hp 48gII calculadora gráfica guía del usuario H Edición 4 Número de parte de HP F2226-90023
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Prefacio Usted tiene en sus manos una calculadora que es efectivamente un ordenador (computador, computadora) simbólico y numérico que facilita el cálculo y análisis matemáticos de problemas en una gran variedad de disciplinas, desde matemáticas elementales hasta temas avanzados de ciencia e ingeniería.
permite seleccionar diferentes modos de operación, por ejemplo, números complejos vs. números reales, o modo exacto (simbólico) vs. Modo aproximado (numérico.) La pantalla puede ajustarse para presentar los resultados en notación matemática, lo que puede ser útil cuando se trabaja con matrices, vectores, fracciones, sumatorias, derivadas, e integrales. Las gráficas de alta velocidad de la calculadora son convenientes para producir figuras complejas en un tiempo mínimo.
Índice de Materias Advertencia sobre las pantallas en esta guía, Adv-1 Capítulo 1 - Preliminares, 1-1 Operaciones Básicas, 1-1 Básicas, 1-1 Encendido y apagado de la calculadora, 1-2 Ajustando el contraste de la pantalla, 1-2 Contenidos de la pantalla, 1-2 Menús, 1-3 Menú de teclas (SOFT menus) vs.
Edición de expresiones en la pantalla, 2-4 Creación de expresiones aritméticas, 2-4 Edición de expresiones aritméticas, 2-6 Creación de expresiones algebraicas, 2-8 Edición de expresiones algebraicas, 2-9 Uso del Escritor de Ecuaciones (EQW) para crear expresiones, 2-11 Creación de expresiones aritméticas, 2-12 Edición de expresiones aritméticas, 2-17 Creación de expresiones algebraicas, 2-20 Edición de expresiones algebraicas, 2-22 Creando y editando sumatorias, derivadas, e integrales, 2-30 Organización d
Capítulo 3 - Cálculos con números reales, 3-1 Verificación de los ajustes de la calculadora, 3-1 Verificación de modo de la calculadora, 3-2 Cálculos con números reales, 3-2 Cambio de signo de número, variable, o expresión, 3-3 La función inversa, 3-3 Adición, substracción, multiplicación, división, 3-3 Uso de paréntesis, 3-4 Función valor absoluto, 3-4 Cuadrados y raíces cuadradas, 3-5 Potencias y raíces, 3-5 Logaritmos decimales y potencias de 10, 3-5 Utilizando potencias de 10 al escribir datos, 3-6 Log
Definiendo y usando funciones, 3-34 Funciones definidas por más de una expresión, 3-36 La función IFTE, 3-36 Funciones IFTE combinadas, 3-37 Capítulo 4 - Cálculos con números complejos, 4-1 Definiciones, 4-1 Fijar la calculadora al modo COMPLEJO, 4-1 Escritura de números complejos, 4-2 Representación polar de un número complejo, 4-3 Operaciones simples con números complejos, 4-4 Cambio de signo de un número complejo, 4-4 Escritura de la unidad imaginaria, 4-5 Los menús CMPLX, 4-5 Menú CMPLX a través del me
Expansión y factorización utilizando funciones trigonométricas, 5-9 Funciones en el menú ARITHMETIC, 5-10 DIVIS, 5-10 FACTORS, 5-10 LGCD, 5-11 PROPFRAC, 5-10 SIMP2, 5-11 Menú INTEGER, 5-11 Menú POLYNOMIAL, 5-11 Menú MODULO, 5-12 Aplicaciones del menú ARITHMETIC, 5-13 Aritmética modular, 5-13 Anillos aritméticos finitos en la calculadora, 5-15 Polinomios, 5-18 Aritmética modular con polinomios, 5-19 La función CHINREM, 5-19 La función EGCD, 5-20 La función GCD, 5-20 La función HERMITE, 5-21 La función HORNER
La función FROOTS, 5-27 Operaciones con polinomios y fracciones, paso a paso, 5-27 El menú CONVERT y las operaciones algebraicas, 5-28 Menú de conversión de unidades (UNITS - Opción 1), 5-29 Menú de conversión de bases (BASE - Opción 2), 5-29 Menú de conversión trigonométrica (TRIGONOMETRIC Opción 3), 5-29 Menú de conversión matricial (MATRICES - Opción 5), 5-29 Menú de re-escritura de expresiones (REWRITE - Opción 4), 5-29 Capítulo 6 - Solución de ecuaciones únicas, 6-1 Solución simbólica de las ecuacione
Solución a las ecuaciones simultáneas con MSLV, 7-5 Ejemplo 1 - Ejemplo dado por la función informativa del CAS, 7-5 Ejemplo 2 - Entrada de un lago a un canal abierto, 7-6 Usando el Multiple Equation Solver (MES), 7-10 Aplicación 1 - Solución de triángulos, 7-10 Aplicación 2 - Velocidad y aceleración en coordenadas polares, 7-18 Capítulo 8 - Operaciones con listas, 8-1 Definiciones, 8-1 Creando y almacenando listas, 8-1 Composición y descomposición de listas, 8-2 Operaciones con listas de números, 8-3 Cam
Definiciones, 9-1 La escritura de vectores, 9-2 Escritura de vectores en la pantalla, 9-2 Almacenamiento de vectores en variables, 9-3 Utilizando el escritor de matrices (MTWR) para escribir vectores, 9-3 Construcción de un vector con ÆARRY, 9-7 Identificación, extracción, e inserción de elementos, 9-7 Operaciones elementales con vectores, 9-9 Cambio de signo, 9-9 Adición, substracción, 9-9 Multiplicación o división por un escalar, 9-10 Función valor absoluto, 9-10 El menú MTH/VECTOR, 9-10 Magnitud, 9-11 Pr
Escritura de matrices en la pantalla, 10-2 Utilizando el editor de matrices, 10-2 Escribiendo la matriz directamente en la pantalla, 10-3 Creando matrices con funciones de la calculadora, 10-4 Funciones GET y PUT, 10-6 Funciones GETI y PUTI, 10-7 Función SIZE, 10-7 Función TRN, 10-8 Función CON, 10-9 Función IDN, 10-9 Función RDM, 10-10 Función RANM, 10-11 Función SUB, 10-12 Función REPL, 10-12 Función ÆDIAG, 10-13 Función DIAGÆ, 10-13 Función VANDERMONDE, 10-14 Función HILBERT, 10-15 Un programa para const
Capítulo 11 - Operaciones con matrices y álgebra linear, 11-1 Operaciones con matrices, 11-1 Adición y substracción, 11-2 Multiplicación, 11-2 Caracterizar una matriz (El menú NORM de matrices), 11-6 Función ABS, 11-7 Función SNRM, 11-7 Funciones RNRM y CNRM, 11-8 Función SRAD, 11-9 Función COND, 11-9 Función RANK, 11-11 Función DET, 11-12 Función TRACE, 11-14 Función TRAN, 11-14 Operaciones adicionales con matrices (El menú OPER), 11-14 Función AXL, 11-15 Función AXM, 11-16 Función LCXM, 11-16 Solución de
Función MAD, 11-50 Factorización de matrices, 11-50 Función LU, 11-51 Matrices ortogonales y descomposición de valores singulares, 11-49 Función SCHUR, 11-53 Función LQ, 11-53 Función QR, 11-53 Formas cuadráticas de una matriz, 11-54 El menú QUADF, 11-54 Aplicaciones Lineares, 11-56 Función IMAGE, 11-57 Función ISOM, 11-57 Función KER, 11-57 Función MKISOM, 11-57 Capítulo 12 - Gráficas, 12-1 Opciones gráficas en la calculadora, 12-1 Trazar una expresión de la forma y = f(x), 12-2 Algunas operaciones de PLO
Diagramas de barra, 12-33 Diagramas de dispersión, 12-35 Campos de pendientes, 12-36 Gráficas tridimensionales de acción rápida (Fast 3D plots), 12-38 Diagramas de grillas, 12-40 Diagramas de contornos (Ps-Contour plots), 12-43 Diagramas de corte vertical, 12-44 Diagramas de redes (Gridmap plots), 12-46 Diagramas de superficies paramétricas (Pr-Surface plots), 12-47 La variable VPAR, 12-48 Dibujo interactivo, 12-48 DOT+ y DOT-, 12-49 MARK, 12-50 LINE, 12-50 TLINE, 12-50 BOX, 12-51 CIRCL, 12-51 LABEL, 12-51
El menú SYMB/GRAPH, 12-56 Función DRAW3DMATRIX, 12-59 Capítulo 13 - Aplicaciones en el Cálculo, 13-1 El menú CALC (Cálculo), 13-1 Límites y derivadas, 13-1 La función lim, 13-2 Derivadas, 13-3 Las funciones DERIV y DERVX,13-3 El menú DERIV&INTEG, 13-4 Calculando derivadas con ∂,13-4 La regla de la cadena,13-6 Derivadas de ecuaciones,13-7 Derivadas implícitas,13-7 Aplicaciones de las derivadas,13-7 Analizando las gráficas de las funciones,13-8 La función DOMAIN, 13-9 La función TABVAL, 13-10 La función SIG
Las funciones TAYLR, TAYRL0, y SERIES,13-25 Capítulo 14 - Aplicaciones del Cálculo Multivariado, 14-1 Funciones de múltiple variables, 14-1 Derivadas parciales, 14-1 Derivadas de orden superior, 14-3 La regla de la cadena para derivadas parciales, 14-4 El diferencial total de una función z = z(x,y), 14-5 Determinación de extremos en funciones de dos variables, 14-5 Uso de la función HESS para analizar valores extremos, 14-6 Integrales múltiples, 14-8 El jacobiano de una transformación de coordenadas, 14-9
Transformadas de Laplace, 16-10 Definiciones, 16-10 Transformada de Laplace y sus inversas en la calculadora, 16-11 Teoremas de las transformadas de Laplace, 16-12 Función delta de Dirac y función grada de Heaviside, 16-15 Aplicaciones de transformadas de Laplace en la solución de EDOs lineales, 16-17 Series de Fourier, 16-27 Función FOURIER, 16-29 Serie de Fourier para una función cuadrática, 16-29 Serie de Fourier para una onda triangular, 16-35 Serie de Fourier para una onda cuadrada, 16-39 Usos de la se
Función RKFERR, 16-74 Función RSBERR, 16-75 Capítulo 17 - Aplicaciones a la Probabilidad, 17-1 El sub-menú MTH/PROBABILITY..
El sub-menú FIT, 18-18 Ejemplo de las operaciones del menú STAT, 18-19 Intervalos de confianza, 18-22 Evaluación de los intervalos de confianza, 18-24 Definiciones, 18-24 Intervalos de confianza para la media de la población cuando se conoce la varianza de la población, 18-243 Intervalos de confianza para la media de la población cuando la varianza de la población es desconocida, 18-25 Intervalo de confianza para una proporción, 18-25 Distribución del muestreo de diferencias y sumas de estadísticas, 18-26 I
Ajuste polinómico, 18-59 Selección del ajuste óptimo, 18-63 Capítulo 19 - Números en diversas bases, 19-1 Definiciones, 19-1 El menú BASE, 19-1 Funciones HEC, DEC, OCT y BIN, 19-2 Conversión entre los sistemas de numeración, 19-3 Wordsize (Tamaño de la palabra), 19-4 Operaciones con números enteros binarios, 19-4 El menú LOGIC, 19-5 El menú BIT, 19-6 El menú BYTE, 19-6 Números hexadecimales para las referencias del píxel, 19-7 Capítulo 20 - Menús y teclas de usuario, 20-1 Menús de usuario, 20-1 El menú
Funciones enumeradas por sub-menú, 21-7 Atajos en el menú de PRG, 21-10 Secuencias de teclas para los comandos comúnmente usados, 21-11 Programas para generar listas de números, 21-14 Ejemplos de la programación secuencial, 21-16 Programas generados definiendo una función, 21-16 Programas que simulan una secuencia de operaciones, 21-18 Entrada interactiva en programas, 21-21 Aviso con una secuencia de entrada, 21-22 Una función con una secuencia de entrada, 21-23 Secuencia de entrada para dos o tres valores
Sub-menú IFERR, 21-68 Programación de User RPL en modo algebraico, 21-70 Capítulo 22 - Programas para la manipulación de los gráficos, 22-1 El menú PLOT, 22-1 Tecla de usuario para el menú PLOT, 22-1 Descripción del menú PLOT, 22-2 Generación de diagramas con programas, 22-14 Gráficos de dos dimensiones, 22-15 Gráficos tridimensionales, 22-15 La variable EQ, 22-16 Ejemplos de diagramas interactivos usando el menú PLOT, 22-16 Ejemplos de diagramas generados con programas, 22-18 Comandos de dibujo para el u
Un segundo ejemplo de los cálculos del círculo de Mohr, 22-41 Una forma interactiva para el círculo del Mohr, 22-42 Capítulo 23 - Cadenas de caracteres, 23-1 Funciones de caracteres en el sub-menú TYPE, 23-1 Concatenación de texto, 23-2 El menú CHARS, 23-2 La lista de caracteres, 23-4 Capítulo 24 - Objetos y señales (banderas) de la calculadora, 24- 1 Descripción de los objetos de la calculadora, 24-1 La función TYPE, 24-2 La función VTYPE, 24-2 Banderas o señales de la calculadora, 24-3 Banderas o señ
Copiando y reinstalando el directorio HOME, 26-4 Almacenando, borrando, y reinstalando objetos de reserva, 26-5 Utilizando datos en objetos de reserva, 26-6 Utilizando bibliotecas, 26-7 Instalando y adjuntando una biblioteca, 26-7 Números de bibliotecas, 26-7 Borrando una biblioteca, 26-8 Creando bibliotecas, 26-8 Batería de respaldo, 26-8 Apéndices Apéndice A - Utilizando formas interactivas, A-1 Apéndice B - El teclado de la calculadora, B-1 Apéndice C - Ajustes del CAS, C-1 Apéndice D - Caracteres adici
Advertencia sobre las pantallas en esta guía Una pantalla en la guía (o retrato de la pantalla, para ser más precisos) es una representación de la pantalla de la calculadora. Por ejemplo, la primera vez que la calculadora se enciende mostrará la pantalla siguiente (las pantallas de la calculadora se demuestran con borde grueso en esta sección): Las dos líneas superiores representan el encabezado de la pantalla y el área restante en la pantalla se utiliza para mostrar resultados.
la calculadora mostrará realmente la pantalla siguiente: Note que las líneas del encabezado cubren las primeras línea y media de la salida en la pantalla de la calculadora. Sin embargo, las líneas de la salida no visibles todavía están accesibles al usuario. Usted puede tener acceso a esas líneas en su calculadora presionando la tecla direccional vertical (—), la cuál permitirá que usted deslice la pantalla hacia abajo.
SIN(2.5), mostrada anteriormente, puede ser simplificada en esta guía para lucir de esta manera: Estas simplificaciones de las pantallas se orientan a economizar espacio de impresión en la guía. Tenga en cuenta las diferencias entre las pantallas de la guía y las pantallas correspondientes en la calculadora, y usted no tendrá ningún problema en reproducir los ejercicios en esta guía.
Capítulo 1 Preliminares El presente capítulo está destinado a proveer la información básica sobre la operación de la calculadora. Los ejercicios que se presentan a continuación permiten al usuario familiarizarse con las operaciones básicas y la selección de los modos de operación de la calculadora. Operaciones Básicas Los ejercicios siguientes tienen el propósito de describir la calculadora misma.
a. Compruebe que la calculadora esté apagada. Presione el elemento de sujeción hacia abajo. Empuje la placa en la dirección mostrada y levántela. b. Inserte una nueva batería de litio CR2032. Asegúrese de que el polo positivo (+) mira hacia arriba. c. Vuelva a colocar la placa y acóplela en su ubicación original. Después de instalar las baterías, presione [ON] para activar la alimentación. Advertencia: cuando el icono de batería baja aparezca en la pantalla, reemplace las baterías cuanto antes.
En la parte superior de la pantalla usted tendrá dos líneas de información que describan las opciones de la calculadora. La primera línea muestra los caracteres: RAD XYZ HEX R= 'X' Los detalles de estas especificaciones se muestran en el Capítulo 2 de esta Guía. La segunda línea muestra los caracteres: { HOME } que indican que el directorio HOME es el directorio activo para almacenar archivos en la memoria de la calculadora.
Presionar Luna vez más para volver al menú TOOL, o presionar la tecla I (tercera tecla en la segunda fila del teclado). El menú TOOL se describe en la sección siguiente. A este punto ilustraremos algunas características de los menús que usted encontrará útiles al usar su calculadora. Menú de teclas (SOFT menus) vs. menú de listas (CHOOSE boxes) Los menús de teclas (SOFT menu) asocian las etiquetas en la parte inferior de la pantalla con las seis teclas en la primera fila del teclado.
la tecla @@@OK@@@ (F). Así, si usted desea utilizar la función R B (real a binario), presione 6F. Si usted desea trasladarse al comienzo de la página actual del menú en una lista, utilice „—. Para moverse al final de la página actual, utilice „˜. Para moverse al comienzo del menú, utilice ‚—. Para moverse al final del menú, utilice ‚˜.
Para navegar las funciones de este menú presione la tecla L para acceder la página siguiente, o „«(asociada con la tecla L) para moverse a la página anterior. Las figuras siguientes demuestran las diversas páginas del menú BASE obtenidas al presionar la tecla L dos veces: Al presionar la tecla L una vez más, se retorna a la primera página del menú. Nota: Con la opción SOFT menus fijada para la bandera 117 del sistema, la combinación ‚(mantener) ˜, mostrará una lista de las funciones en el menú actual.
@EDIT A @VIEW @@ RCL @@ @@STO@ ! PURGE CLEAR B C D E F EDITar el contenido de una variable (para información adicional, véase el Capítulo 2 en esta Guía y el Capítulo 2 y el Apéndice L en la Guía del Usuario) Observar (VIEW) el contenido de una variable Recobrar (ReCaLl) el contenido de una variable Almacenar (STOre) el contenido de una variable Eliminar o borrar (PURGE) una variable Limpiar (CLEAR) la pantalla Estas seis funciones forman la primera página del menú de herramientas (TOOL).
9 se activa el menú TIME. Esta operación se puede también representarse como ‚Ó. El menú TIME se muestra a continuación: Según lo indicado arriba, el menú TIME proporciona cuatro diversas opciones, numeradas 1 a 4. De interés para nosotros a este punto es la opción 3. Set time, date... Usando la tecla vertical, ˜, destaque esta opción y presione !!@@OK#@ ( F).
Cambiemos los minutos a 25, presionando: 25 !!@@OK#@ . La posición de los segundos ha sido seleccionada. Suponga que usted desean cambiar el campo de los segundos a 45, utilice: 45 !!@@OK#@ La localidad del formato del tiempo ha sido seleccionada. Para cambiar esta opción utilice W (la segunda tecla de la izquierda en la quinto fila de teclas del fondo del teclado), o presione la tecla @CHOOS ( B).
Para fijar la fecha, primero hay que fijar el formato de fecha. El formato preselecto es M/D/Y (mes/día/año). Para modificar este formato, presiónese la tecla vertical inferior. Esto destacará el formato de fecha según lo demostrado a continuación: Use la tecla @CHOOS (B), para ver las opciones para el formato de fecha: Seleccione su opción usando las teclas direccionales verticales — ˜, y presione !!@@OK#@ F para efectuar la selección.
La figura demuestra 10 filas de las teclas combinadas con 3, 5, o 6 columnas. La fila 1 tiene 6 teclas, las filas 2 y 3 tienen 3 teclas cada uno, y las filas 4 a 10 tienen 5 teclas cada uno. Hay 4 teclas de flecha situadas en el lado derecho del teclado en el espacio ocupado por las filas 2 y 3. Cada tecla tiene tres, cuatro, o cinco funciones asociadas. La función principal de una tecla corresponde al rótulo más prominente en la tecla.
tecla (9,1), y la tecla azul alfa (ALPHA), tecla (7,1), pueden combinarse con otras teclas para activar las funciones alternas que se muestran en el teclado.
Cambiando los modos de operación Esta sección asume que el usuario se ha familiarizado con el uso de los menús y las formas interactivas de entradas de datos (si éste no es el caso, refiérase al Apéndice A en la Guía del Usuario). Presione la tecla H (segunda fila y segunda columna del teclado) para activar la forma interactiva denominada CALCULATOR MODES: Presione la tecla !!@@OK#@ F para recuperar la pantalla normal. Ejemplos de los diferentes modos de operación se muestran a continuación.
3.0 ⋅ 5.0 − 3.0 ⋅ 3.0 2.5 +e 23.0 1 3 Para escribir esta expresión, usaremos el escritor de ecuaciones (equation writer), ‚O. Antes de continuar, le invitamos a identificar las siguientes teclas, además de las teclas numéricas: !@.#*+-/R Q¸Ü‚Oš™˜—` El escritor de ecuaciones representa un ambiente en el que uno puede construir expresiones matemáticas usando notación matemática explícita incluyendo fracciones, derivadas, integrales, raíces, etc.
R!Ü3.*!Ü5.1/3.*3.™ /23.Q3+!¸2.5` Cámbiese el modo operativo a RPN comenzando al presionar la tecla H. Selecciónese el modo operativo RPN utilizando ya sea la tecla \, o la tecla @CHOOS del menú. Presiónese la tecla !!@@OK#@ F del menú para completar la operación. La pantalla en el modo operativo RPN se muestra a continuación: Nótese que la pantalla muestra varios niveles identificados por los números 1, 2, 3, etc. Esta pantalla se denomina la pila (stack) de la calculadora.
Calcúlense las siguientes operaciones antes de intentar las operaciones presentadas anteriormente usando el sistema operativo algebraico: 123`32/ 4`2Q 27`R3@» 123/32 42 3 √27 Obsérvese la posición de la y y de la x en las dos operaciones últimas. La base en la operación exponencial es y (nivel 2), mientras que el exponente es x (nivel 1) antes de presionarse la tecla Q. De manera similar, en la operación de la raíz cúbica, y (nivel 2) es la cantidad bajo el signo radical, y x (nivel 1) es la raíz.
3Q / 2.5 !¸ + R Escríbase 3, calcúlese 233 en nivel 1. 14.666 en nivel 2. (3× (5-1/(3×3)))/233 en nivel 1 Escríbase 2.5 en el nivel 1 e2.5, pasa al nivel 1, nivel 2 muestra el valor anterior (3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2.5 = 12.18369, en nivel 1 √((3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2.5) = 3.49..., en nivel 1. Para seleccionar modo operativo ALG vs.
• Formato con número de decimales fijo: Presiónese la tecla H, y utilícese la tecla direccional vertical, ˜, para seleccionar la opción Number format. Presiónese la tecla de menú @CHOOS ( B), y selecciónese la opción Fixed utilizando la tecla ˜. Presiónese la tecla direccional horizontal, ™, y selecciónese el cero enfrente de la opción Fix. Presiónese la tecla de menú @CHOOS y selecciónese el valor 3 (como ejemplo), utilizando las teclas direccionales verticales, —˜.
Nótese que la parte decimal es redondeada, y no truncada. Por ejemplo, con este formato, el número 123.4567890123456 se muestra como 123.457, y no como 123.456. Esto se debe a que el tercer decimal, 6 es > 5). • Formato científico Para seleccionar este formato, presiónese primero la tecla H. A continuación, utilícese la tecla direccional vertical, ˜, para seleccionar la opción Number format. Presiónese la tecla @CHOOS ( B), y selecciónese la opción Scientific utilizando la tecla ˜.
• Formato de ingeniería El formato de ingeniería (engineering format) es muy similar al científico, excepto que el exponente en la potencia de diez es un múltiplo de 3. Para seleccionar este formato, presiónese primero la tecla H, y utilícese la tecla direccional, ˜, para seleccionar la opción Number format. Presiónese la tecla @CHOOS ( B), y selecciónese la opción Engineering con la tecla ˜. Manténgase el número 3 delante de la opción Eng.
continuación (Nótese que hemos cambiado el formato de números a estándar, Std): • Presiónese primero la tecla H. Después, presiónese la tecla direccional vertical, ˜, una vez, y la tecla direccional horizontal, ™, dos veces, para seleccionar la opción __FM,. Para seleccionar comas, presiónese la tecla de menú @ @CHK@ (B). La forma interactiva lucirá como se muestra a continuación: • Presiónese la tecla de menú !!@@OK#@ para recobrar la pantalla normal. Por ejemplo, el número 123.
Para seleccionar las medidas angulares utilícese el procedimiento siguiente: • Presiónese primero la tecla H. A continuación, utilícese la tecla ˜, dos veces. Selecciónese la opción Angle Measure utilizando ya sea la tecla \ (segunda columna en la quinta fila contando de abajo hacia arriba), o la tecla de menú @CHOOS ( B). Si se utiliza la última opción, utilícense las teclas direccionales verticales, — ˜, para seleccionar la medida angular, y presiónese la tecla !!@@OK#@ F para completar la operación.
Señal sonora, sonido de tecla, y última escritura La línea pasada de la forma de la entrada de la forma CALCULATOR MODES incluye las opciones: _Beep _Key Click _Last Stack Al colocar la marca de aprobado al lado de cada uno de estas opciones, la opción correspondiente es activada. Estas opciones se describen a continuación: _Beep : (señal sonora) Cuando está seleccionado, la señal sonora de la calculadora está activa.
• Use la tecla š para seleccionar la opción _Beep. Use la tecla @ @CHK@ (B) para cambiar la selección. Presione !!@@OK#@ F para terminar la operación. Seleccionando opciones del CAS El término CAS significa Computer Algebraic System, o Sistema Algebraico Computacional. El CAS es el centro matemático de la calculadora donde residen las operaciones y funciones simbólicas de la misma. El CAS presenta un número de opciones que pueden ajustarse de acuerdo a la operación de interés.
• Para navegar a través de las diferentes opciones en la forma interactiva denominada CAS MODES, utilícese las teclas direccionales: š™˜—. • Para seleccionar o remover cualquiera de las opciones indicadas anteriormente, selecciónese la línea que precede a la opción de interés, y presiónese la tecla de menú @ @CHK@ hasta que se obtenga la opción apropiada.
• • • • • • • Approx: Cuando se selecciona esta opción, la calculadora usa el modo denominado aproximado (Approx) y produce resultados numéricos en las operaciones. Si esta opción no es seleccionada, el CAS utiliza el modo exacto (Exact), el cual produce resultados simbólicos en las operaciones algebraicas. Complex: Cuando se selecciona esta opción, las operaciones con números complejos son activadas.
presiónese la tecla de menú @@DISP@ (D) para activar la forma denominada DISPLAY MODES: • Para navegar a través de las diferentes opciones en la forma interactiva DISPLAY MODES utilícense las teclas direccionales: š™˜—. • Para seleccionar o remover cualquiera de las opciones mostradas en la figura anterior (las opciones selectas se indican con la marca de aprobado, ), selecciónese la línea previa a la opción de interés, y presiónese la tecla de menú @ @CHK@ hasta conseguir la opción deseada.
MODES. La pantalla indicará que la opción Ft8_0:system 8 ha sido seleccionada para la línea Font: en la forma interactiva DISPLAY MODES. Este es el valor pre-selecto para la línea Font. Al presionar la tecla de menú @CHOOS (B), la pantalla proveerá todas las opciones posibles para el tipo de caracteres: Existen tres opciones estándares disponibles System Fonts (de tamaños 8, 7, y 6) y una cuarta opción, Browse...
alimentadora de líneas (Enter) Instrucciones para el uso del editor de línea se presentan en el Capítulo 2 de esta Guía. Selección de las propiedades de la pantalla (Stack) Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma interactiva CALCULATOR MODES. Dentro de esta forma interactiva, presiónese la tecla de menú @@DISP@ (D) para activar la forma interactiva DISPLAY MODES. Presiónese la tecla direccional vertical, ˜, dos veces, para alcanzar la línea Stack.
Con la opción _Textbook seleccionada (este es el valor predefinido), ya sea que se seleccione la opción _Small o no, la pantalla muestra el siguiente resultado: Selección de las propiedades del escritor de ecuaciones (EQW) Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma interactiva CALCULATOR MODES. Dentro de esta forma interactiva, presiónese la tecla de menú @@DISP@ (D) para activar la forma interactiva DISPLAY MODES.
Selección del tamaño del encabezado Presiónese primero la tecla H para activar la forma interactiva denominada CALCULATOR MODES. Dentro de esta forma, presiónese la tecla @@DISP@ (D) para mostrar la forma interactiva denominada DISPLAY MODES. Presiónese la tecla ˜, cuatro veces, para obtener la línea Header (encabezado). El valor 2 se pre-asigna a la localidad Header.
Capítulo 2 Introducción a la calculadora En este Capítulo se presentan las operaciones básicas de la computadora incluyendo el uso del escritor de ecuaciones (El escritor de ecuaciones) y la manipulación de los objetos (datos) en la calculadora. Analícense los ejemplos en este Capítulo para conocer mejor la operación de la calculadora en futuras aplicaciones. Objetos en la calculadora Cualquier número, expresión, carácter, variable, etc.
resultado real (o de punto decimal flotante), utilice la función NUM ‚ï. Los números enteros se utilizan con frecuencia en funciones del CAS mientras que han sido diseñadas para mantener la precisión completa en su operación. Si el modo aproximado (APROX) se selecciona en el CAS (véase el apéndice C), los números enteros serán convertidos automáticamente a reales. Si usted no está planeando utilizar el CAS en sus operaciones, es una buena idea cambiar el CAS directamente al modo aproximado.
de una tabla se pueden entrar como listas. Si se prefiere, una tabla se puede escribir como una matriz o arreglo. Objetos del tipo 8 son programas en lenguaje UserRPL. Estos objetos son simplemente colecciones de instrucciones incluidas entre los símbolos < < > >. Se asocian a programas los nombres de objetos tipo 6 y 7, objetos globales y locales, respectivamente. Estos nombres, o variables, se utilizan para almacenar cualquier tipo de objetos.
Edición de expresiones en la pantalla En esta sección se presentan ejemplos de la edición de expresiones directamente en la pantalla de la calculadora. Creación de expresiones aritméticas Pare ejecutar este ejemplo, selecciónese el modo operativo Algebraico y el formato Fix con 3 decimales para la pantalla. Escríbase la expresión: 1.0 7.5 5.0 ⋅ 3.0 − 2.0 3 1.0 + Para escribir esta expresión, utilícense las siguientes teclas: 5.*„Ü1.+1./7.5™/ „ÜR3.-2.Q3 La expresión resultante es: 5*(1+1/7.5)/(ƒ3-2^3).
En este caso, cuando la expresión se escribe directamente en la pantalla, en cuanto se presiona la tecla `, la calculadora intentará calcular el valor de la expresión. Si la expresión se escribe entre apóstrofes, la calculadora simplemente reproduce la expresión tal y como fue escrita. Por ejemplo: ³5*„Ü1+1/7.
El resultado se muestra en la siguiente pantalla: Presiónese la tecla ` una vez más para producir dos copias de la expresión en la pantalla. Evalúese la expresión en el nivel 1 utilizando la función EVAL, primero, y después la función NUM (µ). Esta expresión es semi-simbólica en el sentido de que existen componentes reales (números reales) en el resultado, así como la expresión simbólica √3.
1 7.5 . La expresión incorrecta fue más bien que la expresión prevista: 5 ⋅ 3 − 23 1+ escrita usando: ³5*„Ü1+1/1.75™/„Ü R5-2Q3` Para activar el editor de línea use „˜. La pantalla ahora luce como sigue: El cursor editor se demuestra una flecha izquierda pulsante sobre el primer carácter en la línea que se corregirá.
El corregir de una línea de la entrada cuando la calculadora está en modo de funcionamiento algebraico es exactamente igual que en el modo RPN. Usted puede repetir este ejemplo en modo algebraico para verificar esta aserción. Creación de expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas incluyen no solamente números, sino también variable.
Edición de expresiones algebraicas La edición de una expresión algebraica con el editor de línea es muy similar la edición de una expresión aritmética (véase el ejercicio anterior). Suponga que deseamos modificar la expresión incorporada anteriormente de manera que luzca como se muestra a continuación: x2 R +2 L R+x b 2L 1 + Para corregir esta expresión algebraica usando el editor de línea use „˜.
El resultado es: Note que la expresión se ha ampliado para incluir términos por ejemplo |R|, el valor absoluto, y SQ(b⋅R), el cuadrado de b⋅R. Para ver si podemos simplificar este resultado, use FACTOR(ANS(1)) en modo ALG: • Presione „˜ para activar el editor de línea una vez más. El resultado es: • Presione ` una vez más para regresar a la pantalla normal. Para ver la expresión entera en la pantalla, podemos cambiar la opción _Small Screen Disp en la forma SCREEN MODES (ver el capítulo 1).
Uso del escritor de ecuaciones (EQW) para crear expresiones El escritor de ecuaciones es una herramienta muy importante que permite al usuario no solamente escribir o ver una ecuación, sino también modificar y manipular expresiones, y aplicar funciones a las mismas. El escritor de ecuaciones (EQW), por lo tanto, permite que usted realice operaciones matemáticas complejas, directamente, o en un modo paso a paso, tal como Ud. las haría en el papel, al resolver, por ejemplo, problemas del cálculo.
Estas teclas del menú para el escritor de ecuaciones activan las funciones siguientes: @CMDS: permite acceso a la colección de funciones del CAS enumeradas en orden alfabético. Esto es útil para activar funciones del CAS en cualquier expresión disponible en el escritor de la ecuación. @HELP: activa la función informativa del CAS de la calculadora que provee información y ejemplos de las funciones del CAS. Algunos ejemplos del uso del escritor de ecuaciones se muestran a continuación.
Supóngase que se desea reemplazar la expresión entre paréntesis en el denominador (es decir, 5+1/3) con (5+π2/2). Para empezar, utilícese la tecla de borrar (ƒ) para borrar la fracción 1/3, y reemplazarla con π2/2. Utilícense las siguientes teclas: ƒƒƒ„ìQ2 A este punto, la pantalla lucirá de la siguiente manera: Para escribir el denominador 2 debajo de π2, es necesario seleccionar la expresión π2 completa. Esto se consigue al presionar la tecla direccional horizontal ™, una sola vez.
Para empezar, es necesario seleccionar todo el primer término utilizando, ya sea, la tecla direccional horizontal (™) o la tecla direccional vertical (—), repetidamente, hasta que la expresión completa haya sido seleccionada, es decir, siete veces: NOTA: Como forma alternativa, comenzando en la posición original del cursor (a la derecha del 2 en el denominador de π2/2), se puede utilizar la combinación de teclas ‚—, que se interpreta como (‚ ‘ ).
Evaluación de la expresión Para evaluar la expresión (o las partes de la expresión) dentro del escritor de ecuaciones, destaque la pieza que usted desea evaluar y presione la tecla @EVAL D. Por ejemplo, para evaluar la expresión entera en este ejercicio, primero, destaca la expresión entera, presionando ‚ ‘. Entonces, presione @EVAL D.
Evaluación de una sub-expresión Suponga que usted desea evaluar solamente la expresión en paréntesis en el denominador de la primera fracción en la expresión mostrada arriba. Usted tiene que utilizar las teclas direccionales para seleccionar esa sub-expresión particular.
Intentemos una evaluación numérica de este término a este punto.
En los ejercicios anteriores utilizamos la tecla de flecha vertical hacia abajo para destacar las sub-expresiones para la evaluación. En este caso, las utilizaremos para accionar un cursor de edición. Después de que usted haya acabado de escribir la expresión original, el cursor de escritura (una flecha apuntando a la izquierda) será situado a la derecha del 3 en el denominador de la segunda fracción según muestra aquí: Presione la tecla (˜) para activar el cursor editor.
Después, presione la tecla (˜)para activar el cursor transparente de edición destacando 3 en el denominador de π 2/3. Presione la tecla (š) para destacar el exponente 2 en la expresión π 2/3. Después, Presione (ƒ) para cambiar el cursor en el cursor de la inserción. Presione ƒ una vez más para suprimir el 2, y un 5 para escribir 5. Presione la tecla (—) tres veces para destacar la expresión π 5/3. Entonces, escriba ‚¹ para aplicar LN a esta expresión.
utilizar las teclas (š™) para moverse de término a término en una expresión. Cuando usted alcanza un punto que usted necesite corregir, use (ƒ) para activar el cursor de inserción y proceder con la edición de la expresión. Creación de expresiones algebraicas Una expresión algebraica es muy similar a una expresión aritmética, excepto que en la última se pueden incluir letras castellanas y griegas.
utilizando el menú CHARS (…±) si no se desea memorizar la combinación de teclas que produce el carácter deseado. Una colección de combinaciones con ~‚ que se utilizan comúnmente se presentó en una sección anterior. El árbol o diagrama de una expresión El árbol o diagrama de una expresión es un diagrama que muestra cómo el Escritor de Ecuaciones interpreta una expresión. Ver el apéndice E para un ejemplo detallado.
Edición de expresiones algebraicas La edición de ecuaciones algebraicas sigue las mismas reglas que la de ecuaciones aritméticas. A saber: • Use las teclas (š™—˜) para seleccionar expresiones • Use la tecla (˜), repetidamente, para activar e cursor transparente de edición . En este modo, use las teclas (š™) para moverse de término a término en una expresión. • En un punto de edición, use (ƒ) para activar el cursor de la inserción y procede con la edición de la expresión.
Si usted siguió el ejercicio inmediatamente arriba, usted debe tener el cursor transparente de edición en el número 2 en el primer factor de la expresión.
la expresión. Otra secuencia de entradas —D, sin embargo, modifica la expresión como sigue: Una aplicación más de —D produce más cambios: Esta expresión no cabe adentro de la pantalla del escritor de ecuaciones. Podemos ver la expresión entera usando caracteres pequeños. Presione la tecla @BIG C para obtener: Incluso con los caracteres grandes (inglés, large font), es posible navegar la expresión entera usando el cursor transparente de edición.
Esta pantalla demuestra la discusión de la función SIN, a saber, 3 θ , LN (θ ) 3 . Esto no puede parecerse como una simplificación, transformado en e pero lo es en el sentido que la función de la raíz cúbica ha sido substituida por las funciones inversas exp-LN. Factorizando una expresión En este ejercicio intentaremos descomponer en factores una expresión polinómica. Para continuar el ejercicio anterior, presione `. Entonces, active el escritor de ecuaciones otra vez al presionar ‚O.
Presione ‚¯ para recuperar la expresión original. Ahora, seleccionemos la expresión entera presionando la tecla (—). Y presione la tecla @FACTO , para obtener: Presione ‚¯ para recuperar la expresión original.
Presione la tecla @@OK@@ (F), para obtener: Después, presione la tecla L para recuperar el menú original del escritor de ecuaciones, y presione la tecla @EVAL@ (D) para evaluar esta derivada. El resultado es: Usar el menú HELP Presione la tecla L para mostrar las teclas de menú @CMDS y @HELP. Presione la tecla @HELP para conseguir la lista de las funciones del CAS. Entonces, presione ~ d ˜ ˜ ˜ para seleccionar la función DERVX.
situadas en la parte extrema izquierda de las filas 2 y 3.
Las funciones BEGIN y END no ser necesario al operar dentro del escritor de ecuaciones, puesto que podemos seleccionar cadenas de caracteres usando las teclas direccionales. Las funciones BEGIN y END son más útiles al corregir una expresión con el editor de línea.
Presione ` para abandonar el escritor de ecuaciones. Creando y editando sumatorias, derivadas, e integrales Las sumatorias, derivadas, e integrales se utilizan comúnmente en el cálculo, en la probabilidad y en la estadística. En esta sección demostramos algunos ejemplos de tales operaciones creadas con el escritor de ecuaciones. Utilizar el modo de ALG.
Para recobrar la sumatoria sin evaluar, use ‚¯. Para evaluar la sumatoria otra vez, usted puede utilizar D. Esto demuestra otra vez que ∞ 1 ∑k k =1 2 = π2 . 6 Usted puede utilizar el escritor de ecuaciones para probar que ∞ 1 ∑ k = +∞ . k =1 Esta sumatoria (representando una serie infinita) se dice que diverge.
Para ver la expresión correspondiente en el editor de línea, presione ‚— y la tecla A, para mostrar: Esto indica que la expresión general para un derivada en el editor de línea o en la pantalla es: ∂variable(función de variables) Presione ` para volver al escritor de ecuaciones. La pantalla que resulta no es la derivada escrita, sin embargo, sino su valor simbólico, a saber, Para recobrar la expresión de la derivada, use ‚¯. Para evaluar la derivada otra vez, usted puede utilizar la tecla D.
d ( ) . La calculadora, sin embargo, no distingue entre las derivadas dx parciales y totales. Integrales definidas Utilizaremos el escritor de ecuaciones para incorporar la integral definida siguiente: τ ∫ t ⋅ sin(t ) ⋅ dt . 0 Presione ‚O para activar el escritor de ecuaciones. Entonces presione ‚ Á para escribir el símbolo de la integral.
τ ∫ t ⋅ sin(t ) ⋅ dt = sin(τ ) − τ ⋅ cos(τ ) 0 Los integrales dobles son también posibles. Por ejemplo, la cuál se evalúa a 36. La evaluación parcial es posible, por ejemplo: Este integral evalúa a 36. Organización de los datos en la calculadora Es posible organizar los datos en la calculadora al almacenar variables en una colección de directorios. Para entender la memoria de la calculadora, primero echamos una ojeada el directorio del archivo.
llamado CASDIR. La pantalla del Control de Archivos tiene tres funciones asociadas a las teclas del menú': @CHDIR (A): Cambiar al directorio seleccionado @CANCL (E): Acción de cancelación @@OK@@ (F): Aprobar una selección Por ejemplo, cambie el directorio a CASDIR, presione la tecla ˜, y presione @CHDIR (A). Esta acción cierra la pantalla del Control de Archivos y nos vuelve a la pantalla normal de la calculadora.
@SORT Para clasificar variables según ciertos criterios Si Ud. presiona la tecla L, el último conjunto de funciones es: @XSEND Para enviar variable con protocolo XMODEM @CHDIR Para cambiar el directorio Para moverse entre las diversas funciones suaves del menú, usted puede utilizar no solamente la tecla L, sino también la tecla PREV („«). Se invita al usuario que intente estas funciones en el suyo o sus el propio. Sus usos son directos.
Esta vez el CASDIR se destaca en la pantalla. Para ver el contenido del directorio presione @@OK@@ (F) o `, para obtener la pantalla siguiente: La pantalla muestra una tabla que describe las variables contenidas en el directorio de CASDIR. Éstas son las variables predefinidas en la memoria de la calculadora que establecen ciertos parámetros para la operación del CAS (véase el apéndice C).
Podemos ver las variables contenidas en el directorio actual, CASDIR, al presionar la tecla J (primera tecla en la segunda fila del teclado). Esto produce la pantalla siguiente: Presione la tecla L para mostrar otras variables almacenadas en este directorio: • • • Para ver el contenido de la variable EPS, por ejemplo, use ‚@EPS@. Esto demuestra que el valor de EPS es .0000000001 Para ver el valor de una variable numérica, necesitamos presionar solamente la tecla del menú para la variable.
Escritura de nombres de directorios y variables Para nombrar subdirectorios, y a veces, variables, usted tendrá que escribir cadenas continuas de caracteres, que pueden o no combinarse con números. En vez de presionar ~, ~„, o ~‚ para escribir cada letra, uno puede mantener presionada la tecla ~ y escribir las letras requeridas. Es posible también asegurar el teclado de la calculadora en el modo alfabético de la siguiente manera: ~~ asegura el teclado alfabético en mayúsculas.
Nota: si se fija la bandera 60 del sistema, usted puede asegurar el teclado alfabético al presionar ~. Véase el Capítulo 1 para mayor información sobre banderas o señales del sistema. Crear sub-directorios Los sub-directorios pueden ser creados usando el ambiente FILES o usando la función CRDIR. Los dos procedimientos para crear sub-directorios se presentan a continuación.
La localidad Object, la primera en la forma interactiva, se selecciona por defecto. Este campo de entrada puede incluir el contenido de una nueva variable que se está creando. Puesto que no tenemos ningún contenido para el nuevo sub-directorio a este punto, omitimos simplemente este campo de la entrada al presionar la tecla ˜.
Para moverse dentro del directorio MANS, presione la tecla correspondiente (A en este caso), y ` si en modo algebraico. El árbol del directorio será demostrado en la segunda línea de la pantalla como {HOME MANS}. Sin embargo, no habrá etiquetas asociadas a las teclas, según lo demostrado abajo, porque no hay variables definidas dentro de este directorio.
Use la tecla (˜) para seleccionar la opción 5. DIRECTORY, o simplemente presione 5. Entonces, presione @@OK@@. Esto producirá el menú siguiente: Use la tecla (˜)para seleccionar la opción 5. CRDIR, y presione @@OK@@.
Presione la tecla @@OK@ para activar la función, para crear el sub-directorio: Mudanza entre sub-directorios Bajar el árbol del directorio, usted necesita presionar la tecla correspondiente al sub-directorio al cual usted desea moverse. La lista de variables en un subdirectorio se puede producir al presionar la tecla J (VARiables). Para moverse hacia arriba en el árbol del directorio, utilice la función UPDIR, esto es, escriba „§. Alternativamente, usted puede utilizar el menú FILES, i.e., presione „¡.
@ALL@ (B) Proceder con suprimir todos los sub-directorios (o variables) !ABORT (E) No suprimir sub-directorio (o variable) de una lista @@NO@@ (F) No suprimir sub-directorio (o variable) Después de seleccionar una de estas cuatro funciones, volverá a la pantalla que enumera el contenido del sub-directorio. La función !ABORT, sin embargo, mostrará un mensaje de error: y usted tuvo que presionar @@OK@@, antes de volver al listado de las variable.
Use la tecla (˜) para seleccionar la opción 6. PGDIR, y presione @@OK@@.
Función PGDIR en modo RPN Para utilizar PGDIR en modo RPN usted necesita tener el nombre del directorio, entre apóstrofes, ya disponibles en la pantalla antes de tener acceso a la función. Por ejemplo: ³~s2` Entonces acceda la función PGDIR por cualquiera de los medios demostrados arriba, por ejemplo.
numéricos, comenzando siempre por una letra (ya sea castellana o griega). Algunos caracteres no alfabéticos, tales como la flecha (→), pueden utilizarse en el nombre de una variable, si se combinan con un carácter alfabético. Por lo tanto, ‘→A’ es un nombre válido para una variable, pero ‘→’ no lo es. Ejemplos de nombres válidos para una variable son: ‘A’, ‘B’, ‘a’, ‘b’, ‘α’, ‘β’, ‘A1’, ‘AB12’, ‘ A12’,’Vel’,’Z0’,’z1’, etc.
Presione @@OK@@ para escoger el directorio. Usted conseguirá una pantalla que no muestra ningún elemento (el sub-directorio INTRO está vacío a este punto) Presione la tecla L para acceder el siguiente conjunto de teclas, y presione la tecla @@NEW@@. Esto producirá la forma interactiva NEW VARIABLE: Para escribir la variable A (ver la tabla anterior), primero incorporamos su contenido, a saber, el número 12.5, y después su nombre, A, como sigue: 12.5@@OK@@ ~a@@OK@@.
• • Presione la tecla @GRAPH (A) para ver el contenido en un formato gráfico. • • • Presione la tecla @TEXT (A) para ver el contenido en formato de texto. Presione @@OK@@ para regresar a la lista de variables Presione $ una vez más para regresar a la pantalla normal. La variable A aparece ahora en las etiquetas de la tecla: Usando la función STO Una manera más simple de crear una variable es usando la función STO (es decir, la tecla K).
Los siguientes son las teclas requerido para incorporar las variables restantes: A12: 3V5K~a12` Q: ³~„r/„Ü ~„m+~„r™™ K~q` R: „Ô3‚í2‚í1™ K~r` z1: 3+5*„¥ K~„z1` (si está necesitado, aceptar el cambio al modo Complex) p1: ‚å‚é~„r³„ì* ~„rQ2™™™ K~„p1`.. La pantalla, a este punto, lucirá como sigue: Usted verá seises de las siete variables enumeradas al píe de la pantalla: p1, z1, R, Q, A12, α. • Modo RPN Use las siguientes teclas para almacenar el valor de –0.25 en la variable α: 0.25\` ~‚a`.
Q: ³~„r/„Ü ~„m+~„r™™ ³~q` K Para incorporar el valor de R, podemos utilizar una versión incluso más corta del procedimiento: R: „Ô3#2#1™ ³~r `K Notar eso para separar los elementos de un vector en modo RPN podemos utilizar la tecla espaciadora (#), en vez de la coma (‚í ) utilizada arriba en modo algebraico. z1: ³3+5*„¥ ³~„z1 K(si está necesitado, aceptar el cambio al modo Complex) p1: ‚å‚é~„r³„ì* ~„rQ2™™™ ³ ~„p1™` K.
Modo algebraico Presiónense las siguientes teclas: J@@z1@@ ` @@@R@@ `@@@Q@@@ `. Al finalizar este ejercicio la pantalla lucirá de esta forma: Modo RPN En modos RPN, es necesario solamente presionar las teclas correspondientes al nombre de las variables para examinar el contenido de las mismas.
Nótese que en este caso el programa contenido en la variable p1 se lista en la pantalla. Para ver el contenido de α, utilícese: ‚@@@ª@@ Listado de las variables en la pantalla Utilícese la combinación ‚˜ para listar el contenido de todas las variables en la pantalla. Por ejemplo: Presiónese $ para recobrar la pantalla normal. Sustituir el contenido de las variables Sustituir el contenido de una variable se puede pensar como almacenar un valor diferente en una variable existente.
Usando „ seguido por la tecla de la variable (RPN) Esta es una manera muy simple de cambiar el contenido de una variable, pero trabaja solamente en el modo de RPN. El procedimiento consiste en escribir el nuevo contenido de la variable e incorporarlo en la pantalla, y entonces presionar „ seguida por el tecla de la variable. Por ejemplo, en RPN, si deseamos cambiar el contenido de la variable z1 a ‘a+b⋅i ’, use: ³~„a+~„b*„¥` Esto pondrá la expresión algebraica ‘a+b⋅i ’ en el nivel 1: en la pantalla.
Use la tecla ˜ para seleccionar la variable A (la última en la lista), entonces presione @@COPY@. La calculadora responderá con una pantalla etiquetada PICK DESTINATION: Use la tecla — para seleccionar el sub-directorio MANS y presione @@OK@@. Si usted ahora Presione „§, la pantalla mostrará el contenido del subdirectorio MANS (note que la variable A se muestra en esta lista, según lo esperado): Presione $ @INTRO@ `(modo algebraico), o $ @INTRO@ (modo RPN) para regresar al directorio INTRO.
Usar la historia en modo algebraico Aquí está una manera de utilizar la historia (pantalla) para copiar una variable a partir de un directorio a otro con la calculadora fijada al modo algebraico. Suponer que estamos dentro de sub-directorio {HOME MANS INTRO}, y desear copiar el contenido de la variable z1 al sub-directorio {HOME MANS}. Utilice el procedimiento siguiente: ‚@@z1@ K@@z1@ ` Esto almacena simplemente el contenido de z1 en sí mismo (ningún cambio efectuado en z1).
eso que deseamos copiar las variables R y Q al sub-directorio {HOME MANS}. Las teclas necesarias para completar esta operación se muestran a continuación: ‚@@ @R@@ K@@@R@@ ` ‚@@ @Q@@ K@@@Q@@ ` „§` ƒ ƒ ƒ` ƒƒƒƒ` Para verificar el contenido de las variables, use ‚@@ @R@ y ‚@@ @Q. Este procedimiento se puede generalizar al copiado de tres o más variables.
La pantalla demostrará la línea de entrada siguiente: Después, enumeraremos el nuevo orden de las variables usando los nombres entre apostrofes: „ä ³)@INTRO ™‚í³@@@@A@@@ ™‚í³@@@z1@@™‚í³@@@Q@@@™ ‚í³@@@@R@@@ ™‚í³@@A12@@ ` La pantalla ahora demuestra nueva ordenar de las variables: Modo RPN En modo RPN, la lista de variables reordenadas se enumera en la pantalla antes de aplicar la función ORDER. Suponer que salimos de la misma situación que arriba, pero en modo RPN, i.e.
Use la tecla — para seleccionar el sub-directorio MANS y presione @@OK@@. La pantalla ahora demostrará el contenido del sub-directorio {HOME MANS INTRO}: Note que la variable A12 ya no está más en la lista. Si usted ahora presiona „§, la pantalla demostrará el contenido del sub-directorio MANS, incluyendo la variable A12: Nota: Usted puede utilizar la pantalla para mover una variable combinando el copiado con suprimir una variable.
Usando la función PURGE en la pantalla en modo algebraico Nuestra lista de variables contiene las variables p1, z1, Q, R, y α. A continuación se utiliza la función PURGE para eliminar las variable p1 y A. Presiónese I @PURGE@ J@@p1@@ `, y a continuación I @PURGE@ J@@p1@@ `. La pantalla indica que las variables p1 y A han sido eliminada: La función PURGE puede utilizarse para eliminar más de una variable al colocar sus nombres en una lista que pasa a ser el argumento de la función.
siguientes teclas ³@@p1@@ ` I @PURGE@. La pantalla indica que p1 ha sido eliminada de la memoria: Para eliminar dos variables simultáneamente, por ejemplo, las variables R y Q, créese primero una lista (en Modo RPN, los elementos de lista no necesitan estar separados por comas como se requiere en Modo algebraico): J „ä³ @@@R!@@ ™ ³ @@@Q!@@ ` A continuación, presiónese I@PURGE@ para eliminar las dos variables.
Después, use la función CMD („®) para mostrar las cuatro funciones más recientes escritas por el usuario, i.e., Usted puede utilizar las teclas —˜ para navegar entre estas funciones y destacar cualesquiera de ellas que usted desea colocar de nuevo en la pantalla. Una vez que usted haya seleccionado la función a repetir, presione @@@OK@@@. La función de CMD funciona en la misma manera cuando la calculadora está en el modo RPN, excepto que la lista muestra solamente números o algebraicos.
una pantalla etiquetada SYSTEM FLAGS listando los nombres de las banderas y sus números: (Nota: En esta pantalla, solamente se muestran banderas del sistema, y sólo el valor absoluto del número de la bandera se muestra). Una bandera se dice estar fijada si usted ve una marca de cheque ( ) delante del número de la bandera. Si no, la bandera no está fija sino despejada.
Modo algebraico Use las teclas siguientes: ‚N~q (use las teclas seleccionar la función QUAD) presione @@OK@@ . —˜ para Para incorporar la ecuación como el primer argumento de la función QUAD, use las siguientes teclas: ‚O~ „t Q2™+5*~ „t+6—— ‚Å0` ‚í ~ „t` El resultado es: Ahora, cambie el ajuste de la bandera 1 a General solutions: H@FLAGS @ @CHK@ @@OK@@ @@OK@@ . E intente la solución otra vez: ——``.
Ahora, cambie el ajuste de la bandera 01 a General solutions: H@FLAGS@ @ @CHK@ @@OK@@ @@OK@@ . E intentar la solución otra vez: ƒ³ ~ „t` ‚N~q (use las teclas —˜ para seleccionar la función QUAD) Presione @@OK@@ . La pantalla ahora demuestra las dos soluciones: Otras banderas de interés Muestre una vez más la bandera actual presionando la tecla H, y después @FLAGS! . Cerciorarse que la bandera 01 del sistema ha sido despejada como se hizo en el ejercicio anterior.
(CHOOSE boxes y soft MENUs). En este ejercicio, se busca la función ORDER, la cual se utiliza para reordenar las variables en un directorio: „°˜ Mostrar el menú PROG. Seleccionar MEMORY. @@OK@@ ˜˜˜˜ Mostrar el menú MEMORY. Seleccionar DIRECTORY. @@OK@@ —— Mostrar menú DIRECTORY. Seleccionar ORDER. @@OK@@ Activar la función ORDER. Una forma alternativa de mostrar las funciones de un menú es a través de teclas de menú (soft MENU), al manipular la señal de sistema número 117 (system flag 117).
Presiónese la tecla @ @CHK@ para seleccionar esta señal de sistema activando la opción soft MENU. La pantalla reflejará esta selección: Presiónese @@OK@@ dos veces para recobrar la pantalla normal. A continuación, se busca la función ORDER utilizando teclas de menú. Para comenzar, presiónese „°. Nótese que en vez de una lista de menú se obtienen ahora teclas de menú para el menú PROG, es decir, Presiónese B para seleccionar el menú MEMORY ()@@MEM@@).
Ejemplos de menús de lista (CHOOSE boxes) Algunos menús producirán solamente menús de listas (CHOOSE boxes), por ejemplo, • El menú APPS (APPlicationS), activado con la tecla G primera tecla en la segunda fila del teclado: • El menú CAT (CATalog menu), activado con la tecla ‚N, segunda tecla en la cuarta fila del teclado: • El menú HELP, activado con I L @HELP • El menú CMDS (inglés, CoMmanDS), activado dentro del escritor de ecuaciones, i.e.
Capítulo 3 Cálculos con números reales Este Capítulo demuestra el uso de la calculadora para operaciones y las funciones relacionadas un los números reales. Se asume que el usuario está familiarizado con el teclado para identificar ciertas funciones disponibles en el mismo (por ejemplo, SIN, COS, TAN, etc.) Así mismo, se asume que el lector sabe como seleccionar el sistema operativo de la calculadora (Capítulo 1), como usar menús y listas de selección (Capítulo 1), y como utilizar variables (Capítulo 2).
2. Especificación de sistema coordinado (XYZ, R∠Z, R∠∠). El símbolo ∠ significa un coordenada angular. XYZ: Coordenadas cartesianas o rectangulares (x,y,z) R∠Z: coordenadas polares cilíndricas (r,θ,z) R∠∠: Coordenadas esféricas (ρ,θ,φ) 3. Especificación de la base de numérica (HEX, DEC, OCT, BIN) HEX: números hexadecimales (base 16) DEC: números decimales (base 10) OCT: números octales (base 8) BIN: números binarios (base 2) 4.
Cambio de signo de número, variable, o expresión Use la tecla \. En modo de ALG, usted puede presionar \ antes de escribir el número, por ejemplo, \2.5`. Resultado = -2.5. En modo de RPN, usted necesita escribir por lo menos una parte del número primero, y después utilizar \, por ejemplo, 2.5\. Resultado = -2.5. Si usted utiliza la función \ mientras que no hay línea de comando, la calculadora aplicará la función NEG al objeto en el primer nivel del “stack.” La función inversa Use la tecla Y.
Alternativamente, en modo RPN, uno puede separar los operandos con la tecla espaciadora (#) antes de presionar la tecla de la operación. Ejemplos: 3.7#5.2 + 6.3#8.5 4.2#2.5 * 2.3#4.5 / Uso de paréntesis Se pueden utilizar paréntesis para agrupar operaciones, así como para incluir argumentos de funciones. Los paréntesis están disponibles con la combinación „Ü. Los paréntesis se escriben siempre en pares. Por ejemplo, calcule (5+3.2)/(7-2.2): En modo ALG: „Ü5+3.2™/„Ü7-2.
En modo RPN, escriba el número primero, y después la función, por ejemplo, 2.32\„Ê Cuadrados y raíces cuadradas La función cuadrada, SQ, está disponible con la combinación : „º. Al calcular en la pantalla en modo ALG, escriba la función antes del argumento, por ejemplo, „º\2.3` En modo RPN, escriba el número primero, y después la función, por ejemplo, 2.3\„º La función raíz cuadrada, √, está disponible en la tecla R.
En Modo RPN, el argumento se escribe antes de la función: 2.45` ‚Ã 2.3\` „Â Utilizando potencias de 10 al escribir datos Potencias de diez, es decir, números de la forma -4.5×10-2, etc., se escriben utilizando la tecla V. Por ejemplo, en modo ALG: \4.5V\2` O, en modo RPN: 4.5\V2\` Logaritmos naturales y la función exponencial Los logaritmos naturales (i.e., logaritmos de base e = 2.
Funciones trigonométricas inversas Las funciones trigonométricas inversas disponibles en el teclado son el arco seno (ASIN), arco coseno (ACOS), y arco tangente (ATAN), disponible con las combinaciones „¼, „¾, y „À, respectivamente. Puesto que las funciones trigonométricas inversas representan ángulos, la respuesta de estas funciones será dada en la medida angular seleccionada (DEG, RAD, GRD). Algunos ejemplos se demuestran a continuación: En modo ALG: „¼0.25` „¾0.85` „À1.35` En modo RPN: 0.25`„¼ 0.
* / Q, son operadores binarios, por ejemplo, 3*5, o 4Q2. Funciones de números reales en el menú MTH El menú de MTH (matemáticas) incluye un número de funciones matemáticas sobre todo aplicables a los números reales. Para tener acceso al menú MTH, utilice la combinación „´.
debe seleccionar primero la función y después escribir el o los argumentos, mientras que en Modo RPN, uno debe escribir el argumento en la pantalla primero, y después seleccionar la función. Usando los menús de la calculadora: 1. 1. Dado que la operación de las funciones en MTH (y de muchos otros menús de la calculadora) es muy similar, describiremos en detalle el uso del menú 4. HYPERBOLIC.. en esta sección con la intención de describir la operación general de los menús de la calculadora.
Por ejemplo, en modo de ALG, la secuencia de golpe de teclado para calcular tanh(2.5) es la siguiente: „´ Seleccionar el menú MTH 4 @@OK@@ Seleccionar 4. HYPERBOLIC.. 5 @@OK@@ Seleccionar 5. TANH 2.5` Evaluar tanh(2.5) La pantalla muestra el siguiente resultado: En el modo de RPN, las teclas para realizar este cálculo son los siguientes: 2.5` Escriba los argumentos en la pantalla „´ Seleccionar el menú MTH 4 @@OK@@ Seleccionar 4. HYPERBOLIC.. 5 @@OK@@ Seleccionar 5.
Así, seleccionar, por ejemplo, el menú de las funciones hiperbólicas, presionar la tecla )@@HYP@ , para producir: Finalmente, para seleccionar, por ejemplo, la función tangente hiperbólica (tanh), simplemente presione @@TANH@. Nota: Para ver opciones adicionales en estos menús, presione la tecla L o la secuencia „«. Por ejemplo, para calcular tanh(2.
TANH(2.5) = 0.98661.. EXPM(2.0) = 6.38905…. ATANH(0.2) = 0.2027… LNP1(1.0) = 0.69314…. De nuevo, el procedimiento general demostrado en esta sección se puede utilizar para seleccionar opciones en cualquier menú de la calculadora. Funciones de números reales Seleccionar la opción 5. REAL.. en el menú de MTH, con la bandera 117 del sistema fijada en CHOOSE boxes, genera la lista siguiente del menú: La opción 19. MATH.. recobra el menú MTH.
%CH(y,x) : calcula 100(y-x)/x, es decir, el cambio porcentual, La diferencia entre dos números. %T(y,x) : calcula100 x/y, es decir, La porción que un número (x) constituye de otro (y). Estas funciones requieren dos argumentos. A continuación, se ilustra el cálculo de %T(15,45), es decir, calcular el 15% de 45. Asumimos que la calculadora está fijada al modo ALG, y que la bandera 117 del sistema está fijada en CHOOSE boxes.
Mínimo y máximo Utilizar estas funciones para determinar el valor mínimo o máximo de dos discusiones. MIN(x,y) : valor mínimo de x y de y MAX(x,y) : valor máximo de x y de y Como ejercicio, verificar que MIN(-2,2) = -2, MAX(-2,2) = 2 Módulo MOD: y mod x = residuo de y/x, es decir, si x y y son números enteros, y/x = d + r/x, en la cual d = cociente, r = residuo. En este caso, r = y mod x.
Funciones para transformar radianes a grados y viceversa : convierte grados a radianes D→R (x) R→D (x) : convierte radianes a grados Como ejercicio, verificar que D R(45) = 0.78539 (es decir, 45o = 0.78539rad), R D(1.5) = 85.943669.. (es decir, 1.5rad = 85.943669..o). Funciones especiales La opción 11.
La función PSI, Ψ(n,x), representa la n derivada de la función digamma, es decir., Ψ ( n, x) = dn ψ ( x) , en la cual ψ(x) se conoce como la función dx n digamma, o función Psi. Para esta función, n debe ser un número entero positivo. La función Psi, ψ(x), o función digamma, se define como ψ ( x ) = ln[Γ( x)] . Los ejemplos de estas funciones especiales se demuestran aquí usando los modo ALG y RPN. Como ejercicio, verifique que GAMMA(2.3) = 1.166711…, PSI(1.5,3) = 1.40909.., y Psi(1.5) = 3.64899739..E-2.
Seleccionar cualesquiera de estas entradas pondrá el valor seleccionado, ya sea un símbolo (por ejemplo, e, i, π, MINR, o MAXR) o un valor (2.71.., (0,1), 3.14.., 1E-499, 9.99..E499) en la pantalla. Notar por favor que la e está disponible en el teclado como exp(1), es decir, „¸1`, en modo ALG, o 1` „¸, en modo RPN. Así mismo, π está disponible directamente del teclado como „ì. Finalmente, i está disponible usando „¥.
La opción 1. Tools.. (herramientas) contiene las funciones usadas para operar en unidades (se presentan más adelante). Las opciones 3. Length.. a17.Viscosity.. contiene menús con varias unidades para cada una de las cantidades descritas. Por ejemplo, al seleccionarse la opción 8. Force..
Las opciones de un menú pueden listarse en la pantalla al usar las teclas ‚˜, por ejemplo, para las unidades @)ENRG (energía) se listan las siguientes opciones: Nota: Utilícense las teclas L ó „«para navegar a través de los diferentes menús. Unidades disponibles Lo que sigue es una lista de las unidades disponibles en el menú de las UNIDADES.
ozUK (Onza fluida BRITÁNICA), tbsp (cuchara de sopa), tsp (cucharilla), bbl (barril), bu (bushel), pk (peck), fbm (pie de tablero) TIEMPO yr (año), d (día), h (hora), min (minuto), s (segundo), Hz (hertz) VELOCIDAD m/s (metro por segundo), cm/s (centímetro por segundo), ft/s (pies por segundo), kph (kilómetro por hora), mph (milla por hora), knot (millas náuticas por hora), c (velocidad de la luz), ga (aceleración de la gravedad) MASA kg (kilogramo), g (gramo), Lb (libra del sistema de pesos americano), oz
CORRIENTE ELÉCTRICA (medidas eléctricas) V (voltio), A (amperio), C (coulombio), Ω (ohmio), F (faradio), W (vatio), Fdy (faraday), H (henry), mho (mho), S (siemens), T (tesla), Wb (weber ) ÁNGULO (medidas angulares planas y sólidas) o (grado sexagesimal), r (radián), grad (grado centesimal), arcmin (minuto del arco), arcs (segundo de arco), sr (esterradián) LUZ (medidas de la iluminación) fc (pie-bujía), flam (footlambert), lx (lux), ph (phot), sb (stilb), lm (lumem), cd (candela), lam (lambert) RADIACIÓN G
El convertir a las unidades básicas Para convertir cualesquiera de estas unidades a las unidades básicas en el sistema internacional (SI), utilice la función UBASE.
‚Û „« @)VISC @@@P@@ ` En modo RPN, bandera 1 ‚Û „« @)VISC @@@P@@ ‚Û )@TOOLS @UBASE Seleccionar el menú UNITS Seleccionar la opción VISCOSITY Seleccionar la unidad P (poise) Convertir las unidades del sistema 117 fijada a SOFT menus: Introducir 1 (sin subrayado) Seleccionar el menú UNITS Seleccionar la opción VISCOSITY Seleccionar la unidad P (poise) Seleccionar el menú UNITS Seleccionar el menú TOOLS Seleccionar la función UBASE Agregando unidades a los números reales Para adjuntar unidades a un número, e
Para escribir esta misma cantidad, con la calculadora en Modo RPN, utilícense las teclas siguientes: 5 Escribir el número (sin subrayado) ‚Û Acceder al menú UNITS 8@@OK@@ Seleccionar unidades de fuerza (8. Force..) @@OK@@ Seleccionar Newtons (N) Nótese que la línea subrayada se escribe automáticamente al usarse el modo RPN .
Prefijos de unidades Uno puede escribir prefijos para las unidades de acuerdo con la siguiente tabla de prefijos del Sistema Internacional (S.I.).
esas cantidades con unidades no puedan utilizarse como argumentos de funciones (digamos, SQ o SIN). Así, procurando calcular LN(10_m) producirá un mensaje de error: Error: Bad Argument Type. A continuación se presentan algunos ejemplos de cálculos con unidades en el modo ALG. Téngase en cuenta que, cuando se multiplican o dividen cantidades con unidades, uno debe encerrar esas cantidades entre paréntesis. Por lo tanto, para escribir, por ejemplo, el producto 12m × 1.5 yd, úsese (12_m)*(1.
5_m + 3200_mm `. Expresiones más complicadas requieren el uso de paréntesis, por ejemplo, (12_mm)*(1_cm^2)/(2_s) `: Cálculos en la pantalla (stack) en modo RPN, no requieren que se encierren los términos entre paréntesis, por ejemplo, 12_m ` 1.
Nota: Las unidades no se permiten en las expresiones escritas en el escritor de ecuaciones.
Ejemplos de UFACT UFACT(1_ha,18_km^2) ` UFACT(1_mm,15.1_cm) ` Ejemplos de UNIT UNIT(25,1_m) ` UNIT(11.3,1_mph) ` Constantes físicas en la calculadora Continuando con referencias a unidades, discutimos a continuación el uso de las constantes físicas que están disponibles en la memoria de la calculadora. Estas constantes se localizan en una biblioteca de constantes (constants library) que se activa con la función CONLIB.
direccionales verticales (—˜) para navegar a través de la lista de constantes en la calculadora.
La pantalla de la biblioteca de constantes (CONSTANTS LIBRARY) aparece como se muestra a continuación si se ha seleccionado la opción VALUE (unidades en el sistema SI): Para ver los valores de las constantes en el sistema inglés (o sistema imperial), presiónese la opción @ENGL : Si se remueve la opción UNITS opción (presiónese @UNITS ) se muestran solamente los valores de las constantes (en este caso, en unidades inglesas): Para copiar el valor de Vm a la pantalla, selecciónese el nombre de la constante
Esta misma operación en Modo RPN requiere las siguientes teclas (después de extraer el valor de Vm de la biblioteca de constantes): 2`*‚ ¹ Funciones físicas especiales El menú 117, accionado usando MENU(117) en modo de ALG, ó 117 ` MENU en modo RPN, produce el menú siguiente (etiquetas enumeradas en la pantalla usando ‚˜): Las funciones incluyen: ZFACTOR: función del factor de la compresibilidad Z del gas FANNING: factor de fricción FANNING para el flujo fluido DARCY: Factor de fricción Darcy-Weisbach par
De todas las funciones disponibles en este MENÚ (menú UTILITY), a saber, ZFACTOR, FANNING, DARCY, F0λ, SIDENS, TDELTA, y TINC, las funciones FANNING y DARCY se describen en el capítulo 6 en el contexto de solucionar las ecuaciones para el flujo de tuberías. Las funciones restantes se describen a continuación. Función ZFACTOR La función ZFACTOR calcula el factor de la corrección de la compresibilidad del gas para el comportamiento no-ideal de hidrocarburos gaseosos.
Función TDELTA La función TDELTA(T0,Tf) rinde el incremento de la temperatura Tf – T0. El resultado se produce con las mismas unidades que T0, si existen. Si no, produce simplemente la diferencia en números. Por ejemplo, El propósito de esta función es facilitar el cálculo de las diferencias de la temperatura dadas temperaturas en diversas unidades. Si no, se calcula simplemente una substracción, por ejemplo, Función TINC La función TINC(T0,∆T) calcula T0+DT.
para esa evaluación. En el siguiente ejemplo, asumimos que la calculadora opera en modo ALG. Escríbase la siguiente secuencia de teclas: „à³~h„Ü~„x™‚Å ‚¹~„x+1™+„¸~„x` La pantalla lucirá como se muestra a continuación: Presiónese la tecla J, nótese la existencia de una nueva variable en las teces de menú (@@@H@@). Para examinar el contenido de esta variable presiónese ‚@@@H@@.
Para activar esta función en modo ALG, escríbase el nombre de la función seguida por los argumentos entre paréntesis, por ejemplo, @@@H@@@ „Ü2`. He aquí algunos ejemplos: Para activar la función en modo RPN, escríbase primero el argumento, seguido de la tecla de menú con el nombre de la función, @@@H@@@ . Por ejemplo, ejecútese esta operación: 2`@@@H@@@ . Los otros ejemplos mostrados anteriormente pueden escribirse en modo RPN utilizando: 1.2`@@@H@@@ , 2/3`@@@H@@@ .
Si la condición es verdadera entonces operación_si_verdadera se realiza, sino se realiza la opción operación_si_falsa . Por ejemplo, podemos escribir ‘f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’, para describir la función mostrada anteriormente. La función IFTE es accesible a través del catálogo de la función (‚N). El símbolo ‘>’ (mayor que) está disponible asociado a la tecla Y. Para definir esta función en modo ALG utilice la instrucción: DEF(f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)) y presione `.
Capítulo 4 Cálculos con números complejos Este Capítulo muestras ejemplos de cálculos y aplicación de funciones a números complejos. Definiciones Un número complejo z se define como z = x + iy, (representación Cartesiana) en la cual x y y son números reales, y la i es la unidad imaginaria definida por i2 = -1. El número z posee una parte real, x = Re(z), y una parte imaginaria, y = Im(z).
Presione @@OK@@ , dos veces, para recobrar la pantalla normal de la calculadora. Escritura de números complejos Los números complejos en la calculadora pueden escribirse en una de dos representaciones Cartesianas: x+iy, o (x,y). Los resultados complejos en la calculadora se muestran el formato de par ordenado, es decir, (x,y). Por ejemplo, con la calculadora in modo ALG, el número complejo (3.5,-1.2), se escribe con las siguientes teclas: „Ü3.5‚í\1.
Una vez que se evalúe la expresión algebraica, usted recupera el número complejo (3.5,1.2). Representación polar de un número complejo La representación polar del número complejo 3.5-1.2i, que se utilizó anteriormente, se obtiene al cambiar el sistema de coordenadas de Cartesianas (o rectangulares) a cilíndricas (o polares) usando la función CYLIN. Esta función se puede obtener a través del catálogo de funciones (‚N). Presiónese la tecla µ antes o después de usar la función CYLIN.
Ahora bien, si el sistema de coordenadas activo es el de coordenadas cilíndricas (utilícese la función CYLIN para activarlo), al escribirse un número complejo (x,y), en el cual x y y son números reales, se producirá una representación polar. Por ejemplo, en coordenadas cilíndricas, escríbase el número (3.,2.).
x − iy x 1 1 y = 2 +i⋅ 2 = ⋅ 2 x + iy x + iy x − iy x + y x + y2 Cambio de signo de un número complejo Cambiar el signo de un número complejo puede lograrse usando la tecla \, por ejemplo, -(5-3i) = -5 + 3i Escritura de la unidad imaginaria Para la unidad imaginaria use: „¥ Notar que el número i se escribe como el par ordenado (0,1) si el CAS se fija al modo Aproximado. En modo EXACTO, se escribe la unidad imaginaria como i.
El primer menú (opciones 1 a 6) demuestra las funciones siguientes: RE(z) : Parte real de un número complejo IM(z) : Parte imaginaria de un número complejo C→R(z) : Separa un número complejo (x,y) en sus partes real e imaginaria R→C(x,y): Forma el número complejo (x,y) dadas las partes real e imaginaria ABS(z) : Calcula la magnitud de un número complejo o del valor absoluto de un número real. ARG(z): Calcula el argumento de un número complejo.
La pantalla siguiente demuestra las funciones R C, ABS, y ARG. Nótese que la función ABS se traduce a |3.+5. i|, la notación del valor absoluto. También, el resultado de la función ARG, que representa un ángulo, será dado en las unidades de la medida del ángulo seleccionadas actualmente. En este ejemplo, ARG(3.+5. i) = 1.0303… se da en radianes. En la pantalla siguiente presentamos ejemplos de las funciones SIGN, NEG (que se muestra como un signo negativo - ), y CONJ.
El menú que resulta incluye algunas de las funciones presentadas ya en la sección anterior, a saber, ARG, ABS, CONJ, IM, NEG, RE, y SIGN. También incluye la función i cuál responde al mismo propósito que la combinación „¥, es decir, escribir la unidad imaginaria i en una expresión. El menú de teclado CMPLX es una alternativa al menú CMPLX de MTH que contiene las funciones básicas de los números complejos. Ejecute los ejemplos demostrados anteriormente usando el menú de teclado CMPLX para practicar su uso.
Funciones del menú de MTH Las funciones hiperbólicas y sus lo contrario, así como las funciones Gamma, PSI, y Psi (funciones especiales) fueron presentadas y aplicadas a los números reales en el capítulo 3. Estas funciones se pueden también aplicar a los números complejos siguiendo los procedimientos presentados en el capítulo 3. Algunos ejemplos se demuestran a continuación: Las pantallas siguientes muestran que las funciones EXPM y LNP1 no se aplican a los números complejos.
Capítulo 5 Operaciones algebraicas y aritméticas Un objeto algebraico es cualquier número, nombre de variable, o expresión algebraica sobre el que se pueden efectuar operaciones, que puede manipularse, o combinarse de acuerdo a las reglas del álgebra. Algunos ejemplos de objetos algebraicos se presentan a continuación: • • • • Un número: 12.3, 15.2_m, ‘π’, ‘e’, ‘i’ Un nombre de variable: ‘a’, ‘ux’, ‘ancho’, etc.
Operaciones elementales con objetos algebraicos Los objetos algebraicos pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse (excepto por cero), elevarse a una potencia, usarse como argumentos de funciones (por ejemplo, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas, etc.), como se haría con cualquier número real o complejo.
@@A1@@ + @@A2@@ ` @@A1@@ - @@A2@@ ` @@A1@@ * @@A2@@ ` @@A1@@ / @@A2@@ ` ‚¹@@A1@@ „¸@@A2@@ Los mismos resultados se obtienen en modo RPN si se utilizan las instrucciones siguientes: @@A1@@ ` @@A2@@ + @@A1@@ `@@A2@@ @@A1@@ ` @@A2@@ * @@A1@@ `@@A2@@ / @@A1@@ ` ‚¹ @@A2@@ `„¸ Funciones en el menú ALG El menú ALG (Algebraico) se activa utilizando las teclas ‚× (asociado con la tecla 4).
Utilícese la función informativa (HELP) de la calculadora para ver la explicación de las diferentes funciones del menú ALG. Para activar la función informativa (HELP) utilícense las siguientes teclas: I L @)HELP@ ` . Para localizar una función particular en la función informativa, escríbase la primera letra del nombre de la función.
Se invita al usuario a explorar las diferentes funciones en el menú ALG (o ALGB) utilizando la función informativa (HELP).
SOLVE: SUBST: TEXPAND: Nota: Recuérdese que para utilizar estas, y otras, funciones en el modo RPN, debe escribirse primero el argumento de la función y después activarse la misma. Por ejemplo, para el caso de la función TEXPAND, mostrado anteriormente, utilícese: ³„¸+~x+~y` A continuación, actívese la función TEXPAND en el menú ALG (o, directamente, en el catálogo de funciones ‚N), para completar la operación.
En modo RPN, esto se logra incorporando primero la expresión donde la substitución será realizada (x+x2), seguido por una lista (véase el capítulo 8) conteniendo la variable de la substitución, un espacio, y el valor que se substituirá, es decir, {x 2}. El paso final es presionar la combinación del golpe de teclado: ‚¦.
La expresión última se evalúa automáticamente después de presionar `, produciendo el resultado demostrado arriba. Operaciones con funciones transcendentales La calculadora ofrece un número de funciones que se puedan utilizar para sustituir funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, e hiperbólicas en expresiones en términos de identidades trigonométricas o en términos de funciones exponenciales.
siguiente a la izquierda, mientras que el ejemplo correspondiente se muestra en la figura siguiente a la derecha: Expansión y factorización utilizando funciones trigonométricas El menú TRIG, que se obtiene utilizando ‚Ñ, muestra las siguientes funciones: Estas funciones permiten la simplificación de expresiones al reemplazar ciertas categorías de funciones trigonométricas por otras categorías.
Funciones en el menú ARITHMETIC El menú ARITHMETIC contiene un número de sub-menús para aplicaciones específicas en la teoría de los números (números enteros, polinomios, etc.), así como un número de funciones que se aplican a las operaciones aritméticas generales. El menú ARITHMETIC se activa utilizando „Þ (asociada con la tecla 1).
LGCD (Máximo Común Divisor): PROPFRAC (fracción propia) SIMP2 (simplificar 2 factores) Las funciones asociadas con los sub-menús del menú ARITHMETIC: INTEGER, POLYNOMIAL, MODULO, y PERMUTATION, son las siguientes: Menú INTEGER EULER Número de enteros < n, co - primos con n IABCUV Resuelve au + bv = c, con a,b,c = enteros IBERNOULLI n Número de Bernoulli ICHINREM Residuo chino para los enteros IDIV2 División euclidiana de dos números enteros IEGCD Produce u,v, tales que au + bv = mcd(a,b) IQUOT Cociente
EGDC Produce u,v, a partir de au+bv=mcd(a,b) FACTOR Factoriza un número entero o un polinomio FCOEF Genera raíces y multiplicidad dada una fracción FROOTS Produce raíces y multiplicidad dada una fracción GCD El máximo común divisor de 2 números o polinomios HERMITE Polinomio de Hermite de orden n HORNER Evaluación de Horner de un polinomio LAGRANGE Interpolación del polinomio de Lagrange LCM Mínimo común múltiplo de 2 números o polinomios LEGENDRE Polinomio de Legendre de orden n PARTFRAC descomposición de
Aplicaciones del menú ARITHMETIC En esta sección se presentan los conceptos necesarios para la aplicación de las funciones del menú ARITHMETIC. Las definiciones con respecto a los temas de polinomios, de fracciones polinómicas y de la aritmética modular se presentan posteriormente.
La regla para la substracción será tal que si j – k < 0, entonces j-k se define como j-k+n. Por lo tanto, 8-10 ≡ 2 (mod 12), se interpreta como “ocho menos diez es congruentes a dos, módulo doce.” Otros ejemplos de la substracción en aritmética del módulo 12 serían 10-5 ≡ 5 (mod 12); 6-9 ≡ 9 (mod 12); 5 – 8 ≡ 9 (mod 12); 5 –10 ≡ 7 (mod 12); etcétera. La multiplicación sigue la regla que si j⋅k > n, de modo que j⋅k = m⋅n + r, donde m y r son enteros no negativos, ambos menos que n, entonces j⋅k ≡ r (mod n).
entonces a+c ≡ b+d (mod n), a-c ≡ b - d (mod n), a×c ≡ b×d (mod n). Para la división, seguir las reglas presentadas anteriormente. Por ejemplo, 17 ≡ 5 (mod 6), y 21 ≡ 3 (mod 6).
POWMOD, y SUBTMOD. Breve descripciones de estas funciones fueron proveídas en una sección anterior. Presentamos a continuación algunas aplicaciones de estas funciones. Fijando el módulo (o MODULO) La calculadora contiene una variable llamada MODULO que se ubica en el directorio {HOME CASDIR} y que almacenará la magnitud del módulo que se utilizará en aritmética modular. El valore pre-determinado de la variable MODULO es 13.
Ejemplos de DIVMOD 12/3 ≡ 4 (mod 12) 25/5 ≡ 5 (mod 12) 66/6 ≡ -1 (mod 12) 12/8 (mod 12) no existe 64/13 ≡ 4 (mod 12) Ejemplos de DIV2MOD 2/3 (mod 12) no existe 26/12 (mod 12) no existe 125/17 (mod 12) ≡ 1 con residuo = 0 68/7 ≡ -4 (mod 12) con residuo = 0 7/5 ≡ -1 (mod 12) con residuo = 0 Nota: DIVMOD proporciona el cociente de la división modular j/k (mod n), mientras que DIMV2MOD proporciona no solamente el cociente sino también el residuo de la división modular j/k (mod n).
usar la función INVMOD en el sub-menú MODULO del menú ARITHMETIC. Por ejemplo, en aritmética del módulo 12: 1/6 (mod 12) no existe. 1/7 ≡ -5 (mod 12) 1/11 ≡ -1 (mod 12) 1/5 ≡ 5 (mod 12) 1/3 (mod 12) no existe El operador MOD Utilice el operador MOD para obtener el número del anillo de un módulo dado que corresponde a un número entero. En el papel se escribe esta operación como m mod n = p, y se interpreta como “m modulo n es igual a p”.
ejemplo, ‘X^3+2*X^2-3*X+2’ es un polinomio del tercer orden (cúbico) de la variable X, mientras que ‘SIN(X)^2-2’ es un polinomio de segundo orden (cuadrático) de la función SIN(X). Un listado de funciones de polinomios en el menú ARITHMETIC fue presentada anteriormente. Algunas definiciones generales sobre polinomios se proporcionan a continuación. En estas definiciones A(X), B(X), C(X), P(X), Q(X), U(X), V(X), etc., son polinomios.
el teorema chino del residuo . Este comando se puede utilizar con polinomios, así como con números enteros (la función ICHINREM). La entrada consiste en dos vectores [expresión_1, modulo_1] y [expresión_2, modulo_2]. La salida es el vector [expression_3, modulo_3], en el cual modulo_3 se relaciona con el producto (modulo_1)⋅(modulo_2).
La función HERMITE La función HERMITE [ HERMI ] usa como argumento un número entero, k, y produce el polinomio de Hermite de grado k. Un polinomio de Hermite, Hek(x) se define como He0 = 1, Hen ( x) = (−1) n e x 2 /2 d n −x2 / 2 (e ), n = 1,2,... dx n Una definición alterna de los polinomios de Hermite es d n −x2 (e ), n = 1,2,... H 0 * = 1, H n * ( x) = (−1) e dx n n x2 en las cuales dn/dxn = n derivada con respecto a x. Ésta es la definición usada en la calculadora.
sobre las variables del CAS véase el Apéndice C en la Guía del Usuario de la calculadora. La función LAGRANGE La función LAGRANGE requiere como argumento una matriz que tiene dos filas y n columnas. La matriz almacena datos de la forma [[x1,x2, …, xn] [y1, y2, …, yn]]. La aplicación de la función LAGRANGE produce el polinomio n n pn −1 ( x) = ∑ j =1 ∏(x − x ) k k =1, k ≠ j n ∏(x k =1, k ≠ j j − xk ) ⋅ y j.
La función LEGENDRE Un polinomio de Legendre de la orden n es una función polinómica que soluciona la ecuación diferencial (1 − x 2 ) ⋅ d2y dy − 2 ⋅ x ⋅ + n ⋅ (n + 1) ⋅ y = 0 2 dx dx Para obtener el polinomio de Legendre de orden n, por ejemplo, LEGENDRE(3) = ‘(5*X^3-3*X)/2’ LEGENDRE(5) = ‘(63*X ^5-70*X^3+15*X)/8’ La función PCOEF Dado un vector que contiene las raíces de un polinomio, la función PCOEF genera un vector que contiene los coeficientes del polinomio correspondiente.
Verifiquemos esta aserción al sustituir: ‘X = x – 2’. Recuperamos el polinomio original, pero en términos de x minúscula más bien que de x mayúscula. Las funciones QUOTIENT y REMAINDER Las funciones QUOTIENT (cociente) y REMAINDER (residuo) proveen, respectivamente, el cociente Q(X) y el residuo R(X), que resulta de la división de dos polinomios, P1(X) y P2(X). Es decir, estas funciones proveen los valores de Q(X) y R(X) en la expresión P1(X)/P2(X) = Q(X) + R(X)/P2(X).
un arreglo de coeficientes [an, an-1, … a2, a1, a0] y un valor de x0. El resultado es la evaluación p(x0). La función PEVAL no está disponible en el menú ARITHMETIC, debe activarse desde el catálogo de funciones (‚N). Ejemplo: PEVAL([1,5,6,1],5) = 281. La función TCHEBYCHEFF La función TCHEBYCHEFF(n) genera el polinomio de Tchebycheff (o Chebyshev) de primera clase, orden n, definido como Tn(X) = cos(n⋅arccos(X)).
SIMP2(‘X^3-1’,’X^2-4*X+3’) = { ‘X^2+X+1’,‘X-3’}. La función PROPFRAC El función PROPFRAC convierte una función racional en una función “propia”, es decir, una parte entera sumada a una parte fraccional, si tal descomposición es posible. Por ejemplo: PROPFRAC(‘5/4’) = ‘1+1/4’ PROPFRAC(‘(x^2+1)/x^2’) = ‘1+1/x^2’ La función PARTFRAC La función PARTFRAC descompone una fracción racional en fracciones parciales que, al sumarse, producen la fracción original.
representada como un número negativo.
se muestra en detalle en el Apéndice C la Guía del Usuario de la calculadora. El siguiente ejemplo muestra otra división sintética, paso a paso. Presiónese ` para ejecutar los pasos consecutivos. X 9 −1 X 2 −1 El menú CONVERT y las operaciones algebraicas El menú CONVERT se activa al utilizar „Ú (tecla 6 ). Este menú resume todos los menús de la conversión en la calculadora.
Las funciones disponibles en cada uno de los sub-menus se demuestran después. Menú de conversión de unidades (UNITS - Opción 1) Este menú es igual que el menú UNITS obtenido usando ‚Û. Los usos de este menú se discuten detalladamente en el capítulo 3. Menú de conversión de bases (BASE - Opción 2) Este menú es igual que el menú BASE obtenido usando ‚ã. Los usos de este menú se discuten detalladamente en el capítulo 19.
Las funciones I R y R I se utilizan para convertir un número entero (I) a número real (R), o viceversa. Los números enteros se muestran sin puntos decimales, mientras que los números reales que representan números enteros muestran puntos decimales, por ejemplo, La función NUM tiene el mismo efecto que la combinación de teclas ‚ï (asociado a la tecla `). La función NUM convierte un resultado simbólico a su valor numérico. La función Q convierte un valor numérico en una fracción.
DISTRIB EXPLN EXP2POW FDISTRIB LIN LNCOLLECT POWEREXPAND SIMPLIFY Página 5-31
Capítulo 6 Solución de ecuaciones únicas En este capítulo se presentan funciones que la calculadora provee para solucionar las ecuaciones de la forma f(X) = 0. Asociados con la tecla 7 existen dos menús de funciones para la solución de ecuaciones, el Symbolic SOLVer („Î), o soluciones simbólicas, y el NUMerical SoLVer (‚Ï), o soluciones numéricas. A continuación se presentan algunas de las funciones disponibles en estos menús. Cambie el modo del CAS a complejo para estos ejercicios (véase el capítulo 2).
La función ISOL La función ISOL(Ecuación, variable) produce la solución(es) de la Ecuación al despejar la variable. Por ejemplo, con la calculadora en modo ALG, para despejar t en la ecuación at3-bt = 0 utilícese: Cuando la calculador usa el modo RPN, la solución se obtiene escribiendo primero la ecuación en la pantalla (stack), seguida por la variable, antes de activarse la función ISOL.
La función SOLVE La función SOLVE tiene la misma sintaxis que la función ISOL, excepto que SOLVE puede utilizarse para resolver un sistema de ecuaciones polinómicas La función informativa de la calculadora (función HELP, que se activa utilizando IL@HELP ) muestra la siguiente referencia para la función SOLVE, incluyendo la solución de la ecuación X^4 – 1 = 3: Los siguientes ejemplos muestran el uso de la función SOLVE en modo ALG: La figura anterior muestra dos soluciones.
Use la tecla ˜ en este modo para activar el editor de línea: La función SOLVEVX La función SOLVEVX se utiliza para resolver una ecuación cuando la incógnita es la variable CAS contenida en el registro VX. El valor predefinido de VX es el símbolo ‘X’. Algunos ejemplos, en el modo ALG y con la variable VX = ‘X’, se muestran a continuación: En el primer caso, SOLVEVX no pudo encontrar una solución. En el segundo caso, SOLVEVX encontró una solución única, X = 2.
La función ZEROS La función ZEROS se utiliza para encontrar las raíces (o ceros) de una ecuación polinómica, sin mostrar la multiplicidad de las mismas. La función ZEROS requiere como argumentos una ecuación o expresión y la variable a despejarse. Ejemplos en modo ALG se muestran a continuación: Para utilizar la función ZEROS en modo RPN, escríbase primero la expresión o ecuación polinómica, seguida de la variable a ser despejada. Después de esto, se deberá activar la función ZEROS.
Menú de soluciones numéricas La calculadora provee un ambiente para la solución numérica de ecuaciones algebraicas o trascendentes. Para activar este ambiente, actívese primero el menú de soluciones numéricas (NUM.SLV) utilizando ‚Ï. Esta acción produce una lista de opciones incluyendo: Ítem 2. Solve diff eq.. será discutido en un capítulo posterior sobre ecuaciones diferenciales Ítem 4. Solve lin sys.. será discutido en un capítulo posterior sobre matrices. Ítem 6.
(3) Obtener una expresión algebraica para un polinomio como función de la variable CAS, usualmente ‘X’. Solución(es) de una ecuación polinómica Una ecuación polinómica es una ecuación de la forma: anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 = 0. El teorema fundamental de la álgebra indica que hay n soluciones en cualquier ecuación polinómica de orden n. Algunas de las soluciones podían ser números complejos, sin embargo. Por ejemplo, resuélvase la ecuación: 3s4 + 2s3 - s + 1 = 0.
Nota: Recuerde que los números complejos en la calculadora están representados como pares ordenados, con el primer número en el par siendo la parte real, y el segundo número, la parte imaginaria. Por ejemplo, el número (0.432,-0.389), un número complejo, será escrito normalmente como 0.432 - 0.389i, donde i es la unidad imaginaria, es decir, i2 = -1. Nota: El teorema fundamental de la álgebra indica que hay n soluciones para cualquier ecuación polinómica de orden n.
Nota: Si usted desea crear un polinomio con coeficientes verdaderos, pero con raíces complejas, usted debe incluir las raíces complejas en pares de conjugados complejos. Para ilustrar el punto, genere un polinomio que tiene las raíces [1 (1,2) (1,-2)]. Verificar que el polinomio que resulta tenga solamente coeficientes verdaderos. También, genere un polinomio con las raíces [1 (1,2) (-1,2)], y verifique que el polinomio que resulta tiene coeficientes complejos.
La expresión generada se muestra en la pantalla como: '(X-1)*(X-3)*(X+2)*(X1)'. Para ejecutar las multiplicaciones en esta expresión, utilícese la función EXPAND. La expresión que resulta es: 'X^4+-3*X^3+ -3*X^2+11*X-6'. Una técnica diferente para obtener la expresión para el polinomio es generar los coeficientes primero, y después generar la expresión algebraica con los coeficientes obtenidos.
compensar el dinero del préstamo. Los valores típicos de P/YR son 12 (un pago por mes), 24 (pago dos veces al mes), o 52 (pagos semanales). El pago (inglés, payment, PMT) es la cantidad que el prestatario debe pagar al prestamista al principio o al final de cada uno de los n períodos del préstamo. El valor futuro del dinero (inglés, Future Value, FV) es el valor que la cantidad prestada de dinero valdrá al final de los n períodos.
comienza pagar, es decir, agregando -US $ 39132.30 en los períodos t = 1, 2, …, 60. Al alcanzar t = 60, el valor neto en las manos del prestatario es cero. Ahora, si usted toma el valor los $ 39.132.30 y lo multiplica por los 60 pagos, el total pagado por el prestatario es $ 2.347.937.79. Así, el prestamista obtiene un beneficio neto de $ 347.937.79 en los 5 años que su dinero está utilizado para financiar el proyecto del prestatario.
Esto significa que al final de 60 meses se han pagado $ 2.000.000.00 se ha pagado de principal, junto con $ 347.937.79 de interés, con el balance siendo que el prestamista debe el prestatario $ 0.000316. Por supuesto, el balance debe ser cero. El valor mostrado en la pantalla arriba es simplemente un error que resulta de la solución numérica. Presione $ o `, dos veces, volver a la pantalla normal de la calculadora.
2. Los valores calculados en el ambiente financiero de la calculadora se copian a la pantalla con su etiqueta correspondiente. Borrando las variables Cuando usted utiliza el ambiente financiero de la calculadora por la primera vez dentro el directorio HOME, o cualquier sub-directorio, generará las variables @@@N@@ @I©YR@ @@PV@@ @@PMT@@ @@PYR@@ @@FV@@ para almacenar los términos correspondientes en los cálculos.
J „ä @@@n@@ @I©YR@ @@PV@@ @@PMT@@ @@PYR@@ @@FV@@ ` I@PURGE Elaborar una lista de variables a remover Escriba nombre de la variable N Escriba nombre de la variable I%YR Escriba nombre de la variable PV Escriba nombre de la variable PMT Escriba nombre de la variable PYR Escriba nombre de la variable FV Escriba lista de variables en la pantalla Elimine las variables en la lista Antes de ejecutar la instrucción PURGE, la pantalla de RPN lucirá así: Solución de ecuaciones con una sola incógnita con el NUM.
Presiónese J para ver la variable EQ que se acaba de crear: A continuación, actívese el ambiente SOLVE y selecciónese la opción Solve equation…, utilizando: ‚Ï@@OK@@. La pantalla mostrará lo siguiente: La ecuación almacenada en la variable EQ se muestra en la opción Eq de la forma interactiva denominada SOLVE EQUATION. Así mismo, se provee una opción denominada x, que representa la incógnita a resolverse.
• • • • Crea una forma interactiva con localidades correspondientes a todas las variables incluidas en la ecuación almacenada en la variable EQ. El usuario necesita incorporar los valores para todas las variables incluidas, excepto una.
Suponer que se dan los datos siguientes: σxx= 2500 psi, σyy =1200 psi, y σzz = 500 psi, E = 1200000 psi, n = 0.15, α = 0.00001/oF, ∆T = 60 oF. Para calcular la deformación exx use lo siguiente: ‚Ï@@OK@@ ‚O Activa soluciones numéricas Activa el escritor de ecuaciones A este punto siga las instrucciones del capítulo 2 en cómo utilizar el Escritor de ecuaciones para construir una ecuación.
La solución se puede resolver dentro de la forma interactiva SOLVE EQUATION al presionar @EDIT mientras que la localidad ex: esté seleccionada. El valor que resulta es 2.470833333333E-3. Presione @@OK@@ para cerrar el editor. Suponer que usted desea determinar el módulo de Young el cual producirá una deformación exx = 0.005 bajo el mismo estado de esfuerzos, despreciando la extensión termal. En este caso, usted debe escribir un valor de 0.
E = y+ V2 . 2g La velocidad del flujo se escribe como V = Q/A, donde Q = caudal, A = área de la sección transversal. El área depende de la sección transversal utilizada, por ejemplo, para una sección transversal trapezoidal, como se muestra en la figura inferior, A = (b+m⋅y) ⋅y, donde b = ancho del fondo, y m = pendiente lateral de la sección transversal.
• Use los datos de entrada siguientes: E = 10 ft, Q = 10 cfs (pies cúbicos por segundo), b = 2.5 ft, m = 1.0, g = 32.2 ft/s2: • Calcule y. • El resultado es 0.149836.., es decir, y = 0.149836. Se sabe, sin embargo, que hay realmente dos soluciones disponibles para y en la ecuación de la energía específica.
En el ejemplo siguiente utilizaremos la función DARCY para encontrar factores de fricción en tuberías. Así, definimos la función en la sección siguiente. Función especial para el flujo de tuberías: DARCY (ε/D,Re) La ecuación de Darcy-Weisbach se utiliza para calcular la pérdida de energía (por unidad de peso), hf, en un flujo a través de una tubería de diámetro D, rugosidad absoluta ε, y longitud L, cuando la velocidad del flujo en la tubería es V. Se escribe la ecuación como h f = f ⋅ L V2 ⋅ .
La función FANNING(ε/D,Re) En usos de la aerodinámica se utiliza un diverso factor de fricción, el factor de fricción de Fanning. El factor de fricción de Fanning, fF, se define como 4 veces el factor de fricción de Darcy-Weisbach, f. La calculadora también proporciona una función llamada FANNING que usa los mismos argumentos que DARCY, esto es, ε/D y Re, y proporciona factor de fricción de FANNING. Verificar que FANNING(0.0001,1000000) = 0.0033603589181s.
En este caso almacenamos la ecuación principal (ecuación de DarcyWeisbach) en EQ, y después substituimos varias de sus variables por otras expresiones con la definición de las variables f, A, V, y Re. Para ver la ecuación combinada, use EVAL(EQ).
Sin embargo, usted debe agregar esas unidades al valor inicial en la solución. Así, en el ejemplo siguiente colocamos 0_m en la localidad D: antes de solucionar el problema. La solución se muestra en la pantalla a la derecha: Presione ` para volver a la pantalla normal de la calculadora. La solución para D será enumerada en la pantalla.
Activando las soluciones numéricas para esta ecuación da lugar a una forma interactiva que contiene para F, G, m1, m2, y r. Solucionemos este problema usando unidades con los valores siguientes para las variables conocidas m1 = 1.0×106 kg, m2 = 1.0×1012 kg, r = 1.0×1011 m. También, escriba un valor de 0_N en la localidad F para asegurar la solución apropiada usando unidades en la calculadora: Calcule F, y presione $ para volver a la pantalla normal de la calculadora. La solución es F : 6.
A este punto usted puede escribir una nueva ecuación presionando @EDIT. Se proporcionarán un par de apóstrofes de modo que usted pueda escribir la expresión entre ellos: Escriba una ecuación, digamos, X^2 - 125 = 0, directamente en la pantalla, y presione @@@OK@@@ . A este punto la ecuación es lista para la solución. Alternativamente, usted puede activar al escritor de la ecuación después de presionar @EDIT para escribir su ecuación. Presione ` para volver a la pantalla de soluciones numéricas.
Presione @@@OK@@@ después de seleccionar EQ1 para cargarla en la variable EQ en el ambiente de soluciones. La nueva ecuación es lista ser solucionado. El menú SOLVE El menú SOLVE permite el acceso a alguno de las funciones de soluciones numéricas a través de las teclas de menú. Para tener acceso a este menú use, en modo RPN: 74 MENU, o en modo ALG: MENU(74). Alternativamente, usted puede utilizar ‚(mantener) 7 para activar el menú SOLVE.
En modo ALG, usted utilizaría ROOT(‘TAN(θ)=θ’,’θ’,5) para activar la función ROOT: Variable EQ La tecla @@EQ@@ en este sub-menú se utiliza como referencia a la variable EQ. Presionar esta tecla del menú es equivalente a usar la función RCEQ (inglés, ReCall EQ, o ReCobrar EQ). El sub-menú SOLVR El sub-menú SOLVR activa la función de solución (solver) para la ecuación almacenada actualmente en EQ.
Ejemplo 2 - Resolver la ecuación Q = at2+bt Es posible almacenar en EQ una ecuación que implica más que una variable, digamos, ‘Q = at^2 + bt’. En este caso, después de activar el menú SOLVE, y presionar @)ROOT @)SOLVR, usted conseguirá la pantalla siguiente: Dentro de este ambiente de SOLVR usted puede proporcionar los valores para cualquiera de las variables enumeradas escribiendo el valor en la pantalla y presionando las teclas correspondientes del menú.
Digamos que escribimos los valores k = 2, s = 12. Entonces se calcula Y, y presionamos @EXPR=. Los resultados son, para Y: Entonces continuamos moviéndonos de la primera a la segunda ecuación, hacia adelante y hacia atrás, solucionando la primera ecuación para X y la segunda para Y, hasta que los valores de X y de Y convergen a una solución. Para moverse de ecuación a ecuación, use @NEXQ. Para calcular X y Y, use „[ X ], y „[ Y ], respectivamente.
• { 1.41_ft 1_cm 1_m } las unidades de metro (m) se utilizarán para esa variable. La expresión usada en la solución debe tener unidades consistentes, o resultará en un error al intentar la solución. El sub-menú DIFFE El sub-menú DIFFE provee un número de funciones para la solución numérica de ecuaciones diferenciales. Las funciones proveídas son las siguientes: Estas funciones se presentan detalladamente en el capítulo 16. El sub-menú POLY El sub-menú POLY realiza operaciones en polinomios.
+ a2x02 + a1x0 + a0. Ejemplo de Por, para los coeficientes [2, 3, -1, 2] y un valor de 2, PEVAL calcula el valor 28. El sub-menú SYS El sub-menú SYS contiene un listado de las funciones usadas para solucionar sistemas lineares. Las funciones enumeradas en este sub-menú son: Estas funciones se presentan detalladamente en el capítulo 11. El sub-menú TVM El sub-menú de TVM (inglés, Time Value of Money, o valor temporal del dinero) contiene las funciones para calcular el valor temporal del dinero.
Función TVMROOT Esta función requiere como argumentos el nombre de una de las variables en el problema de TVM. La función produce la solución para esa variable, dado que las otras variables existen y tienen valores que fueron almacenados previamente. Por ejemplo, después de resolver el problema anterior de TVM, podemos calcular ‘N’, como sigue: [ ‘ ] ~n` @TVMRO. El resultado es 10.
Capítulo 7 Solución de ecuaciones múltiples Muchos problemas en la ciencia y la ingeniería requieren las soluciones simultáneas de más de una ecuación. La calculadora proporciona varios procedimientos para solucionar ecuaciones múltiples según lo presentado abajo. Los sistemas de ecuaciones lineares no se presentan en este capítulo. Estos serán presentados detalladamente en el capítulo sobre matrices y álgebra linear.
A este punto, necesitamos solamente presionar K, dos veces, para almacenar estas variables. Para resolver el problema, primero cambiamos el modo del CAS a Exact, y después, listar el contenido de A2 y de A1, en ese orden: @@@A2@@@ @@@A1@@@ . Use la instrucción SOLVE (en el menú S.SLV: „Î).
A cualquier distancia radial r del eje del cilindro el esfuerzo normal en las direcciones radial y transversal, σrr y σθθ, respectivamente, se escriben: σ θθ = a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po ) , + b2 − a 2 r 2 ⋅ (b 2 − a 2 ) a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po ) σ rr = − . b2 − a 2 r 2 ⋅ (b 2 −a 2 ) Note que los lados derechos de las dos ecuaciones difieren solamente en el signo entre los dos términos.
Ahora, suponga que deseamos calcular Pi y Po, dados a, b, r, σrr, y σθθ. Escribimos un vector con las incógnitas: Para calcular Pi y Po, use la función SOLVE en el menú S.SLV („Î), puede tomar a la calculadora un minuto para producir el resultado: {[‘Pi=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*a^2)/(2*a^2))’ ‘Po=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*b^2)/(2*b^2))’ ] }, i.e., Note que el resultado incluye un vector [ ] contenido dentro de una lista { }. Para quitar el símbolo de la lista, use µ.
Solución a las ecuaciones simultáneas con MSLV La función MSLV está disponible como la última opción en el menú ‚Ï: La función informativa de la calculadora (IL@HELP ) muestra la siguiente referencia para la función MSLV: Ejemplo 1 - Ejemplo dado por la función informativa del CAS La función informativa del CAS presenta un ejemplo de la función MSLV según se mostró anteriormente. Obsérvese que la función MSLV requiere tres argumentos: 1. Un vector que contiene las ecuaciones, Vg.
Al activar la función MSLV se producen los siguientes resultados: Se habrá observado que, mientras se produce la solución, la pantalla muestra información intermedia relacionada a la solución en la esquina superior izquierda. Como la solución proveída por la función MSLV es numérica, la información en la esquina superior izquierda muestra los resultados del proceso iterativo utilizado en la solución del sistema de ecuaciones. La solución producida por MSLV para este caso es X = 1.8238, Y = -0.9681.
Típicamente, uno tiene que resolver las ecuaciones de la energía y de Manning simultáneamente para y y Q. Una vez que estas ecuaciones se escriban en términos de las variables primitivas b, m, y, g, So, n, Cu, Q, y Ho, tendremos un sistema de ecuaciones de la forma f1(y,Q) = 0, f2(y,Q) = 0. Podemos construir estas dos ecuaciones como sigue. Asumimos que utilizaremos los modos ALG y Exact en la calculadora, aunque el definir las ecuaciones y solucionarlas con MSLV es muy similar en el modo RPN.
Podemos ver que estas ecuaciones están dadas de hecho en términos de las variables primitivas b, m, y, g, So, n, Cu, Q, y Ho. Para calcular y y Q necesitamos dar valores a las otras variables. Suponga que utilizamos H0 = 5 ft, b = 1.5 ft, m = 1, n = 0.012, S0 = 0.00001, g = 32.2, y Cu = 1.486. Antes de poder utilizar MSLV para la solución, necesitamos incorporar estos valores en las variables correspondientes. Esto puede lograrse como sigue: Ahora, somos listos solucionar la ecuación.
Después, escribimos la variable EQS: LL@@EQS@ , seguido del vector [y,Q]: ‚í„Ô~„y‚í~q™ y de la conjetura ‚í„Ô5‚í 10. Antes de presionar `, la pantalla resultante es la siguiente: Presione ` para resolver el sistema de ecuaciones. Si la medida angular no está fija a radianes, la calculadora puede solicitar cambio a esa medida angular, como sigue: Presione @@OK@@ y permita que la solución proceda.
El resultado es una lista de tres vectores. El primer vector en la lista será las ecuaciones resueltas. El segundo vector es la lista de incógnitas. El tercer vector representa la solución. Para poder ver estos vectores, presione la tecla ˜ que activa el editor de línea. La solución será mostrada como sigue: La solución sugerida es [4.9936.., 20.661…]. Esto significa, y = 4.99 ft, y Q = 20.661… ft3/s. Usted puede utilizar las teclas (š™—˜) para ver la solución detalladamente.
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre 180o, es decir, α + β + γ = 180o. La ley de los senos indica que: sin α sin β sin γ . = = a b c La ley de los cosenos indica que: a2 = b2 + c2 – 2⋅b⋅c⋅cos α, b2 = a2 + c2 – 2⋅a⋅c⋅cos β, c2 = a2 + b2 – 2⋅a⋅b⋅cos γ. Para resolver cualquier triángulo, usted necesita conocer por lo menos tres de las seis variables siguientes: a, b, c, α, β, γ.
Primero, cree un sub-directorio dentro del directorio HOME que llamaremos TRIANG, y active ese directorio. Vea el capítulo 2 para las instrucciones en cómo crear un nuevo sub-directorio. Escribir la lista de ecuaciones Dentro del sub-directorio TRIANG, escriba la lista siguiente de ecuaciones directamente en la pantalla o usando el escritor de ecuaciones. (Recuerde que ~‚a produce el caracter α, y ~‚b produce el caracter β.
~~title` K Escribir ‘TITLE’ Almacenar texto en ‘TITLE’ Crear una lista de variables Después, crear una lista de nombres variables en la pantalla que luzca así: { a b c α β γ A s } y almacénela en la variable LVARI (Lista de VARIables). La lista de variables representa el orden en la cual las variables serán listadas cuando el MES se active. Debe incluir todas las variables en las ecuaciones, o no trabajará con la función MITM (véanse las siguientes secciones).
Activando el MES interactivamente Para activar el MES, con las variables TITLE y LVARI listadas en la pantalla, active la instrucción MINIT, seguida de MITM, y finalmente, MSOLVR (estas funciones se localizan en el catálogo de las funciones ‚N). El MES se activa con la lista siguiente de las variables disponibles (Presione L para ver la lista siguiente de variables): Presione L para ver la tercera lista de variables. Usted debe ver: Presione L una vez más para recuperar el primer menú variable.
Presione L para moverse al menú siguiente de las variables. Para calcular el área use: „[ A ]. La calculadora primero soluciona para el resto de variables, y enseguida encuentra el área como A: 7.15454401063. Nota: Cuando se encuentra una solución, la calculadora divulga las condiciones para la solución ya sea como Zero (cero, o raíz), o Sign Reversal (cambio de signo). Otros mensajes pueden ocurrir si la calculadora tiene dificultades el encontrar de una solución.
del MES están cifrados en un archivo binario, que no se puede acceder con el editor de línea. Después, deseamos colocarlos las etiquetas del menú en un orden diferente al que fue enumerado anteriormente, a través de los siguientes pasos: 1. Crear la lista { EQ Mpar LVARI TITLE }, usando: „ä @@@EQ@@@ @Mpar! !@LVARI @@TITLE ` 2. Coloque el contenido de LVARI en la pantalla, usando: @LVARI. 3. Ensamblar las dos listas presionando +. 4.
Presione J, de ser necesario, para recuperar su lista de variables. Una tecla llamada @TRISO estará disponible en su menú. Activando el programa - ejemplos de solución Para activar el programa, presione la tecla @TRISO. Usted ahora tendrá disponible el menú MES correspondiente a la solución de triángulos. Intentaremos ejemplos de tres casos para la solución del triángulo. Ejemplo 1 - Triángulo recto Use a = 3, b = 4, c = 5.
El punto cuadrado en @VALU indica que los valores de las variables, más bien que las ecuaciones de las cuales se obtienen, estarán mostrados en la pantalla. Para ver las ecuaciones usadas en la solución de cada variable, presione la tecla @EQNS! . La pantalla ahora luce como ésta: La tecla @PRINT se utiliza para imprimir la pantalla en una impresora, si ésta está disponible. La tecla @EXIT regresa al ambiente MES para una nueva solución, de ser necesario.
MSGBOX >>, y almacénelo en un variable llamada INFO. Consecuentemente, la primera variable en su directorio será la tecla. Aplicación 2 - Velocidad y aceleración en coordenadas polares El movimiento bidimensional de una partícula en coordenadas polares implica a menudo el determinar las componentes radiales y transversales de la velocidad y de la aceleración de la partícula dados r, r’ = dr/dt, r” = d2r/dt2, θ, θ’ = d θ /dt, y, θ” = d2θ/dt2.
PEQ = lista de las ecuaciones que se solucionarán, correspondiendo a los componentes radiales y transversales de la velocidad (vr, vθ) y aceleración (ar, aθ) en coordenadas polares, así como las ecuaciones para calcular la magnitud de la velocidad (v) y de la aceleración (a) cuando se conocen las componentes polares. r, rD, rDD = r (coordenada radial), r-punto (primera derivada de r), r-dos puntos (segunda derivada de r). θD, θDD = θ-punto (primera derivada de θ), θ-dos puntos (segunda derivada de θ).
encuentra. Cuando la calculadora para, usted puede presionar ‚@ALL! para enumerar todos los resultados. Para este caso tenemos: Presione la tecla de menú @EQNS para ver las ecuaciones usadas para cada una de las soluciones en la pantalla: Para utilizar un nuevo conjunto de valores presione, ya sea @EXIT @@ALL@ LL, o J @SOLVE. Intentemos otro ejemplo usando r = 2.5, vr = rD = -0.5, rDD = 1.5, v = 3.0, a = 25.0. Encuentre θD, θDD, vθ, ar, y aθ.
Capítulo 8 Operaciones con listas Las listas son un tipo de objeto utilizado por la calculadora que tienen mucha utilidad en el procesamiento de datos. En este Capítulo se presentan ejemplos de operaciones con listas. Definiciones Una lista, dentro del contexto de la calculadora, está una serie de objetos incluidos entre llaves y separados por los espacios (#), en el modo RPN, o comas (‚í), en ambos modos.
sus elementos. Sin embargo, después de presionar `, las comas se substituyen por los espacios. Para crear y almacenar la misma lista en modo RPN utilícese: „ä 1 # 2 # 3 # 4 ` ~l1`™K La figura a continuación muestra la pantalla de RPN antes de presionar K: Composición y descomposición de listas La composición y descomposición de listas tiene sentido en modo RPN solamente. Bajo tal modo operativo, la descomposición de una lista es alcanzada usando la función OBJ .
Nota: La función OBJ aplicado a una lista en modo ALG reproduce simplemente la lista, agregando a ella el tamaño de la lista: Operaciones con listas de números Para demostrar operaciones con las listas de números, crearemos un par de otras listas, además de la lista L1 creada anteriormente: L2={-3,2,1,5}, L3={6,5,3,1,0,3,-4}, L4={3,-2,1,5,3,2,1}.
La substracción de un número de una lista se interpreta sustrayendo el número de cada elemento de la lista, por ejemplo: La adición de un número a una lista produce una lista con un elemento adicional (el número adicionado), y no la adición del número a cada elemento de la lista. Por ejemplo: Substracción, multiplicación, y división de listas de números del mismo tamaño resulta en una lista del mismo tamaño con las operaciones respectivas ejecutadas miembro a miembro.
El signo de suma (+), cuando se aplica a listas, produce un operador de concatenación que liga o concatena dos listas, en vez de sumar los elementos miembro a miembro. Por ejemplo: Para forzar la adición de dos listas del mismo tamaño miembro a miembro, es necesario utilizar el operador o función ADD (sumar). Este operador puede activarse utilizando el catálogo de funciones (‚N).
TAN, ATAN INVERSE (1/x) Funciones de números reales del menú de MTH Las funciones de interés en el menú MTH incluyen, del menú HYPERBOLIC: SINH, ASINH, COSH, ACOSH, TANH, ATANH, y del menú REAL: %, %CH, %T, MIN, MAX, MOD, SIGN, MANT, XPON, IP, FP, RND, TRNC, FLOOR, CEIL, D R, R D.
D R, R D Ejemplos de las funciones que utilizan dos argumentos Las pantallas debajo de los usos de la demostración de la función % a argumentos listas. La función % requiere dos argumentos. Los primeros dos ejemplos muestran los casos en los cuales solamente uno de los dos argumentos es una lista. Los resultados son listas con la función % distribuida según el argumento lista.
Listas de números complejos El ejercicio siguiente muestra cómo crear una lista de números complejos dadas dos listas de la misma longitud, una que representa las partes reales y una las partes imaginarias de los números complejos. Use L1 ADD i*L2. La pantalla también muestra que la lista del complejo-número que resulta está almacenada en variable L5: Funciones tales como LN, EXP, SQ, etc.
Listas de objetos algebraicos Los siguientes son ejemplos de listas de objetos algebraicos a los que se aplica la función seno (SIN): El menú MTH/LIST El menú MTH provee un número de funciones que se aplican exclusivamente a las listas.
Las funciones SORT y REVLIST se pueden combinar para ordenar una lista en orden decreciente: Manipulando elementos de una lista El menú de PRG (programación) incluye un sub-menú LIST con un número de funciones para manipular elementos de una lista. Con la bandera de sistema 117 fija a CHOOSE boxes: Item 1. ELEMENTS..
Extrayendo e insertando elementos en una lista Para extraer elementos de una lista utilizamos la función GET, disponible en el sub-menú PRG/LIST/ELEMENTS. Los argumentos de la función GET son la lista y el número del elemento que usted desea extraer. Para insertar un elemento en una lista utilizar la función PUT (también disponible en el submenú PRG/LST/ELEMENTS). Las argumentos de la función PUT son la lista, la posición que una desea sustituir, y el valor que será substituido.
La función SEQ Item 2. PROCEDURES.. en el menú PRG/LIST contiene las funciones siguientes que se pueden utilizar para operar en listas. Las funciones REVLIST y SORT fueron introducidos anteriormente como parte del menú MTH/LIST. Las funciones DOLIST, DOSUBS, NSUB, ENDSUB, y STREAM, se diseñan como funciones de programación para las listas de funcionamiento en el modo RPN. La función SEQ es útil para producir una lista de los valores dados una expresión particular y se describe más detalladamente aquí.
La función MAP La función MAP, disponible a través del catálogo del comando (‚N), tomas como argumentos una lista de números y una función f(X) o un programa de la forma << a … >>, y produce una lista que consiste en la aplicación de la función f o del programa a la lista de números.
función G(X,Y) = (X+3)*Y, una tentativa de evaluar esta función con argumentos listas (L1, L2) fallará: Para fijar este problema podemos corregir el contenido de la variable @@@G@@@ , cuál podemos listar en la pantalla usando …@@@G@@@, para sustituir el signo de más (+) con ADD: Después, almacenamos la expresión corregida en variable @@@G@@@: La evaluación de G(L1,L2) ahora produce el resultado siguiente: Como alternativa, usted puede definir la función con ADD en vez del signo de más (+), desde el com
Usted puede también definir la función como G(X,Y) = (X--3)*Y. Aplicaciones de listas Esta sección muestra un par de usos de listas al cálculo de la estadística de una muestra. Por una muestra entendemos una lista de valores, digamos, {s1, s2, …, sn}. Suponga que la muestra de interés es la lista {1, 5, 3, 1, 2, 1, 3, 4, 2, 1} y que la almacenamos en un variable llamado S. (La pantalla siguiente muestra esta acción en modo ALG, sin embargo, el procedimiento en modo RPN es muy similar.
2. Aplicar la función ΣLIST()a la lista que resulta en 1. 3. Dividir el resultado anterior por n = 10: 4. Aplicar INV() al último resultado: Así, la media armónica de la lista S es sh = 1.6348… Media geométrica de una lista La media geométrica de una muestra se define como xg = n n ∏x k =1 k = n x1 ⋅ x 2 L x n Para encontrar la media geométrica de la lista almacenada en S, podemos utilizar el procedimiento siguiente: 1.
2. Aplicar la función XROOT(x,y), es decir, ‚», al resultado 1: Así, la media geométrica de la lista S es sg = 1.003203… Promedio ponderado Suponer que los datos en lista S, definido anteriormente, a saber: S = {1,5,3,1,2,1,3,4,2,1} es afectado por los pesos, W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Si definimos la lista de pesos como W = {w1,w2,…,wn}, notamos que el elemento k en la lista W definida anteriormente, puede ser definido como wk = k.
Para calcular el promedio ponderado de los datos en la lista S con los pesos en lista W, podemos utilizar los siguientes pasos: 1. Multiplicar las listas S y W: 2. Utilizar la función ΣLIST en este resultado para calcular el numerador de sw: 3. Utilizar la función ΣLIST, una vez más, para calcular el denominador de sw: 4. 4. Utilizar la expresión ANS(2)/ANS(1) para calcular el promedio ponderado: Así, el promedio ponderado de la lista S con los pesos en la lista W es sw= 2.2.
Estadística de datos agrupados Los datos agrupados son dados típicamente por una tabla que muestra la frecuencia (w) de datos en clases o compartimientos de datos. Cada clase o compartimiento es representada por una marca de la clase (s), típicamente el punto medio de la clase.
El valor medio para los datos en listas S y W, por lo tanto, puede ser calculado usando el procedimiento descrito anteriormente para el promedio ponderado, es decir, Almacenaremos este valor en un variable llamado XBAR: La varianza de estos datos agrupados se define como n V = ∑ wk ⋅ ( s k − s ) 2 k =1 n ∑w k =1 k n = ∑w k =1 k ⋅ (sk − s ) 2 N Para calcular este último resultado, podemos utilizar el siguiente: La desviación estándar de los datos agrupados es la raíz cuadrada de la varianza: P
Capítulo 9 Vectores En este Capítulo presentan ejemplos de creación y operaciones con vectores, tanto vectores matemáticos de varios elementos, como vectores físicos de 2 y 3 componentes. Definiciones Desde un punto de vista matemático, un vector es un arreglo de 2 o más elementos dispuestos en una fila o una columna. Éstos serán referidos como vectores fila y columna.
(1/k)⋅A. La adición y la substracción de vectores se definen como A±B = [Ax ± Bx, Ay ± By, Az ± By], en la cual B es el vector B = [Bx, By, Bz]. Hay dos definiciones de los productos de vectores físicos, un producto escalar o interno (el producto de punto) y un producto vectorial o externo (el producto cruz). El producto punto produce un valor escalar definido como A•B = |A||B|cos(θ), en la cual θ es el ángulo entre los dos vectores.
En modo RPN, se escriben los vectores abriendo los corchetes y separando los elementos de los vectores ya sea con comas (‚í) o espacios (#). Nótese que después de presionar ` , en cualquiera de los dos modos, la calculadora mostrará los elementos de un vector separados por espacios. Almacenamiento de vectores en variables Los vectores pueden almacenarse en variables.
automáticamente. siguientes teclas: En el menú al pié de la hoja de cálculo se encentran las @EDIT! @VEC ←WID @WID→ @GO→ @GO↓ La tecla @EDIT se utiliza para editar el contenido de la casillas La tecla @VEC@@ , si está activa, producirá un vector, en lugar de una matriz conteniendo una fila y varias columnas. Vectores vs. matrices Para ver la tecla @VEC@ en acción, intentar los ejercicios siguientes: (1) Activar el escritor de matrices („²). Con las opciones @VEC y @GO→ selectas, escribe 3`5`2``.
seleccionada antes de comenzar a escribir los elementos de la matriz o vector. La tecla @GO↓ , si está activa, automáticamente selecciona la siguiente casilla debajo de la casilla seleccionada cuando se presiona la tecla `. Si se desea utilizar esta opción, la misma deberá ser seleccionada antes de comenzar a escribir los elementos de la matriz o vector.
Para verificar la operación de estas funciones, sígase el ejercicio que se muestra a continuación: (1) Actívese el escritor de matrices utilizando las teclas „². Asegúrese que las teclas @VEC y @GO→ han sido seleccionadas. (2) Escríbase lo siguiente: 1`2`3` L @GOTO@ 2@@OK@@ 1 @@OK@@ @@OK@@ 2`1`5` 4`5`6` 7`8`9` (3) Muévase el cursor dos filas hacia arriba utilizando ——. Presiónese la tecla @-ROW. La segunda fila desaparecerá. . (4) Presiónese @+ROW@. Una fila de tres ceros aparece en la segunda fila.
Construcción de un vector con ARRY La función →ARRY, disponible en el catálogo de la función (‚N‚é, use —˜ para localizar la función), también puede utilizarse para construir un vector o un arsenal en la manera siguiente. En modo de ALG, escribir ARRY(elementos del vector, número de elementos), por ejemplo, En modo de RPN: (1) Escriba los n elementos del arreglo en el orden deseado para el arreglo (cuando se lee de izquierda a derecha) en la pantalla RPN. (2) Escriba n como el último elemento.
construya el arreglo siguiente y almacénelo en la variable A: [-1, -2, -3, -4, 5]: Para recuperar el tercer elemento de A, por ejemplo, usted podría escribir A(3) en la calculadora. En modo de ALG, escriba simplemente A(3). En modo RPN, escriba ‘A(3)’ `µ. Usted puede operar con los elementos del arreglo escribiendo y evaluando expresiones algebraicas por ejemplo: Expresiones más complicadas que implican elementos de A pueden así mismo ser escritas.
Para sustituir un elemento en un arreglo utilice la función PUT (usted puede encontrarlo en el catálogo de la función ‚N, o en el sub-menú PRG/LIST/ELEMENTS– el anterior fue introducida en el capítulo 8). En modo de ALG, usted necesita utilizar la función PUT con los argumentos siguientes: PUT(arreglo, localización que se substituirá, nuevo valor). Por ejemplo, cambiar el contenido de A(3) a 4.
Cambio de signo Para cambiar de signo a un vector, utilícese la tecla \, por ejemplo, Adición, substracción La adición y substracción de vectores requiere que los vectores operandos tengan el mismo número de elementos: Si se intentan sumar o restar vectores de diferentes números de elementos se produce un error (“Invalid Dimension”, Dimensión Incompatible) . Por ejemplo, v2+v3, u2+u3, A+v3, etc.
nombre de la función seguido por el argumento vectorial. Por ejemplo, ABS([1,-2,6]), ABS(A), ABS(u3), se mostrarán en la pantalla de la siguiente manera: El menú MTH/VECTOR El menú MTH („´) contiene funciones que aplican específicamente a los vectores: El menú VECTOR contiene las siguientes funciones (la opción CHOOSE boxes ha sido seleccionada para la señal de sistema número 117): Magnitud La magnitud de un vector, tal como se indicó anteriormente, se calcula con la función ABS.
utilizando los vectores A, u2, u3, v2, y v3, almacenados anteriormente, se muestran a continuación en el modo ALG. El producto escalar de vectores con diferente número de elementos produce un error. Producto vectorial (producto cruz) La función CROSS (opción 3 el menú MTH/VECTOR) se utiliza para calcular el producto vectorial, o producto cruz, de dos vectores 2-D, de dos vectores 3-D, o de un vector 2-D con un vector 3-D.
Descomposición de un vector La función V se utiliza para descomponer un vector en sus elementos o componentes. Si está utilizado en el modo de ALG, V proporcionará los elementos del vector en una lista, por ejemplo, En el modo de RPN, uso de la función V enumerará los componentes de un vector en la pantalla, por ejemplo, V (A) producirá la salida siguiente en la pantalla de RPN (el vector A se lista en el nivel 6 de la pantalla:).
Cambio del sistema de coordenadas Las funciones RECT, CYLIN, y SPHERE se utilizan cambiar el sistema coordinado actual a los coordenadas rectangulares (cartesianas), cilíndricas (polar), o esféricas. El sistema actual se demuestra destacado en el ítem correspondiente de una lista (CHOOSE boxes seleccionado para la bandera del sistema 117 ), o seleccionado en la tecla correspondiente (SOFT menus seleccionado para la bandera del sistema 117).
en el lado derecho de la figura (Por este ejemplo, el formato numérico fue cambiado a Fix, con tres decimales). Nótese que el vector se muestra en coordenadas cartesianas, con las componentes x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = z, aunque lo escribimos en coordenadas polares. Esto es porque la presentación del vector se ajustará al sistema coordinado actual. Para este caso, tenemos x = 4.532, y = 2.112, y z = 2.300.
transformación fue tal que (x,y,z) = (3.204, 2.112, 2.300), produjo (r,θ,z) = (3.536,25o,3.536). A este punto, cambie la medida angular a radianes. Si ahora escribimos un vector de números enteros en forma cartesiana, incluso si el sistema coordinado cilíndrico (CYLIN) está activo, el vector se mostrará en coordenadas cartesianos, por ejemplo, Esto es porque los números enteros se disponen para el uso con el CAS y, por lo tanto, los componentes de este vector se mantienen en forma cartesiana.
Nótese que los vectores que fueron escritos en coordenadas polares o cilíndricos ahora se han cambiado al sistema coordinado esférico. La transformación es tal que ρ = (r2+z2)1/2, θ = θ, y φ = tan-1(r/z). Sin embargo, el vector que fue originalmente escrito en coordenadas cartesianas permanece en esa forma. Aplicaciones de las operaciones vectoriales Esta sección contiene algunos ejemplos de las operaciones con vectores que usted puede encontrar en usos de la física o mecánica..
Los pasos se demuestran en las pantallas siguientes (Modo ALG, por supuesto): Así, el resultado es θ = 122.891o. En modo RPN, use lo siguiente: [3,-5,6] ` [2,1,-3] ` DOT [3,-5,6] ` ABS [2,1,-3] ` ABS * / ACOS NUM Momento de una fuerza El momento ejercido por una fuerza F sobre un punto O se define como el producto cruz M = r×F, en el cual r, también conocido como el brazo de la fuerza, es el vector de posición basado en O y señalando hacia el punto de aplicación de la fuerza.
Estas operaciones se muestran, en modo ALG, en las pantallas siguientes: Así el ángulo entre los vectores r y F es θ = 41.038o. En modo RPN, podemos utilizar: [3,-5,4] ` [2,5,-6] ` CROSS ABS [3,-5,4] ` ABS [2,5,-6] ` ABS * / ASIN NUM Ecuación de un plano en el espacio Dado un punto en el espacio P0(x0,y0,z0) y un vector N = Nxi+Nyj+Nzk normal a un plano que contiene el punto P0, el problema es encontrar la ecuación del plano.
Finalmente, tomamos el producto punto de ANS(1) y ANS(4) y se iguala a cero para terminar la operación N•r =0: Podemos ahora utilizar la función EXPAND (en el menú ALG) para calcular esta expresión: Así, la ecuación del plano a través del punto P0(2,3,-1) y teniendo vector normal N = 4i+6j+2k, es 4x + 6y + 2z – 24 = 0. En modo RPN, use: [2,3,-1] ` ['x','y','z'] ` - [4,6,2] DOT EXPAND Vectores filas, vectores columnas, y listas Los vectores presentados en este capítulo son todos vectores filas.
En esta sección mostramos maneras de transformar: un vector columna a un vector fila, un vector fila a un vector columna, una lista a un vector, y un vector (o matriz) a una lista. Primero demostramos estas transformaciones usando el modo RPN. En este modo, utilizaremos las funciones OBJ , LIST, ARRY y DROP para realizar la transformación. Para facilitar acceso a estas funciones fijaremos la bandera del sistema 117 a SOFT menus (ver el capítulo 1).
Función LIST Esta función se utiliza para crear una lista dados los elementos de la lista y la longitud o el tamaño de la lista. En modo RPN, el tamaño de la lista, digamos, n, se coloca en el nivel 1: de la pantalla. Los elementos de la lista se deben colocar en niveles 2:, 3:, …, n+1: de la pantalla. Por ejemplo, para crear la lista {1, 2, 3}, escriba: 1` 2` 3` 3` „°@)TYPE! ! LIST@. Función ARRY Esta función se utiliza para crear un vector o una matriz.
2 - Presionar 1+ para transformar la lista en el nivel 1: de {3} a {3,1} 3 - Utilizar la función ARRY para construir el vector columna Estos tres pasos se pueden incorporarse en un programa UserRPL, escrito de esta manera (en modo RPN): ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ 1 + ! ARRY@ `³~~rxc` K Una nueva variable, @@RXC@@, estará disponible en las teclas de menú después de presionar J: Presione ‚@@RXC@@ para ver el programa contenido en la variable RXC: << OBJ 1 + ARRY >> Esta variable, @@RXC@@, puede utilizarse para
Transformar un vector columna a un vector fila Para ilustrar esta transformación, escribiremos el vector columna [[1],[2],[3]] en modo RPN.
Presione ‚@@CXR@@ para ver el programa contenido en la variable CXR: << OBJ OBJ DROP ARRY >> Esta variable, @@CXR@@, puede utilizarse para transformar directamente un vector columna a un vector fila. En modo RPN, escriba el vector columna, y después presione @@CXR@@. Intente, por ejemplo: [[1],[2],[3]] ` @@CXR@@. Después de definir la variable @@CXR@@, podemos utilizarla en modo ALG para transformar un vector fila en un vector columna.
Estos tres pasos se pueden incorporarse a un programa UserRPL escrito como (en modo RPN): ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ 1 ! LIST@ ! ARRY@ ` ³~~lxv ` K Una nueva variable, @@LXV@@, estará disponible en las teclas de menú después de presionar J: Presione ‚@@LXV@@ para ver el programa contenido en la variable LXV: << OBJ 1 LIST ARRY >> Esta variable, @@LXV@@, puede utilizarse para transformar directamente una lista a un vector. En modo RPN, escriba la lista, y después presione @@LXV@@.
Capítulo 10 Creación y manipulación de matrices Este capítulo muestra un número de ejemplos dirigidos a crear matrices en la calculadora y demostrar la manipulación de los elementos de las mismas. Definiciones Una matriz es simplemente un arreglo rectangular de objetos (números, objetos algebraicos) con cierto número de filas y de columnas. Una matriz A con n filas y m columnas tendrá, por lo tanto, n×m elementos.
Escritura de matrices en la pantalla En esta sección se muestran dos formas diferentes de escribir matrices en la pantalla: (1) utilizando el editor de matrices, y (2) escribiendo las matrices directamente en la pantalla. Utilizando el editor de matrices Como se hizo con los vectores (véase el Capítulo 9), las matrices pueden escribirse utilizando el editor o escritor de matrices. Por ejemplo, para escribir la matriz: − 2.5 4.2 2.0 0.3 1.9 2.8, 2 − 0.1 0.
Si se ha seleccionado la opción Textbook para la pantalla (utilizando H@)DISP! y marcando la opción Textbook), la matriz lucirá como se mostró anteriormente. De otra manera, la pantalla luce de la siguiente forma: La pantalla en modo RPN lucirá muy similar a estas pantallas. Nota: Más detalles en el uso del escritor de matrices se presentaron en el Capítulo 9. Escribiendo la matriz directamente en la pantalla Para escribir la matriz anterior directamente en la pantalla utilícese: „Ô „Ô 2.5\ ‚í 4.
Para futura referencia, almacénese esta matriz en la variable A. En modo ALG, utilícese K~a. En modo RPN, utilícese ³~a K.
Como usted puede ver de explorar estos menús (MAKE y CREATE), ambos tienen las mismas funciones GET, GETI, PUT, PUTI, SUB, REPL, RDM, RANM, HILBERT, VANDERMONDE, IDN, CON, →DIAG, y DIAG→. El menú CREATE incluye los sub-menús COLUMN y ROW, que están también disponibles usando el menú MTH/MATRIX. El menú MAKE incluye las función SIZE, que el menú CREATE no incluye. Básicamente, sin embargo, ambos menús, MAKE y CREATE, proveer del usuario el mismo conjunto de funciones.
En las secciones siguientes presentamos aplicaciones de las funciones de los menús de matrices MAKE y CREATE. Funciones GET y PUT Las funciones GET, GETI, PUT, y PUTI, operan con matrices de una manera similar como con listas o vectores, es decir, usted necesita proporcionar la localización del elemento al cual usted desea aplicar GET o PUT.
Funciones GETI y PUTI Las funciones PUTI y GETI se usan en programas UserRPL puesto que mantienen información sobre el índice para el uso repetido de las funciones PUT y GET. La lista del índice en matrices varía por las columnas primero. Para ilustrar su uso, proponemos el ejercicio siguiente en modo de RPN: @@@A@@@ {2,2}` GETI.
En modo de RPN, estos ejercicios son realizados usando @@@A@@@ SIZE, y [[1,2],[3,4]] ` SIZE . Función TRN La función TRN se utiliza producir la transconjugada de una matriz, es decir, la transpuesta (TRAN) seguido por su conjugado complejo (CONJ). Por ejemplo, las pantallas siguientes muestran la matriz original en la variable A y una transconjugada, usando caracteres pequeños (ver Capítulo 1): Si el argumento es una matriz real, TRN produce simplemente la transpuesta de la matriz.
Por ejemplo, en modo ALG: Función CON La función toma como argumentos una lista de dos elementos, correspondiendo al número de la fila y a las columnas de la matriz que se generará, y un valor constante. La función CON genera una matriz con los elementos constantes. Por ejemplo, en modo de ALG, el comando siguiente crea una matriz 4×3 cuyos elementos son todos iguales a –1.5: En modo de RPN, esto se logra usando {4,3} ` 1.5 \ ` CON.
La matriz identidad que resulta tendrá las mismas dimensiones que la matriz argumento. El usar una matriz no cuadrada (rectangular) como la argumento de IDN producirá un error. En modo RPN, los dos ejercicios demostrados anteriormente son creados usando: 4` IDN y @@@A@@@ IDN. Función RDM La función RDM (Re-DiMensión) se utiliza para re-escribir vectores y matrices como matrices y vectores.
En modo RPN, utilizamos simplemente {3,2}` RDM. Re-dimensionando una matriz a un vector Para re-dimensionar una matriz a un vector, utilizamos como argumentos la matriz seguida por una lista que contiene el número de elementos en la matriz. Por ejemplo, para convertir la matriz del ejemplo anterior a un vector de longitud 6, en el modo ALG, use: En modo RPN, asumimos que la matriz está en pantalla y usamos {6} ` RDM.
Obviamente, los resultados que usted obtenga en su calculadora serán con toda certeza diferentes que los resultados anteriores. Los números aleatorios generados son números enteros distribuidos uniformemente en el rango [-10,10], es decir, cada de esos 21 números tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. La función RANM es útil para generar matrices de cualquier tamaño para ilustrar operaciones y funciones con matrices.
Si trabaja en el modo de RPN, y si se asume que la matriz 2×2 está originalmente en la pantalla, seguimos de la forma siguiente: [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]`™ (esta última tecla intercambia el contenido de los niveles 1 y 2) {1,2} ` ™ (otro intercambio de los niveles 1 y 2) REPL. Función →DIAG La función →DIAG toma la diagonal principal de una matriz cuadrada de dimensiones nxn, y crea un vector de dimensión n que contiene los elementos de la diagonal principal.
En modo RPN, podemos utilizar [1,-1,2,3] ` {3,3}` DIAG para obtener el mismo resultado anterior. Otro ejemplo del uso de la función DIAG→ se muestra a continuación, en modo ALG: En modo RPN, use [1,2,3,4,5] ` {3,2}` DIAG . En este caso una matriz 3x2 debía ser creada usando como elementos diagonales principales tantos elementos como sea posible del vector [1,2,3,4,5]. La diagonal principal, para una matriz rectangular, comienza en la posición (1,1) y abarca la posición (2,2), (3,3), etc.
En modo de RPN, escriba {1,2,3,4} ` VANDERMONDE. Función HILBERT La función HILBERT crea la matriz de Hilbert que corresponde a una dimensión n. Por la definición, la matriz n×n de Hilbert es Hn = [hjk]n×n, de modo que h jk = 1 j + k −1 La matriz de Hilbert tiene uso en el ajuste numérico de curvas el método de mínimos cuadrados.
Secuencia de teclas: ‚å „°@)STACK! @@DUP@ ‚ é # ~ „n ‚å 1„°@)STACK! @SWAP „°@)BRCH! @)FOR@! @FOR@ ~„j „°@)TYPE OBJ Produce: „°@)BRCH! @)@IF@@ @@IF@@ ~ „j# ~ „n „°@)TEST! @@@<@@@ „°@)BRCH! @)@IF@ @THEN ~ „j #1+ „°@)STACK! L@ROLL „°@)BRCH! @)@IF@ @END „°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT „°@)BRCH! @)@IF@ @@IF@@ ~ „n #1 „°@)TEST! @@@>@@@ „°@)BRCH! @@IF@ @THEN 1# ~ „n #1„°@)BRCH! @)FOR@! @FOR@ ~ „j # ~ „j #1+ „°@)STACK! L@ROLL! „°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT! „°@)BRCH! )@@IF@! @END@ ~„n # „´@)MATRX! @)COL! @COL! « DUP n << 1
Para ver el contenido del programa use J ‚@CRMC. El listado del programa es el siguiente: « DUP → n « 1 SWAP FOR j OBJ→ →ARRY IF j n < THEN j 1 + ROLL END NEXT IF n 1 > THEN 1 n 1 - FOR j j 1 + ROLL NEXT END n COL→ » » Para utilizar este programa, en modo de RPN, escriba las n listas en el orden que usted las desea como columnas de la matriz, escriba el valor de n, y presione @CRMC.
cambio que se realizará es cambiar COL→ por ROW→ en el listado del programa.
Ambos sub-menús mostrarán las mismas funciones: Cuando la bandera 117 del sistema se fija a SOFT menus, el menú COL es accesible a través de „´!)MATRX !)@MAKE@ !)@@COL@ , o a través de „Ø!)@CREAT@ !)@@COL@ . Ambos procedimientos mostrarán el mismo sistema de funciones: La operación de estas funciones se presenta a continuación. Función →COL La función →COL toma como argumento una matriz y la descomponen en los vectores que corresponden a sus columnas.
En modo RPN, usted necesita listar la matriz en la pantalla, y activar la función COL, es decir, @@@A@@@ COL. La figura abajo demuestra a pantalla de RPN antes y después el uso de la función COL. En este resultado, la primera columna ocupa el nivel más alto de la pantalla después de la descomposición, y el nivel 1 de la pantalla es ocupado por el número de columnas de la matriz original. La matriz no sobrevive la descomposición, es decir, ya no estará disponible en la pantalla.
Función COL+ La función COL+ toma como argumento una matriz, un vector con la misma longitud que el número de filas en la matriz, y un número entero n que representa la localización de una columna. La función COL+ inserta el vector en la columna n de la matriz. Por ejemplo, en modo de ALG, sustituiremos la segunda columna en la matriz A con el vector [ -1, -2, -3 ], es decir, En modo RPN, escriba primero la matriz, y después el vector, y el número de la columna, antes de aplicar la función COL+.
Función CSWP La función CSWP (inglés, Column SwaP, o intercambio de columnas) toma como argumentos dos índices, digamos, i y j, (representando dos columnas distintas en una matriz), y una matriz, y produce una nueva matriz con las columnas i y j intercambiados. El ejemplo siguiente, en modo ALG, muestra un uso de esta función. Utilizamos la matriz almacenada en la variable A para el ejemplo. Esta matriz se lista primero.
muestra en la figura siguiente con la bandera 117 del sistema fija a CHOOSE boxes: Las funciones se presentan también en el sub-menú MATRICES/CREATE/ROW: Ambos procedimientos mostrarán las mismas funciones: Cuando la bandera 117 del sistema se fija a SOFT menus, el menú ROW es accesible a través de „´!)MATRX !)@MAKE@ !)@@ROW@, o a través de „Ø!)@CREAT@ !)@@ROW@ . Ambos procedimientos mostrarán el mismo sistema de funciones: La operación de estas funciones se presenta abajo.
izquierda. La figura a la derecha demuestra la matriz descompuesta en filas. Para ver el resultado completo, use el editor de línea (activado al presionar la tecla ˜). En modo RPN, usted necesita listar la matriz en la pantalla, y activar la función ROW, es decir, @@@A@@@ ROW. La figura abajo demuestra a pantalla de RPN antes y después el uso de la función ROW.
siguiente demuestra la pantalla de RPN antes y después que usa la función ROW . Función ROW+ La función ROW+ toma como argumento una matriz, un vector con la misma longitud que el número de filas en la matriz, y un número n del número entero que representa la localización de una fila. La función ROW+ inserta el vector en la fila n de la matriz.
En modo RPN, coloque la matriz en pantalla primero, después escriba el número que representa la localización de la fila antes de aplicar la función ROW-. La figura siguiente muestra la pantalla RPN antes y después de aplica la función ROW-. Función RSWP La función RSWP (inglés, Row SwaP, o intercambio de filas) toma como argumentos dos índices, digamos, i y j, (representando dos filas distintas en una matriz), y una matriz, y produce una nueva matriz con filas i y j intercambiadas.
multiplica la fila número 3 por el valor constante 5, sustituyendo la fila por este producto. Este mismo ejercicio, ejecutado en modo RPN, se muestra en la figura siguiente. La figura de la izquierda muestra la matriz, el factor y el número de la fila, en los niveles 3, 2, y 1, respectivamente. La figura de la derecha muestra la matriz que resulta después de que se activa la función RCI.
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Capítulo 11 Operaciones con matrices y álgebra lineal En el capítulo 10 introdujimos el concepto de una matriz y presentamos un número de funciones para escribir, crear, o manipular las matrices. En este capítulo presentamos ejemplos de las operaciones y de las aplicaciones de las matrices a los problemas del álgebra linear. Operaciones con matrices Las matrices, como otros objetos matemáticos, pueden sumarse y restarse. También pueden ser multiplicadas por un escalar o multiplicarse la una con la otra.
Adición y substracción Considere un par de matrices A = [aij]m×n y B = [bij]m×n. La adición y la substracción de estas dos matrices es posible solamente si ambas tienen el mismo número de filas y de columnas. La matriz que resulta, C = A ± B = [cij]m×n tiene elementos cij = aij ± bij. A continuación se muestran ejemplos de operaciones que utilizan las matrices almacenadas anteriormente en modo ALG(Vg.
Combinando la adición y la substracción con la multiplicación por un escalar podemos formar combinaciones lineares de las matrices de las mismas dimensiones, Vg.., En una combinación linear de matrices, podemos multiplicar una matriz por un número imaginario para obtener una matriz de números complejos, Vg.., Multiplicación de una matriz con un vector La multiplicación de una matriz con un vector es posible solamente si el número de columnas de la matriz es igual al número de elementos del vector.
La multiplicación de un vector por una matriz, sin embargo, no está definida. Esta multiplicación puede ejecutarse, como un caso especial de la multiplicación de matrices como se define a continuación. Multiplicación de matrices La multiplicación de matrices se define por la expresión Cm×n = Am×p⋅Bp×n, donde A = [aij]m×p, B = [bij]p×n, y C = [cij]m×n. Obsérvese que la multiplicación de matrices es posible solamente si el número de columnas en el primer operando es igual al número de filas en el segundo.
son básicamente vectores columna dentro del contexto de la multiplicación de matrices. El producto de un vector con una matriz es posible si el vector es un vector fila, es decir, una matriz 1×m, la cuál, al multiplicarse con una matriz m×n, produce una matriz1xn (otro vector fila).
La matriz inversa La inversa de una matriz cuadrada A es la matriz A-1 tal que A⋅A-1 = A-1⋅A = I, en la cual I es la matriz identidad de las mismas dimensiones de A. La inversa de a matriz se obtiene en la calculadora utilizando la función INV (es decir, la tecla Y).
Estas funciones se presentan a continuación. Dado que muchas de estas funciones utilizan conceptos de la teoría de matrices, tales como valores singulares, rango, etc., incluiremos descripciones cortas de estos conceptos mezclados con la descripción de funciones. Función ABS Función ABS calcula lo qué se conoce como la norma de Frobenius de una matriz.
Descomposición de valor singular Para entender la operación de la función SNRM, necesitamos introducir el concepto de la descomposición de la matriz. Básicamente, la descomposición de la matriz implica la determinación de dos o más matrices que, cuando están multiplicadas en cierta orden (y, quizás, con cierta inversión o transposición de la matriz incluida), producen la matriz original.
Norma de fila y norma de columna de una matriz La norma de fila de una matriz es calculada tomando las sumas de los valores absolutos de todos los elementos en cada fila, y entonces, seleccionando el máximo de estas sumas. La norma de columna de una matriz es calculada tomando las sumas de los valores absolutos de todos los elementos en cada columna, y entonces, seleccionando el máximo de estas sumas.
Número de condición de una matriz El número de la condición de una matriz no singular cuadrada se define como el producto de la norma de la matriz con la norma de su inversa, es decir, cond(A) = ||A||×||A-1||. Elegiremos como la norma de la matriz, ||A||, el máximo de su norma de fila (RNRM) y su norma de columna (CNRM), mientras que la norma de la inversa, ||A-1||, será seleccionada como el mínimo de su norma de fila y su norma de columna.
CNRM(A33)*CNRM(INV(A33)) = COND(A33) = 6.7871485… Función RANK Función RANK determina el rango de una matriz cuadrada. Intente los ejemplos siguientes: El rango de una matriz El rango de una matriz cuadrada es el número máximo de las filas o de las columnas linealmente independientes que la matriz contiene.
Se encontrará que el rango es 2. Esto es porque la segunda fila [2,4,6] es igual a la primera fila [1,2,3] multiplicada por 2, así, la fila dos es linealmente dependiente de la fila 1 y el número máximo de filas linealmente independientes es 2. Usted puede comprobar que el número máximo de columnas linealmente independientes es 3. El rango, que es el número máximo de filas o columnas linealmente independientes, se convierte en 2 para este caso.
El determinante 2×2 es, por lo tanto, a11 a 21 a12 = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21 a 22 Un determinante 3×3 es calculado aumentando el determinante, una operación que consista en copiar las primeras dos columnas del determinante, y colocarlas a la derecha de la columna 3, según lo demostrado en el diagrama siguiente. El diagrama también muestra los elementos que se multiplicarán con el signo correspondiente adjunto al producto, de manera similar a lo hecho anteriormente para un determinante 2×2.
larga suma de determinantes 2×2. Los determinantes 2×2 entonces se calculan con el método demostrado anteriormente. El método de calcular un determinante por su expansión en cofactores es muy ineficiente en el sentido que implica un número de operaciones que crece muy rápido a medida que aumenta el tamaño de los determinantes. Un método más eficiente, y el que se prefiere en aplicaciones numéricas, es utilizar un resultado de la eliminación gaussiana.
El menú OPERATIONS incluye las funciones siguientes: Funciones ABS, CNRM, COND, DET, RANK, RNRM, SNRM, TRACE, y TRAN también se encuentran en el menú MTH/MATRIX/NORM (el tema de la sección anterior). La función SIZE fue presentada en el capítulo 10. La función HADAMARD fue presentada anteriormente en el contexto de multiplicación de matrices. Las funciones LSQ , MAD y RSD se relacionan con la solución de los sistemas de ecuaciones lineares y será presentado en una sección subsiguiente en este capítulo.
Función AXM Función AXM convierte un arreglo que contiene elementos enteros o fracciones a su forma decimal, o aproximada, correspondiente. Por ejemplo, Función LCXM Función LCXM se pueden utilizar para generar matrices tales que el elemento aij es una función de i y j. La entrada a esta función consiste en dos números enteros, n y m, representando el número de filas y de columnas de la matriz que se generará, y un programa que toma i y j como entrada.
El programa P1 debe haber sido creado y almacenado en modo RPN. Solución de sistemas lineales Un sistema de n ecuaciones lineales en m variables puede escribirse de la siguiente manera: a11⋅x1 + a12⋅x2 + a13⋅x3 + …+ a21⋅x1 + a22⋅x2 + a23⋅x3 + …+ a31⋅x1 + a32⋅x2 + a33⋅x3 + …+ . . . … an-1,1⋅x1 + an-1,2⋅x2 + an-1,3⋅x3 + …+ an1⋅x1 + an2⋅x2 + an3⋅x3 + …+ a1,m-1⋅x m-1 a2,m-1⋅x m-1 a3,m-1⋅x m-1 . an-1,m-1⋅x m-1 an,m-1⋅x m-1 + a1,m⋅x m + a2,m⋅x m + a3,m⋅x m . + an-1,m⋅x m + an,m⋅x m = b1, = b2, = b3, .
para resolver el sistema lineal A⋅x = b, escríbase la matriz A, utilizando el formato [[ a11, a12, … ], … [….]] en la opción A: de la forma interactiva. Así mismo, escríbase el vector b en la opción B: de la forma interactiva. Cuando se seleccione la opción X:, presiónese la tecla @SOLVE. Si existe una solución e vector solución x se mostrará en la opción X: de la forma interactiva. La solución se reproduce también en la pantalla normal. Algunos ejemplos se muestran a continuación.
como la forma interactiva de la solución después de escribir la matriz A (presiónese ` en el escritor de matrices para retornar a la forma interactiva): Presiónese la tecla ˜ para seleccionar la opción B: en la forma interactiva. El vector b puede escribirse como un vector file con un solo par de corchetes, es decir, [13,-13,-6] @@@OK@@@ .
Para comprobar que la solución esté correcta, escriba la matriz A y multiplicar por el vector solución (ejemplo en modo algebraico): Sistema sub-determinado El sistema de ecuaciones lineares 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, puede ser escrito como la ecuación matricial A⋅x = b, si x1 2 3 − 5 A= , x = x 2 , 1 − 3 8 x3 − 10 y b= . 85 Este sistema tiene más incógnitas que ecuaciones, por lo tanto, no se determinan únicamente.
Para ver los detalles del vector de la solución, de ser necesario, presione @EDIT! . Esto activará el escritor de ecuaciones. Dentro de este ambiente, utilizar las teclas direccionales (flechas) horizontales para moverse en el vector, por ejemplo, Así, la solución es x = [15.373, 2.4626, 9.6268]. Para volver al ambiente numérico de las soluciones, presionar `. El procedimiento que describimos siguiente se puede utilizar para copiar la matriz A y el vector X de la solución en la pantalla.
Dejar nos almacenar el resultado último en una variable X, y la matriz en la variable A, como sigue: Presione K~x` para almacenar el vector solución en variable X Presione ƒ ƒ ƒ para eliminar tres niveles de la pantalla Presione K~a` para almacenar la matriz en la variable A Ahora, verifique la solución usando: @@@A@@@ * @@@X@@@ `, qué resulta en: (Presione ˜ para ver los elementos del vector): [-9.99999999999 85. ], bastante cercano al vector original b = [-10 85].
-x1 + x2 = 22, puede ser escrito como la ecuación matricial A⋅x = b, si 3 1 x A = 2 − 5, x = 1 , and x2 − 1 1 15 b = 5 . 22 Este sistema tiene más ecuaciones que incógnitas (un sistema sobredeterminado). El sistema no tiene una sola solución única. Cada uno de las ecuaciones lineares en el sistema presentado arriba representa una línea recta en un sistema coordinado cartesiano de dos dimensiones (x1, x2).
Presione ` para volver al ambiente numérico de las soluciones. Para comprobar que la solución esté correcta, intentar el siguiente: • • • • • Presione Presione Presione Presione Presione Presione ——, para destacar A: L @CALC@ `, para copiar la matriz A a la pantalla. @@@OK@@@ para volver al ambiente de soluciones numéricas. ˜ ˜@CALC@ `, para copiar la solución X a la pantalla. @@@OK@@@ para volver al ambiente numérico de las soluciones. ` para volver a la pantalla.
Solución de mínimos cuadrados (Función LSQ) La función LSQ (inglés, Least SQuare, o mínimos cuadrados) produce la solución de mínimos cuadrados minimizando la norma de un sistema linear Ax = b, según los criterios siguientes: • • • Si A es una matriz cuadrada y A es no singular (es decir, la matriz inversa existe, o su determinante es diferente de cero), LSQ produce la solución exacta al sistema linear.
Sistema sub-determinado Considere el sistema 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, con x1 2 3 − 5 , x = x 2 , and A= 1 − 3 8 x3 − 10 b= . 85 La solución usando LSQ se muestra aquí: Sistema sobre-determinado Considere el sistema x1 + 3x2 = 15, 2x1 – 5x2 = 5, -x1 + x2 = 22, con 3 1 x A = 2 − 5, x = 1 , and x2 − 1 1 15 b = 5 .
La solución usando LSQ se muestra a continuación: Comparar estas tres soluciones con las que esta' calculadas con las soluciones numéricas. Solución utilizando la matriz inversa La solución del sistema A⋅x = b, en el cual A es una matriz cuadrada, se obtiene utilizando x = A-1⋅ b. Esto resulta de multiplicar la primera ecuación por A-1, es decir, A-1⋅A⋅x = A-1⋅b. Por definición, A-1⋅A = I, así escribimos I⋅x = A-1⋅b. Así mismo, I⋅x = x, así, tenemos, x = A-1⋅ b.
A con el propósito de determinar x en la ecuación matricial A⋅x = b. . Ésta es una extensión arbitraria de la operación algebraica de la división a las matrices, es decir, a partir de A⋅x = b, nos atrevemos a escribir x = b/A (Los matemáticos se desmayarían si ven esto!) Esto, por supuesto, se interpreta como (1/A)⋅b = A-1⋅b, cuál está igual que usar la matriz A como en la sección anterior.
14 9 − 2 B = 2 − 5 2 . 5 19 12 Los subíndices en los nombres de las variables X, Y, y Z, determinar a qué sistema de la ecuación se refieren. Para solucionar este sistema ampliado utilizamos el procedimiento siguiente, en modo de RPN, [[14,9,-2],[2,-5,2],[5,19,12]] ` [[1,2,3],[3,-2,1],[4,2,-1]] `/ El resultado de esta operación es: 2 1 2 1 .
Podemos almacenar estas ecuaciones en la calculadora en las variables E1, E2, y E3, respectivamente, según lo demostrado abajo. Para los propósitos de reserva, una lista que contiene las tres ecuaciones también fue creada y almacenada en la variable EQS. De esta manera, si se incurre en una equivocación, las ecuaciones todavía estará disponible para el usuario.
Note que cuando realizamos una combinación linear de ecuaciones la calculadora modifica el resultado a una expresión en el lado izquierdo del igual, es decir, una expresión = 0. Así, el sistema pasado de ecuaciones se interpreta como equivalente al siguiente conjunto de ecuaciones: X +2Y+3Z = 7, Y+ Z = 3, -7Z = -14.
Ejemplo de eliminación gaussiana utilizando matrices El sistema de ecuaciones usadas en el ejemplo anterior se puede escribir como la ecuación matricial A⋅x = b, si utilizamos: 6 14 X 2 4 A = 3 − 2 1 , x = Y , b = − 3. 4 2 − 1 − 4 Z Para obtener una solución a la ecuación matricial usando la eliminación gaussiana, primero creamos lo qué se conoce como la matriz aumentada que corresponde a A, i.e.
Multiplicar la fila 1 por -3 y agregar resultado a la fila 2, substituyéndola: 3\ # 1 #2 @RCIJ! Multiplicar la fila 1 por -4, agregar resultado a la fila 3, substituyéndola: 4\#1#3@RCIJ! Multiplicar la fila 2 por –1/8: 8\Y2 @RCI! Multiplicar la fila 2 por 6, agregando resultado a la fila 3, substituyéndola: 6#2#3 @RCIJ! Si usted realizara estas operaciones a mano, usted escribiría lo siguiente: 2 4 6 14 1 2 3 7 A aug = 3 − 2 1 − 3 ≅ 3 − 2 1 − 3 4 2 −1 − 4 4 2 −1 − 4 1
Eliminación de Gauss-Jordan usando matrices La eliminación de Gauss-Jordan consiste en la continuación de las operaciones de fila en la matriz superior-triangular que resulta del proceso de eliminación hacia adelante que una matriz identidad ocupa el lugar de la matriz original A.
la solución numérica de un sistema de ecuaciones usando eliminación gaussian o de Gauss-Jordan, se recomienda que el pivote sea el elemento con el valor absoluto más grande de una columna dada. En tales casos, intercambiamos filas antes de realizar operaciones de la fila. Este intercambio de filas se llama pivoteo parcial. Para seguir esta recomendación es a menudo necesario intercambiar filas en la matriz aumentada mientras se realiza una eliminación gaussian o de Gauss-Jordan.
8X +16Y- Z = 41. La matriz aumentada y la matriz de permutación son las siguientes: A aug 1 0 0 1 2 3 2 = 2 0 3 − 1, P = 0 1 0. 0 0 1 8 16 − 1 41 Almacene la matriz aumentada en la variable AAUG, entonces presione ‚ @AAUG para conseguir una copia en la pantalla. Deseamos mantener la función CSWP (inglés, Column Swap, o intercambio de columnas) fácilmente disponible, para lo cual utilizamos: ‚N~~cs~ (encontrar CSWP), @@OK@@.
Ahora tenemos el valor posible más grande en la posición (1,1), es decir, realizamos un pivoteo completo en (1,1). Después, procedemos a dividir por el pivote: 16Y1L @RCI@ .
Después, eliminamos el 3 de la posición (3,2) usando: 3\#2#3@RCIJ 1 -1/16 1/2 41/16 0 1 0 1 0 -1 0 0 0 0 2 2 1 0 0 1 0 Llenando de ceros la posición debajo del pivote, procedemos a comprobar el pivote en la posición (3,3). El valor actual 2 es más grande que el ½ o 0, así que no hacemos ningún intercambio.
0 1 0 2 X x = Y , b' = − 1, P = 0 0 1. 1 0 0 1 Z La solución se da por P⋅x=b’, o 0 1 0 X 3 0 0 1 ⋅ Y = − 1. 1 0 0 Z 1 Que resulta en: Y 3 Z = − 1.
La calculadora demuestra una matriz aumentada que consiste en la matriz de los coeficientes A y la matriz identidad I, mientras que, en el mismo tiempo, demostrando el procedimiento siguiente para calcular: L2 = L2-2⋅L1 significa “sustituir la fila 2 (L2) con la operación L2 – 2⋅L1. Si hubiéramos hecho esta operación a mano, habría correspondido a: 2\#1#1@RCIJ. Presione @@@OK@@@, y siga las operaciones en la pantalla de su calculadora.
[[ 1,2,3],[3,-2,1],[4,2,-1]] `Y Después de observar los diversos pasos, la solución es: Lo qué la calculadora demostró no es exactamente una eliminación de GaussJordania con pivoteo completo, sino una manera de calcular la inversa de una matriz realizando una eliminación de Gauss-Jordan, sin pivoteo. Este procedimiento para calcular la inversa se basa en la matriz aumentada (Aaug)n×n = [A n×n |In×n].
De acuerdo con la ecuación A-1 = C/det(A), bosquejado arriba, la matriz inversa, A-1, no está definida si det(A) = 0. Así, la condición det(A) = 0 define también una matriz singular. Solución a los sistemas lineales usando funciones de la calculadora La manera más simple de solucionar un sistema de ecuaciones lineares, A⋅x = b, en la calculadora consiste en escribir b, escribir A, y entonces utilizar la función de la división /.
LINSOLVE([X-2*Y+Z=-8,2*X+Y-2*Z=6,5*X-2*Y+Z=-12], [X,Y,Z]) para producir la solución: [X=-1,Y=2,Z = -3]. La función LINSOLVE trabajos con expresiones simbólicas. Las funciones REF, rref, y RREF, trabajan con la matriz aumentada en un procedimiento de eliminación gaussiana. Las funciones REF, rref, RREF La forma triangular superior a la cual la matriz aumentada se reduce durante la parte de eliminación de un procedimiento de eliminación gaussiana se conoce como una forma de “escalera.
El resultado es la matriz triangular superior (forma de escalera) de coeficientes resultando de la eliminación en un procedimiento de eliminación gaussiana. La matriz diagonal que resulta de una eliminación de Gauss-Jordan se llama una forma de escalera reducida por filas. La función RREF (Row-Reduced Echelon Form) produce la forma de escalera reducida por filas para reducir la matriz de coeficientes a una matriz identidad.
Función SYST2MAT Esta función convierte un sistema de ecuaciones lineares en su matriz aumentada equivalente.
Nota: Si el vector ∆x = x – x (0), representa la corrección en los valores de x (0), podemos escribir una nueva ecuación matricial para ∆x, a saber, A⋅∆x = e. Calculando ∆x podemos encontrar la solución real del sistema original como x = x(0) + ∆x. Valores propios y vectores propios Dada una matriz cuadrada A, podemos escribir la ecuación del valor propio A⋅x = λ⋅x, donde los valores λ que satisfacen la ecuación se conocen como los valores propios de la matriz A.
Función PCAR La función PCAR genera el polinomio característico de una matriz cuadrada usando el contenido de la variable VX (una variable CAS reservada, típicamente igual a ‘X’) como la incógnita en el polinomio. Por ejemplo, incorpore la matriz siguiente en modo ALG y encuentre el polinomio característico usando PCAR: [[1,5,-3],[2,-1,4],[3,5,2]] Usando la variable λ representar valores propios, este polinomio característico es interpretado como λ 3-2λ 2-22λ +21=0.
Por ejemplo, en modo exacto, el ejercicio siguiente produce una lista vacía como la solución: Cambie el modo a Approx y repita el ejercicio, para conseguir los valores propios siguientes: [(1.38,2.22), (1.38,-2.22), (-1.76,0)]. Función EGV La función EGV (inglés, EiGenValues and eigenvectors) produce los valores propios y los vectores propios de una matriz cuadrada.
En resumen, λ1 = 0.29, x1 = [ 1.00,0.79,–0.91]T, λ2 = 3.16, x2 = [1.00,-0.51, 0.65] T, λ3 = 7.54, x1 = [-0.03, 1.00, 0.84] T. Nota: Una matriz simétrica tiene valores propios reales solamente, y sus vectores propios son mutuamente perpendiculares. Para comprobar esto en el ejemplo apenas resuelto, calcule x1 •x2 = 0, x1 •x3 = 0, y x2 •x3 = 0. Función JORDAN La función JORDAN se usa para producir la diagonalización o descomposición de ciclo de Jordan de una matriz.
Función MAD Esta función, aunque no está disponible en el menú EIGEN, también proporciona la información relacionada con los valores propios de una matriz. La función MAD está disponible con el sub-menú MATRICES OPERATIONS („Ø) y se piensa producir la matriz adjunta de una matriz.
Presentamos la descomposición de matrices con el uso de las funciones contenidas en el menú de matrices FACT. Este menú se obtiene a través de„Ø. Las funciones contenidas en este menú son: LQ, LU, QR, SCHUR, SVD, SVL. Función LU La función LU tomas como entrada una matriz cuadrada A, y produce una matriz triangular inferior L, una matriz triangular superior U, y una matriz de la permutación P, en los niveles 3, 2, y 1 de la pantalla, respectivamente.
matriz cuadrada A se dice ser ortogonal si sus columnas representan vectores unitarios que son mutuamente ortogonales. Así, si dejamos la matriz U = [v1 v2 … vn] donde vi, i = 1, 2,, n, son vectores columnas, y si vi•vj = δij, donde δij es la función delta de Kronecker, entonces U ser una matriz ortogonal. Estas condiciones también implican que U⋅ UT = I.
Función SCHUR En modo RPN, la función SCHUR produce la descomposición de Schur de una matriz cuadrada A produciendo las matrices Q y T, en los niveles 2 y 1 de la pantalla, respectivamente, tales que A = Q⋅T⋅QT, donde Q es una matriz ortogonal, y T es una matriz triangular. Por ejemplo, en modo RPN, [[2,3,-1][5,4,-2][7,5,4]] SCHUR resulta en: 2: [[0.66 –0.29 –0.70][-0.73 –0.01 –0.68][ -0.19 –0.96 0.21]] 1: [[-1.03 1.02 3.86 ][ 0 5.52 8.23 ][ 0 –1.82 5.
Formas cuadráticas de una matriz Una forma cuadrática de una matriz cuadrada A es una expresión polinómica originada a partir de x⋅A⋅xT.
[[2,1,-1],[5,4,2],[3,5,-1]] ` ['X','Y','Z'] ` AXQ produce 2: ‘2*X^2+(6*Y+2*Z)*X+4*Y^2+7*Z*y-Z^2’ 1: [‘X’ ‘Y’ ‘Z’] Función QXA La función QXA toma como argumentos una forma cuadrática en el nivel 2 de la pantalla y un vector de variables en el nivel 1 de la pantalla, produciendo la matriz cuadrada A de la cuál se deriva la forma cuadrática en el nivel 2 de la pantalla, y la lista de variables en el nivel 1 de la pantalla.
Función GAUSS La función GAUSS produce la representación diagonal de una forma cuadrática Q = x⋅A⋅xT tomando como discusiones la forma cuadrática en el nivel 2 de la pantalla y el vector de variables en el nivel 1 de la pantalla.
Función IMAGE Función ISOM Función KER Función MKISOM Página 11-57
Capítulo 12 Gráficas En este Capítulo se presentan algunas de las aplicaciones gráficas de la calculadora.
Estas opciones de gráficas se describen brevemente a continuación Function: para las ecuaciones de la forma y = f(x) en coordenadas cartesianas planas Polar: para las ecuaciones de la forma r = f(θ) en coordenadas polares en el plano Parametric: para trazar las ecuaciones de la forma x = x(t), y = y(t) en el plano Diff Eq: para trazar la solución numérica de una ecuación diferencial linear Conic: para trazar ecuaciones cónicas (círculos, elipses, hipérbolas, parábolas) Truth: para trazar desigualdades en el
tiene que predefinirla). Crear un sub-directorio llamado 'TPLOT' (inglés, Test PLOT), o el otro nombre significativo, realizar el ejercicio siguiente. Como ejemplo grafíquese la función, f ( x) = 1 2π exp(− x2 ) 2 • Actívese el ambiente PLOT SETUP (diseño de la gráfica) al presionar „ô. Selecciónese la opción Function en la especificación TYPE, y la variable ‘X’ como variable independiente (INDEP). Presione L@@@OK@@@ para recuperar la pantalla normal.
• Presiónese ` para regresar al ambiente PLOT. La expresión ‘Y1(X) = EXP(-X^2/2)/√(2*π)’ será seleccionada. Presiónese L@@@OK@@@ para recuperar la pantalla normal. Nota: Dos nuevas variables se muestran en las etiquetas del menú, a saber EQ y Y1. Para ver el contenido de EQ, utilizar ‚@@@EQ@@. El contenido de EQ es simplemente el nombre de la función ‘Y1(X)’. La variable EQ se utiliza por la calculadora para almacenar la ecuación, o ecuaciones, a ser trazada(s).
coordenadas de los puntos trazados se mostrarán al pié de la pantalla. Verifíquense las siguientes coordenadas: x = 1.05 , y = 0.0131, y x = -1.48 , y = 0.034. La figura se muestra a continuación: • Para recuperar el menú y regresar al ambiente PLOT WINDOW, presiónese L@CANCL, y después L@@OK@@.
• Una vez se traza el gráfico, presione @)@FCN! para tener acceso al menú de la función. Con este menú usted puede obtener la información adicional sobre el diagrama por ejemplo su intersección con el eje x, las raíces, las pendientes de la línea de la tangente, el área debajo de la curva, el etc. Por ejemplo, para encontrar la raíz en el lado izquierdo de la curva, mover el cursor cerca del eje x, y presione @ROOT. Se obtendrá el resultado: ROOT: -1.6635…. Presione L para recobrar el menú.
• • • • • • • Para determinar el punto más alto de la curva, coloque el cursor cerca de la cima y presione @EXTR El resultado es EXTRM: 0.. Presione L para recobrar el menú. Otras teclas disponible en el primer menú son @AREA para calcular el área debajo de la curva, y @SHADE para sombrear un área debajo de la curva. Presione L para ver más opciones. El segundo menú incluye un botón llamado @VIEW que destella por algunos segundos la ecuación trazada. Presione @VIEW.
• Presione ‚@@EQ@@ para comprobar el contenido de EQ. Usted notará que contiene una lista en vez de una sola expresión. La lista tiene como elementos una expresión para la derivada de Y1(X) y Y1(X) misma. Originalmente, EQ contenía solamente Y1(x). Después de que presionáramos @@F' @@ en el ambiente @)FCN@, la calculadora agregó automáticamente la derivada de Y1(x) a la lista de ecuaciones en EQ.
Gráficos de funciones transcendentales En esta sección utilizamos algunas de las características de los gráficos de la calculadora para demostrar el comportamiento típico del logaritmo natural, funciones hiperbólicas exponenciales, funciones trigonométricas, etc. Usted no verá más gráficos en este capítulo, en su lugar el usuario debe verlos en la calculadora. Gráfico de ln(X) Presione, simultáneamente si en modo RPN, la tecla „ y la tecla ô (D) para producir la pantalla PLOT SETUP.
Éstos son los valores prefijados para los rangos x y y, respectivamente, de la pantalla actual de los gráficos. Después, cambiar H-View a: H-View: -1 10 usando 1\@@@OK@@ 10@@@OK@@@. A continuación, presione la tecla etiquetada @AUTO para dejar que la calculadora determine el rango vertical correspondiente. Después de un par de segundos este rango será mostrado en la pantalla PLOT WINDOW-FUNCTION. A este punto somos listos producir el gráfico de ln(X).
definir la función ‘Y1(X) = LN(X)’ usando „à. Esto es básicamente lo qué sucede cuando usted @@ADD@! (adiciona) una función en la pantalla PLOT – FUNCTION (la ventana que resulta presionando ñ, simultáneamente si en modo RPN), i.e., la función consigue y definida agregada a su lista variable. A continuación, presione ‚@@@X@@@ para ver el contenido de esta variable. Un valor de 10.275 se pone adentro de la pantalla. Este valor es determinado por nuestra selección para el rango horizontal de la pantalla.
gráfico. Presione LL@)PICT! @CANCL para regresar a la pantalla PLOT WINDOW – FUNCTION. Presione ` para regresar a la pantalla normal. La variable PPAR Presione J para recobrar el menú de variables, de ser necesario. En su menú de las variables usted debe tener una variable etiquetada PPAR. Presione ‚@PPAR para conseguir el contenido de esta variable en pantalla del la.
diagrama y en las opciones que usted seleccionó en la pantalla PLOT (la ventana generada por la activación simultánea de las teclas „ y ò(B). Funciones inversas y sus gráficos Sea y = f(x), si podemos encontrar una función y = g(x), tal que, g(f(x)) = x, decimos que g(x) es la función inversa de f(x). Típicamente, la notación g(x) = f -1(x) se utiliza denotar una función inversa. Usando esta notación podemos escribir: si y = f(x), entonces x = f -1(y). También, f(f -1(x)) = x, y f -1(f(x)) = x.
WINDOW, la calculadora produce el rango vertical que corresponde a la primera función en la lista de las funciones que se trazarán. La cuál, en este caso, es Y1(X) = EXP(X). Tendremos que escribir el rango vertical nosotros mismos para mostrar las otras dos funciones en el mismo diagrama. Presione @CANCL para regresar a la pantalla PLOT FUNCTION - WINDOW.
Opciones de teclas de menú • Use @EDIT para corregir funciones de valores en el campo seleccionado. • Use @CHOOS para seleccionar el tipo de diagrama a utilizar cuando el campo Type: se destaca. Para los ejercicios actuales, quisiéramos que este campo fijara a FUNCTION. Nota: las teclas @EDIT y @CHOOS no están disponibles en el mismo tiempo. Uno o el otro será seleccionado dependiendo de los cuales se destaca entrar el campo.
• • • • • • • Use @CHOOS para agregar una ecuación que se define ya en su menú de las variables, pero no está enumerada en la pantalla PLOT – FUNCTION. Use @ERASE para borrar cualquier gráfico que existe actualmente en la ventana de pantalla de los gráficos. Use @DRAW para producir la gráfica según el contenido actual de PPAR para las ecuaciones enumeró en la pantalla PLOT-FUNCTION. Presione L para activar la segunda lista del menú.
• la calculadora utilizará los valores máximos del mínimo y determinados cerca H-View. Un símbolo de aprobado en _Pixels significa que los valores de los incrementos variables independientes (Step:) se dan en píxeles más bien que en coordenadas del diagrama. Opciones de teclas de menú: • Use @EDIT para corregir cualquier entrada en la ventana. • Use @AUTO según lo explicado en ajustes, arriba. • Use @ERASE para borrar cualquier gráfico que existe actualmente en la ventana de pantalla de los gráficos.
diagrama será sobrepuesto en el diagrama existente. Éste puede no ser el resultado que usted desea, por lo tanto, se recomienda utilizar las teclas @ERASE @DRAW disponible en la pantallas PLOT SETUP, PLOT-FUNCTION o PLOT WINDOW. Diagramas de funciones trigonométricas e hiperbólicas Los procedimientos usados arriba para trazar LN(X) y EXP(X), por separadamente o simultáneamente, puede ser utilizado trazar cualquier función de la forma y = f(x).
Generación de una tabla de los valores para una función Las combinaciones de teclas „õ(E) y „ö(F), presionadas simultáneamente si se usa el modo RPN, permiten al usuario producir la tabla de valores de una función. Por ejemplo, para producir una tabla de la función Y(X) = X/(X+10), en el rango -5 < X < 5, síganse las siguientes instrucciones: • • • • Se generarán valores de la función f(x), definida anteriormente, para valores de x de -5 a 5, en incrementos de 0.5.
• Para ver la tabla, presiónese „ö(es decir, la tecla F) – simultáneamente si se usa el modo RPN. Esta acción producirá una tabla de valores de x = -5, -4.5, …, y los valores correspondientes de f(x), listados bajo el encabezado Y1. Utilícense las teclas direccionales verticales para mover el cursor en la tabla. Nótese que no tuvimos que indicar el valor final de la variable independiente x. La tabla continua mas allá del valor máximo sugerido de x = 5.
• • La opción Trig en @ZOOM produce incrementos relacionados a fracciones de π. Esta opción es útil en tablas de funciones trigonométricas. Para recuperar la pantalla normal presiónese la tecla `. Diagramas en coordenadas polares Primero que todo, usted puede desear suprimir las variables usadas en ejemplos anteriores (por ejemplo, X, EQ, Y1, PPAR) usando la función PURGE (I @PURGE). Haciendo esto, todos los parámetros relacionados con los gráficos estarán despejados.
• • • Presione @EDIT L @LABEL @MENU para ver la gráfica con etiquetas. Presione L para recobrar el menú. Presione L @)PICT para recobrar el menú gráfico original. Presione @TRACE @x,y@ para recorrer la curva. Los datos mostrados al pié de la pantalla son el ángulo θ y el radio r, aunque este último se denomina Y (nombre prefijado de la variable dependiente). Presione L@CANCL para regresar a la pantalla PLOT WINDOW. Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Trazado de curvas cónicas La forma más general de una curva cónica en el plano x-y es: Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F = 0. También reconocemos como ecuaciones cónicas ésos dados en la forma canónica para las figuras siguientes: • • • • círculo: elipse: parábola: hipérbola: (x-xo)2+(y-yo)2 = r2 (x-xo) 2/a2 + (y-yo) 2/b2 = 1 (y-b)2 = K(x-a), ó (x-a)2 = K(y-b) (x-xo) 2/a2 + (y-yo) 2/b2 = 1, ó xy = K, donde xo, yo, a, b, y K son constantes.
• • • • Active el ambiente PLOT WINDOW, presionando „ò, simultáneamente si en modo RPN. Cambie el rango para H-VIEW a -3 a 3, usando 3\@@@OK@@@3@@@OK@@@. También, cambie el rango V-VIEW a -1.5 a 2 usando 1.5\@@@OK@@@ 2@@@OK@@@. Cambie los campos Indep Low: y High: a Default usando L @RESET mientras que cada uno de esos campos se destaca. Seleccione la opción Reset value después de presionar @RESET. Presione @@@OK@@@ para terminar el reajuste de valores. Presione L para regresar al menú principal.
está cerca de (-0.692, 1.67), mientras que la intersección a la derecha está cerca de (1.89,0.5). • • Para recobrar el menú y regresar al ambiente PLOT, presione L@CANCL. Para regresar a la pantalla normal, presione L@@@OK@@@. Diagramas paramétricos Diagramas paramétricos en el plano son esos diagramas cuyas coordenadas se generan a través del sistema de ecuaciones x = x(t) y y = y(t), donde t se conoce como el parámetro.
• • • • • • Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla PLOT SETUP. Cambie TYPE a Parametric, presionando @CHOOS ˜˜@@@OK@@@. Presione ˜ y escriba ‘X(t) + i*Y(t)’ @@@OK@@@ para definir el diagrama paramétrico como el de una variable compleja. (las partes real e imaginaria de la variable compleja corresponden a las coordenadas x,y de la curva.) El cursor ahora está en el campo Indep. Presione ³~„t @@@OK@@@ para cambiar la variable independiente a t.
• • • Presione L para recobrar el menú. Presione L@)PICT para recobrar el menú gráfico original. Presione TRACE @(X,Y)@ para determinar coordenadas de cualquier punto en la gráfica. Use ™ y š para mover el cursor a lo largo de la curva. Al pié de la pantalla usted verá el valor del parámetro t y las coordenadas del cursor como (X,Y). Presione L@CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces, Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.
sección, presentamos el procedimiento para generar una tabla que corresponde a un diagrama paramétrico. Para este propósito, nos aprovecharemos de las ecuaciones paramétricas definidas en el ejemplo arriba. • Primero, accedemos a la pantalla TABLE SETUP presionando „õ, simultáneamente si en modo RPN. Para la variable independiente cambie el valor inicial a 0.0, y el valor Step a 0.1. Presione @@@OK@@@. • Genere la tabla presionando, simultáneamente si en modo RPN, „ö.
• • • • • • • • Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla PLOT SETUP. Cambie TYPE a Diff Eq. Presione ˜ y escriba ³„ ¸-~ „tQ2@@@OK@@@. El cursor ahora está en el campo H-Var. El campo debe de mostrar HVar:0 y también V-Var:1. Éste es el código usado por la calculadora para identificar las variables que se trazarán. H-Var:0 significa que la variable independiente (a ser seleccionada más adelante) será trazada en el eje horizontal.
• • • • • • Presione L para recobrar el menú. Presione L@)PICT para recobrar el menú gráfico original. Cuando observamos el gráfico que era trazado, usted notará que el gráfico no es muy liso. Eso es porque el trazador está utilizando un paso del tiempo que sea demasiado grande. Para refinar el gráfico y hacerle más liso, utilice un paso de 0.1. Intente lo siguiente: @CANCL ˜˜˜. 1@@@OK@@@ @ERASE @DRAW El diagrama tomará para ser terminado, pero la forma es definitivamente más lisa que antes.
Diagramas de verdad Se utilizan los diagramas de verdad de producir diagramas de dos dimensiones de las regiones que satisfacen cierta condición matemática que pueda ser verdadera o falsa. Por ejemplo, suponga que usted desea trazar la región la cual X^2/36 + Y^2/9 < 1, proceda de esta manera: • Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla PLOT SETUP. • Cambie TYPE a Truth.
pié de la pantalla usted verá el valor de los coordenadas del cursor como (X,Y). • Presione L@)CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces, Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal. Usted puede tener más de una condición trazada en el mismo tiempo si usted multiplica las condiciones.
x 3.1 3.6 4.2 4.5 4.9 5.2 y 2.1 3.2 4.5 5.6 3.8 2.2 z 1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 Diagramas de barra Primero, cerciorarse de que el CAS de su calculadora esté en modo Exact. A continuación, escriba los datos demostrados arriba como una matriz, i.e., [[3.1,2.1,1.1],[3.6,3.2,2.2],[4.2,4.5,3.3], [4.5,5.6,4.4],[4.9,3.8,5.5],[5.2,2.2,6.6]] ` para almacenarlo en ΣDAT, use la función STOΣ (disponible en el catálogo de funciones, ‚N). Presione VAR para recobrar el menú de variables.
• • • • • Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal. Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla PLOT. Cambie V-View para mostrar, V-View: 0 5. Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de barras. Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces, Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal. El número de las barras que se trazarán determina la anchura de la barra. Los valores H-VIEW y V-VIEW se fijan a 10, por defecto.
• Presione @CANCL para regresar a la pantalla PLOT WINDOW, entonces $ para regresar a la pantalla normal. Diagramas de dispersión Usaremos la misma matriz de datos ΣDAT para producir un diagrama de dispersión. Primero, trazaremos los valores de y vs. x, y después los de y vs. z, como sigue: • • • • • • • • • Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla PLOT SETUP. Cambie TYPE a Scatter. Presione ˜˜ para destacar el campo Cols:.
• • • • • • • • Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla PLOT SETUP. Presione ˜˜ para destacar el campo Cols: field. Escriba 3@@@OK@@@ 2@@@OK@@@ para seleccionar columna 3 como X y columna 2 como Y en el diagrama de dispersión, Y vs. X. Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal. Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla PLOT. Cambie los rangos de la pantalla de diagramas para mostrar: H-View: 0 7, V-View: 0 7.
• • • • • • Cambie TYPE a Slopefield. Presione ˜ y escriba ‘X+Y’ @@@OK@@@. Cerciórese que ‘X’ se selecciona como la variable Indep: y ‘Y’ como la variable Depnd:. Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal. Presione „ ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla PLOT . Cambie los rangos de la pantalla de diagramas para mostrar: X-Left:-5, XRight:5, Y-Near:-5, Y-Far: 5 • Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de pendientes.
• Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de pendientes. Presione @EDIT L @LABEL @MENU para ver el diagrama sin las etiquetas del menú y con etiquetas de identificación. • • Presione LL@)PICT para abandonar el ambiente EDIT. Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces, Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.
Nota: Los valores Step Indep: y Depnd: representan el número de incrementos en la malla gráfica a utilizarse. A medida que se incrementan estos números, la producción de la gráfica se hace más lenta, aunque el tiempo necesario para producirla es relativamente corto. • Presiónense las teclas @ERASE @DRAW para dibujar la superficie tridimensional. El resultado de esta operación es un diagrama de las trazas de la malla gráfica sobre la superficie.
He aquí otro ejercicio del tipo de gráfica Fast 3D, z = f(x,y) = sin (x2+y2) • • • • • Presiónese „ô, simultáneamente si se usa el modo RPN, para acceder al ambiente PLOT SETUP. Presiónese ˜ y escríbase la función ‘SIN(X^2+Y^2)’ @@@OK@@@. Presiónese @ERASE @DRAW para dibujar la superficie. Presiónese @EXIT @CANCL para regresar a la forma PLOT WINDOW. Presiónese $ , o L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.
• • Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla PLOT . Mantenga los rangos prefijados de la pantalla de diagramas mostrar: XLeft:-1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High: 1, XE:0,YE:-3, ZE:0, Step Indep: 10 Depnd: 8 Los coordenadas XE, YE, ZE, significan “coordenadas del ojo”, es decir, las coordenadas desde los cuales un observador ve el diagrama. Los valores demostrados son los valores prefijados.
• • Esta versión del gráfico ocupa más área en la pantalla que la anterior. Podemos cambiar el punto de vista, una vez más, para ver otra versión del gráfico. Presione LL@)PICT @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Cambie los datos de las coordenadas del punto de vista para mostrar : XE:3 YE:3 ZE:3 • Presione @ERASE @DRAW para ver el diagrama de la superficie. Esta vez el bulto del diagrama está situado hacia el lado derecho de la pantalla.
• • Presione LL@)PICT para abandonar el ambiente EDIT. Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces, Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal. Diagramas de contornos (Ps-Contour plots) Los diagramas de contornos (Ps-Contour plots) son los diagramas del contorno de superficie tridimensional descritos por z = f(x,y). Los contornos producidos son proyecciones de superficies de nivel z = constante en el plano x-y.
• • Presione LL@)PICT@CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal. Intente también un diagrama de contornos para la superficie z = f(x,y) = sin x cos y. • • • • • Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder a la pantalla PLOT SETUP. Presione ˜ y escriba ‘SIN(X)*COS(Y)’ @@@OK@@@. Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de contornos.
• • • • • • • Cambie TYPE a Y-Slice. Presione ˜ y escriba ‘X^3+X*Y^3’ @@@OK@@@. Cerciórese que ‘X’ se selecciona como la variable Indep: y ‘Y’ como la variable Depnd:. Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal. Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla PLOT .
Diagramas de redes (Gridmap plots) Los diagramas de redes (Gridmap plots) producen una red de curvas ortogonales que describen una función de una variable compleja de la forma w =f(z) = f(x+iy), donde z = x+iy es una variable compleja. Las funciones trazadas corresponden a las partes real e imaginaria de w = Φ(x,y) + iΨ(x,y), es decir, representan curvas Φ(x,y) =constante, y Ψ(x,y) = constante.
(1) (3) (5) (7) (9) SIN((X,Y)) EXP((X,Y)) TAN((X,Y)) (X,Y)^3 √ (X,Y) i.e., i.e., i.e., i.e., i.e., F(z) F(z) F(z) F(z) F(z) = = = = = sin(z) ez tan(z) z3 z1/2 (2)(X,Y)^2 (4) SINH((X,Y)) (6) ATAN((X,Y)) (8) 1/(X,Y) i.e., i.e., i.e., i.e.
• • Presione LL@)PICT @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal. La variable VPAR La variable VPAR (inglés, Volume Parameter, o parámetros de volumen) contiene la información con respecto al "volumen" usado para producir un gráfico tridimensional. Por lo tanto, usted verá que se produce esta variable siempre que usted cree un diagrama tridimensional, por ejemplo, Fast3D, Wireframe, or Pr-Surface.
ejemplo, DOT+, DOT-, LINE, BOX, CIRCL, MARK, DEL, etc., puede ser utilizadas para dibujar puntos, líneas, círculos, etc.. en la pantalla de los gráficos, según lo descrito abajo. Para ver cómo utilizar estas funciones intentaremos el ejercicio siguiente: Primero, conseguimos la pantalla de los gráficos que corresponde a las instrucciones siguientes: • • • • • • • • • Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla PLOT SETUP.
una línea horizontal que es trazada. Ahora, presione @DOT-@, para seleccionar esta opción ( @DOT- @ ). Presione y mantenga presionada la tecla š para ver la línea que usted acaba de trazar siendo borrada. Presione @DOT-, cuando haya terminado para deseleccionar esta opción.
(MARK) se coloca en el comienzo de la línea. Mueva el cursor con las teclas lejos de este punto, y presione @TLINE. Una línea se dibuja de la posición actual del cursor al punto de referencia seleccionado anteriormente. Los píxeles que están encendido en la línea trayectoria serán apagados, y viceversa. Para remover la línea trazada más reciente trazada, presione @TLINE una vez más. Para desactivar TLINE, mueva el cursor al punto original donde TLINE fue activada, y presione @LINE @LINE.
DEL Se utiliza este comando para remover las partes del gráfico entre dos posiciones MARK. Mueva el cursor a un punto en el gráfico, y presione @MARK. Mueva el cursor a un punto diferente, y presione @MARK una vez más. Entonces, presione @@DEL@. La sección del gráfico contenida entre las dos marcas será suprimida. ERASE La función ERASE despeja la ventana entera de los gráficos. Este comando está disponible en el menú PLOT, así como en las ventanas gráficas y estará accesible con una tecla del menú.
PICT Este comando coloca una copia del gráfico actualmente en la ventana de los gráficos a la pantalla como un objeto gráfico. El objeto gráfico puesto en la pantalla puede ser asignada al nombre de una variable para almacenaje u otro tipo de manipulación. X,Y Este comando copia los coordenadas de la posición actual del cursor, en coordenadas de usuario, a la pantalla.
mostrar 2., y presione @@@OK@@. Seleccione la opción Recenter on cursor, y presione @@@OK@@. De vuelta en la pantalla de los gráficos, presione @@ZIN@ . El gráfico re-se dibuja con los nuevos factores de posicionamiento horizontales de la vertical y, centrados en la posición donde el cursor fue localizado, mientras que se mantiene el tamaño original de PICT (es decir, el número original de píxeles en ambas direcciones).
variable independiente (x), pero ajustando el rango de la variable dependiente (y) para que la curva quepa en la pantalla (como cuando se usa la función @AUTO en la pantalla PLOT WINDOW, „ò, simultáneamente en modo RPN). HZIN, HZOUT, VZIN y VZOUT Estas funciones enfocan hacia adentro y hacia afuera de la pantalla de los gráficos en la dirección horizontal o vertical según los factores H y V actuales. CNTR Enfoca hacia adentro con el centro de la ventana de enfoque en la localización de cursor actual.
Nota: Ningunas de estas funciones son programables. Son solamente útiles de una manera interactiva. No confunda el comando @ZFACT en el menú ZOOM con la función ZFACTOR, la cuál se utiliza aplicaciones en dinámica de los gases y en la química (ver el capítulo 3). El menú SYMBOLIC y los gráficos El menú SYMBOLIC se activa presionando la tecla P (cuarta tecla de la izquierda en la cuarta fila de del teclado).
DEFINE: igual como la secuencia „à (la tecla 2) GROBADD: junta dos GROBs, el primero sobre el segundo (Ver El Capítulo 22) PLOT(función): traza una función, similar a „ô PLOTADD(función): agrega esta función a la lista de funciones al diagrama, similar a „ô Plot setup..
TABVAL(X^2-1,{1, 3}) produce una lista de valores {min max} de la función en el intervalo {1,3}, mientras que SIGNTAB(X^2-1) muestra el signo de la función en el intervalo (-∞,+), con f(x) > 0 en (-∞,-1), f(x) <0, in (-1,1), y f(x) > 0 in (1,+ ∞).
interrogación en ese intervalo. Derecho en cero (0+0) F es infinito, para X = e, F = 1/e. F aumenta antes de alcanzar este valor, según lo indicado por la flecha ascendente, y disminuye después de este valor (X=e) el llegar a ser levemente más grande de cero (+:0) cuando X va al infinito. Un diagrama del gráfico se demuestra abajo para ilustrar estas observaciones: Función DRAW3DMATRIX Esta función toma como argumento una matriz n×m, Z, = [ zij ], y valores mínimo y máximo para el diagrama.
Capítulo 13 Aplicaciones en el Cálculo Este Capítulo discute las aplicaciones de la calculadora a operaciones relacionadas al cálculo diferencial e integral, es decir, límites, derivadas, integrales, series de potencias, etc. El menú CALC (Cálculo) La mayoría de las funciones utilizadas en este Capítulo se presentan en el menú CALC de la calculadora.
La función lim La calculadora provee la función lim para calcular límites de funciones. Esta función utiliza como argumento una expresión que representa una función y el valor de la variable independiente donde se evaluará el límite. La función lim se obtiene a través del catálogo de funciones de la calculadora (‚N~„l) o, a través de la opción 2. LIMITS & SERIES… del menú CALC, que se presentó anteriormente.
El símbolo del infinito se asocia con la tecla 0, es decir, „è.
El menú DERIV&INTEG Las funciones disponibles en este sub-menú se muestran a continuación: De esta lista de funciones, las funciones DERIV y DERVX se utilizan para calcular derivadas. Las otras funciones incluyen funciones relacionadas con los antiderivadas y las integrales (IBP, INTVX, PREVAL, RISCH, SIGMA, y SIGMAVX), a las series de Fourier (FOURIER), y al análisis vectorial (CURL, DIV, HESS, LAPL).
En modo RPN, esta expresión se debe incluir entre comillas antes de incorporarla en la pantalla. El resultado en modo de ALG es: En el escritor de la ecuación, cuando usted presiona ‚¿, la calculadora produce la expresión siguiente: El cursor de inserción ( ) estará situado a la derecha en el denominador, en espera de que el usuario escriba una variable independiente, por ejemplo, s: ~„s.
Nota: El símbolo ∂ se utiliza formalmente en matemática para indicar una derivada parcial, es decir, la derivada de una función con más de una variable. Sin embargo, la calculadora no distingue entre las derivadas ordinarios y parciales, y utiliza el mismo símbolo para ambos. El usuario debe tener esta distinción presente al traducir resultados de la calculadora al papel. La regla de la cadena la regla de la cadena para las derivadas se aplica a las derivadas de funciones compuestas.
Derivadas de ecuaciones Uno puede utilizar la calculadora para calcular derivadas de ecuaciones, es decir, las expresiones en las cuales las derivadas existirán en ambos lados del signo igual. Algunos ejemplos se demuestran a continuación: Nótese que en las expresiones donde se utiliza el signo de derivada (∂) o la función DERIV, el signo igual se preserva en la ecuación, pero no en los casos donde la función DERVX fue utilizada.
Analizando las gráficas de las funciones En el capítulo 11 presentamos algunas funciones que están disponibles en la pantalla gráfica para analizar gráficos de las funciones de la forma y = f(x). Estas funciones incluyen (X,Y) y TRACE para determinar puntos en el gráfico, así como funciones en el menú ZOOM y FCN. Las funciones en el menú ZOOM permiten que el usuario enfoque dentro de un gráfico para analizarlo más detalladamente. Estas funciones se describen en detalle en el capítulo 12.
• • • Presiónese @TRACE @(X,Y)@, y muévase el cursor al punto X: 1.08E0, Y: 1.86E0. A continuación, presione L@)@FCN@ @SLOPE. El resultado es Slope: 4.45010547846 (la pendiente). Presiónese LL@TANL. Esta operación produce la ecuación de la línea tangente, y traza el gráfico de la misma en la figura. El resultado se muestra a continuación: Presiónese L @PICT @CANCL $ para volver a la pantalla normal de la calculadora. Notar que la pendiente y la línea tangente requeridas se listan en la pantalla.
La función TABVAL Esta función se puede activar a través del catálogo de funciones o con el submenú GRAPH en el menú CALC. La función TABVAL toma como argumentos una función de la variable del CAS, f(X), y una lista de dos números que representan un dominio del interés para la función f(X). La función TABVAL reproduce los argumentos de entrada más el rango de la función que corresponde al dominio usado como entrada.
Para este caso, la función es negativa para X<-1 y positiva para X> -1. La función TABVAR Esta función se activa a través del catálogo de funciones o con el sub-menú GRAPH en el menú CALC. TABVAR utiliza como entrada la función f(VX), en la cual VX es la variable independiente del CAS.
Presiónese $ para recobrar la pantalla normal. Presiónese ƒ para eliminar el último resultado en la pantalla. Dos listas, correspondiendo a las filas superior e inferior de la matriz gráfica mostrada anterior, ocupan ahora el nivel 1. Estas listas pueden ser útiles para propósitos de programación. Presiónese ƒ para eliminar el último resultado de la pantalla.
máximo local. Del gráfico de y = f(x) se observa que el máximo absoluto en el intervalo [a,b] ocurre en x = a, mientras que el mínimo absoluto ocurre en x = b. Por ejemplo, para determinar dónde ocurren los puntos críticos de la función 'X^3-4*x^2-11*x+30 ', podemos utilizar las expresiones siguientes en modo de ALG: Encontramos dos puntos críticos, uno en x = 11/3 y uno en x = -1.
Este resultado indica que f"(-1) = -14, así que, x = -1 es un máximo relativo. Evalúese la función en esos puntos para verificar eso de hecho f(-1) > f(11/3). Derivadas de orden superior Las derivadas de orden superior pueden calcularse al aplicar una función de derivación varias veces, por ejemplo, Antiderivadas e integrales Una antiderivada de la función f(x) es una función F(x) tal que f(x) = dF/dx.
funciones INT y RISCH requieren, por lo tanto, no solamente la expresión de la función a integrar, sino también el nombre de la variable independiente. La función INT requiere también el valor de x donde se evaluará la integral. Las funciones INTVX y SIGMAVX requieren solamente la expresión de la función a integrarse en términos de la variable VX. La función INTVX se localiza en el menú CALC, las otras funciones de interés se pueden localiza utilizando el catálogo de funciones.
Para calcular integrales definidas la calculadora provee el símbolo integral a través de la combinación ‚Á (asociado con la tecla U). La manera más simple de construir un integral consiste en utilizar el escritor de ecuaciones (el capítulo 2 presenta un ejemplo). Dentro del escritor de ecuaciones, el símbolo ‚Á produce el signo integral y proporciona las localidades para los límites de integración (a,b), para la función f(x), y para la variable de la integración x.
La integral se puede evaluar también en el escritor de ecuaciones, al seleccionar la expresión completa y presionar la tecla de menú @EVAL. Evaluación de derivadas e integrales paso a paso Cuando se selecciona la opción Step/Step en la pantalla CAS MODES (ver el capítulo 1), la evaluación de derivadas e integrales se mostrará paso a paso.
Nótese que el proceso paso a paso proporciona información sobre los pasos intermedios seguidos por el CAS para evaluar esta integral. Primero, el CAS identifica la integral de una raíz cuadrada, después, una fracción racional, y una segunda expresión racional, hasta obtener el resultado final. Nótese que estos pasos son entendidos por la calculadora, aunque no se provee suficiente información al usuario sobre los pasos individuales.
Sustitución o cambio de variable Supóngase que se desea calcular la integral ∫ 2 x 0 1− x2 dx . Si utilizamos el cálculo paso a paso en el escritor de ecuaciones, la siguiente es la secuencia de sustituciones de las variables: Este segundo paso demuestra la sustitución apropiada a utilizarse, u = x2-1. Los cuatro pasos anteriores muestran la progresión de la solución: una raíz cuadrada, seguida por una fracción, una segunda fracción, y el resultado final.
incrementos infinitesimales en las variables. El diferencial de un producto de dos funciones, y = u(x)v(x), se calcula usando dy = u(x)dv(x) +du(x)v(x), o, simplemente, d(uv) = udv + vdu. De manera que la integral de udv = d(uv) vdu se escribe como ∫ udv = ∫ d (uv) − ∫ vdu . Dado que, por definición, ∫dy = y, la expresión anterior se escribe como ∫ udv = uv − ∫ vdu . Esta formulación, conocida como integración por partes, se puede utilizar para encontrar un integral si dv es fácilmente integrable.
Integración por fracciones parciales La función PARTFRAC, presentada en el capítulo 5, provee la descomposición de una fracción en fracciones parciales. Esta técnica es útil para reducir una fracción complicada en una suma de las fracciones simples que puedan integrarse término a término.
Alternativamente, usted puede evaluar la integral al infinito directamente, es decir, Integración incluyendo unidades de medida Una integral se puede calcular con las unidades incorporadas en los límites de la integración, como en el ejemplo siguiente que utiliza el modo ALG, con el CAS fijado a modo Aprox. La figura de la izquierda muestra la integral escrita en la línea de entrada antes de presionar `. La figura de la derecha muestra el resultado después de presionar `.
2 - Las unidades del límite superior deben ser consistentes con las unidades del límite inferior. Si no, la calculadora no evalúa la integral, por ejemplo: 3 – El integrando puede tener unidades también. Por ejemplo: 4 – Si los límites de la integración y el integrando tienen unidades, las unidades que resultan se combinan según las reglas de la integración. Por ejemplo: Series infinitas ∞ Una serie infinita se escribe como ∑ h ( n)( x − a ) n .
Series de Taylor y de Maclaurin Una función f(x) se puede expandir en una serie infinita alrededor de un punto x=x0 usando una serie de Taylor, es decir, ∞ f ( x) = ∑ n =0 f ( n ) ( xo ) ⋅ ( x − xo ) n , n! en la cual f(n)(x) representa la n-sima derivada de f(x) con respecto a x, y f(0)(x) = f(x).
x0, mientras más elementos en el polinomio de Taylor, menor será el orden de magnitud del residuo. Las funciones TAYLR, TAYLR0, y SERIES Las funciones TAYLR, TAYLR0, y SERIES se utilizan para generar polinomios de Taylor, así como series Taylor con residuos. Estas funciones se encuentran disponibles en el menú CALC/LIMITS&SERIES descrito anteriormente. La función TAYLOR0 produce una serie de Maclaurin, es decir, alrededor de X = 0, de une expresión de la variable CAS VX (usualmente ‘X’).
1 - El límite bi-direccional de la función en el punto de expansión, lim f ( x) x→ a 2 - El valor equivalente de la función cerca del valor x = a 3 - La expresión del polinomio de Taylor 4 - El orden del residuo del polinomio de Taylor Debido a la cantidad de resultados, esta función se puede observar más fácilmente en el modo RPN.
Capítulo 14 Aplicaciones en el Cálculo Multivariado El cálculo multivariado se aplica a funciones de dos o más variables. En este Capítulo se discuten los conceptos básicos conceptos del cálculo multivariado: derivadas parciales e integrales múltiples. Funciones de múltiple variables Una función de dos o más variables puede definirse en la calculadora usando la función DEFINE („à).
f ( x + h, y ) − f ( x , y ) ∂f . = lim h → 0 h ∂x Similarmente, ∂f f ( x, y + k ) − f ( x, y ) = lim . k → 0 ∂y k Utilizaremos las funciones multi-variadas definidas anteriormente para calcular derivadas parciales usando estas definiciones. A continuación se muestran las derivadas de f(x, y) con respecto a x y a y, respectivamente: Nótese que la definición de la derivada parcial con respecto a x, por ejemplo, requiere que mantengamos fija la y mientras que tomen el límite como h 0.
‘X’). Algunos ejemplos de derivadas parciales del primer orden se muestran a continuación. Las funciones utilizadas en los primeros dos ejemplos son f(x,y) = SIN(y), y g(x,y,z) = (x2+y2)1/2sin(z).
Derivadas de órdenes 3, 4, y mayor, se definen de manera similar. Para calcular derivadas de un orden superior en la calculadora, repítase simplemente la derivada tantas veces tan necesarias. Algunos ejemplos se demuestran a continuación: La regla de la cadena para derivadas parciales Considérese la función z = f(x, y), tal que x = x(t), y = y(t). La función z representa realmente una función compuesta de t si la escribimos como z = f[x(t), y(t) ].
dz/dt = (dy/dt)⋅(∂z/∂y) + (dx/dt)⋅(∂z/∂x). El diferencial total de una función z = z(x,y) De la ecuación pasada, si nos multiplicamos por despegue, conseguimos el diferencial total de la función z = z(x, y), es decir, dz = (∂z/∂x)⋅dx + (∂z/∂y)⋅dy. Una versión diferente de la regla de la cadena se aplica al caso en el cual z = f(x, y), x = x(u, v), y = y(u, v), tal que z = f[x(u, v), y(u, v) ].
Encontramos puntos críticos en (X,Y) = (1.0), y (X,Y) = (-1.0). Para calcular el discriminante, procedemos a calcular las segundas derivadas, fXX(X,Y) = ∂2f/∂X2, fXY(X,Y) = ∂2f/∂X/∂Y, y fYY(X,Y) = ∂2f/∂Y2. El resultado último indica que es el discriminante ∆ = -12X, así que, para (X,Y) = (1.0), ∆ < 0 (punto de montura), y para (X,Y) = (-1.0), ∆>0 y ∂2f/∂X2<0 (máximo relativo).
independientes φ(x1, x2, …,xn), y un vector de las funciones [‘x1’ ‘x2’…’xn’]. La función HESS produce la matriz Hessiana de la función φ, definida como la matriz H = [hij] = [∂2φ/∂xi∂xj], el gradiente de la función con respecto a las nvariables, grad f = [ ∂φ/∂x1, ∂φ/∂x2 , … ∂φ/∂xn], y la lista de variables [‘x1’ ‘x2’…’xn’]. La función HESS es más fácil de visualizar en el modo RPN.
La matriz resultante A contiene los elementos a11 = ∂2φ/∂X2 = -6., a22 = ∂2φ/∂X2 = -2., y a12 = a21 = ∂2φ/∂X∂Y = 0. El discriminante para este punto crítico, s1(-1,0), es ∆ = (∂2f/∂x2)⋅ (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 = (-6.)(-2.) = 12.0 > 0. Dado que ∂2φ/∂X2 <0, el punto s1 representa un máximo relativo. A continuación, sustituimos el segundo punto, s2, en H: J @@@H@@@ @@s2@@ SUBST ‚ï Substituir s2 en H La matriz resultante A contiene los elementos a11 = ∂2φ/∂X2 = 6., a22 = ∂2φ/∂X2 = -2.
El Jacobiano de una transformación de coordenadas Considérese la transformación de coordenadas x = x(u,v), y = y(u,v). El Jacobiano de esta transformación se define como: ∂x | J |= det( J ) = det ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v . ∂y ∂v Cuando se calcula una integral doble utilizando esta transformación, la expresión a utilizar es ∫∫φ ( x, y)dydx = ∫∫φ[ x(u, v), y(u, v)] | J | dudv , en R R' la cual R’ es la región R expresada en términos de las coordenadas (u,v).
∂x | J |= ∂r ∂y ∂r ∂x ∂θ = cos(θ ) − r ⋅ sin(θ ) = r ∂y sin(θ ) r ⋅ cos(θ ) ∂θ Con este resultado, las integrales en coordenadas polares se escriben como β g (θ ) α f (θ ) ∫∫φ (r ,θ )dA = ∫ ∫ R' φ (r ,θ )rdrdθ en la cual la región R’ en coordenadas polares es R’ = {α < θ < β, f(θ) < r < g(θ)}. Los integrales dobles en coordenadas polares se pueden escribir en la calculadora, cerciorándose de que el Jacobiano |J| = r se incluye en el integrando.
Capítulo 15 Aplicaciones en Análisis Vectorial En este capítulo presentamos un número de funciones del menú CALC que se apliquen al análisis de los campos escalares y vectoriales. El menú CALC fue presentado detalladamente en el capítulo 13. En el menú DERIV&INTEG identificamos un número de funciones que tienen usos en el análisis vectorial, a saber, CURL, DIV, HESS, LAPL. Para los ejercicios en este capítulo, cambie su medida angular a radianes.
particular. Este índice del cambio se conoce como la derivada direccional de la función, Duφ(x,y,z) = u•∇φ. En cualquier punto particular, el índice del cambio máximo de la función ocurre en la dirección del gradiente, es decir, a lo largo de un vector unitario, u = ∇φ/|∇φ|. El valor de esta derivada direccional es igual a la magnitud del gradiente en cualquier punto Dmaxφ(x,y,z) = ∇φ •∇φ/|∇φ| = |∇φ| La ecuación φ(x,y,z) = 0 representa una superficie en el espacio.
Utilizando la función HESS para obtener el gradiente La función HESS puede utilizarse para obtener el gradiente de una función. La función HESS toma como argumentos una función de n variables independientes, φ(x1, x2, …,xn), y un vector de las variables [‘x1’ ‘x2’…’xn’]. La función HESS produce la matriz Hessiana de la función φ, H = [hij] = [∂φ/∂xi∂xj], el gradiente de la función con respecto a las n variables, grad f = [ ∂φ/∂x1 ∂φ/∂x2 … ∂φ/∂xn], y la lista de variables [‘x1’, ‘x2’,…,’xn’].
Dado que la función SQ(x) representa x2, esto resulta indica que la función potencial para el campo vectorial F(x,y,z) = xi + yj + zk, es φ(x,y,z) = (x2+y2+z2)/2. Note que las condiciones para la existencia de φ(x,y,z), a saber, f = ∂φ/∂x, g = ∂φ/∂y, h = ∂φ/∂z, ser equivalente a las condiciones: ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x, ∂g/∂z = ∂h/∂y. Estas condiciones proporcionan una manera rápida de determinarse si el campo del vector tiene una función potencial asociada.
Laplaciano La divergencia del gradiente de una función escalar produce a operador llamado el operador Laplaciano. Así, el Laplaciano de una función escalar φ(x,y,z) resulta ser ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∇ φ = ∇ • ∇φ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂x ∂x 2 La ecuación diferencial parcial ∇2φ = 0 se conoce como la ecuación de Laplace. La función LAPL se puede utilizar para calcular el Laplaciano de una función escalar.
Campos irrotacionales y la función potencial En una sección anterior en este capítulo introdujimos la función POTENTIAL para calcular la función potencial φ(x,y,z) de un campo vectorial, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+ g(x,y,z)j+ h(x,y,z)k, tal que F = grad φ = ∇φ. También indicamos que las condiciones para la existencia de φ son: ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x, ∂g/∂z = ∂h/∂y. Estas condiciones son equivalentes a la expresión vectorial: curl F = ∇×F = 0.
Φ(x,y,z), dado el campo vectorial, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k. Por ejemplo, dado el campo vectorial, F(x,y,z) = -(yi+zj+xk), la función VPOTENTIAL produce el resultado siguiente: es decir, Φ(x,y,z) = -x2/2j + (-y2/2+zx)k. Debe ser indicado que hay más de un potencial vectorial Φ posible para un campo vectorial dado F. Por ejemplo, la siguiente pantalla muestra que el rotacional de la función vectorial Φ1 = [X2+Y2+Z2,XYZ,X+Y+Z] es el vector F = ∇× Φ2 = [1-XY,2Z-1,ZY-2Y].
La condición ∇•F ≠ 0 se verifica en la siguiente pantalla: Página 15-8
Capítulo 16 Ecuaciones Diferenciales En este Capítulo se presentan ejemplos de la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) utilizando funciones de la calculadora. Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de la variable independiente. En la mayoría de los casos, se busca una función dependiente que satisface la ecuación diferencial.
~„x ™™ +~„u„ Ü ~„x™ Q2 ‚ Å 1/ ~„x` El resultado es ‘∂x(∂x(u(x)))+3*u(x)*∂x(u(x))+u^2=1/x ’. Este formato muestra se muestra en la pantalla cuando la opción _Textbook no está seleccionada para la pantalla (H@)DISP). Presione ˜ para ver la ecuación en el Escritor de ecuaciones.
Comprobación de soluciones en la calculadora Para comprobar si una función satisface cierta ecuación usando la calculadora, use la función SUBST (ver el capítulo 5) substituya la solución en la forma ‘y = f(x)’ o ‘y = f(x,t)’, etc., en la ecuación diferencial. Puede ser que Usted necesite simplificar el resultado usando la función EVAL para verificar la solución.
herramientas útiles para visualizar las curvas y = g(x) que corresponden a ecuaciones difíciles de resolver analíticamente. El menú CALC/DIFF El sub-menú DIFFERENTIAL EQNS.. dentro del menú CALC („Ö) provee funciones para la solución de las ecuaciones diferenciales. El menú CALC/DIFF que resulta cuando la opción CHOOSE boxes se selecciona para la señal de sistema 117 es el siguiente: Estas funciones se describen brevemente a continuación.
La función LDEC La calculadora provee la función LDEC para determinar la solución general de una EDO lineal de cualquier orden con coeficientes constantes, ya sea que la EDO es homogénea o no. Esta función requiere dos argumentos • • El lado derecho de la EDO La ecuación característica de la EDO Estos dos argumentos deberás escribirse en términos de la variable del CAS (usualmente X). El resultado de la función es la solución general de la EDO.
Substituyendo la combinación de las constantes que acompañan los términos exponenciales por valores más simples, la expresión se puede simplificar a y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x + (450⋅x2+330⋅x+241)/13500. Reconocemos los primeros tres términos como la solución general de la ecuación homogénea (ver el ejemplo 1, arriba). Si yh representa la solución a la ecuación homogénea, es decir., yh = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x.
x1’(t) + 2x2’(t) = 0, 2x1’(t) + x2’(t) = 0. 1 2 . 2 1 En forma algebraica, se escribe esto como: A⋅x’(t) = 0, donde A = El sistema puede ser solucionado usando la función LDEC con argumentos [0,0] y la matriz A, según lo demostrado al usar siguiente de la pantalla usando el modo ALG: La solución se da como un vector que contiene las funciones [x1(t), x2(t)]. Al presionar ˜ activará el escritor de matrices permite que el usuario vea los dos componentes del vector.
'd1y(x)+x^2*y(x)=5' ` 'y(x)' ` DESOLVE La solución proveída es {‘y = (INT(5*EXP(xt^3/3),xt,x)+C0)*1/EXP(x^3/3))’ }, es decir, ( ) y ( x) = exp(− x 3 / 3) ⋅ ∫ 5 ⋅ exp( x 3 / 3) ⋅ dx + C 0 . La variable ODETYPE Nótese la existencia de una nueva variable denominada @ODETY (ODETYPE). Esta variable se produce al utilizar la función DESOLVE y contiene una cadena de caracteres que identifican el tipo de EDO utilizada como argumento de la función DESOLVE.
En la calculadora, usted puede intentar integrar: ‘d1y(x) = (C + EXP(x))/x’ ` ‘y(x)’ ` DESOLVE El resultado es { ‘y(x) = INT((EXP(xt)+C)/xt,xt,x)+C0’ }, es decir, y ( x) = ∫ ⋅ ex + C dx + C 0 x Realizando la integración a mano, podemos llevarla solamente hasta: y ( x) = ∫ ⋅ ex dx + C ⋅ ln x + C 0 x porque el integral de exp(x)/x no está disponible en forma cerrada. Ejemplo 3 – Resuélvase la siguiente ecuación sujeta a condiciones iniciales.
La solución en este caso es: Presiónese µµ para simplificar el resultado y obtener: ‘y(t) = -((19*√5*SIN(√5*t)-(148*COS(√5*t)+80*COS(t/2)))/190)’. Transformadas de Laplace La transformada de Laplace de una función f(t) produce una función F(s) in el dominio imagen que puede utilizarse para encontrar, a través de métodos algebraicos, la solución de una ecuación diferencial lineal que involucra a la función f(t). Los pasos necesarios para este tipo de solución son los siguientes: 1. 2. 3.
circuitos eléctricos o hidráulicos. En la mayoría de los casos uno está interesado en la respuesta de sistema después del tiempo t>0, así, la definición de la transformada de Laplace, presentada anteriormente, implica una integración para los valores de t mayores que cero. La transformada inversa de Laplace relaciona la función F(s) con la función original f(t) en el dominio del tiempo, es decir, L -1{F(s)} = f(t).
Nótese que en la definición de la calculadora la variable CAS, X, en la pantalla reemplaza a la variable s in esta definición. Por lo tanto, cuando se utiliza la función LAP se obtiene una función de X que representa la transformada de Laplace de f(X). Ejemplo 2 – Determine la Transformada de Laplace de f(t) = e2t⋅sin(t). Use: ‘EXP(2*X)*SIN(X)’ ` LAP La calculadora produce el resultado: 1/(SQ(X2)+1). Presione µ para obtener, 1/(X2-4X+5).
• Teorema de la diferenciación de la primera derivada. Sea fo la condición inicial para f(t), es decir, f(0) = fo, entonces L{df/dt} = s⋅F(s) - fo. Ejemplo 1 – La velocidad de una partícula móvil v(t) se define como v(t) = dr/dt, donde r = r(t) es la posición de la partícula. Sea ro = r(0), y R(s) =L{r(t)}, entonces, la transformada de la velocidad se puede escribir como V(s) = L{v(t)}=L{dr/dt}= s⋅R(s)-ro. • Teorema de la diferenciación para la segunda derivada.
El resultado es ‘-6/(X^4+4*a*X^3+6*a^2*X^2+4*a^3*X+a^4)’, o d3F/ds3 = -6/(s4+4⋅a⋅s3+6⋅a2⋅s2+4⋅a3⋅s+a4). Ahora, use ‘(-X)^3*EXP(-a*X)’ ` LAP µ. El resultado es exactamente el mismo. • teorema de la integración. Sea F(s) = L{f(t)}, entonces { t } L ∫ f (u )du = • 0 1 ⋅ F ( s ). s teorema de la circunvolución.
• • • Teorema de la semejanza. Sea F(s) = L{f(t)}, y a>0, entonces L{f(a⋅t)} = (1/a)⋅F(s/a). Teorema de amortiguación. Sea F(s) = L{f(t)}, entonces L{e–bt⋅f(t)} = F(s+b). Teorema de la división. Sea F(s) = L{f(t)}, entonces ∞ f (t ) L = ∫ s F (u )du. t • Transformada de Laplace de una función periódica de período T: L{ f (t )} = • T 1 ⋅ f (t ) ⋅ e − st ⋅ dt. − sT ∫ 0 1− e Teorema del límite par el valor inicial: Sea F(s) = L{f(t)}, entonces f 0 = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s )].
∫ ∞ −∞ δ ( x)dx = 1.0. Así mismo, si f(x) es una función continua, entonces ∫ ∞ −∞ f ( x)δ ( x − x0 )dx = f ( x0 ). Una interpretación para el integral arriba, parafraseada de Friedman (1990), es que la función δ “selecciona” el valor de la función f(x) para x = x0. La función delta de Dirac es representada típicamente por una flecha ascendente en el punto x = x0, indicando que la función tiene un valor diferente a cero solamente en ese valor particular de x0.
donde Uo es una constante. También, L -1{1/s}=H(t), y L -1{ Uo /s}= Uo⋅H(t). También, usando el teorema del desfase a la derecha, L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s), podemos escribir L{H(t-k)}=e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = (1/s)⋅e–ks. Otro resultado importante, conocido como el segundo teorema de desfase para desfase a la derecha, se escribe L -1{e–as ⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a), con F(s) = L{f(t)}. En la calculadora la función grada de Heaviside H(t) se refiere simplemente como ‘1’.
Los teoremas sobre las derivadas de una función, es decir, L{df/dt} = s⋅F(s) - fo, L{d2f/dt2} = s2⋅F(s) - s⋅fo – (df/dt) o, y, en general, L{dnf/dtn} = sn⋅F(s) – sn-1⋅fo −…– s⋅f(n-2)o – f (n-1) , o son particularmente útiles en transformar la EDO en una ecuación algebraica. Ejemplo 1 – Para solucionar la ecuación de primer orden, dh/dt + k⋅h(t) = a⋅e–t, usando Transformadas de Laplace, podemos escribir: L{dh/dt + k⋅h(t)} = L{a⋅e–t}, L{dh/dt} + k⋅L{h(t)} = a⋅L{e–t}.
El resultado es . Substituyendo X por t en esta expresión y simplificándolo, resulta en h(t) = a/(k-1)⋅e-t +((k-1)⋅ho-a)/(k-1)⋅e-kt. Comprobar lo que la solución a la EDO ser si usted utiliza la función LDEC: ‘a*EXP(-X)’ ` ‘X+k’ ` LDEC µ El resultado es: , es decir, h(t) = a/(k-1)⋅e-t +((k-1)⋅cCo-a)/(k-1)⋅e-kt. Por lo tanto, cC0 en los resultados de LDEC representa la condición inicial h(0).
Con Y(s) = L{y(t)}, y L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, donde yo = h(0) y y1 = h’(0), la ecuación transformada es s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + 2⋅Y(s) = 3/(s2+9). Use la calculadora para despejar Y(s), escribiendo: ‘X^2*Y-X*y0-y1+2*Y=3/(X^2+9)’ ` ‘Y’ ISOL El resultado es ‘Y=((X^2+9)*y1+(y0*X^3+9*y0*X+3))/(X^4+11*X^2+18)’.
de Laplace y transformadas inversas para resolver EDOs dado el lado derecho de la ecuación y la ecuación característica de la EDO homogénea correspondiente. Ejemplo 3 – Considere la ecuación d2y/dt2+y = δ(t-3), donde δ(t) es la función delta de Dirac. Usando transformadas de Laplace, podemos escribir: L{d2y/dt2+y} = L{δ(t-3)}, L{d2y/dt2} + L{y(t)} = L{δ(t-3)}. Con ‘Delta(X-3)’ ` LAP , la calculadora produce EXP(-3*X), es decir, L{δ(t-3)} = e–3s.
y utilice el teorema de linealidad de la transformada inversa de Laplace L -1{a⋅F(s)+b⋅G(s)} = a⋅L -1{F(s)} + b⋅L -1{G(s)}, para escribir, L -1{yo⋅s/(s2+1)+y1/(s2+1)) + e–3s/(s2+1)) } = yo⋅L -1{s/(s2+1)}+ y1⋅L -1{1/(s2+1)}+ L -1{e–3s/(s2+1))}, Entonces, utilizamos la calculadora para obtener lo siguiente: ‘X/(X^2+1)’ ` ILAP ‘1/(X^2+1)’ ` ILAP ‘EXP(-3*X)/(X^2+1)’ ` ILAP Resultado, ‘COS(X)’, ó, L -1{s/(s2+1)}= cos t. Resultado, ‘SIN(X)’, ó, L -1{1/(s2+1)}= sin t. Resultado, SIN(X-3)*Heaviside(X-3)’. [2].
y (t ) = Co ⋅ cos t + C1 ⋅ sin t +sin(t − 3) ⋅ H (t − 3) Al comparar este resultado con el resultado anterior para y(t), concluimos que cCo = yo, cC1 = y1. Definición y uso de la función grada de Heaviside en la calculadora El ejemplo anterior proveyó de una cierta experiencia el uso de a función delta de Dirac como entrada a un sistema (es decir, en el lado derecho de la EDO que describe el sistema). En este ejemplo, deseamos utilizar la función grada de Heaviside, H(t).
ejemplo, la solución obtenida en el Ejemplo 3 fue y(t) = yo cos t + y1 sin t + sin(t-3)⋅H(t-3). Suponga que utilizamos las condiciones iniciales yo = 0.5, y y1 = -0.25. Tracemos esta función para como luce: • Presione „ô, simultáneamente en modo RPN, para activar la pantalla PLOT SETUP. Cambie TYPE a FUNCTION, de ser necesario Cambie EQ a ‘0.5*COS(X)-0.25*SIN(X)+SIN(X-3)*H(X-3)’. Asegúrese que Indep se fija a ‘X’. Presione @ERASE @DRAW para trazar la función.
‘X^2*Y-X*y0-y1+Y=(1/X)*EXP(-3*X)’ ` ‘Y’ ISOL El resultado es ‘Y=(X^2*y0+X*y1+EXP(-3*X))/(X^3+X)’. Para resolver la EDO, y(t), usaremos la transformada inversa de Laplace, como sigue: OBJ ƒ ƒ ILAP El resultado es Aísla el lado derecho de la última expresión Obtiene transformada inversa de Laplace ‘y1*SIN(X-1)+y0*COS(X-1)-(COS(X-3)-1)*Heaviside(X-3)’. Así, escribimos como la solución: y(t) = yo cos t + y1 sin t + H(t-3)⋅(1+sin(t-3)).
en el rango 0 < t < 20, y cambiando el rango vertical a (-1,3), el gráfico se muestra como: Una vez más hay una nueva componente del movimiento que se introduce en t=3, a saber, la solución particular yp(t) = [1+sin(t-3)]⋅H(t-3), la cuál cambia la naturaleza de la solución para t>3.
Ejemplos de los diagramas generados por estas funciones, para Uo = 1, a = 2, b = 3, c = 4, rango horizontal = (0,5), y rango vertical = (-1, 1.5), se demuestran en las figuras siguientes: Series de Fourier Las series de Fourier son series que usan las funciones del seno y de coseno típicamente para ampliar funciones periódicas. Una función f(x) se dice ser periódica, de período T, si f(x+T) = f(t).
a Approx. Cerciorarse de fijarlo de nuevo a Exact después de producir el gráfico.) Suponga, por ejemplo, que la función f(t) = t2+t es periódica con período T = 2. Para determinar los coeficientes a0, a1, y b1 para la serie de Fourier correspondiente, procedemos como sigue: Primero, defina la función f(t) = t2+t : Después, utilizaremos el Escritor de ecuaciones para calcular los coeficientes: Así, los primeros tres términos de la función son: f(t) ≈ 1/3 – (4/π2)⋅cos (π⋅t)+(2/π)⋅sin (π⋅t).
Función FOURIER Una manera alternativa de definir una serie de Fourier consiste en utilizar números complejos como se indica en la fórmula siguiente: f (t ) = +∞ ∑c n = −∞ n ⋅ exp( 2inπt ), T en la cual cn = 1 T 2 ⋅ i ⋅ n ⋅π f (t ) ⋅ exp(− ⋅ t ) ⋅ dt , n = −∞,...,−2,−1,0,1,2,...∞. ∫ 0 T T La función FOURIER provee los coeficientes cn de la forma compleja de la serie de Fourier dada la función f(t) y el valor de n.
A continuación, se selecciona el sub-directorio CASDIR bajo el directorio HOME para cambiar el valor de la variable PERIOD: „ (mantener) §`J @)CASDI `2 K @PERIOD ` Vuelva al sub-directorio donde usted definió las funciones f y g, y calcule los coeficientes (aceptar el cambio al modo complejo cuando se solicite): En este caso, c0 = 1/3, c1 = (π⋅i+2)/π2, c2 = (π⋅i+1)/(2π2).
g(t) ≈ Re[(1/3) + (π⋅i+2)/π2⋅exp(i⋅π⋅t)+ (π⋅i+1)/(2π2)⋅exp(2⋅i⋅π⋅t)]. Un diagrama de la función desfasada g(t) y de la serie de Fourier se muestra a continuación: La aproximación es aceptable, aunque no tan buena como en el ejemplo anterior, para el intervalo 0
Usando la calculadora usted puede simplificar la expresión en el escritor de ecuaciones (‚O) reemplazando e2inπ = 1. La figura demuestra la expresión después de la simplificación: cn = (i⋅n⋅π+2)/(n2⋅π2).
k ∑ [c(n) ⋅ exp( n =1 2 ⋅ i ⋅π ⋅ n 2 ⋅ i ⋅π ⋅ n ⋅ X ) + c(−n) ⋅ exp(− ⋅ X )], T T O, en la línea de la entrada de la calculadora como: DEFINE(‘F(X,k,c0) = c0+Σ(n=1,k,c(n)*EXP(2*i*π*n*X/T)+ c(-n)*EXP(-(2*i*π*n*X/T))’), donde T es el período, T = 2. Las pantallas muestran la definición de la función F y el almacenamiento de T = 2: La función @@@F@@@ puede ser utilizado para generar la expresión para la serie de Fourier Compleja para un valor finito de k.
Aceptar el cambio a modo Approx si se requiere. El resultado es el valor – 0.40467…. El valor actual de la función g(0.5) es g(0.5) = -0.25. Los cálculos siguientes demuestran cuán bien la serie de Fourier aproxima este valor a medida que el número de componentes en la serie, dado por k, aumenta: F (0.5, 1, 1/3) = (-0.303286439037,0.) F (0.5, 2, 1/3) = (-0.404607622676,0.) F (0.5, 3, 1/3) = (-0.192401031886,0.) F (0.5, 4, 1/3) = (-0.167070735979,0.) F (0.5, 5, 1/3) = (-0.294394690453,0.) F (0.
Note que la serie, con 5 términos, "abraza" el gráfico de la función muy de cerca en el intervalo 0 a 2 (es decir, a través del período T = 2). Usted puede también notar una periodicidad en el gráfico de la serie. Esta periodicidad es fácil de visualizar ampliando el rango horizontal del diagrama a (-0.5,4): Serie de Fourier para una onda triangular Considere la función x, if 0 < x < 1 g ( x) = 2 − x, if 1 < x < 2 cuál asumimos para ser periódica con período T = 2.
La calculadora solicitará un cambio al modo Approx debido a la integración de la función IFTE() incluida en el integrando. Aceptar el cambio a Approx produce c0 = 0.5. Si ahora deseamos obtener una expresión genérica para el coeficiente cn use: La calculadora produce una integral que no pueda ser evaluada numéricamente porque depende del parámetro n.
Recuérdese que einπ = cos(nπ) + i⋅sin(nπ) = (-1)n . Realizando esta substitución en el resultado anterior tenemos: Presione `` para copiar este resultado a la pantalla. Entonces, reactive el Escritor de ecuaciones para calcular la segunda integral que define el coeficiente cn, a saber, De nuevo, substituyendo einπ = (-1)n, y usando e2inπ = 1, obtenemos: Presione `` para copiar este segundo resultado a la pantalla.
El presionar ˜ pondrá este resultado en el Escritor de ecuaciones, donde podemos simplificarlo (@SIMP@) a lo siguiente: De nuevo, substituyendo einπ = (-1)n, produce Este resultado se utiliza para definir la función c(n) como sigue: DEFINE(‘c(n) = - (((-1)^n-1)/(n^2*π^2*(-1)^n)’) es decir, Después, definimos la función F(X,k,c0) para calcular la serie de Fourier (si usted terminó el ejemplo 1, usted tiene ya esta función almacenada): DEFINE(‘F(X,k,c0) = c0+Σ(n=1,k,c(n)*EXP(2*i*π*n*X/T)+ c(-n)*EXP(-(2*i*π
rango vertical de 0 a 1, y ajustar las ecuaciones del diagrama según lo demostrado aquí: El gráfico que resulta se muestra abajo para k = 5 (el número de elementos en la serie es 2k+1, es decir, 11, en este caso): Del diagrama es muy difícil distinguir la función original de la aproximación de la serie de Fourier.
0, if 0 < x < 1 g ( x) = 1, if 1 < x < 3 0, if 3 < x < 4 En este caso, el período T, es 4. Cerciórese de cambiar el valor de la variable @@@T@@@ a4 (use: 4 K @@@T@@ `). La función g(X) puede ser definido en la calculadora usando DEFINE(‘g(X) = IFTE((X>1) AND (X<3),1,0)’) La función se traza como sigue (rango horizontal: 0 a 4, rango vertical:0 a 1.2 ): Usando un procedimiento similar al de la forma triangular en el ejemplo 2, usted puede encontrar que c0 = 1 3 ⋅ 1 ⋅ dX = 0.
La simplificación del lado derecho de c(n) es más fácil hecha en el papel (es decir, a mano). Entonces, escriba de nuevo la expresión para c(n) según lo demostrado en la figura a la izquierda arriba, para definir la función c(n). La serie de Fourier se calcula con F(X, k, c0), como en los ejemplos 1 y 2, con c0 = 0.5.
Podemos utilizar este resultado como la primera entrada a la función LDEC cuando se utiliza para obtener una solución al sistema d2y/dX2 + 0.25y = SW(X), donde SW(X) significa función Square Wave de X. El segundo artículo de entrada será la ecuación característica que corresponde a la EDO homogénea mostrada anteriormente, es decir, ‘X^2+0.25’ . Con estas dos entradas, la función LDEC produce el resultado siguiente (formato decimal cambiante a Fix con 3 decimales).
Podemos ahora trazar la parte real de esta función. Cambie el modo decimal a Standard, y utilice lo siguiente: La solución se demuestra abajo: Transformadas de Fourier Antes de presentar el concepto de transformadas de Fourier, discutiremos la definición general de una transformada integral. En general, una transformada integral es una transformación que relaciona una función f(t) con una nueva función F(s) por una integración de la forma b F ( s ) = ∫ κ ( s, t ) ⋅ f (t ) ⋅ dt.
b An = a n2 + bn2 , φ n = tan −1 n , an para n =1,2, … Las amplitudes An se referirán como el espectro de la función y serán una medida de la magnitud del componente de f(x) con frecuencia fn = n/T. La frecuencia básica o fundamental en la serie de Fourier es f0 = 1/T, así, el resto de las frecuencias son múltiplos de esta frecuencia básica, es decir, fn = n⋅f0.
La función no periódica puede escribirse, por lo tanto, como ∞ f ( x) = ∫ [C (ω ) ⋅ cos(ω ⋅ x) + S (ω ) ⋅ sin(ω ⋅ x)]dω , 0 donde C (ω ) = 1 2π ⋅∫ ∞ −∞ f ( x) ⋅ cos(ω ⋅ x) ⋅ dx, y S (ω ) = ∞ 1 ⋅ ∫ f ( x) ⋅ sin(ω ⋅ x) ⋅ dx − ∞ 2π El espectro continuo es A(ω ) = [C (ω )]2 + [ S (ω )] 2 Las funciones C(ω), S(ω), y A(ω) son funciones continuas de una variable ω, la cuál se convierte en la variable de la transformación para las transformadas de Fourier definidas posteriormente.
El espectro continuo, A(ω), se calcula como: Definir esta expresión como función usando la función DEFINE („à). Entonces, trace el espectro continuo, en el rango 0 < ω < 10, as: Definición de las transformadas de Fourier Diversos tipos de transformadas de Fourier pueden ser definidas.
Transformada inversa de Fourier usando la función coseno ∞ Fc−1 {F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ dt 0 Transformada de Fourier propiamente dicha F { f (t )} = F (ω ) = ∞ 1 ⋅ ∫ f (t ) ⋅ e −iωt ⋅ dt − ∞ 2π Transformada inversa de Fourier propiamente dicha ∞ F −1{F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ e −iωt ⋅ dt −∞ Ejemplo 1 – Determine la transformada de Fourier de la función f(t) = exp(- t), para t >0, y f(t) = 0, para t<0.
Notas: La magnitud, o valor absoluto, de la transformada de Fourier, |F(ω)|, es el espectro de la frecuencia de la función original f(t). Por el ejemplo demostrado anteriormente, |F(ω)| = 1/[2π(1+ω2)]1/2. El diagrama de |F(ω)| vs. ω se mostró anteriormente. Algunas funciones, tales como valores constantes, sin x, exp(x), x2, etc., no tienen transformada de Fourier. Las funciones que van a cero suficientemente rápido cuando x va al infinito tienen transformadas de Fourier.
La transformada rápida de Fourier (FFT) La transformada rápida de Fourier (inglés, Fast Fourier Transform, o FFT) es un algoritmo de la computadora por el cual uno puede calcular muy eficientemente una transformada discreta de Fourier (inglés, Discrete Fourier Transform, DFT). Este algoritmo tiene usos en el análisis de diversos tipos de señales que dependen del tiempo, desde medidas de la turbulencia hasta las señales de comunicación.
de una computadora o un colector de datos, para procesarlos. O, usted puede generar sus propios datos programando una función y agregando algunos números aleatorios a la misma. Ejemplo 1 – Defina la función f(x) = 2 sin (3x) + 5 cos(5x) + 0.5*RAND, en la cual RAND es el generador uniforme de números aleatorios proveído por la calculadora. Genere128 datos usando valores de x en el intervalo (0,12.8). Almacenar esos valores en un arreglo, y aplique una FFT al arreglo.
Para aplicar la FFT al arreglo en el nivel 1 de la pantalla, use la función FFT, disponible en el menú MTH/FFT, al arreglo ΣDAT: @£DAT FFT. La función FFT produce un arsenal de los números complejos que son los arreglos de coeficientes Xk de la DFT. La magnitud de los coeficientes Xk representa un espectro de frecuencia de los datos originales. Para obtener la magnitud de los coeficientes usted podría transformar el arreglo a una lista, y después aplicar la función ABS a la lista.
<< m a b << ‘2^m’ EVAL n << ‘(b-a)/(n+1)’ EVAL Dx << 1 n para j ‘a+(j-1)*Dx’ EVAL f ABS NEXT n ARRY >> >> >> >> Almacene esta versión del programa en la variable GSPEC (inglés, Generate SPECtrum, o Generar el eSPECtro). Active el programa con m = 6, a = 0, b = 100. En modo RPN, use: 6#0#100@GSPEC! Presione ` al terminar, para guardar una copia adicional del arreglo del espectro. Convierta este vector fila en un vector columna y almacénelo en ΣDAT.
A excepción de un pico grande en t = 0, la señal es sobre todo ruido. Una escala vertical más pequeña (-0.5 to 0.5) muestra la señal como sigue: Solución a ecuaciones diferenciales específicas de segundo orden En esta sección presentamos y resolvemos ciertos tipos específicos de ecuaciones diferenciales ordinarias cuyas soluciones se definen en términos de algunas funciones clásicas, por ejemplo, funciones de Bessel, polinomios de Hermite, etc. Se presentan los ejemplos en modo RPN.
• • Si la ecuación tiene dos diversas raíces, digamos n1 y n2, entonces la solución general de esta ecuación es y(x) = K1⋅x n1 + K2⋅x n2. Si b = (1-a)2/4, entonces la ecuación tiene una raíz doble n1 = n2 = n = (1-a)/2, y la solución resulta ser y(x) = (K1 + K2⋅ln x)xn. Ecuación de Legendre Una ecuación de la forma (1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0, donde n es un número real, se conoce como la ecuación diferencial de Legendre.
La EDO (1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+[n⋅ (n+1)-m2/(1-x2)] ⋅y = 0, tiene por solución la función y(x) = Pnm(x)= (1-x2)m/2⋅(dmPn/dxm). Esta función se refiere como función asociada de Legendre. Ecuación de Bessel La ecuación diferencial ordinaria x2⋅(d2y/dx2) + x⋅ (dy/dx)+ (x2-ν2) ⋅y = 0, donde el parámetro ν es un número real no negativo, se conoce como ecuación diferencial de Bessel.
Si usted desea obtener una expresión para J0(x) con, digamos, 5 términos en la serie, use J(x,0,5). El resultado es ‘1-0.25*x^3+0.015625*x^4-4.3403777E-4*x^6+6.782168E-6*x^86.78168*x^10’. Para valores no enteros ν, la solución a la ecuación de Bessel se da por y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅J-ν(x). Para los valores del número entero, las funciones Jn(x) y J-n(x) son linealmente dependiente, dado que Jn(x) = (-1)n⋅J-n(x), por lo tanto, no podemos utilizarlos para obtener una función general a la ecuación.
Con estas definiciones, una solución general de la ecuación de Bessel para todos los valores de ν es y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅Yν(x). En algunos casos, es necesario proporcionar soluciones complejas a las ecuaciones de Bessel definiendo las funciones de Bessel de tercera clase de orden ν como Hn(1)(x) = Jν(x)+i⋅Yν(x), and Hn(2)(x) = Jν(x)−i⋅Yν(x), Estas funciones también se conocen como las primeras y segundas funciones de Hankel de orden ν.
genera un polinomio de Tchebycheff de segunda clase de orden n que se define como Un(x) = sin(n⋅arccos(x))/sin(arccos(x)). Usted puede tener acceso a la función TCHEBYCHEFF a través del catálogo de funciones (‚N).
n n! = = C (n, m) m m!(n − m)! es el coeficiente m de la expansión binomial (x+y)n. . También representa el número de combinaciones de n elementos tomados m a la vez. Esta función está disponible en la calculadora como función COMB en el menú MTH/PROB (ver también el capítulo 17). Usted puede definir la función siguiente para calcular los polinomios de Laguerre: Al terminar de escribir escritor de ecuaciones use la función DEFINE para crear la función L(x,n) en la variable @@@L@@@ .
número entero, n, y produce el polinomio de Hermite del grado n. Por ejemplo, los primeros cuatro polinomios de Hermite son obtenidos usando: 0 1 2 3 HERMITE, HERMITE, HERMITE, HERMITE, resulta: resulta: resulta: resulta: 1, ’2*X’, ’4*X^2-2’, ’8*X^3-12*X’, es es es es decir, decir, decir, decir, H0* H1* H2* H3* = = = = 1. 2x. 4x2-2. 8x3-12x.
Para solucionar, presione: @SOLVE (espere) @EDIT@. ≈ 0.25. Presione @@@OK@@@. El resultado es 0.2499 Solución presentada como tabla de valores Suponer que deseamos producir una tabla de valores de v, para t = 0.00, 0.25, …, 2.00, procederemos como sigue: Primero, prepare una tabla para anotar sus resultados. Anote en su tabla los resultados paso a paso: t v 0.00 0.00 0.25 … … 2.00 Después, dentro del ambiente SOLVE, cambie el valor final de la variable independiente a 0.25, use : —.
Repetir para t = 1.25, 1.50, 1.75, 2.00. Presione @@OK@@ después de ver el resultado pasado con @EDIT. Para volver a la pantalla normal de la calculadora, presione $ o L@@OK@@. Las diversas soluciones serán mostradas en la pantalla, con el resultado más reciente en el nivel 1. Los resultados finales resultan ser (redondeados al tercer decimal): t 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 v 4.000 3.285 2.640 2.066 1.562 1.129 0.766 0.473 0.
• • • • • • • • Cambie la opción F: a ‘EXP(- t^2)’ Cerciórese de que los parámetros siguientes estén fijados a: H-VAR: 0, V-VAR: 1 Cambie la variable independiente a t . Acepte los cambios a PLOT SETUP: L @@OK@@ „ò (simultáneamente, si en modo RPN). Para acceder el ambiente PLOT WINDOW Cambie los rangos de la gráfica a los valores siguientes: H-VIEW: -1 5; V-VIEW: -1 1.5 También, utilice los valores siguientes para los parámetros restantes: Init: 0, Final: 5, Step: Default, Tol: 0.
pantalla PLOT SETUP („ô), es decir, H-VAR: 0, and V-VAR: 1. Para ver la solución gráfica detalladamente utilizar lo siguiente: LL@)PICT @(X,Y)@ Recobrar menú y la pantalla PICT. Para determinar coordenadas de puntos en el gráfico. Use las teclas š™ para mover el cursor alrededor del área del diagrama. En la parte inferior de la pantalla usted verá los coordenadas del cursor como (X,Y), es decir, la calculadora utiliza X y Y como los nombres de los ejes horizontal y vertical, respectivamente.
Para solucionar este problema, el primeros, crear y almacenar la matriz A, por ejemplo, en modo ALG: Entonces, activar la solución numérica de ecuaciones diferenciales usando: ‚ Ï ˜ @@@OK@@@ . Para resolver la ecuación diferencial con tiempo inicial t = 0 y tiempo final t = 2, la forma interactiva para la solución numérica de ecuaciones diferenciales se muestra a continuación (note que el valor Init: para Soln: es un vector [0, 6]): Presione @SOLVE (espere) @EDIT para calcular w(t=2). La solución es [.
—.25 @@OK@@ ™™ @SOLVE (espere) @EDIT (Calcula w en t = 0.25, w = [0.968 1.368]. ) @@OK@@ INIT+ — . 5 @@OK@@ ™™@SOLVE (espere) @EDIT (Cambia valor inicial de t to 0.25, y el valor final de t a 0.5, calcule nuevamente w(0.5) = [0.748 -2.616]) @@OK@@ @INIT+ —.75 @@OK@@™™@SOLVE (espere) @EDIT (Cambia valor inicial de t to 0.5, y el valor final de t a 0.75, calcule nuevamente w(0.75) = [0.0147 -2.859]) @@OK@@ @INIT+ —1 @@OK@@ ™ ™ @SOLVE (espere) @EDIT (Cambia valor inicial de t to 0.
A continuación, presione „ô (simultáneamente, si en modo RPN) para activar el ambiente PLOT. Seleccione la opción TYPE, usando las teclas — ˜. Entonces, presione @CHOOS, y seleccione la opción Diff Eq, usando las teclas —˜. Presione @@OK@@. Modifique el resto del ambiente PLOT SETUP de manera que luzca de esta forma: Note que la opción V-Var: se ajusta a 1, indicando que el primer elemento en la solución del vector, a saber, x’, será trazado contra la variable independiente t.
rango de los ejes. Notar que la etiqueta del eje x es el número 0 (indicando la variable independiente), mientras que la etiqueta del eje y es el número 2 (indicando la segunda variable, es decir, la última variable trazada). El gráfico combinado es el siguiente: Presione LL @PICT @CANCL $ para regresar a la pantalla normal de la calculadora. Solución numérica para una EDO rígida de primer orden Considere la EDO: dy/dt = -100y+100t+101, sujeta a la condición inicial y(0) = 1.
Solución numérica Si procuramos una solución numérica directa de la ecuación original dy/dt = -100y+100t+101, usando la solución numérica de la calculadora, encontramos que la calculadora tarda mucho más en producir una solución que en el anterior ejemplo de primer orden. Para verificar esto, use (‚ Ϙ @@@OK@@@): Aquí estamos intentando obtener el valor de y(2) dado y(0) = 1. Con Soln: Final seleccionado, presione @SOLVE.
Al terminar, mueva el cursor a la localidad Soln:Final y presione @SOLVE. Esta vez, la solución se produce en 1 segundo, más o menos. Presione @EDIT para ver la solución: 2.9999999999, es decir, 3.0. Nota: La opción Stiff está también disponible para las soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales. Solución numérica a EDOs con el menú SOLVE/DIFF El menú SOLVE se activa usando 74 MENU en modo RPN. Este menú se presenta detalladamente en el capítulo 6.
3: 2: 1: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} { ε ∆x } xfinal El valor en el primer nivel del pantalla es el valor de la variable independiente donde usted desea encontrar la solución, es decir, usted desea encontrar, yfinal = fs(xfinal), donde fs(x) representa la solución a la ecuación diferencial. El segundo nivel de la pantalla puede contener solamente el valor de ε, y el paso ∆x será tomado como un valor prefijado pequeño.
Función RRK Esta función es similar a la función de RKF, excepto que RRK (métodos de Rosenbrock y Runge-Kutta) requiere como una lista en el nivel 3 de la pantalla conteniendo los nombres de las variables independiente y dependiente y de la función que define la ecuación diferencial, así como las expresiones para la primera y segunda derivadas de la expresión.
misma lista de la entrada, seguida por la tolerancia, y una estimación del paso siguiente en la variable independiente. La función produce la lista de la entrada, la tolerancia, y el paso siguiente en la variable independiente que satisface esa tolerancia.
Después de activar esta función, la pantalla mostrará las líneas: 4: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} 3: ε 2: (∆x)next 1: CURRENT Así, esta función se utiliza para determinar el tamaño apropiado de un paso del tiempo ((∆x)next) satisfacer la tolerancia requerida, y el método llegaba ese resultado (CURRENT). Las pantallas siguientes muestran la pantalla RPN antes y después uso de la función RRKSTEP: Estos resultados indican que (∆x)next = 0.00558… ye que el método RKF (CURRENT = 1) debe utilizarse.
Las siguientes pantallas muestran la pantalla RPN antes y después uso de la función RKFERR: Estos resultados indican que ∆y = 0.827… y el error = -1.89…×10-6. Función RSBERR Esta función opera de manera similar a RKERR pero con los elementos de entrada de la función RRK.
Capítulo 17 Aplicaciones a la probabilidad En este Capítulo se proveen ejemplos de aplicaciones de las distribuciones de probabilidad predefinidas en la calculadora. El sub-menú MTH/PROBABILITY.. - parte 1 El sub-menú MTH/PROBABILITY.. es accesible a través de la secuencia de teclas „´. Habiendo seleccionado la opción ”CHOOSE boxes” para señal de sistema número 117, el menú PROBABILITY.. presenta las siguientes funciones: En esta sección se discuten las funciones COMB, PERM, ! (factorial), RAND, y RDZ.
En la calculadora se pueden calcular combinaciones, permutaciones, y factoriales utilizando las funciones COMB, PERM, y ! localizadas en el submenú MTH/PROBABILITY... La operación de estas funciones se describe a continuación: • COMB(n,r): Combinaciones de n elementos tomados de r en r • PERM(n,r): Permutaciones de n elementos tomados de r en r • n!: Factorial de un número entero positivo. Cuando x no es entero, x! Calcula la función Γ(x+1), en la cual Γ(x) es la función Gamma (véase el Capítulo 3).
Los generadores de números aleatorios, en general, funcionan tomando un valor, llamado la "semilla" del generador, y aplicando un cierto algoritmo matemático a esa "semilla" que genera un nuevo número (pseudo) aleatorio. Si usted desea generar una secuencia de número aleatorios y estar en capacidad de repetir la misma secuencia más adelante, usted puede cambiar la "semilla" del generador, usando la función RDZ(n), antes de generar nuevamente la secuencia. En esta expresión, la "semilla” es el valor n.
Distribuciones discretas de la probabilidad Una variable al azar es una variable discreta si puede tomar solamente un número finito de valores. Por ejemplo, el número de días lluviosos en una localización dada se puede considerar una variable al azar discreta porque los contamos mientras que el número entero numera solamente. Si X representa una variable al azar discreta, la función masa de probabilidad se representa por f(x) = P[X=x], es decir, la probabilidad que la variable al azar X toma el valor x.
representa la probabilidad de conseguir un éxito en cualquier repetición dada. La función de distribución acumulativa para la distribución binomial se escribe como x F (n, p, x) = ∑ f (n, p, x), x = 0,1,2,..., n k =0 Distribución de Poisson La función masa de probabilidades de la distribución de Poisson se escribe como f (λ , x ) = e −λ ⋅ λx , x = 0,1,2,..., ∞ .
Los ejemplos de los cálculos que usan estas funciones se demuestran después: Distribuciones continuas de la probabilidad La distribución de la probabilidad para una variable al azar continua, X, está caracterizada por un función f(x) conocido como la función de densidad de la probabilidad (pdf). La función pdf tiene las características siguientes: f(x) > 0, para todo x, y P[ X < x ] = F ( x ) = ∫ +∞ −∞ ∫ x f (ξ )dξ . −∞ f ( x)dx = 1.
La función de distribución cumulativa (cdf) correspondiente sería dada por un integral que no tiene ninguna solución en forma cerrada. La distribución exponencial La distribución exponencial es la distribución gamma con α = 1. Su pdf se escribe como f ( x) = 1 x ⋅ exp(− ), for β β x > 0, β > 0 , mientras que su cdf se escribe como F(x) = 1 - exp(-x/β), para x>0, β >0.
Gamma cdf: 'gcdf(x) = ∫(0,x,gpdf(t),t)' Beta pdf: ' βpdf(x)= GAMMA(α+β)*x^(α-1)*(1-x)^(β-1)/(GAMMA(α)*GAMMA(β))' Beta cdf: ' βcdf(x) = ∫(0,x, βpdf(t),t)' Exponencial pdf: 'epdf(x) = EXP(-x/β)/β' Exponencial cdf: 'ecdf(x) = 1 - EXP(-x/β)' Weibull pdf: 'Wpdf(x) = α*β*x^(β-1)*EXP(-α*x^β)' Weibull cdf: 'Wcdf(x) = 1 - EXP(-α*x^β)' Utilizar la función DEFINE para definir todas estas funciones.
Algunos ejemplos del uso de estas funciones, para los valores de α = 2, β = 3, se muestran a continuación. Notar la variable IERR que se muestra en la segunda pantalla. Esto resulta de una integración numérica para la función gcdf.
en la cual µ es la media, y σ2 es la varianza de la distribución. Para calcular el valor de la función de densidad de probabilidades, o fdp, f(x), para la distribución normal, utilícese la función NDIST(µ,σ2,x). Por ejemplo, verifíquese que para una distribución normal, NDIST(1.0,0.5,2.0) = 0.20755374.
ν +1 Γ( ) ν +1 t2 − 2 f (t ) = ⋅ (1 + ) 2 ,−∞ < t < ∞ ν ν Γ( ) ⋅ πν 2 en la cual Γ(α) = (α-1)! es la función GAMMA definida en el Capítulo 3. La calculadora provee valores del extremo superior de la función de distribución cumulativa, utilizando la función UTPT, dados los valores de ν y t, es decir, UTPT(ν,t) = P(T>t) = 1-P(T
La calculadora provee valores del extremo superior de la función de distribución cumulativa, utilizando la función UTPC, dados los valores de ν y x. La definición de esta función es la siguiente: ∞ UTPC (ν , x) = ∫ f ( x)dx = 1 − ∫ t t −∞ f ( x)dx = 1 − P ( X ≤ x) Para utilizar esta función, necesitamos los grados de libertad, ν, y el valor de la variable chi cuadrada, x, es decir, UTPC(ν,x). Por ejemplo, UTPC(5, 2.5) = 0.
La calculadora provee valores del extremo superior de la función de distribución cumulativa, utilizando la función UTPF, dados los parámetros νN y νD, y el valor de F. La definición de esta función es ∞ t t −∞ UTPF (νN ,νD, F ) = ∫ f ( F )dF = 1 − ∫ f ( F )dF = 1 − P (ℑ ≤ F ) Por ejemplo, para calcular UTPF(10,5, 2.5) = 0.
Exponencial: Weibull: Para las distribuciones gamma y beta las expresiones a resolver serán más complicado debido a la presencia de integrales, es decir, • Gamma, • Beta, 1 z ⋅ z α −1 ⋅ exp(− )dz β β Γ(α ) x Γ (α + β ) p=∫ ⋅ z α −1 ⋅ (1 − z ) β −1 dz 0 Γ (α ) ⋅ Γ ( β ) p=∫ x 0 α Una solución numérica con la calculadora no será factible debido a la integral involucrada en la expresión. Sin embargo, una solución gráfica es posible.
Hay dos raíces de esta función encontrada usando la función @ROOT dentro del ambiente del diagrama. Debido a la integral en la ecuación, la raíz se aproxima y no será demostrada en la pantalla del diagrama. Usted recibirá el mensaje Constant? mostrado en la pantalla. Sin embargo, si usted presiona ` a este punto, la raíz aproximada será enumerada en la pantalla. Dos de las raíces se muestran en la figura derecha.
calculadora, el cdf inverso puede ser encontrado al resolver las ecuaciones siguientes: • Normal, p = 1 – UTPN(µ,σ2,x) • Student t, p = 1 – UTPT(ν,t) • Chi-cuadrada, p = 1 – UTPC(ν,x) • F: p = 1 – UTPF(νN,νD,F) Notar que es el segundo parámetro en la función UTPN es σ2, y no σ2, representando la varianza de la distribución. Así mismo, el símbolo ν (la letra griega minúscula nu) no está disponible en la calculadora. Usted puede utilizar, por ejemplo, γ (gamma) en vez de ν.
Así, a este punto, usted tendrá las cuatro ecuaciones disponibles para la solución. Usted necesita solamente activar una de las ecuaciones en la localidad EQ en la pantalla de soluciones numéricas y proceder con la solución de una de las variables. Los ejemplos de las funciones UTPT, UTPC, y UPTF se muestran a continuación: Nótese que en todos los ejemplos demostrados anteriormente, estamos trabajando con p = P(X
Con estas cuatro ecuaciones, siempre que usted activa las soluciones numéricas usted tiene las opciones siguientes: Los ejemplos de la solución de las ecuaciones EQNA, EQTA, EQCA, y EQFA se demuestran abajo: Página 17-18
Capítulo 18 Aplicaciones Estadísticas En este capítulo se presentan las aplicaciones estadísticas de la calculadora incluyendo estadísticas de una muestra, la distribución de frecuencia de datos, la regresión simple, intervalos de confianza, y la prueba de hipótesis. Aplicaciones estadísticas preprogramadas La calculadora provee las siguientes opciones de cálculos estadísticos accesibles a través de la combinación de teclas ‚Ù (la tecla 5).
Almacénese el programa en una variable llamada LXC. Después de almacenar este programa en modo RPN usted puede también utilizarlo en modo ALG. Para almacenar un vector de la columna en la variable ΣDAT utilice la función STOΣ, disponible a través del catálogo de funciones (‚N), use, por ejemplo, STOΣ (ANS(1)) en modo ALG. Ejemplo 1 - Usando el programa LXC, definido anteriormente, crear un vector columna usando los datos siguientes: 2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.5 1.6 2.2 1.2 2.5.
Mean (media): 2.133, Std Dev (desviación estándar): 0.964, Variance (varianza): 0.929, Total: 25.6, Maximum: 4.5, Minimum: 1.1 Definiciones Las definiciones usadas para estas cantidades son las siguientes: Suponga que usted tiene un número de datos x1, x2, x3, …, representando diversas medidas de la misma variable discreta o continua x. El conjunto de todos los valores posibles de la cantidad x se refiere como la población de x Una población finita tendrá solamente un número fijo de elementos xi.
La mediana es el valor que divide a la muestra en la mitad cuando los elementos se ordenan en orden creciente. Si usted tiene un número impar, n, de elementos, la mediana de esta muestra es el valor situado en la posición (n+1)/2. si usted tiene un número par, n, de elementos, la mediana es el promedio de los elementos establecidos en las posiciones n/2 y (n+1)/2.
La desviación de estándar (St Dev) de la muestra es justamente la raíz cuadrada de la varianza, es decir, sx. El rango de la muestra es la diferencia entre los valores máximos y mínimos de la muestra. Dado que la calculadora, con las funciones estadísticas preprogramadas proporciona el máximo y los valores mínimos de la muestra, usted puede calcular fácilmente el rango.
X-Min: Bin Count: Bin Width: valor mínimo del límite de clase a utilizarse en la distribución de frecuencias (valor básico = -6.5) número de clases a utilizarse en la distribución de frecuencias (valor básico = 13). longitud uniforme de cada clase (valor básico = 1).
mayores que el límite máximo de las clases. Estos últimos se refieren, en inglés, con el término outliers. Ejemplo 1 -- Para ilustrar mejor la obtención de distribuciones de frecuencia, deseamos generar un conjunto de datos relativamente grande, digamos 200 puntos, usando el procedimiento siguiente: • Primero, siembra el generador de números aleatorios: RDZ(25) en modo ALG, o 25 ` RDZ en modo RPN (véase el capítulo 17).
Cuando se utiliza el modo RPN, los resultados de la distribución de frecuencias se muestran como un vector columna en el nivel 2 de la pantalla, y como un vector fila de dos componentes en el nivel 1. El vector en el nivel 1 representa el número de valores extremos (outliers) localizados fuera del intervalo usado para definir las clases, es decir, fuera del intervalo (10,90). Para el presente ejemplo, el autor obtuvo los valores [ 25. 22.
segunda clase, la frecuencia cumulativa es 18+15 = 33, mientras que para la clase número 3, la frecuencia cumulativa es 33 + 16 = 49, etcétera. La frecuencia cumulativa representa la frecuencia de esos números que sean más pequeños que o la iguala al límite superior de cualquier clase dada.
• • • • Primero, presione „ô (simultáneamente, en modo RPN) para activar la pantalla PLOT SETUP. Dentro de esta pantalla, cambie la opción Type: a histogram, y compruebe que la opción Col: corresponde a1. Presione L@@@OK@@@. A continuación, presione „ò (simultáneamente, en modo RPN) para activar la pantalla PLOT WINDOW – HISTOGRAM. Dentro de esa pantalla modifique la información como sigue H-View: 10 90, V-View: 0 15, Bar Width: 5.
exponenciales, y de potencia a los datos (x,y), almacenados en las columnas de la matriz ΣDAT. Para que este programa sea utilizable, usted necesita tener por lo menos dos columnas en su variable de ΣDAT. Ejemplo 1 – Ajustar una relación linear a los datos de la tabla siguiente: x y • • • 0 0.5 1 2.3 2 3.6 3 6.7 4 7.2 5 11 Almacénense los datos en las columnas de la matriz ΣDAT utilizando el escritor de matrices, y la función STOΣ. Para activar la opción 3. Fit data..
s xy = 1 n ∑ ( x i − x )( y i − y ) n − 1 i =1 El coeficiente de correlación de la muestra para x,y se define como rxy = s xy sx ⋅ s y . En la cual sx, sy son las desviaciones estándar de x y de y, respectivamente, s x2 = 1 n ∑ ( xi − x ) 2 n − 1 i =1 s y2 = 1 n ∑ ( yi − y ) 2 n − 1 i =1 Los valores sxy y rxy son los valores llamados "Covariance" y "Correlation," respectivamente, obtenido al usar la opción “Fit data” de la calculadora.
El coeficiente de correlación de la muestra rξη es rξη = sξη sξ ⋅ sη La forma general de la ecuación de la regresión es η = A + Bξ. Ajuste óptimo de los datos La calculadora puede determinarse qué relación linear o linearizada ofrece el mejor ajuste para un sistema de datos (x,y). Ilustraremos el uso de esta característica con un ejemplo. Suponer que usted desea encontrar cual de las funciones proveídas proporciona el mejor ajuste para los datos siguientes: x y 0.2 3.16 0.5 2.73 1 2.12 1.5 1.65 2 1.
una vez más, y seleccione la cuarta opción usando la tecla ˜, y presione @@@OK@@@. La forma de la entrada que resulta contiene los campos siguientes: ΣDAT: X-Col, Y-Col: _ΣX _ ΣY…: la matriz que contiene los datos de interés. estas opciones se aplican solamente cuando usted tiene más de dos columnas en la matriz ΣDAT. Los valores pre-definidos son tales que la columna de x es la columna 1, y la columna de y es la columna 2.
Cálculo de percentiles Los percentiles son medidas que dividen una colección de datos en 100 porciones. El procedimiento básico para calcular el percentil100⋅p (0 < p < 1) en una muestra del tamaño n se muestra a continuación: 1. Ordenar las n observaciones de la más pequeño a la más grande. 2. Calcular el producto n⋅p A. Si n⋅p no es un entero, redondearlo al entero siguiente y determinar el valor ordenado correspondiente. B.
teclado STAT se puede activar usando, en modo RPN, la instrucción: 96 MENU Usted puede crear su propio programa, llamado, por ejemplo, @STATm, para activar el menú STAT directamente. El contenido de este programa es simplemente: « 96 MENU ». El menú de teclado STAT contiene los siguientes menús: Presione la tecla que corresponde a cualesquiera de estos sub-menús para acceder a las diversas funciones que se describen a continuación.
Los parámetros mostrados en la pantalla son los siguientes: Xcol: indica la columna de SDATA que representa x (Pre-definido: 1) Ycol: indica la columna de SDATA que representa y (Pre-definido: 2) Intercept: muestra intercepto del ajuste de datos más reciente (Pre-definido: 0) Slope: muestra pendiente del ajuste de datos más reciente (Pre-definido: 0) Model: muestra modelo de ajuste actual (Pre-definido: LINFIT) Las funciones mostradas en las teclas de menú operan de la forma siguiente: XCOL: escrita como n
MAXΣ: muestra valor máximo de cada columna en la matriz ΣDATA. MINΣ: muestra valor mínimo de cada columna en la matriz ΣDATA. BINS: usada como xs, ∆x, n [BINS], provee la distribución de frecuencias en los datos de la columna Xcol en la matriz ΣDATA con las clases definidas por [xs,xs+∆x], [xs,xs+2∆x],…, [xs,xs+n∆x]. VAR: muestra la varianza de cada columna de la matriz ΣDATA. PSDEV: muestra la desviación estándar de la población (basada en n en vez de (n-1)) de cada columna en la matriz de ΣDATA.
Las funciones disponibles en este sub-menú son: ΣLINE: provee la ecuación correspondiente al ajuste más reciente LR: proporciona el intercepto y la pendiente del ajuste más reciente PREDX: usada como y @PREDX, dado y calcular x para el ajuste y = f(x). PREDY: usada como x @PREDY, dado x calcular y para el ajuste y = f(x). CORR: provee el coeficiente de correlación para el ajuste más reciente. COV: provee la covarianza de la muestra para el ajuste más reciente.
• • • Escriba la matriz en el nivel 1 de la pantalla utilizando el escritor de matrices. Para almacenar la matriz en ΣDATA, use: @)DATA „ @£DAT Calcular las estadísticas de cada columna: @)STAT @)1VAR: @TOT @MEAN @SDEV @MAX£ @MIN£ L @VAR @PSDEV @PVAR • produce produce produce produce produce produce produce produce [38.5 87.5 82799.8] [5.5. 12.5 11828.54…] [3.39… 6.78… 21097.01…] [10 21.5 55066] [1.1 3.7 7.8] [11.52 46.08 445084146.33] [3.142… 6.284… 19532.04…] [9.87… 39.49… 381500696.
• Determine la ecuación apropiada y sus estadísticas: @)STAT @)FIT@ @£LINE @@@LR@@@ 3 @PREDX 1 @PREDY @CORR @@COV@@ L@PCOV • '1.5+2*X' Intercept: 1.5, Slope: 2 0.75 3. 50 1.0 23.04 19.74… Obtener estadísticas adicionales para columnas 1 y 2: @)STAT @)SUMS: @@@£X@@ @@@£Y@@ @@£X2@ @@£Y2@ @@£XY@ @@@N£@@ • produce produce produce produce produce produce produce produce 38.5 produce 87.5 produce 280.87 produce 1370.23 produce 619.
Obviamente, el ajuste logarítmico no es la mejor opción @CANCL regresa a la pantalla normal. • Seleccione el ajuste óptimo usando: @)STAT @£PAR @)MODL @BESTF muestra EXPFIT como el ajuste óptimo L@)STAT @)FIT @£LINE @CORR 2300 @PREDX 5.2 @PREDY L @)STAT @PLOT @SCATR @STATL • • produce '2.6545*EXP(0.9927*X)' produce 0.99995… (buena correlación) produce 6.8139 produce 463.37 produce diagrama y vs. x muestra línea para ajuste actual Regreso al menú STAT, use: L@)STAT Para recobrar el menú de variables: J.
• • • • Población: colección de todas las observaciones concebibles de un proceso o de una cualidad de un componente. Muestra: subconjunto de una población Muestra aleatoria: una muestra representativa de la población. Variable aleatoria: función real definida en un espacio de muestra. Puede ser discreta o continua. Si la población sigue cierta distribución de la probabilidad que depende de un parámetro θ, una muestra aleatoria de observaciones (X1,X2,X3,... , Xn), de tamaño n, puede usarse para estimar θ.
Evaluación de los intervalos de confianza El nivel siguiente de inferencia es la evaluación de un intervalo, es decir, en vez de obtener un solo valor de un estimador se proveen dos estadísticas, a y b, las cuales definen un intervalo que contiene el parámetro θ con cierto nivel de la probabilidad. Los puntos extremos del intervalo se conocen como límites de confianza, y el intervalo (a,b) se conoce como el intervalo de confianza.
(X−zα⋅σ/√n,+∞). Nótese que en estos dos intervalos anteriores utilizamos el valor zα, en vez de zα/2. En general, el valor zk en la distribución normal estándar se define como aquel valor de z cuya probabilidad de excedencia sea k, es decir, Pr[Z>zk] = k, ó Pr[Z
Bernoulli(p), en la cual p es la probabilidad de éxito, entonces la media, o la esperanza matemática, de X es E[X ] = p, y su varianza es Var[X ] = p(1-p). Si un experimento que involucra a X se repite n veces, y con k resultados favorables, un estimado de p se calcula como p' = k/n, mientras que el error estándar de p' es σp’ = √(p⋅(1-p)/n) . En la práctica, la estimación de la muestra para p, es decir, p ' reemplaza p en la fórmula del error estándar.
Intervalos de confianza para sumas y diferencias de valores medios Si las varianzas de las poblaciones σ12 y σ22 son conocidas, los intervalos de confianza para la diferencia y la suma de las medias de las poblaciones, es decir, µ1±µ2, se escriben como: 2 2 2 2 (X ± X ) − z ⋅ σ1 + σ 2 , (X ± X ) + z ⋅ σ1 + σ 2 2 1 2 α /2 α /2 1 n1 n2 n1 n2 Para muestras grandes, es decir, n1 > 30 y n2 > 30, y varianzas de las poblaciones desconocidas, pero iguales, σ12 = σ22, los intervalos de confianza para
sospechamos que las dos varianzas desconocidas de la población son diferentes, podemos utilizar el siguiente intervalo de confianza (( X 1 ± X 2 ) − tν ,α / 2 ⋅ s X2 1 ± X 2 , ( X 1 ± X 2 ) + tν ,α / 2 ⋅ s X2 1 ± X 2 ) en la cual la desviación estándar estimada para la suma o diferencia es s X1 ± X 2 = s12 s 22 + n1 n2 y ν, los grados de libertad de la variable t, se calculan usando el número entero más cercano a ν = [( S12 / n1 ) + ( S 22 / n2 )] 2 [( S12 / n1 ) /(n1 − 1)] + [( S 22 / n2 ) /(n2 −
4. Z-INT: p1− p2.: Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones, p1-p2, para muestras grandes cuando las varianzas de las poblaciones son desconocidas. 5. T-INT: 1 µ.: Intervalo de confianza para la media de la población, µ, para una muestra pequeña cuando la varianza de la población es desconocida. 6. T-INT: µ1−µ2.: Intervalo de confianza para la diferencia de las medias de dos poblaciones, µ1- µ2, para muestras pequeñas cuando la varianza de las poblaciones son desconocidas.
Presiónese la tecla @GRAPH para ver una gráfica mostrando el intervalo de confianza calculado: La gráfica muestra la fdp (función de densidad de probabilidades) de la distribución normal estandarizada, la ubicación de los puntos críticos ±zα/2, la media (23.2) y los límites del intervalo correspondiente (21.88424 y 24.51576). Presiónese la tecla @TEXT para regresar a la pantalla de resultados, y/o presiónese @@@OK@@@ para abandona la función de intervalos de confianza.
Cuando termine, presione @@@OK@@@. Los resultados, como texto y gráfico, se muestran a continuación: La variable ∆µ representa µ 1 – µ2. Ejemplo 3 – Una encuesta de opinión pública indica que en una muestra de 150 personas 60 favorecen el aumento de impuestos para financiar proyectos públicos . Determine el intervalo de confianza 99% para la proporción de la población que favorecería el aumento de impuestos.
Presione ‚Ù—@@@OK@@@ para tener acceso al cálculo de intervalo de confianza en la calculadora. Presione ˜˜˜@@@OK@@@ para seleccionar la opción 4. Z-INT: p1 – p2.. Escriba los valores siguientes: Al terminar, presione @@@OK@@@. Los resultados, como texto y gráfico, se muestran a continuación: Ejemplo 5 – Determine el intervalo de la confianza 95% para la media de la población si una muestra de 50 elementos tiene una media de 15.5 y una desviación estándar de 5.
La figura muestra la pdf de Student t pdf para ν = 50 – 1 = 49 grados de libertad. Ejemplo 6 -- Determine el intervalo de la confianza 99% para la diferencia en medias de dos poblaciones dadas los datos de la muestra:x1 = 157.8 ,x2 = 160.0, n1 = 50, n2 = 55. Las desviaciones de estándar de las muestras son s1 = 13.2, s 2 = 24.5. Presione ‚Ù—@@@OK@@@ para tener acceso al cálculo del intervalo de confianza en la calculadora. Presione —@@@OK@@@ para seleccionar la opción 6. T-INT: µ1−µ2..
Intervalos de confianza para la varianza Para desarrollar un fórmula para el intervalo de confianza para la varianza, primero introducimos la distribución del muestreo de la variación: Considerar una muestra aleatoria X1, X2 ..., Xn de variables normales independientes con media µ, varianza σ2, y media de la muestra X. La estadística n 1 Sˆ 2 = ⋅ ∑ (X i − X )2 , n − 1 i =1 es un estimador imparcial de la varianza σ2.
Por el ejemplo actual, α = 0.05, γ = 24 y α = 0.025. Resolviendo la ecuación presentada anteriormente, χ2n-1,α/2 = χ224,0.025 = 39.3640770266. Por otra parte, el valor χ2n-1,α/2 = χ224,0.975 es calculado usando los valores γ = 24 y α = 0.975. El resultado es χ2n-1,1-α/2 = χ224,0.975 = 12.4011502175. Los límites inferior y superior del intervalo serán (use modo ALG): (n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 = (25-1)⋅12.5/39.3640770266 = 7.62116179676 (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2 = (25-1)⋅12.5/12.4011502175 = 24.
2. 3. 4. 5. 6. diferencia observada en las medias se atribuye a los errores en el muestreo aleatorio. 2. Declarar una hipótesis alterna, H1. Por el ejemplo bajo consideración, podría ser H1: µ1-µ2 ≠ 0 [Nota: esto es lo que realmente deseamos probar.] 3. Determinar o especificar una estadística de la prueba, T. En el ejemplo bajo consideración, T será basado en la diferencia las medias observadas, X1-X2. Utilizar la distribución conocida (o asumida) de la estadística de la prueba, T.
Ahora, consideremos los casos en los cuales tomamos la decisión correcta: No rechazo hipótesis verdadera, Pr[No(error tipo I)] = Pr[T∈A|H0] = 1 - α Rechazo hipótesis falsa, Pr[No(error tipo II)] = Pr [T∈R|H1] = 1 - β El complemento de β se conoce como la potencia de la prueba de la hipótesis nula H0 vs. la hipótesis alterna H1.
Primero, calculamos la estadística apropiada para la prueba (to ó zo) como sigue: • Si n < 30 y la desviación de estándar de la población, σ, se conoce, utilice la estadística z: • zo = x − µo σ/ n Si n > 30, y σ es conocida, use zo definido anteriormente. Si σ no se conoce, substituya s en lugar de σ in zo, es decir, use z o = • x − µo s/ n Si n < 30, y σ es desconocida, use la estadística t dada por to = x − µo , con ν = n - 1 grados de libertad.
desviación de estándar s = 3.5. Asumimos que no sabemos el valor de la desviación de estándar de la población, por lo tanto, calculamos una estadística de t como sigue: t o = x − µ o 22.0 − 22.5 = = −0.7142 s/ n 3.5 / 25 El correspondiente Valor P, para n = 25 - 1 = 24 grados de libertad es Valor P = 2⋅UTPT(24,-0.7142) = 2⋅0.7590 = 1.5169, dado que 1.5169 > 0.05, es decir, Valor P > α, no podemos rechazar la hipótesis nula Ho: µ = 22.0.
Ejemplo 2 -- Probar la hipótesis nula Ho: µ = 22.0 ( = µo), contra la hipótesis alternativa, H1: µ >22.5 en un nivel de confianza de 95% es decir, α = 0.05, usando una muestra de tamaño n = 25 con una media x = 22.0 y una desviación estándar s = 3.5. Una vez más, asumimos que no sabemos el valor de la desviación estándar de la población, por lo tanto, el valor de la estadística t es al caso de la prueba bilateral demostrado anteriormente, es decir, to = -0.
• Si se usa t, Valor P = 2⋅UTPT(ν,|to|) con los grados de libertad para la distribución t dados por ν = n1 + n2 - 2. Los criterios de la prueba son • • Rechazar Ho si Valor P < α No rechazar Ho si Valor P > α.
realizamos las n repeticiones del experimento, y encontramos que existen k resultados acertados. Por lo tanto, un estimado de p es p ' = k/n. La varianza de la muestra se estima como sp2 = p’(1-p’)/n = k⋅(n-k)/n3. Asuma que la variable Z, Z = (p-p0)/sp, sigue la distribución normal estándar, es decir, Z ~ N(0,1). El valor particular de la estadística de la prueba es z0 = (p’-p0)/sp.
Prueba de la diferencia entre dos proporciones Suponer que deseamos probar la hipótesis nula, H0: p1-p2 = p0, donde las p's representa la probabilidad de obtener un resultado acertado en cualquier repetición dada de un ensayo de Bernoulli para dos poblaciones 1 y 2. Para probar la hipótesis, realizamos n1 las repeticiones del experimento de la población 1, y se registran k1 resultados acertados. También, encontramos k2 resultados acertados a partir de las n2 ensayos en la muestra 2.
Rechazar la hipótesis nula, H0, si z0 >zα, y H1: p1-p2 > p0, o si z0 < - zα, y H1: p1-p2
6. T-Test: µ1−µ2.: Prueba de hipótesis para la diferencia de las medias de dos poblaciones, µ1- µ2, cuando se desconocen las varianzas de las dos poblaciones, y las muestras son pequeñas. Ejecútense los siguientes ejercicios: Ejemplo 1 – Dado µ0 = 150, σ = 10, x = 158, n = 50, con nivel de significado α = 0.05, pruébese la hipótesis H0: µ = µ0, usando la hipótesis alterna, H1: µ ≠ µ0. Presiónese ‚Ù—— @@@OK@@@ para activar la opción de prueba de hipótesis. Presiónese @@@OK@@@ para seleccionar la opción 1.
Esta información puede observarse gráficamente al presionar la tecla de menú @GRAPH: Ejemplo 2 -- Con µ0 = 150, x = 158, s = 10, n = 50, y α = 0.05, probar la hipótesis H0: µ = µ0, contra la hipótesis alternativa, H1: µ > µ0. La desviación de estándar de la población, σ, no se conoce. Presione ‚Ù—— @@@OK@@@ para acceder a la función de prueba de hipótesis en la calculadora. Presione ——@@@OK@@@ para seleccionar la opción 5. T-Test: 1 µ.
Ejemplo 3 – Datos dos muestras producen los resultados siguientes x1 = 158, x1 = 160, s1 = 10, s2 = 4.5, n1 = 50, y n2 = 55. Para α = 0.05, y varianza “mixta”, probar la hipótesis H0: µ1−µ2 = 0, contra la hipótesis alternativa, H1: µ1−µ2 < 0. Presione ‚Ù—— @@@OK@@@ para tener acceso a la función de prueba de hipótesis en la calculadora. Presione —@@@OK@@@ para seleccionar la opción 6. T-Test: µ1−µ2.
Estos tres ejemplos deben ser bastantes para entender la operación de la hipótesis que prueba la característica preprogramada en la calculadora. Inferencias referentes a una varianza La hipótesis nula que se probará es, Ho: σ2 = σo2, en un nivel de confianza (1α)100%, o nivel de significado α, usar una muestra del tamaño n, y varianza s2.
Con ν = n - 1 = 25 - 1 = 24 los grados de libertad, calculamos el Valor P como, Valor P = P(χ2<19.2) = 1-UTPC(24,19.2) = 0.2587… Dado que, 0.2587… > 0.05, es decir, Valor P > α, no podemos rechazar la hipótesis nula, Ho: σ2 =25(= σo2). Inferencias referentes a dos varianzas La hipótesis nula que se probará es, Ho: σ12 = σ22, en un nivel de confianza (1-α)100%, o nivel de significado α, usar dos muestras de tamaños, n1 y n2, y varianzas s12 y s22.
El Valor P se calcula, en todos los casos, como: Valor P = P(F>Fo) = UTPF(νN, νD,Fo) Los criterios de la prueba son: • Rechazar Ho si Valor P < α • No rechazar Ho si Valor P > α. Ejemplo1 -- Considerar dos muestras extraídas de poblaciones normales tales que n1 = 21, n2 = 31, s12 = 0.36, y s22 = 0.25. Probamos la hipótesis nula, Ho: σ12 = σ22, a un nivel de significado α = 0.05, contra la hipótesis alternativa, H1: σ12 ≠ σ22.
x y la media de la distribución correspondiente de las Y's. Asuma que la curva de la regresión de Y en x es linear, es decir, la distribución mala de las y se escribe como Α + Βx. Y se diferencia de la media (Α + Β⋅x) por un valor ε, por lo tanto podemos escribir Y = Α + Β⋅x + ε, en la cual ε es una variable aleatoria. Para comprobar visualmente si los datos sigan una tendencia linear, dibujar un diagrama de los datos.
porque usted puede utilizar la opción 3. Fit Data … en el menú STAT (‚Ù) presentado anteriormente. ____________________________________________________________________ Notas: • a,b son los estimados imparciales de Α, Β. • El teorema de Gauss-Markov de la probabilidad indica que entre todos los estimados imparciales para A y B, los estimados de mínimos cuadrados (a,b) son los más eficientes.
Error de la predicción La curva de la regresión de Y en x se define como Y = Α + Β⋅x + ε. Si tenemos un conjunto de n datos (xi, yi), podemos escribir Yi = Α + Β⋅xi + εI, (i = 1,2,…,n), en la cual Yi = variables aleatorias, independientes, normalmente distribuidas con media (Α + Β⋅xi) y varianza común σ2; εi = variables independientes aleatorias normalmente distribuidas con media cero y varianza común σ2. Sea yi = valor real de los datos, ^yi = a + b⋅xi = predicción de mínimos cuadrados de los datos.
nivel de significado, α, determine el valor crítico de t, tα/2, entonces, rechace H0 si t0 > tα/2 o si t0 < - tα/2. Si usted prueba para el valor Β0= 0, y resulta que la prueba sugiere que usted no rechace la hipótesis nula, H0: Β = 0, entonces, la validez de una regresión linear está en duda. Es decir los datos de la muestra no apoyan la aserción de que Β ≠ 0. Por lo tanto, ésta es una prueba de la significación del modelo de la regresión.
4) Use ‚Ù˜@@@OK@@@, para obtener x, y, sx, sy. La columna 1 mostrará las estadísticas para x mientras que la columna 2 mostrará las estadísticas para y . 5) Calcule 2 S xx = (n − 1) ⋅ s x2 , se = n −1 2 ⋅ s y ⋅ (1 − rxy2 ) n−2 6) Para intervalos de confianza o pruebas bilaterales, obtenga tα/2, con nivel de confianza (1- α)100%, a partir de la distribución t con ν = n -2. 7) Para pruebas unilaterales o bilaterales, obtenga el valor de t usando la ecuación apropiada para Α o Β.
A partir de la opción Single-var… del menú ‚Ù se calcula: x = 3, sx = 0.790569415042,y = 8.86, sy = 2.58804945857. Después, con n = 5, calcule S xx = (n − 1) ⋅ s x2 = (5 − 1) ⋅ 0.790569415042 2 = 2.5 s e2 = n −1 2 ⋅ s y ⋅ (1 − rxy2 ) = n−2 5 −1 ⋅ 2.5880...2 ⋅ (1 − 0.9897...2 ) = 0.1826... 5−2 Intervalos de confianza para la pendiente (Β) e intercepto (A): • • Primero, obtenemos t n-2,α/2 = t3,0.025 = 3.
La estadística de la prueba es t0 = (a-0)/[(1/n)+x2/Sxx]1/2 = (-0.86)/ [(1/5)+32/2.5] ½ = -0.44117. El valor crítico de t, para ν = n – 2 = 3, y α/2 = 0.025, puede ser calculado usando la solución numérica para la ecuación α = UTPT(γ,t) convertido en el capítulo 17. En este programa, γ representa los grados de libertad (n-2), y α representa la probabilidad de exceder cierto valor de t, es decir, Pr[ t>tα] = 1 – α. Por el actual ejemplo, el valor del nivel de la significación es α = 0.
Suponga que buscamos un ajuste de los datos de la forma y = b0 + b1⋅x1 + b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bn⋅xn. Usted puede obtener la aproximación de mínimos cuadrados de los coeficientes b = [b0 b1 b2 b3 … bn], al crear la matriz X: _ _ 1 x11 x21 x31 … xn1 1 x12 x22 x32 … xn2 1 x13 x32 x33 … xn3 . . . . . . . . . . . 1 x1,m x 2,m x 3,m … x n,m _ _ Entonces, el vector de coeficientes se obtiene como b = (XT⋅X)-1⋅XT⋅y, en la cual y es el vector y = [y1 y2 … ym]T.
y almacénelo en una variable llamada MTREG (MulTiple REGression). Después, escriba las matrices X y b en la pantalla: [[1,1.2,3.1,2][1,2.5,3.1,2.5 ][1,3.5,4.5,2.5][1,4,4.5,3][1,6,5,3.5]] `` (guardar una copia adicional) [5.7,8.2,5.0,8.2,9.5] ` Presione J@MTREG. El resultado es: [-2.1649…,–0.7144…,1.7850…,7.0941…], i.e., y = -2.1649–0.7144⋅x1 -1.7850×10-2⋅x2 + 7.0941⋅x3 .
_ _ 1 1 1 . . 1 _ x1 x2 x3 . . xn x12 x22 x32 . . x n2 x13 x23 x33 . . xn3 … … … . … x1p-1 x2 p-1 x3 p-1 . . x n p-1 y1 p y2 p y3 p . . yn p _ Entonces, el vector de coeficientes se obtiene de b = (XT⋅X)-1⋅XT⋅y, donde y es el vector y = [y1 y2 … yn]T. En el capítulo 10, definimos la matriz de Vandermonde que correspondía a un vector x = [x1 x2 … xm] . La matriz de Vandermonde es similar a la matriz X de interés para el ajuste polinómico, pero teniendo solamente n, en vez de (p+1) columnas.
Escribir los vectores x y y, de la misma dimensión, como listas. (nota: puesto que la función VANDERMONDE utiliza una lista como entrada, es más conveniente escribir los datos (x,y) como listas.) También, escriba el valor de p. • Determine n = tamaño del vector x. • Use la función VANDERMONDE para generar la matriz de Vandermonde Vn para la lista x escrita.
n1+ p1+ FOR j x j ^ OBJ ARRY j COL+ NEXT END END y OBJ ARRY MTREG NUM » » » Calcular n+1 Calcular p+1 Repetición con j = n, n+1, …, p+1. Calcular xj, como lista Convertir lista a arreglo Agregar la columna a la matriz Cerrar FOR-NEXT Finaliza segunda cláusula IF Finaliza primer IF.
escribirlas de nuevo en cada uso del programa POLY. Por lo tanto, proseguir de la forma siguiente: { 2.3 3.2 4.5 1.65 9.32 1.18 6.24 3.45 9.89 1.22 } ` ‘xx’ K {179.72 562.30 1969.11 65.87 31220.89 32.81 6731.48 737.41 39248.46 33.45} ` ‘yy’ K Para ajustar los datos a los polinomios utilizar lo siguiente: @@xx@@ @@yy@@ 2 @POLY, Resultado: [4527.73 -3958.52 742.23] es decir, y = 4527.73-39.58x+742.23x2 @@xx@@ @@yy@@ 3 @POLY, Resultado: [ –998.05 1303.21 -505.27 79.23] es decir, y = -998.05+1303.21x-505.
Dado los vectores x y y de los datos que se ajustarán a la ecuación polinómica, formamos la matriz X y la utilizamos para calcular un vector de los coeficientes polinómicos b. Podemos calcular un vector de los datos ajustados, y', usando y' = X⋅b. Un vector de errores se calcula como e = y – y’. La suma de errores cuadrados es igual al cuadrado de la magnitud del vector de errores, es decir, SSE = |e|2 = e•e = Σ ei2 = Σ (yi-y’i)2.
n1+ p1+ FOR j x j ^ OBJ ARRY j COL+ NEXT END END y OBJ ARRY X yv « X yv MTREG NUM b « b yv Xb* ABS SQ DUP y ΣLIST n / n 1 LIST SWAP CON yv − ABS SQ / NEG 1 + √ “r” TAG SWAP “SSE” TAG » » » » » Calcular X⋅b Calcular e = y - X⋅b Calcular SSE, copiar resultado Calcular y Vector de n valores de y Calcular SST Calcular SSE/SST Calcular r = [1–SSE/SST ]1/2 Rotular resultado como “r” Almacene este programa bajo el nombre de POLYR, para acentuar el cálculo del coeficiente de correlación r.
Uso del programa POLYR para los valores de p entre 2 y 6 produce la tabla siguiente de valores del coeficiente de correlación, r, y de la suma de los errores cuadrados, SSE: p 2 3 4 5 6 r 0.9971908 0.9999768 0.9999999 0.9999999 0.9999998 SSE 10731140.01 88619.36 7.48 8.92 432.61 Mientras que el coeficiente de correlación está muy cerca de 1.0 para todos los valores de p en la tabla, los valores de SSE varían entre sí. El valor más pequeño de SSE corresponde a p = 4.
Capítulo 19 Números en diversas bases En este capítulo presentamos ejemplos de cálculos del número en bases diferentes a la base decimal. Definiciones El sistema de numeración usado para la aritmética diaria se conoce como el sistema decimal pues utiliza 10 (latín, deca) dígitos, a saber 0-9, para escribir cualquier número. Las computadoras, por otra parte, utilizan un sistema que se basa en dos estados posibles, o el sistema binario.
Esta figura indica que las opciones LOGIC, BIT, y BYTE en el menú BASE representan sub-menús y no simplemente funciones. Estos menús se presentan en detalle a continuación. Funciones HEX, DEC, OCT, y BIN Los números en sistemas no decimales, a los que se les refiere como enteros binarios (binary integers), se escriben en la calculadora precedidos del símbolo # („â).
El sistema decimal (DEC) tiene 10 dígitos (0.1.2.3.4.5.6.7.8.9), el sistema hexadecimal (HEX) tiene 16 dígitos (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E ,F), el sistema octal (OCT) tiene 8 dígitos (0.1.2.3.4.5.6.7), y el sistema binario (BIN) tiene solamente 2 dígitos (0.1). Conversión entre los sistemas de numeración Cualquiera que sea el sistema de numeración seleccionado, este se denomina sistema binario con el fin de usar las funciones R B y B R.
Para ver qué sucede si usted selecciona @DEC@, intentar las conversiones siguientes: El único efecto de seleccionar la sistema DECimal es que los números decimales, cuando están comenzados con el símbolo #, están escritos con el sufijo d. Wordsize (Tamaño de palabra) Wordsize es el número de bits en un objeto binario. El valor predeterminado del wordsize es 64 bytes. La función RCWS (ReCall WordSize) muestra el valor actual del wordsize.
El menú LOGIC El menú LOGIC, disponible en el menú BASE (‚ã) proporciona las funciones siguientes: Las funciones AND, OR, XOR (OR exclusivo), y NOT son las funciones lógicas. Estas funciones requieren dos valores o expresiones (una en el caso de NOT) eso se puede expresarse como resultados lógicos binarios, es decir, 0 o 1. Comparaciones de números a través de los operadores de comparación =, ≠, >, <, ≤, ≥, son declaraciones lógicas que pueden ser o verdaderas (1) o falsas (0).
XOR (BIN) NOT (HEX) El menú BIT El menú BIT, disponible en el menú BASE (‚ã) proporciona las funciones siguientes: Las funciones RL, SL, ASR, SR, RR, contenidas en el menú BIT, se utilizan manipular bits en un número entero binario. La definición de estas funciones se demuestra abajo: RL: Rotar a la izquierda un bit, Vg., #1100b #1001b SL: Cambiar de puesto a la izquierda un bit, Vg., #1101b #11010b ASR: Cambio de puesto aritmético a la derecha, un bit, Vg.
Las funciones RLB, SLB, SRB, RRB, contenidas en el menú BIT, se utilizan para manipular bits en un número entero binario. La definición de estas funciones se demuestra a continuación: RLB: SLB: SRB: RRB: Rotar a la izquierda un byte, Vg., #1100b #1001b Cambiar de puesto a la izquierda un byte, Vg.., #1101b #11010b Cambiar de puesto a la derecha un byte, Vg.., #11011b #1101b Rotar a la derecha un byte, Vg..
Capítulo 20 Menús y teclas de usuario Con el uso de los varios menús de la calculadora usted se ha familiarizado con la operación de los menús. También, usted ya conoce muy bien las diversas funciones disponibles en las teclas de la calculadora, ya sea con su función principal, o combinándolas con las teclas „, ‚ ó ALPHA (~). En este capítulo se presentan ejemplos de menús y de teclados modificados para requisitos particulares del usuario.
Números de menú (funciones RCLMENU y MENU) Cada menú predefinido tiene un número asociado . Por ejemplo, suponga que usted activa el menú MTH („´). A continuación, usando el catálogo de funciones (‚N) localice la función RCLMENU y actívela. En modo ALG, simplemente presione ` después que RCLMENU() aparezca en la pantalla. El resultado es el número 3.01. Así, usted puede activar el menú de MTH usando MENU(3.01), en modo ALG, ó 3.01 MENU, en modo RPN.
{EXP LN GAMMA !} ` MENU ` Esta acción produce el menú: Para activar cualquiera de estas funciones, simplemente escríbase el argumento de la función (un número), y presiónese a continuación la tecla de menú correspondiente.
Menú aumentado en modo RPN La lista presentada arriba para el modo ALG, se puede modificar levemente para utilizarse en el modo de RPN. L a lista modificada es la siguiente: {{“exp”,EXP},{“ln”,LN},{“Gamma”,GAMMA},{“!”,!}} Usted puede intentar usar esta lista con TMENU o MENU en modo RPN para verificar que se obtiene el mismo menú obtenido anteriormente en modo ALG.
CST diferente en cada sub-directorio, y puede siempre sustituir el contenido actual del CST por los de otras variables que almacenan la lista con el formato apropiado para producir otro menú de usuario. Nota: Se puede utilizar un GROB 21x8 (ver El Capítulo 22) para producir un icono en las teclas del menú. Como ejemplo, pruébese, en modo RPN: {{GROB 21 8 00000EF908FFF900FFF9B3FFF9A2FFF9A3FFF9A0FFF388FF “hp” }} ` MENU Esta acción colocará el logotipo de hp en la tecla A.
Podemos combinar una tecla dada con la tecla USER ( „Ì) para crear un teclado de usuario. En principio, el teclado entero se puede redefinir para realizar un número de operaciones modificadas para requisitos particulares. El sub-menú PRG/MODES/KEYS Las funciones útiles para modificar el teclado al gusto del usuario se proveen en el menú KEYS accesible a través del menú („°).
Si usted desea tener una manera rápida de activar este menú desde el teclado, asigne este menú a la tecla GRAPH (C) cuyo número de referencia es 13.0, es decir, primera fila, tercera columna, para la función principal. Para asignar un objeto a una tecla, use la función ASN, como se muestra a continuación: Modo ALG: ASN(<>,13.0) Modo RPN: << 18.01 MENU >> ` 13.
suponga que asignamos las tres funciones trigonométricas (SIN, COS, TAN) y las tres funciones hiperbólicas (SINH, COSH, TANH) a las teclas A a F, respectivamente, como teclas definidas por el usuario. En modo RPN use: {SIN,11.0,COS,12.0,TAN,13.0,SINH,14.0,COSH,15.0,T ANH,16.0} ` STOKEYS ` En modo ALG, use: STOKEYS({"SIN(' ,11.0, "COS(", 12.0, "TAN(", 13.0, "SINH(", 14.0, "COSH(", 15.0, "TANH(", 16.
Capítulo 21 Programación en lenguaje User RPL El lenguaje User RPL es el lenguaje el de programación usado lo más comúnmente posible para programar la calculadora. Los componentes del programa se pueden incorporar en el editor de línea incluyéndolos entre los símbolos de programas « » en la orden apropiada. Porque hay más experiencia entre usuarios de la calculadora en la programación en el modo de RPN, la mayoría de los ejemplos en este capítulo serán presentados en el modo de RPN.
Secuencia de teclas: ‚å [']~„x™K ~„x „´@)HYP @SINH 1#~„x „º „´@)@MTH@ @LIST @ADD@ / [']~„x™ „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE Produce: « 'x' STO x SINH 1 x SQ ADD / 'x' PURGE ` _______________________ __________ Interpretado como: Comenzar un programa RPL Almacenar nivel 1 en x Colocar x en nivel 1 Calcular sinh del nivel 1 Escribir 1 y calcular x2 Calcular (1+x2), después dividir Eliminar variable x Programa en nivel 1 _____________________ Para almacenar el programa, use: [']~„gK Presione J para recuperar
programa borra la variable x así que no se mostrará en su menú de variables después de finalizar el programa. Si purgáramos la variable x dentro del programa, su valor estaría disponible para nosotros después de la ejecución del programa. Por esa razón, la variable x, según lo utilizado en este programa, se conoce como una variable global.
en su menú de variables. Por esa razón, la variable x en este caso se refiere como una variable local. Nota: Para modificar el programa @@@g@@@, ponga el nombre del programa en la pantalla (³@@@g@@@ `), y use „˜. Use las teclas (š™—˜) para moverse en el programa. Utilizar la tecla de cancelación, ƒ, para suprimir cualquier conjunto de caracteres no deseados. Para agregar los símbolos del programa (i.e., « »), use ‚å.
• • Al activar un programa que se refiera a una variable global dada, el programa utilizará el valor de la variable global en el directorio desde el cual se invoca el programa. Si ninguna variable con ese nombre existe en el directorio de invocación, el programa buscará los directorios sobre el actual, hasta el directorio HOME, y utiliza el valor que corresponde al nombre de la variable bajo consideración en el directorio más cercano sobre el actual.
He aquí una breve descripción del contenido de estos sub-menus, y sus submenus: SCREEN: Funciones para la manipulación de elementos en la pantalla MEM: Funciones relacionadas con la manipulación de la memoria DIR: Funciones relacionadas con la manipulación de directorios ARITH: Funciones para manipular índices almacenados en variables BRCH: Colección de sub-menus con ramificación y lazos de programas IF: IF-THEN-ELSE-END, instrucción para ramificar CASE: CASE-THEN-END, instrucción para ramificar START: STAR
MODES: Funciones para modificar modos de la calculadora FMT: Para cambiar formatos de número, formato de la coma ANGLE:Para cambiar medida del ángulo y sistemas coordinados FLAG: Fijar y remover banderas y comprobar su estado KEYS: Para definir y activar teclas de usuario (Capítulo 20) MENU: Para definir y activar menús de usuario (Capítulo 20) MISC: Cambios de modo misceláneos (señal sonora, reloj, etc.
SCREEN DUP SWAP DROP OVER ROT UNROT ROLL ROLLD PICK UNPICK PICK3 DEPTH DUP2 DUPN DROP2 DROPN DUPDU NIP NDUPN MEM PURGE MEM BYTES NEWOB ARCHI RESTO MEM/DIR PURGE RCL STO PATH CRDIR PGDIR VARS TVARS ORDER BRCH/IF IF THEN ELSE END BRCH/WHILE WHILE REPEAT END TEST BRCH/CASE == ≠ CASE THEN < END > ≤ MEM/ARITH BRCH/START ≥ STO+ START AND STONEXT OR STOx STEP XOR STO/ NOT BRCH/FOR INCR SAME DECR FOR TYPE SINV NEXT SF SNEG STEP CF SCONJ FS? BRCH/DO FC? BRCH DO FS?C IFT UNTIL FC?C IFTE END LININ TYPE OBJ ARRY
LIST/ELEM GET GETI PUT PUTI SIZE POS HEAD TAIL GROB GROB BLANK GOR GXOR SUB REPL LCD LCD SIZE LIST/PROC ANIMATE DOLIST PICT DOSUB NSUB PICT ENDSUB PDIM STREAM LINE REVLIST TLINE SORT BOX SEQ ARC PIXON PIXOF PIX? PVIEW PX C C PX CHARS SUB REPL POS SIZE NUM CHR OBJ STR HEAD TAIL SREPL MODES/FMT STD FIX SCI ENG FM, ML MODES/FLAG SF CF FS? FC? FS?C FS?C FC?C STOF RCLF RESET MODES/KEYS ASN STOKEYS RECLKEYS DELKEYS MODES/MENU MENU CST MODES/ANGLE TMENU DEG RCLMENU RAD GRAD RECT CYLIN SPHERE MODES/MISC B
TIME DATE DATE TIME TIME TICKS ERROR DOERR ERRN ERRM ERR0 LASTARG TIME/ALRM ACK ACKALARM STOALARM RCLALARM DELALARM FINDALARM ERROR/IFERR IFERR THEN ELSE END RUN DBUG SST SST↓ NEXT HALT KILL OFF Atajos en el menú de PRG Muchas de las funciones enumeradas arriba para el menú de PRG son directas fácilmente disponible otros medios: • Los operadores de la comparación (≠, ≤, <, ≥, >) estar disponible en el teclado.
„@)@IF@@ „@)CASE@ ‚@)@IF@@ ‚@)CASE@ „@)START „@)@FOR@@ ‚@)START „@)@@DO@@ ‚@)@FOR@@ „@)WHILE Note que el cursor ( ) está disponible después de que la palabra clave para cada construcción así que usted pueda comenzar a escribir en el lugar apropiado. Secuencias de teclas para los comandos comúnmente usados Los siguientes son secuencias de golpe de teclado para tener acceso a los comandos comúnmente usados para la programación numérica dentro del menú de PRG.
@)STACK DUP SWAP DROP „°@)STACK BUP „°@)STACK @SWAP@ „°@)STACK @DROP@ @)@MEM@@ @)@DIR@@ PURGE ORDER „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @ORDER @)@BRCH@ @)@IF@@ IF THEN ELSE END „°@)@BRCH@ „°@)@BRCH@ „°@)@BRCH@ „°@)@BRCH@ @)@BRCH@ @)CASE@ CASE THEN END „°@)@BRCH@ @)CASE@ @CASE@ „°@)@BRCH@ @)CASE@ @THEN@ „°@)@BRCH@ @)CASE@ @@END@ @)@BRCH@ @)START START NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)START @START „°@)@BRCH@ @)START @NEXT „°@)@BRCH@ @)START @STEP @)@BRCH@ @)@FOR@ FOR NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)@FOR@
@)@BRCH@ @)WHILE@ WHILE REPEAT END @)TEST@ @)TYPE@ „°@)@BRCH@ @)WHILE@ @WHILE „°)@BRCH@ @)WHILE@ @REPEA „°)@BRCH@ @)WHILE@ @@END@ == AND OR XOR NOT SAME SF CF FS? FC? FS?C FC?C „° @)TEST@ @@@≠@@@ „° @)TEST@ L @@AND@ „° @)TEST@ L @@@OR@@ „° @)TEST@ L @@XOR@ „° @)TEST@ L @@NOT@ „° @)TEST@ L @SAME „° @)TEST@ L L @@@SF@@ „°@)TEST@ L L @@@CF@@ „° @)TEST@ L L @@FS?@ „° @)TEST@ L L @@FC?@ „° @)TEST@ L L @FS?C „° @)TEST@ L L @FC?C OBJ ARRY LIST STR TAG NUM CHR TYPE „°@)TYPE@ @OBJ @ „°@)TYPE@ @ ARRY „°@
@)LIST@ @)PROC@ REVLIST SORT SEQ „°@)LIST@ @)PROC@ @REVLI@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @SORT@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @@SEQ@@ @)MODES @)ANGLE@ DEG RAD „°L@)MODES @)ANGLE@ @@DEG@@ „°L@)MODES @)ANGLE@ @@RAD@@ @)MODES @)MENU@ CST MENU BEEP „°L@)MODES @)MENU@ @@CST@@ „°L@)MODES @)MENU@ @@MENU@ „°L@)MODES @)MISC@ @@BEEP@ @)@@IN@@ @)@RUN@ INFORM INPUT MSGBOX PVIEW „°L@)@@IN@@ „°L@)@@IN@@ „°L@)@OUT@ „°L@)@OUT@ @INFOR@ @INPUT@ @MSGBO@ @PVIEW@ DBUG SST SST↓ HALT KILL „°LL „°LL „°LL „°LL „°LL @)@RUN@ @)@RUN@ @)@RUN@
Como ejercicios de programación adicionales, e para practicar las secuencias de teclas listadas arriba, presentamos, adjuntos, tres programas para crear o manipular listas.
Ejemplos de la programación secuencial En general, un programa es cualquier secuencia de instrucciones de la calculadora incluidas entre los símbolos del programa « ». Los subprogramas pueden ser incluidos como parte de un programa. Los ejemplos presentados previamente en esta guía (por ejemplo, en capítulos 3 y 8) 6 se pueden clasificar básicamente en dos tipos: (a) programas generados definiendo una función; y, (b) programas que simulan una secuencia de las operaciones del apilado.
q= Cu 5 / 3 y0 S0 n donde Cu es una constante que depende del sistema de las unidades usadas [Cu = 1.0 para las unidades del sistema internacional (S.I.), y Cu = 1.486 para las unidades del sistema inglés (E.S.)], n es el coeficiente de Manning (o coeficiente de resistencia), que depende del tipo de superficie del canal y de otros factores, y0 es la profundidad de flujo, y S0 es la pendiente del lecho del canal dada como fracción sin dimensiones.
El resultado es 2.6456684 (o, q = 2.6456684 m2/s). Usted puede también separar los datos de entrada con espacios en una sola línea en vez de usar diferentes niveles en la pantalla. Para terminar, presione `. Programas que simulan una secuencia de operaciones En este caso, los términos que se implicarán en la secuencia de operaciones se asumen que están presentes en la pantalla. El programa se escribe abriendo primero los símbolos del programa con ‚å.
el cálculo. En los términos de las variables Q, g, b, y, el cálculo apenas realizado se escribe como (no escriba lo siguiente): y ` b *„º g *2* Q „º™/ Como usted puede ver, y se utiliza primero, entonces utilizamos b, g, y Q, en esa orden. Por lo tanto, con el fines de cálculo, necesitamos incorporar las variables en la orden inversa, i.e., (no escriba lo siguiente): Q ` g `b `y ` Para los valores específicos siguientes consideración utilizamos: 23 ` 32.
Dividir Q2 por 2⋅g⋅ (b⋅y)2 Pasar programa a la pantalla / ` El programa que resulta luce así: « * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / » Nota: SQ es la función que resulta de la secuencia de teclas „º. Almacene el programa en una variable llamada hv: ³~„h~„v K Una nueva variable @@@hv@@@ estará disponible en su menú de variables. (Presione J para ver su lista de variables.) El programa dejado en pantalla puede ser evaluado usando la función EVAL. El resultado debe ser 0.228174…, como se mostró anteriormente.
Entrada interactiva en programas En los ejemplos de programas secuenciales mostrados en la sección anterior no le queda claro al usuario el orden en el cual las variables se deben poner en pantalla antes de la ejecución de programa. Para el caso del programa @@@q@@@, escrito como: « → Cu n y0 S0 ‘Cu/n*y0^(5/3)*√S0’ », es siempre posible recordar la definición del programa en pantalla (‚@@@q@@@)para ver la orden en la cual las variables deben ser incorporadas, a saber, → Cu n y0 S0.
‘SQ(S4)/(S3*SQ(S2*S1)*2)’, si su pantalla no se fija a estilo “textbook”, o de esta manera, SQ( S 4) S 3 ⋅ SQ( S 2 ⋅ S1) ⋅ 2 si se selecciona el estilo “textbook”. Puesto que sabemos que la función SQ( ) representa x2, interpretamos el último resultado como S 42 , 2 ⋅ S 3 ⋅ ( S 2 ⋅ S1) 2 lo que indica la posición de los diferentes niveles de entrada en la formula.
etiquetar las secuencias para la entrada y la salida. El símbolo de entrada ( ) es similar a producir una nueva línea en una computadora. Las secuencias entre comillas (“ “) se escriben directamente usando el teclado alfanumérico. Almacene el programa en un variable llamado INPTa (inglés, INPuT a, o entre a). Intente operar el programa presionando la tecla @INPTa.
Eliminando errores del programa Para determinar porqué el programa no trabajó como esperábamos, utilizamos la función DBUG en la calculadora como sigue: ³@FUNCa ` Copia nombre de programa a nivel 1 „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Activa programa DBUG @SST↓@ Gradualmente eliminando errores, resultado: “Enter a:” @SST↓@ Resulta: {“ a:” {2 0} V} @SST↓@ Resulta: se requiere el valor de a 2` Escribir valor de 2 para a.
A este punto estamos dentro del subprograma « ‘2*a^2+3’ » el cuál utiliza la variable local a. Para ver el valor de a, use: ~„aµ Esto muestra que a = 2 Detengamos DBUG a este punto puesto que sabemos ya el resultado que conseguiremos. Para detener DBUG, use @KILL. Ud. recibe el mensaje: Interrupted reconociendo que se detuvo DEBUG. Presione $ para recuperar la pantalla normal de la calculadora.
Comencemos creando un sub-directorio llamado PTRICKS (Programming TRICKS, o trucos de programación) para guardar ideas de programación los cuales podemos utilizar más adelante en ejercicios de programación más complejos. Para crear el sub-directorio, primero cerciorarse de que usted se traslada al directorio HOME.
Podemos definir la presión p en función de dos variables, V y T, como p(V,T) = nRT/V para una masa dada del gas puesto que n seguirá siendo constante. Asuma que n = 0.2 gmol, entonces la función al programa es: p (V , T ) = 8.31451 ⋅ 0.2 ⋅ T J T = (1.662902 _ ) ⋅ V K V Podemos definir la función escribiendo el programa siguiente « → V T ‘(1.662902_J/K)*(T/V)’ » y almacenándolo en la variable @@@p@@@.
entonces almacenar en una variable llamada INPT3. Con este programa terminamos la colección de los programas de la secuencia de la entrada que permitirán que incorporemos uno, dos, o tres valores de los datos. Almacene estos programas como una referencia que Ud. puede copiar y modificar para satisfacer los requisitos de nuevos programas que Ud. escriba.
Entrada a través de formas interactivas La función INFORM („°L@)@@IN@@ @INFOR@.) puede ser utilizado para crear las formas interactivas detalladas para un programa. La función INFORM requiere cinco discusiones, en este orden: 1. Un título: una cadena de caracteres que describe la forma interactiva 2. Definiciones de campo: una lista con unas o más definiciones de campo {s1 s2 … sn}, donde cada definición de campo, si, puede tener uno de dos formatos: a.
los valores incorporados en los campos en el orden especificado y el número 1, es decir, en la pantalla RPN: 2: {v1 v2 … vn} 1: 1 Así, si el valor en el nivel 1 de la pantalla es cero, no se realizó ninguna entrada, mientras que si este valor es 1, los valores de la entrada estarán disponibles en el nivel 2 de la pantalla.
Almacene el programa en la variable INFP1. Presione @INFP1 para funcionar el programa. La forma interactiva, con los valores iniciales cargados, es la siguiente: Para ver el efecto de reajustar estos valores, use L @RESET (seleccione Reset all para reajustar valores de campo): Ahora, incorpore diversos valores para los tres campos, por ejemplo, C = 95, R = 2.5, y S = 0.003, presionando @@@OK@@@ después de incorporar cada uno de estos nuevos valores.
« “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .00001 } INFORM IF THEN OBJ DROP C R S ‘C*(R*S)’ NUM “Q” TAG ELSE “Operation cancelled” MSGBOX END » Los pasos del programa demostrados arriba después del comando INFORM incluyen el uso de ramificación de la decisión con la instrucción IF-THEN-ELSEEND (descrito detalladamente en otra parte en este capítulo).
« “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { 2 1 } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .00001 } INFORM IF THEN OBJ DROP C R S ‘C*(R*S)’ NUM “Q” TAG ELSE “Operation cancelled” MSGBOX END » La ejecución del programa @INFP2 produce la forma interactiva siguiente: Ejemplo 3 - Cambie la lista de la información del formato del campo a { 3 0 } y almacene el programa modificado en la variable INFP3.
3. Un número que indica la posición en la lista de las definiciones de la opción predefinida. Si este número es 0, no se destaca ninguna opción del defecto.
Los comandos después de la función CHOOSE en este nuevo programa indican una decisión basada en el valor del nivel 1 de la pantalla a través de la construcción IF-THEN-ELSE-END. Si el valor en el nivel 1 de la pantalla es 1, las instrucciones “Cu” TAG produce un resultado marcado con etiqueta en la pantalla. Si el valor en el nivel 1 de la pantalla es cero, las instrucciones “Operation cancelled” MSGBOX indican que la operación fue cancelada.
Removiendo la etiqueta de una cantidad etiquetada Remover la etiqueta significa extraer el objeto fuera de una cantidad marcada con etiqueta. Esta función se realiza con la combinación del teclas „ ° @)TYPE@ L @DTAG. Por ejemplo, dado la cantidad marcada con etiqueta a:2, DTAG produce el valor numérico 2. Nota: Para las operaciones matemáticas con cantidades marcadas con etiqueta, la calculadora remueve la etiqueta automáticamente antes de la operación.
En este ejemplo modificamos el programa FUNCa de modo que la salida incluya no solamente la función evaluada, pero también una copia de la entrada con una etiqueta. Use ‚ @FUNCa para recobrar el contenido de FUNCa a la pantalla: “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a ‘2*a^2+3‘ NUM ”F” →TAG » » Modificarlo de esta manera: « « “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a ‘2*a^2+3‘ EVAL ”F” →TAG a SWAP» » « « (Recordar que la función SWAP está disponible usando „°@)STACK @SWAP@).
@SST↓@ 2` @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Resulta: se requiere valor de a Escribir un 2 para a. Resulta: “ :a:2” Resulta: a:2 Resulta: pantalla vacía, ejecutando →a Resulta: pantalla vacía, entrar subprog. Resulta: ‘2*a^2+3’ Resulta: pantalla vacía, calculando Resulta: 11., Resulta: “F” Resulta: F: 11. Resulta: a:2.
→V T N V T n requiere seises valores, mientras que solamente tres están disponibles. El resultado habría sido la generación de un mensaje de error y de la interrupción de la ejecución de programa. Para incluir el subprograma mencionado arriba en la definición modificada del programa @@@p@@@, le requerirá utilizar ‚å al principio y fin del subprograma.
utilizamos una secuencia de entrada para conseguir nuestros valores de entrada, esos valores ya están marcados con etiquetas y pueden ser fácilmente recobrados en la pantalla para usarlos en la salida. El uso de la función →TAG permite que identifiquemos la salida de un programa. Usar una caja de mensaje Una caja de mensaje es una manera más lujosa de presentar la salida de un programa. El comando de la caja de mensaje en la calculadora es obtenido usando „°L@)@OUT@ @MSGBO@.
Almacene el programa nuevamente dentro de la variable p usando „@@@p@@@. Active el programa presionando @@@p@@@. Escriba los valores V = 0.01_m^3, T = 300_K, y n = 0.8_mol, cuando se le solicite. Como en la versión anterior de @@@p@@@, antes de presionar ` para la entrada, la pantalla lucirá así: La primera salida del programa es una caja de mensaje que contiene la secuencia: Presione @@@OK@@@ para cancelar salida de la caja de mensaje.
→STR “ ”+ Para escribir este código por primera vez, use: „°@)TYPE@ @ STR ‚Õ ‚ë ™+ Dado que las funciones para el menú TYPE siguen estando disponible en las teclas del menú, para las segundas y terceras ocurrencias del código anterior (→STR “ ” + ) dentro del subprograma (i.e., después de las variables T y n, respectivamente), todo lo que usted necesita utilizar es: @ STR ‚Õ ‚ë ™+ Usted notará que después de usar las teclas ‚ë una nueva línea se genera en la pantalla.
La primera salida del programa es una caja de mensaje que contiene la secuencia: Presione @@@OK@@@ para cancelar salida de la caja de mensaje. Incorporando unidades dentro de un programa Como usted ha podido observar de todos los ejemplos para las diversas versiones del programa @@@p@@@ presentado en este capítulo, el incluir unidades a los valores de la entrada puede ser un proceso tedioso. Usted podría hacer que el programa mismo adjunte esas unidades a los valores de la entrada y de la salida.
Esta nueva versión del programa incluye un nivel adicional de sub-programas (es decir, un tercer nivel de los símbolos del programa « »), y algunos pasos usando listas, i.e., V ‘1_m^3’ * { } + T ‘1_K’ * + n ‘1_mol’ * + EVAL → V T n La interpretación de este código es como sigue (utilizamos valores de la secuencia de la entrada de :V:0.01, :T:300, and :n:0.8): 1. V : El valor de V, como entrada marcada con etiqueta (por ejemplo., V:0.01) es colocado en la pantalla. 2. ‘1_m^3’ : Las unidades de S.I.
• Escriba los valores V = 0.01, T = 300, y n = 0.8, cuando se le solicite (no se requieren unidades en este caso). Antes de presionar ` para la entrada, la pantalla lucirá así: Presione ` para activar el programa. La salida es una caja de mensaje que contiene la secuencia: Presione @@@OK@@@ para cancelar salida de la caja de mensaje. Caja de mensaje sin unidades Modifiquemos el programa @@@p@@@ una vez más para eliminar el uso de unidades a través de él.
Presione @@@OK@@@ para cancelar la salida de la caja de mensaje. Operadores relacionales y lógicos Hemos trabajado hasta ahora principalmente con programas secuenciales. El lenguaje User RPL proporciona declaraciones que permiten el ramificaciones y lazos en el flujo de programa. Muchas de estas decisiones se basan en si una declaración lógica es verdad o no. En esta sección presentamos algunos de los elementos usados para construir tales declaraciones usando operadores relacionales y lógicos.
Todos los operadores, excepto == (el cuál puede ser creado escribiendo ‚Å ‚Å ), están disponible en el teclado. Estos operadores están también disponibles en „° @)TEST@. Dos números, variables, o algebraics conectados por una forma de operador relacional constituyen una expresión lógica que puede tomar el valor de verdad (1.), de falso (0.), o podría, simplemente, no ser evaluada.
p 1 0 NOT p 0 1 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p AND q 1 0 0 0 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p OR q 1 1 1 0 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p XOR q 0 1 1 0 La calculadora incluye también a operador lógico SAME. Esto es operador lógico no estándar usado para determinar si dos objetos son idénticos. Si son idénticos, un valor de 1 (verdad) se vuelve, si no, un valor de 0 (falso) se vuelve.
Ramificación del programa La ramificación de un flujo de programa implica que el programa toma una decisión entre dos o más posibles trayectorias del flujo. El lenguaje User RPL proporciona un número de comandos que se puedan utilizar para la ramificación del programa. Los menús que contienen estos comandos están alcanzados con la secuencia teclas: „°@)@BRCH@ Este menú muestra los sub-menús para las instrucciones de programa Las instrucciones de programa IF…THEN..
3. Si expresión_lógica es falso, ignore expresiones_del_programa y continuar el flujo de programa después de la instrucción END. Para escribir las partículas IF, THEN, ELSE, y END, use: „°@)@BRCH@ @)@IF@@ Las funciones @@@IF@@ @@THEN @@ELSE@ @@ END@@ están disponibles en ese menú para ser escritas selectivamente por el usuario.
La instrucción IF…THEN…ELSE…END La instrucción IF…THEN…ELSE…END permite dos trayectorias alternativas del flujo de programa basadas en el valor de verdad de la expresión_lógica. El formato general de esta instrucción es: IF expresión_lógica THEN expresiones_del_programa_si_verdadera ELSE expresiones_del_programa_si_falsa END. La operación de esta instrucción es la siguiente: 1. Evalúe expresión_lógica. 2.
Estos resultados confirman la operación correcta de la instrucción IF…THEN…ELSE…END.
x 2 , if x < 3 1 − x, if 3 ≤ x < 5 f 3 ( x) = sin( x), if 5 ≤ x < 3π exp( x), if 3π ≤ x < 15 − 2, elsewhere He aquí una manera posible de evaluar este uso de la función con instrucciones IF… THEN … ELSE … END: IF x<3 THEN x2 ELSE IF x<5 THEN 1-x ELSE IF x<3π THEN sin(x) ELSE IF x<15 THEN exp(x) ELSE -2 END END END END Una instrucción IF como esta se llama un sistema jerarquizado, o anidado, de instrucciones IF … THEN … ELSE … END.
→ x « IF ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ ELSE IF ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ ELSE IF ‘x<3*π‘ THEN ‘SIN(x)‘ ELSE IF ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ ELSE –2 END END END END EVAL » » « Almacene el programa siguientes: 1.5 @@f3@@@ 2.5 @@@f3@@@ 4.2 @@@f3@@@ 5.6 @@@f3@@@ 12 @@@f3@@@ 23 @@@f3@@@ en la variable @@@f3@@@ e intente las evaluaciones Resulta: Resulta: Resulta: Resulta: Resulta: Resulta: 2.25 (i.e., x2) 6.25 (i.e., x2) -3.2 (i.e., 1-x) -0.631266… (sin(x), con x en radianes) 162754.791419 (exp(x)) -2.
Si usted está en el menú BRCH, i.e.
Como usted puede ver, f3c produce exactamente los mismos resultados que f3. La única diferencia en los programas es las instrucciones de ramificación usadas. Para el caso de la función f3(x), la cuál requiere cinco expresiones para su definición, la instrucción CASE puede ser más fácil de cifrar que un número de instrucciones IF … THEN … ELSE … END anidadas. Lazos de programa Los lazos de programa son instrucciones que permiten al programa la ejecución de un número de declaraciones repetidamente.
„°@)@BRCH@ @)START @START Dentro del menú BRCH („°@)@BRCH@) las teclas siguientes están disponibles para generar instrucciones START (el símbolo indica la posición del cursor): • „ @START: Comienza la instrucción START…NEXT: START NEXT • ‚ @START: Comienza la instrucción START…STEP: START STEP La instrucción START…NEXT La forma general de esta declaración es: valor_inicial valor_final START expresiones_del_programa NEXT Porque para este caso el incremento es 1, para que el lazo termine, se debe as
2. Se introduce un cero, n se cambia al nivel 2 de la pantalla 3. La instrucción DUP, la cuál se puede escribir como ~~dup~, copia el contenido del nivel 1 de la pantalla, mueve todos los niveles de la pantalla hacia arriba, y coloca la copia en el nivel 1 de la pantalla. Así, después de ejecutar DUP, n está en el nivel 3 y aparecen ceros en los otros niveles. 4. La parte del código → n S k almacena los valores de n, 0, y 0, respectivamente en las variables locales n, S, k.
@SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Pantalla vacía (« - comienza subprograma) SL1 = 0., (comenzar índice del lazo) SL1 = 2.(n), SL2 = 0. (valor del final del índice del lazo) @SST↓@ Pantalla vacía (START – principio del lazo) --- ejecución del lazo número 1 para k = 0 @SST↓@ SL1 = 0. (k) @SST↓@ SL1 = 0. (SQ(k) = k2) @SST↓@ SL1 = 0.(S), SL2 = 0. (k2) @SST↓@ SL1 = 0. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1., SL2 = 0. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 0.(k), SL2 = 1., SL3 = 0. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1.(k+1), SL2 = 0. (S + k2) @SST↓@ SL1 = ‘k’, SL2 = 1.
--- ejecución del lazo número 3 para k = 2 @SST↓@ SL1 = 2. (k) @SST↓@ SL1 = 4. (SQ(k) = k2) @SST↓@ SL1 = 1.(S), SL2 = 4. (k2) @SST↓@ SL1 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1., SL2 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 2.(k), SL2 = 1., SL3 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 3.(k+1), SL2 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = ‘k’, SL2 = 3., SL3 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 5. (S + k2) [Almacena SL2 = 3, en SL1 = ‘k’] @SST↓@ SL1 = ‘S’, SL2 = 5.
La instrucción START…STEP La forma general de esta declaración es: valor_inicial valor_final START expresiones_del_programa incremento NEXT Las partículas valor_inicial, valor_final, e incremento de lazo en el índice puede ser cantidades positivas o negativas. Para increment > 0, la ejecución ocurre mientras el índice es menos que o igual a valor_final. Para increment < 0, la ejecución ocurre mientras el índice es mayor que o igual a valor_final.
Use @SST↓@ para caminar en el programa y ver la operación detallada de cada comando. La instrucción FOR Como en el caso de la instrucción START, la instrucción FOR tiene dos variaciones: la instrucción FOR…NEXT, para los incrementos del índice del lazo de 1, y la instrucción FOR…STEP, para los incrementos del índice del lazo seleccionados por el usuario. A diferencia de la instrucción START, sin embargo, la instrucción FOR requiere que proporcionemos un nombre para el índice del lazo (por ejemplo.
Ejemplo – calcular la adición S usando una instrucción FOR…NEX. El programa siguiente calcula la adición n S = ∑k2 k =0 Use una instrucción FOR…NEXT: « 0 →n S « 0 n FOR k k SQ S + ‘S‘ STO NEXT S “S” →TAG » » Almacene este programa en una variable @@S2@@.
→ xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + → n x dx STEP n →LIST » » » « « xs xe FOR x y almacénelo en la variable @GLIS2. • • Verifique que 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS2 produce la lista {0.5 1. 1.5 2. 2.5}. Para ver, paso a paso, la operación del programa, use DBUG para una lista corta, por ejemplo: J1 # 1.5 # 0.5 ` [‘] @GLIS2 ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Escriba 1 1.5 0.5 Nombre de programa en nivel 1 Comenzar DBUG. Use @SST↓@ para recorrer el programa y ver la operación detallada de cada comando.
Ejemplo 2 – calcular la suma S usando una instrucción DO…UNTIL…END El programa siguiente calcula la sumatoria: n S = ∑k2 k =0 Usando una instrucción DO…UNTIL…END: 0. → n S « DO n SQ S + ‘S‘ STO n 1 – ‘n‘ STO UNTIL ‘n<0‘ END S “S” →TAG » » « Almacene este programa en una variable @@S3@@.
La instrucción WHILE La estructura general de este comando es: WHILE expresión_lógica REPEAT expresiones_del_programa END La instrucción WHILE repetirá las expresiones_del_programa mientras expresión_lógica es verdadero (no cero). Si no, el control de programa se pasa a la instrucción que sigue a la declaración END. Las expresiones_del_programa debe incluir un índice de lazo que se modifica antes de que se verifique la expresión_lógica al principio de la repetición siguiente.
→ xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + xs → n x « xs WHILE ‘x
Si usted escribe #11h ` @DOERR, se produce el mensaje siguiente: Error: Undefined FPTR Name Si Ud. escribe “TRY AGAIN” ` @DOERR, produce el mensaje siguiente: TRY AGAIN Finalmente, 0` @DOERR, produce el mensaje: Interrupted ERRN Esta función produce un número que representa el error más reciente. Por ejemplo, si usted intenta 0Y$@ERRN, usted consigue el número #305h.
Éstos son los componentes de la instrucción IFERR … THEN … END o de la instrucción IFERR … THEN … ELSE … END. Ambas instrucciones lógicas se utilizan para la captura de errores durante la ejecución de un programa. Dentro del sub-menú @)ERROR, al escribir „@)IFERR, o ‚@)IFERR, se colocarán las componentes de la estructura IFERR en la pantalla, alistar para que el usuario llene los términos que faltan, i.e.
Sin embargo, con la instrucción de captura de errores del programa, @ERR1, con los mismos argumentos produce: [0.262295…, 0.442622…]. Programación de User RPL en modo algebraico Mientras que todos los programas presentados anteriormente se produjeron y activaron en modo RPN, usted puede escribir un programa en User RPL en modo algebraico usando la función RPL>. Esta función está disponible a través del catálogo de funciones.
Mientras que usted puede escribir programas en modo algebraico, sin usar la función RPL>, algunas de las instrucciones de RPL producirán un mensaje de error cuando usted presiona `, por ejemplo: Mientras que, usando RPL, no hay problema al cargar este programa en modo algebraico: Página 21-71
Capítulo 22 Programas para la manipulación de los gráficos Este capítulo incluye un número de ejemplos que demuestran cómo utilizar las funciones de la calculadora para la manipulación de gráficos, interactivamente o con el uso de programas. Como en el capítulo 21 recomendamos usar el modo RPN y fijando la bandera del sistema 117 a SOFT menus. Introducimos una variedad de usos gráficos de la calculadora en el capítulo 12.
A menos que usted haya definido algunas teclas de usuario, usted debe obtener una lista que contiene una S, es decir, {S}. Esto indica que el teclado estándar es la única definición almacenada en su calculadora. Para definir una tecla de usuario usted necesita agregar a esta lista una instrucción o un programa seguido por la referencia de la tecla (véanse los detalles en el capítulo 20). Escriba la lista { S << 81.01 MENU >> 13.
Las teclas denominadas 3D, STAT, FLAG, PTYPE, y PPAR, producen los menús adicionales, que serán presentados detalladamente más adelante. A este punto describimos las teclas del menú 81.02. Éstas son: LABEL (10) La función LABEL se utiliza para etiquetar los ejes en un diagrama incluyendo los nombres de variables y los valores mínimos y máximos de los ejes. Los nombres de variables se seleccionan de la información contenida en la variable PPAR.
INFO (12) La función INFO es interactiva solamente (es decir, no puede ser programada). Cuando se presiona la tecla correspondiente del menú proporciona la información sobre el actual traza parámetros. EQ (3) El nombre de la variable EQ es reservado por la calculadora para almacenar la ecuación actual en diagramas o la solución a las ecuaciones (ver, por ejemplo, el capítulo 6).
El menú PPAR (2) El menú PPAR enumera las diversas opciones en la variable PPAR según lo indicado por las teclas del menú. Presione L para moverse a los menús siguientes: Nota: las funciones SCALE demostrado aquí representan realmente SCALE, SCALEW, SCALEH, en ese orden. El diagrama siguiente ilustra las funciones disponibles en el menú PPAR. Las letras unidas a cada función en el diagrama se utilizan para los propósitos de la referencia en la descripción de las funciones demostradas abajo.
Esta información indica que X es la variable independiente (Indep), Y es la variable dependiente (Depnd), el rango del eje x alcanza de –6.5 a 6.5 (Xrng), el rango del eje y alcanza de –3.1 a 3.2 (Yrng). Una pieza de información en la pantalla, el valor de Res (resolución), determina el intervalo de la variable independiente usada para generar la grafica. Las etiquetas de las teclas incluidas en el menú PPAR(2) representar los comandos que se pueden utilizar en programas.
rangos de los ejes x y y se almacenan como los pares ordenados (xmin, ymin) y (xmax, ymax) en los dos primeros elementos de la variable PPAR. Valores prefijados para xmin y xmax son -6.5 y 6.5, respectivamente. Valores prefijados para xmin y xmax son –3.1 y 3.2, respectivamente. RES (e) El comando RES (RESolution) especifica el intervalo entre los valores de la variable independiente al producir un diagrama específico.
Nota: Cambios introducidos usando SCALE, SCALEW, o SCALEH, puede ser utilizado para enfocar hacia adentro o enfocar hacia afuera en un diagrama. ATICK (l) El comando ATICK (Axes TICK mark, o marca de ejes) se utiliza para fijar las anotaciones de marcas en los ejes.
El menú 3D dentro de PLOT (7) El menú 3D contiene dos sub-menus, PTYPE y VPAR, y una variable, EQ. Conocemos ya con el significado de EQ, por lo tanto, nos concentraremos en el contenido de los menús PTYPE y VPAR. El diagrama abajo demuestra la ramificación del menú 3D.
Después, describimos el significado de estas funciones: INFO (S) y VPAR (W) Cuando Ud. presiona @INFO (S) usted consigue la información demostrada en la pantalla lateral izquierda anterior. Los rangos en Xvol, Yvol, y Zvol describen el tamaño del paralelepípedo en el espacio donde el gráfico será generado. Xrng y Yrng describir el rango de valores de x y de y, respectivamente, como variables independientes en el plano x-y que serán utilizadas para generar las funciones de la forma z = f(x,y).
observa el gráfico tridimensional. Cambiando el punto de vista producirá diversas vistas del gráfico. La figura siguiente ilustra la idea del punto de vista con respecto al espacio gráfico real y de su proyección en el plano de la pantalla. NUMX(U) y NUMY (V) Las funciones NUMX y NUMY se utilizan para especificar el número de puntos o de pasos a lo largo de cada dirección que se utilizará en la generación de la rejilla bajo la cual se obtendrán los valores de z = f(x,y).
El menú STAT dentro de PLOT El menú STAT proporciona el acceso a los diagramas relacionados con el análisis estadístico. Dentro de este menú encontramos los menús siguientes:: El diagrama abajo demuestra la ramificación del menú STAT dentro de PLOT. Los números y las letras que acompañan cada función o menú se utilizan para la referencia en las descripciones que siguen la figura.
denominada ΣDAT se utiliza como referencia para los usos interactivos. Más detalles en el uso de estas funciones fueron presentados en un capítulo anterior en usos estadísticos. Presione @)STAT para volver al menú STAT. El menú ΣPAR dentro de STAT (III) El menú ΣPAR proporciona las funciones siguientes: INFO (M) y ΣPAR (K) La tecla INFO en ΣPAR proporciona la información mostrada en la pantalla anterior. La información enumerada en la pantalla se contiene en la variable ΣPAR.
datos se describe más detalladamente en el capítulo sobre estadística. Presione )£@PAR para volver al menú ΣPAR. ΣPAR (K) ΣPAR es solamente una referencia a la variable ΣPAR para uso interactivo. RESET (L) Esta función reajusta el contenido de ΣPAR a sus valores prefijados. Presione L @)STAT para volver al menú del STAT. Presione [PLOT] para volver al menú principal PLOT.
Gráficos de dos dimensiones Los gráficos de dos dimensiones generados por funciones, a saber, Function, Conic, Parametric, Polar, Truth y Differential Equation, usan PPAR con el formato: { (xmin, ymin) (xmax, ymax) indep res axes ptype depend } Los gráficos de dos dimensiones generados de datos en la matriz estadística ΣDAT, a saber, Bar, Histogram, y Scatter, usan la variable ΣPAR con el formato siguiente: { x-column y-column slope intercept model } mientras que al mismo tiempo usan PPAR con el formato dem
La variable EQ Todos los diagramas, excepto aquellos basados en la matriz ΣDAT, también requieren que usted defina la función o las funciones que se trazarán almacenando las expresiones o las referencias a esas funciones en la variable EQ. En resumen, producir un diagrama en un programa que usted necesita cargar EQ, si se requiere. Entonces carga PPAR, PPAR y ΣPAR, o PPAR y VPAR.
Ejemplo 2 - Un diagrama paramétrico (use RAD para los ángulos): „ÌC Activar menú PLOT @)PTYPE @PARAM Seleccionar PARAMETRIC como tipo { ‘SIN(t)+i*SIN(2*t)’ } ` Definir función compleja X+iY „ @@EQ@@ Almancenar función compleja en EQ @)PPAR Mostrar parámetros del diagrama {t 0 6.29} ` @INDEP Definir ‘t’ como indep. variable ~y` @DEPND Definir ‘Y’ como variable depend. 2.2 \# 2.2 @XRNG Definir (-2.2,2.2) como el rango x 1.1 \# 1.1 @YRNG L Definir (-1.1,1.1) como el rango y { (0,0) {.4 .
De estos ejemplos observamos un patrón para la generación interactiva de un gráfico de dos dimensiones a través el menú PLOT: 1 – Seleccione PTYPE. 2 – Almacenar la función para trazar en variable EQ (usar el formato apropiado, i.e., ‘X(t)+iY(t)’ para PARAMETRIC).
Almacenar el programa en variable PLOT1. Para activarlo, presione J, si es necesario, después presione @PLOT1. Ejemplo 2 - Un diagrama paramétrico. Incorporar el programa siguiente: « Comenzar programa RAD {PPAR EQ} PURGE Cambiar a radianes, borrar ‘SIN(t)+i*SIN(2*t)’ STEQ Almancenar ‘X(t)+iY(t)’ en EQ { t 0. 6.29} INDEP Variable indep. es ‘r’ ‘Y’ DEPND Cambie depend. variable a ‘Y’ PARAMETRIC Seleccionar PARAMETRIC como tipo { (0.,0.) {.5 .5} “X(t)” “Y(t)” } AXES Información de ejes –2.2 2.
Almacene el programa en la variable PLOT3. Para activarlo, presione J, si es necesario, después presione @PLOT3. Estos ejercicios, que ilustran el uso de las instrucciones del menú PLOT en programas, apenas rasguñan la superficie de la programación de diagramas. Se invita al lector a intentar sus propios ejercicios en la programación de diagramas.
los rangos de las coordenadas de usuario en PPAR no se cambian, pero el tamaño del gráfico cambia a #h × #v píxeles. PICT y la pantalla de los gráficos PICT, el área de almacenamiento para el gráfico actual, se puede describir como un gráfico de dos dimensiones con un tamaño mínimo de 131 píxeles de ancho y 64 píxeles de altura. La anchura máxima de PICT es 2048 píxeles, sin restricción en la altura máxima.
BOX Este comando toma como entrada dos pares ordenados (x1,y1) (x2, y2), o dos pares de coordenadas de píxel {#n1 #m1} {#n2 #m2}. El comando dibuja la caja cuyas diagonales son representadas por los dos pares de coordenadas en la entrada. ARC Este comando se utiliza dibujar un arco. ARC toma como entrada los objetos siguientes: • coordenadas del centro del arco como (x,y) en coordenadas de usuario o {#n, #m} en píxeles. • radio del arco como r (coordenadas de usuario) o #k (píxeles).
• • • PIX? Comprueba si el píxel en la localización (x,y) o {#n, #m} está encendido. PIXOFF apaga el píxel en la localización (x,y) o {#n, #m}. PIXON enciende el píxel en la localización (x,y) o {#n, #m}. PVIEW Este comando toma como entrada las coordenadas de un punto como coordenadas de usuario (x,y) o píxeles {#n, #m}, y coloca el contenido de PICT con la esquina izquierda superior en la localización del punto especificado.
0. 50. YRNG ERASE (5., 2.5) (95., 47.5) BOX (50., 50.) 10. 0. 360. ARC (50., 50.) 12. –180. 180. ARC 1 8 FOR j (50., 50.) DUP ‘12*COS(45*(j-1))’ NUM ‘12*SIN(45*(j-1))’ NUM R C + LINE NEXT { } PVIEW » Establecer rango de y Borrar figura Trazar caja de (5,5) a (95,95) Trazar círculo centro (50,50), r =10. Trazar círculo centro (50,50), r= 12. Trazar 8 líneas en círculo Líneas centradas en (50,50) Calcula x, otro extremo en 50 + x Calcula y, otro extremo en 50 + y Convertir x y a (x,y), núm.
Se sugiere que usted crea un sub-directorio separado para almacenar los programas. Usted podría llamar el sub-directorio RIVER, puesto que estamos tratando con las secciones transversales irregulares de canales abiertos, típicas de los ríos. Para ver el programa XSECT en acción, utilice los datos siguientes. Escríbalos como matrices de dos columnas, la primera columna con datos x y la segunda con datos y. Almacene las matrices en variables con nombres tales como XYD1 (datos x-y 1) y XYD2 (datos x-y 2).
Sea paciente al activar el programa XSECT. Debido al número relativamente alto de funciones gráficas usadas, no contando las iteraciones numéricas, el programa puede tomar un cierto tiempo para producir el gráfico (cerca de 1 minuto). Datos 1 Datos 2 x y x y 0.4 6.3 0.7 4.8 1.0 4.9 1.0 3.0 2.0 4.3 1.5 2.0 3.4 3.0 2.2 0.9 4.0 1.2 3.5 0.4 5.8 2.0 4.5 1.0 7.2 3.8 5.0 2.0 7.8 5.3 6.0 2.5 9.0 7.2 7.1 2.0 8.0 0.7 9.0 0.0 10.0 1.5 10.5 3.4 11.0 5.
Coordenadas del píxel La figura abajo demuestra los coordenadas gráficos para la pantalla (mínima) típica de 131×64 píxeles. Las coordenadas de los píxeles se miden de la esquina izquierda superior de la pantalla {# 0h # 0h}, la cuál corresponde a las coordenadas definidos por el usuario (xmin, ymax). Las coordenadas máximas en términos de píxeles corresponden a la esquina derecha más baja de la pantalla {# 82h #3Fh}, el cual en coordenadas de usuario es el punto (xmax, ymin).
• Presione @ERASE @DRAW. Dar un plazo de tiempo para que la calculadora genere todos los gráficos necesarios. Cuando estén listos, se mostrará una onda sinusoidal viajera en su pantalla. Animación de una colección de gráficos La calculadora proporciona la función ANIMATE para animar un número de gráficos que se han colocado en la pantalla. Usted puede generar un gráfico en la pantalla de los gráficos usando los comandos en los menús PLOT y PICT.
11 ANIMATE » Animar Terminar programa Almacenar este programa en un variable llamado PANIM (inglés, Plot ANIMation). Para activar el programa presione J (si es necesario) @PANIM. Le tomará a la calculadora más de un minuto para generar los gráficos y para comenzar la animación. Por lo tanto, sea realmente paciente. Usted verá el símbolo del reloj de arena en la parte superior de la pantalla antes de producir la animación.
El programa siguiente animará los gráficos en WLIST hacia delante y hacia atrás: « WLIST DUP REVLIST + OBJ ANIMATE » Comenzar programa Lista WLIST en pantalla, copia adicional Revertir orden, concatenar 2 listas Decomponer lista, nivel 1 = 22 Comenzar la animación Terminar programa Almacene este programa en una variable llamada RANI2 (Re-ANImate versión 2). Para activarlo, presione @RANI2.
trazadas rápidamente una después de la otra. Para parar la animación, presione $. Más información sobre la función ANIMATE La función ANIMATE según lo utilizado en los dos ejemplos anteriores utiliza como entrada los gráficos que se animarán y su número. Usted puede utilizar información adicional para producir la animación, tal como el intervalo del tiempo entre los gráficos y el número de las repeticiones de los gráficos.
Si usted presiona ˜ entonces el gráfico contenido en el nivel 1 se demuestra en la representación gráfica de la calculadora. Presione @CANCL para regresar a pantalla normal. El gráfico en el nivel 1 todavía no está en formato de GROB, aunque es, por definición, un objeto gráficos. Para convertir un gráfico en la pantalla en un GROB, use: 3` „°L@)GROB @ GROB .
Así, los GROBs se puede utilizar para documentar gráficos poniendo ecuaciones, o texto, en la representación gráfica. El menú GROB El menú GROB, accesible a través de „°L@)GROB @ GROB, contiene las funciones siguientes. Presione L para moverse al menú siguiente: GROB De estas funciones hemos utilizado ya SUB, REPL, (del menú EDIT de gráficas), ANIMATE [ANIMA], y GROB. ([ PRG ] es simplemente una manera de volver al menú de programación.
GXOR La función GXOR (Graphics XOR) realiza la misma operación que GOR, pero usar XOR para determinar el estado final de píxeles en el área traslapada entre los objetos gráficos grob1 y grob2. Nota: En GOR y GXOR, cuando grob2 es substituido por PICT, no se produce ninguna salida. Para ver la salida usted necesita recobrar PICT a la pantalla usando ya sea PICT RCL o PICTURE. LCD Toma un GROB especificado y lo exhibe en la pantalla de la calculadora comenzando en la esquina izquierda superior.
PICT RCL “SINE FUNCTION” 1 GROB (-6., 1.5) SWAP GOR PICT STO { } PVIEW » PICT se pasa a la pantalla Colocar etiqueta en pantalla Texto convertido a GROB Coordenadas para el GROB Combinar PICT con etiqueta GROB Almacenar GROB con PICT Poner PICT a la pantalla Terminar programa Almacenar programa bajo el nombre GRPR (GROB PRogram). @GRPR para activar el programa.
La relación entre el estado original de tensiones (σxx, σyy, τxy, τyx) y el estado de la tensión cuando los ejes se rotan a la izquierda cerca f (σ’xx, σ’yy, τ’xy, τ’yx), puede ser representado gráficamente por la construcción demostrada en la figura siguiente. Para construir el círculo de Mohr utilizamos un sistema coordenado cartesiano con eje x el corresponder a las tensiones normales (σ), y eje y el corresponder a las tensiones de corte (τ).
La condición de la tensión para la cual la tensión de corte, τ’xy, es cero, indicado por el segmento D’E’, produce las llamadas tensiones principales, σPxx (en el punto D’) y σPyy (en el punto E’). Para obtener las tensiones principales usted necesita rotar el sistema coordenado x’-y’ por un ángulo φn, a la izquierda, con respecto al sistema x-y. En el círculo de Mohr, el ángulo entre los segmentos AC y D’C representa 2φn.
subprogramas que se creen como variables separadas en la calculadora. Estos subprogramas entonces son ligados por un programa principal, al que llamaremos MOHRCIRCL. Primero crearemos un sub-directorio llamado MOHRC dentro del directorio HOME, y nos movemos en ese directorio para escribir los programas. El paso siguiente es crear el programa y los subprogramas principales dentro del sub-directorio.
active el programa una vez presionando la tecla etiquetada @MOHRC. Use lo siguiente: @MOHRC 25˜ 75˜ 50` Activa el programa MOHRCIRCL Escriba σx = 25 Escriba σy = 75 Escriba τxy = 50, finalice entrada de datos. A este punto el programa MOHRCIRCL comienza a activar los subprogramas para producir la figura. Sea paciente. El círculo del Mohr que resulta se mostrará como en la figura de la izquierda.
Para encontrar los valores normales principales presione š hasta que el cursor vuelve a la intersección del círculo con el lado positivo del eje σ. Los valores encontrados en ese punto son φ = 59o, y (σ’xx, τ’xy) = (1.06E2,-1.40E0) = (106, -1.40). Ahora, contábamos con el valor de τ’xy = 0 en la localización de los ejes principales.
25˜ 75˜ 50` Escriba σx = 25 Escriba σy = 75 Escriba τxy = 50, y terminar datos. El resultado es: Ordenar las variables en el sub-directorio Activando el programa MOHRCIRCL por la primera vez produjo un par de nuevas variables, PPAR y EQ. Éstas son las variables Plot PARameter y EQuation necesario para trazar el círculo. Es sugiere que reordenamos las variables en el sub-directorio, de modo que los programas @MOHRC y @PRNST son las dos primeras variables en las etiquetas del menú.
El resultado es: Para dibujar el círculo de Mohr, utilizar el programa @MOHRC, como sigue: J@MOHRC 12.5˜ 6.25\˜ 5\` Comenzar programa PRNST Escriba σx = 12.5 Escriba σy = -6.25 Escriba τxy = -5, terminar entrada. El resultado es: Para encontrar los valores de las tensiones que corresponden a una rotación de 35o en el ángulo de la partícula tensionada, utilizamos: $š @TRACE @(x,y)@.
Con esta sustitución en el programa, al activarse @MOHRC se producirá una forma interactiva como sigue: Presione @@@OK@@@ para continuar la ejecución de programa.
Capítulo 23 Cadenas de caracteres Las cadenas de caracteres son objetos de la calculadora incluidos entre comillas. Estas cadenas de caracteres se manipulan como texto por la calculadora. Por ejemplo, la secuencia "FUNCION SENO", se puede transformar en un GROB (objeto gráfico), para rotular un gráfico, o se puede utilizar como salida en un programa. Los sistemas de caracteres escritos por el usuario como entrada a un programa se tratan como cadenas de caracteres.
Los ejemplos del uso de estas funciones se muestran a continuación: Concatenación de texto Las cadenas de caracteres pueden ser concatenadas al usar el signo de adición +, por ejemplo: La concatenación de textos es útil para crear salidas en los programas. Por ejemplo, la operación "YOU ARE " AGE + " YEAR OLD" crea la cadena de caracteres "YOU ARE 25 YEAR OLD", si el número 25 se almacena en la variable AGE. El sub-menú CHARS El sub-menú CHARS se accede a través del menú PRG (programación, „°).
La operación de las funciones NUM, CHR, OBJ , y STR fue presentada anteriormente en este capítulo. También hemos visto las funciones SUB y REPL en lo referente a gráficos en un capítulo anterior.
La lista de caracteres La colección completa de caracteres disponibles en la calculadora es accesible con la secuencia ‚±. Cuando usted destaca cualquier carácter, por ejemplo, el carácter de alimentación de línea , usted verá en el lado izquierdo de la última línea de la pantalla la secuencia de teclas para producir tal carácter ( . en este caso) y el código numérico que corresponde al carácter (10 en este caso).
Capítulo 24 Objetos y señales (banderas) de la calculadora Los números, listas, vectores, matrices, algebraicos, etc., son objetos de la calculadora. Se clasifican según su naturaleza en 30 tipos diversos, que se describen posteriormente. Las señales o banderas son variables que se pueden utilizar para controlar las características de la calculadora. Las banderas o señales fueron introducidas en el capítulo 2.
Número Tipo Ejemplo ____________________________________________________________________ 21 Número real extendido Long Real 22 Número complejo extendido Long Complex 23 Arreglo enlazado Linked Array 24 Objeto carácter Character 25 Objeto código Code 26 Datos de biblioteca Library Data 27 Objeto externo External 28 Entero 3423142 29 Objeto externo External 30 Objeto externo External ____________________________________________________________________ La función TYPE Esta función, disponible en el sub-menú P
Banderas o señales de la calculadora Una bandera o señal de la calculadora es una variable que puede estar seleccionada o no seleccionada. El estado de una bandera afecta el comportamiento de la calculadora, si la bandera es una bandera del sistema, o el comportamiento de un programa, si es una bandera del usuario. Las banderas o señales se describen más detalladamente a continuación. Banderas o señales del sistema Las banderas del sistema se acceden usando H @)FLAGS!.
Funciones para fijar y cambiar las banderas o señales Estas funciones se pueden utilizar para fijar, remover, o verificar el estado de las banderas del usuario o de las banderas del sistema. Cuando se usan las funciones con las banderas del sistema, los argumentos son números enteros negativos. Así, la bandera 117 del sistema será referida como bandera -117. Por otra parte, las banderas del usuario serán referidas como el número entero positivo al aplicar estas funciones.
FC?C Prueba una bandera como lo hace FC, y la remueve STOF Almacena nuevos ajustes de las banderas del sistema RCLF Recobra los ajustes existentes de las banderas del sistema RESET Reajusta los valores actuales de una opción (podría ser utilizado para reajustar una bandera) Banderas o señales del usuario Para propósitos de programación, las banderas 1 a 256 están disponibles para el usuario. Estas banderas o señales no tienen ningún significado a la operación de la calculadora.
Capítulo 25 Funciones de fecha y de hora En este capítulo demostramos algunos de las funciones y de los cálculos usando horas y fechas. El menú TIME El menú TIME, activado con la secuencia ‚Ó (la tecla 9) proporciona las funciones siguientes, que se describen a continuación: Programando una alarma La opción 2. Set alarm.. provee una forma interactiva que permite al usuario fijar un alarmar.
Revisando las alarmas La opción 1. Browse alarms... en el menú TIME le deja revisar sus alarmas actuales. Por ejemplo, después de programar la alarma presentada en el ejemplo anterior, esta opción mostrará la pantalla siguiente: Esta pantalla provee cuatro teclas del menú: EDIT: editar la alarma seleccionada, proveyendo una forma interactiva NEW: programar una nueva alarma PURG: eliminar una alarma OK : recobrar pantalla normal Fijar hora y fecha La opción 3.
El uso de estas funciones se muestra a continuación: DATE: Copia la fecha a la pantalla DATE: Fija la fecha del sistema al valor especificado TIME: Cambia formato a 24-hr HH.MMSS TIME: Fija la hora al valor especificado en formato 24-hr HH.MM.SS TICKS: Provees el tiempo del sistema como un entero binario en unidades de 1 pulso del reloj, un pulso (tick) = 1/8192 sec ALRM..
Cálculo con horas Las funciones HMS, HMS , HMS+, y HMS- se utilizan para manipular valores en formato HH.MMSS. Éste es el mismo formato usado para calcular con medidas angulares en grados, minutos, y segundos. De esta manera, estas operaciones son útiles no solamente para los cálculos con unidades de tiempo, sino también para los cálculos angulares.
STOALARM({6.092003,18.25,"Test",0} El argumento x en el resto de funciones de alarmas es un número entero positivo que indica el número de la alarmar que se debe recobrar, suprimir, o encontrar. Puesto que el manejo de las alarmas se puede hacer fácilmente con el menú TIME (véase arriba), las funciones de alarmas en esta sección son más útiles para escribir programas.
Capítulo 26 Manejo de la memoria En el Capítulo 2 de la Guía del Usuario se presentaron los conceptos básicos y operaciones para crear y manipular variables y directorios. En este Capítulo se presenta el manejo de la memoria de la calculadora en términos de la partición de la memoria y las técnicas para preservar datos en ciertas localidades de la misma (datos back up).
El directorio HOME Al utilizar la calculadora uno puede crear variables para almacenar resultados intermedios y finales de las operaciones. Algunas operaciones, tales como operaciones gráficas o estadísticas, pueden crear variables adicionales para almacenar datos. Estas variables se mostrarán en el directorio HOME o en cualquiera de sus directorios. Para mayor información sobre la manipulación de variables y directorios, refiérase al Capítulo 2 de la Guía del Usuario.
Si existe alguna biblioteca activa en la calculadora se mostrará en esta pantalla. Una de esas bibliotecas es la biblioteca de demostración @)HP49D mostrada en la pantalla anterior. Al presionarse la tecla de menú correspondiente (A) se activará esta biblioteca. Al presionarse la tecla correspondiente a un Puerto de memoria se activará ese Puerto. Información adicional sobre bibliotecas se presenta posteriormente en este Capítulo.
discrepancia en estos valores, la calculadora le advierte al usuario que los datos reinstalados pueden estar corruptos. Copiando objetos de reserva en la memoria de Puerto La operación de copia de un objeto de reserva de la memoria de usuario a la memoria de Puerto es similar a la operación de copia de variables de un subdirectorio a otro (véanse los detalles en el Capítulo 2 de la Guía del Usuario).
Reinstalando el directorio HOME Para reinstalar el directorio HOME en modo algebraico utilícese: RESTORE(: Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva) Por ejemplo, para reinstalar HOME a partir del objeto de reserva HOME1, utilícese: RESTORE(:0:HOME1) En modo RPN utilícese: : Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva ` RESTORE Nota: Cuando se reinstala el directorio a partir de un objeto de reserva, sucede lo siguiente: • El directorio en el objeto de reserva elimina el directorio HOME actual.
• Utilícese la función PURGE como se indica a continuación: En modo algebraico, utilícese: PURGE(: Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva) En modo RPN, utilícese: : Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva PURGE Para reinstalar un objeto de reserva: • Utilícese la función FILES („¡) para copiar el objeto de reserva de la memoria de Puerto al directorio HOME. • Cuando se reinstala un objeto de reserva, la calculadora lleva a cabo una verificación de integridad del objeto reinstalado al calcular el valor CRC.
Para copiar un objeto de reserva a la pantalla, escríbase: : Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva ` RCL Utilizando bibliotecas Las bibliotecas son programas binarios creados por los usuarios que pueden cargarse en la calculadora y pueden ejecutarse desde cualquier directorio en el directorio HOME. Las bibliotecas pueden copiarse a la calculadora como una variable regular, e instalarse y adjuntarse al directorio HOME.
Borrando una biblioteca Para borrar una biblioteca de un Puerto de memoria, utilícese: • • En modo algebraico: PURGE(:Número_de_Puerto: número_biblioteca) En modo RPN: : Número_de_Puerto : número_biblioteca PURGE En los cuales, número_biblioteca es el número de la biblioteca descrito anteriormente. Creando bibliotecas Las bibliotecas pueden escribirse en lenguaje Assembler, en lenguaje System RPL, o utilizando una biblioteca para crear bibliotecas, por ejemplo, LBMKR.
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Apéndice A Utilizando formas interactivas Este ejemplo que muestra la forma de cambiar el tiempo del día y la fecha en la calculadora ilustra el uso de formas interactivas (formas interactivas). He aquí algunas reglas generales: • Utilícense las teclas direccionales (š™˜—) para cambiar de una posición a la otra en la forma interactiva. • Utilícese cualquiera de las teclas de menú @CHOOS (escoger) para vers las opciones disponibles en cualquier posición de la forma interactiva.
Para activar los cálculos financieros utilícese la tecla direccional vertical (˜) a fin de seleccionar la opción 5. Solve finance. Presiónese @@OK@@, para activar los cálculos financieros. La pantalla resultante es una forma interactiva con posiciones correspondientes a cierto número de variables (n, I%YR, PV, PMT, FV). En este caso en particular, provéanse los siguientes valores para las variables: n = 10, I%YR = 8.
!RESET !CALC !TYPES !CANCL @@OK@@ Para recobrar valores preseleccionados de una posición dada Presiónese para accesar la pantalla con fines de cálculo Presiónese para determinar los tipos de objectos permisibles Cancelar la operación Accéptese el valor escrito en la posición dada Al presionarse la tecla !RESET se proveen dos opciones a seguir: Si se selecciona la opción Reset value se recobran valores prescritos solamente en la posición seleccionada.
(En modo RPN, utilícese -1136.22 ` 2 `/). Presiónese @@OK@@ para aceptar este valor calculado. La forma mostrará los siguientes valores: Presiónese !TYPES para ver los tipos de valores acceptables en la posición PMT (la posición seleccionada). Esta acción produce lo siguiente: Este resultado indica the que el valor de la variable PMT debe ser un número real. Presiónese @@OK@@ para recuperar la forma interactiva, y presiónese L para recobrar el menú original.
Apéndice B El teclado de la calculadora La figura siguiente muestra un diagrama del teclado de la calculadora enumerando sus filas y columnas. La figure muestra 10 filas de teclas combinadas con 3, 5, ó 6 columnas. La Fila 1 tiene 6 teclas, las filas 2 y 3 tienen 3 teclas cada una, y las filas 4 a 10 tienen 5 teclas cada una.
símbolos de flechas) localizadas en el lado derecho del teclado en el espacio ocupado por filas 2 y 3. Cada tecla tiene tres, cuatro, o cinco funciones. Las funciones principales de las teclas se muestran en la siguiente figures. Para operar esta función principal, simplemente presiónese la tecla correspondiente. Para referirse a una tecla se utiliza el número de la fila y la columna donde se ubica la tecla. Por ejemplo, la tecla (10,1) es la tecla encender la calculador (la tecla ON ).
Funciones principales Las teclas de A a F se asocian a las opciones del menú que aparecen en la pantalla de la calculadora. Así, estas teclas activarán una variedad de funciones que cambian según el menú activo. Las teclas direccionales, —˜š™, se utilizan para mover un carácter a la vez en la dirección de la tecla presionada (es decir, hacia arriba, hacia abajo, a la izquierda, o a la derecha). La función APPS activa el menú de los modos .
La tecla ALPHA se combina con otras teclas para escribir caracteres alfabéticos. Las teclas „ y … se combinan con otras teclas para activar menús, para escribir caracteres, o para calcular funciones. Las teclas numéricas (0 a 9) se utiliza para escribir los dígitos del sistema de numeración decimal Existe una tecla de la coma (,) y una tecla espaciadora (SPC).
Notar que el color y la posición de las etiquetas en la tecla, a saber, SYMB, MTH, CAT y P, indican cuál es la función principal (SYMB), y cuál de las otras tres funciones se asocia con „(MTH), … (CAT ) , y ~ (P). Diagramas que muestran la función o el carácter resultando de combinar las teclas de la calculadora con „, …, ~, ~„, y ~…, se muestran a continuación. En estos diagramas, el carácter o la función que resulta para cada combinación se muestra con fondo blanco.
La La La La La función función función función función RCL se utiliza para recobrar valores de variables.
la tecla ex calcula la función exponencial de x. La tecla x2 calcula el cuadrado de x (se conoce también como la función SQ) Las funciones ASIN, de ACOS, y ATAN calcula el arco seno, el arco coseno, y arco tangent, respectivamente La función 10x calcula el antilogaritmo de x.
Funciones del teclado de la calculadora combinadas con … Funciones alternas con … El bosquejo arriba demuestra las funciones, los caracteres, o los menús asociados a las diversas teclas de la calculadora cuando la tecla … se activa. Las funciones BEGIN, END, COPY, CUT y PASTE se usan para editar caracteres. La tecla UNDO se utiliza para deshacer la operación más reciente de la calculadora.
La La La La La La función la función Σ se utiliza para escribir sumatorias (o la letra griega mayúscula sigma). La función ∂ se utiliza para calcular derivadas La función ∫ se utiliza para calcular integrales La función LOG calcula el logaritmo de base 10. La función ARG calcula el argumento de un número complejo La función ENTRY se utiliza para cambiar los modos de escritura en la calculadora La función NUM.
Caracteres ALPHA El bosquejo siguiente demuestra los caracteres asociados a las diversas teclas de la calculadora cuando se activa la tecla ALPHA. Nótese que la función ALPHA se utiliza principalmente para escribir las letras mayúsculas del alfabeto (A a la Z). Los números, los símbolos matemáticos (-, +), coma (.), y los espacios (SPC), cuando se combinan con ALPHA, resultan ser los mismos que las funciones principales de estas teclas.
Caracteres con la combinación ~„ El bosquejo siguiente demuestra los caracteres asociados a las diversas teclas de la calculadora cuando la función de la ALFA se combina con „. Nótese que la combinación ~„ se utiliza principalmente para escribir las letras minúsculas del alfabeto (a á la z). Los números, los símbolos matemáticos (-, +), coma (.), los espacios (SPC), y las teclas ENTER y CONT, cuando se combinan con ~„, resultan ser los mismos que las funciones principales de estas teclas.
Caracteres con la combinación ~…. El bosquejo siguiente demuestra los caracteres asociados a las diversas teclas de la calculadora cuando la función de la ALFA se combina con ….
Nótese que la combinación ~… se utiliza principalmente para escribir un número de caracteres especiales en la pantalla de la calculadora. Las funciones CLEAR, OFF, , , coma (,), y OFF resultan ser las mismas que las funciones principales de estas teclas cuando se usa la combinación ~…. Los caracteres especiales generados por la combinación ~… incluyen las letras griegas (α, β, ∆, δ, ε, ρ, µ, λ, σ, θ, τ, ω, y Π).
Apéndice C Ajustes del CAS CAS significa Computer Algebraic System (Sistema Algebraico de Computadora). Ésta es la base matemática de la calculadora donde se programan las operaciones y las funciones matemáticas simbólicas. El CAS ofrece un número de ajustes a seleccionarse según el tipo de operación de interés. Para ver los ajustes opcionales del CAS utilizar lo siguiente: • Presione la tecla H para activar la forma interactiva denominada CALCULATOR MODES.
@@@OK@@@@ Utilizar esta llave para aceptar ajustes • Para recobrar el menú original en la forma interactiva CALCULATOR MODES, presione la tecla L . De interés a este punto es el cambiar los ajustes del CAS. Esto se logra presionando la tecla @@ CAS@@. Los valores pre-seleccionados de los ajustes del CAS se muestran a continuación: • Para navegar las muchas opciones de la forma interactiva La forma interactiva CAS MODES, use: š™˜—.
letra X (mayúscula) según se muestra en la forma interactiva CAS MODES. Sin embargo, el usuario puede cambiar esta variable a cualquier otra letra o combinación de letras y de números (el nombre de las variables debe comenzar con una letra) editando el valor de Indep var en la forma interactiva CAS MODES. Una variable llamada VX existe el directorio {HOME CASDIR} de la calculadora que tiene, pre-definido, el valor ‘X’.
desactivada, significar que esas constantes predefinidas serán exhibidas como su símbolo, más bien que su valor, en la exhibición de la calculadora. La pantalla siguiente demuestra los valores de la constante π (el cociente de la longitud de la circunferencia a su diámetro) in el formato simbólico seguido por el numérico. Este ejemplo corresponde al modo operativo algebraico. El mismo ejemplo, correspondiendo al modo de funcionamiento de RPN, se demuestra a continuación: Modo CAS Approximate vs.
Las teclas necesarios para incorporar estos valores en modo algebraico son los siguientes: …¹2` R5` Los mismos cálculos se pueden producir en modo de RPN. Los niveles 3: y 4: de la pantalla demuestran el caso del ajuste Exact del CAS (i.e., la opción _Numeric de CAS está sin seleccionar), mientras que los niveles 1: y 2: demostrar el caso en el cual se selecciona la opción numérica del CAS.
Siempre que la calculadora liste un valor entero seguido por un punto decimal, está indicando que el número entero se ha convertido a una representación de numero real. Esto indicará que el número se escribió con el CAS fijado a modo APPROX. Se recomienda que usted seleccione el modo EXACT para las aplicaciones del CAS, y cambie al modo APPROX si se lo pide la calculadora par completar una operación.
Si usted presiona la tecla @@OK@@, la opción compleja es activada, y el resultado es el siguiente: Las teclas usadas para producir el resultado anterior son las siguientes: R„Ü5„Q2+ 8„Q2` Cuando se le pida cambiar al modo COMPLEX, utilice: F. Si usted decide no aceptar el cambio al modo COMPLEX, usted obtiene el mensaje de error siguiente: Modo CAS Verbose vs.
opción _Step/step demostrados. CAS, entonces los pasos intermedios no serán Por ejemplo, seleccionando la opción Step/step, las pantallas siguientes demuestran la división paso a paso de dos polinomios, a saber, (X3-5X2+3X2)/(X-2). Esto se logra usando la función DIV2 mostrada abajo. Presione ` para demostrar el primer paso: La pantalla nos informa que la calculadora está funcionando una división de polinomios A/B, tal que A = BQ + R, donde Q = cociente, y R = residuo.
− 3X 2 + 3X − 2 X 3 − 5X 2 + 3X − 2 = = X2 + X −2 X −2 X 2 − 3X + − 3X − 2 8 = X 2 − 3X − 3X − . X −2 X −2 Modo CAS de potencia creciente Cuando se selecciona la opción _Incr pow CAS, los polinomios serán enumerados de modo que los términos tengan potencias crecientes de la variable independiente. Cuando no se selecciona la opción _Incr pow (valor pre-selecto) entonces los polinomios serán enumerados de modo que los términos tengan potencias decrecientes de la variable independiente.
Modo CAS Rigorous Cuando se selecciona la opción _Rigorous CAS, la expresión algebraica |X|, i.e., el valor absoluto, no se simplifica a X. Cuando no se selecciona la opción _Rigorous CAS, la expresión algebraica |X| se simplifica a X. El CAS puede solucionar una variedad más grande de problemas si el modo riguroso no se fija. Sin embargo, el resultado, o el dominio en el cual el resultado es aplicable, pueden ser muy limitado.
Notar que, en este caso, las teclas del menú E y F son las únicas con instrucciones asociadas a ellas, a saber: !!CANCL E !!@@OK#@ F seleccionada CANCeLar la función informativa del CAS Active la función informativa del CAS para la función Si usted presiona la tecla !!CANCL E, la función informativa del CAS se cancela, y la calculadora vuelve a la pantalla normal.
La última línea en la pantalla, comenzando con la partícula See:, es un enlace de referencia que enumera otras funciones del CAS relacionadas con la función ATAN2S. Note que hay seis funciones asociadas a las llaves suaves del menú en este caso (usted puede comprobar que haya solamente seis funciones porque al presionar L no produce ninguna tecla de menú adicional).
Notar que, a medida que se producen nuevas líneas de salida, la pantalla empuja las líneas existentes hacia arriba y llena la parte inferior de la pantalla con más líneas de salida. La función informativa del CAS, descrita en esta sección, es muy útil para ver la definición de las muchas funciones del CAS disponibles en la calculadora. Cada entrada en la función informativa del CAS, siempre que sea apropiado, tendrá un ejemplo del uso de la función, así como referencias según se mostró en este ejemplo.
Términos y condiciones para el uso del CAS El uso del software del CAS requiere que el usuario tenga el conocimiento matemático apropiado. No se proveen garantías para el funcionamiento del software del CAS, sino lo permitido por ley aplicable.
Apéndice D Caracteres adicionales Si bien se pueden utilizar cualquiera de las letras mayúsculas y minúsculas del teclado, existen 255 caracteres usables en la calculadora, incluyendo caracteres especiales como θ, λ, etc., que se pueden utilizar en expresiones algebraicas. Para tener acceso a estos caracteres utilizamos la combinación …± en el teclado (asociada a la llave de EVAL).
es 240). La pantalla también muestra tres funciones asociadas con las teclas del menú, f4, f5, y f6. Estas funciones son: @MODIF: Abre una pantalla de los gráficos donde el usuario puede modificar el carácter destacado. Utilícese esta opción cuidadosamente, puesto que alterará el carácter modificado hasta que se encienda nuevamente la calculadora. (Imagínese el efecto de cambiar el gráfico del carácter 1 de manera que parezca un 2!).
Letras griegas α β δ ε θ λ µ ρ σ τ ω ∆ Π (alfa) (beta) (delta) (epsilón) (theta) (lambda) (mu) (ro) (sigma) (tau) (omega) (delta mayúscula) (pi mayúscula) ~‚a ~‚b ~‚d ~‚e ~‚t ~‚n ~‚m ~‚f ~‚s ~‚u ~‚v ~‚c ~‚p Otros caracteres ~ ! ? \ @ (tilde) (factorial) (interrogación) (pleca hacia adelante) (símbolo de ángulo) (‘arroba’) ~‚1 ~‚2 ~‚3 ~‚5 ~‚6 ~‚` Algunos caracteres utilizados comúnmente y que no tienen atajos simples para escribirse son: x (la media), γ (gamma), η (eta), Ω (omega mayúscula).
Apéndice E Diagrama de selección en el Escritor de Ecuaciones El diagrama de una expresión muestra cómo el Escritor de ecuaciones interpreta una expresión. La forma del diagrama de la expresión se determina por un número de reglas conocidas como la jerarquía de la operación. Las reglas son las siguientes: 1. Las operaciones en paréntesis se ejecutan primero, del más interior a los paréntesis exteriores, y de izquierda a derecha en la expresión. 2.
continuamente, hasta que el cursor encierre el primer término en el numerador. A continuación, presiónese la tecla direccional vertical hacia arriba — para activar el cursor selector ( ) alrededor de la y. Al presionar la tecla direccional vertical hacia arriba —, continuamente, podemos seguir el diagrama de la expresión que nos mostrará la evaluación de la expresión.
evaluación de la expresión, empezando en este punto, se demuestran a continuación: Paso B1 Paso B3 Paso B2 Paso B4 = Paso A5 Paso B5 = Paso A6 Podemos también seguir la evaluación de la expresión que empieza con el 4 en la en el argumento de la función SIN en el denominador. Presiónese la tecla ˜, continuamente, hasta que aparezca el cursor selector alrededor de la y. Después, presiónese la tecla direccional hacia la derecha hasta que el cursor esté sobre el 4 en el denominador.
Paso C3 Paso C4 Paso C5 = Paso B5 = Paso A6 El diagrama de la expresión presentada anteriormente se muestra a continuación: Los pasos en la evaluación de los tres términos (A1 a A6, B1 a B5, y C1 a C5) se muestran al lado de los círculos que contienen números, variables, u operadores.
Apéndice F El menú de aplicaciones (APPS) El menú de las aplicaciones (APPS) está disponible con la tecla G (primera llave en la segunda fila del teclado). La llave de G muestra las siguientes funciones: Las diversas funciones se describen a continuación: Funciones de diagramación (Plot functions..) Al seleccionar la opción 1. Plot functions..
Estas funciones se describen después: Send to HP 49.. Get from HP 49 Print display Print.. Transfer.. Start Server.. Enviar los datos a otra calculadora Recibir los datos de otra calculadora Enviar la pantalla a la impresora Objeto seleccionado se envía a la impresora Transferencia de datos a otro equipo Calculadora fijada como servidor para la comunicación con las computadoras Biblioteca de constantes (Constants lib..) La selección de la opción 3. Constants lib..
Esta operación es equivalente a la secuencia de teclas ‚Ï. El menú de soluciones numéricas se presenta detalladamente en los capítulos 6 y 7. Tiempo del día y fecha (Time & date..) La selección de la opción 5.Time & date.. en el menú APPS produce el menú del tiempo del día y de la fecha: Esta operación es equivalente a la secuencia de teclas ‚Ó. el menú del tiempo del día y de la fecha se presenta detalladamente en el capítulo 25. Escritor de ecuaciones (Equation writer..) La selección de la opción 6.
Esta operación es equivalente a la secuencia de teclas „¡. La función de manejo de archivos se presenta en el Capítulo 2. Escritor de matrices (Matrix writer..) La selección de la opción 8.Matrix writer.. en el menú APPS activa el escritor de matrices: Esta operación es equivalente a la secuencia de teclas „². El escritor de matrices se presenta detalladamente en el Capítulo 10. Editor de texto (Text editor..) La selección de la opción 9.Text editor..
Menú de matemáticas (Math menu ..) La selección de la opción 10.Math menu.. en el menú APPS produce el menú MTH (matemáticas): Esta operación es equivalente a la secuencia de teclas „´. El menú MTH se introduce en el capítulo 3 (números verdaderos). Otras funciones del menú MTH se presentan en los capítulos 4 (números complejos), 8 (listas), 9 (vectores), 10 (matrices), 11 (operaciones con matrices), 16 (transformada rápida de Fourier), 17 (funciones de la probabilidad), y 19 (números en diversas bases).
Apéndice G Atajos útiles Se presentan a continuación un número de atajos del teclado usados comúnmente en la calculadora: • Ajuste del contraste de la pantalla: $ (manténgase) +, o $ (manténgase) - • Alternar los modos RPN y ALG: H\@@@OK@@ ó H\`. • Encender y apagar la señal de sistema 95 (modo operativo ALG vs.
• En modo ALG, SF(-117) selecciona teclas de menú (SOFT menus) CF(-117) selecciona listas de menú (CHOOSE BOXES) • En modo RPN, 117 \` SF selecciona teclas de menú (SOFT menus) 117 \` CF selecciona listas de menú (SOFT menus) • Para cambiar las medidas angulares: o A grados: ~~deg` o A radianes: ~~rad` • Caracteres especiales: o Símbolo de ángulo (∠): o Símbolo de factorial (!): o Símbolo de grado (o): ~‚6 ~‚2 ~‚(manténgase)6 • Asegurando el teclado alfabético: o Asegura el teclado alfabético (may
o o o o o o o $ (manténgase) AF: Recomenzar "frío" – se borra toda la memoria $ (manténgase) B: Cancela tecla $ (manténgase) C: Recomenzar "caliente" – se preserva la memoria $ (manténgase) D: Comienza auto prueba interactiva $ (manténgase) E: Comienza auto prueba continua $ (manténgase) #: Apagado profundo – se detiene el contador de segundos $ (manténgase) A: Realiza la descarga de la pantalla $ (manténgase) D: Cancela la siguiente alarma repetida • Menús no accesibles desde el teclado: En modo RPN, e
Apéndice H La función informativa del CAS La función informativa del CAS está disponible con la secuencia de teclas I L@HELP `. La siguiente pantalla muestra la primera página del menú en el listado de la función informativa del CAS. Las funciones se listan en orden alfabético. Utilizando las teclas direccionales —˜ se puede navegar a través de la lista de funciones.
• Usted puede escribir dos o más letras de la función de interés, asegurando el teclado alfabético. Esto le llevará a la función de interés, o a su vecindad. Luego, usted necesita liberar el teclado de alfabético, y utilizar las teclas verticales —˜ para localizar la función (si es necesario). Presiónese @@OK@@ para activar la función.
Apéndice I Catálogo de funciones Ésta es una lista de las funciones en el catálogo de funciones (‚N). Funciones que pertenecen al CAS (Computer Algebraic System) se mencionan en el Apéndice H. Acceso a la función informativa del CAS estará disponible para aquellas funciones que muestren la tecla de menú @HELP cuando se escoja una función particular. Presiónese esta tecla de menú para conseguir acceso a la función informativa del CAS para una función dada.
Apéndice J El menú MATHS El menú MATHS, accesible a través de la función MATHS (disponible en el catálogo de funciones N), contiene los sub-menús siguientes: El sub-menu CMPLX El sub-menu CMPLX contiene las funciones pertinentes a las operaciones con números complejos: Estas funciones se describen en el capítulo 4. El sub-menu CONSTANTS El sub-menu de las CONSTANTES proporciona el acceso a las constantes matemáticas de la calculadora.
El sub-menú INTEGER El sub-menu INTEGER provee funciones para los números de manipulación de números enteros y algunos polinomios. Estas funciones se presentan en el capítulo 5: El sub-menú MODULAR El sub-menu MODULAR provee funciones para la aritmética modular de números y de polinomios. Estas funciones se presentan en el capítulo 5: El sub-menu POLYNOMIAL El sub-menu POLYNOMIAL incluye las funciones para generación y manipulación de polinomios.
El sub-menú TESTS El sub-menú TESTS incluye operadores relacionales (por ejemplo, ==, <, etc.), operadores lógicos (por ejemplo, AND, OR, etc.), la función IFTE, y las instrucciones ASSUME y UNASSUME. Los operadores relacionales y lógicos se presentan en el Capítulo 21 en el contexto de programar la calculadora en lenguaje UserRPL. La función IFTE se presenta en el Capítulo 3. Las funciones ASSUME y UNASSUME se presentan a continuación, utilizando la función informativa del CAS (véase el apéndice C).
Apéndice K El menú MAIN El menú MAIN se activa a través del catálogo de funciones. Este menú incluye los siguientes sub-menús: La función CASCFG Esta es la primera función en el menú MAIN. Esta función configura el CAS. Para información sobre la configuración del CAS, véase el Apéndice C. El sub-menú ALGB El sub-menú ALGB incluye las siguientes funciones: Estas funciones, exceptuando 0. MAIN MENU y 11.UNASSIGN, están disponibles en el menú ALG (‚×).
Estas funciones están también disponibles con el sub-menú CALC/DIFF (comienze utilizando „Ö). Estas funciones se describen en los capítulos 13, 14, y 15, a excepción de la función TRUNC, que se describe a continuación: El sub-menú MATHS El menú MATHS se describe detalladamente en Apéndice J. El sub-menú TRIGO El sub-menú TRIGO contiene las siguientes funciones: Estas funciones están también disponibles en el menú TRIG (‚Ñ). La descripción de estas funciones se incluye en el capítulo 5.
El sub-menú SOLVER El menú SOLVER incluye las funciones siguientes: Estas funciones están disponibles en el menú CALC/SOLVE (comenzar con „Ö). Las funciones se describen en los capítulos 6, 11, y 16 El sub-menú de CMPLX El menú de CMPLX incluye las funciones siguientes: El menú de CMPLX está también disponible en el teclado (‚ß). Algunas de las funciones en CMPLX están también disponibles en el menú de MTH/COMPLEX (comenzar con „´). Las funciones de números complejos se presentan en el capítulo 4.
El sub-menú EXP&LN El menú de EXP&LN contiene las funciones siguientes: Este menú es también accesible a través del teclado usando „Ð. Las funciones en este menú se presentan en el capítulo 5. El sub-menu MATR El menú MATR contiene las funciones siguientes: Estas funciones están también disponibles a través del menú MATRICES en el teclado („Ø). Las funciones se describen en los capítulos 10 y 11.
Estas funciones están disponibles a través del menú CONVERT/REWRITE (comenzar con „Ú). Las funciones se presentan en el capítulo 5, a excepción de funciones XNUM y XQ, que se presentan a continuación utilizando la función informativa del CAS (IL@HELP ): XNUM XQ XNUM: convierte enteros a reales, ejemplo: XNUM(1/2) = 0.5 XQ: convierte reales aproximados a fórmulas exactas, ejemplo: XQ(0.
Apéndice L Funciones del editor de línea Cuando se activa el editor de línea utilizando „˜, tanto en modo ALG como en modo RPN, se muestran las siguientes funciones (presiónese la tecla L para ver las funciones adicionales): Las funciones son descritas, brevemente, a continuación: SKIP: Mueve el cursor al comienzo de una palabra. SKIP : Mueve el cursor al final de una palabra. DEL: Borra o elimina caracteres hasta el comienzo de una palabra.
Los items que se muestran en la pantalla son fáciles de interpretar. Por ejemplo, “X and Y positions“ (posiciones X y Y) indican la posición (X) en una línea y el número (Y) de la línea en el objeto a editarse. Stk Size (tamaño de la pantalla – stack) indica el número de objetos en el historial (pantalla) en modo ALG o en la pila (stack) en modo RPN. Mem(KB) indica la cantidad de memoria disponible. Clip Size indica el número de caracteres en reserva para copiar (clipboard).
El sub-menú SEARCH Las funciones del sub-menú SEARCH son las siguientes: Find : Se usa para localizar una cadena de caracteres en la línea. La forma interactiva que acompaña a esta función se muestra a continuación: Replace: Se usa para localizar y reemplazar una cadena de caracteres. La forma interactiva que acompaña a esta función se muestra a continuación: Find next..: Localiza caracteres definidos en Find. Replace Selection: Reemplaza la selección con los caracteres definidos en Replace.
Goto Position: Mueve el cursor a una posición específica en la línea. La forma interactiva que acompaña a esta función se muestra a continuación: Labels: Mueve el cursor a un rótulo (label) específico en el objeto. El sub-menú Style El sub-menú Style incluye los siguientes estilos de caracteres: BOL: Bold (letra de molde) ITALI: Italics (itálicas) UNDE: Underline (subrayado) INV : Inverse (colores invertidos) La función FONT permite la selección del tamaño de los caracteres (font).
Apéndice M Índice alfabético A ABCUV, 5-11 ABS, 11-7 ABS, 3-4 ABS, 4-6 ACK, 25-4 ACKALL, 25-4 ACOS, 3-7 ACOSH, 3-9 ADD, 8-5,12-3 ADDTMOD, 5-12 Ajuste de datos, 18-10 Ajuste de la fecha, 1-7 Ajuste de la pantalla, 1-2 Ajuste de tiempo y fecha, 25-2 Ajuste del tiempo, 1-7 Ajuste del tiempo, 25-3 Ajuste lineal múltiple, 18-57 Ajuste óptimo de datos, 18-13 Ajuste polinómico óptimo, 18-59 Ajuste polinómico, 18-59 Ajustes del CAS, 1-24, C-1 Alarmas, 25-1 Alcance de una variable, 21-4 Alcance de variable global, 2
B B-->R, 19-3 Bandera o señal de sistema 105 (EXACT/APPROX), G-1, Bandera o señal de sistema 117 (CHOOSE/SOFT), 1-4 G-2, Bandera o señal de sistema 95 (ALG/RPN), G-1 Banderas o señales de sistemas, 24-3 Banderas o señales, 2-63, 24-3 Bases de número, 19-1 Baterías, 1-1 BEG, 6-34 BEGIN, 2-27 BIG, 12-14 BIN, 3-2 BLANK, 22-33 BOL, L-4 Borrando sub-directorios, 2-40, 2-44 BOX, 12-49 BOXZ, 12-54 C C-->PX, 19-7 C-->R, 4-6 Cadenas de caracteres, 23-1 Caja de selección, 21-33 CALC/DIFF, 16-4 Cálculo con fechas, 25
Clases, 18-6 CLKADJ, 25-3 CMD, 2-62 CMDS, 2-26 CNCT, 22-14 CNTR, 12-55 Coeficiente de correlación de la muestra, 18-11 Coeficiente de correlación, 18-11 Coeficiente de variación, 18-5 COL-, 10-21 COL+, 10-21 COL-->, 10-18 COLLECT, 5-5 Coma decimal, 1-20 COMB, 17-2 Combinaciones, 17-1 Composición de listas, 8-2 CON, 10-8 Concatenación de caracteres, 23-2 COND, 11-9 CONJ, 4-6 CONLIB, 3-29 Constante de Euler, 16-56 Constantes de la calculadora, 3-16 Constantes físicas, 3-29 Constants lib...
Derivada direccional 15-1 Derivadas con ∂, 13-4 Derivadas de ecuaciones, 13-5 Derivadas de orden superior, 13-14 Derivadas implícitas, 13-7 Derivadas parciales 14-1 Derivadas parciales de orden superior, 14-3 Derivadas paso a paso, 13-17 Derivadas, 13-1, 13-3 Derivadas, puntos extremos, 13-12 DERVX, 13-3 Descomposición de listas, 8-2 Descomposición de un vector, 9-13 Descomposición de valores singulares, 11-8, 11-52 Descomposición LQ, 11-53 Descomposición LU, 11-51 Descomposición QR, 11-53 DESOLVE, 16-7 Des
Divergencia de campos vectoriales, 15-4 Divergencia, 15-4 DIVIS, 5-10 "División" de matrices, 11-27 División sintética, 5-27 DIVMOD, 5-12 DIVMOD, 5-15 DO, 21-64 DOERR, 21-67 DOLIST, 8-12 DOMAIN, 13-9 DOSUBS, 8-12 DOT, 9-11 DOT+, DOT-, 12-49 DRAW, 12-21, 22-4 DRAW3DMATRIX, 12-59 DRAX, 22-4 DROITE, 4-9 DROP, 9-21 DTAG, 23-1 E e, 3-16, Ecuación de Bessel, 16-55 Ecuación de Cauchy, 16-53 Ecuación de Euler, 16-53 Ecuación de Laguerre, 16-58 Ecuación de Laplaciano, 15-5 Ecuación de Legendre, 16-54 Ecuación de We
EPS, 2-37 EPSX0, 5-24 EQ, 6-28 EQW: BIG, 2-11 EQW: CMDS, 2-12 EQW: CURS, 2-11, EQW: Derivadas, 2-30 EQW: EDIT, 2-11 EQW: EVAL, 2-11 EQW: FACTOR, 2-10 EQW: HELP, 2-12 EQW: Integrales, 2-30 EQW: SIMPLIFY, 2-11 EQW: Sumatorias, 2-30 ERASE, 12-21, 12-52, 22-4 ERR0, 21-68 ERRM, 21-68 ERRN, 21-68 Error de la predicción de la regresión linear, 18-50 Errores de prueba de hipótesis, 18-35 Errores en la prueba de hipótesis, 18-36 Errores en programación, 21-70 Escritor de ecuaciones (EQW), 2-11 Escritor de ecuaciones
Formas cuadráticas de matrices, 11-51 Formas cuadráticas, 11-54 Formato cienífico, 1-19 Formato de ingeniería, 1-20 Formato de número, 1-18 Formato Estándar, 1-17 Formato Fixed, 1-18 Fórmula de Euler, 4-1 FOURIER, 16-29 FP, 3-14 Fracciones, 5-25 Frecuencia cumulativa, 18-8 FROOTS, 5-12 FROOTS, 5-27 Función de densidad de probabilidad, 17-10 Función de distribución cumulativa, 17-4 Función de mínimos cuadrados, 11-25 Función delta de Dirac, 16-15 Función grada de Heaviside, 1615 Función informativa del CAS,
Gráficas, diagramas de verdad, 12-31 Gráficas, ecuaciones diferenciales, 12-28 Gráficas, enfoque, 12-53 Gráficas, Fast 3D plots, 12-38 Gráficas, histogramas, 12-32 Gráficas, menú SYMBOLIC, 12-56 Gráficas, paramétricos, 12-25 Gráficas, polares, 12-21 Gráficas, superficies paramétricas, 12-47 Gráfico de la ecuación diferencial, 12-28 Gráfico de la función inversa, 12-13 Gráficos de las funciones hiperbólicas, 12-18 Gráficos de las funciones trigonométricas, 12-18 Gráficos, 12-1 GRD, 3-1 GROB, 22-31 GROBADD, 1
Integración por fracciones parciales, 13-21 Integración por partes, 13-19 Integración, cambio de variable, 13-19 Integración, sustitución, 13-19 Integración, técnicas, 13-18 Integrales definidas, 13-15 Integrales doble en coordenadas polares, 14-9 Integrales dobles, 14-8 Integrales impropias, 13-21 Integrales múltiples, 14-8 Integrales, impropias, 13-21 Integrales, paso a paso, 13-17 Integrales, 13-14 Intervalos de confianza de la regresión linear, 18-53 Intervalos de confianza en la calculadora, 18-27 Inte
LIN, 5-5 LINE, 12-49 LINSOLVE, 11-42 LIST, 2-35 Lista de caracteres, 2-35 Listas, 8-1 LN, 3-6 LNCOLLECT, 5-5 LNP1, 3-9, LOG, 3-5 LQ, 11-51 LSQ, 11-25 LU, 11-51 LVARI, 7-13 M MAD, 11-50 MANT, 3-14 MAP, 8-13 Marcas de clase, 18-8 MARK, 12-49 Matrices ortogonales, 11-51 Matrices, 10-1 Matriz aumentada, 11-32 Matriz de permutación, 11-35, 11-53 Matriz diagonal, 10-13 Matriz hessiana, 15-3 Matriz identidad, 10-1,11-5 Matriz inversa, 11-6 Matriz transpuesta, 10-1, matriz triangular inferior, 11-51 Matriz triangu
Menú MAIN/CMPLX, K-3 Menú MAIN/DIFF, K-1 Menú MAIN/EXP&LN, K-4 Menú MAIN/MATHS (Menú MATHS), J-1 Menú MAIN/MATR, K-4 Menú MAIN/REWRITE, K-4 Menú MAIN/SOLVER, K-3 Menú MAIN/TRIGO, K-2 Menú Math, F-5 Menú MATHS, G-3, J-1 Menú MATHS/CMPLX, J-1 Menú MATHS/CONSTANTS, J-1 Menú MATHS/HYPERBOLIC, J-1 Menú MATHS/INTEGER, J-2 Menú MATHS/MODULAR, J-2 Menú MATHS/POLYNOMIAL, J-2 Menú MATHS/TESTS, J-3 Menú MATRIX, 10-3 Menú MATRIX/MAKE, 10-4 Menú MTH, 3-8 Menú MTH/LIST, 8-9 Menú MTH/PROBABILITY, 17-1 Menú MTH/VECTOR, 9-1
MOD, 3-14 Moda, 18-4 MODL, 22-13 Modo Algebraico, 1-13 Modo aproximado del CAS, C-4 Modo complejo del CAS, C-6 Modo COMPLEX, 4-1 Modo de potencia creciente de CAS, C-9 Modo exacto del CAS, C-4 Modo numérico del CAS, C-3 Modo operativo, 1-12 Modo paso a paso del CAS, C-7 Modo Real del CAS, C-6 Modo riguroso del CAS, C-10 Modo RPN, 1-12 Modo simbólico del CAS, C-3 Modos de la calculadora, 1-12 Modos de la pantalla, 1-25 MODSTO, 5-12 Módulo del CAS, C-3 Módulo en CAS, C-3 MODULO, 2-37 Momento de una fuerza, 9-
Opciones de los gráficos, 12-1 Operación del diagrama FUNCTION, 12-14 Operaciones con matrices, 11-1 Operaciones con PLOT, 12-5 Operaciones con unidades, 3-17, 3-25 Operador de concatenación, 8-5 Operadores 3-7 Operadores lógicos, 21-46 Operadores relacionales, 21-46 OR, 19-5 ORDER, 2-35 Organización de los datos, 2-34 P PA2B2, 5-11 Parte imaginaria, 4-1 Parte real, 4-1 PARTFRAC, 5-5 PASTE, 2-27 PCAR, 11-47 PCOEF, 5-12, 5-23 PDIM, 22-20 Percentiles, 18-15 PERIOD, 2-37, 16-35 PERM, 17-2 Permutaciones, 17-1
Programación de formas interactivas, 21-29 Programación de los gráficos, 22-1 Programación de una caja de mensaje, 21-40 Programación modular, 22-37 Programación secuencial, 21-16 Programación, caja de mensajes, 21-40 Programación, caja de selección, 21-33 Programación, captura de errores, 21-67 Programación, con GROBs, 22-31 Programación, debugging, 21-22 Programación, diagramas, 22-14 Programación, entrada interactiva, 21-19 Programación, formas interactivas, 21-29 Programación, funciones de dibujo, 22-23
QUIT, 3-30 QUOT, 5-12 QUOT, 5-24 QXA, 11-54 R R-->B, 19-3 R-->C, 4-6 R-->D, 3-15 R-->I, 5-30 RAD, 3-1 Radianes, 1-21 Raíces cuadradas, 3-5 Ramificación de programa, 21-46 RAND, 17-2 Rango de una matriz, 11-11 RANK, 11-11 RANM, 10-11 RCI, 10-26 RCIJ, 10-27 RCLALARM, 25-4 RCLKEYS, 20-6 RCLMENU, 20-1 RCWS, 19-4 RDM, 10-10 RDZ, 17-1 RE, 4-6 Reactivar la calculadora, G-3 REALASSUME, 2-38 Recomenzar "caliente" de la calculadora, G-1 Recomenzar "frío" de la calculadora, G-3 Recomenzar la calculadora, G-3 RECT, 4-
RSWP, 10-26 R∠Z, 3-2 S SCALE, 22-7 SCALEH, 22-7 SCALEW, 22-7 SEND, 2-35 Señal sonora, 1-23 Señales o banderas, 2-63, 24-1 SEQ, 8-12 Serie de Fourier compleja, 16-31 Serie de Maclaurin, 13-24 Serie de Taylor, 13-24 Series de Fourier para una onda cuadrada, 16-39 Series de Fourier para una onda triangular, 16-35 Series de Fourier, 16-31 Series de Fourier, compleja, 16-29 Series de Maclaurin, 13-24 Series de Taylor, 13-24 Series infinitas, 13-23 Series, 13-24 SERIES, 13-25 SHADE en diagramas, 12-7 SI, 3-30 SI
START...
Transformada rápida de Fourier, 16-49 Transpuesta, 10-1, TRIG, 5-8, TRN, 10-8, TRAN, 10-8, TRNC, 3-14 TSTR, 25-3 TVMROOT, 6-34 TYPE, 24-2 U UBASE, 3-22 UFACT, 3-28 Última entrada, 1-23 UNASSIGN, K-1 UNASUMME, J-3 UNDE, L-4 UNDO, 2-62 Unidades de ángulo, 3-21 Unidades de área, 3-19 Unidades de básicas, 3-22 Unidades de energía, 3-20 Unidades de fuerza, 3-20 Unidades de iluminación, 3-21 Unidades de longitud, 3-19 Unidades de masa, 3-20 Unidades de potencia, 3-20 Unidades de presión, 3-20 Unidades de radiaci
VPAR, 12-48, 22-10 VPOTENTIAL, 15-6 VTYPE, 24-2 V-VIEW, 12-21 VX, 2-37 VX, 5-21 VZIN, 12-55 W WHILE, 21-6 Wordsize, 19-4 X X,Y , 12-53 XCOL, 22-13 XNUM, K-5 XOR, 19-5 XPON, 3-14 XQ, K-5 XRNG, 22-6 XROOT, 3-5 XSEND, 2-36 XVOL, 22-10 XXRNG, 22-10 XYZ, 3-1 Y YCOL, 22-13 YRNG, 22-6 YVOL, 22-10 YYRNG, 22-10 Z ZAUTO, 12-54 ZDECI, 12-55 ZDFLT, 12-54 ZEROS, 6-5 ZFACT, 12-53 ZFACTOR, 3-32 ZIN, 12-53 ZINTG, 12-55 ZLAST, 12-53 ZOOM, 12-20 ZOUT, 12-53 ZSQR, 12-55 ZTRIG, 12-55 ZVOL, 22-10 Otros caracteres !, 17-2
ROW, 10-23 SKIP, L-1 STK, 3-30 STR, 23-1 TAG, 21-33 TAG, 23-1 TIME, 25-3 UNIT, 3-28 V2, 9-13 V3, 9-13 Página M-20
Garantía Limitada Período de garantía de hp 48gII calculadora gráfica: 12 meses. 1. HP le garantiza a usted, cliente usuario final, que el hardware HP, accesorios y complementos están libres de defectos en los materiales y mano de obra tras la fecha de compra, durante el período arriba especificado. Si HP recibe notificación sobre algún defecto durante el período de garantía, HP decidirá, a su propio juicio, si reparará o cambiará los productos que prueben estar defectuosos.
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