Operation Manual

Seite 16-58
Lösung spezifischer Differentialgleichungen zweiter
Ordnung
In diesem Abschnitt zeigen und lösen wir verschiedene Arten gewöhnlicher
Differentialgleichungen, deren Lösungen in Form einiger klassischer Funktionen
definiert werden, z. B. Bessel-Funktion, Hermite'sche Polynome usw. Die
Beispiele sind im RPN-Modus angeführt.
Die Cauchy’sche oder Euler-Gleichung
Eine Gleichung der Form x
2
⋅(d
2
y/dx
2
) + a⋅x⋅ (dy/dx) + b⋅y = 0, wobei a und b
reella Konstanten sind, ist als Cauchy’sche oder Euler-Gleichung bekannt. Eine
Lösung zur Cauchy’schen Gleichung kann gefunden werden unter der
Annahme, dass y(x) = x
n
.
Geben Sie die Gleichung wie folgt ein: ‘x^2*d1d1y(x)+a*x*d1y(x)+b*y(x)=0’
`
Geben Sie dann die vorgeschlagene Lösung ein und ersetzen Sie ‘y(x) = x^n’
` @SUBST
Das Ergebnis lautet: ‘x^2*(n*(x^(n-1-1)*(n-1)))+a*x*(n*x^(n-1))+b*x^n =0,
vereinfacht: ‘n*(n-1)*x^n+a*n*x^n+b*x^n = 0’. Durch eine Division durch x^n
erhalten wir eine algebraische Hilfsgleichung: ‘n*(n-1)+a*n+b = 0’, oder:
.
• Wenn die Gleichung zwei verschiedene Nullstellen enthält, z. B. n
1
und n
2
,
dann ist die allgemeine Lösung zu dieser Gleichung y(x) = K
1
⋅x
n
1
+ K
2
⋅x
n
2
.
• Wenn b = (1-a)
2
/4, dann hat die Gleichung eine doppelte Nullstelle n
1
=
n
2
= n = (1-a)/2, und die Lösung lautet y(x) = (K
1
+ K
2
⋅ln x)x
n
.
0)1(
2
=+⋅−+ bnan