheff polynoom van de tweede soort van orde n met als definitie Un(x) = sin(n⋅arccos(x))/sin(arccos(x)). De functie TCHEBYCHEFF is toegankelijk via de commandocatalogus (‚N). De eerste vier Chebyshev of Tchebycheff polynomen van de eerste en tweede soort worden als volgt verkregen: 0 TCHEBYCHEFF, uitkomst: 1, -0 TCHEBYCHEFF, uitkomst: 1, 1 TCHEBYCHEFF, uitkomst: ‘X’, -1 TCHEBYCHEFF, uitkomst: 1, d.w.z. d.w.z. d.w.z. d.w.z. T0(x) = 1.0. U0(x) = 1.0. T1(x) = x. U1(x) =1.0.
⎛n⎞ n! ⎜⎜ ⎟⎟ = = C (n, m) ⎝ m ⎠ m!(n − m)! is de m-ste coëfficiënt van de binominale ontwikkeling (x+y)n. Het geeft ook het aantal combinaties van n elementen genomen m per keer weer. Deze functie is in de rekenmachine beschikbaar als functie COMB in het menu MTH/PROB. (zie hoofdstuk 17).
In de rekenmachine is de functie HERMITE beschikbaar via het menu ARITHMETIC/POLYNOMIAL. De functie HERMITE neemt als argument een heel getal n en geeft de Hermite polynoom van de n-de orde. De eerste vier Hermite polynomen bijvoorbeeld worden verkregen door: 0 HERMITE, uitkomst: 1, d.w.z. H0* = 1. 1 HERMITE, uitkomst: ‘2*X’, d.w.z. H1* = 2x. 2 HERMITE, uitkomst: ‘4*X^2-2’, d.w.z. H2* = 4x2-2. 3 HERMITE, uitkomst: ’8*X^3-12*X’, d.w.z. H3* = 8x3-12x.
Om op te lossen druk op: @SOLVE (wacht) @EDIT@. De uitkomst is 0.2499 ≈ 0.25. Druk op @@@OK@@@. De oplossing wordt weergegeven als een waardetabel Stel dat we een waardetabel willen produceren van v, voor t = 0.00, 0.25, …, 2.00, dan gaan we als volgt te werk: Maak eerst een tabel aan om de uitkomsten in op te schrijven. Schrijf in uw tabel de stapsgewijze uitkomsten: t 0.00 0.25 … 2.00 v 0.00 … Vervolgens verandert u in de SOLVE-omgeving de uiteindelijke waarde van de onafhankelijke variabele in 0.25.
oplossingen worden in het stapelgeheugen weergegeven, met het laatste resultaat op niveau 1. De eindresultaten zien er als volgt uit (afgerond op drie decimalen): t 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 v 4.000 3.285 2.640 2.066 1.562 1.129 0.766 0.473 0.
• • • Verander in het horizontale en verticale opmaakscherm de volgende instellingen: H-VIEW: -1 5; V-VIEW: -1 1.5 Gebruik ook de volgende waarden voor de overgebleven parameters: Init: 0, Final: 5, Step: Default, Tol: 0,0001, Init-Soln: 0 Zo maakt u de grafiek: @ERASE @DRAW Terwijl de grafiek wordt geplot, zien we dat de grafiek niet echt mooi loopt. Dat komt omdat de plotter een te grote tijdstap heeft genomen. Om de grafiek te verfijnen en mooier te laten verlopen, gebruiken we een stap van 0.1.
Numerieke oplossing van ODE van de tweede orde Integratie van ODE’s van de tweede orde kan wordt bereikt door de oplossing als een vector te definiëren. Stel dat een massa-veer-systeem onderhevig is aan een dempende kracht die in proportie staat tot de snelheid. De resulterende differentiaalvergelijking is: d 2x dx = −18.75 ⋅ x − 1.962 ⋅ 2 dt dt of x" = - 18.75 x - 1.962 x', afhankelijk van de beginvoorwaarden v = x' = 6, x = 0, at t = 0. We willen x x' vinden bij t = 2.
Druk op @SOLVE (vasthouden) @EDIT om w(t=2) op te lossen. De oplossing luidt [.16716… -.6271…], d.w.z. x(2) = 0.16716 en x'(2) = v(2) = -0.6271. Druk op @CANCL om terug te keren naar de SOLVE-omgeving. De oplossing wordt weergegeven als een waardetabel In het vorige voorbeeld waren we enkel geïnteresseerd in het vinden van de waarden van de positie en snelheid op een gegeven tijd t. Als we een tabel zouden willen produceren van waarden van x en x', voor t = 0.00, 0.25, …, 2.00, gaan we als volgt te werk.
0.25 0.968 1.368 1.50 0.141 1.362 0.50 0.748 -2.616 1.75 0.227 0.268 0.75 -0.015 -2.859 2.00 0.167 -0.627 1.00 -0.469 -0.607 Grafische oplossing van een ODE van de tweede orde Activeer eerst de numerieke differentiaalvergelijkingsolver ‚ Ï ˜ @@@OK@@@. Het SOLVE-scherm dient er als volgt uit te zien; Merk op dat de beginvoorwaarde voor de oplossing (Soln: w Init:[0., …) de vector [0, 6] bevat. Druk op L @@OK@@.
Druk op „ò (tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus) om naar de PLOT WINDOW-omgeving te gaan. Verander het invoerscherm zodanig dat het er als volgt uitziet: Zo maakt u de grafiek x’ vs. t: @ERASE @DRAW. De grafiek van x’ vs. t ziet er als volgt uit: Om de tweede curve te plotten, moeten we nogmaals het invoerscherm van de PLOT SETUP te gebruiken. Voer het volgende uit om naar dit scherm te gaan vanuit de grafiek hierboven: @CANCL L @@OK@@ „ô(tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus) .
Numerieke oplossing van starre ODE van de eerste orde Bekijk de ODE: dy/dt = -100y+100t+101 met beginvoorwaarde y(0) = 1. Exacte oplossing Deze vergelijking kan worden geschreven als dy/dt + 100 y = 100 t + 101, en als volgt worden opgelost met een integratiefactor IF(t) = exp(100t): ‘(100*t+101)*EXP(100*t)’ ` ‘t’ ` RISCH De uitkomst is ‘(t+1)*EXP(100*t)’. Vervolgens kunnen we een integratieconstante toevoegen met ‘C’ `+ Dan delen we de uitkomst door Fl(x) met: ‘EXP(100*t)’ `/.
variabele. In dit speciale geval bevat de algemene oplossing y(t) = 1+ t +C⋅e100t, de componenten ‘t’ en ‘C⋅e100t’, die variëren op heel verschillende snelheden behalve voor de gevallen C=0 of C≈0 (bijv. voor C = 1, t =0.1, C⋅e100t =22026). De numerieke ODE solver van de rekenmachine kan stijve ODE’s oplossen met de optie _Stiff in het beeldscherm SOLVE Y’(T) = F(T,Y). Met deze optie geselecteerd, moet u de waarden van ∂f/∂y en ∂f/∂t geven. In dit geval is dat ∂f/∂y =-100 en ∂f/∂t = 100.
De functie RKF Deze functie wordt gebruikt om de oplossing van een beginwaardeprobleem voor een differentiaalvergelijking van de eerste orde te berekenen met het Runge-Kutta-Fehlbert 4e -5e orde oplossingsschema. Stel dat de op te lossen differentiaalvergelijking wordt gegeven door dy/dx = f(x,y), met y = 0 bij x = 0 en dat u een convergentiecriterium e toestaat voor de oplossing. U kunt ook een toename specificeren voor de onafhankelijke variabele Δx die de functie moet gebruiken.
Na het toepassen van de functie RKF bevat de variabele @@@y@@@ de waarde 4.3880... De functie RRK Deze functie lijkt op de functie RKF, behalve dat RRK (Rosenbrock en RungeKutta methodes) als de invoerlijst in stapelgeheugenniveau 3 niet alleen de namen van de onafhankelijke en afhankelijke variabelen en de functie die de differentiaalvergelijking vereist, maar ook de uitdrukkingen voor de eerste en tweede afgeleiden van de uitdrukking.
De waarde die in variabele y is opgeslagen, is 3.00000000004. De functie RKFSTEP Deze functie gebruikt een invoerlijst die lijkt op die van de functie RKF, net als de tolerantie voor de oplossing en een mogelijke stap Δx en geeft dezelfde invoerlijst, gevolgd door de tolerantie en een schatting van de volgende stap in de onafhankelijke variabele. De functie geeft de invoerlijst, de tolerantie en de volgende stap in de onafhankelijke variabele die voldoet aan die tolerantie.
4: 3: 2: 1: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} ε Δx LAST Na deze functie laat het stapelgeheugen de volgende regels zien: 4: 3: 2: 1: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} ε (Δx)next CURRENT Deze functie werd dus gebruikt om de juiste grootte van een tijdstap ((Δx)next) te bepalen om te voldoen aan de gewenste tolerantie, en de methode die werd gebruikt om bij dat resultaat te komen (CURRENT).
Dus wordt deze functie gebruikt om de toename Δy in de oplossing en de absolute fout (error) te bepalen. De volgende schermweergaven tonen het RPN-stapelgeheugen voor en na toepassing van de RKFERR-functie. Dit resultaat toont dat Δy = 0.827… en fout = -1.89…×10 -6. De functie RSBERR Deze functie is gelijk aan RKERR, maar met de invoerelementen voor de functie RRK.
Opmerking: wanneer u de commando's in het menu DIFF uitvoert, krijgt u de waarden van x en y en zullen deze als variabelen in uw rekenmachine worden opgeslagen. De resultaten die worden gegeven door de functies in deze paragraaf zijn afhankelijk van de huidige waarden van x en y. Sommige resultaten die hierboven worden weergegeven kunnen verschillen van de resultaten die uw rekenmachine geeft. Blz.
Hoofdstuk 17 Waarschijnlijkheidstoepassingen In dit hoofdstuk laten we voorbeelden van toepassingen zien van de functies van de rekenmachine voor kansverdelingen. Het submenu MTH/PROBABILITY..– deel 1 Het submenu MTH/PROBABILITY.. is toegankelijk via de toetsencombinatie „´. Met systeemvlag 117 ingesteld op de CHOOSE boxes (keuzevensters) wordt de volgende lijst met opties MTH gegeven (zie de onderstaande linkerafbeelding). We hebben de optie PROBABILITY..
⎛ n ⎞ n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1) n! ⎜⎜ ⎟⎟ = = r! r!(n − r )! ⎝r⎠ Om de notatie te vereenvoudigen gebruiken we P(n,r) voor permutaties en C(n,r) voor combinaties. We kunnen combinaties, permutaties en faculteiten berekenen met de functies COMB, PERM en ! van het submenu MTH/ PROBABILITY...
lijst met getallen waaraan een extra willekeurig getal is gekoppeld, zoals u in de rechterafbeelding kunt zien. Generatoren voor willekeurige getallen werken meestal door een waarde te nemen, het zogenaamde “zaadgetal“ van de generator, en op dat “zaadgetal“ een wiskundige algoritme uit te voeren, zodat er een nieuw (pseudo-)willekeurig getal ontstaat.
De functie RNDM(n,m) kan worden gebruikt om een matrix van n rijen en m kolommen te genereren waarvan de elementen willekeurige hele getallen tussen -1 en 1 zijn (zie hoofdstuk 10). Discrete kansverdelingen Een willekeurige variabele is discreet als hij alleen een eindig aantal waarden aan kan nemen. Het aantal regenachtige dagen op een bepaalde locatie kan bijvoorbeeld worden beschouwd als een discrete willekeurige variabele omdat we ze alleen als gehele getallen rekenen.
waarbij (nx) = C(n,x) de combinatie is van n elementen die x op een moment aannemen. De waarden n en p zijn de parameters van de verdeling. De waarde n staat voor het aantal herhalingen van een experiment of observatie die een van de twee uitkomsten kan hebben, dus succes en mislukking. Als de willekeurige variabele X voor het aantal successen in de n herhalingen staat, dan staat p voor de waarschijnlijke kans op een succes bij een herhaling.
• pmfb: • cdfb: • pmfp: • cdfp: (probability mass function) waarschijnlijkheidsmassafunctie voor de binomische verdeling (cumulative distribution function) cumulatieve verdelingsfunctie voor de binomische verdeling (probability mass function) waarschijnlijkheidsmassafunctie voor de Poisson-verdeling (cumulative distribution function) cumulatieve verdelingsfunctie voor de Poisson-verdeling Voorbeelden van berekeningen met deze functies ziet u hieronder: Continue kansverdelingen De kansverdeling voo
De gammaverdeling De kansverdelingsfunctie (pdf) voor de gammaverdeling wordt gegeven als f ( x) = 1 x ⋅ x α −1 ⋅ exp(− ), for β β Γ(α ) x > 0, α > 0, β > 0; α De bijbehorende (cumulatieve) verdelingsfunctie (cdf) zou worden gegeven door een integraal die geen ‘closed-form’ oplossing heeft. De exponentiële verdeling De exponentiële verdeling is de gammaverdeling met a = 1.
Functies voor continue verdelingen Als we een verzameling functies willen definiëren die overeenkomt met de gamma-, de exponentiële, bèta- en Weibull-verdelingen, moeten we eerst een subdirectory met de naam CFUN (Continue FUNcties) aanmaken en de volgende functies definiëren (wijzig naar Approx-modus): Gamma pdf : Gamma cdf: 'gpfd (x) = x^(α-1)*EXP(-x/β)/(β^α*GAMMA(α))' 'gcdf(x) = ∫(0,x,gpdf(t),t)' Bèta pdf : ' βpdf(x)= GAMMA(α+β)*x^(α-1)*(1-x)^(β-1)/(GAMMA(α)*GAMMA(β))' Bèta cdf: Exponentiële pfd: Expo
Na dit commando worden de menulabels als volgt weergegeven (Druk op L om naar de tweede lijst te gaan. Druk nogmaals op L om weer naar de eerste lijst te gaan): Sommige voorbeelden van de toepassing van deze functies voor de waarden van α = 2, β = 3, ziet u hieronder. U ziet de variabele IERR die in de tweede schermweergave verschijnt. Dit is het resultaat van een numerieke integratie voor de functie gcdf.
Pdf normale verdeling De uitdrukking voor de pdf van de normale verdeling wordt gegeven als: f ( x) = 1 σ 2π exp[− (x − μ )2 ], 2σ 2 waarbij μ het gemiddelde en σ2 de variantie van de verdeling is. Gebruik voor het berekenen van de waarde van f(μ,σ2,x) voor de normale verdeling de functie NDIST met de volgende argumenten. het gemiddelde, μ, de variantie, σ2, en de waarde x , dus NDIST(μ,σ2,x). Controleer bijvoorbeeld dat voor een normale verdeling, f(1.0,0.5,2.0) = 0.20755374.
Voorbeelden: Bij μ = 1.5, en σ2 = 0.5, vinden: P(X<1.0) = 1 - P(X>1.0) = 1 - UTPN(1.5, 0.5, 1.0) = 0.239750. P(X>2.0) = UTPN(1.5, 0.5, 2.0) = 0.239750. P(1.0
Voorbeelden: bepaal de volgende waarden met ν = 12 als gegeven: P(T<0.5) = 1-UTPT(12,0.5) = 0.68694.. P(-0.5 -1.2) = UTPT(12,-1.2) = 0.8733… De Chi-kwadraatverdeling De Chi-kwadraatverdeling (χ2) heeft een parameter ν, bekend als de vrijheidsgraden.
P(X> 20) = UTPC(6,20) = 2.769..E-3 De F-verdeling De F-verdeling heeft twee parameters νN = vrijheidsgraad van de teller en νD = vrijheidsgraad van de noemer. De kansverdelingsfunctie (pdf) wordt gegeven als νN ν2N ν2N −1 )⋅( ) ⋅ F Γ( νD 2 f ( x) = νN νD νN ⋅ F (νN +2νD ) ) Γ( ) ⋅ Γ( ) ⋅ (1 − νD 2 2 νN + νD De rekenmachine geeft voor waarden van de bovenste (cumulatieve) verdelingsfunctie voor de F-verdeling, functie UTPF, met de parameters νN en νD en de waarde F.
Inverse cumulatieve verdelingsfuncties Voor een continu willekeurig getal X met cumulatieve dichtheidsfunctie (cdf) F(x) = P(X
Om het plot te produceren, moeten de waarden α, β en p worden opgeslagen, voordat er wordt geprobeerd te plotten. Voor α = 2, β = 3 en p = 0.3 is het plot van Y(X) voor de Gamma-verdeling het volgende: (U ziet dat, door de complexe aard van de functie Y(X), het enige tijd duurt voordat de grafiek wordt geproduceerd. Wees geduldig.) Er zijn twee wortels van deze functie die u kunt vinden met behulp van de functie @ROOT binnen de plotomgeving.
Voor de normale, Student-t-, Chi-kwadraat- (χ2) en F-verdelingen, die worden weergegeven door de functies UTPN, UTPT, UPTC en UTPF in de rekenmachine, kan de inverse cuff worden gevonden door een van de volgende vergelijkingen op te lossen: • • • • Normaal, Student-t, Chi-kwadraat, F-verdeling: p p p p = = = = 1 1 1 1 – – – – UTPN(μ,σ2,x) UTPT(ν,t) UTPC(ν,x) UTPF(νN,νD,F) U ziet dat de tweede parameter in de UTPN-functie σ2 en niet σ2 is, wat de variantie van de verdeling aangeeft.
Dit invoervenster kan worden gebruikt om een van de vier variabelen uit deze vergelijking voor de normale verdeling op te lossen. Om de oplossing van vergelijkingen met de functies UTPN, UTPT, UTPC en UTPF te vereenvoudigen, kunt u een subdirectory UTPEQ aanmaken, als u de hierboven gegeven vergelijkingen wilt opslaan: Op dit punt heeft u dus vier vergelijkingen op te lossen.
P(X>x) = α. Daarnaast werken we meestal bij de normale deling met de standaard normale verdeling waarbij μ =0 en σ2 = 1. De normale standaardvariabele wordt meestal Z genoemd, dus het probleem dat we moeten oplossen is dus P(Z>z) = α.
Hoofdstuk 18 Statistische Toepassingen In dit hoofdstuk laten we statistische toepassingen zien van de rekenmachine, waaronder statistieken van een steekproef, frequentieverdeling van gegevens, eenvoudige regressie, betrouwbaarheidsintervallen en het toetsen van hypothesen. Voorgeprogrammeerde statistische functies De rekenmachine geeft de vooraf geprogrammeerde functies die u via de toetsencombinatie ‚Ù (dezelfde toets als de toets 5) krijgt.
Als u een kolomvector in variabele ΣDAT wilt opslaan, gebruikt u de functie STOΣ, via de catalogus (‚N), bijvoorbeeld STOΣ (ANS(1)) in de ALGmodus. Voorbeeld 1 – Maak met het programma LXC, zie hierboven, een kolomvector met de volgende gegevens: 2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.5 1.6 2.2 1.2 2.5. Zet de gegevens in de RPG-modus in een lijst: {2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.5 1.6 2.2 1.2 2.5 } `@LXC Gebruik de functie STOΣ om de gegevens in ΣDAT op te slaan.
Totaal: 25.6, Maximum: 4.5, Minimum: 1.1 Definities De gebruikte definities voor deze hoeveelheden zijn de volgende: Stel dat u de gegevenspunten s x1, x2, x3, … heeft, die staan voor de verschillende metingen van dezelfde discrete of continue variabele x. De verzameling van alle mogelijke waarden van de hoeveelheid x wordt de populatie van x genoemd. Een eindige populatie heeft slechts een vast aantal elementen xi.
Voorbeelden van berekeningen van deze metingen, met behulp van lijsten, staan in hoofdstuk 8. De mediaan is de waarde die de gegevensverzameling in het midden opsplitst als de elementen in oplopende volgorde zijn gerangschikt. Als u een oneven getal, n, van geordende elementen heeft, dan is de mediaan van deze steekproef de waarde in de positie (n+1)/2. Als u een even getal, n, van elementen heeft, dan is de mediaan het gemiddelde van elementen in de posities n/2 en (n+1)/2.
Het bereik van de steekproef is het verschil tussen de maximum- en minimumwaarden van de steekproef. Omdat de rekenmachine via de vooraf geprogrammeerde statistische functies de maximum- en minimumwaarden van de steekproef geeft, kunt u het bereik eenvoudig berekenen. Variatiecoëfficiënt De variatiecoëfficiënt van een steekproef combineert het gemiddelde, een meting van centrale tendens, met de standaardafwijking, een meting van spreiding en wordt als een percentage gedefinieerd als: Vx = (sx/⎯x)100.
Definities Om de betekenis van deze parameters te begrijpen geven we de volgende definities: Met een gegeven verzameling van n gegevenswaarden: {x1, x2, …, xn} die niet in een bepaalde volgorde staan, moeten deze gegevens vaak in een reeks klassen worden gegroepeerd door de frequentie of het aantal waarden voor elke klasse te tellen. (Opmerking: in de rekenmachine worden klassen benoemd met bins).
• • • • en sla deze op onder de naam RDLIST (RanDom number LIST generator, generatrice voor willekeurige getallen). Genereer de lijst met 200 getallen met RDLIST(200) in de ALG-modus of 200 ` @RDLIST@ in de RPN-modus. Gebruik het programma LXC (zie hierboven) om de gegenereerde lijst om te zetten in een kolomvector. Sla de kolomvector op in ΣDAT met de functie STOΣ. Haal vervolgens informatie over de enkele variabele op met: ‚Ù @@@OK@@@.
klasse. Tenslotte krijgen we de cumulatieve frequentie door aan elke waarde in de laatste kolom, behalve de eerste, de frequentie van de volgende rij toe te voegen en het resultaat in de laatste kolom van de volgende rij te vervangen. Voor de tweede klasse is de cumulatieve frequentie 18+15 = 33, terwijl voor klassenummer 3 de cumulatieve frequentie 33 + 16 = 49 is, enz. De cumulatieve frequentie staat voor de frequentie van de getallen die kleiner of gelijk zijn aan de bovenste grens van een klasse.
Kolomdiagrammen Een kolomdiagram is een staafdiagram met de frequentietelling als de hoogte van de staven terwijl de klassengrenzen aan de voet van de staven staan. Als uw ruwe gegevens (dus de originele gegevens voor de frequentietelling) in de variabele ΣDAT staan, kunt u Histogram selecteren als grafiektype en informatie geven over de beginwaarde van x, het aantal bins en de binbreedte, om het kolomdiagram te genereren.
Een diagram van frequentietelling, fi, vs. klassenmiddens, xMi, noemen we een frequentiepolygoon. Een diagram van de cumulatieve frequentie vs. de bovenste grenzen noemen we een cumulatieve frequentieogief. U kunt puntgrafieken produceren die deze twee diagrammen simuleren door de juiste gegevens in de kolommen 1 en 2 van een nieuwe ΣDAT-matrix in te voeren en het Type: te wijzigen in SCATTER in het scherm PLOT SETUP. Gegevens in een functie y = f(x) plaatsen Het programma 3. Fit data..
Niveau 3 toont de vorm van de vergelijking. In dit geval y = 0.06924 + 0.00383 x. Niveau 2 toont de coëfficiënt van de steekproefcorrelatie en niveau 1 toont de covariantie van x-y. Definities Voor een steekproef van de gegevenspunten (x,y) definiëren we de covariantie van de steekproef als s xy = 1 n ∑ ( xi − x )( y i − y ) n − 1 i =1 De coëfficiënt van de steekproefcorrelatie voor x,y wordt gedefinieerd als rxy = s xy sx ⋅ s y .
De covariantie van de steekproef van ξ,η wordt gegeven door sξη = 1 ∑ (ξ i − ξ )(ηi − η ) n −1 We definiëren de steekproefvarianties van respectievelijk ξ en η als 1 n (ξ i − ξ ) 2 sξ = ∑ n − 1 i =1 1 n (η i − η ) 2 sη = ∑ n − 1 i =1 2 2 De coëfficiënt van de steekproefcorrelatie rξη is rξη = sξη sξ ⋅ sη De algemene vorm voor de regressievergelijking is η = A + Bξ.
Druk op @@@OK@@@ voor: 3: '3.99504833324*EXP(-.579206831203*X)' 2: Correlation: -0.996624999526 1: Covariance: -6.23350666124 De beste aanpassing voor de gegevens is dus y = 3.995 e -0.58⋅x. Aanvullende samenvattende statistieken verkrijgen De toepassing 4. Summary stats.. in het menu STAT kan handig zijn bij sommige berekeningen voor steekproefstatistieken. Druk nogmaals op ‚Ù om te beginnen, ga naar de vierde optie met de pijltoets omlaag ˜ en druk op @@@OK@@@.
Opmerking: het menu STAT bevat nog twee toepassingen, namelijk 5. Hypth. tests.. en 6. Conf. Interval.. Deze twee toepassingen worden later in dit hoofdstuk behandeld. Berekening van percentielen Percentielen zijn metingen die een gegevensverzameling in 100 delen opdelen. De basisprocedure voor het berekenen van de 100⋅p-de percentiel (0 < p < 1) in een steekproef met grootte n is als volgt: 1. Sorteer de n observaties van klein naar groot. 2. Bepaal het product n⋅p A.
Het softmenu STAT Alle vooraf geprogrammeerde statistische functies die hierboven worden beschreven, zijn toegankelijk via een softmenu,STAT. Het softmenu STAT is in de RPN-modus toegankelijk via het commando: 96 MENU U kunt uw eigen programma maken, bijvoorbeeld @STATm, om het softmenu STAT direct te activeren. De inhoud van dit programma is eenvoudig: « 96 MENU ».
De volgende parameters worden weergegeven: Xcol: geeft kolom van ΣDATA voor x weer (Standaard: 1) Ycol: geeft kolom van ΣDATA voor y weer (Standaard: 2) Intercept: toont snijpunt van de meest recente gegevensaanpassing (Standaard: 0) Slope: toont richtingscoëffiënt van de meest recente gegevensaanpassing (Standaard: 0) Model: toont huidige model gegevensaanpassing (Standaard: LINFIT) De functies van de softmenutoetsen werken als volgt: XCOL : ingevoerd als n @XCOL, wijzigt Xcol in n.
BINS : wordt gebruikt als xs, Δx, n [BINS], geeft frequentiedeling voor gegevens in Xcol-kolom in de ΣDATA-matrix met de frequentiebins gedefinieerd als [xs,xs+Δx], [xs,xs+2Δx],…, [xs,xs+nΔx]. VAR : toont de variantie van elke kolom in de ΣDATA-matrix. PSDEV : toont standaardafwijking voor populatie (op basis van n en niet (n-1)) van elke kolom in de ΣDATA-matrix. PVAR : toont de populatievariantie van elke kolom in de ΣDATA-matrix. MINΣ : toont het gemiddelde van elke kolom in de ΣDATA-matrix.
PREDX : wordt gebruikt als y @PREDX, zoekt x met y gegeven voor de aanpassing y = f(x). PREDY : wordt gebruikt als x @PREDY, zoekt y met x gegeven voor de aanpassing y = f(x). CORR : geeft de correlatiecoëfficiënt voor de meest recentte aanpassing. COV : geeft de steekproefcovariantie voor de meest recentte aanpassing. PCOV : geeft de populatiecovariantie voor de meest recentte aanpassing.
• Gegevens: ⎡ 1.1 ⎢ 3.7 ⎢ ⎢ 2.2 ⎢ ⎢ 5.5 ⎢ 6.8 ⎢ ⎢ 9.2 ⎢10.0 ⎣ • • 3.7 7.8 ⎤ 8.9 101 ⎥⎥ 5.9 25 ⎥ ⎥ 12.5 612 ⎥ 15.1 2245 ⎥ ⎥ 19.9 24743⎥ 21.
1 @PREDX @CORR @@COV@@ L@PCOV • 3.50 1.0 23.04 19.74… Haal samenvattende statistieken op voor gegevens in de kolommen 1 en 2: @)STAT @)SUMS: @@@£X@@ @@@£Y@@ @@£X2@ @@£Y2@ @@£XY@ @@@N£@@ • geeft geeft geeft geeft geeft geeft geeft geeft geeft geeft 38.5 87.5 280.87 1370.23 619.
• • @)STAT @£PAR @)MODL @BESTF toont EXPFIT als de beste aanpassing voor deze gegevens L@)STAT @)FIT @£LINE @CORR 2300 @PREDX 5.2 @PREDY L @)STAT @PLOT @SCATR @STATL geeft '2.6545*EXP(0.9927*X)' geeft 0.99995… (goede correlatie) geeft 6.8139 geeft 463.33 produceert de puntgrafiek van y vs. x toont de lijn voor log-aanpassing Keer als volgt terug naar het menu STAT: L@)STAT Keer als volgt terug naar het variabelenmenu: J.
• • Willekeurige steekproef: een steekproef die representatief is voor de populatie. Willekeurige variabele: echt-gewaardeerde functie gedefinieerd op een steekproefruimte. Kan discreet of continu zijn. Als de populatie een bepaalde waarschijnlijkheidsverdeling volgt die afhankelijk is van een parameter θ, dan kan er een willekeurige steekproef van observaties (X1,X2,X3,... , Xn), van grootte n, worden gebruikt om θ te schatten.
bepaald waarschijnlijkheidsniveau. De eindpunten van het interval noemen we betrouwbaarheidsgrenzen en het interval (a,b) noemen we het betrouwbaarheidsinterval. Definities Stel dat (Cl,Cu) een betrouwbaarheidsinterval is met een onbekende parameter θ. • • • • Het betrouwbaarheidsniveau of de betrouwbaarheidscoëfficiënt is de hoeveelheid (1-α), waarbij 0 < α < 1, zodat P[Cl < θ < Cu] = 1 - α, waarbij P[ ] staat voor een kans (zie hoofdstuk 17).
Pr[Z>zk] = k of Pr[Z
betrouwbaarheidsinterval van 100(1-α) % voor het populatiegemiddelde p (p’+zα/2⋅σp’, p’+zα/2⋅σp’ ). Voor een kleine steekproef (n<30) kan het interval worden geschat als (p’-tn-1,α/2⋅σp’,p’+tn-1,α/2⋅σp’). Steekproefverdeling van verschillen en statistieksommen Stel dat S1 en S2 onafhankelijke statistieken zijn van twee populaties op basis van steekproeven van de respectievelijke grootten n1 en n2.
Voor grotere steekproeven, dus n1 > 30 en n2 > 30 en onbekende maar gelijke populatievarianties σ12 = σ22, worden de betrouwbaarheidsintervallen voor het verschil en de som van de gemiddelde waarden van de populaties, dus μ1±μ2, gegeven door: 2 2 2 2 ⎞ ⎛ ⎜ ( X ± X ) − z ⋅ S1 + S 2 , ( X ± X ) + z ⋅ S1 + S 2 ⎟.
en n, de vrijheidsgraden van de t-variabele, worden berekend met de gehele waarde die het dichtst bij ligt bij ν= [( S12 / n1 ) + ( S 22 / n 2 )] 2 [( S12 / n1 ) /(n1 − 1)] + [( S 22 / n2 ) /(n2 − 1)] Betrouwbaarheidsintervallen bepalen De toepassing 6. Conf Interval is toegankelijk via ‚Ù—@@@OK@@@. De toepassing biedt de volgende opties: Deze opties dienen als volgt geïnterpreteerd te worden: 1. Z-INT: 1 μ.
Voorbeeld 1 – Bepaal het gecentreerde betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde van een populatie als een steekproef van 60 elementen aangeeft dat de gemiddelde waarde van de steekproef⎯x = 23.3 is en de standaarddeviatie s = 5.2 is. Gebruik α = 0.05. Het betrouwbaarheidsniveau is C = 1-α = 0.95. Selecteer geval 1 uit het hierboven afgebeelde menu door op @@@OK@@@ te drukken.
Druk op @GRAPH om een grafische weergave te zien van de informatie van het betrouwbaarheidsinterval: De grafiek toont de kansdichtheidsfunctie (pdf: standaard normale verdeling), de locatie van de kritieke punten ±zα/2, de gemiddelde waarde (23.3) en de corresponderende intervalgrenzen (21.98424 en 24.61576). Druk op @TEXT om terug te keren naar de vorige resultatenschermen en/of druk op @@@OK@@@ om de betrouwbaarheidsintervalomgeving te verlaten.
De variabele Δμ staat voor μ 1 – μ2. Voorbeeld 3 – Een onderzoek van de publieke opinie geeft aan dat in een steekproef van 150 mensen er 60 mensen zijn die voor verhoging van de grondbelasting voor het financieren van enkele openbare projecten zijn. Bereken het betrouwbaarheidsinterval van 99% voor de populatieproportie dat voor de belastingverhoging is. Druk op ‚Ù—@@@OK@@@ om de functie betrouwbaarheidsinterval in de rekenmachine te activeren. Druk op ˜˜ @@@OK@@@ voor selectie van de optie 3.
Druk op ‚Ù—@@@OK@@@ om de functie betrouwbaarheidsinterval in de rekenmachine te activeren. Druk op ˜˜˜@@@OK@@@ voor selectie van optie 4. Z-INT: p1 – p2. Voer de volgende waarden in: Druk op @@@OK@@@ als u klaar bent. e resultaten worden als tekst en grafiek worden hieronder getoond: Voorbeeld 5 – Bereken een betrouwbaarheidsinterval van 95% voor het gemiddelde van de populatie als een steekproef van 50 elementen een gemiddelde van 15.5 en een standaardafwijking van 5 heeft.
De afbeelding toont de pdf van de Student-t voor ν = 50 – 1 = 49 vrijheidsgraden. Voorbeeld 6 -- Bereken het betrouwbaarheidsinterval van 99% voor het verschil in gemiddelde van twee populaties met de steekproefgegevens:⎯x1 = 157.8 ,⎯x2 = 160.0, n1 = 50, n2 = 55. De standaardafwijkingen van de populatie zijn s1 = 13.2, s 2 = 24.5. Druk op ‚Ù—@@@OK@@@ om de functie betrouwbaarheidsinterval in de rekenmachine te activeren. Druk op —@@@OK@@@ voor selectie van optie 6. T-INT: μ1−μ2..
waarden net als voorheen invoeren, maar dan met de optie _pooled geselecteerd. De resultaten zijn dan: Betrouwbaarheidsintervallen voor de variantie Om een formule te ontwikkelen voor het betrouwbaarheidsinterval voor de variantie, introduceren we eerst de steekproefverdeling van de variantie: Neem een willekeurige steekproef X1, X2 ..., Xn van onafhankelijke normaal verdeelde variabelen met gemiddelde μ, variantie σ2 en steekproefgemiddelde ⎯X.
De eenzijdige bovenste betrouwbaarheidsgrens voor σ2 wordt gedefinieerd als (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α. Voorbeeld 1 – Bereken het betrouwbaarheidsinterval van 95% voor de populatievariantie σ2 op basis van de resultaten van een steekproef van grootte n = 25 die aangeeft dat de steekproefvariantie s2 = 12.5 is. In hoofdstuk 17 gebruiken we de numerieke oplosser om de vergelijking α = UTPC(γ,x) op te lossen.
Bij een hypothesetest nemen we een willekeurige steekproef uit de populatie en maken we een statistische hypothese over de populatie. Als de observaties het gestelde model of theorie niet ondersteunen, wordt de hypothese verworpen. Als de observaties de hypothese ondersteunen, dan wordt de hypothese niet verworpen, maar ook niet meteen geaccepteerd. Bij de beslissing hoort een significantieniveau α.
= waarde van teststatistiek, R = verwerpingsgebied, A = acceptatiegebied, dus R∩A = ∅ en R∪A = Ω, waarbij jΩ = de parameterruimte voor T en ∅ = de lege verzameling.
We berekenen eerst de juiste statistiek voor de toets (to of zo), dat doen we als volgt: • Als n < 30 en de standaardafwijking van de populatie, σ, is bekend, dan gebruiken we zo = • σ/ n Als n > 30 en σ is bekend, dan gebruiken we zo zoals hierboven. Als σ niet bekend is, vervangen we s door σ in zo, dus gebruiken we zo = • x − μo x − μo s/ n Als n < 30 en s is onbekend, gebruiken we de t-statistiek met ν = n - 1 vrijheidsgraden.
0.05, met een steekproef van grootte n = 25 met een gemiddelde ⎯x = 22.0 en een standaardafwijking s = 3.5. We gaan er hierbij vanuit dat we de waarde van de standaardafwijking van de populatie niet kennen en dus berekenen we een t-statistiek als volgt: to = x − μ o 22.0 − 22.5 = = −0.7142 s/ n 3.5 / 25 De bijbehorende P-waarde voor n = 25 - 1 = 24 vrijheidsgraden is P-waarde = 2⋅UTPT(24,-0.7142) = 2⋅0.7590 = 1.518, omdat 1.518 > 0.05, dus P-waarde > α, kunnen we nulhypothese Ho niet verwerpen: μ = 22.0.
• • Met z, P-waarde = UTPN(0,1,zo) Met t, P-waarde = UTPT(ν,to) Voorbeeld 2 -- Toets de nulhypothese Ho: μ = 22.0 ( = μo) tegen de alternatieve hypothese, H1: μ >22.5, op een betrouwbaarheidsniveau van 95%, dus α = 0.05, met een steekproef van grootte n = 25 met een gemiddelde ⎯x = 22.0 en een standaardafwijking s = 3.5. We gaan er weer vanuit dat we de waarde van de standaardafwijking van de populatie niet weten.
• • Met z, P-waarde = 2⋅UTPN(0,1,|zo|) Met t, P-waarde = 2⋅UTPT(ν,|to|) waarbij de vrijheidsgraden voor de t-verdeling worden gegeven als ν = n1 + n2 - 2. De toetscriteria zijn • Verwerp Ho als P-waarde < α • Verwerp Ho niet als P-waarde > α.
De variantie voor de steekproef wordt geschat als sp2 = p’(1-p’)/n = k⋅(n-k)/n3. Stel dat de Z-score, Z = (p-p0)/sp, de standaard normale verdeling volgt, dus Z ~ N(0,1). De specifieke waarde van de statistiek die wordt getoetst, is z0 = (p’p0)/sp. We gebruiken de P-waarde nu niet als een criterium voor het accepteren of niet accepteren van de hypothese, maar we gebruiken de vergelijking tussen de kritieke waarde van z0 en de waarde van z die overeenkomt met α of α/2.
De varianties voor de steekproeven worden respectievelijk geschat als s12 = p1’(1-p1’)/n1 = k1⋅(n1-k1)/n13 en s22 = p2’(1-p2’)/n2 = k2⋅(n2-k2)/n23. En de variantie van het verschil tussen de proporties wordt geschat uit: sp2 = s12 + s22 . Stel dat de Z-score, Z = (p1-p2-p0)/sp, de standaard normale verdeling volgt, dus Z ~ N(0,1). De specifieke waarde van de statistiek die wordt getoetst, is z0 = (p1’-p2’-p0)/sp.
Deze opties hebben dezelfde betekenis als bij de toepassingen voor betrouwbaarheidsintervallen: 1. Z-Test: 1 μ. : 2. Z-Test: μ1−μ2. : 3. Z-Test: 1 p. : 4. Z-Test: p1− p2. : 5. T-Test: 1 μ. : 6. T-Test: μ1−μ2. : Hypothesetesten van een steekproef voor het populatiegemiddelde μ met bekende populatievariantie of voor grote steekproeven met een onbekende populatievariantie.
Dan wordt u gevraagd de alternatieve hypothese te selecteren. Selecteer μ ≠ 150. Druk dan op @@@OK@@@. Het resultaat is: Dan verwerpen we H0: μ = 150 tegen H1: μ ≠ 150. De test z-waarde is z0 = 5.656854. De P-waarde is 1.54×10-8. De kritieke waarden van ±zα/2 = ±1.959964 wat overeenkomt met het kritieke x-bereik van {147.2 152.8}. Deze informatie kan grafisch worden bekeken door op de softmenutoets @GRAPH te drukken: Voorbeeld 2 -- Voor μ0 = 150, ⎯x = 158, s = 10, n = 50, voor α = 0.
Selecteer de alternatieve hypothese, H1: μ > 150 en druk op @@@OK@@@. Het resultaat is: We verwerpen de nulhypothese, H0: μ0 = 150, tegen de alternatieve hypothese, H1: μ > 150. De t-waarde van de toets is t0 = 5.656854, met een Pwaarde = 0.000000393525. De kritieke waarde van t is tα = 1.676551, overeenkomstig de kritieke ⎯x = 152.371. Druk op @GRAPH om de resultaten als volgt in een grafiek te zien: Voorbeeld 3 – Gegevens van twee steekproeven toont dat ⎯x1 = 158, ⎯x1 = 160, s1 = 10, s2 = 4.
Selecteer de alternatieve hypothese μ1< μ2 en druk op @@@OK@@@. Het resultaat is We accepteren (of beter, we de hypothese verwerpen niet) de hypothese: H0: μ1−μ2 = 0 of H0: μ1=μ2, tegen de alternatieve hypothese H1: μ1−μ2 < 0 of H1: μ1=μ2. De t-waarde van de toets is t0 = -1.341776, met een P-waarde = 0.09130961 en kritieke t is –tα = -1.659782.
χ o2 = (n − 1) s 2 σ 02 Afhankelijk van de gekozen alternatieve hypothese wordt de P-waarde als volgt berekend: P-waarde = P(χ2<χo2) = 1-UTPC(ν,χo2) • H1: σ2 < σo2, • • H1: σ2 > σo2, H1: σ2 ≠ σo2, P-waarde = P(χ2>χo2) = UTPC(ν,χo2) P-waarde =2⋅min[P(χ2<χo2), P(χ2>χo2)] = 2⋅min[1-UTPC(ν,χo2), UTPC(ν,χo2)] waarbij de functie min[x,y] de minimumwaarde geeft van x of y (hetzelfde geldt voor max[x,y], die de maximumwaarde van x of y geeft).
Inferenties met twee varianties De nulhypothese die moet worden getest, is Ho: σ12 = σ22, op een betrouwbaarheidsniveau (1-α)100% of significantieniveau α, met twee steekproeven van grootten, n1 en n2, en varianties s12 en s22. We gebruiken als toetsstatistiek een F-teststatistiek die wordt gedefinieerd als Fo = s N2 sD2 waarbij sN2 en sD2 staan voor respectievelijk de teller en noemer van de Fstatistiek.
Voorbeeld – Neem bijvoorbeeld twee steekproeven die uit normale populaties worden gehaald, zodat n1 = 21, n2 = 31, s12 = 0.36 en s22 = 0.25. We toetsen de nulhypothese, Ho: σ12 = σ22 op een significantieniveau α = 0.05, tegen de alternatieve hypothese, H1: σ12 ≠ σ22. Voor een tweezijdige hypothese moeten we sM en sm als volgt identificeren: sM2=max(s12,s22) = max(0.36,0.25) = 0.36 = s12 sm2=min(s12,s22) = min(0.36, 0.25) = 0.
∧ y = a + b⋅x, waarbij a en b constant zijn. Definieer de voorspellingsfout als ei = yi - ∧yi = yi - (a + b⋅xi).
n n 1⎛ n ⎞ 2 S xx = ∑ ( xi − x ) 2 = (n − 1) ⋅ s x2 = ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟ n ⎝ i =1 ⎠ i =1 i =1 1⎛ n ⎞ S y = ∑ ( y i − y ) = (n − 1) ⋅ s = ∑ y i − ⎜ ∑ y i ⎟ n ⎝ i =1 ⎠ i =1 i =1 n 2 2 y n 2 2 n n 1 ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ S xy = ∑ ( xi − x )( y i − y ) 2 = (n − 1) ⋅ s xy = ∑ xi y i − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ y i ⎟ n ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ i =1 i =1 Hieruit volgt dat de standaardafwijkingen van x en y, en de covariantie van x,y worden gegeven door respectievelijk sx = S xx sy = n −1 , S yy n − 1 en sxy = Daarnaast is de coëfficiënt
Stel dat yi = werkelijke gegevenswaarde, ^yi = a + b⋅xi = kleinstekwadraatvoorspelling van de gegevens. Dan is de voorspellingsfout: ei = yi - ^yi = yi - (a + b⋅xi).
Nulhypothese, H0: Α = Α0, getoetst tegen de alternatieve hypothese, H1: Α • ≠ Α0. De teststatistiek is t0 = (a-Α0)/[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2, waarbij t de student-t-verdeling volgt met ν = n – 2, vrijheidsgraden, en n staat voor het aantal punten in de steekproef. De toets wordt uitgevoerd als die van een hypothesetoetsing voor een gemiddelde waarde, dus met het significantieniveau α bepalen we de kritieke waarden van t, tα/2, daarna verwerpen we H0 als t0 > tα/2 of als t0 < - tα/2.
Voorbeeld 1 -- Bepaal voor de volgende (x,y)-gegevens het betrouwbaarheidsinterval van 95% voor de richtingscoëffiënt B en het snijpunt A x y 2.0 5.5 2.5 7.2 3.0 9.4 3.5 10.0 4.0 12.2 Voer de (x,y)-gegevens in respectievelijk kolommen 1 en 2 van ΣDAT in. Een puntgrafiek van de gegevens toont een goede lineaire trend: Gebruik de optie Fit Data.. in het menu ‚Ù voor het volgende: 3: '-.86 + 3.24*X' 2: Correlation: 0.989720229749 1: Covariance: 2.025 Deze resultaten worden geïnterpreteerd als a = -0.
Betrouwbaarheidsintervallen voor de richtingscoëffiënt (Β) en het snijpunt (A): • • We krijgen eerst t n-2,α/2 = t3,0.025 = 3.18244630528 (zie hoofdstuk 17 voor een programma om tν,a op te lossen): Daarna berekenen we de termen (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx = 3.182…⋅(0.1826…/2.5)1/2 = 0.8602… (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2 = 3.1824…⋅√0.1826…⋅[(1/5)+32/2.5] 1/2 = 2.65 • Uiteindelijk is het betrouwbaarheidsinterval van 95% voor de richtingscoëffiënt B het volgende: (-0.86-0.860242, -0.86+0.860242) = (-1.72, -0.
Voorbeeld 3 – Significantietoets voor de lineaire regressie. Toets de nulhypothese voor de richtingscoëffiënt H0: Β = 0, tegen de alternatieve hypothese, H1: Β ≠ 0, op het significantieniveau α = 0.05, voor de lineaire aanpassing van voorbeeld 1. De teststatistiek t0 = (b -Β0)/(se/√Sxx) = (3.24-0)/(√0.18266666667/2.5) = 18.95. De kritieke waarde van t, voor ν = n – 2 = 3 en α/2 = 0.025, kregen we in voorbeeld 2 als tn-2,α/2 = t3,0.025 = 3.18244630528.
_ 1 1 1 . . 1 x11 x12 x13 . . x1,m x21 x22 x32 . . x 2,m x31 x32 x33 . . x 3,m … … … . … xn1 xn2 xn3 . . x n,m _ _ _ Daarna krijgt u de vector van de coëfficiënten uit b = (XT⋅X) -1⋅XT⋅y, waarbij y vector y = [y1 y2 … ym]T is. Gebruik bijvoorbeeld de volgende gegevens voor een meervoudige lineaire aanpassing y = b0 + b1⋅x1 + b2⋅x2 + b3⋅x3, x1 1.20 2.50 3.50 4.00 6.00 x2 3.10 3.10 4.50 4.50 5.00 x3 2.00 2.50 2.50 3.00 3.50 y 5.70 8.20 5.00 8.20 9.
`` (bewaar een extra kopie) [5.7,8.2,5.0,8.2,9.5] ` Druk op J@MTREG. Het resultaat is: [-2.1649…,–0.7144…,1.7850…,7.0941…], dus y = -2.1649–0.7144⋅x1 -1.7850×10 -2⋅x2 + 7.0941⋅x3 . In het stapelgeheugen van de rekenmachine moet de waarde van de matrix X en de vector b staan, de aangepaste waarden van y krijgt u uit y = X⋅b, dus druk gewoon op * om ze te krijgen: [5.63.., 8.25.., 5.03.., 8.22.., 9.45..]. Vergelijk deze aangepaste waarden met de originele gegevens uit de onderstaande tabel: x1 1.20 2.50 3.
Daarna krijgt u de vector van de coëfficiënten uit b = (XT⋅X) -1⋅XT⋅y, waarbij y vector y = [y1 y2 … yn]T is. In hoofdstuk 10 hebben de Vandermonde-matrix die overeenkomt met een vector x = [x1 x2 … xm] gedefinieerd. De Vandermonde-matrix lijkt op de matrix X die interessant is voor de polynomiale aanpassing, maar heeft alleen n in plaats van (p+1) kolommen. We kunnen de functie VANDERMONDE gebruiken om de matrix X te maken als we ons aan de volgende regels houden: Als p = n-1, X = Vn.
• • • Als p = n-1, dan X = Vn, Anders, als p < n-1 Verwijder de kolommen p+2, …, n uit Vn om X te vormen (Gebruik een FOR-lus en COL-) Of Voeg de kolommen n+1, …, p+1 toe aan Vn om X te vormen (FOR-lus, bereken xi, zet om naar vector, gebruik COL+) Zet y om in vector Bereken b met het programma MTREG (zie het voorbeeld voor meervoudige lineaire aanpassing hierboven) Hier staat de vertaling van het algoritme naar een programma in User RPL-taal. (Zie hoofdstuk 21 voor meer informatie over programmeren.
NUM » » » Zet om in decimale opmaak Sluit subprogramma 2 Sluit subprogramma 1 Sluit hoofdprogramma Sla deze op in de variabele POLY (POLYnomial fitting; polynomiale aanpassing). Gebruik als een voorbeeld de volgende gegevens voor een polynomiale aanpassing p = 2, 3, 4, 5, 6. x 2.30 3.20 4.50 1.65 9.32 1.18 6.24 3.45 9.89 1.22 y 179.72 562.30 1969.11 65.87 31220.89 32.81 6731.48 737.41 39248.46 33.
@@xx@@ @@yy@@ 5 @POLY, Resultaat: [19.08 0.18 –2.94 6.36 3.48 0.00 ] dus y = 19.08+0.18x-2.94x2+6.36x3+3.48x4+0.0011x5 @@xx@@ @@yy@@ 6 @POLY, Resultaat: [-16.73 67.17 –48.69 21.11 1.07 0.19 0.00] dus y = -16.72+67.17x-48.69x2+21.11x3+1.07x4+0.19x5-0.0058x6 De beste aanpassing selecteren Zoals u ziet aan de bovenstaande resultaten, kunt u elke polynoom aanpassen aan een verzameling gegevens.
r = [1-(SSE/SST)] 1/2 .
yv − ABS SQ / NEG 1 + √ “r” TAG SWAP “SSE” TAG » Berekent SST Berekent SSE/SST Berekent r = [1–SSE/SST ]1/2 Benoemt resultaat “r” Wisselt stapelgeheugenniveaus 1 en 2 Benoemt resultaat SSE Sluit subprogramma 4 Sluit subprogramma 3 Sluit subprogramma 2 Sluit subprogramma 1 Sluit hoofdprogramma » » » » Sla dit programma op onder de naam POLYR om de berekening van de correlatiecoëfficiënt r te benadrukken.
Hoofdstuk 19 Getallen met verschillende grondtallen In dit hoofdstuk laten we voorbeelden zien van berekeningen met getallen die een ander grondtal dan een decimaal hebben. Definities Het talstelsel dat voor gewone rekenkunde wordt gebruikt, noemen we het decimaalstelsel omdat het 10 (Latijns, deca) cijfers gebruikt, namelijk 0-9, om elk reëel getal uit te schrijven. Computers gebruiken daarentegen een systeem dat is gebaseerd op twee mogelijke standen, het binaire systeem.
Bij deze opmaak is het duidelijk dat de ingangen LOGIC, BIT en BYTE in het menu BASE zelf submenu’s zijn. Deze menu’s worden later in dit hoofdstuk behandeld. De functies HEX, DEC, OCT en BIN Getallen in niet-decimale stelsels worden voorafgegaan door het #-symbool in de rekenmachine. Het #-symbool is toegankelijk via „â(de toets 3).
Het decimale stelsel (DEC) heeft 10 cijfers (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), het hexadecimale stelsel (HEX) heeft 16 cijfers (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), het achttallige stelsel (OCT) heeft 8 cijfers (0,1,2,3,4,5,6,7) en het binaire stelsel (BIN) heeft slechts 2 cijfers (0,1). Conversie tussen talstelsels Welk talstelsel er ook is geselecteerd, er wordt naar verwezen als het binaire stelsel vanwege het gebruik van de functies R B en B R.
Het enige effect van het selecteren van het DECimaal stelsel is dat decimale getallen, als ze worden voorafgegaan door een #, worden geschreven met het achtervoegsel d. Woordlengte De woordlengte is het aantal bits in een binair object. De woordlengte is standaard 64 bits. De functie RCWS (ReCall WordSize) toont de huidige woordlengte. Met de functie STWS (SeT the WordSize) kan de gebruiker de woordlengte voor elk getal tussen 0 en 64 instellen.
De functies AND, OR, XOR (exclusief OR) en NOT zijn logische functies. De invoer voor deze functies zijn twee waarden of uitdrukkingen (een in het geval van NOT) die kunnen worden uitgedrukt als binaire, logische resultaten, dus 0 of 1. Vergelijkingen van getallen via de vergelijkingsoperatoren =, ≠, >, <, ≤ en ≥ zijn logische verklaringen die waar (1) of niet waar (0) kunnen zijn.
XOR (BIN) NOT (HEX) Het menu bit Het menu bit , beschikbaar via BASE (‚ã), biedt de volgende functies: De functies RL, SL, ASR, SR, RR in het menu BIT worden gebruikt om bits in een binair heel getal te bewerken. De definitie van deze functies ziet u hieronder: RL : Rotate Left: draai een bit naar links, bijv. #1100b #11000b SL : Shift Left: schuifbeweging een bit naar links, bijv. #1101b #11010b ASR : Arithmetic Shift Right: rekenkundige schuifbeweging een bit naar rechts, bijv.
De functies RLB, SLB, SRB, RRB in het menu BIT worden gebruikt om bits in een binair heel getal te bewerken. De definitie van deze functies ziet u hieronder: Rotate Left: draait een byte naar links, bijv. #1100b #110000000000b SLB: Shift Left: schuift een byte naar links, bijv. #1101b #110100000000b SRB: Shift Right: schuift een byte naar rechts, bijv. #11011b #0b RRB: Rotate Right: draait een byte naar rechts, bijv.
Hoofdstuk 20 Menu’s en toetenbord aanpassen Door het gebruik van de vele rekenmachinemenu’s bent u vertrouwd geraakt met de werking van de menu’s voor een verscheidenheid aan toepassingen. U bent ook vertrouwd met de vele functies die beschikbaar zijn met de toetsen op het toetsenbord, hetzij door hun hoofdfunctie, hetzij door ze te combineren met de linkershifttoets („), de rechtershifttoets (‚) of de toets ALPHA (~).
Menunummers (functies RCLMENU en MENU) Ieder voorgedefinieerd menu heeft een nummer. Stel bijvoorbeeld dat u het menu MTH activeert („´). Zoek vervolgens met de functiecatalogus (‚N) de functie RCLMENU en activeer deze. U drukt gewoon op ` in de ALG-modus wanneer RCLMENU() in het scherm verschijnt. Het resultaat is het nummer 3.01. U kunt dus het menu MTH activeren door MENU(3.01) in de ALG-modus of 3.01 MENU in de RPN-modus.
Om deze functies te activeren, moet u gewoon het functieargument (nummer) invoeren en dan op de bijbehorende softmenutoets drukken. In de ALG-modus is de als argument voor functie TMENU of MENU in te voeren lijst ingewikkelder: {{“exp”,”EXP(“},{“ln”,”LN(“},{“Gamma”,”GAMMA(“},{“!”,”!(“}} De reden hiervoor is dat in de RPN-modus de commandonamen zowel softmenulabels als commando’s zijn.
Verbeterd RPN-menu De hierboven gepresenteerde reeks voor de ALG-modus kan met een kleine verandering in RPN-modus gebruikt worden. De aangepaste lijst ziet er zo uit: {{“exp”,EXP},{“ln”,LN},{“Gamma”,GAMMA},{“!”,!}} U kunt deze lijst met MENU of TMENU uitproberen in de RPN-modus om te zien dat u hetzelfde menu krijgt als eerder in de ALG-modus.
in iedere subdirectory en u kunt altijd de huidige inhoud van CST vervangen door die van andere variabelen die de correct opgemaakte lijst bevatten om een ander aangepast menu te produceren. Opmerking: U kunt een 21x8 GROB (zie Hoofdstuk 22) gebruiken om een pictogram in de softmenutoetsen te maken.
maken. In principe kan het hele toetsenbord opnieuw gedefinieerd worden om een aantal aangepaste bewerkingen uit te voeren. Het submenu PRG/MODES/KEYS Commando’s die handig zijn bij het aanpassen van het toetsenbord staan in het menu KEYS dat toegankelijk is via het menu PRG („°). Met systeemvlag 117 ingesteld op SOFT menus geeft de toetsencombinatie „ °L @)MODES @)KEYS het volgende softmenu KEYS: De beschikbare functies zijn: ASN : Koppelt een object aan een door XY.
In de ALG-modus: MENU(81.01) In de RPN-modus: 81.01 ` MENU ` Voor een snelle manier om dit menu te activeren met het toetsenbord kunt u dit menu koppelen aan de toets GRAPH (C), met referentienummer 13.0, d.w.z. eerste rij, derde kolom, hoofdfunctie. Om een object aan een toets te koppelen, gebruikt u de functie ASN als volgt: In de ALG-modus: SN(<>,13.0) In de RPN-modus: << 18.01 MENU >> ` 13.
Een door de gebruiker gedefinieerde toets ontkoppelen Om de hierboven uitgevoerde koppeling te verwijderen, gebruikt u de functie DELKEYS als volgt: In de ALG-modus: DELKEYS(13.0) In de RPN-modus: 13.0 ` DELKEYS ` Meerdere door de gebruiker gedefinieerde toetsen koppelen De makkelijkste manier om verschillende door de gebruiker gedefinieerde toetsen te koppelen is door een lijst met commando’s en toetsspecificaties op te geven.
Hoofdstuk 21 Programmeren in de RPL-gebruikerstaal RPL-gebruikerstaal is de meest gebruikte programmeertaal om de rekenmachine te programmeren. De componenten van het programma kunnen samen worden geplaatst in de regeleditor door ze in de juiste volgorde tussen programmahaakjes « » te zetten. Omdat gebruikers van rekenmachines meer ervaring hebben met het programmeren in de RPN-modus, zullen de meeste voorbeelden in dit hoofdstuk weergegeven worden in de RPN-modus.
Toetsencombinaties ‚å Resulteert in: « [']~„x™K 'x' STO ~„x x „´@)HYP @SINH SINH 1#~„x „º 1 x SQ ADD „´@LIST @ADD@ / [']~„x™ „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE / 'x' PURGE _______________________ __________ ` Geïnterpreteerd als: Activeert een RPLprogramma Slaat niveau 1 op in variabele x Plaatst x op niveau 1 Berekent sinh van niveau 1 Voert 1 in en berekent x² Berekent (1+x2), deelt daarna Verwijdert variabele x programma op niveau 1 _____________________ Gebruik [']~„gK om het programma op te slaan Druk
het programma de variabele x zodat die niet verschijnt in uw variabelenmenu na de evaluatie van het programma. Indien we de variabele x niet zouden wissen in het programma, zou zijn waarde beschikbaar blijven na de uitvoering van het programma. Daarom wordt de variabele x, zoals gebruikt in dit programma, aangeduid als een globale variabele.
De variabele x in de laatste versie van het programma neemt nooit een plaats in tussen de variabelen in uw variabelenmenu. Er wordt mee gewerkt in het geheugen van de rekenmachine zonder invloed te hebben op elke andere gelijknamige variabele in uw variabelenmenu. Daarom wordt de variabele x in dit geval aangeduid als een variabele die eigen is aan het programma, dus een lokale variabele.
• • • Een globale variabele gedefinieerd in de HOME-directory zal toegankelijk zijn vanaf elke directory binnen HOME, tenzij de variabele opnieuw werd rgedefinieerd binnen een directory of subdirectory Als u een variabele opnieuw definieert binnen een directory of subdirectory, dan krijgt deze definitie voorrang op elke definitie in de directory’s boven de huidige.
Gebruik de toetsencombinatie „° om toegang te krijgen tot het menu PRG.
KEYS: MENU: MISC: IN: OUT: TIME: ALRM: ERROR: IFERR: RUN: Om door de gebruiker gedefinieerde toetsen te definiëren en te activeren (Hoofdstuk 20) Om eigen menu’s te definiëren en activeren (Hoofdstuk 20) Overige modusveranderingen (geluidssignalen, klok, enz.
DUP2 DUPN DROP2 DROPN DUPDU NIP NDUPN MEM PURGE MEM BYTES NEWOB ARCHI RESTO STOSTOx STO/ INCR DECR SINV SNEG SCONJ BRCH IFT IFTE LIST/ELEM GROB NEXT STEP BRCH/FOR FOR NEXT STEP BRCH/DO DO UNTIL END OR XOR NOT SAME TYPE SF CF FS? FC? FS?C FC?C LININ TYPE VTYPE LIST OBJ LIST SUB REPL CHARS MODES/FLAG MODES/MISC SF BEEP GET GROB SUB GETI BLANK REPL CF CLK PUT GOR POS FS? SYM PUTI GXOR SIZE FC? STK SIZE SUB NUM FS?C ARG POS REPL CHR FS?C CMD HEAD LCD OBJ FC?C INFO
SEQ ARC FM, MODES/MENU OUT PIXON ML MENU PIXOF CST MODES/ANGLE TMENU TEXT PIX? PVIEW DEG DISP PX C RAD C PX GRAD MSGBOX RECT BEEP RCLMENU PVIEW CLLCD FREEZE CYLIN SPHERE TIME DATE DATE TIME TIME TICKS ERROR DOERR ERRN ERRM ERR0 LASTARG TIME/ALRM ACK ACKALARM STOALARM RCLALARM DELALARM FINDALARM ERROR/IFERR IFERR THEN ELSE END RUN DBUG SST SST↓ NEXT HALT KILL OFF Sneltoetsen in het menu PRG Veel van de functies voor het menu PRG in de bovenstaande lijst zijn makkelijk te bereike
• • • • Functies uit het submenu TIME kunnen worden bereikt met de toetsencombinatie ‚Ó. De functies STO en RCL (in het submenu MEM/DIR) zijn beschikbaar via het toetsenbord met de toetsen K en „©. De functies RCL en PURGE (in het submenu MEM/DIR) zijn beschikbaar via het menu TOOL (I). Door op de toets links-shift („) of rechts-shift (‚) te drukken in het submenu BRCH voordat u op een submenu-toets drukt, zullen er constructies aangemaakt worden die horen bij de gekozen submenutoets.
„ @)@@DO@@ „@WHILE U ziet dat de invoegprompt ( ) beschikbaar is achter het sleutelwoord voor elke constructie zodat u kunt beginnen met invoeren op de juiste positie. Toetsencombinatie voor veelgebruikte commando’s Hier volgen toetsencombinaties om veelgebruikte commando’s te activeren die gebruikt worden bij het numeriek programmeren in het menu PRG.
@)@BRCH@ @)@FOR@ FOR NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@FOR@@ „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@NEXT@ „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@STEP@ @)@BRCH@ @)@@DO@@ DO UNTIL END „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@@DO@@ „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @UNTIL „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@END@@ @)@BRCH@ @)WHILE@ WHILE REPEAT END „°@)@BRCH@ @)WHILE@ @WHILE „°)@BRCH@ @)WHILE@ @REPEA „°)@BRCH@ @)WHILE@ @@END@ @)TEST@ @)TYPE@ == AND OR XOR NOT SAME SF CF FS? FC? FS?C FC?C „° @)TEST@ @@@≠@@@ „° @)TEST@ L @@AND@ „° @)TEST@ L @@@OR@@ „° @)TEST@ L @@XOR@ „° @)TEST@ L @@NOT@
@)LIST@ @)ELEM@ GET GETI PUT PUTI SIZE HEAD TAIL „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ @)LIST@ @)PROC@ REVLIST SORT SEQ „°@)LIST@ @)PROC@ @REVLI@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @SORT@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @@SEQ@@ @)MODES @)ANGLE DEG RAD „°L@)MODES @)ANGLE @@DEG@@ „°L@)MODES @)ANGLE @@RAD@@ @)MODES @)MENU@ CST MENU BEEP „°L@)MODES @)MENU@ @@CST@@ „°L@)MODES @)MENU@ @@MENU@ „°L@)MODES @)MISC@ @@BEEP@ @)@@IN@@ @)@RUN@ @)ELEM@ @@GET@@ @)ELEM@ @GETI@ @)ELEM@ @@PUT@ @)ELEM@ @PUTI@ @)
Programma’s voor het aanmaken van lijsten met nummers U ziet dat de functies in het menu PRG niet de enige functies zijn die kunnen worden gebruikt bij het programmeren. Bijna alle functies in de rekenmachine kunnen worden ingepast in een programma. Zo kunt u, bijvoorbeeld, functies uit het menu MTH gebruiken. Meer specifiek kunt u functies gebruiken voor bewerkingen met lijsten zoals SORT, ΣLIST, enz., beschikbaar in het menu MTH/LIST.
(3) CLIST: maakt een lijst met cumulatieve sommen van de elementen, d.w.z. als de originele lijst {x1 x2 x3 … xN} is, dan maakt CLIST de volgende lijst aan: N {x1 , x1 + x2 , x1 + x2 + x3 ,..., ∑ xi } i =1 Werking: plaats de originele lijst op niveau 1, druk op @CLIST. Voorbeeld: {1 2 3 4 5} `@CLIST geeft {1 3 6 10 15}. Voorbeelden van sequentieel programmeren Over het algemeen bestaat een programma uit elke reeks van instructies voor de rekenmachine tussen de programmahaakjes en ».
Om de functie voor een reeks invoervariabelen x1, x2, …, in de RPN-modus te evalueren, voer dande variabelen in de juiste volgorde in in het stapelgeheugen (d.w.z. eerst x1, gevolgd door x2, dan x3, enz.) en druk op de softmenutoets met het label function_name. De rekenmachine zal de waarde van de functie functie_naam (x1, x2,...) weergeven. Voorbeeld: vergelijking van Manning voor een breed rechthoekig kanaal.
als argemument voor de functie DEFINE . U ziet dat de exponent 5./3. in de vergelijking staat voor een verhouding van reële getallen, door de decimale punten. Druk J, indien nodig, om de variabelenlijst op te roepen. Nu zal er een variabele met de naam @@@q@@@ in uw softmenutoetsenlabels staan. Gebruik ‚@@@q@@@ om de inhoud van q te zien, . Het programma dat wordt aangemaakt door het definiëren van de functie q(Cu,n,y0,S0)wordt weergegeven als: « → Cu n y0 S0 ‘Cu/n*y0^(5./3.)*√S0’ ».
Voorbeeld: Snelheidshoogte voor een rechthoekig kanaal. Stel dat we de snelheidshoogte h willen berekenen in een rechthoekig kanaal met breedte b, met een stroomdiepte y met een afvoer Q heeft. De specifieke energie wordt berekend als hv = Q2/(2g(by)2), waarbij g de versnelling van de zwaartekracht is (g = 9.806 m/s2 in S.I. eenheden of g = 32.2 ft/s2 in E.S. eenheden).
en het houden van enkel de hieronder getoonde bewerkingen (tik het volgende niet in): ` *„ *2* „º™/ Opmerking: gebruik de toets ™ niet bij het invoeren van een programma, maar gebruik de toetsencombinatie: „°@)STACK @SWAP@. In tegenstelling tot het interactief gebruik van de rekenmachine dat we eerder hebben toegepast, moeten we de niveaus 1 en 2 van het stapelgeheugen binnen het programma omwisselen.
Een nieuwe variabele @@@hv@@@ moet nu in uw softtoetsenmenu. (Druk op J om uw lijst met variabelen te zien Het programma dat is achtergebleven in het stapelgeheugen kan worden geëvalueerd met de functie EVAL. Het resultaat zou, zoals voorheen, 0.228174… moeten zijn. Het programma is tevens beschikbaar voor toekomstig gebruik in de variabele @@@hv@@@. Gebruik bijvoorbeeld voor Q = 0.5 m3/s, g = 9.806 m/s2, b = 1.5 m en y = 0.5 m: 0.5 # 9.806 #1.5 # 0.
« * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / » geen aanwijzing over de volgorde waarin de gegevens moeten worden ingevoerd, tenzij u natuurlijk heel ervaren bent met RPN en de RPL gebruikerstaal. Eén manier om het resultaat van het programma als formule te controleren, is het invoeren van symbolische variabelen in plaats van numerieke resultaten in het stapelgeheugen, en het programma te laten werken met deze variabelen.
S 42 , 2 ⋅ S 3 ⋅ ( S 2 ⋅ S1) 2 wat de positie aangeeft van de verschillende invoerniveaus van het stapelgeheugen in de formule. Door dit resultaat te vergelijken met de originele formule die we hebben geprogrammeerd, d.w.z. hv = Q2 , 2 g (by ) 2 zien we dat we y moeten invoeren op niveau 1 van het stapelgeheugen (S1), b op niveau 2 van het stapelgeheugen (S2), g op niveau 3 van het stapelgeheugen (S3) en Q op niveau 4 van het stapelgeheugen (S4).
Het resultaat is een stapelgeheugen dat de gebruiker vraagt naar de waarde van a en dat de cursor precies voor de prompt :a plaatst. Voer een waarde voor a in, bijvoorbeeld 35, druk op ` Het resultaat is de invoerstring :a:35 op niveau 1 van het stapelgeheugen.
„°LL @)@RUN@ @@DBG@ @SST↓@ Activeer de debugger Stap-voor-stap debugging, resultaat “Voer a: in” Resultaat: {“ a:” {2 0} V} @SST↓@ Resultaat: gebruiker wordt gevraagd de @SST↓@ waarde van a in te geven 2` Voert een waarde van 2 in voor a.
Resultaat: “ :a:2” Resultaat: a:2 Resultaat: maakt stapelgeheugen leeg, is →a aan het uitvoeren Resultaat: maakt stapelgeheugen leeg, activeert het subprogramma « @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Op dit moment zijn we binnen het subprogramma Ç ‘2*a^2+3’ » dat de lokale variabele a gebruikt. Gebruik het volgende om de waarde van a te bekijken: ~„aμ Dit toont inderdaad dat de locale variabele a = 2 Laten we de debugger hier afbreken aangezien we toch het resultaat kennen dat we zullen krijgen.
Sla het opnieuw op in de variabele FUNCa en voer het programma opnieuw uit met a = 2. Dit keer is het resultaat 11, d.w.z. 2*22+3 = 11. Invoerstring voor twee of drie invoerwaarden In deze paragraaf maken we een subdirectory aan in de HOME directory die voorbeelden van invoerstrings bevat voor één, twee en drie waarden van invoergegevens.
Dit programmma kan makkelijk worden aangemaakt door de inhoud van INPTa aan te passen. Sla dit programma op in de variabele INPT2. Toepassing: het evalueren van een functie met twee variabelen Neem de ideale gaswet, pV = nRT, waar p = gasdruk (Pa), V = gas volume(m3), n = aantal mol (gmol), R = universele gasconstante = 8.31451_J/(gmol*K) en T = absolute temperatuur (K).
Opmerking: omdat we bewust eenheden hebben gebruikt in de definitie van de functie, moeten de invoerwaarden ook eenheden meekrijgen in de invoer voor het juiste resultaat.
Voer de waarden V = 0.01_m^3, T = 300_K en n = 0.8_mol in. Voor u op `drukt, zal het stapelgeheugen er als volgt uitzien: Druk op ` om het volgende resultaat te krijgen: 199548.24_J/m^3 of 199548.24_Pa = 199.55 kPa. Invoer via invoerschermen De functie INFORM („°L@)@@IN@@ @INFOR@.) kan worden gebruikt om gedetailleerde invoerschermen voor een programma te maken. De functie INFORM heeft vijf argumenten nodig, in deze volgorde: 1. Een titel: een karakterstring met een beschrijving van het invoerscherm 2.
De lijsten in punt 4 en 5 kunnen lege lijsten zijn. Tevens kunt u, als er geen waarden moeten worden geselecteerd voor deze opties, het commando NOVAL gebruiken („°L@)@@IN@@ @NOVAL@). Nadat de functie INFORM is geactiveerd, zult u als resultaat een nul krijgen, ingeval de optie @CANCEL wordt ingevoerd, of een lijst met de waarden die in de gegeven volgorde zijn ingegeven in de velden en het getal 1, d.w.z.
{ { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } 3. Informatie over veldnotatie: { } (een lege lijst, de standaardwaarden worden gebruikt) 4. Lijst van reset-waarden: { 120 1 .0001} 5. Lijst van initiële waarden: { 110 1.5 .00001} Sla het programma op in variabele INFP1. Druk op @INFP1 om het programma uit te voeren.
Voer nu deze waarden in het programma in en druk nogmaals op @@@OK@@@. Dit activeert de functie INFORM en geeft de volgende resultaten in het stapelgeheugen: Zo hebben we het gebruik van de functie INFORM aangetoond. Pas het programma als volgt aan om te zien hoe u deze invoerwaarden in een berekening gebruikt: « “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .
Deze commando’s zullen een berichtvenster laten verschijnen dat aangeeft dat de bewerking werd afgebroken. Opmerking: de functie MSGBOX behoort tot de uitvoerfuncties in het submenu PRG/OUT. De commando’s IF, THEN, ELSE, END zijn beschikbaar in het submenu PRG/BRCH/IF. De functies OBJ , TAG zijn beschikbaar in het menu PRG/TYPE. De functie DROP is beschikbaar in het menu PRG/STACK. De functies en NUM zijn beschikbaar op het toetsenbord.
Een keuzevenster maken Met de functie CHOOSE („°L@)@@IN@@ @CHOOS@) kan de gebruiker een keuzevenster aanmaken in een programma. De functie vereist de volgende argumenten: 1. Een prompt (een karakterstring met de beschrijving van het keuzevenster) 2. Een lijst van keuzedefinities {c1 c2 … cn}. De keuzedefinitie ci kan elke van deze twee notaties hebben: a. Een object, bijv. een getal, algebraïsch, enz. dat wordt weergegeven in het keuzevenster en tevens het resultaat van de keuze zal zijn. b.
Het volgende keuzevenster wanneer dit programma wordt uitgevoerd (druk op @CHP1) : Afhankelijk of u het S.I. units of het E.S. units selecteert, plaatst CHOOSE een waarde van 1 of een waarde van 1.486 op stapelgeheugenniveau 2 en een 1 op niveau 1. Als u het keuzevenster annuleert, geeft CHOICE een nul weer (0). Met de waarden weergegeven door de functie CHOOSE kan verder worden gewerkt door andere programmacommando’s, zoals wordt weergegeven in het aangepaste programma CHP2: « “Units coefficient” { { “S.
Een numeriek resultaat taggen Om een numeriek resultaat te taggen, moet u het getal op niveau 2 en de tagstring op niveau 2 van het stapelgeheugen plaatsen en dan de functie →TAG („ ° @)TYPE@ @ TAG) gebruiken. Gebruik bijvoorbeeld voor het getagde resultaat B:5.: 5`‚Õ~b„ ° @)TYPE@ @ TAG Een getagd numeriek resultaat opdelen in een getal en een tag Gebruik de functie OBJ („°@)TYPE@ @OBJ @) om een getagd resultaat op te delen in zijn numerieke waarde en zijn tag.
Voorbeelden van getagde uitvoer Voorbeeld 1 – de uitvoer van de functie FUNCa taggen Laten we de functie FUNCa, die we eerder hebben gedefinieerd, aanpassen zodat ze een getagde uitvoer geeft. Gebruik ‚ @FUNCa om de inhoud van FUNCa opnieuw op te roepen naar het stapelgeheugen.
Opmerking: omdat we een invoerstring gebruiken om de waarde van de invoergegevens te krijgen, slaat de locale variabele in feite een getagde waarde (:a:2 in het voorbeeld hierboven) op. Daarom moeten we het niet taggen in de uitvoer. Alles wat we moeten doen is een a voor de functie SWAP plaatsen in het subprogramma hierboven en de getagde invoer wordt in het stapelgeheugen geplaatst.
@SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Resultaat: a:2. Resultaat: verwisselt niveaus 1 en 2 Sluit subprogramma È af Sluit hoofdprogramma È af Voorbeeld 3 – taggen van de invoer en uitvoer van functie p(V,T) In dit voorbeeld passen we het programma @@@p@@@ zodat de uitvoer de getagde invoerwaarden en het getagde resultaat geeft. Gebruik ‚@@@p@@@ om de inhoud van het programma weer op te roepen naar het stapelgeheugen. « “Enter V, T, and n:“ {“ INPUT OBJ→ → V T n :V: :T: :n:“ {2 0} V } ‘(8.
paren voorkomen, moet u, telkens als ‚å wordt opgeroepen, het afsluitende programmasymbool (») aan het begin en het openingsprogrammasymbool («) aan het einde van het subprogramma wissen. Een karakter wissen tijdens het bewerken van het programma: plaats de cursor rechts van het karakter dat moet worden gewist en gebruik de backspace toets ƒ. Sla het programma weer op in de variabele p met „@@@p@@@. Voer daarna het programma uit door op @@@p@@@ te drukken. Voer de waarden V = 0.01_m^3, T = 300_K en n = 0.
Een berichtvenster gebruiken Een berichtvenster is een leukere manier om de uitvoer van een programma weer te geven. Het commando een berichtvenster in de rekenmachine wordt geactiveerd met „°L@)@OUT@ @MSGBO@ te gebruiken. Het commando een berichtvenster vereist dat de uitvoerstring die in het venster moet worden geplaatst, beschikbaar is op niveau 1 van het stapelgeheugen. Probeer de volgende oefening om de werking van het commando MSGBOX te zien: ‚Õ~‚t~„ê1.
Zoals bij een vorige versie van @@@p@@@, zal het stapelgeheugen er als volgt uitzien voor u op ` drukt voor de invoer: De eerste programma-uitvoer is een berichtvenster met de string: Druk op @@@OK@@@ om de uitvoer van het berichtvenster te annuleren. Het stapelgeheugen zal er nu als volgt uitzien: Invoer en uitvoer integreren in een berichtvenster We zouden het programma zo kunnen aanpassen dat niet enkel de uitvoer, maar ook de invoer in een berichtvenster wordt geplaatst.
Gebruik het volgende om dit codefragment voor het eerst in te voeren: „°@)TYPE@ @ STR ‚Õ ‚ë ™+ Omdat de functies van het menu TYPE beschikbaar blijven in de softmenutoetsen, is alles wat u hoeft te gebruiken bij de tweede en derde keer dat het codefragment (→STR “ ” + ) in het subprogramma voorkomt (dus respectievelijk na de variabelen T en n): @ STR ‚Õ ‚ë ™+ U zult zien dat er een nieuwe lijn wordt aangemaakt in het stapelgeheugen nadat u de toetsencombinatie ‚ë heeft ingevoerd.
De eerste programma-uitvoer is een berichtvenster met de string: Druk op @@@OK@@@ om de uitvoer van het berichtvenster te annuleren. Eenheden in een programma plaatsen Zoals u heeft kunnen zien in alle voorbeelden bij de verschillende versies van het programma @@@p@@@ die we in dit hoofdstuk hebben laten zien, is het vaak een vervelend process om eenheden te koppelen aan invoerwaarden. U kunt het programma zelf deze eenheden aan de in- en uitvoerwaarden laten koppelen.
V ‘1_m^3’ * { } + T ‘1_K’ * + n ‘1_mol’ * + EVAL → V T n De interpretatie van dit codefragment is als volgt. (We gebruiken de in de invoerstring de waarden :V:0.01, :T:300 en :n:0.8): 1. V : De waarde van V als getagde invoer, wordt in het stapelgeheugen geplaatst (b.v. V:0.01) 2. ‘1_m^3’ : De S.I. waarden overeenkomende met V worden daarna in niveau 1 van het stapelgeheugen geplaatst, de getagde invoer voor V wordt verplaatst naar niuveau 2 van het stapelgeheugen. 3.
Druk op ` om het programma uit te voeren. De uitvoer is een berichtvenster met de string: Druk op @@@OK@@@ om de uitvoer van het berichtvenster te annuleren. Berichtvenster van uitvoer zonder eenheden Pas het programma @@@p@@@ nog maar eens een keer aan om het gebruik van eenheden uit te schakelen. Het programma zonder eenheid zal er als volgt uitzien: « “Enter V,T,n [S.I.
Relationele en logische operatoren Tot nu toe hebben we hoofdzakelijk met sequentiële programma’s gewerkt. De RPL-gebruikerstaal geeft beweringen die de programmaloop kunnen vertakken en in een lus kunnen plaatsen. Vele daarvan maken hun beslissingen op basis van het feit of een logische bewering al dan niet waar is. In deze paragraaf stellen we enkele van de elementen voor die worden gebruikt om zulke logische beweringen op te bouwen, namelijk relationele en logische operatoren.
Al deze operatoren, met uitzondering van == (dat kan worden ingevoerd met ‚Å ‚Å ), zijn beschikbaar op het toetsenbord. Ze zijn ook beschikbaar via „° @)TEST@. Twee getallen, variabelen of algebraïsche waarden verbonden door een relationele operator vormen een logische uitdrukking die de waarde waar (1.) of niet waar (0.) kan aannemen of die niet geëvalueerd kan worden. Bepalen of een logische bewering waar is of niet: plaats de bewering op niveau 1 van het stapelgeheugen en druk op EVAL (μ).
p 1 0 NOT p 0 1 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p AND q 1 0 0 0 p 1 q 1 p OR q 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p XOR q 0 1 1 0 De rekenmachine bevat ook de logische operator SAME. Dit is een nietstandaard logische operator die wordt gebruikt om te bepalen of twee objecten identiek zijn. Indien ze identiek zijn, wordt een waarde 1 (waar) weergegeven, indien ze niet identiek zijn, wordt een waarde 0 (niet waar) weergegeven.
U ziet dat het gebruik van SAME een heel strikte interpretatie van het woord “identiek” inhoudt. Daarom is SQ(2) niet identiek aan 4, hoewel ze bij evaluatie allebei de numerieke waarde 4 geven. Vertakken van programma’s Het vertakken van de loop van een programma houdt in dat het programma een keuze maakt tussen twee of meer richtingen die de programmaloop uitgaat. De RPL-gebruikerstaal biedt een aantal commando’s die kunnen worden gebruikt voor het vertakken van programma’s.
1. Evalueer de logische bewering. 2. Indien de logische bewering waar is, voer dan de programmabeweringen uit en voer het programma verder uit na de bewering END. 3. Indien de logische bewering niet waar is, sla dan de programmabeweringen over en voer het programma verder uit na de bewering END.
Deze resultaten bevestigen de correcte werking van de IF…THEN…END constructie. Het programma berekent de functie f1(x) = x2, als x < 3 (en geeft geen uitvoer indien dit niet zo is). De IF…THEN…ELSE…END-constructie De IF…THEN…ELSE…END-constructie laat twee alternatieve paden voor de programmaloop toe, gebaseerd op de waarheidswaarde van de logische bewering. De algemene notatie van deze constructie is: IF logical_statement THEN program_statements_if_true ELSE program_statements_if_false END.
en sla het op onder de naam ‘f2’. Druk op J en controleer dat variabele @@@f2@@@ daadwerkelijk aanwezig is in uw variabelenmenu. Controleer de volgende resultaten: 0 @@@f2@@@ Resultaat: 0 1.2 @@@f2@@@ Resultaat: 1.44 3.5 @@@f2@@@ Resultaat: -2.5 10 @@@f2@@@ Resultaat: -9 Deze resultaten bevestigen de correcte werking van de IF…THEN…ELSE…END-constructie.
Terwijl deze simpele constructie behoorlijk werkt wanneer uw functie slechts twee takken heeft, is het mogelijk dat u IF…THEN…ELSE…END-constructies moet nesten voor de functies met drie of meer takken.
Een mogelijke manier om f3(x) te evalueren, gebaseerd op de bovenstaande geneste IF-constructie, is om het programma als volgt te schrijven: « → x « IF ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ ELSE IF ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ ELSE IF ‘x<3*π‘ THEN ‘SIN(x)‘ ELSE IF ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ ELSE –2 END END END END EVAL » » Sla het programma op in de variabele @@@f3@@@ en probeer de volgende evaluaties: 1.5@@f3@@@ 2.5@@@f3@@@ 4.2@@@f3@@@ 5.6@@@f3@@@ 12@@@f3@@@ 23@@@f3@@@ 2.25 (d.i. x2) 6.25 (d.i. x2) -3.2 (d.i. 1-x) -0.631266… (d.i..
De verklaringen CASE, THEN en END zijn beschikbaar voor selectief invoeren via de toetsencombinatie „°@)@BRCH@ @)CASE@ .
1.5@@f3c@ Resultaat 2.25 (d.i. x2) 2.5@@@f3c Resultaat: 6.25 (d.i. x2) 4.2@@@f3c@ Resultaat: -3.2 (d.i. 1-x) 5.6@@@f3c@ Resultaat: -0.631266… (d.w.z. sin(x), met x in 12@@@f3c@ Resultaat: 162754.791419 (d.w.z. exp(x)) 23@@@f3c@ Resultaat: -2. (d.i. -2) radialen) Zoals u kunt zien, geeft f3c exact dezelfde resultaten als f3. Het enige verschil tussen de programma’s is de constructie die is gebruikt voor het vertakken.
De START-constructie De START-constructie gebruikt twee waarden van een index om een aantal beweringen herhaald uit te voeren. Er zijn twee versies van de STARTconstructie: START…NEXT en START...STEP. De versie START...NEXT wordt gebruikt wanneer de verhoging van de index gelijk is aan 1 en de versie START...STEP wordt gebruikt wanneer de verhoging van de index wordt bepaald door de gebruiker.
« 0. DUP → n S k « 0. n START k SQ S + 1. ‘k‘ STO+ ‘S‘ STO NEXT S “S” TAG » » Voer het programma in en sla het op in een variabele met de naam @@@S1@@@. Hier volgt een korte uitleg over hoe het programma werkt: 1. Dit programma heeft een heel getal nodig als invoer, daarom bevindt dit getal (n) zich voor de uitvoering van het programma op niveau 1 van het stapelgeheugen. Daarna wordt het programma uitgevoerd. 2. Er wordt een nul ingevoerd, wat in verplaatst naar niveau 2 van het stapelgeheugen. 3.
10. Het partikel NEXT verhoogt de index met één en stuurt de controle naar het begin van de lus (stap 6). 11. De lus wordt uitgevoerd tot de index van de lus de maximale waarde, n, bereikt. 12. Het laatste deel van het programma roept de laatste waarde van S (de som) weer op, tagt deze en plaatst de waarde op niveau 1 van het stapelgeheugen, waar de gebruiker het ziet als uitvoer van het programma. Om het programma stap voor stap in werking te zien, kunt u de debugger als volgt gebruiken (gebruik n = 2).
@SST↓@ SL1 = ‘k’, SL2 = 1., SL3 = 0. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 0. (S + k2) [Slaat de waarde van SL2 = 1 op in SL1 = ‘k’] SL1 = ‘S’, SL2 = 0. (S + k2) Maakt het stapelgeheugen leeg [Slaat de waarde van SL2 = 0 op in SL1 = ‘S’] Maakt het stapelgeheugen leeg (NEXT – einde van de lus) @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ --- uitvoering nummer 2 van de lus voor k = 1 @SST↓@ SL1 = 1. (k) @SST↓@ SL1 = 1. (SQ(k) = k2) @SST↓@ SL1 = 0.(S), SL2 = 1. (k2) @SST↓@ SL1 = 1. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1., SL2 = 1.
SL1 = 5. (S + k2) [Slaat de waarde van SL2 = 3 op in SL1 = ‘k’] SL1 = ‘S’, SL2 = 5.
De startwaarde, eindwaarde en verhoging van de lusindex kunnen positieve of negatieve hoeveelheden zijn. Voor verhoging > 0, blijft de uitvoering doorgaan zolang de index kleiner of gelijk is aan de eindwaarde.Voor verhoging < 0, blijft de uitvoering doorgaan zolang de index groter of gelijk is aan eindwaarde. Voorbeeld – een lijst van waarden aanmaken Stel dat u een lijst van waarden van x wilt aanmaken van x = 0.5 tot x = 6.5 in stappen van 0.5.
De FOR-constructie Zoals bij het commando START, heeft het FOR-commando twee varieties: de FOR…NEXT-constructie, waarbij de verhoging van de lusindex 1 is, en de FOR…STEP-constructie, waarbij de verhoging van de lusindex wordt gekozen door de gebruiker. In tegenstelling tot het START-commando echter, vereist het FOR-commando dat we een naam geven aan de lusindex (bijv. j, k, n). We hoeven ons niet druk te maken over het verhogen van de index zelf, zoals in de voorbeelden bij het gebruik van START.
Met een FOR…NEXT-lus: « 0 → n S « 0 n FOR k k SQ S + ‘S‘ STO NEXT S “S” TAG » » Sla dit programma op in een variabele @@S2@@. Controleer de volgende oefeningen: J 3 @@@S3@@ Resultaat: S:14 4 @@@S3@@ Resultaat: S:30 5 @@@S3@@ Resultaat: S:55 8 @@@S3@@ Resultaat: S:204 10 @@@S3@@ Resultaat: S:385 30 @@@S3@@ Resultaat: S:9455 20 @@@S3@@ 100! @@@S3@@ Resultaat: S:2870 Resultaat: S:338350 U zult gezien hebben dat het programma veel eenvoudiger is dan het programma dat is opgeslagen in @@@S1@@.
« → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + → n « xs xe FOR x x dx STEP n →LIST » » » en sla het op in variabele @GLIS2. • • Zorg ervoor dat de programmaroep 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS2 de lijst {0.5 1. 1.5 2. 2.5} geeft. Gebruik het programma DBUG voor een korte lijst om de werking stap voor stap te zien, bijvoorbeeld: J1 # 1.5 # 0.5 ` Voert de parameters 1 1.5 0.5 in [ ‘ ] @GLIS2 ` Voert de programmanaam in op niveau 1 „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Activeert de debugger.
n S = ∑k2 k =0 met een DO…UNTIL…END-lus: « 0. → n S « DO n SQ S + ‘S‘ STO n 1 – ‘n‘ STO UNTIL ‘n<0‘ END S “S” TAG » » Sla dit programma op in de variabele @@S3@@.
De WHILE-constructie De algemene structuur van dit commando bestaat uit: WHILE logische bewering REPEAT programmabeweringen END De bewering WHILE zal de programmabeweringen herhalen zolang de logische bewering waar is (niet nul). Indien dit niet het geval is, dan wordt de programmacontrole doorgegeven aan het commando direct na END. De programmabeweringen moeten een lusindex bevatten die wordt veranderd voordat de logische bewering wordt gecontroleerd aan het begin van de volgende herhaling.
« → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + xs → n x « xs WHILE ‘x
Als u “TRY AGAIN” ` @DOERR invoert, verschijnt de volgende melding: TRY AGAIN Tenslotte geeft 0` @DOERR de melding: Interrupted ERRN Deze functie geeft een getal weer dat staat voor de meest recente fout. Als u bijvoorbeeld 0Y$@ERRN invoert, verschijnt het nummer #305h. Dit is het binaire hele getal dat de fout Infinite Result voorstelt. ERRM Deze functie geeft een karakterstring weer met de foutmelding van de meest recente fout.
Dit zijn de componenten van de IFERR … THEN … END-constructie of van de IFERR … THEN … ELSE … END-constructie. Beide logische constructies worden gebruikt voor het vinden van fouten tijdens de uitvoering van het programma. In het submenu @)ERROR zal door het invoeren van „@)IFERR of ‚@)IFERR de componenten van de IFERR-structuur in het stapelgeheugen worden geplaatst, klaar voor de gebruiker om de ontbrekende termen in te vullen, d.w.z.
Echter, met de foutopsporingsconstructie, @ERR1, geeft het met dezelfde argumenten: [0.262295…, 0.442622…]. Programmeren met de RPL-gebruikerstaal in de algebraïsche modus Terwijl alle eerdere programma’s worden gemaakt en uitgevoerd in de RPNmodus, kunt u altijd een programma invoeren in de RPL-gebruikerstaal terwijl u in de algebraïsche modus staat met de functie RPL>. Deze functie is beschikbaar via de commandocatalogus.
U kunt wel programma’s in de algebraïsche modus schrijven zonder de functie RPL> te gebruiken, maar sommige RPL-constructies geven een foutmelding als u op ` drukt, bijvoorbeeld: Als u daarentegen RPL gebruikt, zijn er geen problemen bij het laden van dit programma in de algebraïsche modus: Blz.
Hoofdstuk 22! Programma’s voor het werken met grafieken Dit hoofdstuk bevat een aantal voorbeelden die u tonen hoe u de functies van de rekenmachine gebruikt voor het interactief of via programma’s werken met grafieken. Net zoals in Hoofdstuk 21 raden we u aan om de RPN-modus te gebruiken en systeemvlag 117 in te stellen op SOFT menu labels. « » Er zijn een aantal grafische toepassingen van de rekenmachine behandeld in Hoofdstuk 12.
Om zelf een toets te definiëren, moet u een programma of lijst aan deze lijst toevoegen, gevolgd door een verwijzing naar de toets (zie Hoofdstuk 20). Voer de lijst { S << 81.01 MENU >> 13.0 } in in het stapelgeheugen en gebruik de functie STOKEYS („°L@)MODES @)@KEYS@ @@STOK@) om de toets Czelf te definiëren om het menu PLOT te activeren. Controleer of een dergelijke lijst is opgeslagen in uw rekenmachine met „°L@)MODES @)@KEYS@ @@RCLK@.
functies die direct toegankelijk zijn via de softmenutoets voor menu nummer 81.02. Dit zijn: LABEL (10) De functie LABEL wordt gebruikt om de assen in een diagram te labelen met inbegrip van de variabelennamen en de maximumwaarden van de assen. De variabelennamen worden geselecteerd uit informatie in de variabele PPAR. AUTO (11) De functie AUTO (AUTOscale) berekent een schermbereik voor de x-y-as of voor de x- en y-as in tweedimensionele diagrammen volgens het diagramtype gedefinieerd in PPAR.
INFO (12) De functie INFO is enkel interactief (d.w.z. ze kan niet worden geprogrammeerd). Wanneer men op de bijbehorende softmenutoets drukt, geeft deze functie informatie over de parameters van het huidige diagram. EQ (3) De variabelenaam EQ wordt door de rekenmachine voorbehouden om de huidige vergelijking in diagrammen op te slaan of als oplossing van vergelijkingen (zie hoofdstuk...) De softmenutoets met het label EQ kan worden gebruikt zoals in uw variabelenmenu, d.w.z.
Het menu PPAR (2) Het menu PPAR geeft een lijst van de verschillende opties voor de variabele PPAR zoals ze worden gegeven bij de volgende softmenutoetsenlabels. Druk op L om naar de volgende menu’s te gaan: Opmerking: het commando SCALE hier staan eigenlijk voor SCALE, SCALEW en SCALEH, in die volgorde. Het volgende diagram illustreert de functies die beschikbaar zijn in het menu PPAR.
Deze informatie geeft aan dat X de onafhankelijke variabele (Indep) is, Y de afhankelijke variabele (Depnd), het x-as-bereik reikt van –6.5 tot 6.5 (Xrng) en het y-as-bereik reikt van –3.1 tot 3.2 (Yrng). Het laatste stukje informatie in het scherm, de waarde van Res (resolutie) bepaalt de interval van de onafhankelijke variabele gebruikt bij het maken van het diagram. De softmenutoetsenlabels in het menu PPAR(2) vertegenwoordigen commando’s die kunnen worden gebruikt in programma’s.
twee eerste elementen van de variabele PPAR. Standaardwaarden voor xmin en xmax zijn respectievelijk -6.5 en 6.5. Standaardwaarden voor xmin en xmax zijn respectievelijk -3.1 en 3.2. RES (e) Het commando RES (RESolution) specifieert de interval tussen de waarden van de onafhankelijke variabele bij het maken van een specifiek diagram. De resolutie kan worden uitgedrukt in gebruikerswaarden als reëel getal of in pixels als een binair heel getal (getallen beginnend met #, bijv. #10).
Opmerking: veranderingen door het gebruik van SCALE, SCALEW of SCALEH kunnen worden gebruikt om in- of uit te zoomen in een diagram. ATICK (l) Het commando ATICK (Axes TICK mark) wordt gebruikt om de merkstreepjes voor de assen in te stellen.
Het menu 3D in PLOT (7) Het menu 3D bevat twee submenu’s , PTYPE en VPAR, en één variabele, EQ. We zijn reeds bekend met de betekenis van EQ en zullen ons daarom concentreren op de inhoud van de menu’s PTYPE en VPAR. Het onderstaande diagram toont de structuur van het menu 3D.
Hierna beschrijven we de betekenis van deze functies: INFO (S) en VPAR (W) Wanneer u op @INFO (S) drukt, krijgt u de informatie zoals weergegeven in het bovenstaande linkerbeeldscherm. Het bereik in Xvol, Yvol en Zvol beschrijven de grootte van het parallelopipedum in de ruimte waar de grafiek zal worden gemaakt.
EYEPT (T) De functie EYEPT heeft als invoer reële waarden x, y en z die de plaats van het oogpunt voor een driedimensionale grafiek aanduiden. Het oogpunt is een punt in de ruimte van waaruit de driedimensionele grafiek wordt bekeken. Door het oogpunt te veranderen zullen verschillende weergaven van de grafiek worden weergegeven. De onderstaande afbeelding illustreert oogpunt in de actuele grafische ruimte en de projectie in het vlak van het scherm.
Het STAT menu in PLOT Het menu STAT geeft toegang tot diagrammen met betrekking tot statistische analyse. In dit menu staan de volgende menu’s: Het onderstaande diagram toont de structuur van het menu STAT in PLOT. De nummers en letters bij elke functie worden gebruikt als verwijzing in de beschrijvingen die volgen op de afbeelding. Blz.
Het menu PTYPE in STAT (I) Het menu PTYPE in bevat de volgende functies: Deze functies komen overeen met de diagramtypes BAR(A), Histogram (B) en Scatter (C) die al eerder zijn behandeld. Door een van deze softmenutoetsen in te drukken terwijl u een programma invoert, wordt de bijbehorende functie in het programma geplaatst. Druk op )STAT om naar het hoofdmenu STAT terug te keren.
helling van een pasmodel waarvan het modeltype overeenkomt met de gegevens in ΣDAT. XCOL (H) Het commando YCOL (I) Het commando XCOL wordt gebruikt om aan te geven welke van de kolommen van ΣDAT, indien er meer dan één is, de x-kolom of de kolom van de onafhankelijke variabele is. YCOL wordt gebruikt om aan te geven welke van de kolommen van ΣDAT, indien er meer dan één is, de y-kolom of de kolom van de afhankelijke variabele is.
Het menu FLAG in PLOT Het menu FLAG is eigenlijk interactief, zodat u elk van de volgende opties kunt selecteren: • • • AXES: wanneer dit is geselecteerd, worden de assen binnen de diagramruimte of het volume weergegeven, indien deze zichtbaar zijn.. CNCT: wanneer dit is geselecteerd, wordt het diagram gemaakt zodat individuele punten verbonden zijn. SIMU: wanneer dit is geselecteerd en indien meer dan één grafiek moet worden geplot met dezelfde set assen, worden alle grafieken simultaan geplot.
{ x-column y-column slope intercept model } terwijl ze tegelijk PPAR met de hierboven getoonde notatie gebruiken. De betekenis van de verschillende parameters in PPAR en ΣDAT werd weergegeven in de voorgaande paragraaf.
Voorbeelden van interactieve plots met het PLOT menu Probeer de volgende voorbeelden van interactieve diagrammen met het menu PLOT om beter te begrijpen hoe een programma werkt met de commando’s en variabelen PLOT. Voorbeeld 1 – Een functie-diagram: „ÌC Act ive er t h et m e nu PLOT ( * ) d iag ram t yp e @)PTYPE @FUNCT Kiest FUNCTION als het ‘√r’ `„ @@EQ@@ Slaat de functie ‘√r’ op in EQ @)PPAR Toont de parameters van het diagram ~„r` @INDEP Definieert ‘r’ als de onafh.
2.2 \# 2.2 @XRNG 1.1 \# 1.1 @YRNG L { (0,0) {.4 .2} “X(t)” “Y(t)”} ` @AXES L @)PLOT @ERASE @DRAX L @LABEL L @DRAW @)EDIT L@MENU LL@)PICT @CANCL Voorbeeld 3 – Een polair diagram: „ÌC @)PTYPE @POLAR ‘1+SIN(θ)’ ` in EQ @)PPAR { θ 0 6.29} ` @INDEP ~y` @DEPND 3 \# 3 @XRNG 0.5 \# 2.5 @YRNG L { (0,0) {.5 .5} “x” “y”} ` @AXES L @)PLOT @ERASE @DRAX L @LABEL L @DRAW @)EDIT L@MENU LL@)PICT @CANCL Definieert (-2.2,2.2) als het x-bereik Definieert (-1.1,1.
3 – Voer de naam in (en bereik, indien nodig) van de onafhankelijke en afhankelijke variabelen 4 – Voer de specificaties van de assen in als een lijst { center atick x-label ylabel } 5 – Gebruik ERASE, DRAX, LABEL, DRAW om een volledig gelabelde grafiek met assen te maken.
Sla het programma op in de variabele PLOT1. Druk, indien nodig, op Jen daarna op @PLOT1 om het programma te activeren. Voorbeeld 2 –Een parametrisch diagram. Voer hetvolgende programma in: « Activeert het programma RAD {PPAR EQ} PURGE Verandert naar radialen, wist variabelen ‘SIN(t)+i*SIN(2*t)’ STEQ Slaat ‘X(t)+iY(t)’ op in EQ { t 0. 6.29} INDEP Stelt ‘r’ als de onafh. variabele in, met bereik ‘Y’ DEPND Stelt ‘Y’ als de afhankelijke variabele PARAMETRIC Kiest PARAMETRIC als het diagramtype { (0.,0.) {.5 .
“x” “y”} AXES –3. 3. XRNG –.5 2.5 YRNG ERASE DRAW DRAX LABEL PICTURE » Stelt de assen-informatie in Bepaalt het x-bereik Bepaalt het y-bereik Wist en tekent het diagram, assen en labels Roept het grafische scherm op in het stapelgeheugen Beëindigt het programma Sla het programma op in de variabele PLOT3. Druk, indien nodig, op Jen daarna @PLOT3 om het programma te activeren. Deze oefeningen illustreren het gebruik van PLOT commando’s in programma’s.
PDIM De functie PDIM heeft als invoer 2 geordende paren (xmin,ymin) (xmax ymax) of 2 binaire hele getallen #w en #h. PDIM vervangt de huidige inhoud van PICT door een leeg scherm. Wanneer het argument (xmin,ymin) (xmax ymax) is, worden deze waarden het bereik van de door de gebruiker gedefinieerde coördinaten in PPAR. Wanneer het argument #w en #h is, blijft het bereik van de door de gebruiker gedefinieerde coördinaten onveranderd, maar de grootte van de grafiek verandert naar #h x #w pixels.
BOX Dit commando heeft als invoer twee geordende paren (x1,y1) (x2, y2) of twee paren van pixelcoördinaten {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Het tekent het vierkant waarvan de diagonalen worden vertegenwoordigd door de twee coördinatenparen in de invoer. ARC Dit commando wordt gebruikt om een boog te tekenen. ARC heeft als invoer de volgende objecten: • • • Coördinaten van het midden van de boog als (x,y) in gebruikerscoördinaten of {#n, #m} in pixels.
PIX?, PIXON en PIXOFF Deze functies hebben als invoer de puntcoördinaten in gebruikerscoördinaten (x,y) of in pixels {#n, #m}. • • • PIX? Controleert of de pixel op positie (x,y) of {#n, #m} aan staat. PIXOFF zet de pixel op positie (x,y) of {#n, #m} uit. PIXON zet de pixel op positie (x,y) of {#n, #m} aan. PVIEW Dit commando heeft als invoer de coördinaten van een punt als gebruikerscoördinaten (x,y) of pixels {#n, #m} en plaatst de inhoud van PICT met de linkerbovenhoek op dat specifieke punt.
DEG 0. 100. XRNG 0. 50. YRNG ERASE (5., 2.5) (95., 47.5) BOX (50., 50.) 10. 0. 360. ARC (50., 50.) 12. –180. 180. ARC 1 8 FOR j (50., 50.) DUP ‘12*COS(45*(j-1))’ NUM ‘12*SIN(45*(j-1))’ NUM R C + LINE NEXT { } PVIEW » Selecteert graden voor hoekberekeningen Bepaalt het x-bereik Bepaalt het y-bereik Wist het diagram Tekent een rechthoek van (5,5) naar (95,95) Tekent middelpunt van cirkel (50,50), r =10. Tekent middelpunt van cirkel (50,50), r= 12.
ingevoerde gegevens worden aangeduid met punten in de grafiek en de vrije oppervlakte in de doorsnede worden weergegeven. Het wordt aanbevolen dat u een afzonderlijke subdirectory maakt om de programma’s in op te slaan. U kunt de subdirectory RIVIER noemen, aangezien we bezig zijn met doorsnedes van onregelmatige open kanalen, typisch voor rivieren. Gebruik de volgende gegevens om het programma XSECT in werking te zien. Voer ze in als matrices van twee kolommen, de eerste x en de tweede y.
Probeer de volgende voorbeelden: @XYD1! @XYD1! @XYD1! @XYD1! 2 3 4 6 @XSECT @XSECT @XSECT @XSECT Wees geduldig als u het programma XSECT uitvoert. Het kan enige tijd (ongeveer 1 minuut) in beslag nemen om de grafiek aan te maken door het relatief hoog aantal grafische functies dat wordt gebruikt, om nog maar te zwijgen van de numerieke herhalingen. Gegevens reeks 1 x 0.4 1.0 2.0 3.4 4.0 5.8 7.2 7.8 9.0 y 6.3 4.9 4.3 3.0 1.2 2.0 3.8 5.3 7.2 Gegevens reeks 2 x 0.7 1.0 1.5 2.2 3.5 4.5 5.0 6.0 7.1 8.0 9.
« STOΣ MINΣ MAXΣ 2 COL DUP COL DROP – AXL ABS AXL 20 / DUP NEG SWAP 2 COL + ROW DROP SWAP yR xR « 131 DUP R B SWAP yR OBJ DROP – xR OBJ DROP - / * FLOOR R B PDIM yR OBJ DROP YRNG xR OBJ DROP XRNG ERASE » » Dit programma laat de breedte van de variabele PICT staan op 131 pixels – de minimumpixelgrootte voor de horizontale as – en past het aantal pixels in de verticale as aan zodat een schaal van 1:1 wordt behouden tussen de verticale en horizontale assen.
• „ò, gelijktijdig indrukken (in de RPN-modus). Gebruik de volgende waarden: • Druk op @ERASE @DRAW. Geef de rekenmachine de tijd om de nodige grafieken te genereren. Wanneer deze klaar is, zal het een bewegende sinusoïdale curve weergegeven in uw scherm. Een verzameling van grafieken laten bewegen De rekenmachine biedt de functie ANIMATE om een aantal grafieken te animeren die zijn opgeslagen in het stapelgeheugen.
(50., 50.) ‘5*(j-1)’ NUM 0 ‘2*π’ NUM ARC PICT RCL NEXT 11 ANIMATE » Middelpunten van de cirkels (50,50) Tekent het middelpunt van de cirkel r = 5(j-1) Plaatst de huidige PICT in het stapelgeheugen Beëindigt de FOR-NEXT lus Laat de grafieken bewegen Sluit het programma af Sla dit programma op in een variabele met de naam PANIM (Plot ANIMation). Druk op J (indien nodig) @PANIM om het programma uit te voeren.
« WLIST OBJ ANIMATE » Activeert het programma Plaatst de lijst WLIST in het stapelgeheugen Breekt de lijst af, stapelgeheugen niveau 1 = 11 Start animatie Sluit het programma af Sla dit programma op in een variabele met de naam RANIM (Re-ANIMate). Druk op @RANIM om het programma te activeren.
‘X^j’ STEQ ERASE DRAX LABEL DRAW PICT RCL NEXT 5 ANIMATE » Slaat ‘X^j’ op in de variabele EQ Wist de huidige PICT Tekent assen, labels, functie Plaatst de huidige PICT in het stapelgeheugen Beëindigt FOR-NEXT lus Laat het diagram bewegen Sla dit programma op in een variabele met de naam PWAN (PoWer function ANimation). Druk op J (indien nodig) @PWAN om het programma te activeren.
Wanneer we een grafiek maken met de rekenmachine, wordt die grafiek de inhoud van een speciale variabele met de naam PICT. Dus zou u, om de laatste inhoud van PICT te zien, PICT RCL(„°L@)PICT @PICT „©) kunnen gebruiken. Het scherm toont op niveau 1 van het stapelgeheugen de lijn Graphic 131×80 (als u de standaardschermgrootte gebruikt), gevolgd door een schets van het bovenste gedeelte van de grafiek.
Als grafisch object kan deze vergelijking nu in het grafische scherm worden geplaatst. Druk op š om het grafische scherm weer op te roepen . Plaats dan de cursor in een lege sector in de grafiek en druk op @)EDIT LL@REPL. De vergelijking ‘X^2-5’ wordt in de grafiek geplaatst; bijvoorbeeld: Zo kunnen GROBs worden gebruikt om grafieken te documenteren door vergelijkingen of tekst in het grafisch scherm te plaatsen. Het menu GROB Het menu GROB , beschikbaar via „°L@)GROB @ GROB, bevat de volgende functies.
BLANK De functie BLANK, met argumenten #n en #m, maakt een blanco grafisch object aan waarbij de breedte en de hoogte gespecifieerd worden door de waarden #n en #m. Dit is gelijk aan de functie PDIM in het menu GRAPH. GOR De functie GOR (Graphics OR) heeft als invoer grob2 (een doel-GROB), een reeks coördinaten en grob1 en geeft de superpositie van grob1 op grob2 (of PICT) beginnend bij de gegeven coördinaten. De coördinaten kunnen worden gespecifieerd als gebruikerscoördinaten (x,y) of pixels [#n #m].
Een voorbeeld van een programma dat GROB gebruikt Het volgende programma maakt de grafiek van de sinusfunctie met een kader – getekend met de functie BOX – en een GROB om de grafiek van een label te voorzien. Hier is de opmaak van het programma: « Activeert het programma RAD Stelt hoekeenheden in op radialen 131 R B 64 R B PDIM Stelt het PICT-scherm in op 131×64 pixels -6.28 6.28 XRNG –2. 2.
Een programma met plot- en tekenfuncties In deze paragraaf maken wij een programma aan om de cirkel van Mohr voor een gegeven voorwaarde van tweedimensionele druk te maken, te tekenen en van een label te voorzien. De linkerafbeelding toont de gegeven staat van druk in twee dimensies met σxx en σyy als normale drukpunten en τxy = τyx als schuine drukpunten. De rechterafbeelding toont de status van druk wanneer het element wordt gedraaid volgens een hoek φ.
Laat het segment AC de x-as voorstellen in de oorspronkelijke staat van druk. Wanneer u de staat van druk wilt bepalen voor de assen x’-y’, met de klok mee gedraaid volgens een hoek φ ten opzichte van de oorspronkelijke assen x-y, teken dan segment A’B’, gecentreerd in C en met de klok mee gedraaid volgens een hoek 2φ ten opzichte van segment AB. De coördinaten van punt A’ zullen de waarden (σ’xx,τ’xy) geven, terwijl die van punt B’ de waarden (σ’yy,τ’xy) zullen geven.
rotatie is φs . De hoek tussen segment AC en segment F’C in de afbeelding vertegenwoordigt 2φs. Modulair programmeren Om een programma te ontwikkelen dat de cirkel van Mohr voor een gegeven drukstatus zal plotten, zullen we modulair programmeren gebruiken. Deze aanpak bestaat in het opdelen van het programma in een aantal subprogramma’s die als afzonderlijke variabelen in de rekenmachine worden aangemaakt. Deze subprogramma’s worden dan verbonden door een hoofdprogramma dat we MOHRCIRL zullen noemen.
Het programma activeren Als u de programma’s hebt ingevoerd in de volgorde zoals hierboven aangegeven, zult u in uw subdirectory MOHRC de volgende variabelen hebben: PTTL, σAXS, PLPNT, σLBL, PPTS, DDIAM. Door op L te drukken, vindt u ook: PCIRC, DAXES, ATN2, CC&r, INDAT, MOHRC. Activeer het programma eenmaal door op de softtoets met het label @MOHRC te drukken voor u de variabelen herschikt.
45 + 90 = 135o. Druk op ™ totdat we de waarde van φ aantreffen. We vinden het volgende: (σ’yy, τ’xy) = (-1.00E-10,-2.5E1) = (0, 25). Om de voornaamste normale waarden te vinden, drukt u op š tot de cursor terugkeert naar het snijpunt van de cirkel met de positieve sectie van de σ-as. De waarden die nu worden gevonden, zijn φ = 59o en (σ’xx, τ’xy) = (1.06E2,1.40E0) = (106, -1.40). Nu hadden we de waarde van τ’xy = 0 verwacht op de plaats van de voornaamste assen.
R C DUP C R + “σPx” TAG SWAP C R - “σPy” TAG » Het programma activeren: J@PRNST 25˜ 75˜ 50` Converteert σc en r naar (σc, r), dupliceer Berekent de voornaamste druk σPx, voorziet een tag Wisselt, berekent druk σPy, voorziet een tag. Sluit het programma PRNST af Activeert het programma PRNST Voert σx = 25 in Voert σy = 75 in Voert τxy = 50 in en beëindigt de gegevensinvoer.
Gebruik het programma @PRNST als volgt om de voornaamste drukpunten te bepalen : J@PRNST 12.5˜ 6.25\˜ 5\` Activeert het programma PRNST Voert σx = 12.5 in Voert σy = -6.25 in Voert τxy = -5 in en beëindigt de gegevensinvoer. Het resultaat is: Gebruik het programma @MOHRC als volgt om de cirkel va Mohr te tekenen : J@MOHRC 12.5˜ 6.25\˜ 5\` Activeert het programma PRNST Voert σx = 12.5 in Voert σy = -6.25 in Voert τxy = -5 in en beëindigt de gegevensinvoer.
Druk daarna op ™ totdat u φ = 35 ziet. De corresponderende coördinaten zijn (1.63E0, -1.05E1), d.w.z. voor φ = 35o, σ’xx = 1.63 kPa en σ’yy = 10.5kPa.
Het volgende resultaat wordt weergegeven, nadat u op @@@OK@@@ hebt gedrukt: Blz.
Hoofdstuk 23 Karakterstrings Karakterstrings zijn rekenmachine-objecten ingesloten tussen dubbele aanhalingstekens. Ze worden door de rekenmachine behandeld als tekst. De string “SINE FUNCTION“ bijvoorbeeld, kan worden omgevormd tot een GROB (Grafisch Object) om een grafiek van een label te voorzien, of de string kan worden gebruikt als uitvoer in een programma. Elke karakters reeks die wordt ingevoerd door de gebruiker als invoer in een programma, wordt beschouwd als string.
getal gebruikt als argument NUM: Geeft de code voor het eerste karakter in een string Voorbeelden van de toepassing van deze functies voor strings worden hierna weergegeven: Samenvoegen van strings Strings kunnen worden samengevoegd met het plusteken +, bijvoorbeeld: Het samenvoegen van strings is een praktische manier om uitvoer te genereren in programma’s.
De werking van NUM, CHR, OBJ , en STR is al eerder in dit hoofdstuk al behandeld. Ook de functies SUB en REPL met betrekking tot grafische afbeeldingen hebben we al eerder in dit hoofdstuk behandeld.
De lijst van karakters De volledige verzameling van karakters aanwezig in de rekenmachine kan worden bereikt via de toetsen ‚±. Wanneer u een karakter markeert, bijv. het karakter voor een nieuwe regel , zult u links onder in het scherm de toetsencombinatie zien voor dergelijk karakter ( . in dit geval) samen met de numerieke code behorende bij het karakter (10 in dit geval).
Hoofdstuk 24! Objecten en vlaggen in de rekenmachine Getallen, lijsten, vectoren, matrices, algebraïsche tekens, enz. zijn rekenmachine-objecten. Ze worden naargelang hun aard onderverdeeld in 30 verschillende types, die hieronder worden beschreven. Vlaggen zijn variabelen die kunnen worden gebruikt voor het instellen van de eigenschappen van de rekenmachine.
______________________________________________________ Nummer Type Voorbeeld _________________________________________________________________ 21 Uitgebreid reëel getal Long Real 22 Uitgebreid complex getal Long Complex 23 Gekoppelde array Linked rray 24 Karakterobject Character 25 Code-object Code 26 Bibliotheekgegevens Library Data 27 Extern object External 28 Heel getal 3423142 29 Extern object External 30 Extern object External _________________________________________________________________ De functi
Systeemvlaggen Systeemvlaggen kunnen worden geactiveerd met H @)FLAGS. Druk op de pijltoets naar beneden om een lijst van alle systeemvlaggen met hun nummer en een korte beschrijving te zien. De eerste twee schermen met systeemvlaggen ziet u hieronder: U zult vele van deze vlaggen herkennen omdat ze aan- of uitgezet worden in het menu MODES (bijvoorbeeld, vlag 95 in de Algebraïsche modus, 103 in de Complexe modus, enz.).
Functies voor het hanteren van vlaggen van de rekenmachine zijn beschikbaar in het menu PRG/MODES/FLAG. Het menu PRG wordt geactiveerd met „°.
Hoofdstuk 25! De functies Date en Time In dit hoofdstuk demonstreren we enkele van de functies en bewerkingen die gebruik maken van tijden en data. Het menu TIME Het menu TIME, beschikbaar via de toetsencombinatie ‚Ó (de toets 9) bevat de volgende functies, die hierna worden beschreven: Een alarm instellen Optie 2. Set alarm.. geeft een invoerscherm voor de gebruiker om een alarm in te stellen.
Bladeren door alarms Met optie 1. Browse alarms... in het menu TIME kunt u uw huidige alarmen bekijken. Deze optie geeft het volgende beeldscherm na het invoeren van het alarm in het bovenstaande voorbeeld: Dit scherm bevat vier labels van softmenutoetsen: EDIT: Om het geselecteerde alarm te bewerken, met een invoerscherm om het alarm in te stellen NEW: Om een nieuw alarm te programmeren PURG Om een alarm te verwijderen OK: Om terug te keren naar het normale beeldscherm.
De toepassing van deze functies wordt hieronder aangetoond. DATE: DATE: TIME: TIME: Plaatst de huidige tijd in het stapelgeheugen Stelt de systeemdatum in op een bepaalde waarde Plaatst de huidige tijd in de 24-uur UU.MM.SS-notatie Stelt de systeemtijd in op een bepaalde waarde in de 24-uur! UU.MM.SS-notatie TICKS: Geeft de systeemtijd weer als een binair heel getal in de eenheid van kloktikken waarbij 1 tik = 1/8192 sec ALRM..
Berekeningen met tijden De functies HMS, HMS , HMS+ en HMS- worden gebruik om waarden in de UU.MM.SS-notatie te bewerken. Dit is dezelfde notatie die wordt gebruikt voor het berekenen van hoekmetingen in graden, minuten en seconden. Dus zijn deze bewerkingen niet alleen nuttig voor berekeningen met tijd, maar ook voor hoekberekeningen. Voorbeelden vindt u hierna: Alarmfuncties Het submenu TIME/Tools.../ALRM...
Het argument x in de functie STOALARM is een lijst met een datumverwijzing (mm.dd.jj), de tijd van de dag in 24 uur-notatie (uu.mm), een string met de tekst van het alarm en het aantal herhalingen van het alarm. Bijvoorbeeld, STO L RM({6.092003,18.25,"Test",0). Het argument x in alle andere alarmfuncties is een positief getal dat het getal weergeeft van het alarm dat opnieuw moet worden opgeroepen, verwijderd of gevonden.
Hoofdstuk 26! Geheugen beheren In Hoofdstuk 2 lieten we de basisconcepten van, en bewerkingen zien voor het aanmaken en beheren van variabelen en directory’s. In dit hoofdstuk wordt het beheer behandeld van het geheugen van de rekenmachine met betrekking tot het beheren van het geheugen van de rekenmachine, met inbegrip het aanbrengen van geheugenpartities, alsook technieken om een back-up van de gegevens te maken.
voor de opslag van gegevens op poort 0. De totale grootte van het geheugengebied voor Poort 0/HOME directory bedraagt 241 Kb. Poort 1 (ERAM) kan tot 128 Kb aan gegevens bevatten. Poort 1 vormt, samen met poort 0 en de HOME directory het RAM (Random Access Memory)segment van het geheugen van de rekenmachine. Het RAM geheugensegment heeft ononderbroken elektrische stroom van de batterijen van de rekenmachine nodig om te werken.
Informatie over het behandelen van variabelen en directory’s vindt u in Hoofdstuk 2. Poortgeheugen In tegenstelling tot de HOME directory kunnen de geheugens van poorten 0, 1 en 2 niet worden onderverdeeld in directory’s en kunnen deze enkel backupobjecten of bibliotheekobjecten bevatten. Deze object typen worden hieronder beschreven. Objecten in het geheugen controleren Om de objecten die in het geheugen zijn opgeslagen te zien, kunt u de functie FILES („¡) gebruiken.
weergegeven in bovenstaand scherm. Door op de bijbehorende softmenutoets (A) te drukken, wordt deze bibliotheek geactiveerd. Door op de softmenutoetsen van de poort te drukken, zal deze geheugenpoort geopend worden. Verdere informatie over bibliotheken wordt hieronder gegeven. Back-upobjecten Back-upobjecten worden gebruikt om gegevens te kopiëren van uw home directory naar een geheugenpoort.
Een back-up maken van objecten in het poortgeheugen De procedure om een back-up te maken van een object van het gebruikersgeheugen naar één van de geheugenpoorten is gelijk aan de procedure om een variabele van de ene subdirectory naar een andere te kopiëren (zie Hoofdstuk 2 ). U kunt bijvoorbeeld de File Manager („¡) gebruiken om back-upobjecten te kopiëren en te verwijderen, net zoals u met gewone objecten van de rekenmachine zou doen.
De HOME directory terugzetten Gebruik om de HOME directory terug te zetten in de algebraïsche modus het commando: RESTORE(: Port_Number : Backup_Name) Gebruik bijvoorbeeld om de HOME directory terug te zetten vanuit het backupobject HOME1: RESTORE(:1:HOME1) In de RPN-modus gebruikt u: : Port_Number : Backup_Name ` RESTORE Opmerking: Wanneer u de back-up van een HOME directory terugzet gebeuren er twee dingen: • De back-up directory overschrijft de huidige HOME directory.
• Gebruik de File Manager („¡) om het object te verwijderen, net zoals u zou doen met een variabele in de HOME directory (zie Hoofdstuk 2 ). • Gebruik het commando PURGE als volgt: In de algebraïsche modus : PURGE(: Port_Number : Backup_Name) In de RPN-modus: : Port_Number : Backup_Name PURGE Een back-upobject terugzetten: • Gebruik de File Manager („¡) om het back-upobject te kopiëren van het poortgeheugen naar de HOME directory.
Voer om een back-upobject opnieuw op te roepen naar de commandoregel het volgendein: : Port_Number : Backup_Name ` RCL SD-kaarten gebruiken De rekenmachine bezit een geheugenkaartpoort waarin u een SD flash kaart kunt plaatsen om een back-up te maken van objecten van de rekenmachine of om objecten van andere bronnen te downloaden. De SD-kaart in de rekenmachine zal verschijnen als poort nummer 3.
U kan een SD kaart formateren vanop een PC of vanop de rekenmachine. Indien u te werk gaat vanop de rekenmachine (met behulp van de hieronder beschreven procedure), dient u er zeker van te zijn dat de rekenmachine vorozien is van nieuwe of relatief verse batterijen. Opmerking: het formateren van een SD kaart wist alle op dat moment op de kaart aanwezige gegevens. 1. Plaats de SD kaart in de kaartgleuf (zoals uiteengezet in de vorige paragraaf). 2. Hou de ‡ toets ingedrukt en druk tegelijk op de D toets.
(„¡). Als u de Filer activeert, zal de volgende boomstructuur verschijnen indien u een SD geplaatst heeft: Langebestandnamen op een SD kaartworden niet ondersteund in de Filer, doch worden weergegeven als 8.3 karakters, net als in DOS, d.w.z. weergegeven namen hebben maximaal 8 karakters met 3 karakters in het achtervoegsel. Het type van elk object zal weergegeven worden, tenzij het een PC-object is of een object van een ongekend type (in die gevallen wordt het type als String weergegeven).
Een object oproepen vanaf de SD-kaart Gebruik de functie RCL als volgt om een object vanaf de SD-kaart opnieuw op te roepen naar het scherm: • In de algebraïsche modus: Druk op „©, voer de naam in van het opgeslagen object dat poort 3 gebruikt (bijv., :3:V R1), druk op `. • In de RPN-modus: Voer de naam in van het opgeslagen object dat poort 3 gebruikt (bijv., :3:V R1), druk op „©. Met het commando RCL kunt u variabelen opnieuw oproepen door een pad te specifiëren in het commando, bijv.
2. Druk 3™³~~ [naam van eht object] `. Dit plaatst de naam en het pad van het ter evaluatie aangeboden object in het stapelgeheugen. 3. Om het object te evalueren, drukt u μ. Opmerking: in het geval van lange bestandsnamen kan ud e volledige naam of de afgekapte 8.3 naam opgeven bij het evalueren van een object op een SD kaart.
het volledige pad opgegeven te worden, doro gebruik te maken van de …Õ toetsen. Wanneer u bijvoorbeeld een object met als naam PROG1 in een directory PROGS wenst te plaatsen op een SD kaart, dan dient u, met het object nog steeds op het eerste niveau van het stapelgeheugen: !ê3™…Õ~~progs…/prog1`K in te toetsen. Dit zal het object dat daarvoor in het stapelgeheuegen stond, naar de SD kaart wegschrijven in de directory PROGS onder de naam PROG1.
Een bibliotheek installeren en koppelen Om een bibliotheek te installeren, geeft u de inhoud van de bibliotheek weer in het stapelgeheugen (gebruik de variabele softmenutoets ‚ of de functie RCL) en sla die op in poort 0 of 1.
Rekenmachine Verbindingskit , alvorens hen ook daadwerkelijk te verwijderen vanop de rekenmachine. U kan dan later, wanneer dit zou nodig blijken, de bibliotheken opnieuw installeren wanneer u de Vergelijkingsbibliotheek wenst te gebruiken. Bibliotheken maken Een bibliotheek kan worden geschreven in de Assembler-taal, in RPL-syteemtaal of met een matrix-aanmakende bibliotheek zoals LBMKR. Dit laatste programma is online beschikbaar (zie bijvoorbeeld http://www.hpcalc.org).
Hoofdstuk 27! De Vergelijkingenbibliotheek De vergelijkingenbibliotheek is een verzameling vergelijkingen en commando’s die u in staat stellen om eenvoudige wetenschappelijke en ingenieursproblemen op te lossen. De bibliotheek bestaat uit meer dan 300 vergelijkingen die zijn gegroepeerd in 15 technische onderwerpen met meer dan 100 verschillende probleemtitels. Elke probleemtitel bevat één of meer vergelijkingen die u helpen bij het oplossen van elk type probleem.
7. Voer voor elke gekende variabele de waarde in en druk op de overeenstemmende menutoets. Indien een variabele niet direct wordt weergegeven, druk op L om bijkomende variabelen zichtbaar te maken. 8. Optioneel: voer een schatting in voor een ongekende variabele. Dit kan het oplossen versnellen of kan u helpen om u op de éne of de andere oplossing te richten. Voer een schatting in op dezelfde wijze als dat u de waarde van een gekende variabele zou invoeren. 9.
De gepaste solver wordt gestart: SOLVR voor één vergelijking, de MultipleEquation Solver voor meer dan één vergelijking. Gebruik van de menutoetsen De werking van de variabele menutoetsen (al of niet samen met de shift-toets), zijn voor beide solvers identiek. Er dient opgemerkt te worden dat de Multiple Equation Solver gebruik maakt van twee vormen van menulabels: zwart en wit. De L toets haalt bijkomende menulabels tevoorschijn, indien gewenst.
Zoeken in de Vergelijkingenbibliotheek Wanneer u een onderwerp en een titel uit de Vergelijkingenbibliotheek kiest, specificeert u een verzameling van één of meerdere vergelijkingen. U kan de volgende informatie over de verzameling vergelijkingen bekomen uit de catalogi van de Vergelijkingenbibliotheek: De vergelijkingen zelf en het aantal vergelijkingen. De gebruikte variabelen en hun eenheden. (U kan de eenheden ook aanpassen.
Handelingen voor het bekijken van Vergelijkingen en Weergaven Toets Werking Voorbeeld #EQN# #NXEQ# Geeft de weergavevorm van de huidige of de volgende vergelijking in het formaat van de Vergelijkingenschrijver. ` Geeft de weergavevorm van de huidige of de volgende vergelijking als een algebraïsch object. ` of ˜ toont de volgende vergelijking, —toont de vorige. 'B=(μ0*μr*I)/ (2*à*r)' Toont de berekenvorm door een lijst van de huidige verzameling vergelijkingen in het stapelgeheugen te plaatsen.
Bewerkingen in de Variabelencatalogi Toets Actie L Schakelt heen en weer tussen de catalogus met de beschrijvingen en die met de eenheden. #!#SI##@ENGL# Activeert de SI of de Engelse eenheden, tenzij dit een conflict creëert met de eenheden die reeds gedefinieerd zijn voor een reeds bestaande variabele (globale) variabele. Wis de ebstaande variabelen (of voer de specifieke eenheden in) om conflicten te vermijden. !UNITS Schakelt heen en weer tussen gebruikte en niet gebruikte eenheden.
Gebruik van de Multiple-Equation Solver De Vergelijkingenbibliotheek start automatisch de Multiple-Equation Solver indien de verzameling vergelijkingen meer dan één vergelijking bevat. U kan echter de Solver echter eveneens expliciet starten door gebruik te maken van uw eigen verzameling vergelijkingen (zie “Definiëren van een verzameling vergelijkingen” op bladzijde 27-10).
Verwijder alle %ALL% Maakt alle variabelen niet gebruikergedefinieerd, doch specificeert niet hun waarden. !%ALL% Creëert variabelen indien nodig, en lost op naar alle variabelen die niet gebruiker-gedefinieerd zijn (of zo veel mogelijk). … %ALL% Geeft informatie weer betreffende de laatste oplossing. MUSER Stelt de instellingen op gebruikergedefinieerd voor variabelen of voor een lijst variabelen in het stapelgeheugen.
Merk op dat de variabelen aanduidt die werden gebruikt inde laatste oplossingstap – hun waarden zijn onderling compatibel. Andere variabelen kunnen niet-compatibele waarden bezitten omdat zij niet mee werden beschouwd tijdens de oplossing. Betekenis van de Menulabels Label Betekenis !!!!!!!!!X0!!!!!!!!! Waarde x0 is niet door u gedefinieerd en wordt niet gebruikt in de laatste oplossing. Kan bij de volgende oplossing gewijzigd worden.
U dient uw vergelijkingen zodanig te kiezen dat onbekende variabelen liefst afzonderlijk in vergelijkingen voorkomen. U dient te vermijden dat er twee of meer onbekende variabelen in alle vergelijkingen voorkomen. U kan eveneens vergelijkingen opgeven in een volgorde die het best past bij uw probleem. Bijvoorbeeld: de volgende drie vergelijkingen bepalen de initiële snelheid en versnelling, gebaseerd op twee waargenomen afstanden en tijdstippen.
3. Druk ! om deze tot een lijst te combineren. 4. Toets ³ ~ e ~ q K om de lijst op te slaan in de EQ variabele. 5. Toets G—`EQLIB EQLIB $MES# !MINIT! om Mpar te creëren en de vergelijking voor te bereiden zodat deze samen met de Multiple-Equation Solver kan gebruikt worden. 6. Toets !MSOLV! in om de solver te starten met de nieuwe verzameling vergelijkingen. Veranderen van de titel en het menu voor een verzameling vergelijkingen 7.
De volgende boodschappen duiden fouten aan in de probleemstelling: Bad Guess(es). Eenheden ontbreken misschien of zijn inconsistent voor een variabele. Voor een lijst van schattingen dient ten minste één van de elementen uit de lijst consistente eenheden te bezitten. Too Many Unknowns. De solver vond uiteindelijk slechts vergelijkingen met minstens twee onbekenden. Ofwel dient u andere gekende waarden in te voeren, of u dient de verzameling vergelijkingen te wijzigen.
Meervoudige wortels: Een vergelijking kan meervoudige wortels bezitten, en de solver kan een verkeerde daarvan gevonden hebben. Voer een schatting in voor de variabele om de oplossing naar het gepaste interval te sturen. Verkeerde variabeletoestanden: Een gekende of onbekende variabele kan de verkeerde toestand bezitten. Een gekende variabele dient een zwart menulabel te bezitten, en een onbekende variabele een wit label.
Bijlage A Werken met invoerschermen Dit voorbeeld van het instellen van de tijd en de datum illustreert het gebruik van invoerschermen in de rekenmachine. Enkele algemene regels: • Gebruik de pijltoetsen (š™˜—) om in het invoerscherm van veld naar het veld te bewegen. • Gebruik de softmenutoets @CHOOS om de mogelijkheden te bekijken die er zijn voor een willekeurig veld in het invoerscherm.
In dit geval kunnen we waarden geven aan alle variabelen op een na, bijv. n = 10, I%YR = 8.5, PV = 10000, FV = 1000 en variabele PMT oplossen (de betekenis van deze variabelen zal later worden uitgelegd). Probeer het volgende: 10 @@OK@@ Voert n = 10 in. 8.5 @@OK@@ Voert I%YR = 8.5 in. 10000 @@OK@@ Voert PV = 10000 in. ˜1000 @@OK@@ Voert FV = 1000 in. — š @SOLVE! Selecteert en lost op voor PMT.
!RESET Voor het terugzetten van de velden op de standaardwaarden. !CALC Voor het activeren van het stapelgeheugen voor berekeningen !TYPES Voor het bepalen van het objecttype in het gemarkeerde veld !CANCL Voor het annuleren van de bewerking @@OK@@ Voor het accepteren van de invoer Als u op !RESET drukt, zult u gevraagd worden om tussen de twee opties te kiezen: Als u Reset value selecteert, zal alleen de gemarkeerde waarden worden worden teruggezet op de standaardwaarden.
(In de RPN-modus zouden we 1136.22 ` 2 `/ hebben ingevoerd.) Druk op @@OK@@ om de nieuwe waarde in te voeren. Het invoerscherm zal er nu als volgt uitzien: Druk op !TYPES om het gegevenstype in het PMT-veld te bekijken (het gemarkeerde veld). Als gevolg hiervan krijgt u de volgende specificatie: Dit geeft aan dat de waarde in het PMT-veld een reëel getal moet zijn. Druk op @@OK@@ om terug te keren naar het invoerscherm en druk op L om het eerste menu te herstellen.
Bijlage B Het toetsenbord van de rekenmachine De onderstaande afbeelding toont een diagram van het toetsenbord van de rekenmachine met de nummering van de rijen en kolommen. De afbeelding toont 10 rijen met toetsen samen met 3, 5 of 6 kolommen. Rij 1 heeft 6 toetsen, de rijen 2 en 3 hebben elk 3 toetsen en de rijen 4 tot en met 10 hebben elk 5 toetsen. Er zijn 4 pijltoetsen die zich bevinden aan de rechterkant van het toetsenbord in rij 2 en 3 – Elke toets heeft drie, vier of vijf functies.
toets. We verwijzen naar de toetsen per rij en kolom waar deze zich in het bovenstaande diagram bevinden, dus: toets (10,1) is de toets ON. De functies van de hoofdtoetsen op het toetsenbord van de rekenmachine Functies van de hoofdtoetsen De toetsen A tot en met F zijn verbonden met de opties in het softmenu die onder in het beeldscherm van de rekenmachine worden weergegeven. Deze toetsen zullen een verscheidenheid aan functies activeren die veranderen volgens het actieve menu. Blz.
De pijltoetsen, —˜š™, worden gebruikt om één teken per keer in de richting van de ingedrukte toets te gaan (omhoog, omlaag, naar links of naar rechts). De functie APPS activeert het toepassingenmenu. De functie MODE activeert het modimenu van de rekenmachine. De functie TOOL activeert een menu met hulpmiddelen die handig zijn voor het werken met variabelen en het verkrijgen van hulp op de rekenmachine.
De toets ENTER wordt gebruikt om een getal of een functie in het beeldscherm of het stapelgeheugenin te voeren en. De toets ON wordt gebruikt om de rekenmachine aan te zetten. Andere toetsfuncties De groene g Shift-links toets, toets (8,1), de rode S Shift-rechts toets, toets (9,1) en de blauwe ALPHA-toets, toets (7,1), kunnen worden gecombineerd met enkele van de andere toetsen om de andere functies weergegeven op het toetsenbord te activeren.
gearceerde achtergrond weergegeven. Toetsen die niet geactiveerd worden, worden tegen een zwarte achtergrond weergegeven. Shift-links functies De volgende afbeelding toont de functies, tekens of menu’s behoren bij verschillende rekenmachinetoetsen, wanneer de Shift-links toets „ wordt geactiveerd. De zes Shift-links-functies die horen bij de toetsen A tot en met Fhebben te maken met de configuratie en de aanmaak van grafische afbeeldingen en tabellen.
Shift-links „ functies op het toetsenbord van de rekenmachine De De De De De De functie CMD toont de meest recente opdrachten. functiePRGactiveert de programmamenu's. functie MTRW activeert de Matrixschrijver. functie MTH activeert een menu met een wiskundige functie. toets DEL wordt gebruikt om variabelen te verwijderen. toets ex berekent de exponentiële functie van x. Blz.
De toets x2 berekent het kwadraat van x (hiernaar wordt verwezen als de functie SQ). De functies ASIN, ACOS en ATAN berekenen respectievelijk de functies boogsinus, de boogcosinus en de boogtangens. De functie 10x berekent het anti-logaritme van x. De toetsen ≠, ≤ en ≥ worden gebruikt voor het vergelijken van reële getallen. De functie ABS berekent de absolute waarde van een reëel getal of de grootte van een complex getal of van een vector.
De pijtoetsen, in combinatie met de Shift-links-toets, verplaatsen de cursor naar het eerste teken in de richting van de ingedrukte toets. Shift-rechts … functies op het toetsenbord van de rekenmachine Shift-rechts-functies De afbeelding hierboven toont de functies, tekens of menu’s behorende bij de verschillende rekenmachinetoetsen, wanneer de Shift-rechts toets … wordt geactiveerd. De functies BEGIN, END, COPY, CUT en PASTE worden gebruikt voor bewerkingsdoeleinden. Blz.
De toets UNDO wordt gebruikt om de laatste bewerking op de rekenmachine ongedaan te maken. De functie CHARS activeert het menu met speciale tekens. De functie EQW wordt gebruikt om de vergelijkingenschrijver te activeren. De functie CAT wordt gebruikt om de opdrachtcatalogus te activeren. De functie CLEAR schoont het beeldscherm. De functie LN berekent het natuurlijk logaritme.
De toets “ “ voert een paar dubbele aanhalingstekens in die gebruikt worden voor het invoeren van tekststrings. De toets __ voert een onderliggend streepje in. De toets << >> voert het symbool van een programma in. De toets voert een pijl in die een invoergegeven in een programma aanduidt. De toets voer een Return-teken in programma’s of tekststrings in. De toets (,) voert een komma in.
Alpha ~ functies op het toetsenbord van de rekenmachine Alpha-Shift-links-tekens De volgende afbeelding toont de tekens die horen bij de verschillende toetsen van de rekenmachine wanneer de toets ALPHA ~ wordt gecombineerd met de Shift-links toets „. U ziet dat de combinatie ~„ gewoonlijk wordt gebruikt om de kleine letters van het Engelse alfabet in te voeren (A tot en met Z). De getallen, wiskundige symbolen (-, +, ×), het decimaalteken (.
Alpha ~„ functies op het toetsenbord van de rekenmachine Alpha-Shift-rechts-tekens De volgende afbeelding toont de tekens die horen bij de verschillende toetsen van de rekenmachine wanneer de toets ALPHA ~ wordt gecombineerd met de rechts-Shift-toets …. Blz.
"' Alpha ~…-functies op het toetsenbord van de rekenmachine U ziet dat de combinatie ~… hoofdzakelijk wordt gebruikt om een aantal speciale tekens in het stapelgehugen van de rekenmachine in te voeren. De toetsen CLEAR, OFF, , , komma (,) de toetsen Enter en OFF werken ook als hun hoofdfunctie, zelfs wanneer de combinatie ~… wordt gebruikt.
Bijlage C CAS-instellingen CAS is de afkorting van Computer Algebraic System. Dit is het wiskundige hart van de rekenmachine waarin de symbolische wiskundige bewerkingen en functies geprogrammeerd zijn. Het CAS biedt een aantal instellingen die kunnen worden aangepast volgens het gewenste bewerkingstype. De volgende stappen laten de optionele CAS-instellingen zien: • Druk op de knop H om het invoerscherm CALCULATOR MODES te activeren.
@RESET Stelt de gebruiker in staat een gemarkeerde optie terug te zetten. !!CANCL Sluit dit invoerscherm en keert terug naar het normale beeldscherm. @@@OK@@@@ Gebruikt om de instellingen te accepteren. • Om het oorspronkelijke menu in het invoervenster CALCULATOR MODES te herstellen, drukt u op de toets L. Hier is het interessante punt het veranderen van de CAS-instellingen . Dit wordt bereikt door op de softmenutoets @@ CAS@@ te drukken.
Veel van de functies die door het CAS aangeboden worden, gebruiken een vooraf bepaalde onafhankelijke variabele. Standaard wordt elke variabele gekozen als de letter X (hoofdletter) zoals u ziet in het bovenstaande invoerscherm CAS MODES. De gebruiker kan deze variabele echter wijzigen in elke andere letter of combinatie van letters en cijfers (de naam van een variabele moet beginnen met een letter) door het veld Indep var in het invoervenster CAS MODES te bewerken.
Het volgende scherm toont de waarde van de constante π (de verhouding van de lengte van de omtrek tot de diameter) in symbolische opmaak gevolgd door het numerieke (of “drijvende punt”) opmaak. Dit voorbeeld komt overeen met de handelingsmodus Algebraic. Hetzelfde voorbeeld, alleen dan in de RPN-modus, wordt hierna getoond. CAS-modus Approximate versus Exact Wanneer _Approx geselecteerd is, zullen symbolische bewerkingen (bepaalde integralen, wortels, enz.) numeriek worden berekend.
De toetsencombinaties nodig voor het invoeren van deze waarden in de Algebraic-modus zijn als volgt: …¹2` R5` Dezelfde berekeningen kunnen worden uitgevoerd in de PRN-modus. Stapelgeheugenniveaus 3: en 4: tonen de berekening in de Exact CAS (de CAS-optie _Numeric is niet geselecteerd), op stapelniveaus 1: en 2: toont de berekening waarbij de optie Numeric CAS geselecteerd is.
Wanneer de rekenmachine een waarde van een heel getal gevolgd door een decimale punt geeft, duidt dat aan dat het hele getal omgezet is in een reële vorm. Dit geeft aan dat het getal werd ingevoerd, terwijl het CAS was ingesteld op de modus APPROX. Het wordt aanbevolen dat u de modus EXACT selecteert als standaard CASmodus en deze wijzigt in de modus APPROX, als u daar door de rekenmachine om wordt gevraagd bij het uitvoeren van een bewerking.
Als u op de softmenutoets OK () drukt, wordt de optie _Complex geforceerd en het resultaat is het volgende: De volgende toetsencombinatie wordt hierboven gebruikt: R„Ü5„Q2+ 8„Q2` Gebruik F wanneer u gevraagd wordt om over te schakelen naar de modus COMPLEX. Als niet naar de modus COMPLEX gaat, krijgt u de volgende foutmelding: Verbose versus niet-verbose CAS-modus Wanneer de CAS-optie _Verbose geselecteerd is, worden bepaalde calculustoepassingen met opmerkingenregels in het hoofdscherm weergegen.
CAS-optie _Step/step niet geselecteerd is, zullen de tussenliggende stappen niet worden weergegeven. Als u bijvoorbeeld de optie Step/step heeft geselecteerd, tonen de volgende schermen de stapsgewijze deling van twee polynomen, namelijk (X3-5X2+3X2)/(X-2). Dit wordt bereikt met de functie DIV2 gebruiken zoals hieronder weergegeven. Druk op ` om de eerste stap te tonen: Het scherm vertelt ons dat de rekenmachine werkt aan een deling van polynomen A/B, zodat A = BQ + R, waarbij Q = quotiënt en R = rest.
X 2 − 3X + 8 − 3X − 2 . = X 2 − 3X − 3X − X −2 X −2 De CAS-modus Increasing power Wanneer de CAS-optie _Incr pow geselecteerd is, zullen polynomen worden opgesomd, waarbij de termen steeds hogere machten zullen zijn van de onafhankelijke variabele. Wanneer de CAS-optie _Incr pow niet geselecteerd is (standaardwaarde), zullen polynomen worden opgesomd, waarbij de termen steeds lagere machten zullen zijn van de onafhankelijke variabele. Hieronder wordt een voorbeeld weergegeven in de Algebraic-modus.
De CAS-instelling Rigourous Wanneer de CAS-optie _Rigorous geselecteerd is, wordt de algebraïsche uitdrukking |X|, d.w.z. de absolute waarde, niet vereenvoudigd tot X. Als de CAS-optie _Rigorous niet geselecteerd is, wordt de algebraïsche uitdrukking |X| vereenvoudigd tot X. Het CAS kan meer problemen oplossen, als de modus Rigorous niet ingesteld is. Het resultaat of het domein waarop het resultaat van toepassing is, kan echter beperkter zijn.
U ziet dat in dit geval de softmenutoetsen E en F de enige toetsen zijn met bijbehorende opdrachten, namelijk: !!CANCL E CANCeL de Help !!@@OK#@ F OK om de Help te activeren voor de geselecteerde opdracht Als u op de toets !!CANCL E drukt, wordt HELP overgeslagen en keert de rekenmachine terug naar het normale beeldscherm.
@EXIT @ECHO A B @@ SEE1@@ C @@SEE2@ D !@@SEE3@ E @!MAIN F EXIT: sluit Helpaf ECHO: kopieer de voorbeeldopdracht naar het stapelgeheugen en sluit Help af. SEE1: verwijst naar de eerste koppeling (indien aanwezig) in de lijst met verwijzingen. SEE2: verwijst naar de tweede koppeling (indien aanwezig) in de lijst met verwijzingen. SEE3: verwijst naar de derde koppeling (indien aanwezig) in de lijst met verwijzingen. Main: keert terug naar de opdrachtlijst MAIN in HELP.
Om snel naar een bepaalde opdracht in de lijst van Help te gaan zonder dat u steeds de pijltoetsen hoeft te gebruiken, kunnen we een sneltoets gebruiken die bestaat uit het invoeren van de eerste letter van de naam van de opdracht. Stel dat we informatie willen vinden over de opdracht IBP (Integration By Parts), wanneer HELP eenmaal geactiveerd is. U gebruikt dan de toets ~ (eerste toets in de vierde rij onder in het toetsenbord) gevolgd door de toets voor de letter i (dezelfde als de toets I), dus ~i.
inbegrip van, maar niet beperkt tot, het verlies van gegevens of onnauwkeurige gegevens, verliezen opgelopen door u of derde partijen, of de onmogelijkheid van de CAS-software om met enige andere programma’s te werken), zelfs indien de houder of een andere partij op de hoogte werd gebracht van de mogelijkheid van dergelijke schadegevallen.
Bijlage D Extra tekenset U kunt elke hoofdletter en kleine letter van het alfabet op het toetsenbord gebruiken, terwijl er 255 tekens zijn die op de rekenmachine gebruikt kunnen worden. Hieronder vallen ook speciale tekens zoals θ, λ, enz. die in algebraïsche uitdrukkingen kunnen worden gebruikt. Gebruik de toetsencombinatie …± (behorende bij de toets EVAL) om deze tekens te kunnen gebruiken.
beeldscherm toont ook drie functies die te maken hebben met de softmenutoetsen f4, f5 en f6. Deze functies zijn: @MODIF: @ECHO1: @ECHO: Opent een grafische scherm waarin de gebruiker gemarkeerde tekens kan aanpassen. Gebruik deze optie voorzichtig, aangezien het aangepaste teken gewijzigd zal blijven totdat de rekenmachine voor de volgende keer teruggezet zal worden.
Hierna sommen we een aantal van de meest voorkomende toetscombinaties voor ~‚op: Griekse letters α β δ ε θ λ μ ρ σ τ ω Δ Π (alpha) (bèta) (delta) (epsilon) (thèta) (lambda) (mu) (rho) (sigma) (tau) (omega) (hoofdletter delta) (hoofdletter pi) ~‚a ~‚b ~‚d ~‚e ~‚t ~‚n ~‚m ~‚f ~‚s ~‚u ~‚v ~‚c ~‚p Andere tekens ~ ! ? ] (tilde) (faculteit) (vraagteken) (achterwaartse schuine streep) ~‚1 ~‚2 ~‚3 ~‚5 @ (symbool voor hoek) (at) ~‚6 ~‚` Sommige tekens die vaak gebruikt worden en geen eenvoudige sneltoetsco
Bijlage E De selectieboom in de Vergelijkingenschrijver De uitdrukkingenboom is een diagram dat weergeeft hoe de Vergelijkingenschrijver een uitdrukking interpreteert. De vorm van de uitdrukkingenboom wordt bepaald door een aantal regels die bekend staat als de hiërarchie van de bewerkingen. De regels zijn als volgt: 1. Bewerkingen tussen haakjes worden eerst uitgevoerd, van de binnenste tot de buitenste haakjes en van links naar rechts in de uitdrukking. 2.
de doorzichtige bewerkencursor ( ) rond de 2 in de noemer te plaatsen. Vervolgens drukt u continu op de pijltoets naar links š, totdat de doorzichtige bewerkencursor zich rond de y in de eerste factor in de noemer bevindt. Vervolgens drukt u op de pijltoets omhoog om de selectiecursor ( ) rond de y te activeren. Door continu op de pijltoets omhoog — te drukken, kunnen we de uitdrukkingenboom volgen die de y gebruikt om de uitdrukking te voltooien.
met een tweede term (x2+4), die al berekend is. Om de stappen te bekijken voor het berekenen van de tweede term drukt u continu op de pijltoets omlaag ˜, totdat de onzichtbare bewerkencursor opnieuw rond de y staat. Vervolgens drukt u op de pijltoets naar rechts totdat deze cursor boven de x in de tweede term in de noemer staat. Vervolgens drukt u op de pijltoets omhoog om deze x te selecteren.
Stap C1 Stap C2 Stap C3 Stap C4 Stap C5 = stap B5 = stap A6 De uitdrukkingenboom voor de uitdrukking hierboven wordt hierna weergegeven. Blz.
De stappen in de evaluatie van de drie termen (A1 tot A6, B1 tot B5 en C1 tot C5) worden naast de omcirkelde getallen, variabelen of operators weergegeven. Blz.
Bijlage F Het menu Applications (APPS) Het menu Applications (APPS) is beschikbaar via de toets G(eerste toets in tweede rij boven in het toetsenbord). De toets G toont de volgende toepassingen: De verschillende toepassingen worden hierna beschreven. Plot functions.. Door optie 1. Plot functions.. in de APPS te selecteren, verschijnt de volgende menulijst van opties die met grafieken te maken hebben in het scherm: De zes weergegeven opties zijn gelijk aan de onderstaande toestscombinaties.
Deze toepassingen worden hierna beschreven. Send to Rekenmachine Stuurt gegevens naar een andere rekenmachine (of naar een PC met een infrarode poort). Get from Rekenmachine Ontvangt gegevens van een andere rekenmachine (of van een PC met een infrarode poort). Print display Stuurt scherm naar printer. Print.. Drukt geselecteerd object af van rekenmachine Transfer.. Brengt gegevens over naar andere apparaten Start Server.. Rekenmachine ingesteld als server om met computers te communiceren.
Numeric solver.. Door optie 3. Constants lib.. in het menu APPS te selecteren, verschijnt het menu Numerical solver in het scherm: Deze bewerking is dezelfde als de toetscombinatie ‚Ï. Het menu Numerical solver wordt uitvoerig behandeld in hoofdstuk 6 en 7. Time & date.. Door optie 5.Time & date.. in het menu APPS te selecteren, verschijnt het menu Time and date in het scherm: Deze bewerking is dezelfde als de toetscombinatie ‚Ó. Het menu Time and date wordt uitvoerig behandeld in Hoofdstuk 26.
waarin de Vergelijkingenschrijver wordt gebruikt, zijn beschikbaar in deze hele handleiding. File manager.. Door optie 7. File manager.. in het menu APPS te selecteren, wordt de toepassing File manager geactiveerd: Deze bewerking is dezelfde als de toetscombinatie„¡. De file manager wordt behandeld in Hoofdstuk 2. Matrix Writer.. Door optie 8. Matrix Writer.. in het menu APPS te selecteren, wordt de Matrixschrijver geactiveerd: Deze bewerking is dezelfde als de toetscombinatie „².
De regeleditro kan in veel gevallen worden geactiveerd door op de pijltoets omlaag ˜ te drukken. Als het object in het beeldscherm een algebraïsch object is, zult u door te drukken op ˜ waarschijnlijk de Vergelijkingenschrijver activeren. De regeleditor wordt behandeld in Hoofdstuk 2 en uitvoerig behandeld in bijlage L. Menu Math .. Door optie 10.Math menu.. in het menu APPS te selecteren, verschijnt het menu MTH (mathematics) in het scherm: Deze bewerking is dezelfde als de toetscombinatie „´.
Deze bewerking kan ook geactiveerd worden met de toets P. Het menu CAS of SYMBOLIC wordt behandeld in Hoofdstuk 5 (algebraïsche en aritmetische bewerkingen). Andere functies in het menu CAS menu worden behandeld in de hoofdstuk 4 (complexe getallen), 6 (oplossingen van vergelijkingen), 10 (matrixen aanmaken), 11 (bewerkingen met matrixen), 13 (calculus), 14 (multivariabele calculus) en 15 (vectoranalyse). Bibliotheek met vergelijkingen Wanneer u optie 12.
Bijlage G Handige sneltoetsen Hier worden een aantal sneltoetsen gepresenteerd die vaak in de rekenmachine gebruikt worden: • Beeldschermcontrast aanpassen $ (vasthouden) + of $ (vasthouden) - • Wissel tussen de RPN-modus en de ALG-modus: H\@@@OK@@ of H\`.
• Systeemvlag 117 instellen/wissen (CHOOSE boxes versus SOFT menu) H @)FLAGS —„ —˜ @ @CHK@@ • In de ALG-modus, SF(-117) selecteert SOFT menus CF(-117) selecteert selecteert CHOOSE BOXES.
o o o o o o o o • $ (vasthouden) AF: “Koude” herstart – al het geheugen wordt gewist $ (vasthouden) B: Annuleert toetscombinatie $ (vasthouden) C: “Warme” herstart – geheugen wordt bewaard $ (vasthouden) D: Start interactieve zelftest $ (vasthouden) E: Start continue zelftest $ (vasthouden) #: Afsluiten diepe slaap – timer uit $ (vasthouden) A: Maakt een screendump van het beeldscherm $ (vasthouden) D: Annuleert volgende zich herhalende alarm Menu’s niet toegankelijk via toetsenbord.
Bijlage H Opsommingen CAS-hulpfaciliteit Men kan toegang tot de CAS-hulpafaciliteit krijgen door de toetscombinatie: IL@HELP ` . De eerste paar Help-schermen worden hieronder weergegeven. De opdrachten worden in alfabetische volgorde voorgesteld. Gebruik de verticale pijltjestoetsen —˜ om door de lijst van de helpfunctie te navigeren.
• U kunt twee of meer letters van de gewenste opdracht typen, door het alfabetische toetsenbord te vergrendelen. Hiermee wordt u naar, of in de buurt van de gewenste opdracht gebracht. Daarna moet u het alfatoetsenbord ontgrendelen, en de verticale pijltjestoetsen —˜ gebruiken om de opdracht te vinden. Druk op @@OK@@ om de opdracht te activeren.
Bijlage I Commandocataloguslijst Hier volgt een lijst met alle opdrachten in de commandocatalogus (‚N). De opdrachten die behoren tot het CAS (Computer Algebraic System) worden ook genoemd in bijlage H. De gegevens van de helptekst van CAS zijn voor een bepaalde commando beschikbaar als de softmenutoets @HELP zichtbaar wordt wanneer u die bepaalde commando markeert. Druk op deze softmenutoets voor de invoer uit de CAS-tekst. De eerste schermen van de catalogus worden hieronder weergegeven: Blz.
Bijlage J Het menu MATHS Het menu MATHS, toegankelijk via de MATHS (beschikbaar in de catalogus N), bevat de volgende submenu’s: Het submenu CMPLX Het submenu CMPLX bevat functies die horen bij bewerkingen van complexe getallen. Deze functies worden behandeld in Hoofdstuk 4: Het submenu CONSTANTS Het submenu CONSTANTS geeft toegang tot de wiskundige constanten van de rekenmachine. Deze worden behandeld in Hoofdstuk 3: Blz.
Het submenu HYPERBOLIC Het submenu HYPERBOLIC bevat de hyperbolische functies en hun inversen. Deze functies worden behandeld in Hoofdstuk 3: Het submenu INTEGER Het submenu INTEGER bevat functies voor het werken met hele getallen en enkele polynomen. Deze functies worden behandeld in Hoofdstuk 5: Het submenu MODULAR Het submenu MODULAR bevat functies voor de modulaire rekenkunde met getallen en polynomen. Deze functies worden behandeld in Hoofdstuk 5: Blz.
Het submenu POLYNOMIAL Het submenu POLYNOMINAL bevat functies voor het aanmaken en bewerken van polynomen. Deze functies worden behandeld in Hoofdstuk 5: Het submenu TESTS Het submenu TESTS bevat relationele operators ( ==, <, enz.), logische operators (AND, OR, enz.), de functie IFTE en de functies ASSUME en UNASSUME. Relationele en logische operators worden in Hoofdstuk 21 behandeld met betrekking tot het programmeren van de rekenmachine in de User RPL-taal.
Bijlage K Het menu MAIN Het menu MAIN is beschikbaar in de commandocatalogus. Het menu bevat de volgende submenu’s. De opdracht CASCFG Dit is de eerste ingang in het menu MAIN. Deze opdracht configureert het CAS. Zie bijlage C voor informatie over de configuratie van het CAS. Het submenu ALGB Het submenu ALGB bevat de volgende opdrachten: Deze functies, behalve 0.MAIN MENU en 11.UNASSIGN zijn beschikbaar in het toetsenbordmenu ALG (‚×). Raadpleeg Hoofdstuk 5 voor uitvoerige uitleg van deze functies.
Het submenu DIFF Het submenu DIFF bevat de volgende functies: Deze functies zijn tevens beschikbaar in het submenu CALC/DIFF (geactiveerd met „Ö). Deze functies worden beschreven in de hoofdstukken 13, 14 en 15, behalve de functie TRUNC, die hierna wordt behandeld met behulp van de ingang in de CAS-helptekst. Het submenu MATHS Het menu MTHAS wordt uitvoerig beschreven in bijlage J. Het submenu TRIGO Het submenu TRIGO bevat de volgende functies: Blz.
Deze functies zijn ook beschikbaar in het menu TRIG (‚Ñ). Een beschrijving van deze functies vindt u ook in Hoofdstuk 5. Het submenu SOLVER Het submenu SOLVER bevat de volgende functies: Deze functies zijn tevens beschikbaar in het submenu CALC/SOLVE (geactiveerd met „Ö). De functies worden beschreven in de hoofdstukken 6, 11 en 16. Het submenu CMPLX Het submenu CMPLX bevat de volgende functies: Het menu CMPLX is ook beschikbaar via het toetsenbord (‚ß).
De submenu’s INTEGER, MODULAR en POLYNOMIAL worden uitvoerig behandeld in bijlage J. Het submenu EXP&LN Het submenu EXP&LN bevat de volgende functies: Het menu kan ook geactiveerde worden via het toetsenbord met „ Ð. De functies in het dit menu worden behandeld in Hoofdstuk 5. Het submenu MATR Het menu MATR bevat de volgende functies: Blz.
Deze functies zijn tevens beschikbaar via het menu MATRICES op het toetsenbord („Ø). De functies worden beschreven in de hoofdstukken 10 en 11. Het submenu REWRITE Het menu REWRITE bevat de volgende functies: Deze functies zijn tevens beschikbaar via het submenu CONVERT/REWRITE (geactiveerd met „Ú). De functies worden behandeld in Hoofdstuk 5, behalve de functies XNUM en XQ, die hierna worden behandeld met behulp van de bijbehorende gegevens in de CAS-helptekst (IL@HELP ): XNUM XQ Blz.
Bijlage L Opdrachten van de regeleditor Wanneer u de regeleditor activeert met „˜ in het RPN-stapelgeheugen of in de ALG-modus, worden de volgende softmenufuncties weergegeven (druk op L om de overige functies te bekijken): De functies worden in het kort als volgt beschreven: SKIP: Slaat tekens aan begin van woord over. SKIP : Slaat tekens aan eind van woord over. DEL: Verwijdert tekens aan begin van woord. DEL : Verwijdert tekens aan eind van woord. DEL L: Verwijdert tekens in regel.
De items die op dit scherm staan, spreken voor zich. Zo betekent bijvoorbeeld X en Y position de positie van een regel (X) en het regelnummer (Y). Stk Size betekent het aantal objecten in de historie van de ALG-modus of in het RPNstapelgeheugen. Mem(KB) betekent de hoeveelheid aan vrij geheugen. Clip Size is het aantal tekens op het klembord. Clip Size is het aantal tekens in de huidige selectie. EXEC: Voert geselecteerde opdracht uit. HALT: Stopt uitvoering opdracht.
Het submenu SEARCH De functies van het submenu SEARCH zijn: Find: Gebruik deze functie om een string in de opdrachtregel te vinden. Het invoerscherm dat bij deze opdracht geleverd wordt, wordt hieronder weergegeven. Replace: Gebruik deze opdracht om een string te zoeken en te vervangen. Het volgende invoerscherm hoort bij deze opdracht : Find next.. :Zoekt het volgende zoekpatroon zoals gedefinieerd in Find.
Het submenu GOTO De functies van het submenu GOTO zijn de volgende: Goto Line: Om naar een opgegeven regel te gaan. Het volgende invoerscherm hoort bij deze opdracht: Goto Position: Gaat naar een opgegeven positie in de opdrachtregel. Het volgende invoerscherm hoort bij deze opdracht: Labels: Gaat naar een opgegeven label in de opdrachtregel.
Voorbeelden van de verschillende stijlen worden hieronder weergegeven: Blz.
Bijlage M Tabel Ingebouwde Vergelijkingen De Vergelijkingenbibliotheek bestaat uit 15 onderwerpen die overeenkomen met de delen van de hieronder vermelde tabel) en uit meer dan 100 titels. De getallen tussen haakjes die u hieronder kan terugvinden, geven het aantal vergelijkingen in de verzameling aan, alsook het aantal variabelen in de verzameling. Er zijn 315 vergelijkingen die in totaal gebruik maken van 396 variabelen.
12: DC Condensatorstroom (3, 8) 3: Vloeistoffen (29, 29) 1: Hydrostatische Druk op een 3: Stroming met verliezen (10, 17) diepte (1, 4) 2: Vergelijking van Bernoulli (10, 4: Stroming in gesloten leidingen (8, 15) 19) 4: Krachten en Energie (31, 36) 1: Lineaire Mechanica (8, 11) 5: ID Elastische Botsingen (2, 5) 2: Hoekmechanica (12, 15) 6: Sleepkrachten (1, 5) 3: Centripetale kracht (4, 7) 7: Wet van de Zwaartekracht (1, 4) 4: Wet van Hooke (2, 4) 8: Verband Massa–Energie (4, 9) 5: Gassen (18,
8: Beweging (22, 24) 1: Lineaire Beweging (4, 6) 5: Circulaire Beweging (3, 5) 2: Voorwerp in Vrije Val (4, 5) 6: Eindsnelheid (1, 5) 3: Beweging van een Projectiel (5, 7: Ontsnappingsnelheid (1, 14) 10) 4: Angulaire Beweging (4, 6) 9: Optica (11, 14) 1: Brekingswet (1, 4) 4: Sferische spiegeling (3, 5) 2: Grenshoek (1, 3) 5: Sferische breking (1, 5) 3: Wet van Brewster (2, 4) 6: Dunne lenzen (3, 7) 10: Oscillaties (17, 17) 1: Massa–Veer Systeem (1, 4) 4: Torsieslinger (3, 7) 2: Eenvoudige sli
2: Schuifspanning (3, 8) 4: De cirkel van Mohr (7, 10) 15: Golven (12, 15) 1: Transversale Golven (4, 9) 3: Geluidsgolven (4,8) 2: Longitudinale Golven (4, 9) Blz.
Bijlage N! Index A Aan 1-3 Aaneenschakelingsoperator 8-5 Aanvullende lettertypes 1-29 ABCUV 5-11 ABS 3-4, 4-6, 8-5, 9-10, 11-6 ACK 25-4 ACKALL 25-4 ACOS 3-7, 4-8, 8-5, 9-17 ACOSH 3-9, 8-6 ADD 8-5, 12-9, 21-1 ADDTMOD 5-12 Afgeleiden berekenen met 13-5 Afgeleiden van vergelijkingen 13-7 Afkortingen 13-7 Afleidingen 2-30 AFLOSSING 6-11 Alarmfuncties 25-4 Alarms 25-2 Alfabetisch toetsenbord 2-19 Alfabetische lettertekens 2-48 Alfabettekens B-3 Algebraïsche modus 1-18 Algebraïsche objecten 5-1 ALG-menu 5-3 ALOG
BEGIN 2-27 Benaderingsmodus (APPROX) in het CAS 2-2 Bepaalde integralen 2-33 Berekeningen met datums 25-3 Berekeningen met tijden 25-4 Beschikbare eenheden 3-19 Bessel’s vergelijking 16-53 Besselfuncties 16-54 BESTANDEN 2-50 Beste aanpassing 18-13 Beste gegevensaanpassing 18-12 Betekenis 18-6 Bewerkingen 5-8, 8-1, 11-1, 12-13, 12-50 Bewerkingen met eenheden 3-17 Bibliotheek vergelijkingen 27-1, M-1 Bij deze opmaak 19-2 BIN 3-2 Binaire getallen 3-2 Binaire systeem 19-1 Binomische verdeling 17-4 BLANK 22-35 B
C-6 CON 10-8 COND 11-10 Conditiegetal van een matrix 11-10 Conische curven 12-22 Conische curven plotten 12-21 CONJ 4-7 CONLIB 3-29 Constanten van de rekenmachine 3-8, 3-16 Constants lib F-2 Continue zelftest G-3 CONVERT 3-28 Convolutie 16-11, 16-14, 16-47 Coördinaattransformatie 14-9 Coördinatensysteem 3-2 COPY 2-27 Correlatiecoëfficiënt 18-18 COS 3-7 COSH 3-9 Covariantie 18-11 CROSS 9-11 CST 20-1 CSWP 10-20 Cumulatieve frequentie 18-8 Cumulatieve verdelingsfunctie 17-4 CURS 2-20 CUT 2-27 CYCLOTOMIC 5-11 C
DIVIS 5-10 DIVMOD 5-12, 5-15 DO-constructie 21-66 DOERR 21-69 DOLIST 8-12 DOMAIN 13-9 DOSUBS 8-12 DOT 9-11 DOT+ 12-47 DOT- 12-47 Draaien volgens 22-38 DRAW 22-4 DRAW3DMATRIX 12-56 DRAX 22-4 Drie-dimensionele vector componenten 1-25 Driehoekoplossing 7-17 DROITE 4-10 DROP 9-20 DTAG 23-1 E e 3-16 Een driedimensionele vector opbouwen 9-13 Een twee-dimensionele vector opbouwen 9-13 Een vector ontleden 9-12 Een vierkant stelsel 11-18 Eenheden 3-17 EGCD 5-11 EGV 11-47 EGVL 11-46 Eigenschappen van de regeleditor
Exponentiële verdeling 17-7 Extrema 13-8, 13-12 Extreme punten 13-12 EYEPT 22-10 F F0λ 3-32 FACTOR 2-10 Factoriseren van een uitdrukking 2-24 Factoriseren van matrices 11-49 FACTORMOD 5-12 FACTORS 5-10 Faculteit 17-1 Faculteitsymbool (!) G-2 FANNING 3-32 FCOEF 5-11 FDISTRIB 5-29 FFT 16-48 File manager..
18-9 Gegroepeerde gegevens 8-20 Geheugen 26-1 Geneste IF... THEN... ELSE...
chine 1-11 HEX 19-2 Hexadecimale stelsel 19-1 HILBERT 10-14 Histogram 12-2 HMS- 25-3 HMS+ 25-3 HMS 25-3 Hoek tussen vectoren 9-17 Hoekeenheden 7-13 Hoekmeting 1-24 Hoekmeting wijzigen G-2 Hoeksymbool (∠) G-2 Hogere orde afgeleiden 13-14 HOME 1-3 Hoofddiagonaal 10-1 Hoofdfunctie 1-12 Hoofdfuncties van deze toetsen B-10 HORNER 5-11, 5-20 Hypotheses testen 18-34 Hypothesetoetsing in lineaire regressie 18-52 Hypothesetoetsing van regressieparameters 18-49 HZIN 12-52 HZOUT 12-52 I i 3-16 I/O functions F-1 I R
Invoer/uitvoer-functies F-1 Invoeren van vectoren 9-6 Invoerscherm CAS MODES C-2 Invoerschermen 6-6 IP 3-14 IQUOT 5-11 IREMAINDER 5-11 ISOL 6-1 ISOM 11-55 ISPRIME? 5-11 ITALI L-4 J Jacobi-matrix 14-9 JORDAN 11-47 K Karakteristieke polynoom 11-45 KER 11-55 Kettingregel 13-6 Kleinste kwadraat oplossing (functie SQ) 11-25 Kolommen 11-9 Kolomvector 9-20 Krachten, momenten 9-1 Kronecker’s delta 10-1 L LABEL 12-49 Labels L-4 LAGRANGE 5-11, 5-21 Laguerre-vergelijking 16-57 LAP 16-4, 16-11 LAPL 15-5 Laplace-oper
LNP1 3-9 Locale variabelen 21-59 LOG 3-6 Logische operatoren 21-47 LQ 11-50 LQ factorisering 11-51 LSQ 11-15, 11-25 LU 11-50 LU-ontbinding 11-50 M Machten E-1 Maclaurin-reeksen 13-23 MAD 11-48 MAIN/Opdracht CASCFG K-1 MAIN/Submenu ALGB K-1 MAIN/Submenu ARIT K-3 MAIN/Submenu CMPLX K-3 MAIN/Submenu DIFF K-2 MAIN/Submenu EXP&LN K-4 MAIN/Submenu MATHS K-2 MAIN/Submenu MATR K-4 MAIN/Submenu REWRITE K-5 MAIN/Submenu SOLVER K-3 MAIN/Submenu TRIGO K-2 Maken en gebruiken van matrices 10-1 MANT 3-14 MAP 8-13 MARK 12
Menu Math F-5 Menu MATHS G-3, J-1 Menu met functies 1-4 Menu MTH 20-2 Menu MTH/LIST 8-9 Menu MTH/MATRIX 10-4 Menu MTH/PROBABILITY 17-9 Menu MTH/VECTOR 9-10 Menu PLOT 22-15 Menu PLOT (menu 81) 22-1 Menu PRG 21-33 Menu PRG/MODES/MENU 20-1 Menu REWRITE 5-28 Menu SOLVE 20-7 Menu SOLVE/DIFF 16-68 Menu STAT 18-14 Menu TIME 1-8 Menu TOOL 1-7 CASCMD 1-8 CLEAR 1-7 EDIT 1-7 HELP 1-8 PURGE 1-7 VIEW 1-7 Menu TRIG 5-9 Menu UNITS 3-17 Menu UTILITY 3-33 Menu VECTOR 9-10 Menu's 1-4 Methode van het kleinste kwadraat 18-49 M
Numerieke versus symbolische CASmodus C-3 NUMX 22-11 NUMY 22-11 O OBJ 22-28 Objecten 26-3 ODETYPE 16-8 Onafhankelijke CAS-variabele 16-11 Onafhankelijke variabele selecteren C-2 Oneigenlijke integralen 13-21 Oneindige reeksen 13-23 Ontleden van lijsten 8-2 Operators J-3 Oplossingen van meervoudige vergelijkingen 7-1 OPMAKEN 2-3 Oppervlakte 2-55 OR 19-5 ORDER 2-60 Orthogonale matrices 11-9 P PA2B2 5-11 PARTFRAC 5-11 Partiële breuken 5-24 PASTE 2-27 PCAR 11-45 PCOEF 5-11, 5-22 Pdf normale verdeling 17-10 P
QUOT 5-11, 5-23 QUOTIËNT 3-14 QXA 11-53 R R B 19-3 R C 4-6 R D 3-15 R I 5-29 RAD 3-1 RAND 17-1 RANK 11-11 RANM 10-11 RCI 10-25 RCIJ 10-25 RCLALARM 25-4 RCLKEYS 20-6 RCLMENU 20-2 RCWS 19-4 RDM 10-9 RDZ 17-3 RE 4-6 REALASSUME 2-37 Rechter shifttoets 1-12 RECT 4-3 Reël 2-1 Reële CAS-modus C-6 Reële deel 4-6 Reële getallen C-5 Reële getallen versus hele getallen C-5 REF, rrefenRREF 11-41 Regeleditor 7-10 Rekenmachine G-1 Rekenmachine modi 1-14 Rekenmachinetoetsen B-4 REMAINDER 5-11, 5-23 REPL 10-11, 12-49 RES
tervallen 18-22 SD kaarten 26-8 SEQ 8-13 SERIES 13-25 SI 3-22, 3-30 SIDENS 3-32 SIGMA 13-15 SIGMAVX 13-15 SIGNTAB 12-54, 13-10 SIMP2 5-10, 5-24 SIMPLIFY 5-29 SIN 3-7 SINH 3-9 SIZE 8-11 SKIP L-1 SL 19-6 SLB 19-7 Snelheid 3-20 Snelle 3D-grafieken 12-36 Snelle Fourier-transformaties F-5 SNRM 11-9 SOFT menus 1-7 Softmenu STAT 18-15 SOLVE 5-5, 6-2, 7-1, 27-3 SOLVE menu 6-29 SOLVE menu (menu 74) G-3 SOLVEVX 6-4 Soortteken 8-20 SORT 2-35 SPHERE 9-13 SQ 3-5 SR 19-6 SRAD 11-10 SRB 19-7 SREPL 23-3 SST 21-38 Staafdia
SUBST 5-5 Substitutie of wissel van variabelen 13-19 SUBTMOD 5-12 SVD 11-50 SVL 11-51 SYLVESTER 11-53 SYMB/GRAPH-menu 12-53 SYMBOLIC-menu 12-53 Symbolische CAS-modus C-3 Synthetische deling 5-20, 5-26 SYST2MAT 11-41, 11-44 Systeemgeheugen 26-1 Systeemniveau G-2 Systeemvlag 10-5, 11-7 Systeemvlag 95 (ALG/RPN) G-1 T Tabel 12-18, 12-26 TABVAR 12-55, 13-11 TAN 3-7 TANH 3-9 TAYLR 13-25 TAYLR0 13-25 TCHEBYCHEFF 5-24, 16-56 Tchebycheff polynomen 16-56 TDELTA 3-32 Teken van een getal, variabele of uitdrukking wijz
UTPT 17-9 UVAL 3-28 VX 2-37 VZIN 12-52 V W V 9-12 VANDERMONDE 10-13 Variabele of uitdrukking 3-3 Variabelen 2-48 Variantie 18-4 Variatiecoëfficiënt 18-5 Vector opbouwen 9-13 Vectoranalyse 2-6 Vectorelementen 10-12 Vectoren 9-1 Vectorvelden 15-1 Velden 15-6 Verbose CAS-modus C-7 Verbose versus niet-verbose CASmodus C-7 Vergelijkingen 6-1 Vergelijkingen, oplossen 27-1 Vergelijkingenschrijver (EQW) 2-11 Verlichtingseenheden 3-21 Vervangen L-3 Vervangen/ Zoekt het volgende L-3 Verwijderen van een subdirect
ZENDEN 2-35 ZFACT 12-50 ZFACTOR 3-32 Zijn de volgende L-4 ZIN 12-50 ZINTG 12-52 ZLAST 12-50 ZOOM 12-19, 12-50 ZOUT 12-50 ZSQR 12-52 ZTRIG 12-52 ZVOL 22-10 UNIT 3-28 V2 9-13 V3 9-13 DEL L-1 SKIP L-1 ΣDAT 16-50 ΣLIST 8-9 ΣPAR 22-14 Andere lettertekens ! 17-2 % 3-13 %CH 3-13 %T 3-13 2*X-1)’ 3-36 (CHOOSE/SOFT) G-2 (EXACT/APPROX) G-1 ARRY 9-6, 9-20 BEG L-1 COL 10-18 DATE 25-3 DIAG 10-12 END L-1 GROB 21-8 HMS 25-3 LCD 22-35 LIST 9-20 ROW 10-22 STK 3-30 STR 23-1 TAG 21-33 TIME 25-3 Blz.
Beperkte Garantie HP 50g grafische rekenmachine; Garantieperiode: 12 maanden 1. HP garandeert u, de eindgebruiker, dat HP hardware, accessoires en bijgeleverde producten vrij zijn van defecten in materiaal en afwerking na de aankoopdatum voor de hierboven aangegeven periode. Indien HP een mededeling ontvangt van dergelijke defecten gedurende de garantieperiode zal HP, naar eigen goeddunken, de producten die defect blijken te zijn repareren of vervangen. Vervangende producten kunnen nieuw of als nieuw zijn.
beperking of uitsluiting niet op u van toepassing is. Deze garantie geeft u specifieke wettelijke rechten en u kunt ook andere rechten hebben die van land tot land, staat tot staat of provincie tot provincie variëren. 7. VOORZOVER TOEGESTAAN DOOR LOKALE WETGEVING ZIJN DE REMEDIES IN DEZE GARANTIEVERKLARING UW ENIGE EN EXCLUSIEVE REMEDIES.
Service Europa Land: Oostenrijk België Denemarken Oost-Europa Finland Frankrijk Duitsland Griekenland Nederland Italië Noorwegen Portugal Telefoonnummers +43-1-3602771203 +32-2-7126219 +45-8-2332844 +420-5-41422523 +35-89640009 +33-1-49939006 +49-69-95307103 +420-5-41422523 +31-2-06545301 +39-02-75419782 +47-63849309 +351-229570200 Spanje +34-915-642095 Zweden +46-851992065 Zwitserland Turkije +41-1-4395358 (Duits) +41-22-8278780 (Frans) +39-02-75419782 (Italiaans) +420-5-41422523 VK +44-207-4580
Venezuela Mx City 5258-9922; RVHL 01800-472-6684 0800-4746-8368 Chili 800-360999 Colombia 9-800-114726 Peru Midden-Amerika & Caribische gebied Guatemala 0-800-10111 1-800-711-2884 Puerto Rico 1-877-232-0589 Costa Rica 0-800-011-0524 Land: Telefoonnummers VS 1800-HP INVENT (905) 206-4663 or 800- HP INVENT Mexico N-America 1-800-999-5105 Canada RVHL = Rest van het land Ga naar http://www.hp.com voor de laatste informatie over onze service en ondersteuning.
• • Connect the equipment into an outlet on a circuit different from that to which the receiver is connected. Consult the dealer or an experienced radio or television technician for help. Modifications The FCC requires the user to be notified that any changes or modifications made to this device that are not expressly approved by Hewlett-Packard Company may void the user’s authority to operate the equipment.
This Class B digital apparatus meets all requirements of the Canadian Interference-Causing Equipment Regulations. Avis Canadien Cet appareil numérique de la classe B respecte toutes les exigences du Règlement sur le matériel brouilleur du Canada.
Korean Notice Verwijdering van afgedankte apparatuur door privé-gebruikers in de Europese Unie Dit symbool op het product of de verpakking geeft aan dat dit product niet mag worden gedeponeerd bij het normale huishoudelijke afval. U bent zelf verantwoordelijk voor het inleveren van uw afgedankte apparatuur bij een inzamelingspunt voor het recyclen van oude elektrische en elektronische apparatuur.
