Operation Manual

Seite 5-14
Modulare Arithmetik
Nehmen wir ein Zahlensystem bestehend aus Ganzzahlen, welche periodisch
auf sich selbst zurückgehen und neu starten, wie die Stunden einer Uhr. Ein
solches Zählsystem wird als Ring bezeichnet. Da die in einem Ring verwendete
Anzahl von Ganzzahlen begrenzt ist, wird die Arithmetik in diesem Ring als
endliche Arithmetik bezeichnet. Nehmen wir an, unsere endliche Zahl von
Ganzzahlen besteht aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, …, n-1, n. Die Arithmetik in
diesem Zählsystem können wir auch als modulare Arithmetik des Moduls n
bezeichnen. Im Falle der Stunden einer Uhr, wäre das Modul 12. (Wenn wir
jedoch in der modularen Arithmetik mit den Stunden einer Uhr arbeiten,
müssten wir die Integer-Zahlen 0, 1, 2, 3, …, 10, 11, und nicht 1, 2, 3,…,11,
12) verwenden.
Operationen in modularer Arithmetik
Addition in modularer Arithmetik mit dem Modul n, wobei n eine positive
Ganzzahlahl darstellt, folgt den Regeln dass, wenn j und k zwei positive
Ganzzahlen, beide kleiner als n sind und j+k
≥ n ist, j+k als j+k-n definiert wird.
Im Beispiel mit unserer Uhr bedeutete das für n = 12: 6+9 “=” 3. Um diese
"Gleichwertigkeit" von unendlichen arithmetischen Gleichheiten zu
unterscheiden, wird das Symbol
≡ anstelle des Gleichzeichens gesetzt und das
Verhältnis zwischen diesen Zahlen als Kongruenzund nicht als Gleichwertigkeit
bezeichnet. Somit würden wir für das obige Beispiel 6+9
≡ 3 (mod 12)
schreiben und diesen Ausdruck wie folgt lesen "sechs plus neun ist kongruent zu
drei, Modul 12". Stellen die Zahlen die Stunden seit Mitternacht dar, kann z. B.
die Kongruenz 6+9
≡ 3 (mod 12) als "sechs Stunden nach der neunten Stunde
nach Mitternacht, wird drei Stunden nach Mittag sein" interpretieren. Andere
Summen, welche in Modul 12-Arithmetik definiert werden können sind
beispielsweise: 2+5
≡ 7 (mod 12); 2+10 ≡ 0 (mod 12); 7+5 ≡ 0 (mod 12)
usw.
Die Regeln für die Subtraktion lauten wie folgt: wenn j – k < 0, dann wird j-k als
j-k+n definiert. Somit liest man 8-10
≡ 10 (mod 12) als "acht minus zehn ist
kongruent zu zehn, Modul zwölf". Ein weiteres Beispiel einer Subtraktion in
Modul 12-Arithmetik wäre 10-5
≡ 5 (mod 12); 6-9 ≡ 9 (mod 12); 5 – 8 ≡ 9
(mod 12); 5 –10
≡ 7 (mod 12) usw.