Operation Manual

Seite 14-2
Partielle Ableitungen
Betrachten Sie die Funktion mit zwei Variablen z = f(x,y). Die partielle Ableitung
der Funktion für x ist definiert durch den Grenzwert
.
Entsprechend ist
.
Wir verwenden die zuvor definierten multivariaten Funktionen, um mit diesen
Definitionen partielle Ableitungen zu berechnen. Dies sind die Ableitungen von
f(x,y) für x bzw. y:
Beachten Sie, dass die Definition der partiellen Ableitung für x beispielsweise
erfordert, dass y unverändert bleibt, während als Grenzwert h0 verwendet
wird. Dies bietet eine Möglichkeit zur schnellen Berechnung partieller
Ableitungen multivariater Funktionen: Verwenden Sie die Regeln gewöhnlicher
Ableitungen für die relevante Variable, während alle anderen Variablen als
Konstanten betrachtet werden. So ist z. B.
,
wobei es sich um dieselben Ergebnisse wie bei den zuvor berechneten
Grenzwerten handelt. Betrachten Sie ein weiteres Beispiel:
h
yxfyhxf
x
f
h
),(),(
lim
0
−+
=
∂
∂
→
k
yxfkyxf
y
f
k
),(),(
lim
0
−+
=
∂
∂
→
() ()
)sin()cos(),cos()cos( yxyx
y
yyx
x
−=
∂
∂
=
∂
∂
()
xyyxyyx
x
202
22
=+=+
∂
∂