Operation Manual

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Legendre’sche Gleichung
Eine Gleichung der Form (1-x
2
)⋅(d
2
y/dx
2
)-2⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0, wobei n
eine reelle Zahl ist, ist als Legendre’sche Gleichung bekannt. Jede Lösung für
diese Gleichung wird Legendre'sche Funktion genannt. Wenn n eine nicht
negative Ganzzahl ist, nennt man die Lösungen Legendre’sche Polynome. Das
Legendre’sche Polynom der Ordnung n ist gegeben durch
,
wobei M = n/2 oder (n-1)/2, je nachdem welche davon eine Ganzzahl ist.
Legendre’sche Polynome sind im Taschenrechner vorprogrammiert und können
mithilfe der Funktion LEGENDRE aufgerufen werden, falls die Ordnung des
Polynoms n gegeben ist. Die Funktion LEGENDRE kann über den Befehlskatalog
(‚N) oder über das Menü ARITHMETIC/POLYNOMIAL aufgerufen
werden (siehe Kapitel 5). Im RPN-Modus erhält man die ersten sechs
Legendre’schen Polynome wie folgt:
0 LEGENDRE, Ergebnis: 1, d.h. P
0
(x) = 1.0.
1 LEGENDRE, Ergebnis: ‘X’, d.h. P
1
(x) = x.
2 LEGENDRE, Ergebnis: ‘(3*X^2-1)/2’, d.h. P
2
(x) = (3x
2
-1)/2.
3 LEGENDRE, Ergebnis: ‘(5*X^3-3*X)/2’, d.h. P
3
(x) =(5x
3
-3x)/2.
4 LEGENDRE, Ergebnis: ‘(35*X^4-30*X^2+3)/8’, d.h.
P
4
(x) =(35x
4
-30x
2
+3)/8.
5 LEGENDRE, Ergebnis: ‘(63*X^5-70*X^3+15*X)/8’, d.h.
P
5
(x) =(63x
5
-70x
3
+15x)/8.
Die ODE (1-x
2
)⋅(d
2
y/dx
2
)-2⋅x⋅ (dy/dx)+[n⋅ (n+1)-m
2
/(1-x
2
)] ⋅y = 0, hat
folgende Funktion als Lösung: y(x) = P
n
m
(x)= (1-x
2
)
m/2
⋅(d
m
Pn/dx
m
). Diese
Funktion wird eine assoziierte Legendre-Funktion
genannt.
mn
M
m
n
m
n
x
mnmnm
mn
xP
2
0
)!2()!(!2
)!22(
)1()(
−
=
∑
⋅
−⋅−⋅⋅
−
⋅−=
.....
)!2()!1(!12
)!22(
)!(2
)!2(
2
2
−+⋅
−−⋅⋅
−
−⋅
⋅
=
−n
n
n
n
x
nn
n
x
n
n