Operation Manual

Blz. 16-53
Wanneer n een niet-negatief heel getal is, noemen we de oplossingen
Legendre’s polynomen. Legendre’s polynoom van de orde n wordt gegeven
door
waarbij M = n/2 of (n-1)/2, afhankelijk welke een heel getal is.
Legendre’s polynomen zijn voorgeprogrammeerd in de rekenmachine en
kunnen worden opgeroepen met de functie LEGENDRE met de orde van de
polynoom n. De functie LEGENDRE kan verkregen worden uit de
commandocatalogus (‚N) of via het menu ARITHMETIC/POLYNOMIAL
(zie hoofdstuk 5). De eerste zes Legendre-polynomen worden als volgt
verkregen:
0 LEGENDRE, uitkomst: 1, d.w.z. P
0
(x) = 1.0.
1 LEGENDRE, uitkomst: ‘X’, d.w.z. P
1
(x) = x.
2 LEGENDRE, uitkomst: ‘(3*X^2-1)/2’, d.w.z. P
2
(x) = (3x
2
-1)/2.
3 LEGENDRE, uitkomst: ‘(5*X^3-3*X)/2’, d.w.z. P
3
(x) =(5x
3
-3x)/2.
4 LEGENDRE, uitkomst: ‘(35*X^4-30*X^2+3)/8’,d.w.z.
P
4
(x) =(35x
4
-30x
2
+3)/8.
5 LEGENDRE, uitkomst: ‘(63*X^5-70*X^3+15*X)/8’,
d.w.z. P
5
(x) =(63x
5
-70x
3
+15x)/8.
De ODE (1-x
2
)⋅(d
2
y/dx
2
)-2⋅x⋅ (dy/dx)+[n⋅ (n+1)-m
2
/(1-x
2
)] ⋅y = 0, heeft als
oplossing de functie y(x) = P
n
m
(x)= (1-x
2
)
m/2
⋅(d
m
Pn/dx
m
). Deze functie is een
geassocieerde Legendre functie
.
Bessel’s vergelijking
De gewone differentiaalvergelijking x
2
⋅(d
2
y/dx
2
) + x⋅ (dy/dx)+ (x
2
-ν
2
) ⋅y = 0,
waarbij de parameter ν een niet-negatief reëel getal is, noemen we een
Bessel’s differentiaalvergelijking. Oplossingen voor Bessel’s vergelijkingen
mn
M
m
n
m
n
x
mnmnm
mn
xP
2
0
)!2()!(!2
)!22(
)1()(
−
=
∑
⋅
−⋅−⋅⋅
−
⋅−=
.....
)!2()!1(!12
)!22(
)!(2
)!2(
2
2
−+⋅
−−⋅⋅
−
−⋅
⋅
=
−n
n
n
n
x
nn
n
x
n
n