HP 50g grafikfähiger Taschenrechner Bedienungsanleitung H Ausgabe 1 HP Artikel-Nr.
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Vorwort Sie halten einen kompakten Taschenrechner für symbolische und numerische Anwendungen in Händen, der Ihnen die Berechnung und mathematische Analyse einer Vielzahl von Aufgaben in den verschiedensten Fachbereichen erleichtern wird, von elementarer Mathematik bis hin zu Berechnungen im Ingenieurwesen und anspruchsvollen wissenschaftlichen Aufgabenstellungen.
Für Operationen mit Symbolen verfügt der Taschenrechner über eine mächtiges Computer Algebra System (CAS – Computer Algebraic System), mit dem Sie verschiedene Betriebsarten wählen können, z. B. für komplexe Zahlen und reelle Zahlen oder exakte (symbolische) und angenäherte (numerische) Zahlendarstellungen. Das Display kann so eingestellt werden, dass es Ausdrücke ähnlich wie in einem Lehrbuch anzeigt, was bei der Arbeit mit Matrizen, Vektoren, Brüchen, Summen, Ableitungen und Integralen nützlich sein kann.
Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 - Einführung ,1-1 Grundoperationen ,1-1 Batterien ,1-1 Ein- und Ausschalten des Taschenrechners ,1-2 Einstellen des Kontrasts für das Display ,1-2 Anzeigen im Display des Taschenrechners ,1-3 Menüs ,1-4 SOFT-Menüs vs.
Ausdrücke im Display bearbeiten ,2-4 Erstellen von arithmetischen Ausdrücken ,2-4 Bearbeiten von arithmetischen Ausdrücken ,2-7 Erstellen von algebraischen Ausdrücken ,2-9 Bearbeiten von algebraischen Ausdrücken ,2-9 Erstellen von Ausdrücken mithilfe des EquationWriters (EQW) (Gleichungseditors) ,2-12 Erstellen von arithmetischen Ausdrücken ,2-14 Bearbeiten von arithmetischen Ausdrücken ,2-20 Erstellen von algebraischen Ausdrücken ,2-23 Bearbeiten von algebraischen Ausdrücken ,2-25 Erstellen und Bearbeiten
CHOOSE boxes vs.
Funktion ZFACTOR ,3-36 Funktion F0λ ,3-37 Funktion SIDENS ,3-37 Funktion TDELTA ,3-37 Funktion TINC ,3-38 Definieren und Anwenden von Funktionen ,3-38 Funktionen die über mehr als einen Ausdruck definiert werden ,3-40 Die Funktion IFTE ,3-40 Kombinierte IFTE-Funktionen ,3-41 Kapitel 4 - Berechnungen mit komplexen Zahlen ,4-1 Definitionen ,4-1 Einstellen des Taschenrechners auf den COMPLEX-Modus ,4-1 Eingabe von komplexen Zahlen ,4-2 Polare Darstellung einer komplexen Zahl ,4-3 Einfache Operationen mit komp
SUBST ,5-6 TEXPAND ,5-6 Weitere Möglichkeiten zum Ersetzen in algebraischen Ausdrücken ,5-6 Operationen mit transzendenten Funktionen ,5-8 Erweitern und Faktorisieren mithilfe der log-exp-Funktionen ,5-8 Erweitern und Faktorisieren anhand trigonometrischer Funktionen ,5-9 Funktionen im Menü ARITHMETIC ,5-10 DIVIS ,5-11 FACTORS ,5-11 LGCD ,5-11 PROPFRAC ,5-11 SIMP2 ,5-11 Menü INTEGER ,5-12 Menü POLYNOMIAL (Polynome) ,5-12 Menü MODULO ,5-13 Anwendungen des Menüs ARITHMETIC ,5-13 Modulare Arithmetik ,5-14 Endl
Brüche ,5-26 Die Funktion SIMP2 ,5-26 Die Funktion PROPFRAC ,5-27 Die Funktion PARTFRAC ,5-27 Die Funktion FCOEF ,5-27 Die Funktion FROOTS ,5-28 Step-by-Step Operationen mit Polynomen und Brüchen ,5-28 Das Menü CONVERT und algebraische Operationen ,5-30 Konvertierungs-Menü UNITS (Einheiten) ,5-30 Konvertierungs-Menü BASE ,5-30 Konvertierungs-Menü TRIGONOMETRIC ,5-30 Konvertierungs-Menü MATRIZEN ,5-30 Konvertierungs-Menü REWRITE ,5-31 Kapitel 6 - Lösung von Einzelgleichungen ,6-1 Symbolische Lösung algebrai
Kapitel 7 - Lösen von Mehrfachgleichungen ,7-1 Rationale Gleichungssysteme ,7-1 Beispiel 1 – Projektilbewegung ,7-1 Beispiel 2 – Spannungen in einem dickwandigen Zylinder ,7-3 Beispiel 3 – System von Polynomgleichungen ,7-5 Lösungen für Simultansysteme mit MSLV ,7-5 Beispiel 1 – Beispiel aus der Hilfefunktion ,7-6 Beispiel 2 – Eingang aus einem See in einen offenen Kanal ,7-7 Der Multiple Equation Solver (MES) (Mehrfachgleichungslöser) ,7-12 Anwendung 1 – Lösung von Dreiecken ,7-12 Anwendung 2 – Geschwindig
Harmonischer Mittelwert einer Liste ,8-18 Geometrischer Mittelwert einer Liste ,8-19 Gewogenes Mittel ,8-20 Statistiken gruppierter Daten ,8-22 Kapitel 9 - Vektoren ,9-1 Definitionen ,9-1 Eingabe von Vektoren ,9-2 Eingabe von Vektoren in den Stack ,9-2 Vektoren in Variablen speichern ,9-3 Eingabe von Vektoren mithilfe des MatrixWriters (MTRW) ,9-4 Erstellen eines Vektors mithilfe von ARRY ,9-7 Kennung, Extrahieren und Hinzufügen von Elementen des Vektors ,9-8 Einfache Operationen mit Vektoren ,9-10 Änderu
Funktion DROP ,9-25 Umwandlung eines Zeilenvektors in einen Spaltenvektor ,9-25 Umwandlung eines Spaltenvektors in einen Zeilenvektor ,9-26 Eine Liste in einen Vektor umwandeln ,9-28 Einen Vektor oder eine Matrix in eine Liste umwandeln ,9-30 Kapitel 10 - Erstellen und Manipulieren von Matrizen ,10-1 Definitionen ,10-1 Eingaben von Matrizen in den Stack ,10-2 Verwendung des Matrix Editors ,10-2 Direktes Eingeben der Matrix in den Stack ,10-3 Erstellen von Matrizen mit den Funktionen des Taschenrechners ,10
Zeilenweise Manipulation von Matrizen ,10-23 Funktion ROW ,10-24 Funktion ROW ,10-25 Funktion ROW+ ,10-26 Funktion ROW- ,10-26 Funktion RSWP ,10-27 Funktion RCI ,10-28 Funktion RCIJ ,10-28 Kapitel 11 - Matrix-Operationen und lineare Algebra ,11-1 Operationen mit Matrizen ,11-1 Addition und Subtraktion ,11-2 Multiplikation ,11-2 Beschreiben einer Matrix (Das Matrixmenü NORM) ,11-8 Funktion ABS ,11-8 Funktion SNRM ,11-9 Funktionen RNRM und CNRM ,11-10 Funktion SRAD ,11-10 Funktion COND ,11-11 Funktion RANK
Gauß- und Gauß-Jordan-Elimination ,11-32 Schrittweises Verfahren des Taschenrechners zum Lösen linearer Gleichungssysteme ,11-42 Schrittweises Berechnen der Inversen einer Matrix ,11-44 Lösung linearer Gleichungssysteme mit den Funktionen des Taschenrechners ,11-45 Restfehler bei Lösungen linearer Gleichungssysteme (Funktion RSD) ,1149 Eigenwerte und Eigenvektoren ,11-50 Funktion PCAR ,11-50 Funktion EGVL ,11-51 Funktion EGV ,11-52 Funktion JORDAN ,11-53 Funktion MAD ,11-54 Matrixfaktorisierung ,11-55 Die F
Graph der Exponentialfunktion ,12-11 Die Variable PPAR ,12-12 Umkehrfunktionen und deren grafische Darstellung ,12-13 Zusammenfassung der Optionen zur Funktionsdarstellung ,12-14 Darstellung von Winkel- und Hyperbelfunktionen ,12-19 Eine Wertetabelle für eine Funktion erstellen ,12-20 Die Variable TPAR ,12-20 Darstellungen in Polarkoordinaten ,12-22 Darstellung von Kegelschnitt-Kurven ,12-24 Parametrische Plots ,12-26 Erzeugen einer Tabelle für parametrische Gleichungen ,12-29 Grafische Darstellung der Lösu
MENU ,12-55 SUB ,12-55 REPL ,12-55 PICT ,12-55 X,Y ,12-56 Vergrößern und verkleinern im Grafikfenster (Zoomen) ,12-56 ZFACT, ZIN, ZOUT und ZLAST ,12-56 BOXZ ,12-57 ZDFLT, ZAUTO ,12-57 HZIN, HZOUT, VZIN und VZOUT ,12-58 CNTR ,12-58 ZDECI ,12-58 ZINTG ,12-58 ZSQR ,12-58 ZTRIG ,12-58 Menü SYMBOLIC und Grafiken ,12-59 Das Menü SYMB/GRAPH ,12-59 Funktion DRAW3DMATRIX ,12-62 Kapitel 13 - Anwendungen der Infinitesimalrechnung/ Analysis ,13-1 Das Menü CALC (Infinitesimalrechnung - Analysis) ,13-1 Grenzwerte und
Funktion TABVAR ,13-12 Verwenden von Ableitungen zum Berechnen von Extrempunkten ,13-13 Ableitungen höherer Ordnung ,13-15 Stammfunktionen und Integrale ,13-15 Funktionen INT, INTVX, RISCH, SIGMA und SIGMAVX ,13-15 Bestimmte Integrale ,13-16 Schrittweise Berechnung von Ableitungen und Integralen ,13-18 Integrieren einer Gleichung ,13-19 Methoden der Integration ,13-20 Substitution oder Ändern von Variablen ,13-20 Partielle Integration und Differenziale ,13-21 Integration durch Partialbruchzerlegung ,13-22 U
Ein Programm zum Berechnen des Gradienten ,15-2 Verwenden der Funktion HESS zum Erhalten des Gradienten ,15-3 Potential eines Gradienten ,15-3 Divergenz ,15-4 Laplace-Operator ,15-5 Rotation ,15-5 Rotationsfreie Felder und Potentialfunktion ,15-6 Vektorpotential ,15-7 Kapitel 16 - Differentialgleichungen ,16-1 Grundfunktionen für Differentialgleichungen ,16-1 Differentialgleichungen eingeben ,16-1 Lösungen im Taschenrechner überprüfen ,16-3 Lösungen als Steigungsfeld anzeigen ,16-3 Das Menü CALC/DIFF ,16-4
Fast Fourier-Transformation (FFT) ,16-53 Beispiele für FFT-Anwendungen ,16-54 Lösung spezifischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung ,16-58 Die Cauchy’sche oder Euler-Gleichung ,16-58 Legendre’sche Gleichung ,16-59 Bessel-Gleichung ,16-60 Chebyshev oder Tschebyscheff-Polynome ,16-63 Laguerre-Gleichung ,16-64 Weber-Gleichung und Hermite-Polynome ,16-65 Numerische und grafische Lösungen von ODEs ,16-65 Numerische Lösung einer ODE erster Ordnung ,16-65 Grafische Lösung einer ODE erster Ordnung ,16-67 Nume
Die Weibull-Verteilung ,17-8 Funktionen für stetige Verteilungen ,17-8 Stetige Verteilungen für statistische Folgerungen ,17-10 Normalverteilung pdf ,17-10 Normalverteilung cdf ,17-10 Die Studentsche t-Verteilung ,17-11 Die Chi-Quadrat-Verteilung ,17-12 Die F-Verteilung ,17-13 Inverse Verteilungsfunktionen ,17-14 Kapitel 18 - Statistikanwendungen ,18-1 Vorprogrammierte Statistikfunktionen ,18-1 Eingeben von Daten ,18-1 Berechnen von Maßzahlen einer einzigen Variablen ,18-2 Erzeugen von Häufigkeitsverteilun
18-29 Konfidenzintervalle für Summen und Differenzen von Mittelwerten , 18-29 Bestimmen von Konfidenzintervallen ,18-31 Konfidenzintervalle für die Varianz ,18-37 Hypothesentest ,18-39 Vorgehensweise beim Testen von Hypothesen ,18-39 Fehler beim Hypothesentest ,18-40 Folgerungen in Bezug auf einen einzigen Mittelwert ,18-41 Folgerungen in Bezug auf zwei Mittelwerte ,18-44 Tests mit abhängigen Stichproben ,18-46 Folgerungen in Bezug auf einen einzigen Anteil ,18-46 Testen der Differenz zweier Anteile ,18-47
Das Menü BIT ,19-6 Das Menü BYTE ,19-7 Hexadezimalzahlen für Pixelreferenzen ,19-7 Kapitel 20 - Anpassen von Menüs und Tastatur ,20-1 Benutzerdefinierte Menüs ,20-1 Menü PRG/MODES/MENU ,20-1 Menü-Nummern (RCLMENU und MENU-Funktionen) ,20-2 Benutzerdefinierte Menüs (MENU und TMENU-Funktionen) ,20-2 Menü-Spezifikationen und CST-Variable ,20-4 Die Tastatur benutzerdefiniert anpassen ,20-5 Untermenü PRG/MODES/KEY ,20-6 Die aktuelle benutzerdefinierte Tastenliste aufrufen ,20-7 Ein Objekt einer benutzerdefinier
Prompt mit einem Eingabestring ,21-22 Funktion mit Eingabestring ,21-23 Eingabestring für zwei oder drei Eingabewerte ,21-26 Eingabe über Eingabemasken ,21-29 Erstellen einer Auswahlbox ,21-34 Identifizieren der Ausgabe von Programmen ,21-36 Markieren eines numerischen Ergebnisses ,21-36 Aufspalten eines gekennzeichneten Ergebnisses in eine Zahl und einen Tag (Kennzeichnung) ,21-36 “Extrahieren” einer gekennzeichneten Größe ,21-36 Beispiele für gekennzeichnete Ausgaben ,21-37 Verwenden von Meldefenstern ,21
Beschreibung des Menüs PLOT ,22-2 Erzeugen von Graphen durch Programme ,22-15 Zweidimensionale Grafiken ,22-16 Dreidimensionale Grafiken ,22-16 Die Variable EQ ,22-17 Beispiele von interaktiven Plots mit dem Menü PLOT ,22-17 Beispiele von programmgenerierten Plots ,22-20 Zeichenbefehle für die Programmierung ,22-22 PICT ,22-23 PDIM ,22-23 LINE ,22-24 TLINE ,22-24 BOX ,22-25 ARC ,22-25 PIX?, PIXON und PIXOFF ,22-26 PVIEW ,22-26 PX C ,22-26 C PX ,22-26 Programmierbeispiele mit Zeichenfunktionen ,22-26 Pixelko
Verknüpfen von Zeichenketten ,23-2 Das Menü CHARS ,23-2 Die Zeichenliste ,23-4 Kapitel 24 - Objekte des Taschenrechners und Flags ,24-1 Beschreibung der Objekte des Taschenrechners ,24-1 Funktion TYPE ,24-2 Funktion VTYPE ,24-2 Taschenrechner-Flags ,24-3 Systemflags ,24-3 Funktionen zum Setzen und Ändern von Flags ,24-4 Anwenderflags ,24-5 Kapitel 25 - Datums- und Zeit-Funktionen ,25-1 Das Menü TIME ,25-1 Alarm einrichten ,25-1 Alarme durchsuchen ,25-2 Datum und Uhrzeit einstellen ,25-2 Zeit-Funktionen (T
Einsetzen und Entfernen von SD-Karten ,26-8 Formatieren einer SD-Karte ,26-8 Zugriff auf Objekte einer SD-Karte ,26-9 Speichern von Objekten auf der SD-Karte ,26-10 Laden eines Objekts von der SD-Karte ,26-10 Auwerten eines Objekts auf einer SD-Karte ,26-11 Löschen eines Objekts von der SD-Karte ,26-11 Löschen aller Objekte der SD-Karte (durch Formatieren) ,26-12 Angeben eines Verzeichnisses auf der SD-Karte ,26-12 Verwenden von Bibliotheken ,26-13 Installieren und Anhängen von Bibliotheken ,26-13 Bibliothe
Anhang F - Das Menü (APPS) Anwendungen ,F-1 Anhang G - Nützliche Tastaturkürzel ,G-1 Anhang H - CAS-Hilfesystem ,H-1 Anhang I - Liste der Befehle im Befehlskatalog ,I-1 Anhang J - Menü MATHS ,J-1 Anhang K - Menü MAIN ,K-1 Anhang L - Befehle des Zeileneditors ,L-1 Anhang M - Tabelle eingebauter Gleichungen ,M-1 Anhang N - Index ,N-1 Beschränkte Garantie ,BG-1 Service ,BG-3 Regulatory information ,BG-4 Entsorgung von Altgeräten aus privaten Haushalten in der EU ,BG-7 Seite TOC-24
Kapitel 1 Einführung Dieses Kapitel vermittelt Ihnen Grundkenntnisse zur Bedienung Ihres Taschenrechners. Die Beispiele machen Sie mit den Grundoperationen und Einstellungen des Taschenrechners vertraut, bevor Sie mit den eigentlichen Berechnungen beginnen. Grundoperationen Nachfolgende Beispiele machen Sie mit der Hardware des Taschenrechners vertraut.
Installation der Batterien für die Sicherung des Datenspeichers a. Stellen Sie sicher, daß der Rechner ausgeschaltet ist. Drücken Sie die Abdeckung nach unten. Schieben Sie den Deckel in die angegebene Richtung und heben Sie ihn an. Abdeckplatte Halter b. Setzen Sie eine neue CR2032-Lithium-Batterie ein. Stellen Sie sicher, dass der mit (+) gekennzeichnete Pol nach oben zeigt. c. Setzen Sie den Deckel wieder auf, und schieben Sie ihn an die ursprüngliche Position zurück.
Anzeigen im Display des Taschenrechners Schalten Sie Ihren Taschenrechner erneut ein. Das Display sollte wie folgt aussehen: Im oberen Teil des Displays erscheinen zwei Zeilen mit den Einstellungen des Taschenrechners. In der ersten Zeile erscheinen folgende Zeichen: R D XYZ HEX R= 'X' Details über die Bedeutung dieser Symbole finden Sie in Kapitel 2.
Die sechs am unteren Rand des Taschenrechners befindlichen Beschriftungen wechseln abhängig vom aktuell angezeigten Menü. Die Funktionstaste A ist jedoch immer der ersten angezeigten Beschriftung zugeordnet, B der zweiten Beschriftung und so weiter. Menüs Die sechs den Funktionstasten A bis F zugeordneten Beschriftungen sind Befehle eines Funktionsmenüs. Da der Rechner nur über sechs Funktionstasten verfügt, können auch nur sechs Beschriftungen gleichzeitig angezeigt werden.
der Taste I), und verwenden Sie anschließend die Tastenkombination ‚ã (der Taste 3 zugeordnet). Die folgende CHOOSE box wird angezeigt: Diese CHOOSE box ist mit BASE-Menü (Basismenü) beschriftet und stellt eine durchnummerierte Liste von Funktionen zur Verfügung, von 1. HEX x bis 6. B R. Diese Anzeige stellt die erste Seite dieses CHOOSE box Menüs dar und zeigt 6 Menüfunktionen.
Kapitel 24.) Durch Umstellen des System-Flags 117 können Sie die Anzeige von SOFT-Menü auf CHOOSE boxes ändern. Um zu diesem Flag zu gelangen, verwenden Sie die Tastefolge: H @)FLAGS —„ —˜ Auf Ihrem Display erscheint die folgende Anzeige, wobei die Zeile, die mit der Nummer 117 beginnt, hervorgehoben ist: Standardmäßig wird die Zeile wie oben aussehen. Die hervorgehobene Zeile (117 CHOOSE boxes) zeigt an, dass Ihre Anzeige im Display im Moment auf CHOOSE boxes steht.
Ein weiteres Drücken der Taste L, bringt uns auf die erste Menüseite zurück. Anmerkung: Sobald das System-Flag 117 auf SOFT-Menü gesetzt ist, erhalten Sie über die Tastenkombination ‚(halten) ˜, eine Liste der Funktionen aus dem aktuellen Menü. Z. B. erhalten Sie für die ersten beiden Seiten im BASE-Menü folgendes: Um die Einstellung auf CHOOSE boxes zurückzustellen, verwenden Sie die Tastefolge: H @)FLAGS —„ —˜@ @CHK@@ @@@OK@@@ @@@OK@@@. Anmerkungen: 1.
@@STO@ D STOre – speichert den Inhalt einer Variablen @PURGE E PURGE – löscht (bereinigt) eine Variable @CLEAR F CLEAR – löscht das Display oder den Stack Der Taschenrechner hat nur insgesamt sechs Funktionstasten, deshalb können jeweils lediglich 6 Beschriftungen gleichzeitig angezeigt werden. Ein Menü kann aber auch mehr als nur sechs Einträge besitzen. Eine Gruppe von 6 Einträgen wird als Menüseite bezeichnet. Eigentlich hat das TOOL-Menü acht Einträge, aufgeteilt auf zwei Seiten.
Wie oben bereits erwähnt, stellt das TIME-Menü vier verschiedene Optionen, durchnummeriert von 1 bis 4, zur Verfügung. An dieser Stelle ist für uns nur Option 3. Set time, date... (Datum und Uhrzeit einstellen) von Interesse. Heben Sie mithilfe der Pfeiltaste ˜ diese Option hervor, und drücken Sie anschließend die Funktionstaten !!@@OK#@ .
Ändern Sie nun das Minutenfeld durch Drücken der Tasten 25 !!@@OK#@ auf 25. Nun wird das Sekundenfeld hervorgehoben. Um dieses Feld auf 45 zu ändern, geben Sie 45 !!@@OK#@ ein. Nun wird Feld für das Zeitformat hervorgehoben. Um die aktuellen Einstellungen des Feldes zu ändern, können Sie entweder die Taste W (zweite Taste von links, fünfte von unten) oder die Funktionstaste @CHOOS drücken. • Benutzen Sie die Taste W, wird sich das Feld für das Zeitformat in eine der nachfolgenden Optionen ändern.
Benutzen Sie die Pfeiltasten, — ˜, um zwischen diesen drei Optionen (AM, PM und 24-h) auszuwählen. Um Ihre Auswahl zu bestätigen, drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ . Einstellen des Datums Nachdem Sie das Format der Uhrzeit ausgewählt haben, wird die Eingabemaske SET TIME AND DATE wie folgt aussehen: Um das Datum einzustellen, müssen Sie zunächst das Datumsformat auswählen. Das standardmäßig eingestellte Format lautet M/D/Y (Monat/Tag/Jahr).
Einführung in die Tastatur des Taschenrechners Die nachfolgende Abbildung zeigt ein Diagramm der Tastatur Ihres Taschenrechners mit nummerierten Zeilen und Spalten. Column: 1 2 3 5 4 6 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Column: 1 2 3 4 5 Die Abbildung zeigt 10 Reihen von Tasten mit 3, 5 oder 6 Spalten. Reihe 1 hat 6 Tasten, Reihe 2 und 3 haben jeweils 3 Tasten, während Reihe 4 bis 10 jeweils 5 Tasten aufweisen. In der rechten oberen Ecke, in Höhe der Reihen 2 und 3, befinden sich 4 Pfeiltasten.
(größten) Beschriftung. Auch die linke Shift-Taste (8,1), die rechte Shift-Taste (9,1) und die ALPHA-Taste (7,1), können mit anderen Tasten kombiniert werden, um alternative Funktionen, die auf der Tastatur angezeigt werden, zu starten. So hat z. B.
Drücken Sie die Schaltfläche H (zweite Taste von links, zweite Reihe von oben), um die folgende Eingabemaske CALCULATOR MODES(Taschenrechnermodi) zu erhalten: Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um zur Normalanzeige zurückzukehren. Nachfolgend einige Beispiele, wie verschiedene Taschenrechnermodi ausgewählt werden können. Operationsmodus Der Taschenrechner bietet zwei verschieden Operationsmodi: den algebraischen (ALG)-Modus und den Reverse Polish Notation (RPN)-Modus.
Um diesen Ausdruck in den Taschenrechner einzugeben, verwenden wir zuerst den Equation Writer (Gleichungsschreiber), ‚O. Sie benötigen die folgenden Tasten zusätzlich zu den numerischen Tasten der Tastatur: !@.#*+-/R Q¸Ü‚Oš™˜—` Der EquationWriter ist ein Anzeigemodus, in welchem Sie mathematische Ausdrücke in expliziter mathematischer Notation, einschließlich Brüche, Ableitungsfunktionen, Integrale, Wurzeln usw., bilden können.
R!Ü3.*!Ü5.1./ !Ü3.*3.™™ /23.Q3+!¸2.5` Sie erhalten dasselbe Ergebnis. Ändern Sie nun den Modus auf RPN , indem Sie zuerst die Schaltfläche H drücken. Wählen Sie den RPN--Modus entweder über die Taste \ oder durch Drücken der Funktionstaste @CHOOS. Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um den Vorgang abzuschließen. Die Anzeige für den RPN-Modus sieht wie folgt aus: Beachten Sie, dass im Display die verschiedenen Ausgabeebenen, von unten nach oben mit 1, 2, 3, usw. durchnummeriert, angezeigt werden.
Beachten Sie die Position von y und x in den letzten beiden Operationen. Bevor die Taste Q gedrückt wird, ist die Basis der Exponential-Operation y (Stack-Ebene 2) während der Exponent x (Stack-Ebene 1) ist. Ähnlich verhält es sich mit der Quadratwurzel, y (Stack-Ebene 2) ist die Zahl unter dem Wurzelzeichen während x (Stack-Ebene 1) die Wurzel selbst darstellt. Versuchen Sie folgendes Beispiel, bei dem 3 Operanden verwendet werden: (5 + 3) × 2 Berechnet zuerst den Wert (5+3).
+ R (3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2,5 = 12.18369, in Ebene 1. √((3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2,5) = 3,4905156, in Ebene 1. Obwohl der RPN-Modus anfänglich aufwändiger als ALG-Modus erscheint, gibt es vielfache Vorteile in der Verwendung des RPN-Modus. Z. B. können Sie im RPN-Modus sehen, wie sich die Gleichung Schritt für Schritt entfaltet. Dies ist beim Auffinden möglicher Eingabefehler nützlich.
eine Ebene nach oben verschoben). Dies ist sehr nützlich, wie Sie im vorangegangenen Beispiel sehen konnten. Um zwischen den Modi ALG bzw. RPN auszuwählen, können Sie auch SystemFlag 95 mit folgender Tastenfolge setzen/löschen: H@FLAGS 9 ˜ ˜ ˜ ˜ @ CHK@@ ` Alternativ dazu können Sie eine der folgenden Abkürzungen verwenden: • Im ALG-Modus, CF(-95) wählt den RPN-Modus aus • Im RPN-Modus, 95 \` SF wählt den ALG-Modus aus. Weitere Informationen zu den System-Flags des Taschenrechners finden Sie in Kapitel 2.
• Standardformat: Dies ist der am häufigsten verwendete Modus, weil dieser Modus Zahlen in der gängigsten Schreibweise anzeigt. Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ mit dem Number format (Zahlenformat) auf Std eingestellt, um dann zum Display des Taschenrechners zurückzukehren. Geben Sie die Zahl 123,4567890123456 ein. Beachten Sie, dass diese Zahl 16 Stellen beinhaltet. Drücken Sie die Taste `.
Beachten Sie, dass das Zahlenformat auf Fix, gefolgt von einer Null (0) gesetzt ist. Diese Zahl zeigt die Anzahl der Dezimalstellen, welche nach dem Dezimalkomma im Display des Taschenrechners angezeigt werden sollen. Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um zum Display des Taschenrechners zurückzukehren. Die Zahl wird nun wie folgt angezeigt: Durch diese Einstellung werden alle Ergebnisse auf die nächste Ganzzahl gerundet (keine Nachkommastelle wird angezeigt).
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um die Auswahl abzuschließen. Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um zum Display des Taschenrechners zurückzukehren. Die Zahl wird nun wie folgt angezeigt: Beachten Sie, dass die Zahl nun gerundet und nicht abgeschnitten ist. Somit wird die Zahl 123,4567890123456 in dieser Einstellung als 123,457 und nicht als 123,456 angezeigt, da die Nachkommastelle nach der 6 > 5 ist.
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um zum Display des Taschenrechners zurückzukehren. Die Zahl wird nun wie folgt angezeigt: Dieses Ergebnis, 1,23E2, ist die Version des Taschenrechners zur Darstellung einer Zehnerpotenz, d. h. 1,235 × 102. In dieser so genannten wissenschaftlichen Schreibweise, stellt die dem Sci-Zahlenformat vorangestellte Ziffer 3 (wie vorher gezeigt) die Anzahl der Dezimalstellen nach dem Komma dar.
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um zum Display des Taschenrechners zurückzukehren. Die Zahl wird nun wie folgt angezeigt: Da diese Zahl drei Ziffern im ganzzahligen Teil enthält, wird diese im technischen Format mit vier Wertstellen und einer Zehnerpotenz von Null angegeben. Z. B. wird die Zahl 0,00256 wie unten dargestellt angezeigt: • • • Dezimalkomma vs.
Winkelmaß Trigonometrische Funktionen beispielsweise benötigen Argumente, die Flächenwinkel darstellen. Der Taschenrechner stellt drei verschiedene Winkelmaß--Modi für die Arbeit mit Winkeln zur Verfügung, und zwar: • Grade: Ein kompletter Umfang beträgt 360 Grad (360o) bzw. 90 Grad (90o) sind in einem rechten Winkel. Diese Darstellung wird hauptsächlich in der Standardgeometrie, im Maschinen- oder Stahlbau und im Vermessungswesen eingesetzt. • • Bogenmaß: Ein kompletter Umfang beträgt 2π (2π r) bzw.
Koordinatensystem Das Koordinatensystem beeinflusst die Eingabe- und Darstellungsart von Vektoren und komplexen Zahlen. Weitere Informationen über komplexe Zahlen und Vektoren erhalten Sie in den Kapiteln 4 und 9.
x = ρ ⋅ sin(φ ) ⋅ cos(θ ) ρ = x2 + y2 + z2 y = ρ ⋅ sin(φ ) ⋅ sin(θ ) θ = tan −1 ⎜ ⎟ z = ρ ⋅ cos(φ ) ⎛ y⎞ ⎝ x⎠ ⎛ x2 + y2 ⎞ ⎟ φ = tan −1 ⎜ ⎜ ⎟ z ⎝ ⎠ Um das Koordinaten-System in Ihrem Taschenrechner zu ändern, führen Sie folgende Schritte durch: • Drücken Sie die Schaltfläche H. Drücken Sie anschließend die Pfeiltaste ˜ dreimal. Wählen Sie nun den Winkelmaß-Modus entweder durch Drücken der Taste \ (zweite von links, Reihe fünf von unten) oder durch Drücken der Funktionstaste @CHOOS .
_Beep : Wenn ausgewählt, ist der Beeper des Taschenrechners aktiviert. Diese Operation dient hauptsächlich für Fehlermeldungen, verfügt jedoch über einige weitere Funktionen, wie: BEEP. _Key Click : Wird diese Funktion ausgewählt, wird bei jedem Tastenanschlag ein "Klick" hörbar. _Last Stack : Sichert den Inhalt des letzten Stack-Eintrags für die Weiterverwendung mit den Funktionen UNDO und ANS (siehe Kapitel 2). Die _Beep Option kann bei Fehlermeldungen für den Anwender nützlich sein.
• • • • • Verbose- vs. Non-verbose-Modus Einzelschrittmodus für Operationen aufsteigendes Potenzformat für Polynome genauer Modus Vereinfachung von irrationalen Ausdrücken Weitere Details zur Auswahl der CAS Einstellungen finden Sie in Anhang C. Auswahl der verschiedenen Anzeige-Modi Durch Auswahl der verschiedenen Anzeigemodi kann das Display des Taschenrechners wie gewünscht angepasst werden.
• • Um die Schrift für das Display auszuwählen, markieren Sie das Feld vor der Option Font: in der DISPLAY MODES-Eingabemaske, und benutzen Sie die Funktionstaste @CHOOS. Nachdem Sie nun alle gewünschten Optionen für die Eingabemaske des DISPLAY MODES ausgewählt oder abgewählt haben, drücken Sie die Funktionstaste @@@OK@@@. So kehren Sie zur CALCULATOR MODESEingabemaske zurück. Um zur Normalansicht des Taschenrechners zurückzukehren, drücken Sie die Taste @@@OK@@@ ein weiteres Mal.
abzuschließen. Nachdem Sie nun eine Schrift ausgewählt haben, drücken Sie die Funktionstaste @@@OK@@@, um zur CALCULATOR MODES-Eingabemaske zurückzukehren. Um an dieser Stelle zur Normalansicht des Taschenrechners zurückzukehren, drücken Sie die Funktionstaste @@@OK@@@ erneut und beachten Sie, wie sich die Stack-Anzeige verändert, um sich der neuen Schriftart anzupassen. Auswahl der Eigenschaften des Zeileneditors Drücken Sie die Schaltfläche H, um die CALCULATOR MODESEingabemaske zu starten.
Um diese Einstellungen zu veranschaulichen, wählen Sie entweder den algebraischen oder den PRN-Modus und benutzen Sie den EquationWriter, um folgendes bestimmtes Integral einzugeben: ‚O…Á0™„虄¸\x™x` Im algebraischen Modus, wenn weder _Small noch _Textbook ausgewählt wurden, sieht die nachfolgende Ansicht für das Ergebnis dieser Eingabe wie folgt aus: Wenn nur die Option _Small ausgewählt wurde, sieht das Display wie folgt aus: Ist aber die Option _Textbook ausgewählt (Standardwert), sieht das Ergebnis de
_Small Ändert die Schrift auf klein, während Sie den EquationEditor (Gleichungseditor) benutzen _Small Stack Disp Zeigt eine kleine Schriftart im Stack für die Anzeige im Format Textbook (Textbuch) an Genaue Anweisungen zur Benutzung des EquationWriters (EQW) werden an anderer Stelle in dieser Anleitung beschrieben. So wird z. B.
Auswahl der Anzeige für die Uhr Drücken Sie die Schaltfläche H, um die CALCULATOR MODESEingabemaske zu starten. Innerhalb der CALCULATOR MODES-Eingabemaske drücken Sie die Funktionstaste @@DISP@ (D), um die Eingabemaske DISPLAY MODES anzuzeigen. Drücken Sie die Pfeiltaste ˜ viermal, um zur Zeile Header (Kopfzeile) zu gelangen. Das Feld Header (Kopfzeile) wird hervorgehoben. Benutzen Sie die rechte Pfeiltaste (™), um den Unterstrich vor der Option _Clock oder _Analog auszuwählen.
Kapitel 2 Einführung in den Taschenrechner In diesem Kapitel wird eine Reihe von Basisoperationen des Taschenrechners erläutert, einschließlich der Anwendung des EquationWriters und der Manipulation von Datenobjekten im Taschenrechner. Studieren Sie die Beispiele in diesem Kapitel genau, um die Fähigkeiten Ihres Taschenrechners für zukünftige Anwendungen genau zu erfassen. Taschenrechner-Objekte Alle Zahlen, Ausdrücke, Zeichen, Variablen usw.
2,142. Um ein Ergebnis als reelle Zahl (Real - Gleitkommazahl) zu erzwingen, benutzen Sie die Funktion NUM ‚ï. Integer-Zahlen werden wegen Ihrer vollen Genauigkeit in Rechenoperationen häufig in CAS-basierten Funktionen verwendet. Wird im CAS (siehe Anhang C) der APPROX (Näherungs)-Modus ausgewählt, werden Integer-Zahlen automatisch in reelle Zahlen umgewandelt. Sollten Sie nicht planen, das CAS zu benutzen, wird empfohlen, gleich in den Näherungsmodus zu wechseln.
Listen, Objekte des Typs 5, sind besonders bei der Berechnung von Zahlensammlungen nützlich. So können z. B. die Spalten einer Tabelle als Listen eingegeben werden. Falls gewünscht, kann die Tabelle auch als Matrix oder Array eingegeben werden. Objekte des Typs 8 sind Programme in der User RPL Sprache. Dies sind einfache Anweisungsfolgen, die zwischen den Symbolen << und >> eingegeben werden. Programmen zugeordnet sind auch Objekte des Typs 6 und 7, Globale bzw. Lokale Namen.
Typs 18, und built-in commands (integrierten Befehlen) den Objekten des Typs 19. Ausdrücke im Display bearbeiten In diesem Abschnitt werden Beispiele zur Bearbeitung von Ausdrücken direkt im Display des Rechners gezeigt (algebraische History oder RPN-Stack). Erstellen von arithmetischen Ausdrücken Für dieses Beispiel wählen wir den algebraischen Modus und ein Fix (festes) Format mit 3 Dezimalstellen als Anzeige im Display. Wir geben nun den nachfolgenden arithmetischen Ausdruck ein: 1.0 7.5 5.0 ⋅ 3.
„ÜR3-2Q3 Bevor ein Ergebnis erstellt wird, werden Sie darauf hingewiesen, in den Approx mode (Näherungsmodus) zu wechseln. Akzeptieren Sie die Änderung, um nachfolgendes Ergebnis zu erzielen (angezeigt im Fix-Modus (fester Dezimalmodus) mit drei Nachkommastellen – siehe Kapitel 1): Wenn der Ausdruck direkt in den Stack eingegeben wird, wird der Taschenrechner in diesem Fall versuchen, einen Wert für den Ausdruck zu berechnen, sobald Sie die Taste ` drücken.
Wie im vorangegangenen Beispiel werden Sie auch diesmal gefragt, ob Sie das CAS auf Approx umstellen möchten. Sobald Sie dies getan haben, erhalten Sie das gleiche Ergebnis wie zuvor. Eine alternative Möglichkeit, den vorher eingegebenen Ausdruck in Anführungszeichen auszuwerten, ist die Anwendung der Option …ï.
überprüfen, ob diese das gleiche Ergebnis liefern, subtrahieren wir beide Werte und berechnen die Differenz mit der Funktion EVAL: - Subtrahieren Sie Ebene 1 von Ebene 2 μ Berechnen Sie mithilfe der Funktion EVAL Das Ergebnis ist Null (0). Anmerkung: Vermeiden Sie es, Integer- mit reellen Zahlen zu vermischen, um Konflikte in der Berechnung zu vermeiden. Für viele Anwendungen in der Physik und Technik, einschließlich numerischer Lösung von Gleichungen, Statistikanwendungen usw.
Der Cursor zur Bearbeitung ist ein blinkender nach links gerichteter Pfeil, der sich über dem ersten Zeichen der zu bearbeitenden Zeile befindet. Da in diesem Fall die Bearbeitung im Löschen einiger Zeichen und Ersetzen dieser durch Andere besteht, werden wir die Pfeiltasten š™ dazu benutzen, den Cursor auf dem zu verändernden Zeichen zu positionieren und anschließend die Löschtaste ƒ betätigen, um diese Zeichen zu entfernen.
Erstellen von algebraischen Ausdrücken Algebraische Ausdrücke beinhalten nicht nur Zahlen, sondern auch Namen von Variablen. Als Beispiel geben wir nachfolgenden algebraischen Ausdruck ein: x R +2L R+ y b 2L 1 + Wir stellen den algebraischen Operationsmodus am Taschenrechner ein, setzen das CAS auf Exact und die Anzeige auf Textbook.
Um diesen algebraischen Ausdruck mit dem Zeileneditor zu bearbeiten benutzen wir „˜. Damit wird der Zeileneditor gestartet und der zu bearbeitende Ausdruck sieht wie folgt aus: Der Cursor zur Bearbeitung ist ein blinkender nach links gerichteter Pfeil, der sich über dem ersten Zeichen der zu bearbeitenden Zeile befindet.
• • Drücken Sie die Löschtaste ƒ einmal, um die linke Klammer des oben eingefügten Klammerpaares zu löschen. Drücken Sie die Taste `, um zur Normalanzeige des Taschenrechners zurückzukehren. Nachfolgend das Ergebnis: Beachten Sie, dass der Ausdruck um Faktoren wie |R|, den Absolutbetrag, und SQ(b⋅R), die Quadratwurzel von b⋅R, erweitert wurde.
Um den gesamten Ausdruck im Display zu sehen, ändern wir die Option auf _Small Stack Disp in der DISPLAY MODES-Eingabemaske (siehe Kapitel 1). Nachdem Sie diese Änderung durchgeführt haben, sieht Ihre Anzeige wie folgt aus: Anmerkung: Um griechische oder andere Buchstaben in algebraische Ausdrücke einzugeben, benutzen Sie das Menü CHARS. Dieses Menü wird mit der Tastenkombination …± gestartet. Detailinformationen zu diesem Thema finden Sie in Anhang D.
@CURS : markiert einen Ausdruck und fügt diesem einen grafischen Cursor hinzu @BIG : falls ausgewählt (die Auswahl wird durch das Zeichen in der Beschriftung angezeigt) wird die Schriftgröße 8 im Editor verwendet (die größte vorhandene Schrift) @EVAL : damit können Sie einen im EquationWriter hervorgehobenen Ausdruck symbolisch oder numerisch auswerten (ähnlich wie …μ) @FACTO : ermöglicht es Ihnen, einen im EquationWriter hervorgehobenen Ausdruck zu faktorisieren (falls eine Faktorisierung möglich ist) @SI
Erstellen von arithmetischen Ausdrücken Die Eingabe von arithmetischen Ausdrücken in den EquationWriter ist ähnlich wie die Eingabe von in Anführungszeichen eingeschlossenen Ausdrücken in den Stack. Der Hauptunterschied besteht darin, dass die in den EquationWriter eingegebenen Ausdrücke im "Textbook"-Stil (wie in einem Texteditor) statt zeilenweise geschrieben werden. Sobald Sie ein Divisionszeichen (d. h. /) in den EquationWriter eingeben, wird daher ein Bruch erzeugt und der Cursor in den Zähler gesetzt.
An dieser Stelle angekommen, sieht Ihre Anzeige wie folgt aus: Um den Nenner 2 in den Ausdruck einzufügen, müssen wir den kompletten Ausdruck π2 hervorheben (markieren). Dazu drücken wir die rechte Pfeiltaste (™) einmal. An dieser Stelle fügen wir folgende Tastenfolge ein: /2 Der Ausdruck sieht nun wie folgt aus: Nehmen wir an, Sie möchten den Bruch 1/3 zu diesem Ausdruck hinzufügen, d. h.
ANMERKUNG: Alternativ kann auch von der Ursprungsposition des Cursors ausgehend (im Nenner rechts von der 2 im Ausdruck π2/2) die Tastenkombination ‚— - interpretiert als (‚ ‘ ) - verwendet werden. Sobald der Ausdruck wie oben gezeigt hervorgehoben ist, tippen Sie nachstehende Tastenfolge ein +1/3, um den Bruch 1/3 hinzuzufügen.
Möchten Sie den vorherigen, noch nicht berechneten Ausdruck, zurückholen, benutzen Sie die Funktion UNDO, d. h. …¯ (die erste Taste in der dritten Reihe von oben). Der wiederhergestellte Ausdruck wird, genau wie vorhin, markiert angezeigt: Wünschen Sie eine Gleitkommaberechnung (numerisch), benutzen Sie die Funktion NUM (d. h. …ï).
dazu die Pfeiltasten, um diesen bestimmten Unterausdruck auszuwählen.
Anschließend drücken Sie die Funktionstaste @EVAL , um den nachfolgenden Ausdruck zu erhalten: Versuchen wir es an dieser Stelle nun mit einer numerischen Berechnung dieses Gliedes.
Bearbeiten von arithmetischen Ausdrücken Nachfolgend zeigen wir einige Bearbeitungsmerkmale des EquationWriters als Beispiel. Wir beginnen, indem wir den im vorherigen Beispiel verwendeten Ausdruck eingeben: Dann verwenden wir die Bearbeitungsmöglichkeiten des EquationWriters, um den Ausdruck wie folgt umzuwandeln: In vorangegangenen Übungen haben wir die Pfeiltasten zur Markierung von Unterausdrücken für Berechnungen verwendet.
Mit der linken Pfeiltaste (š) können Sie den Cursor im Allgemeinen nach links bewegen, dieser hält aber bei jeder einzelnen Komponente des Ausdrucks. Nehmen wir z. B. an, dass wir als erstes den Ausdruck π 2/2 in den Ausdruck LN(π5/3) umwandeln möchten. Mit dem aktivierten reinen Cursor, wie oben angezeigt, drücken Sie die Pfeiltaste š zweimal, um die 2 im Nenner von π 2 /2 hervorzuheben. Drücken Sie als Nächstes die Löschtaste ƒ einmal, um den Cursor in einen Einfügecursor umzuwandeln.
Als Nächstes werden wir die 5 innerhalb der Klammern in ½ ändern, indem wir nachfolgende Tastenfolge benutzen: šƒƒ1/2 Dann markieren wir den gesamten Ausdruck in der Klammer und fügen das Quadratwurzelzeichen wie folgt ein: ————R Als Nächstes konvertieren wir die 2 vor der Klammer des Nenners wie folgt in 2/3 : šƒƒ2/3 An dieser Stelle sieht der Ausdruck wie folgt aus: Der letzte Schritt besteht darin, den Bruch 1/3 rechts vom Ausdruck zu entfernen.
angekommen, benutzen Sie die Löschtaste (ƒ), um den Einfügecursor zu wählen und fahren mit der Bearbeitung des Ausdrucks fort. Erstellen von algebraischen Ausdrücken Ein algebraischer Ausdruck ähnelt einem arithmetischen, mit der Ausnahme, dass in dem algebraischen auch lateinische oder griechische Buchstaben eingefügt werden können.
~„y). Sie erinnern sich: Um einen lateinischen Kleinbuchstaben eingeben zu können, benötigen Sie die Kombination ~„ gefolgt von dem Buchstaben, den Sie eingeben möchten. Sie können auch Sonderzeichen mithilfe des Menüs CHARS (…±) eingeben, wenn Sie sich nicht alle Tastenkombinationen für diese merken möchten Eine Auflistung häufig verwendeter ~‚-Tastenkombinationen wurde in einem vorangegangenen Abschnitt aufgeführt.
Bearbeiten von algebraischen Ausdrücken Bei der Bearbeitung von algebraischen Ausdrücken gelten die gleichen Regeln wie bei der Bearbeitung von algebraischen Gleichungen: • Benutzen Sie die Pfeiltasten (š™—˜), um den Ausdruck zu markieren. • Drücken Sie wiederholt den Pfeil (˜), um zum reinen Bearbeitungscursor zu gelangen. In diesem Modus verwenden Sie dann die Pfeiltasten (š™), um sich von einem Glied zum nächsten im Ausdruck zu bewegen.
6. x 7. μ in der Exponentialfunktion 8. λ 9. 3 in der √3 10. die 2 im Bruch 2/√3 An dieser Stelle können wir den reinen Bearbeitungscursor in einen Einfügecursor ändern, indem wir die Löschtaste (ƒ) drücken. Benutzen wir nun diese beiden Cursor (den reinen Bearbeitungscursor und den Einfügecursor), um den aktuellen Ausdruck wie folgt zu ändern: Haben Sie die Übung von vorhin gleich durchgeführt, sollte jetzt der reine Bearbeitungscursor auf der Zahl 2 im ersten Faktor des Ausdrucks stehen.
Berechnen eines Unterausdrucks Da wir den Unterausdruck SIN (θ 1 / 3 ) bereits hervorgehoben haben, drücken wir nun die Funktionstaste @EVAL , um diesen Unterausdruck zu berechnen. Die Lösung lautet: Einige algebraische Ausdrücke können nicht weiter vereinfacht werden. Versuchen Sie folgende Tastenkombination: —D. Sie werden feststellen, dass lediglich das vollständige Argument der Funktion LN hervorgehoben wird, sonst erfolgen keine Aktionen.
anzeigen. Drücken Sie die Funktionstaste @BIG , um das folgende Ergebnis zu erhalten: Auch mit der größeren Schrift ist es möglich, sich durch den gesamten Ausdruck mit dem reinen Bearbeitungscursor zu bewegen. Versuchen Sie die Tastenfolge C˜˜˜˜, um den reinen Bearbeitungscursor über den Faktor 3 im ersten Glied des Zählers zu bewegen. Drücken Sie die Pfeiltaste ™, um sich durch den Ausdruck zu bewegen.
Sie die Taste `. Starten Sie dann den EquationWriter durch Drücken der Tasten ‚O erneut. Geben Sie folgende Gleichung ein: XQ2™+2*X*~y+~y Q2™~‚a Q2™™+~‚b Q2 Dies ergibt dann: Wählen wir nun die ersten 3 Glieder des Ausdruckes aus, und versuchen wir, diesen Unterausdruck in seine Faktoren zu zerlegen: ‚— ˜‚™‚™. Dies ergibt: Drücken Sie die Funktionstaste @FACTO, um Folgendes zu erhalten: Um zum ursprünglichen Ausdruck zurückzukehren, drücken Sie ‚¯.
Drücken Sie die Funktionstaste @FACTO, um Nachfolgendes zu erhalten: Um zum ursprünglichen Ausdruck zurückzukehren, drücken Sie ‚¯. Markieren wir nun den gesamten Ausdruck, indem wir die Pfeiltaste ( —) einmal drücken. Drücken Sie die Funktionstaste @FACTO, um Folgendes zu erhalten: Um zum ursprünglichen Ausdruck zurückzukehren, drücken Sie ‚¯.
Als Nächstes wählen Sie den Befehl DERVX (die Ableitungsfunktion in Bezug auf die Variable X, die aktuelle unabhängige Variable im CAS)mit nachstehender Tastenkombination aus: ~d˜˜˜. Nun ist der Befehl DERVX ausgewählt: Drücken Sie die Funktionstaste @@OK@@ , um Folgendes zu erhalten: Anschließend drücken Sie die Taste L, um zum ursprünglichen EquationWriter Menü zurückzukehren und dann die Funktionstaste @EVAL@ , um die Ableitungsfunktion zu berechnen.
auszuwählen. Drücken Sie die Funktionstaste @@OK@@ , um Informationen zum Befehl DERVX zu erhalten: Eine genaue Erklärung zur Verwendung der Hilfefunktion für das CAS finden Sie in Kapitel 1. Um zum EquationWriter zurückzukehren, drücken Sie die Funktionstaste @EXIT. Drücken Sie `, um den EquationWriter zu verlassen.
Der ursprüngliche Ausdruck sieht wie folgt aus. Wir möchten nun den Unterausdruck x+2⋅λ⋅Δy aus dem Argument der Funktion LN entfernen und an die Position rechts von λ im ersten Glied verschieben. Eine Möglichkeit dies zu tun, lautet: ˜ššš——— ‚ªšš—*‚¬ Der veränderte Ausdruck sieht wie folgt aus: Anschließend kopieren wir den Bruch 2/√3 aus dem Ausdruck ganz links und fügen ihn in den Zähler des Arguments der Funktion LN ein.
können. Die Funktionen BEGIN und END werden hauptsächlich dann benötigt, wenn wir uns im Zeileneditor befinden. Wählen wir z. B. den Term x+2⋅λ⋅Δy in diesem Ausdruck aus, jedoch diesmal unter Verwendung des Zeileneditors innerhalb des EquationWriters, werden folgende Tastendrücke benötigt: ‚—A Die Anzeige des Zeileneditors sieht wie folgt aus: (Die Anführungszeichen werden nur angezeigt, wenn der Taschenrechner im RPN-Modus ist.
Drücken Sie `, um den EquationWriter zu verlassen. Erstellen und Bearbeiten von Summen, Ableitungsfunktionen und Integralen Summen, Ableitungsfunktionen und Integrale werden im Allgemeinen für die Infinitesimalrechnung-, sowie bei Wahrscheinlichkeits- und StatistikAnwendungen eingesetzt. In diesem Abschnitt zeigen wir einige Beispiele solcher Operationen, erstellt mit dem EquationWriter. Verwenden Sie den ALGModus.
Um den entsprechenden Ausdruck im Zeileneditor anzuzeigen, drücken Sie ‚—und die Funktionstaste A, um folgende Ansicht zu erhalten: Dieser Ausdruck zeigt die allgemeine Form einer Summe, die direkt in den Stack oder Zeileneditor eingegeben wurde: Σ(Index = Startwert, Endwert, Summationsausdruck) Drücken Sie `, um zum EquationWriter zurückzukehren.
Ableitungsfunktionen Wir benutzen den EquationWriter, um folgende Ableitungsfunktion einzugeben: d (α ⋅ t 2 + β ⋅ t + δ ) dt Drücken Sie ‚O, um den EquationWriter zu starten. Drücken Sie anschließend ‚¿, um zu dem (partiellen) Ableitungsfunktionszeichen zu gelangen. Beachten Sie, dass das Zeichen bei der Eingabe in den EquationWriter eine Eingabemöglichkeit für den abzuleitenden Ausdruck und die Ableitungsvariable zur Verfügung stellt.
Drücken Sie `, um zum EquationWriter zurückzukehren. Die so entstandene Anzeige ist nicht die Ableitungsfunktion, die wir eingegeben haben, sondern deren symbolischer Wert, und zwar: Um die abzuleitende Funktion wiederherzustellen, verwenden Sie ‚¯. Um die Ableitungsfunktion neu zu berechnen, verwenden Sie die Funktionstaste D. Diese zeigt erneut, dass gilt: d (α ⋅ t 2 − β ⋅ t + δ) = 2α ⋅ t + β . dt Auch eine Ableitung aus einer Ableitung ist möglich, so z. B.: welche ausgewertet ergibt.
Anmerkung: Für eine partielle Ableitung ist die Notation ∂ ( ∂x ) einwandfrei. Die richtige Notation für eine Gesamtableitung (d. h. eine Ableitung bei einer Variablen) lautet d ( ) . Der Taschenrechner macht dx jedoch keinen Unterschied zwischen partiellen und Gesamtableitungen. Bestimmte Integrale Wir benutzen den EquationWriter, um folgendes bestimmte Integral ∫ τ 0 t ⋅ sin(t ) ⋅ dt einzugeben. Drücken Sie ‚O, um den EquationWriter zu starten.
Um den zu integrierenden Ausdruck wiederherzustellen, verwenden Sie ‚¯. Um das Integral neu zu berechnen, verwenden Sie die Funktionstaste D. Diese zeigt erneut, dass ∫ τ 0 t ⋅ sin(t ) ⋅ dt = sin(τ ) − τ ⋅ cos(τ ) Auch Doppelintegrale sind möglich. Zum Beispiel: Ausgewertet ergibt es 36. Eine Teilauswertung ist auch möglich, beispielsweise: Der Wert dieser Integrals beträgt 36.
der zweiten Reihe von oben), um zum Dateimanager des Taschenrechners zu gelangen: Diese Ansicht ist eine Momentaufnahme des Taschenrechnerspeichers und der Verzeichnisstruktur. In der Anzeige sehen wir, dass der Taschenrechner drei Speicherschnittstellen (Ports - oder Speicherpartitionen) hat, Schnittstelle 0:IRAM, Schnittstelle 1:ERAM, und Schnittstelle 2:FLASH. Speicherschnittsellen werden dazu benutzt, Fremdanwendungen, Bibliotheken aber auch Backups zu speichern.
@COPY @MOVE @@RCL@ zum Kopieren einer hervorgehobenen Variablen zum Verschieben einer hervorgehobenen Variablen zum Wiederherstellen des Inhalts einer hervorgehobenen Variablen @EVAL zum Berechnen einer hervorgehobenen Variablen @TREE zum Anzeigen der Verzeichnisstruktur in der sich die Variable befindet Wenn Sie die Taste L drücken, erhalten Sie den nächsten zur Verfügung stehenden Satz von Funktionen: @PURGE zum Löschen oder Bereinigen einer Variablen @RENAM zum Umbenennen einer Variablen @NEW zum Erstel
Der Benutzer ist eingeladen, nun diese Funktionen selbst ausprobieren. Die Anwendung ist ziemlich einfach. Das HOME-Verzeichnis Wie bereits erwähnt, ist das HOME-Verzeichnis das Basis-Verzeichnis des Taschenrechners. Um zu dem HOME-Verzeichnis zu gelangen, können Sie die Funktion UPDIR („§) benutzen – wiederholen Sie diesen Vorgang solange bis der Ausdruck {HOME} in der zweiten Zeile Ihres Displays erscheint. Alternativ dazu können Sie auch „(halten) § verwenden, drücken Sie ` im algebraischen Modus.
Diesmal ist CASDIR in der Anzeige hervorgehoben. Um den Inhalt des Verzeichnisses anzuzeigen, drücken Sie die Funktionstaste @@OK@@ oder `. Wir erhalten: In der Anzeige ist eine Tabelle, die die Variablen im CASDIR beschreibt. Dies sind im Speicher des Taschenrechners vordefinierte Variablen, welche bestimmte Parameter für die CAS-Operation festlegen (siehe Anhang C). Die obige Tabelle enthält vier Spalten: • In der ersten Spalte ist der Typ der Variablen angezeigt (d. h.
CASDIR-Variablen im Stack Drücken Sie die Taste $, wird die vorangegangene Anzeige geschlossen und Sie erhalten die Normalanzeige des Taschenrechners. Standardmäßig kommen wir zum TOOL-Menü zurück: Wir können die Variablen im aktuellen Verzeichnis CASDIR ansehen, indem wir die Taste J drücken (erste Taste in der zweiten Reihe von oben). Folgende Anzeige erscheint: Drücken Sie die Taste L, sehen Sie eine weitere, in diesem Verzeichnis gespeicherte Variable: • • • Um z. B.
vorangegangenen Beispiel erstellt haben CASINFO ein Graph das CAS-Informationen liefert MODULO Modulo für modulare Arithmetik (Standard = 13) REALASSUME Auflistung von Variablennamen, von welchen angenommen wird, dass sie reelle Werte darstellen PERIOD Intervall für trigonometrische Funktionen (Standard = 2π) VX Name der unabhängigen Standardvariablen (Standard = X) EPS Wert des kleinen Inkrementes (Epsilon), (Standard = 10-10) Diese Variablen werden für die Funktionen des CAS benutzt.
Versuchen wir nun an einigen Beispielen, Verzeichnisse/ Variablennamen in den Stack einzugeben. Nehmen wir an, Sie befinden sich im algebraischen Modus (obwohl diese Anweisungen genauso im RPN-Modus funktionieren). Probieren Sie die nachfolgende Tastenkombination aus.
„¡, um das FILES-Menü zu starten. Sofern das HOME-Verzeichnis nicht bereits hervorgehoben ist, d. h. benutzen Sie die Pfeiltasten (—˜), um es hervorzuheben. Drücken Sie anschließend die Funktionstaste @@OK@@ . Die Anzeige sieht wie folgt aus: wobei Sie feststellen können, dass sich zurzeit nur ein Objekt im HOMEVerzeichnis befindet, und zwar das Unterverzeichnis CASDIR.
Unterverzeichnis an dieser Stelle gibt, überspringen wir dieses Eingabefeld einfach mit der Pfeiltaste ˜ einmal. Nun wird das Feld Name hervorgehoben. An dieser Stelle geben wir den Namen des neuen Unterverzeichnisses (oder der Variablen, je nachdem was der Fall ist) wie folgt ein: ~~mans` Der Cursor springt ins Kontrollfeld _Directory. Drücken Sie die Funktionstaste @ @CHK@@ um anzugeben, dass Sie ein Verzeichnis erstellen wollen und anschließend @@OK@@, um die Eingabemaske zu verlassen.
Um in das MANS-Verzeichnis zu wechseln, drücken Sie die entsprechende Funktionstaste (in diesem Fall A) und, falls Sie im algebraischen Modus sind, die Taste `. In der zweiten Zeile der Verzeichnisstruktur wird {HOME M NS} angezeigt. Die Funktionstasten werden aber, wie unten gezeigt, keine Beschriftungen aufweisen, weil noch keine Variablen für dieses Verzeichnis gespeichert wurden.
Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 2. MEMORY… auszuwählen, oder einfach nur die 2. Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Dadurch erhalten Sie das nachfolgende Pull-Down-Menü: Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 5. DIRECTORY… auszuwählen, oder einfach nur die 5. Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Dadurch erhalten Sie das nachfolgende Pull-Down-Menü: Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 5. CRDIR … auszuwählen und drücken Sie dann @@OK@@.
An dieser Stelle, müssen Sie einen Verzeichnisnamen, sagen wir chap1, eingeben: ~~„~chap1~` Der Name des neuen Verzeichnisses wird im Funktionstastenmenü angezeigt, z. B.: Befehl CRDIR im RPN-Modus Um CRDIR im RPN-Modus zu benutzen, muss, bevor Sie den Befehl starten, der Name des Verzeichnisses im Stack bereits existieren. Zum Beispiel: ~~„~chap2~` Starten Sie den Befehl CRDIR mit einer der oben genannten Möglichkeiten, z. B.
erhalten Sie, wenn Sie die Taste J (VARiablen) drücken. Um in ein übergeordnetes Verzeichnis zu wechseln, benutzen Sie die Funktion UPDIR, d. h. Sie geben „§ ein. Alternativ können Sie auch das FILES-Menü dazu benutzen, d. h. Sie drücken „¡. Benutzen Sie die Pfeiltasten ( —˜), um das Unterverzeichnis, in welches Sie wechseln möchten, auszuwählen, und anschließend !CHDIR (Change DIRectory = Verzeichnis wechseln) oder die Funktionstaste A.
!ABORT @@NO@@ Unterverzeichnis (Variable) nicht aus einer Liste löschen Unterverzeichnis (Variable) nicht löschen Nachdem Sie nun einen dieser vier Befehle ausgewählt haben, kommen Sie zur Anzeige der Inhalte des Unterverzeichnisses zurück. Der Befehl !ABORT, bringt jedoch eine Fehlermeldung und Sie müssen die Taste @@OK@@ drücken, bevor Sie zur Auflistung der Variablen zurückkehren. Verwenden des Befehls PGDIR Mit dem Befehl PGDIR können Verzeichnisse bereinigt werden.
Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 5. DIRECTORY … auszuwählen. Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Dadurch erhalten Sie das nachfolgende Pull-Down-Menü: Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 6. PGDIR… auszuwählen und drücken Sie dann @@OK@@.
Anstatt den Namen des Verzeichnisses einzutippen, können Sie auch einfach die entsprechende Funktionstaste aus der Auflistung des PGDIR ( ) Befehls drücken, z. B. Drücken Sie @@OK@@, um Nachfolgendes zu erhalten: Anschließend drücken Sie )@@S3@@, um 'S3' als das Argument zu PGDIR einzugeben. Drücken Sie `, um das Unterverzeichnis zu löschen: Befehl PGDIR im RPN-Modus Um PGDIR im RPN-Modus zu benutzen, muss, bevor Sie den Befehl starten, der Name des Verzeichnisses im Stack bereits existieren.
Starten Sie den Befehl PGDIR mit einer der oben genannten Möglichkeiten, z. B. über die Taste ‚N: Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um den Befehl zum Löschen des Unterverzeichnisses zu aktivieren: Anwendung des PURGE Befehls aus dem TOOL-Menü Das TOOL-Menü erreicht man durch Drücken der Taste I (Abbildungen: algebraischer und RPN-Modus): Der Befehl PURGE kann über die Funktionstaste @PURGE aktiviert werden.
Sonderzeichen, wie z. B. der Pfeil, (→) können in Variablennamen verwendet werden, aber nur in Kombination mit einem Buchstaben. Somit ist ‘→A’ ein gültiger Name für eine Variable, ‘→’ hingegen nicht. Beispiele von gültigen Variablennamen sind: ‘A’, ‘B’, ‘a’, ‘b’, ‘α’, ‘β’, ‘A1’, ‘AB12’, ‘ A12’,’Vel’,’Z0’,’z1’, usw. Eine Variable kann nicht denselben Namen wie eine Funktion im Taschenrechner haben.
Drücken Sie @@OK@@ um in das Verzeichnis zu gelangen. Sie bekommen eine Anzeige "no entries" – keine Einträge (das Unterverzeichnis INTRO ist an dieser Stelle noch leer) Drücken Sie die Taste L, um zur nächsten Seite des Funktionstastenmenüs zu gelangen und drücken Sie die Funktionstaste @@NEW@@.
Drücken Sie @@OK@@ ein weiteres Mal, um die Variable zu erstellen. Die neue Variable wird wie abgebildet in der Variablenliste angezeigt: Die Auflistung zeigt eine reelle Variable (|R) mit dem Namen A, welche einen Speicherplatz von 10,5 Byte belegt. Um sich den Inhalt der Variablen anzuzeigen, drücken Sie L@VIEW@. • Drücken Sie die Funktionstaste @GRAPH , um den Inhalt in grafischem Format darzustellen. • • • Drücken Sie die Funktionstaste @TEXT , um den Inhalt im Textformat darzustellen.
Verwenden des Befehls STO Ein einfacherer Weg, eine Variable zu erstellen, führt über den Befehl STO (d. h. die Taste K). Für die Erstellung der noch fehlenden Variablen werden die Beispiele im algebraischen und im RPN-Modus angezeigt: Name α Inhalt -0.25 Typ reell A12 Q R z1 p1 3×105 ‘r/(m+r)' [3,2,1] 3+5i << → r 'π*r^2' >> reell Algebraik Vektor komplex Programm Algebraischer Modus Drücken Sie nachstehende Tastenfolge, um den Wert -0,25 in der Variablen α zu speichern: 0.25\ K ~‚a.
Am unteren Rand werden Sie sechs oder sieben Variablen wieder finden: p1, z1, R, Q, A12, α. • RPN-Modus Drücken Sie nachstehende Tastenfolge, um den Wert -0,25 in eine Variable α zu speichern: .25\`³~‚a`. An dieser Stelle wird Ihre Anzeige wie folgt aussehen: Mit –0.25 auf Level 2 des Stapels und 'α' auf Level 1 des Stapels können Sie die K-Taste benutzen, um die Variable zu erstellen. Die Variable wird nun bei den Funktionstasten angezeigt.
z1: ³3+5*„¥ ³~„z1 K (Bestätigen Sie den Wechsel in den Complex Modus, falls Sie gefragt werden). p1: ‚å‚é~„r³„ì* ~„rQ2™™™ ³ ~„p1™` K. An dieser Stelle sieht Ihre Anzeige wie folgt aus: Am unteren Rand werden Sie sechs oder sieben Variablen wieder finden: p1, z1, R, Q, A12, α. Überprüfen der Inhalte von Variablen Zur Übung, wie Sie in den Inhalt einer Variablen reinspähen können, werden wir die sieben vorhin eingegeben Variablen benutzen.
Wenn Sie nun die Funktionstaste, die p1 zugeordnet ist, drücken, erhalten Sie eine Fehlermeldung (versuchen Sie es mit L @@@p1@@ `) Anmerkung: Durch Drücken von @@@p1@@ ` versuchen wir das Programm p1 zu starten (run). Dieses Programm aber erwartet eine numerische Eingabe. Versuchen Sie folgendes Beispiel: $@@@p1@ „Ü5`. Die Lösung lautet: Das Programm hat folgende Struktur: << → r 'π*r^2' >> Die Symbole « » weisen auf ein Programm in der RPL-Sprache hin.
RPN-Modus Im RPN-Modus müssen Sie lediglich die entsprechende Funktionstaste drücken, um den Inhalt einer numerischen oder algebraischen Variablen zu erhalten. Im vorliegenden Fall können wir versuchen, in die oben erstellten Variablen z1, R, Q, A12, α, und A wie folgt hineinzuspähen: J@@z1@@ @@@R@@ @@@Q@@ @@A12@@ An dieser Stelle sieht Ihre Anzeige wie abgebildet aus: Um den Inhalt von A anzuzeigen, drücken Sie L @@@A@@@. Um das Programm p1 mit r = 5 zu starten, drücken Sie: L5 @@@p1@@@.
Beachten Sie, dass in diesem Fall der Inhalt des Programms p1 in der Anzeige erscheint. Um die noch verbleibenden Variablen in diesem Verzeichnis anzusehen, drücken Sie L . Anzeigen der Inhalte aller Variablen im Display Benutzen Sie die Tastenkombination ‚˜ um den Inhalt aller Variablen auf dem Display anzuzeigen. Zum Beispiel: Drücken Sie die Taste $, um zur Normalanzeige des Taschenrechners zurückzukehren.
³~‚b/2™ K @@A12@@ ` Überprüfen Sie den neuen Inhalt der Variablen A12 mithilfe von ‚@@A12@@ . Und nun das Gleiche im RPN-Modus: ³~‚b/2` ³@@A12@@ ` K oder vereinfacht: ³~‚b/2™ ³@@A12@@ K Verwenden der linken Shift-Taste „ gefolgt von der Funktionstaste der Variablen (RPN) Dies ist eine äußerst einfache Art, den Inhalt von Variablen zu ändern, funktioniert aber nur im RPN-Modus.
@@@z1@@ `. Um uns den neuen Inhalt von z1 anzusehen, verwenden wir: ‚@@@z1@@ Kopieren von Variablen Die nachfolgenden Übungen zeigen uns verschiedene Wege, Variablen aus einem Unterverzeichnis in ein anderes zu kopieren. Verwenden des FILES-Menüs Um eine Variable von einem Unterverzeichnis in ein anderes zu kopieren, können wir das FILES-Menü verwenden. So haben wir z. B. im Unterverzeichnis {HOME MANS INTRO} die folgenden Variablen p1, z1, R, Q, A12, α und A.
Drücken Sie $ @INTRO@ ` (im algebraischen Modus) oder $ @INTRO@ (im RPN-Modus), um zum Verzeichnis INTRO zurückzukehren. Drücken Sie „¡@@OK@@ , um die Variablenliste des Verzeichnisses {HOME MANS INTRO} zu erzeugen: Benutzen Sie die Pfeiltaste (˜), um die Variable R auszuwählen und drücken Sie dann @@COPY@. Benutzen Sie die Pfeiltaste (—), um das Verzeichnis HOME auszuwählen und drücken Sie dann @@OK@@.
Benutzen Sie die Löschtaste ƒ ƒ ƒ (dreimal), um die letzten drei Zeilen im Display zu entfernen. An dieser Stelle ist der Stack bereit, den Befehl ANS(1) z1 auszuführen. Drücken Sie `, um den Befehl auszuführen. Verwenden Sie anschließend ‚@@z1@, um den Inhalt der Variablen zu überprüfen.
„§` ƒ ƒ ƒ` ƒƒƒƒ` Um den Inhalt der Variablen zu überprüfen, verwenden Sie ‚@@ @R@ und ‚@@ @Q. Dieser Vorgang kann verallgemeinert werden, um drei oder mehrere Variablen zu kopieren. Zwei oder mehrere Variablen im RPN-Modus mithilfe des Stacks kopieren Nachfolgende Übung dient zur Demonstration des Kopiervorgangs für zwei oder mehr Variablen über den Stack im RPN-Modus.
Algebraischer Modus In diesem Beispiel befindet sich der Taschenrechner im algebraischen Modus. Nehmen wir an, wir möchten die Anordnung der Variablen auf INTRO, A, z1, Q, R, A12 ändern.
„ä )@INTRO @@@@A@@@ @@@z1@@ @@@Q@@@ @@@@R@@@ @@A12@@ ` Anschließend geben Sie den Befehl ORDER, wie vorhin ein, d. h. „°˜@@OK@@ Wählen Sie MEMORY aus dem Programmiermenü ˜˜˜˜ @@OK@@ Wählen Sie DIRECTORY aus dem Menü MEMORY —— @@OK@@ Wählen Sie ORDER aus dem Menü DIRECTORY Das Ergebnis ist die nachfolgende Anzeige: Verschieben von Variablen über das FILES-Menü Um eine Variable von einem Unterverzeichnis in ein anderes zu verschieben, können wir das Menü FILES verwenden. So haben wir z. B.
Anmerkung: Mithilfe des Stacks können Sie eine Variable verschieben, indem Sie das Kopieren und Löschen einer Variable miteinander verbinden. Wie Sie Variablen löschen können, wird im nächsten Abschnitt demonstriert. Löschen von Variablen Variablen können mithilfe der Funktion PURGE gelöscht werden. Auf diese Funktion kann direkt mithilfe des TOOL (I) oder des FILES-Menüs „¡@@OK@@ zugegriffen werden. Verwenden des Befehls FILES Der Befehl FILES kann dazu verwendet werden, Variablen einzeln zu löschen.
Befehl an, um die Variable p1 zu löschen. Drücken Sie I @PURGE@ J@@p1@@ `. In der Anzeige wird nun gemeldet, dass die Variable p1 entfernt wurde: Mit dem PURGE Befehl können Sie mehr als eine Variable löschen, indem Sie deren Namen in die Argumentliste von PURGE eintragen. Wenn wir nun z. B. die Variablen R und Q gleichzeitig löschen möchten, können wir nachfolgende Übung versuchen.
Um zwei Variablen gleichzeitig zu löschen, sagen wir die Variablen R und Q, müssen wir zuerst eine Liste erstellen (im RPN-Modus müssen die Elemente der Liste nicht wie im algebraischen Modus durch Komma getrennt werden): J „ä³ @@@R!@@ ™ ³ @@@Q!@@ `. Drücken Sie anschließend I@PURGE@, um die Variablen zu löschen.
Mithilfe der Pfeiltasten (—˜) können Sie durch diese Befehle nach oben und nach unten navigieren; dabei können Sie einen beliebigen hervorheben, den Sie neu eingeben möchten. Sobald Sie den Befehl ausgewählt haben, den Sie eingeben möchten, drücken Sie @@@OK@@@. Die Funktion CMD funktioniert im RPN-Modus genauso, ausgenommen dass die Befehlsliste nur Zahlen oder algebraische Objekte enthält. Eingegebene Funktionen werden nicht angezeigt. Versuchen Sie z. B. nachfolgende Übung im RPN-Modus: 5`2`3/*S ³S5*2`.
gestellt. Die durch negative Zahlen dargestellten Flags werden als Systemflags bezeichnet und beeinflussen die Arbeitsweise des Taschenrechners. Um sich die aktuellen Systemflageinstellungen anzusehen, drücken Sie die Taste H und anschließend die Funktionstaste @FLAGS! (d. h. F1). Sie erhalten eine Anzeige mit der Überschrift SYSTEM FLAGS, in welcher die Zahlen der Flags und die entsprechenden Einstellungen angezeigt werden.
quadratische Gleichung , sagen wir t2+5t+6 = 0, mit dem Befehl QUAD zu lösen. Algebraischer Modus Benutzen Sie folgende Tastenkombination: ‚N~q. (Benutzen Sie dann die Pfeiltasten —˜, um QUAD auszuwählen.) Drücken Sie anschließend @@OK@@ .
‚O~ „t Q2™+5*~ „t+6—— ‚Å0` ` (behalten Sie eine zweite Kopie im RPN-Stack) ³~ „t` Verwenden Sie nachfolgende Tastenfolge, um den QUAD Befehl zu starten: ‚N~q. (Benutzen Sie dann die Pfeiltasten —˜, um QUAD auszuwählen.) Drücken Sie anschließend @@OK@@ . In der Anzeige wird der Hauptwert angezeigt: Ändern Sie nun die Einstellung von Flag 01 auf General solutions (Allgemeine Lösungen): H@FLAGS@@ @CHK@ @@OK@@ @@OK@@ .
02 Constant → symb 03 Function → symb 27 ‘X+Y*i’ → (X,Y) 60 [α][α] locks : Konstante Werte (z. B. π) werden als Symbole beibehalten : Funktionen werden nicht automatisch ausgewertet, stattdessen werden diese als symbolische Ausdrücke geladen. : Komplexe Zahlen werdenals geordnete Paare dargestellt : Die Tastenfolge ~~ stellt die alphabetische! Tastatur fest. Drücken Sie @@OK@@ zweimal, um zur! Normalanzeige des Taschenrechners zurückzukehren. CHOOSE boxes vs.
@@OK@@ Starte den Befehl ORDER. Sie können alternativ auf diese Menüs über die Funktionstasten zugreifen, und zwar durch Setzen des System-Flags 117. Um dieses Flag zu setzen versuchen Sie Folgendes: H @FLAGS! ——————— In der Anzeige erscheint Flag 117 als nicht gesetzt (CHOOSE boxes), wie nachfolgend zu sehen ist: Drücken Sie die Funktionstaste @ @CHK@, um Flag 117 auf soft Menu zu setzen.
Beachten Sie, dass wir in diesem Fall anstelle einer Menüliste Funktionstastenbeschriftungen mit den verschiedenen Optionen für das Menü PROG erhalten, d. h. Drücken Sie B, um das Funktionsmenü MEMORY ()@@MEM@@) auszuwählen. In der Anzeige erscheint nun: Drücken Sie E, um das Funktionsmenü DIRECTORY ()@@DIR@@) auszuwählen. Der Befehl ORDER wird nicht angezeigt. Um diesen anzuzeigen, benutzen wir die Taste L: Um den Befehl ORDER zu starten, drücken wir die Funktionstaste C(@ORDER).
• Das Menü CAT (CATalog – Katalog), aufgerufen mit der Taste ‚N, zweite Taste in der vierten Reihe von oben: • Das Menü HELP, aufgerufen mit I L @HELP • Das Menü CMDS (CoMmanDS – Befehle), welches innerhalb des EquationWriters mit der Tastenfolge ‚O L @CMDS aktiviert wird Seite 2-84
Kapitel 3 Berechnungen mit reellen Zahlen In diesem Kapitel wird die Verwendung des Taschenrechners für Operationen und Funktionen in Zusammenhang mit reellen Zahlen erläutert. Operationen dieser Art werden in den meisten üblichen Berechnungen in den Bereichen Physik und Technik angewendet. Der Benutzer sollte mit der Tastatur vertraut sein, um bestimmte auf der Tastatur befindliche Funktionen aufrufen zu können (z. B. SIN, COS, TAN usw.).
1. Spezifikation des Winkelmaßes (DEG, RAD, GRD) DEG: Grad, 360 Grad bilden einen vollständigen Kreis RAD: Bogenmaß, 2π bilden einen vollständigen Kreisumfang GRD: Zentesimalgrad, 400 Zentesimalgrad bilden einen vollständigen Kreis 2. Spezifikationen des Koordinatensystems (XYZ, R∠Z, R∠∠). Das Symbol ∠ steht für Winkelkoordinaten XYZ: Kartesisch oder rechtwinklig (x,y,z) R∠Z: zylindrische Polarkoordinaten (r,θ,z) R∠∠: sphärische Koordinaten (ρ,θ,φ) 3.
daher mit Ihren Berechnungen in diesem Modus starten. Sollte es erforderlich sein, in den Approx-Modus umzuschalten, werden Sie vom Taschenrechner dazu aufgefordert. Es gibt keine bevorzugte Auswahl für das Winkelmaß oder für die Zahlenbasis. Berechnungen mit reellen Zahlen werden sowohl im algebraischen (ALG) Modus als auch im Reverse Polish Notation- (RPN) Modus vorgeführt. Änderung des Vorzeichens einer Zahl, einer Variablen oder eines Ausdrucks Drücken Sie die Taste \.
Im RPN-Modus geben Sie einen Operanden nach dem anderen, jeweils durch ein ` getrennt, ein. Anschließend drücken Sie die Taste für den Operator. Beispiele: 3.7` 6.3` 4.2` 2.3` 5.2 8.5 2.5 4.5 + * / Im RPN-Modus können Sie alternativ dazu die Operanden durch Leerzeichen (#) trennen, bevor Sie die Befehlstaste drücken. Beispiele: 3.7#5.2 6.3#8.5 4.2#2.5 2.3#4.5 + * / Verwendung von Klammern Klammern können dazu verwendet werden, Operationen zu gruppieren, und Funktionsargumente einzuschließen.
Wenn Sie im RPN-Modus den Ausdruck in Anführungszeichen schreiben, können Sie diesen wie im algebraischen Modus eingeben. ³„Ü5+3.2™/ „Ü7-2.2`μ In beiden Fällen, im ALG- wie auch im RPN-Modus, kann der EquationWriter zur Eingabe verwendet werden: ‚O5+3.2™/7-2.2 Der Ausdruck kann innerhalb des EquationWriters ausgewertet werden, indem Sie nachstehende Tastenfolge verwenden ————@EVAL@ oder ‚—@EVAL@ Funktion Absolutbetrag Die Funktion Absolutbetrag, ABS, kann über die Tastenkombination „Ê aufgerufen werden.
Die Quadratwurzelfunktion, √, kann über die Taste R aufgerufen werden. Sollten Sie im Stack im ALG-Modus Berechnungen durchführen, müssen Sie die Funktion vor dem Argument eingeben, z. B. wie folgt: R123.4` Im RPN-Modus geben Sie zuerst die Zahl, dann die Funktion ein, z. B.: 123.4R Potenzen und Wurzeln Die Potenzfunktion, ^, wird über die Taste Q aufgerufen. Wenn Sie im Stack im ALG-Modus rechnen, geben Sie die Base (y) gefolgt von der Taste Q und anschließend den Exponenten (x) ein, z. B.: 5.2Q1.
Im RPN-Modus wird das Argument vor der Funktion eingegeben: 2.45` ‚Ã 2.3\` „Â Verwendung von Zehnerpotenzen bei der Dateneingabe Zehnerpotenzen, d. h. Zahlen wie -4.5×10 -2 usw., werden mithilfe der Taste V eingegeben. Z. B. im ALG-Modus: \4.5V\2` Oder im RPN-Modus: 4.5\V2\` Natürliche Logarithmen und Exponentialfunktionen Natürliche Logarithmen (d. h.
T45` U135` Im RPN-Modus: 30`S 45`T 135`U Inverse trigonometrische Funktionen Die über die Tastatur zur Verfügung stehenden inversen trigonometrischen Funktionen lauten Arcussinus (ASIN), Arcuscosinus (ACOS) und Arcustangens (ATAN) und können über die jeweiligen Tastenkombinationen „¼, „¾ und „À aufgerufen werden. Da die Inversen der trigonometrischen Funktionen Winkel darstellen, werden die Ergebnisse im ausgewählten Winkelmaß (DEG, RAD, GRD) ausgegeben. Nachfolgend einige Beispiele: Im ALG-Modus: „¼0.
Operatoren hingegen werden nach einem einzelnen Argument oder zwischen zwei Argumenten eingesetzt. Die Fakultät (!) z. B. wird nach einer Zahl eingegeben, z. B. 5~‚2`. Da dieser Operator lediglich ein einziges Argument benötigt, wird er als unär bezeichnet. Operatoren, welche zwei Argumente benötigen, wie z. B. + - * / Q, werden als Binäroperatoren bezeichnet, z. B. 3*5 oder 4Q2.
Im Allgemeinen sollten Sie, um eine dieser Funktionen anzuwenden, Anzahl und Anordnung der für die einzelnen Funktionen erforderlichen Argumente beachten und sich stets vergegenwärtigen, dass im ALG-Modus immer zuerst die Funktion und dann das Argument eingegeben wird, während im RPNModus erst das Argument in den Stack eingegeben und anschließend die Funktion ausgewählt wird. Verwendung der Rechnermenüs: 1.
Dieses Menü enthält zusätzlich die nachfolgenden Funktionen: EXPM(x) = exp(x) – 1, LNP1(x) = ln(x+1). Schließlich gibt es die Option 9. MATH, welche den Anwender zurück in das Menü MTH versetzt. So benötigen Sie z. B. zum Berechnen der Funktion tanh(2,5) im ALG-Modus folgende Tastenfolge: „´ 4 @@OK@@ 5 @@OK@@ 2.5` Auswahl des MTH-Menüs Auswahl des Menüs 4. HYPERBOLIC.. Auswahl der Funktion 5.
Wenn Sie die Taste L drücken, werden die weiteren noch zur Verfügung stehenden Optionen angezeigt: Anmerkung: Durch Drücken von „« gelangen Sie zu den ersten Optionen des Menüs MTH zurück. Mit der Tastenkombination ‚˜ erhalten Sie eine Auflistung der Menüfunktionen in der Anzeige, z. B.: Um beispielsweise das hyperbolische Funktionsmenü aus diesem Menü aufzurufen, drücken Sie die Taste )@@HYP@ .
@@HYP@ @@TANH@ 2.5` Wählen Sie das Menü HYPERBOLIC.. Wählen Sie die Funktion TANH Berechnen Sie tanh(2,5) Denselben Wert errechnen Sie im RPN-Modus über nachfolgende Tastenfolge: 2.5` „´ @@HYP@ @@TANH@ Geben Sie das Argument in den Stack ein Wählen Sie das MTH-Menü Wählen Sie das Menü HYPERBOLIC.. Wählen Sie die Funktion TANH Als Übung zur Anwendung von hyperbolischen Funktionen, überprüfen Sie die nachfolgenden Werte: SINH (2.5) = 6.05020.. ASINH(2.0) = 1.4436… COSH (2.5) = 6.13228.. ACOSH (2.0) = 1.
Option 19., MATH, versetzt den Anwender zurück ins MTH-Menü. Die übrigen Funktionen sind in sechs verschiedene Gruppen zusammengefasst und werden nachfolgend beschrieben. Wenn das System Flag 117 auf SOFT-Menüs gesetzt ist, werden die Funktionen aus REAL im wie folgt dargestellt (der verwendete Modus ist der ALG-Modus, dieselben Funktionstasten stehen jedoch auch im RPN-Modus zur Verfügung): Die letzte Funktion, )@@MTH@, versetzt den Anwender zurück in das Menü MTH.
Im RPN-Modus befindet sich Argument y in der zweiten Stack-Ebene, während sich Argument x in der ersten Stack-Ebene befindet. Dies bedeutet, dass Sie zunächst x und dann y eingeben sollten, genau wie im ALG-Modus. Somit erfolgt die Berechnung von %T(15,45) im RPN-Modus mit auf CHOOSE boxes gesetztem System Flag 117 wie folgt: 15` 45` „´ 5 @@OK@@ 3 @@OK@@ Geben Sie das erste Argument ein. Geben Sie das zweite Argument ein. Wählen Sie das Menü MTH . Wählen Sie Menü 5. REAL.. Wählen Sie die Funktion 5. %T.
MOD(y,x) eingegeben werden sollte. Somit ist die Vorgehensweise bei MOD ähnlich wie bei den Operatoren +, -, *, /. Als Beispiel überprüfen Sie, ob 15 MOD 4 = 15 mod 4 = Rest von 15/4 = 3 ist. Absolutbetrag, Vorzeichen, Mantisse, Exponent, Ganzzahliger und Bruchanteil ABS(x) : berechnet den Absolutbetrag |x|. SIGN(x) : legt das Vorzeichen von x fest, d. h. -1, 0 oder 1. MANT(x) : bestimmt die Mantisse einer Zahl basierend auf log10. XPON(x) : bestimmt die Zehnerpotenz in der Zahl.
Sonderfunktionen Option 11. Special functions… (Sonderfunktionen) im MTH-Menü beinhaltet folgende Funktionen: GAMMA: PSI: Psi: Die Gammafunktion Γ(α) N-te Ableitung der Digamma-Funktion Digamma-Funktion, Ableitung des In(Gamma) Die Gamma-Funktion wird wie folgt definiert ∞ Γ(α ) = ∫ x α −1e − x dx . Diese 0 Funktion wird in der angewandten Mathematik in Wissenschaft und Technik sowie für Wahrscheinlichkeits- und Statistik-Berechnungen eingesetzt.
Die Funktion PSI, Ψ(x,y) stellt die y-te Ableitung der Digamma-Funktion dar, d. h. dn Ψ (n, x) = n ψ ( x) , wobei ψ(x) als die Digamma-Funktion oder Psidx Funktion bekannt ist. Für diese Funktion muss y eine positive Ganzzahl sein. Die Funktion Psi, ψ(x) oder Digamma-Funktion, wird als definiert. ψ ( x) = ln[Γ( x)] Beispiele dieser Sonderfunktionen werden sowohl im ALG- wie auch im PRNModus gezeigt. Als Beispiel überprüfen Sie, ob GAMMA(2,3) = 1,166711…, PSI(1,5,3) = 1,40909. und Psi(1,5) = 3,64899739..
Die Konstanten werden wie folgt aufgelistet: Durch Auswahl eines dieser Einträge wird der ausgewählte Wert, entweder als Symbol ( z. B. e, i, π, MINR, oder MAXR) oder als Zahlenwert (2,71.., (0,1), 3,14.., 1E-499, 9,99..E499), in den Stack ausgegeben. Beachten Sie, dass e über die Tastatur als exp(1) zur Verfügung steht, d. h. „¸1` im ALG-Modus oder 1` „¸ im RPN-Modus. Auch π ist direkt über die Tastatur verfügbar als „ì. Schließlich ist auch i über die Tastatur verfügbar (über die Taste „¥).
Option 1. Tools.. enthält Funktionen, welche sich auf Einheiten beziehen (diese werden zu einem späteren Zeitpunkt diskutiert). Optionen 3. Length.. bis 17.Viscosity.. enthalten Menüs mit einer Reihe von Einheiten für jede der beschriebenen Größen. Wenn Sie z. B. das Menü 8. Force.. (Kraft) auswählen, erhalten Sie das folgende Menü mit Einheiten: Der Benutzer wird die meisten der Einheiten (einige davon, wie z. B.
Wenn Sie die entsprechende Funktionstaste drücken, wird ein Untermenü mit Einheiten zu dieser Auswahl angezeigt. Z. B. stehen für das Untermenü @)SPEED folgende Einheiten zur Verfügung: Durch erneutes Drücken der Funktionstaste @)UNITS gelangen Sie zum UNITSMenü zurück. Beachten Sie, dass Sie jederzeit die vollständige Liste der Menüeinträge durch Drücken der Tastenfolge ‚˜ anzeigen können. Es werden z. B.
englische Meile), chain (Chain), rd (Rod), fath (Kubikfuß), ftUS (Vermessungsfuß), Mil (Mil), μ (Mikron), Å (Angström), fermi (Fermi) AREA (FlÄCHE) m^2 (Quadratmeter), cm^2 (Quadratzentimeter), b (Barn – Maßeinheit des Wirkungsquerschnittes), yd^2 (Quadratyard), ft^2 (Quadratfuß), in^2 (Quadratzoll), km^2 (Quadratkilometer), ha (Hektar), a (Ar), mi^2 (Quadratmeile), miUS^2 (gesetzliche englische Quadratmeile), acre (Acre) VOLUME (VOLUMEN) m^3 (Kubikmeter), st (Ster), cm^3 (Kubikzentimeter), yd^3 (Kubikyard)
ENERGY (ENERGIE) J (Joule), erg (Erg), Kcal (Kilokalorie), Cal (Kalorie), Btu (englische Kalorie Wärmemenge), ft×lbf (Foot-Pound), therm (EEC (GB) Wärmeeinheit zur Lieferung von Stadtgas), MeV (Megaelektronen Volt), eV (Elektronenvolt) POWER (KRAFT) W (Watt), hp (Pferdestärke) PRESSURE (DRUCK) Pa (Pascal), atm (Atmosphäre), bar (Bar), psi (Pfund pro Quadratzoll), torr (Torr), mmHg (Millimeter Quecksilbersäule), inHg (Zoll Quecksilbersäule), inH20 (Zoll Wassersäule) TEMPERATUR o C (Grad Celsius), o F (Grad F
Nicht aufgelistete Einheiten im UNITS-Menü, die dennoch im Taschenrechner vorhanden sind: gmol (Gramm-Mol), lbmol (Pound-Mol), rpm (Umdrehungen pro Minute), dB (Dezibel). Diese Maßeinheiten erreicht man über das Menü 117.02, welches im ALG-Modus über MENU (117.02) oder im RPN-Modus unter MENU 117.02 ` gestartet wird.
Als Ergebnis erhalten Sie die folgende Anzeige (d. h. 1 Poise = 0,1 kg/(m⋅s)): Das Gleiche im RPN-Modus, wobei System Flag 117 auf CHOOSE boxes gesetzt ist: 1 Tragen Sie 1 (kein Unterstrich) ein. ‚Û Wählen Sie das Menü UNITS. — @@OK@@ Wählen Sie die Option VISCOSITY. @@OK@@ Wählen Sie die Einheit P (Poise.) ‚Û Wählen Sie das Menü UNITS. @@OK@@ Wählen Sie das Menü TOOLS. ˜ @@OK@@ Wählen Sie die Funktion UBASE Im ALG-Modus,System Flag 117 ist auf SOFTmenus gesetzt: ‚Û Wählen Sie das Menü UNITS.
Zahlen Einheiten zuordnen Um eine Einheit einer Zahl zuzuordnen, muss ein Unterstrich an diese Zahl angehängt werden (‚Ý, Taste(8,5)). So wird die Kraft von 5 N als 5_N eingegeben. Nachfolgend die Tastenfolge, die im ALG-Modus, mit auf CHOOSE boxes gesetztem System Flag 117, eingegeben werden muss: 5 ‚Ý Tragen Sie die Zahl und den Unterstrich ein. ‚Û Begeben Sie sich in das Menü UNITS. 8 @@OK@@ Wählen Sie die Krafteinheiten (8. Force..). @@OK@@ Wählen Sie Newton (N).
Wie zuvor angedeutet, wird, wenn das System Flag 117 auf SOFT menus steht, das Menü UNITS als Bezeichnung für die Funktionstasten angezeigt. Diese Einstellung erweist sich für umfassende Berechnungen mit Einheiten als äußerst praktisch. Nachfolgend die Tastenfolge zur Eingabe von Einheiten mit ausgewählter Option SOFTmenus im ALG- und im PRN-Modus: Um im ALG-Modus den Ausdruck 5_N einzugeben, verwenden Sie die Tastenfolge: 5 ‚Ý ‚Û L @)@FORCE @ @@N@@ ` Tragen Sie die Zahl und den Unterstrich ein.
_______________________________________________________ Vorzeichen Name x Vorzeichen Name x _______________________________________________________ Y yotta +24 d deci -1 Z zetta +21 c centi -2 E exa +18 m milli -3 μ micro -6 P peta +15 T tera +12 n nano -9 G giga +9 p pico -12 M mega +6 f femto -15 k,K kilo +3 a atto -18 h,H hecto +2 z zepto -21 D(*) deka +1 y yocto -24 _______________________________________________________ (*) Im SI-System finden Sie das Vorzeichen (da) anstelle von D.
Hier finden Sie einige Berechnungsbeispiele im ALG-Modus. Gehen Sie bei der Multiplikation und Division von Mengen mit Einheiten vorsichtig vor: Sie müssen jede Menge mit der dazugehörigen Einheit in Klammern einschließen. Um z. B. das Produkt 12,5m × 5,2 yd einzugeben, muss Ihre Eingabe wie folgt aussehen (12,5_m)*(5,2_yd) `: Sie wird dann als 65_(m⋅yd) angezeigt.
Additionen und Subtraktionen können im ALG-Modus ohne Eingabe von Klammern durchgeführt werden. So kann z. B. 5 m + 3200 mm ganz einfach als 5_m + 3200_mm ` eingegeben werden. Kompliziertere Ausdrücke wie der folgende hingegen benötigen Klammern: (12_mm)*(1_cm^2)/(2_s) `: Bei Stack-Berechnungen im PRN-Modus werden keine Klammern bei der Eingabe unterschiedlicher Ausdrücke benötigt, die Eingabe sieht z. B.
Anmerkung: In Ausdrücke des EquationWriters dürfen keine Einheiten eingegeben werden. Werkzeuge zur Manipulation von Einheiten Das Menü UNITS enthält ein Untermenü TOOLS, welches folgende Funktionen zur Verfügung stellt: CONVERT(x,y): konvertiert Einheitenobjekt x in Einheiten des! Objektes y. UBASE(x): konvertiert Einheitenobjekt x in SI-Einheiten. UVAL(x): extrahiert den Wert aus Einheitenobjekt x UFACT(x,y): klammert eine Einheit y aus dem Einheitenobjekt x aus.
UVAL-Beispiele: UVAL(25_ft/s) ` UVAL(0.
Physikalische Konstanten im Taschenrechner Analog zu der Behandlung von Einheiten erörtern wir ebenfalls die im Taschenrechner zur Verfügung stehenden physikalischen Konstanten. Die physikalischen Konstanten des Taschenrechners befinden sich in einer constants library (Konstantenbibliothek), welche mit dem Befehl CONLIB aufgerufen werden kann.
Die dieser Anzeige zugeordneten Funktionstasten der CONSTANTS LIBRARY enthalten folgende Funktionen: SI wenn ausgewählt, werden die Werte der Konstanten in SIEinheiten angezeigt. ENGL wenn ausgewählt, werden die Werte der Konstanten in Englischen-Einheiten angezeigt (*). UNIT wenn ausgewählt, werden die Konstanten zusammen mit den ihnen zugeordneten Einheiten ausgegeben (*). VALUE wenn ausgewählt, werden die Konstanten ohne Einheiten ausgegeben. STK kopiert den Wert (mit oder ohne Einheiten) in den Stack.
Schalten Sie die UNITS-Option aus (durch Drücken der Taste @UNITS), werden lediglich die Werte angezeigt (in diesem Fall wurden englische Einheiten ausgewählt): Um den Wert von Vm in den Stack zu kopieren, wählen Sie einen Variablen-Namen und drücken Sie erst die Taste ! und dann @QUIT@. Ist der Taschenrechner auf ALG-Modus eingestellt, wird die Anzeige wie folgt dargestellt: Die Anzeige zeigt einen so genannten tagged value (gekennzeichneten Wert) Vm:359,0394.
Die Funktionen schließen ein: ZFACTOR: Gaskompressibilitätsfunktion Z Faktor FANNING: Widerstandsfaktor der Strömungsauffächerung DARCY: Darcy-Weisbach Widerstandsfaktor der Strömungsauffächerung F0λ: Funktion für die Stärke der Schwarzkörperstrahlung (Planckscher Strahler) SIDENS: innere Dichte Silizium TDELTA: Funktion für die Temperaturzunahme Auf der zweiten Seite dieses Menüs (drücken Sie L) finden Sie nachfolgende Elemente: Auf dieser Menüseite befinden sich eine Funktion (TINC) und eine Anzahl Maßei
muss zwischen 1,05 und 3,0 liegen, während der Wert von yP zwischen 0 und 30 liegen muss. Beispiel im ALG-Modus: Funktion F0λ Die Funktion F0λ (T, λ) berechnet den Bruch (dimensionslos) der gesamten Stärke der Schwarzkörperstrahlung bei einer Temperatur T zwischen den Wellenlängen 0 und λ. Sind T und λ keine Einheiten zugewiesen, wird angenommen, dass T in K und λ in m enthalten ist.
Funktion TINC Die Funktion TINC(T0,ΔT) berechnet T0+DT. Diese Funktion ist TDELTA insofern ähnlich, als das Ergebnis in der Maßeinheit T0 ausgegeben wird. Andernfalls ist das Ergebnis eine einfache Addition dieser Werte, wie z. B.: Definieren und Anwenden von Funktionen Der Benutzer kann selbst eigene Funktionen definieren, indem er den Befehl DEF über die Tastenfolge „à(der Taste 2 zugeordnet) aufruft.
Drücken Sie die Taste J. Sie werden feststellen, dass sich eine neue Variable in Ihrer Funktionstaste (@@@H@@) befindet. Um den Inhalt dieser Variablen anzuzeigen, drücken Sie ‚@@@H@@. In der Anzeige erscheint nun Folgendes: Somit enthält nun die Variable H ein Programm: << x ‘LN(x+1) + EXP(x)’ >> Hierbei handelt es sich um ein einfaches Programm in der StandardProgrammiersprache der Taschenrechner. Diese Programmiersprache wird als UserRPL bezeichnet.
Im RPN-Modus müssen Sie zuerst das Argument eingeben und dann die Funktionstaste, welche der Variablen mit dem Namen @@@H@@@ entspricht, drücken, bevor die Funktion gestartet wird. Sie könnten z. B. Folgendes ausprobieren: 2@@@H@@@ . Die weiteren oben aufgeführten Beispiele können wie folgt eingegeben werden: 1.2@@@H@@@ , 2`3/@@@H@@@ . Funktionen können jedoch auch über mehr als zwei Argumente verfügen. So zeigt z. B.
Drücken Sie anschließend `. Im RPN-Modus geben Sie die Definition der Funktion zwischen Apostrophen ein: ‘f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’ Drücken Sie dann „à. Drücken Sie J, um ins Variablen-Menü zurückzukehren. In Ihrem Funktionstastenmenü sollte die Variable @@@f@@@ zur Verfügung stehen.
Kapitel 4 Berechnungen mit komplexen Zahlen In diesem Kapitel finden Sie Beispiele zur Berechnung und Anwendungen von Funktionen mit komplexen Zahlen. Definitionen Eine komplexe Zahl z ist eine als z = x + iy geschriebene Zahl, wobei x und y reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit, definiert durch i2 = -1 darstellt. Die Zahl x+iy hat einen reellen Teil x = Re(z) und einen imaginären Teil y = Im(z).
Drücken Sie @@OK@@ zweimal, um zum Stack zurückzukehren. Eingabe von komplexen Zahlen Komplexe Zahlen können in eine der beiden Kartesischen Darstellungsweisen in den Taschenrechner eingegeben werden, entweder x+iy oder (x,y). Die Ergebnisse im Taschenrechner werden in Form geordneter Paare, d. h. als (x,y) angezeigt. Im ALG-Modus z. B. wird die komplexe Zahl (3,5,-1.2) wie folgt eingegeben: „Ü3.5‚í\1.2` Eine komplexe Zahl kann jedoch auch als x+iy eingegeben werden.
Beachten Sie, dass die letzte Eingabe eine komplexe Zahl im Format x+iy ist, weil die Zahl zwischen einzelnen Anf¸hrungsstrichen eingegeben wurde und somit einen algebraischen Ausdruck darstellt. Verwenden Sie die Taste EVAL (μ), um diese Zahl zu berechnen. Sobald der algebraische Ausdruck berechnet wurde, erhalten Sie die komplexe Zahl wieder in der Form (3,5,1,2). Polare Darstellung einer komplexen Zahl Das obige Ergebnis zeigt eine Kartesische (rechtwinklige) Darstellung der komplexen Zahl 3,5-1,2i.
Da das Koordinatensystem auf rechtwinklige (oder Kartesische) Darstellung eingestellt ist, konvertiert der Taschenrechner die eingegebene Zahl in Kartesische Koordinaten, d. h. x = r cos θ, y = r sin θ, in diesem Fall (0,3678…, 5,18…). Ist hingegen das Koordinatensystem (über die Funktion CYLIN) auf zylindrisch eingestellt, bekommen Sie eine polare Darstellung bei der Eingabe einer komplexen Zahl (x,y), wobei x und y reelle Zahlen sind. Geben Sie z. B. in zylindrische Koordinaten die Zahl (3.,2.) ein.
(5-2i) - (3+4i) = (2,-6) (3-i)·(2-4i) = (2,-14) (5-2i)/(3+4i) = (0.28,-1.04) 1/(3+4i) = (0.12, -0.16) Anmerkungen: Das Produkt zweier Zahlen wird wie nachfolgend dargestellt: (x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2 - y1y2) + i (x1y2 + x2y1). Die Division zweier komplexer Zahlen wird erreicht, wenn man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners multipliziert, d. h.
Beachten Sie dabei, dass die Zahl i als geordnetes Zahlenpaar (0,1) eingegeben wird, wenn das CAS im APPROX-Modus steht. Im EXACT-Modus wir die imaginäre Einheit als i eingegeben. Weitere Operationen Operationen wie Betrag, Argument, reelle und imaginäre Anteile, aber auch konjugiert komplexe Zahlen werden weiter unten innerhalb des Menüs CMPLX im Detail erläutert. Die CMPLX-Menüs Im Taschenrechner stehen zwei CMPLX (CoMPLeX – komplex) Menüs zur Verfügung.
ABS(z) ARG(z) : Berechnet den Betrag einer komplexen Zahl oder einer reellen Zahl. : Berechnet das Argument einer komplexen Zahl. Die noch verbleibenden Optionen (Optionen 7 bis 10) sind nachfolgende: SIGN(z) : Berechnet eine komplexe Zahl mit Betrag 1als z/|z|. NEG : Ändert das Vorzeichen von z CONJ(z) : Erzeugt die konjugiert komplexe Zahl von z Nachfolgend finden Sie einige Anwendungsbeispiele dieser Funktionen.
ausgegeben. In unserem Beispiel wird ARG(3.+5.·i) = 1,0303… in Bogenmaß ausgegeben. In der nächsten Abbildung stellen wir Beispiele zu den Funktionen SIGN, NEG (welche als das Minuszeichen – angezeigt wird) und CONJ dar. Das CMPLX-Menü auf der Tastatur Ein zweites CMPLX-Menü kann über die Tastatur aufgerufen werden, indem Sie die mit der rechten Shift-Taste verbundene Funktion der Taste 1, d. h. ‚ß eingeben.
Das tastaturbasierte CMPLX-Menü ist eine Alternative zum MTH-basierten CMPLX-Menü, in dem Grundfunktionen für komplexe Zahlen enthalten sind. Nehmen Sie die zuvor gezeigten Beispiele unter Verwendung des tastaturbezogenen CMPLX-Menüs als Übung. Auf komplexe Zahlen angewandte Funktionen Viele der tastaturbasierten Funktionen für reelle Zahlen in Kapitel 3, z. B. SQ, LN, ex, LOG, 10X, SIN, COS, TAN, ASIN, ACOS oder ATAN können auch auf komplexe Zahlen angewendet werden.
Die nachfolgende Anzeige zeigt, dass die Funktionen EXPM und LNP1 auf komplexe Zahlen nicht angewandt werden können. Hingegen akzeptieren die Funktionen GAMMA, PSI und PSi komplexe Zahlen: Funktion DROITE: Gleichung einer Geraden Die Funktion DROITE hat als Argument zwei komplexe Zahlen, beispielsweise x1+iy1 und x2+iy2 und gibt als Ergebnis die Gleichung einer Geraden, beispielsweise y = a+bx, welche die Punkte (x1,y1) und (x2,y2) enthält, aus. Z. B.
Kapitel 5 Algebraische und arithmetische Operationen Ein algebraisches Objekt (auch als Algebraik bezeichnet) kann eine beliebige Zahl, Variable oder ein algebraischer Ausdruck sein, der nach den Regeln der Algebra berechnet, manipuliert oder kombiniert werden kann. Beispiele für algebraische Objekten sind: • • • • Eine Zahl: Der Name einer Ein Ausdruck: Eine Gleichung: 12,3, 15,2_m, ‘π’, ‘e’, ‘i’ Variablen: ‘a’, ‘ux’, ‘width’ usw.
Einfache Operationen mit algebraischen Objekten Algebraische Objekte können genau wie jede reelle oder komplexe Zahl addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert (ausgenommen durch Null), potenziert sowie als Argumente für eine Reihe von Standardfunktionen (exponential, logarithmisch, trigonometrisch, hyperbolisch usw.) verwendet werden.
Im ALG-Modus zeigen folgende Tastenkombinationen eine Anzahl von Operationen mit den algebraischen Objekten, die in den Variablen @@A1@@ und @@A2@@ enthalten sind (drücken Sie J, um zum Variablen-Menü zurückzukehren): @@A1@@ + @@A2@@ ` @@A1@@ - @@A2@@ ` @@A1@@ * @@A2@@ ` @@A1@@ / @@A2@@ ` ‚¹@@A1@@ „¸@@A2@@ Zum gleichen Ergebnis kommen Sie, wenn Sie im RPN-Modus die folgenden Tastenfolgen verwenden: @@A1@@ @@A2@@ + μ @@A1@@ @@A2@@ * μ @@A1@@ ‚ ¹ μ @@A1@@ @@A2@@ - μ @@A1@@ @@A2@@ / μ @@A2@@ „ ¸ μ Funk
Wir möchten hier keine Beschreibung jeder einzelnen Funktion bringen, sondern den Anwender darauf hinweisen, dass er sie in der Hilfefunktion des Taschenrechners anzeigen lassen kann: I L @)HELP@ ` . Um eine bestimmte Funktion auszuwählen, geben Sie den ersten Buchstaben der Funktion ein. Geben Sie beispielsweise für die Funktion COLLECT ~c ein und verwenden anschließend die Pfeiltasten —˜, um im Hilfefenster zu COLLECT zu wechseln. Um den Vorgang abzuschließen, drücken Sie @@OK@@..
Hilfefunktion Eine Hilfefunktion, welche durch das TOOL NEXT CASCMD erreichbar ist, erlaubt Ihnen das Durchsuchen aller CAS Befehle. Die Hilfefunktion gibt nicht nur Informationen über die einzelnen Befehle, sondern auch ein Anwendungsbeispiel. Dieses Beispiel kann durch Drücken der Funktionstaste @ECHO! in Ihren Stack kopiert werden. Um z. B.
SOLVE: SUBST: TEXPAND: Anmerkung: im PRN-Modus muss das jeweilige Argument der Funktion vorangestellt werden, erst dann wird die Funktion selbst ausgewählt. Z. B. müssen Sie, um TEXPAND im RPN-Modus aufzurufen, wie folgt vorgehen: ³„¸+~x+~y` Wählen Sie an dieser Stelle die Funktion TEXPAND aus dem Menü ALG (oder direkt aus dem Katalog ‚N), um die Operation abzuschließen.
Im RPN-Modus wird dies erreicht, indem Sie zuerst den Ausdruck, in dem der Austausch stattfinden soll (x+x2), gefolgt von einer Liste (siehe Kapitel 8) mit der zu ersetzenden Variablen, einem Leerzeichen und dem Wert, der eingesetzt werden soll, d. h. {x 2}, eingeben. Der letzte Schritt, um den Vorgang abzuschließen, ist die Tastenkombination: ‚¦. Die dazu erforderlichen Tastenanschläge lauten wie folgt: ³~„x+~„xQ2` „ä~„x#2` ‚¦` Im ALG-Modus kann mehr als eine Variable ersetzt werden.
Geben Sie anschließend den Ausdruck A+B ein: Der zuletzt eingefügte Ausdruck wird nach Drücken der Taste ` automatisch ausgewertet und bringt das oben gezeigte Ergebnis.
Informationen und Beispiele zu diesen Befehlen erhalten Sie über die Hilfefunktion des Taschenrechners. Einige der Befehle aus dem Menü EXP&LN, d. h. LIN, LNCOLLECT und TEXPAND befinden sich auch im ALG-Menü, welches vorher vorgestellt wurde. Die Funktionen LNP1 und EXPM wurden im Menü HYPERBOLIC unter dem Menü MTH vorgestellt (siehe Kapitel 2). Die einzige noch verbleibende Funktion ist EXPLN.
Mithilfe dieser Funktionen können Ausdrücke durch Ersetzen einer bestimmten trigonometrischen Kategorie durch eine andere vereinfacht werden. Z. B. erlaubt die Funktion ACOS2S das Ersetzen der Funktion Arcuscosinus (acos(x)) durch deren Umformung als einen Ausdruck von Arcussinus (asin(x)). Eine Beschreibung dieser Befehle und Beispiele und ihrer Anwendung finden Sie über die Hilfefunktion des Taschenrechners (IL@HELP).
Untermenüs (Optionen 1 bis 4) und reinen Funktionen (Optionen 5 bis 9) wird klar, wenn das System-Flag 117 auf SOFT-menus gesetzt ist.
Menü INTEGER EULER IABCUV IBERNOULLI ICHINREM IDIV2 IEGCD IQUOT IREMAINDER ISPRIME? NEXTPRIME PA2B2 Ganzzahlen < n, die koprim/teilerfremd mit n sind Löst au + bv = c, wobei a, b, c = Ganzzahlen sind n-te Bernoulli Zahl Chinesischer Restesatz für Ganzzahlen Euklidische Division von zwei Ganzzahlen Gibt als Ergebnis u, v, sodass gilt au + bv = gcd(a,b) Euklidischer Quotient zweier Ganzzahlen Euklidischer Rest für Division zweier Ganzzahlen Überprüft, ob eine Ganzzahl eine Primzahl ist Nächste Primzahl für e
PCOEF PTAYL QUOT RESULTANT REMAINDER STURM STURMAB (Hilfefunktionseintrag fehlt) Gibt Q(x-a) in Q(x-a) = P(x) zurück, Taylor Polynom Euklidischer Quotient zweier Polynome Determinante der Sylvester-Matrix zweier Polynome Euklidischer Restesatz zweier Polynome Sturm-Kette eines Polynoms Zeichen an unterer Grenze und Anzahl der Nullen zwischen den Grenzen Menü MODULO ADDTMOD DIVMOD DIV2MOD EXPANDMOD FACTORMOD GCDMOD GCD INVMOD MOD MODSTO MULTMOD POWMOD SUBTMOD Addition zweier Ausdrücke, Modulo aktuelles Mo
Modulare Arithmetik Nehmen wir ein Zahlensystem bestehend aus Ganzzahlen, welche periodisch auf sich selbst zurückgehen und neu starten, wie die Stunden einer Uhr. Ein solches Zählsystem wird als Ring bezeichnet. Da die in einem Ring verwendete Anzahl von Ganzzahlen begrenzt ist, wird die Arithmetik in diesem Ring als endliche Arithmetik bezeichnet. Nehmen wir an, unsere endliche Zahl von Ganzzahlen besteht aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, …, n-1, n.
Die Multiplikation erfolgt nach der Regel, dass wenn j⋅k > n ( wobei j⋅k = m⋅n + r und m und r positive Integer-Zahlen kleiner als n darstellen), dann ist j⋅k ≡ r (mod n). Das Produkt von j mal k in Modul n-Arithmetik ist im Grunde genommen der Ganzzahlrest von j⋅k/n in der unendlichen Arithmetik, wenn j⋅k>n. So gilt z. B. in Modul 12-Arithmetik 7⋅3 = 21 = 12 + 9, (oder 7⋅3/12 = 21/12 = 1 + 9/12, d. h., der Ganzzahlrest von 21/12 ist 9).
17 + 21 ≡ 5 + 3 (mod 6) => 38 ≡ 8 (mod 6) => 38 ≡ 2 (mod 6) => -4 ≡ 2 (mod 6) 17 – 21 ≡ 5 -3 (mod 6) 17 × 21 ≡ 5 × 3 (mod 6) => 357 ≡ 15 (mod 6) => 357 ≡ 3 (mod 6) Beachten Sie, dass Sie immer, wenn das Ergebnis auf der rechten Seite der "Kongruenz" größer als das Modulo ist, (in diesem Fall n = 6), ein Vielfaches des Modulo von diesem Ergebnis abziehen und zu einer Zahl, die kleiner als das Modulo ist, vereinfachen können.
Einstellung des Moduls (oder MODULO) Im Taschenrechner befindet sich eine Variable mit dem Namen MODULO , welche sich im Verzeichnis {HOME CASDIR} befindet und in welcher der Wert des MODULO für modulare arithmetische Anwendungen gespeichert ist. Der Standartwert für MODULO lautet 13. Um den Wert von MODULO zu ändern, können Sie den neuen Betrag direkt in der Variable MODULO im Unterverzeichnis {HOME CASDIR} speichern. Alternativ dazu können Sie einen neuen MODULO-Wert über die Funktion MODSTO speichern.
DIV2MOD-Beispiele 2/3 (mod 12) existiert nicht 26/12 (mod 12) nicht 125/17 (mod 12) ≡ 1 mit Restwert = 0 68/7 ≡ -4 (mod 12) mit Restwert = 0 7/5 ≡ -1 (mod 12) mit Restwert = 0 Anmerkung: DIVMOD ermittelt den Quotienten der modularen Division j/k (mod n), während DIMV2MOD nicht nur den Quotienten, sondern auch den Restwert der modularen Division j/k (mod n) ermittelt.
Der MOD-Operator Der MOD-Operator wird zur Ermittlung der zu einer gegebenen Ganzzahl gehörigen Ringzahl für ein gegebenes Modul verwendet. Auf Papier wird diese Operation als m mod n = p geschrieben und wird "m Modul von n ist gleich p" gelesen. Um beispielsweise 15 mod 8 zu berechnen, geben Sie ein: • • im ALG-Modus: 15 MOD 8` im RPN-Modus: 15`8` MOD Das Ergebnis ist 7, d. h. 15 mod 8 = 7.
• • • Vielfachheit der Nullstellen oder Pole: die Anzahl des Auftretens einer Nullstelle, z. B. hat P(X) = (X+1)2(X-3) die Nullstellen {-1, 3} mit den Vielfachheiten {2,1} Kreisteilungs-Polynom (Pn(X)): ein Polynom des Grades EULER(n), dessen Nullstellen die primitiven n-ten Wurzeln von Eins sind, z. B. P2(X) = X+1, P4(X) = X2+1 Bézouts Polynomgleichung: A(X) U(X) + B(X)V(X) = C(X) Nachstehend finden Sie spezifische Anwendungsbeispiele von Polynomen.
m2), …, x ≡ ar (mod mr). Zusätzlich sind, wenn x = a eine Lösung ist, alle anderen Lösungen kongruent zu einem Modulo, das dem Produkt von m1⋅m2⋅ … mr entspricht. Die Funktion EGCD EGCD steht für Extended Greatest Common Divisor größter gemeinsamer Teiler). Für zwei Polynome A(X) und B(X) erzeugt die Funktion EGCD die Polynome C(X), U(X), and V(X), sodass gilt C(X) = U(X)*A(X) + V(X)*B(X). So gilt z. B. für A(X) = X^2+1, B(X) = X^2-1, EGCD(A(X),B(X)) = {2, 1, -1}, d. h., 2 = 1*( X^2+1’)-1*( X^2-1).
d n − x2 H 0 * = 1, H n * ( x) = (−1) e (e ), n = 1,2,... dx n n x2 wobei dn/dxn = n-te Ableitungsfunktion zu x. Dies ist die im Taschenrechner verwendete Definition. Beispiele: Die Hermite-Polynome dritten und fünften Grades lauten wie folgt: HERMITE(3) = ‘8*X^3-12*X’, und HERMITE(5) = ‘32*x^5-160*X^3+120*X’. Die Funktion HORNER Die Funktion HORNER erzeugt die Horner- oder synthetische Division eines Polynoms P(X) durch den Faktor (X-a).
Die Funktion LAGRANGE Die Funktion LAGRANGE benötigt als Eingabe eine Matrix mit zwei Zeilen und n Spalten. Die Matrix speichert Datenpunkte in der Form [[x1,x2, …, xn] [y1, y2, …, yn]]. Die Funktion LAGRANGE erzeugt ein erweitertes Polynom aus n n pn −1 ( x) = ∑ j =1 ∏(x − x ) k k =1, k ≠ j n ∏(x k =1, k ≠ j j − xk ) ⋅ y j. So können wir z. B.
LEGENDRE(3) = ‘(5*X^3-3*X)/2’ LEGENDRE(5) = ‘(63*X ^5-70*X^3+15*X)/8’ Die Funktion PCOEF Wenn wir ein Array mit den Nullstellen des Polynoms haben, erzeugt die Funktion PCOEF ein Array, das die Koeffizienten der entsprechenden Polynome enthält. Die Koeffizienten gehören in abfallender Reihenfolge zu den Potenzen der unabhängigen Variablen. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung PCOEF([-2,–1,0,1,1,2]) = [1. –1. –5. 5. 4. –4. 0.], welche das Polynom X6 -X55X4+5X3+4X2-4X darstellt.
QUOT(X^3-2*X+2, X-1) = X^2+X-1 REMAINDER(X^3-2*X+2, X-1) = 1. Somit können wir schreiben: (X3-2X+2)/(X-1) = X2+X-1 + 1/(X-1). Anmerkung: Sie könnten letzteres Ergebnis auch für PROPFRAC erhalten: PROPFRAC(‘(X^3-2*X+2)/(X-1)’) = ‘X^2+X-1 + 1/(X-1)’. Die Funktion EPSX0 und die CAS-Variable EPS Die Variable ε (Epsilon) wird normalerweise in mathematischen Lehrbüchern zur Darstellung einer sehr kleinen Zahl verwendet.
Die Funktion TCHEBYCHEFF Die Funktion TCHEBYCHEFF(n) erzeugt das Tschebyscheff-(oder Chebyshev-) Polynom der ersten Art, Grad n, definiert als Tn(X) = cos(n⋅arccos(X)). Ist die Ganzzahl n negativ (n < 0), erzeugt die Funktion TCHEBYCHEFF(n) ein Chebyshev-Polynom der zweiten Art, Grad n, definiert als Tn(X) = sin(n⋅arccos(X))/sin(arccos(X)). Beispiele: TCHEBYCHEFF(3) = 4*X^3-3*X TCHEBYCHEFF(-3) = 4*X^2-1 Brüche Brüche können mit den Funktionen EXPAND und FACTOR, aus dem Menü ALG (‚×) erweitert bzw.
Die Funktion PROPFRAC Die Funktion PROPFRAC konvertiert einen rationalen Bruch in einen "reinen" Bruch, d. h. einem Bruchteil wird ein Integer-Wert hinzugefügt, falls eine derartige Zerlegung möglich ist. Beispiel: PROPFRAC(‘5/4’) = ‘1+1/4’ PROPFRAC(‘(x^2+1)/x^2’) = ‘1+1/x^2’ Die Funktion PARTFRAC Die Funktion PARTFRAC zerlegt einen rationellen Bruch in Teilbrüche, die zusammen den ursprünglichen Bruch ergeben.
Vielfachheit 3 und -5 mit Vielfachheit 2 sind und der die Pole 1 mit Vielfachheit 2 und -3 mit Vielfachheit 5 hat, gehen Sie wie folgt vor: FCOEF([2, 1, 0, 3, –5, 2, 1, –2, –3, –5]) = ‘(X-- 5)^2*X^3*(X-2)/(X- - 3)^5*(X1)^2’ Drücken Sie μ„î` (oder im RPN-Modus einfach μ) erhalten Sie: ‘(X^6+8*X^5+5*X^4-50*X^3)/(X^7+13*X^6+61*X^5+105*X^4-45*X^3297*X^2-81*X+243)’ Die Funktion FROOTS Die Funktion FROOTS erzeugt die Nullstellen und Pole eines Bruches. Wenn wir z. B.
wird ausführlich in Anhang C erläutert. In nachfolgendem Beispiel wird eine längere synthetische Division angezeigt: X 9 −1 X 2 −1 Beachten Sie, dass DIV2 im ARITH/POLYNOMIAL-Menü zur Verfügung steht.
Das Menü CONVERT und algebraische Operationen Das Menü CONVERT wird über die Tasten „Ú (die Taste 6) gestartet. Das Menü fasst alle Umwandlungs-Menüs im Taschenrechner zusammen. Nachstehend finden Sie eine Abbildung mit der Liste der Menüs: Die in den einzelnen Untermenüs vorhandenen Funktionen werden nachfolgend besprochen. Konvertierungs-Menü UNITS (Einheiten) (Option 1) Dieses Menü entspricht dem Menü UNITS unter Verwendung von ‚Û. Die Anwendungen dieses Menüs werden ausführlich in Kapitel 3 erläutert.
Diese Funktionen werden ausführlich in Kapitel 10 erläutert. Konvertierungs-Menü REWRITE (Option 4) Dieses Menü enthält die folgenden Funktionen: Die Funktionen I R und R I werden zur Konvertierung einer Ganzzahl (Integer- I) in eine reelle Zahl (R), oder umgekehrt, verwendet. Ganzzahlen werden ohne Dezimalpunkte angegeben, während reelle Zahlen, die einen ganzzahligen Wert enthalten, einen Dezimalpunkt am Ende besitzen, z. B.
Aus den Funktionen des Menüs REWRITE stehen die Funktionen DISTRIB, EXPLN, EXP2POW, FDISTRIB, LIN, LNCOLLECT, POWEREXPAND und SIMPLIFY für algebraische Ausdrücke zur Verfügung. Viele dieser Funktionen werden in diesem Kapitel vorgestellt. Aus Gründen der Vollständigkeit zeigen wir die Einträge in der Hilfefunktion für diese Funktionen.
POWEREXPAND SIMPLIFY Seite 5-33
Kapitel 6! Lösung von Einzelgleichungen In diesem Kapitel behandeln wir die Funktionen des Taschenrechners zur Lösung von Einzelgleichungen der Form f(X) = 0. Der Taste 7 sind zwei Menüs für die Lösung von Gleichungen zugewiesen, der symbolische SOLVer (Löser) („Î) und der NUMerische SOLVer (Löser) (‚Ï). Nachfolgend werden einige Funktionen aus diesen Menüs beschrieben. Ändern Sie für diese Beispiele den CAS-Modus auf Complex (siehe Kapitel 2).
Funktion ISOL Mit der Funktion ISOL (Gleichung, Variable) erhalten Sie die Lösung(en) für die Gleichung durch Isolierung der Variablen. Um beispielsweise t in der Gleichung at3-bt = 0 zu ermitteln, wenn der Taschenrechner im ALG-Modus ist, können wir wie folgt vorgehen: Im RPN-Modus erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn wir die Gleichung, gefolgt von der Variablen, in den Stack schreiben und anschließend die Funktion ISOL eingeben.
Funktion SOLVE Die Funktion SOLVE hat die gleiche Syntax wie die Funktion ISOL, nur dass SOLVE auch zur Lösung einer Menge von Polynomgleichungen verwendet werden kann. In der Abbildung unten finden Sie den Hilfetext für die Funktion SOLVE mit der Lösung der Gleichung X^4 – 1 = 3: Die folgenden Beispiele zeigen die Funktion SOLVE im ALG- und im RPNModus: Die obige Abbildung zeigt zwei Lösungen. In der ersten, β4 -5β =125, findet SOLVE keine Lösungen { }.
Die entsprechende Anzeige für diese beiden Beispiele im RPN-Modus ist nachstehend vor und nach der Anwendung der Funktion SOLVE zu sehen: Benutzen Sie in diesem Modus die Pfeiltaste ˜, wird der Zeileneditor gestartet: Funktion SOLVEVX Die Funktion SOLVEVX löst eine Gleichung für die Standard-CAS-Variable in der reservierten Variablen VX. Standardmäßig ist der Wert dieser Variablen 'X'. Nachfolgend einige Beispiele im ALG-Modus mit VX = 'X': Im ersten Fall konnte SOLVEVX keine Lösung finden.
Nachfolgend die Anzeige der beiden Beispiele im RPN-Stack (vor und nach Anwendung der Funktion SOLVEVX): Die Gleichung, die als Argument für die Funktion SOLVEVX benutzt wird, muss auf einen rationalen Ausdruck vereinfacht werden können. Z. B. wird die nachfolgende Gleichung von SOLVEVX nicht verarbeitet: Funktion ZEROS Die Funktion ZEROS berechnet Lösungen einer Polynomgleichung, ohne deren Vielfachheit anzuzeigen.
Die Funktionen des oben aufgeführten symbolischen Lösers ermitteln Lösungen für rationale Gleichungen (hauptsächlich für Polynomgleichungen). Wenn alle Koeffizienten der zu lösenden Gleichung numerisch sind, ist auch eine numerische Lösung über den numerischen Löser des Taschenrechners möglich. Menü numerischer Löser Der Taschenrechner bietet eine starke Umgebung zur Lösung von einzelnen algebraischen oder transzendenten Gleichungen.
Anmerkungen: 1. Wenn Sie eine Lösung in der NUM.SLV Anwendung berechnen, wird der gefundene Wert in den Stack geschrieben. Dies erweist sich als nützlich, wenn sie diesen Wert für spätere Operationen benötigen. 2. Bei jedem Start einer Anwendung im NUM.SLV-Menü werden eine oder mehrere Variablen erzeugt.
Drücken Sie `, um zum Stack zurückzukehren. Der Stack zeigt die folgenden Ergebnisse im ALG-Modus an (das gleiche Ergebnis würde auch im RPN-Modus angezeigt): Um alle Lösungen anzuzeigen, drücken Sie die Pfeiltaste (˜) zur Navigation im Zeileneditor: Alle Lösungen sind komplexe Zahlen: (0.432,-0.389), (0.432,0.389), (-0.766, 0.632), (-0.766, -0.632).
Erzeugen von Polynom-Koeffizienten , wenn die Nullstellen des Polynoms bekannt sind Angenommen, Sie möchten ein Polynom erstellen, dessen Nullstellen die Zahlen [1, 5, -2, 4] sind. Um den Taschenrechner für diesen Zweck zu nutzen, führen Sie folgende Schritte aus: ‚Ϙ˜@@OK@@ ˜„Ô1‚í5 ‚í2\‚í 4@@OK@@ @SOLVE@ Wählen Sie Solve poly… Tragen Sie die Nullstellen in einen Vektor ein Lösen der Koeffizienten Drücken Sie `, um zum Stack zurückzukehren, die Koeffizienten werden im Stack angezeigt.
nachfolgenden Beispiele zeigen, wie Sie X mit einer anderen Variable über die Funktion | ersetzen können.) Um den algebraischen Ausdruck mithilfe der Koeffizienten zu erstellen, nehmen Sie nachfolgendes Beispiel. Nehmen wir an, die Koeffizienten des Polynoms sind [1,5,-2,4].
'X^4+-3*X^3+ -3*X^2+11*X-6'. Ein weiterer Ansatz, einen Ausdruck für das Polynom zu bekommen, besteht darin, zunächst die Koeffizienten zu erzeugen und anschließend den algebraischen Ausdruck mit hervorgehobenen Koeffizienten.
Kreditzurückzahlung unterteilt wurde. Standardwerte von P/YR sind 12 (eine Zahlung pro Monat), 24 (zwei Zahlungen pro Monat) oder 52 (wöchentliche Zahlungen). Die Rate(PMT) ist die Summe, die der Leiher an den Verleiher am Anfang oder am Ende jedes Zeitabschnittes n der Leihfrist bezahlen muss. Der zukünftige Wert/ Endwert des Geldes (FV) ist der Wert der ausgeliehenen Geldsumme am Ende von n Zeitschabschnitten.
In der Anzeige erscheint der Wert für PMT als –39.132,30, d. h. der Kreditnehmer wird eine monatliche Rate von US $ 39.132,30 am Ende jedes Monats innerhalb der kommenden 60 Monate zahlen, um den Gesamtbetrag zurückzuzahlen. Der Grund, warum der Wert PMT negativ ausgefallen ist, besteht darin, dass der Taschenrechner die Werte aus der Sicht des Kreditnehmers betrachtet. Der Kreditnehmer besitzt ein Plus von US $ 2.000.
Das bedeutet, dass am Ende von 60 Monaten der entliehene Betrag von US $ 2.000.000,00 zusammen mit den Zinsen von US $ 347.937,79 abbezahlt wurde, der Differenzbetrag aber noch US $ 0,000316 beträgt, welche der Kreditnehmer dem Verleiher schuldet, ist. Sicherlich sollte der Differenzbetrag aber Null sein. Der im Display angezeigte Wert ist ein schlichter Rundungsfehler entstanden aus der numerischen Lösung. Drücken Sie $ oder ` zweimal, um zur Normalansicht des Taschenrechners zurückzukehren.
monatlich zu bezahlen hat, wenn er diesen am Anfang jeden Monats bezahlt, geringfügig niedriger als der am Ende des gleichen Monats ist. Der Grund dafür ist, dass der Verleiher Zinsguthaben für die Bezahlungen am Anfang des Monats bekommt, und somit die Schuldlast des Kreditnehmers etwas verringert. Anmerkungen: 1. Die finanzmathematische Umgebung erlaubt es, jeden beteiligten Wert, d. h. n, I%YR, PV, FV, P/Y, wenn die anderen Werte des Darlehens bekannt sind, zu berechnen.
™ ‚í ³ ‚@@PYR@@ ™ ‚í ³ ‚@@FV@@. ` Geben Sie ein Komma ein Geben Sie den Namen der Variablen PYR ein Geben Sie ein Komma ein Geben Sie den Namen der Variablen FV ein Führen Sie den PURGE-Befehl aus In den nachfolgenden Abbildungen sehen Sie den PURGE-Befehl zum Löschen aller Variablen im Verzeichnis sowie das Ergebnis, nachdem Sie den Befehl ausgeführt haben.
Variablen, einschließlich nicht-linearer algebraischer und transzendenter Gleichungen. Als Beispiel lösen wir die Gleichung ex-sin(πx/3) = 0. Geben Sie den Ausdruck einfach als algebraisches Objekt ein und speichern Sie dieses in der Variablen EQ. Die dazu erforderlichen Tastenfolgen im ALGModus lauten: ³„¸~„x™-S„ì *~„x/3™‚Å 0™ K~e~q` Funktion STEQ Die Funktion STEQ, die über den Befehls-Katalog (‚N) gestartet wird, speichert ihr Argument in der Variablen EQ, z. B.
Die Gleichung, die wir gerade in der Variablen EQ gespeichert haben, ist bereits im Feld Eq in der Eingabemaske SOLVE EQUATION geladen. Auch ein mit x beschriftetes Feld wird bereitgestellt. Um die Gleichung zu lösen, müssen Sie einfach nur noch das Feld vor dem X markieren, indem Sie die Pfeiltaste ˜ benutzen und dann @SOLVE@ drücken. Die angezeigte Lösung ist X: 4,5006E2: Dies ist jedoch nicht die einzig mögliche Lösung für diese Gleichung. Um z. B.
• Der Anwender kann eine Lösung erzwingen, indem er eine Schätzung der Lösung im entsprechenden Eingabefeld vorgibt, bevor er die Gleichung löst. Der Taschenrechner benutzt einen Suchalgorithmus, um ein Intervall zu finden, für welches die Funktion das Vorzeichen ändert, was darauf hinweist, dass es eine Nullstelle oder Lösung für die Gleichung gibt. Er verwendet anschließend eine numerische Methode, um einen Näherungswert für die Lösung zu ermitteln.
‚Ï@@OK@@ ‚O Starten Sie den numerischen Löser, um die Gleichung zu lösen Starten Sie den EquationWriter, um die Gleichung einzugeben An dieser Stelle befolgen Sie die Anweisungen aus Kapitel 2, Verwendung des EquationWriters zur Erstellung einer Gleichung. Die Gleichung, die Sie ins Feld Eq eingeben, sollte so aussehen (beachten Sie, dass wir nur einen Unterindex benutzen, um auf die Variablen hinzuweisen, d. h. exx wird als ex geschrieben, usw.
Drücken Sie @EDIT, während das Feld ex: markiert ist, ist die Lösung in der SOLVE EQUATION Eingabemaske zu sehen. Das Ergebnis lautet 2,470833333333E-3. Drücken Sie @@@OK@@, um EDIT (Bearbeitungsmodus) zu verlassen. Angenommen Sie möchten nun das Young-Modul, welches die Dehnung von exx = 0,005 unter der gleichen Spannung erzeugt, wobei die thermische Ausdehnung unbeachtet bleibt, ermitteln.
E = y+ V2 . 2g Die Durchflussgeschwindigkeit ist durch V = Q/A gegeben, wobei Q= Wasserabfluss und A die Fläche des Querschnitts darstellt. Die Fläche ist abhängig vom verwendeten Querschnitt, z. B. für einen trapezförmigen Querschnitt, wie in Abbildung unten gezeigt, A = (b+my) ×y, wobei b= die Breite des Kanalbodens und m= Seitenwandneigung des Querschnitts ist.
• Versuchen Sie folgende Eingabedaten: E = 10 ft, Q = 10 cfs (Kubikfuß pro Sekunde), b = 2,5 ft, m = 1,0, g = 32,2 ft/s2: • Lösen Sie die Gleichung für y. • Das Ergebnis ist 0,149836.., d. h. y = 0,149836. Es ist jedoch bekannt, dass es für y in dieser Gleichung für die spezifische Energie eigentlich zwei Lösungen gibt. Die Lösung, die wir gerade ermittelt haben, entspricht einer numerischen Lösung mit einem Ausgangswert von 0 (der voreingestellte Standardwert für y, d. h.
Das Ergebnis ist nun 9,99990, d. h. y = 9,99990 ft. Dieses Beispiel veranschaulicht die Anwendung von Hilfsvariablen zur Erstellung komplizierter Gleichungen. Sobald NUM.SLV aktiviert ist, werden die von den Hilfsvariablen implizierten Ersetzungen eingefügt und die Eingabemaske für die Gleichung stellt ein Eingabefeld für primitive oder fundamentale Variablen, die aus der Ersetzung resultieren, zur Verfügung.
So können Sie beispielsweise für ε/D = 0,0001 und Re = 1000000 den Reibungsfaktor berechnen, indem Sie eingeben DARCY(0,0001,1000000). In der nachfolgenden Abbildung wurde die Funktion NUM () zur Berechnung des numerischen Wertes der Funktion verwendet: Das Ergebnis ist f = DARCY(0,0001,1000000) = 0,01341… Die Funktion FANNING(ε/D,Re) In aerodynamischen Anwendungen wird ein anderer Reibungsfaktor verwendet, der sogenannte Fanning-Reibungsfaktor.
selbstverständlich die Darcy-Weisbach-Gleichung. Geben Sie also nachfolgende Gleichung in EQ ein: Geben Sie auch die folgenden Variablen (f, A, V, Re) ein: In diesem Fall haben wir die Hauptgleichung (Darcy-Weisbach-Gleichung) in EQ gespeichert und anschließend mehrere ihrer Variablen durch andere Ausdrücke, über die Definition der Variablen f, A, V und Re, ausgetauscht. Um die kombinierte Gleichung zu sehen, benutzen Sie EVAL(EQ).
QD ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ 2 8Q 2 L ε h f = 2 5 ⋅ DARCY ⎜ , πD / 4 ⎟ ⎜D Nu ⎟ π gD ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Die kombinierte Gleichung enthält die nicht mehr weiter zu ersetzenden Variablen hf, Q, L, g, D, ε und Nu. Starten Sie den numerischen Löser (‚Ï@@OK@@), um die in der SOLVE EQUATION-Eingabemaske vorhandenen grundlegenden Variablen anzuzeigen. Angenommen, wir verwenden die Werte hf = 2 m, ε = 0,00001 m, Q = 0,05 m3/s, Nu = 0,000001 m2/s, L = 20 m und g = 9,806 m/s2 und möchten den Durchmesser D berechnen.
Drücken Sie die Taste `, um zur Normalansicht des Taschenrechners zurückzukehren. Die Lösung für D wird im Stack angezeigt. Beispiel 4 – Universelle Gravitation Newtons Gesetz der universellen Gravitation besagt, dass die Größe der Anziehungskraft zweier Körper der Masse m1 und m2, die in einem Abstand r voneinander entfernt sind, über die Gleichung werden kann. F =G⋅ M 1 ⋅ M 2 dargestellt .
Wenn Sie nun den numerischen Löser für diese Gleichung starten, erhalten Sie eine Eingabemaske mit den Eingabefeldern F, G, m1, m2 und r. Lösen wir dieses Problem nun, indem wir verschiedene Einheiten für die bekannten Variablen einsetzen: m1 = 1.0´106 kg, m2 = 1.0´1012 kg, r = 1.0´1011 m. Geben Sie einen Wert von 0_N in Feld F ein, um sicher zu stellen, dass die Lösung mit den Einheiten des Taschenrechners richtig ausgewertet wird: Lösen Sie die Gleichung für F, kehren Sie dann zur Normalansicht zurück.
Unterschiedliche Wege Gleichungen in EQ einzugeben In all den gezeigten Beispielen haben wir die zu lösende Gleichung vor Aktivierung des numerischen Lösers direkt in die Variable EQ eingegeben. Aber die zu lösende Gleichung kann auch direkt in den Löser eingegeben werden, sobald Sie diesen gestartet haben, indem Sie die Inhalte des Feldes EQ in der Eingabemaske des numerischen Lösers bearbeiten.
An dieser Stelle ist die Gleichung zur Lösung bereit. Alternativ dazu können Sie zur Eingabe Ihrer Gleichung den EquationWriter starten, nachdem Sie @EDIT gedrückt haben. Drücken Sie `, um zum numerischen Löser zurückzukehren. Eine weitere Möglichkeit, eine Gleichung in die Variable EQ einzugeben, ist, eine bereits bestehende Variable, die in EQ eingegeben werden soll, aus dem Verzeichnis auszuwählen. Das bedeutet, dass Ihre Gleichung bereits in einer Variablen gespeichert sein muss. Nehmen wir z. B.
Das Funktionsmenü SOLVE Über das Menü SOLVE kann über Funktionstasten auf einige der Funktionen des numerischen Lösers zugegriffen werden. Um in dieses Menü im RPN-Modus zu gelangen, verwenden Sie: 74 MENU (bzw. im ALG-Modus MENU(74). Alternativ dazu können Sie jedoch auch die Tastenkombination ‚ (halten) 7 zum Starten des Menüs SOLVE benutzen.
Im ALG-Modus würden Sie zum Starten der Funktion ROOT wie folgt vorgehen: ROOT(‘TAN(θ)=θ’,’θ’,5) Variable EQ Die Funktionstaste @@EQ@@ in diesem Untermenü wird als Referenz auf die Variable EQ verwendet. Das Drücken der Funktionstaste ist gleichwertig mit dem Verwenden der Funktion RCEQ (ReCall EQ). Das Untermenü SOLVER Das Untermenü SOLVR startet das Funktionsmenü Löser für die aktuell in EQ gespeicherte Gleichung.
Um die SOLVR Umgebung zu verlassen, drücken Sie J. An dieser Stelle haben Sie keinen Zugang zum Menü SOLVE, somit Sie müssen dieses erneut wie oben angezeigt, starten, um mit den nachfolgenden Beispielen fortzufahren. Beispiel 2 – Lösen der Gleichung Q = at2+bt In EQ kann auch eine Gleichung, die mehr als eine Variable enthält, gespeichert werden, beispielsweise ‘Q = at^2 + bt’.
Die erste Gleichung, d. h. a*X + b*Y = c, wird im oberen Teil des Displays angezeigt. Sie können Werte für die Variablen a, b und c eingeben, beispielsweise 2 [ a ] 5 [ b ] 19 [ c ]. Da wir nur eine Gleichung auf einmal lösen können, geben wir einen geschätzten Anfangswert für Y, beispielsweise 0 [ Y ] ein und lösen die Gleichung für X, mit „[ X ]. Dies ergibt den Wert X: 9,4999…. Um den Wert der Gleichung an dieser Stelle zu überprüfen, drücken Sie @EXPR=.
Nachdem Sie nun die beiden Gleichungen gelöst haben, jeweils eine auf einmal, bemerken wir, dass X sich bis zur dritten Nachkommastelle dem Wert 7,500, während Y sich dem Wert 0,799 nähert. Verwenden von Maßeinheiten mit dem SOLVR Unterprogramm Nachfolgend finden Sie einige Richtlinien für den Gebrauch von Maßeinheiten mit dem SOLVR Unterprogramm: • Das Eintragen eines vermuteten Lösungswertes mit Maßeinheiten für eine gegebene Variable, sorgt für die Verwendung dieser in der Lösung.
Funktion PROOT Diese Funktion wird dazu verwendet, die Nullstellen eines Polynoms für einen bekannten Vektor, der die Koeffizienten des Polynoms in absteigender Reihenfolge der Potenz der unabhängigen Variable enthält, zu ermitteln. Mit anderen Worten, wenn das Polynom anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0, ist, sollte der Vektor von Koeffizienten als [an, an-1, … , a2, a1 , a0] eingegeben werden. So sind z. B. die Nullstellen des Polynoms mit den Koeffizienten [1, -5, 6] die Werte [2, 3].
Das Untermenü TVM Das Untermenü TVM enthält Funktionen zur Berechnung des Zeitwertes des Geldes (Time Value of Money). Dies ist eine alternative Möglichkeit, finanzmathematische Probleme zu lösen (siehe Kapitel 6). Die verfügbaren Funktionen werden nachfolgend angezeigt: Das Untermenü SOLVR Das Untermenü SOLVR aus dem Untermenü TVM startet den Löser zur Lösung von TVM-Problemen.
Funktion AMORT Diese Funktion nimmt einen Wert, der einen Zahlungszeitraum darstellt (zwischen 0 und n) an und gibt das (zurückgezahlte) Kapital, die Zinsen und den Saldo für die momentan gespeicherten TVM-Variablen zurück. Wenn wir z. B. mit den vorhin benutzten Daten die Funktion AMORT für einen Wert 10 starten, erhalten wir: Funktion BEG Wenn diese Funktion ausgewählt ist, werden die Berechnungen innerhalb der Funktion TMV mit Zahlungen am Anfang jeder Zahlungsperiode ausgeführt.
Kapitel 7! Lösen von Mehrfachgleichungen Viele wissenschaftliche und technische Probleme benötigen die gleichzeitige Lösung mehrerer Gleichungen. Der Taschenrechner stellt, wie unten gezeigt, mehrere Verfahrensweisen zur Lösung von Mehrfachgleichungen zur Verfügung. Beachten Sie, dass in diesem Kapitel keine Lösungen für Systeme mit linearen Gleichungen vorgestellt werden. Lösungen für lineare Systeme werden in einem späteren Kapitel über Matrizen und lineare Algebra ausführlich erklärt.
An dieser Stelle müssen wir nur noch K zweimal drücken, um die Variablen zu speichern. Für die Lösungsfindung schalten Sie das CAS in den Exakt-Modus und listen Sie dann die Inhalte der Variablen A2 und A1 – in dieser Reihenfolge – @@@A2@@@ @@@A1@@@ auf. Verwenden Sie nun den Befehl SOLVE (aus dem Menü S.SLV: „Î).
Beispiel 2 – Spannungen in einem dickwandigen Zylinder Nehmen wir an, wir haben einen dickwandigen Zylinder mit Innen- und Außendurchmesser a und b, welcher einem inneren Druck Pi und einem äußeren Druck Po ausgesetzt ist.
Beachten Sie, dass wir in diesem Beispiel den RPN-Modus verwenden, die Vorgehensweise im ALG-Modus ist jedoch ziemlich ähnlich.
Beachten Sie, dass das Ergebnis einen Vektor [ ] innerhalb einer Liste { } enthält. Benutzen Sie μ, um das Symbol für Liste zu entfernen. Verwenden Sie die Funktion OBJ , um den Vektor zu zerlegen. Die Lösung lautet: Diese beiden Beispiele stellen Systeme von linearen Gleichungen dar, welche genauso gut mit der Funktion LINSOLVE (siehe Kapitel 11) bearbeitet werden können. Das nachfolgende Beispiel zeigt die Funktion SOLVE, angewendet auf ein System von Polynomgleichungen.
Nachfolgend finden Sie den Hilfeeintrag für die Funktion MSLV: Beispiel 1 – Beispiel aus der Hilfefunktion Wie für alle anderen Funktionseinträge, gibt es in der Hilfefunktion auch ein Beispiel zum Eintrag MSLV, wie oben gezeigt. Beachten Sie, dass die Funktion MSLV drei Argumente benötigt: 1. Einen Vektor, der die Gleichungen enthält, d. h. ‘[SIN(X)+Y,X+SIN(Y)=1]’ 2. Einen Vektor, der die zu lösenden Variablen enthält, d. h. ‘[X,Y]’ 3. Einen Vektor, der die Anfangswerte für die Lösung beinhaltet, d. h.
Durch Aktivierung der Funktion MSLV erscheint folgende Anzeige. Sie haben wahrscheinlich festgestellt, dass während der Berechnung der Lösung in der linken oberen Ecke des Displays Zwischenergebnisse angezeigt werden. Da die von MSLV gelieferte Lösung numerisch ist, zeigen die Informationen in der linken oberen Ecke die Ergebnisse des iterativen Prozesses auf dem Weg zur Lösung an. Die endgültige Lösung ist X = 1,8238, Y = -0,9681.
die Breite des Bodens (m oder ft) und m die Seitenwandneigung (1V:mH) des Querschnittes darstellt. Normalerweise muss man die Energie- wie auch die Manning-Gleichung für y und Q gleichzeitig lösen. Sobald diese Gleichungen in den primitiven (=nicht weiter zu ersetzenden) Variablen b, m, y, g, So, n, Cu, Q und Ho dargestellt sind, bleibt uns das folgende Gleichungssystem f1(y,Q) = 0, f2(y,Q) = 0.
Wir stellen fest, dass diese Gleichungen tatsächlich als Ausdrücke der einfachen Variablen b, m, y, g, So, n, Cu, Q und Ho dargestellt werden können. Um y und Q zu lösen, müssen wir den anderen Variablen Werte zuweisen. Angenommen, wir verwenden folgende Werte: H0 = 5 ft, b = 1,5 ft, m = 1, n = 0,012, S0 = 0,00001, g = 32,2 und Cu = 1,486. Bevor wir diese Variablen zur Lösung mit MSLV verwenden können, müssen wir die Werte in die entsprechenden Variablennamen eintragen.
Als Anfangswerte für die Variablen y und Q verwenden wir y = 5 (entspricht dem Wert von Ho, welches der Maximalwert ist, den y annehmen kann) und Q = 10 (dies ist nur ein Schätzwert). Um die Lösung zu erhalten, wählen wir die Funktion MSLV aus dem Menü NUM.SLV, z. B. können wir ‚Ï6@@@OK@@@ zur Eingabe des Befehls im Display benutzen: Als Nächstes geben wir die Variable EQS LL@@EQS@ , gefolgt vom Vektor [y,Q] ‚í„Ô~„y‚í~q™ und unseren anfänglichen Schätzwerten ‚í„Ô5‚í 10 ein.
Drücken Sie @@OK@@ und fahren Sie mit der Lösung fort. Ein Zwischenergebnis könnte wie folgt aussehen: Der Vektor im oberen Teil zeigt, während der Lösungsprozess fortschreitet, die aktuellen Werte von [y,Q] und den Wert ,358822986286, der die Konvergenzkriterien der zur Lösungsfindung verwendeten numerischen Methode darstellt, an. Wenn das System gut eingestellt ist, wird sich dieser Wert an Null annähern. An dieser Stelle sollte eine numerische Lösung gefunden worden sein.
Die vorgeschlagene Lösung ist [4.9936.., 20.661…]. Das bedeutet, y = 4,99 ft und Q = 20,66 ft3/s. Um die Lösung im Detail anzusehen, benutzen Sie die Pfeiltasten (š™—˜). Der Multiple Equation Solver (MES) (Mehrfachgleichungslöser) Der Mehrfachgleichungslöser ist eine Umgebung, in der Systeme von Mehrfachgleichungen durch Lösen jeweils einer Unbekannten aus einer Gleichung gelöst werden können.
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist immer 180°, d. h. α + β + γ = 180o. Der Sinussatz besagt dass: sin α sin β sin γ = = . a b c Der Kosinussatz besagt dass: a2 = b2 + c2 – 2⋅b⋅c⋅cos , b2 = a2 + c2 – 2⋅a⋅c⋅cos β, c2 = a2 + b2 – 2⋅a⋅b⋅cos γ. Um ein Dreieck lösen zu können, müssen Sie mindestens 3 der folgenden sechs Variablen kennen: a, b, c, α, β, γ.
dem Sinus- und Kosinus-Satz, der Regel der Summe der Innenwinkel eines Dreiecks und der Heronschen Formel für die Fläche entsprechen. Erstellen Sie als Erstes im HOME-Verzeichnis ein Unterverzeichnis mit dem Namen TRIANG, und wechseln Sie in dieses Verzeichnis. Anweisungen zur Erstellung von Unterverzeichnissen finden Sie in Kapitel 2.
„triangle# „solution ` ³ ~~title` K Geben Sie den Text ein: Triangle_ (Dreieck_) Geben Sie den Text ein: Solution (Lösung) Geben Sie den String "Triangle Solution" (Lösung des Dreiecks) in den Stack ein Öffnen Sie die einfachen (') Anführungszeichen im Stack Geben Sie den Variablennamen 'TITLE' (Titel) ein Speichern Sie den String in 'TITLE' Erstellen einer Liste von Variablen Erstellen Sie anschließend eine Liste von Variablennamen im Stack, wie nachfolgend gezeigt: { a b c α β γ A s } Speichern Sie dies
Wir werden die nachfolgenden MES-Funktionen verwenden • MINIT: MES INITialization: (Initialisierung des MES) initialisiert die in EQ gespeicherten Variablen der Gleichungen • MITM: MES’ Menu Item: (Menüpunkt) Nimmt einen "title" (Titel) aus Stack-Ebene 2 und die Liste der Variablen aus Stack-Ebene 1 und setzt den Titel als Überschrift über das MES-Fenster und verwendet die Variablen in der in der Liste angegebenen Reihenfolge als Beschriftung für die Funktionstasten.
5[ a ] 3[ b ] 5[ c ] a:5 wird in der oberen linken Ecke des Displays angezeigt. b:3 wird in der oberen linken Ecke des Displays angezeigt. c:5 wird in der oberen linken Ecke des Displays angezeigt. Um die Winkel zu ermitteln, verwenden Sie: „[ α ] Der Rechner meldet Solving for α, (löse für α) und zeigt das Ergebnis α: 72.5423968763.
Anmerkung: Sobald eine Lösung gefunden wurde, meldet der Taschenrechner die Bedingungen für die Lösung entweder als Null (Zero) oder Vorzeichenwechsel (Sign Reversal). Möglicherweise werden weitere Meldungen angezeigt, sobald der Taschenrechner Schwierigkeiten bei der Lösungsfindung begegnet. Drücken Sie nun „@@ALL@@, werden alle Variablen gelöst, zeitweise werden Zwischenergebnisse angezeigt.
Parameter in einer Binärdatei kodiert sind und der Anwender auf diese nicht zugreifen kann. Als Nächstes möchten wir die Reihenfolge der Parameter im Menü ändern, was wir unter Verwendung der folgenden Schritte durchführen können: 1. Erstellen Sie eine Liste, welche { EQ Mpar LVARI TITLE } enthält, unter Verwendung von: „ä @@@EQ@@@ @Mpar! !@LVARI @@TITLE ` Setzen Sie die Inhalte von LVARI unter Verwendung von: @LVARI in den Stack . 3. Verknüpften Sie beide Listen, indem Sie + drücken.
@TITLE Listen Sie den Namen TITLE im Programm auf @LVARI Listen Sie den Namen LVARI im Programm auf ~~ Sperrt die alphanumerische Tastatur mitm# Geben Sie MITM_ ein msolvr Geben Sie MSOLVR ` Geben Sie das Programm in den Stack ein Speichern Sie das Programm in einer Variablen mit dem Namen TRISOL (für TRIangle SOLution –Dreieckslösung) unter Verwendung von: ³~~trisol` K Drücken Sie falls nötig J, um Ihre Variablenliste wieder herzustellen.
L „ @ALL! ‚ @ALL! Um zum nächsten Variablenmenü zu gelangen. Lösen aller Unbekannten. Zeige die Lösung: Die Lösung lautet: Am unteren Rand der Anzeige haben Sie die Funktionstasten: @VALU @EQNS! @PRINT %%%% %%%% @EXIT Das kleine schwarze Rechteck neben dem Namen der Funktion @VALU zeigt an, dass die Werte und nicht die Gleichungen, aus denen diese berechnet wurden, auf dem Bildschirm angezeigt werden. Um sich die für die Lösung verwendeten Gleichungen anzusehen, drücken Sie die Funktionstaste @EQNS!.
auszuführen. Vergessen Sie nicht, am Ende jeder Lösung J @TRISO einzugeben, um die Variableninhalte zu löschen und die MES-Lösung erneut zu starten. Andernfalls bleiben möglicherweise Informationen aus vorangegangenen Lösungen erhalten, was zu chaotischen Ergebnissen in Ihren folgenden Berechnungen führen kann. c α( ο) β( ο) γ( ο) 7.2 20.229 75 84.771 8.6933 14.26 22.616 27 130.38 23.309 a b 2.5 6.9837 7.2 8.5 21.92 17.5 13.2 90 52.98 37.03 115.5 41.92 23 29.6 75 32 73 328.
Erstellen Sie ein Unterverzeichnis POLC (POLar Coordinates – Polarkoordinaten), das wir bei der Berechnung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Polarkoordinaten verwenden. Geben Sie die folgenden Variablen in dieses Unterverzeichnis ein: __________________________________________________________________ zu speichern in Variable: Programm oder Wert << PEQ STEQ MINIT NAME LIST MITM MSOLVR >> SOLVEP "vel. & acc. polar coord." (Geschw. & Beschl.. Polarkoord.
θD, θDD = θ-Punkt (θ-dot - erste Ableitungsfunktion von θ), θ-zwei-Punkt (θdouble dot - zweite Ableitungsfunktion von θ). ________________________________________________________________ Nehmen wir an, Sie haben folgende Informationen: r = 2,5, rD = 0,5, rDD = 1,5, θD = 2,3, θDD = -6,5, und Sie müssen die Werte für vr, vθ, ar, aθ, v und a ermitteln. Starten Sie den Mehrfachgleichungslöser durch Drücken von J@SOLVE. Im Display erscheint eine Anzeige mit der Beschriftung "vel. & acc. polar coord.
Drücken Sie die Funktionstaste @EQNS, erhalten Sie die Gleichungen für jeden einzelnen Wert in der Anzeige, die zur Lösung benutzt wurden: Um einen neuen Satz von Werten zu verwenden, drücken Sie entweder @EXIT @@ALL@ LL oder J @SOLVE. Versuchen wir in weiteres Beispiel mit den Werten r = 2,5, vr = rD = -0,5, rDD = 1,5, v = 3,0, a = 25,0. Ermitteln Sie θD, θDD, vθ, ar und aθ.
Kapitel 8 Operationen mit Listen Listen sind Objekte des Taschenrechners, die besonders bei der Datenverarbeitung und in der Programmierung hilfreich sein können. In diesem Kapitel werden Beispiele von Operation mit Listen vorgestellt. Definitionen Im Kontext des Taschenrechners wird eine Liste als eine Reihe von Objekten, eingeschlossen in ein Klammerpaar, getrennt durch Leerschritte (#) im RPNModus oder Kommas (‚í) in beiden Modi, definiert.
angezeigt wird. Beachten Sie vor dem Drücken der Taste `, dass in der Liste die Elemente durch ein Komma getrennt dargestellt werden. Nachdem Sie nun die Taste ` gedrückt haben, verschwinden die Kommas und die Elemente sind durch Leerschritte voneinander getrennt.
Abbildungen sehen Sie eine Liste der Länge 4, vor und nach Anwenden der Funktion LIST: Anmerkung: Wird die Funktion OBJ im ALG-Modus angewendet, gibt sie einfach die Liste wieder und fügt dieser die Listengröße hinzu: Operationen mit Zahlenlisten Um Operationen mit Zahlenlisten zu veranschaulichen, werden wir zusätzlich zu der oben erstellten L1 einige weitere Listen erzeugen: L2={-3,2,1,5}, L3={6,5,3,1,0,3,-4}, L4={3,-2,1,5,3,2,1}.
Änderung des Vorzeichens Wenn sie auf eine Liste von Zahlen angewandt wird, ändert die Taste "Vorzeichen ändern" (\) das Vorzeichen aller Elemente in der Liste. Zum Beispiel: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division Die Multiplikation und Division einer Liste durch eine einzelne Zahl wird über die gesamte Liste angewandt, z. B.: Bei der Subtraktion einer einzelnen Zahl von einer Liste wird die Zahl von jedem Element der Liste abgezogen, z. B.
Die Division L4/L3 enthält einen Eintrag „unendlich“, weil eines der Elemente in L3 eine Null ist: Haben die Listen für Rechenoperation verschiedene Längen, wird eine Fehlermeldung (Error: Invalid Dimensions – Fehler: ungültige Dimensionen) ausgegeben. Wird das Pluszeichen (+) auf Listen angewandt, verhält sich dieses als Verkettungsoperator, in dem Sinn, dass zwei Listen zusammenfügt und nicht Glied für Glied addiert werden.
Funktionen mit reellen Zahlen von der Tastatur aus In Listen können auch Funktionen mit reellen Zahlen (ABS, ex, LN, 10x, LOG, SIN, x2, √, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, yx) von der Tastatur aus verwendet werden.
Funktionen, die nur ein Argument benötigen, in Ihrer Anwendung auf Listen dargestellt: SINH, ASINH COSH, ACOSH TANH, ATANH SIGN, MANT, XPON IP, FP FLOOR, CEIL D R, R D Beispiele von Funktionen, die zwei Argumente verwenden In den nachfolgenden Abbildungen finden Sie Anwendungen der Funktion % zur Auflistung von Argumenten. Die Funktion % benötigt zwei Argumente. Das erste der beiden Beispiele zeigt Fälle, in denen nur eines der beiden Argumente eine Liste darstellt.
Die Ergebnisse sind Listen, auf deren Elemente die Funktion % so angewandt wird, wie es das Argument, das eine Liste darstellt, vorgibt. Zum Beispiel, %({10, 20, 30},1) = {%(10,1),%(20,1),%(30,1)}, und %(5,{10,20,30}) = {%(5,10),%(5,20),%(5,30)} Im nachfolgenden Beispiel sind beide Argumente der Funktion % Listen derselben Größe. In diesem Fall, wird eine gliedweise Verteilung der Argumente durchgeführt, d. h.
Auch Funktionen wie LN, EXP, SQ, usw. können auf Listen von komplexen Zahlen angewandt werden, z. B.: Das nachfolgende Beispiel zeigt Anwendungen der Funktion RE(reeller Teil), IM(imaginärer Teil), ABS(Betrag) und ARG(Argument) für komplexe Zahlen.
Das MTH/LIST-Menü Das Menü MTH stellt eine Reihe von Funktionen, die ausschließlich auf Listen angewendet werden können, zur Verfügung.
SORT und REVLIST können kombiniert werden, um eine Liste in absteigender Folge zu sortieren. Arbeiten Sie im RPN-Modus, legen Sie die Liste auf den Stack und wählen Sie dann die gewünschte Operation. Um zum Beispiel die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Elementen der Liste L3 zu berechnen, drücken Sie: l3`!´˜˜ #OK# #OK# Hiermit wird L3 auf den Stack gelegt und anschließend die ΔLIST-Operation aus dem MTH-Menü gewählt.
Listengröße Die Funktion SIZE (Größe) aus dem Untermenü PRG/LIST/ELEMENTS kann zur Ermittlung der Größe (oder Länge) der Liste verwendet werden, z. B. Extrahieren und Einfügen von Elementen in eine Liste Um Elemente aus einer Liste zu extrahieren, benutzen wir die Funktion GET, welche im Untermenu PRG/LIST/ELEMENTS zu finden ist. Die Argumente der Funktion GET sind eine Liste und die Nummer des Elementes, das Sie aus dieser Liste entfernen möchten.
Position eines Elementes in der Liste Zur Bestimmung der Position eines Elementes in einer Liste verwenden Sie die Funktion POS, welche die Liste und das gewünschte Element als Argument enthält. Zum Beispiel: Die Funktionen HEAD und TAIL Die Funktion HEAD extrahiert das erste Element der Liste. Die Funktion TAIL entfernt das erste Element einer Liste und gibt die noch verbleibende Liste zurück. Nachfolgend einige Beispiele: Die Funktion SEQ Position 2. PROCEDURES..
einen bestimmten gegebenen Ausdruck und wird nachfolgend ausführlich beschrieben. Die Funktion SEQ enthält als Argumente einen Ausdruck in Form eines Index, den Namen dieses Index und Start- und Endwerte, sowie das Inkrement und gibt eine Liste zurück, die aus der Auswertungen des Ausdruckes für alle möglichen Werte des Index besteht. Die allgemeine Form der Funktion ist SEQ(Ausdruck, Index, Start, Ende, Inkrement).
Im ALG-Modus lautet die Syntax: ~~map~!Ü!ä1@í2@í3™@ í S~X` Im RPN-Modus lautet die Syntax: !ä1@í2@í3`³S~X`~~m ap` In beiden Fällen können Sie das MAP-Kommando entweder eingeben (wie in den obigen Beispielen) oder aus dem CAT-Menü auswählen.
Da in der Funktion keine Addition vorkommt, ist die Anwendung dieser Funktion zur Auflistung von Argumenten recht einfach.
Die Auswertung G(L1,L2) ergibt nur folgendes Ergebnis: Alternativ dazu können Sie die Funktion von Anfang an mit ADD anstelle des Pluszeichens (+)definieren, d. h. Sie verwenden DEFINE('G(X,Y)=(X DD 3)*Y'): Sie können die Funktion jedoch auch als G(X,Y) = (X--3)*Y definieren. Anwendungen für Listen Dieser Abschnitt zeigt eine Reihe von Anwendungen von Listen zur Berechnung von Statistiken/ Maßzahlen einer Stichprobe.
Harmonischer Mittelwert einer Liste Diese Stichprobe ist klein genug, um die Anzahl der Elemente im Display abzählen zu können (n=10). Für eine größere Liste, können wir die Funktion SIZE benutzen, um die Anzahl der Elemente in der Liste anzuzeigen, z. B. Nehmen wir an, wir möchten das harmonische Mittel der Stichprobe, welches wie nachfolgend definiert ist, berechnen: sh = 1 1 1 ∑ n k =1 s n n = 1 1⎛ 1 1 1⎞ ⎜⎜ + + L + ⎟⎟ n ⎝ s1 s 2 sn ⎠ . Um diesen Wert zu berechnen können wir wie folgt vorgehen: 1.
3. Teilen Sie das obige Ergebnis durch n = 10: 4. Wenden Sie auf das letzte Ergebnis die Funktion INV() an: Somit ist der harmonische Mittelwert der Liste S gleich sh = 1,6348… Geometrischer Mittelwert einer Liste Der geometrische Mittelwert einer Stichprobe wird wie folgt definiert: xg = n n ∏x k =1 k = n x1 ⋅ x 2 L x n Um den geometrischen Mittelwert der in S gespeicherten Liste zu berechnen, können wir wie folgt vorgehen: 1.
2. Wenden Sie die Funktion XROOT(x,y), d. h.
Wenn wir eine Liste mit Daten {s1, s2, …, sn } und eine Liste mit Gewichten {w1, w2, …, wn } haben, kann das gewogene Mittel der Daten in S wie folgt definiert werden: n sw = ∑w k =1 k ⋅ sk n ∑ wk . k =1 Um nun das gewogene Mittel der Daten aus der Liste S mit den Werten der Gewichte aus der Liste W zu berechnen, können wir wie folgt vorgehen: 1. Multiplizieren Sie die Listen S und W: 2. Wenden Sie die Funktion ΣLIST auf das erzielte Ergebnis an, um den Zähler von sw zu berechnen: 3.
4. Verwenden Sie den Ausdruck ANS(2)/ANS(1), um das ausgewogene Mittel zu berechnen: Somit ist das ausgewogene Mittel der Liste S mit den Gewichten in Liste W gleich sw= 2,2. Anmerkung: ANS(1) bezieht sich auf das letzte Ergebnis (55), während sich ANS(2) auf das vorletzte Ergebnis (121) bezieht. Statistiken gruppierter Daten Gruppierte Daten werden normalerweise als Tabelle, unter Angabe der Häufigkeit (w) der Daten in den jeweiligen Klassen oder Bins angezeigt.
Nehmen wir an, unsere Liste von Klassenmarken ist S = {s1, s2, …, sn } und die Liste der Häufigkeitszähler W = {w1, w2, …, wn }, dann stellt der Mittelwert der Daten in S mit den Gewichten W den Mittelwert der gruppierten Daten dar, welcher in diesem Kontext als s bezeichnet wird. n s= ∑ wk ⋅ s k k =1 n ∑ wk n = ∑w k =1 k N ⋅ sk , k =1 n Dabei stellt N = ∑ wk die Summe aller Häufigkeiten dar..
Die Varianz dieser gruppierten Daten wird wie folgt definiert n V = ∑ wk ⋅ ( s k − s ) 2 k =1 n ∑w k =1 k n = ∑w k =1 k ⋅ (sk − s ) 2 N Um das letzte Ergebnis zu berechnen, können wir wie folgt vorgehen: Die Standardabweichung der gruppierten Daten ist die Quadratwurzel der Varianz: Seite 8-24
Kapitel 9 Vektoren Dieses Kapitel stellt Beispiele zur Eingabe von und zum Arbeiten mit Vektoren zur Verfügung, sowohl für mathematische Vektoren mit vielen Elementen, als auch für physikalische Vektoren, bestehend aus nur 2 bis 3 Komponenten. Definitionen Aus mathematischer Sicht ist ein Vektor eine Gruppierung von 2 oder mehr in einer Spalte oder Zeile angeordneten Elementen. Diese bezeichnen wir als Zeilen- oder Spaltenvektoren.
Vektors wird als –A = (–1)A = [–Ax, –Ay, –Az] definiert. Division durch eine Skalarzahl kann als Multiplikation interpretiert werden, d. h. A/k = (1/k)⋅A. Addition und Subtraktion von Vektoren wird als A±B = [Ax ± Bx, Ay ± By, Az ± By] definiert, wobei B den Vektor B = [Bx, By, Bz] darstellt. Es gibt zwei Definitionen von Produkten von physikalischen Vektoren, ein Skalaroder internes Produkt (Skalarprodukt) und ein Vektor- oder äußeres Produkt (Kreuzprodukt).
rechts zeigt die Anzeige des Taschenrechners, nachdem der algebraische Vektor eingegeben wurde: Im RPN-Modus können Sie einen Vektor in den Stack eingeben, indem Sie ein Klammernpaar öffnen und die Komponenten oder Elemente des Vektors entweder durch Komma (‚í) oder Leerzeichen (#) getrennt eingeben. Beachten Sie, dass nachdem Sie die Taste ` gedrückt haben, der Taschenrechner in beiden Fällen die Elemente des Vektors durch Leerzeichen getrennt anzeigt.
Eingabe von Vektoren mithilfe des MatrixWriters (MTRW) Vektoren können auch über den MatrixWriter „² eingegeben werden (dritte Taste vierte Reihe von oben). Dieser Befehl erzeugt eine Art Tabelle, welche den Reihen und Spalten einer Matrix entspricht (Details zur Anwendung und Benutzung des MatrixWriters werden in einem nachfolgenden Kapitel erörtert). Für einen Vektor möchten wir Daten nur in die oberste Reihe eingeben. Standardmäßig ist die Zelle in der ersten Zeile und ersten Spalte ausgewählt.
Die Taste ←@WID wird verwendet, um die Breite der Spalten in der Tabelle zu verringern. Drücken Sie die Taste mehrmals, um zu sehen, wie sich die Spaltenbreite im MatrixWriter verringert. Die Taste @WID→ wird verwendet, um die Breite der Spalten in der Tabelle zu vergrößern. Drücken Sie die Taste mehrmals, um zu sehen wie sich die Spaltenbreite in ihrem MatrixWriter vergrößert.
Die Taste @→STK@@ verschiebt den Inhalt der ausgewählten Zelle in den Stack. Wenn die Taste @GOTO@ gedrückt ist, wird der Anwender aufgefordert, die Zahl für die Zeile und Spalte, in der der Cursor positioniert werden soll, einzugeben. Wird die Taste L ein weiteres Mal gedrückt, erscheint das letzte Menü, welches nur noch die eine Funktion @@DEL@ (löschen) enthält. Die Funktion @@DEL@ löscht die Inhalte der ausgewählten Zelle und ersetzt diese mit einer Null.
Zusammenfassung der Verwendung des MatrixWriters zur Eingabe von Vektoren Zusammengefasst: Um einen Vektor mithilfe des MatrixWriters einzugeben, starten Sie diesen („²) und geben Sie die Elemente des Vektors ein, indem Sie nach jedem einzelnen Element die Taste ` drücken. Drücken Sie anschließend ``. Stellen Sie sicher, dass die Tasten @VEC und @GO→ @ ausgewählt sind.
Im RPN-Modus nimmt die Funktion [→ARRY] die Objekte aus den Stack-Ebenen n+1, n, n-1, …, bis hin zu Ebenen 3 und 2 und konvertiert diese in einen Vektor bestehend aus n Elementen. Das Objekt, das sich ursprünglich in Stack-Ebene n+1 befindet, wird so zum ersten Element, das Objekt aus Ebene n das zweite Element und so weiter. Anmerkung: Die Funktion ARRY kann auch über das Menü PRG/TYPE („°) aufgerufen werden.
Sie können auch kompliziertere Ausdrücke, in denen die Elemente von A vorkommen, erstellen. So können wir z. B. mithilfe des EquationWriters (‚O) die folgende Summenbildung der Elemente aus A eingeben: Markieren wir nun den gesamten Ausdruck und benutzen die Funktionstaste @EVAL@, erhalten wir das Ergebnis: -15. Anmerkung: Vektor A können wir auch als indexierte Variable bezeichnen, weil A nicht nur einen, sondern mehrere Werte, welche durch den Unterindex identifiziert werden, darstellt.
Im RPN-Modus können sie den Wert eines Elementes aus A ändern, indem Sie einen neuen Wert in diesem Element speichern. Wenn wir z. B. den Inhalt von A(3) von seinem derzeitigen Wert -3 auf 4,5 ändern möchten, gehen wir wie folgt vor: 4.5`³~a„Ü 3`K Um diese Änderung zu überprüfen, drücken wir: ‚@@@@A@@. Das Ergebnis sieht nun wie folgt aus: [-1 -2 4.5 -4 -5 ]. Anmerkung: Dieser Ansatz den Wert eines Elementes im Array zu ändern, ist im ALG-Modus nicht erlaubt.
Änderung des Vorzeichens Um das Vorzeichen eines Vektors zu ändern, benutzen Sie die Taste \, z. B. Addition, Subtraktion Bei der Addition und Subtraktion von Vektoren müssen die beiden Operanden die gleiche Länge haben: Ein Versuch Vektoren verschiedener Länge zu addieren oder zu subtrahieren, erzeugt eine Fehlermeldung (Invalid Dimension – ungültige Dimension), so z. B. v2+v3, u2+u3, A+v3, usw.
Sie den Namen der Funktion, gefolgt von den Argumenten des Vektors, ein. Zum Beispiel wird der Ausdruck BS([1,-2,6]), BS( ), BS(u3) in der Anzeige wie folgt aussehen: Das Menü MTH/VECTOR Das Menü MTH („´) enthält ein Menü mit speziellen Funktionen für Vektor-Objekte: Das Menü VECTOR enthält die folgenden Funktionen (System-Flag 117 ist auf CHOOSE boxes gesetzt): Betrag Der Betrag eines Vektors, wie zuvor beschrieben, kann mit der Funktion ABS ermittelt werden.
Skalarprodukt Die Funktion DOT wird zur Berechnung des Skalarproduktes zweier Vektoren der gleichen Länge verwendet. Einige Beispiele zur Anwendung der Funktion DOT, unter Verwendung der zuvor gespeicherten Vektoren A, u2, u3, v2, and v3, werden als Nächstes im ALG-Modus gezeigt.
Der Versuch ein Kreuzprodukt zweier Vektoren, deren Länge nicht 2 oder 3 ist, zu bilden wird eine Fehlermeldung erzeugen: (Invalid Dimension), z. B. CROSS(v3,A), usw. Zerlegen eines Vektors Zum Zerlegen eines Vektors in seine Elemente oder Komponenten wird die Funktion V verwendet. Wird diese im ALG-Modus benutzt, erzeugt V eine Liste mit den Elementen des Vektors, z. B. Wenn sie im RPN-Modus angewendet wird, listet die Funktion V die Elemente im Stack auf, z. B.
Erstellen eines dreidimensionalen Vektors Die Funktion V3 wird im RPN-Modus zur Erstellung eines Vektors mit den Werten in Stack-Ebene 1:, 2: und 3: verwendet. Ihre Anzeige wird, vor und nach Anwenden der Funktion V2, wie folgt aussehen: Änderung des Koordinatensystems Um das aktuelle Koordinatensystem in ein rechtwinkliges (Kartesisches), zylindrisches (Polares) oder sphärisches zu ändern, werden die Funktionen RECT, CYLIN und SPHERE verwendet.
eine Z-Komponente des Vektors eingeben. Dem Winkel θ muss das Winkelzeichen (∠) vorangesetzt sein, erzeugt mit den Tasten ~‚6. Nehmen wir z. B. an, dass wir einen Vektor r = 5, θ = 25o (DEG sollte als Winkelmaß ausgewählt sein) und z = 2,3 haben, können wir den Vektor wie folgt eingeben: „Ô5 ‚í ~‚6 25 ‚í 2.3 Bevor Sie ` drücken, sieht die Anzeige wie die links dargestellte Abbildung aus.
Wenn das CYLINdrical (zylindrische) System gewählt wurde, erscheint in der obersten Zeile des Displays ein Feld R∠Z und ein in zylindrischen Koordinaten eingegebener Vektor wird auch in seinen zylindrischen (Polar-) Koordinaten (r,θ,z) angezeigt. Um dies zu veranschaulichen, ändern wir das Koordinatensystem auf CYLINdrical (zylindrisch), um zu sehen wie der Vektor in der letzten Anzeige in seine zylindrischen (Polar-) Koordinaten umgerechnet wird.
(polare) Äquivalente (r,θ,z) geändert, wobei r = ρ sin φ, θ = θ und z = ρ cos ist. Nachfolgend sehen Sie ein Beispiel eines Vektors, der mit sphärischen Koordinaten eingegeben und in seine Polar-Koordinaten umgewandelt wurde.
Somit ist die Resultante R = F1+ F2 + F3 = (3i+8j-6k)N. Im RPN-Modus verwenden Sie: [3,5,2] ` [-2,3,-5] ` [2,0,3] ` + + Winkel zwischen Vektoren Der Winkel zwischen zwei Vektoren A, B, kann mithilfe der Formel θ =cos1 (A•B/|A||B|) ermittelt werden. Angenommen, Sie möchten den Winkel zwischen den Vektoren A = 3i-5j+6k und B = 2i+j-3k ermitteln, können Sie im ALG-Modus wie folgt vorgehen (Winkelmaß auf Grad eingestellt): 1 - Geben Sie die Vektoren ein: [3,-5,6], drücken Sie `, [2,1,-3] dann `.
Kraftmoment Das Moment das von einer Kraft F auf einen Punkt O ausgeübt wird, wird als Kreuzprodukt M = r×F bezeichnet, wobei r auch als Kraftarm bekannt ist und den Ortsvektor in Punkt O in Richtung des Anwendungspunktes der Kraft darstellt. Angenommen, eine Kraft F = (2i+5j-6k)N hat einen Kraftarm von r = (3i-5j+4k)m. Um das Moment, das diese Kraft auf den Arm ausübt, zu ermitteln, verwenden wir die Funktion CROSS, wie nachfolgend gezeigt: Somit ist M = (10i+26j+25k) m⋅N.
Gleichung einer Ebene im Raum Nehmen wir an, dass wir einen Punkt P0(x0,y0,z0) im Raum haben und einen Vektor N = Nxi+Nyj+Nzk senkrecht (normal) zu einer Ebene, welche den Punkt P0 enthält. Unser Problem ist es, die Gleichung für diese Ebene zu finden. Wir können einen Vektor mit dem Startpunkt P0 und dem Endpunkt P(x,y,z), ein willkürlicher Punkt auf dieser Ebene, erstellen.
Nun können wir die Funktion EXPAND (im ALG-Menü) verwenden, um den Ausdruck zu auszumultiplizieren: Somit lautet die Gleichung der Ebene durch den Punkt P0(2,3,-1) mit einem normalen Vektor von N = 4i+6j+2k wie folgt: 4x + 6y + 2z – 24 = 0. Im RPNModus verwenden Sie: [2,3,-1] ` ['x','y','z'] ` - [4,6,2] DOT EXP ND Zeilen- und Spaltenvektoren sowie Listen Alle in diesem Kapitel gezeigten Vektoren sind Zeilenvektoren. In einigen Fällen jedoch, ist es erforderlich, Spaltenvektoren zu erstellen (z. B.
In diesem Abschnitt zeigen wir Ihnen, wie Sie einen Spalten- in einen Zeilenvektor, einen Zeilen- in einen Spaltenvektor, eine Liste in einen Vektor und einen Vektor (oder Matrix) in eine Liste umwandeln können. Zunächst zeigen wir diese Umwandlungen im RPN-Modus. In diesem Modus verwenden wir die Funktionen OBJ , LIST, ARRY und DROP, um die Umwandlung durchzuführen. Um einen einfacheren Zugang zu diesen Funktionen zu bekommen, setzen wir das System-Flag 117 auf SOFT menus (siehe Kapitel 1).
Wenden wir nun die Funktion OBJ erneut an, wird die Liste {3.} in StackEbene 1 wie folgt zerlegt: Funktion LIST Diese Funktion wird zur Erstellung einer Liste eingesetzt, wenn die Elemente der Liste und die Länge oder Größe der Liste bekannt sind. Im RPN-Modus sollte die Listengröße, beispielsweise n, in Stack-Ebene 1 eingegeben werden. Die Elemente der Liste sollten in die Stack-Ebenen 2:, 3:,..., n+1: eingegeben werden. Um z. B.
Funktion DROP Diese Funktion hat die gleiche Wirkung wie die Löschtaste (ƒ). Umwandlung eines Zeilenvektors in einen Spaltenvektor Wir veranschaulichen die Umwandlung mit dem Vektor [1,2,3]. Geben Sie diesen Vektor in den RPN-Stack ein, um die Übung zu verfolgen.
Drücken Sie ‚@@RXC@@, um das in der Variablen RCX enthaltene Programm anzuzeigen: << OBJ 1 + RRY >> Diese Variable, @@RXC@@, kann nun zur direkten Umwandlung eines Zeilenvektors in einen Spaltenvektor verwendet werden. Geben Sie im RPN-Modus den Zeilenvektor ein, und drücken Sie anschließend @@RXC@@. Versuchen Sie z. B.: [1,2,3] ` @@RXC@@. Nachdem wir nun diese Variable definiert haben, können wir sie auch im ALGModus dazu verwenden, einen Zeilen- in einen Spaltenvektor umzuwandeln.
3 - Drücken Sie die Löschtaste ƒ (auch als Funktion DROP bekannt), um die Zahl aus Stack-Ebene 1 zu entfernen. 4 - Verwenden Sie die Funktion LIST, um eine Liste zu erzeugen. 5 - Verwenden Sie die Funktion ARRY, um den Zeilenvektor zu erzeugen.
Drücken Sie ‚@@CXR@@, um das in der Variablen CXR enthaltene Programm anzuzeigen: << OBJ OBJ DROP RRY >> Die Variable @@CXR@@ kann nun zur direkten Umwandlung eines Spaltenvektors in einen Zeilenvektor verwendet werden. Geben Sie im RPN-Modus den Zeilenvektor ein, und drücken Sie anschließend @@CXR@@. Versuchen Sie z. B.: [[1],[2],[3]] ` @@CXR@@. Nachdem wir nun die Variable @@CXR@@ definiert haben, können wir sie auch im ALG-Modus dazu verwenden, einen Zeilen- in einen Spaltenvektor umzuwandeln.
2 - geben Sie eine 1 ein und verwenden dann die Funktion LIST, um eine Liste in Stack-Ebene 1 zu erstellen. 3 - verwenden Sie die Funktion ARRY, um den Vektor zu erzeugen Wir können diese drei Schritte wie nachfolgend (im RPN-Modus) gezeigt in ein UserRPL-Programm eingeben: ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ @OBJ 1 ! LIST@ ! ARRY@ ` ³~~lxv ` K Eine neue Variable, @@LXV@@, wird nach Drücken der Taste J unter den Funktionstasten zur Verfügung stehen.
Einen Vektor oder eine Matrix in eine Liste umwandeln Im Taschenrechner wird die Funktion AXL zur Umwandlung eines Vektors in eine Liste bereitgestellt. Diese Funktion können Sie aus dem Befehls-Katalog wie folgt aufrufen: ‚N~~axl~@@OK@@ Als Beispiel wenden Sie im RPN-Modus die Funktion AXL auf den Vektor [1,2,3]an, unter Verwendung der Tastenfolge [1,2,3] ` XL. Die folgende Anzeige zeigt die Anwendung der Funktion AXL auf den gleichen Vektor im ALG-Modus.
Kapitel 10 Erstellen und Manipulieren von Matrizen In diesem Kapitel finden Sie Beispiele zur Erstellung von Matrizen im Taschenrechner und zur Veranschaulichung der Manipulation von Zellen einer Matrix. Definitionen Bei einer Matrix handelt es sich ganz einfach um ein rechtwinkliges Array von Objekten (d. h. Zahlen, algebraische Objekte), bestehend aus mehreren Zeilen und Spalten. Eine Matrix A mit n Zeilen und m Spalten enthält somit n×m Elemente.
⎧1, if i = j . 0 , if i ≠ j ⎩ δ ij = ⎨ Eingaben von Matrizen in den Stack In diesem Abschnitt werden zwei unterschiedliche Methoden zur Eingabe von Matrizen in den Stack des Taschenrechners gezeigt: (1) mithilfe des Matrix Editors und (2) durch direktes Eingeben der Matrix in den Stack. Verwendung des Matrix Editors Analog zu Vektoren, wie in Kapitel 9 beschrieben, können Matrizen mithilfe des Matrix Editors in den Stack eingegeben werden. Um z. B.
Bei ausgewähltem Textbook-Modus (über H@)DISP! und Textbook angekreuzt), wird die Matrix wie oben abgebildet angezeigt, andernfalls sieht sie folgendermaßen aus: Im RPN-Modus wird die Anzeige annähernd gleich dargestellt. Anmerkung: Der Matrix Writer wurde in Kapitel 9 ausführlich erklärt. Direktes Eingeben der Matrix in den Stack Dasselbe Ergebnis wie oben wird erzielt, wenn nachfolgende Zeilen direkt in den Stack eingeben werden: „Ô „Ô 2.5\ ‚í 4.2 ‚í 2 ™ ‚í „Ô .3 ‚í 1.9 ‚í 2.8 ™ ‚í „Ô 2 ‚í .1\ ‚í .
Speichern Sie diese Matrix nun für spätere Übungen unter dem Namen A. Verwenden Sie hierzu im ALG-Modus K~a und im RPN-Modus ³~a K.
Das Untermenü MATRICES/CREATE (der Einfachheit halber als Menü CREATE bezeichnet) enthält die folgenden Funktionen: Wenn Sie die Menüs (MAKE und CREATE) näher betrachten, werden Sie feststellen, dass beide die gleichen Funktion enthalten (GET, GETI, PUT, PUTI, SUB, REPL, RDM, RANM, HILBERT, VANDERMONDE, IDN, CON, →DIAG und DIAG→). Im Menü CREATE finden Sie die Untermenüs COLUMN (Spalte) und ROW (Zeile), welche Sie jedoch auch im Menü MTH/MATRIX finden.
Ist System-Flag 117 auf SOFT menus eingestellt, können die Funktionen des Menüs CREATE über „Ø)@CREAT ausgewählt werden und werden wie folgt dargestellt: In den nächsten Abschnitten wird die Anwendung der Matrix-Funktionen in den Menüs MAKE und CREATE vorgestellt. Funktionen GET und PUT Die Funktionsweise von GET, GETI, PUT und PUTI für Matrizen ist mit derjenigen für Listen oder Vektoren vergleichbar, d. h., Sie müssen die Position der Elemente, welche Sie mit GET oder PUT verwenden möchten, angeben.
Nehmen wir an, es soll der Wert ‘π’ in Zelle a31 der Matrix eingegeben werden. Dazu wird die Funktion PUT verwendet, z. B: Im RPN-Modus kann die gleiche Operation auf folgende Weise durchgeführt werden: J @@@A@@@ {3,1} ` „ì PUT. Alternativ kann im RPN-Modus auch Nachfolgendes eingegeben werden: „ì³ (2,3) ` K. Um den Inhalt der Variablen A anzuzeigen, drücken Sie @@@A@@@.
In diesem Fall wurde die 2 in Position {3 1} ersetzt, d. h. jetziger Wert A(3,1) = 2 und die Indexliste um 1 (Spalte zuerst- d. h. von {3,1} auf {3,2}) erhöht. Die Matrix befindet sich in Ebene 2 und die um einen Schritt erhöhte Indexliste in Ebene 1 des Stacks. Funktion SIZE Die Funktion SIZE stellt eine Liste bereit, in welcher die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix in Stack-Ebene 1 angezeigt wird.
Im RPN-Modus wird die Transkonjugierte einer Matrix A über @@@A@@@ TRN ermittelt. Anmerkung: Im Taschenrechner steht die Funktion TRAN auch im Untermenü MATRICES/OPERATIONS zur Verfügung: Z. B. im ALG-Modus: Funktion CON Die Argumente der Funktion sind eine Liste mit zwei Elementen, diese stellen die Anzahl der Zeilen und Spalten der zu erzeugenden Matrix dar, und ein konstanter Wert. Die Funktion CON erstellt eine Matrix mit konstanten Elementen. So erzeugt z. B.
Funktion IDN Die Funktion IDN (IDeNtity matrix) erstellt eine Einheitsmatrix von vorgegebener Größe. Beachten Sie, dass es sich bei einer Einheitsmatrix um eine quadratische Matrix handeln muss. Es wird daher nur ein Wert benötigt, um diese vollständig zu beschreiben. Um z. B. eine Identitätsmatrix von 4×4 im ALG-Modus zu erstellen, verwenden Sie: Sie können jedoch ebenso eine bestehende quadratische Matrix als Argument der Funktion IDN verwenden, z. B.
Umdimensionieren eines Vektors in eine Matrix Das nachfolgende Beispiel veranschaulicht, wie im ALG-Modus ein Vektor aus 6 Elementen in eine Matrix von 2 Zeilen und 3 Spalten umdimensioniert wird: Um die obige Matrix im RPN-Modus zu erstellen, kann die Tastenfolge [1,2,3,4,5,6] ` {2,3} ` RDM verwendet werden.
Im RPN-Modus verwenden Sie {6} ` RDM, vorausgesetzt, die Matrix befindet sich bereits im Stack. Anmerkung: Die Funktion RDM stellt einen direkteren und effizienteren Weg zur Umwandlung von Listen in Arrays und umgekehrt dar, als der am Ende von Kapitel 9 beschriebene. Funktion RANM Die Funktion RANM (RANdom Matrix) erstellt eine Matrix mit zufällig erzeugten ganzzahligen Elementen für eine vorgegebene Liste mit der Anzahl der Zeilen und Spalten (den Dimensionen der Matrix). So werden z. B.
Im RPN-Modus verwenden wir, vorausgesetzt, die ursprüngliche Matrix 2×3 befindet sich bereits im Stack {1,2} ` {2,3} ` SUB. Funktion REPL Die Funktion REPL ersetzt eine Untermatrix oder fügt sie in eine größere Matrix ein. Die Eingabe für diese Funktion ist die Matrix, in welcher der Austausch erfolgen soll, die Position an welcher dieser Austausch zu erfolgen hat und die einzufügende Matrix.
Funktion →DIAG Die Funktion →DIAG nimmt die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix mit den Dimensionen n×n und erstellt einen Vektor mit der Dimension n, der die Elemente der Hauptdiagonalen enthält. So können wir z. B. für die Matrix, die uns aus vorangegangenem Beispiel bleibt, die Hauptdiagonale wie folgt extrahieren: Im RPN-Modus müssen wir, wenn sich die 3×3-Matrix im Stack befindet, einfach nur die Funktion DI G starten, um das gleiche Ergebnis wie oben zu erzielen.
In diesem Fall soll eine 3×2 Matrix, mit so vielen Elementen des Vektors [1,2,3,4,5] wie möglich als Hauptdiagonalelemente erzeugt werden. Die Hauptdiagonale für eine rechtwinklige Matrix beginnt in Position (1,1) und bewegt sich weiter zu (2,2), (3,3) usw. bis entweder die Anzahl der Zeilen oder der Spalten erschöpft ist. In diesem Fall wurde die Anzahl der Spalten (2) vor der Anzahl der Zeilen (3) aufgebraucht, sodass die Hauptdiagonale nur die Elemente in den Positionen (1,1) und (2,2) enthält.
Funktion HILBERT Die Funktion HILBERT erstellt die Hilbert-Matrix für eine Dimension n. Die n×n Hilbert-Matrix Hn = [hjk]n×n, verhält sich – nach Definition wie folgt: h jk = 1 j + k −1 Die Hilbert-Matrix wird zur numerischen Anpassung von Kurven durch die lineare Quadrat-Methode verwendet. Programm zur Erstellung einer Matrix aus einer Anzahl von Listen In diesem Abschnitt stellen wir einige UserRPL-Programme zur Erstellung einer Matrix aus einer Anzahl von Listen von Objekten zur Verfügung.
1„°@)STACK! @SWAP „°@)BRCH! @)FOR@! @FOR@ ~„j „°@)TYPE OBJ ARRY@ „°@)BRCH! @)@IF@@ @@IF@@ ~ „j# ~ „n „°@)TEST! @@@<@@@ „°@)BRCH! @)@IF@ @THEN ~ „j #1+ „°@)STACK! L@ROLL „°@)BRCH! @)@IF@ @END „°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT „°@)BRCH! @)@IF@ @@IF@@ ~ „n #1 „°@)TEST! @@@>@@@ „°@)BRCH! @@IF@ @THEN 1# ~ „n #1„°@)BRCH! @)FOR@! @FOR@ ~ „j # ~ „j #1+ „°@)STACK! L@ROLL! „°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT! „°@)BRCH! )@@IF@! @END@ ~„n # „´@)MATRX! @)COL! @COL! ` Zum Sichern des Programms 1 SWAP FOR j OBJ ARRY IF j n < THEN j1 +
« DUP → n « 1 SW P FOR j OBJ→ → RRY IF j n < THEN j 1 + ROLL END NEXT IF n 1 > THEN 1 n 1 - FOR j j 1 + ROLL NEXT END n COL→ » » Um dieses Programm im RPN-Modus zu verwenden, geben Sie die n Listen in der Reihenfolge, in welcher diese als Spalten der Matrix dargestellt werden sollen, ein, tragen Sie dann den Wert n ein und drücken Sie @CRMC.
‚@CRMC ˜‚˜—ššš ƒƒƒ ~~row~` Das Programm CRMC im Stack anzeigen Ans Ende des Programms gehen Löschen von COL ROW eintippen, Programm eingeben Zum Speichern des Programms verwenden Sie: ³~~crmr~ K {1,2,3,4} ` {1,4,9,16} ` {1,8,27,64} ` 3 ` @CRMR Ihre Anzeige wird im RPN-Stack wie folgt aussehen – vor und nach Anwendung des Programms @CRMR: Diese Programme werden hauptsächlich bei statistischen Anwendungen verwendet, im Speziellen jedoch bei der Erstellung der Statistik-Matrix ΣDAT.
Beide Ansätze weisen die gleichen Funktionen auf: Ist das System-Flag 117 auf SOFT menus gesetzt, kann das Menü COL entweder über „´!)MATRX !)@@COL@ oder über „Ø!)@CREAT@ !)@@COL@ aufgerufen werden. Beide Ansätze zeigen dieselben Funktionen an: Die Anwendung dieser Funktionen wird nachfolgend dargestellt. Funktion →COL Die Funktion →COL nimmt als Argument eine Matrix und zerlegt diese in Vektoren, entsprechend ihrer Spalten. Nachfolgend wird eine Anwendung der Funktion COL im ALG-Modus gezeigt.
Im RPN-Modus müssen Sie die Matrix zuerst in den Stack laden, und dann erst die Funktion COL starten, d. h. @@@A@@@ COL. Nachfolgende Abbildungen zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion COL. In diesem Ergebnis befindet sich die erste Spalte nach der Zerlegung in der obersten Stack-Ebene, während in Stack-Ebene 1 die Anzahl der Spalten der ursprünglichen Matrix zu finden ist. Die Matrix bleibt bei der Zerlegung nicht erhalten, d. h. sie ist im Stack nicht mehr verfügbar.
Funktion COL+ Die Funktion COL+ nimmt als Argumente eine Matrix, einen Vektor der gleichen Länge wie die Anzahl der Zeilen in der Matrix und eine Ganzzahl n, die die Position einer Spalte darstellt. Die Funktion COL+ fügt den Vektor in Spalte n der Matrix ein. Als Beispiel setzen wir im ALG-Modus die zweite Spalte in Matrix A mithilfe des Vektors [-1,-2,-3] ein, d. h. Im RPN-Modus geben wir zuerst die Matrix ein, dann den Vektor und die Nummer der Spalte, bevor wir die Funktion COL+ anwenden.
Funktion CSWP Die Funktion CSWP (Column SWaP – Austauschen von Spalten) verwendet als Argumente zwei Indizes, beispielsweise i und j, (welche zwei unterschiedliche Spalten in der Matrix darstellen) und eine Matrix und erstellt daraus eine neue Matrix mit den Spalten i und j vertauscht. Das nachfolgende Beispiel im ALGModus zeigt die Anwendung dieser Funktion. Als Beispiel nehmen wir die in der Variablen A gespeicherte Matrix. Zuerst wird diese Matrix aufgelistet.
Oder es wird über das Untermenü MATRICES/CREATE/ROW aufgerufen: Beide Ansätze weisen die gleichen Funktionen auf: Ist das System-Flag 117 auf SOFT menus gesetzt, kann das Menü ROW entweder über „´!)MATRX !)@@ROW@ oder über „Ø!)@CREAT@ !)@@ROW@ aufgerufen werden. Beide Ansätze weisen dieselben Funktionen auf: Die Anwendung dieser Funktionen wird nachfolgend dargestellt. Funktion →ROW Die Funktion →ROW nimmt als Argument eine Matrix und zerlegt diese zeilenweise in Vektoren.
linken Abbildung zu sehen: Die rechte Abbildung zeigt die in Zeilen zerlegte Matrix. Verwenden Sie den Zeileneditor, um das gesamte Ergebnis anzuzeigen (aufgerufen mit der Taste ˜). Im RPN-Modus müssen Sie die Matrix zuerst in den Stack laden, und dann erst die Funktion ROW starten, d. h. @@@A@@@ ROW. Die folgenden Abbildungen zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion ROW.
Funktion ROW die Vektoren als Zeilen in die Matrix einfügen. Die nachfolgende Abbildung zeigt den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion ROW . Funktion ROW+ Die Funktion ROW+ nimmt als Argument eine Matrix, einen Vektor der gleichen Länge wie die Anzahl der Zeilen in der Matrix und eine Integer-Zahl n, die die Position einer Zeile darstellt. Die Funktion ROW+ fügt den Vektor in Zeile n der Matrix ein.
Im RPN-Modus laden Sie die Matrix erst in den Stack, dann geben Sie die Zahl, die eine Zeile der Matrix darstellt, vor Anwendung der Funktion ROW- ein. Die nachfolgende Abbildung zeigt den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion ROW-.
gespeicherte Matrix, multipliziert den konstanten Wert 5 mit der Zeile Nr. 3 und ersetzt diese Zeile mit dem Ergebnis der Multiplikation. Die gleiche Übung wird in nachfolgender Abbildung im RPN-Modus angezeigt. Die linke Abbildung zeigt die Erstellung der Matrix, den Faktor und die Anzahl der Zeilen in den Stack-Ebene 3, 2 und 1. Die rechte Abbildung zeigt die resultierende Matrix, nachdem die Funktion RCI angewendet wurde.
Stack vor und nachdem die Funktion RCIJ, unter denselben Bedingungen, wie in dem Beispiel im ALG-Modus vorhin gezeigt, angewendet wurde: Seite 10-29
Kapitel 11! Matrix-Operationen und lineare Algebra In Kapitel 10 führten wir das Konzept der Matrix ein und stellten mehrere Funktionen zum Eingeben, Erstellen und Bearbeiten von Matrizen vor. In diesem Kapitel präsentieren wir Beispiele für Matrix-Operationen und -Anwendungen in Bezug auf Probleme der linearen Algebra. Operationen mit Matrizen Matrizen können wie andere mathematische Objekte addiert und subtrahiert werden. Sie können mit einem Skalar oder auch miteinander multipliziert werden.
Im RPN-Modus {2,2}` R {2,3}` R {3,2}` R {3,3}` R lauten die Schritte NM 'A22'K NM 'A23'K NM 'A32'K NM 'A33'K wie folgt: {2,2}` {2,3}` {3,2}` {3,3}` R R R R NM NM NM NM 'B22'K 'B23'K 'B32'K 'B33'K Addition und Subtraktion Gegeben seien zwei Matrizen A = [aij]m×n und B = [bij]m×n. Diese beiden Matrizen können nur addiert bzw. subtrahiert werden, wenn die Anzahl ihrer Zeilen und Spalten übereinstimmt. Die resultierende Matrix C = A ± B = [cij]m×n besitzt die Elemente cij = aij ± bij.
Multiplikation mit einem Skalar Durch Multiplikation der Matrix A = [aij]m×n mit einem Skalar ergibt sich die Matrix C = kA = [cij]m×n = [kaij]m×n. Die Negative einer Matrix wird durch die Operation -A =(-1)A = [-aij] m×n definiert. Unten sind einige Beispiele für die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar dargestellt. Durch die Kombination von Addition und Subtraktion mit der Skalarmultiplikation können wir Linearkombinationen von Matrizen derselben Dimension bilden, z. B.
erfolgt nach den im nächsten Abschnitt dargestellten Regeln der MatrixMultiplikation. Es folgen mehrere Beispiele für die Matrix-Vektor-Multiplikation: Die Vektor-Matrix-Multiplikation ist hingegen nicht definiert. Diese Multiplikation kann jedoch als spezieller Fall der im Folgenden definierten MatrixMultiplikation ausgeführt werden. Matrix-Multiplikation Die Matrix-Multiplikation ist durch Cm×n = Am×p⋅ Bp×n, definiert, wobei A = [aij]m×p, B = [bij]p×n und C = [cij]m×n.
!!! Die im vorherigen Abschnitt vorgestellte Matrix-Vektor-Multiplikation kann als Produkt einer m×n-Matrix mit einer n×1-Matrix (d. h. einem Spaltenvektor) gedacht werden, der eine m×1-Matrix (also einen anderen Vektor) ergibt. Überprüfen Sie die im vorherigen Abschnitt dargestellten Beispiele, um diese Aussage zu verifizieren. Aus diesem Grund sind die in Kapitel 9 definierten Vektoren für den Zweck der Matrixmultiplikation hauptsächlich Spaltenvektoren.
Potenzieren einer Matrix mit einer reellen Zahl Sie können eine Matrix mit einer beliebigen Zahl potenzieren, solange diese reell ist. Das folgende Beispiel zeigt das Ergebnis, wenn die zuvor angelegte Matrix B22 mit 5 potenziert wird: Sie können eine Matrix auch mit einer Zahl potenzieren, ohne sie zuvor als Variable zu speichern: Im algebraischen Modus lautet die Eingabe: [Matrix eingeben oder wählen] Q [Potenz eingeben] `.
Die Einheitsmatrix In Kapitel 9 wird die Einheitsmatrix als Matrix I = [δij]n×n vorgestellt, wobei δij die Kronecker-Deltafunktion darstellt. Einheitsmatrizen können durch Verwendung der in Kapitel 9 beschriebenen Funktion IDN erzeugt werden. Für die Einheitsmatrix gilt: A⋅I = I⋅A = A.
Beschreiben einer Matrix (Das Matrixmenü NORM) Das Matrixmenü NORM (NORMALIZE) wird mit der Tastenkombination „´ aufgerufen (Systemflag 117 ist auf CHOOSE boxes gesetzt): Das Menü enthält die folgenden Funktionen: Diese Funktionen werden im Folgenden beschrieben. Da viele dieser Funktionen Konzepte der Matrixtheorie, z. B. Singulärwerte, Rang usw., verwenden, enthalten die Beschreibungen der Funktionen kurze Darstellungen dieser Konzepte.
Funktion SNRM Mit der Funktion SNRM wird die Spektralnorm einer Matrix berechnet, die als der größte Singulärwert der Matrix definiert ist und auch als euklidische Norm der Matrix bezeichnet wird. Beispiel: Singulärwertzerlegung Zum Verständnis der Funktion SNRM müssen wir das Konzept der Matrixzerlegung erläutern.
Funktionen RNRM und CNRM Die Funktion RNRM gibt die Zeilennorm einer Matrix und die Funktion CNRM die Spaltennorm einer Matrix zurück. Beispiele: Zeilennnorm und Spaltennorm einer Matrix Die Zeilennorm einer Matrix wird berechnet, indem die Summen der absoluten Werte aller Elemente in jeder Zeile gebildet werden und anschließend der Höchstwert dieser Summen ausgewählt wird.
Funktion COND Mit der Funktion COND wird die Konditionszahl einer Matrix bestimmt. Beispiele: Konditionszahl einer Matrix Die Konditionszahl einer quadratischen nichtsingulären Matrix ist als das Produkt der Matrixnorm und der Norm ihrer Inversen definiert, d. h. cond(A) = ||A||×||A-1||. Wir wählen als Matrixnorm ||A|| den Höchstwert ihrer Zeilennorm (RNRM) und ihrer Spaltennorm (CNRM), während als Norm ihrer Inversen ||A-1|| der Mindestwert ihrer Zeilennorm und Spaltennorm gewählt wird.
CNRM(INV(A33)) = 0.261044... Die Konditionszahl wird somit als CNRM(A33)*CNRM(INV(A33)) = COND(A33) = 6.7871485… berechnet. Funktion RANK Mit der Funktion RANK wird der Rang einer quadratischen Matrix bestimmt. Testen Sie folgende Beispiele: Rang einer Matrix Der Rang einer quadratischen Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten der Matrix.
Der Rang ist 2. Der Grund hierfür ist, dass die zweite Zeile [2,4,6] gleich dem Produkt der ersten Zeile [1,2,3] mit 2 ist. Somit ist Zeile zwei von Zeile 1 linear abhängig und die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen ist 2. Sie können überprüfen, ob die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen 3 ist. Der Rang, die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Zeilen, ist in diesem Fall 2. Funktion DET Mit der Funktion DET wird die Determinante einer quadratischen Matrix berechnet.
Determinante einer Matrix Die Determinanten einer 2x2- und einer 3x3-Matrix werden durch dieselbe Anordnung dargestellt, wie die Elemente der Matrizen, jedoch zwischen vertikalen Linien, also a11 a12 a 21 a 22 , a11 a12 a13 a 21 a31 a 22 a32 a 23 a33 Eine 2×2-Determinante wird berechnet, indem die Elemente auf ihrer Diagonalen multipliziert und diese Produkte mit positivem bzw. negativem Vorzeichen addiert werden, wie im Diagramm unten dargestellt.
Determinanten für quadratische Matrizen höherer Ordnung können mithilfe von Determinanten niedrigerer Ordnung, die als Kofaktor bezeichnet werden, berechnet werden. Hierbei wird die Determinante einer n×n-Matrix (auch als n×n-Determinante bezeichnet) zu einer Summe der Kofaktoren „erweitert“, bei denen es sich um (n-1)×(n-1) Determinanten handelt, multipliziert mit den Elementen einer einzelnen Zeile oder Spalte, wobei die Vorzeichen abwechselnd positiv und negativ sind.
n tr (A) = ∑ aii . i =1 Beispiele: Funktion TRAN Die Funktion TRAN gibt die Transponierte einer reellen Matrix oder die konjugierte Transponierte einer komplexen Matrix zurück. TRAN ist mit TRN äquivalent. Die Funktion TRN wurde in Kapitel 10 erläutert.
Die Funktionen ABS, CNRM, COND, DET, RANK, RNRM, SNRM, TRACE und TRAN sind auch im Menü MTH/MATRIX/NORM (das Thema des vorherigen Abschnitts) verfügbar. Die Funktion SIZE wurde in Kapitel 10 dargestellt. Die Funktion HADAMARD wurde bereits im Zusammenhang mit der MatrixMultiplikation vorgestellt. Die Funktionen LSQ, MAD und RSD werden bei der Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet und in einem späteren Abschnitt dieses Kapitels dargestellt.
und j. Die Zahlen n und m sowie das Programm belegen jeweils Ebene 3, 2 bzw. 1 des Stacks. Die Funktion LCXM kann über den Befehlskatalog ‚N aufgerufen werden. Um beispielsweise eine 2´ 3-Matrix zu erzeugen, deren Elemente durch aij = (i+j)2 gegeben sind, speichern Sie zunächst im RPN-Modus das folgende Programm in der Variablen P1.
Lösung linearer Gleichungssysteme Ein System von n linearen Gleichungen mit m Variablen kann folgendermaßen beschrieben werden: a11⋅x1 + a12⋅x2 + a13⋅x3 + …+ a21⋅x1 + a22⋅x2 + a23⋅x3 + …+ a31⋅x1 + a32⋅x2 + a33⋅x3 + …+ . . . … . . . … an-1,1⋅x1 + an-1,2⋅x2 + an-1,3⋅x3 + …+ an1⋅x1 + an2⋅x2 + an3⋅x3 + …+ a1,m-1⋅x m-1 + a1,m⋅x m = b1, a2,m-1⋅x m-1 + a2,m⋅x m = b2, a3,m-1⋅x m-1 + a3,m⋅x m = b3, . . . . . . an-1,m-1⋅x m-1 + an-1,m⋅x m = bn-1, an,m-1⋅x m-1 + an,m⋅x m = bn.
Um das lineare Gleichungssystem A⋅x = b zu lösen, geben Sie die Matrix A im Format [[ a11, a12, … ], … [….]] in das Feld A: ein. Geben Sie außerdem den Vektor b in das Feld B: ein. Wenn das Feld X: markiert ist, drücken Sie [SOLVE]. Ist eine Lösung verfügbar, wird im Feld X: der Lösungsvektor x angezeigt. Die Lösung wird außerdem in Ebene 1 des Stacks kopiert. Es folgen einige Beispiele.
Drücken Sie ˜, um das Feld B: auszuwählen. Vektor b kann mit einfachen Klammern als Zeilenvektor eingegeben werden, d. h. [13,-13,-6] @@@OK@@@. Nachdem wir Matrix A und Vektor b eingegeben haben und das Feld X: markiert ist, können wir @SOLVE! drücken, um eine Lösung für dieses Gleichungssystem zu bestimmen: Die Lösung wird unten dargestellt. Um die Lösung im Stack anzuzeigen, drücken Sie `. Die Lösung lautet x = [1,2,-1].
Unterbestimmtes Gleichungssystem Das lineare Gleichungssystem 2x1 + 3x2 – 5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, kann als Matrixgleichung A⋅x = b beschrieben werden, wenn ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 3 − 5⎤ A=⎢ , x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥, und ⎥ ⎣1 − 3 8 ⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎡− 10⎤ b=⎢ ⎥. ⎣ 85 ⎦ Dieses Gleichungssystem verfügt über mehr Unbekannte als Gleichungen und ist daher nicht eindeutig bestimmt.
Um ggf. Details des Lösungsvektors anzuzeigen, drücken Sie die Taste @EDIT!. Hierdurch wird der MatrixWriter aktiviert. Verwenden Sie im MatrixWriter die rechte bzw. linke Pfeiltaste, um innerhalb des Vektors zu navigieren, z. B. Die Lösung lautet somit x = [15,373 2,4626 9,6268]. Um zum numerischen Gleichungslöser zurückzukehren, drücken Sie `. Das im Folgenden beschriebene Verfahren kann zum Kopieren von Matrix A und Lösungsvektor X in den Stack verwendet werden.
Speichern Sie nun das letzte Ergebnis in einer Variablen X und die Matrix in einer Variablen A: Drücken Sie K~x`, um den Lösungsvektor in der Variablen X zu speichern. Drücken Sie ƒ ƒ ƒ, um drei Ebenen des Stacks zu leeren. Drücken Sie K~a`, um die Matrix in der Variablen A zu speichern. Überprüfen Sie nun die Lösung, indem Sie @@@A@@@ * @@@X@@@ ` drücken. Dies ergibt folgendes Ergebnis (drücken Sie ˜, um die Vektorelemente anzuzeigen): [-9,99999999992 85].
Überbestimmtes Gleichungssystem Das lineare Gleichungssystem x1 + 3x2 = 15, 2x1 – 5x2 = 5, -x1 + x2 = 22, kann als Matrixgleichung A⋅x = b beschrieben werden, wenn 3⎤ ⎡1 ⎡x ⎤ ⎢ A = ⎢ 2 − 5⎥⎥, x = ⎢ 1 ⎥, und ⎣ x2 ⎦ ⎢⎣− 1 1 ⎥⎦ ⎡15 ⎤ b = ⎢⎢ 5 ⎥⎥. ⎢⎣22⎥⎦ Dieses System verfügt über mehr Gleichungen als Unbekannte (überbestimmtes Gleichungssystem). Für das System gibt es keine einzelne Lösung.
Drücken Sie `, um zum numerischen Gleichungslöser zurückzukehren. Um die Richtigkeit der Lösung zu überprüfen, gehen Sie folgendermaßen vor: • • • • • • Drücken Sie ——, um das Feld A: zu markieren. Drücken Sie L @CALC@ `, um Matrix A in den Stack zu kopieren. Drücken Sie @@@OK@@@ , um zum numerischen Gleichungslöser zurückzukehren. Drücken Sie ˜ ˜@CALC@ `, um den Lösungsvektor X in den Stack zu kopieren. Drücken Sie @@@OK@@@ , um zum numerischen Gleichungslöser zurückzukehren.
unterscheidet sich von [15 5 22], dem ursprünglichen Vektor b. Bei der „Lösung“ handelt es sich einfach um den Punkt mit der geringsten Entfernung zu den drei durch die Gleichungen des Systems dargestellten Linien und nicht um eine exakte Lösung.
Die mit LSQ ermittelte Lösung wird unten dargestellt: Unterbestimmtes Gleichungssystem Gegeben sei das System 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, ⎡ x1 ⎤ ⎡2 3 − 5⎤ A=⎢ , x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥, und ⎥ ⎣1 − 3 8 ⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎡− 10⎤ b=⎢ ⎥.
3⎤ ⎡1 ⎡x ⎤ ⎢ A = ⎢ 2 − 5⎥⎥, x = ⎢ 1 ⎥, und ⎣ x2 ⎦ ⎣⎢− 1 1 ⎥⎦ Die mit LSQ ermittelte Lösung wird unten dargestellt: ⎡15 ⎤ b = ⎢⎢ 5 ⎥⎥. ⎣⎢22⎦⎥ Vergleichen Sie diese drei Lösungen mit den Lösungen, die mit dem numerischen Gleichungslöser berechnet wurden. Lösung mithilfe der inversen Matrix Die Lösung des Gleichungssystems A⋅x = b, wobei A eine quadratische Matrix ist, lautet x = A-1⋅b. Dieses Ergebnis entsteht durch Multiplikation der ersten Gleichung mit A-1, also A-1⋅A⋅x = A-1⋅b.
Diese ist mit dem zuvor ermittelten Ergebnis identisch. Lösung durch „Division“ von Matrizen Obwohl die Division für Matrizen nicht definiert ist, können wir mithilfe der Taste / des Taschenrechners Vektor b durch Matrix A „dividieren“, um in der Matrixgleichung A⋅x = b eine Lösung für x zu finden. Es handelt sich hier um eine willkürliche Erweiterung der algebraischen Division von Matrizen, d. h., aufgrund von A⋅x = b wagen wir zu schreiben x = b/A (Mathematiker würden schaudern!).
Es handelt sich um dieselbe Lösung, die oben mit der inversen Matrix ermittelt wurde. Lösen mehrerer Gruppen von Gleichungen mit derselben Koeffizientenmatrix Angenommen Sie möchten die folgenden drei Gruppen von Gleichungen lösen: X + 2Y + 3Z = 14, 2X + 4Y + 6Z = 9, 2X + 4Y + 6Z = -2, 3X - 2Y + Z = 2, 3X - 2Y + Z = -5, 3X - 2Y + Z = 2, 4X + 2Y - Z = 5, 4X + 2Y - Z = 19, 4X + 2Y -Z = 12.
Gauß- und Gauß-Jordan-Elimination Bei der Gauß-Elimination wird eine quadratische Koeffizientenmatrix, die zu einem System mit n linearen Gleichungen und n Unbekannten gehört, über mehrere Zeilenoperationen zu einer oberen Dreiecksmatrix (Treppenform) reduziert. Dieses Verfahren wird als Vorwärtssubstitution bezeichnet.
Anschließend ersetzen wir die zweite Gleichung E2 durch (Gleichung 23×Gleichung 1, also E1-3×E2) und die dritte Gleichung durch (Gleichung 34×Gleichung 1) und erhalten Dann dividieren wir die zweite Gleichung durch -8 und erhalten: Anschließend ersetzen wir die dritte Gleichung E3 durch (Gleichung 3+6×Gleichung 2, also E2+6×E3) und erhalten: Beachten Sie, dass der Taschenrechner beim Ausführen einer Linearkombination von Gleichungen das Ergebnis in einen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung ändert
begonnen und der Vorgang mit den jeweils oberen Gleichungen fortgesetzt wird. Wir ermitteln daher zuerst Z: Dann setzen wir in Gleichung 2 (E2) für Z=2 ein und ermitteln Y in E2: Anschließend setzen wir in E1 für Z=2 und für Y=1 ein und ermitteln X in E1: Die Lösung lautet somit X = -1, Y = 1, Z = 2.
Um mithilfe der Gauß-Elimination eine Lösung für die Matrix des Gleichungssystems zu erhalten, erstellen wir zunächst eine A entsprechende, so genannte erweiterte Matrix, also A aug ⎛2 4 6 14 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 − 2 1 − 3⎟ ⎜ 4 2 −1 − 4⎟ ⎝ ⎠ Bei Matrix Aaug handelt es sich um die ursprüngliche Matrix A mit einer neuen Spalte, die die Elemente von Vektor b enthält und rechts von der äußersten rechten Spalte von A eingefügt (d. h. erweitert) wird.
Multiplizieren Sie Zeile 2 mit -1/8: 8\Y2 @RCI! Multiplizieren Sie Zeile 2 mit 6, und addieren Sie sie zu Zeile 3 hinzu, dabei wird diese ersetzet: 6#2#3 @RCIJ! Wenn Sie diese Operationen manuell durchführen würden, müssten Sie folgendermaßen vorgehen: A aug A aug ⎛2 4 6 14 ⎞ ⎛ 1 2 3 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 − 2 1 − 3⎟ ≅ ⎜ 3 − 2 1 − 3⎟ ⎜ 4 2 −1 − 4⎟ ⎜ 4 2 −1 − 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2 3 7 ⎞ ⎛1 2 3 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≅ ⎜ 0 − 8 − 8 − 24 ⎟ ≅ ⎜ 0 1 1 3 ⎟ ⎜ 0 − 6 − 13 − 32 ⎟ ⎜ 0 − 6 − 13 − 32 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A aug ⎛1 2 3 7 ⎞ ⎜ ⎟ ≅ ⎜0 1
Gauß-Jordan-Elimination mit Matrizen Bei der Gauß-Jordan-Elimination werden die Zeilenoperationen in der aus der Vorwärtssubstitution resultierenden oberen Dreiecksmatrix solange fortgesetzt, bis anstelle der ursprünglichen Matrix A eine Einheitsmatrix gebildet wurde.
Wert in einer Spalte zu verwenden. In diesen Fällen vertauschen wir Zeilen vor der Anwendung der Zeilenoperationen. Dieses Vertauschen von Zeilen wird als Teilpivotisierung bezeichnet. Zum Befolgen dieser Empfehlung müssen häufig Zeilen in der erweiterten Matrix vertauscht werden, wenn eine Gauß- oder Gauß-Jordan-Elimination durchgeführt wird.
A aug ⎡1 2 3 2 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎢ ⎥ = ⎢2 0 3 − 1⎥, P = ⎢⎢0 1 0⎥⎥. ⎣⎢8 16 − 1 41⎥⎦ ⎣⎢0 0 1⎥⎦ Speichern Sie die erweiterte Matrix in der Variablen AAUG, und drücken Sie dann ‚@AAUG, um die erweiterte Matrix in den Stack zu kopieren. Wir möchten, dass der Befehl CSWP (Spalten vertauschen) verfügbar bleibt, für den wir Folgendes eingeben: ‚N~~cs~ (CSWP suchen), @@OK@@. Sie erhalten eine Fehlermeldung. Drücken Sie $, und ignorieren Sie die Meldung.
Der größte mögliche Wert befindet sich jetzt an Position (1,1), d. h., wir haben an Position (1,1) eine Totalpivotisierung durchgeführt. Anschließend dividieren wir durch das Pivot-Element: 16Y1L @RCI@.
Nun können wir Spalte 2 durch das Pivot-Element 25/8 dividieren, indem wir ³8/25™#2 L @RCI eingeben. 1 0 0 -1/16 1/2 1 0 3 2 41/16 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Anschließend entfernen wir die 3 aus Position (3,2) durch folgende Eingabe: 3\#2#3@RCIJ 1 0 0 -1/16 1/2 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 41/16 -1 2 0 1 0 Nachdem wir die Stellen unter dem Pivot-Element mit Nullen aufgefüllt haben, überprüfen wir das Pivot-Element an Position (3,3). Der aktuelle Wert 2 ist größer als ½ oder 0, daher lassen wir ihn unverändert.
0 0 1 0 0 1 -1 1 0 0 1 1 0 0 Nun verfügen wir über eine Einheitsmatrix in dem der ursprünglichen Koeffizientenmatrix A entsprechenden Abschnitt der erweiterten Matrix und können mithilfe des in Permutationsmatrix P codierten Zeilen- und Spaltentausches die Lösung ermitteln. Wir bestimmen den Vektor der Unbekannten x, den Vektor der geänderten Unabhängigen b' und die Permutationsmatrix P wie folgt: ⎡X ⎤ ⎡2⎤ ⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x = ⎢ Y ⎥, b' = ⎢− 1⎥, P = ⎢⎢0 0 1⎥⎥.
Verwenden Sie dann für dieses Beispiel im RPN-Modus folgende Eingabe: [2,-1,41] ` [[1,2,3],[2,0,3],[8,16,-1]] `/ Der Taschenrechner zeigt eine erweiterte Matrix an, die aus der Koeffizientenmatrix A und der Einheitsmatrix I besteht, während gleichzeitig die nächste Berechnung angezeigt wird. L2 = L2-2⋅L1 bedeutet „Reihe 2 (L2) durch die Operation L2-2 L1 ersetzen“. Bei der manuellen Ausführung dieser Operation würde dies folgender Eingabe entsprechen: 2\#1#1@RCIJ.
Schrittweises Berechnen der Inversen einer Matrix Die Berechnung einer inversen Matrix kann als Berechnung der Lösung eines erweiterten Systems [A | I ] betrachtet werden. Beispielsweise würden wir für Matrix A aus dem vorherigen Beispiel die erweiterte Matrix wie folgt schreiben: A aug ( I ) ⎡1 2 3 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ = ⎢3 − 2 1 0 1 0⎥.
Inverse Matrizen und Determinanten Beachten Sie, dass alle Elemente in der oben berechneten inversen Matrix durch den Wert 56 oder einen seiner Faktoren (28, 7, 8, 4 oder 1) dividiert werden. Wenn Sie die Determinante von Matrix A berechnen, erhalten Sie det(A) = 56. Wir können A-1 = C/det(A) schreiben, wobei C folgende Matrix darstellt: 8 8⎤ ⎡0 ⎢ C = ⎢ 7 − 13 8 ⎥⎥.
Die Funktionen dieses Menüs lauten LINSOLVE, REF, rref, RREF und SYST2MAT. Funktion LINSOLVE Als Argumente der Funktion LINSOLVE werden ein Feld von Gleichungen und ein Vektor verwendet, der die Namen der Unbekannten enthält. Die Funktion ermittelt die Lösung linearer Gleichungssysteme. In den folgenden Fenstern wird der Eintrag der Hilfefunktion (siehe Kapitel 1) für LINSOLVE und das zugehörige, im Eintrag aufgeführte Beispiel dargestellt.
Gegeben sei die erweiterte Matrix A aug ⎡1 − 2 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢2 1 − 2 − 3⎥. ⎢⎣5 − 2 1 12 ⎥⎦ Sie stellt ein lineares Gleichungssystem A⋅x = b dar, mit A = [[1,-2,1],[2,1,-2],[5,-2,1]], und b = [[0],[-3],[12]].
Das Ergebnis ist die durch Gauß-Jordan-Elimination ohne Pivotisierung gebildete, endgültige erweiterte Matrix. Mit der Funktion rref erhalten Sie eine zeilenreduzierte Treppenform für eine erweiterte Matrix. Diese Funktion erzeugt eine Liste der Pivot-Elemente und eine äquivalente Matrix in zeilenreduzierter Treppenform, sodass die Koeffizientenmatrix zu einer Diagonalmatrix reduziert wird.
Das Ergebnis ist die dem Gleichungssystem entsprechende erweiterte Matrix: X+Y = 0 X-Y = 2 Restfehler bei Lösungen linearer Gleichungssysteme (Funktion RSD) Mit der Funktion RSD werden die ReSiDuen bzw. Restfehler bei der Lösung der Matrixgleichung A⋅x=b berechnet, die ein System von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten darstellt. Wir können die Lösung dieses Systems als Lösung der Matrixgleichung f(x) = b -A⋅x = 0 betrachten.
Eigenwerte und Eigenvektoren Für eine quadratische Matrix A können wir die Eigenwertgleichung A⋅x = λ⋅x erstellen, wobei die die Gleichung erfüllenden Werte von λ als Eigenwerte von Matrix A bezeichnet werden. Wir können für jeden Wert von λ in der Gleichung Werte von x ermitteln, die der Eigenwertgleichung erfüllen. Diese Werte von x werden als Eigenvektoren von Matrix A bezeichnet. Die Eigenwertgleichung kann auch als (A – λ⋅I)x = 0 geschrieben werden.
Unter Verwendung der Variablen λ zur Darstellung der Eigenwerte ist dieses charakteristische Polynom als λ 3-2λ 2-22λ +21=0 zu interpretieren. Funktion EGVL Mit der Funktion EGVL (EiGenVaLues, Eigenwerte) werden die Eigenwerte einer quadratischen Matrix erzeugt. Die Eigenwerte der unten dargestellten Matrix werden z. B. im ALG-Modus mit der Funktion EGVL berechnet: Eigenwerte λ = [ -√10, √10 ].
Ändern Sie den Modus in den Näherungsmodus (Approx), und wiederholen Sie die Eingabe. Sie erhalten folgende Eigenwerte: [(1,38;2,22), (1,38;-2,22), (-1,76;0)]. Funktion EGV Mit der Funktion EGV (EiGenwerte und EigenVektoren) werden die Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix erzeugt. Die Eigenvektoren werden als die Spalten einer Matrix zurückgegeben, während die entsprechenden Eigenwerte die Komponenten eines Vektors sind.
Anmerkung: Eine symmetrische Matrix hat nur reelle Eigenwerte, und ihre Eigenvektoren sind zueinander orthogonal. Für das gerade erläuterte Beispiel können Sie überprüfen, ob x1•x2 = 0, x1•x3 = 0 und x2•x3 = 0. Funktion JORDAN Die Funktion JORDAN ist für die Diagonalisierung oder Jordan-Zerlegung einer Matrix konzipiert.
Funktion MAD Obwohl diese Funktion nicht im Menü EIGEN zur Verfügung steht, stellt sie auch Informationen über die Eigenwerte einer Matrix bereit. Die Funktion MAD ist im Untermenü MATRICES OPERATIONS („Ø) verfügbar und zum Erzeugen der adjungierten Matrix einer Matrix konzipiert.
Matrixfaktorisierung Die Faktorisierung bzw. Zerlegung einer Matrix besteht aus der Ermittlung von Matrizen, die durch Multiplikation die Ausgangsmatrix ergeben. Wir stellen die Matrixzerlegung durch Verwendung der Funktionen im Matrixmenü FACT dar. Dieses Menü wird mit „Ø aufgerufen. Die Funktionen dieses Menüs lauten: LQ, LU, QR, SCHUR, SVD und SVL. Die Funktion LU Der Eingabewert für die Funktion LU ist eine quadratische Matrix A.
Orthogonalmatrizen und Singulärwertzerlegung Eine quadratische Matrix ist orthogonal, wenn ihre Spalten Einheitsvektoren darstellen, die zueinander orthogonal sind. Die Matrix U = [v1 v2 … vn] mit den Spaltenvektoren vi, i = 1, 2, …, n und der Eigenschaft vi•vj = δij, wobei δij die Kronecker-Deltafunktion darstellt, ist daher eine Orthogonalmatrix. Aus diesen Bedingungen folgt außerdem, dass U⋅ UT = I.
Funktion SVL Die Funktion SVL (Singular VaLues, Singulärwerte) gibt die Singulärwerte einer Matrix An×m als Vektor s zurück, dessen Dimension gleich dem Minimum von n bzw. m ist. Beispielsweise ergibt [[5,4,-1],[2,-3,5],[7,2,8]] SVL im RPN-Modus [12.15 6.88 1.42]. Funktion SCHUR Im RPN-Modus erzeugt die Funktion SCHUR die Schur-Zerlegung einer quadratischen Matrix A und ergibt die Matrizen Q und T auf Ebene 2 bzw. 1 des Stacks, sodass A = Q⋅T⋅QT, wobei Q eine Orthogonalmatrix und T eine Dreiecksmatrix ist.
3: [[-0,18 0,39 0,90][-0,37 –0,88 0,30][-0,91 0,28 –0,30]] 2: [[ -5,48 –0,37 1,83][ 0 2,42 –2,20][0 0 –0,90]] 1: [[1 0 0][0 0 1][0 1 0]] Anmerkung: Über die Hilfefunktion des Taschenrechners erhalten Sie Beispiele und Definitionen für sämtliche Funktionen dieses Menüs. Führen Sie diese Übungen im ALG-Modus aus, um die Ergebnisse in diesem Modus zu betrachten. Quadratische Formen einer Matrix Die quadratische Form einer quadratischen Matrix A ist ein aus x⋅A⋅xT gebildetes Polynom.
Funktion AXQ Die Funktion AXQ erzeugt im RPN-Modus unter Verwendung der n Variablen in einem Vektor auf Ebene 1 des Stacks die zu einer Matrix An×n auf Ebene 2 des Stacks gehörende quadratische Form. Die Funktion gibt die quadratische Form auf Ebene 2 des Stacks und den Vektor der Variablen auf Ebene 1 des Stacks zurück.
Funktion SYLVESTER Die Funktion SYLVESTER benötigt eine symmetrische quadratische Matrix A als Argument und gibt einen Vektor zurück, der die Diagonalwerte einer Diagonalmatrix D enthält, sowie eine Matrix P, sodass PT⋅A⋅P = D.
Unten sind die Informationen über die Funktionen dieses Menüs dargestellt, die Sie mit der Hilfefunktion des Taschenrechners aufrufen können. Die Abbildungen stellen den entsprechenden Eintrag der Hilfefunktion und die zugehörigen Beispiele dar.
Kapitel 12! Grafik In diesem Kapitel werden einige der Grafikfunktionen des Taschenrechners vorgestellt. Wir stellen Grafiken von Funktionen in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten vor, parametrische Plots, Streudiagramme, Balkendiagrammen und eine Vielzahl von dreidimensionalen Grafiken. Grafikoptionen des Taschenrechners Über die Tastenkombination „ô(D) gelangen Sie zur Liste der im Taschenrechner verfügbaren Grafikformate.
Diese Grafikoptionen werden im Folgenden kurz beschrieben. Function: für Gleichungen der Form y = f(x) in ebenen kartesischen Koordinaten. Polar: für Gleichungen der Form r = f(θ) in Polarkoordinaten in der Ebene. Parametric: zur Darstellung von Gleichungen der Form x = x(t), y = y(t) in der Ebene. Diff Eq:zur Darstellung numerischer Lösungen linearer Differentialgleichungen. Conic: zur Darstellung von Kegelschnitt-Gleichungen (Kreise, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln).
Bezeichnung 'TPLOT' (für Testplot = Testdarstellung) oder einem anderen aussagekräftigen Namen, um folgende Übung durchzuführen. Als Beispiel stellen wir nun die folgende Funktion dar: f ( x) = x2 exp(− ) 2 2π 1 • Gehen Sie zunächst in das Menü PLOT SETUP durch Drücken von „ô. Stellen Sie sicher, dass die Option „Function” im Feld TYPE und ‘X’ als unabhängige Variable (INDEP) gewählt ist. Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
• Drücken Sie `, um zum Fenster PLOT FUNCTION zurückzukehren. Der Ausdruck ‘Y1(X) = EXP(-X^2/2)/√(2*π)’ wird hervorgehoben. Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Anmerkung: Bei den Funktionstasten werden zwei neue Variablen angezeigt, EQ und Y1. Um den Inhalt von EQ anzuzeigen, drücken Sie ‚@@@EQ@@. Der Inhalt von EQ ist einfach die Funktionsbezeichnung ‘Y1(X)’. Die Variable EQ wird vom Taschenrechner dazu verwendet, die darzustellende/n Gleichung/en zu speichern.
gilt. Prüfen Sie außerdem, dass für x = -1.48; y = 0.134 gilt. Die folgende Abbildung stellt die Kurve im Verfolgungsmodus dar: • Um das Menü wiederherzustellen und in das Fenster PLOT WINDOW zurückzukehren, drücken Sie L@CANCL @@OK@@. Hilfreiche Funktionen für Funktionsdarstellungen Zur Besprechung dieser PLOT-Optionen ändern wir die Funktion ab, um ihr einige echte Nullstellen aufzuzwingen. (Da die aktuelle Kurve vollständig oberhalb der x-Achse liegt, hat sie keine wirklichen Nullstellen.
• • • • • • Wenn der Graph dargestellt ist, drücken Sie @)@FCN!, um in das functionMenü zu gelangen. In diesem Menü erhalten Sie zusätzliche Informationen über die Darstellung, z. B. Schnittpunkte mit der x-Achse, Nullstellen, Steigung von Stützgeraden, Bereich unter einer Kurve, usw. Wenn Sie z. B. die Nullstelle auf der linken Seite der Kurve suchen, bewegen Sie den Cursor in die Nähe dieses Punkts und drücken Sie @ROOT. Sie erhalten das Ergebnis: ROOT: -1.6635….
• • • • • • Ergebnis ist EXTRM: 0.. Drücken Sie L, um zum Menü zurückzukehren. Weitere verfügbare Softkeys im ersten Menü sind @AREA zur Berechnung der Fläche unterhalb der Kurve und @SHADE zur Schattierung der Fläche unterhalb der Kurve. Drücken Sie L, um weitere Optionen anzuzeigen. Das zweite Menü enthält eine Funktionstaste mit der Bezeichnung @VIEW, die die dargestellte Gleichung einige Sekunden lang aufblinken lässt. Drücken Sie @VIEW.
• enthalten. Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Drücken Sie ‚@@EQ@@, um den Inhalt von EQ zu prüfen. Sie werden feststellen, dass darin an Stelle eines Ausdrucks eine Liste enthalten ist. Die Liste enthält als Elemente einen Ausdruck für die Ableitung von Y1(X) und Y1(X) selbst. Ursprünglich enthielt EQ nur Y1(x). Nachdem wir in der @)FCN@-Umgebung gedrückt haben, hat der Taschenrechner automatisch die Ableitung von Y1(x) zur Gleichungsliste in EQ hinzugefügt.
Grafiken transzendenter Funktionen In diesem Abschnitt werden wir anhand einiger Grafikfunktionen des Taschenrechners das typische Verhalten des natürlicher Logarithmus sowie von Exponential-, Winkel- und Hyperbelfunktionen aufzeigen. In diesem Kapitel werden keine Grafiken abgebildet, Sie können diese jedoch auf Ihrem Taschenrechner sehen. Grafik für ln(X) Wenn Sie im RPN-Modus sind, drücken Sie gleichzeitig die linke Umschalttaste „ und die Taste ô (D), um das Fenster PLOT SETUP anzuzeigen.
Dies sind die jeweiligen voreingestellten Standardwerte für die x- und y-Bereiche des aktuellen Fensters für die Grafikanzeige. Ändern Sie den Wert für H-VIEW folgendermaßen: H-View: -1 10, und zwar über 1\@@@OK@@ 10@@@OK@@@. Drücken Sie anschließend die Funktionstaste @AUTO , um den Taschenrechner den entsprechenden Vertikalbereich ermitteln zu lassen. Nach einigen Sekunden wird dieser Bereich im Fenster PLOT WINDOW-FUNCTION angezeigt. Jetzt können Sie die Grafik für ln(X) erstellen.
Anmerkung: Wenn Sie J drücken, enthält Ihre Variablenliste neue Variablen mit den Bezeichnungen @@@X@@ und @@Y1@@ . Drücken Sie ‚@@Y1@@ , um den Inhalt dieser Variablen anzuzeigen. Sie erhalten das Programm << → X ‘LN(X)’ >> und Sie werden feststellen, dass dies dasselbe Programm ist, das aus der Definition der Funktion ‘Y1(X) = LN(X)’ mithilfe von „à resultiert.
und zwar über 8\@@@OK@@ 2@@@OK@@@. Drücken Sie anschließend @AUTO. Nachdem der vertikale Bereich berechnet ist, drücken Sie @ERASE @DRAW, um die Exponentialfunktion darzustellen. Um diese Grafik mit Bezeichnungen zu versehen, drücken Sie @EDIT L@)LABEL. Drücken Sie @MENU, um die Menübezeichnungen zu entfernen und ein Vollbild der Grafik zu erhalten. Drücken Sie LL@)PICT! @CANCL, um wieder in das Fenster PLOT WINDOW – FUNCTION zu gelangen. Drücken Sie `, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Darstellung zu finden, die erzeugt werden soll, d. h. FUNCTION, und schließlich die Bezeichnung der y-Achse, d. h. Y. Die Variable PPAR wird, sofern nicht vorhanden, jedes Mal erzeugt, wenn eine Darstellung erzeugt wird. Der Inhalt der Funktion ändert sich entsprechend dem Typ der Darstellung und der im PLOT-Fenster gewählten Optionen (das Fenster, das durch gleichzeitiges Betätigen der Tasten „ und ò(B) angezeigt wird). Umkehrfunktionen und deren grafische Darstellung Nehmen wir an, wir haben y = f(x).
Sie werden feststellen, dass nur die Kurve für y = exp(x) deutlich sichtbar ist. Bei der @AUTO-Auswahl des vertikalen Bereichs ist ein Fehler unterlaufen. Folgendes ist passiert: Wenn Sie @AUTO im Fenster PLOT FUNCTION – WINDOW drücken, dann erzeugt der Taschenrechner den vertikalen Bereich anhand der ersten Funktion in der Liste der darzustellenden Funktionen. Und in diesem Fall ist dies die Funktion Y1(X) = EXP(X).
• Wenn Sie _Simult aktivieren, bedeutet dies, dass, wenn sich zwei oder mehr Darstellungen in derselben Grafik befinden, diese beim Erstellen der Grafik gleichzeitig abgebildet werden. • Wenn Sie _Connect aktivieren, bedeutet dies, dass die Kurve als durchgehende Kurve dargestellt wird, und nicht als Aneinanderreihung einzelner Punkte. • Wenn Sie _Pixels aktivieren, bedeutet dies, dass die durch H-Tick und V-Tick angezeigten Markierungen durch entsprechend viele Pixel getrennt werden.
• Drücken Sie @@@OK@@@, um alle Änderungen im Fenster PLOT SETUP zu speichern und zum normalen Taschenrechneranzeige zurückzukehren. Drücken Sie (im RPN-Modus: gleichzeitig) „ñ Rufen Sie das Fenster PLOT auf (in diesem Fall wird es mit PLOT –FUNCTION bezeichnet). Optionen des Funktionsmenüs: • Mit @EDIT können hervorgehobene Gleichungen geändert werden. • Mit @@ADD@! können neue Gleichungen der Darstellung hinzugefügt werden. Anmerkung: Mit @@ADD@! bzw.
Einstellungen: • Geben Sie im Darstellungsfenster die obere und untere Begrenzung für die horizontale Ansicht (H-View) und die vertikale Ansicht (V-View) ein. Oder, • geben Sie die untere und obere Begrenzung für die horizontale Ansicht (HView), ein und drücken Sie @AUTO , während der Cursor in einem der V-ViewFelder steht, um den Bereich der vertikalen Ansicht (V-View) automatisch zu erzeugen.
• • • • • • Mit @CALC gelangen Sie in den Stack des Taschenrechners, um Rechenoperationen durchzuführen, die zur Ermittlung von Werten notwendig sein können, die für eine der Optionen in diesem Fenster benötigt werden. Wenn Sie auf den Stack des Taschenrechners zugreifen, sind auch die Funktionstasten @CANCL und @@@OK@@@ verfügbar. Verwenden Sie @CANCL, wenn Sie die aktuelle Rechnung beenden und zum Bildschirm PLOT WINDOW zurückkehren möchten.
Darstellung von Winkel- und Hyperbelfunktionen Die oben zur Darstellung von LN(X) und EXP(X) beschriebenen Verfahren können – einzeln oder auch gleichzeitig – angewandt werden, um beliebige Funktionen der Form y = f(x) darzustellen. Wir überlassen es dem Leser, zur Übung Darstellungen von Winkel- und Hyperbelfunktionen und deren Umkehrfunktionen zu erstellen. Die folgende Tabelle gibt Werte vor, die jeweils für die vertikalen und horizontalen Bereiche verwendet werden können.
Eine Wertetabelle für eine Funktion erstellen Mit den Tastenkombinationen „õ(E) und „ö(F), im RPNModus gleichzeitig gedrückt, kann der Benutzer eine Wertetabelle für Funktionen erstellen. Wir erstellen zum Beispiel eine Tabelle für die Funktion Y(X) = X/(X+10) im Bereich -5 < X < 5, und zwar gemäß folgender Anleitung: • • • • Wir erzeugen Werte der Funktion f(x), die oben definiert ist, für x-Werte von –5 bis 5 und in Schritten von 0,5.
• Um die Tabelle anzuzeigen, drücken Sie „ö (d. h., Softkey F) – gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus sind. Dadurch wird eine Tabelle für die Werte x = -5, -4.5,… mit den entsprechenden Werten für f(x) erzeugt, die standardmäßig als Y1 aufgeführt sind. Mit den Pfeiltasten „nach oben“ und „nach unten“ können Sie sich in der Tabelle bewegen. Sie werden feststellen, dass für die unabhängige Variable x kein Endwert festgelegt wurde.
• • • • Mit der @ZOOM -Option „Decimal“ (Dezimal) erzeugen Sie x-Inkremente von 0.10. Mit der @ZOOM -Option „Integer“ (Ganzzahl) erzeugen Sie x-Inkremente von 1. Mit der Option „Trig“ erzeugen Sie Inkremente aus Bruchteilen von π, diese ist deshalb für die Darstellung von Winkelfunktionen hilfreich. Um zur normalen Taschenrechner-Anzeige zurückzukehren, drücken Sie `. Darstellungen in Polarkoordinaten Zunächst ist es sinnvoll, die in den vorhergehenden Beispielen verwendeten Variablen zu löschen (z. B.
Anmerkung: H-VIEW und V-VIEW legen lediglich die Skalenbereiche des Anzeigefensters fest und deren Bereich bezieht sich in diesem Fall nicht auf den Wertebereich der unabhängigen Variablen. • • • • • Setzen Sie den Wert Indep Low auf 0 und den Wert High auf 6,28 (≈ 2π) durch Drücken von: 0@@@OK@@@ 6.28@@@OK@@@. Drücken Sie @ERASE @DRAW, um die Funktion in Polarkoordinaten darzustellen. Das Ergebnis ist eine herzförmige Kurve. Diese Kurve wird als Kardioide bezeichnet (von cardios, griechisch Herz).
• • Drücken Sie @@ADD@! und drücken Sie 2*„Ü1T~‚t`, um die neue Gleichung einzugeben. Drücken Sie @ERASE @DRAW, um die beiden Gleichungen in derselben Grafik darzustellen. Das Ergebnis sind zwei sich überschneidende Kardioiden. Drücken Sie @CANCL $, um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Darstellung von Kegelschnitt-Kurven Die allgemeinste Form einer Kegelschnitt-Kurve in der x/y-Ebene ist: 2 2 Ax +By +Cxy+Dx+Ey+F = 0.
in der Variablen EQ. Wir erkennen diese als Gleichungen als die eines Kreises, dessen Mittelpunkt auf (1,2) liegt, mit einem Radius √3, und die einer Ellipse, deren Mittelpunkt auf (0,0) liegt, mit einer Halbachsenlänge a = 2 und b = √3. • • • • • • • Gehen Sie in die PLOT-Umgebung, und zwar durch (im RPN-Modus gleichzeitiges) Drücken von „ô, und wählen Sie anschließend Conic als TYPE aus. Die Liste der Gleichungen erscheint im Feld EQ.
Beachten Sie, dass die äußersten rechten und linken Bereiche des Kreises und der Ellipse jeweils nicht dargestellt werden. Das gilt für alle Kreise und Ellipsen, die unter der Einstellung von Conic als TYPE dargestellt werden. • • • Zur Anzeige der Bezeichnungen: @EDIT L@)LABEL @MENU Zur Wiederherstellung des Menüs: LL@)PICT Um die Koordinaten von Schnittpunkten zu ermitteln, drücken Sie die Funktionstaste @(X,Y)@ und bewegen Sie den Cursor mithilfe der Pfeiltasten so nah wie möglich an diese Punkte heran.
Winkelmaß des Taschenrechners auf DEG eingestellt ist. Definieren Sie anschließend die Funktionen (über „à): X(t) = X0 + V0*COS(θ0)*t Y(t) = Y0 + V0*SIN(θ0)*t – 0.5*g*t^2 Damit werden die Variablen @@@Y@@@ und @@@X@@@ den Funktionstasten hinzugefügt. Um die Grafik selbst zu erstellen, gehen wir folgendermaßen vor: • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. • Ändern Sie TYPE auf Parametric durch Drücken von @CHOOS ˜˜@@@OK@@@.
Anmerkung: Durch diese Einstellungen sorgen wir dafür, dass der Parameter t den Wert t = 0, 0.1, 0.2, … usw. annimmt, bis der Wert 2.0 erreicht ist. • Drücken Sie @AUTO. Damit wird ein automatischer Wert für den Bereich HVIEW und V-VIEW erzeugt. Dieser basiert auf den Werten der unabhängigen Variable t und den verwendeten Definitionen für X(t) und Y(t). Das Ergebnis ist Folgendes: • • Drücken Sie @ERASE @DRAW, um das parametrische Diagramm zu zeichnen.
Bei Prüfung Ihrer Funktionstasten sehen Sie, dass Sie nun folgende Variablen haben: t, EQ, PPAR, Y, X, g, θ0, V0, Y0, X0. Die Variablen t, EQ, und PPAR werden vom Taschenrechner erzeugt, um die aktuellen Werte des Parameters t und der darzustellenden Gleichung EQ (die ‘X(t) + I∗Y(t)’ enthält) sowie die Darstellungsparameter zu speichern. Die anderen Variablen enthalten die Werte von Konstanten, die in den Definitionen von X(t) und Y(t) verwendet werden.
• • Mit den Pfeiltasten š™—˜ können Sie sich in der Tabelle bewegen. Drücken Sie $, um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Diese Vorgehensweise zur Erzeugung einer passenden Tabelle für den aktuellen Darstellungstyp kann auch für andere Darstellungsarten benutzt werden.
• • • • Variable (voreingestellte Standardbezeichnung 'Y’) auf der vertikalen Achse dargestellt wird. Drücken Sie ˜. Der Cursor ist jetzt im Feld Indep. Drücken Sie ³~ „t@@@OK@@@, um die unabhängige Variable auf t zu ändern. Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum PLOT-Fenster zu gelangen (in diesem Fall heißt es PLOT WINDOW – DIFF EQ).
• • • • • Wenn wir die Darstellung der Kurve betrachten, werden wir feststellen, dass die Kurve nicht sehr glatt verläuft. Das liegt daran, dass der Plotter mit Zeitschritten arbeitet, die zu groß sind. Um einen feineren und glatteren Graphen zu erhalten, sollte ein Schritt von 0.1 verwendet werden. Versuchen Sie es mit folgenden Tasten: @CANCL ˜˜˜. 1@@@OK@@@ @ERASE @DRAW. Die Darstellung wird dann zwar etwas länger benötigen, bis sie fertig ist, aber die Form wird deutlich glatter sein.
Truth-Plot-Funktion Die Truth-Plot-Funktion wird verwendet, um zweidimensionale Darstellungen von Bereichen zu erstellen, die bestimmte mathematische Bedingungen, die wahr oder falsch sein können, erfüllen. Nehmen wir beispielsweise an, Sie wollen den Bereich für X^2/36 + Y^2/9 < 1 darstellen, dann gehen Sie folgendermaßen vor: • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. • Ändern Sie TYPE auf Truth.
• Drücken Sie (X,Y), um die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Grafik zu bestimmen. Mit den Pfeiltasten bewegen Sie den Cursor im Grafikbereich. Am unteren Rand des Displays werden die Koordinaten des Cursors als (X,Y) angezeigt. • Drücken Sie L@)CANCL, um wieder in den Bereich PLOT WINDOW zu gelangen. Dann drücken Sie $ oder L@@@OK@@@, um zum normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Wenn Sie die Bedingungen multiplizieren, dann können Sie mehr als eine Bedingung gleichzeitig darstellen.
x 3.1 3.6 4.2 4.5 4.9 5.2 y 2.1 3.2 4.5 5.6 3.8 2.2 z 1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 Balkendiagramme Stellen Sie zunächst sicher, dass das CAS Ihres Taschenrechners im Modus Exact ist. Danach geben Sie die oben genannten Daten als Matrix ein, d. h. [[3.1,2.1,1.1],[3.6,3.2,2.2],[4.2,4.5,3.3], [4.5,5.6,4.4],[4.9,3.8,5.5],[5.2,2.2,6.6]] ` und legen Sie diese in ΣDAT ab. Verwenden Sie dazu die Funktion STOΣ (aus dem Funktionskatalog ‚N) Drücken Sie VAR, um zum Variablenmenü zurückzukehren.
• • • • • • Markieren Sie das Feld Col: . Mit diesem Feld können Sie die Spalte aus ΣDAT wählen, die dargestellt werden soll. Der voreingestellte Standardwert ist 1. Lassen Sie diesen stehen, um die Spalte 1 in ΣDAT darzustellen.. Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Ändern Sie V-VIEW folgendermaßen: V-View: 0 5. Drücken Sie @ERASE @DRAW, um das Balkendiagramm zu zeichnen.
• Drücken Sie @CANCL, um zum Fenster PLOT WINDOW zurückzukehren, und anschließend $, um zum normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Streudiagramme Wir verwenden dieselbe ΣDAT-Matrix, um Streudiagramme zu erzeugen. Zunächst werden wir die Werte von y gegen x darstellen, und dann die von y gegen z, und zwar wie folgt: • • • • • • • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Ändern Sie TYPE auf Scatter.
• • Drücken Sie LL@)PICT um den Bereich EDIT zu verlassen. Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Drücken Sie anschließend $ oder L@@@OK@@@ um zum normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Zur Darstellung von y gegen z gehen Sie folgendermaßen vor: • • • • • • • • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Drücken Sie ˜˜ um das Feld Cols: hervorzuheben.
jedem beliebigen Punkt (x,y) gemessen - die Steigung der Tangente im Punkt (x,y) darstellt. Um beispielsweise die Lösung zur Differentialgleichung y’ = f(x,y) = x+y, zu veranschaulichen, gehen Sie folgendermaßen vor: • • • • • • • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Ändern Sie TYPE auf Slopefield. Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘X+Y’ @@@OK@@@ ein. Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und bei Depnd: ‘Y’ .
Werkzeuge für die Veranschaulichung besonders schwierig zu lösender Gleichungen. Versuchen Sie auch ein Steigungsfeld für die Funktion y’ = f(x,y) = - (y/x)2 darzustellen, und zwar wie folgt: • • • • • • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Ändern Sie TYPE auf Slopefield. Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘− (Y/X)^2’ @@@OK@@@ ein. Drücken Sie @ERASE @DRAW um die Steigungsfelddarstellung zu zeichnen.
• • Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Behalten Sie den voreingestellten Grafikfensterbereich bei, und zwar: X-Left:1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High: 1, Step Indep: 10, Depnd: 8 Anmerkung: Die Step Indep: und Depnd: -Werte legen die Zahl der Rasterlinien fest, die in der Grafik verwendet werden. Je größer diese Zahlen, desto langsamer geht die Erstellung der Grafik voran.
• • • Wenn Sie fertig sind, drücken Sie @EXIT. Drücken Sie @CANCL um wieder zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Drücken Sie $ oder L@@@OK@@@ um zum normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Versuchen Sie auch, einen schnellen 3D-Plot für die Oberfläche z = f(x,y) = sin (x2+y2) zu erstellen. • • • • • • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘SIN(X^2+Y^2)’ @@@OK@@@ ein.
• • • • Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und bei Depnd: ‘Y’ . Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Behalten Sie den voreingestellten Grafikfensterbereich bei, und zwar: X-Left:1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High: 1, XE:0,YE:-3, ZE:0, Step Indep: 10 Depnd: 8 Die Koordinaten XE, YE und ZE stehen für die „Augenkoordinaten“, d. h.
Diese Version der Grafik beansprucht mehr Raum im Display als die vorherige. Wir können den Blickwinkel noch einmal ändern, um eine andere Version der Grafik zu sehen. • • Drücken Sie LL@)PICT @CANCL um wieder in den Bereich PLOT WINDOW zu gelangen. Ändern Sie die Augenkoordinaten folgendermaßen ab: XE:3 YE:3 ZE:3 • Drücken Sie @ERASE @DRAW um den Oberflächenplot zu betrachten. Dieses Mal befindet sich der Hauptteil der Grafik auf der rechten Seite des Displays.
• Drücken Sie @ERASE @DRAW um das Drahtgitter zu zeichnen. Drücken Sie @EDIT L@)MENU @LABEL um die Grafik im Vollbild, ohne Menü und mit Bezeichnern zu sehen. • • Drücken Sie LL@)PICT um den Bereich EDIT zu verlassen. Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Drücken Sie anschließend $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
• Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU um die Grafik mit Bezeichnern und Bereichen anzuzeigen. • Drücken Sie LL@)PICT@CANCL um wieder in den Bereich PLOT WINDOW zu gelangen. Drücken Sie $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. • Versuchen Sie auch, eine Ps-Contour-Darstellung für die Oberfläche z = f(x,y) = sin x cos y zu erstellen. • • • • • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Y-Schnitt-Darstellungen Y-Schnitt-Darstellungen sind animierte Darstellungen von z gegen y für verschiedene Werte von x aus der Funktion z = f(x,y). Um beispielsweise eine YSchnitt-Darstellung für die Oberfläche z = x3-xy3 zu erzeugen, gehen Sie wie folgt vor: • • • • • • • • • • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Ändern Sie TYPE auf Y-Slice. Drücken Sie ˜ und geben ‘X^3+X*Y^3’ @@@OK@@@ ein.
Versuchen Sie auch, eine Y-Schnitt-Darstellung für die Oberfläche z = f(x,y) = (x+y) sin y zu erstellen. • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. • Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘(X+Y)*SIN(Y)’ @@@OK@@@ ein. • Drücken Sie @ERASE @DRAW um die Y-Schnitt-Animation zu erzeugen. • Drücken Sie $, um die Animation abzubrechen. • Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
• • Drücken Sie LL@)PICT @CANCL um wieder in den Bereich PLOT WINDOW zu gelangen. Drücken Sie $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Andere Funktionen einer komplexen Größe, die für eine Netzbilddarstellung geeignet sind, sind: (1) SIN((X,Y)) d. h. F(z) = sin(z) (2)(X,Y)^2 d. h. F(z) = z2 z (3) EXP((X,Y)) d. h. F(z) = e (4) SINH((X,Y)) d. h. F(z) = sinh(z) (5) TAN((X,Y)) d. h. F(z) = tan(z) (6) ATAN((X,Y)) d. h. F(z) = tan -1(z) (8) 1/(X,Y) d. h. F(z) = 1/z (7)(X,Y)^3 d.
• • • • • • • • • • • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Ändern Sie TYPE auf Pr-Surface. Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘{X*SIN(Y), X*COS(Y), X}’ @@@OK@@@ ein. Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und ‘Y’ bei Depnd: . Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Interaktives Zeichnen Immer wenn wir eine zweidimensionale Grafik erzeugen, erscheint im Grafikbildschirm eine Funktionstaste mit der Bezeichnung @)EDIT . Wenn Sie auf @)EDIT drücken, erscheint ein Menü, das folgende Optionen bereit hält (weitere Funktionen erhalten Sie mit L): Mit den Beispielen oben können Sie die Funktionen LABEL, MENU, PICT , und REPL ausprobieren. Viele der restlichen Funktionen, z.B. DOT+, DOT-, LINE, BOX, CIRCL, MARK, DEL usw.
• • • Ändern Sie den Bereich von H-VIEW auf –10 bis 10 durch Drücken von 10\@@@OK@@@ 10@@@OK@@@ und den Bereich von V-VIEW auf -5 bis 5 durch Drücken von 5\@@@OK@@@ 5@@@OK@@@. Drücken Sie @ERASE @DRAW um die Funktion darzustellen. Drücken Sie @EDIT L @LABEL um der Grafik Bezeichner hinzuzufügen. Drücken Sie LL (oder „«) um zum ursprünglichen EDITMenü zurückzukehren. Jetzt zeigen wir die Verwendung der verschiedenen Zeichenfunktionen am fertigen Grafikbildschirm.
Wenn nur der Befehl MARK verwendet wird, dann erscheint an der markierten Stelle ein x (Kreuzchen). Drücken Sie L@MARK zur Demonstration. LINE Dieser Befehl wird zum Ziehen einer Linie zwischen zwei Punkten in der Grafik verwendet. Zur Demonstration setzen Sie den Cursor irgendwo in den ersten Quadranten und drücken Sie „«@LINE. Auf dem Cursor erscheint eine Markierung, die den Anfang der Linie kennzeichnet.
BOX Dieser Befehl wird zum Zeichnen eines Rechteckes in der Grafik verwendet. Bewegen Sie den Cursor zu einer freien Fläche der Grafik und drücken Sie @BOX@. Damit wird der Cursor hervorgehoben. Bewegen Sie den Cursor mit den Pfeiltasten in diagonaler Richtung zu einem anderen Punkt. Drücken Sie noch einmal @BOX@. Es erscheint ein Rechteck, dessen Diagonale die Anfangs- und Schlussposition des Cursors verbindet. Die Anfangsposition des Rechtecks ist immer noch mit einem x markiert.
ERASE Mit der Funktion ERASE löschen Sie das gesamte Grafikfenster. Dieser Befehl steht im PLOT-Menü zur Verfügung und auch in den PLOT-Fenstern, zu denen man über die Funktionstasten gelangt. MENU Durch Drücken auf @MENU werden die Funktionstasten-Bezeichner entfernt und die Grafik wird ohne diese angezeigt. Zum Wiederherstellen der Bezeichner drücken Sie L. SUB Mit diesem Befehl können Sie einen Teilbereich eines Grafikobjekts extrahieren. Das extrahierte Objekt wird automatisch im Stack abgelegt.
X,Y Mit diesem Befehl kopieren Sie die Koordinaten der aktuellen Cursorposition in den Stack, und zwar als Benutzerkoordinaten. Vergrößern und verkleinern im Grafikfenster (Zoomen) Immer wenn Sie interaktiv eine zweidimensionale Funktionsgrafik erstellen, können Sie mit der ersten Funktionstaste, die die Bezeichnung @)ZOOM trägt, auf Funktionen zugreifen, mit denen Sie Teile der aktuellen Grafik vergrößern und verkleinern können.
Zurück im Grafikdisplay drücken Sie @@ZIN@. Die Grafik wird neu gezeichnet und zwar mit dem neuen vertikalen und horizontalen Einteilungsfaktor und der Cursorposition als Mittelpunkt, während die ursprüngliche Bildgröße erhalten bleibt (d. h. die ursprüngliche Pixelzahl in beiden Richtungen). Mit den Pfeiltasten können Sie sich, so weit möglich, in der vergrößerten Grafik umherbewegen. Zum Verkleinern drücken Sie, abhängig von den unter ZFACT eingestellten Hund V-Faktoren, @)ZOOM @ZOUT.
Variable (x), wobei jedoch der Bereich der abhängigen Variable (y) an die Kurve angepasst wird (so wie bei Verwendung der Funktion @AUTO in der Eingabemaske im Fenster PLOT WINDOW („ò drücken - im RPN-Modus gleichzeitig). HZIN, HZOUT, VZIN und VZOUT Mit diesen Funktionen können Sie in das Grafikfenster hinein- und wieder heraus zoomen, in horizontaler und in vertikaler Richtung entsprechend den aktuellen H- und V-Faktoren.
Anmerkung: Keine dieser Funktionen kann programmiert werden. Sie sind nur im interaktiven Gebrauch nützlich. Hier gilt es, den Befehl @ZFACT im ZOOM-Menü nicht mit der Funktion ZFACTOR zu verwechseln, die in Gasdynamik- und chemischen Anwendungen verwendet wird (siehe Kapitel 3). Menü SYMBOLIC und Grafiken Das SYMBOLIC MENU (symbolisches Menü) wird durch Drücken der Taste P (Tastenfeld: vierte Taste von links in der vierten Reihe von oben) aktiviert.
DEFINE: gleicht der Tastenfolge „à (Taste 2). GROBADD: fügt zwei GROBs ein, den ersten über dem zweiten (siehe Kapitel 22). PLOT(Funktion): Zeichnet eine Funktion, ähnlich wie „ô PLOTADD(Funktion): fügt diese Funktion der Liste der darzustellenden Funktionen hinzu, ähnlich wie „ô Plot setup..: identisch zu „ô SIGNTAB(Funktion): Zeichentabelle einer bestimmten Funktion, in der positive und negative Bereiche, Nullstellen und unendliche Asymptoten verzeichnet sind. TABVAL: Wertetabelle für eine Funktion.
TABVAL(X^2-1,{1, 3}) erzeugt eine Liste von {min max} –Werten der Funktion im Intervall {1,3}, während SIGNTAB(X^2-1) das Vorzeichen der Funktion im Intervall (-∞,+) zeigt, wobei f(x) > 0 in (-∞,-1), f(x) <0, in (-1,1), und f(x) > 0 in (1,+ ∞) ist.
und sinkt nach diesem Wert (X=e), und wird dann etwas größer als Null (+:0), wenn X gegen unendlich geht. Die untenstehende Abbildung der Kurve zeigt diese Beobachtungen auf: Funktion DRAW3DMATRIX Diese Funktion nimmt eine n×m Matrix als Argument, Z, = [ zij ], sowie einen Minimal- und Maximalwert für die Darstellung. Am besten wählen Sie die Werte vmin und vmax so, dass diese die Werte aus Z enthalten. Der allgemeine Aufruf der Funktion ist deshalb DRAW3DMATRIX(Z,vmin,vmax).
Kapitel 13 Anwendungen der Infinitesimalrechnung/ Analysis In diesem Kapitel wird die Anwendung der Taschenrechnerfunktionen auf Operationen der Infinitesimalrechnung erläutert, z. B. Grenzwerte, Ableitungen, Integrale, Potenzreihen usw. Das Menü CALC (Infinitesimalrechnung - Analysis) Zahlreiche der in diesem Kapitel dargestellten Funktionen befinden sich im Menü CALC des Taschenrechners, das über die Tastenkombination „Ö (der Taste 4 zugeordnet) aufgerufen wird.
Grenzwerte werden außerdem verwendet, um die Stetigkeit von Funktionen zu überprüfen. Funktion lim Der Taschenrechner enthält die Funktion lim zum Berechnen der Grenzwerte von Funktionen. Bei dieser Funktion wird ein Ausdruck als Eingangswert verwendet, der eine Funktion und die Stelle, an der der Grenzwert zu berechnen ist, enthält. Die Funktion lim kann über den Befehlskatalog (‚N ~„l) oder über die Option 2. LIMITS & SERIES des Menüs CALC (siehe oben) aufgerufen werden.
„Ö2 @@OK@@ 2 @@OK@@ x+1‚í x‚Å 1` Das Unendlichkeitssymbol ist der Taste 0 zugeordnet. d. h., „è. Um einseitige Grenzwerte zu berechnen, hängen Sie ein +0 oder -0 an den Variablenwert. Ein “+0” steht für rechten Grenzwert und ein “-0” steht für linken Grenzwert.
In den folgenden Bildschirmabbildungen werden einige Beispiele für Ableitungen mit diesem Grenzwert dargestellt: Funktionen DERIV und DERVX Die Funktion DERIV nimmt als Eingangswert Ableitungen von beliebigen unabhängigen Variablen an, während die Funktion DERVX Ableitungen in Bezug auf die CAS-Standardvariable VX (normalerweise ’x’) als Argument benötigt. Während die Funktion DERVX auch direkt im Menü CALC verfügbar ist, können beide Funktionen über das Menü CALCL („Ö) im Untermenü DERIV.
Von diesen Funktionen werden DERIV und DERVX für Ableitungen verwendet. Zu den anderen Funktionen zählen Funktionen für Stammfunktionen und Integrale (IBP, INTVX, PREVAL, RISCH, SIGMA und SIGMAVX), Fourier-Reihen (FOURIER) und Vektorrechnung (CURL, DIV, HESS, LAPL). Zunächst werden die Funktionen DERIV und DERVX erläutert. Die übrigen Funktionen werden entweder weiter unten in diesem Kapitel oder in den folgenden Kapiteln dargestellt.
Im EquationWriter gibt der Taschenrechner folgenden Ausdruck aus, wenn Sie ‚¿ drücken: Der Einfügecursor ( ) befindet sich rechts vom Nenner, bis Sie eine unabhängige Variable eingeben, z.B. s: ~„s. Drücken Sie anschließend die Nach-Rechts-Taste (™), um den Cursor an den Platzhalter zwischen den Klammern zu verschieben. Geben Sie anschließend die abzuleitende Funktion ein, z. B.
Anmerkung: Das Symbol ∂ wird in der Mathematik verwendet, um eine partielle Ableitung zu bezeichnen, d. h. die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen. Jedoch werden normale und partielle Ableitungen vom Taschenrechner nicht unterschieden und für beide wird dasselbe Symbol verwendet. Beachten Sie diesen Unterschied, wenn Sie Ergebnisse des Taschenrechners zu Papier bringen. Die Kettenregel Die Kettenregel für Ableitungen wird auf Ableitungen zusammengesetzter Funktionen angewendet.
Beachten Sie, dass in den Ausdrücken, in denen das Ableitungszeichen (∂) oder die Funktion DERIV verwendet wurde, das Gleichheitszeichen in der Gleichung beibehalten wird, jedoch nicht in den Fällen, in denen die Funktion DERVX verwendet wurde. In diesen Fällen wurde die Gleichung neu geschrieben, und alle zugehörigen Ausdrücke wurden auf die linke Seite des Gleichheitszeichens verschoben. Außerdem wurde das Gleichheitszeichen entfernt, doch der Ergebnisausdruck ist selbstverständlich gleich Null.
Bestimmen von Punkten des Graphen sowie Funktionen in den Menüs ZOOM und FCN. Mithilfe der Funktionen im Menü ZOOM können Sie die Darstellung eines Graphen vergrößern, um ihn detaillierter analysieren zu können. Diese Funktionen werden in Kapitel 12 ausführlich beschrieben.
• Drücken Sie L @PICT @CANCL $, um zum normalen Display des Taschenrechners zurückzukehren. Beachten Sie, dass die gewünschte Steigung und Tangente im Stack aufgelistet sind. Funktion DOMAIN Mit der über den Befehlskatalog (‚N) verfügbaren Funktion DOMAIN erhalten Sie den Definitionsbereich einer Funktion als eine Liste von Zahlen und Beschreibungen. Beispielsweise gibt an, dass die Funktion LN(X) zwischen –∞ und 0 nicht definiert ist (?), dass sie jedoch zwischen 0 und +∞ definiert ist (+).
Durch dieses Ergebnis wird angegeben, dass der Wertebereich der Funktion f (X ) = 1 X 2 +1 , der dem Definitionsbereich D = { -1,5 } entspricht, R = ⎧ 2 26 ⎫ , ⎬ ist. ⎨ 26 2 ⎭ ⎩ Funktion SIGNTAB Mit der über den Befehlskatalog (‚N) aufrufbaren Funktion SIGNTAB erhalten Sie Informationen über das Vorzeichen einer Funktion in ihrem Definitionsbereich. Beispielsweise gibt SIGNTAB für die Funktion TAN(X) an, dass TAN(X) zwischen –π/2 und 0 negativ und zwischen 0 und π/2 positiv ist.
Funktion TABVAR Diese Funktion wird über den Befehlskatalog oder im Menü CALC über das Untermenü GRAPH aufgerufen. Als Eingangswert wird die Funktion f(VX) verwendet, wobei VX die CAS-Standardvariable ist. Die Funktion gibt im RPNModus Folgendes zurück: • Ebene 3: die Funktion f(VX). • Zwei Listen. Die erste Liste gibt die Steigung der Funktion (d. h.
Drücken Sie $, um zum normalen Display des Taschenrechners zurückzukehren. Drücken Sie ƒ, um dieses letzte Ergebnis aus dem Stack zu entfernen. Ebene 1 enthält nun zwei Listen, die der obersten und untersten Zeile der zuvor dargestellten Grafikmatrix entsprechen. Diese Listen können zum Programmieren verwendet werden. Drücken Sie ƒ, um dieses letzte Ergebnis aus dem Stack zu entfernen.
In dieser Abbildung beschränken wir uns darauf, die Extrempunkte der Funktion y = f(x) im x-Intervall [a,b] zu bestimmen. In diesem Intervall befinden sich zwei Punkte, x = xm und x = xM, an denen f’(x)=0 ist. Der Punkt x = xm stellt ein lokales Minimum dar, wobei f”(x)>0 ist, während der Punkt x = xM ein lokales Maximum darstellt, wobei f”(x)<0 ist. Aus dem Graphen von y = f(x) folgt, dass sich das absolute Maximum im Intervall [a,b] bei x = a und das absolute Minimum bei x = b befindet.
Dieses Ergebnis bedeutet, dass f“(-1) = -14 ist, sodass x = -1 ein relatives Maximum ist. Berechnen Sie die Funktion an diesen Punkten, um zu überprüfen, ob tatsächlich gilt: f(-1) > f(11/3). Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen höherer Ordnung können durch mehrfaches Anwenden einer Ableitungsfunktion berechnet werden. Beispiel: Stammfunktionen und Integrale Die Stammfunktion einer Funktion f(x) ist die Funktion F(x), mit f(x) = dF/dx. Da z. B.
Variablen. Die Funktion INT benötigt außerdem einen Wert von x, an dem die Stammfunktion berechnet wird. Die Funktionen INTVX und SIGMAVX benötigen nur den Ausdruck der in Bezug auf VX zu integrierenden Funktion. Im Folgenden werden einige Beispiele im ALG-Modus dargestellt. Beachten Sie, dass die Funktionen SIGMAVX und SIGMA für Integranden konzipiert sind, die eine ganzzahlige Funktion, z. B. die oben dargestellte Fakultätsfunktion (!), umfassen. Sie erzeugen eine so genannte diskrete Ableitung, d. h.
Der Taschenrechner verfügt zum Berechnen bestimmter Integrale auch über das Integralsymbol als Tastenkombination ‚Á (der U-Taste zugeordnet). Integrale können am einfachsten im EquationWriter erstellt werden (ein Beispiel hierfür finden Sie in Kapitel 2). Im EquationWriter erhalten Sie mit dem Symbol ‚Á das Integralzeichen sowie Platzhalter für die Integrationsgrenzen (a,b), für die Funktion f(x) und für die Integrationsvariable (x).
Das Integral kann auch im EquationWriter berechnet werden, indem Sie den gesamten Ausdruck auswählen und die Menütaste @EVAL verwenden. Schrittweise Berechnung von Ableitungen und Integralen Wenn in den CAS MODES-Fenstern die Option Step/Step ausgewählt ist (siehe Kapitel 1), wird die Berechnung von Ableitungen und Integralen in einzelnen Schritten angezeigt. In der folgenden Abbildung wird z. B.
!!! Beachten Sie, dass durch das schrittweise Vorgehen Informationen über die von CAS zum Lösen dieses Integrals ausgeführten Zwischenschritte bereitgestellt werden. CAS bestimmt zunächst ein Quadratwurzelintegral, dann einen rationalen Bruch sowie einen zweiten rationalen Ausdruck und liefert dann das Endergebnis. Beachten Sie, dass diese Schritte für den Taschenrechner sinnvoll sind, obwohl für den Benutzer nicht genügend Informationen über die einzelnen Schritte geboten werden.
Methoden der Integration Wie in den folgenden Beispielen gezeigt, können mit dem Taschenrechner mehrere Integrationsmethoden angewendet werden. Substitution oder Ändern von Variablen Angenommen, wir möchten das Integral berechnen. Bei einer schrittweisen Berechnung im EquationWriter lautet die Abfolge der Variablensubstitutionen wie folgt: Im zweiten Schritt wird die zu verwendende passende Substitution dargestellt, u = x2-1.
Partielle Integration und Differenziale Ein Differenzial einer Funktion y = f(x) ist als dy = f'(x) dx definiert, wobei f'(x) die Ableitung von f(x) ist. Differenziale werden für die Darstellung kleiner Inkremente in den Variablen verwendet. Das Differenzial eines Produkts zweier Funktionen y = u(x)v(x) wird durch dy = u(x)dv(x) + du(x)v(x) oder einfach durch d(uv) = udv - vdu angegeben. Somit wird das Integral von udv = d(uv) - vdu als ∫ udv = ∫ d (uv) − ∫ vdu geschrieben.
Somit können wir die Funktion IBP verwenden, um die Komponenten einer partiellen Integration bereitzustellen. Der nächste Schritt muss separat ausgeführt werden. Es ist wichtig zu erwähnen, dass das Integral direkt berechnet werden kann, indem z. B. folgende Eingabe verwendet wird: Integration durch Partialbruchzerlegung Die in Kapitel 5 vorgestellte Funktion PARTFRAC ermöglicht die Zerlegung eines Bruches in Partialbrüche.
Uneigentliche Integrale Hierbei handelt es sich um Integrale mit Unendlich als Integrationsgrenze. Üblicherweise wird bei einem uneigentlichen Integral zunächst das Integral als Grenzwert gegen Unendlich berechnet, z. B. ∫ ∞ 1 ε dx dx = lim . x 2 ε →∞ ∫ 1 x 2 Mit dem Taschenrechner setzen wir die Berechnung wie folgt fort: Stattdessen können Sie auch das Integral mit Unendlich als Grenzwert sofort berechnen, z. B.
Geben Sie das Integral mit dem CAS auf Exact-Modus eingestellt ein, werden Sie aufgefordert in den Approx-Modus umzustellen. Die Grenzen des Integrals werden jedoch in einem anderen Format ausgegeben, wie hier gezeigt: Die hier gezeigten Grenzen sind 1×1_mm und 0×1_mm, was 1_mm und 0_mm entspricht. Beachten Sie nur die unterschiedlichen Ausgabeformate.
3 – Der Integrand kann auch zwei Einheiten beinhalten. Zum Beispiel: 4 – Beinhalten beide, die Grenzwerte wie auch der Integrand, Einheiten, wird das Ergebnis eine Kombination dieser Einheiten, entsprechend den Regeln der Integration, sein. Zum Beispiel: Unendliche Reihen ∞ Eine unendliche Reihe hat die Form ∑ h ( n )( x − a ) n . Unendliche Reihen n = 0 ,1 beginnen normalerweise mit dem Index n = 0 oder n = 1. Jedes Glied der Reihe besitzt einen Koeffizienten h(n), der vom Index n abhängt.
Wenn x0 gleich Null ist, wird die Reihe als MacLaurin-Reihe bezeichnet, d. h. ∞ f ( x) = ∑ n=0 f ( n ) (0) n ⋅x n! Taylor-Polynom und Rest In der Realität können nicht alle Glieder einer unendlichen Reihe berechnet werden. Stattdessen berechnen wir mit einem Polynom der Ordnung k, Pk(x) einen Näherungswert für die Reihe und schätzen die Ordnung eines Residuums Rk(x), sodass k f ( x) = ∑ n =0 d. h.
Funktionen TAYLR, TAYLR0 und SERIES Die Funktionen TAYLR, TAYLR0 und SERIES werden zum Erzeugen von TaylorPolynomen sowie für Taylor-Reihen mit Residuen verwendet. Diese Funktionen sind im Menü CALC/LIMITS&SERIES verfügbar, das bereits in diesem Kapitel beschrieben wurde. Die Funktion TAYLOR0 führt eine MacLaurin-Entwicklung um X = 0 eines Ausdrucks in der unabhängigen Standardvariablen VX (in der Regel ’X’) durch. Bei der Entwicklung wird eine relative Potenz 4. Ordnung verwendet, d. h.
2 - Einen äquivalenten Wert für die Funktion nahe x = a 3 - Einen Ausdruck für das Taylor-Polynom 4 - Die Ordnung des Residuums bzw. Restes Wegen der relativ umfangreichen Ausgabe ist diese Funktion im RPN-Modus leichter zu handhaben. Beispiel: Entfernen Sie den Inhalt der Ebene 1 des Stacks, indem Sie ƒ drücken, und geben Sie dann μ ein, um die Liste in ihre Bestandteile zu zerlegen.
Kapitel 14 Anwendungen der multivariaten Analysis/ Infinitesimalrechnung Die Bezeichnung „Multivariate Analysis/ Infinitesimalrechnung“ bezieht sich auf Funktionen mit mindestens zwei Variablen. In diesem Kapitel werden die Grundkonzepte der multivariaten Infinitesimalrechnung einschließlich partieller Ableitungen und mehrfacher Integrale erläutert: Multivariate Funktionen Eine Funktion mit mindestens zwei Variablen kann im Taschenrechner mit der Funktion DEFINE („à) definiert werden.
Partielle Ableitungen Betrachten Sie die Funktion mit zwei Variablen z = f(x,y). Die partielle Ableitung der Funktion für x ist definiert durch den Grenzwert f ( x + h, y ) − f ( x , y ) ∂f = lim . h ∂x h→0 Entsprechend ist ∂f f ( x, y + k ) − f ( x , y ) = lim . ∂y k →0 k Wir verwenden die zuvor definierten multivariaten Funktionen, um mit diesen Definitionen partielle Ableitungen zu berechnen. Dies sind die Ableitungen von f(x,y) für x bzw.
Bei dieser Berechnung behandeln wir y als Konstante und berechnen Ableitungen des Ausdrucks nach x. Entsprechend können Sie die Ableitungsfunktionen des Taschenrechners, z. B. DERVX, DERIV und ∂ (in Kapitel 13 ausführlich beschrieben), zum Berechnen von partiellen Ableitungen verwenden. Entsinnen Sie sich, dass die Funktion DERVX die CAS-Standardvariable VX (in der Regel „X“) verwendet. Sie können daher mit DERVX nur Ableitungen nach X berechnen.
Ableitung an. Auf der linken Seite wird die Ableitung zunächst nach x und dann nach y berechnet, und auf der rechten Seite ist die Reihenfolge umgekehrt. Es ist wichtig darauf hinzuweisen, dass bei einer stetigen und differenzierbaren Funktion Folgendes gilt: ∂2 f ∂2 f = . ∂y∂x ∂x∂y Ableitungen dritter, vierter und höherer Ordnung werden auf ähnliche Weise definiert. Um mit dem Taschenrechner Ableitungen höherer Ordnung zu berechnen, wenden Sie einfach die Ableitungsfunktion so häufig wie erforderlich an.
Das Ergebnis wird durch d1y(t)⋅d2z(x(t),y(t))+d1x(t)⋅d1z(x(y),y(t)) ausgegeben. Der Ausdruck d1y(t) bedeutet „die Ableitung von y(t) für die erste unabhängige Variable, d. h. t“ oder d1y(t) = dy/dt. Entsprechend ist d1x(t) = dx/dt. Andererseits bedeutet d1z(x(t),y(t)) „die erste Ableitung von z(x,y) für die erste unabhängige Variable, d. h. x“ oder d1z(x(t),y(t)) = ∂z/∂x. Entsprechend ist d2z(x(t),y(t)) = ∂z/∂y.
Der Punkt (xo,yo) ist ein relatives Maximum, wenn ∂2f/∂x2 < 0, oder ein relatives Minimum, wenn ∂2f/∂x2 > 0. Der Wert Δ wird als Diskriminante bezeichnet. Wenn Δ = (∂2f/∂x2)⋅(∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 < 0, liegt eine als Sattelpunkt bezeichnete Bedingung vor, wobei die Funktion bei x ein Maximum erreicht, wenn y als Konstante beibehalten wird, während gleichzeitig ein Minimum erreicht wird, wenn x als Konstante beibehalten wird, oder umgekehrt.
Verwenden der Funktion HESS zur Analyse von Extremwerten Die Funktion HESS kann wie folgt zum Analysieren der Extremwerte einer Funktion zweier Variablen verwendet werden. Als Eingabe für die Funktion HESS werden generell eine Funktion mit n unabhängigen Variablen φ(x1, x2, …,xn) und ein Vektor der Funktionen [’x1’ ’x2’… ’xn’] verwendet.
Gehen Sie beispielsweise für die Funktion f(X,Y) = X3-3X-Y2+5 im RPN-Modus wie folgt vor: ’X^3-3*X-Y^2+5’ ` [‘X’,’Y’] ` HESS SOLVE μ ‘s1’ K ‘s2’ K Funktion und Variablen eingeben Funktion HESS anwenden Kritische Punkte suchen Vektor zerlegen Kritische Punkte speichern Die Variablen s1 und s2 enthalten an dieser Stelle die Vektoren [’X=-1’, ’Y=0’] bzw. [’X=1’, ’Y=0’]. Die Hesse-Matrix befindet sich an dieser Stelle auf Ebene 1.
Integral einer Funktion f(x,y) über einem Bereich R auf der x-y-Fläche, das den Rauminhalt des Körpers unter der Fläche f(x,y) über dem Bereich R darstellt. Der Bereich R kann als R = {a
Jacobimatrix einer Koordinatentransformation Betrachten Sie die Koordinatentransformation x = x(u,v), y = y(u,v). Die Jacobimatrix dieser Transformation wird definiert als ⎛ ∂x ⎜ | J |= det( J ) = det⎜ ∂u ⎜ ∂y ⎜ ⎝ ∂u ∂x ⎞ ⎟ ∂v ⎟ ∂y ⎟ ⎟ ∂v ⎠ Wenn Sie mit dieser Transformation ein Integral berechnen, lautet der zu verwendende Ausdruck ∫∫φ ( x, y)dydx = ∫∫φ[ x(u, v), y(u, v)] | J | dudv , R R' wobei R' der durch die Koordinaten (u,v) angegebene Bereich R ist.
Integranden enthalten ist.
Kapitel 15 Anwendungen der Vektorrechnung In diesem Kapitel stellen wir mehrere Funktionen aus dem Menü CALC für die Berechnung von Skalar- und Vektorfeldern vor. Das Menü CALC wurde in Kapitel 13 ausführlich vorgestellt. Wir haben insbesondere auf mehrere Funktionen im Menü DERIV&INTEG hingewiesen, die für die Vektorrechnung verwendet werden können, nämlich CURL, DIV, HESS und LAPL. Ändern Sie für die Übungen in diesem Kapitel das Winkelmaß in Bogenmaß (Radian).
gradφ = ∇φ = i ⋅ ∂φ ∂φ ∂φ + j⋅ +k⋅ ∂x ∂y ∂z definiert ist. Das Skalarprodukt des Gradienten einer Funktion mit einem bestimmten Einheitsvektor stellt die Änderungsrate der Funktion entlang diesem bestimmten Vektor dar.Diese Änderungsrate wird als Richtungsableitung Duφ(x,y,z) = u•∇φ der Funktion bezeichnet. Die maximale Änderungsrate der Funktion erfolgt an jedem beliebigen Punkt in der Richtung des Gradienten, d. h. entlang einem Einheitsvektor u = ∇φ/|∇φ|.
Geben Sie das Programm im RPN-Modus ein. Nachdem Sie den ALG-Modus gestartet haben, können Sie die Funktion GRADIENT wie im folgenden Beispiel aufrufen: Verwenden der Funktion HESS zum Erhalten des Gradienten Mit der Funktion HESS können Sie den Gradienten einer Funktion wie im Folgenden dargestellt erhalten. Wie in Kapitel 14 erläutert, wird als Eingabe für die Funktion HESS eine Funktion mit n unabhängigen Variablen φ(x1, x2, …,xn) und ein Vektor der Funktionen [„x1“ „x2“…„xn“] verwendet.
Vektorfeldes zu berechnen, sofern dies existiert. Wenn beispielsweise F(x,y,z) = xi + yj + zk ist, ergibt sich durch Anwenden der Funktion POTENTIAL Folgendes: Da die Funktion SQ(x) den Wert x2 darstellt, gibt dieses Ergebnis an, dass die Potentialfunktion für das Vektorfeld F(x,y,z) = xi + yj + zk durch die Gleichung φ(x,y,z) = (x2+y2+z2)/2 dargestellt wird.
Die Divergenz eines Vektorfeldes kann mit der Funktion DIV berechnet werden. Beispielsweise wird für F(X,Y,Z) = [XY,X2+Y2+Z2,YZ] die Divergenz wie folgt im ALG-Modus berechnet: Laplace-Operator Die Divergenz des Gradienten einer Skalarfunktion ergibt einen Operator, der als Laplace-Operator bezeichnet wird. Der Laplace-Operator einer Skalarfunktion φ(x,y,z) wird somit durch ∇ 2φ = ∇ • ∇ φ = ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 angegeben.
⎛ ∂h ∂g ⎞ ⎛ ∂f ∂h ⎞ ⎛ ∂h ∂g ⎞ = i⎜⎜ − ⎟⎟ + j⎜ − ⎟ + k ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂y ∂z ⎠ Die Rotation des Vektorfeldes kann mit der Funktion CURL berechnet werden.
Andererseits ist das Vektorfeld F(x,y,z) = xi + yj + zk tatsächlich rotationsfrei, wie unten gezeigt: Vektorpotential Wenn für ein Vektorfeld F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k eine Vektorfunktion Φ(x,y,z) = φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k vorhanden ist, sodass F = curl Φ = ∇× Φ, wird die Funktion Φ(x,y,z) als Vektorpotential von F(x,y,z) bezeichnet.
Die Beziehung der Komponenten des Vektorfeldes F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j +h(x,y,z)k und der Vektorpotentialfunktion Φ(x,y,z) = φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k wird durch f = ∂η/∂y - ∂ψ/∂x, g = ∂φ/∂z - ∂η/∂x und h = ∂ψ/∂x - ∂φ/∂y bestimmt. Als Bedingung für das Vorhandensein der Funktion Φ(x,y,z) ist, dass div F = ∇ •F = 0, d. h. ∂f/∂x + ∂g/∂y + ∂f/∂z = 0. Wenn daher diese Bedingung nicht erfüllt ist, ist die Vektorpotentialfunktion Φ(x,y,z) nicht vorhanden.
Kapitel 16 Differentialgleichungen In diesem Kapitel stellen wir Beispiele zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODE) mithilfe der Rechnerfunktionen vor. Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die Ableitungen der unabhängigen Variable einschließt. In den meisten Fällen suchen wir die abhängige Funktion, welche die Differentialgleichung erfüllt.
~„x™*‚¿~„x„ Ü~„u„ Ü ~„x ™™ +~„u„ Ü ~„x™ Q2 ‚ Å 1/ ~„x` Das Ergebnis lautet: ‘∂x(∂x(u(x)))+3*u(x)*∂x(u(x))+u^2=1/x ’. Dieses Format wird auf dem Display angezeigt, wenn die Option _Textbook in der Display-Einstellung (H@)DISP) nicht aktiviert ist. Drücken Sie ˜ zum Anzeigen der Gleichung im EquationWriter.
Lösungen im Taschenrechner überprüfen Um unter Verwendung des Taschenrechners zu überprüfen, ob eine Funktion eine bestimmte Gleichung erfüllt, verwenden Sie die Funktion SUBST (siehe Kapitel 5), um die Lösung in der Form ‘y = f(x)’ oder ‘y = f(x,t)’, usw. in die Differentialgleichung einzusetzen. Möglicherweise müssen Sie das Ergebnis mithilfe von EVAL vereinfachen, um die Lösung zu bestätigen. Um z. B.
Wenn Sie die Steigungsfeld-Zeichnung manuell nachzeichnen könnten, könnten Sie mit der Hand die Linien verfolgen, die zu den in der Zeichnung gezeigten Liniensegmenten tangential verlaufen. Diese Linien bilden die Linien von y(x,y) = konstant für die Lösung von y’ = f(x,y). Steigungsfelder sind nützliche Hilfsmittel bei der Anzeige außergewöhnlich schwierig zu lösender Gleichungen.
Lösung linearer und nicht-linearer Gleichungen Eine Gleichung, in der die abhängige Variable und all ihre Ableitungen ersten Grades sind, wird lineare Differentialgleichung genannt. Anderenfalls wird die Gleichung als nicht-linear bezeichnet. Beispiele für lineare Differentialgleichungen sind: d²x/dt2 + β⋅(dx/dt) + ωo⋅x = A sin ωf t, und ∂C/ ∂t + u⋅(∂C/∂x) = D⋅(∂2C/∂x2).
wobei cC0, cC1, und cC2 Integrationskonstanten sind. Dieses Ergebnis scheint sehr kompliziert zu sein, kann aber vereinfacht werden durch Verwendung von K1 = (10*cC0-(7+cC1-cC2))/40, K2 = -(6*cC0-(cC1+cC2))/24, und K3 = (15*cC0+(2*cC1-cC2))/15. Die Lösung lautet dann: y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x.
Anmerkung: Dieses Ergebnis ist übertragbar auf alle nicht-homogenen linearen ODEs, d.h. vorausgesetzt die Lösung der homogenen Gleichung yh(x)ist bekannt, kann die Lösung der entsprechenden nicht-homogenen Gleichung y(x), als y(x) = yh(x) + yp(x), geschrieben werden, wobei yp(x) eine spezielle Lösung der ODE ist.
Die Lösung wird als Vektor mit den Funktionen [x1(t), x2(t)] angezeigt. Durch Drücken von ˜ wird der MatrixWriter gestartet. Dieser ermöglicht dem Anwender die Komponenten des Vektors anzusehen. Um alle Details jeder einzelnen Komponente zu sehen, drücken Sie die Softmenü-Taste @EDIT!. Vergewissern Sie sich, dass die Komponenten wie folgt lauten: Funktion DESOLVE Der Taschenrechner kann mithilfe der Funktion DESOLVE (Löser für Differentialgleichungen) bestimmte Arten von Differentialgleichungen lösen.
( ) y ( x) = exp(− x 3 / 3) ⋅ ∫ 5 ⋅ exp( x 3 / 3) ⋅ dx + cC0 . Die Variable ODETYPE Auf den Kennzeichnungen für die Funktionstasten werden Sie eine neue Variable @ODETY (ODETYPE) erkennen. Diese Variable wird beim Aufruf der Funktion DESOL erzeugt und enthält einen String, der die Art der als Eingabe für DESOLVE verwendeten ODE zeigt. Drücken Sie @ODETY, um den String “1st order linear” zu erhalten. Beispiel 2 – Lösen Sie die ODE zweiter Ordnung: d2y/dx2 + x (dy/dx) = exp(x).
Dann können wir schreiben: dy/dx = (C + exp x)/x = C/x + ex/x. Sie können versuchen, im Taschenrechner zu integrieren: ‘d1y(x) = (C + EXP(x))/x’ ` ‘y(x)’ ` DESOLVE Das Ergebnis lautet: { ‘y(x) = INT((EXP(xt)+C)/xt,xt,x)+C0’ }, d.h.., y ( x) = ∫ ⋅ ex + C dx + C 0 x Wenn wir versuchen die Integration manuell durchzuführen, schaffen wir das nur bis: y ( x) = ∫ ⋅ ex dx + C ⋅ ln x + C 0 , x weil das Integral von exp(x)/x in geschlossener Form nicht vorhanden ist.
Anmerkung: Um Brüche für Dezimalwerte zu erhalten, verwenden Sie die Funktion Q (siehe Kapitel 5). Die Lösung hierfür lautet: Drücken Sie μμ, um das Ergebnis wie folgt zu vereinfachen: ‘y(t) = -((19*√5*SIN(√5*t)-(148*COS(√5*t)+80*COS(t/2)))/190)’. Drücken Sie J @ODETY ,um den String “Linear w/ cst coeff” für den ODETyp in diesem Fall zu erhalten.
Definitionen Die Laplace-Transformation für die Funktion f(t) ist die Funktion F(s), definiert als L{ f (t )} = F ( s ) = ∫ ∞ 0 f (t ) ⋅ e − st dt. Die Bildvariable s kann eine komplexe Zahl sein und ist normalerweise auch eine. Viele praktische Anwendungen der Laplace-Transformation enthalten eine ursprüngliche Funktion f(t), in der t für Zeit steht, z. B. in Kontrollsysteme in elektrischen oder hydraulischen Schaltkreisen.
Beispiel 1 – Um die Definition der Laplace-Transformation zu erhalten, verwenden Sie Folgendes: ‘f(X)’ ` L P im RPN-Modus oder L P(F(X)) im ALG-Modus. Der Taschenrechner gibt das Ergebnis (RPN links, ALG rechts) wie folgt wieder: Vergleichen Sie diese Ausdrücke mit den vorher in der Definition der LaplaceTransformation angegebenen, d.h.
Beispiel 4 – Bestimmen Sie die inverse Laplace-Transformation von F(s) = 1/s3. Verwenden Sie: ‘1/X^3’ ` ILAP μ. Der Taschenrechner kommt zu folgendem Ergebnis: ‘X^2/2’, was als L -1{1/s3} = t2/2 interpretiert wird. Beispiel 5 – Bestimmen Sie die Laplace-Transformation der Funktion f(t) = cos (a⋅t+b). Verwenden Sie: ‘COS(a*X+b)’ ` LAP. Der Taschenrechner kommt zu folgendem Ergebnis: Drücken Sie μ, um –(a sin(b) – X cos(b))/(X2+a2) zu erhalten.
A(s) = L{a(t)} = L{d2r/dt2}= s2⋅R(s) - s⋅ro – v o. • Ableitungssatz für die n-te Ableitung. Sei f (k)o = dkf/dxk|t = 0, und fo = f(0), dann gilt L{dnf/dtn} = sn⋅F(s) – sn-1⋅fo −…– s⋅f(n-2)o – f (n-1) o. • Linearitätssatz. L{af(t)+bg(t)} = a⋅L{f(t)} + b⋅L{g(t)}. • Ableitungssatz für die Bildfunktion. Angenommen F(s) = L{f(t)}, dann gilt dnF/dsn = L{(-t)n⋅f(t)}. Beispiel 3 – Sei f(t) = e–at, unter Verwendung des Taschenrechners mit ‘EXP(a*X)’ ` LAP, und Sie erhalten ‘1/(X+a)’, oder F(s) = 1/(s+a).
L {∫ t 0 } f (u ) g (t − u )du = L{( f * g )(t )} = L{ f (t )} ⋅L{g (t )} = F ( s) ⋅ G ( s ) Beispiel 4 – Verwenden Sie den Faltungssatz und berechnen Sie die LaplaceTransformation von (f*g)(t), if f(t) = sin(t), und g(t) = exp(t). Zur Berechnung von F(s) = L{f(t)}, und G(s) = L{g(t)}, verwenden Sie: ‘SIN(X)’ ` LAP μ. Ergebnis: ‘1/(X^2+1)’, d.h., F(s) = 1/(s2+1). Und: ‘EXP(X)’ ` LAP. Ergebnis: ‘1/(X-1)’, d.h. G(s) = 1/(s-1).
• Grenzwerttheorem für den Anfangswert: Sei F(s) = L{f(t)}, dann gilt: f 0 = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s)]. t →0 • s →∞ Grenzwerttheorem für den endgültigen Wert: Sei F(s) = L{f(t)}, dann gilt: f ∞ = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s)].
⎧1, x > 0 H ( x) = ⎨ ⎩0, x < 0 Für eine kontinuierliche Funktion f(x): ∫ ∞ −∞ f ( x) H ( x − x0 )dx = ∫ ∞ x0 f ( x)dx. Die Dirac’sche Deltafunktion und Heavisides Schrittfunktion sind durch dH/dx = δ(x) verbunden. Die zwei Funktionen sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt. y y (x _ x 0 ) H(x _ x 0 ) 1 x0 x x0 x Sie können beweisen, dass L{H(t)} = 1/s, woraus hervorgeht, dass L{Uo⋅H(t)} = Uo/s ist, wobei Uo eine Konstante ist. Weiter gilt L -1{1/s}=H(t) und L -1{ Uo /s}= Uo⋅H(t).
Sie erhalten die Dirac’sche Deltafunktion im Taschenrechner durch Verwendung von: 1` ILAP Das Ergebnis lautet ‘Delta(X)’. Das Ergebnis ist rein symbolisch, d. h. Sie können keinen numerischen Wert für ‘Delta(5)’ finden. Dieses Ergebnis kann als Laplace-Transformation der Dirac’schen Deltafunktion bezeichnet werden, weil aus L -1{1.0}= δ(t), folgt, dass L{δ(t)} = 1.
L{dh/dt + k⋅h(t)} = L{a⋅e–t}, L{dh/dt} + k⋅L{h(t)} = a⋅L{e–t}. Anmerkung: ‘EXP(-X)’ ` LAP ergibt ‘1/(X+1)’, d.h. L{e–t }=1/(s+1). Mit H(s) = L{h(t)}, und L{dh/dt} = s⋅H(s) - ho, wobei ho = h(0) ist, lautet die umgewandelte Gleichung s⋅H(s)-ho+k⋅H(s) = a/(s+1). Verwenden Sie den Taschenrechner zum Lösen nach H(s) durch Eingabe von: ‘X*H-h0+k*H=a/(X+1)’ ` ‘H’ ISOL Das Ergebnis ist ‘H=((X+1)*h0+a)/(X^2+(k+1)*X+k)’.
Anmerkung: Wenn Sie die Funktion LDEC zur Lösung einer linearer ODE der Ordnung n in f(X) verwenden, wird das Ergebnis in Form von n Konstanten cC0, cC1, cC2, …, cC(n-1) angezeigt, die die Anfangsbedingungen f(0), f’(0), f”(0), …, f(n-1) (0) darstellen. Beispiel 2 – Verwenden Sie die Laplace-Transformation zur Lösung der linearen Gleichung zweiter Ordnung d2y/dt2+2y = sin 3t.
d.h. y(t) = -(1/7) sin 3x + yo cos √2x + (√2 (7y1+3)/14) sin √2x. Überprüfen Sie wie die Lösung der ODE aussähe, wenn Sie die Funktion LDEC verwenden würden. ‘SIN(3*X)’ ` ‘X^2+2’ ` LDEC μ Das Ergebnis lautet: D.h. wir erhalten das gleiche Ergebnis wie zuvor mit cC0 = y0 und cC1 = y1.
Mit ‘Delta(X-3)’ ` LAP errechnet der Taschenrechner EXP(-3*X), d.h., L{δ(t3)} = e–3s. Mit Y(s) = L{y(t)}, und L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, wobei yo = h(0) ist und y1 = h’(0), lautet die umgewandelte Gleichung s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + Y(s) = e–3s. Verwenden Sie den Taschenrechner zum Lösen nach Y(s) durch Eingeben von: ‘X^2*Y-X*y0-y1+Y=EXP(-3*X)’ ` ‘Y’ ISOL Das Ergebnis lautet ‘Y=(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)’.
Somit können wir den Taschenrechner verwenden, um folgendes Ergebnis zu erhalten: ‘X/(X^2+1)’ ` ILAP Ergebnis, ‘COS(X)’, d.h., L -1{s/(s2+1)}= cos t. ‘1/(X^2+1)’ ` ILAP Ergebnis, ‘SIN(X)’, d.h.., L -1{1/(s2+1)}= sin t. ‘EXP(-3*X)/(X^2+1)’ ` ILAP Ergebnis, SIN(X-3)*Heaviside(X-3)’. [2]. Das letzte Ergebnis, d.h.
Definition und Anwendung der Schrittfunktion von Heaviside im Taschenrechner Durch das vorhergehende Beispiel haben Sie einige Erfahrungen in der Verwendung der Dirac’schen Deltafunktion als Eingabe in einem System (d.h. im rechten Teil der ODE bei der Beschreibung des Systems). In diesem Beispiel verwenden wir die Schrittfunktion von Heaviside H(t).
Anfangsbedingungen yo = 0.5, und y1 = -0.25. Lassen Sie uns sehen, wie diese Funktion aussieht: • Drücken Sie „ô (gleichzeitig, falls Sie im RPN-Modus arbeiten), um ins Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Ändern Sie ggf. TYPE auf FUNCTION. Ändern Sie EQ auf ‘0.5*COS(X)-0.25*SIN(X)+SIN(X-3)*H(X-3)’. Vergewissern Sie sich, dass Indep auf ‘X’ gesetzt ist. H-VIEW: 0 20, V-VIEW: -3 2. Drücken Sie @ERASE @DRAW um den Graphen der Funktion zu erzeugen.
‘X^2*Y-X*y0-y1+Y=(1/X)*EXP(-3*X)’ ` ‘Y’ ISOL. Das Ergebnis lautet ‘Y=(X^2*y0+X*y1+EXP(-3*X))/(X^3+X)’. Um die Lösung der ODE y(t) zu finden, müssen wir die inverse LaplaceTransformation wie folgt verwenden: OBJ ƒ ƒ ILAP Isoliert den rechten Teil des letzten Ausdrucks Führt die inverse Laplace-Transformation durch Das Ergebnis lautet ‘y1*SIN(X-1)+y0*COS(X-1)-(COS(X-3)-1)*Heaviside(X-3)’. Somit schreiben wir als Lösung: y(t) = yo cos t + y1 sin t + H(t-3)⋅(1+sin(t-3)).
y(t) = 0.5 cos t –0.25 sin t + (1+sin(t-3))⋅H(t-3). Im Bereich 0 < t < 20 und bei Änderung des vertikalen Bereichs auf (-1,3), sollte die Grafik wie folgt aussehen. Wiederum gibt es eine neue Komponente in der Bewegung, die bei t=3, d.h. der besondere Lösung yp(t) = [1+sin(t-3)]⋅H(t-3), einsetzt und die Lösung für t>3 verändert.
Beispiele für die von diesen Funktionen erzeugten Graphen für Uo = 1, a = 2, b = 3, c = 4, horizontaler Bereich = (0,5), und vertikaler Bereich = (-1, 1.5), sehen Sie in den Abbildungen unten: Fourier-Reihen Fourier-Reihen sind Reihen, welche die Sinus- und Kosinusfunktionen einbeziehen und werden typischerweise zur Entwicklung periodischer Funktionen verwendet. Eine Funktion f(x) wird als periodisch mit Periode T bezeichnet, wenn f(x+T) = f(t).
bn = ∫ T /2 −T / 2 f (t ) ⋅ sin 2nπ t ⋅ dt. T Die folgenden Übungen werden im ALG-Modus durchgeführt, wobei der CASModus auf Exact gesetzt ist. (Wenn Sie eine Grafik produzieren, wird der CASModus auf Approx. zurückgesetzt. Vergessen Sie nicht, ihn wieder auf Exact umzustellen, nachdem die Grafik erzeugt wurde). Angenommen die Funktion f(t) = t2+t ist periodisch mit Periode T = 2.
Ein grafischer Vergleich der ursprünglichen Funktion mit der Fourier-Entwicklung unter Verwendung der drei Terme zeigt, dass die Annäherung für t < 1, oder um diesen Bereich herum, akzeptabel ist. Wir hatten jedoch angenommen, dass T/2 = 1. Deshalb ist die Annäherung nur zwischen –1 < t < 1 gültig.
Mithilfe des Taschenrechners im ALG-Modus definieren wir zunächst die Funktionen f(t) und g(t): Als nächstes gehen wir in das CASDIR-Unterverzeichnis unter HOME, um den Wert der Variable PERIOD zu verändern, z. B. „ (gedrückt halten) §`J @)CASDI `2 K @PERIOD ` Kehren Sie zum Unterverzeichnis zurück, in dem Sie die Funktionen f und g definiert haben, und berechnen Sie die Koeffizienten (ggf.
Somit ist c0 = 1/3, c1 = (π⋅i+2)/π2, c2 = (π⋅i+1)/(2π2). Die Fourier-Reihe mit drei Elementen wird wie folgt geschrieben: g(t) ≈ Re[(1/3) + (π⋅i+2)/π2⋅exp(i⋅π⋅t)+ (π⋅i+1)/(2π2)⋅exp(2⋅i⋅π⋅t)]. Eine Zeichnung der verschobenen Funktion g(t) und der Fourier-ReihenAnnäherung folgt: Die Annäherung ist einigermaßen annehmbar für 0
Nach Vereinfachung des vorherigen Ergebnisses lautet der allgemeine Ausdruck: (nπ + 2i ) ⋅ e 2inπ + 2i 2 n 2π 2 + 3nπ − 2i cn = 2n 3π 3 ⋅ e 2inπ Wir können diesen Ausdruck noch weiter vereinfachen, wenn wir die Eulersche Formel für komplexe Zahlen verwenden, d.h. e2inπ = cos(2nπ) + i⋅sin(2nπ) = 1 + i⋅0 = 1, da cos(2nπ) = 1 und sin(2nπ) = 0 für n ganzzahlig. Mit dem Taschenrechner können Sie den Ausdruck im Gleichungsschreiber vereinfachen (‚O), indem Sie e2inπ = 1ersetzen.
• Definieren Sie nun die endliche komplexe Fourier-Reihe F(X,k), wobei X die unabhängige Variable ist und k die Anzahl der zu verwendenden Terme bestimmt.
Die Funktion @@@F@@@ kann verwendet werden, um den Ausdruck für komplexe Fourier-Reihen für einen endlichen Wert von k zu verändern. Für k = 2, c0 = 1/ 3 und mit t als unabhängige Variable können wir F(t,2,1/3) beispielsweise auswerten, um Folgendes zu erhalten: Das Ergebnis zeigt nur den ersten Term (c0) und einen Teil des ersten Exponentialterms in der Reihe. Das Dezimalformat wurde auf auf Fix mit 2 Dezimalstellen geändert, um einige Koeffizienten in der Entwicklung und im Exponenten anzuzeigen.
F (0.5, 5, 1/3) = (-0.294394690453,0.) F (0.5, 6, 1/3) = (-0.305652599743,0.
Fourier-Reihe für eine Dreieckschwingung Beachten Sie die Funktion ⎧ x, if 0 < x < 1 , g ( x) = ⎨ 2 − x , if 1 < x < 2 ⎩ die wir als periodisch mit T = 2 annehmen. Diese Funktion kann im Taschenrechner im ALG-Modus durch folgenden Ausdruck definiert werden: DEFINE(‘g(X) = IFTE(X<1,X,2-X)’) Wenn Sie Beispiel 1 schon beendet haben, haben Sie bereits einen Wert für 2 in der CAS Variable PERIOD gespeichert. Wenn Sie sich nicht sicher sind, überprüfen Sie den Wert dieser Variable und speichern Sie ggf.
Der Taschenrechner ermittelt ein Integral, das numerisch nicht ausgewertet werden kann, weil es vom Parameter n abhängt. Der Koeffizient kann dennoch berechnet werden, indem seine Definition in den Taschenrechner eingegeben wird, d.h. 1 1 ⎛ i⋅2⋅n ⋅π⋅X⎞ ⋅ ∫ X ⋅ EXP⎜ − ⎟ ⋅ dX + 2 0 T ⎝ ⎠ 1 2 ⎛ i⋅2⋅n ⋅π⋅X⎞ ⋅ ∫ (2 − X) ⋅ EXP⎜ − ⎟ ⋅ dX 2 1 T ⎝ ⎠ , wobei T = 2 die Periode ist.
Drücken Sie ``, um dieses Ergebnis auf den Bildschirm zu kopieren. Aktivieren Sie dann erneut den EquationWriter, um das zweite Integral zu berechnen, das den Koeffizienten cn, definiert, d.h., Durch Ersetzen von einπ = (-1)n und Verwenden von e2inπ = 1 erhalten wir: Drücken Sie ``, um dieses zweite Ergebnis auf den Bildschirm zu kopieren.
Durch erneutes Ersetzen von!einπ = (-1)n erhalten wir: Dieses Ergebnis wird verwendet, um die Funktion c(n) wie folgt zu definieren: DEFINE(‘c(n) = - (((-1)^n-1)/(n^2*π^2*(-1)^n)’) d.h.
Die resultierende Grafik ist unten für k = 5 aufgeführt (die Anzahl der Elemente in der Reihe ist 2k+1, d.h. 11 in diesem Fall): In der Zeichnung ist es schwierig, die ursprüngliche Funktion von der FourierReihen-Annäherung zu unterscheiden. Die Verwendung von k= 2 bzw. von 5 Termen in der Reihe führt nicht zu einer so guten Annäherung: Die Fourier-Reihe kann verwendet werden, um eine periodische Dreieckschwingung (oder Sägezahnwelle) zu erzeugen, indem der horizontale Achsenbereich z. B.
Fourier-Reihe für eine Rechteckschwingung Eine Rechteckschwingung kann verändert werden unter Verwendung der Funktion: ⎧ 0, if 0 < x < 1 ⎪ g ( x) = ⎨ 1, if 1 < x < 3 ⎪0, if 3 < x < 4 ⎩ In diesem Fall ist die Periode T=4. Achten Sie darauf, dass Sie den Wert der Variable @@@T@@@ auf 4 setzen (verwenden Sie: 4 K @@@T@@ `).
Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir einπ/2 = in und e3inπ/2 = (-i)n verwenden, um Folgendes zu erhalten: Die Vereinfachung des rechten Teils von c(n) oben ist einfacher auf Papier zu vollziehen (d.h. manuell). Geben Sie dann den Ausdruck für c(n) erneut wie in der linken oberen Abbildung ein, um die Funktion c(n) zu definieren. Die Fourier-Reihe wird mit F(X,k,c0) berechnet, wie in den Beispielen 1 und 2 oben mit c0 = 0.5. Für k = 5, d.h.
Eine bessere Annäherung kann durch Verwendung von k = 10 erreicht werden, d.h.: Bei k = 20 ist die Annäherung sogar noch besser, aber die Erstellung der Grafik dauert länger. Fourier-Reihen-Anwendungen bei Differentialgleichungen Nehmen wir an, wir wollen die periodische Rechteckschwingung aus dem vorherigen Beispiel als Anregung eines ungedämpften Feder-Masse-Systems berechnen, dessen homogene Gleichung wie folgt lautet: d2y/dX2 + 0.25y = 0.
Mithilfe dieser zwei Eingaben kommt die Funktion LDEC zu folgendem Ergebnis (Dezimalformat geändert auf Fix mit 3 Dezimalstellen): Drücken Sie ˜ zum Anzeigen des vollständigen Ausdrucks im EquationWriter. Die Untersuchung der Gleichung im EquationWriter bringt hervor, dass zwei Integrationskonstanten existieren, cC0 und cC1. Die Werte kann man mithilfe der Anfangsbedingungen berechnen. Nehmen wir an, wir verwenden die Werte cC0 = 0.5 und cC1 = -0.
Wir können nun den reellen Teil dieser Funktion zeichnen. Wechseln Sie vom Dezimal-Modus auf Standard und verwenden Sie: Die Lösung ist unten angeführt: Fourier-Transformationen Bevor wir auf das Konzept von Fourier-Transformationen eingehen, sprechen wir über die allgemeine Definition einer Integral-Transformation.
∞ f ( x) = a0 + ∑ An ⋅ cos(ϖ n x + φ n ), n =1 wobei ⎛b ⎞ An = a n2 + bn2 , φ n = tan −1 ⎜⎜ n ⎟⎟, ⎝ an ⎠ für n =1,2, … Die Amplitude An wird als das Spektrum der Funktion bezeichnet und ermittelt die Größenordnung der Komponente von f(x) mit der Frequenz fn = n/T. Die Grund- oder Fundamentalfrequenz in der Fourier-Reihe ist f0 = 1/T, somit sind alle anderen Frequenzen Vielfache dieser Grundfrequenz, d.h. fn = n⋅f0.
heranrücken, was die Notwendigkeit eines kontinuierlichen Spektrums von Werten andeutet. Die nicht periodische Funktion kann deshalb wie folgt geschrieben werden: ∞ f ( x) = ∫ [C (ω ) ⋅ cos(ω ⋅ x) + S (ω ) ⋅ sin(ω ⋅ x)]dω , 0 wobei C (ω ) = ∞ 1 ⋅ ∫ f ( x) ⋅ cos(ω ⋅ x) ⋅ dx, 2π −∞ S (ω ) = ∞ 1 ⋅ ∫ f ( x) ⋅ sin(ω ⋅ x) ⋅ dx.
Die Ergebnisse lauten: Das kontinuierliche Spektrum A(ω) wird berechnet als: Definieren Sie diesen Ausdruck durch Verwendung der Funktion DEFINE („à) als Funktion. Zeichnen Sie dann das kontinuierliche Spektrum im Bereich 0 < ω < 10 wie folgt: Definition von Fourier-Transformationen Es können verschiedene Arten von Fourier-Transformationen definiert werden.
∞ Fs−1{F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⋅ dt 0 Fourier-Kosinustransformation Fc{ f (t )} = F (ω ) = 2 π ⋅∫ ∞ 0 f (t ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ dt Inverse-Kosinustransformation ∞ Fc−1 {F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ dt 0 Fourier-Transformation (echte) F { f (t )} = F (ω ) = 1 ∞ ⋅ f (t ) ⋅ e −iωt ⋅ dt 2π ∫−∞ Inverse Fourier-Transformation (echte) ∞ F −1{F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ e −iωt ⋅ dt −∞ Beispiel 1 – Bestimmen Sie die Fourier-Transformation der Funktion f(t) = exp(- t)
= ω ⎞ 1 ⎛ 1 −i⋅ ⎜ ⎟ 2 2π ⎝ 1 + ω 1+ ω 2 ⎠ und stellt eine komplexe Funktion dar. Der Absolutbetrag der reellen und imaginären Teile der Funktion kann wie folgt gezeichnet werden: Anmerkung: Der Absolutbetrag der Fourier-Transformation |F(ω)| ist das Frequenzspektrum der ursprünglichen Funktion f(t). Für das oben angeführte Beispiel gilt |F(ω)| = 1/[2π(1+ω2)]1/2. Die Zeichnung für |F(ω)| gegen ω wurde vorher gezeigt. Einige Funktionen, wie konstante Werte, sin x, exp(x), x2, etc.
( f * g )( x) = 1 2π ⋅ ∫ f ( x − ξ ) ⋅ g (ξ ) ⋅ dξ . Die folgende Eigenschaft gilt für die Faltung: F{f*g} = F{f}⋅F{g}. Fast Fourier-Transformation (FFT) Die Fast Fourier-Transformation/ schnelle Fourier-Transformation ist ein Computeralgorithmus, durch welchen eine diskrete Fourier-Transformation (DFT) sehr effizient berechnet werden kann. Dieser Algorithmus findet in der Analyse verschiedener zeitabhängiger Signale Anwendung, von der Messung von Turbulenzen bis zu Kommunikationssignalen.
Die einzige Voraussetzung für die Anwendung der FFT ist, dass die Zahl n eine Potenz von 2 ist, d.h. wählen Sie Ihre Daten so, dass 2, 4, 8, 16, 32, 62 usw. als Punkte enthalten sind. Beispiele für FFT-Anwendungen FFT-Anwendungen enthalten normalerweise Daten, die aus einem zeitabhängigen Signal diskretisiert wurden. Der Taschenrechner kann z.B. über einen Computer oder Daten-Logger mit diesen Daten gespeist werden, damit sie verarbeitet werden können.
Die unten angeführte Abbildung ist ein Box-Plot der erstellten Daten. Um die Grafik zu erstellen, kopieren Sie zuerst das angelegte Array und transformieren Sie dieses dann in einen Spaltenvektor unter Verwendung von: OBJ 1 + ARRY (Funktionen OBJ und ARRY sind im Befehlskatalog enthalten ‚N). Speichern Sie das Array in ΣDAT mithilfe der Funktion STOΣ (auch über ‚N verfügbar).
Das Spektrum zeigt zwei große Komponenten für zwei Frequenzen (dies sind die sinusförmigen Komponenten sin (3x) und cos(5x)) und eine Reihe kleinerer Komponenten für andere Frequenzen.
haben (einen Reihenvektor), brauchen Sie nur die Funktion IFFT im Menü MTH/ FFT oder über den Befehlskatalog ‚N finden. Eine weitere Möglichkeit ist die Eingabe des Funktionsnamens, d.h. geben Sie ein: ~~ifft`. Das Signal wird als Array (Reihenvektor) mit komplexen Zahlen angezeigt. Wir interessieren uns nur für den reellen Teil der Elemente. Um den reellen Teil aus den komplexen Zahlen zu extrahieren, verwenden Sie die Funktion RE aus dem Menü CMPLX (siehe Kapitel 4), d.h. geben Sie ~~re` ein.
Lösung spezifischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung In diesem Abschnitt zeigen und lösen wir verschiedene Arten gewöhnlicher Differentialgleichungen, deren Lösungen in Form einiger klassischer Funktionen definiert werden, z. B. Bessel-Funktion, Hermite'sche Polynome usw. Die Beispiele sind im RPN-Modus angeführt. Die Cauchy’sche oder Euler-Gleichung Eine Gleichung der Form x2⋅(d2y/dx2) + a⋅x⋅ (dy/dx) + b⋅y = 0, wobei a und b reella Konstanten sind, ist als Cauchy’sche oder Euler-Gleichung bekannt.
Legendre’sche Gleichung Eine Gleichung der Form (1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0, wobei n eine reelle Zahl ist, ist als Legendre’sche Gleichung bekannt. Jede Lösung für diese Gleichung wird Legendre'sche Funktion genannt. Wenn n eine nicht negative Ganzzahl ist, nennt man die Lösungen Legendre’sche Polynome. Das Legendre’sche Polynom der Ordnung n ist gegeben durch M Pn ( x) = ∑ (−1) m ⋅ m =0 = (2n − 2m)! ⋅x n − 2 m 2 ⋅ m!⋅(n − m)!⋅(n − 2m)! n (2n)! (2n − 2)! ⋅ xn − n ⋅ x n − 2 + ... − ..
Bessel-Gleichung Die gewöhnliche Differentialgleichung x2⋅(d2y/dx2) + x⋅ (dy/dx)+ (x2-ν2) ⋅y = 0, wobei der Parameter ν eine nicht negative reale Zahl ist, wird Bessel’sche Differentialgleichung genannt. Lösungen zur Bessel-Gleichung sind als BesselFunktionen erster Art der Ordnung ν gegeben: (−1) m ⋅ x 2 m , 2 m +ν ⋅ m!⋅Γ(ν + m + 1) m =0 2 ∞ J ν ( x ) = xν ⋅ ∑ wobei ν keine Ganzzahl ist. Die Funktion Gamma Γ(α) ist in Kapitel 3 definiert.
‘1-0.25*x^2+0.015625*x^4-4.3403777E-4*x^6+6.782168E-6*x^86.78168*x^10’. Für nicht ganzzahlige Werte ν wird die Lösung zur Bessel-Gleichung gegeben durch: y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅J-ν(x). Für ganzzahlige Werte sind die Funktionen Jn(x) und J-n(x) linear abhängig, da Jn(x) = (-1)n⋅J-n(x), deshalb können wir sie nicht verwenden, um eine allgemeine Funktion für die Gleichung zu erhalten.
Für den Fall n = 0 wird die Bessel-Funktionen zweiter Art definiert als Y0 ( x) = ∞ (−1) m −1 ⋅ hm 2 m ⎤ 2 ⎡ x ⋅ ⎢ J 0 ( x) ⋅ (ln + γ ) + ∑ 2 m ⋅x ⎥. π ⎣ 2 ⋅ (m!) 2 m =0 2 ⎦ Mit diesen Definitionen ist eine allgemeine Lösung der Bessel-Gleichung für alle Werte von ν gegeben durch y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅Yν(x).
genannt. Die Polynome Tn(x) sind Lösungen zur Differentialgleichung x2)⋅(d2y/dx2) − x⋅ (dy/dx) + n2⋅y = 0. (1- Im Rechner erzeugt die Funktion TCHEBYCHEFF das Chebyshev oder Tschebyscheff Polynom der ersten Art mit Ordnung n, gegeben einen Wert n > 0. Wenn die Ganzzahl n (n < 0) negativ ist, erzeugt die Funktion TCHEBYCHEFF ein Tschebyscheff Polynom der zweiten Art mit Ordnung n. Dessen Definition lautet: Un(x) = sin(n⋅arccos(x))/sin(arccos(x)).
Laguerre-Gleichung Laguerre’s Gleichung ist die lineare ODE zweiter Ordnung der Form x⋅(d2y/ dx2) +(1−x)⋅ (dy/dx) + n⋅y = 0. Laguerre-Polynome, definiert als L0 ( x) = 1, Ln ( x) = e x d n (x n ⋅ e−x ) ⋅ , n = 1,2,... , n! dx n sind Lösungen zur Laguerre-Gleichung. Laguerre-Polynome können auch berechnet werden mit: (−1) m m! m =0 n Ln ( x ) = ∑ = 1− n ⋅ x + ⎛n⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ x m . ⎝m⎠ n ( n − 1) 2 ( −1) n n ⋅ x − ... + ....
L0(x) = . L 1(x) = 1-x. L 2(x) = 1-2x+ 0.5x2 L 3(x) = 1-3x+1.5x2-0.16666…x3. Weber-Gleichung und Hermite-Polynome Die Weber-Gleichung wird definiert als: d2y/dx2+(n+1/2-x2/4)y = 0, für n = 0, 1, 2, … Eine spezielle Lösung dieser Gleichung ist durch die Funktion y(x) = exp(-x2/4)H*(x/√2) gegeben, wobei die Funktion H*(x) das Hermite-Polynom ist: H 0 * = 1, H n * ( x) = (−1) n e x 2 d n − x2 (e ), n = 1,2,.. dx n Im Taschenrechner ist die Funktion HERMITE über das Menü ARITHMETIC/ POLYNOMIAL verfügbar.
verwendete Methode ist ein Runge-Kutta Algorithmus vierter Ordnung, der im Taschenrechner vorprogrammiert ist. Beispiel 1 – Angenommen wir möchten die Differentialgleichung dv/dt = -1,5 v1/2, mit v = 4 bei t = 0 lösen. Wir müssen v für t = 2 finden. Zuerst erstellen wir den Ausdruck, indem wir die Ableitung definieren und sie in der Variable EQ speichern. Die Abbildung links zeigt den Befehl im ALG-Modus und die rechte Abbildung zeigt den RPN-Stack vor Drücken von K.
Als nächstes ändern Sie in der SOLVE-Umgebung den endgültigen Wert der unabhängigen Variable auf 0,25, verwenden Sie dazu: —.25 @@OK@@ ™™ @SOLVE (warten) @EDIT (Löst auf nach v bei t = 0,25, v = 3,285 …. ) @@OK@@ INIT+ — . 5 @@OK@@ ™™@SOLVE (warten) @EDIT (Verändert Anfangswert von t auf 0,25 und den endgültigen Wert von t auf 0,5, löst auf nach v(0,5) = 2,640…).
die Funktion Diff Eq wie folgt auswählen: Nehmen wir an, wir wollen die Position x(t) für eine Geschwindigkeitsfunktion v(t) = exp(-t2), mit x = 0 bei t = 0 zeichnen. Wir wissen, dass es für das Integral keinen Ausdruck geschlossener Form gibt, wir wissen jedoch, dass die Definition von v(t) wie folgt lautet: dx/dt = exp(-t2). Der Taschenrechner ermöglicht das Zeichnen der Lösung der Differentialgleichungen der Form Y'(T) = F(T,Y).
Wenn Sie beobachten, wie die Grafik gezeichnet wird, werden Sie erkennen, dass die Grafik nicht sehr fein ist. Der Grund dafür ist, dass der Zeichner einen Zeitschritt verwendet, der für eine feine Zeichnung zu groß sein könnte. Um die Grafik zu vereinfachen und feiner zu gestalten, verwenden Sie einen Schritt von 0,1. Drücken Sie @CANCL und ändern Sie den Step-Wert auf 0,1. Verwenden Sie dann @ERASE @DRAW erneut, um die Grafik neu zu zeichnen.
d 2x dx = −18.75 ⋅ x − 1.962 ⋅ 2 dt dt oder, x" = - 18.75 x - 1.962 x', Die Anfangsbedingungen sind v = x' = 6, x = 0, bei t = 0. Wir möchten x, x' bei t = 2 finden. Schreiben Sie die ODE neu als: w' = Aw, wobei w = [ x x' ]T ist und A die 2 x 2 Matrix, die unten angeführt wird. ' 1 ⎤ ⎡ x⎤ ⎡x⎤ ⎡ 0 ⎢ x'⎥ = ⎢− 18.75 − 1.962⎥ ⋅ ⎢ x'⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Die Anfangsbedingungen werden nun geschrieben als w = [0 6]T, für t = 0. (Anmerkung: Das Symbol [ ]T steht für die Transponierte des Vektors oder der Matrix).
Drücken Sie @SOLVE (warten) @EDIT, um nach w(t=2) aufzulösen. Die Lösung lautet [,16716… -,6271…], d.h., x(2) = 0,16716, und x'(2) = v(2) = -0,6271. Drücken Sie @CANCL, um in die SOLVE-Umgebung zurückzukehren. Lösung als Wertetabelle Im vorherigen Beispiel waren wir nur daran interessiert, die Werte für Position und Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit t zu finden.
verschiedenen Lösungen werden im Speicher angezeigt, das letzte Ergebnis in Ebene 1. Die Endergebnisse sehen wie folgt aus: t 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 x 0.000 0.968 0.748 -0.015 -0.469 x' 6.000 1.368 -2.616 -2.859 -0.607 t x x' 1.25 -0.354 1.281 1.50 0.141 1.362 1.75 0.227 0.268 2.00 0.167 -0.627 Grafische Lösung einer ODE zweiter Ordnung Beginnen Sie mit der Aktivierung des numerischen Differentialgleichungs-Lösers ‚ Ï ˜ @@@OK@@@.
Beachten Sie, dass die Option V-Var: auf 1 gesetzt ist, was darauf hinweist, dass das erste Element in der Vektorlösung, d.h. x’, gegen die unabhängige Variable t gezeichnet werden muss. Bestätigen Sie die Änderungen von PLOT SETUP durch Drücken von L @@OK@@. Drücken Sie dann „ò(gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus sind), um in die PLOT WINDOW—Umgebung zu gelangen. Ändern Sie die Eingabeform, damit sie wie folgt aussieht: Um die „x’ gegen t“-Grafik zu zeichnen, verwenden Sie: @ERASE @DRAW.
Drücken Sie LL @PICT @CANCL$, Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. um zum normalen Numerische Lösung einer steifen ODE erster Ordnung Wir betrachten die ODE: dy/dt = -100y+100t+101, unter der Anfangsbedingung y(0) = 1.
dies zu überprüfen, setzen Sie den numerischen Differentialgleichungs-Löser (‚ Ϙ @@@OK@@@) auf: Hier versuchen wir, den Wert von y(2) zu erhalten, bei y(0) = 1. Markieren Sie das Feld Soln: Final und drücken Sie @SOLVE. Sie können feststellen, dass eine Lösung 6 Sekunden braucht, während die Lösung im Beispiel für die erste Ordnung fast unmittelbar fertig war. Drücken Sie $, um die Berechnung abzubrechen. Dies ist ein Beispiel für eine steife gewöhnliche Differentialgleichung.
Danach verschieben Sie den Kursor auf das Feld Soln:Final und drücken Sie @SOLVE. Diesmal erhalten Sie die Lösung nach ca. 1 Sekunde. Drücken Sie @EDIT, um folgende Lösung anzuzeigen: 2,9999999999, d.h. 3,0. Anmerkung: Die Option Stiff ist auch für grafische Lösungen von Differentialgleichungen verfügbar. Numerische Lösung von ODEs mit dem Menü SOLVE/ DIFF Das Softmenü SOLVE wird aktiviert, indem das 74 MENU im RPN-Modus verwendet wird. Dieses Menü wird in Kapitel 6 näher erklärt.
Stack-Ebene enthält möglicherweise nur den Wert von ε, und der Schritt Δx wird als kleiner Standardwert genommen. Nachdem Sie die Funktion @@RKF@@ ausgeführt haben, wird im Stack Folgendes angezeigt: 2: 1: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} ε Der Wert der Lösung, yfinal, wird in Variable @@@y@@@ verfügbar sein. Diese Funktion ist für Programmiervorgänge geeignet, da die Spezifikationen der Differentialgleichung und die Toleranz im Stack für neue Lösungen bereit stehen.
ersten und zweiten Ableitungen des Ausdrucks. Somit sieht der Eingabe-Stack für diese Funktion aus wie folgt: 3: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’ ‘∂f/∂x’ ‘∂f/∂y’ } 2: { ε Δx } 1: xfinal Der Wert auf der ersten Stack-Ebene ist der Wert der unabhängigen Variable für die Sie eine Lösung finden möchten, d.h. Sie möchten yfinal = fs(xfinal), finden, wobei fs(x) die Lösung zur Differentialgleichung darstellt.
2: 1: ε Δx Nachdem Sie die Funktion ausgeführt haben, wird im Speicher Folgendes angezeigt: 3: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} 2: ε 1: (Δx)next Somit wird diese Funktion verwendet, um die angemessene Größe eines Zeitschrittes zu bestimmen, welcher der erforderlichen Toleranz genügt. Die folgenden Screenshots zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion RKFSTEP: Die Ergebnisse zeigen an, dass (Δx)next = 0,34049…. Funktion RRKSTEP Die Eingabeliste dieser Funktion ist ähnlich wie die der Funktion RRK.
4: 3: 2: 1: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} ε (Δx)next CURRENT Somit wird diese Funktion verwendet, um die angemessene Größe eines Zeitschrittes ((Δx)next), welcher der erforderlichen Toleranz genügt sowie die Methode, die verwendet wurde, um zu diesem Ergebnis zu kommen (CURRENT) zu bestimmen. Die folgenden Screenshots zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion RRKSTEP: Die Ergebnisse zeigen, dass (Δx)next = 0,00558 und dass die RKF-Methode (CURRENT = 1) verwendet werden sollte.
Die Ergebnisse zeigen, dass Δy = 0,827… und error = -1,89…×10 -6 ist. Funktion RSBERR Diese Funktion arbeitet ähnlich wie die Funktion RKERR, aber mit den Eingabeelementen, die für die Funktion RRK aufgelistet sind.
Kapitel 17 Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung In diesem Kapitel geben wir Beispiele zur Anwendung der Rechnerfunktionen für Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Das MTH/PROBABILITY.. Untermenü - Teil 1 Das Untermenü MTH/PROBABILITY.. ist über die Tastenkombination „´verfügbar. Wenn das Systemflag 117 auf die CHOOSE boxes gesetzt ist, erscheint die folgende MTH-Optionsliste (siehe Abb. auf der linken Seite unten). Wir haben die Option PROBABILITY..
⎛ n ⎞ n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1) n! ⎜⎜ ⎟⎟ = = r! r!(n − r )! ⎝r⎠ Um die Notation zu vereinfachen, verwenden Sie P(n, r) für Permutationen und C(n, r) für Kombinationen. Wir können Kombinationen, Permutationen und Fakultäten mit den Funktionen COMB, PERM und ! aus dem Untermenü MTH/ PROBABILITY.. berechnen.
wurden. Die Zahlen in der linken Abbildung sind mit einem Aufruf der Funktion RAND ohne Argument erstellt worden. Wenn Sie eine Argumentenliste in die Funktion RAND einsetzen, erhalten Sie die Zahlenliste plus eine zusätzliche Zufallszahl, die wie in der rechten Abbildung gezeigt angehängt wird.
« n « 1 n FOR j RND NEXT n LIST » » Speichern Sie es in der Variablen RLST (Random LiST) und verwenden Sie J5@RLST!, um eine Liste mit 5 Zufallszahlen zu erzeugen. Die Funktion RNDM(n,m) kann dazu verwendet werden, um eine Matrix mit n Reihen und m Spalten zu erzeugen, deren Elemente aus zufälligen Ganzzahlen zwischen -1 und 1 bestehen (siehe Kapitel 10).
Binomialverteilung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Binomialverteilung ist gegeben durch ⎛n⎞ f (n, p, x) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p x ⋅ (1 − p) n− x , x = 0,1,2,..., n , ⎝ x⎠ wobei (nx) = C(n,x) die Zahl der Kombinationen für gleichzeitige Entnahme von x Elementen aus n ist. Die Werte n und p sind die Verteilungsparameter. Der Wert n stellt die Anzahl der Wiederholungen eines Experiments oder einer Beobachtung dar, die eins von zwei möglichen Ergebnissen annehmen kann, z.B. Erfolg oder Misserfolg.
Verwenden Sie als nächstes die Funktion DEFINE („à), um die folgenden Wahrscheinlichkeits- (pmf) und Verteilungsfunktionen (cdf) zu definieren: DEFINE(pmfb(n,p,x) = COMB(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)) DEFINE(cdfb(n,p,x) = Σ(k=0,x,pmfb(n,p,k))) DEFINE(pmfp(λ,x) = EXP(-λ)*λ^x/x!) DEFINE(cdfp(λ,x) = Σ(k=0,x,pmfp(λ,x))) Die Funktionsnamen stehen für: • pmfb: Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Binomialverteilung • cdfb: Verteilungsfunktion für die Binomialverteilung.
“die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X kleiner als der Wert x ist” steht. In diesem Abschnitt beschreiben wir mehrere stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, einschließlich der Gamma-, Exponential-, Beta- und Weibull-Verteilungen. Diese Verteilungen werden in jedem Statistikbuch beschrieben. Einige dieser Verteilungen verwenden die vorhin definierte Gammafunktion, die im Rechner mit der Fakultätsfunktion als Γ(x) = (x-1)! für jede reelle Zahl x berechnet wird.
Wie im Fall der Gammaverteilung ist die entsprechende cdf für die Betaverteilung auch durch ein Integral, für dass es keine geschlossene Lösung gibt, gegeben. Die Weibull-Verteilung Die pdf für die Weibull-Verteilung ist gegeben durch f ( x) = α ⋅ β ⋅ x β −1 ⋅ exp(−α ⋅ x β ), fΓ x > 0, α > 0, β > 0 . Während die entsprechende cdf gegeben ist durch F ( x) = 1 − exp(−α ⋅ x β ), fΓ x > 0, α > 0, β > 0 .
Gamma-cdf, d.h., die Funktion gcdf, wie folgt verändert werden: Ç x ' NUM( ∫ (0,x,gpdf(t),t))' È und wieder in @gcdf gespeichert werden. Wiederholen Sie diesen Vorgang für βcdf. Anders als die zuvor definierten diskreten Funktionen enthalten die in diesem Abschnitt definierten stetigen Funktionen nicht ihre Parameter (α und/oder β) in ihren Definitionen. Deshalb müssen Sie diese nicht im Display eingeben, um die Funktionen zu berechnen.
Stetige Verteilungen für statistische Folgerungen In diesem Abschnitt besprechen wir vier stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die allgemein für Probleme in Zusammenhang mit statistischen Folgerungen verwendet werden. Diese Verteilungen sind die Normalverteilung, die Studentsche t-Verteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung (χ2) und die F-Verteilung.
folgenden Werte eingeben: Erwartungswert μ, Varianz σ2 und einen Wert x, z.B., UTPN((μ,σ2,x) Überprüfen Sie, dass beispielsweise für eine Normalverteilung mit μ = 1,0 und σ2 = 0,5 UTPN(0,75) = 0,638163 ist. Verwenden Sie UTPN(1,0;0,5;0,75) = 0,638163.
Wert von t gegeben sind, d.h. UTPT(ν,t). Die Definition dieser Funktion ist deshalb ∞ t UTPT (ν , t ) = ∫ f (t )dt = 1 − ∫ f (t )dt = 1 − P (T ≤ t ) −∞ t Zum Beispiel ist UTPT(5;2,5) = 2,7245…E-2.
Zur Verwendung dieser Funktion benötigen wir die Freiheitsgrade ν und den Wert der Chi-Quadrat-Variable, x, d.h. UTPC(ν,x). Zum Beispiel ist UTPC(5; 2,5) = 0,776495… Verschiedene Wahrscheinlichkeitsberechnungen können für die Chi-QuadratVerteilung mit der Funktion UTPC wie folgt definiert werden: • • • P(Xc) = UTPC(ν,c) Beispiele: Gegeben ist ν = 6, bestimme: P(X<5,32) = 1-UTPC(6;5,32) = 0.4965..
Zum Beispiel, um UTPF(10;5; 2,5) = 0,161834… zu berechnen. Verschiedene Wahrscheinlichkeitsberechnungen können für die F-Verteilung mit der Funktion UTPF wie folgt definiert werden: • • P(Fc) = UTPF(νN, νD,a) Beispiel: Gegeben ist νN = 10, νD = 5, finde: P(F<2) = 1-UTPF(10;5;2) = 0,7700… P(5
Für die Gamma- und Beta-Verteilungen sind die aufzulösenden Ausdrücke aufgrund der vorhandenen Integrale komplizierter, d.h.: • Gamma: • Beta: p=∫ p=∫ x 0 x 0 1 z ⋅ z α −1 ⋅ exp(− )dz β β Γ(α ) α Γ(α + β ) ⋅ z α −1 ⋅ (1 − z ) β −1 dz Γ(α ) ⋅ Γ( β ) Eine numerische Auflösung mit dem numerischen Löser ist wegen des im Ausdruck enthaltenen Integralzeichens nicht machbar. Es ist jedoch eine grafische Lösung möglich.
Es werden mit der Funktion @ROOT zwei Nullstellen für diese Funktion innerhalb der Plotumgebung gefunden. Wegen des Integrals in der Gleichung wird die Nullstelle geschätzt und nicht im Grafikfenster gezeigt. Sie erhalten in der Anzeige nur die Nachricht „Constant?“. Wenn Sie aber an diesem Punkt ` drücken, wird die Näherungswert in der Anzeige aufgeführt. Es werden in der rechten Abbildung unten zwei Nullstellen gezeigt.
• F-Verteilung: p = 1 – UTPF(νN,νD,F) Wir weisen darauf hin, dass der zweite Parameter in der UTPN-Funktion σ2 ist, nicht σ2, und die Verteilungsvarianz darstellt. Auch ist das Symbol ν (der kleingeschriebene griechische Buchstabe nü) im Taschenrechner nicht verfügbar. Sie können beispielsweise das γ (Gamma) statt des ν verwenden. Der Buchstabe γ ist über den Zeichensatz (‚±) verfügbar.
Damit haben Sie an diesem Punkt die vier Gleichungen zur Auflösung zur Verfügung. Sie müssen nur eine der Gleichungen in das EQ-Feld in den numerischen Löser laden und mit der Lösung einer der Variablen fortfahren. Beispiele für UTPT, UTPC und UPTF werden unten gezeigt: Wir weisen darauf hin, dass wir in allen oben gezeigten Beispielen mit p = P(Xx) = α.
Beispiele für Lösungen der Gleichungen EQNA, EQTA, EQCA und EQFA werden unten gezeigt: ʳʳʳʳʳ Seite 17-19
Kapitel 18 Statistikanwendungen In diesem Kapitel werden statistische Anwendungen des Taschenrechners vorgestellt, z. B. Stichprobenmaßzahlen, die Häufigkeitsverteilung von Daten, einfache Regression, Konfidenzintervalle und Hypothesentests. Vorprogrammierte Statistikfunktionen Der Taschenrechner enthält vorprogrammierte Statistikfunktionen, auf die über die Tastenkombination ‚Ù zugegriffen werden kann (mit der Taste für die Zahl 5 identisch).
Speichern Sie das Programm in einer Variablen mit der Bezeichnung LCX. Nachdem Sie das Programm im RPN-Modus gespeichert haben, können Sie es auch im ALG-Modus verwenden. Um einen Spaltenvektor in der Variablen ΣDAT zu speichern, verwenden Sie die Funktion STOΣ, die über den Katalog (‚N) verfügbar ist, z. B. STOΣ (ANS(1)) im ALG-Modus.
und Minimum, und drücken Sie die Menütaste @ CHK@, um die Werte auszuwählen, die von diesem Programm ausgegeben werden sollen. Drücken Sie anschließend @@@OK@@. Die ausgewählten Werte werden mit der entsprechenden Beschriftung auf dem Bildschirm des Taschenrechners aufgelistet.
Der Mittelwert (bzw. das arithmetische Mittel), ⎯x, der Stichprobe ist als Durchschnittswert der Elemente der Stichprobe definiert: x= 1 n ⋅ ∑ xi . n i =1 Der durch obige Gleichung ermittelte, mit Total beschriftete Wert stellt die Summe der Werte von x oder Σxi = n⋅⎯x dar. Dies ist der Wert, den der Taschenrechner unter der Überschrift Mean ausgibt. Andere in bestimmten Anwendungen verwendete Werte sind das geometrische Mittel xg bzw.
Speichern Sie dieses Programm unter dem Namen MED. Es folgt ein Beispiel für die Anwendung dieses Programms. Beispiel 2 – Um das Programm auszuführen, müssen Sie zunächst die Matrix ΣDAT vorbereiten. Geben Sie anschließend die Nummer der Spalte in ΣDAT ein, deren Medianwert Sie ermitteln möchten, und drücken Sie @@MED@@. Verwenden Sie für die derzeit in ΣDAT vorhandenen Daten (die in einem vorherigen Beispiel eingegeben wurden) das Programm MED, um anzuzeigen, dass Median: 2.15.
Option Type: Population ausgewählt wird. Der Hauptunterschied besteht in den Werten der Varianz und der Standardabweichung, die berechnet werden, indem im Nenner der Varianz n und nicht (n-1) verwendet wird. Beispiel 3 – Wenn Sie Beispiel 1 dieses Abschnitts wiederholt ausführen und als Type nicht Sample, sondern Population verwenden, erhalten Sie für Mittelwert, Gesamtwert, Maximum und Minimum dieselben Werte.
Der der Mitte jeder Klasse entsprechende Wert x wird als Klassenmittelpunkt bezeichnet und ist für i = 1, 2, …, k durch xMi = (xBi + xB i+1)/2 definiert. Wenn die Klassen so gewählt werden, dass die Klassengröße identisch ist, können wir die Klassengröße als Bin Width = Δx = (xmax - xmin) / k definieren, und die Klassengrenzen können mit xBi = xbot + (i - 1) * Δx berechnet werden. Jeder Datenpunkt xj, j = 1, 2, …, n gehört zur i-ten Klasse, wenn xBi ≤ xj < xB i+1. Durch die Anwendung 2. Frequencies..
• Ermitteln Sie über ‚Ù @@@OK@@@ Informationen zu den einzelnen Variablen. Verwenden Sie als Typ des Datensatzes Sample, und wählen Sie für die Ergebnisse alle Optionen aus. Die Ergebnisse für dieses Beispiel lauten: Mean: 51,0406, Std Dev: .29,5893…, Variance: 875,529… Total: 10208.12, Maximum: 99,35, Minimum: 0,13 Dies bedeutet, dass die Daten im Bereich von Werten nahe Null bis zu Werten nahe 100 liegen. Bei Verwendung ganzer Zahlen können wir den Bereich der Daten als (0,100) festlegen.
(außer dem ersten) die Häufigkeit in der nächsten Zeile addiert und das Ergebnis in der letzten Spalte der nächsten Zeile ersetzt wird. Somit ist die kumulierte Häufigkeit für die zweite Klasse 18+15 = 33, während die kumulierte Häufigkeit für die dritte Klasse 33+16 = 49 ist usw. Die kumulierte Häufigkeit stellt die Häufigkeit der Zahlen dar, die kleiner oder gleich der oberen Grenze einer beliebigen Klasse sind. Klassen-Nr.
Histogramme Ein Histogramm ist ein Balkendiagramm, in dem die Häufigkeit als Höhe der Balken und die Klassengrenzen als Breite der Balken dargestellt werden. Wenn die Ursprungsdaten (d. h. die ursprünglichen Daten vor Ausführung der Häufigkeitszählung) in der Variablen ΣDAT vorhanden sind, können Sie als Diagrammtyp Histogram auswählen und den ursprünglichen Wert von x, die Anzahl der Klassen und die Klassenbreite angeben, um das Histogramm zu generieren.
• Drücken Sie @CANCEL, um zum vorherigen Fenster zurückzukehren. Ändern Sie die Werte für V-View und Bar Width erneut, sodass diese nun wie folgt lauten: V-View: 0 30, Bar Width: 10. Das neue Histogramm, das auf demselben Datensatz beruht, wird nun wie folgt dargestellt: Die Darstellung der Häufigkeit fi gegen die Klassenmittelpunkte xMi wird als Häufigkeitspolygon bezeichnet.
• • • Geben Sie zunächst die Daten in den beiden obigen Zeilen in die Spalten der Variablen ΣDAT ein, indem Sie den MatrixWriter und die Funktion STOΣ verwenden. Verwenden Sie zum Aufrufen des Programms 3. Fit data.. die folgende Tastenkombination: ‚Ù˜˜@@@OK@@@. In der Eingabemaske wird die aktuelle Variable ΣDAT angezeigt, die bereits geladen ist. Legen Sie ggf. für eine lineare Anpassung im Setup-Fenster die folgenden Parameter fest: Drücken Sie @@OK@@, um die Datenanpassung auszuführen.
Der Stichprobenkorrelationskoeffizient für x,y wird definiert als rxy = s xy sx ⋅ s y . Hierbei stellen sx, sy die Standardabweichungen von x bzw. y dar, d. h. s x2 = 1 n ( xi − x ) 2 ∑ n − 1 i=1 s y2 = 1 n ( yi − y ) 2 . ∑ n − 1 i=1 Bei den Werten sxy und rxy handelt es sich um die Werte für „Covariance“ bzw. „Correlation“, die mit der Funktion „Fit data“ des Taschenrechners ermittelt wurden. Linearisierte Funktionen Zahlreiche gekrümmte Funktionen können zu einer linearen Form abgeflacht werden.
Wir definieren außerdem die Stichprobenvarianz von ξ bzw. η als 1 n (ξ i − ξ ) 2 sξ = ∑ n − 1 i =1 sη2 = 2 Der Stichprobenkorrelationskoeffizient rξη lautet 1 n (η i − η ) 2 . ∑ n − 1 i =1 rξη = sξη sξ ⋅ sη . Die allgemeine Form der Regressionsgleichung lautet η = A + Bξ. Optimale Datenanpassung Der Taschenrechner kann bestimmen, welche der linearen oder linearisierten Funktionen die beste Anpassung für eine Menge von (x,y) Datenpunkten ergibt.
3: '3,99504833324*EXP(-,579206831203*X)' 2: Correlation: -0,996624999526 1: Covariance: -6,23350666124 Die beste Anpassung für die Daten lautet daher y = 3,995 e-0.58⋅x. Ermitteln zusätzlicher Summenmaßzahlen Für einige Berechnungen von Stichprobenmaßzahlen bietet sich die Anwendung 4. Summary stats.. im Menü STAT an. Drücken Sie zunächst erneut ‚Ù, wechseln Sie mit der Nach-Unten-Taste ˜ zur vierten Option, und drücken Sie @@@OK@@@.
• Drücken Sie @@@OK@@@, um die folgenden Ergebnisse zu erhalten: ΣX: 24,2; ΣY: 11,72; ΣX2: 148,54; ΣY2: 26,6246; ΣXY: 12,602; NΣ:8 Anmerkung: Das Menü STAT enthält zwei weitere Anwendungen, nämlich und 6. Conf. Interval.. Diese beiden Anwendungen werden weiter unten in diesem Kapitel erläutert. 5. Hypth. Tests.. Berechnung von Perzentilen Durch Perzentile wird ein Datensatz in 100 Teile unterteilt.
Beispiel 1 – Bestimmen Sie das 27%-Perzentil der Liste { 2 1 0 1 3 5 1 2 3 6 7 9}. Geben Sie im RPN-Modus 0,27 ` { 2 1 0 1 3 5 1 2 3 6 7 9} ` @%TILE ein. Geben Sie im ALG-Modus %TILE(0,27,{2,1,0,1,3,5,1,2,3,6,7,9} ein. Das Ergebnis lautet 1. Das Menü STAT Über das Menü STAT kann auf sämtliche oben beschriebenen vorprogrammierten Statistikfunktionen zugegriffen werden. Sie können das Menü STAT aufrufen, indem Sie im RPN-Modus folgenden Befehl verwenden: 96 MENU Sie können ein eigenes Programm erstellen, z.
ΣDAT: legt Inhalte der aktuellen Matrix ΣDATA auf Ebene 1 des Stacks ab. „ΣDAT: speichert die Matrix auf Ebene 1 des Stacks in der Matrix ΣDATA. Das Untermenü ΣPAR Das Untermenü ΣPAR enthält Funktionen zum Ändern von Statistikparametern. Die dargestellten Parameter entsprechen denen im letzten Beispiel für die Datenanpassung.
Das Untermenü 1VAR Das Untermenü 1VAR enthält Funktionen zum Berechnen der Maßzahlen für die Spalten in der Matrix ΣDATA. Folgende Funktionen sind verfügbar: TOT : zeigt die Summe jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an. MEAN : zeigt den arithmetischen Mittelwert jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an. SDEV : zeigt die Standardabweichung jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an. MAXΣ : zeigt den Maximalwert jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an. MINΣ : zeigt den Minimalwert jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an.
HISTP : erzeugt ein Histogramm der Daten in der Spalte Xcol der Matrix ΣDATA, wobei eine 13 Klassen entsprechende Standardbreite verwendet wird, sofern die Klassengröße nicht mit der Funktion BINS im Untermenü 1VAR (siehe oben) geändert wird. SCATR : erzeugt ein Streudiagramm der Daten in der Spalte Ycol der Matrix ΣDATA gegen die Daten in der Spalte Xcol der Matrix ΣDATA. Die Regressionsgleichung wird in der Variablen EQ gespeichert.
Das Untermenü SUMS Das Untermenü SUMS enthält Funktionen zum Ermitteln von Summenmaßzahlen der Daten in den Spalten Xcol und Ycol der Matrix ΣDATA. ΣX ΣY ΣX^2 ΣY^2 ΣX*Y NΣ : : : : : stellt die stellt die stellt die stellt die stellt die Spalten : stellt die Summe der Werte in der Spalte Xcol bereit. Summe der Werte in der Spalte Ycol bereit. Summe der Quadrate der Werte in der Spalte Xcol bereit. Summe der Quadrate der Werte in der Spalte Ycol bereit. Summe von x⋅y bereit, d. h.
⎡ 1.1 ⎢ 3.7 ⎢ ⎢ 2.2 ⎢ ⎢ 5.5 ⎢ 6.8 ⎢ ⎢ 9.2 ⎢10.0 ⎣ • • 3.7 7.8 ⎤ 8.9 101 ⎥⎥ 5.9 25 ⎥ ⎥ 12.5 612 ⎥ 15.1 2245 ⎥ ⎥ 19.9 24743⎥ 21.
3 @PREDX 1 @PREDY @CORR @@COV@@ L@PCOV • Ermitteln Sie Summenmaßzahlen für die Daten in den Spalten 1 und 2: @)STAT @)SUMS: @@@£X@@ @@@£Y@@ @@£X2@ @@£Y2@ @@£XY@ @@@N£@@ • ergibt 0,75 ergibt 3,50 ergibt 1,0 ergibt 23,04 ergibt 19,74… ergibt ergibt ergibt ergibt ergibt ergibt 38,5 87,5 280,87 1370,23 619,49 7 Passen Sie die Daten in den Spalten 1 (x) und 3 (y) mit einer logarithmischen Anpassung an: L @)STAT @)£PAR 3 @YCOL @)MODL @LOGFI legt Ycol = 3 und Model = Logfit fest L @)STAT @PLOT @SCATR erze
Offensichtlich ist die logarithmische Anpassung keine gute Lösung.
Konfidenzintervalle Bei der statistischen Folgerung handelt es sich um Schlussfolgerungen in Bezug auf eine Grundgesamtheit anhand der aus den Stichprobendaten gewonnenen Informationen. Damit die Stichprobendaten aussagekräftig sind, muss die Stichprobe zufällig sein, d. h., die Auswahl einer bestimmten Stichprobe muss mit derselben Wahrscheinlichkeit wie die Auswahl jeder anderen möglichen Stichprobe aus einer bestimmten Grundgesamtheit erfolgen.
• Schätzwert: der Wert, den die Schätzfunktion in einer bestimmten Anwendung zurückgibt. Beispiel 1 – X stelle die Zeit (Stunden) dar, die für die Ausführung eines bestimmten Fertigungsprozesses erforderlich ist. Gegeben sei folgende Stichprobe der Werte von X: 2,2 2,5 2,1 2,3 2,2. Die Grundgesamtheit, der die Stichprobe entnommen wurde, ist die Menge aller möglichen Werte für die Fertigungszeit und daher eine unendliche Grundgesamtheit.
• • Ein oberes einseitiges Konfidenzintervall wird durch Pr[θ < Cu] = 1 - α definiert. Der Parameter α wird als Signifikanzniveau bezeichnet. Typische Werte für α sind 0,01, 0,05 und 0,1, die den Konfidenzniveaus 0,99, 0,95 bzw. 0,90 entsprechen. Konfidenzintervalle für den Grundgesamtheitsmittelwert bei bekannter Grundgesamtheitsvarianz X sei der Mittelwert einer Zufallsstichprobe der Größe n, die einer unendlichen Grundgesamtheit mit der bekannten Standardabweichung σ entnommen wurde.
Die obere und untere einseitige Vertrauensgrenze 100 ⋅ (1-α)% für den Grundgesamtheitsmittelwert μ lautet X + tn-1, α/2⋅S/√n bzw. ⎯X− tn-1, α/2⋅S /√n. Kleine und große Stichproben Für die Studentsche t-Verteilung gilt, dass sie für n>30 nicht von der Standardnormalverteilung zu unterscheiden ist.
Stichprobenverteilung für Differenzen und Summen von Maßzahlen S1 und S2 seien unabhängige Maßzahlen auf der Grundlage von zwei Stichproben der Größe n1 bzw. n2 aus zwei Grundgesamtheiten. Außerdem seien die jeweiligen Mittelwerte und Standardfehler der Stichprobenverteilungen dieser Maßzahlen μS1 und μS2 bzw. σS1 und σS2.
Bei großen Stichproben, d. h. n1>30 und n2>30, und unbekannten, jedoch gleichen Grundgesamtheitsvarianzen σ12 = σ22 werden die Konfidenzintervalle für Differenz und Summe der Mittelwerte der Grundgesamtheiten, d. h. μ1±μ2, durch folgenden Ausdruck definiert: 2 2 2 2 ⎞ ⎛ ⎜ ( X ± X ) − z ⋅ S1 + S 2 , ( X ± X ) + z ⋅ S1 + S 2 ⎟. α /2 α /2 2 1 2 ⎜ 1 n1 n2 n1 n2 ⎟⎠ ⎝ Wenn eine der Stichproben klein ist, d. h.
Hierbei ist die geschätzte Standardabweichung für Summe oder Differenz durch s X1 ± X 2 = s12 s 22 + n1 n2 definiert und ν, der Freiheitsgrad der t-Verteilung, wird mit folgender Formel berechnet (das Ergebnis wird auf die nächste Ganzzahl gerundet): [( S12 / n1 ) + ( S 22 / n 2 )] 2 ν= [( S12 / n1 ) /(n1 − 1)] + [( S 22 / n2 ) /(n2 − 1)] Bestimmen von Konfidenzintervallen Die Anwendung 6. Conf Interval kann mit ‚Ù—@@@OK@@@ aufgerufen werden.
3. Z-INT: 1 p : Konfidenzintervall einer einzelnen Stichprobe für den Anteil p bei großen Stichproben mit unbekannter Varianz der Grundgesamtheit. 4. Z-INT: p1− p2: Konfidenzintervall für die Differenz zweier Anteile p1-p2 für große Stichproben mit unbekannten Varianzen der Grundgesamtheiten. 5. T-INT: 1 μ : Konfidenzintervall einer einzelnen Stichprobe für den Grundgesamtheitsmittelwert μ bei kleinen Stichproben mit unbekannter Varianz der Grundgesamtheit. 6.
Das Ergebnis bedeutet, dass ein Konfidenzintervall für 95 % berechnet wurde. Der im obigen Fenster angezeigte Wert für Critical z entspricht den Werten ±zα/2 in der Formel des Konfidenzintervalls (⎯X−zα/2⋅σ/√n , ⎯X+zα/2⋅σ/√n ). Die Werte μ Min und μ Max stellen die obere bzw. untere Grenze dieses Intervalls dar, d. h μ Min = ⎯X−zα/2⋅σ/√n und μ Max = ⎯X+zα/2⋅σ/√n.
Drücken Sie ‚Ù—@@@OK@@@, um die Konfidenzintervallfunktion des Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie ˜@@@OK@@@, um Option 2. Z-INT: μ1– μ2.. auszuwählen. Geben Sie folgende Werte ein: Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten in Text- und Diagrammform dargestellt: Die Variable Δμ stellt μ1–μ2 dar. Beispiel 3 – Eine Meinungsumfrage gibt an, dass 60 Personen aus einer Stichprobe von 150 Personen höhere Vermögenssteuern zur Finanzierung öffentlicher Projekte befürworten.
Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten als Text und Diagramm dargestellt: Beispiel 4 – Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall von 90 % für die Differenz der beiden Anteile, wenn Stichprobe 1 unter 120 Versuchen 20 Erfolge aufweist und Stichprobe 2 unter 100 Versuchen 15 Erfolge aufweist. Drücken Sie ‚Ù—@@@OK@@@, um die Konfidenzintervallfunktion des Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie ˜˜˜@@@OK@@@, um Option 4. ZINT: p1–p2.. aufzurufen.
Drücken Sie ‚Ù—@@@OK@@@, um die Konfidenzintervallfunktion des Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie — — @@@OK@@@, um Option 5. T-INT: μ aufzurufen. Geben Sie folgende Werte ein: Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten in Text- und Diagrammform dargestellt: Die Abbildung stellt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Studentschen tVerteilung für den Freiheitsgrad ν = 50–1 = 49 dar.
Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten in Text- und Diagrammform dargestellt: Bei diesen Ergebnissen wird vorausgesetzt, dass die Werte s1 und s2 die Standardabweichungen der Grundgesamtheiten darstellen. Wenn diese Werte jedoch die Standardabweichungen der Stichproben darstellen, müssen Sie dieselben Werte wie zuvor, jedoch mit Auswahl der Option _pooled eingeben.
Die Menge (n − 1) ⋅ Sˆ 2 σ2 n = ∑ ( X i − X ) 2 , weist eine Chi-Quadrat-Verteilung i =1 χn-12 mit dem Freiheitsgrad ν = n-1 auf. Das beidseitige Konfidenzintervall (1α)⋅100 % wird durch Pr[χ2n-1,1-α/2 < (n-1)⋅S2/σ2 < χ2n-1,α/2] = 1- α ermittelt. Das Konfidenzintervall für die Grundgesamtheitsvarianz σ2 lautet daher [(n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 ; (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2].
Die oberen und unteren Grenzen des Konfidenzintervalls lauten wie folgt (führen Sie diese Berechnungen im ALG-Modus aus): (n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 = (25-1)⋅12,5/39,3640770266 = 7,62116179676 (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2 = (25-1)⋅12,5/12,4011502175 = 24,1913044144 Das Konfidenzintervall von 95 % lautet für dieses Beispiel somit 7,62116179676 < σ2 < 24,1913044144. Hypothesentest Eine Hypothese ist eine Aussage über eine Grundgesamtheit (beispielsweise über ihren Mittelwert).
3. Bestimmen Sie eine Testkenngröße T, oder geben Sie diese an. Im vorliegenden Beispiel beruht T auf der Differenz der Mittelwerte ⎯X1-⎯X2. 4. Verwenden Sie die bekannte (oder vermutete) Verteilung der Testkenngröße T. 5. Definieren Sie anhand des zuvor zugewiesenen Signifikanzniveaus α einen Zurückweisungsbereich (die kritische Region R) für die Testkenngröße. 6. Bestimmen Sie anhand der ermittelten Daten, ob der berechnete Wert der Testkenngröße innerhalb oder außerhalb des kritischen Bereichs liegt.
Nicht Zurückweisen einer wahren Hypothese Pr[Not(Fehler Typ I)] = Pr[T∈A|H0] = 1 - α Zurückweisen einer falschen Hypothese Pr[Not(Fehler Typ II)] = Pr [T∈R|H1] = 1 - β Das Komplement von β wird als Mächtigkeit des Tests der Nullhypothese H0 gegen die Alternativhypothese H1 bezeichnet. Anhand der Mächtigkeit eines Tests wird beispielsweise die Mindestgröße einer Stichprobe bestimmt, um die Fehlerwahrscheinlichkeit zu verringern.
• Wenn n < 30 und die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit bekannt ist, verwenden Sie die z-Kenngröße: zo = x − μo σ/ n • Wenn n > 30 und σ bekannt ist, verwenden Sie zo wie oben dargestellt. Wenn σ nicht bekannt ist, ersetzen Sie in zo σ durch s, d. h. zo = x − μo s/ n • Wenn n < 30 und σ nicht bekannt ist, verwenden Sie die t-Kenngröße to = x − μ o , mit dem Freiheitsgrad ν = n - 1.
to = x − μ o 22.0 − 22.5 = = −0.7142 s/ n 3.5 / 25 Der entsprechende P-Wert für den Freiheitsgrad ν = 25 - 1 = 24 lautet P-Wert = 2⋅UTPT(24;-0.7142) = 2⋅0,7590 = 1,518. Da 1,518 > 0,05, d. h. P-Wert > α, können wir die Nullhypothese Ho: μ = 22,0 nicht zurückweisen.
Beachten Sie, dass es sich um dieselben Kriterien wie beim zweiseitigen Test handelt. Der Hauptunterschied liegt in der Art der Berechnung des P-Wertes.
zo = ( x1 − x2 ) − δ σ 12 n1 + σ 22 . n2 Wenn n1 < 30 oder n2 < 30 (mindestens eine kleine Stichprobe), verwenden Sie folgende Testkenngröße: t= ( x1 − x 2 ) − δ (n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 22 n1n2 (n1 + n2 − 2) n1 + n2 Zweiseitige Hypothese Wenn die Alternativhypothese eine zweiseitige Hypothese ist, d. h.
Tests mit abhängigen Stichproben Wenn zwei Stichproben der Größe n mit paarweisen Datenpunkten vorhanden sind, müssen wir diesen Fall wie eine einzige Stichprobe der Differenzen der paarweise verbundenen Werte behandeln, statt die Nullhypothese H: μ1-μ2 = δ unter Verwendung der Mittelwerte und Standardabweichungen der beiden Stichproben zu testen. Mit anderen Worten, generieren Sie eine neue Zufallsvariable X = X1-X2, und testen sie Ho: μ = δ, wobei μ den Mittelwert der Grundgesamtheit für X darstellt.
Weisen Sie die Nullhypothese H0 zurück, wenn z0 >zα/2 oder wenn z0 < - zα/ 2. Mit anderen Worten, der Zurückweisungsbereich ist R = { |z0| > zα/2 } und der Beibehaltungsbereich ist A = {|z0| < zα/2 }. Einseitiger Test Bei Verwendung eines einseitigen Tests ermitteln wir den Wert von S mit Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α oder Φ(z α) = 1- α. Weisen Sie die Nullhypothese H0 zurück, wenn z0 >zα und H1: p>p0 oder wenn z0 < - zα und H1: p
Pr[Z> zα/2] = 1-Φ(zα/2) = α/2 oder Φ(z α/2) = 1- α/2, wobei Φ(z) die kumulierte Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung darstellt. Weisen Sie die Nullhypothese H0 zurück, wenn z0 >zα/2 oder wenn z0 < - zα/ 2. Mit anderen Worten ist der Zurückweisungsbereich R = { |z0| > zα/2 } und der Beibehaltungsbereich ist A = {|z0| < zα/2 }. Einseitiger Test Bei Verwendung eines einseitigen Tests ermitteln wir den Wert von za mit Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α oder Φ(z α) = 1- α.
1. 2. 3. 4. 5. 6. Z-Test: 1 μ: Hypothesentest einer einzelnen Stichprobe für den Mittelwert der Grundgesamtheit μ mit bekannter Varianz der Grundgesamtheit oder bei großen Stichproben mit unbekannter Varianz der Grundgesamtheit. Z-Test: μ1−μ2: Hypothesentest für die Differenz der Mittelwerte der Grundgesamtheiten μ1- μ2 mit entweder bekannten Varianzen der Grundgesamtheiten oder bei großen Stichproben mit unbekannten Varianzen der Grundgesamtheiten.
Anschließend weisen wir H0: μ = 150 gegen H1: μ ≠ 150 zurück. Der Testwert z lautet z0 = 5,656854. Der P-Wert lautet 1,54×10 -8. Die kritischen Werte ±zα/2 = ±1,959964 entsprechen dem kritischen Bereich x {147,2 152,8}. Diese Informationen können durch Drücken der Menütaste @GRAPH grafisch dargestellt werden: Beispiel 2 – Testen Sie für μ0 = 150, ⎯x = 158, s = 10, n = 50 und α = 0,05, die Hypothese H0: μ = μo gegen die Alternativhypothese H1: μ > μ0.
Wählen Sie die Alternativhypothese H1: μ > 150 aus und drücken Sie @@@OK@@@. Das Ergebnis lautet: Wir weisen die Nullhypothese H0: μ0 = 150 gegen die Alternativhypothese H1: μ > 150 zurück. Der Testwert lautet t0 = 5,656854 mit P-Wert = 0,000000393525. Der kritische Wert von t lautet tα = 1,676551 und entspricht dem kritischen Wert ⎯x = 152,371.
Wählen Sie die Alternativhypothese μ1< μ2 aus und drücken Sie @@OK@@. Das Ergebnis lautet: Somit behalten wir die Hypothese μ1−μ2 = 0 oder H0: μ1=μ2 gegen die Alternativhypothese H1: μ1−μ2 < 0 oder H1: μ1=μ2 bei (oder genauer: weisen sie nicht zurück). Der Testwert t lautet t0 = -1,341776 mit dem P-Wert = 0,09130961 und der kritische Wert t lautet –tα = -1, 659782.
Je nach der ausgewählten Alternativhypothese wird der P-Wert wie folgt berechnet: P-Wert = P(χ2<χo2) = 1-UTPC(ν,χo2) • H1: σ2 < σo2 • • H1: σ2 > σo2 H1: σ2 ≠ σo2 P-Wert = P(χ2>χo2) = UTPC(ν,χo2) P-Wert =2⋅min[P(χ2<χo2), P(χ2>χo2)] = 2⋅min[1-UTPC(ν,χo2), UTPC(ν,χo2)] Hierbei erzeugt die Funktion min[x,y] den Minimalwert von x bzw. y (entsprechend erzeugt max[x,y] den Maximalwert von x bzw. y).
Folgerungen in Bezug auf zwei Varianzen Die zu testende Nullhypothese lautet Ho: σ12 = σ22 bei einer statistischen Sicherheit von (1-α)100% oder dem Signifikanzniveau α sowie der Verwendung zweier Stichproben mit den Größen n1 und n2 und den Varianzen s12 und s22. Die zu verwendende Testkenngröße ist die Testkenngröße F, die wie folgt definiert ist: Fo = s N2 sD2 Hierbei stellen sN2 und sD2 Zähler und Nenner der Kenngröße F dar.
Beispiel 1 – Gegeben seien zwei normalverteilten Grundgesamtheiten entnommene Stichproben, sodass n1 = 21, n2 = 31, s12 = 0,36 und s22 = 0,25. Wir testen die Nullhypothese Ho: σ12 = σ22 bei Signifikanzniveau α = 0,05 gegen die Alternativhypothese H1: σ12 ≠ σ22. Für eine beidseitige Hypothese müssen wir sM und sm, wie folgt bestimmen: sM2=max(s12,s22) = max(0,36;0.
Zeichnen Sie ein Streuungsdiagramm, um visuell zu überprüfen, ob die Daten einem linearen Trend entsprechen. Für n paarweise verbundene Werte (xi, yi) sei y durch ∧y = a + b⋅x definiert, wobei a und b konstant sind. Der Prognosefehler sei als ei = yi - ∧yi = yi - (a + b⋅xi) definiert.
Anmerkung: • a,b sind erwartungstreue Schätzfunktionen für Α, Β. • Das Gauß-Markov-Theorem besagt, dass unter allen erwartungstreuen Schätzfunktionen für Α und Β die Schätzfunktionen der kleinsten Quadrate (a,b) am effizientesten sind. Weitere Gleichungen für die lineare Regression Die Summenmaßzahlen, z. B. Σx, Σx2 usw.
a = y − bx , Prognosefehler b= S xy S xx = s xy s x2 Die Regressionskurve von Y auf x ist durch Y = Α + Β⋅x + ε definiert. Bei einer Menge von n Datenpunkten (xi, yi) gilt Yi = Α + Β⋅xi + εI, (i = 1,2,…,n), mit Yi = unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit dem Mittelwert (Α + Β⋅xi) und der gemeinsamen Varianz σ2 sowie εi = unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit dem Mittelwert Null und der gemeinsamen Varianz σ2.
die Anzahl der Datenpunkte in der Stichprobe darstellt. Der Test wird wie ein Mittelwert-Hypothesentest ausgeführt, d. h, bei gegebenem Signifikanzniveau α wird der kritische Wert von t , tα/2 bestimmt und anschließend H0 zurückgewiesen, wenn t0 > tα/2 oder wenn t0 < - tα/2. Wenn Sie den Test für den Wert Β0= 0 ausführen und der Test ergibt, dass die Nullhypothese H0: Β = 0 nicht zurückgewiesen werden kann, ist die Gültigkeit der linearen Regression zweifelhaft.
2) Erzeugen Sie für die entsprechenden Spalten von ΣDAT ein Streudiagramm und überprüfen Sie den linearen Verlauf anhand der entsprechenden Anzeige von H-VIEW und V-VIEW. 3) Verwenden Sie für die Datenanpassung als gerade Linie ‚Ù˜˜@@@OK@@@, und ermitteln Sie a, b, sxy (Kovarianz) sowie rxy (Korrelation). 4) Ermitteln Sie ⎯x, ⎯y, sx, sy mit ‚Ù˜@@@OK@@@,. In Spalte 1 werden die Maßzahlen für x und in Spalte 2 die Maßzahlen für y angezeigt.
3: '-0,86 + 3,24*X' 2: Correlation: 0,989720229749 1: Covariance: 2,025 Diese Ergebnisse bedeuten, dass a = -0,86, b = 3,24, rxy = 0,989720229749 und sxy = 2,025. Der Korrelationskoeffizient ist nahe genug an 1,0, um den linearen Verlauf des Diagramms zu bestätigen. Über die Option Single-var… des Menüs ‚Ù erhalten wir ⎯x = 3, sx = 0,790569415042,⎯y = 8,86, sy = 2,58804945857. Anschließend berechnen wir für n = 5 S xx = (n − 1) ⋅ s x2 = (5 − 1) ⋅ 0.790569415042 2 = 2.
Der Konfidenzintervall von 95 % für den Achsenabschnitt A lautet: (3,242,6514; 3,24+2,6514) = (0,58855;5,8914). Beispiel 2 – Nehmen wir an, die in Beispiel 1 verwendeten Daten für y stellen die Dehnung (in hundertstel Zentimeter) eines einer Kraft x (in zehntel Kilogramm) ausgesetzten Metallseiles dar. Wir nehmen für dieses physikalische Phänomen an, dass der Achsenabschnitt A den Wert Null aufweist.
Mehrfache lineare Anpassung Gegeben sei ein Datensatz der Form x1 x11 x12 x13 . . x2 x21 x22 x32 . . x3 x31 x32 x33 . . … … … … x1,m-1 x1,m x 2,m-1 x 2,m x 3,m-1 x 3,m xn xn1 xn2 xn3 . . . … … x n,m-1 x n,m y y1 y2 y3 . . ym-1 ym Nehmen wir an, wir möchten eine Datenanpassung der Form y = b0 + b1⋅x1 + b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bn⋅xn ermitteln.
x1 x2 x3 y 1,20 2,50 3,50 4,00 6,00 3,10 3,10 4,50 4,50 5,00 2,00 2,50 2,50 3,00 3,50 5,70 8,20 5,00 8,20 9,50 Sie können mit dem Taschenrechner im RPN-Modus wie folgt vorgehen: Erstellen Sie zunächst im Verzeichnis HOME ein Unterverzeichnis MPFIT (Multiple linear and Polynomial data FITting, Mehrfache lineare Anpassung und Polynomanpassung) und gehen Sie in das Unterverzeichnis MPFIT.
Vergleichen Sie diese angepassten Werte mit den ursprünglichen Werten, wie in der folgenden Tabelle dargestellt: x1 x2 x3 y 1,20 2,50 3,50 4,00 6,00 3,10 3,10 4,50 4,50 5,00 2,00 2,50 2,50 3,00 3,50 5,70 8,20 5,00 8,20 9,50 angepasstes y 5,63 8,25 5,03 8,22 9,45 Polynomanpassung Gegeben sei der x-y-Datensatz {(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn)}. Nehmen wir an, wir möchten ein Polynom der Ordnung p an diesen Datensatz anpassen.
Wir können die Funktion VANDERMONDE zum Erstellen der Matrix X verwenden, wenn wir die folgenden Regeln beachten: Wenn p = n-1, ist X = Vn. Wenn p < n-1, entfernen Sie die Spalten p+2, …, n-1, n aus Vn, um X zu erzeugen. Wenn p > n-1, fügen Sie die Spalten n+1, …, p-1, p+1 zu Vn hinzu, um die Matrix X zu erzeugen. In Schritt 3 dieser Liste müssen wir berücksichtigen, dass die Spalte i (i= n+1, n+2, …, p+1) den Vektor [x1i x2i … xni] darstellt.
die Spalten p+2, …, n aus Vn entfernen, um X zu erstellen (FOR-Schleife und COL- verwenden) Else die Spalten n+1, …, p+1 zu Vn hinzufügen, um X zu erstellen • • (FOR-Schleife, xi berechnen, in Vektor konvertieren, COL+ verwenden) y in Vektor konvertieren b mit dem Programm MTREG berechnen (siehe obiges Beispiel für mehrfache lineare Anpassung) Es folgt die Übertragung des Algorithmus in ein Programm in der Sprache USER RPL. (Weitere Informationen über das Programmieren erhalten Sie in Kapitel 21.
NEXT END END y OBJ ARRY MTREG NUM » » » FOR-NEXT-Schleife beenden Zweite IF-Klausel beenden Erste IF-Klausel beenden. Das Ergebnis ist X Liste y in ein Array konvertieren Von Programm MTREG verwendetes X und y In Dezimalformat konvertieren Unterprogramm 2 beenden Unterprogramm 1 beenden Hauptprogramm beenden Speichern Sie das Programm in einer Variablen POLY (POLYnomanpassung). Verwenden Sie als Beispiel die folgenden Daten, um eine Polynomanpassung mit p = 2, 3, 4, 5, 6 zu erhalten.
{179,72 562,30 1969,11 65,87 31220,89 32,81 6731,48 737,41 39248,46 33,45} ` 'yy' K Verwenden Sie zum Anpassen der Daten an die Polynome folgende Eingabe: @@xx@@ @@yy@@ 2 @POLY. Ergebnis: [4527,73 -3958,52 742,23] d. h. y = 4527,73-3958,52x+742,23x2 @@xx@@ @@yy@@ 3 @POLY. Ergebnis: [ –998,05 1303,21 -505,27 79,23] d. h. y = -998,05+1303,21x-505,27x2+79,23x3 @@xx@@ @@yy@@ 4 @POLY. Ergebnis: [20,92 –2,61 –1,52 6,05 3,51] d. h. y = 20,92-2,61x-1,52x2+6,05x3+3,51x4. @@xx@@ @@yy@@ 5 @POLY.
Für die Vektoren x und y der an die Polynomgleichung anzupassenden Daten erstellen wir die Matrix X und berechnen mit ihr einen Vektor der Polynomkoeffizienten b. Wir können mit y' = X⋅b einen Vektor angepasster Daten y' berechnen. Ein Fehlervektor wird mit e = y – y' berechnet. Die Summe der quadratischen Fehler ist gleich dem Quadrat des Betrags des Fehlervektors, d. h. SSE = |e|2 = e•e = Σ ei2 = Σ (yi-y'i)2.
FOR j j COL− DROP -1 STEP ELSE IF 'p>n-1' THEN n1+ p1+ FOR j x j ^ OBJ ARRY j COL+ NEXT END END y OBJ ARRY X yv « X yv MTREG NUM b « b yv Xb* ABS SQ DUP y ΣLIST n / n 1 LIST SWAP CON yv − ABS SQ / NEG 1 + √ Schleife j = n-1 bis p+1, step = -1 starten Spalte entfernen und aus Stack löschen. FOR-STEP-Schleife beenden.
“r” TAG SWAP “SSE” TAG È È È È È „Tag“-Ergebnis als „r“ Ebene 1 und 2 des Stacks vertauschen „Tag“-Ergebnis als SSE Unterprogramm 4 beenden Unterprogramm 3 beenden Unterprogramm 2 beenden Unterprogramm 1 beenden Hauptprogramm beenden Speichern Sie dieses Programm unter dem Namen POLYR, um auf die Berechnung des Korrelationskoeffizienten r hinzuweisen.
Kapitel 19! Zahlen mit unterschiedlicher Basis In diesem Kapitel zeigen wir Beispiele für Zahlenberechnungen mit anderer Basis als der Dezimalbasis. Definitionen Das Zahlensystem, das für das tägliche Rechnen verwendet wird, ist als Dezimalsystem bekannt, da es 10 (Latein, deca) Stellen, nämlich 0-9, verwendet, um eine reelle Zahl zu schreiben. Computer, auf der anderen Seite, verwenden ein System, das auf zwei möglichen Zuständen basiert dem Binärsystem.
Ist die Systemmarkierung 117 auf SOFT menus eingestellt, zeigt das Menü BASE das Folgende: Mit diesem Format wird deutlich, dass die Einträge LOGIC, BIT und BYTE im Menü BASE selbst Untermenüs sind. Diese Menüs werden später in diesem Kapitel besprochen. Die Funktionen HEX, DEC, OCT und BIN Zahlen in Nicht-Dezimalsystemen wird ein #-Symbol im Rechner vorangestellt. Das Symbol # ist sofort verfügbar als „â(die Taste 3).
Da das Dezimalsystem (DEC) 10 Stellen besitzt (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), umfasst das Hexadezimalsystem (HEX) 16 Stellen (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), das Oktalsystem (OCT) 8 Stellen (0,1,2,3,4,5,6,7) und das Binärsystem (BIN) nur 2 Stellen (0,1). Umwandlung zwischen Zahlensystemen Unabhängig davon, welches Zahlensystem gewählt wurde, wird es als Binärsystem bezeichnet, um die Funktionen R B und B R verwenden zu können.
Suffix verwendete Buchstabe hängt davon ab, welches nichtdezimale Zahlensystem ausgewählt wurde, d.h. HEX, OCT, oder BIN. Probieren Sie die folgenden Umwandlungen, damit Sie sehen, was passiert, wenn Sie @DEC@ auswählen: Die einzige Auswirkung, die die Auswahl des DEC (Dezimalsystem) hat, ist, dass Dezimalzahlen mit vorangestelltem #-Symbol mit dem Suffix d versehen werden. Wortgröße Die Wortgröße ist die Bitanzahl in einem Binärobjekt. Standardmäßig beträgt die Wortgröße 64 Bits.
# 02h - #12 h = #8D8h #2562d - #298d = #2264d #5002o - #452o = #4330o #101000000010b - #100101010b = #100011011000b Das Menü LOGIC Das Menü LOGIC ist über BASE (‚ã) erreichbar und bietet die folgenden Funktionen: Die Funktionen AND, OR, XOR (exklusives OR) und NOT sind logische Funktionen. Bei der Eingabe in diese Funktionen handelt es sich um zwei Werte oder Ausdrücke (einer im Fall von NOT), die als binäre logische Ergebnisse ausgedrückt werden können, d.h. 0 oder 1.
zur für bitweise Operationen entsprechend der oben gezeigten Regeln verwendet. Zum Beispiel: AND (BIN) !OR (BIN) XOR (BIN) NOT (HEX) Das Menü BIT Das Menü BIT ist über BASE (‚ã) erreichbar und bietet die folgenden Funktionen: Die Funktionen RL, SL, ASR, SR, RR, sind im Menü BIT enthalten und werden zur Änderung von Bits in einer binären Ganzzahl verwendet. Die Definition dieser Funktionen wird unten gezeigt: RL: Rotate Left one bit (ein Bit nach links drehen), z.B.
SR: Shift Right one bit (ein Bit nach rechts schieben), z.B., #11011b #1101b RR: Rotate Right one bit (ein Bit rechts drehen), z.B., #1101b #10000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000001b Das Menü BYTE Das Menü BIT ist über BASE (‚ã) erreichbar und bietet die folgenden Funktionen: Die Funktionen RLB, SLB, SRB, RRB, sind im Menü BIT, enthalten und werden zur Änderung von Bits in einer binären Ganzzahl verwendet.
zwischen Benutzereinheitskoordinaten und Pixelreferenzen umzurechnen. Diese Funktionen finden Sie in der Befehlsreferenz (‚N).
Kapitel 20! Anpassen von Menüs und Tastatur Durch die Anwendung der verschiedenen Taschenrechner-Menüs kennen Sie sich nun mit der Arbeitsweise vonMenüs für verschiedene Anwendungen aus. Sie kennen sich auch mit vielen der Funktionen aus, die mit Hilfe der Tastatur, entweder als ihre Hauptfunktion oder durch die Kombination mit der linken Umschalttaste („), rechten Umschalttaste (‚) oder ALPHA-Taste (~) aufgerufen werden können.
TMENU: Wird anstatt MENU verwendet, um ein temporäres Menü zu erstellen, ohne die Inhalte von CST zu überschreiben. RCLMENU: Zeigt die Menü-Nummer des aktuellen Menüs an. Menü-Nummern (RCLMENU und MENU-Funktionen) Jedes vordefinierte Menü hat eine zugewiesene Nummer. Nehmen wir an, Sie aktivieren das MTH-Menü („´).Dann gehen Sie über den Funktionskatalog (‚N) zur Funktion RCLMENU und aktivieren Sie diese. Im ALG-Modus drücken Sie einfach `, wenn RCLMENU() im Bildschirm angezeigt wird.
von „£ verwenden. In TMENU gehen die Spezifikationen verloren, nachdem das temporäre Menü mit einem anderen ersetzt wird. Z. B. wird ein Menü im RPN-Modus wie folgt eingerichtet: {EXP LN GAMMA !} ` TMENU ` oder {EXP LN GAMMA !} ` MENU ` erstellen das folgende Menü: Um eine dieser Funktionen zu aktivieren, brauchen Sie nur ein Funktionsargument (eine Nummer) einzugeben und dann die entsprechende Softmenü-Taste zu drücken.
Eine einfachere Version des Menüs kann wie folgt definiert werden: MENU({{”EXP(“,“LN(“,“GAMMA(“,”!(“}). Erweitertes RPN-Menü Die oben angeführte Liste für den ALG-Modus kann leicht verändert werden, um sie im RPN-Modus anzuwenden. Die veränderte Liste sieht dann wie folgt aus: {{“exp”,EXP},{“ln”,LN},{“Gamma”,GAMMA},{“!”,!}} Sie können versuchen, diese Liste mit TMENU oder MENU im RPN-Modus zu verwenden, um sicherzustellen, dass Sie das gleiche Menü erhalten, wie vorher im ALG-Modus.
{“Bezeichnung1”,”Funktion1(“,”ls1(“,”rs1(“), {“bezeichnung2”, “Funktion2(“,”ls2(“,”rs2(“),…} Im RPN-Modus hat die Argumentenliste hingegen folgendes Format: {“Bezeichnung1”, Funktion1, ls1, rs1}, {“Bezeichnung2”, Funktion2, ls2, rs2},…} In diesen Spezifikationen stellen Funktion1, Funktion 2, usw. die Hauptfunktion der Taste dar, während ls1, ls2, usw. die Tastenfunktion für die Kombination mit der linken Shift-Taste sind. Ähnlich dazu stellen rs1, rs2, usw.
,0 oder 1, Taste allein ,2, Taste in Kombination mit „ ,3, Taste in Kombination mit ‚ ,4, Taste in Kombination mit ~ ,5, Taste in Kombination mit ~„ ,6, Taste in Kombination mit ~‚ 0,01 oder 0,11, nicht zutreffend ,21, Taste gleichzeitig mit „ ,31, Taste gleichzeitig mit ‚ ,41, Taste gleichzeitig mit ~ ,51, ~Taste gleichzeitig mit „ ,61, ~Taste gleichzeitig mit ‚ Somit wird die VAR-Funktion als Taste 31.0 oder 31.1 bezeichnet und die UPDIR-Funktion als Taste 31.2. Die COPY-Funktion wird Taste 31.
DELKEYS: Macht die Zuweisung für eine oder mehrere Tasten in der benutzerdefinierten Tastenliste rückgängig. Die Argumente sind entweder 0, zum Rückgängigmachen aller benutzerdefinierten Tasten, oder XY.Z, zum Rückgängigmachen der Zuweisung für Taste XY.Z. Die aktuelle benutzerdefinierte Tastenliste aufrufen Verwenden Sie den Befehl RCLKEYS um die aktuelle benutzerdefinierte Tastenliste anzuzeigen. Vor jeder benutzerdefinierten Tastenzuweisung, sollte das Ergebnis eine Liste sein, die den Buchstaben S, d.
anzeigt. Durch Drücken von „Ì C, sollten Sie in diesem Beispiel wieder das Menü PLOT erhalten, wie unten dargestellt: Wenn Sie mehr als eine benutzerdefinierte Taste haben und mehr als eine gleichzeitig anwenden möchten, können Sie die Tastatur im USER-Modus durch Eingabe von „Ì„ sperren, bevor Sie die benutzerdefinierten Tasten drücken. Ist die Tastatur im USER-Modus festgestellt, wird die Spezifikation USR in der zweiten Display-Zeile angezeigt.
Verwenden Sie dise Tasten beispielsweise im RPN-Modus durch:: 5„ÌA 4„ÌB 6„ÌC 2„ÌD 1„ÌE 2„ÌF Um die Zuweisung für alle benutzerdefinierten Tasten rückgängig zu machen, verwenden Sie: ALG-Modus: DELKEYS(0) RPN-Modus: 0 DELKEYS Überprüfen Sie mit Hilfe der Funktion RCLKEYS, ob die benutzerdefinierten Definitionen gelöscht wurden.
Kapitel 21 Programmieren mit UserRPL Die allgemein verwendete Programmiersprache zur Programmierung des Taschenrechners ist UserRPL. Programmkomponenten können im Zeileneditor, durch Eingabe zwischen den Programm-Containern, « », zusammengebaut werden. Da die meisten Anwender in der Programmierung im RPN-Modus erfahrener sind, werden die meisten Beispiele in diesem Kapitel im RPN-Modus dargestellt.
Tastenfolge: ‚å [']~„x™K Erzeugt: « ~„x „´@)HYP @SINH 1#~„x „º x SINH 1 x SQ „´@LIST @ADD@ Berechne (1+x2), dividiere dann „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE ADD / 'x' PURGE _______________________ __________ _____________________ / [']~„x™ 'x' STO ` Interpretiert als: Starte ein RPL Programm Speichere Ebene 1 in Variable x Setze x in Ebene 1 Berechne sinh aus Ebene 1 Gebe 1 ein und berechne x2 Lösche Variable x Programm in Ebene 1 Verwenden Sie die Tastenfolge [']~„gK zum Speichern des Programms.
vorher gespeichert haben, in ihrem Variablen-Menü gespeichert. Nach Berechnen der Funktion wird die Variable x vom Programm gelöscht, sodass diese nach Beenden des Programms im Variablen-Menü nicht mehr angezeigt wird. Würde die Variable x nach Beenden des Programms nicht gelöscht werden, stünde sie uns auch weiterhin zur Verfügung. Aus diesem Grunde bezeichnet man die Variable x, wie sie in diesem Programm verwendet wird, als eine globale Variable.
Die der letzten Programmversion entstammende Variable x belegt nie einen Platz unter den Variablen ihres Variablen-Menüs. Sie wird innerhalb des Speichers des Taschenrechners verarbeitet, und hat keinen Einfluss auf gleichlautende Variablen Ihres Variablen-Menüs. Aus diesem Grunde wird die Variable x, wie hier lokal innerhalb eines Programms verwendet, als eine lokale Variable bezeichnet..
• • • Auf eine globale Variable im HOME-Verzeichnis kann von jedem Verzeichnis innerhalb des HOME-Verzeichnisses zugegriffen werden, sofern diese nicht in einem Verzeichnis oder Unterverzeichnis des HOMEVerzeichnisses neu definiert wurde. Sobald Sie eine Variable innerhalb eines Verzeichnisses oder Unterverzeichnisses neu definieren, hat diese Definition Vorrang vor allen anderen Definitionen innerhalb eines übergeordneten Verzeichnisses.
Das Menü PRG In diesem Kapitel wird das Menü PRG (Programmierung) erläutert, wobei Systemflag 117 auf SOFT menus eingestellt ist. Mit dieser Einstellung werden die Untermenüs und Befehle im Menü PRG als Beschriftungen der Funktionstasten dargestellt. Dies vereinfacht das Eingeben von Programmierbefehlen im Zeileneditor bei der Programmerstellung. Um das Menü PRG aufzurufen, verwenden Sie die Tastenfolge „°.
ELEM: Funktionen zum Manipulieren von Elementen einer Liste PROC: Funktionen für Anwendungen von Verfahren auf Listen GROB: Funktionen zum Manipulieren grafischer Objekte PICT: Funktionen zum Zeichnen von Bildern in der Grafikanzeige CHARS: Funktionen zum Manipulieren von Zeichenketten MODES: Funktionen zum Ändern der Rechenmodi FMT: Ändern des Zahlen- und Kommaformats ANGLE:Ändern des Winkelmaßes und Koordinatensystems FLAG: Setzen und Löschen von Flags, Prüfen des Flag-Status KEYS: Definieren und Aktivier
STACK DUP SWAP DROP OVER ROT UNROT ROLL ROLLD PICK UNPICK PICK3 DEPTH DUP2 DUPN DROP2 DROPN DUPDU NIP NDUPN MEM PURGE MEM BYTES NEWOB ARCHI RESTO LIST/ELEM GET GETI PUT PUTI SIZE MEM/DIR PURGE RCL STO PATH CRDIR PGDIR VARS TVARS ORDER BRCH/IF IF THEN ELSE END BRCH/WHILE WHILE REPEAT END TEST BRCH/CASE == ≠ CASE THEN < END > ≤ MEM/ARITH BRCH/START ≥ STO+ START AND STONEXT OR STOx STEP XOR STO/ NOT BRCH/FOR INCR SAME DECR FOR TYPE SINV NEXT SF SNEG STEP CF SCONJ FS? BRCH/DO FC? BRCH DO FS?C IFT UNTIL FC?
POS HEAD TAIL REPL LCD LCD SIZE LIST/PROC ANIMATE DOLIST PICT DOSUB NSUB PICT ENDSUB PDIM STREAM LINE REVLIST TLINE SORT BOX SEQ ARC PIXON PIXOF PIX? PVIEW PX C C PX CHR OBJ STR HEAD TAIL SREPL FS?C FC?C STOF RCLF RESET MODES/FMT STD FIX SCI ENG FM, ML MODES/KEYS ASN STOKEYS RECLKEYS DELKEYS MODES/MENU MENU CST MODES/ANGLE TMENU DEG RCLMENU RAD GRAD RECT CYLIN SPHERE TIME DATE DATE TIME TIME TICKS ERROR DOERR ERRN ERRM ERR0 LASTARG TIME/ALRM ACK ACKALARM STOALARM ERROR/IFERR IFERR THEN ELSE
RCLALARM DELALARM FINDALARM END Kürzel innerhalb des Menüs PRG Viele der oben für das Menü PRG aufgeführten Funktionen stehen auch auf andere Weise zur Verfügung: • • • • • • Vergleichsoperatoren (≠, ≤, <, ≥, >) sind über die Tastatur verfügbar. Viele Funktionen und Einstellungen im Untermenü MODES können über die Eingabefunktionen der H-Taste aktiviert werden. Auf Funktionen des Untermenüs TIME kann über die Tastenfolge ‚Ó zugegriffen werden.
„ @)START „@)@FOR@ „ @)@@DO@@ „@WHILE Beachten Sie, dass das Einfügezeichen ( ) nach dem Schlüsselwort jeder Anweisung/ Bedingung steht, sodass Sie mit der Eingabe gleich an der richtigen Stelle beginnen können. Tastenfolgen für häufig verwendete Befehle Im Folgenden finden Sie Tastenfolgen, mit denen Sie häufig vorkommende Befehle zur numerischen Programmierung im Menü PRG aufrufen können.
IF THEN ELSE END „°@)@BRCH@ „°@)@BRCH@ „°@)@BRCH@ „°@)@BRCH@ @)@IF@@ @)@IF@@ @)@IF@@ @)@IF@@ @@@IF@@@ @THEN@ @ELSE@ @@@END@@ )@BRCH@ @)CASE@ CASE THEN END „°@)@BRCH@ @)CASE@ @CASE@ „°@)@BRCH@ @)CASE@ @THEN@ „°@)@BRCH@ @)CASE@ @@END@ )@BRCH@ @)START START NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)START @START „°@)@BRCH@ @)START @NEXT „°@)@BRCH@ @)START @STEP )@BRCH@ @)@FOR@ FOR NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@FOR@@ „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@NEXT@ „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@STEP@ )@BRCH@ @)@@DO@@ DO UNTIL END „°@)@BRCH@ @)@@DO@@
CF FS? FC? FS?C FC?C „°@)TEST@ L L @@@CF@@ „° @)TEST@ L L @@FS?@ „° @)TEST@ L L @@FC?@ „° @)TEST@ L L @FS?C „° @)TEST@ L L @FC?C OBJ ARRY LIST STR TAG NUM CHR TYPE „°@)TYPE@ @OBJ @ „°@)TYPE@ @ ARRY „°@)TYPE@ @ LIST „°@)TYPE@ @ STR „°@)TYPE@ @ TAG „°@)TYPE@ L @NUM@ „°@)TYPE@ L @CHR@ „°@)TYPE@ L @TYPE@ @)TYPE@ @)LIST@ @)ELEM@ GET GETI PUT PUTI SIZE HEAD TAIL „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ @)ELEM@ @@GET@@ @)ELEM@ @GETI@ @)ELEM@ @@PUT@ @)ELEM@ @PUTI@ @)ELE
MENU BEEP „°L@)MODES @)MENU@ @@MENU@ „°L@)MODES @)MISC@ @@BEEP@ INFORM INPUT MSGBOX PVIEW „°L@)@@IN@@ „°L@)@@IN@@ „°L@)@OUT@ „°L@)@OUT@ @INFOR@ @INPUT@ @MSGBO@ @PVIEW@ DBUG SST SST↓ HALT KILL „°LL „°LL „°LL „°LL „°LL @)@RUN@ @)@RUN@ @)@RUN@ @)@RUN@ @)@RUN@ @)@@IN@@ @)@RUN@ @@DBG@ @@SST@ @SST↓@ @HALT@ @KILL Programme zum Generieren von Zahlenlisten Beachten Sie, dass außer den Funktionen des Menüs PRG weitere Funktionen, die Sie zum Programmieren verwenden können, zur Verfügung stehen.
« REVLIST DUP DUP SIZE 'n' STO ΣLIST SWAP TAIL DUP SIZE 1 - 1 SWAP FOR j DUP ΣLIST SWAP TAIL NEXT 1 GET n LIST REVLIST 'n' PURGE » Die Arbeitsweise der Programme ist wie folgt: (1) LISC: Erzeugt eine Liste mit n Elementen, die alle gleich einer Konstante c sind. Ablauf: Geben Sie nacheinander n und dann c ein, drücken Sie anschließend @LISC Beispiel: 5 ` 6.5 ` @LISC erzeugt folgende Liste: {6.5 6.5 6.5 6.5 6.5} (2) CRLST: Erzeugt eine Liste mit Zahlen von n1 bis n2 mit einem Inkrement von Δn, d.h.
nachfolgend beschrieben. Generell bestehen diese Programme aus Eingabe Verarbeitung Ausgabe. Daher werden diese Programme als sequentielle Programme bezeichnet. Durch Definition einer Funktion erzeugte Programme Hierbei handelt es sich um Programme, die mithilfe der Funktion DEFINE („à) mit einem Argument, das wie folgt aussieht, erstellt wurden: 'function_name(x1, x2, …) = Ausdruck mit den Variablen x1, x2, …' Das Programm wird in der Variablen mit dem Namen function_name gespeichert.
Anmerkung: Werte des Manning-Koeffizienten n können Tabellen als dimensionslose Werte entnommen werden. Sie liegen im Allgemeinen zwischen 0,001 und 0,5. Auch der Wert von Cu ist dimensionslos. Der Wert für y0 muss jedoch die korrekte Dimension aufweisen, d.h., m für S.I. und Fuß für E.S. Das Ergebnis für q wird dann in der richtigen Maßeinheit ausgegeben, d.h., m2/s in S.I. und ft2/s in E.S. Die Manning-Gleichung ist daher nicht dimensionskonsistent.
Programme zur Simulation einer Sequenz von Stack-Operationen In diesem Fall gehen wir davon aus, dass sich die Glieder, die zur Folge der Operationen gehören, im Stack befinden. Der erste Schritt im Programm ist das Öffnen eines Programm-Containers über ‚å. Anschließend werden die einzelnen Operationen eingegeben. Nachdem Sie alle Operationen eingegeben haben, drücken Sie `, um das Programm abzuschließen.
Wie Sie sehen, wird y zuerst verwendet, dann folgen nacheinander b, g und Q (in dieser Reihenfolge). Daher müssen wir die Variablen für diese Berechnung in umgekehrter Reihenfolge eintippen, d.h. (bitte nicht eintippen): Q ` g `b `y ` Für die einzelnen zu berücksichtigenden Werte verwenden wir: 23 ` 32.2 ` 3 `2 ` Das Programm selbst enthält nur die Tastenfolgen (oder Anweisungen), die nach Entfernen der Eingabewerte aus vorangegangener Berechnung übrig bleiben, d.h.
Das Programm sieht dann wie folgt aus: « * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / » Anmerkung: SQ ist die Funktion, die sich aus der Tastenfolge „º ergibt. Erstellen wir nun eine Kopie des Programms und speichern Sie diese unter dem Variablen-Namen hv: ³~„h~„v K Im Funktionstastenmenü sollte jetzt eine neue Variable @@@hv@@@ vorhanden sein. (Drücken Sie J, um die Variablenliste aufzurufen.) Das Programm, das sich noch im Stack befindet, kann mit der Funktion EVAL ausgeführt werden. Das Ergebnis sollte wie zuvor 0,228174..
Interaktive Eingabe in Programmen Bei den vorausgegangenen Programmbeispielen ist es für den Anwender nicht immer klar, in welcher Reihenfolge die Variablen vor der Programmausführung im Stack angeordnet sein müssen. Bei dem Programm @@@q@@@, geschrieben als « → Cu n y0 S0 ‘Cu/n*y0^(5/3)*√S0’ », ist es immer möglich, die Programmdefinitionen neu in den Stack (‚@@@q@@@) zu laden, um zu sehen, in welcher Reihenfolge die Variablen eingegeben werden müssen; hier: → Cu n y0 S0.
‘SQ(S4)/(S3*SQ(S2*S1)*2)’, wenn Ihre Anzeige nicht auf “Textbook”-Stil eingestellt ist, oder wie dies SQ( S 4) S 3 ⋅ SQ( S 2 ⋅ S1) ⋅ 2 wenn der “Textbook”-Stil ausgewählt wurde. Da wir wissen, dass die Funktion SQ( ) für x2 steht, interpretieren wird das letzte Resultat als S 42 , 2 ⋅ S 3 ⋅ ( S 2 ⋅ S1) 2 welches die Positionen der verschiedenen Eingabeebenen des Stacks in der Formel anzeigt. Wenn wir dieses Resultat mit der von uns programmierten Originalformel vergleichen, d.h.
« “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ » Das Programm enthält die Symbole :: (tag) und (return), verfügbar über die Tastenfolgen „ê und ‚ë, beide der Taste . zugeordnet. Das Symbol Tag (::) dient dazu, Zeichenketten für die Ein- und Ausgabe zu markieren. Das Symbol Return ( ) entspricht dem Drücken der Eingabetaste auf einem Computer. Die Zeichenketten zwischen den Anführungszeichen (“ “) werden direkt über die alphanumerische Tastatur eingegeben.
Starten Sie das Programm durch Drücken von @FUNCa. Sobald Sie dazu aufgefordert werden, geben Sie z.B. 2 ein und drücken Sie dann `. Das Ergebnis ist der algebraische Ausdruck 2a2+3. Dies ist aber falsch. Der Taschenrechner bietet Ihnen Funktionen zum Überprüfen Ihres Programms und zum Auffinden logischer Fehler während der Programmausführung.
J ³@FUNCa ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ 2` @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Lädt das Variablenmenü Kopiert den Programmnamen in die StackEbene 1 Startet die Fehlersuche (den Debugger) Schrittweise Fehlersuche, Ergebnis: “Enter a:” Ergebnis: {“ a:” {2 0} V} Ergebnis: Anwender wird aufgefordert, für a einen Wert einzugeben Geben Sie den Wert 2 für a ein.
Programm korrigieren Die einzig mögliche Erklärung dafür, dass das Programm kein numerisches Ergebnis ausgibt, scheint auf das Fehlen des Befehls NUM nach dem algebraischen Ausdruck ‘2*a^2+3’ zurückzuführen zu sein. Wir editieren das Programm und fügen die fehlende Funktion EVAL ein. Das bearbeitete Programm sieht dann wie folgt aus: « “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ NUM » » Speichern Sie das Programm wieder unter FUNCa und starten Sie es mit a = 2.
beschränken, da wir normalerweise nur 7 Stack-Ebenen sehen können. Wenn wir die Stack-Ebene 7 zum Eingeben eines Namens für den Eingabestring verwenden und die Ebene 6 frei halten, um die Anzeige einfacher lesen zu können, bleiben zur Definition von Eingabevariablen nur noch die Stack-Ebenen 1 bis 5 übrig.
Als nächstes muss der Eingabestring hinzugefügt werden, der den Anwender auffordert, die Werte für V und T einzugeben. Hierzu modifizieren Sie das Programm in @@@p@@@ wie folgt: « “Enter V and T: “ {“ :V: :T: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T ‘(1.662902_J/K)*(T/V)’ » Speichern Sie das modifizierte Programm wieder unter @@@p@@@. Drücken Sie @@@p@@@ , um das Programm zu starten. Geben Sie für V = 0.01_m^3 und für T = 300_K ein und drücken Sie dann `. Als Ergebnis erscheint 49887.06_J/m^3.
p(V , T , n) = (8.31451 _ J n ⋅T ) , K V und sie so modifizieren wollen, dass drei verschiedene Variablen eingegeben werden können. Die Vorgehensweise ähnelt der, die wir schon bei der Definition der Funktion p(V.T) angewendet haben. Das Programm sieht dann wie folgt aus: « “Enter V, T, and n:“ {“ :V: :T: :n:“ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n ‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V) ‘ » Speichern Sie dieses Programm in der Variablen @@@p@@@. Um das Programm zu starten, drücken Sie @@@p@@@. Geben Sie für V = 0.
a. Eine einfache Feldbezeichnung: Eine Zeichenkette c/ Eine Liste mit einer oder mehreren Felddefinitionen {“label” “helpInfo” type0 type1 … typen}. “label” ist eine Feldbezeichnung. “helpInfo” ist eine Zeichenkette zur detaillierten Beschreibung des Feldes und die “Type”Spezifikation ist eine Liste von Variablentypen, die in dem Feld erlaubt sind (siehe Objekttypen im Kapitel 24). 3. Information zum Feldformat: Eine einzelne Zahl col oder eine Liste {col tabs}.
150), ist, R der hydraulische Radius des Kanals (eine Länge) und S die Neigung des Kanalbetts (eine dimensionslose Zahl von 0,01 bis 0,000001). Das folgende Programm definiert eine Eingabemaske über die Funktion INFORM: « “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .00001 } INFORM » Im Programm lauten die oben angeführten 5 Komponenten wie folgt: 1. Titel: “ CHEZY’S EQN” 2.
Geben Sie nun verschiedene Werte für die drei Felder ein, sagen wir C = 95, R = 2,5 und S = 0,003. Drücken Sie nach jedem neuen Wert @@@OK@@@. Nach dieser Änderung sieht die Eingabemaske folgendermaßen aus: Um nun die Werte in das Programm zu übertragen, drücken Sie noch einmal @@@OK@@@. Hierdurch wird die Funktion INFORM aktiviert und im Stack erscheint: Soweit die Demonstration der Verwendung von INFORM.
OBJ DROP C R S ‘C*√(R*S)’ NUM “Q” TAG Diese Befehle errechnen Q und setzen einen „Tag“ auf Q. Befindet sich aber der Wert 0 in Stack-Ebene 1 (was der Fall ist, wenn @CANCEL beim Verwenden der Eingabemaske gedrückt wird), springt das Programm zu den Befehlen: “Operation cancelled” MSGBOX Diese Befehle erzeugen die Meldung, dass die Operation abgebrochen wurde. Anmerkung: Die Funktion MSGBOX gehört zu einer Sammlung von Ausgabefunktionen im Menü PRG/OUT.
Beispiel 3 - Ändern Sie Informationsliste für das Feldformat in { 3 0 } und speichern Sie das Programm als INFP3. Starten Sie das Programm und schauen Sie sich die neue Eingabemaske an: Erstellen einer Auswahlbox Die Funktion CHOOSE („°L@)@@IN@@ @CHOOS@) bietet dem Anwender die Möglichkeit, eine Auswahlbox in ein Programm zu integrieren. Diese Funktion benötigt drei Argumente: 1. Ein Prompt (eine Zeichenkette, die die Auswahlbox beschreibt) 2. Eine Liste der Auswahldefinitionen {c1 c2 … cn}.
dann ist Cu = 1,486. Das folgende Programm verwendet eine Auswahlbox zum Festlegen des zu verwendenden Maßsystems von Cu. Speichern Sie es in der Variable CHP1 (CHoose-Programm 1): « “Units coefficient” { { “S.I. units” 1} { “E.S. units” 1.486} } 1 CHOOSE » Starten Sie das Programm (drücken Sie @CHP1), so erscheint die folgende Auswahlbox: Abhängig davon, ob Sie S.I. units oder E.S.
Identifizieren der Ausgabe von Programmen Der einfachste Weg numerische Ausgaben von Programmen zu identifizieren ist, diese Ergebnisse zu kennzeichnen. Bei einem "Tag" (Kennzeichnung) handelt es sich einfach um einen String, der an eine Zahl oder an ein Objekt angehängt wird. Der String bekommt einen Namen, der dem Objekt entspricht. Als wir beispielsweise weiter oben in den Programmen INPTa (oder INPT1) und INPT2 nach Fehlern gesucht haben, erhielten wir als Ergebnis numerische Ausgaben wie :a:35.
Anmerkung: Bei mathematischen Operationen mit gekennzeichneten Größen extrahiert der Taschenrechner die numerischen Werte automatisch. So zeigen beispielsweise die folgenden Abbildungen zwei gekennzeichnete Größen vor und nach Drücken von * im RPN-Modus: Beispiele für gekennzeichnete Ausgaben Beispiel 1 –gekennzeichnete Ausgabe für FUNCa Wir wollen die vorher definierte Funktion FUNCa so ändern, dass damit gekennzeichnete Ausgaben erstellt werden. Holen Sie mit ‚ @FUNCa den Inhalt der FUNCa in den Stack.
« “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ NUM ”F” →TAG » » Modifizieren Sie sie wie folgt: « “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ EVAL ”F” →TAG a SWAP» » (Beachten Sie, dass die Funktion SWAP über die Tastenfolge „°@)STACK @SWAP@) aufgerufen wird. Speichern Sie das modifizierte Programm wieder mithilfe von „ @FUNCa unter FUNCa. Starten Sie das Programm durch Drücken von @FUNCa. Geben Sie, wenn Sie hierzu aufgefordert werden, den Wert 2 ein, und drücken Sie `.
2` @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓≅ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Geben Sie 2 für a ein. Ergebnis: “ :a:2” Ergebnis: a:2 Ergebnis: Stack leeren, Ausführung von →a Ergebnis: Stack leeren, ins Unterprogramm springen « Ergebnis: ‘2*a^2+3’ Ergebnis: Stack leeren, ins Unterprogramm springen Ergebnis: 11., Ergebnis: “F” Ergebnis: F: 11. Ergebnis: a:2.
→V T N V T n sechs Eingabewerte erfordert, obwohl nur drei vorhanden sind. Es würde zu einer Fehlermeldung kommen und die Programmausführung würde abgebrochen werden. Um das Unterprogramm in die modifizierte Version des Programms @@@p@@@ einzufügen, müssen wir sowohl am Anfang als auch am Ende des Unterprogramms ‚å verwenden. Da die Programmsymbole beim Aufruf von ‚å immer paarweise auftreten, müssen wir das Abschlusssymbol am Anfang (È) und das Anfangssymbol am Ende («) des Unterprogramms löschen.
Zusammenfassung: Die Verwendung von Markierungen, um Ein- und Ausgabevariable zu identifizieren, zieht sich wie ein Faden durch alle drei Beispiele. Verwenden wir einen Eingabe-String für die Eingabewerte, werden diese bereits gekennzeichnet und können einfach wieder zur Ausgabe in den Stack geladen werden. Der Befehl →TAG erlaubt es uns, die Ausgabe eines Programms zu identifizieren. Verwenden von Meldefenstern Eine vornehmere Art, die Ausgabe eines Programms anzuzeigen, ist über Meldefenster.
« “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V T n ‘(8.34451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p” →TAG →STR MSGBOX » » Speichern Sie das Programm mit der Tastenfolge „@@@p@@@ in der Variable p. Starten Sie das Programm durch Drücken der Taste @@@p@@@. Geben Sie, wenn Sie dazu aufgefordert werden, für V = 0.01_m^3, für T = 300_K und für n = 0,8_mol ein.
Ein- und Ausgabe in einem Meldefenster anzeigen Wir können das Programm so modifizieren, dass sowohl Ein- als auch Ausgabe im Meldefenster angezeigt werden. Das dahingehend abgeänderte Programm @@@p@@@ sieht folgendermaßen aus: « “Enter V, T and n: “ {“ OBJ→ → V T n « V →STR “ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT ” + T →STR “ ” + n →STR “ ”+ ‘(8.
• Speichern Sie das Programm mit der Tastenfolge „@@@p@@@ in der Variable p. • Starten Sie das Programm durch Drücken der Taste @@@p@@@. • Geben Sie, wenn Sie dazu aufgefordert werden, für V = 0,01_m^3, für T = 300_K und für n = 0,8_mol ein. Wie in der älteren Version von [ p ] sieht der Stack vor Drücken der Taste [ENTER] für Ihre Eingabe folgendermaßen aus: Bei der ersten Programmausgabe handelt es sich um ein Meldefenster mit folgendem String: Drücken Sie @@@OK@@@ zum Löschen des Meldefensters.
Anmerkung: Zur besseren Übersicht und zum leichteren Verständnis haben wir das Programm willkürlich in verschiedene Zeilen aufgeteilt. Das Programm muss nicht unbedingt so im Stack angezeigt werden. Die Befehlsfolge ist jedoch auf jeden Fall richtig. Beachten Sie auch, dass das Zeichen nicht im Stack angezeigt wird, sondern eine neue Zeile erzeugt. « “Enter V,T,n [S.I.
6. → V T n : Die Werte von V, T und n in den Stack-Ebenen 3, 2 und 1 werden an die nächste Unterprogrammebene weitergegeben. Um zu sehen, wie diese Programmversion arbeitet, führen Sie folgende Schritte durch: • • • Speichern Sie das Programm mit der Tastenfolge „[ p ] in der Variable p. Starten Sie das Programm durch Drücken der Taste [ p ]. Geben Sie, wenn Sie dazu aufgefordert werden, für V = 0,01, für T = 300 und für n = 0,8 ein (Einheiten sind nun nicht mehr erforderlich).
« “Enter V,T,n [S.I.]: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V DTAG T DTAG n DTAG → V T n « “V=” V →STR + “ ”+ “T=” T →STR + “ ” + “n=” “ ” + n →STR + ‘8.34451*n*T/V‘ EVAL →STR “p=” SWAP + + + + MSGBOX » » » Wird das Programm mit den Werten V = 0,01, T = 300 und n = 0,08 gestartet, erscheint im Meldefenster folgende Ausgabe: Zum Löschen des Meldefensters drücken Sie die Taste @@@OK@@@.
Zum Programmieren stehen folgende relationale Operatoren zur Verfügung: ____________________________________________________ Operator Meaning Example ____________________________________________________ == „ist gleich“ ‘x==2’ ≠ „ist nicht gleich“ ‘3 ≠ 2’ < „ist kleiner als“ ‘m „ist größer als“ ‘10>a’ ≥ „ist größer als oder gleich“ ‘p ≥ q’ ≤ „ist kleiner als oder gleich“ ‘7≤12’ ____________________________________________________ Alle Operatoren, mit Ausnahme von == (der durch die Tastenfolge ‚Å ‚Å e
Folgende Operatoren stehen zur Verfügung: AND, OR, XOR (exklusives oder), NOT und SAME. Abhängig vom Wert der betroffenen logischen Aussage erzeugen die Operatoren Ergebnisse die entweder wahr oder unwahr sind. Der Operator NOT (Negation) arbeitet mit einzelnen logischen Aussagen. Alle anderen verwenden immer zwei logische Aussagen.
Auch der logische Operator SAME ist im Taschenrechner integriert. Hierbei handelt es sich nicht um einen logischen Standardoperator. Dieser ermittelt, ob zwei Objekte identisch sind. Ist dies der Fall, wird 1 (wahr) zurückgegeben, ist dies nicht der Fall, wird 0 (unwahr) zurückgegeben. Geben Sie beispielsweise folgende Übung im RPN-Modus ein, wird als Wert 0 zurückgegeben: ‘SQ(2)’ ` 4 ` SAME Beachten Sie, dass bei der Verwendung von SAME der Begriff "identisch" sehr genau ausgelegt wird.
Das Konstrukt IF…THEN…END IF…THEN…END ist die einfachste Form des IF-Konstruktes. Die allgemeine Syntax des Befehls lautet wie folgt: IF logische_Aussage THEN Programmschritte END. Diese Anweisung arbeitet wie folgt: 1. Auswerten der logischen Aussage 2. Ist die logische Aussage wahr, Ausführung der Programmschritte und Fortsetzung des Programmablaufs nach dem Befehl END. 3. Ist die logische Aussage unwahr, Überspringen der Programmschritte und Fortsetzung des Programmablaufs nach dem Befehl END.
« → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ EVAL END ”Done” MSGBOX » » und speichern Sie es unter dem Namen ‘f1’. Drücken Sie J, um sich zu vergewissern, dass die Variable @@@f1@@@ tatsächlich in Ihrem Variablen-Menü zur Verfügung steht. Prüfen Sie die folgenden Ergebnisse: 0 @@@f1@@@ Ergebnis: 0 1.2 @@@f1@@@ Ergebnis: 1.44 3.5 @@@f1@@@ Ergebnis: nichts passiert 10 @@@f1@@@ Ergebnis: nichts passiert Diese Ergebnisse bestätigen, dass das IF…THEN...END-Konstrukt korrekt arbeitet.
Beispiel: Geben Sie das folgende Programm ein: « → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ ELSE ‘1-x’ END EVAL ”Done” MSGBOX » » und speichern Sie es unter dem Namen ‘f2’. Drücken Sie J, um sich zu vergewissern, dass die Variable @@@f2@@@ tatsächlich in Ihrem Variablen-Menü zur Verfügung steht. Prüfen Sie die folgenden Ergebnisse: 0 @@@f2@@@ Ergebnis: 0 1.2 @@@f2@@@ Ergebnis: 1.44 3.5 @@@f2@@@ Ergebnis: -2.5 10 @@@f2@@@ Ergebnis: -9 Diese Ergebnisse bestätigen, dass das IF…THEN...ELSE...END-Konstrukt korrekt arbeitet.
Wenn Sie ein Programm mit einer IF-Anweisung für den Taschenrechner erstellen, können Sie zunächst den Code, wie oben dargestellt, von Hand notieren. Für Programm @@@f2@@@ könnten Sie beispielsweise folgendes schreiben: IF x<3 THEN x2 ELSE 1-x END Dieses Konstrukt funktioniert einwandfrei, wenn Ihre Funktion nur zwei Verzweigungen hat. Bei Funktionen mit drei oder mehr Verzweigungen müssen Sie die IF...THEN...ELSE...END Anweisungen ineinander verschachteln.
exp(x) ELSE -2 END END END END Ein komplexes IF-Konstrukt wie dieses wird verschachteltes IF … THEN … ELSE … END-Konstrukt genannt. Eine Möglichkeit f3(x) , mit einem verschachtelten IF-Konstrukt zu berechnen, wäre das folgende Programm: « → x « IF ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ ELSE IF ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ ELSE IF ‘x<3*π‘ THEN ‘SIN(x)‘ ELSE IF ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ ELSE –2 END END END END EVAL » » Speichern Sie das Programm in die Variable @@@f3@@@ und versuchen Sie Folgende Berechnungen: 1.5 @@f3@@@ 2.5 4.2 5.
. . . Logische_Aussage THEN Programmschritte END Standart_Programmschritte (optional) END Bei der Auswertung dieser Anweisung testet das Programm jede einzelne logische Aussage, bis es eine findet, die wahr ist. Das Programm führt dann die entsprechenden Programmschritte aus und fährt mit dem Programm nach dem Befehl END fort. Die Anweisungen CASE, THEN und END finden Sie mit der Tastenfolge „°@)@BRCH@ @)CASE@ . Wenn Sie sich im Menü BRCH befinden, d.h.
« → x « CASE ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ END ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ END ‘x<3*π‘ THEN ‘SIN(x)‘ END ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ END –2 END EVAL » » Speichern Sie das Programm unter @@f3c@. Versuchen Sie dann die folgenden Beispiele: 1.5 @@f3c@ Ergebnis: 2.25 (d.h., x2) 2.5 4.2 5.6 12 23 @@f3c@ @@f3c@ @@f3c@ @@f3c@ @@f3c@ Ergebnis: Ergebnis: Ergebnis: Ergebnis: Ergebnis: 6.25 (d.h., x2) -3.2 (d.h., 1-x) -0.631266… (d.h., sin(x), x in Bogenmaß) 162754.791419 (d.h., exp(x)) -2. (d.h.
oder Zähler, um festzulegen, wie oft die Schleife ausgeführt werden soll. Die Konstrukte DO und WHILE verwenden eine logische Aussage, um zu entscheiden, wann eine Schleife verlassen wird. Eine genauere Erläuterung zum Verwenden der Schleifenbefehle finden Sie im nächsten Absatz. Das Konstrukt START START verwendet zwei Werte eines Index, um eine Anzahl an Anweisungen wiederholt auszuführen. Es gibt zwei verschiedene START-Konstrukte: START…NEXT und START … STEP.
Beispiel – Berechnen der oben definierten Summenbildung S Das START…NEXT-Konstrukt hat einen Index, auf dessen Wert der Anwender nicht zugreifen kann. Da für die Berechnung aber der Index selbst erforderlich ist (in diesem Fall k), erstellen wir einen eigenen Index k, der innerhalb der Schleife, jedes Mal wenn das Programm die Schleife durchläuft, erhöht wird. Nachfolgendes Programm stellt eine Möglichkeit dar, S zu berechnen: « 0. DUP → n S k « 0. n START k SQ S + 1.
von S in Stack-Ebene 1. 9. Der Programmcode ‘S‘ STO speichert den Wert der Stack-Ebene 1 in der lokalen Variable k. Danach ist der Stack leer. 10. Der Programmteil NEXT erhöht den Index um 1 und setzt das Programm an den Beginn der Schleife (Schritt 6). 11. Die Schleife wird wiederholt, bis der Index den maximalen Wert n erreicht hat. 12.
@SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ SL1 = 1.(k+1), SL2 = 0. (S + k2) SL1 = ‘k’, SL2 = 1., SL3 = 0. (S + k2) SL1 = 0. (S + k2) [Speichert den Wert von SL2 = 1, in SL1 = ‚k’] SL1 = ‘S’, SL2 = 0. (S + k2) Leeren des Stacks [Speichert Wert von SL2 = 0, in SL1 = ‚S’ ] Leeren des Stacks (NEXT – Ende der Schleife) --- Zweiter Durchlauf der Schleife für k = 1 @SST↓@ SL1 = 1. (k) @SST↓@ SL1 = 1. (SQ(k) = k2) @SST↓@ SL1 = 0.(S), SL2 = 1. (k2) @SST↓@ SL1 = 1. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1., SL2 = 1.
SL1 = 5. (S + k2) [Speichert den Wert von SL2 = 3, in SL1 = ‚k’] SL1 = ‘S’, SL2 = 5.
Inkrement < 0 wird die Schleife so lange ausgeführt, wie der Index größer oder gleich Endwert ist. Beispiel – Erstellen einer Werteliste Nehmen Sie an, dass Sie eine Werteliste für x von x = 0.5 bis x = 6.5 in Schritten von 0.5 erstellen wollen. Dafür können Sie das folgende Programm verwenden: « → xs xe dx « xs DUP xe START DUP dx + dx STEP DROP xe xs – dx / ABS 1 + →LIST » » und es in die Variable @GLIST speichern.
Das FOR-Konstrukt Wie beim START-Konstrukt, gibt es auch bei FOR zwei Varianten: Das FOR…NEXT-Konstrukt, bei einer Erhöhung des Index um 1 und das FOR…STEPKonstrukt mit einer Erhöhung des Index, um eine Zahl, die vom Anwender selbst auszuwählen ist. Anders als beim START-Konstrukt, müssen wir bei FOR für den Schleifenindex einen Namen vergeben (z.B. j, k, n). Wir müssen uns aber nicht wie bei START um die Erhöhung des Index selbst kümmern.
n S = ∑k2 k =0 Verwenden Sie eine FOR…NEXT-Schleife: « 0 → n S « 0 n FOR k k SQ S + ‘S‘ STO NEXT S “S” TAG » » Speichern Sie dieses neue Programm in der Variable @@S2@@.
« → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + → n « xs xe FOR x x dx STEP n →LIST » » » und speichern Sie dies in der Variable @GLIS2 . • • Prüfen Sie, ob der Programmaufruf 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS2 folgende Liste {0.5 1. 1.5 2. 2.5} erstellt. Um die Ausführung Schritt für Schritt anzusehen, verwenden Sie das Programm DBUG für eine kurze Liste, beispielsweise: J1 # 1.5 # 0.5 ` [‘] @GLIS2 ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Parameter 1 1.5 0.
Das folgende Programm berechnet die Summenbildung n S = ∑k2 k =0 Verwenden Sie eine DO…UNTIL…END-Schleife: « 0. → n S « DO n SQ S + ‘S‘ STO n 1 – ‘n‘ STO UNTIL ‘n<0‘ END S “S” TAG » » Speichern Sie das neue Programm in der Variable @@S3@@.
Verwenden Sie @SST↓@ , um in das Programm zu springen und zu beobachten, wie die einzelnen Anweisungen abgearbeitet werden. Das WHILE-Konstrukt Die allgemeine Form des Konstrukts sieht wie folgt aus: WHILE logische_Aussage REPEAT Programmschritte END Der Befehl WHILE wiederholt die Programmschritte so lange, wie die logische_Aussage wahr ist (nicht Null). Ist dies nicht mehr der Fall, fährt das Programm mit den Befehlen direkt nach END fort.
Beispiel 2 – Erzeugen einer Liste mit einer WHILE…REPEAT...END-Schleife Geben Sie das folgende Programm ein: « → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + xs → n x « xs WHILE ‘x
im RPN-Modus 5` @DOERR ein, erscheint die folgende Fehlermeldung: Error: Memory Clear (Fehler: Speicher leer). Wenn Sie #11h ` @DOERR eingeben, erscheint die folgende Meldung: Error: Undefined FPTR Name (Fehler: nicht definierter FPTR Name) Wenn Sie “TRY AGAIN” ` @DOERR eingeben, bekommen Sie die Meldung: TRY AGAIN (VERSUCHEN SIE ES ERNEUT) Schließlich erzeugt 0` @DOERR die folgende Meldung: Interrupted (unterbrochen) ERRN Diese Funktion gibt die Kennziffer des letzten Fehlers zurück.
Stack die Werte 3 und 2 aufgelistet. Geben Sie im RPN-Modus 5U` ein, gibt LASTARG eine 5 aus. Untermenü IFERR Das Untermenü @)IFERR bietet die folgenden Funktionen: Dies sind die Anweisungen der IFERR … THEN … END oder IFERR … THEN … ELSE … END-Konstrukte. Mit beiden logischen Konstrukten können Fehler, die bei der Programmausführung auftreten, abgefangen werden.
Funktion LSQ (Least SQuares, siehe Kapitel 11) auf, um das Gleichungssystem zu lösen: « A b « IFERR A b / THEN LSQ END » » Testen Sie das Programm mit den Argumenten A = [ [ 2, 3, 5 ] , [1, 2, 1 ] ] und b = [ [ 5 ] , [ 6 ] ]. Eine einfache Division dieser Argumente verursacht einen Fehler: /Error: Invalid Dimension. Mit der Fehlerabfrage des Programms @ERR1 jedoch ergibt sich mit den gleichen Argumenten: [0.262295…, 0.442622…].
„îK~p2` Eine Auswertung des Programms P2 für das Argument X = 5 wird in der nachfolgenden Abbildung dargestellt: Obwohl Sie im ALG-Modus Programme erstellen können, werden ohne Benutzung der Funktion RPL> einige RPL-Konstrukte Fehlermeldungen hervorrufen, sobald Sie ` drücken.
Kapitel 22 Programme zum Manipulieren von Grafiken Dieses Kapitel enthält einige Beispiele, mit denen die Funktionen des Taschenrechners für interaktive bzw. programmgesteuerte Manipulierung von Grafiken erläutert werden. Wie in Kapitel 21, empfiehlt sich auch hier die Verwendung des RPN-Modus, sowie das Setzen des Systemflags 117 auf SOFT menus. « » In Kapitel 12 wurden mehrere Grafikanwendungen des Taschenrechners vorgeführt.
Falls keine benutzerdefinierten Tasten gespeichert sind, wird eine Liste mit einem S zurückgegeben (z.B. {S}). Dies bedeutet, dass auf Ihrem Taschenrechner nur die standardmäßige Tastendefinition gespeichert ist. Um eine Taste als benutzerdefinierte Taste zu belegen, müssen Sie zu dieser Liste eine Anweisung bzw. ein Programm, gefolgt von der Angabe der Taste hinzufügen (mehr dazu finden Sie in Kapitel 20). Geben Sie die nachfolgende Liste { 8 << 81.01 MENU >> 13.
Die Funktionstasten 3D, STAT, FLAG, PTYPE und PPAR haben auch eigene Untermenüs, die zu einem späteren Zeitpunkt ausführlicher beschrieben werden. An dieser Stelle werden nur die Funktionen beschrieben, die im Menü Nummer 81.02 direkt mit den Funktionstasten aufgerufen werden können. Diese Funktionen lauten: LABEL (10) Mit der Funktion LABEL werden die Achsen eines Plots beschriftet, einschließlich der Variablennamen bzw. der unteren Grenzwerte und oberen Grenzwerte der Achsen.
• • • • • anschließend werden die größten und kleinsten Werte von x und y bestimmt. PARAMETRIC : Führt zu einem ähnlichen Ergebnis wie POLAR, bezogen auf die Werte des Parameters, der die Gleichungen für x und y definiert. TRUTH : Hat keine Wirkung. BAR : Der Bereich der x-Achse wird zwischen 0 und n+1 gesetzt, wobei n die Anzahl der Elemente aus ΣDAT ist. Der Wertebereich von y hängt vom Inhalt von ΣDAT ab.
DRAW (6) Die Funktion DRAW zeichnet den Plot, der in PPAR definiert wurde. Das Menü PTYPE unter PLOT (1) Das Menü PTYPE listet die Namen aller zweidimensionalen, im Taschenrechner vorprogrammierten Plottypen auf. Das Menü enthält die folgenden Funktionstasten: Diese Tasten entsprechen den Plottypen Function, Conic, Polar, Parametric, Truth und Diff Eq, die weiter oben beschrieben wurden.
INFO (n) und PPAR (m) Wenn Sie @INFO drücken oder ‚ @PPAR eingeben, während Sie sich in diesem Menü befinden, erscheint eine Liste mit den aktuellen PPAR-Einstellungen. Beispiel: Diese Informationen haben die folgende Bedeutung: X ist die unabhängige Variable (Indep), Y ist die abhängige Variable (Depnd), der Bereich der xAchse liegt zwischen –6,5 und 6,5 (Xrng), der Bereich der y-Achse liegt zwischen -3,1 und 3,2 (Yrng).
Der Befehl DEPND gibt den Namen der abhängigen Variable an. Bei TRUTHPlots (Wahrheitsplots) spezifiziert er außerdem den Plotbereich. Der Standardwert ist Y. Die Angaben für die Variable DEPND sind identisch mit denen für die Variable INDEP. XRNG (c) und YRNG (d) Der Befehl XRNG gibt den Plotbereich für die x-Achse an, und der Befehl YRNG den Plotbereich für die y-Achse. Diese Befehle erfordern die Eingabe der Minima und Maxima von x bzw. y.
SCALEW (i) Wird ein Faktor xfactor angegeben, multipliziert der Befehl SCALEW den horizontalen Maßstab mit diesem Faktor. Das W aus SCALEW steht für das englische Wort für Breite (Width). Nach der Ausführung des SCALEW-Befehls werden die Werte xmin und xmax in PPAR geändert. SCALEH (j) Wird ein Faktor yfactor angegeben, multipliziert der Befehl SCALEH den vertikalen Maßstab mit diesem Faktor. Das H aus SCALEH steht für das englische Wort für Höhe (Height).
egal ob geordnetes Paar oder Werteliste, wird als fünfter Parameter in PPAR gespeichert. Drücken Sie @)PLOT, um zum Menü PLOT zurückzukehren. Drücken Sie L, um zum zweiten Menü der Menüreihe PLOT zu gelangen. RESET (f) Diese Taste setzt die Plotparameter auf ihre Standardwerte zurück. Das Menü 3D unter PLOT (7) Das Menü 3D enthält zwei Untermenüs, PTYPE und VPAR, sowie eine Variable, EQ.
entsprechende Funktionsaufruf eingefügt. Drücken Sie L )@)@3D@@, um zum Hauptmenü 3D zurückzukehren. Das Menü VPAR unter 3D (V) Die Variable VPAR steht für Volume PARameter (Volumenparameter) und bezieht sich auf ein Parallelepiped im Raum, in dessen Innerem eine beliebige dreidimensionale Grafik erzeugt wird. Wird im 3D-Menü [VPAR] gedrückt, werden die folgenden Funktionen aufgerufen.
XVOL (N), YVOL (O) und ZVOL (P) Diese Funktion benötigt die Eingabe des unteren bzw. oberen Grenzwertes und bestimmt die Größe des Parallelepipeds, in dem die Grafik erzeugt werden soll. Diese Werte werden in der Variablen VPAR gespeichert. Die Standardwerte für die Bereiche XVOL, YVOL und ZVOL sind –1 bis 1. XXRNG (Q) und YYRNG (R) Diese Funktionen erfordern die Eingabe des unteren bzw.
Das Menü STAT unter PLOT Das Menü STAT ermöglicht den Zugang zu Plots, die für statistische Analysen verwendet werden. Hier stehen die folgenden Untermenüs zu Verfügung: Die folgende Abbildung zeigt die Struktur des Menüs STAT aus dem Menü PLOT. Die Zahlen und Buchstaben bei jeder Funktion dienen in der nachstehenden Beschreibung lediglich als Referenz.
Das Menü PTYPE unter STAT (I) Das Menü PTYPE enthält die folgenden Funktionen: Diese Tasten entsprechen den Grafiktypen Bar (A), Histogram (B) und Scatter(C), die bereits beschrieben wurden. Wird eine dieser Funktionstasten während der Eingabe eines Programms gedrückt, wird an dieser Stelle im Programm der entsprechende Funktionsaufruf eingefügt. Drücken Sie @)STAT, um zum Menü STAT zurückzukehren.
Sie im Kapitel über statistische Anwendungen. Drücken Sie @)STAT, um zum Menü STAT zurückzukehren. Das Menü ΣPAR unter STAT (III) Das Menü ΣPAR enthält die folgenden Funktionen: INFO (M) und ΣPAR (K) Die Taste INFO in ΣPAR enthält die oben abgebildeten Informationen. Diese Informationen sind in der Variablen ΣPAR zu finden.
Diese Funktionen entsprechen der linearen, logarithmischen, Exponential-, Potenz- oder der besten (Best Fit) Angleichung. Mehr zur Datenregression finden Sie weiter unten in diesem Kapitel. Drücken Sie )£@PAR, um zum Menü ΣPAR zurückzukehren. ΣPAR (K) ΣPAR ist lediglich eine Referenz auf die Variable ΣPAR für interaktive Aktionen. RESET (L) Diese Funktion setzt die Inhalte von ΣPAR auf ihre Standardwerte zurück. Drücken Sie L @)STAT, um zum Menü STAT zurückzukehren.
eine zweidimensionale Grafik handelt, die mittels einer Funktion, mittels Daten aus ΣDAT oder mittels einer dreidimensionalen Funktion definiert ist. Diese Variablen können Sie mithilfe der bereits vorher beschriebenen Befehle einrichten. Als Nächstes wird das allgemeine Format von Variablen, die für die Erzeugung von verschiedenen Plottypen erforderlich sind, beschrieben.
{xleft, xright, ynear, yfar, zlow, zhigh, xmin, xmax, ymin, ymax, xeye, yeye, zeye, xstep, ystep} Die Wertpaare von x, y und z haben die folgende Bedeutung: • Dimensionen des Betrachtungsparallelepipeds (xleft, xright, ynear, yfar, zlow, zhigh) • Bereich der unabhängigen Variablen x und y (xmin, xmax, ymin, ymax) • Position des Betrachtungspunktes (xeye, yeye, zeye) • Anzahl der Schritte in den Richtungen x und y (xstep, ystep) Dreidimensionale Grafiken benötigen auch die Variable PPAR mit den oben angegebe
@)PPAR ~„r`@INDEP ~„s`@DEPND 1 \# 10 @XRNG 1 \# 5 @YRNG L { (0, 0) {.4 .
1.1 \# 1.1 @YRNG L { (0,0) {.4 .2} “X(t)” “Y(t)”} ` @AXES L @)PLOT @ERASE @DRAX L @LABEL L @DRAW @)EDIT L@MENU LL@)PICT @CANCL Definieren Sie (-1.1, 1.1) als y-Bereich Definitionsliste der Achsen Definieren der Achsenmitte, Ticks, Beschriftungen Rückkehr zum Menü PLOT Löschen des Bildes, Zeichnen der Achsen und Beschriftungen Zeichnen der Funktion und Anzeigen des Bildes Plot beenden Beispiel 3 – Polarplot: „ÌC @)PTYPE @POLAR ‘1+SIN(θ)’ `„ @@EQ@@ @)PPAR { θ 0 6.29} ` @INDEP ~y` @DEPND 3 \# 3 @XRNG 0.
Diese Beispiele zeigen ein Muster für das interaktive Erstellen von zweidimensionalen Grafiken durch das Menü PLOT. 1 – PTYPE auswählen 2 – Die zu plottende Funktion in der Variable EQ speichern (dabei auf das richtige Format achten, z.B.
–1. 5. XRNG –1. 5. YRNG ERASE DRAW DRAX LABEL PICTURE » x-Bereich setzen y-Bereich setzen Löschen des Bildes und zeichnen des Plots, der Achsen und der Beschriftungen Grafikbildschirm wieder in den Stack laden Speichern Sie das Programm in der Variable PLOT1. Um das Programm auszuführen, drücken Sie J, falls erforderlich, und drücken Sie anschließend @PLOT1.
« RAD {PPAR EQ} PURGE ‘1+SIN(θ)’ STEQ { θ 0. 6.29} INDEP ‘Y’ DEPND POLAR { (0.,0.) {.5 .5} “x” “y”} AXES –3. 3. XRNG –.5 2.
Offensichtlich führen die Befehle LINE, TLINE und BOX die gleichen Operationen aus, wie die deren interaktive Gegenstücke, vorausgesetzt die entsprechenden Eingaben werden getätigt. Diese, sowie die anderen Funktionen im Menü PICT beziehen sich auf das Grafikfenster, dessen Bereiche von x und y in der Variable PPAR bestimmt werden, wie dies bereits weiter oben für unterschiedliche Typen von Grafiken demonstriert wurde. Nachstehend werden die Funktionen des Befehls PICT beschrieben.
Graphen darzustellen. Das Display des Taschenrechners besteht aus 131 mal 64 Pixel, was der Mindestgröße von PICT entspricht. Falls PICT größer als das Display ist, kann der Graph PICT als ein zweidimensionaler Bereich betrachtet werden, der auf dem Display hin und her bewegt werden kann, wie in der nachstehenden Abbildung zu sehen ist. LINE Dieser Befehl benötigt als Eingabe zwei geordnete Paare (x1,y1) (x2, y2) oder zwei Paare von Pixelkoordinaten {#n1 #m1} {#n2 #m2}.
BOX Dieser Befehl benötigt als Eingabe zwei geordnete Paare (x1,y1) (x2, y2) oder zwei Paare von Pixelkoordinaten {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Der Befehl zeichnet ein Kästchen, bei dem die Diagonalen von den zwei eingegebenen Koordinatenpaaren bestimmt werden. ARC Dieser Befehl wird zum Zeichnen eines Bogens verwendet. ARC benötigt nachfolgende Objekte als Eingabe: • Koordinaten der Bogenmitte als (x,y) in benutzerdefinierten Koordinaten oder {#n, #m} in Pixel.
• • Radius des Bogens als r (benutzerdefinierte Koordinaten) oder #k (Pixel). Anfangswinkel θ1 und Endwinkel θ2. PIX?, PIXON und PIXOFF Diese Funktionen benötigen als Eingabe die Koordinaten des Punktes in Benutzereinheiten (x,y) oder in Pixel {#n, #m}. • • • PIX? überprüft, ob an der Position (x,y) bzw. {#n, #m} das Pixel an ist. PIXOFF schaltet das Pixel an der Position (x,y) bzw. {#n, #m} aus. PIXON schaltet das Pixel an der Position (x,y) bzw. {#n, #m} ein.
Das folgende Programm erzeugt eine Zeichnung auf dem Grafikbildschirm. (Dieses Programm wurde nur dafür geschrieben, die Befehle für die Erzeugung von Zeichnungen auf dem Bildschirm zu erläutern). « DEG 0. 100. XRNG 0. 50. YRNG ERASE (5., 2.5) (95., 47.5) BOX (50., 50.) 10. 0. 360. ARC (50., 50.) 12. –180. 180. ARC 1 8 FOR j (50., 50.
Wasseroberfläche erzeugt. Die folgende Abbildung zeigt die in diesem Abschnitt beschriebenen Elemente. Dieses Programm, das auf der mitgelieferten Diskette bzw. CD-ROM zu finden ist, verwendet vier Unterprogramme: FRAME, DXBED, GTIFS und INTRP. Das Hauptprogramm, XSECT genannt, benötigt als Eingabe eine Matrix mit den Werten von x und y sowie die Höhe der Wasseroberfläche Y (siehe Abbildung), in dieser Reihenfolge.
in Variablen mit Namen wie z.B. XYD1 (X-Y Datensatz 1) und XYD2 (X-Y Datensatz 2) gespeichert. Um das Programm auszuführen, holen Sie einen Datensatz in den Stack (z.B. J @XYD1!), geben Sie danach die Höhe der Wasseroberfläche (z.B. 4,0) ein, und drücken Sie anschließend @XSECT. Der Taschenrechner zeigt eine Entwurfszeichnung des Querschnitts mit der entsprechenden Wasseroberfläche an. Drücken Sie $, um die Grafikanzeige zu beenden.
Anmerkung: Das Programm FRAME, wie es ursprünglich geschrieben wurde (siehe Diskette oder CD-ROM) behält nicht den richtigen Maßstab der Grafik bei.
Animation von Grafiken In diesem Abschnitt erfahren Sie, wie Sie mit dem Plottyp Y-Slice animierte Grafiken erzeugen können. Nehmen wir an, dass Sie die Wanderwelle f(X,Y) = 2,5 sin(X-Y) animieren wollen. Wir können X als Zeit in der Animation betrachten und Plots der Funktion f(X,Y) gegen Y für unterschiedliche Werte von X erstellen. Zum Erstellen der Grafik gehen Sie wie folgt vor: • „ô gleichzeitig drücken. Wählen Sie Y-Slice für TYPE, ‘2.5*SIN(X-Y)’ für EQ, ‘X’ für INDEP. Drücken Sie L@@@OK@@@.
Beispiel 1 – Animation einer Welle auf der Wasseroberfläche Als Beispiel geben Sie das folgende Programm ein, welches 11 Grafiken erzeugt, sodass in der Mitte des Grafikbildschirms ein Kreis abgebildet wird und der Radius dieses Kreises in jeder nachfolgenden Grafik um einen konstanten Wert erhöht wird. « RAD 131 R B 64 RàB PDIM 0 100 XRNG 0 100 YRNG 1 11 FOR j ERASE (50., 50.
Drücken Sie $, um die Animation wieder zu beenden. Beachten Sie, dass die Zahl 11 weiterhin auf Ebene 1 des Stacks bleibt. Drücken Sie ƒ, um diese aus dem Stack zu entfernen. Nehmen wir an, dass Sie die Abbildungen, die diese Animation bilden, in einer Variablen speichern wollen. Sie können eine Liste, sagen wir WLIST, mit diesen Bildern zusammenstellen, wenn Sie wie folgt vorgehen: 11 „°@)TYPE@ @ LIST ³ ~~wlist~ K Drücken Sie J, um die Liste mit den Variablen wiederherzustellen.
Speichern Sie dieses Programm in der Variable RANI2 (Re-ANImate Version 2). Drücken Sie @RANI2, um das Programm auszuführen. Die Animation simuliert jetzt eine Welle auf der Wasseroberfläche, die von den Wänden eines kreisförmigen Behälters zur Mitte reflektiert wird. Drücken Sie $, um die Animation zu beenden. Beispiel 2 – Animation der Graphen verschiedener Potenzfunktionen Nehmen wir an, Sie wollen die Plots der Funktionen f(x) = xn, n = 0, 1, 2, 3, 4 im selben Achsensystem animieren.
angeben, wie z.B. das Zeitintervall zwischen der Darstellung der einzelnen Grafiken und die Anzahl der Wiederholungen der Darstellung.
Die Grafik in Ebene 1 ist immer noch nicht im GROB-Format, obwohl sie definitionsgemäß ein Grafikobjekt ist. Um die Grafik aus dem Stack in ein GROB zu konvertieren, müssen Sie die folgende Eingabe vornehmen: 3`„°L@)GROB @ GROB . Nun erscheinen die folgenden Informationen auf Ebene 1: Der erste Teil der Beschreibung ähnelt dem, was wir ursprünglich hatten, und zwar Graphic 131×64, aber diesmal wird Graphic 13128 × 8 angezeigt.
Durch das Einfügen von Gleichungen und Text in GROBs können diese zum Dokumentieren der Grafiken eingesetzt werden. Das Menü GROB Das Menü GROB kann mit „°L@)GROB @ GROB aufgerufen werden und enthält die folgenden Funktionen. Um zum nächsten Menü zu gelangen, drücken Sie L: GROB Von diesen Funktionen haben wir bereits: SUB, REPL (aus dem Grafikmenü EDIT), ANIMATE [ANIMA] und GROB verwendet. ([ PRG ] ist nur eine Möglichkeit, zum Programmmiermenü zurückzukehren.
oder aus) jedes Pixels im überlappenden Bereich zwischen grob1 und grob2 zu ermitteln. GXOR Die Funktion GXOR (Graphics XOR ) hat die gleiche Funktion wie GOR, in diesem Fall wird der endgültige Zustand der Pixel jedoch im überlappenden Bereich zwischen den Objekten grob1 und grob2 mit XOR ermittelt. Anmerkung: Wird in GOR oder GXOR grob2 durch PICT ersetzt, erfolgt keine Ausgabe. Um die Ausgabe anzusehen, müssen Sie PICT mit PICT RCL oder PICTURE wieder in den Stack laden.
FUNCTION ‘SIN(X)’ STEQ ERASE DRAX LABEL DRAW (-6.28,-2.) (6.28,2.) BOX PICT RCL “SINE FUNCTION” 1 GROB (-6., 1.
Winkel von φ gedreht wird. In diesem Fall sind die Normalspannungen σ’xx und σ’yy und die Schubspannungen τ’xy und τ’yx. Das Verhältnis zwischen dem ursprünglichen Spannungszustand (σxx, σyy, τxy, τyx) und dem Spannungszustand nachdem die Achsen von f (σ’xx, σ’yy, τ’xy, τ’yx) gegen den Uhrzeigersinn gedreht wurden, kann mit der unten gezeigten Abbildung grafisch dargestellt werden.
einen Winkel von 2φ im Uhrzeigersinn in Bezug auf AB gedreht ist. Die Koordinaten von Punkt A’ ergeben die Werte (σ’xx,τ’xy), während die von Punkt B’ (σ’yy,τ’xy) ergeben. Der Spannungszustand bei dem die Schubspannung τ’xy gleich Null ist, zu sehen im Segment D’E’, erzeugt die so genannten Hauptspannungen, σPxx (in Punkt D’) und σPyy (in Punkt E’).
Winkel φs. Der Winkel zwischen den Segmenten AC und F'C in der Abbildung ist 2φs. Modulare Programmierung Um das Programm, welches zum Plotten des Mohr’schen Kreises in einem gegebenen Spannungszustand verwendet wird, zu entwickeln, verwenden wir die modulare Programmierung. Im Prinzip ist dies nichts Anderes als ein Zerlegen des Programms in mehrere Unterprogramme, welche im Taschenrechner als separate Variablen angelegt werden.
Ausführen des Programms Wenn Sie die Programme in der oben aufgeführten Reihenfolge eingegeben haben, müssen die Variablen PTTL, σAXS, PLPNT, σLBL, PPTS und DDIAM im Unterverzeichnis MOHRC vorhanden sein. Drücken Sie L, werden zusätzlich die folgenden Variablen angezeigt: PCIRC, DAXES, ATN2, CC&r, INDAT, MOHRC. Vor dem Neuordnen der Variablen führen Sie erst das Programm durch Drücken der Funktionstaste @MOHRC einmal aus.
Drücken Sie die Funktionstasten @TRACE und @(x,y)@. Im unteren Bereich des Displays wird der Wert von φ, der dem Punkt A(σx, τxy) entspricht, d.h., φ = 0 (2.50E1, 5.00E1), angezeigt. Drücken Sie die rechte Pfeiltaste (™), um den Wert von φ zu erhöhen und den entsprechenden Wert von (σ’xx, τ’xy) anzuzeigen. Beispielsweise haben wir für φ = 45o die Werte (σ’xx, τ’xy) = (1.00E2, 2.50E1) = (100, 25). Der Wert von σ’yy befindet sich bei einem Winkel von 90o davor, d.h. bei φ = 45 + 90 = 135o.
« Das Programm PRNST (PRiNcipal Stresses – Hauptspannungen) starten INDAT Geben Sie die Daten wie beim Programm MOHRCIRC ein CC&r Ermitteln Sie σc, r und fn, wie im Programm MOHRCIRC Markieren der Winkel für “φn” TAG Hauptspannungen 3 ROLLD Markierten Winkel in Stack-Ebene 3 verschieben R C DUP Konvertieren von σc und r in (σc, r), anschließend duplizieren C R + “σPx” TAG Hauptspannung σPx berechnen, dann markieren SWAP C R - “σPy” TAG Spannung austauschen, σPy berechnen, dann markieren.
die Liste { MOHRCIRCL PRNST } wie folgt erstellen: J„ä@MOHRC @PRNST ` Sortieren Sie danach die Liste mit: „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @ORDER. Nach Ausführen des Funktionsaufrufs ORDER drücken Sie J. Sie werden feststellen, dass nun die Programme MOHRCIRCL und PRNST wie erwartet die ersten zwei Variablen im Menü darstellen. Ein zweites Beispiel zum Berechnen des Mohr’schen Kreises Ermitteln Sie die Hauptspannung für den Spannungszustand, der durch σxx = 12.5 kPa, σyy = -6,25 kPa und τxy = - 5,0 kPa definiert ist.
Die Lösung lautet: Beim Ermitteln der Spannungswerte, die einer Drehung von 35o im Winkel der gespannten Partikel entsprechen, gehen Sie wie folgt vor: $š Bildschirm löschen, PICT auf dem Grafikbildschirm anzeigen @TRACE @(x,y)@. Den Cursor über den Kreis bewegen, φ und (x,y) w e r d e n angezeigt. Drücken Sie zunächst die rechte Pfeiltaste ™ bis Sie φ = 35 erreichen. Die entsprechenden Koordinaten sind (1.63E0, -1.05E1), d.h. bei φ = 35o, σ’xx = 1,63 kPa und σ’yy = -10,5kPa.
Drücken Sie @@@OK@@@, um den Ablauf des Programms fortzusetzen: Das Ergebnis ist die folgende Abbildung: Da das Programm INDAT auch für das Programm @PRNST (PRiNcipal STresses) verwendet wird, wird beim Ausführen dieses Programms auch eine Eingabemaske verwendet, z.B.
Kapitel 23! Zeichenketten Zeichenketten sind zwischen Anführungszeichen eingeschlossene Objekte des Taschenrechners. Der Taschenrechner behandelt diese als Texte. So kann beispielsweise die Zeichenkette “SINE FUNCTION” in ein GROB (Grafikobjekt) zum Benennen einer Grafik umgewandelt, oder als Ausgabe eines Programms verwendet werden. Jede Folge von Zeichen, die ein Anwender als Eingabe für ein Programm eintippt, wird als Zeichenkette behandelt. Zusätzlich sind auch viele Programmausgaben Zeichenketten.
Nachfolgend einige Anwendungsbeispiele dieser Funktionen. Verknüpfen von Zeichenketten Strings können mit Hilfe des + Zeichens verknüpft (zusammengefügt) Die Verknüpfung von Strings ist ein praktischer Weg, Ausgaben von Programmen zu erzeugen. Verknüpfen Sie beispielsweise "YOU ARE " AGE + " YEAR OLD", wird, wenn in der Variablen AGE 25 gespeichert ist, "YOU ARE 25 YEAR OLD" ausgegeben. Das Menü CHARS Das Untermenü CHARS kann über das Menü PRG (Programmierung) aufgerufen werden, „°.
Im Menü CHARS stehen folgende Funktionen zur Verfügung: Die Operationen NUM, CHR, OBJ und STR wurden bereits vorgestellt. Außerdem haben wir die Funktionen SUB und REPL in Bezug auf Grafiken kennen gelernt.
Die Zeichenliste Alle Zeichen, die auf dem Taschenrechner zur Verfügung stehen, können über die Tastenfolge ‚± erreicht werden. Wenn Sie ein Zeichen hervorheben, beispielsweise das Zeichen „Line Feed“ (Zeilenumbruch) Í , sehen Sie unten links auf der Anzeige die Tastenfolge, die dieses Zeichen aufruft (in diesem Fall .) und den numerischen Code des Zeichens (in diesem Fall 10).
Kapitel 24 Objekte des Taschenrechners und Flags Zahlen, Listen, Vektoren, Matrizen, algebraische Ausdrücke usw. werden als Objekte des Taschenrechners bezeichnet. Diese werden in 30 verschiedene Typen unterteilt. Eine nähere Beschreibung finden Sie weiter unten in diesem Kapitel. Flags sind Variablen, die zum Steuern grundlegender Einstelllungen des Taschenrechners verwendet werden können. Flags wurden bereits in Kapitel 2 näher erläutert.
Nummer Typ Beispiel ____________________________________________________________________ 21 Erweiterte reelle Zahl Long Real 22 Erweiterte komplexe Zahl Long Complex 23 Verknüpftes Array Linked rray 24 Alphanumerisches Objekt Character 25 Code-Objekt Code 26 Bibliotheks-Daten Library Data 27 Externes Objekt External 28 Ganzzahl 3423142 29 Externes Objekt External 30 Externes Objekt External ____________________________________________________________________ Funktion TYPE Mit dieser Funktion wird der Ty
Taschenrechner-Flags Ein Flag ist eine Variable, die entweder gesetzt oder nicht gesetzt ist. Der Status des Flags beeinflusst das Verhalten des Taschenrechners wenn es ein Systemflag ist, oder eines Programms, wenn es ein Anwenderflag ist. Eine Beschreibung der einzelnen Typen finden Sie nachfolgend. Systemflags Auf Systemflags kann über H @)FLAGS! zugegriffen werden. Drücken Sie die Nach-Unten-Pfeiltaste, um die Flags mit ihrer Nummer und einer Kurzbeschreibung anzuzeigen.
Funktionen zum Setzen und Ändern von Flags Diese Funktionen können zum Setzen oder Löschen von Anwender- oder Systemflags oder zum Überprüfen des Status derselben verwendet werden. Der Zugriff auf Systemflags erfolgt mit diesen Funktionen über negative IntegerZahlen. So wird auf das Systemflag 117 über -117 zugegriffen. Für Anwenderflags werden hierzu positive Ganzzahlen verwendet. Es ist wichtig, dass Anwenderflags sich nur in der Programmierung, bei Steuerung des Programmflusses, auswirken.
FC?C Testet Flag wie FC und löscht es dann STOF Speichert neue Systemflag-Einstellungen RCLF Stellt bestehende Flag-Einstellungen wieder her RESET Setzt die gegenwärtigen Feldwerte zurück (kann zum Zurücksetzen eines Flag verwendet werden) Anwenderflags Für die Programmierung stehen dem Anwender die Flags von 1 bis 256 zur Verfügung. Diese beeinflussen die Funktion des Taschenrechners nicht.
Kapitel 25 Datums- und Zeit-Funktionen In diesem Kapitel stellen wir einige Funktionen für und Berechnungen mit Zeiten und Daten vor. Das Menü TIME Das Menü TIME wird über die Tastenfolge ‚Ó (die Taste 9) aufgerufen und bietet die nachfolgend beschriebenen Funktionen: Alarm einrichten Die Option 2. Set alarm.. bietet eine Eingabemaske zum Einrichten eines Alarms durch den Anwender.
Alarme durchsuchen Mit der Option 1. Browse alarms... aus dem Menü TIME können Sie durch Ihre gegenwärtigen Alarme blättern. Haben Sie beispielsweise den obigen Alarm eingegeben, zeigt Ihnen die Option die nachfolgende Anzeige: Diese Anzeige enthält vier Funktionstasten: EDIT : Editieren des Alarms über die Eingabemaske NEW : Eingeben eines neuen Alarms PURG : Löschen eines Alarms OK : Rückkehr zur Normalanzeige Datum und Uhrzeit einstellen Die Option 3. Set time, date..
Die Funktionsweise dieser Funktionen wird nachfolgend erläutert: DATE DATE TIME TIME TICKS ALRM.. DATE+ DDAYS(x,y) HMS HMS HMS+ HMS- : Stellt das gegenwärtige Datum in den Stack : Stellt das Systemdatum auf den eingegebenen Wert : Stellt die momentane Zeit im 24h-Format HH.MMSS in den Stack. : Stellt die momentane Zeit im 24h-Format HH.MMSS auf den eingegebenen Wert ein.
TSTR(time, date) : Konvertiert Zeit, Datum in eine Zeichenkette CLKADJ(x) : Addiert x Ticks zur Systemzeit (1 Tick = 1/8192 s) Die Funktionen DATE, TIME und CLKADJ werden zur Einstellung der Zeit und des Datums verwendet. Für diese Funktionen werden keine Beispiele angeführt. Nachfolgend finden Sie Beispiele für die Funktionen DATE, TIME und TSTR: Berechnungen mit Daten Zum Rechnen mit Daten verwenden Sie die Funktionen DATE+ und DDAYS.
Alarm-Funktionen In dem Menü TIME/Tools.../ALARM...
Kapitel 26 Speicherverwaltung In Kapitel 2 wurden Sie mit dem Erstellen und Verwalten von Variablen und Verzeichnissen vertraut gemacht. In diesem Kapitel werden wir die Speicherverwaltung des Taschenrechners einschließlich Speicherpartitionen und der Technik der Datensicherung erörtern. Speicheraufbau Der Taschenrechner hat eine Speicherkapazität von 2,5 MB.
Port 1 (ERAM) kann bis zu 128 KB an Daten enthalten. Port 1 bildet zusammen mit Port 0 und dem HOME-Verzeichnis das RAM (Random Access Memory) des Taschenrechners. Das RAM muss ständig über die Batterien mit Strom versorgt werden. Um Datenverlust des RAM zu verhindern, ist eine Pufferbatterie CR2032 integriert. Näheres hierzu finden Sie am Ende dieses Kapitels. Port 2 gehört zum Flash-ROM (Read only Memory) des Taschenrechners und benötigt keine Stromversorgung.
Prüfen von Objekten im Speicher Verwenden Sie die Funktion FILES („¡), um zu sehen, welche Objekte im Speicher abgelegt sind. Die Abbildung unten zeigt das HOME-Verzeichnis mit fünf Verzeichnissen, TRIANG, MATRX , MPFIT, GRPHS, and CASDIR. Durch Bewegen des Cursors im Verzeichnisbaum nach unten können zusätzliche Verzeichnisse angezeigt werden. Oder bewegen Sie den Cursor nach oben, um einen Speicher-Port auszuwählen.
• • • Sie können nur im Speicher der Ports existieren (das bedeutet, dass Sie keine Objekte im HOME-Verzeichnis sichern können, obwohl Sie beliebig viele Kopien dieser Objekte erzeugen können) Der Inhalt von Sicherungs-Objekten kann nicht modifiziert werden (Sie können jedoch das Objekt zurück in das HOME-Verzeichnis kopieren, dort modifizieren und es dann wieder sichern) Sie können ein einzelnes Objekt oder ein ganzes Verzeichnis als einzelnes Sicherungs-Objekt speichern.
Sichern des HOME-Verzeichnisses Um das momentane HOME-Verzeichnis im algebraischen Modus zu sichern, geben Sie folgenden Befehl ein: ARCHIVE(:Port_Number: Backup_Name) Hier ist die Port_Number 0, 1, 2 (oder 3, wenn eine SD-Speicherkarte zur Verfügung steht – siehe unten), während der Backup_Name der Name ist, den Sie dem Sicherungs-Objekt für den Inhalt von HOME zuordnen wollen. Der : : Kontainer wird durch die Tastenfolge „ê eingegeben.
Anmerkung: Wenn Sie ein HOME-Verzeichnis wiederherstellen, passieren zwei Dinge: • Das gesicherte Verzeichnis überschreibt das momentane HOMEVerzeichnis. Alle nicht gesicherten Daten des momentanen HOMEVerzeichnisses gehen verloren. • Der Taschenrechner startet neu. Die Inhalte der History oder des Stacks gehen verloren.
• Nachdem das Sicherungs-Objekt wiederhergestellt wurde, führt der Taschenrechner eine Integritätsprüfung durch Berechnen des CRC-Wertes durch. Eine Differenz zwischen der errechneten und der gespeicherten Prüfsumme resultiert in einer Fehlermeldung über beschädigte Daten. Verwenden von Daten aus Sicherungs-Objekten Obwohl Sie den Inhalt eines Sicherungs-Objekts nicht direkt modifizieren können, kann dieser Inhalt für Rechenoperationen verwendet werden.
Einsetzen und Entfernen von SD-Karten Der SD-Schacht befindet sich unter den Zahlentasten an der Unterkante des Taschenrechners. SD-Karten müssen nach unten liegend eingesetzt werden. Die meisten Karten haben auf der Oberseite eine Beschriftung. Wenn Sie den HP 50g mit der Tastatur nach oben halten, dann sollte diese Seite der Karte beim Einlegen nach unten bzw. von Ihnen weg weisen. Die Karte gleitet fast vollständig ohne Widerstand in den Schacht und muss nur am Ende etwas fester hineingeschoben werden.
Systemmenüs halten Sie die ‡-Taste gedrückt und drücken Sie die CTaste und lassen Sie die ‡-Taste anschließend los. Die SD-Karte ist nun einsatzbereit. Sie wurde im FAT32-Format formatiert. Alternative Methode Wenn eine SD-Karte eingelegt wird, erscheint FORMA! als zusätzlicher Menüpunkt im File Manager. Durch Wählen dieser Option wird die Karte erneut formatiert, wodurch alle Objekte der Karte gelöscht werden.
Speichern von Objekten auf der SD-Karte Verwenden Sie zum Speichern eines Objekts die Funktion STO, wie folgt: • Im algebraischen Modus: Geben Sie das Objekt ein, drücken Sie K, geben Sie den Namen des zu speichernden Objekts unter Verwendung von Port 3 ein (z.B. :3:V R1), drücken Sie anschließend `. • Im RPN-Modus: Geben Sie das Objekt ein, dann den Namen des zu speichernden Objekts unter Verwendung von Port 3 (z.B. :3:V R1) und drücken Sie dann K.
Beachten Sie, dass Sie bei langen Dateinamen den kompletten Namen des Objekts oder den abgeschnittenen 8.3-Namen angeben können, wenn Sie einen RCL-Befehl verwenden. Auwerten eines Objekts auf einer SD-Karte Um ein Objekt einer SD-Karte auszuwerten, legen Sie die Karte ein und: 1. Drücken Sie !ê. In der Eingabezeile erscheint ein blinkender Cursor zwischen zwei Doppelpunkten. Auf diese Art greift der HP 50g auf Objekte zu, die in einem seiner Ports gespeichert sind. Port 3 ist der SD-Kartenport. 2.
Löschen aller Objekte der SD-Karte (durch Formatieren) Sie können alle Objekte einer SD-Karte löschen, in dem Sie die Karte erneut formatieren. Wenn eine SD-Karte eingelegt ist, erscheint FORMA als weiterer Menüpunkt im File Manager. Durch Wählen dieser Option wird die komplette Karte formatiert, wodurch alle Objekte auf der Karte gelöscht werden. Angeben eines Verzeichnisses auf der SD-Karte Sie können Objekte, die sich in einem Verzeichnis der SD-Karte befinden, aufrufen, auswerten und löschen.
Verwenden von Bibliotheken Bibliotheken sind vom Anwender erstellte Programme in binärer Sprache, die in den Taschenrechner geladen werden können und aus jedem beliebigen Unterverzeichnis des HOME-Verzeichnisses aufgerufen werden. Sie können als reguläre Variablen in den Taschenrechner geladen, installiert und an das HOME-Verzeichnis angehängt werden. Zusätzlich besitzt der Taschenrechner zwei Bibliotheken, die alle Funktionen der Gleichungsbibliothek zur Verfügung stellen.
Eine Bibliothek löschen Um eine Bibliothek in einem Port zu löschen, geben Sie folgendes ein: • Im algebraischen Modus: PURGE(:port_number: lib_number) • Im RPN-Modus: port_number : lib_number PURGE lib_number ist die oben beschriebene Bibliotheksnummer. ACHTUNG: Die Bibliotheken 226 und 227 in Port 2 bilden die Gleichungsbibliothek. Sie können diese Bibliotheken genau wie selbst angelegte Bibliotheken löschen.
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Kapitel 27 Die Gleichungsbibliothek Die Gleichungsbibliothek ist eine Sammlung von Gleichungen und Befehlen, mit denen Sie einfache naturwissenschaftliche und technische Probleme lösen können. Die Bibliothek besteht aus mehr als 300 Gleichungen, die in 15 technische Themenbereiche gruppiert wurden und mehr als 100 Titel beinhalten. Jeder Titel enthält eine oder mehrere Gleichungen, die Ihnen zum Lösen dieser Art von Problem behilflich sind.
4. Markieren Sie den gewünschten Titel (zum Beispiel Tiefendruck) und drücken Sie `. 5. Die erste Gleichung wird angezeigt. Drücken Sie #NXEQ# , um weitere Gleichungen anzuzeigen. 6. Drücken Sie #SOLV# , um den Solver zu starten. 7. Geben Sie für jede bekannte Variable den Wert ein und drücken Sie die entsprechende Menütaste. Wenn die Variable nicht angezeigt wird, drücken Sie L, um weitere Variablen anzuzeigen. 8. Optional: Geben Sie eine Vermutung für die unbekannte Variable ein.
Die Einheit jeder Variable wird entsprechend der von Ihnen getätigten Einstellungen gesetzt: SI oder English, Einheiten verwenden oder nicht —es sei denn, die Variable existiert bereits und hat eine Einheit die von der Dimension her mit der von Ihnen gewählten Einheit übereinstimmt. (Um von English nach SI oder umgekehrt zu wechseln, müssen Sie die verwendeten Variablen zuerst löschen oder die Einheiten explizit mit den Variablenwerten angeben.
Alles auflösen !##ALL# Verlauf … ##ALL# Status setzen !MUSER! !MCALC! Suchen in der Gleichungsbibliothek Wenn Sie ein Thema oder einen Titel der Gleichungsbibliothek wählen, so wählen Sie eine Gruppe von mindestens einer Gleichung. Sie können folgende Informationen über die Gleichungen der Gleichungsbibliothek betrachten: Die Gleichungen selbst und die Zahl der Gleichungen. Die Variablen und ihre Einheiten. (Sie können die Einheiten auch ändern.
Befehle zum Anzeigen von Gleichungen und Grafiken Taste #EQN# #NXEQ# Aktion Beispiel Zeigt die Anzeigeform der B= aktuellen oder nächsten Gleichung im EquationWriter- μ0 ⋅ μr ⋅ I 2 ⋅π ⋅ r Format. ` Zeigt die Anzeigeform der aktuellen oder nächsten 'B=(μ0*μr*I)/ (2*à*r)' Gleichung als algebraisches Objekt. ` oder ˜ zeigt die nächste Gleichung, —die vorherige. Zeigt die Rechenform, indem eine Liste der aktuellen Gleichungen auf den Stack gelegt wird.
Befehle im Variablenkatalog Taste Befehl L Schaltet zwischen Beschreibungen und Einheiten um. #!#SI## @ENGL# Aktiviert SI- oder englische Einheiten, solange dies nicht den für bereits existierende (globale) Variablen definierten Einheiten widerspricht. Löschen Sie existierende Variablen (oder geben Sie ihre Einheiten ein), um Konflikte zu beheben. !UNITS Schaltet zwischen benutzten und unbenutzten Einheiten um.
Benutzung des Solvers für mehrere Gleichungen Die Gleichungsbibliothek startet automatisch den Solver für mehrere Gleichungen, wenn mehr als eine Gleichung vorliegt. Sie können ihn jedoch explizit aufrufen, um Ihre eigenen Gleichungssysteme zu lösen (siehe "Definieren eines Gleichungssystems" auf Seite 27-8).
Alle Definitionen %ALL% löschen Setzt alle Variablen nicht benutzerdefiniert, aber setzt keine Werte. Alles auflösen !%ALL% Legt, falls nötig, Variablen an und löst nach allen nicht benutzerdefinierten Variablen auf (oder nach so vielen wie möglich). Verlauf … %ALL% Zeigt Information über die letzte Lösung. Benutzerdefiniert MUSER Setzt Status für Variable oder Liste von Variablen auf dem Stack auf benutzerdefiniert.
Bedeutung der Menübezeichnungen Bezeichnun Bedeutung g !!!!!!!!!X0!!!!!!!!! Wert x0 wurde nicht von Ihnen definiert und nicht in der letzten Lösung verwendet. Er kann sich in der nächsten Lösung ändern. !!!!!!!X0!!ëëëë!!! Wert x0 wurde nicht von Ihnen definiert, wurde aber in der letzten Lösung gefunden. Er kann sich in der nächsten Lösung ändern. $$X0$$ Wert x0 wurde von Ihnen definiert und nicht in der letzten Lösung verwendet.
Zum Beispiel definieren die folgenden drei Gleichungen Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung basierend auf zwei aufgezeichneten Strecken und Zeiten. Die ersten beiden Gleichungen reichen mathematisch aus, um die Aufgabe zu lösen, aber beide Gleichungen enthalten zwei unbekannte Variablen. Durch die dritte Gleichung ist eine erfolgreiche Lösung möglich, da sie nur eine der unbekannten Variablen enthält.
4. Drücken Sie ³ ~ e ~ q K , um die Liste in der EQ Variable zu speichern. 5. Drücken Sie G—`EQLIB EQLIB $MES# !MINIT! , um Mpar anzulegen und das Gleichungssystem auf die Verwendung im Solver für mehrere Gleichungen vorzubereiten. 6. Drücken Sie !MSOLV! , um den Solver mit dem neuen Gleichungssystem zu starten. Ändern von Titel und Menü eines Gleichungssystems 1.
Problem, wenn keine Lösung gefunden wurde (schlechte Vermutung oder Konstante). Die folgenden Meldungen zeigen Fehler in der Aufgabenstellung: Bad Guess(es). Unter Umständen fehlen Einheiten oder diese sind für eine Variable inkonsistent. Für eine Liste von Vermutungen muss zumindest ein Listenelement konsistente Einheiten besitzen. Too Many Unknowns. Der Solver hat zuletzt nur Gleichungen gefunden, die mindestens zwei Unbekannte haben.
Mehrere Lösungen. Eine Gleichung kann mehrere Lösungen haben und der Solver hat unter Umständen eine unpassende gefunden. Geben Sie eine Vermutung für eine Variable ein, um die Suche auf den richtigen Bereich zu beschränken. Falscher Variablenstatus. Eine bekannte oder unbekannte Variable hat unter Umständen nicht den richtigen Status. Eine bekannte Variable sollte eine schwarze Menübezeichnung und eine unbekannte eine weiße Menübezeichnung besitzen. Inkonsistente Bedingungen.
Anhang A ! Benutzen von Eingabeformularen Dieses Beispiel, bei dem Zeit und Datum gesetzt werden, veranschaulicht die Verwendung von Eingabeformularen im Taschenrechner. Einige Grundregeln: • Benutzen sie die Pfeiltasten (š™˜—), um von einem Feld des Eingabeformulars zum nächsten zu springen. • Drücken Sie eine beliebige der @CHOOS Funktionstasten, um die zur Verfügung stehenden Optionen für ein gegebenes Feld des Eingabeformulars zu sehen.
Um mit der finanzmathematischen Berechnung zu beginnen, wählen Sie mit der Pfeiltaste (˜) die Position 5 Solve finance aus. Drücken Sie die @@OK@@-Taste, um die Anwendung zu starten. Es erscheint ein Eingabeformular mit Eingabefeldern für eine Anzahl von Variablen (n, I%YR, PV, PMT, FV). In diesem besonderen Fall können wir allen außer einer Variablen Werte zuordnen, sagen wir, n = 10, I%YR = 8.
Durch Drücken von L werden die folgenden Beschriftungen auf den Funktionstasten angezeigt: !RESET Zurücksetzen aller Felder auf Standardwerte !CALC Zugriff auf den Stack für Berechnungen !TYPES Bestimmung des Objekttyps des hervorgehobenen Feldes !CANCL Operation abbrechen @@OK@@ Eingabe annehmen Wenn Sie die Taste !RESET drücken, werden Sie aufgefordert, zwischen folgenden beiden Optionen zu wählen: Wenn Sie Reset value (Wert zurücksetzen) auswählen, wird lediglich der hervorgehobene Wert auf d
Nun haben Sie Zugriff auf den Stack, und es wird der letzte hervorgehobene Wert des Eingabeformulars angezeigt. Nehmen wir an, Sie möchten diesen Wert halbieren. Nachdem Sie 1136,22/2 eingegeben haben, erscheint folgende Anzeige im ALG-Modus: (Im RPN-Modus hätten wir 1136,22 ` 2 `/ eingeben müssen) . Drücken Sie @@OK@@, um diesen neuen Wert einzugeben. Das Eingabeformular sieht nun etwa so aus: Drücken Sie !TYPES, damit der Datentyp im Feld PMT angezeigt wird (dies ist das hervorgehobene Feld).
` oder die Taste $, um zum Stack zurückzukehren. Nun werden die folgenden Werte angezeigt: Das obere Ergebnis ist der Wert, der im ersten Teil der Übung für PMT errechnet wurde. Der zweite Wert ist das Ergebnis der Berechnung, die wir durchgeführt haben, um den Wert von PMT neu zu definieren.
Anhang B! Die Tastatur des Taschenrechners In der nachfolgenden Abbildung sehen Sie die Tastatur Ihres Taschenrechners mit durchnummerierten Zeilen und Spalten. Diese Abbildung zeigt 10 Reihen von Tasten, in Kombination mit 3, 5 oder 6 Spalten. Reihe 1 hat 6 Tasten, Reihe 2 und 3, jeweils 3, während Reihe 4 bis 10 jeweils 5 Tasten aufweisen. In der rechten oberen Ecke, in Höhe der Reihen 2 und 3, befinden sich 4 Pfeiltasten.
Hauptfunktionen der Tasten dargestellt. Um die Hauptfunktionen auszuführen, drücken Sie einfach die entsprechende Taste. Wir werden die Tasten je nach Reihe und Spalte, in der diese sich gemäß der Abbildung oben befinden, beschreiben, d. h. Taste (10,1) ist die Taste ON (Einschalttaste). Hauptfunktionen der Tasten auf der Taschenrechnertastatur Hauptfunktionen der Tasten Die Tasten A bis F sind mit Menüfunktionen verbunden, welche am unteren Rand des Taschenrechner-Displays angezeigt werden.
diesen Tasten je nach aktivem Menü unterschiedliche Funktionen ausgeführt werden. • Die Pfeiltasten —˜š™ werden zur Navigation in Richtung der gedrückten Pfeiltaste verwendet (d. h. nach oben, unten, links und rechts). • Die Funktion APPS startet das Anwendungsmenü. • Die Funktion MODE startet das Menü Modus. • TOOL aktiviert ein Menü mit verschiedenen Werkzeugen zum Bearbeiten von Variablen und für die Hilfestellung. • Die Funktion VAR zeigt die im aktiven Verzeichnis gespeicherten Variablen.
• • • • Der Zahlenblock (Ziffern 0 bis 9) wird zur Eingabe der Ziffern des Dezimalzahlensystems verwendet. Es gibt einen Dezimalpunkt (.) und eine Leertaste (SPC). Die Taste ENTER wird zur Eingabe einer Zahl, eines Ausdrucks oder einer Funktion im Display oder im Stack verwendet. Die Taste ON dient zum Einschalten des Taschenrechners.
Beachten Sie, dass durch Farbe und Position der Beschriftungen auf der Taste, SYMB, MTH, CAT und P bestimmt wird, bei welcher Funktion es sich um die Hauptfunktion (SYMB) handelt und welche der drei weiteren Funktionen welcher Tastenkombination zugeordnet ist: linke Shift-Taste „(MTH), rechte Shift-Taste … (CAT ) und ~ (P).
• • • • • CUSTOM startet die Optionen für das Menü CUSTOM, die Taste i wird zum Eintragen der imaginären Zahl i in den Stack verwendet ( i 2 = −1 ). UPDIR bringt Sie in ein übergeordnetes Verzeichnis in der Struktur des Taschenrechners. RCL wird zur Wiederherstellung der Werte von Variablen verwendet. PREV zeigt die 6 vorhergehenden Menü-Optionen. Die Funktion CMD zeigt die letzten Befehle, die Funktion PRG aktiviert die Programmiermenüs, die Funktion MTRW aktiviert den MatrixWriter.
• • • • • CMD zeigt die letzten verwendeten Befehle. PRG aktiviert die Programmiermenüs. Das Menü MTRW startet den MatrixWriter. MTH aktiviert das Menü mit den mathematischen Funktionen. Die Taste DEL wird zum Löschen von Variablen verwendet. • Die Taste ex berechnet die Exponentialfunktion von x. • • x2 berechnet das Quadrat von x (wird als Funktion SQ bezeichnet). Die Funktionen ASIN, ACOS und ATAN berechnen entsprechend die Funktionen Arcussinus, Arcuskosinus und Arcustangens.
• • Die Taste Pi π wird zur Eingabe des Symbols π verwendet (das Verhältnis der Länge eines Kreisumfangs zu dessen Durchmesser). Werden die Pfeiltasten mit der linken Shift-Taste kombiniert, wird der Cursor zum ersten Zeichen in Richtung der gedrückten Taste bewegt.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Die Funktionen BEGIN, END, COPY, CUT und PASTE werden zum Bearbeiten verwendet. Die Taste UNDO wird zum Rückgängigmachen der letzten Operation im Taschenrechner verwendet. Die Funktion CHARS aktiviert das Menü für Sonderzeichen. Die Funktion EQW dient zum Starten des EquationWriters. Die Funktion CAT wird zum Aufrufen des Befehlskatalogs verwendet. Die Funktion CLEAR löscht den Bildschirm. Die Funktion LN berechnet den natürlichen Logarithmus.
• Werden die Pfeiltasten mit der rechten Shift-Taste kombiniert, wird der Cursor zu dem am weitesten entfernten Zeichen in Richtung der gedrückten Taste bewegt. ALPHA (Alphanumerische) Zeichen Nachfolgende Abbildung zeigt die Zeichen, die den verschiedenen Taschenrechnertasten zugeordnet sind, wenn ALPHA ~ aktiviert ist. Beachten Sie, dass die Funktion ~ hauptsächlich zur Eingabe von Großbuchstaben des lateinischen Alphabets (von A bis Z) verwendet werden.
Funktionen in Kombination mit der Taste Alpha ~ Zeichenkombinationen mit Alpha und der linken Shift-Taste Nachfolgende Abbildung zeigt die Zeichen, welche verschiedenen Taschenrechnertasten zugeordnet sind, wenn die Taste ALPHA ~ mit der linken Shift-Taste „ kombiniert wird. Beachten Sie, dass die ~„Kombination hauptsächlich zur Eingabe von Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets (von A bis Z) verwendet wird. Die Zahlen, mathematischen Symbole (-, +, ×), der Dezimalpunkt (.
funktionieren in ihrer Hauptfunktion, auch bei Verwenden in Kombination mit den Tasten ~„. Funktionen von Alpha ~„ in Kombination mit der linken Shift-Taste Zeichenkombinationen mit Alpha und der rechten Shift-Taste Nachfolgende Abbildung zeigt die Zeichen, welche verschiedenen Taschenrechnertasten zugeordnet sind, wenn ALPHA ~ mit der rechten ShiftTaste … kombiniert wird.
"' Funktionen von Alpha ~… in Kombination mit der rechten Shift-Taste Beachten Sie, dass die Kombination ~… hauptsächlich zur Eingabe von Sonderzeichen in den Stack verwendet wird. Die Tasten CLEAR, OFF, , , Komma (,), sowie die Taste OFF arbeiten in ihrer ursprünglicher Funktion, auch dann wenn die Kombination ~… verwendet wird. Die Sonderzeichen, die Sie mit der Kombination ~… eingeben können, sind griechische Buchstaben (α, β, Δ, δ, ε, ρ, μ, λ, σ, θ, τ, ω, und Π).
Anhang C! CAS-Einstellungen CAS steht für Computer Algebraic System – algebraisches System des Rechners. Dies ist das mathematische Herzstück des Taschenrechners, in dem die symbolischen mathematischen Operationen und Funktionen programmiert sind. Das CAS-Modul bietet eine Reihe von Einstellungen, die je nach Typ oder Operationsart ausgewählt werden können. Um die möglichen CASEinstellungen anzusehen, gehen Sie wie folgt vor: • Drücken Sie die Schaltfläche H zum Starten der Eingabemaske CALCULATOR MODES.
Drücken Sie die Taste L, erhalten Sie eine Anzeige der noch verbleibenden Optionen in der Eingabemaske CALCULATOR MODES: @RESET Der Anwender kann eine hervorgehobene Option rückgängig machen. !!CANCL Schließt die aktuelle Eingabemaske und wechselt zur Normalansicht. @@@OK@@@@ Verwenden Sie diese Taste zum Bestätigen Ihrer Einstellungen. • Um zum ursprünglichen Menü der Eingabemaske CALCULATOR MODES zurückzukehren, drücken Sie die Taste L.
• Nachdem Sie nun die gewünschten Optionen für die Eingabemaske CAS MODES ausgewählt haben, drücken Sie die Funktionstaste @@@OK@@@. Damit kehren Sie zur Eingabemaske CALCULATOR MODES zurück. Um zur Normalansicht des Taschenrechners zurückzukehren, drücken Sie erneut die Taste @@@OK@@@ . Auswählen der unabhängigen Variablen Viele der vom CAS-Modul zur Verfügung gestellten Funktionen verwenden eine vordefinierte unabhängige Variable.
Auswählen des Moduls Die Option Modulo im Eingabefeld CAS MODES stellt eine Zahl (Standardwert = 13) dar, die in der modularen Arithmetik verwendet wird. Weitere Details zur modularen Arithmetik werden an der entsprechenden Stelle in diesem Handbuch beschrieben. Numerischer vs. symbolischer CAS-Modus Wird der Numeric (numerische) CAS-Modus ausgewählt, werden bestimmte vordefinierte Konstanten des Taschenrechners mit ihrem vollständigem Gleitpunktwert angezeigt.
Nachfolgende Abbildung zeigt eine Reihe von symbolischen Ausdrücken, welche mit aktiviertem exaktem Modus im algebraischen Modus eingegeben wurden: Im algebraischen Modus werden die vom Anwender eingegebenen Objekte auf der linken Seite des Displays angezeigt, die Ergebnisse werden auf der rechten Seite des Displays angezeigt. Die obigen Ergebnisse zeigen die symbolischen Ausdrücke für ln(2), den natürlichen Logarithmus von 2, und 5 , die Quadratwurzel von 5.
Die dazu erforderliche Tastenfolge lautet 2…¹ 5R Eine Abkürzung auf der Tastatur zum schnellen Wechsel zwischen den Modi APPROX und EXACT kann durch gleichzeitiges Drücken der rechten Shift-Taste und der Taste ENTER , d. h. ‚ (halten) `, genutzt werden. Reelle Zahlen im Vergleich zu Ganzzahlen In CAS-Operationen werden Ganzzahlen (Integer) verwendet, um die volle Genauigkeit bei Berechnungen beizubehalten.
Komplexer im Vergleich zum reellen CAS-Modus Eine komplexe Zahl ist eine Zahl a+bi, wobei i, definiert durch i 2 = −1 , die imaginäre Einheit darstellt (Elektrotechniker ziehen das j dafür vor) und a und b reelle Zahlen sind. So ist beispielsweise die Zahl 2 + 3i eine komplexe Zahl. Zusätzliche Informationen zu komplexen Zahlen finden Sie in Kapitel 4 dieses Handbuchs.
Die Tastenfolge, die oben verwendet wurde, lautet: R„Ü5„Q2+ 8„Q2` Benutzen Sie die Taste F, wenn Sie dazu aufgefordert werden, in den Modus COMPLEX zu wechseln. Möchten Sie den Wechsel in den Modus COMPLEX nicht durchführen, erhalten Sie nachfolgende Fehlermeldung: Ausführlicher im Vergleich zum kurzen CAS-Modus Ist die _Verbose (ausführliche) CAS-Option ausgewählt, werden verschiedene Anwendungen mit Kommentaren im Display ausgegeben.
Die Anzeige verrät uns, dass der Taschenrechner eine Division zweier Polynome A/B durchführt, sodass A = BQ + R, wobei Q den Quotienten und R den Restwert darstellt. Für den vorliegenden Fall gilt A = X3-5X2+3X-2 und B = X-2. Diese Polynome werden im Display als Auflistung ihrer Koeffizienten dargestellt. So stellt beispielsweise der Ausdruck A: {1,-5,3,-2} das Polynom A = X35X2+3X-2, B:{1,-2} das Polynom B = X-2, Q: {1} das Polynom Q = X und R:{3,3,-2} das Polynom R = -3X2+3X-2 dar.
Aufsteigende Potenzen im CAS-Modus Bei ausgewählter CAS-Option _Incr pow, werden die einzelnen Glieder der Polynome in aufsteigender Potenz der unabhängigen Variablen dargestellt. Ist die CAS-Option _Incr pow nicht ausgewählt, werden die Glieder der Polynome in absteigender Potenz der unabhängigen Variablen dargestellt.
Das CAS-Modul kann bei nicht eingestelltem genauem Modus eine größere Vielzahl von Problemen lösen. Das Ergebnis hingegen, oder der Bereich, in welchem die Ergebnisse angewendet werden können, ist möglicherweise jedoch stärker eingeschränkt. Vereinfachen von nicht rationalen CAS-Einstellungen Ist die CAS-Option _Simp Non-Rational ausgewählt, werden nicht-rationale Ausdrücke automatisch vereinfacht. Ist diese CAS-Option nicht ausgewählt, werden nicht-rationale Ausdrücke nicht automatisch vereinfacht.
Beachten Sie, dass in dieser Instanz nur den Funktionstasten E und F Befehle zugeordnet sind, nämlich: !!CANCL E CANCeL zum Abbrechen der Hilfefunktion !@@OK#@ F OK zum Aktivieren der Hilfefunktion für den ausgewählten Befehl Drücken Sie die Taste !!CANCL E, wird die Funktion HELP (Hilfe) übergangen und der Taschenrechner kehrt zur Normalansicht zurück.
keine weiteren Menüeinträge vorhanden sind). Die Befehle der Funktionstasten sind wie folgt: @EXIT A @ECHO B @@ SEE1@@ C @@SEE2@ D !@@SEE3@ E @!MAIN F Beenden der Hilfefunktion Beispielbefehl in den Stack kopieren und verlassen Wechselt zum ersten Link (falls einer existiert) in der Referenzliste. Wechselt zum zweiten Link (falls einer existiert) in der Referenzliste.
Die in diesem Abschnitt beschriebene Funktion HELP ist sehr nützlich um auf die Definitionen vieler CAS-Befehle im Taschenrechner zurückzugreifen. Wann immer angemessen, beinhaltet jeder Eintrag in der CAS-Hilfefunktion auch ein Beispiel des Befehls sowie Verweise, wie in obigem Beispiel dargestellt. Um direkt, ohne die Pfeiltasten zu benutzen, einen bestimmten Befehl in der Hilfefunktion anzusteuern, kann auch nur der erste Buchstabe dieses Befehls eingegeben werden.
CAS-Software defekt sein, tragen Sie alle Kosten für notwendige Dienstleistungen, Reparaturen oder Korrekturen.
Anhang D! Zusätzlicher Zeichensatz Sie können alle lateinischen Groß- und Kleinbuchstaben und alle Ziffern direkt über die Tastatur erreichen. Es gibt jedoch insgesamt 255 verschiedene Zeichen in Ihrem Taschenrechner, beispielsweise Sonderzeichen wie θ, λ, usw., die in algebraischen Ausdrücken verwendet werden. Wir benötigen, um auf diese Sonderzeichen zugreifen zu können, die Tastenkombination …± (der Taste EVAL zugeordnet).
Eines der Zeichen ist immer hervorgehoben. Die untere Zeile des Displays zeigt das Tastenkürzel des hervorgehobenen Zeichens, sowie den diesem Zeichen entsprechenden ASCII-Code an (beispielsweise ist in der obigen Anzeige das Tastenkürzel α Dα 9 hervorgehoben, also ~„d~…9, mit ASCII-Code 240). Das Display zeigt auch drei Funktionen, die den Funktionstasten f4, f5, und f6 zugeordnet sind.
Nachfolgend eine Auflistung der gebräuchlichsten ~‚ Tastenkombinationen: Griechische Buchstaben α β δ ε θ λ μ ρ σ τ ω Δ Π (Alpha) (Beta) (Delta) (Epsilon) (Theta) (Lambda) (Mu) (Rho) (Sigma) (Tau) (Omega) (Großbuchstabe Delta) (Großbuchstabe Pi) ~‚a ~‚b ~‚d ~‚e ~‚t ~‚n ~‚m ~‚f ~‚s ~‚u ~‚v ~‚c ~‚p Andere Zeichen ~ ! ? \ @ (Tilde) (Fakultät) (Fragezeichen) (Schrägstrich rückwärts) (Winkelsymbol) (At-Zeichen) ~‚1 ~‚2 ~‚3 ~‚5 ~‚6 ~‚` Einige gebräuchliche Zeichen, die nicht über einfache Tastenkombination
Anhang E! Auswahlbaum im EquationWriter Der Ausdrucksbaum ist ein Diagramm, das anzeigt, auf welche Weise der EquationWriter einen Ausdruck darstellt (interpretiert). Die Form des Ausdrucksbaums hängt von gewissen Regeln ab, bekannt als Operationshierarchie. Die Regeln lauten wie folgt: 1. Operationen in Klammern werden zuerst ausgeführt, beginnend von der innersten bis hin zur äußersten Klammer, und innerhalb des Ausdrucks von links nach rechts. 2.
Anschließend drücken Sie die linke Pfeiltaste š so lange, bis sich der reine Bearbeitungscursor um das y herum im ersten Faktor des Nenners befindet. Drücken Sie anschließend die Pfeiltaste nach oben, um den Auswahlcursor ( ) um das y herum zu erhalten. Durch wiederholtes Drücken der Pfeiltaste —, können wir nun dem Ausdrucksbaum folgen, der uns vom y bis ans Ende des Ausdrucks bringt.
Um die Schritte in der Kalkulation des zweiten Gliedes zu sehen, drücken Sie wiederholt die Taste Pfeil nach unten ˜, bis sich der reine Bearbeitungscursor um das y herum befindet. Drücken Sie anschließend die Pfeiltaste, bis sich dieser Cursor über dem x im zweiten Glied des Nenners befindet. Drücken Sie dann die Pfeiltaste nach Oben, um dieses x auszuwählen.
auszuwählen.
Die Schritte bei der Berechnung der Glieder des Baumes (A1 bis A6, B1 bis B5 und C1 bis C5) werden neben dem jeweiligen Kreis, der Zahlen, Variablen oder Operatoren enthält, angezeigt.
Anhang F! Das Menü (APPS) Anwendungen Das Menü (APPS) kann über die Taste G erreicht werden (erste Taste in der zweiten Reihe von oben). Die Taste G zeigt die folgenden Anwendungen: Die verschiedenen Anwendungen werden nachfolgend beschrieben. Plot-Funktionen Die Auswahl von Option 1. Plot functions.. im Menü APPS zeigt die folgende Menüliste mit grafikbezogenen Optionen: Die sechs gezeigten Optionen entsprechen den unten aufgeführten Tastenkombinationen: Eingeben der Gleichung… „ñ Grafik-Fenster...
I/O functions.. (Ein-/Ausgabe-Funktionen) Die Auswahl von Option 2. I/O functions.. im Menü APPS zeigt die folgende Menüliste von Ein-/Ausgabe-Funktionen: Nachfolgend eine Erläuterung dieser Anwendungen: Send to Taschenrechner Get from Taschenrechner Print display Print.. Transfer.. Start Server..
Eine genaue Beschreibung der Konstantenbibliothek finden Sie in Kapitel 3. Numeric solver.. (Numerischer Löser) Die Auswahl von Option 3. Numeric solver.. im Menü APPS liefert das Menü für den numerischen Löser: Diese Operation entspricht der Tastenkombination ‚Ï. Weitere Informationen zu dem Menü für den numerischen Löser finden Sie in den Kapiteln 6 und 7. Time & date.. (Datum & Zeit) Die Auswahl von Option 5.Time & date..
Equation Writer.. (EquationWriter) Die Auswahl von Option 6.Equation Writer.. im Menü APPS öffnet den EquationWriter: Diese Operation entspricht der Tastenkombination ‚O. Weitere Informationen zum EquationWriter finden Sie in Kapitel 2. Beispiele zur Anwendung des EquationWriters finden Sie durchgehend in diesem Handbuch. File manager.. (Dateimanager) Option 7.File manager.. des Menüs APPS startet den Dateimanager: Diese Operation entspricht der Tastenkombination „¡.
Diese Operation entspricht der Tastenkombination „². Weitere Informationen zum MatrixWriter finden Sie in Kapitel 10 Text editor.. (Texteditor) Option 9.Text editor.. des Menüs APPS startet den zeilenweisen Texteditor: In vielen Fällen kann der Texteditor durch Drücken der ˜ Taste gestartet werden. Ist jedoch das im Display angezeigte Objekt ein algebraisches Objekt, wird mit der ˜Taste in der Regel der EquationWriter gestartet.
Das Menü erscheint auch durch Drücken der Taste P. Weitere Informationen zu dem Menü CAS bzw. SYMBOLIC finden Sie in den Kapiteln 5 (Algebraische und arithmetische Operationen), 4 (Komplexe Zahlen), 6 (Lösung von Gleichungen), 10 (Erzeugen von Matrizen), 11 (Matrix-Operationen), 13 (Infinitesimalrechnung/ Analysis), 14 (Multivariate Analysis) und 15 (Vektoranalysis). Gleichungsbibliothek Durch Wählen von Option 12.Equation Library im APPS-Menü erscheint das EQ LIBRARY MENU.
Anhang G! Nützliche Tastaturkürzel Hier finden Sie einige gebräuchliche Tastaturkürzel, die bei diesem Taschenrechner benutzt werden können: • Einstellen des Display-Kontrasts: $ (festhalten) +, oder $ (festhalten) - • Wechseln zwischen RPN- und ALG-Modi: H\@@@OK@@ oder H\`. • Setzen/Löschen des System-Flags 95 (ALG- bzw.
105 \` CF wählt den EXACT CAS-Modus • Setzen/ Löschen des System-Flags 117 (CHOOSE boxes vs. SOFTmenus): H @)FLAGS —„ —˜ @ @CHK@ • Im ALG-Modus: SF(-117) wählt die SOFT menus CF(-117) wählt die CHOOSE boxes.
• Theta (θ): ~‚t Omega (ω): ~‚v ~‚u System-Level-Betrieb (Halten Sie $ gedrückt, lassen Sie die Taste los, nachdem Sie die zweite oder dritte Taste gedrückt haben): o o o o o o o o • Tau (t): $ (festhalten) AF: “Kaltstart” – der gesamte Speicher wird gelöscht $ (festhalten) B: macht den letzten Tastenanschlag rückgängig $ (festhalten) C: “Warmstart” – Speicherinhalt bleibt erhalten $ (festhalten) D: Startet interaktiven Selbsttest $ (festhalten) E: Startet kontinuierlichen Selbsttest $ (festhalten)
ο „ (festhalten) ˜ : Startet den Texteditor (Anhang L) ο „ (festhalten) § : HOME(), springt ins HOME- ο „ (festhalten) « : Wiederherstellen des letzten Verzeichnis aktiven Menüs ο ‚ (festhalten) ˜ : Anzeigen von Variableninhalten oder Menüeinträgen ο ‚(festhalten) ± : Menü PRG/CHAR (Kapitel 21) ο ~‚Í !! : Ändert den Einfügemodus Seite G-4
Anhang H! CAS-Hilfesystem Auf das CAS-Hilfesystem können Sie mit der Tastenkombination IL@HELP ` zugreifen. Die folgende Abbildung stellt die erste Menüseite des CASHilfesystems dar: Die Befehle sind in alphabetischer Folge aufgelistet. Mithilfe der Pfeiltasten — ˜können Sie sich durch die Liste bewegen. Im Folgenden finden Sie einige nützliche Hinweise zur Steuerung des Hilfesystems.
• beginnt, ausgewählt, d. h. DEGREE. Um zu DERIV zu gelangen, drücken Sie die Pfeiltaste ˜ zweimal. Um den Befehl auszuwählen, drücken Sie @@OK@@. Durch Sperren der alphabetischen Tastatur können Sie zwei oder mehr Anfangsbuchstaben des gesuchten Befehls eingeben. Auf diese Weise werden Sie direkt zum gesuchten Befehl oder zumindest in seine Nähe gebracht.
Anhang I! Liste der Befehle im Befehlskatalog Dies ist eine Liste aller zur Verfügung stehenden Befehle des Befehlskatalogs (‚N). Befehle, die zum CAS-Modul (Computer Algebraic System) gehören, sind auch in Anhang H aufgeführt. Einträge des CAS-Hilfesystems sind für einen Befehl verfügbar, wenn die Funktionstaste @HELP beim Hervorheben des gewünschten Befehls erscheint. Drücken Sie diese Funktionstaste, um die CAS-Hilfe für den Befehl zu erhalten.
Die vom Anwender definierten Befehle erscheinen auch in der Liste des BefehlsKatalogs, gekennzeichnet durch Kursivschrift. Ist eine Hilfefunktion in der Bibliothek verfügbar, erscheint die Funktionstaste @HELP , sobald Sie einen anwenderdefinierten Befehl anklicken, für den ein Hilfetext hinterlegt wurde.
Anhang J! Das Menü MATHS Das Menü MATHS, auf welches mit dem Befehl MATHS (verfügbar im Befehlskatalog N) zugegriffen werden kann, enthält folgende Untermenüs: Das Untermenü CMPLX Das Untermenü CMPLX enthält Funktionen für Operationen mit komplexen Zahlen: Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 4. Das Untermenü CONSTANTS Das Untermenü CONSTANTS erlaubt den Zugriff auf die im Taschenrechner verfügbaren mathematischen Konstanten.
Das Untermenü HYPERBOLIC Das Untermenü HYPERBOLIC enthält die hyperbolischen Funktionen und deren Umkehrfunktionen. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 3: Das Untermenü INTEGER Das Untermenü INTEGER stellt Funktionen zur Manipulation von Ganzzahlen sowie einiger Polynome zur Verfügung. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 5: Das Untermenü MODULAR Das Untermenü MODULAR stellt Funktionen für modulare Arithmetik mit Zahlen und Polynomen zur Verfügung.
Das Untermenü POLYNOMIAL Das Untermenü POLYNOMIAL beinhaltet Funktionen zum Erstellen und Manipulieren von Polynomen. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 5: Das Untermenü TESTS Das Untermenü TESTS beinhaltet relationale Operatoren (==, <, usw.), logische Operatoren (AND, OR, usw.), die Funktion IFTE und die Befehle ASSUME und UNASSUME.
Anhang K! Das Menü MAIN Das Menü MAIN ist über den Befehls-Katalog verfügbar. Es enthält folgende Untermenüs: Der Befehl CASCFG Dies ist der erste Eintrag im Menü MAIN. Dieser Befehl konfiguriert das CASModul. Informationen zur CAS-Konfiguration erhalten Sie in Anhang C. Das Untermenü ALGB Das Untermenü ALGB enthält die folgenden Befehle: Diese Funktionen, mit Ausnahme von 0. MAIN MENU und 11.UNASSIGN sind im ALG-Tastaturmenü (‚×) verfügbar.
Das Untermenü DIFF Das Untermenü DIFF enthält die folgenden Funktionen: Diese Funktionen sind auch im Untermenü CALC/DIFF („Ö) verfügbar. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in den Kapiteln 13, 14 und 15, mit Ausnahme der Funktion TRUNC, die nachfolgend anhand ihres Eintrags im CAS-Hilfesystem beschrieben wird. Das Untermenü MATHS Eine genaue Beschreibung des Untermenüs MATHS finden Sie in Anhang J.
Diese Funktionen sind auch im TRIG Menü (‚Ñ) verfügbar. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 5. Das Untermenü SOLVER Das Untermenü SOLVER enthält die folgenden Funktionen: Diese Funktionen sind im Menü CALC/SOLVE („Ö) verfügbar. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in den Kapiteln 6, 11 und 16. Das Untermenü CMPLX Das Untermenü CMPLX enthält die folgenden Funktionen: Das Untermenü CMPLX kann auch über die Tastatur erreicht (‚ß) werden.
Die Untermenüs INTEGER, MODULAR und POLYNOMIAL werden ausführlich in Anhang J beschrieben. Das Untermenü EXP&LN Das Menü EXP&LN enthält die folgenden Funktionen: Dieses Menü kann auch über die Tastatur über „Ð erreicht werden. Eine Beschreibung der Funktionen dieses Menüs finden Sie in Kapitel 5.
Diese Funktionen sind auch im Menü MATRICES der Tastatur („Ø) verfügbar. Eine Beschreibung der Funktionen finden Sie in den Kapiteln 10 und 11. Das Untermenü REWRITE Das Menü REWRITE enthält die folgenden Funktionen: Diese Funktionen sind verfügbar im Menü CONVERT/REWRITE (starten Sie dieses mit „Ú). Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 5, ausgenommen die Funktionen XNUM und XQ, die nachfolgend anhand ihrer Einträge im CAS-Hilfsystem erläutert werden.
Anhang L! Befehle des Zeileneditors Rufen Sie im RPN-Stack oder im ALG-Modus den Zeileneditor mit „˜ auf, werden Ihnen die folgenden Untermenüs zur Verfügung gestellt (drücken Sie L, um die verbleibenden Funktionen zu sehen): Die Funktionen werden wie folgt kurz beschrieben: SKIP: SKIP : DEL: DEL : DEL L: Überspringt alle Zeichen bis zum Wortanfang. Überspringt alle Zeichen zum Wortende. Löscht alle Zeichen bis zum Wortanfang. Löscht alle Zeichen bis zum Wortende. Löscht alle Zeichen einer Zeile.
Die in dieser Abbildung angezeigten Daten sind selbsterklärend. Beispielsweise bezeichnen X und Y positions die Position in einer Zeile (X) und die Zeilennummer (Y). Stk Size bezeichnet die Anzahl der Objekte in der ALGModus-History oder im RPN-Stack. Mem(KB) bezeichnet die Größe des freien Speichers. Clip Size ist die Anzahl der Zeichen im Clipboard (Zwischenablage). Sel Size ist die Anzahl der Zeichen im aktuell ausgewählten Bereich. EXEC: führt den gewählten Befehl aus HALT: stoppt die Befehlsausführung.
Das Untermenü SEARCH Die Funktionen des Untermenüs SEARCH sind: Find: Benutzen Sie diese Funktion, um einen String in der Befehlszeile zu finden. Nachfolgend das Eingabeformular, das für diesen Befehl zur Verfügung steht: Replace: Benutzen Sie diesen Befehl, um einen String zu finden und zu ersetzen.
Das Untermenü GOTO Die Funktionen des Untermenüs GOTO sind: Goto Line: springt zu einer angegebenen Zeile. Das Eingabeformular für diesen Befehl sieht wie folgt aus: Goto Position: springt zu einer angegebenen Position in der Befehlszeile. Das Eingabeformular für diesen Befehl sieht wie folgt aus:: Labels: springt zu einer angegebenen Marke in der Befehlszeile.
Mit dem Befehl FONT kann der Anwender die Schrift für den Befehlszeileneditor auswählen.
Anhang M Tabelle eingebauter Gleichungen Die Gleichungsbibliothek beinhaltet 15 Themen (siehe Abschnitte der Tabelle unten) und mehr als 100 Titel. Die Zahlen in Klammern stehen für die Zahl der Gleichungen und die Zahl der Variablen des entsprechenden Titels. Es gibt insgesamt 315 Gleichungen, die zusammen 396 Variablen benötigen.
3: Flüssigkeiten (29, 29) 1: Tiefendruck (1, 4) 3: Fluss mit Verlusten (10, 17) 2: Bernoulli-Gleichung (10, 15) 4: Fluss in gefüllten Rohren (8, 19) 4: Kräfte und Energie (31, 36) 1: Lineare Mechanik (8, 11) 5: ID elastische Kollision (2, 5) 2: Winkelmechanik (12, 15) 6: Zugkraft (1, 5) 3: Zentripetalkraft (4, 7) 7: Gravitationsgesetz (1, 4) 4: Hookesches Gesetz (2, 4) 8: Masse-Energie-Relation (4, 9) 5: Gase (18, 26) 1: Ideales Gasgesetz (2, 6) 5: Isentropischer Fluss (4, 10) 2: Ideale Gaszus
8: Bewegung (22, 24) 1: Lineare Bewegung (4, 6) 5: Kreisförmige Bewegung (3, 5) 2: Körper im freien Fall (4, 5) 6: Endgeschwindigkeit (1, 5) 3: Bewegung eines Geschosses 7: Fluchtgeschwindigkeit (1, 14) (5, 10) 4: Winklige Bewegung (4, 6) 9: Optik (11, 14) 1: Brechungsgesetz (1, 4) 4: Sphärische Reflektion (3, 5) 2: Grenzwinkel (1, 3) 5: Sphärische Brechung (1, 5) 3: Brewstersches Gesetz (2, 4) 6: Dünne Linse (3, 7) 10: Schwingungen (17, 17) 1: Gewicht-Feder-System (1, 4) 4: Torsionspendel (3,
14: Belastungsanalyse (16, 28) 1: Normale Belastung (3, 7) 3: Belastung eines Elements (3, 7) 2: Schubbelastung (3, 8) 4: Mohrscher Kreis (7, 10) 15: Wellen (12, 15) 1: Querwellen (4, 9) 3: Schallwellen (4,8) 2: Längswellen (4, 9) Seite M-4
Anhang N Index A ABCUV 5-12 Abkürzungen 1-19 Ableitungen höherer Ordnung 1315 Ableitungen von Gleichungen 13-7 Ableitungen zum Berechnen von Extrempunkten 13-13 Ableitungsfunktionen 2-35 ABS 4-7, 11-8 Absolutbetrag der Fourier-Transformation 16-52 Abweichung 18-30 ACK 25-5 ACKALL 25-5 ACOS 3-8 ACOSH 3-10 ADD 8-10 Addition 8-4 ADDTMOD 5-13 Alarme 25-2 Alarm-Funktionen 25-5 Algebraische Objekte 5-1 Algebraischer Modus 2-61 ALOG 3-6 ALPHA Zeichen B-10 ALPHA-Funktion 1-13 ALPHA-linke-Shift-Funktion 1-13 ALPHA-r
Auswahl der Größe für die Kopfzeile 1-33 Auswahl der Schrift im Display 1-30 Auswahlbaum im EquationWriter E-1 Auswählen der unabhängigen Variablen C-4 AUTO 22-3 AXES 22-15 AXL 9-30, 11-17 AXM 11-17 AXQ 11-59 B B R 19-3 Balkengrafik 16-56 Batterien 1-1 Befehl CASCFG K-1 Befehle des Zeileneditors L-1 Befehlskatalog I-1 BEG 6-39 BEGIN 2-32 Beispiele von interaktiven Plots mit dem Menü PLOT 22-17 Beispiele von programmgenerierten Plots 22-20 Benutzen von Eingabeformularen im Menü NUM.
Chebyshev-Polynom 5-26 CHINREM 5-12 Chi-Quadrat-Verteilung 17-12 CHOOSE 21-35 CHOOSE boxes 1-4 CHR 23-1 CIRCL 12-54 CLKADJ 25-4 CMD 2-76 CMDS 2-30 CMPLX-Menü 4-6 CNCT 22-15 CNTR 12-58 COL+ 10-22 COL 10-21 COLLECT 5-4 COL- 10-22 COMB 17-2 Complex-Modus 5-27 CON 10-9 COND 11-11 CONJ 4-7 CONLIB 3-33 CONVERT 3-31 COPY 2-32 COS 3-1 COSH 3-10 CRDIR 2-50 CROSS 9-13 CST 20-1 CSWP 10-23 CURS 2-24 CUT 2-32 CYCLOTOMIC 5-12 CYLIN 4-3 D D R 3-16 DARCY 3-36 Darstellung von Kegelschnitt-Kurven 12-24 Darstellungen 18-19
Diagramm der Fehler 18-69 Differentialgleichungen 12-30 Differentialgleichungen im Taschenrechner 16-1 Differentialgleichungs-Löser 16-66 Dirac’sche Deltafunktion 16-17 DISPLAY MODES 1-29 DISTRIB 5-32 DIV2 5-12 DIV2MOD 5-13 Divergenz 15-4 DIVIS 5-11 Division 8-4 DIVMOD 5-13 DOERR 21-69 DO-Konstrukt 21-66 DOLIST 8-13 DOMAIN 13-10 Doppeltes Integral in Polarkoordinaten 14-10 DOSUBS 8-13 DOT 9-13 DOT+ und DOT- 12-52 Drahtgitterdarstellungen 12-42 DRAW 22-5 DRAW3DMATRIX 12-62 DRAX 22-4 Dreidimensionale Grafiken
ERASE 12-55, 22-4 ERR0 21-70 ERRM 21-70 ERRN 21-70 ERROR 21-7 Erstellen eines Vektors 9-7 Erstellen und Speichern von Listen 8-1 Erstellen von Unterverzeichnissen 2-47 Erweiterte Matrix 11-35 Erzeugen grafischer 18-19 Erzeugen von Graphen durch Programme 22-15 EULER 5-12 Euler-Gleichung 16-58 Euler-Konstante 16-61 EVAL 2-5 Exakter CAS-Modus C-5 EXEC L-2 EXP 3-8 EXP2POW 5-32 EXPAND 5-5 EXPANDMOD 5-13 EXPLN 5-32 EXPM 3-11 Exponentialverteilung 17-7 Extrempunkten 13-13 EYEPT 22-11 F FACTOR 5-26 FACTORMOD 5-13
linken Shift-Taste B-5 Funktionen in Kombination mit der rechten Shift-Taste B-8 Funktionen REF, rrefundRREF 11-46 Funktionen RNRM und CNRM 1110 Funktionen zum Erzeugen grafischer 18-19 Funktionsdarstellungen 12-5 Funktionsmenü SOLVE 6-32 F-Verteilung 17-13 G GAMMA 3-17 Gamma-Verteilung 17-15 GAUSS 11-60 Gauß- und Gauß-Jordan-Elimination 11-32 GCD 5-21 GCDMOD 5-13 Gekennzeichnete Ausgaben 21-37 Genaue CAS-Einstellung C-11 Geometrischer Mittelwert 8-19 GET 10-6 GETI 10-7 Gewogenes Mittel 8-20 Gewöhnlicher D
HMS 25-3 HORNER 5-12, 5-22 H-VIEW 12-17 HZIN 12-58 HZOUT 12-58 I i 3-18 I/O functions F-2 I R 5-31 IABCUV 5-12 IBERNOULLI 5-12 ICHINREM 5-12 Identitätsmatrix 10-1, 10-10 IDIV2 5-12 IDN 10-10 IEGCD 5-12 IF...THEN...ELSE...
Klassen 18-6 Klassengrenzen 18-6 Klassenmarken 8-22 Komplexe Zahlen 2-2 Komplexen Funktion in EQ 22-18 Komplexer im Vergleich zum reellen CAS-Modus C-8 Konditionszahl 11-11 Konfidenzintervalle 18-25 Konnexität P-2 Konstanten des Taschenrechners 318 Konstantenbibliothek 3-33 Konstrukt IF...THEN...
LQ 11-57 LSQ 11-27 LU 11-55 LVARI 7-15 M MacLaurin-Reihe 13-25 MAD 11-54 Manning-Gleichung 21-34 MANT 3-16 MAP 8-14 MARK 12-52 MASSE 3-22 Matrix 5-23 Matrix, Potenz 11-6 Matrixfaktorisierung 11-55 Matrix-Menü 11-16 Matrixmenü NORM 11-8 Matrix-Multiplikation 11-4 Matrix-Operationen 11-1, 11-16 Matrix-Vektor-Multiplikation 11-3 MatrixWriters 9-4 Matrizen 10-1 MAX 3-15 Maximum 3-15 MAXR 3-18 Median 18-4 Mehrfache lineare Anpassung 1863 MENU 12-59 Menü ALG 5-3 Menü APPS F-1 Menü ARITHMETIC 5-10 Menü BASE 19-1
Mit einer Taylor-Reihe 13-25 MITM 7-16 Mittelwert 18-5 MOD 3-16, 5-19 MODES/KEYS 21-9 MODL 22-14 MODSTO 5-13 Modulare Arithmetik 5-14 Modulare Inverse 5-18 Modulare Programmierung 22-42 MODULO 2-44 MSGBOX 21-33 MSLV 7-5 MSOLV 7-16 MTH/LIST-Menü 8-10 MTRW 9-4 Multiplikation 8-4 Multivariate Funktionen 14-1 MULTMOD 5-13 N Nachkommastellen 1-21 Näherungs- vs.
Partielle Integration und Differenziale 13-21 PASTE 2-32 PCAR 11-50 PCOEF 5-13 PDIM 22-23 PERIOD 2-44 Periodische Dreieckschwingung 16-42 PERM 17-2 Permutationen 17-1 Permutationsmatrix 11-38 Perzentile 18-16 PEVAL 5-25 PGDIR 2-54 Physikalische Konstanten 3-33 PICT 12-8, 22-34 Pivotisierung 11-37 PIX? 22-26 Pixelkoordinaten 22-30 Pixelreferenzen 19-8 PIXOFF 22-26 PIXON 22-26 PLOT 22-2 PLOT SETUP 12-1 PLOTADD 12-60 Plot-Funktionen F-1 PLOT-Operationen 12-5 Poisson-Verteilung 17-5 Polare Darstellung 4-3 Polar
11-58 Quadratwurzeln 3-5 QUIT 3-34 QUOT 5-13 QUOTIENT 5-12 QXA 11-59 R R B 19-3 R C 4-7 R D 3-16 R I 5-31 RAD 4-3 RAND 17-3 Rang einer Matrix 11-12 RANK 11-12 RANM 10-12 Rationale Gleichungssysteme 7-1 RCI 10-28 RCIJ 10-28 RCLALARM 25-5 RCLKEYS 20-6 RCLMENU 20-2 RCWS 19-4 RDM 10-10 RDZ 17-3 RE 4-6 REALASSUME 2-46 RECT 4-3 RECV 2-42 Reelle Zahlen 2-1 Reelle Zahlen im Vergleich zu Ganzzahlen C-7 Reeller Teil 4-6 Referenzen für nicht-CAS-Befehle C15 Reihen 13-25 REMAINDER 5-13 RENAM 2-42 REPL 12-55 RES 22-7
Schnelle 3D-Plots 12-40 Schnittstellen P-2 Schrittweise Berechnung von Ableitungen und Integralen 13-18 SD-Karten 26-8 SEND 2-42 SEQ 8-13 Sequentielle Programme 21-16 SERIES 13-27 SI 3-34 SIDENS 3-37 SIGMA 13-15 SIGMAVX 13-15 SIGN 3-16, 4-7 SIGNTAB 13-11 SIMP2 5-26 SIMPLIFY 5-33 SIN 3-8 SINH 12-19 SIZE 22-38, 23-3 Skalarprodukt des Del-Operators 15-4 Skalarprodukt 9-13 SKIP L-1 SL 19-7 SLB 19-8 SNRM 11-9 Softmenü PLOT G-3 Softmenü STAT G-3 Softmenü UTILITY G-3 SOFT-Menüs 1-4 SOLVE 5-6, 6-32 SOLVEVX 6-4 Son
STWS 19-4 SUB 12-55, 23-3 SUBST 5-6 SUBTMOD 5-13 Subtraktion 8-4 Summe der quadratischen Fehler SSE 18-72 SVD 11-56 SVL 11-57 SYLVESTER 11-60 Symbol für Fakultät (!) G-2 Symbol für Winkel (∠) G-2 SYMBOLIC MENU 12-59 Symbolischer CAS-Modus C-5 SYST2MAT 11-48 Systemflags 24-3 T Tabelle 18-11 TABVAL 12-60, 13-10 TABVAR 12-60, 13-12 TAIL 23-3 TAN 3-8 TANH 12-19 Taschenrechnermodi 1-14 Taschenrechner-Objekte 2-1 Tastatur 1-12, B-1 Tastenklick 1-27 Tastenkombination 17-1 Taylor-Polynom 13-26 Taylor-Reihen 13-27
Unendliche Reihen 13-25 UNIT 3-34 Unterausdrucks 2-17 Untere Dreiecksmatrix 11-55 Untermenü ALGB K-1 Untermenü ARIT K-3 Untermenü CMPLX J-1 Untermenü CONSTANTS J-1 Untermenü DIFFE 6-36 Untermenü DIFF K-2 Untermenü EXP&LN K-4 Untermenü GOTO L-4 Untermenü HYPERBOLIC J-2 Untermenü IFERR 21-71 Untermenü INTEGER J-2 Untermenü MATHS K-2 Untermenü MATR K-4 Untermenü MATRICES/CREATE 10-5 Untermenü MODULAR J-2 Untermenü MTH/PROBABILITY 171 Untermenü PLOT 18-19 Untermenü POLYNOMIAL J-3 Untermenü POLY 6-37 Untermenü R
18-36 Wahrscheinlichkeitsrechnung 17-1 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 17-6, 17-7 Weber-Gleichung 16-65 Weibull-Verteilung 17-8 Wertetabelle B-5 Winkel 7-17 Winkel- und Hyperbelfunktionen 12-19 Winkel zwischen Vektoren 9-19 Winkelmaß 1-25 Winkelmaßes G-2 Wissenschaftliches Format 1-22 X X,Y 12-56 XCOL 18-18 XNUM K-5 XOR 19-5 XPON 3-16 XQ K-5 XRNG 22-7 XROOT 3-6 XSEND 2-42 XVOL 22-11 XXRNG 22-11 XYZ 3-2 Y YCOL 18-18 YRNG 22-7 Y-Schnitt-Darstellungen 12-47 YVOL 22-11 YYRNG 22-11 Z Zahlen 17-2 Zahlenbasis
% 3-14 %CH 3-14 %T 3-14 DEL L-1 SKIP L-1 ARRY 9-7 BEG L-1 COL 10-20 DATE 25-3 DIAG 10-14 END L-1 GROB 21-8, 22-37 HMS 25-3 LCD 22-38 LIST 9-24 ROW 10-24 STK 3-34 STR 21-42, 23-1 TAG 21-36, 23-1 TIME 25-3 UNIT 21-8 V2 9-15 Σ 18-4 ΣDAT 18-11 ΣLIST 8-18 ΣPAR 22-15 Seite N-17
Beschränkte Garantie Grafiktaschenrechner HP 50g, Garantiezeitraum: 12 Monate 1. HP garantiert Ihnen, dem Endbenutzer, dass HP Hardware, Zubehör und Verbrauchsmaterialien frei von Material- und Verarbeitungsfehlern sind. Diese Garantie beginnt mit dem Kaufdatum und gilt für den oben angegebenen Zeitraum.
DAR, UND ES GELTEN KEINE WEITEREN SCHRIFTLICHEN ODER MÜNDLICHEN GARANTIEN ODER GEWÄHRLEISTUNGEN, WEDER AUSDRÜCKLICH NOCH STILLSCHWEIGEND. SOWEIT GEMÄSS ÖRTLICHEM RECHT ZULÄSSIG, WEIST HP INSBESONDERE ALLE STILLSCHWEIGENDEN GARANTIEN ODER GEWÄHRLEISTUNGEN BEZÜGLICH MARKTGÄNGIGKEIT; ZUFRIEDENSTELLENDER QUALITÄT UND EIGNUNG ZU EINEM BESTIMMTEN ZWECK NACH ABLAUF DER OBEN AUFGEFÜHRTEN AUSDRÜCKLICHEN GARANTIE ZURÜCK.
DIESES PRODUKTS AN SIE WEDER AUS NOCH SCHRÄNKEN SIE DIESE EIN ODER ÄNDERN DIESE, SONDERN ERWEITERN DIESE RECHTE.
Lat. Amerika Land: Argentinien Brasilien Venezuela Telefonnummern 0-810-555-5520 Sao Paulo 3747-7799; ROTC 0800-157751 Mx City 5258-9922; ROTC 01800-472-6684 0800-4746-8368 Chile 800-360999 Kolumbien 9-800-114726 Peru 0-800-10111 Mexiko Mittelamerika & Karibik 1-800-711-2884 N. Amerika Guatemala 1-800-999-5105 Puerto Rico 1-877-232-0589 Costa Rica 0-800-011-0524 Land: Telefonnummern USA Kanada 1800-HP INVENT (905) 206-4663 or 800- HP INVENT ROTC = Rest des Landes Unter http://www.hp.
which can be determined by turning the equipment off and on, the user is encouraged to try to correct the interference by one or more of the following measures: • Reorient or relocate the receiving antenna. • Increase the separation between the equipment and the receiver. • Connect the equipment into an outlet on a circuit different from that to which the receiver is connected. • Consult the dealer or an experienced radio or television technician for help.
1-281-514-3333 To identify this product, refer to the part, series, or model number found on the product. Canadian Notice This Class B digital apparatus meets all requirements of the Canadian Interference-Causing Equipment Regulations. Avis Canadien Cet appareil numérique de la classe B respecte toutes les exigences du Règlement sur le matériel brouilleur du Canada.
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