Operation Manual

Seite 18-38
Die Menge weist eine Chi-Quadrat-Verteilung
χ
n-1
2
mit dem Freiheitsgrad ν = n-1 auf. Das beidseitige Konfidenzintervall (1-
α)⋅100 % wird durch
Pr[χ
2
n-1,1-α/2
< (n-1)⋅S
2
/σ
2
< χ
2
n-1,α/2
] = 1- α ermittelt.
Das Konfidenzintervall für die Grundgesamtheitsvarianz σ
2
lautet daher
[(n-1)⋅S
2
/ χ
2
n-1,α/2
; (n-1)⋅S
2
/ χ
2
n-1,1-α/2
].
Hierbei stellen χ
2
n-1,α/2
und χ
2
n-1,1-α/2
die Werte dar, um die eine Variable
χ
2
mit dem Freiheitsgrad ν = n-1 mit den Überschreitungswahrscheinlichkeiten
α/2 bzw. 1- α/2 von den Erwartungswerten abweichet.
Die obere einseitige Konfidenzintervallgrenze für σ
2
ist durch (n-1)⋅S
2
/ χ
2
n-1,1-α
definiert.
Beispiel 1
– Bestimmen Sie anhand der Ergebnisse aus einer Stichprobe der
Größe n = 25, die eine Stichprobenvarianz s
2
= 12,5 aufweist, für die
Grundgesamtheitsvarianz σ
2
ein Konfidenzintervall von 95 %.
In Kapitel 17 wird zum Lösen der Gleichung α = UTPC(γ,x) der numerische
Gleichungslöser verwendet. In diesem Programm stellt γ den Freiheitsgrad (n-1)
und α die Wahrscheinlichkeit für das Überschreiten eines bestimmten Wertes
von x (χ
2
) dar, d. h. Pr[χ
2
> χ
α
2
] = α.
Für das vorliegende Beispiel gilt α = 0,05, γ = 24 und α = 0,025. Die Lösung
der oben dargestellten Gleichung lautet χ
2
n-1,α/2
= χ
2
24,0.025
=
39,3640770266.
Der Wert χ
2
n-1,α/2
= χ
2
24,0.975
wird hingegen anhand der Werte γ = 24 und α
= 0,975 berechnet. Das Ergebnis lautet χ
2
n-1,1-α/2
= χ
2
24,0.975
=
12,4011502175.
∑
=
−=⋅−
n
i
i
XX
S
n
1
2
2
2
,)(
ˆ
)1(
σ