Kapitel Differentialekvationer 3 Detta kapitel förklarar lösning av de fyra typer av differentialekvationer som anges nedan.
3-1-1 Användning av läget DIFF EQ 3-1 Användning av läget DIFF EQ Det går att lösa differentialekvationer numeriskt och rita grafer över lösningarna. Den generella proceduren för lösning av en differentialekvation förklaras nedan. Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Välj typ av differentialekvation. • 1(1st) ........ Fyra typer av differentialekvationer av första ordningen • 2(2nd) ...... Linjära differentialekvationer av andra ordningen • 3(N-th) ......
-1-2 Användning av läget DIFF EQ 6. Specificera variabler för grafritning eller för lagring i LIST. Tryck 4på 5(SET) och välj c(Output) för att visa listinställningsskärmen. x, y, y(1), y(2), ....., y(8) står för den oberoende variabeln, den beroende variabeln, derivata av första ordningen, derivata av andra ordningen, ....., respektive derivata av den åttonde ordningen. 1st, 2nd, 3rd, ...., 9th står för utgångsvärdena i ordning.
3-2-1 Differentialekvationer av första ordningen 3-2 Differentialekvationer av första ordningen k Skiljbar ekvation Beskrivning Lös en skiljbar ekvation genom att helt enkelt mata in ekvationen och specificera utgångsvärdena. dy/dx = f(x)g(y) Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 1(1st) för att visa menyn för differentialekvationer av första ordningen och välj sedan b(Separ). 3. Specificera f(x) och g(y). 4. Specificera utgångsvärdet för x0, y0. 5.
3-2-2 Differentialekvationer av första ordningen ○ ○ ○ ○ ○ Exempel Rita grafer över lösningarna för den skiljbara ekvationen dy/dx = y2 –1, x0 = 0, y0 = {0, 1}, –5 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = –6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (grundinställningar) Procedur 1 m DIFF EQ 6 -fw 2 1(1st)b(Separ) fw 3 bw 7 a.
3-2-3 Differentialekvationer av första ordningen k Linjär ekvation Lös en linjär ekvation genom att helt enkelt mata in ekvationen och specificera utgångsvärdena. dy/dx + f(x)y = g(x) Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 1(1st) för att visa menyn för differentialekvationer av första ordningen och välj sedan c(Linear). 3. Specificera f(x) och g(x). 4. Specificera utgångsvärdet för x0, y0. 5. Tryck på 5(SET)b(Param). 6. Specificera beräkningsomfånget.
3-2-4 Differentialekvationer av första ordningen ○ ○ ○ ○ ○ Exempel Rita en graf över lösningen för den linjära ekvationen dy/dx + xy = x, x0 = 0, y0 = –2, –5 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = –6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (grundinställningar) Procedur 1 m DIFF EQ 6 -fw 2 1(1st)c(Linear) fw 3 vw 7 a.
3-2-5 Differentialekvationer av första ordningen k Bernoulli-ekvation Lös en Bernoulli-ekvation genom att helt enkelt mata in ekvationen och specificera potensen av y och utgångsvärdena. dy/dx + f(x)y = g(x)y n Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 1(1st) för att visa menyn för differentialekvationer av första ordningen och välj sedan d(Bern). 3. Specificera f(x), g(x) och n. 4. Specificera utgångsvärdet för x0, y0. 5. Tryck på 5(SET)b(Param). 6.
3-2-6 Differentialekvationer av första ordningen ○ ○ ○ ○ ○ Exempel Rita en graf över lösningen för Bernoulli-ekvationen dy/dx – 2y = –y2, x0 = 0, y0 = 1, –5 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = –6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (grundinställningar) Procedur 1 m DIFF EQ 5 5(SET)b(Param) 2 1(1st)d(Bern) 6 -fw 3 -cw fw -bw 7 a.
3-2-7 Differentialekvationer av första ordningen k Övriga Lös en generell differentialekvation av första ordningen genom att helt enkelt mata in ekvationen och specificera utgångsvärdena. Använd de procedurer som beskrivs ovan för typiska differentialekvationer av första ordningen. dy/dx = f(x, y) Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 1(1st) för att visa menyn för differentialekvationer av första ordningen och välj sedan e(Others). 3.
3-2-8 Differentialekvationer av första ordningen ○ ○ ○ ○ ○ Exempel Rita en graf över lösningen för differentialekvationen av första ordningen dy/dx = –cos x, x0 = 0, y0 = 1, –5 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = –6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (grundinställningar) Procedur 1 m DIFF EQ 6 -fw 2 1(1st)e(Others) fw 3 -cvw 7 a.
3-3-1 Linjära differentialekvationer av andra ordningen 3-3 Linjära differentialekvationer av andra ordningen Beskrivning Lös en linjär differentialekvation av andra ordningen genom att helt enkelt mata in ekvationen och specificera utgångsvärdena. Lutningsfält visas inte för en linjär differentialekvation av andra ordningen. y앨 + f(x) y쎾 + g(x)y = h(x) Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 2(2nd). 3. Specificera f(x), g(x) och h(x). 4.
3-3-2 Linjära differentialekvationer av andra ordningen ○ ○ ○ ○ ○ Exempel Rita en graf över lösningen för den linjära differentialekvationen av andra ordningen y앨 + 9y = sin 3x, x0 = 0, y0= 1, y쎾0 = 1, 0 < x < 10, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = –1, Xmax = 11, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 Procedur 1 m DIFF EQ 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 2 2(2nd) 9 !K(V-Window) 3 aw -bw jw bbw sdvw bwc -d.bw 4 aw bw d.
3-4-1 Differentialekvationer av N:e ordningen 3-4 Differentialekvationer av N:e ordningen Det går att lösa differentialekvationer av den första t.o.m. nionde ordningen. Antalet utgångsvärden som krävs för att lösa differentialekvationen beror på dess ordning. • Mata in de beroende variablerna y, y쎾, y앨, y(3), ....., y(9) på följande sätt. a-(Y) 3(y(n))b(Y1) 3(y(n))c(Y2) 3(y(n))d(Y3) … y .................... y쎾 ................... y앨 ................... y(3)(=y쎾앨) ......... y(8) .................
3-4-2 Differentialekvationer av N:e ordningen ○ ○ ○ ○ ○ Exempel Rita en graf över lösningen för differentialekvationen av fjärde ordningen nedan y(4) = 0, x0 = 0, y0 = 0, y쎾0 = –2, y앨0 = 0, y(3)0 = 3, –5 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = –6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (grundinställningar) Procedur 1 m DIFF EQ 6 5(SET)b(Param) 2 3(N-th) 7 -fw fw 3 3( n )ew 4 aw 8 a.
3-4-3 Differentialekvationer av N:e ordningen k Omvandling av en differentialekvation av hög ordning till ett system för differentialekvationer av första ordningen Det går att omvandla en enskild differentialekvation av N:e ordningen till ett system för differentialekvationer av första ordningen. Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt (N = 3) 2. Tryck på 3(N-th). 3. Tryck på 3(n)d för att välja differentialekvation av tredje ordningen. 4.
3-4-4 Differentialekvationer av N:e ordningen ○ ○ ○ ○ ○ Exempel Uttryck differentialekvationen nedan som en omgång differentialekvationer av första ordningen. y(3) = sinx – y쎾 – y앨, x0 = 0, y0 = 0, y쎾0 = 1, y앨0 = 0. Procedur 1 m DIFF EQ 2 3(N-th) 3 3( n )dw 4 sv-3( y(n)) b-3( y(n))cw 5 aw aw bw aw 6 2(→SYS) 7 w(Yes) Differentialekvationen omvandlas till en omgång differentialekvationer av första ordningen såsom anges nedan. (y1)쎾 = dy/dx = (y2) (y2)쎾 = d2y/dx2 = (y3) (y3)쎾 = sin x – (y2) – (y3).
3-5-1 System för differentialekvationer av första ordningen 3-5 System för differentialekvationer av första ordningen Ett system för differentialekvationer av första ordningen har t.ex. de beroende variablerna (y1), (y2), ....., och (y9) samt den oberoende variabeln x. Exemplet nedan visar ett system för differentialekvationer av första ordningen. (y1)쎾= (y2) (y2)쎾= – (y1) + sin x Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 4(SYS). 3. Mata in antalet okända.
3-5-2 System för differentialekvationer av första ordningen ○ ○ ○ ○ ○ Exempel 1 Rita en graf över lösningen för differentialekvationer av första ordningen med två okända nedan (y1)쎾= (y2), (y2)쎾 = – (y1) + sin x, x0 = 0, (y1)0 = 1, (y2)0 = 0,1, –2 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar.
3-5-3 System för differentialekvationer av första ordningen ○ ○ ○ ○ ○ Exempel 2 Rita en graf över lösningen för systemet för differentialekvationer av första ordningen nedan (y1)쎾 = (2 – (y2)) (y1) (y2)쎾 = (2 (y1) – 3) (y2) x0 = 0, (y1)0 = 1, (y2)0 = 1/4, 0 < x < 10, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = –1, Xmax = 11, Xscale = 1 Ymin = –1, Ymax = 8, Yscale = 1 Procedur 1 m DIFF EQ 9 5(SET)c(Output)4(INIT) 2 4(SYS) cc1( SEL) (Välj ( y 1) och ( y 2) för grafritning.
3-5-4 System för differentialekvationer av första ordningen k Vidare analys För att analysera resultatet vidare kan vi rita en graf över relationen mellan (y1) och (y2). Procedur 1 m STAT 2 List 1, List 2 och List 3 innehåller värden för x, ( y 1) respektive ( y 2). 3 1(GRPH)f(Set) 4 1(GPH1) 5 c2( x y) 6 c1(LIST)cw (XLIST = LIST2: ( y 1)) 7 c1(LIST)dw (YLIST = LIST3: ( y 2)) i 8 1(GRPH)b(S-Gph1) Resultatskärm ( y 2) (y1) 20010101 GY-350_B-Sw Ch3_0309.p65 115 05.3.
3-5-5 System för differentialekvationer av första ordningen Viktigt! • Räknaren kan avbryta en beräkning halvvägs när det uppstår ett överflöd en bit in i beräkningen då de beräknade resultaten gör att lösningskurvan sträcks in i en diskontinuerlig region, när ett beräknat värde är uppenbarligen falskt o.s.v. • Vi rekommenderar att du utför följande steg när räknaren avbryter en beräkning på ovanstående sätt. 1.
