Operation Manual

Seite 11-29
Die mit LSQ ermittelte Lösung wird unten dargestellt:
Vergleichen Sie diese drei Lösungen mit den Lösungen, die mit dem
numerischen Gleichungslöser berechnet wurden.
Lösung mithilfe der inversen Matrix
Die Lösung des Gleichungssystems A⋅x = b, wobei A eine quadratische Matrix
ist, lautet x = A
-1
⋅b. Dieses Ergebnis entsteht durch Multiplikation der ersten
Gleichung mit A
-1
, also A
-1
⋅A⋅x = A
-1
⋅b. Definitionsgemäß ist A
-1
⋅A = I, daher
schreiben wir I⋅x = A
-1
⋅b. Darüber hinaus ist I⋅x = x, somit gilt x = A
-1
⋅b.
Für das zuvor verwendete Beispiel
2x
1
+ 3x
2
–5x
3
= 13,
x
1
– 3x
2
+ 8x
3
= -13,
2x
1
– 2x
2
+ 4x
3
= -6,
ermitteln wir mit dem Taschenrechner die Lösung wie folgt:
.
22
5
15
,,
11
52
31
2
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−= bxA und
x
x