Operation Manual

Seite 11-37
Gauß-Jordan-Elimination mit Matrizen
Bei der Gauß-Jordan-Elimination werden die Zeilenoperationen in der aus der
Vorwärtssubstitution resultierenden oberen Dreiecksmatrix solange fortgesetzt,
bis anstelle der ursprünglichen Matrix A eine Einheitsmatrix gebildet wurde.
Beispielsweise können wir im gerade dargestellten Fall die Zeilenoperationen
wie folgt fortsetzen:
Multiplizieren Sie Zeile 3 mit -1/7: 7\Y 3 @RCI!
Multiplizieren Sie Zeile 3 mit -1, und addieren Sie sie zu Zeile 2 hinzu, dabei
wird diese ersetzet: 1\ # 3 #2 @RCIJ!
Multiplizieren Sie Zeile 3 mit -3, und addieren Sie sie zu Zeile 1 hinzu, dabei
wird diese ersetzet: 3\#3#1@RCIJ!
Multiplizieren Sie Zeile 2 mit -2, und addieren Sie zu sie Zeile 1 hinzu, dabei
wird diese ersetzet: 2\#2#1 @RCIJ!
Wenn Sie diesen Vorgang manuell durchführen, ergeben sich folgende Schritte:
Pivotisierung
Wenn Sie die Zeilenoperationen in den oben dargestellten Beispielen sorgfältig
untersuchen, werden Sie feststellen, dass durch viele dieser Operationen eine
Zeile durch ihr entsprechendes Element in der Hauptdiagonalen dividiert wird.
Dieses Element wird als Pivot-Element
bezeichnet. In zahlreichen Fällen kann
das Pivot-Element den Wert Null annehmen, sodass die Zeile nicht durch ihr
Pivot-Element dividiert werden kann. Zur Vereinfachung der numerischen Lösung
eines Gleichungssystems mit der Gauß- oder Gauß-Jordan-Elimination empfiehlt
es sich außerdem, als Pivot-Element das Element mit dem größten absoluten
.
2
1
1
100
010
001
2
1
1
100
010
021
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≅
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≅
aug
A