Capítulo Equações diferenciais Este capítulo explica como resolver os quatro tipos de equações diferenciais apresentados abaixo.
3-1-1 Uso do modo DIFF EQ 3-1 Uso do modo DIFF EQ Você pode resolver equações diferenciais numericamente e desenhar o gráfico das soluções. Apresentamos a seguir o procedimento geral para resolver uma equação diferencial. Configuração 1. Do menu principal, entre no modo DIFF EQ. Execução 2. Selecione o tipo de equação diferencial. • 1(1st) ........ Quatro tipos de equações diferenciais de primeira ordem • 2(2nd) ...... Equações diferenciais lineares de segunda ordem • 3(N-th) ......
-1-2 Uso do modo DIFF EQ 6. Especifique as variáveis para o gráfico ou armazenamento em LIST. Pressione 5(SET) e selecione c(Output) para exibir a tela de definição de lista. x, y, y(1), y(2), ....., y(8) referem-se à variável independente, variável dependente, derivada de primeira ordem, derivada de segunda ordem, ..., e derivada de oitava ordem, respectivamente. 1st, 2nd, 3rd, ....., 9th referem-se aos valores iniciais em ordem.
3-2-1 Equações diferenciais de primeira ordem 3-2 Equações diferenciais de primeira ordem k Equação separável Descrição Para resolver uma equação separável, simplesmente introduza e especifique os valores iniciais. dy/dx = f(x)g(y) Configuração 1. Do menu principal, selecione o modo DIFF EQ. Execução 2. Pressione 1(1st) para exibir o menu das equações diferenciais de primeira ordem, e em seguida selecione b(Separ). 3. Especifique f(x) e g(y). 4. Especifique o valor inicial para x0, y0. 5.
3-2-2 Equações diferenciais de primeira ordem ○ ○ ○ ○ ○ Exemplo Para desenhar o gráfico de soluções das equações separáveis dy/dx = y2 –1, x0 = 0, y0 = {0, 1}, –5 < x < 5, h = 0,1. Use as seguintes definições de V-Window. Xmin = –6.2, Xmax = 6.2, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 Procedimento 1 m DIFF EQ 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 2 1(1st)b(Separ) 9 !K(V-Window) -g.cw 3 bw a-(Y)Mc-bw g.cw 4 aw bwc !*( { )a,b!/( } )w 5 5(SET)b(Param) -d.bw d.bw 6 -fw bwi fw 0 6(CALC) 7 a.
3-2-3 Equações diferenciais de primeira ordem k Equação linear Para resolver uma equação linear, simplesmente introduza a equação e especifique os valores iniciais. dy/dx + f(x)y = g(x) Configuração 1. Do menu principal, selecione o modo DIFF EQ. Execução 2. Pressione 1(1st) para exibir o menu de equações diferenciais de primeira ordem, e em seguida selecione c(Linear). 3. Especifique f(x) e g(x). 4. Especifique o valor inicial para x0, y0. 5. Pressione 5(SET)b(Param). 6. Especifique a faixa de cálculo.
3-2-4 Equações diferenciais de primeira ordem ○ ○ ○ ○ ○ Exemplo Para desenhar o gráfico da equação linear dy/dx + xy = x, x0 = 0, y0 = –2, –5 < x < 5, h = 0,1. Use as seguintes definições de V-Window. Xmin = –6.2, Xmax = 6.2, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 Procedimento 1 m DIFF EQ 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 2 1(1st)c(Linear) 9 !K(V-Window) 3 vw -g.cw vw g.cw 4 aw bwc -cw -d.bw 5 5(SET)b(Param) d.bw 6 -fw bwi 0 6(CALC) fw 7 a.
3-2-5 Equações diferenciais de primeira ordem k Equação de Bernoulli Para resolver uma equação de Bernoulli, simplesmente introduza e especifique a potência de y e os valores iniciais. dy/dx + f(x)y = g(x)y n Configuração 1. Do menu principal, selecione o modo DIFF EQ. Execução 2. Pressione 1(1st) para exibir o menu de equações diferenciais de primeira ordem, e em seguida selecione d(Bern). 3. Especifique f(x), g(x) e n. 4. Especifique o valor inicial para x0, y0. 5. Pressione 5(SET)b(Param). 6.
3-2-6 Equações diferenciais de primeira ordem ○ ○ ○ ○ ○ Exemplo Para desenhar o gráfico da solução da equação de Bernoulli dy/dx – 2y = – y2, x0 = 0, y0 = 1, –5 < x < 5, h = 0,1. Use as seguintes definições de V-Window. Xmin = –6.2, Xmax = 6.2, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 Procedimento 1 m DIFF EQ 7 a.bwi 2 1(1st)d(Bern) 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 3 -cw 9 !K(V-Window) -bw -g.cw cw g.cw 4 aw bwc -d.bw bw 5 5(SET)b(Param) d.
3-2-7 Equações diferenciais de primeira ordem k Outros Para resolver uma equação diferencial de primeira ordem, simplesmente introduza a equação e especifique os valores iniciais. Use os mesmos procedimentos conforme descrito acima para as equações diferenciais típicas de primeira ordem. dy/dx = f(x, y) Configuração 1. Do menu principal, selecione o modo DIFF EQ. Execução 2. Pressione 1(1st) para exibir o menu de equações diferenciais de primeira ordem, e em seguida selecione e(Others). 3.
3-2-8 Equações diferenciais de primeira ordem ○ ○ ○ ○ ○ Exemplo Para desenhar o gráfico da solução da equação diferencial de primeira ordem dy/dx = – cos x, x0 = 0, y0 = 1, –5 < x < 5, h = 0,1. Use as seguintes definições de V-Window. Xmin = –6.2, Xmax = 6.2, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 Procedimento 1 m DIFF EQ 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 2 1(1st)e(Others) 9 !K(V-Window) 3 -cvw -g.cw 4 aw g.cw bw bwc 5 5(SET)b(Param) -d.bw 6 -fw d.bw fw bwi 0 6(CALC) 7 a.
3-3-1 Equações diferenciais lineares de segunda ordem 3-3 Equações diferenciais lineares de segunda ordem Descrição Par resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem, simplesmente introduza a equação e especifique os valores iniciais. Os campos de pendente não são exibidos para uma equação diferencial linear de segunda ordem. y앨 + f(x) y쎾 + g(x)y = h(x) Configuração 1. Do menu principal, selecione o modo DIFF EQ. Execução 2. Pressione 2(2nd). 3. Especifique f(x), g(x) e h(x). 4.
3-3-2 Equações diferenciais lineares de segunda ordem ○ ○ ○ ○ ○ Exemplo Para desenhar o gráfico da equação diferencial linear de segunda ordem y앨 + 9y = sin 3x, x0 = 0, y0= 1, y쎾0 = 1, 0 < x < 10, h = 0,1. Use as seguintes definições de V-Window. Xmin = –1, Xmax = 11, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 Procedimento 1 m DIFF EQ 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 2 2(2nd) 9 !K(V-Window) 3 aw -bw jw bbw sdvw bwc -d.bw 4 aw bw d.bw bw bw*2i 0 6(CALC) 5 5(SET)b(Param) 6 aw baw 7 a.
3-4-1 Equações diferenciais de enésima ordem 3-4 Equações diferenciais de enésima ordem Você pode resolver equações diferenciais de primeira a nona ordem. O número dos valores iniciais requeridos para resolver a equação diferencial depende dessa ordem. • Introduza as variáveis dependentes y, y쎾, y앨, y(3), ....., y(9) como segue. a-(Y) 3(y(n))b(Y1) 3(y(n))c(Y2) 3(y(n))d(Y3) … y .................... y쎾 ................... y앨 ................... y(3)(=y쎾앨) ......... y(8) .................
3-4-2 Equações diferenciais de enésima ordem ○ ○ ○ ○ ○ Exemplo Para desenhar o gráfico da equação diferencial de quarta ordem abaixo. y(4) = 0, x0 = 0, y0 = 0, y쎾0 = –2, y앨0 = 0, y(3)0 = 3, –5 < x < 5, h = 0,1 Use as seguintes definições de V-Window. Xmin = –6.2, Xmax = 6.2, Xscale = 1 Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 Procedimento 1 m DIFF EQ 9 5(SET)c(Output)4(INIT)i 2 3(N-th) 0 !K(V-Window) 3 3( n )ew -g.cw 4 aw g.cw 5 aw bwc aw -d.bw -cw d.
3-4-3 Equações diferenciais de enésima ordem k Conversão de uma equação diferencial de ordem alta para um sistema de equações diferenciais de primeira ordem Você pode converter uma equação diferencial de enésima ordem simples para um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem. Configuração 1. Do menu principal, selecione o modo DIFF EQ. Execução (N = 3) 2. Pressione 3(N-th). 3. Pressione 3(n)d para selecionar uma equação diferencial de terceira ordem. 4. Realize as substituições como segue.
3-4-4 Equações diferenciais de enésima ordem ○ ○ ○ ○ ○ Exemplo Expresse a equação diferencial abaixo como um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem. y(3) = sinx – y쎾 – y앨, x0 = 0, y0 = 0, y쎾0 = 1, y앨0 = 0 Procedimento 1 m DIFF EQ 2 3(N-th) 3 3( n )dw 4 sv-3( y(n)) b-3( y(n))cw 5 aw aw bw aw 6 2(→SYS) 7 w(Yes) A equação diferencial é convertida para um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem conforme apresentado abaixo.
3-5-1 Sistema de equações diferenciais de primeira ordem 3-5 Sistema de equações diferenciais de primeira ordem Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, por exemplo, tem variáveis dependentes (y1), (y2), ....., e (y9), e a variável independente x. O exemplo abaixo apresenta um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. (y1)쎾= (y2) (y2)쎾= – (y1) + sin x Configuração 1. Do menu principal, selecione o modo DIFF EQ. Execução 2. Pressione 4(SYS). 3. Introduza o número de incógnitas. 4.
3-5-2 Sistema de equações diferenciais de primeira ordem ○ ○ ○ ○ ○ Exemplo 1 Para desenhar o gráfico da solução das equações diferenciais de primeira ordem com as duas incógnitas abaixo. (y1)쎾= (y2), (y2)쎾 = – (y1) + sin x, x0 = 0, (y1)0 = 1, (y2)0 = 0,1, –2 < x < 5, h = 0,1 Use as seguintes definições de V-Window.
3-5-3 Sistema de equações diferenciais de primeira ordem ○ ○ ○ ○ ○ Exemplo 2 Para desenhar o gráfico da solução do sistema de equações diferenciais de primeira ordem abaixo. (y1)쎾 = (2 – (y2)) (y1) (y2)쎾 = (2 (y1) – 3) (y2) x0 = 0, (y1)0 = 1, (y2)0 = 1/4, 0 < x < 10, h = 0,1 Use as seguintes definições de V-Window.
3-5-4 Sistema de equações diferenciais de primeira ordem k Análise adicional Para analizar mais ainda o resultado, pode-se desenhar o gráfico da relação entre (y1) e (y2). Procedimento 1 m STAT 2 A lista 1, lista 2 e lista 3 contêm os valores para x, ( y 1) e ( y 2), respectivamente.
3-5-5 Sistema de equações diferenciais de primeira ordem Importante! • Esta calculadora pode abortar um cálculo quando ocorre um estouro no meio do cálculo, quando a solução calculada faz que a curva da solução se estenda para um região descontínua, quando um valor calculado é claramente falso, etc. • Recomendamos os seguintes passos quando a calculadora aborta um cálculo nas condições acima. 1.
