Operation Manual

Blz. 18-24
Pr[Z>z
k
] = k of Pr[Z<z
k
] = 1 – k. De normale verdeling werd beschreven in
hoofdstuk 17.
Betrouwbaarheidsintervallen voor het populatiegemiddelde als de
populatievariantie onbekend is
Stel dat ⎯X en S respectievelijk het gemiddelde en de standaardafwijking zijn
van een willekeurige steekproef met de grootte n, opgemaakt uit een oneindige
populatie die de normale verdeling met onbekende standaardafwijking σ. Het
centrale, tweezijdige betrouwbaarheidsinterval van 100⋅(1−α) % [dus 99%,
95%, 90%, enz.] voor het populatiegemiddelde μ is (⎯X− t
n-1, α/2
⋅S /√n , ⎯X+
t
n-1, α/2
⋅S/√n ), waarbij t
n-1, α/2
de student-t-variabele is met ν = n-1
vrijheidsgraden en waarschijnlijkheid α/2 van overschrijding.
De eenzijdige bovenste en onderste betrouwbaarheidsgrenzen van 100⋅ (1-α)
% voor het populatiegemiddelde μ zijn respectievelijk
X + t
n-1, α/2
⋅S/√n en ⎯X− t
n-1, α/2
⋅S /√n.
Kleine steekproeven en grote steekproeven
Het gedrag van de Student-t-verdeling is zodanig dat voor n>30 de verdeling
niet te onderscheiden is van de standaard normale verdeling. Voor
steekproeven die groter zijn dan 30 elementen waarvan de populatievariantie
onbekend is, kunt u hetzelfde betrouwbaarheidsinterval gebruiken als wanneer
de populatievariantie bekend is, maar vervangt u σ door S. Steekproeven
waarvoor geldt n>30 worden meestal grote steekproeven genoemd, anders
zijn het kleine steekproeven.
Betrouwbaarheidsinterval voor een proportie
Een discrete willekeurige variabele X volgt een Bernoulli-verdeling als X slechts
twee waarden kan aannemen, X = 0 (mislukking) en X = 1 (succes). Als X ~
Bernoulli(p) is, waarbij p de kans op succes is, dan is de gemiddelde waarde
of verwachting van X E[X] = p en is de variantie Var[X] = p(1-p).
Als een experiment met X n wordt herhaald en er worden k succesvolle
uitkomsten gemeld, dan wordt een schatting van p gegeven door p’= k/n,
terwijl de standaardfout van p’ σ
p’
= √(p⋅(1-p)/n) is. In de praktijk vervangt de
steekproefschatting voor p, dus p’, p in de formule voor standaardfouten.
Voor grotere steekproeven, n>30 en n⋅p > 5 en n⋅(1-p)>5 is de
steekproefverdeling bijna normaal. Daarom is het centrale, tweezijdige