Operation Manual

Blz. 15-6
Rotatievrije velden en potentiaalfunctie
Eerder in dit hoofdstuk hebben we de functie POTENTIAL geïntroduceerd voor
het berekenen van de potentiaalfunctie φ(x,y,z) voor een vectorveld, F(x,y,z) =
f(x,y,z)i+ g(x,y,z)j+ h(x,y,z)k, zodat F = grad φ = ∇φ. We hebben ook
aangegeven dat de voorwaarden voor het bestaan van φ de volgende waren:
∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x en ∂g/∂z = ∂h/∂y. Deze voorwaarden zijn gelijk
aan de vectoruitdrukking.
rotatie F = ∇×F = 0.
Een vectorveld F(x,y,z), met nul rotatie, noemen we een rotatievrij
veld. We
kunnen dus concluderen dat er altijd een potentiaalfunctie φ(x,y,z) bestaat voor
een rotatievrij veld F(x,y,z).
In een eerder voorbeeld hebben we geprobeerd een potentiaalfunctie te vinden
voor het vectorveld F(x,y,z) = (x+y)i + (x-y+z)j + xzk. We kregen toen een
foutmelding van de functie POTENTIAL. Om te controleren dat dit een
rotatieveld is (dus ∇×F ≠ 0), gebruiken we de functie CURL op dit veld:
Aan de andere kant is het vectorveld F(x,y,z) = xi + yj + zk wel rotatievrij,
zoals we hieronder kunnen zien:
Vectorpotentiaal
Met een vectorveld F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k, als de vectorfunctie
Φ(x,y,z) = φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k bestaat, zodat F = curl Φ = ∇× Φ, wordt
er naar functie Φ(x,y,z) verwijzen als een vectorpotentiaal
van F(x,y,z).