Operation Manual

Blz. 16-52
Oplossing voor specifieke tweede-orde
differentiaalvergelijkingen
In dit gedeelte behandelen we en lossen we specifieke soorten gewone
differentiaalvergelijkingen op. De oplossingen van deze
differentiaalvergelijkingen worden gedefinieerd met enkele klassieke functies
zoals Bessel’s functies, Hermite polynomen, enz. De voorbeelden staan in de
RPN-modus.
De Cauchy- of Eulervergelijking
Een vergelijking in de vorm x
2
⋅(d
2
y/dx
2
) + a⋅x⋅ (dy/dx) + b⋅y = 0, waarbij a en
b reële constanten zijn noemen we de Cauchy- of Eulervergelijking. Een
oplossing voor de Cauchyvergelijking kan worden gevonden als we aannemen
dat y(x) = x
n
.
Voer de vergelijking in als: ‘x^2*d1d1y(x)+a*x*d1y(x)+b*y(x)=0’ `
Voer dan het volgende in en vervang de voorgestelde oplossing: ‘y(x) = x^n’
` @SUBST
Het resultaat is: ‘x^2*(n*(x^(n-1-1)*(n-1)))+a*x*(n*x^(n-1))+b*x^n =0,
vereenvoudigd: ‘n*(n-1)*x^n+a*n*x^n+b*x^n = 0’. Gedeeld door x^n, geeft
een algebraïsche hulpvergelijking: ‘n*(n-1)+a*n+b = 0’ of
.
• Als de vergelijking twee verschillende wortels heeft, bijv. n
1
en n
2
, dan is
de algemene oplossing voor deze vergelijking y(x) = K
1
⋅x
n
1
+ K
2
⋅x
n
2
.
• Als b = (1-a)
2
/4 dan heeft de vergelijking een dubbele wortel n
1
= n
2
= n
= (1-a)/2 en de oplossing blijkt y(x) = (K
1
+ K
2
⋅ln x)x
n
te zijn.
Legendre’s vergelijking
Een vergelijking in de vorm (1-x
2
)⋅(d
2
y/dx
2
)-2⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0,
waarbij n een reëel getal is, noemen we Legendre’s differentiaalvergelijking.
Elke oplossing voor deze vergelijking noemen we een Legendre’s functie.
0)1(
2
=+⋅−+ bnan