Calcolatrice grafica HP 50g Guida per l’utente H 1° edizione Codice HP F2229AA-90015
Avviso REGISTRARE IL PRODOTTO AL SITO: www.register.hp.com QUESTO MANUALE E QUALSIASI ESEMPIO CONTENUTO NEL MEDESIMO SONO FORNITI COSÌ COME SONO E SONO SOGGETTI A MODIFICA SENZA PREAVVISO. HEWLETT-PACKARD COMPANY NON OFFRE ALCUNA GARANZIA RELATIVAMENTE A QUESTO MANUALE, COMPRESE, A TITOLO ESEMPLIFICATIVO, EVENTUALI GARANZIE DI COMMERCIABILITÀ, DELLA VIOLAZIONE DI DIRITTI ALTRUI E DI IDONEITÀ PER UNO SCOPO SPECIFICO.
Prefazione Avete acquistato un computer numerico e simbolico compatto che faciliterà il calcolo e l'analisi matematica dei problemi in numerose discipline, dalla matematica elementare alle materie scientifiche e tecnologiche avanzate. Sebbene venga definito "calcolatrice" per via del suo formato compatto che richiama un dispositivo di calcolo portatile, l'HP 50g deve essere considerato un computer palmare grafico e programmabile.
avanzate (ivi comprese la trasformata di Laplace e le serie e le trasformate di Fourier), nonché applicazioni di calcolo delle probabilità e statistiche. Per le operazioni simboliche, la calcolatrice comprende un potente sistema CAS (Computer Algebraic System) che consente di selezionare diverse modalità di funzionamento, ad esempio, numeri complessi vs. numeri reali o modalità esatta (simbolica) vs approssimativa (numerica).
Indice Capitolo 1 - Per iniziare ,1-1 Operazioni di base ,1-1 Batterie ,1-1 Accensione e spegnimento della calcolatrice ,1-2 Regolazione del contrasto del display ,1-2 Descrizione del display della calcolatrice ,1-2 Menu ,1-3 Menu FUNZIONE e Riquadri di SELEZIONE ,1-4 Selezione dei menu FUNZIONE o dei riquadri di SELEZIONE ,1-5 Menu TOOL ,1-7 Impostazione della data e dell'ora ,1-7 Informazioni di base sulla tastiera della calcolatrice ,1-11 Selezione della modalità di funzionamento della calcolatrice ,1-12
Modifica delle espressioni a display ,2-3 Creazione di espressioni aritmetiche ,2-3 Modifica di espressioni aritmetiche ,2-6 Creazione di espressioni algebriche ,2-7 Modifica di espressioni algebriche ,2-8 Uso dell'Equation Writer (EQW) per creare le espressioni ,2-10 Creazione di espressioni aritmetiche ,2-11 Modifica di espressioni aritmetiche ,2-17 Creazione di espressioni algebriche ,2-19 Modifica di espressioni algebriche ,2-21 Creazione e modifica di sommatorie, derivate, e integrali ,2-29 Organizzazi
Riquadri di SELEZIONE speciali ,2-69 Capitolo 3 - Calcoli con numeri reali ,3-1 Controllo delle impostazioni della calcolatrice ,3-1 Controllo della modalità della calcolatrice ,3-2 Calcoli con i numeri reali ,3-2 Cambio di segno a un numero, a una variabile o a un’espressione ,3-3 Funzione inversa ,3-3 Addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ,3-3 Utilizzo delle parentesi ,3-4 Funzione valore assoluto ,3-4 Quadrati e radici quadrate ,3-5 Potenze e radici ,3-5 Logaritmi in base 10 ed elevamento a
Funzione ZFACTOR ,3-32 Funzione F0λ ,3-33 Funzione SIDENS ,3-33 Funzione TDELTA ,3-33 Funzione TINC ,3-34 Definizione e uso delle funzioni ,3-34 Funzioni definite da più di un'espressione ,3-36 Funzione IFTE ,3-36 Funzioni IFTE combinate ,3-37 Capitolo 4 - Calcoli con numeri complessi ,4-1 Definizioni ,4-1 Impostazione della calcolatrice in modalità COMPLEX ,4-1 Inserimento di numeri complessi ,4-2 Rappresentazione polare di numero complesso ,4-3 Operazioni semplici con i numeri complessi ,4-4 Cambio di se
PARTFRAC ,5-5 SOLVE ,5-5 SUBST ,5-5 TEXPAND ,5-5 Altre forme di sostituzione in espressioni algebriche ,5-6 Operazioni con funzioni trascendenti ,5-7 Espansione e fattorizzazione utilizzando funzioni logaritmiche esponenziali ,5-7 Espansione e fattorizzazione utilizzando le funzioni trigonometriche ,5-8 Funzioni del menu ARITHMETIC ,5-9 DIVIS ,5-9 FACTORS ,5-9 LGCD ,5-10 PROPFRAC ,5-10 SIMP2 ,5-10 Menu INTEGER ,5-10 Menu POLYNOMIAL ,5-10 Menu MODULO ,5-11 Applicazioni del menu ARITHMETIC ,5-12 Aritmetica mo
Funzione PROOT ,5-21 Funzione PTAYL ,5-21 Funzioni QUOT e REMAINDER ,5-21 Funzione EPSX0 e variabile CAS EPS ,5-22 Funzione PEVAL ,5-22 Funzione TCHEBYCHEFF ,5-22 Frazioni ,5-23 Funzione SIMP2 ,5-23 Funzione PROPFRAC ,5-23 Funzione PARTFRAC ,5-23 Funzione FCOEF ,5-24 Funzione FROOTS ,5-24 Operazioni passo per passo con polinomi e frazioni ,5-25 Menu CONVERT e operazioni algebriche ,5-26 Menu di conversione UNITS (Opzione 1) ,5-26 Menu conversione BASE (Opzione 2) ,5-26 Menu conversione TRIGONOMETRIC (Trigon
Funzione ROOT ,6-26 Variabile EQ ,6-27 Sottomenu SOLVR ,6-27 Sottomenu DIFFE ,6-29 Sottomenu POLY ,6-29 Sottomenu SYS ,6-30 Sottomenu TVM ,6-30 Capitolo 7 - Risoluzione di equazioni multiple ,7-1 Sistemi di equazioni razionali ,7-1 Esempio 1 - Moto di un proiettile ,7-1 Esempio 2 - Sollecitazioni su un cilindro a pareti spesse ,7-2 Esempio 3 - Sistema di equazioni polinomiali ,7-4 Risoluzione di equazioni simultanee con la funzione MSLV ,7-4 Esempio 1 - Esempio dell’opzione Help ,7-5 Esempio 2 - Imbocco di
Manipolazione di elementi di un elenco ,8-10 Dimensione elenco ,8-10 Estrarre e inserire elementi in elenco ,8-10 Posizione dell’elemento nell’elenco ,8-11 Funzioni HEAD e TAIL ,8-11 Funzione SEQ ,8-11 Funzione MAP ,8-12 Definizione delle funzioni che utilizzano elenchi ,8-13 Applicazioni che utilizzano elenchi ,8-15 Media armonica di un elenco ,8-15 Media geometrica di un elenco ,8-16 Media ponderata ,8-17 Calcoli statistici con dati raggruppati ,8-18 Capitolo 9 - Vettori ,9-1 Definizioni ,9-1 Inserimento
Generazione di un vettore tridimensionale ,9-12 Modifica del sistema di coordinate ,9-12 Applicazione delle operazioni tra vettori ,9-15 Risultante di forze ,9-15 Angolo tra vettori ,9-15 Momento di una forza ,9-16 Equazione di un piano nella spazio ,9-17 Vettori riga, vettori colonna ed elenchi ,9-18 Funzione OBJ ,9-19 Funzione LIST ,9-20 Funzione DROP ,9-20 Trasformazione di un vettore riga in un vettore colonna ,9-20 Trasformazione di un vettore colonna in un vettore riga ,9-21 Trasformazione di un ele
Funzione DIAG ,10-13 Funzione VANDERMONDE ,10-13 Funzione HILBERT ,10-14 Programma per generare una matrice partendo da un certo numero di elenchi ,10-14 Elenchi che rappresentano le colonne di una matrice ,10-15 Elenchi che rappresentano le righe di una matrice ,10-17 Manipolazione di matrici per colonne ,10-17 Funzione COL ,10-18 Funzione COL ,10-19 Funzione COL+ ,10-19 Funzione COL- ,10-20 Funzione CSWP ,10-20 Manipolazione di matrici per righe ,10-21 Funzione ROW ,10-22 Funzione ROW ,10-23 Funzione
Funzione DET ,11-12 Funzione TRACE ,11-14 Funzione TRAN ,11-15 Altre operazioni con le matrici (Menu OPER) ,11-15 Funzione AXL ,11-16 Funzione AXM ,11-16 Funzione LCXM ,11-16 Soluzione di sistemi lineari ,11-17 Utilizzo del risolutore numerico per sistemi lineari ,11-18 Soluzione dei minimi quadrati (funzione LSQ) ,11-24 Soluzione mediante matrice inversa ,11-27 Soluzione mediante "divisione" di matrici ,11-27 Risoluzione di insiemi multipli di equazioni mediante la stessa matrice dei coefficienti ,11-28 El
Menu QUADF ,11-52 Funzione AXQ ,11-53 Funzione QXA ,11-53 Funzione SYLVESTER ,11-54 Funzione di GAUSS ,11-54 Applicazioni lineari ,11-54 Funzione IMAGE ,11-55 Funzione ISOM ,11-55 Funzione KER ,11-56 Funzione MKISOM ,11-56 Capitolo 12 - Grafica ,12-1 Opzioni dei grafici nella calcolatrice ,12-1 Plottare un'espressione della forma y = f(x) ,12-2 Indicazioni utili di tracciatura per i grafici delle funzioni ,12-5 Salvataggio di un grafico per usi futuri ,12-7 Grafici di funzioni trascendenti ,12-8 Grafico di
Diagrammi a barre ,12-29 Diagrammi di dispersione ,12-31 Campi di direzioni ,12-33 Grafici 3D rapidi ,12-34 Grafico wireframe ,12-36 Grafici Ps-Contour ,12-38 Grafico Y-slice ,12-39 Grafici gridmap ,12-40 Grafici delle superfici parametriche ,12-41 Variabile VPAR ,12-42 Disegno interattivo ,12-43 DOT+ e DOT- ,12-44 MARK ,12-44 LINE ,12-44 TLINE ,12-45 BOX ,12-45 CIRCL ,12-45 LABEL ,12-45 DEL ,12-46 ERASE ,12-46 MENU ,12-46 SUB ,12-46 REPL ,12-46 PICT ,12-46 X,Y ,12-47 Zoom avanti e indietro nel riquadro g
ZINTG ,12-48 ZSQR ,12-49 ZTRIG ,12-49 Menu SYMBOLIC e i grafici ,12-49 Menu SYMB/GRAPH ,12-50 Funzione DRAW3DMATRIX ,12-52 Capitolo 13 - Applicazioni di calcolo infinitesimale ,13-1 Menu CALC (Calcolo infinitesimale) ,13-1 Limiti e derivate ,13-1 Funzione lim ,13-2 Derivate ,13-3 Funzioni DERIV e DERVX ,13-3 Menu DERIV&INTEG ,13-4 Calcolo delle derivative con ∂ ,13-4 Regola della catena ,13-6 Derivate di equazioni ,13-7 Derivate implicite ,13-7 Applicazione di derivate ,13-7 Analisi dei grafici delle funzi
Integrazione per parti e differenziali ,13-19 Integrazione mediante decomposizione in frazioni parziali ,13-20 Integrali impropri ,13-20 Integrazione con unità ,13-21 Serie infinita ,13-22 Serie di Taylor e Maclaurin ,13-23 Polinomio di Taylor e resto ,13-23 Funzioni TAYLR, TAYLR0 e SERIES ,13-24 Capitolo 14 - Applicazioni del calcolo multivariato ,14-1 Funzioni multivariate ,14-1 Derivate parziali ,14-1 Derivate di grado superiore al 1° ,14-3 Regola della catena per derivate parziali ,14-4 Differenziale t
Capitolo 16 - Equazioni differenziali ,16-1 Operazioni di base con le equazioni differenziali ,16-1 Immissione di equazioni differenziali ,16-1 Verifica delle soluzioni con la calcolatrice ,16-2 Visualizzazione del campo di direzioni per le soluzioni ,16-3 Menu CALC/DIFF ,16-3 Soluzione di equazioni lineari e non lineari ,16-4 Funzione LDEC ,16-4 Funzione DESOLVE ,16-7 Variabile ODETYPE ,16-8 Trasformate di Laplace ,16-10 Definizioni ,16-10 Le trasformate e le antitrasformate di Laplace nella calcolatrice ,
Equazione di Laguerre ,16-56 Equazione di Weber e polinomi di Hermite ,16-57 Soluzioni numeriche e grafiche per le ODE ,16-57 Soluzione numerica per ODE del primo ordine ,16-57 Soluzione grafica dell'ODE del primo ordine ,16-59 Soluzione numerica dell'ODE del secondo ordine ,16-61 Soluzione grafica per una ODE del secondo ordine ,16-63 Soluzione numerica dell'ODE del primo ordine di tipo stiff ,16-65 Soluzione numerica delle ODE con il menu SOLVE/DIFF ,16-67 Funzione RKF ,16-67 Funzione RRK ,16-68 Funzione
Distribuzione di Chi-quadrato ,17-11 Distribuzione F ,17-12 Funzioni di distribuzione cumulativa inverse ,17-13 Capitolo 18 - Applicazioni statistiche ,18-1 Funzioni statistiche preimpostate ,18-1 Inserimento dei dati ,18-1 Calcoli statistici a variabile singola ,18-2 Come ottenere distribuzioni di frequenza ,18-5 Interpolazione di dati con una funzione y = f(x) ,18-10 Come ottenere statistiche riepilogative supplementari ,18-13 Calcolo dei percentili ,18-14 Menu funzione STAT ,18-15 Sottomenu DATA ,18-16
Procedura di test delle ipotesi ,18-35 Errori nel test dell’ipotesi ,18-36 Inferenze relative a una media ,18-37 Inferenze relative a due medie ,18-39 Test di coppie di campioni ,18-41 Inferenze relative a una proporzione ,18-41 Test della differenza tra due proporzioni ,18-42 Test delle ipotesi utilizzando le funzioni preprogrammate ,18-43 Inferenze riguardanti una varianza ,18-47 Inferenze su due varianze ,18-48 Note aggiuntive sulla regressione lineare ,18-50 Metodo dei minimi quadrati ,18-50 Equazioni a
Numeri esadecimali per riferimenti ai pixel ,19-7 Capitolo 20 - Personalizzazione dei menu e della tastiera ,20-1 Personalizzazione dei menu ,20-1 Menu PRG/MODES/MENU (Programmi/Modalità/Menu) ,20-1 Numeri di menu (funzioni RCLMENU e MENU) ,20-2 Menu personalizzati (funzioni MENU e TMENU) ,20-2 Specifiche dei menu e variabile CST ,20-4 Personalizzazione della tastiera ,20-5 Sottomenu PRG/MODES/KEYS (Programmi/Modalità/Tasti) ,20-5 Richiamo dell’elenco corrente dei tasti definiti dall’utente ,20-6 Assegnazi
Funzione di A con una stringa di input ,21-22 Stringa di input per due o tre valori di input ,21-24 Inserimento di valori mediante i moduli di input ,21-27 Creare un riquadro di selezione ,21-31 Identificazione dell'output nei programmi ,21-33 Applicare un tag a un risultato numerico ,21-33 Scomposizione di un risultato numerico con tag in un numero e in un tag ,21-33 ”Eliminare il tag” da una quantità con il tag ,21-33 Esempi di output con tag ,21-34 Uso di un riquadro messaggi ,21-37 Operatori relazionali
Capitolo 22 - Programmi per la manipolazione dei grafici ,22-1 Menu PLOT ,22-1 Personalizzazione del tasto di accesso al menu PLOT ,22-1 Descrizione del menu PLOT ,22-2 Generazione di grafici usando i programmi ,22-14 Grafici bidimensionali ,22-14 Grafici tridimensionali ,22-15 Variabile EQ ,22-15 Esempi di grafici interattivi del menu PLOT ,22-15 Esempi di grafici generati da un programma ,22-17 Comandi di disegno per l'uso in programmazione ,22-19 PICT ,22-20 PDIM ,22-20 LINE ,22-20 TLINE ,22-20 BOX ,22-2
Organizzazione delle variabili nella sottodirectory ,22-38 Secondo esempio di calcolo del cerchio di Mohr ,22-39 Modulo di input per il programma del cerchio di Mohr ,22-40 Capitolo 23 - Stringhe di caratteri ,23-1 Funzioni relative alle stringhe nel sottomenu TYPE ,23-1 Concatenazione di stringhe ,23-2 Menu CHARS ,23-2 Elenco dei caratteri ,23-3 Capitolo 24 - Oggetti e flag della calcolatrice ,24-1 Descrizione degli oggetti della calcolatrice ,24-1 Funzione TYPE ,24-2 Funzione VTYPE ,24-2 Flag della calc
Verifica degli oggetti in memoria ,26-3 Oggetti di backup ,26-4 Esecuzione del backup di oggetti in una porta di memoria ,26-4 Backup e ripristino di HOME ,26-5 Memorizzazione, cancellazione e ripristino di oggetti di backup ,26-6 Utilizzo di dati in oggetti di backup ,26-7 Utilizzo di schede SD ,26-7 Inserimento e rimozione di una scheda SD ,26-7 Formattazione di una scheda SD ,26-8 Accesso agli oggetti presenti su una scheda SD ,26-9 Memorizzazione di oggetti su una scheda SD ,26-9 Richiamo di un oggetto
Definizione di un gruppo di equazioni ,27-8 Interpretazione dei risultati del risolutore di equazioni multiple ,27-10 Controllo delle soluzioni ,27-11 Appendice A - Utilizzo dei moduli di input ,A-1 Appendice B!- Tastiera della calcolatrice ,B-1 Appendice C!- Impostazioni del CAS ,C-1 Appendice D!- Set di caratteri aggiuntivi ,D-1 Appendice E!- Albero di selezione nell'Equation Writer ,E-1 Appendice F!- Menu Applicazioni (APPS) ,F-1 Appendice G!- Tasti di scelta rapida ,G-1 Appendice H!- Opzione Help del C
Capitolo 1 Per iniziare Questo capitolo fornisce le informazioni di base sulle operazioni con la vostra calcolatrice. È studiato per consentire all'utente di prendere dimestichezza con le operazioni e le impostazioni fondamentali prima di eseguire un calcolo. Operazioni di base Le seguenti sezioni contengono nozioni di base sull'hardware della calcolatrice.
b. Inserire una nuova batteria al litio CR2032. Assicurarsi che il lato del polo positivo (+) sia rivolto verso l'alto. c. Riposizionare la piastrina, premendo per farla rientrare in posizione. Dopo l'installazione delle batterie, premere [ON] per accendere. Avvertenza: Quando viene visualizzata l'icona batteria scarica, è necessario sostituire le batterie non appena possibile. Evitare tuttavia di togliere la batteria di backup e le batterie principali contemporaneamente, per non perdere i dati memorizzati.
Nella parte superiore del display sono presenti due righe di informazioni che descrivono le impostazioni della calcolatrice. La prima riga mostra i caratteri: R D XYZ HEX R= 'X' La seconda riga mostra i caratteri: { HOME } indicante che la directory HOME è la directory corrente nella memoria della calcolatrice. Nel Capitolo 2, si apprenderà come salvare i dati nella calcolatrice memorizzandoli in file o variabili. Le variabili possono essere organizzate in directory e sottodirectory.
voci. Ciascun gruppo di 6 voci è chiamato una pagina del menu. Il menu corrente, denominato menu TOOL (Strumenti), rappresentato nella figura sottostante, contiene otto voci organizzate in due pagine. La pagina successiva, contenente le due voci successive del menu, è accessibile premendo il tasto L (menu NeXT). Questo tasto è il terzo da sinistra nella terza fila di tasti della tastiera.
Questo riquadro di SELEZIONE è denominato Menu BASE e contiene un elenco di funzioni numerate, a partire da 1. HEX x fino a 6. B R. Questo display rappresenta la prima pagina del riquadro di SELEZIONE contenente sei funzioni menu. È possibile navigare fra i menu utilizzando i tasti freccia su e giù, —˜, situati nell'angolo in alto a destra della tastiera, sotto i tasti funzione E e F.
Se ora si preme ‚ã, invece del riquadro di SELEZIONE precedentemente visualizzato, il display mostrerà le sei etichette del menu funzione come prima pagina del menu STACK: Per navigare tra le funzioni di questo menu, premere il tasto L key per spostarsi alla pagina successiva o „« (in combinazione con il tasto L) per spostarsi alla pagina precedente.
Menu TOOL I tasti funzione del menu visualizzato, denominato menu TOOL, sono associati a operazioni relative alla manipolazione di variabili (per maggiori informazioni sulle variabili, vedere le pagine corrispondenti): @EDIT A MODIFICA il contenuto di una variabile (vedere il Capitolo 2 e l'Appendice L per maggiori informazioni sulla funzione modifica) @VIEW B VISUALIZZA i contenuti di una variabile @@ RCL @@ C RICHIAMA i contenuti di una variabile @@STO@ D MEMORIZZA i contenuti di una variabile !
Per impostare la data e l'ora, selezionare il riquadro di selezione TIME, disponibile come funzione alternativa del tasto 9. Utilizzando la combinazione tasto shift destro, ‚ e tasto 9, si apre il riquadro di selezione TIME. Questa operazione può venire rappresentata anche come ‚Ó. Il riquadro di selezione TIME viene visualizzato nella figura sottostante: Come indicato in precedenza, il menu TIME fornisce quattro diverse opzioni, numerate da 1 a 4. Agli scopi del presente capitolo, verrà usata l'opzione 3.
Per modificare il campo minuti in 25, premere: 25 !!@@OK#@ . Viene ora evidenziato il campo secondi. Supponiamo di dover modificare il campo secondi in 45, premere: 45 !!@@OK#@ Viene ora evidenziato il campo formato ora. Per modificare questo campo rispetto alla configurazione corrente, è possibile premere il tasto W (secondo tasto da sinistra nella quinta fila di tasti della tastiera, partendo dal fondo) oppure premere il tasto funzione @CHOOS (B).
Impostazione della data Dopo aver impostato il formato dell'ora, il modulo di input SET TIME AND DATE avrà il seguente aspetto: Per impostare la data, impostare innanzitutto il formato data. Il formato predefinito è M/D/Y (mese/giorno/anno). Per modificare questo formato, premere il tasto freccia giù.
Informazioni di base sulla tastiera della calcolatrice La figura sottostante mostra uno schema della tastiera della calcolatrice con la numerazione delle righe e delle colonne. La figura mostra 10 righe di tasti e 3, 5, o 6 colonne. La riga 1 ha 6 tasti, le righe 2 e 3 hanno 3 tasti ciascuna e le righe dalla 4 alla 10 hanno 5 tasti ciascuna. Sono presenti 4 tasti freccia situati sul lato destro della tastiera nello spazio occupato dalle file 2 e 3. Ogni tasto ha tre, quattro o cinque funzioni.
tasto (8,1), il tasto shift destro, tasto (9,1) e il tasto ALPHA, tasto (7,1), possono essere usati in combinazione con altri tasti per attivare funzioni alternative, mostrate sulla tastiera.
Premere il tasto H (secondo tasto da sinistra nella seconda fila di tasti a partire dall'alto) per visualizzare il seguente modulo di input CALCULATOR MODES (Modalità della calcolatrice): Premere il tasto funzione !!@@OK#@ per tornare alla visualizzazione normale. Di seguito vengono presentati alcuni esempi che mostrano come selezionare le diverse modalità della calcolatrice.
Per inserire questa espressione nella calcolatrice, si utilizza innanzitutto l'Equation Writer, ‚O. Identificare innanzitutto i seguenti tasti nella tastiera, oltre ai tasti numerici: !@.#*+-/R Q¸Ü‚Oš™˜—` L'Equation Writer è una modalità di visualizzazione nella quale si possono costruire espressioni matematiche utilizzando la notazione matematica esplicita, ivi comprese le frazioni, le derivate, gli integrali, le radici, ecc.
Passare alla modalità operativa RPN premendo il tasto H. Selezionare la modalità operativa RPNutilizzando il tasto \ oppure premendo il tasto funzione @CHOOS. Premere il tasto funzione !!@@OK#@ per completare l'operazione. In modalità RPN, il display ha il seguente aspetto: Occorre notare che il display visualizza diversi livelli di output denominati, dal basso verso l'alto, 1, 2, 3, ecc. Questi vengono definiti stack della calcolatrice.
⎛ ⎝ 3 ⋅ ⎜5 − 23 ⎞ ⎟ 3⋅3⎠ 2.5 +e 1 3 3.` Inserire 3 al livello 1 5.` Inserire 5 al livello 1, 3 viene spostato in y 3.` Inserire 3 al livello 1, 5 viene spostato al livello 2, 3 viene spostato al livello 3 3.* Digitare 3 e moltiplicare, viene visualizzato 9 al livello 1 Y 1/(3x3), ultimo valore al liv. 1; 5 nel livello 2; 3 nel livello 3 5-1/(3x3), occupa ora il livello 1; 3 nel livello 2 * 3x(5-1/(3x3)), occupa ora il livello 1. 23.`Inserire 23 al livello 1, 14.66666 sale al livello 2. 3.
Occorre notare che l'espressione è stata inserita nel livello di stack 1 dopo la pressione di `. Premendo il tasto EVAL a questo punto, si valuterà il valore numerico dell'espressione. Nota: in modalità RPN, premendo ENTER quando la riga di comando è vuota, si eseguirà la funzione DUP, che copia il contenuto del livello di stack 1 stack nel livello 2 (e fa salire di un livello tutti gli altri livelli di stack). Ciò è estremamente utile, come mostrato nell'esempio precedente.
vedere il Capitolo 2. Per illustrare questo e altri formati numerici, provare i seguenti esercizi: Θ Formato standard: Questa è la modalità più usata in quanto mostra i numeri utilizzando la notazione più familiare. Premere il tasto funzione !!@@OK#@ , con il parametro Number format impostato su Std, per tornare al display della calcolatrice. Inserire il numero 123.4567890123456. Notare che questo numero contiene 16 cifre significative. Premere il tasto `.
Si noterà che Number Format è impostato su Fix seguito da uno zero (0). Questo numero indica il numero di decimali da visualizzare nel display della calcolatrice dopo il punto decimale. Premere il tasto funzione !!@@OK#@ per tornare al display della calcolatrice. Il numero viene ora mostrato nel seguente modo: Questa impostazione arrotonderà tutti i risultati al numero intero più vicino (0 decimali visualizzati dopo la virgola).
Premere il tasto funzione !!@@OK#@ per completare la selezione: Premere il tasto funzione !!@@OK#@ per tornare al display della calcolatrice. Il numero viene ora mostrato nel seguente modo: Si noterà come il numero venga arrotondato, non troncato. Pertanto, il numero 123.4567890123456, con questa impostazione, viene visualizzato come 123.457 e non come 123.
cui si è modificato il numero di decimali utilizzando l'opzione Fixed nell'esempio riportato in precedenza). Premere il tasto funzione !!@@OK#@ per tornare al display della calcolatrice. Il numero viene ora mostrato nel seguente modo: Questo risultato, 1.23E2, è la notazione usata dalla calcolatrice per le potenze di dieci, ad esempio, 1,235 x 102.
Premere il tasto funzione !!@@OK#@ per tornare al display della calcolatrice. Il numero viene ora mostrato nel seguente modo: Siccome questo numero nella sua parte intera si compone di tre cifre, viene rappresentato nel formato ingegneristico con quattro cifre significative e zero come valore dell'elevamento a potenza. Ad esempio, il numero 0.00256 verrà visualizzato come: Θ Virgola decimale vs.
Θ Premere il tasto funzione !!@@OK#@ per tornare al display della calcolatrice. Il numero 123.456789012, inserito in precedenza, viene ora visualizzato come segue: Misura dell'angolo Le funzioni trigonometriche, ad esempio, richiedono argomenti che rappresentano angoli piani. La calcolatrice fornisce tre diverse modalità di Angle Measure (Misura dell'angolo) per lavorare con gli angoli: Θ Degrees (Gradi): Vi sono 360 gradi (360°) in una circonferenza completa o 90 gradi (90°) in un angolo retto.
Sistema di coordinate La selezione del sistema di coordinate modifica il modo in cui i vettori e i numeri complessi vengono visualizzati e inseriti. Per maggiori informazioni sui numeri e i vettori complessi, vedere rispettivamente i Capitoli 4 e 9.
x = ρ ⋅ sin(φ ) ⋅ cos(θ ) ρ = x2 + y2 + z2 y = ρ ⋅ sin(φ ) ⋅ sin(θ ) θ = tan −1 ⎜ ⎟ z = ρ ⋅ cos(φ ) ⎛ y⎞ ⎝ x⎠ ⎛ x2 + y2 ⎞ ⎟ φ = tan −1 ⎜ ⎜ ⎟ z ⎝ ⎠ Per modificare il sistema di coordinate della calcolatrice, procedere come segue: Θ Premere il tasto H. Successivamente, premere il tasto freccia giù, ˜, tre volte. Selezionare la modalità Angle measure utilizzando il tasto \ (secondo da sinistra nella quinta fila della tastiera a partire dal basso), o premendo il tasto funzione @CHOOS.
_Last Stack: Mantiene il contenuto dell'ultimo stack utilizzabile con le funzioni UNDO e ANS (vedere il Capitolo 2). L'opzione _Beep può risultare utile per informare gli utenti della presenza di errori. È possibile deselezionare questa opzione se si utilizza la calcolatrice in classe o in biblioteca. L'opzione _Key Click può essere utile come riscontro per verificare che la pressione del pulsante ha avuto effetto.
Selezione delle modalità di visualizzazione Il display della calcolatrice può essere personalizzato in base alle preferenze dell'utente selezionando diverse modalità di visualizzazione. Per visualizzare le impostazioni del display opzionali, procedere come segue: Θ Premere il tasto H per attivare il modulo di input CALCULATOR MODES. All'interno del modulo di input CALCULATOR MODES, premere il tasto funzione @@DISP@ per visualizzare il modulo di input DISPLAY MODES.
Premere il tasto H per attivare il modulo di input CALCULATOR MODES. All'interno del modulo di input CALCULATOR MODES, premere il tasto funzione @@DISP@ per visualizzare il modulo di input DISPLAY MODES. Viene evidenziato il campo Font: e l'opzione Ft8_0:system 8 viene selezionata. Questo è il valore predefinito per il carattere utilizzato per il carattere di visualizzazione.
_Indent Rientro automatico del cursore quando si inserisce un ritorno a capo Per istruzioni dettagliate sull'uso del Line Editor, vedere il Capitolo 2 della presente guida. Selezione delle proprietà dello stack Premere il tasto H per attivare il modulo di input CALCULATOR MODES. All'interno del modulo di input CALCULATOR MODES, premere il tasto funzione @@DISP@ per visualizzare il modulo di input DISPLAY MODES. Premere il tasto freccia giù, ˜, due volte, per per portare il cursore sulla riga Stack.
Con l'opzione _Textbook selezionata (valore predefinito), indipendentemente dal fatto che anche l'opzione _Small sia selezionata, il display mostra il seguenti risultato: Selezione delle proprietà dell'Equation Writer (EQW) Premere il tasto H per attivare il modulo di input CALCULATOR MODES. All'interno del modulo di input CALCULATOR MODES, premere il tasto funzione @@DISP@ per visualizzare il modulo di input DISPLAY MODES.
Selezione della dimensione dell'intestazione Premere il tasto H per attivare il modulo di input CALCULATOR MODES. All'interno del modulo di input CALCULATOR MODES, premere il tasto funzione @@DISP@ per visualizzare il modulo di input DISPLAY MODES. Premere il tasto freccia giù, ˜, quattro volte, per portare il cursore sulla riga Header (Intestazione). Per impostazione predefinita, il valore 2 è assegnato al campo Header .
Capitolo 2 Presentazione della calcolatrice Nel presente capitolo verranno presentate diverse operazioni di base della calcolatrice, come l'uso dell'Equation Writer e la manipolazione di dati nella calcolatrice. Studiare gli esempi del presente capitolo per acquisire dimestichezza con le potenzialità della calcolatrice per applicazioni future. Oggetti della calcolatrice Qualsiasi numero, espressione, carattere, variabile, ecc.
direttamente alla modalità APPROX. Per maggiori dettagli, vedere l'Appendice C. Spesso i numeri interi vengono usati unitamente ai numeri reali, oppure si scambiano i numeri interi per numeri reali. La calcolatrice rileva l'utilizzo di oggetti misti e chiede se si desidera passare alla modalità APPROX. I numeri complessi, sono un'estensione dei numeri reali che comprende l'unità immaginaria i2 = -1. Un numero complesso, ad esempio, 3 + 2i, viene scritto come (3, 2) nella calcolatrice.
Gli interi binari, oggetti di tipo 10, sono utilizzati in alcune applicazioni in ambito informatico. Gli oggetti grafici, oggetti di tipo 11, memorizzano i grafici prodotti dalla calcolatrice. Gli oggetti etichette, oggetti di tipo 12, sono usati nell'output di numerosi programmi per identificare i risultati. Ad esempio, nell'oggetto etichetta: Mean: 23.2, la parola Mean: (Media:) è l'etichetta utilizzata per identificare il numero 23.2 come media di un campione per l'esempio.
Premere ` per visualizzare l'espressione a display come segue: Si noti che se il CAS è impostato su EXACT (vedere l'Appendice C) ed se è stata inserita l'espressione utilizzando i numeri interi per i valori interi; il risultato è una quantità simbolica, ossia, 5*„Ü1+1/7.5™/ „ÜR3-2Q3 Prima di produrre un risultato, la calcolatrice chiederà di passare alla modalità APPROX.
Per valutare l'espressione, è possibile utilizzare la funzione EVAL, come segue: μ„î` Come nell'esempio precedente, vi sarà chiesto di approvare il passaggio alla modalità APPROX (impostazioni CAS). Una volta effettuato questo passaggio, si otterrà un risultato uguale al precedente. Un modo alternativo di valutare l'espressione inserita precedentemente tra virgolette è l'uso dell'opzione …ï.
Quest'ultimo risultato è puramente numerico, pertanto i due risultati nello stack, sebbene rappresentino la stessa espressione, sembrano diversi. Per verificare che non lo siano, si sottraggono due valori e si valuta questa differenza utilizzando la funzione EVAL: Sottrarre il livello 1 dal livello 2 μ Eseguire la valutazione utilizzando la funzione EVAL Il risultato è zero (0.). Nota: non inserire nello stesso calcolo numeri reali e numeri interi per evitare conflitti.
Il cursore di modifica viene visualizzato come una freccia sinistra lampeggiante sopra il primo carattere nella riga da modificare. Siccome la modifica, in questo caso, comporta la cancellazione e la sostituzione di alcuni caratteri con altri, si utilizzeranno i tasti freccia destra e sinistra, š™, per spostare il cursore nel punto appropriato per la modifica e il tasto cancella, ƒ, per cancellare i caratteri.
Impostare la modalità operativa della calcolatrice su Algebrica, il CAS su Exact e il display su Textbook. Per inserire questa espressione algebrica, utilizzare la seguente sequenza di tasti: ³2*~l*R„Ü1+~„x/~r™/ „ Ü ~r+~„y™+2*~l/~„b Premere `per ottenere il seguenti risultato: L'inserimento di questa espressione con la calcolatrice impostata in modalità RPN è esattamente identico alla modalità algebrica.
Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Premere il tasto freccia destra, ™, per portare il cursore a destra di x Premere Q2 per inserire la potenza 2 per x Premere il tasto freccia destra, ™, per portare il cursore a destra di y Premere il tasto cancella, ƒ, una volta per cancellare i caratteri y.
Θ Premendo nuovamente ` si tornerà al display normale. Per vedere l'intera espressione a display, è possibile modificare l'opzione _Small Stack Disp nel modulo di input DISPLAY MODES (vedere il Capitolo 1). Dopo aver effettuato questo cambiamento, il display avrà l'aspetto seguente: Nota: per usare le lettere greche e altri caratteri nelle espressioni algebriche, utilizzare il menu CHARS (Caratteri). Questo menu è richiamato dalla combinazione di tasti …±. Per maggiori dettagli, vedere l'Appendice D.
I sei tasti funzione dell'Equation Writer attivano le seguenti funzioni: @EDIT: consente all'utente di modificare una voce nel Line Editor (vedere esempi precedenti) @CURS: evidenzia l'espressione e aggiunge un cursore grafico @BIG: se selezionata (selezione mostrata dal carattere nell'etichetta), il carattere usato nell'Equation Writer è il carattere di sistema 8 (il più grande carattere disponibile) @EVAL: consente di valutare, simbolicamente o numericamente, un'espressione nel display dell'Equation Write
Il risultato è l'espressione seguente Il cursore è mostrato come freccia rivolta a sinistra. Il cursore indica la posizione di modifica corrente. Digitando un carattere, un nome di una funzione o un'operazione, questo verrà inserito nella posizione del cursore. Ad esempio, con il cursore nella posizione indicata in precedenza, digitare: *„Ü5+1/3 L'espressione modificata verrà visualizzata come segue: Supponiamo di dover sostituire la quantità tra parentesi nel denominatore (ossia, 5+1/3) con (5+π2/2).
Supponiamo di dover aggiungere la frazione 1/3 all'intera espressione, ossia si vuole inserire la seguente espressione: 5 5 + 2 ⋅ (5 + π 2 2 + ) 1 3 È innanzitutto necessario evidenziare l'intero primo termine premendo il tasto freccia destra (™) o freccia su (—), ripetutamente fino a quando non viene evidenziata l'intera espressione, ossia sette volte, con il seguente risultato: NOTA: in alternativa, dalla posizione originale del cursore (a destra del 2 nel denominatore di π2/2) è possibile utilizz
Visualizzazione dell'espressione in caratteri più piccoli Per visualizzare l'espressione in un carattere più piccolo (utile se l'espressione è lunga e complessa), premere semplicemente il tasto funzione @BIG . In questo caso, il display viene visualizzato come segue: Per tornare alla visualizzazione con caratteri più grandi, premere nuovamente il tasto funzione @BIG .
Se si desidera una valutazione in virgola mobile (numerica), utilizzare la funzione NUM (ovvero …ï). Il risultato è il seguente: Utilizzare nuovamente la funzione UNDO (…¯) per tornare all'espressione originale: Valutazione di una sottoespressione Supponiamo di dovere valutare l'espressione tra parentesi nel denominatore della prima frazione dell'espressione presentata in precedenza. È necessario utilizzare i tasti freccia per selezionare tale particolare sottoespressione.
Di nuovo una valutazione simbolica. Supponiamo che, a questo punto, si voglia valutare solo la frazione sul lato sinistro. Premere il tasto freccia su (—) tre volte per selezionare tale frazione.
Modifica di espressioni aritmetiche Il seguente esercizio illustrerà alcune funzioni di modifica all'interno dell'Equation Writer. Iniziamo inserendo la seguente espressione utilizzata negli esercizi precedenti: Le funzioni di modifica dell'Equation Writer consentono di trasformarla nella seguente espressione: Negli esercizi precedenti sono stati utilizzati i tasti freccia per evidenziare le sottoespressioni da valutare.
Utilizzando il tasto freccia sinistra (š), è possibile spostare il cursore verso sinistra, ma fermandosi a ogni singolo componente dell'espressione. Ad esempio, supponiamo di dover trasformare l'espressione π2/2 nell'espressione LN(π5/3). Con il cursore di modifica attivo (come mostrato nella figura in alto), premere il tasto freccia sinistro (š) due volte per evidenziare il 2 nel denominatore di π2/2. Quindi, premere il tasto cancella (ƒ) una volta per trasformare il cursore nel cursore di immissione dati.
La fase finale consiste nell'eliminare 1/3 dal lato destro dell'espressione. A questo scopo, utilizzare: —————™ƒƒƒƒƒ La versione finale sarà: Riassumendo, per modificare un'espressione nell'Equation Writer, utilizzare i tasti freccia (š™—˜) per evidenziare l'espressione alla quale verranno applicate le funzioni (ad esempio, le funzioni LN e radice quadrata nell'espressione precedente). Premere ripetutamente il tasto freccia giù (˜), in qualsiasi posizione, per attivare il cursore di modifica.
Utilizzare la seguente sequenza di tasti: 2 / R3 ™™ * ~‚n+ „¸\ ~‚m ™™ * ‚¹ ~„x + 2 * ~‚m * ~‚c ~„y ——— / ~‚t Q1/3 Il risultato è il seguente: Nell'esempio sono state usate diverse lettere minuscole dell'alfabeto latino, quali x (~„x), diverse lettere greche, quali λ (~‚n) e anche una combinazione di lettere latine e greche, ad esempio Δy (~‚c~„ y). Ricordare che per inserire una lettera latina minuscola, occorre usare la combinazione: ~„ seguita dalla lettera che si vuole inserire.
Modifica di espressioni algebriche La modifica di equazioni algebriche segue le stesse regole della modifica di equazioni algebriche. In particolare: Θ Utilizzare i tasti freccia (š™—˜) per evidenziare le espressioni Θ Premere ripetutamente il tasto freccia giù (˜), per attivare il cursore di modifica. In questa modalità, utilizzare i tasti freccia destro o sinistro (š™) per spostarsi da un termine all'altro in un'espressione.
3. Δy μ 4. 5. 2 6. x μ nella funzione esponenziale 7. λ 8. 9. il 3 nel termine √3 10. il 2 nella frazione 2/√3 In qualsiasi punto, è possibile trasformare il cursore di modifica in cursore di immissione dati premendo il tasto cancella (ƒ).
Valutazione di una sottoespressione ( ) Siccome la sottoespressione SIN θ 1 / 3 è già evidenziata, premere il tasto funzione @EVAL per valutarla. Il risultato è: Alcune espressioni algebriche non possono essere ulteriormente semplificate. Utilizzare la seguente sequenza di tasti: —D. L'unico effetto sarà quello di evidenziare l'intero argomento della funzione LN . Ciò è dovuto al fatto che l'espressione non può essere ulteriormente valutata (o semplificata) in base alle regole CAS.
termine del numeratore. Premere ora il tasto freccia destra, ™, per navigare nell'espressione. Semplificazione di un'espressione Premere il tasto funzione @BIG per ottenere una schermata simile alla figura precedente (vedere la figura in alto). Premere ora il tasto funzione @SIMP, per vedere se è possibile semplificare questa espressione come mostrato nell'Equation Writer.
Premere ‚¯ per tornare all'espressione originale. Utilizzare ora la seguente sequenza di tasti: ˜˜˜™™™™™™™——— ‚™ per selezionare gli ultimi due termini dell'espressione, ossia: premere il tasto funzione @FACTO, per ottenere Premere ‚¯ per tornare all'espressione originale. Selezionare ora l'intera espressione premendo il tasto freccia su (—) una volta. Premere il tasto funzione @FACTO, per ottenere Premere ‚¯ per tornare all'espressione originale.
Selezionare quindi il comando DERVX (la derivata rispetto alla variabile X, ossia la variabile CAS indipendente corrente) utilizzando: ~d˜˜˜. Il comando DERVX è ora selezionato: Premere il tasto funzione @@OK@@ per ottenere il seguente risultato: Premere il tasto L per tornare al menu iniziale dell'Equation Writer e premere il tasto funzione @EVAL@ per valutare questa derivata. Il risultato è: Uso del menu HELP Premere il tasto L per visualizzare i tasti funzione @CMDS e @HELP..
Per istruzioni dettagliate sull'uso della funzione Help del CAS, consultare il Capitolo 1. Per tornare all'Equation Writer, premere il tasto funzione @EXIT. Premere il tasto ` per uscire dall'Equation Writer.
Copiare ora la frazione 2/√3 dal fattore più a sinistra dell'espressione e posizionarla nel numeratore dell'argomento della funzione LN. Utilizzare la seguente sequenza di tasti: ˜˜šš———‚¨˜˜ ‚™ššš‚¬ Si otterrà la seguente schermata: Le funzioni BEGIN e END non sono necessarie quando si lavora nell'Equation Writer, in quanto è possibile selezionare le stringhe di caratteri utilizzando i tasti freccia. Le funzioni BEGIN e END risultano più utili per modificare un'espressione nel Line Editor.
È ora possibile copiare questa espressione e posizionarla nel denominatore dell'argomento LN, come segue: ‚¨™™… (27 volte) … ™ ƒƒ… (9 volte) … ƒ ‚¬ Il Line Editor si presenterà come segue: Premendo ` viene visualizzata l'espressione nell'Equation Writer (in formato a caratteri piccoli, premere il tasto funzione @BIG): Premere ` per uscire dall'Equation Writer.
Per vedere l'espressione corrispondente nel Line Editor, premere ‚— e il tasto funzione A: Questa espressione mostra la forma generale di una sommatoria digitata direttamente nello stack o nel Line Editor: Σ(indice = valore_iniziale, valore_finale, espressione della sommatoria) Premere ` per tornare all'Equation Writer. La schermata ottenuta mostra il valore della sommatoria, Per tornare alla sommatoria non valutata, premere ‚¯.
~„t™~‚a*~„tQ2 ™™+~‚b*~„t+~‚d Si otterrà la seguente schermata: Per vedere l'espressione corrispondente nel Line Editor, premere ‚— e il tasto funzione A: Questo indica che l'espressione generale per una derivata nel Line Editor o nello stack è: ∂variabile(funzione di variabili) Premere ` per tornare all'Equation Writer. La schermata ottenuta non rappresenta la derivata inserita, ma il suo valore simbolico, ossia, Per tornare all'espressione della derivata premere ‚¯.
Nota: la notazione ∂ ( ∂x ) indica una derivata parziale. La notazione specifica per le derivate totali (ossia, derivate di una variabile) è calcolatrice, tuttavia, non distingue tra derivate parziali e totali. d ( ) . La dx Integrali definiti Utilizzeremo ora l'Equation Writer per inserire il seguente integrale definito: τ ∫ t ⋅ sin(t ) ⋅ dt . Premere ‚O per aprire l'Equation Writer. Quindi 0 premere ‚ Á per inserire il segno di integrale.
τ ∫ t ⋅ sin(t ) ⋅ dt = sin(τ ) − τ ⋅ cos(τ ) 0 Sono anche possibili integrali doppi. Ad esempio, che dopo essere stata valutata fornisce il risultato 36. È possibile eseguire una valutazione parziale, ad esempio: Una volta valutato, questo integrale dà come risultato 36. Organizzazione dei dati nella calcolatrice È possibile organizzare i dati nella calcolatrice memorizzando le variabili in una struttura di directory.
@CHDIR: Modificare la directory selezionata @CANCL: Annulla @@OK@@: Confermare la selezione Ad esempio, per passare alla directory CASDIR, premere il tasto freccia giù, ˜, e premere @CHDIR. Questa azione consente di chiudere la finestra del File Manager e tornare al display normale della calcolatrice. Si noti che la seconda riga del display a partire dall'alto inizia ora mostrando il percorso {HOME CASDIR} a indicare che la directory corrente è CASDIR, all'interno della directory HOME.
Per passare da un comando del menu a un altro, è possibile utilizzare sia il tasto NEXT (L) che il tasto PREV („«). È opportuno provare queste funzioni per prendere dimestichezza con la calcolatrice. L'uso di questi tasti è intuitivo. Directory HOME la directory HOME (Principale), come precedentemente indicato, è la directory principale per il funzionamento della memoria della calcolatrice.
Questa volta CASDIR è evidenziato nella schermata. Per vedere il contenuto della directory premere il tasto funzione @@OK@@ o `, si aprirà la seguente schermata: La schermata mostra una tabella che descrive le variabili contenute nella directory CASDIR. Queste sono le variabili predefinite nella memoria della calcolatrice che determinano vari parametri di funzionamento del CAS (vedere l'Appendice C).
Premendo il tasto L viene visualizzata un'ulteriore variabile memorizzata in questa directory: • • • Per vedere il contenuto della variabile EPS, ad esempio, utilizzare ‚@EPS@. Verrà visualizzato il valore di EPS di .0000000001 Per vedere il valore di una variabile numerica, è sufficiente premere il tasto funzione della variabile. Ad esempio, premendo cz seguito da `, viene visualizzato lo stesso valore della variabile nello stack, se la calcolatrice è impostata su Algebraic.
per digitare ciascuna lettera, è possibile tenere premuto il tasto ~ e inserire le varie lettere. È inoltre possibile bloccare temporaneamente la tastiera alfabetica e inserire il nome completo prima di sbloccarla nuovamente. Le seguenti sequenze di tasti consentono di bloccare la tastiera alfabetica: ~~ blocca la tastiera alfabetica sull'impostazione maiuscolo.
Creazione di sottodirectory Le sottodirectory possono essere create utilizzando l'ambiente FILES o il comando CRDIR. Di seguito vengono presentati i due metodi disponibili per la creazione di sottodirectory. Uso del menu FILES Indipendentemente dalla modalità di funzionamento della calcolatrice (algebrica o RPN), è possibile creare una struttura di directory basata sulla directory HOME, utilizzando le funzioni attivate nel menu FILES. Premere „¡ per attivare il menu FILES.
Il campo di input Object (Oggetto), il primo campo di input del modulo, è evidenziato per impostazioni predefinite. In questo campo di input è possibile inserire il contenuto della nuova variabile che si sta creando. Siccome a questo punto non si dispone di alcun contenuto per la nuova sottodirectory, saltare questo campo di input premendo il tasto freccia giù, ˜, una volta.
Per spostarsi all'interno della directory MANS, premere il corrispondente tasto funzione (in questo caso A) e ` se in modalità algebrica. La struttura di directory verrà visualizzata nella seconda riga del display come {HOME M NS}. Non vi saranno, tuttavia, etichette associate ai tasti funzione, come mostrato di seguito, in quanto non è stata definita alcuna variabile all'interno di questa directory.
Premere il tasto freccia giù (˜) per selezionare l'opzione 2. MEMORY… o premere 2. Quindi, premere @@OK@@. Si aprirà il seguente menu a discesa: Utilizzare il tasto freccia giù (˜) per selezionare l'opzione 5. DIRECTORY o premere 5. Quindi, premere @@OK@@. Si aprirà il seguente menu a discesa: Premere il tasto freccia giù (˜) per selezionare l'opzione 5. CRDIR e premere @@OK@@.
Premere il tasto funzione @@OK@ per attivare il comando e creare la sottodirectory: Navigazione tra le sottodirectory Per spostarsi all'interno della struttura di directory, è necessario premere il tasto funzione corrispondente alla sottodirectory desiderata. L'elenco di variabili in una sottodirectory può essere richiamato premendo il tasto J (VARiabili). Per spostarsi al livello superiore della struttura di directory, utilizzare la funzione UPDIR: premere „§.
La stringa "S2" di questo modulo è il nome della sottodirectory che si vuole cancellare.
Premere il tasto freccia giù (˜) per selezionare l'opzione 2. MEMORY…. Quindi, premere @@OK@@. Si aprirà il seguente menu a discesa: Premere il tasto freccia giù (˜) per selezionare l'opzione 5. Directory . Quindi, premere @@OK@@. Si aprirà il seguente menu a discesa: Premere il tasto freccia giù (˜) per selezionare l'opzione 6. PGDIR e premere @@OK@@.
Premere @@OK@@, per ottenere: Quindi, premere )@@S3@@ per inserire "S3" come argomento di PGDIR. Premere ` per eliminare la sottodirectory: Comando PGDIR in modalità RPN Per utilizzare PGDIR in modalità RPN è necessario che il nome della directory, tra virgolette, sia già disponibile nello stack prima di accedere al comando.
Uso del comando PURGE dal menu TOOL Il menu TOOL è disponibile premendo il tasto I (in figura, modalità algebrica e RPN): il comando PURGE è disponibile premendo il tasto funzione @PURGE. Nei seguenti esempi si mostrerà come eliminare la sottodirectory S1: • Modalità algebrica: Premere!@PURGE J)@@S1@@` • Modalità RPN: Premere J³@S1@@ `I@PURGE J Variabili Le variabili sono come i file nel disco rigido di un computer.
Nome Contenuto Tipo A α 12.5 -0.25 reale reale A12 Q R z1 p1 3×105 ‘r/(m+r)' [3,2,1] 3+5i << → r 'π*r^2' >> reale algebrico vettore complesso programma Uso del menu FILES Verrà utilizzato il menu FILES per inserire la variabile A. L'esempio parte dal presupposto che l'utente si trovi nella sottodirectory {HOME M NS INTRO}.
Per inserire una variabile A (vedere la tabella in alto), digitare prima il suo contenuto, ovvero il numero 12.5, quindi il nome, come segue: 12.5@@OK@@ ~a@@OK@@. Il risultato è la seguente schermata: Premere nuovamente @@OK@@ per creare la variabile. La nuova variabile è stata inserita nel seguente elenco di variabili: L'elenco indica una variabile reale (|R), il cui nome è A e che occupa 10,5 byte di memoria. Per vedere il contenuto della variabile in questa schermata, premere L@VIEW@.
Uso del comando!STO Un modo più semplice per creare una variabile è l'uso del comando STO (accessibile mediante il tasto K). Di seguito si riportano esempi, in modalità sia algebrica che RPN, di creazione delle restanti variabili suggerite in precedenza e precisamente: Θ Nome Contenuto Tipo α -0.25 reale A12 Q R z1 p1 3×105 ‘r/(m+r)' [3,2,1] 3+5i << → r 'π*r^2' >> reale algebrico vettore complesso Programma Modalità algebrica Utilizzare la seguente sequenza di tasti per memorizzare il valore 0.
z1: 3+5*„¥ K~„z1` (se necessario, accettare il passaggio alla modalità Complex) p1: ‚å‚é~„r³„ì* ~„rQ2™™™ K~„p1`. Il risultato è la seguente schermata: Nella parte inferiore della schermata sono visualizzate sei delle sette variabili disponibili: p1, z1, R, Q, A12, α. Θ Modalità RPN Utilizzare la seguente sequenza di tasti per memorizzare il valore 0.25 nella variabile!α: .25\`³~‚a`. Il risultato è la seguente schermata: Con -0.
z1: ³3+5*„¥ ³~„z1 K (se necessario, accettare il passaggio alla modalità Complex) p1: ‚å‚é~„r³„ì* ~„rQ2™™™ ³ ~„p1™` K. Il risultato è la seguente schermata: Nella parte inferiore della schermata sono visualizzate sei delle sette variabili disponibili: p1, z1, R, Q, A12, α. Verifica del contenuto delle variabili Per apprendere come visualizzare il contenuto delle variabili, utilizzare le sette variabili inserite nell'esercizio precedente.
Premendo il tasto funzione corrispondente a p1 viene visualizzato un messaggio di errore (premere L @@@p1@@ `): Nota: premendo @@@p1@@ ` si attiva (esegue) il programma p1 . Tuttavia, questo programma richiede un valore numerico. Provare il seguente esercizio: $@@@p1@ „Ü5`. Il risultato è: Il programma ha la seguente struttura: << → r 'π*r^2' >> I simboli « » indicano che il programma è scritto nel linguaggio User-RPL.
Per vedere il contenuto di A, utilizzare:!L @@@A@@@. Per eseguire il programma p1 con r = 5, premere: L5 @@@p1@@@. Si noti che per eseguire il programma in modalità RPN, è sufficiente inserire il valore (5) e premere il corrispondente tasto funzione. (in modalità algebrica, è necessario inserire le parentesi per immettere l'argomento).
Si noti che questa volta il contenuto del programma p1 è elencato a display. Per vedere le restanti variabili in questa directory, premere L: Elenco del contenuto di tutte le variabili visualizzate Premere la combinazione di tasti ‚˜ per elencare il contenuto di tutte le variabili nella schermata. Ad esempio: Premere $ per ritornare al display normale della calcolatrice.
shift sinistro seguito dal tasto funzione associato alla variabile. In modalità RPN, ad esempio, se si vuole modificare il contenuto della variabile z1 in ‘a+b⋅i ’, premere: ³~„a+~„b*„¥` L'espressione algebrica 'a+b·i'andrà a occupare il livello 1: nello stack.
Utilizzare il tasto freccia su — per selezionare la sottodirectory MANS e premere @@OK@@. Premendo ora „§, la schermata visualizzerà il contenuto della sottodirectory MANS (si noti che la variabile A è contenuta in questo elenco, come era prevedibile): Premere $ @INTRO@ ` (modalità algebrica) o $ @INTRO@ (modalità RPN) per tornare alla directory INTRO. Premere „¡@@OK@@ per visualizzare l'elenco di variabili in {HOME MANS INTRO}.
Premere ora il tasto cancella tre volte, per eliminare le ultime tre righe del display: ƒ ƒ ƒ. A questo punto, lo stack è pronto a eseguire il comando ANS(1) z1. Premere ` per eseguire questo comando. Premere quindi ‚@@z1@, per verificare il contenuto della variabile.
Copia di due o più variabili utilizzando lo stack in modalità RPN Il seguente esercizio mostra come copiare due o più variabili utilizzando lo stack con la calcolatrice in modalità RPN. Si supponga, nuovamente, di trovarsi all'interno la sottodirectory {HOME MANS INTRO} e di voler copiare le variabili R e Q nella sottodirectory {HOME MANS}.
La schermata mostra ora il nuovo ordine delle variabili: Modalità RPN In modalità RPN, l'elenco di variabili riordinate è visualizzato nello stack prima di applicare il comando ORDER.
Si noti che la variabile A12 non è più presente. Premendo ora „§, la schermata visualizzerà il contenuto della sottodirectory MANS, compresa la variabile A12: Nota: È possibile utilizzare lo stack per spostare una variabile combinando la funzione di copiatura di una variabile con quella di eliminazione. Le procedure di eliminazione delle variabili verranno presentate nella prossima sezione. Eliminazione di variabili Le variabili possono essere eliminate utilizzando la funzione PURGE.
comando PURGE per eliminare la variabile p1. Premere I @PURGE@ J@@p1@@ `. La schermata visualizza la variabile p1 eliminata: È possibile utilizzare il comando PURGE per eliminare più di una variabile, inserendone i nomi nell'argomento. Se, ad esempio, si vuole eliminare le variabili R e Q simultaneamente, procedere con il seguente esercizio.
tasto HIST: La funzione UNDO viene attivata dalla sequenza di tasti ‚¯, mentre CMD da „®. Per illustrare l'uso di UNDO, procedere con il seguente esercizio in modalità algebrica (ALG): 5*4/3`. Il comando UNDO (‚¯) ha come effetto quello di cancellare il risultato. Per lo stesso esercizio in modalità RPN, utilizzare la sequenza di tasti: 5`4`*3`/.
Come si può vedere, i numeri 3, 2 e 5, utilizzati nel primo calcolo presentato, sono elencati nel riquadro di selezione, così come il termine algebrico "SIN(5x2)", ma non la funzione SIN applicata in precedenza al termine algebrico. Flag Un flag è un valore Booleano che può essere impostato o cancellato (vero o falso), e che definisce una data impostazione della calcolatrice o un'opzione di un programma. I flag della calcolatrice sono identificati da numeri. Sono presenti 256 flag, numerati da -128 a 128.
Esempio di impostazione di un flag: soluzioni generali vs. valore principale Ad esempio, il valore predefinito del flag di sistema 01 è General solutions (Soluzioni generali). Questo significa che se un'equazione ha più soluzioni, la calcolatrice restituirà tutte le soluzioni, probabilmente sotto forma di elenco. Premendo il tasto funzione @ @CHK@@, è possibile modificare il flag di sistema 01 in Principal value.
Modalità RPN Impostare innanzitutto il flag 01 (su Principal Value). Premere @@OK@@ due volte per tornare al display normale della calcolatrice. Digitare quindi l'equazione quadratica come segue: ‚O~ „t Q2™+5*~ „t+6—— ‚Å0` ` (tenere una seconda copia nello stack in modalità RPN) ³~ „t` Utilizzare la seguente sequenza di tasti per inserire il comando QUAD: ‚N~q (utilizzare i tasti freccia su e giù, —˜, per selezionare il comando QUAD), premere @@OK@@.
03 Function → symb: 27 ‘X+Y*i’ → (X,Y): 60 [α][α] locks: Le funzioni non sono automaticamente valutate, ma vengono caricate come espressioni simboliche. I numeri complessi sono rappresentati come coppie ordinate La sequenza di tasti ~~ blocca la tastiera alfabetica Premere @@OK@@ due volte per tornare al display normale della calcolatrice. Riquadri di SELEZIONE vs. menu FUNZIONE In alcuni degli esercizi in questo capitolo il display era strutturato come elenco di comandi.
@@OK@@ attivare il comando ORDER È disponibile un modo alternativo per accedere a questi menu come tasti FUNZIONE, impostando il flag 117. Per impostare questo flag, procedere come segue: H @FLAGS! ——————— La schermata successiva mostra il flag 117 (CHOOSE boxes) non impostato: Premere il tasto funzione @ @CHK@@ per impostare il flag 117 su soft MENU (menu FUNZIONE). La seguente schermata mostra la modifica effettuata: Premere @@OK@@ due volte per tornare al display normale della calcolatrice.
Premere B per selezionare il menu funzione MEMORY (@@MEM@@). Viene visualizzata la seguente schermata: Premere E per selezionare il menu funzione DIRECTORY ()@@DIR@@) Il comando ORDER non è mostrato in questa schermata. Per trovare questo comando, premere il tasto L: Per attivare il comando ORDER, premere il tasto funzione C(@ORDER). Anche se non si applica a un esempio specifico, questo esercizio mostra le due opzioni disponibili per i menu della calcolatrice (riquadri di SELEZIONE e menu FUNZIONE).
Θ Menu HELP, attivato con I L @HELP Θ Menu CMDS (CoMmanDS) attivabile dall'interno dell'Equation Writer, premendo ‚O L @CMDS Pagina 2-70
Capitolo 3 Calcoli con numeri reali Il presente capitolo illustra l’utilizzo della calcolatrice per eseguire operazioni e funzioni relative ai numeri reali. Tali operazioni sono utili nella maggior parte dei calcoli relativi alle scienze fisiche e in ingegneria. L’utente dovrebbe familiarizzare con la tastiera per riconoscere alcune funzioni presenti sulla stessa, ad esempio SIN (seno), COS (coseno), TAN (tangente), ecc.
2. Sistema di coordinate (XYZ, R∠Z, R∠∠). ∠ rappresenta una coordinata angolare. XYZ: coordinate cartesiane (x,y,z) R∠Z: coordinate polari cilindriche (r,θ,z) R∠∠: coordinate sferiche (ρ,θ,φ) 3. Base numerica (HEX, DEC, OCT, BIN) HEX: esadecimale (base 16) DEC: decimale (base 10) OCT: ottale (base 8) BIN: binaria (base 2) 4. Numeri reali o complessi (R, C) R: numeri reali C: numeri complessi 5. Modalità Exact o Approx (=, ~) = modalità Exact (simbolica) ~ modalità Approx (numerica) 6.
Cambio di segno a un numero, a una variabile o a un’espressione Utilizzare il tasto \. In modalità ALG, premere \ prima di inserire il numero, ad esempio \2.5`. Come risultato si ottiene -2.5. In modalità RPN, inserire prima almeno una parte del numero, quindi premere il tasto \ , ad esempio 2.5\. Come risultato si ottiene -2.5. Utilizzando la funzione \ quando la riga di comando è vuota, la calcolatrice applicherà la funzione NEG (inversione di segno) all’oggetto contenuto nel primo livello dello stack.
In alternativa, in modalità RPN, è possibile separare gli operandi con uno spazio (#) prima di premere il tasto dell’operatore. Ad esempio: 3.7#5.2 + 6.3#8.5 4.2#2.5 * 2.3#4.5 / Utilizzo delle parentesi È possibile utilizzare le parentesi per raggruppare le operazioni e per racchiudere gli argomenti delle funzioni. Le parentesi si ottengono utilizzando la combinazione di tasti „Ü. Le parentesi sono inserite sempre in coppia. Ad esempio, per calcolare (5+3.2)/(7-2.2): In modalità ALG: „Ü5+3.2™/„Ü7-2.
Quadrati e radici quadrate La funzione SQ, quadrato, si ottiene premendo la combinazione di tasti: „º. Utilizzando lo stack in modalità ALG, inserire la funzione prima dell’argomento, ad esempio, „º\2.3` In modalità RPN, inserire prima il numero, poi la funzione, ad esempio 2.3\„º La funzione √, radice quadrata, si ottiene premendo il tasto R. Utilizzando lo stack in modalità ALG, inserire la funzione prima dell’argomento, ad esempio, R123.
Utilizzare l'elevamento a potenza per l’inserimento dati L'elevamento a potenza, ad esempio numeri in notazione -4.5´ 10-2, ecc., sono inseriti utilizzando il tasto V. Ad esempio, in modalità ALG: \4.5V\2` Oppure in modalità RPN: 4.5\V2\` Logaritmi naturali e funzione esponenziale Per calcolare i logaritmi naturali (ovvero i logaritmi in base e = 2.7182818282) si utilizza la combinazione di tasti ‚¹ (funzione LN), mentre per la funzione inversa (EXP, esponenziale) si utilizza la combinazione di tasti „¸.
misura angolare selezionata (DEG, RAD, GRD). Di seguito sono illustrati alcuni esempi: In modalità ALG: „¼0.25` „¾0.85` „À1.35` In modalità RPN: 0.25`„¼ 0.85`„¾ 1.35`„À È possibile combinare tutte le funzioni descritte sopra, ovvero, ABS, SQ,√,^, XROOT, LOG, ALOG, LN, EXP, SIN, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, con le operazioni fondamentali (+-*/) per formare espressioni più complesse.
Dato il grande numero di funzioni matematiche disponibili, il menu MTH è ordinato per tipo di oggetto al quale è possibile applicare la funzione. Ad esempio, le opzioni 1. VECTOR…, 2. MATRIX… e 3. LIST… si applicano a vettori, matrici ed elenchi e saranno approfondite nei capitoli seguenti. Le opzioni 4. HYPERBOLIC… e 5. REAL… si applicano ai numeri reali e saranno trattate nel presente capitolo. L'opzione 6. BASE… è utilizzata per convertire i numeri nelle diverse basi e sarà trattata in un altro capitolo.
Funzioni iperboliche e funzioni iperboliche inverse Selezionando l'opzione 4. HYPERBOLIC… , nel menu MTH e premendo @@OK@@, appare il menu funzioni iperboliche: Le funzioni iperboliche sono: Seno iperbolico, SINH, e il suo inverso, ASINH o sinh-1 Coseno iperbolico, COSH, e il suo inverso, ACOSH o cosh-1 Tangente iperbolica, TANH, e il suo inverso, ATANH o tanh-1 Il menu contiene anche le funzioni: EXPM(x) = exp(x) – 1, LNP1(x) = ln(x+1). Infine, l'opzione 9. MATH, riporta l’utente al menu MTH.
Il risultato sarà: Le operazioni illustrate sopra partono dal presupposto che l’utente utilizzi l’impostazione predefinita per il flag di sistema 117 (CHOOSE boxes).
Ad esempio, per calcolare tanh(2.5),in modalità ALG, utilizzando menu FUNZIONE (SOFT menus) invece di riquadri di selezione (CHOOSE boxes), utilizzare la seguente procedura: „´ Selezionare il menu MTH )@@HYP@ Selezionare il menu HYPERBOLIC… @@TANH@ Selezionare la funzione TANH 2.5` Eseguire tanh(2.5) In modalità RPN, lo stesso valore è calcolato in questo modo: 2.
La voce 19. MATH…, riporta l’utente al menu MTH. Le altre funzioni sono divise nei sei gruppi descritti in basso. Se il flag si sistema 117 è impostato su SOFT menus, il menu di funzioni REAL avrà questo aspetto (nell’illustrazione viene utilizzata la modalità ALG. In modalità RPN sono disponibili gli stessi tasti FUNZIONE): L’ultima voce, )@@MTH@, riporta l’utente al menu MTH.
Di seguito è illustrato il risultato: In modalità RPN, ricordare che l’argomento y viene posizionato al secondo livello dello stack, mentre l'argomento x viene posizionato al primo livello dello stack. Ciò significa che è necessario inserire prima l’argomento x e poi l’argomento y esattamente come in modalità ALG.
MOD non è una funzione, ma piuttosto un operatore. In modalità ALG, ad esempio, l'utilizzo di MOD è y MOD x, e non MOD(y,x). Pertanto, il funzionamento di MOD è simile al funzionamento di +, -, *, /. Come esercizio, verificare che 15 MOD 4 = 15 mod 4 = resto di 15/4 = 3 Valore assoluto, segno, mantissa, esponente, parte intera e parte frazionaria ABS(x) : calcola il valore assoluto, |x| SIGN(x) : determina il segno di x, ad esempio -1, 0, oppure 1.
GAMMA: Funzione Gamma Γ(α) PSI: Derivata ennesima della funzione digamma Psi: Funzione digamma, derivata di ln (Gamma) La funzione Gamma è definita da ∞ Γ(α ) = ∫ x α −1e − x dx . La funzione è 0 utilizzata in applicazioni matematiche, scientifiche e ingegneristiche, nel calcolo delle probabilità e in statistica. Fattoriale di un numero Il fattoriale di un intero positivo n è definito come n!=n ·(n-1)x(n-2) …3x2x1, con 0! = 1.
Di seguito vengono riportati alcuni esempi dell’utilizzo delle funzioni speciali con entrambe le modalità operative (ALG e RPN). Come esercizio, verificare che GAMMA(2.3) = 1.166711…, PSI(1.5,3) = 1.40909…, e Psi(1.5) = 3.64899739…E-2. Tali calcoli sono visualizzati nella seguente schermata: Costanti della calcolatrice Di seguito sono elencate le costanti utilizzate dalla calcolatrice: • e: base dei logaritmi naturali. • i: unità immaginaria, ii 2 = -1.
La selezione di una qualsiasi di queste opzioni inserirà nello stack il valore scelto, sia esso un simbolo (e, i, π, MINR, o MAXR) oppure un valore (2.71…, (0,1), 3.14…, 1E-499, 9.99…E499). Notare che e è disponibile in tastiera come exp(1), ad esempio, „¸1`, in modalità ALG , oppure 1` „¸, in modalità RPN. Anche è disponibile direttamente in tastiera come „ì. Infine, i è disponibile premendo „¥. Operazioni con le unità di misura È possibile associare unità di misura ai numeri della calcolatrice.
L’utente si ricorderà di tali unità di misura (alcune, come ad esempio la dina, oggigiorno non sono utilizzate molto spesso) dalle lezioni scolastiche di fisica: N = newton, dyn = dina, gf = grammo - forza (da distinguere dal grammomassa, o grammo, unità di massa), kip = chilo-poundal (1000 libbre), lbf = libbra-forza (da distinguere dalla libbra-massa), pdl = poundal. Per collegare un oggetto unità ad un numero, è necessario che il numero sia seguito da un carattere di sottolineatura.
Nota: utilizzare il tasto L o la sequenza di tasti „«per navigare tra i menu. Unità di misura disponibili Ecco una lista di unità di misura disponibili nel menu UNITS.
VELOCITÀ m/s (metri al secondo), cm/s (centimetri al secondo), ft/s (piedi al secondo), kph (chilometri orari), mph (miglia orarie), knot (nodo - miglia nautiche orarie), c (velocità della luce), ga (accelerazione di gravità ) MASSA kg (chilogrammo), g (grammo), Lb (libbra avoirdupois), oz (oncia), slug (slug), lbt (libbra Troy), ton (tonnellata USA – short ton), tonUK (tonnellata imperiale long ton), t (tonnellata metrica), ozt (oncia Troy), ct (carato), grain (grano), u (unità di massa atomica), mol (mole
ANGOLI (misure planari e di angoli solidi) o (grado sessagesimale), r (radiante), grad (grado), arcmin (minuto d’arco), arcs (secondo d’arco), sr (steradiante) LUCE (Misura della illuminazione) fc (footcandle ), flam (footlambert), lx (lux), ph (fot), sb (stilb), lm (lumen), cd (candela), lam (lambert) RADIAZIONE Gy (gray), rad (rad), rem (rem), Sv (sievert), Bq (becquerel), Ci (curie), R (roentgen) VISCOSITÀ P (poise), St (stokes) Unità di misura non in elenco Le unità di misura non elencate nel menu Units
In modalità ALG, con il flag di sistema 117 impostato su riquadri di SELEZIONE (CHOOSE boxes): ‚Û Selezionare il menu UNITS (UNITÀ) @@OK@@ Selezionare il menu TOOLS (STRUMENTI) ˜ @@OK@@ Selezionare la funzione UBASE 1 ‚Ý Inserire 1 e il carattere di sottolineatura ‚Û Selezionare il menu UNITS — @@OK@@ Selezionare l’opzione VISCOSITY (VISCOSITÀ) @@OK@@ Selezionare il menu UNITS ` Convertire le unità In questo modo si otterrà la schermata seguente (ad esempio, 1 poise = 0.
In modalità RPN, con il 1 ‚Û „« @)VISC @@@P@@ ‚Û )@TOOLS @UBASE flag di sistema 117 impostato su menu FUNZIONE: Inserire 1 (senza sottolineare) Selezionare il menu UNITS Selezionare l’opzione VISCOSITY Selezionare l’unità P (poise) Selezionare il menu UNITS Selezionare il menu TOOLS Selezionare la funzione UBASE Associazione di unità a numeri Per assegnare un oggetto unità a un numero, quest’ultimo deve essere seguito da un carattere di sottolineatura (‚Ý, tasto (8,5)).
Come indicato in precedenza, se il flag di sistema 117 è impostato su menu FUNZIONE, il menu UNITS verrà visualizzato sotto forma di etichette associate ai tasti funzione. Tale configurazione può risultare utile nell’esecuzione di operazioni complesse con le unità. A seguire, vengono riportate le sequenze di tasti necessarie per inserire le unità quando l'opzione menu FUNZIONE è selezionata, in entrambe le modalità ALG e RPN.
___________________________________________________ Prefisso Nome x Prefisso Nome x ___________________________________________________ Y yotta +24 d deci -1 Z zetta +21 c centi -2 E exa +18 m milli -3 μ micro -6 P peta +15 T tera +12 n nano -9 G giga +9 p pico -12 M mega +6 f femto -15 k,K kilo +3 a atto -18 h,H hecto +2 z zepto -21 D(*) deka +1 y yocto -24 ___________________________________________________ (*) Nel sistema SI, questo prefisso è da e non D.
che dà 65_(m·yd). Per tornare ad unità del sistema SI, utilizzare la funzione UBASE: Nota: ricordarsi che è possibile accedere alla variabile ANS(1) attraverso la combinazione di tasti „î (associata al tasto `).
Per eseguire calcoli con lo stack in modalità RPN, non è necessario racchiudere i diversi termini tra parentesi, ad esempio, 12_m ` 1.5_yd ` * 3250_mi ` 50_h ` / Queste operazioni danno il seguente risultato: Provare ad eseguire anche le seguenti operazioni: 5_m ` 3200_mm ` + 12_mm ` 1_cm^2 `* 2_s ` / Queste ultime due operazioni danno il seguente risultato: Nota: le unità non sono accettate nelle espressioni inserite con l’Equation Writer.
UFACT(x,y): UNIT(x,y): scompone in fattori un'unità y da un oggetto unità x combina il valore di x con le unità di y La funzione UBASE è stata descritta dettagliatamente in una sezione precedente del presente Capitolo. Per accedere a una di queste funzioni, fare riferimento agli esempi già riportati per la funzione UBASE. Come potrete notare, mentre la funzione UVAL necessita di un solo argomento, le funzioni CONVERT, UFACT e UNIT necessitano di due argomenti.
Esempi della funzione UNIT UNIT(25,1_m) ` UNIT(11.3,1_mph) ` Costanti fisiche della calcolatrice Dopo l’utilizzo delle unità, verranno ora presentate le costanti fisiche disponibili nella memoria della calcolatrice. Queste costanti fisiche sono contenute nella Constants Library (Libreria di costanti) attivata mediante il comando CONLIB.
I tasti funzione corrispondenti alla schermata CONSTANTS LIBRARY includono le seguenti funzioni: SI quando è selezionata, i valori delle costanti vengono mostrati in unità SI ENGL quando è selezionata, i valori delle costanti vengono mostrati in unità inglesi (*) UNIT quando è selezionata, i valori delle costanti vengono mostrati con le unità collegate (*) VALUE quando è selezionata, i valori delle costanti vengono mostrati senza unità STK copia il valore (con o senza unità) nello stack QUIT esce dalla lib
Per visualizzare i valori delle costanti nel sistema inglese (o imperiale), premere l’opzione @ENGL ENGL: Se si deseleziona l’opzione UNITS (premere @UNITS) vengono visualizzati solo i valori (in questo caso sono selezionate le unità inglesi): Per copiare il valore di Vm nello stack, selezionare il nome della variabile e premere ! , quindi premere @QUIT@. Impostando la calcolatrice su ALG, il display avrà il seguente aspetto: Il display mostra quello che viene chiamato tagged value, Vm:359.0394.
Funzioni speciali di fisica Il menu 117, attivato mediante MENU(117) in modalità ALG, o 117 ` MENU in modalità RPN, viene visualizzato come segue (etichette elencate nel display utilizzando ‚˜): La funzione comprende: ZFACTOR: funzione del fattore Z di compressibilità dei gas FANNING: fattore di attrito di Fanning per il flusso di fluidi DARCY: fattore di attrito Darcy-Weisbach per il flusso di fluidi F0λ: funzione del potere emissivo del corpo nero SIDENS: densità intrinseca del silicio TDELTA: funzione d
richiamata premendo ZFACTOR(xT, yP), dove xT è la temperatura ridotta, ovvero il rapporto tra la temperatura reale e la temperatura pseudocritica e yP è la pressione ridotta, ovvero il rapporto tra la pressione reale e la pressione pseudocritica. Il valore di xT deve essere compreso tra 1.05 e 3.0, mentre il valore di yP deve essere compreso tra 0 e 30.
Funzione TINC La funzione TINC(T0,ΔT) calcola T0+DT. Il funzionamento di questa funzione è simile a quello della funzione TDELTA nel senso che restituisce un risultato in unità di misura T0. In caso contrario, restituisce una semplice addizione di valori, ad esempio, Definizione e uso delle funzioni Gli utenti possono definire le proprie funzioni utilizzando il comando DEF disponibile mediante la sequenza di tasti „à (associata al tasto 2).
Premere il tasto J, si noterà che è presente una nuova variabile nel tasto funzione (@@@H@@). Per vedere il contenuto di questo variabile, premere ‚@@@H@@. Si otterrà il seguente risultato: Pertanto, la variabile H contiene un programma definito da: << x ‘LN(x+1) + EXP(x)’ >> Questo è un programma semplice nel linguaggio di programmazione predefinito della calcolatrice. Questo linguaggio di programmazione è chiamato UserRPL.
Il contenuto della variabile K è: << α β ‘α+β’ >>. Funzioni definite da più di un'espressione In questa sezione verrà esposto come trattare le funzioni che sono definite da due o più espressioni. Di seguito è riportato un esempio di tali funzioni: ⎧ 2 ⋅ x − 1, f (x) = ⎨ 2 ⎩ x − 1, x < 0⎫ ⎬ x > 0 ⎭ La funzione IFTE (IF-Then-Else) descrive tali funzioni. Funzione IFTE La funzione IFTE è scritta come IFTE(condizione, operazione_se_vero, operazione_se_falso).
Funzioni IFTE combinate Per programmare una funzione più complessa come ⎧ − x, x < −2 ⎪ x + 1, − 2 ≤ x < 0 ⎪ g ( x) = ⎨ ⎪ x − 1, 0 ≤ x < 2 ⎪⎩ x2 , x ≥ 2 è possibile combinare più livelli della funzione IFTE, ad esempio, ‘g(x) = IFTE(x<-2, -x, IFTE(x<0, x+1, IFTE(x<2, x-1, x^2)))’, Definire questa funzione con uno qualsiasi dei metodi precedentemente esposti e verificare che g(-3) = 3, g(-1) = 0, g(1) = 0, g(3) = 9.
Capitolo 4 Calcoli con numeri complessi Questo Capitolo tratta esempi di calcoli e di applicazioni delle funzioni ai numeri complessi. Definizioni Un numero complesso è scritto come z = x + iy, dove x e y sono numeri reali e i è l'unità immaginaria definita da i2 = -1. Il numero complesso x+iy ha una parte reale, x = Re(z), e una parte immaginaria, y = Im(z).
Premere @@OK@@, due volte, per tornare allo stack. Inserimento di numeri complessi È possibile inserire i numeri complessi nella calcolatrice in una delle due rappresentazioni cartesiane, ossia x+iy o (x,y). Il risultato verrà visualizzato nella calcolatrice sotto forma di coppia ordinata, ossia, (x,y). Ad esempio, con la calcolatrice in modalità ALG, il numero complesso (3.5,-1.2), è inserito come: „Ü3.5‚í\1.2` Un numero complesso può inoltre essere inserito nella forma x+iy.
Si noti che l'ultima opzione mostra un numero complesso nella forma x+iy. Questo in quanto il numero è stato inserito tra virgolette singole, notazione che rappresenta un'espressione algebrica. Per valutare questo numero, utilizzare il tasto EVAL (μ). Una volta valutata l'espressione algebrica, tornare al numero complesso (3.5,1.2). Rappresentazione polare di numero complesso Il risultato mostrato in precedenza rappresenta una rappresentazione cartesiana (rettangolare) del numero complesso 3.5-1.2i.
D'altra parte, se il sistema di coordinate è impostato su coordinate cilindriche, (utilizzare CYLIN) l'inserimento di un numero complesso (x,y), dove x e y sono numeri reali, avrà come risultato una rappresentazione polare. Ad esempio, con coordinate cilindriche, inserire il numero (3.,2.).
Cambio di segno di un numero complesso Per cambiare di segno a un numero complesso è possibile utilizzare il tasto \, ad esempio, -(5-3i) = -5 + 3i Inserimento dell'unità immaginaria Per inserire il tipo di numero unità immaginaria: „¥ Si noti che il numero i è inserito come una coppia ordinata (0,1) se il CAS è impostato su APPROX. In modalità EXACT, l'unità immaginaria è inserita come i.
Il primo menu (opzioni dalla 1 alla 6) mostra le seguenti funzioni: RE(z) : Parte reale di numero complesso IM(z) : Parte immaginaria di numero complesso C→R(z) : Prende un numero complesso (x,y) e lo separa nelle sue parti reale e immaginaria R→C(x,y) : Forma il numero complesso (x,y) a partire dai numeri reali x e y ABS(z) : Calcola il modulo di un numero complesso o il valore assoluto di un numero reale. ARG(z) : Calcola l'argomento di un numero complesso.
Questa prima schermata mostra le funzioni RE, IM e C R. Si noti che l'ultima funzione restituisce un elenco {3. 5.} che rappresenta le componenti reale e immaginaria del numero complesso: La seguente schermata mostra le funzioni R C, ABS e ARG. Si noti che la funzione ABS restituisce |3.+5.·i|, la notazione del valore assoluto. Il risultato della funzione ARG, che rappresenta un angolo, sarà riportato nell'unità di misura angolare attualmente selezionata. In questo esempio, ARG(3.+5.·i) = 1.
Il menu così ottenuto comprende alcune delle funzioni già presentate alla sezione precedente e precisamente ARG, ABS, CONJ, IM, NEG, RE e SIGN. Comprende inoltre la funzione i che produce lo stesso risultato della combinazione di tasti „¥, ovvero, l'inserimento dell'unità immaginaria i in un'espressione. Il menu CMPLX richiamabile mediante tastiera è un'alternativa al menu CMPLX disponibile all'interno del menu MTH, contenente le funzioni di base legate ai numeri complessi.
Nota: quando si utilizzano le funzioni trigonometriche e i rispettivi inversi con i numeri complessi, gli argomenti non sono più angoli. La misura angolare selezionata nella calcolatrice non influisce pertanto sul calcolo di queste funzioni con argomenti complessi. Per comprendere il modo in cui le funzioni trigonometriche e le altre funzioni sono definite per i numeri complessi, consultare un testo sulle variabili complesse.
La funzione DROITE è accessibile tramite il comando Catalog (‚N).
Capitolo 5 Operazioni algebriche e aritmetiche Per oggetto algebrico si intende qualsiasi numero, nome di variabile o espressione algebrica che possa essere manipolata, combinata o sulla quale sia possibile eseguire operazioni in base alle regole dell'algebra. Di seguito sono presentati alcuni esempi di oggetti algebrici: • Un numero: 12.3, 15.2_m, ‘π’, ‘e’, ‘i’ • Un nome di variabile: ‘a’, ‘ux’, ‘width’, etc. • Un'espressione: ‘p*D^2/4’,’f*(L/D)*(V^2/(2*g))’ • Un'equazione: ‘Q=(Cu/n)*A(y)*R(y)^(2/3)*So^0.
funzioni standard (esponenziale, logaritmica, trigonometrica, iperbolica, ecc.) come qualsiasi numero reale o complesso. Per illustrare le operazioni di base con gli oggetti algebrici, creare una coppia di oggetti, ad esempio 'π*R^2' and 'g*t^2/4', e memorizzarla nelle variabili A1 e A2 (vedere il Capitolo 2 per informazioni su come creare le variabili e memorizzare in esse i valori).
‚¹@@A1@@ „¸@@A2@@ Gli stessi risultati si ottengono in modalità RPN utilizzando la seguente sequenza di tasti: @@A1@@ @@A2@@ + μ @@A1@@ @@A2@@ - μ @@A1@@ @@A2@@ *μ @@A1@@ @@A2@@ /μ @@A1@@ ! ‚¹μ @@A2@@ !„¸μ Funzioni nel menu ALG Il menu ALG (Algebrico) è richiamato dalla sequenza di tasti ‚× (in combinazione con il tasto 4).
Si noti che, nella parte inferiore della schermata, la riga See: EXPAND FACTOR suggerisce dei collegamenti ad altri argomenti della guida Help, le funzioni EXPAND e FACTOR. Per spostarsi direttamente su queste voci, premere il tasto funzione @SEE1! per EXPAND, e @SEE2! per FACTOR.
FACTOR: LNCOLLECT: LIN: PARTFRAC: SOLVE: SUBST: TEXPAND: Nota: si ricorda che per usare queste o qualsiasi altra funzione in modalità RPN, è necessario inserire prima l'argomento e poi la funzione. Ad esempio, l'esempio presentato per TEXPAND in modalità RPN verrà impostato come segue: ³„¸+~x+~y` A questo punto, selezionare la funzione TEXPAND dal menu ALG (o direttamente da Catalog ‚N), per completare l'operazione.
Altre forme di sostituzione in espressioni algebriche La funzione SUBST, mostrata in precedenza, è usata per sostituire una variabile in un'espressione. Una seconda forma di sostituzione può essere ottenuta utilizzando ‚¦ (associato al tasto). Ad esempio, in modalità ALG, la seguente voce sostituirà il valore x = 2 nell'espressione x+x2. La figura a sinistra mostra come inserire l'espressione (il valore sostituito, x=2, deve essere tra parentesi) prima di premere `.
Un approccio diverso alla sostituzione consiste nel definire le espressioni da usare per la sostituzione nella calcolatrice e posizionare il nome delle variabili nell'espressione originale. Ad esempio, in modalità ALG, memorizzare le seguenti variabili: Quindi, inserire l'espressione A+B: L'ultima espressione inserita viene automaticamente valutata dopo la pressione del tasto `, producendo il risultato mostrato in precedenza.
Informazioni ed esempi relativi a questi comandi sono disponibili nell'opzione Help della calcolatrice. Alcuni dei comandi elencati nel menu EXP&LN, quali LIN, LNCOLLECT e TEXPAND sono anche contenuti nel menu ALG presentato in precedenza. Le funzioni LNP1 e EXPM sono state presentate nel menu HYPERBOLIC, all'interno del menu MTH (vedere il Capitolo 2). La sola funzione restante è EXPLN.
Funzioni del menu ARITHMETIC Il menu ARITHMETIC contiene diversi sottomenu per applicazioni specifiche nella teoria dei numeri (numeri interi, polinomi, ecc.), nonché varie funzioni applicabili alle operazioni di aritmetica generale. Il menu ARITHMETIC è attivato mediante la combinazione di tasti „Þ (associata al tasto 1).
LGCD (Massimo comune denominatore):PROPFRAC (Frazione propria) SIMP2: Le funzioni associate ai sottomenu ARITHMETIC: INTEGER, POLYNOMIAL, MODULO e PERMUTATION sono le seguenti: Menu INTEGER EULER IABCUV IBERNOULLI ICHINREM IDIV2 IEGCD IQUOT IREMAINDER ISPRIME? NEXTPRIME PA2B2 PREVPRIME Numero di interi < n, coprimi con n Risolve au + bv = c, con a,b,c = interi n-esimo numero di Bernoulli Teorema cinese del resto per i numeri interi Divisione euclidea di due numeri interi Restituisce u,v, tale che au + b
FACTOR FCOEF FROOTS GCD HERMITE HORNER LAGRANGE LCM LEGENDRE PARTFRAC PCOEF PTAYL QUOT RESULTANT REMAINDER STURM STURMAB Fattorizza un numero intero o un polinomio Genera una frazione date le radici e la molteplicità Restituisce le radici e la molteplicità data una frazione Massimo comune divisore di 2 numeri o polinomi Polinomio di Hermite di grado n Metodo di Horner per la valutazione di un polinomio Interpolazione polinomiale di Lagrange Minimo comune multiplo di 2 numeri o polinomi Polinomio di Legendr
Applicazioni del menu ARITHMETIC Questa sezione presenta alcuni elementi di base necessari per l'applicazione delle funzioni del menu ARITHMETIC (ARITMETICA). Segue la presentazione delle definizioni relative a polinomi, frazioni polinomiali e aritmetica modulare.
risultato della moltiplicazione di j per k nell'aritmetica modulo n è, in sostanza, il resto intero di j·k/n in aritmetica infinita, se j·k>n. Nell'aritmetica modulo 12, ad esempio, dati 7·3 = 21 = 12 + 9, (oppure 7·3/12 = 21/12 = 1 + 9/12, per cui il resto intero di 21/12 è 9). Ora è possibile scrivere 7·3 ≡ 9 (mod 12) e leggere l'ultimo risultato come "sette per tre congruo nove, modulo dodici".
Si noti che ogni volta che un risultato a destra del simbolo di "congruenza" è maggiore del modulo (in questo caso n = 6), è sempre possibile sottrarre dal risultato un multiplo del modulo e semplificarlo in un numero inferiore al modulo. Nel primo caso, perciò, il risultato 8 (mod 6) può essere semplificato in 2 (mod 6), mentre il risultato del terzo caso, 15 (mod 6), può essere semplificato in 3 (mod 6). Complicato? No, se si usa la calcolatrice.
modulare.
come 66, 125, 17 ecc. La calcolatrice li converte in numeri appartenenti all'anello prima di procedere con il calcolo. La funzione EXPANDMOD consente di convertire qualsiasi numero in un numero appartenente all'anello. Ad esempio: EXPANDMOD(125) ≡ 5 (mod 12) EXPANDMOD(17) ≡ 5 (mod 12) EXPANDMOD(6) ≡ 6 (mod 12) Inverso di un numero in aritmetica modulare Dato un numero k appartenente a un anello finito modulo n, l'inverso di k, ovvero 1/k (mod n), è un numero j tale che j·k ≡1 (mod n).
Nota: per una descrizione e altri esempi di aritmetica modulare, fare riferimento alla guida della calcolatrice. Molte di queste funzioni possono essere applicate ai polinomi. Per informazioni sull'aritmetica modulare con i polinomi, consultare un manuale sulla teoria dei numeri. Polinomi I polinomi sono espressioni algebriche formate da uno o più termini e contenenti potenze decrescenti di una variabile data.
essere utilizzato con i polinomi e con i numeri interi (funzione ICHINREM). I dati da inserire sono due vettori [espressione_1, modulo_1] e [espressione_2, modulo_2]. Il risultato è un vettore che contiene [espressione_3, modulo_3] in cui modulo_3 è correlato al prodotto (modulo_1)·(modulo_2).
Una definizione alternativa dei polinomi di Hermite è H 0 * = 1, H n * ( x) = (−1) n e x 2 d n − x2 (e ), n = 1,2,... dx n dove dn/dxn = derivata n-esima in x. Questa è la definizione utilizzata nella calcolatrice. Esempi: I polinomi di Hermite di grado 3 e 5 sono dati da: HERMITE(3) = ‘8*X^3-12*X’, E HERMITE(5) = ‘32*x^5-160*X^3+120*X’. Funzione HORNER La funzione HORNER applica lo schema di Horner, ovvero la divisione sintetica, di un polinomio P(X) per il fattore (X-a).
n n pn −1 ( x) = ∑ j =1 ∏(x − x ) k k =1, k ≠ j n ∏(x k =1, k ≠ j j − xk ) ⋅ y j. Ad esempio, per n = 2 si scriverà: p1 ( x) = ( y − y2 ) ⋅ x + ( y2 ⋅ x1 − y1 ⋅ x2 ) x − x1 x − x2 ⋅ y1 + ⋅ y2 = 1 x1 − x2 x2 − x1 x1 − x2 Utilizzare la calcolatrice per verificare questo risultato: LAGRANGE([[ x1,x2],[y1,y2]]) = ‘((y1-y2)*X+(y2*x1-y1*x2))/(x1-x2)’. Altri esempi: LAGRANGE([[1, 2, 3][2, 8, 15]]) = ‘(X^2+9*X-6)/2’ LAGRANGE([[0.5,1.5,2.5,3.5,4.5][12.2,13.5,19.2,27.3,32.5]]) = ‘-(.1375*X^4+ -.
Funzione PCOEF Dato un array con le radici di un polinomio, la funzione PCOEF genera un array con i coefficienti del polinomio corrispondente. I coefficienti corrispondono al valore, in ordine decrescente, della variabile indipendente. Ad esempio: PCOEF([-2,-1,0,1,1,2]) = [1. -1. -5. 5. 4. -4. 0.] che rappresenta il polinomio X6 -X5-5X4+5X3+4X2-4X. Funzione PROOT Dato un array con i coefficienti di un polinomio, disposti in ordine decrescente, la funzione PROOT genera le radici del polinomio.
Nota: quest'ultimo risultato può essere ottenuto utilizzando PROPFRAC: PROPFRAC(‘(X^3-2*X+2)/(X-1)’) = ‘X^2+X-1 + 1/(X-1)’. Funzione EPSX0 e variabile CAS EPS Nei libri di testo di matematica, la variabile ε (epsilon) viene di solito utilizzata per rappresentare un numero molto piccolo. La funzione CAS della calcolatrice crea una variabile EPS che quando si utilizza la funzione EPSX0 assume il valore predefinito di 0.0000000001 = 10 -10.
Frazioni Le frazioni possono essere sviluppate e scomposte in fattori primi utilizzando le funzioni EXPAND (ESPANDI) e FACTOR (FATTORE) dal menu ALG (‚x).
Se è attiva la modalità Complex (Complessa), si avrà il risultato: ‘2*X+(1/2/(X+i)+1/2/(X-2)+5/(X-5)+1/2/X+1/2/(X-i))’ Funzione FCOEF La funzione FCOEF consente di ottenere una frazione razionale a partire dalle radici e dai poli della frazione. Nota: se una frazione razionale è espressa come F(X) = N(X)/D(X), le radici della frazione vengono calcolate risolvendo l'equazione N(X) = 0, mentre i poli vengono calcolati risolvendo l'equazione D(X) = 0.
Operazioni passo per passo con polinomi e frazioni Se s'impostano le modalità CAS su Step/Step (Passo per passo), la calcolatrice visualizza le semplificazioni delle frazioni o le operazioni con i polinomi mediante delle procedure passo per passo. Si tratta di una opzione molto utile per conoscere i vari passi di una divisione sintetica. L'esempio della divisione X 3 − 5X 2 + 3X − 2 X −2 è illustrato in dettaglio nell'Appendice C.
Menu CONVERT e operazioni algebriche Il menu CONVERT (Conversione) viene attivato utilizzando il tasto „Ú (il tasto 6). Questo menu riepiloga tutti i menu di conversione della calcolatrice. Di seguito è mostrato l'elenco di tali menu: Seguono le funzioni disponibili in ciascuno dei sottomenu. Menu di conversione UNITS (Opzione 1) Questo menu è uguale al menu UNITS (Unità) accessibile tramite ‚Û. Le applicazioni di questo menu sono discusse in dettaglio nel Capitolo 3.
La spiegazione dettagliata delle funzioni è riportata al Capitolo 10. Menu conversione REWRITE (Riscrivi) (Opzione 4) Questo menu contiene le seguenti funzioni: Le funzioni I R e R I sono utilizzate per la conversione di un numero intero (I) in numero reale (R) o viceversa.
Fra le funzioni del menu REWRITE, le funzioni DISTRIB, EXPLN, EXP2POW, FDISTRIB, LIN, LNCOLLECT, POWEREXPAND e SIMPLIFY si applicano a espressioni algebriche. Molte di queste funzioni sono spiegate nel presente Capitolo. Tuttavia, per completezza, verranno esposte in questa sede le voci della guida relative a tali funzioni.
POWEREXPAND SIMPLIFY Pagina 5-29
Capitolo 6 Soluzione di singole equazioni Nel presente capitolo verranno presentate le funzioni offerte dalla calcolatrice per la soluzione della formula f(X) = 0. Al tasto 7 sono associati due menu di funzioni per la soluzione delle equazioni, ossia il risolutore simbolico (Symbolic SOLVer, „Î) e il risolutore numerico (NUMerical SoLVer, ‚Ï). Nei paragrafi seguenti verranno presentate alcune delle funzioni contenute in questi menu.
Utilizzando la modalità RPN, si ottiene la soluzione inserendo l'equazione nello stack, seguita dalla variabile, prima di avviare la funzione ISOL. Subito prima di eseguire la funzione ISOL, lo stack RPN deve apparire come mostrato nella figura a sinistra. Dopo aver applicato la funzione ISOL, il risultato compare nella figura a destra: Il primo argomento di ISOL può essere un'espressione, come mostrato sopra, o un'equazione.
Gli esempi seguenti mostrano l'utilizzo della funzione SOLVE nelle modalità ALG e RPN: La schermata precedente mostra due soluzioni. Nella prima, β4 -5β =125, la funzione SOLVE non fornisce alcuna soluzione { }. Nella seconda, β4 - 5β = 6, la funzione SOLVE fornisce quattro soluzioni, visualizzate nell'ultima riga del display. L'ultima soluzione non risulta visibile in quanto il risultato occupa un numero di caratteri maggiore della larghezza del display della calcolatrice.
Nel primo caso, la funzione SOLVEVX non ha trovato soluzioni. Nel secondo caso, la funzione SOLVEVX ha trovato un'unica soluzione, X = 2. Le seguenti schermate mostrano lo stack RPN per la soluzione dei due esempi precedenti (prima e dopo l'applicazione della funzione SOLVEVX): L'equazione utilizzata come argomento della funzione SOLVEVX deve essere riducibile a un'espressione razionale.
Le funzioni del menu "Symbolic Solver" precedentemente descritte forniscono le soluzioni di equazioni razionali (soprattutto di equazioni polinomiali). Se l'equazione da risolvere presenta esclusivamente coefficienti numerici, è possibile trovare una soluzione di tipo numerico utilizzando le funzioni del risolutore numerico offerte dalla calcolatrice. Menu del risolutore numerico La calcolatrice offre un ambiente molto potente per la soluzione di singole equazione algebriche o trascendenti.
Note: 1. Ogni volta che si risolve un'equazione per un valore con le applicazioni NUM.SLV, il valore che risolve l'equazione viene posizionato nello stack. In questo modo, il valore può essere comodamente utilizzato per operazioni successive. 2. A ogni attivazione delle applicazioni del menu NUM.SLV verranno create una o più variabili.
Per vedere tutte le soluzioni, premere il tasto freccia giù (˜) per aprire il Line Editor: Tutte le soluzioni sono numeri complessi: (0.432,-0.389), (0.432,0.389), (0.766, 0.632), (-0.766, -0.632). Nota: si ricorda che i numeri complessi sono rappresentati dalla calcolatrice sotto forma di coppie ordinate, il cui primo numero costituisce la parte reale e il secondo numero la parte immaginaria. Ad esempio, il numero (0.432,0.389), ossia un numero complesso, verrà normalmente scritto come 0.432 0.
Premere ˜ per aprire il Line Editor e visualizzare tutti i coefficienti. Nota: se si desidera ottenere un polinomio a coefficienti reali ma con radici complesse, è necessario includere le radici complesse a coppie di numeri coniugati. Ad esempio, generare un polinomio con radici [1 (1,2) (1,- 2)]. Verificare che il polinomio risultante presenti solo coefficienti reali. Inoltre, provare a generare un polinomio con radici [1 (1,2) (-1,2)] e verificare che il polinomio risultante abbia coefficienti complessi.
Per sviluppare i prodotti, è possibile utilizzare il comando EXPAND. L'espressione risultante è: 'X^4+-3*X^3+ -3*X^2+11*X-6'. Un approccio differente per ottenere un'espressione del polinomio consiste nel generare prima i coefficienti e successivamente l'espressione algebrica evidenziando i coefficienti. Ad esempio, in questo caso, provare la seguente procedura: ‚Ϙ˜@@OK@@ Selezionare Solve Poly...
Esempio 1 – Calcolo della rata su un prestito Se il prestito è di $2 milioni al tasso di interesse annuo del 6.5% da restituire in 60 rate mensili, a quanto ammonta la rata mensile? Per ripagare il debito interamente in 60 mesi, il valore futuro del prestito dovrebbe essere pari a zero. Quindi, per utilizzare la funzione di calcolo finanziario offerta dalla calcolatrice, useremo i seguenti valori: n = 60, I%YR = 6.5, PV = 2000000, FV = 0, P/YR = 12.
della schermata di ammortamento, ossia 24 @@OK@@. Quindi premere @@AMOR@@. Il risultato ottenuto sarà: Questa schermata significa che, dopo 24 mesi di restituzione del debito, il debitore ha pagato US $ 723,211.43 della somma principale presa a prestito e US $ 215,963.68 di interessi. Il debitore deve ancora pagare un saldo di US $1,276,788.57 nei prossimi 36 mesi. Provare a vedere cosa succede sostituendo il valore di Payments: con 60 nella schermata di ammortamento e premendo poi @@OK@@ @@AMOR@@.
˜ Saltare PMT, in quanto è il valore che desideriamo 0 @@OK@@ Inserire FV = 0, l'opzione End viene evidenziata @@CHOOS !—@@OK@@ Portare l'opzione di pagamento su Begin — š @@SOLVE! Evidenziare PMT e risolvere trovare Ora il display mostra il valore PMT come -38.921,47, ossia il debitore deve pagare al creditore US $ 38.921,48 all'inizio di ogni mese per i prossimi 60 mesi per restituire l'intera somma.
™ ‚í ³ ‚@@PMT@@ ™ ‚í ³ ‚@@PYR@@ ™ ‚í ³ ‚@@FV@@. ` Inserire una virgola Inserire il nome della variabile PMT Inserire una virgola Inserire il nome della variabile PYR Inserire una virgola Inserire il nome della variabile FV Eseguire il comando PURGE Le due schermate seguenti mostrano il comando PURGE utilizzato per eliminare tutte le variabili nella directory e il risultato dell'esecuzione del comando.
K~e~q` Funzione STEQ La funzione STEQ, disponibile attraverso il comando Catalog, ‚N, memorizza l'argomento nella variabile EQ, vale a dire, in modalità ALG: In modalità RPN, mettere l'equazione tra apostrofi e attivare il comando STEQ. In questo modo, la funzione STEQ può essere utilizzata come un tasto di scelta rapida per memorizzare un'espressione nella variabile EQ.
Questa, tuttavia, non è l'unica soluzione possibile per tale equazione. Per ottenere una soluzione negativa, ad esempio, inserire un numero negativo nel campo X: prima di risolvere l'equazione. Provare 3\@@@OK@@˜@SOLVE@. La soluzione ora è X: - 3.045. Risoluzione delle equazioni con Equation Solve... Il risolutore numerico per le equazioni con una sola incognita funziona nel modo seguente: Θ Consente all'utente di inserire o di utilizzare @CHOOS per risolvere l'equazione.
L'equazione è exx = 1 [σ xx − n ⋅ (σ yy + σ zz )] + α ⋅ ΔT , dove exx è la E deformazione unitaria nella direzione x, σxx, σyy, e σzz' sono le normali sollecitazioni (sforzi) applicate alla particella nelle direzioni degli assi x-, y- e z, E è il modulo di Young o il modulo di elasticità del materiale, n è il rapporto di Poisson del materiale, α è il coefficiente di espansione termica del materiale e ΔT è un incremento di temperatura.
Con il campo ex: evidenziato, premere @SOLVE@ per calcolare ex: La soluzione può essere visualizzata nel modulo di input SOLVE EQUATION premendo @EDIT mentre il campo ex: è evidenziato. Il valore ottenuto è 2.470833333333E-3. Premere @@@OK@@ per uscire dalla funzione EDIT (Modifica). Si supponga di voler determinare ora il modulo di Young che produce una deformazione di exx = 0.005 con lo stesso sforzo, senza considerare l'espansione termica. In questo caso, immettere un valore di 0.
L'energia specifica in un canale aperto è definita come l'energia per unità di peso misurata in rapporto al fondo del canale. Sia E = energia specifica, y = profondità di canale, V = velocità di flusso, g = accelerazione di gravità, la formula sarà la seguente: V2 . E = y+ 2g La velocità di flusso, a sua volta, è data da V = Q/A, dove Q = portata, A = superficie della sezione trasversale.
Θ Inserire i seguenti dati: E = 10 ft, Q = 10 cfs (piede cubico per secondo), b = 2.5 ft, m = 1.0, g = 32.2 ft/s2: Θ Calcolare y. Θ Il risultato è 0.149836…, vale a dire, y = 0.149836. È noto, tuttavia, che in realtà sono possibili due soluzioni per y nell'equazione dell'energia specifica. La soluzione trovata corrisponde a una soluzione numerica con un valore iniziale di 0 (il valore predefinito per y, infatti ogni qual volta il campo della soluzione è vuoto, il valore iniziale è zero).
Nell'esempio successivo verrà utilizzata la funzione DARCY per cercare i fattori di attrito nei tubi. Pertanto, verrà definita la funzione nella seguente forma. Funzione speciale per la portata di tubi: DARCY (ε/D,Re) L'equazione Darcy-Weisbach viene utilizzata per calcolare la perdita di energia (per unità di peso), hf, nella portata di un tubo con un diametro D, scabrezza assoluta e lunghezza L, quando la velocità del flusso nel tubo è V. L'equazione viene scritta nel seguente modo h f = f ⋅ L V2 ⋅ .
Esempio 3 - Flusso in un tubo Ai fini di questo esempio, creare una sottodirectory separata (PIPES).! L'equazione principale che regola il flusso in un tubo è, naturalmente, l'equazione di Darcy-Weisbach.
QD ⎞ ⎛ ⎜ 8Q L ε πD 2 / 4 ⎟⎟ ⎜ h f = 2 5 ⋅ DARCY , ⎜D Nu ⎟ π gD ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 L'equazione combinata presenta le variabili primitive: hf, Q, L, g, D, ε, e Nu. Aprire il risolutore numerico (‚Ï@@OK@@) per vedere le variabili primitive elencate nel modulo di input SOLVE EQUATION: Dati i valori hf = 2 m, = 0.00001 m, Q = 0.05 m3/s, Nu = 0.000001 m2/s, L = 20 m e g = 9.806 m/s2, trovare il diametro D. Immettere i valori e calcolare D. La soluzione è: 0.12, ovvero, D = 0.12 m.
La legge di gravitazione universale di Newton indica che la misura della forza di attrazione tra due corpi aventi massa m1 e m2 separati da una distanza r è data dall’equazione F =G⋅ M1 ⋅ M 2 .
Risolvere per F e premere per tornare alla visualizzazione normale. La soluzione è F: 6.67259E-15_N o F = 6.67259x10-15 N. Nota: se si utilizzano le unità di misura nel risolutore numerico, assicurarsi che tutte le variabili abbiano le unità corrette, che esse siano compatibili e che l’equazione sia dimensionalmente omogenea.
Digitare un’equazione, ad es. X^2 - 125 = 0, direttamente sullo stack e premere @@@OK@@@. A questo punto l’equazione è pronta per essere risolta. In alternativa, è possibile attivare l'Equation Writer dopo aver premendo @EDIT per immettere l’equazione. Premere ` per tornare alla schermata del risolutore numerico. Un altro modo per inserire un’equazione nella variabile EQ è selezionare una variabile già presente nella directory e inserirla in EQ.
Menu funzione SOLVE Il menu funzione SOLVE (Risolvi) permette di accedere ad alcune funzioni del risolutore numerico usando i tasti funzione. Per accedere a questo menu usare: 74 MENU se in modalità RPN, oppure: MENU(74) se in modalità ALG. In alternativa si può utilizzare ‚ (tenere premuto) 7 per attivare il menu funzione SOLVE.
Variabile EQ Il tasto funzione @@EQ@@ in questo sottomenu è usato come riferimento per la variabile EQ. Premere questo tasto funzione equivale a usare la funzione RCEQ (ReCall EQ). Sottomenu SOLVR Il sottomenu SOLVR (Risolutore) attiva il risolutore per l’equazione memorizzata in EQ.
Quando si assegnano valori numerici alle variabili Q, a e b, questi vengono visualizzati nell’angolo superiore sinistro del display. A questo punto è possibile risolvere per t usando „[ t ]. Il risultato è t: 2. Premendo @EXPR= si visualizzano i risultati: Esempio 3 – Risoluzione di due equazioni simultanee, una dopo l’altra È possibile inoltre risolvere più equazioni risolvendo un’equazione alla volta e ripetendo il procedimento fino a trovare la soluzione.
Dopo aver risolto singolarmente le due equazioni, si noti che, fino al terzo decimale, X converge su un valore di 7.500 mentre Y converge su un valore di 0.799. Utilizzo delle unità di misura con il sottomenu SOLVR Per utilizzare le unità di misura con il sottomenu SOLVR è necessario rispettare alcune regole: Θ Se si inserisce un valore di tentativo con unità di misura per una variabile nota, tali unità saranno utilizzate nella soluzione.
Funzione PROOT Questa funzione serve per trovare le radici di un polinomio dato un vettore contenente coefficienti polinomiali in ordine decrescente delle potenze della variabile indipendente. In altre parole, se il polinomio è anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0, il vettore di coefficienti deve essere inserito come [an, an-1, … , a2, a1 , a0]. Ad esempio, le radici di un polinomio i cui coefficienti sono [1, 5, 6] sono [2, 3].
Il sottomenu SOLVR, accessibile mediante il sottomenu TVM, apre il risolutore per problemi TVM. Premendo ad esempio @)SOLVR a questo punto, si aprirà la seguente schermata: A titolo di esercizio, usare i valori n = 10, I%YR = 5.6, PV = 10000 e FV = 0 e digitare „ [ PMT ] per trovare PMT = -1021.08…. Premendo L verrà visualizzata la seguente schermata: Premere J per uscire dall'ambiente SOLVR. Tornare al sottomenu TVM nel sottomenu SOLVE per provare le altre funzioni disponibili.
Capitolo 7 Risoluzione di equazioni multiple Molti problemi di scienze o di ingegneria richiedono la risoluzione simultanea di più di un’equazione. La calcolatrice propone varie procedure per risolvere equazioni multiple che verranno illustrate in seguito. Come si noterà, nel presente capitolo non verranno discusse le modalità per risolvere sistemi di equazioni lineari.
A questo punto, utilizzare il comando SOLVE (dal menu S.SLV: „Î). Dopo circa 40 secondi o più, si otterrà il seguente elenco: { ‘t = (x-x0)/(COS(θ0)*v0)’ ‘y0 = (2*COS(θ0)^2*v0^2*y+(g*x^2(2*x0*g+2*SIN(θ0))*COS(θ0)*v0^2)*x+ (x0^2*g+2*SIN(θ0)*COS(θ0)*v0^2*x0)))/(2*COS(θ0)^2*v0^2)’]} Premere μ per rimuovere il vettore dall’elenco, quindi utilizzare il commando OBJ per avere le equazioni elencate separatamente nello stack.
scrivere le due equazioni in un secondo momento, sarà sufficiente richiamare il contenuto di T1 e T2 nello stack e procedere alla loro addizione o sottrazione. Ecco la procedura da seguire con l'Equation Writer. Inserire e memorizzare il termine T1: Inserire e memorizzare il termine T2: Come si può notare, in questo esempio si sta utilizzando la modalità RPN; la procedura da seguire in modalità ALG sarà comunque molto simile.
Si noti che il risultato include un vettore [ ] contenuto all’interno di un elenco { }. Per rimuovere il simbolo dell’elenco, premere μ. Infine, per scomporre il vettore, utilizzare la funzione OBJ . Si otterrà il risultato: Questi due esempi rappresentano sistemi di equazioni lineari che possono essere risolti in maniera altrettanto corretta mediante la funzione LINSOLVE (vedere il Capitolo 11). L’esempio seguente mostra la funzione SOLVE applicata ad un sistema di equazioni polinomiali.
Esempio 1 - Esempio dell’opzione Help Come per tutte le funzioni relative all’opzione Help, c’è un esempio legato alla funzione MSLV, come mostrato nella schermata precedente. Si noti che la funzione MSLV necessita di tre argomenti: 1. un vettore contenente, ad esempio, le equazioni '[SIN(X)+Y,X+SIN(Y)=1]'; 2. un vettore contenente le variabili da usare per la risoluzione, ad esempio, '[X,Y]'; 3.
velocità del flusso (m/s o ft/s), Q è la portata volumetrica (m3/s o ft3/s), A è la sezione trasversale (m2 o ft2), Cu è un coefficiente che dipende dal sistema di unità (Cu = 1.0 per il SI, Cu = 1.486 per il sistema di unità britannico), n è il coefficiente di Manning, una misura relativa alla scabrezza della superficie del canale (ad esempio, per il calcestruzzo, n = 0.
elencate nello stack come illustrato di seguito (con l’opzione small font selezionata): Si può notare che queste due equazioni sono effettivamente espresse in termini di variabili primitive b, m, y, g, So, n, Cu, Q e Ho. Per risolvere y e Q, è necessario attribuire dei valori alle altre variabili. Supponiamo di utilizzare H0 = 5 ft, b = 1.5 ft, m = 1, n = 0.012, S0 = 0.00001, g = 32.2 e Cu = 1.486.
Inserire quindi la variabile EQS: LL@@EQS@ , seguita dal vettore [y,Q]: ‚í„Ô~„y‚í~q™ e dalle ipotesi iniziali, ‚í„Ô5‚í 10. Prima di premere `, il display avrà il seguente aspetto: Premere ` per risolvere il sistema di equazioni. Se la misura angolare di cui si dispone non è impostata in Radians (Radianti), potrebbe apparire la seguente richiesta: Premere @@OK@@ e far continuare la procedura di risoluzione.
Il risultato è un elenco di tre vettori. Il primo vettore dell’elenco rappresenta le equazioni risolte. Il secondo vettore rappresenta l’elenco delle incognite. Il terzo vettore rappresenta la soluzione. Per poter visualizzare questi vettori, premere il tasto freccià giù ˜ per attivare il Line Editor. La soluzione si presenterà come segue: La soluzione suggerita è [4.9936…, 20.661…]. Ciò significa che y = 4.99 ft e Q = 20.661… ft3/s.
Il teorema del coseno indica che: a2 = b2 + c2 – 2⋅b⋅c⋅cos α, b2 = a2 + c2 – 2⋅a⋅c⋅cos β, c2 = a2 + b2 – 2⋅a⋅b⋅cos γ. Per risolvere problemi relativi a qualsiasi triangolo, è necessario conoscere almeno tre delle sei variabili seguenti: a, b, c, α, β, γ. Per risolvere per le altre tre variabili, si possono quindi utilizzare le equazioni relative ai teoremi del seno e del coseno e alla somma degli angoli interni di un triangolo.
‘SIN(α)/a = SIN(β)/b’ ‘SIN(α)/a = SIN(γ)/c’ ‘SIN(β)/b = SIN(γ)/c’ ‘c^2 = a^2+b^2-2*a*b*COS(γ)’ ‘b^2 = a^2+c^2-2*a*c*COS(β)’ ‘a^2 = b^2+c^2-2*b*c*COS(α)’ ‘α+β+γ = 180’ ‘s = (a+b+c)/2’ ‘A = √ (s*(s-a)*(s-b)*(s-c))’ Inserire, quindi, il numero 9 e creare un elenco di equazioni utilizzando: funzione LIST (utilizzare il comando Catalog ‚N). Memorizzare questo elenco nella variabile EQ. La variabile EQ contiene l’elenco di equazioni che verranno analizzate dal MES per la risoluzione delle incognite.
Premere J, se necessario, per passare al menu delle variabili. Il menu dovrà mostrare le variabili @LVARI! !@TITLE @@EQ@@ . Preparazione all’utilizzo del MES La fase successiva consiste nell’attivare il MES e nel testare una soluzione campione. Prima di farlo, tuttavia, è necessario impostare le unità angolari su DEGrees (gradi), se le stesse non sono già impostate su tale unità, inserendo ~~deg`.
Si provi una soluzione semplice del Caso I, utilizzando a = 5, b = 3, c = 5. Utilizzare i seguenti valori: 5[ a ] 3[ b ] 5[ c ] a:5 viene visualizzato nell'angolo in alto a sinistra del display. b:3 viene visualizzato nell'angolo in alto a sinistra del display. c:5 viene visualizzato nell'angolo in alto a sinistra del display. Per trovare i valori degli angoli: „[ α ] La calcolatrice indica “Solving for α” (Risolvere per a) e mostra il risultato α: 72.5423968763.
Premendo „@@ALL@@, la calcolatrice calcolerà tutte le variabili, mostrando temporaneamente i risultati intermedi. Premere ‚@@ALL@@ per visualizzare le soluzioni: Al termine, premere $ per tornare all’ambiente MES. Premere J per uscire dall’ambiente MES e tornare al display normale della calcolatrice.
Programmazione del Risolutore di Equazioni Multiple (MES) per la risoluzione di problemi sul triangolo utilizzando il linguaggio User RPL Per facilitare l’attivazione del MES per soluzioni future, verrà creato un programma che caricherà il MES con la singola pressione di un tasto.
Utilizzare a = 3, b = 4, c = 6. La procedura per la soluzione utilizzata in questo caso consiste nel calcolare tutte le variabili in una volta sola, quindi richiamare le soluzioni nello stack: J @TRISO Per cancellare i dati e riattivare il MES 3[ a ] 4 [ b ] 6[ c ] Per inserire i dati L Per spostarsi al menu delle variabili successive. „ @ALL! Per calcolare tutte le variabili non note.
a b c α( ο) β( ο) γ( ο) 2.5 6.9837 7.2 20.229 75 84.771 8.6933 7.2 8.5 14.26 22.616 27 130.38 23.309 21.92 17.5 13.2 90 52.98 37.03 115.5 41.92 23 29.6 75 32 73 328.81 10.27 3.26 10.5 77 18 85 16.66 17 25 32 31.79 50.78 A 97.44 210.71 Aggiungere un tasto INFO alla propria directory Può essere utile disporre di un tasto informazione nella propria directory per aiutare a ricordare l'uso delle funzioni nella directory stessa.
Segue una spiegazione delle variabili: SOLVEP = Programma che avvia il risolutore di equazioni multiple per il particolare insieme di equazioni memorizzate nella variabile PEQ; NAME = Variabile che memorizza il nome del risolutore di equazioni multiple, vale a dire, "vel. & acc. polar coord.
Notare che dopo l’inserimento di un particolare valore, la calcolatrice visualizza la variabile e il suo valore nell’angolo superiore sinistro dello schermo. Sono state inserite le variabili note. Per calcolare le incognite è possibile procedere in due modi: a). Calcolare le variabili individualmente, ad esempio, „[ vr ] restituisce vr: 0.500. Premere L„[ vθ ] per ottenere vθ: 5.750, e così via. I risultati rimanenti sono v: 5.77169819031; ar: -14.725; aθ: -13.95; ed a: 20.2836911089.; oppure, b).
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Capitolo 8 Operazioni con elenchi Gli elenchi sono un tipo di oggetto proprio della calcolatrice che può essere utile per l’elaborazione di dati e nella programmazione. Questo capitolo presenta esempi di operazioni con elenchi. Definizioni Un elenco, nel contesto di una calcolatrice, è una serie di oggetti racchiusi tra parentesi graffe e separati da spazi (#), in modalità RPN, o virgole (‚í), in entrambe le modalità.
La figura in basso mostra lo stack in modalità RPN prima di premere il tasto K: Composizione e scomposizione in modalità Comporre e scomporre elenchi presenta una qualche utilità unicamente in modalità RPN. In tale modalità operativa, è possibile scomporre un elenco utilizzando la funzione OBJ . Con questa funzione, un elenco nello stack in modalità RPN è scomposto nei propri elementi, con il livello di stack 1: che mostra il numero di elementi nell’elenco.
In modalità RPN, la seguente schermata mostra i tre elenchi e i rispettivi nomi pronti per essere memorizzati. Per memorizzare gli elenchi in questo caso sarà necessario premere K tre volte. Cambio di segno Il tasto utilizzato per il cambio di segno (\), se applicato a un elenco di numeri, modificherà il segno di tutti gli elementi nell’elenco.
La sottrazione, la moltiplicazione e la divisione tra elenchi numerici della stessa lunghezza danno origine a un elenco della stessa lunghezza con operazioni termine per termine. Esempi: La divisione L4/L3 darà origine a un elemento infinito perché uno degli elementi in L3 è zero: Nel caso gli elenchi utilizzati per l’operazione abbiano lunghezze differenti, verrà visualizzato il messaggio di errore "Error: Invalid Dimension" (Errore: dimensione non valida).
ABS EXP e LN LOG e ANTILOG SQ e radice quadrata SIN, ASIN COS, ACOS TAN, ATAN INVERSE (1/x) Funzioni operanti sui numeri reali disponibili nel menu MTH Il menu MTH comprende, all'interno del menu HYPERBOLIC, alcune funzioni interessanti: SINH, ASINH, COSH, ACOSH, TANH, ATANH, e all'interno del menu REAL: %, %CH, %T, MIN, MAX, MOD, SIGN, MANT, XPON, IP, FP, RND, TRNC, FLOOR, CEIL, D R, R D.
TANH, ATANH SIGN, MANT, XPON IP, FP FLOOR, CEIL D R, R D Esempi di funzioni che utilizzano due argomenti Le schermate riportate di seguito mostrano le applicazioni della funzione % ad argomenti di un elenco. La funzione % richiede due argomenti. I primi due esempi mostrano casi nei quali solo uno dei due argomenti è un elenco. I risultati sono elenchi con la funzione % distribuita secondo l’argomento dell'elenco.
%({10,20,30},{1,2,3}) = {%(10,1),%(20,2),%(30,3)} Questa descrizione della funzione % per gli argomenti dell’elenco mostra il modello di valutazione generale di qualsiasi funzione con due argomenti nel caso in cui uno o entrambi gli argomenti siano elenchi.
Il seguente esempio mostra le applicazioni delle funzioni RE(parte reale), IM(parte immaginaria), ABS(modulo), e ARG(argomento) dei numeri complessi. I risultati sono elenchi di numeri reali: Elenchi di oggetti algebrici Di seguito sono riportati esempi di elenchi di oggetti algebrici ai quali è stata applicata la funzione SIN: Menu MTH/LIST Il menu MTH fornisce un numero di funzioni esclusive per gli elenchi.
Questo menu contiene le seguenti funzioni: ΔLIST : Calcola l’incremento tra elementi consecutivi nell’elenco ΣLIST : Calcola la sommatoria degli elementi nell’elenco ΠLIST : Calcola il prodotto degli elementi nell’elenco SORT : Ordina gli elementi in ordine crescente REVLIST : Inverte l’ordine dell’elenco ADD : Operatore per la somma termine a termine di due elenchi della stessa lunghezza (vedere gli esempi di questo operatore mostrati in precedenza) Di seguito sono riportati alcuni esempi di applicazione d
Manipolazione di elementi di un elenco Il menu PRG (Programmazione) comprende un sottomenu LIST contenente diverse funzioni per manipolare gli elementi di un elenco. Con il flag 117 impostato su CHOOSE boxes (Riquadri di selezione): L'opzione 1.
Le funzioni GETI e PUTI, disponibili anche nel sottomenu PRG/ELEMENTS/, possono anch’esse essere utilizzate per estrarre e inserire elementi in un elenco. Queste due funzioni, comunque, sono utili principalmente nella programmazione. La funzione GETI utilizza gli stessi argomenti della funzione GET e restituisce l’elenco, la posizione dell’elemento più uno e l’elemento nella posizione richiesta. La funzione PUTI utilizza gli stessi argomenti della funzione GET e restituisce l’elenco e la sua dimensione.
modalità RPN. La Funzione SEQ è utile per fornire un elenco di valori, data un’espressione particolare ed è descritta più dettagliatamente di seguito. La funzione SEQ ha come argomenti un’espressione sotto forma di indice, il nome dell’indice e i valori iniziali, finali e di incremento per l’indice e restituisce un elenco che consiste nella valutazione dell’espressione per tutti i possibili valori dell’indice.
In entrambi i casi, è possibile digitare il comando MAP (come nell’esempio in alto) o selezionare il comando dal menu CAT. In quest’altro caso l’attivazione della funzione MAP utilizza un programma invece di una funzione come secondo argomento: Definizione delle funzioni che utilizzano elenchi Nel Capitolo 3 è stato introdotto l’utilizzo della funzione DEFINE („à) per creare funzioni di numeri reali con uno o più argomenti.
per sostituire il segno di addizione (+) con ADD: Quindi, memorizzare l’espressione modificata nella variabile @@@G@@@: Il calcolo di G(L1,L2) restituisce ora il seguente risultato: In alternativa, è possibile definire la funzione con ADD piuttosto che con il segno di addizione (+), dall’inizio, vale a dire, utilizzando DEFINE('G(X,Y)=(X DD 3)*Y') : È inoltre possibile definire la funzione come G(X,Y) = (X--3)*Y.
Applicazioni che utilizzano elenchi Questa sezione illustra due applicazioni relative al calcolo statistico di un campione che utilizzano elenchi. Per campione si intende un elenco di valori, ad esempio, {s1, s2, …, sn}. Si supponga che il campione oggetto del calcolo sia un elenco {1, 5, 3, 1, 2, 1, 3, 4, 2, 1} e che esso venga memorizzato in una variabile chiamata S (la schermata in basso mostra la procedura in modalità ALG, tuttavia la stessa procedura in modalità RPN è molto simile.
3. Dividere il risultato ottenuto per n = 10: 4. Applicare la funzione INV() all’ultimo risultato: Da ciò si ricava che la media armonica dell’elenco S è sh = 1.6348… Media geometrica di un elenco La media geometrica di un campione è definita come xg = n n ∏x k =1 k = n x1 ⋅ x 2 L x n Per trovare la media geometrica dell’elenco memorizzato in S, è possibile utilizzare la seguente procedura: 1. Applicare la funzione ΠLIST () all’elenco S: 2.
Da ciò si ricava che, la media geometrica dell’elenco S è sg = 1.003203… Media ponderata Si supponga che i dati nell’elenco S precedentemente definito riportati di seguito: S = {1,5,3,1,2,1,3,4,2,1} siano influenzati dai pesi, W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Se si definisce l’elenco pesi come W = {w1, w2, …, wn}, si nota che il k-esimo elemento nell’elenco W, in alto, può essere definito dalla formula wk = k.
3. Utilizzare nuovamente la funzione ΣLIST, per calcolare il denominatore di sw: 4. Utilizzare l’espressione ANS(2)/ANS(1) per calcolare la media ponderata: Da ciò risulta che la media ponderata dell’elenco S calcolata in base ai pesi nell’elenco W è sw = 2.2. Nota: ANS(1) si riferisce al risultato più recente (55), mentre ANS(2) si riferisce al risultato precedente l’ultimo risultato ottenuto (121).
I dati del centro di classe possono essere memorizzati nella variabile S, mentre il conteggio delle frequenze può essere memorizzato nella variabile W, nel seguente modo: Dato un elenco di centri di classe S = {s1, s2, …, sn}, e l’elenco dei conteggi delle frequenze W = {w1, w2, …, wn}, la media ponderata dei dati in S con i pesi W rappresenta il valore medio dei dati raggruppati, che in questo contesto verrà denominato⎯s: n s= ∑w k =1 k ⋅ sk n ∑w k =1 k n = ∑w k =1 k ⋅ sk N , n dove N = ∑
n V = ∑ wk ⋅ ( s k − s ) 2 k =1 n ∑w k =1 k n = ∑w k =1 k ⋅ (sk − s ) 2 N Per calcolare quest’ultimo risultato, è possibile utilizzare quanto segue: La deviazione standard dei dati raggruppati è la radice quadrata della varianza: Pagina 8-20
Capitolo 9 Vettori Il presente Capitolo illustra alcuni esempi di operazioni con vettori sia di tipo matematico, di più elementi, che di tipo fisico, di 2 e 3 componenti. Definizioni Da un punto di vista matematico, un vettore è un array di 2 o più elementi strutturati in forma di riga o di colonna. Vengono definiti vettori riga e vettori colonna.
l'angolo compreso tra i due vettori. Il prodotto esterno dà come risultato un vettore AxB il cui modulo è |AxB| = |A| |B| sin(è), e il suo verso è dato dalla cosiddetta regola della mano destra (per una rappresentazione grafica, consultare un testo di matematica, fisica o meccanica). In termini di componenti cartesiani, A·B = AxBx+AyBy+AzBz e AxB = [AyBz-AzBy,AzBx-AxBz,AxBy-AyBx]. L'angolo tra due vettori può essere ricavato dalla definizione del prodotto scalare cos(è) = A·B/|A||B| = eA·eB.
Memorizzazione dei vettori nelle variabili I vettori possono essere memorizzati in variabili. Le schermate sottostanti mostrano i vettori u2 = [1, 2], u3 = [-3, 2, -2], v2 = [3,-1], v3 = [1, -5, 2] memorizzati rispettivamente nelle variabili @@@u2@@, @@@u3@@, @@@v2@@ e @@@v3@@.
Vettori vs. matrici Per vedere il funzionamento del tasto @VEC@, provare i seguenti esercizi: (1) Aprire il Matrix Writer („²). Con @VEC e @GO→ selezionati, premere 3`5`2``. Il risultato sarà [3. 5. 2.]. (in modalità RPN, è possibile utilizzare la seguente sequenza di tasti per ottenere lo stesso risultato: 3#5#2``). (2) Con @VEC@@ deselezionato e @GO→ selezionato, premere 3#5#2``. Il risultato sarà [[3. 5. 2.]].
Il tasto @+ROW@ aggiungerà una riga di zeri nella posizione della cella selezionata del foglio elettronico. Il tasto @-ROW eliminerà la riga corrispondente alla cella selezionata del foglio elettronico. Il tasto @+COL@ aggiungerà una colonna di zeri in corrispondenza della posizione della cella selezionata del foglio elettronico. Il tasto @-COL@ eliminerà la colonna corrispondente alla cella selezionata del foglio elettronico. Il tasto @→STK@@ inserirà il contenuto della cella selezionata nello stack.
Riepilogo dell'uso di Matrix Writer per l'inserimento di vettori Riassumendo, per inserire un vettore utilizzando il Matrix Writer, è sufficiente attivare tale componente („²) e posizionare gli elementi del vettore, premendo ` dopo ognuno di essi. Quindi premere ``. Assicurarsi che i tasti @VEC e @GO→ @ siano selezionati.
in modalità RPN, la funzione [→ARRY] prende gli oggetti dai livelli di stack n+1, n, n-1, …, fino ai livelli di stack 3 e 2, e li converte in un vettore di n elementi. L'oggetto originariamente posto al livello di stack n+1 diventa il primo elemento, mentre l'oggetto originariamente posto al livello n diventa il secondo elemento, ecc.
Evidenziando l'intera espressione e utilizzando il tasto funzione @EVAL@, si ottiene il risultato: -15. Nota: il vettore A può essere anche definito variabile indicizzata in quanto il nome A rappresenta non uno ma molti valori identificati da un sottoindice. Per sostituire un elemento di un array, utilizzare la funzione PUT (disponibile nel Function Catalog ‚N, o nel sottomenu PRG/LIST/ELEMENTS - presentato nel Capitolo 8).
Operazioni semplici con i vettori Per illustrare le operazioni con i vettori si utilizzeranno i vettori A, u2, u3, v2 e v3, memorizzati durante gli esercizi precedenti.
Funzione valore assoluto La funzione valore assoluto (ABS), applicata a un vettore, dà come risultato il modulo del vettore. Per un vettore A = [A1,A2,…,An], il modulo è definito come | A |= Ax2 + Ay2 + L + Az2 . In modalità ALG, inserire il nome della funzione seguito dall'argomento del vettore.
DOT (Prodotto scalare) La funzione DOT (Prodotto scalare) è usata per calcolare il prodotto scalare di due vettori della stessa lunghezza. Di seguito sono presentati alcuni esempi di applicazione della funzione DOT in modalità ALG, utilizzando i vettori A, u2, u3, v2 e v3, memorizzati in precedenza.
In modalità RPN, l'applicazione della funzione V elencherà le componenti di un vettore nello stack, ossia V (A) darà il seguente risultato nello stack in modalità RPN (vettore A inserito nel livello di stack 6:) Generazione di un vettore bidimensionale La funzione V2 è usata in modalità RPN per generare un vettore con i valori nei livelli di stack 1: e 2:.
Se è selezionato il sistema di coordinate rettangolari o cartesiane, la riga superiore del display visualizza un campo XYZ e qualsiasi vettore 2D o 3D inserito nella calcolatrice viene riprodotto come componenti (x,y,z) del vettore.
La figura sottostante mostra la trasformazione del vettore dalle coordinate sferiche a quelle cartesiane, con x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin (φ) cos (θ), z = ρ cos(φ) In questo caso, x = 3.204, y = 1.494 e z = 3.536. Se è selezionato il sistema di coordinate cilindriche, la riga superiore del display visualizzerà un campo R∠Z e il vettore inserito in coordinate cilindriche (o polari) (r,θ,z).
trasformato in coordinate polari. In questo caso, ρ = 5, θ = 25° e φ = 45°, mentre la trasformazione mostra che r = 3.563 e z = 3.536. (Modificare in DEG, gradi): Successivamente, modificare il sistema di coordinate in coordinate sferiche utilizzando la funzione SPHERE disponibile nel sottomenu VECTOR del menu 0MTH. Quando è selezionato questo sistema di coordinate, il display visualizza il formato R∠∠ nella riga superiore.
Si supponga di dovere trovare l'angolo tra vettori A = 3i-5j+6k, B = 2i+j-3k, è possibile provare la seguente operazione (misura angolare impostata in gradi) in modalità ALG: 1 - Inserire i vettori [3,-5,6], premere `, [2,1,-3], premere `.
Pertanto, M = (10i+26j+25k) m·N. Dato un modulo di M tale che |M| = |r||F|sin(θ), dove θ è l'angolo compreso tra r e F. È possibile calcolare questo angolo come θ = sin-1(|M|/|r||F|) mediante le seguenti operazioni: 1 – ABS(ANS(1))/(ABS(ANS(2))*ABS(ANS(3)) calcola sin(θ) 2 – ASIN(ANS(1)), seguita da NUM(ANS(1)) calcola θ Queste operazioni sono mostrate in modalità ALG nelle seguenti schermate: Pertanto l'angolo tra vettori r e F è θ = 41.038°.
Successivamente, calcolare il vettore P0P = r come ANS(1) - ANS(2): Si prenda infine il prodotto scalare di ANS(1) e ANS(4) e lo si ponga uguale a zero per completare l'operazione N·r =0: È possibile utilizzare la funzione EXPAND (nel menu ALG) per espandere questa espressione: Pertanto, l'equazione del piano passante per il punto P0(2,3,-1) e avente come vettore normale N = 4i+6j+2k è 4x + 6y + 2z - 24 = 0.
In questa sezione si mostreranno alcuni modi di trasformare: un vettore colonna in un vettore riga, un vettore riga in un vettore colonna, un elenco in un vettore e un vettore (o matrice) in un elenco. Tali trasformazioni verranno mostrate prima in modalità RPN. In questa modalità, si utilizzeranno le funzioni OBJ , LIST, ARRY e DROP per eseguire la trasformazione. Per facilitare l'accesso a queste funzioni si imposterà il flag di sistema 117 su SOFT Menu (Menu FUNZIONE) (vedere il Capitolo 1).
Se ora si applica nuovamente la funzione OBJ , l'elenco nel livello di stack 1:, {3.}, verrà decomposto come segue: Funzione LIST Questa funzione è usata per creare un elenco, dati gli elementi e la lunghezza (o la dimensione) dell'elenco stesso. In modalità RPN, la dimensione dell'elenco, ad esempio, n, deve essere posizionata nel livello di stack 1:. Gli elementi dell'elenco devono essere inseriti nei livelli di stack 2:, 3:, …, n+1:.
3 - Utilizzare la funzione ARRY per generare il vettore colonna Queste tre fasi possono essere inserite in un programma UserRPL, mediante la seguente sequenza di tasti (in modalità RPN): ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ 1 + ! ARRY@ `³~~rxc` K Dopo aver premuto @@RXC@@, sarà disponibile nel menu etichette la nuova variabile, J: Premere ‚@@RXC@@ per visualizzare il programma contenuto nella variabile RXC: << OBJ 1 + RRY >> Questa variabile, @@RXC@@, può ora essere usata per trasformare direttamente un vettore riga in
2 - Utilizzare la funzione OBJ per decomporre l'elenco nel livello di stack 1: 3 - Premere il tasto cancella ƒ (noto anche come funzione DROP) per eliminare il numero nel livello di stack 1: 4 - Utilizzare la funzione LIST per creare un elenco 5 - Utilizzare la funzione - ARRY per creare il vettore riga Queste cinque fasi possono essere raggruppate in un programma UserRPL, inserito come segue (di nuovo in modalità RPN): ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ @OBJ @ „°@)STACK @DROP „°@)TYPE! ! LIST@ ! ARRY@ ` ³~~cxr ` K D
Questa variabile, @@CXR@@, può ora essere usata per trasformare direttamente un vettore colonna in un vettore riga. In modalità RPN, inserire il vettore colonna, quindi premere @@CXR@@. Provare, ad esempio: [[1],[2],[3]] ` @@CXR@@. Dopo aver definito la variabile @@CXR@@, è possibile utilizzarla in modalità ALG per trasformare un vettore riga in un vettore colonna.
Dopo aver premuto @@LXV@@, sarà disponibile nel menu etichette la nuova variabile, J: Premere ‚@@LXV@@ per visualizzare il programma contenuto nella variabile LXV: << OBJ 1 LIST RRY >> Questa variabile, @@LXV@@, può ora essere usata per trasformare direttamente un elenco in un vettore. In modalità RPN, inserire l'elenco, quindi premere @@LXV@@. Provare, ad esempio: {1,2,3} ` @@LXV@@.
Capitolo 10! Creazione e manipolazione di matrici Il presente capitolo illustra alcuni esempi di creazione di matrici nella calcolatrice e di manipolazione dei relativi elementi. Definizioni Una matrice è semplicemente un array rettangolare di oggetti, come ad esempio numeri o espressioni algebriche, ordinati in righe e colonne numerate. Una matrice A con n righe e m colonne avrà pertanto nxm elementi.
Inserimento delle matrici nello stack In questa sezione sono illustrati due diversi metodi di inserimento delle matrici nello stack: (1) utilizzando il Matrix Writer, oppure (2) inserendo direttamente la matrice nello stack. Utilizzo del Matrix Writer Come per i vettori, illustrati nel Capitolo 9, è possibile inserire le matrici nello stack utilizzando il Matrix Writer. Ad esempio, per inserire la matrice: ⎡− 2.5 4.2 2.0⎤ ⎢ 0.3 1.9 2.8⎥⎥, ⎢ ⎢⎣ 2 − 0.1 0.
visualizzata come nella figura in alto. In caso contrario, sul display sarà visualizzato: Il display in modalità RPN avrà un aspetto simile a quelli illustrati. Nota: i dettagli relativi all’utilizzo del Matrix Writer sono stati esposti nel Capitolo 9. Inserimento diretto della matrice nello stack È possibile ottenere lo stesso risultato di cui sopra inserendo la matrice direttamente nello stack: „Ô „Ô 2.5\ ‚í 4.2 ‚í 2 ™ ‚í „Ô .3 ‚í 1.9 ‚í 2.8 ™ ‚í „Ô 2 ‚í .1\ ‚í .
oppure nel menu MATRICES/CREATE (Matrici/Crea) disponibile premendo „Ø: Il sottomenu MTH/MATRIX/MAKE (d’ora in avanti denominato menu MAKE) contiene le seguenti funzioni: mentre il sottomenu MATRICES/CREATE (d’ora in avanti denominato menu CREATE) contiene le seguenti funzioni: Pagina 10-4
Scorrendo entrambi i menu MAKE e CREATE, è possibile osservare che entrambi dispongono delle stesse funzioni ovvero GET, GETI, PUT, PUTI, SUB, REPL, RDM, RANM, HILBERT, VANDERMONDE, IDN, CON, →DIAG e DIAG→. Il menu CREATE include i sottomenu COLUMN (Colonna) e ROW (Riga), disponibili anche nel menu MTH/MATRIX. Il menu MAKE include le funzioni SIZE (Dimensioni), non disponibili nel menu CREATE.
Funzioni GET e PUT Le funzioni GET, GETI, PUT e PUTI, operano con le matrici in maniera simile a elenchi o vettori, ovvero è necessario fornire la posizione dell'elemento che si vuole estrarre (GET) dalla matrice o che si vuole inserire (PUT) nella matrice. Tuttavia, mentre con elenchi e vettori è necessario solamente un indice per identificare un elemento, nelle matrici è necessario elencare due indici{riga, colonna} per identificarne gli elementi.
Si osserva che il display è pronto per una successiva applicazione di GETI o GET, incrementando di 1 l’indice della colonna del riferimento originale (nell’esempio da {2,2} a {2,3}), mentre visualizza l’elemento estratto, ovvero A(2,2) =1.9, al livello 1 di stack. Ora, si supponga di voler inserire il valore 2 nell’elemento {3 1} utilizzando la funzione PUTI. Ancora in modalità RPN, utilizzare la seguente combinazione di tasti: ƒ ƒ{3 1} ` 2 ` PUTI.
Se l’argomento è una matrice reale, la funzione TRN produce semplicemente la trasposizione della matrice reale. Confrontare, ad esempio, TRN(A) con TRAN(A). In modalità RPN, la trasposta coniugata della matrice A viene calcolata utilizzando @@@A@@@ TRN.
In modalità RPN quanto sopra si ottiene premendo {4,3} ` 1.5 \ ` CON. Funzione IDN La funzione IDN (IDeNtity matrix – matrice IDeNtità) crea un matrice identità di dimensioni date. Si ricorda che una matrice identità deve essere quadrata, pertanto un valore è sufficiente a descriverla totalmente.
secondo il numero di righe e colonne della matrice. I seguenti esempi illustrano l’utilizzo della funzione RDM: Ridimensionamento di un vettore in una matrice Il seguente esempio illustra come ridimensionare un vettore di sei elementi all’interno di una matrice di 2 righe e 3 colonne in modalità ALG: In modalità RPN, per produrre la matrice mostrata in alto, è possibile utilizzare [1,2,3,4,5,6] ` {2,3} ` RDM.
In modalità RPN, si suppone che la matrice sia nello stack e si utilizza {6} ` RDM. Nota: la funzione RDM fornisce una maniera più diretta ed efficiente di quella indicata al termine del Capitolo 9 per trasformare elenchi in array e viceversa. Funzione RANM La funzione RANM (RANdom Matrix – matrice casuale) crea una matrice con elementi formati da interi casuali partendo da un elenco con il numero di righe e colonne ovvero le dimensioni della matrice.
In modalità RPN, posto che la matrice 2x3 originale sia già nello stack, utilizzare {1,2} ` {2,3} ` SUB. Funzione REPL La funzione REPL sostituisce o inserisce una sottomatrice all’interno di una matrice di maggiori dimensioni. I dati in ingresso per questa funzione sono la matrice ove avverrà la sostituzione, la posizione a partire dalla quale inizierà la sostituzione e la matrice da inserire. Ad esempio, utilizzando la matrice dell’esempio precedente, inserire la matrice: [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] .
In modalità RPN, con la matrice 3x3 nello stack, è sufficiente attivare la funzione DI G per ottenere lo stesso risultato ottenuto sopra. Funzione DIAG→ La funzione DIAG→ utilizza un vettore e un elenco delle dimensioni della matrice {righe, colonne} per creare una matrice diagonale sostituendo gli elementi della diagonale principale con gli elementi propri del vettore.
⎡1 ⎢ ⎢1 ⎢1 ⎢ ⎢M ⎢1 ⎣ x1 x2 x3 M xn x12 L x1n −1 ⎤ ⎥ x 22 L x 2n −1 ⎥ x32 L x3n −1 ⎥ ⎥ M O M ⎥ x n2 L x nn −1 ⎥⎦ Ad esempio, il seguente comando in modalità ALG per l’elenco {1,2,3,4}, dà come risultato: In modalità RPN, inserire {1,2,3,4} ` V NDERMONDE. Funzione HILBERT La funzione HILBERT genera una matrice di Hilbert con dimensione n.
appaiono sul display premendo tali tasti. Per prime saranno illustrate le operazioni necessarie per inserire il programma CRMC. Elenchi che rappresentano le colonne di una matrice Il programma @CRMC permette di creare una matrice di dimensione pxn (ove p rappresenta il numero di righe e n il numero di colonne) partendo da n elenchi di p elementi.
~„n # „´@)MATRX! @)COL! @COL! ` n COL Il programma è visualizzato al livello 1. Per salvare il programma: !³~~crmc~ K Nota: se il programma è salvato nella directory HOME dell’utente sarà disponibile da qualsiasi altra sottodirectory in uso. Premere J ‚@CRMC per visualizzare i contenuti del programma.
Elenchi che rappresentano le righe di una matrice È possibile modificare facilmente il programma precedente per creare una matrice se l'elenco di dati in ingresso crea le righe della matrice. È sufficiente cambiare COL-→ con ROW→ nel listato del programma.
Entrambe le operazioni mostreranno le stesse funzioni: se il flag di sistema 117 è impostato su SOFT menus, il menu COL sarà accessibile con „´!)MATRX ) !)@@COL@ oppure con „Ø!)@CREAT@ !)@@COL@ . Entrambe le operazioni mostreranno lo stesso gruppo di funzioni: L'utilizzo di tali funzioni è illustrato di seguito. Funzione →COL La funzione →COL utilizza come argomento una matrice e la scompone in vettori corrispondenti alle sue colonne.
Nel risultato visualizzato, dopo la decomposizione la prima colonna occupa il livello più alto di stack. Il livello 1 di stack è occupato dal numero di colonne della matrice originale. Dopo la decomposizione, la matrice non sarà più disponibile nello stack. Funzione COL→ La funzione COL→ è l’opposto della funzione →COL, ovvero, dati n vettori della stessa lunghezza e il numero n, la funzione COL genera una matrice inserendo i vettori in ingresso come colonne della matrice ottenuta.
In modalità RPN, inserire prima la matrice, quindi il vettore e il numero della colonna poi applicare la funzione COL+. La seguente figura visualizza lo stack in modalità RPN prima e dopo l'utilizzo della funzione COL+. Funzione COLLa funzione COL- utilizza come argomento una matrice e un intero che rappresenta la posizione di una colonna nella matrice. La funzione restituisce la matrice originale meno una colonna e la colonna estratta sotto forma di vettore.
In modalità RPN, la funzione CSWP consente all’utente di scambiare le colonne di una matrice elencata nel livello 3 di stack, i cui indici siano elencati nei livelli 1 e 2 di stack. Ad esempio, la seguente figura mostra lo stack in modalità RPN prima e dopo l'applicazione della funzione CSWP alla matrice A per scambiare le colonne 2 e 3: Come si può notare, le colonne che originariamente occupavano le posizioni 2 e 3 sono state scambiate.
se il flag di sistema 117 è impostato su SOFT menus, il menu ROW sarà accessibile con „´!)MATRX !)@@ROW oppure con „Ø!)@CREAT@ !)@@ROW@ . Entrambe le operazioni mostreranno lo stesso gruppo di funzioni: L'utilizzo di tali funzioni è illustrato di seguito. Funzione →ROW La funzione →ROW utilizza come argomento una matrice e la decompone in vettori corrispondenti alle sue righe. Un’applicazione della funzione ROW in modalità ALG è illustrata in basso.
della matrice originale. Dopo la decomposizione la matrice non sarà più disponibile nello stack. Funzione ROW→ La funzione ROW→ è l’opposto della funzione →ROW, ovvero, dati n vettori della stessa lunghezza e il numero n, la funzione ROW genera una matrice inserendo i vettori in ingresso come righe della matrice ottenuta. Di seguito è illustrato un esempio in modalità ALG.
Funzione ROWLa funzione ROW- utilizza come argomento una matrice e un intero che rappresenta la posizione di una riga nella matrice. La funzione restituisce la matrice originale meno una riga e la riga estratta sotto forma di vettore. Eccone un esempio in modalità ALG utilizzando la matrice salvata in A: In modalità RPN, inserire prima la matrice nello stack, quindi inserire il numero relativo alla posizione della riga poi applicare la funzione ROW-.
Come si può notare, le righe che originariamente occupavano le posizioni 2 e 3 sono state scambiate. Funzione RCI La funzione RCI moltiplica la Riga I per un valore Costante e sostituisce tale riga inserendo il risultato nella stessa posizione. Il seguente esempio, scritto in modalità ALG, prende la matrice salvata in A e moltiplica per il valore costante 5 la riga numero 3, sostituendo il prodotto ottenuto alla riga. La prossima figura mostra lo stesso esercizio eseguito in modalità RPN.
In modalità RPN, inserire prima la matrice seguita dal valore della costante. Successivamente, inserire la riga da moltiplicare per la costante e infine la riga da sostituire.
Capitolo 11 Operazioni con le matrici e algebra lineare Nel Capitolo 10 è stato introdotto il concetto di matrice e presentato un certo numero di funzioni per inserire, generare o manipolare le matrici. Nel presente Capitolo saranno presentati degli esempi di operazioni matriciali e le applicazioni a problemi di algebra lineare. Operazioni con le matrici È possibile eseguire addizioni o sottrazioni sulle matrici, come su altri oggetti matematici. È possibile moltiplicarle per uno scalare, o tra di loro.
{3,3}` R NM ' 33'K {3,3}` R NM 'B33'K Addizione e sottrazione Si considerino due matrici, A = [aij]mxn e B = [bij]mxn. L’addizione e la sottrazione di queste due matrici è possibile solamente nel caso che le matrici abbiano lo stesso numero di righe e colonne. La matrice risultante, C = A±B = [cij]mxn è costituita dagli elementi cij = aij±bij.
Unendo addizione e sottrazione con la moltiplicazione per uno scalare è possibile formare combinazioni lineari di matrici di uguali dimensioni, ad esempio, All’interno di una combinazione lineare di matrici, è possibile moltiplicare una matrice per un numero immaginario ottenendo così una matrice di numeri complessi, ad esempio, Moltiplicazione di una matrice per un vettore La moltiplicazione di una matrice per un vettore è possibile solamente se il numero di colonne della matrice è uguale alla lunghezza
Moltiplicazione di matrici La moltiplicazione di matrici è definita da Cmxn = Amxp·Bpxn, dove A = [aij]mxp, B = [bij]pxn, e C = [cij]mxn. Si noti che la moltiplicazione di matrice è possibile solo se il numero di colonne nel primo operando è uguale al numero di righe del secondo operando. Il termine generale nel prodotto, cij, è definito come: p cij = ∑ aik ⋅ bkj , for i = 1,2,K, m; j = 1,2,K, n.
restituisce una matrice 1xn (un altro vettore riga). Per consentire alla calcolatrice di identificare un vettore riga, inserirlo tra doppie parentesi: Moltiplicazione termine a termine La moltiplicazione termine a termine di due matrici delle stesse dimensioni è possibile grazie all'utilizzo della funzione HADAMARD. Il risultato è, naturalmente, un'altra matrice delle stesse dimensioni.
In modalità algebrica, la sequenza di tasti è la seguente: [inserire o selezionare la matrice] Q [inserire la potenza] `. In modalità RPN , la sequenza di tasti è la seguente: [inserire o selezionare la matrice] † [inserire la potenza] Q`. Le matrici possono essere elevate a potenze negative. In questo caso, il risultato è equivalente a 1/[matrice]^ABS(potenza). La matrice identità Nel Capitolo 9 viene introdotta la matrice identità come la matrice I = [δij]nxn, dove δij è la funzione delta di Kronecker.
Per verificare le proprietà della matrice inversa, considerare le seguenti moltiplicazioni: Caratterizzazione di una matrice (Menu NORM) Il menu NORM (NORMALIZE, normalizzare) è accessibile mediante la sequenza di tasti „´ (flag di sistema 117 impostato su CHOOSE Boxes (Riquadri di SELEZIONE): Questo menu contiene le seguenti funzioni: Queste funzioni sono descritte di seguito.
Funzione ABS La funzione ABS calcola quella che è nota come la norma di Frobenius di una matrice. Data una matrice A = [aij]mxn, la norma di Frobenius della matrice viene definita nel seguente modo: A F = n m ∑∑ a i =1 j =1 2 ij Se la matrice presa in considerazione è un vettore riga o un vettore colonna, la norma di Frobenius, ||A||F , è semplicemente il modulo del vettore. La funzione ABS è accessibile direttamente dalla tastiera mediante „Ê.
Decomposizione ai valori singolari Per comprendere come si utilizza la funzione SNRM, è necessario introdurre il concetto di decomposizione della matrice. Fondamentalmente, la decomposizione della matrice comporta la determinazione di due o più matrici che, moltiplicate in un dato ordine (e forse anche mediante l'uso di inversione o trasposizione), restituiscono la matrice originale.
Funzione SRAD La funzione SRAD determina il raggio spettrale di una matrice, definito come il massimo dei valori assoluti degli autovalori. Ad esempio, Definizione degli autovalori e degli autovettori di una matrice Gli autovalori di una matrice quadrata sono il risultato di un'equazione tra matrici A·x = λ·x. I valori di λ che soddisfano l'equazione sono noti come autovalori della matrice A. I valori di x che sono il risultato dell'equazione per ogni valore di l sono noti come autovettori della matrice.
Provare il seguente esercizio per il numero di condizione di una matrice sulla matrice A33. Il numero di condizione è COND(A33) , la norma infinito e la norma 1 per A33 sono mostrati a sinistra. I numeri corrispondenti per la matrice inversa, INV(A33), sono mostrati a destra: Dal momento che RNRM(A33) > CNRM(A33), si prenda ||A33|| = RNRM(A33) = 21. Inoltre, dal momento che CNRM(INV(A33)) < RNRM(INV(A33)), si prenda ||INV(A33)|| = CNRM(INV(A33)) = 0.
dove i valori dj sono costanti, ovvero si può affermare che ck è linearmente dipendente dalle colonne incluse nella sommatoria. (Notare che i valori di j includono un valore qualsiasi nell'insieme {1, 2, …, n}, in una combinazione qualsiasi, sempre che j≠k.) Se l'espressione mostrata in precedenza non può essere scritta per uno qualsiasi dei vettori colonna, è possibile affermare che tutte le colonne sono linearmente indipendenti.
Determinante di una matrice I determinanti di una matrice 2x2 e o di una matrice 3x3 sono rappresentati dalla stessa disposizione degli elementi delle matrici, ma racchiusi tra righe verticali, ad esempio, a11 a 21 a12 , a 22 a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 Un determinante di una matrice 2x2 è calcolato moltiplicando gli elementi nella diagonale e sommando i prodotti seguiti dal segno positivo o negativo, come indicato nello schema mostrato di seguito.
Per le matrici quadrate di ordine superiore, i determinanti possono essere calcolati utilizzando i determinanti di ordine inferiore chiamati cofattori. L'idea generale è quella di "espandere" un determinante di una matrice nxn (chiamato anche determinante nxn) in una somma di cofattori, che sono determinanti (n-1)x(n-1), moltiplicati per gli elementi di una sola riga o colonna, alternando i segni positivi e quelli negativi.
Funzione TRAN La funzione TRAN restituisce la trasposta di una trasposta reale o coniugata di una matrice complessa. TRAN equivale a TRN. L'utilizzo della funzione TRN è stato spiegato nel Capitolo 10.
soluzione di sistemi di equazione lineari e verranno presentate più avanti nel presente Capitolo. In questa sezione verranno trattate sole le funzioni AXL e AXM. Funzione AXL La funzione AXL converte un array (matrice) in un elenco e viceversa: Nota: l'ultima operazione è simile a quella del programma CRMR presentata nel Capitolo 10.
L'implementazione della funzione LCXM in questo caso richiede di inserire: 2`3`‚@@P1@@ LCXM ` La seguente figura mostra lo stack in modalità RPN prima e dopo l'applicazione della funzione LCXM: In modalità ALG, è possibile ottenere questo esempio utilizzando: Il programma P1 deve essere sempre creato e memorizzato in modalità RPN.
⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣an1 a12 a22 M an 2 L a1m ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢b ⎥ L a2 m ⎥⎥ x = ⎢ 2⎥ b = ⎢ 2⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥ O M ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ L anm ⎦ n×m xm ⎦ m×1 ⎣ ⎣bn ⎦ n×1 , , Utilizzo del risolutore numerico per sistemi lineari Sono molti i modi disponibili per risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando la calcolatrice. Una possibilità prevede l'utilizzo del risolutore numerico ‚Ï. Dalla schermata del risolutore numerico, mostrata di seguito (a sinistra), selezionare l'opzione 4.
Questo sistema in cui il numero di equazioni equivale al numero di incognite è detto sistema quadrato. In linea generale si tratta di un sistema che ammette un'unica soluzione che corrisponde al punto d'intersezione dei tre piani del sistema di coordinate (x1, x2, x3) rappresentato dalle tre equazioni.
Per verificare che la soluzione sia corretta, inserire la matrice A e moltiplicarla per questo vettore soluzione (esempio in modalità algebrica): Sistema sottodeterminato Il sistema di equazioni lineari 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, può essere scritto come equazione matriciale A·x = b, se ⎡ x1 ⎤ ⎡2 3 − 5⎤ e A=⎢ , x = ⎢⎢ x2 ⎥⎥, and ⎥ − 1 3 8 ⎣ ⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎡− 10⎤ b=⎢ ⎥. 85 ⎣ ⎦ Questo sistema in cui il numero di incognite supera il numero di equazioni ha infinite soluzioni.
Se necessario, i dettagli del vettore soluzione possono essere visualizzati premendo il tasto @EDIT! In questo modo si attiva il Matrix Writer. Per spostare il vettore in questo ambiente, utilizzare i tasti di spostamento a destra e sinistra: La soluzione è x = [15.373, 2.4626, 9.6268]. Per ritornare all'ambiente del risolutore numerico, premere `. La procedura descritta di seguito consente di copiare nello stack la matrice A e il vettore soluzione X.
Registrare l'ultimo risultato in una variabile X e la matrice in una variabile A, come segue: Premere K~x` per memorizzare il vettore soluzione nella variabile X Premere ƒ ƒ ƒ per cancellare tre livelli dello stack Premere K~a` per memorizzare la matrice nella variabile A Si esegua una verifica della sostituzione utilizzando: @@@A@@@ * @@@X@@@ ` che dà come risultato (premere ˜ per vedere gli elementi del vettore): [9.99999999992 85.], ovvero un valore molto vicino al vettore originale b = [10 85].
3⎤ ⎡1 ⎡x ⎤ ⎢ e A = ⎢ 2 − 5⎥⎥, x = ⎢ 1 ⎥, and x ⎣ 2⎦ ⎢⎣− 1 1 ⎥⎦ ⎡15 ⎤ b = ⎢⎢ 5 ⎥⎥. ⎢⎣22⎥⎦ Questo sistema in cui il numero di equazioni supera il numero di incognite (sistema sovradeterminato) non ha un'unica soluzione. Ciascuna equazione lineare del sistema presentato sopra rappresenta una linea retta in un sistema bidimensionale di coordinate cartesiane (x1, x2).
Θ Θ Θ Θ Θ Θ Premere Premere Premere Premere stack. Premere Premere —— per evidenziare il campo A:. L @CALC@ ` per copiare la matrice A nello stack. @@@OK@@@ per ritornare all'ambiente del risolutore numerico. ˜ ˜@CALC@ ` per copiare il vettore soluzione X nello @@@OK@@@ per ritornare all'ambiente del risolutore numerico. ` per ritornare allo stack.
Θ Θ Se il rango di A è inferiore a una riga intera (sistema di equazioni sottodeterminato), LSQ restituisce la soluzione che tra il numero infinito di soluzioni possibili ha lunghezza euclidea minima. Se il rango di A è inferiore a una colonna intera (sistema di equazioni sovradeterminato), LSQ restituisce la "soluzione" con il valore di resto minimo e = A·x – b.
Sistema sottodeterminato Dato il sistema 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, con ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 3 − 5⎤ ⎢ ⎥ e A=⎢ ⎥, x = ⎢ x 2 ⎥, and − 1 3 8 ⎣ ⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎡− 10⎤ b=⎢ ⎥. ⎣ 85 ⎦ La soluzione per LSQ sarà la seguente: Sistema sovradeterminato Dato il sistema x1 + 3x2 = 15, 2x1 – 5x2 = 5, -x1 + x2 = 22, con 3⎤ ⎡1 ⎡x ⎤ ⎢ e A = ⎢ 2 − 5⎥⎥, x = ⎢ 1 ⎥, and x2 ⎦ ⎣ ⎢⎣− 1 1 ⎥⎦ ⎡15 ⎤ b = ⎢⎢ 5 ⎥⎥.
Confrontare le tre precedenti soluzioni con quelle calcolate con il risolutore numerico. Soluzione mediante matrice inversa La soluzione del sistema A·x = b, in cui A è una matrice quadrata, è x = A-1·b. Questo risultato si ottiene moltiplicando la prima equazione per A-1, ovvero A-1·A·x = A-1·b. Per definizione, si pone A-1·A = I e, pertanto, si può scrivere I·x = A-1·b. Analogamente, I·x = x, e, pertanto, si avrà x = A-1·b.
La procedura in questo caso di "divisione" di b per A è illustrata di seguito. 2x1 + 3x2 –5x3 = 13, x1 – 3x2 + 8x3 = -13, 2x1 – 2x2 + 4x3 = -6, Tale procedura è visualizzata nelle seguenti schermate: Si tratta della stessa soluzione trovata in precedenza con la matrice inversa.
[[14,9,-2],[2,-5,2],[5,19,12]] ` [[1,2,3],[3,-2,1],[4,2,-1]] `/ Il risultato sarà: 2⎤ ⎡1 2 ⎢ 1 ⎥⎥. X = ⎢2 5 ⎢⎣3 − 1 − 2⎥⎦ Eliminazione gaussiana e di Gauss-Jordan L'eliminazione gaussiana è una procedura con cui la matrice quadrata dei coefficienti di un sistema di n equazioni lineari in n incognite viene ridotto a una matrice triangolare superiore (forma a scala) tramite una serie di operazioni di riga. Questa procedura è nota come eliminazione in avanti.
Per cominciare il processo dell'eliminazione in avanti, dividere per 2 la prima equazione (E1), memorizzarla in E1 e visualizzare di nuovo le tre equazioni per ottenere: Poi sostituire la seconda equazione E2 con (equazione 2 - 3xequazione 1, ovvero E1-3xE2) e la terza con (equazione 3 - 4xequazione 1) per ottenere: Poi dividere per -8 la seconda equazione, per ottenere: Infine sostituire la terza equazione E3 con (equazione 3 + 6xequazione 2, ovvero E2+6xE3) per ottenere: Si noti che quando si esegue u
X +2Y+3Z = 7, Y+ Z = 3, -7Z = -14. Nell'ambito dell'eliminazione gaussiana, la procedura di sostituzione all'indietro consiste nel trovare i valori delle incognite a partire dall'ultima equazione e procedendo a ritroso. Si risolve, pertanto, prima per Z: Poi si sostituisce Z=2 nell'equazione 2 (E2) e si risolve E2 per Y: Poi si sostituiscono Z=2 e Y = 1 nell'equazione E1 e si risolve E1 per X: Si ottiene così la soluzione X = -1, Y = 1, Z = 2.
6⎞ ⎡X ⎤ ⎡ 14 ⎤ ⎛2 4 ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ A = ⎜ 3 − 2 1 ⎟, x = ⎢ Y ⎥, b = ⎢⎢ − 3⎥⎥.
Moltiplicare la riga 2 per -1/8: 8\Y2 @RCI! Moltiplicare la riga 2 per 6 e aggiungere il risultato alla riga 3, sostituendola: 6#2#3 @RCIJ! Se queste operazioni venissero eseguite a mano, si scriverebbe: A aug A aug ⎛2 4 6 14 ⎞ ⎛ 1 2 3 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 − 2 1 − 3⎟ ≅ ⎜ 3 − 2 1 − 3⎟ ⎜ 4 2 −1 − 4⎟ ⎜ 4 2 −1 − 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2 3 7 ⎞ ⎛1 2 3 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≅ ⎜ 0 − 8 − 8 − 24 ⎟ ≅ ⎜ 0 1 3 ⎟ 1 ⎜ 0 − 6 − 13 − 32 ⎟ ⎜ 0 − 6 − 13 − 32 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A aug ⎛1 2 3 7 ⎞ ⎜ ⎟ ≅ ⎜0 1 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 − 7 − 14 ⎟ ⎝ ⎠ Il simbolo ≅ ("circa
Moltiplicare la riga 3 per –1/7: 7\Y 3 @RCI! Moltiplicare la riga 3 per –1 e aggiungere il risultato alla riga 2, sostituendola: 1\ # 3 #2 @RCIJ! Moltiplicare la riga 3 per –3 e aggiungere il risultato alla riga 1, sostituendola: 3\#3#1@RCIJ! Moltiplicare la riga 2 per –2 e aggiungere il risultato alla riga 1, sostituendola: 2\#2#1 @RCIJ! Se queste operazioni venissero eseguite a mano, si avrebbe: Aaug ⎛ 1 2 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≅ ⎜ 0 1 0 1 ⎟ ≅ ⎜ 0 1 0 1 ⎟.
Quando si esegue il pivot in operazioni di eliminazione con le matrici, la soluzione numerica può essere ulteriormente perfezionata selezionando come pivot l'elemento con il massimo valore assoluto nella colonna e riga d'interesse. Per svolgere alcune di tali operazioni di pivot, può essere necessario scambiare, oltre alle righe, anche le colonne. Quando nel pivot sono consentiti gli scambi di righe e colonne, la procedura è nota come pivot totale.
A questo punto, tutto è pronto per cominciare l'eliminazione di Gauss-Jordan con il pivot totale. La matrice di permutazione dovrà essere annotata a mano: trascrivere su un foglio la matrice P indicata in alto. Verificare prima di tutto il pivot a11. Si noti che l'elemento con il massimo valore assoluto nella prima riga e nella prima colonna è il valore di a31 = 8. Poiché è questo il numero da utilizzare come pivot, si passi a scambiare le righe 1 e 3, utilizzando: 1#3L @RSWP.
Dopo avere inserito degli zeri per gli elementi della colonna 1 sotto il pivot, si proceda con la verifica del pivot in posizione (2,2). Il numero 3 in posizione (2,3), però, rappresenta un pivot migliore, per cui si scambiano le colonne 2 e 3 utilizzando: 2#3 ‚N@@@OK@@ 1 0 0 -1/16 3 25/8 1/2 41/16 2 -1 0 -25/8 0 1 0 1 0 0 0 0 1 Verificato il pivot in posizione (2,2), si osserva che il valore di 25/8 in posizione (3,2) è maggiore di 3.
2 Y \#3#1@RCIJ 1 0 0 -1/16 1 0 0 0 1 33/16 -1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Infine si elimina il valore –1/16 dalla posizione (1,2), utilizzando: 16 Y # 2#1@RCIJ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 -1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 A questo punto è presente una matrice identità nella parte della matrice aumentata corrispondente al coefficiente originale della matrice A ed è possibile procedere per ottenere la soluzione, senza trascurare gli scambi di riga e colonna registrati nella matrice di permutazione P.
Poi, per questo specifico esempio, utilizzare quanto segue in modalità RPN: [2,-1,41] ` [[1,2,3],[2,0,3],[8,16,-1]] `/ La calcolatrice visualizza una matrice aumentata composta dalla matrice dei coefficienti A e dalla matrice identità I e, contemporaneamente, mostra la successiva procedura da calcolare: L2 = L2-2·L1 significa "sostituire la riga 2 (L2) con l'operazione L2 – 2·L1". Se questa operazione fosse stata eseguita a mano, si sarebbe selezionato 2\#1#1@RCIJ.
A aug ( I ) ⎡1 2 3 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ = ⎢3 − 2 1 0 1 0⎥. ⎢⎣4 2 − 1 0 0 1⎥⎦ Per vedere i passi intermedi del calcolo dell'inversa, è sufficiente inserire la matrice A precedente e premere Y, lasciando attiva l'opzione Step/Stepnel CAS della calcolatrice.
Il risultato (A-1)nxn = C nxn /det(Anxn), è generale e si applica a qualsiasi matrice non singolare A. È possibile scrivere una forma generale per gli elementi di C basata sull'algoritmo di Gauss-Jordan. Secondo l'equazione A-1 = C/det(A), delineata sopra, la matrice inversa A-1 non è definita se det(A) = 0. La condizione det(A) = 0 definisce, pertanto, anche una matrice singolare.
LINSOLVE([X-2*Y+Z=-8,2*X+Y-2*Z=6,5*X-2*Y+Z=-12], [X,Y,Z]) per calcolare la soluzione: [X=-1,Y=2,Z = -3]. La funzione LINSOLVE va utilizzata con le espressioni simboliche; le funzioni REF, rref e RREF, invece, possono essere utilizzate con la matrice aumentata in una procedura di eliminazione gaussiana.
La matrice diagonale restituita da un'eliminazione di Gauss-Jordan è detta forma a scala ridotta per righe. Funzione RREF (Row-Reduced Echelon Form, forma a scala ridotta a una riga) Il risultato della chiamata a questa funzione restituisce la forma a scala della matrice dei coefficienti, ridotta per righe, in modo da ottenere una matrice identità. La colonna supplementare nella matrice aumentata conterrà la soluzione al sistema di equazioni.
Il risultato è la matrice aumentata corrispondente al sistema di equazioni: X+Y = 0 X-Y =2 Errori residui nella risoluzione dei sistemi lineari (funzione RSD) La funzione RSD calcola i ReSiDui ovvero gli errori nella soluzione dell'equazione matriciale A·x=b che rappresenta un sistema di n equazioni lineari in n incognite. La soluzione di questo sistema può essere calcolata risolvendo l'equazione matriciale: f(x) = b -A·x = 0.
Autovalori e autovettori Data una matrice quadrata A, è possibile scrivere l’equazione agli autovalori A·x = λ⋅x, dove i valori di ë che soddisfano l_fequazione sono noti come gli autovalori della matrice A. Per ogni valore di λ, è possibile trovare, a partire dalla stessa equazione, i valori di x che soddisfano l'equazione agli autovalori. Tali valori di x sono noti come gli autovettori della matrice A. L’equazione agli autovalori può essere scritta anche sotto forma dis (A – λ⋅I)x = 0.
Utilizzando la variabile λ per rappresentare gli autovalori, questo polinomio caratteristico dovrà essere interpretato come λ 3-2λ 2-22λ +21=0. Funzione EGVL La funzione EGVL (EiGenVaLues - Autovalori) genera gli autovalori di una matrice quadrata. Ad esempio, gli autovalori della matrice sottoindicata sono calcolati in modalità ALG utilizzando la funzione EGVL: Gli autovalori λ = [ -√10, √10 ].
forma di colonne di una matrice, mentre gli autovalori corrispondenti vengono restituiti sotto forma di componenti di un vettore. Ad esempio, in modalità ALG, è possibile trovare gli autovettori e gli autovalori della matrice, indicati di seguito, applicando la funzione EGV: Il risultato mostra gli autovalori come colonne della matrice nell’elenco dei risultati. Per visualizzare gli autovalori, è possibile utilizzare: GET(ANS(1),2), ossia prendere il secondo elemento nell’elenco del risultato precedente.
Θ Θ un elenco con gli autovettori corrispondenti ad ogni autovalore della matrice A (livello di stack 2); un vettore con gli autovettori della matrice A (livello di stack 4).
Si noti che l’equazione (x·I-A)·p(x)=m(x)·I è simile, nella forma, all’equazione agli autovalori A⋅x = λ⋅x. Provare, ad esempio, il seguente esercizio in modalità RPN: [[4,1,-2] [1,2,-1][-2,-1,0]] M D Si otterrà il risultato: 4: -8. 3: [[ 0.13 –0.25 –0.38][-0.25 0.50 –0.25][-0.38 –0.25 –0.
Funzione LU La funzione LU prende come parametro una matrice quadrata A e genera una matrice triangolare inferiore L, una matrice triangolare superiore U e una matrice di permutazione P, nei livelli di stack 3, 2, e 1, rispettivamente. I risultati L, U e P soddisfano l’equazione P·A = L·U. Richiamando la funzione LU, la calcolatrice esegue una fattorizzazione LU di Crout di A utilizzando un pivot parziale. Ad esempio, in modalità RPN: [[-1,2,5][3,1,-2][7,6,5]] LU dà come risultato: 3:[[7 0 0][-1 2.
definite in precedenza per la decomposizione in valori singolari, mentre il vettore s rappresenta la diagonale principale della matrice S utilizzata in precedenza. Ad esempio, in modalità RPN: [[5,4,-1],[2,-3,5],[7,2,8]] SVD 3: [[-0.27 0.81 –0.53][-0.37 –0.59 –0.72][-0.89 3.09E-3 0.46]] 2: [[ -0.68 –0.14 –0.72][ 0.42 0.73 –0.54][-0.60 0.67 0.44]] 1: [ 12.15 6.88 1.
Funzione QR In modalità RPN, la funzione QR genera la fattorizzazione QR di una matrice Anxm restituendo una matrice ortogonale Qnxn, una matrice trapezoidale superiore Rnxm e una matrice di permutazione Pmxm, nei livelli di stack 3, 2 e 1. Le matrici A, P, Q e R sono legate dalla relazione A·P = Q·R. Ad esempio, [[ 1,-2,1][ 2,1,-2][ 5,-2,1]] QR dà come risultato 3: [[-0.18 0.39 0.90][-0.37 –0.88 0.30][-0.91 0.28 –0.30]] 2: [[ -5.48 –0.37 1.83][ 0 2.42 –2.20][0 0 –0.
Tale menu comprende le funzioni AXQ, CHOLESKY, GAUSS, QXA e SYLVESTER. Funzione AXQ In modalità RPN, la funzione AXQ genera la forma quadratica corrispondente a una matrice Anxn nel livello di stack 2 utilizzando le variabili n in un vettore posizionato nel livello di stack 1. La funzione restituisce la forma quadratica nel livello di stack 1 ed il vettore di variabili nel livello di stack 1.
termini quadrati di una variabile y, tale che x = P·y, utilizzando Q = x⋅A⋅xT = (P⋅y)⋅A⋅ (P⋅y)T = y⋅(PT⋅A⋅P)⋅yT = y⋅D⋅yT. Funzione SYLVESTER La funzione SYLVESTER prende come argomento una matrice quadrata simmetrica A restituendo un vettore contenente i termini diagonali di una matrice diagonale D ed una matrice P, in modo che PT·A·P = D.
Per informazioni sulle funzioni presenti in questo menu, utilizzare l'opzione Help della calcolatrice. Le figure mostrano la voce disponibile richiamando l’opzione Help e gli esempi corrispondenti.
Funzione KER Funzione MKISOM Pagina 11-56
Capitolo 12 Grafica In questo capitolo illustreremo alcune delle capacità grafiche della calcolatrice. Presenteremo grafici di funzioni in coordinate cartesiane e coordinate polari, grafici parametrici, grafici di coniche, diagrammi a barre, diagrammi di dispersione e diversi tipi di grafici tridimensionali. Opzioni dei grafici nella calcolatrice Per accedere all'elenco dei formati grafici disponibili nella calcolatrice, premere in sequenza i tasti „ô(D).
Le opzioni dei grafici sono descritte brevemente di seguito.
Θ Nota: da notare che una nuova variabile, chiamata PPAR, appare nelle etichette dei tasti funzione. Tale etichetta sta per Plot PARameters. Per visualizzarne il contenuto, premere ‚@PPAR. Una spiegazione dettagliata dei contenuti di PPAR viene fornita più avanti in questo Capitolo. Premere ƒ per eliminare questa riga dallo stack. Θ Θ Accedere all’ambiente PLOT premendo „ñ (premere i tasti contemporaneamente se si è in modalità RPN). Premere @ADD per accedere all’Equation Writer.
<< →X ‘EXP(-X^2/2)/ √(2*π)‘ >>. Premere due volte ƒ, per cancellare il contenuto dello stack. Θ Accedere all’ambiente PLOT WINDOW (Finestra di plotting) inserendo „ò (se in modalità RPN, premere contemporaneamente i tasti). Utilizzare una serie da –4 a 4 per H-VIEW, quindi premere @AUTO per generare automaticamente V-VIEW.
Indicazioni utili di tracciatura per i grafici delle funzioni Per illustrare le seguenti opzioni di tracciatura, è necessario modificare la funzione in modo da avere alcune radici reali (dal momento che la curva corrente è interamente tracciata sopra l’asse x, non possiede alcuna radice reale). Premere ‚@@@Y1@@ per scorrere i contenuti della funzione Y1 sullo stack: << →X ‘EXP(-X^2/2)/ √(2*π) ‘ >>.
Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ che è stata ottenuta mediante SIGN REVERSAL (Inversione di segno). Premere L per ritornare al menu. Premendo @ISECT, si otterrà l’intersezione della curva con l’asse x, che corrisponde essenzialmente alla radice. Posizionare il cursore nel punto esatto della radice e premere @ISECT. Si visualizzerà lo stesso messaggio precedente, ovvero SIGN REVERSAL, prima di ottenere il risultato ISECT: 1.6635….
Nota: lo stack mostra tutte le operazioni grafiche eseguite, adeguatamente identificate. Θ Θ Accedere all'ambiente PLOT (Grafico) premendo „ñ (premere i tasti contemporaneamente se si è in modalità RPN). Si noti che il campo evidenziato nell'ambiente PLOT contiene ora la derivata di Y1 (X). Premere L@@@OK@@@ per ritornare al display normale della calcolatrice. Premere ‚@@EQ@@ per controllare il contenuto di EQ. Si noterà che il contenuto è un elenco anziché una singola espressione.
Per tornare al funzionamento normale della calcolatrice, premere @)PICT @CANCL. Nota: per risparmiare spazio di stampa, non verranno rappresentati ulteriori grafici ottenuti per mezzo delle istruzioni del presente Capitolo. Si invita l'utente a generare tali grafici autonomamente.
denominato @AUTO per far sì che la calcolatrice determini l'intervallo verticale corrispondente. Dopo un paio di secondi, tale intervallo compare nella finestra PLOT WINDOW-FUNCTION. A questo punto è possibile disegnare il grafico di ln(X). Premere @ERASE @DRAW per tracciare la funzione del logaritmo naturale. Per aggiungere etichette al grafico premere @EDIT L@)LABEL. Premere @MENU per rimuovere le etichette del menu e visualizzare l'intero grafico. Premere L per tornare al menu del grafico corrente.
Premere quindi ‚@@@X@@@ per visualizzare il contenuto di questa variabile. Un valore pari a 10.275 viene posizionato nello stack. Questo valore è determinato dalla selezione eseguita per l'intervallo orizzontale del display. L'intervallo selezionato è compreso fra -1 e 10 per X.
Variabile PPAR Premere J per tornare al menu delle variabili, se necessario. Nel menu delle variabili deve essere presente una variabile denominata PPAR. Premere ‚@PPAR per portare il contenuto di questa variabile nello stack. Premere il tasto freccia giù, per aprire l'editor dello stack e utilizzare i tasti freccia su e giù per visualizzare l'intero contenuto di PPAR.
Come precedentemente indicato, le funzioni ln(x) e exp(x) sono l'una l'inverso dell'altra, ossia ln(exp(x)) = x e exp(ln(x)) = x. Tale condizione è verificabile tramite la calcolatrice digitando e valutando le seguenti espressioni con l'Equation Writer: LN(EXP(X)) e EXP(LN(X)). Entrambe dovrebbero trovare X. Quando una funzione f(x) e la sua inversa f -1(x) vengono tracciate simultaneamente nello stesso sistema di assi, i rispettivi grafici sono simmetrici rispetto alla linea y = x.
Riepilogo del funzionamento della funzione PLOT La presente sezione riporta informazioni relative alle schermate PLOT SETUP, PLOT!FUNCTION e PLOT WINDOW, accessibili combinando il tasto shift sinistro con i tasti funzione da A a D.
Θ Θ Θ Utilizzare @RESET per riportare tutti i campi selezionati ai rispettivi valori predefiniti. Utilizzare @CANCL per annullare eventuali modifiche alla finestra PLOT SETUP e tornare al display normale della calcolatrice. Utilizzare @@@OK@@@ per salvare le modifiche alle opzioni della finestra PLOT SETUP e tornare al display normale della calcolatrice. Premere „ñ, contemporaneamente se si è in modalità RPN, per accedere alla finestra PLOT (in questo caso sarà denominata finestra PLOT –FUNCTION).
Θ Θ Θ Θ Inserire i limiti inferiore e superiore per la visualizzazione orizzontale (HView) e premere @AUTO mentre il cursore si trova in uno dei campi V-View, per generare automaticamente l'intervallo di visualizzazione verticale (VView). Oppure Inserire i limiti inferiore e superiore per la visualizzazione verticale (V-View) e premere @AUTO mentre il cursore si trova in uno dei campi H-View, per generare automaticamente l'intervallo di visualizzazione orizzontale (HView).
Premere „ó, contemporaneamente se si è in modalità RPN, per tracciare il grafico in base alle impostazioni memorizzate nella variabile PPAR e alle funzioni correnti definite nella schermata PLOT - FUNCTION. Se nella schermata del display grafico esiste già un grafico, diverso da quello che si sta tracciando, il nuovo grafico verrà sovrapposto a quello esistente.
TANH(X) ATANH(X) TAN & ATAN -5 5 AUTO -1.2 1.2 AUTO -5 5 -2.5 2.5 Generazione di una tabella di valori per una funzione Le combinazioni „õ(E) e „ö(F), premute contemporaneamente se si è in modalità RPN, permettono all'utente di creare una tabella di valori delle funzioni.
come Y1 per impostazione predefinita. È possibile utilizzare i tasti freccia su e giù per spostarsi nella tabella. Si noterà che non è stato necessario indicare un valore finale per la variabile indipendente x. In tal modo, la tabella prosegue oltre il valore massimo per x precedentemente suggerito, ossia x = 5. Alcune opzioni disponibili mentre la tabella è visibile sono @ZOOM, @@BIG@, e @DEFN: Θ Θ Θ @DEFN, quando è selezionato, mostra la definizione della variabile indipendente.
Scopo dell'esercizio è tracciare il grafico della funzione f(θ) = 2(1-sin(θ)), nel modo seguente: Θ Per prima cosa, controllare che l'unità di misura angolare della calcolatrice sia impostata su radianti. Θ Premere „ô, contemporaneamente se si è in modalità RPN, per accedere alla finestra PLOT SETUP. Θ Portare TYPE su Polar, premendo @CHOOS ˜ @@@OK@@@. Θ Premere ˜ e digitare: ³2* „ Ü1-S~‚t @@@OK@@@. Θ Θ Θ Θ Il cursore si trova ora nel campo Indep.
Θ Premere L@CANCL per ritornare alla schermata PLOT WINDOW. Premere L@@@OK@@@ per ritornare al display normale della calcolatrice. In questo esercizio, l'equazione di cui si vuole tracciare il grafico è stata inserita direttamente nella finestra PLOT SETUP. È anche possibile inserire le equazioni di cui si vuole tracciare il grafico per mezzo della finestra PLOT premendo „ñ, contemporaneamente se si è in modalità RPN.
La calcolatrice è in grado di tracciare una o più curve coniche selezionando Conic nel campo TYPE (Tipo di funzione), all'interno dell'ambiente PLOT. Assicurarsi di cancellare le variabili PPAR ed EQ prima di continuare. Come esercizio, memorizzare l'elenco di equazioni { ‘(X-1)^2+(Y-2)^2=3’ , ‘X^2/4+Y^2/3=1’ } nella variabile EQ. Tali equazioni si riferiscono a un cerchio con centro in (1,2), di raggio √3 e a un'ellisse con centro in (0,0) con lunghezze dei semiassi pari a a = 2 e b = √3.
Nota: gli intervalli H-View e V-View sono stati selezionati per mostrare l'intersezione delle due curve. Non esiste una regola generale per selezionare tali intervalli, se non basandosi sulle caratteristiche note delle curve. Ad esempio, per le equazioni mostrate precedentemente, è noto che il cerchio si estende da -3+1=-2 a 3+1=4 su x e da -3+2=-1 a 3+2=5 su y. Inoltre, l'ellisse, con centro nell'origine (0,0), si estende da -2 a 2 su x e da -√3 a √3 su y.
tali parametri in variabili. Per sviluppare questo esempio, creare una sottodirectory con il nome 'PROJM' per PROJectile Motion e all'interno memorizzare le seguenti variabili: X0=0, Y0=10, V0=10,, θ0 = 30, g=9.806. Assicurarsi che l'unità di misura degli angoli usata dalla calcolatrice sia impostata su DEG (Gradi). Quindi definire le funzioni (utilizzare „à): X(t) = X0 + V0*COS(θ0)*t Y(t) = Y0 + V0*SIN(θ0)*t – 0.
Nota: queste impostazioni indicano che il parametro t assumerà i valori di t=0, 0.1, 0.2,…, ecc., fino al raggiungere il valore di 2.0. Θ Premere @AUTO. In tal modo si generano automaticamente i valori degli intervalli di visualizzazione orizzontale e verticale in base ai valori della variabile indipendente t e alle definizioni di X(t) e Y(t) utilizzate. Il risultato sarà: Θ Θ Premere @ERASE @DRAW per tracciare il grafico parametrico.
grafico. Le altre variabili contengono i valori delle costanti utilizzate nelle definizioni di X(t) e Y(t). È possibile memorizzare diversi valori nelle variabili e generare nuovi grafici parametrici delle equazioni relative ai proiettili utilizzate in questo esempio.
Rappresentazione grafica della soluzione di equazioni differenziali semplici Il grafico di un'equazione differenziale semplice può essere generato selezionando Diff Eq nel campo TYPE dell'ambiente PLOT SETUP (Configurazione grafico), come segue: Si supponga di volere tracciare x(t) dell'equazione differenziale dx/dt=exp(-t2), con le condizioni iniziali: x=0 in t=0. La calcolatrice consente di tracciare la soluzione di equazioni differenziali della forma Y'(T)=F(T,Y).
Θ Θ Θ Θ Θ Θ Premere L per tornare al menu. Premere L@)PICT per tornare al menu dei grafici originale. Osservando il grafico tracciato, si nota che la curva non è molto "liscia". Ciò è dovuto al fatto che il plotter utilizza un incremento temporale troppo ampio. Per rifinire il grafico e rendere la curva più regolare, utilizzare un incremento di 0.1. Utilizzare la seguente sequenza di tasti: @CANCL ˜˜˜.1@@@OK@@@ @ERASE @DRAW.
Grafici vero/falso I grafici vero/falso sono usati per generare una rappresentazione bidimensionale delle regioni (domini) che soddisfano certe condizioni matematiche, che possono essere vere o false. Si supponga, ad esempio, di dovere tracciare il grafico del dominio per X^2/36+Y^2/9 < 1, procedere come segue: Θ Premere „ô, contemporaneamente (se si è in modalità RPN) per accedere alla finestra PLOT SETUP. Θ Impostare il parametro TYPE su Truth (Verità).
Θ Θ Θ Premere „ô, contemporaneamente (se si è in modalità RPN) per accedere alla finestra PLOT SETUP. Premere ˜ e digitare '(X^2/36+Y^2/9 < 1)·(X^2/16+Y^2/9 > 1)' @@@OK@@@ per definire le condizioni da tracciare. Premere @ERASE @DRAW per generare il grafico vero/falso. Occorre quindi attendere mentre la calcolatrice genera il grafico. Se si desidera interrompere la generazione del grafico, premere $ una volta. Quindi premere @CANCEL.
[4.5,5.6,4.4],[4.9,3.8,5.5],[5.2,2.2,6.6]] ` per memorizzare in ΣDAT, utilizzare la funzione STOΣ disponibile nel Function Catalog, ‚N). Premere VAR per tornare al menu variabili. Nello stack sarà disponibile un tasto funzione denominato ΣDAT. La figura sottostante mostra la memorizzazione di questa matrice in modalità ALG: Per generare il grafico: Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Premere „ô, contemporaneamente (se si è in modalità RPN) per accedere alla finestra PLOT SETUP. Impostare TYPE su Bar (Barre).
diagrammi a barre sono utili per rappresentare graficamente dati categorici (ossia, non numerici). Si supponga di voler visualizzare in forma di grafico i dati nella colonna 2 della matrice ΣDAT: Θ Θ Θ Θ Θ Θ Premere „ô, contemporaneamente (se si è in modalità RPN) per accedere alla finestra PLOT SETUP. Premere ˜˜ per evidenziare il campo Col: e digitare 2 @@@OK@@@, seguito da L@@@OK@@@. Premere „ò, contemporaneamente (se si è in modalità RPN) per accedere alla finestra PLOT SETUP.
Θ Premere @ERASE @DRAW per generare il grafico a barre. Premere @EDIT L @LABEL @MENU per visualizzare il grafico senza il menu e con le etichette di identificazione (il cursore sarà posizionato al centro del grafico): Θ Θ Premere LL@)PICT per uscire dall'ambiente EDIT (Modifica). Premere @CANCL per ritornare all'ambiente PLOT WINDOW. Premere quindi $ o L@@@OK@@@ per tornare al display normale della calcolatrice.
Campi di direzioni I campi di direzioni sono usati per visualizzare le soluzioni di un'equazione differenziale della forma y' = f(x,y). In pratica, il grafico mostra dei segmenti tangenti alle curve delle soluzioni, in quanto y' = dy/dx, valutati in qualsiasi punto (x,y), rappresentano la pendenza del retta tangente il punto (x,y).
y(x,y) = costante per la soluzione di y' = f(x,y). Pertanto, i campi di direzioni sono utili strumenti per visualizzare equazioni particolarmente difficili da risolvere. Provare inoltre a creare un campo di direzione per la funzione y' = f(x,y) = - (y/ x)2, utilizzando: Θ Θ Θ Θ Θ Θ Premere „ô, contemporaneamente (se si è in modalità RPN) per accedere alla finestra PLOT SETUP. Impostare TYPE su Slopefield. Premere ˜ e digitare '- (Y/X)^2' @@@OK@@@. Premere @ERASE @DRAW per generare il campo di direzioni.
Nota: i valori Step Indep: e Depnd: rappresentano il numero di linee della griglia da usare nel grafico. Quanto più elevati sono questi valori, tanto più lenta sarà la generazione del grafico, sebbene i tempi impiegati per la generazione dei grafici siano relativamente rapidi. Per il momento si manterranno i valori predefiniti di 10 e 8 per il campo Step. Θ Premere @ERASE @DRAW per generare la superficie tridimensionale.
Θ Θ Θ Θ Θ Θ Premere „ô, simultaneamente se in modalità RPN, per accedere alla finestra PLOT SETUP. Premere ˜ e digitare 'SIN(X^2+Y^2)' @@@OK@@@. Premere @ERASE @DRAW per generare il grafico. Una volta terminato, premere @EXIT. Premere @CANCL per tornare a PLOT WINDOW. Premere $ o L@@@OK@@@ per tornare al display normale della calcolatrice. Grafico wireframe I grafici wireframe sono rappresentazioni tridimensionali di superficie descritte da z = f(x,y).
Θ Θ Premere LL@)PICT @CANCL per ritornare all'ambiente PLOT WINDOW. Impostare le coordinate del punto di visualizzazione come segue: XE:0 Θ Θ Premere @ERASE @DRAW per visualizzare il grafico della superficie. Premere @EDIT L @LABEL @MENU per visualizzare il grafico con le etichette e gli intervalli. YE:-3 ZE:3 Questa versione del grafico occupa un'area maggiore del display rispetto a quella precedente. È possibile modificare nuovamente il punto di vista, per visualizzare un'altra versione del grafico.
Θ Θ Θ Θ Θ Premere „ô, simultaneamente se in modalità RPN, per accedere alla finestra PLOT SETUP. Premere ˜ e digitare 'X^2+Y^2' @@@OK@@@. Premere @ERASE @DRAW per generare il campo di direzioni. Premere @EDIT L@)MENU @LABEL per vedere il grafico senza il menu e con le etichette di identificazione. Premere LL@)PICT per uscire dall'ambiente EDIT (Modifica). Premere @CANCL per ritornare all'ambiente PLOT WINDOW. Premere quindi $ o L@@@OK@@@ per tornare al display normale della calcolatrice.
Θ Θ Premere LL@)PICT@CANCL per ritornare all'ambiente PLOT WINDOW. Premere $ o L@@@OK@@@ per tornare al display normale della calcolatrice. Provare inoltre a generare un grafico delle isolinee Ps-Contour per la superficie z = f(x,y) = sin x cos y. Θ Θ Θ Θ Θ Premere „ô, simultaneamente se in modalità RPN, per accedere alla finestra PLOT SETUP. Premere ˜ e digitare 'SIN(X)*COS(Y)' @@@OK@@@. Premere @ERASE @DRAW per generare il campo di direzioni.
Θ Θ Θ Premere „ò (contemporaneamente se si è in modalità RPN) per accedere alla schermata PLOT WINDOW. Impostare gli intervalli della finestra del grafico predefiniti come segue: XLeft:-1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low:-1, Z-High:1, Step Indep: 10 Depnd: 8 Premere @ERASE @DRAW per generare la superficie tridimensionale. La calcolatrice genererà una serie di curve sullo schermo che scomparirà immediatamente.
Θ Θ Θ Θ Θ Premere ˜ e digitare 'SIN(X+i*Y)' @@@OK@@@. Assicurarsi che siano selezionate "X" nel campo Indep: e "Y" nel campo Depnd: come variabili. Premere L@@@OK@@@ per ritornare al display normale della calcolatrice. Premere „ò (contemporaneamente se si è in modalità RPN) per accedere alla schermata PLOT WINDOW.
Nota: le equazioni x = x(X,Y), y = y(X,Y), z=z(X,Y) rappresentano una descrizione parametrica di una superficie. X e Y sono i parametri indipendenti. La maggior parte dei libri di testo utilizza (u,v) come parametri anziché (X,Y). Pertanto, la descrizione parametrica di una superficie è indicata come x = x(u,v), y = y(u,v), z=z(u,v).
Disegno interattivo Quando si genera un grafico bidimensionale, nella schermata dei grafici è presente un tasto funzione denominato @)EDIT. Premendo @)EDIT si aprirà un menu che comprende le seguenti opzioni (premere L per visualizzare ulteriori funzioni): Mediante gli esempi precedenti, l'utente ha avuto la possibilità di provare le funzioni LABEL, MENU, PICT e REPL. Molte delle restanti funzioni, come DOT+, DOT-, LINE, BOX, CIRCL, MARK, DEL, ecc.
Si illustrerà ora l'uso delle diverse funzioni di disegno nella schermata dei grafici così ottenuta. A questo scopo, utilizzare il cursore e i tasti freccia (š™—˜) per spostare il cursore nella schermata dei grafici. DOT+ e DOTSe è selezionata la funzione DOT+, i pixel si accenderanno al passaggio del cursore che si lascerà alle spalle la traccia della sua posizione. Se è selezionata la funzione DOT-, si avrà l'effetto opposto, ovvero, spostando il cursore, i pixel verranno spenti.
senza spostarlo, premere @LINE. Il cursore ritorna alla sua forma normale (una croce) e la funzione LINE non è più attiva. TLINE (Toggle LINE) Spostare il cursore nel secondo quadrante per vedere come si utilizza questa funzione. Premere @TLINE. Verrà inserito un segno (MARK) all'inizio della retta "toggle" (cambio di stato). Spostare il cursore con i tasti freccia lontano da questo punto e premere @TLINE.
DEL Questo comando è usato per eliminare parti del grafico tra due posizioni contrassegnate con MARK. Spostare il cursore in un punto nel grafico e premere @MARK. Spostare il cursore in un punto diverso, premere nuovamente @MARK. Quindi premere @@DEL@. La sezione del grafico all'interno del rettangolo (tra i due segni) sarà cancellata. ERASE La funzione ERASE cancella l'intero contenuto della finestra dei grafici.
X,Y Questo comando copia nello stack le coordinate della posizione corrente del cursore, in coordinate definite dall'utente. Zoom avanti e indietro nel riquadro grafico Quando si genera interattivamente un grafico bidimensionale di una funzione, il primo tasto funzione, denominato @)ZOOM, consente di accedere alle funzioni da usare per ingrandire o rimpicciolire il grafico nel riquadro.
È sempre possibile tornare all'ultima finestra di zoom utilizzando @ZLAST. BOXZ Lo zoom avanti e indietro di un determinato grafico può essere eseguito mediante il tasto funzione BOXZ. Con BOXZ si seleziona il settore rettangolare (il "riquadro") che si desidera ingrandire. Spostare il cursore su uno degli angoli del riquadro (utilizzando i tasti freccia), quindi premere @)ZOOM @BOXZ. Utilizzando nuovamente i tasti freccia, spostare il cursore sull'angolo opposto rispetto al riquadro di zoom desiderato.
utilizza ZINTG, con il cursore al centro della schermata, la finestra viene ingrandita in modo che l'asse delle x passi da -64.5 a 65.5. ZSQR Ingrandisce il grafico in modo da mantenere le proporzioni 1:1 regolando la scala dell'asse x e mantenendo fissa quella dell'asse y, se la finestra è più larga che alta. In questo modo si forza uno zoom proporzionale.
SOLVER.. „Î (tasto 7) Ch. 6 TRIGONOMETRIC.. ‚Ñ (tasto 8) Ch. 5 EXP&LN.. „Ð (tasto 8) Ch. 5 Menu SYMB/GRAPH Il sottomenu GRAPH all'interno del menu SYMB comprende le seguenti funzioni: DEFINE: come sequenza di tasti „à (tasto 2) GROBADD: incolla due GROB, il primo sul secondo (vedere il Capitolo 22) PLOT(funzione): rappresenta graficamente una funzione, simile a „ô PLOTADD(funzione): aggiunge questa funzione all'elenco di funzioni da rappresentare in forma grafica, simile a „ô Plot setup..
TABVAL(X^2-1,{1, 3}) dà come risultato un elenco di valori {min max} della funzione nell'intervallo {1,3}, mentre SIGNTAB(X^2-1) mostra il segno della funzione nell'intervallo (-∞,+), con f(x) > 0 in (-∞,-1), f(x) <0, in (-1,1) e f(x) > 0 in (1,+ ∞).
etichette sul lato destro. Pertanto, la riga superiore rappresenta i valori di X mentre la seconda riga rappresenta i valori di F. l punti interrogativi indicano incertezza o mancanza di definizione. Ad esempio, per X<0, LN(X) non è definita e la riga X mostra un punto interrogativo nell'intervallo. In corrispondenza dello (0+0) F è infinita, per X = e, F = 1/e.
Capitolo 13 Applicazioni di calcolo infinitesimale Nel presente capitolo si tratteranno le applicazioni delle funzioni della calcolatrice per eseguire operazioni di calcolo infinitesimale, ad esempio, limiti, derivate, integrali, serie di potenze, ecc. Menu CALC (Calcolo infinitesimale) Molte delle funzioni presentate in questo capitolo sono contenute nel menu CALC della calcolatrice, richiamabile utilizzando la sequenza di tasti „Ö (associata al tasto 4).
Funzione lim La calcolatrice dispone della funzione lim per calcolare i limiti delle funzioni. Questa funzione utilizza come dato di input un'espressione che rappresenta una funzione e il valore in corrispondenza del quale deve essere calcolato il limite. La funzione lim è disponibile nel Command Catalog (‚N~„l) o mediante l'opzione 2. LIMITS & SERIES… del menu CALC (vedere in alto).
Per calcolare i limiti unilaterali, sommare +0 o -0 al valore della variabile. "+0" si riferisce al limite destro, mentre "-0" si riferisce al limite sinistro.
ricorda che in modalità RPN gli argomenti devono essere inseriti prima della funzione. Menu DERIV&INTEG Le funzioni disponibili in questo sottomenu sono elencate di seguito: Di queste funzioni, DERIV e DERVX sono usate per le derivate. Le altre funzioni comprendono funzioni relative alle antiderivate e agli integrali (IBP, INTVX, PREVAL, RISCH, SIGMA e SIGMAVX), alla serie di Fourier (FOURIER) e all'analisi vettoriale (CURL, DIV, HESS, LAPL).
derivata d(sin(r),r), utilizzare, in modalità ALG: ‚¿~„r„ÜS~„r` In modalità RPN, l' espressione deve essere racchiusa fra virgolette prima di inserirla nello stack. Il risultato in modalità ALG è: Nell'Equation Writer, quando si preme ‚¿, la calcolatrice genera la seguente espressione: Il cursore di immissione dati ( ) verrà posizionato in corrispondenza del denominatore, in attesa che l'utente inserisca una variabile indipendente, ad esempio: ~„s.
Per valutare la derivata nell'Equation Writer, premere il tasto freccia su —, quattro volte, per selezionare l'intera espressione, quindi premere @EVAL. La derivata sarà valutata nell'Equation Writer come: Nota: Il simbolo ∂ formalmente usato in matematica per indicare una derivata parziale, ossia la derivata di una funzione con più di una variabile. Tuttavia, la calcolatrice non distingue tra derivate ordinarie e parziali e utilizza lo stesso simbolo per entrambe.
Derivate di equazioni È possibile utilizzare la calcolatrice per calcolare le derivate di equazioni, ovvero espressioni nelle quali entrambi i termini dell'equazione ammettono le derivate. Di seguito sono riportati alcuni esempi: Si noti che nelle espressioni nelle quali si è usato il segno di derivata (∂) o la funzione DERIV, viene mantenuto il segno di uguale dell'equazione, ad esclusione dei casi in cui è stata usata la funzione DERVX.
Analisi dei grafici delle funzioni Nel Capitolo 11 sono state presentate alcune funzioni disponibili nella schermata dei grafici che consentono l'analisi dei grafici di funzioni della forma y = f(x). Tali funzioni comprendono (X,Y) e TRACE per determinare i punti del grafico, nonché le funzioni del menu ZOOM e FCN. Le funzioni nel menu ZOOM consentono all'utente di ingrandire un grafico per analizzarlo con maggiore dettaglio. Queste funzioni sono descritte nel Capitolo 12.
Θ Premere L @PICT @CANCL $ per ritornare al display normale della calcolatrice. Si noti che la pendenza e la retta tangente richieste sono inserite nello stack. Funzione DOMAIN La funzione DOMAIN, disponibile nel Command Catalog (‚N), fornisce il dominio di definizione di una funzione sotto forma di elenco di numeri e specifiche. Ad esempio, indica che tra –∞ e 0, la funzione LN(X) non è definita (?), mentre da 0 a +∞, la funzione è definita (+).
Questo risultato indica che l'intervallo della funzione corrispondente al dominio D = { -1,5 } è R = f (X ) = 1 X 2 +1 ⎧ 2 26 ⎫ , ⎨ ⎬. 26 2 ⎩ ⎭ Funzione SIGNTAB La funzione SIGNTAB, disponibile mediante il Command Catalog (‚N) fornisce informazioni sul segno di una funzione all'interno del suo dominio. Ad esempio, per la funzione TAN(X), SIGNTAB indica che TAN(X) è negativa< tra –π/2 e 0 e positiva tra 0 e π/2.
Θ Livello 3: la funzione f(VX) Θ Due elenchi, il primo indica la variazione della funzione (ovvero, dove è crescente o decrescente) in termini di variabile indipendente VX, il secondo indica la variazione della funzione in termini di variabile dipendente. Θ Un oggetto grafico che mostra come è stata calcolata la tabella delle variazioni. Ad esempio: Si analizzi la funzione Y = X3-4X2-11X+30, utilizzando la funzione TABVAR.
L'interpretazione della tabella delle variazioni riportata in alto è la seguente: la funzione F(X) è crescente per X nell'intervallo (-∞, -1) e assume il massimo, corrispondente a 36 in X = -1. Quindi, F(X) è decrescente fino a X = 11/3, assumendo il minimo di -400/27. Dopo tale punto F(X) è crescente fino a +∞. Inoltre, in corrispondenza di X = ±∞, F(X) = ±∞.
Si trovano due punti critici, uno in x = 11/3 e uno in x = -1. Per valutare la derivata seconda in ciascun punto utilizzare: L'ultima schermata mostra che f"(11/3) = 14, pertanto, x = 11/3 è un punto di minimo relativo. Per x = -1, si ha: Il risultato indica che f"(-1) = -14, pertanto, x = -1 è un punto di massimo relativo. Valutare la funzione in tali punti per verificare che f(-1) > f(11/3).
Antiderivate e integrali L'antiderivata di una funzione f(x) è una funzione F(x) tale che f(x) = dF/dx. Ad esempio, siccome d(x3) /dx = 3x2, l'antiderivata di f(x) = 3x2 è F(x) = x3 + C, dove C è una costante. Un modo di rappresentare un'antiderivata è come integrale indefinito, ovvero, C = costante.
(!) mostrata in alto. Il risultato è la cosiddetta derivata discreta, ovvero, una derivata definita unicamente per i numeri interi. Integrali definiti Nell'integrale definito di una funzione, l'antiderivata risultante è valutata in corrispondenza del limite superiore e inferiore di un intervallo (a,b), sottratti i valori valutati. Simbolicamente, ∫ b a f ( x)dx = F (b) − F (a), dove f(x) = dF/ dx.
Questo è il formato generico per l'integrale definito quando viene inserito direttamente nello stack, ovvero, ∫ (estremo inferiore, estremo superiore, funzione integranda, variabile di integrazione) Premendo ` a questo punto si valuterà l'integrale nello stack: L'integrale può essere valutato anche nell'Equation Writer selezionando l'intera espressione e utilizzando il tasto funzione @EVAL.
Il seguente esempio mostra la valutazione di un integrale definito nell'Equation Writer, passo per passo: ʳʳʳʳʳ Si noti che il processo passo per passo fornisce informazioni sulle fasi intermedie utilizzate dal CAS per la risoluzione di questo integrale. Per calcolare il risultato finale, il CAS identifica innanzitutto l'integrale per la radice quadrata, quindi una frazione razionale e la seconda espressione razionale.
Tecniche di integrazione La calcolatrice consente di usare diverse tecniche di integrazione, come mostrato nei seguenti esempi. Sostituzione o scambio di variabili Si supponga di voler calcolare l'integrale . Se si utilizza un tipo di calcolo passo per passo nell'Equation Writer, questa è la sequenza di sostituzione delle variabili: Questo secondo passaggio mostra la corretta sostituzione da utilizzare, u = x21.
Integrazione per parti e differenziali Un differenziale di una funzione y = f(x) è definito come dy = f'(x) dx, dove f'(x) è la derivata di f(x). I differenziali sono usati per rappresentare piccoli incrementi nelle variabili. Il differenziale del prodotto di due funzioni, y = u(x)v(x), è dato = u(x)dv(x) +du(x)v(x) o semplicemente, d(uv) = udv - vdu. Pertanto, l'integrale di udv = d(uv) - vdu è scritto come ∫ udv = ∫ d (uv) − ∫ vdu .
Integrazione mediante decomposizione in frazioni parziali La funzione PARTFRAC presentata nel Capitolo 5, consente la decomposizione di una frazione in frazioni parziali. Questa tecnica è utile per ridurre una frazione complicata in una somma di frazioni semplici che possono quindi essere integrate termine a termine.
Utilizzando la calcolatrice, procedere come segue: In alternativa, è possibile valutare l'integrale a intervallo infinito a partire da subito, ovvero, Integrazione con unità Un integrale può essere calcolato con unità incorporate negli estremi di integrazione, come nell'esempio mostrato di seguito che utilizza la modalità ALG, con il CAS impostato sulla modalità Approx. La figura sul lato sinistro mostra l'integrale inserito nel Line Editor prima di premere `.
1 – Le unità dell'estremo inferiore di integrazione saranno usate nel risultato finale, come mostrato nei due esempi riportati di seguito: 2 - Le unità dell'estremo superiore devono essere coerenti con quelle dell'estremo inferiore. In caso contrario, la calcolatrice restituirà semplicemente un integrale non valutato. Ad esempio, 3 – Anche la funzione integranda può avere unità.
Serie di Taylor e Maclaurin Una funzione f(x) può essere sviluppata in una serie infinita intorno a un punto x = x0 utilizzando la cosiddetta serie di Taylor, ovvero ∞ f ( x) = ∑ n=0 f ( n ) ( xo ) ⋅ ( x − xo ) n , n! dove f(n)(x) rappresenta la derivata ennesima di f(x) rispetto a x, f(0)(x) = f(x).
dove ξ è un numero vicino a x = x0. Poiché, in genere, ξ è un valore non noto, piuttosto che una stima del resto si fornisce una stima dell'ordine del resto rispetto ad h, ovvero si ritiene che Rk(x) presenti un errore di ordine hn+1 o R ≈ O(hk+1). Se h è un numero piccolo, ad esempio h << 1, allora hk+1 sarà in genere molto piccolo, ad esempio, hk+1 << hk << … << h << 1. Pertanto, se x tende a x0, maggiore è il numero di elementi presenti nel polinomio di Taylor, più piccolo è l'ordine del resto.
1 - Il limite bidirezionale della funzione sul punto di sviluppo, ovvero lim f ( x) x→ a 2 - Un valore equivalente della funzione prossima a x = a; 3 - L'espressione per il polinomio di Taylor; 4 - L'ordine del resto. Data la relativa grande quantità di dati risultati, è più facile gestire questa funzione in modalità RPN. Ad esempio: Per inserire il contenuto nel livello di stack 1, premere ƒ, quindi immettere μ per decomporre l'elenco.
Capitolo 14 Applicazioni del calcolo multivariato Per calcolo multivariato si intendono funzioni a due o più variabili. Nel presente Capitolo si delineano i concetti base del calcolo multivariato, tra cui derivate parziali e integrali multipli. Funzioni multivariate Per definire una funzione a due o più variabili nella calcolatrice è possibile utilizzare la funzione DEFINE („à).
∂f f ( x + h, y ) − f ( x, y ) = lim . ∂x h→0 h Allo stesso modo, ∂f f ( x, y + k ) − f ( x , y ) = lim . ∂y k →0 k Si utilizzeranno le funzioni multivariate definite in precedenza per calcolare le derivate parziali sulla base di queste definizioni. Seguono due esempi di derivate di f(x,y) rispetto a x e y, rispettivamente: Tenere presente che la definizione di derivata parziale rispetto a x, ad esempio, richiede che y sia un valore fisso e che si utilizzi il limite h 0.
predefinita CAS VX (in genere "X"), pertanto, DERVX consente di calcolare unicamente le derivate rispetto a X.
Le derivate di grado superiore al 2° sono definite in modo simile. Per calcolare derivate di grado superiore al 1° con la calcolatrice, è sufficiente ripetere la funzione di derivazione tutte le volte che sarà necessario. Di seguito sono riportati alcuni esempi: Regola della catena per derivate parziali Si consideri la funzione z = f(x,y), dove x = x(t) e y = y(t). La funzione z, se scritta come z = f[x(t),y(t)], è in realtà una funzione composta di t.
Differenziale totale di una funzione z = z(x,y) Se si moltiplica l'ultima equazione per dt, si ottiene un differenziale totale della funzione z = z(x,y), ovvero dz = (∂z/∂x)⋅dx + (∂z/∂y)⋅dy. Una diversa versione della regola della catena si applica nel caso in cui z = f(x,y), x = x(u,v) e y = y(u,v), in modo che z = f[x(u,v), y(u,v)].
I punti critici si trovano in (X,Y) = (1,0) e (X,Y) = (-1,0). Per calcolare il discriminante si procede a calcolare le derivate seconde fXX(X,Y) = ∂2f/∂X2, fXY(X,Y) = ∂2f/∂X/∂Y e fYY(X,Y) = ∂2f/∂Y2. L'ultimo risultato indica che il discriminante è Δ = -12X, pertanto, per (X,Y) = (1,0), Δ < 0 (punto di sella) e per (X,Y) = (-1,0), Δ > 0 e ∂2f/∂X2<0 (massimo relativo).
La funzione HESS è più facile da visualizzare in modalità RPN. Si consideri, ad esempio, la funzione φ(X,Y,Z) = X2 + XY + XZ, φ (alla quale) si applicherà la funzione HESS nell'esempio che segue. Le schermate mostrano lo stack RPN prima e dopo l'utilizzo della funzione HESS. Se applicato a una funzione di due variabili, il gradiente di livello 2, posto uguale a zero, rappresenta le equazioni dei punti critici, ovvero ∂φ/∂xi = 0, mentre la matrice di livello 3 rappresenta le derivate seconde.
La matrice che ne risulta contiene gli elementi a11 = ∂2φ/∂X2 = 6., a22 = ∂2φ/ ∂X2 = -2. e a12 = a21 = ∂2φ/∂X∂Y = 0. Il discriminante per questo punto critico s2(1,0) è Δ = (∂2f/∂x2)⋅ (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 = (6.)(-2.) = -12.0 < 0, a indicare un punto di sella. Integrali multipli Un'interpretazione fisica di un integrale ordinario, ∫ b a f ( x)dx , è l'area sotto la curva y = f(x) e le ascisse x = a e x = b.
Matrice jacobiana della trasformazione di coordinate Si consideri la trasformazione delle coordinate x = x(u,v) e y = y(u,v). La matrice jacobiana di questa trasformazione viene definita come ⎛ ∂x ⎜ | J |= det( J ) = det⎜ ∂u ⎜ ∂y ⎜ ⎝ ∂u ∂x ⎞ ⎟ ∂v ⎟ . ∂y ⎟ ⎟ ∂v ⎠ Per calcolare un integrale utilizzando tale trasformazione, l'espressione da utilizzare è ∫∫ φ ( x, y)dydx = ∫∫ φ[ x(u, v), y(u, v)] | J | dudv , dove R' è la R R' regione R espressa in coordinate (u,v).
β ∫∫ φ (r,θ )dA = ∫α ∫ R' g (θ ) f (θ ) φ ( r,θ )rdrdθ dove la regione R' in coordinate polari è R' = {α < θ < β, f(θ) < r < g(θ)}. La calcolatrice consente di immettere gli integrali doppi in coordinate polari, accertandosi che la matrice jacobiana |J| = r sia inclusa nella funzione integranda.
Capitolo 15 Applicazioni dell'analisi vettoriale Nel presente Capitolo sono descritte alcune funzioni presenti nel menu CALC utilizzabili nell'analisi dei campi scalari e vettoriali. Il menu CALC è descritto approfonditamente nel Capitolo 13. In particolare, nel menu DERIV&INTEG si identificano diverse funzioni che si applicano all'analisi vettoriale, quali CURL, DIV, HESS e LAPL. Per svolgere gli esercizi inclusi nel presente Capitolo, è opportuno impostare la misura degli angoli in radianti.
In qualunque punto particolare la derivata massima della funzione si verifica nella direzione del gradiente, ovvero lungo un vettore unitario u = ∇φ/|∇φ|. Il valore di tale derivata direzionale è uguale al modulo del gradiente in qualunque punto di Dmaxφ(x,y,z) = ∇φ •∇φ/|∇φ| = |∇φ| L'equazione φ(x,y,z) = 0 rappresenta una superficie nello spazio. Ne risulta che il gradiente della funzione in un qualsiasi punto di questa superficie è normale alla superficie stessa.
∂xi∂xj], il gradiente della funzione rispetto alle n variabili, grad f = [ ∂φ/∂x1, ∂φ/∂x2 , … ∂φ/∂xn] e l'elenco delle variabili ['x1' 'x2'…'xn']. Si consideri, ad esempio, la funzione φ(X,Y,Z) = X2 + XY + XZ. Si applicherà la funzione HESS, in modalità RPN, a questo campo scalare nell'esempio che segue: Pertanto, il gradiente è [2X+Y+Z, X, X]. In alternativa, è possibile utilizzare la funzione DERIV come segue: DERIV(X^2+X*Y+X*Z,[X,Y,Z]). Il risultato che si ottiene è lo stesso.
(x+y)i + (x-y+z)j + xzk non è associata alcuna funzione potenziale in quanto ∂f/∂z ≠ ∂h/∂x. In questo caso la calcolatrice restituisce il seguente messaggio: Divergenza La divergenza di una funzione vettoriale F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k è definita dalla seguente operazione tra il prodotto scalare dell'operatore del e la funzione: divF = ∇ • F = ∂f ∂g ∂h + + ∂x ∂y ∂z La funzione DIV consente di calcolare la divergenza di un campo vettoriale.
Rotore Il rotore di un campo vettoriale F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k è definito mediante la seguente operazione tra il prodotto vettoriale dell'operatore del e il campo vettoriale: i j k ∂ ∂ ∂ [] [] [] curlF = ∇ × F = ∂x ∂y ∂z f ( x, y , z ) g ( x, y , z ) h ( x , y , z ) ⎛ ∂h ∂g ⎞ ⎛ ∂f ∂h ⎞ ⎛ ∂h ∂g ⎞ = i⎜⎜ − ⎟⎟ + j⎜ − ⎟ + k ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂y ∂z ⎠ Il rotore di un campo vettoriale può essere calcolato utilizzando la funzione CURL.
In un precedente esempio si è tentato di ottenere una funzione potenziale per il campo vettoriale F(x,y,z) = (x+y)i + (x-y+z)j + xzk e la funzione POTENTIAL ha restituito un messaggio di errore.
(2ZX-X)], che è diversa da Φ1. L'ultimo comando della schermata mostra che in effetti F = ∇× Φ2. Pertanto, una funzione vettoriale potenziale non è determinata in modo univoco. Le componenti del campo vettoriale dato, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j +h(x,y,z)k, e quelle della funzione vettoriale potenziale, Φ(x,y,z) = φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k, sono correlate mediante f = ∂η/∂y - ∂ψ/∂x, g = ∂φ/∂z - ∂η/∂x e h = ∂ψ/∂x - ∂φ/∂y.
Capitolo 16 Equazioni differenziali Nel presente Capitolo sono riportati degli esempi che illustrano come risolvere le equazioni differenziali ordinarie (ODE) utilizzando le funzioni della calcolatrice. Un'equazione differenziale è un'equazione che include derivate della variabile indipendente. Nella maggior parte dei casi si ricerca la funzione dipendente che soddisfa l'equazione differenziale.
nelle impostazioni del display (H@)DISP). Premere il tasto ˜ per visualizzare l'equazione nell'Equation Writer. Una notazione alternativa per le derivate immesse direttamente nello stack è utilizzare ‘d1’ a indicare la derivata per la prima variabile indipendente, ‘d2’ a indicare la derivata per la seconda variabile indipendente e così via. Una derivata seconda, come, ad esempio, d2x/dt2, dove x = x(t), va scritta come ‘d1d1x(t)’, mentre (dx/dt)2 va scritta come ‘d1x(t)^2’.
EVAL(ANS(1)) ` In modalità RPN: ‘∂t(∂t(u(t)))+ ω0^2*u(t) = 0’ ` ‘u(t)=A*SIN (ω0*t)’ ` SUBST EVAL Il risultato sarà ‘0=0’. In questo esempio è altresì possibile utilizzare ‘∂t(∂t(u(t))))+ ω0^2*u(t) = 0’ per immettere l'equazione differenziale. Visualizzazione del campo di direzioni per le soluzioni I grafici che rappresentano i campi di direzioni, descritti nel Capitolo 12, consentono di visualizzare le soluzioni di un'equazione differenziale della forma dy/dx = f(x,y).
Queste funzioni sono descritte brevemente di seguito. Per una descrizione più approfondita, vedere le sezioni finali del presente Capitolo. DESOLVE: Differential Equation SOLVEr (Risolutore delle equazioni differenziali); ILAP: Inverse LAPlace transform (Trasformata inversa di LAPlace), L-1[F(s)] = f(t) LAP: LAPlace transform (Trasformata di LAPlace), L[f(t)]=F(s) LDEC: Linear Differential Equation Command (Equazioni differenziali lineari).
Entrambi questi dati di input devono essere immessi in termini di variabile indipendente predefinita del CAS della calcolatrice (in genere ‘X’). Il risultato della funzione è la soluzione generale dell'equazione ODE. La funzione LDEC è disponibile nel menu CALC/DIFF. Gli esempi che seguono si riferiscono all'utilizzo della modalità RPN, anche se è piuttosto semplice tradurli nella modalità ALG.
La soluzione, mostrata parzialmente nell'Equation Writer, sarà: Se la combinazione di costanti che accompagna i termini esponenziali viene sostituita con valori più semplici, l'espressione può essere semplificata in y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x + (450⋅x2+330⋅x+241)/13500. I primi tre termini rappresentano la soluzione generale dell'equazione omogenea (vedere il precedente esempio 1). Se yh rappresenta la soluzione all'equazione omogenea, ovvero yh = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x.
2x1’(t) + x2’(t) = 0. La corrispondente forma algebrica è: A⋅x’(t) = 0, dove ⎡1 2 ⎤ A=⎢ ⎥ . Per 2 1 ⎣ ⎦ risolvere il sistema, utilizzare la funzione LDEC con gli argomenti [0,0] e la matrice A, come mostrato nella seguente schermata in la modalità ALG: La soluzione è data come vettore contenente le funzioni [x1(t), x2(t)]. La pressione del tasto ˜ consente di attivare il Matrix Writer per visualizzare le due componenti del vettore.
Variabile ODETYPE Nelle etichette dei tasti FUNZIONE si noterà una nuova variabile denominata @ODETY (ODETYPE). Tale variabile è prodotta dalla chiamata alla funzione DESOL e visualizza una stringa che mostra il tipo di equazione differenziale ordinaria (ODE) utilizzato come input per la funzione DESOLVE. Premere @ODETY per visualizzare la stringa “1st order linear” (Lineare del primo ordine). Esempio 2 -- Risolvere la ODE del secondo ordine: d2y/dx2 + x (dy/dx) = exp(x).
y ( x) = ∫ ⋅ ex + C dx + C 0 x Eseguendo l'integrazione a mano, è possibile giungere solo a: y ( x) = ∫ ⋅ ex dx + C ⋅ ln x + C 0 x perché l’integrale di exp(x)/x non è disponibile in forma chiusa. Esempio 3 – Risoluzione dell’equazione con condizioni iniziali. Risolvere d2y/dt2 + 5y = 2 cos(t/2), con condizioni iniziali y(0) = 1.2, y’(0) = -0.5.
Premere J @ODETY per visualizzare la stringa “Linear w/ cst coeff” (Lineare con coefficiente costante) per questo tipo di ODE. Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace di una funzione f(t) restituisce una funzione F(s) nel dominio immagine che è possibile utilizzare per trovare la soluzione di una equazione differenziale lineare con f(t) tramite metodi algebrici. L’applicazione comporta tre fasi: 1. 2. 3.
Le trasformate e le antitrasformate di Laplace nella calcolatrice La calcolatrice dispone delle funzioni LAP e ILAP per calcolare rispettivamente la trasformata e l’antitrasformata di Laplace di una funzione f(VX), dove VX è la variabile indipendente predefinita del CAS, che l’utente dovrebbe impostare su! ‘X’. Pertanto la calcolatrice restituisce la trasformata o l'antitrasformata come funzione di X. Le funzioni LAP e ILAP sono disponibili nel menu CALC/DIFF.
Esempio 3 –Determinare l'antitrasformata di Laplace di F(s) = sin(s). Utilizzare: ‘SIN(X)’ ` ILAP. La calcolatrice richiede alcuni secondi per restituire il risultato: ‘ILAP(SIN(X))’, significa che non vi è alcuna espressione in forma chiusa f(t), tale che f(t) L -1{sin(s)}. Esempio 4 – Determinare l'antitrasformata di Laplace di F(s) = 1/s3. Utilizzare: ‘1/X^3’ ` ILAP μ. La calcolatrice restituisce il risultato: 'X^2/2', che viene rappresentato come L -1{1/s3} = t2/2.
Esempio 2 – Come seguito all'esempio 1, l'accelerazione a(t) è definita come a(t) = d2r/dt2. Se la velocità iniziale è vo = v(0) = dr/dt|t=0, allora la trasformata di Laplace dell'accelerazione può essere scritta come: A(s) = L{a(t)} = L{d2r/dt2}= s2⋅R(s) - s⋅ro – v o. Θ Teorema di derivazione per la derivata ennesima. Siano f (k)o = dkf/dxk|t = 0, e fo = f(0), allora L{dnf/dtn} = sn⋅F(s) – sn-1⋅fo −…– s⋅f(n-2)o – f (n-1) o. Θ Teorema di linearità. L{af(t)+bg(t)} = a⋅L{f(t)} + b⋅L{g(t)}.
L {∫ t 0 } f (u ) g (t − u )du = L{( f * g )(t )} = L{ f (t )} ⋅L{g (t )} = F ( s ) ⋅ G ( s ) Esempio 4 – utilizzando il teorema di convoluzione, la trasformata di Laplace di (f*g)(t), se f(t) = sin(t) e g(t) = exp(t). Per calcolare F(s) = L{f(t)} e G(s) = L{g(t)}, utilizzare: ‘SIN(X)’ ` LAP μ. Risultato,‘1/(X^2+1)’, ovvero, F(s) = 1/ (s2+1). Inoltre, ‘EXP(X)’ ` LAP. Risultato, ‘1/(X-1)’, ovvero, G(s) = 1/(s-1). Pertanto, L{(f*g)(t)} = F(s)⋅G(s) = 1/(s2+1)⋅1/(s-1) = 1/((s-1)(s2+1)) = 1/(s3-s2+s-1).
f ∞ = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s)]. t →∞ s →0 Funzione delta di Dirac e funzione gradino di Heaviside Nell'analisi dei sistemi di controllo è consuetudine utilizzare un tipo di funzione che rappresenta certi eventi fisici come ad esempio l’improvvisa attivazione di un interruttore (funzione gradino di Heaviside, H(t)) oppure un picco istantaneo in un ingresso del sistema (funzione delta di Dirac δ(t)).
y y (x _ x 0 ) H(x _ x 0 ) 1 x0 x x0 x È possibile dimostrare che L{H(t)} = 1/s, dal che segue L{Uo⋅H(t)} = Uo/s, dove Uo è una costante. Lo stesso vale per, L -1{1/s}=H(t), L -1{ Uo /s}= Uo⋅H(t). Inoltre, utilizzando il teorema della traslazione per eseguire una traslazione e verso destra, L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s), è possibile scrivere L{H(t-k)}!= e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = (1/s)⋅e–ks.
Applicazioni della trasformata di Laplace per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie (ODE) lineari All’inizio della sezione relativa alle trasformate di Laplace si è stabilita la possibilità di utilizzarle per convertire una ODE lineare nel dominio tempo in un'equazione algebrica nel dominio immagine. L’equazione che ne risulta è quindi risolta per una funzione F(s) tramite metodi algebrici e la soluzione della ODE si trova utilizzando l’antitrasformata di Laplace su F(s).
Il risultato sarà ‘H=((X+1)*h0+a)/(X^2+(k+1)*X+k)’. Per trovare la soluzione della ODE, h(t), è necessario utilizzare l'antitrasformata di Laplace, come segue: OBJ ƒ ƒ Isola il termine di destra dell’ultima espressione ILAP μ Ricava l'antitrasformata di Laplace Il risultato è . Sostituendo X con t nella presente espressione e semplificando si ottiene !!h(t) = a/(k-1)⋅e-t +((k-1)⋅ho -a)/(k-1)⋅e-kt.
Nota: ‘SIN(3*X)’ ` LAP μ restituisce ‘3/(X^2+9)’, ovvero L{sin 3t}=3/(s2+9). Con Y(s) = L{y(t)}, e L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, nella quale yo = h(0) e y1 = h’(0), l’equazione si trasforma in s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + 2⋅Y(s) = 3/(s2+9). Utilizzare la calcolatrice per risolvere per Y(s), scrivendo: ‘X^2*Y-X*y0-y1+2*Y=3/(X^2+9)’ ` ‘Y’ ISOL Il risultato sarà ‘Y=((X^2+9)*y1+(y0*X^3+9*y0*X+3))/(X^4+11*X^2+18)’.
Nota: utilizzando i due esempi qui illustrati, è possibile confermare ciò che si è indicato in precedenza ovvero che la funzione ILAP utilizza le trasformate e le antitrasformate di Laplace per risolvere le equazioni differenziali ordinarie dato il termine destro dell'equazione e l'equazione caratteristica della ODE omogenea corrispondente. Esempio 3 – Considerare l’equazione d2y/dt2+y = δ(t-3), nella quale δ(t) è la funzione delta di Dirac.
Note: [1].
Il risultato sarà: ‘SIN(X-3)*Heaviside(X-3) + cC1*SIN(X) + cC0*COS(X)’. Si osserva che la variabile X in questa espressione rappresenta la variabile t nella ODE originale. Pertanto, si potrebbe scrivere la soluzione su carta nel seguente modo: y (t ) = Co ⋅ cos t + C1 ⋅ sin t + sin(t − 3) ⋅ H (t − 3) Confrontando questo risultato con il precedente per y(t), si conclude che cCo = yo, cC1 = y1.
La calcolatrice non consente l’utilizzo della funzione H(X) con le funzioni LDEC, LAP o ILAP. È necessario utilizzare i risultati principali forniti in precedenza lavorando con la funzione gradino di Heaviside, ovvero L{H(t)} = 1/s, L -1{1/s}=H(t), L{H(t-k)}=e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = ⋅(1/s)⋅e–ks e L -1{e–as ⋅F(s)}=f(ta)⋅H(t-a). Esempio 2 – La funzione H(t-to), se moltiplicata per una funzione f(t), ad esempio H(t-to)f(t), attiva la funzione f(t) a t = to.
nella quale H(t) è la funzione gradino di Heaviside. Utilizzando la trasformata di Laplace, è possibile scrivere: L{d2y/dt2+y} = L{H(t-3)}, L{d2y/dt2} + L{y(t)} = L{H(t-3)}. L’ultimo termine dell’espressione è: L{H(t-3)} = (1/s)⋅e–3s. Con Y(s) = L{y(t)}, e L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, dove yo = h(0) e y1 = h’(0), l’equazione si trasforma in s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + Y(s) = (1/s)⋅e–3s. Se necessario, modificare le impostazioni del CAS in selezionando la modalità Exact.
Esempio 4 – Plottare la soluzione relativa all’esempio 3 utilizzando gli stessi valori di yo e y1 utilizzati nel grafico dell’esempio 1. Si tracci ora la funzione y(t) = 0.5 cos t –0.25 sin t + (1+sin(t-3))⋅H(t-3). Nell’intervallo 0 < t < 20, cambiando l’intervallo verticale (-1,3), il grafico dovrebbe essere rappresentato come segue: Si trova ancora una nuova componente di moto attivata a t=3, ovvero la particolare soluzione yp(t) = [1+sin(t-3)]⋅H(t-3), che cambia la natura della soluzione per t>3.
f(t) = Uo⋅[1-(t-a)/(b-1)]⋅[H(t-a)-H(t-b)]. Nella figura in basso sono illustrati esempi di grafici generati da tali funzioni, per Uo = 1, a = 2, b = 3, c = 4, con intervallo orizzontale = (0,5) e intervallo verticale = (-1, 1.5): Serie di Fourier Le serie di Fourier utilizzano generalmente le funzioni seno e coseno per sviluppare le funzioni periodiche. Una funzione f(x) è detta periodica, con periodo T, se f(x+T) = f(t).
I seguenti esercizi sono svolti in modalità ALG, con l’impostazione del CAS su Exact (Per generare un grafico, il CAS ritornerà su Approx. Assicurarsi di ritornare su Exact dopo aver generato il grafico). Si supponga, ad esempio, che la funzione f(t) = t2+t sia periodica con periodo T = 2.
Funzione di FOURIER Un metodo alternativo per risolvere una serie di Fourier prevede l'utilizzo dei numeri complessi: f (t ) = +∞ ∑c n = −∞ n ⋅ exp( 2inπt ), T in cui cn = 1 T ∫ T 0 f (t ) ⋅ exp( 2 ⋅ i ⋅ n ⋅π ⋅ t ) ⋅ dt , n = −∞,...,−2,−1,0,1,2,...∞. T La funzione di FOURIER restituisce il coefficiente cn della forma complessa delle serie di Fourier, dati la funzione f(t) e il valore di n.
Poi accedere alla sottodirectory CASDIR all'interno di HOME per cambiare il valore della variabile PERIOD (Periodo), ad esempio „ (tenere premuto) §`J @)CASDI `2 K @PERIOD ` Ritornare alla sottodirectory in cui si sono definite le funzioni f e g e calcolare i coefficienti. Quando richiesto, le modifiche possono essere confermate in modalità Complex (Complessa): Pertanto, c0 = 1/3, c1 = (π⋅i+2)/π2, c2 = (π⋅i+1)/(2π2).
Sebbene non sia valido quanto quello dell'esempio precedente, l'interpolazione resta pur sempre accettabile anche per 0
cn = (i⋅n⋅π+2)/(n2⋅π2). Il risultato sarà Costruzione della serie di Fourier in forma complessa Dopo avere determinato l'espressione generale per cn, è possibile costruire una serie finita di Fourier in forma complessa utilizzando la funzione sommatoria (Σ) della calcolatrice, come segue: Θ Definire, in primo luogo, una funzione c(n) che rappresenti il termine generale cn nella serie di Fourier complessa.
Oppure, sulla riga di immissione dati della calcolatrice: DEFINE(‘F(X,k,c0) = c0+Σ(n=1,k,c(n)*EXP(2*i*π*n*X/T)+ c(-n)*EXP(-(2*i*π*n*X/T))’), dove T è il periodo T = 2. Le schermate successive mostrano la definizione della funzione F e la memorizzazione di T = 2: La funzione @@@F@@@ può essere utilizzata per generare l'espressione per la serie di Fourier complessa per un valore finito di k.
Se necessario, la modifica può essere confermata nella modalità Approx. Il risultato è il valore –0.40467…. Il valore reale della funzione g(0.5) is g(0.5) = -0.25. I calcoli successivi mostrano in che misura la serie di Fourier si avvicina a tale valore, con il progressivo aumentare del numero di componenti della serie, determinato da k: F (0.5, 1, 1/3) = (-0.303286439037,0.) F (0.5, 2, 1/3) = (-0.404607622676,0.) F (0.5, 3, 1/3) = (-0.192401031886,0.) F (0.5, 4, 1/3) = (-0.167070735979,0.) F (0.
Si noti che la serie con 5 termini si discosta ben poco dal grafico della funzione nell'intervallo da 0 a 2 (ovvero nel periodo T = 2). Nel grafico della serie si osserva anche una periodicità facilmente visibile se si sviluppa la scala delle ascisse del grafico su (-0.5,4): Serie di Fourier per un'onda triangolare Si consideri la funzione ⎧ x, if 0 < x < 1 g ( x) = ⎨ ⎩2 − x, if 1 < x < 2 che si suppone periodica con periodo T = 2.
La calcolatrice restituisce un integrale che non può essere valutato numericamente in quanto dipende dal parametro n. Il coefficiente può essere, comunque, calcolato digitandone la definizione nella calcolatrice, come segue: 1 1 ⎛ i⋅2⋅n ⋅π⋅X⎞ ⋅ ∫ X ⋅ EXP⎜ − ⎟ ⋅ dX + 0 2 T ⎝ ⎠ 1 2 ⎛ i⋅2⋅n ⋅π⋅X⎞ ⋅ ∫ (2 − X ) ⋅ EXP⎜ − ⎟ ⋅ dX 1 2 T ⎝ ⎠ in cui T = 2 è il periodo.
Premere `` per copiare il risultato sullo schermo. Poi riattivare l'Equation Writer per calcolare il secondo integrale che definisce il coefficiente cn, ovvero: Procedere di nuovo a sostituire einπ = (-1)n, utilizzando e2inπ = 1 si ottiene: Premere `` per copiare questo secondo risultato sullo schermo.
Questo risultato viene utilizzato per definire la funzione c(n), come segue: DEFINE(‘c(n) = - (((-1)^n-1)/(n^2*π^2*(-1)^n)’) ovvero, Definire quindi la funzione F(X,k,c0) per calcolare la serie di Fourier (se l'esempio 1 è stato completato, questa funzione è già in memoria): DEFINE(‘F(X,k,c0) = c0+Σ(n=1,k,c(n)*EXP(2*i*π*n*X/T)+ c(-n)*EXP(-(2*i*π*n*X/T))’), Per confrontare la funzione originale e la serie di Fourier è possibile generare il grafico simultaneo di entrambe le funzioni.
Dal grafico è estremamente difficile distinguere la funzione originale dall'approssimazione della serie di Fourier. Se si utilizza k = 2, oppure 5 termini nella serie, l'interpolazione non è altrettanto soddisfacente: La serie di Fourier può essere utilizzata per generare un'onda triangolare periodica (oppure un'onda a dente di sega) modificando l'intervallo dell'ascissa, ad esempio da -2 a 4.
In questo caso il periodo T è pari a 4. Ricordare di modificare il valore della variabile @@@T@@@ su 4 (utilizzare: 4 K @@@T@@ `). La funzione g(X) può essere definita nella calcolatrice utilizzando DEFINE(‘g(X) = IFTE((X>1) E (X<3),1,0)’) La funzione viene rappresentata come segue (ascissa da 0 a 4, ordinata da 0 a 1.2): Applicando una procedura simile a quella della forma triangolare adottata nell'esempio 2, si ottiene c0 = 1 ⎛ 3 ⋅ ⎜ ∫ 1 ⋅ dX ⎞⎟ = 0.
La semplificazione della parte destra di c(n), in alto, può essere calcolata facilmente a mano. Poi, inserire di nuovo l'espressione per c(n) come mostrato nella figura in alto a sinistra, per definire la funzione c(n). La serie di Fourier viene calcolata con F(X,k,c0), come nei precedenti esempi 1 e 2, con c0 = 0.5.
Questo risultato può essere usato come primo valore da inserire per la funzione LDEC applicata per ottenere la soluzione al sistema d2y/dX2 + 0.25y = SW(X), è l'abbreviazione di funzione Square Wave (Onda quadra) di X. Il secondo valore da inserire sarà l'equazione caratteristica corrispondente all'ODE omogenea mostrato sopra, ovvero ‘X^2+0.25’ . Con questi due dati, la funzione LDEC restituisce il seguente risultato (formato decimale modificato in Fix con tre decimali).
La soluzione è mostrata di seguito: Trasformate di Fourier Prima di introdurre il concetto di trasformate di Fourier, si discuterà la definizione generale di una trasformata integrale. In generale una trasformata integrale è una trasformazione che mette in relazione una funzione f(t) con una nuova funzione F(s), mediante un'operazione di integrazione della forma b F ( s ) = ∫ κ ( s, t ) ⋅ f (t ) ⋅ dt. La funzione K(s,t) è nota come nucleo della a trasformazione.
Le ampiezze An vengono definite come spettro della funzione e rappresentano una misura del modulo della di f(x) con frequenza fn = n/T. La frequenza fondamentale, della serie di Fourier è f0 = 1/T e tutte le altre frequenze sono conseguentemente multiple di quella di base, ovvero fn = n⋅f0. Si può, inoltre, definire una frequenza angolare ωn = 2nπ/T = 2π⋅fn = 2π⋅ n⋅f0 = n⋅ω0, dove ω0 è la frequenza angolare fondamentale della serie di Fourier.
e S (ω ) = ∞ 1 ⋅ ∫ f ( x) ⋅ sin(ω ⋅ x) ⋅ dx. 2π −∞ Lo spettro continuo è dato dalla formula A(ω ) = [C (ω )] 2 + [ S (ω )] 2 Le funzioni C(ω), S(ω), e A(ω) sono funzioni continue di una variabile ω che diventa la variabile utilizzata per le trasformate di Fourier definite di seguito. Esempio 1 – Determinare i coefficienti C(ω), S(ω) e lo spettro continuo A(ω) per la funzione f(x) = exp(-x), per x > 0 ed f(x) = 0, x < 0.
Utilizzare la funzione DEFINE („à)!per definire questa espressione come funzione. Poi rappresentare graficamente lo spettro continuo, nell'intervallo 0 < ω < 10, come segue: Definizione delle trasformate di Fourier È possibile definire diversi tipi di trasformate di Fourier. Di seguito sono riportate le definizioni delle trasformate di Fourier propriamente dette, delle trasformate di seni e coseni e delle antitrasformate utilizzate nel presente Capitolo.
Lo spettro continuo F(ω) viene calcolato con l'integrale: 1 2π = lim ε →∞ ∫ ∞ 0 e −(1+iω )t dt = lim ε →∞ 1 2π ∫ ε 0 e −(1+iω )t dt 1 ⎡1 − exp(−(1 + iω )t ) ⎤ ⎥= 1 + iω 2π ⎢⎣ ⎦ 1 1 . 2π 1 + iω ⋅ Tale risultato può essere razionalizzato moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, ovvero 1-iω.
Proprietà della trasformata di Fourier Linearità: date le costanti a e b e le funzioni f e g, ne deriva che F{a⋅f + b⋅g} = a F{f }+ b F{g}. Trasformazione delle derivate parziali. Si ponga u = u(x,t).
il numero di operazioni che utilizzano l'FFT viene ridotto da un fattore di 10000/664 ≈ 15. L'FFT si applica alla sequenza {xj}, suddividendola in diverse sequenze di numeri più brevi. Le DFT delle sequenze più brevi vengono calcolate e quindi combinate insieme in modo estremamente efficiente. Per i dettagli sull'algoritmo fare riferimento, ad esempio, al Capitolo 12 in Newland, D.E.
La figura mostrata di seguito rappresenta un diagramma a scatola dei dati ottenuti. Per generare il grafico, copiare prima l'array appena creato, quindi trasformarlo in un vettore colonna utilizzando: OBJ 1 + ARRY (le funzioni OBJ! e !ARRY sono disponibili nel Command Catalog, ‚N). Memorizzare l'array nella variabile ΣDAT utilizzando la funzione STOΣ (disponibile anche in ‚N).
Esempio 2 – Per produrre il segnale dato uno spettro, aggiungere al programma GDATA un valore assoluto, nel seguente modo: << m a b << ‘2^m’ EVAL n << ‘(b-a)/(n+1)’ EVAL Dx << 1 n FOR j ‘a+(j-1)*Dx’ EVAL f ABS NEXT n ARRY >> >> >> >> Memorizzare questa versione del programma in GSPEC (Generate SPECtrum) (Genera gamma). Eseguire quindi il programma con m = 6, a = 0, b = 100.
Fatta eccezione per i grossi picchi di grandi dimensioni in corrispondenza di t = 0, il segnale è estremamente disturbato. Una scala verticale più piccola (da 0.5 a 0.5) mostra il segnale nel seguente modo: Soluzione di equazioni differenziali specifiche del secondo ordine In questa sezione vengono introdotte e risolte le equazioni differenziali specifiche e ordinarie le cui soluzioni sono definite in termini di funzioni classiche, ad esempio, le funzioni di Bessel, i polinomi di Hermite, ecc.
M Pn ( x) = ∑ (−1) m ⋅ m =0 = (2n − 2m)! ⋅x n − 2 m 2 ⋅ m!⋅(n − m)!⋅(n − 2m)! n (2n)! (2n − 2)! ⋅ xn − n ⋅ x n −2 + ... − .. 2 2 ⋅ (n!) 2 ⋅ 1!⋅(n − 1)!(n − 2)! n dove M = n/2 o (n-1)/2, a seconda di quale sia un numero intero. I polinomi di Legendre sono pre-programmati nella calcolatrice e possono essere richiamati con la funzione LEGENDRE con il grado del polinomio, n.
dove ν è un numero intero e la funzione Gamma Γ(α) è definita nel Capitolo 3. Se ν = n, un numero intero, le funzioni di Bessel del primo tipo per n = numero intero sono definite da (−1) m ⋅ x 2 m .
Yν(x) = [Jν(x) cos νπ – J−ν(x)]/sin νπ, per ν non intero e per un numero intero n, con n > 0, da x x n ∞ (−1) m−1 ⋅ (hm + hm+ n ) 2 m Yn ( x) = ⋅ J n ( x) ⋅ (ln + γ ) + ⋅ ∑ 2 m+ n ⋅x π 2 π m =0 2 ⋅ m!⋅(m + n)! 2 − x −n π (n − m − 1)! 2 m ⋅x 2 m−n ⋅ m! m =0 2 n −1 ⋅∑ dove γ è la costante di Eulero, definita da γ = lim[1 + r →∞ 1 1 1 + + ... + − ln r ] ≈ 0.57721566490..., 2 3 r e hm rappresenta la serie armonica hm = 1 + 1 1 1 + + ...
Le funzioni di Bessel modificate del secondo tipo, Kν(x) = (π/2)⋅[I-ν (x)−Iν (x)]/sin νπ, sono anche soluzioni per questa ODE. È possibile scrivere funzioni che rappresentano le funzioni di Bessel nella calcolatrice in modo simile a quello utilizzato per definire le funzioni di Bessel del primo tipo, ricordando però che nella calcolatrice la serie infinita deve essere convertita in serie finita.
Equazione di Laguerre L'equazione di Laguerre è una ODE lineare di secondo ordine, della forma x·(d2y/dx2) +(1−x)·(dy/dx) + n·y = 0. I polinomi di Laguerre, definiti come L0 ( x) = 1, Ln ( x) = e x d n (x n ⋅ e−x ) ⋅ , n = 1,2,... n! dx n , sono le soluzioni dell'equazione di Laguerre. I polinomi di Laguerre possono inoltre essere calcolati con: (−1) m m! m =0 n Ln ( x ) = ∑ = 1− n ⋅ x + ⎛n⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ x m . ⎝m⎠ n ( n − 1) 2 ( −1) n n ⋅ x − ... + ....
L 2(x) = 1-2x+ 0.5x2 L 3(x) = 1-3x+1.5x2-0.16666…x3. Equazione di Weber e polinomi di Hermite L'equazione di Weber è definita come d2y/dx2+(n+1/2-x2/4)y = 0, per n = 0, 1, 2, … Una speciale soluzione per questa equazione è data dalla funzione , y(x) = exp(-x2/4)H*(x/√2), dove la funzione H*(x) è il polinomio di Hermite: H 0 * = 1, H n * ( x) = (−1) n e x 2 d n − x2 (e ), n = 1,2,.. dx n Nella calcolatrice, la funzione HERMITE, è disponibile dal menu ARITHMETIC/ POLYNOMIAL (Aritmetica/polinomiale).
Per prima cosa, creare l'espressione che definisce la derivata e memorizzarla nella variabile EQ. La figura a sinistra mostra il comando in modalità ALG, mentre la figura a destra mostra lo stack RPN prima di premere K. Entrare quindi nell'ambiente NUMERICAL SOLVER (Risolutore numerico) e selezionare il risolutore dell'equazione differenziale: ‚Ϙ @@@OK@@@ . Inserire i seguenti parametri: Per risolvere, premere: @SOLVE (attendere) @EDIT@. Premere @@@OK@@@. Il risultato è 0.2499 ≈ 0.25.
@@OK@@ @INIT+—.75 @@OK@@ ™™@SOLVE (attendere) @EDIT (Il valore iniziale di t cambia in 0.5 e il valore finale di t cambia in 0.75, calcolare v(0.75) = 2.066…) @@OK@@ @INIT+—1 @@OK@@ ™ ™ @SOLVE (attendere) @EDIT (Il valore iniziale di t cambia in 0.75 e il valore finale di t cambia in 1, calcolare v(1) = 1.562…) Ripetere per t = 1.25, 1.50, 1.75, 2.00. Premere @@OK@@ dopo aver visualizzato l'ultimo risultato in @EDIT. Per tornare al display normale della calcolatrice, premere $ o L@@OK@@.
Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Premere „ô, simultaneamente se in modalità RPN, per accedere all'ambiente PLOT Evidenziare il campo che precede TYPE, utilizzando i tasti —˜. Premere quindi @CHOOS ed evidenziare Diff Eq, utilizzando i tasti —˜. Premere @@OK@@. Impostare il campo F: to ‘EXP(- t^2)’ Assicurarsi che i seguenti parametri siano impostati su: H-VAR: 0, VVAR: 1 Impostare la variabile indipendente su t.
LL@)PICT Per tornare al menu e all'ambiente PICT. @(X,Y)@ Per determinare le coordinate di qualsiasi punto sul grafico. Utilizzare i tasti š™ per spostare il cursore nell'area del grafico. Nella parte inferiore della schermata sono visibili i valori delle coordinate del cursore come (X,Y) ossia, la calcolatrice utilizza X e Y come nomi predefiniti rispettivamente per l'asse orizzontale e verticale. Premere L@CANCL tper tornare al menu e all'ambiente PLOT WINDOW.
differenziale con tempo iniziale t = 0 e tempo finale t = 2, il modulo di input del risolutore delle equazioni differenziali visualizzerà quanto segue (notare che il valore di Init: per Soln: è un vettore [0, 6]): Premere @SOLVE (attendere) @EDIT per risolvere per w(t=2). La soluzione ottenuta è [.16716… -.6271…], che corrisponde a x(2) = 0.16716 e x'(2) = v(2) = 0.6271. Premere @CANCL per tornare all'ambiente SOLVE.
(Il valore iniziale di t cambia in 0.75 e il valore finale di t cambia in 1, calcolare nuovamente w(1) = [-0.469 -0.607]) Ripetere per t = 1.25, 1.50, 1.75, 2.00. Premere @@OK@@ dopo aver visualizzato l'ultimo risultato in @EDIT. Per tornare al display normale della calcolatrice, premere $ o L@@OK@@. Le diverse soluzioni verranno visualizzate nello stack, con l'ultimo risultato nel livello 1. I risultati finali sono i seguenti: t 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 x 0.000 0.968 0.748 -0.015 -0.469 x' 6.000 1.
Si noti che l'opzione V-Var: è impostata su 1, a indicare che il primo elemento della soluzione vettoriale, ossia, x’, deve essere tracciato rispetto alla variabile indipendente t. AAccettare le modifiche a PLOT SETUP premendo L @@OK@@. Premere „ò (simultaneamente, se in modalità RPN) per entrare nell'ambiente PLOT WINDOW. Modificare questo modulo di input nel seguente modo: Per tracciare il grafico x’ vs. t utilizzare: @ERASE @DRAW . Il grafico di x’ vs.
Premere LL @PICT @CANCL $ per ritornare al display normale della calcolatrice. Soluzione numerica dell'ODE del primo ordine di tipo stiff Data l'ODE: dy/dt = -100y+100t+101, in base alle condizioni iniziali y(0) = 1.
In questo caso si sta cercando il valore di y(2), dato y(0) = 1. Con il campo Soln: Final evidenziato, premere @SOLVE. È possibile verificare che per ottenere una soluzione sono necessari circa 6 secondi, mentre con l'equazione del primo ordine, la soluzione era quasi immediata. Premere $ per cancellare il calcolo. Questo è un esempio di un'equazione differenziale ordinaria stiff.
Nota: l'opzione Stiff è disponibile anche per soluzioni grafiche di equazioni differenziali. Soluzione numerica delle ODE con il menu SOLVE/DIFF Il menu funzione SOLVE è richiamato mediante l'opzione 74 MENU in modalità RPN. Questo menu è illustrato nel dettaglio nel Capitolo 6. Uno dei sottomenu, DIFF, contiene le funzioni utilizzabili per la soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie, utili ai fini della programmazione.
Il valore della soluzione, yfinal, sarà disponibile nella variabile @@@y@@@. Questa funzione è adatta alla programmazione, in quanto lascia le caratteristiche dell'equazione differenziale e la tolleranza nello stack pronte per una nuova soluzione. Si noti che la soluzione utilizza le condizioni iniziali x = 0 per y = 0.
preso come un piccolo valore predefinito. Dopo aver eseguito la funzione @@RKF@@, lo stack visualizzerà le righe: 2: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’ ‘∂f/∂x’ ‘∂f/vy’ } { ε Δx } 1: Il valore della soluzione, yfinale, sarà disponibile nella variabile @@@y@@@. Questa funzione può essere usata per risolvere equazioni differenziali di tipo “stiff”. Le seguenti schermate mostrano lo stack in modalità RPN prima e dopo l'applicazione della funzione RRK: Il valore memorizzato nella variabile y è 3.00000000004.
Questi risultati indicano che (Δx)next = 0.34049… Funzione RRKSTEP Questa funzione utilizza un elenco simile a quello della funzione RRK, nonché la tolleranza per la soluzione, un possibile incremento Δx e un numero (LAST) che indica l'ultimo metodo utilizzato per la soluzione (1, se è stata usata RKF o 2, se è stata usata RRK).
Funzione RKFERR Questa funzione restituisce la stima dell'errore assoluto per un dato incremento nella soluzione di un problema, come indicato per la funzione RKF. Lo stack di partenza sarà il seguente: 2: !!! {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} 1: Δx Dopo aver eseguito questa funzione, lo stack conterrà le righe: 4: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} 3: ε 2: Δy 1: error Questa funzione è usata per determinare l'incremento nella soluzione Δy, nonché l'errore assoluto (Error).
Questo risultato indica che Δy = 4.1514… ed error = 2.762..., per Dx = 0.1. Verificare che, se Dx è ridotto a 0.01, Δy = -0.00307… ed error = 0.000547. Nota: quando si eseguono i comandi nel menu DIFF, i valori di x e y saranno determinati e memorizzati nelle variabili della calcolatrice. I risultati forniti dalle funzioni in questa sezione dipendono dai valori correnti di x e y. Alcuni dei risultati illustrati, successivamente, possono essere diversi da quelli ottenuti nella vostra calcolatrice.
Capitolo 17 Applicazioni di probabilità In questo Capitolo vengono forniti esempi di applicazioni delle funzioni della calcolatrice alle distribuzioni di probabilità. Sottomenu MATEMATICHE/PROBABILITÀ.. parte 1 Il sottomenu OPZIONI MATEMATICHE/PROBABILITÀ.. è accessibile premendo la sequenza di tasti „´. Con il flag di sistema 117 impostato sui CHOOSE BOXES (Riquadri di SELEZIONE), viene fornito il seguente elenco di opzioni matematiche (MTH) (vedere la figura sul lato sinistro qui di seguito).
Per semplificare la notazione, utilizzare P(n,r) per le permutazioni, e C(n,r) per le combinazioni. È possibile calcolare le combinazioni, le permutazioni, e i fattoriali con le funzioni COMB, PERM, e ! dal sottomenu MATEMATICHE/ PROBABILITÀ.. Il funzionamento di queste funzioni è descritto di seguito: Θ Θ Θ Combinazioni di n oggetti presi r oggetti per volta Permutazioni di n oggetti presi r oggetti per volta Il fattoriale di un numero intero positivo.
I generatori di numeri casuali, in generale, operano prendendo un valore, definito “seme” del generatore e applicando sullo stesso alcuni algoritmi matematici che generano un nuovo numero pseudocasuale. Se si desidera generare una sequenza di numeri e poter ripetere in seguito la stessa sequenza, è possibile cambiare il “seme” del generatore utilizzando la funzione RDZ(n), dove n è il “seme” scelto prima di generare la sequenza.
località può essere considerato una variabile casuale discreta perché tali dati sono considerati solo numeri interi. Se X rappresenta una variabile casuale discreta, la sua funzione di massa di probabilità (pmf) è rappresentata da f(x) = P[X=x], cioè la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore x. La funzione di distribuzione di massa deve soddisfare le condizioni che f(x) >0, for all x, e ∑ f ( x) = 1.
x F (n, p, x) = ∑ f (n, p, x), x = 0,1,2,..., n k =0 Distribuzione di Poisson La funzione di massa di probabilità della distribuzione di Poisson è data da f (λ , x ) = e −λ ⋅ λx , x = 0,1,2,..., ∞ x! . In questa espressione, se la variabile casuale X rappresenta il numero di occorrenze di un evento o di osservazioni per unità di tempo, di lunghezza, di area, di volume, ecc., allora il parametro l rappresenta il numero medio di occorrenze per unità di tempo, lunghezza, area, volume, ecc.
Distribuzioni di probabilità continue La distribuzione di probabilità per una variabile casuale continua, X, è caratterizzata da una funzione f(x) nota come la funzione di densità di probabilità (pdf). La funzione pdf presenta le seguenti proprietà: f(x) > 0, per tutte le x e P[ X < x ] = F ( x ) = ∫ +∞ −∞ ∫ x −∞ f (ξ )dξ . f ( x)dx = 1.
f ( x) = 1 β ⋅ exp(− x ), for β x > 0, β > 0 , mentre quella cdf è data da F(x) = 1 - exp(-x/β), per x>0, β>0. Distribuzione beta La pdf per la distribuzione gamma è data da f ( x) = Γ(α + β ) ⋅ x α −1 ⋅ (1 − x) β −1 , for 0 < x < 1, α > 0, β > 0 Γ(α ) ⋅ Γ( β ) Come nel caso della distribuzione gamma, la cdf corrispondente per la distribuzione beta è data anche da un integrale che non ha alcuna soluzione in forma chiusa.
Pdf esponenziale: 'epdf(x) = EXP(-x/β)/β' Cdf esponenziale: 'ecdf(x) = 1 - EXP(-x/β)' Pdf Weibull: 'Wpdf(x) = α*β*x^(β-1)*EXP(-α*x^β)' Cdf Weibull: 'Wcdf(x) = 1 - EXP(-α*x^β)' Utilizzare la funzione DEFINE per definire tutte queste funzioni. Inserire quindi i valori di α e β, ad esempio, 1K~‚a` 2K ~‚b` In fine, per la cdf delle cdf Gamma e Beta, è necessario modificare le definizioni di programma per aggiungere NUM ai programmi prodotti dalla funzione DEFINE.
Distribuzioni continue per inferenza statistica In questa sezione verranno presentate le quattro distribuzioni di probabilità continue che sono comunemente utilizzate per problemi relativi all'inferenza statistica. Queste distribuzioni sono la distribuzione normale, la distribuzione di Student, la distribuzione del Chi-quadrato (χ2) e la distribuzione F.
dove μ è la media e σ2 è la varianza della distribuzione. Per calcolare il valore di f(μ,σ2,x) per la distribuzione normale, utilizzare la funzione NDIST con i seguenti argomenti: la media, μ, la varianza, σ2 e il valore x, ovvero NDIST(μ,σ2,x). Ad esempio, verificare la distribuzione normale, f(1.0,0.5,2.0) = 0.20755374. Cdf della distribuzione normale La calcolatrice ha una funzione UTPN che calcola la distribuzione normale con coda superiore, ovvero, UTPN(x) = P(X>x) = 1 - P(X
ν +1 f (t ) = Γ( ν 2 ) Γ( ) ⋅ πν 2 ⋅ (1 + t2 ν ) ν +1 − 2 ,−∞ < t < ∞ dove Γ(α) = (α-1)! è la funzione GAMMA definita nel Capitolo 3. La calcolatrice fornisce per i valori della funzione di distribuzione (cumulativa) con coda superiore per la distribuzione t, la funzione UTPT, noti il parametro ν e il valore t, ovvero, UTPT(ν,t). La definizione di questa funzione è, quindi, UTPT (ν , t ) = ∫ ∞ t f (t )dt = 1 − ∫ t −∞ f (t )dt = 1 − P (T ≤ t ) Ad esempio, UTPT(5,2.5) = 2.7245…E-2.
La calcolatrice fornisce i valori della funzione di distribuzione (cumulativa) con coda superiore per la distribuzione χ2- utilizzando [UTPC], noti il valore di x e il parametro ν. La definizione di questa funzione è, quindi, UTPC (ν , x ) = ∫ ∞ t f ( x )dx = 1 − ∫ t −∞ f ( x )dx = 1 − P ( X ≤ x ) Per utilizzare questa funzione, sono necessari i gradi di libertà, ν, e il valore della variabile di chi-quadrato, x, ovvero, UTPC(ν,x). Ad esempio, UTPC(5, 2.5) = 0.
La calcolatrice fornisce i valori della funzione di distribuzione (cumulativa) con coda superiore per la distribuzione F, la funzione UTPF, dati i parametri νN e νD e il valore di F. La definizione di questa funzione è, quindi, UTPF (νN ,νD, F ) = ∫ ∞ t f ( F )dF = 1 − ∫ t −∞ f ( F )dF = 1 − P ( ℑ ≤ F ) Ad esempio, per calcolare UTPF(10,5, 2.5) = 0.
Exponential: Weibull: Per le distribuzioni Gamma e Beta le espressioni da risolvere saranno più complicate per la presenza degli integrali, ovvero, • Gamma, • Beta, p=∫ p=∫ x 0 x 0 1 z ⋅ z α −1 ⋅ exp(− )dz β β Γ(α ) α Γ(α + β ) ⋅ z α −1 ⋅ (1 − z ) β −1 dz Γ(α ) ⋅ Γ( β ) La soluzione numerica con il risolutore numerico non è proponibile a causa del segno di integrale incluso nell'espressione. È tuttavia possibile una soluzione grafica.
Vi sono due radici per questa funzione, trovate utilizzando la funzione @ROOT all'interno dell'ambiente grafico. A causa dell'integrale nell'equazione, la radice è approssimata e non viene mostrata nella schermata del grafico. Si ottiene solo il messaggio Costante? Mostrato nella schermata. Tuttavia, se si preme ` in questo punto, la radice approssimata viene visualizzata a display. Le due radici sono mostrate nella figura in basso a destra.
Si noti che il secondo parametro della funzione UTPN è σ2 e non σ2, che rappresenta la varianza della distribuzione. Inoltre, il simbolo ν (che corrisponde alla lettera greca minuscola no) non è disponibile nella calcolatrice. È possibile utilizzare, ad esempio, γ (gamma) invece di ν. La lettera γ è disponibile nel set di caratteri (‚±). Per ottenere il valore di x per una distribuzione normale, con μ = 10, σ2 = 2, con p = 0.
A questo punto saranno disponibili quattro equazioni per la soluzione. È sufficiente caricare una delle equazioni nel campo EQ del risolutore numerico e procedere alla risoluzione per una delle variabili. Gli esempi di UTPT, UTPC e UPTF sono mostrati di seguito: Notare che in tutti gli esempi mostrati in alto, si applica p = P(Xx) = α.
Con queste quattro equazioni, ogni qual volta si lancia il risolutore numerico saranno disponibili le seguenti scelte: Di seguito sono mostrati gli esempi di soluzione delle equazioni EQNA, EQTA, EQCA e EQFA: !!! Pagina 17-18
Capitolo 18 Applicazioni statistiche In questo Capitolo si introdurranno le applicazioni statistiche della calcolatrice, tra le quali: statistiche di un campione, distribuzione di frequenza di dati, regressione semplice, intervalli di confidenza e test delle ipotesi. Funzioni statistiche preimpostate La calcolatrice offre funzioni statistiche preimpostate accessibili utilizzando la combinazione di tasti ‚Ù (stesso tasto del numero 5).
Memorizzare il programma in una variabile chiamata LXC. Una volta memorizzato questo programma in modalità RPN, lo si potrà usare anche in modalità ALG. Per memorizzare un vettore colonna nella variabile ΣDAT, utilizzare la funzione STOΣ disponibile nel Catalog (‚N), es. STOΣ (ANS(1)) in modalità ALG. Esempio 1 – Utilizzando il programma LXC descritto sopra, creare un vettore colonna sulla base dei dati seguenti: 2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.5 1.6 2.2 1.2 2.5.
Esempio 1 -- Per i dati memorizzati nell’esempio precedente, i risultati della statistica a variabile singola sono i seguenti: Media: 2.13333333333, Dev Std: 0.964207949406, Varianza: 0.929696969697 Totale: 25.6, Massimo: 4.5, Minimo: 1.1 Definizioni Le definizioni utilizzate per queste quantità sono le seguenti: Si supponga di avere un numero con punti dati x1, x2, x3, …, che rappresentano diverse misurazioni della stessa variabile x continua o discreta.
Si veda il Capitolo 8 per esempi di calcolo di queste misure mediante l’utilizzo di elenchi. La mediana è il valore che divide nel mezzo l'insieme di dati quando gli elementi sono disposti in ordine crescente. Dato un numero dispari, n, di elementi ordinati, la mediana di questo campione è il valore che si trova in posizione (n+1)/2. Dato invece un numero pari, n, di elementi, la mediana è la media degli elementi che si trovano nelle posizioni n/2 e (n+1)/2.
Il range del campione è la differenza tra il valore massimo e il valore minimo del campione stesso. Poiché i valori massimo e minimo di un campione sono tra le funzioni statistiche predefinite della calcolatrice, calcolare il range è molto semplice. Coefficiente di variazione Il coefficiente di variazione di un campione combina la media - misura a tendenza centrale - con la deviazione standard - misura di dispersione - ed è definito in percentuale da: Vx = (sx/⎯x)100. Campione vs.
Definizioni Per comprendere il significato di questi parametri si vedano le seguenti definizioni: dato un insieme di n valori di dati: {x1, x2, …, xn} elencati in ordine casuale, viene spesso richiesto di raggruppare questi dati in serie di classi contando la frequenza o il numero di valori corrispondenti a ogni classe. (Nota: la calcolatrice indica le classi con bin).
Θ Θ Θ Θ Creare l’elenco di 200 numeri utilizzando RDLIST(200) in modalità ALG, oppure 200 ` @RDLIST@ in modalità RPN. Utilizzare il programma LXC (vedere sopra) per convertire l’elenco appena creato in un vettore colonna. Memorizzare il vettore colonna in ΣDAT utilizzando la funzione STOΣ. Ricavare informazioni a variabile singola utilizzando: ‚Ù @@@OK@@@. Utilizzare Sample (Campione) come tipo di insieme di dati e selezionare tutte le opzioni come risultato. I risultati di questo esempio sono: Media: 51.
frequenza cumulativa è ottenuta aggiungendo a ogni valore nell’ultima colonna, a eccezione della prima, la frequenza della riga successiva e sostituendo il risultato nell’ultima colonna della riga successiva. Quindi, per la seconda classe, la frequenza cumulativa è 18+15=33, mentre per la classe numero 3, è 33+16=49 e così via. La frequenza cumulativa rappresenta la frequenza di quei numeri che sono minori o uguali al limite superiore di ogni classe data. N.
« DUP SIZE 1 GET freq k « {k 1} 0 CON cfreq « ‘freq(1,1)’ EVAL ‘cfreq(1,1)’ STO 2 k FOR j ‘cfreq(j-1,1) +freq(j,1)’ EVAL ‘cfreq (j,1)’ STO NEXT cfreq » » » Salvarlo con il nome CFREQ. Utilizzare questo programma per generare l’elenco di frequenze cumulative (premere @CFREQ con il vettore colonna delle frequenze nello stack). Il risultato per questo esempio è un vettore colonna che rappresenta l’ultima colonna della tabella precedente.
Θ Premere @CANCEL per tornare alla schermata precedente. Impostare nuovamente V-View e Bar Width come segue: V-View: 0 30, Bar Width: 10. Il nuovo istogramma, basato sullo stesso set di dati, apparirà ora come segue: Un grafico della frequenza fi, vs. centro di classe, xMi, è noto come poligono di frequenza. Un graifco della frequenza cumulativa vs. i limiti superiori è noto come curva della frequenza cumulativa.
Θ Θ Θ Per prima cosa digitare le due righe di dati nella colonna della variabile ΣDAT usando il Matrix Writer e la funzione STOΣ. Per accedere al programma 3. Fit data.. utilizzare i seguenti tasti: ‚Ù˜˜@@@OK@@@ Il modulo di input mostrerà la ΣDAT corrente, già caricata. Se necessario, modificare la schermata di configurazione con i seguenti parametri per un’interpolazione lineare: Per ottenere l’interpolazione dei dati, premere @@OK@@.
Dove sx, sy sono le deviazioni standard rispettivamente di x e y, ovvero s x2 = 1 n ( xi − x ) 2 ∑ n − 1 i=1 s y2 = 1 n ( yi − y ) 2 ∑ n − 1 i=1 I valori sxy e rxy sono rispettivamente la "Covarianza" e la "Correlazione" ottenute usando la funzione "Fit data" della calcolatrice. Relazioni linearizzate Molte relazioni curvilinee vengono “appianate” fino a raggiungere una forma lineare.
La forma generale dell’equazione di regressione è! η = A + Bξ. Interpolazione di dati ottimizzata La calcolatrice può determinare quale delle proprie relazioni lineari o linearizzate offre la migliore interpolazione per un insieme di punti dati (x,y). L’utilizzo di questa funzione sarà illustrato con un esempio. Si supponga di voler trovare quale delle funzioni di interpolazione dati fornisca la migliore interpolazione per i dati seguenti: x y 0.2 3.16 0.5 2.73 1 2.12 1.5 1.65 2 1.29 4 0.47 5 0.
X-Col, Y-Col: _ΣX _ ΣY…: queste opzioni si applicano solo quando nella matrice ΣDAT sono presenti più di due colonne. Per impostazioni predefinite, la colonna x è la numero 1, mentre y è la numero 2. statistiche riepilogative che si possono scegliere come risultato di questo programma verificando il campo corretto mediante [ CHK] quando quel campo è selezionato.
B. Se n·p è un intero, ad esempio k, calcolare la media delle osservazioni ordinate k-esima e (k-1) –esima. Nota: regola di arrotondamento, dato un numero non intero x.yz…, se y ≥ 5, arrotondare a x+1; se y < 5, arrotondare a x.
Sottomenu DATA Il sottomenu DATA contiene funzioni utilizzate per manipolare la matrice statistica ΣDATA: Per eseguire queste funzioni procedere come indicato di seguito: Σ+ : aggiunge una riga nel livello 1 alla fine della matrice ΣDATA. Σ- : rimuove l’ultima riga nella matrice ΣDATA e posizionarla nel livello 1 !!! dello stack. La matrice ΣDATA modificata resta in memoria. CLΣ : cancella la matrice ΣDATA corrente. ΣDAT: inserisce il contenuto della matrice ΣDATA corrente nel livello 1 dello stack.
ΣPAR: visualizza i parametri statistici. RESET: ripristina i parametri a valori predefiniti INFO: visualizza i parametri statistici Sottomenu MODL all’interno di ΣPAR Questo sottomenu contiene funzioni che consentono di modificare il modello di interpolazione dei dati in LINFIT, LOGFIT, EXPFIT, PWRFIT o BESTFIT premendo il pulsante corrispondente. Sottomenu IVAR Il sottomenu 1VAR contiene funzioni utilizzate per calcolare statistiche di colonne presenti nella matrice ΣDATA.
Le funzioni sono le seguenti: BARPL: visualizza un diagramma a barre con i dati presenti nella colonna Xcol ! della matrice ΣDATA. HISTP: visualizza un istogramma dei dati presenti nella colonna Xcol della matrice ΣDATA, utilizzando la larghezza predefinita corrispondente a 13 classi a meno che la dimensione della classe non venga modifica utilizzando la funzione BINS nel sotto menu 1VAR (vedere sopra).
ΣX^2 : fornisce la somma dei quadrati dei valori presenti nella colonna Xcol. ΣY^2 : fornisce la somma dei quadrati dei valori presenti nella colonna Ycol. ΣX*Y: fornisce la somma di x·y, vale a dire i prodotti dei dati presenti nelle colonne Xcol e Ycol. NΣ : indica il numero di colonne presenti nella matrice ΣDATA. Esempio di operazioni eseguibili dal menu STAT Utilizzare ΣDATA come matrice indicate alla pagina seguente. Θ Θ Θ Inserire la matrice nel livello 1 dello stack utilizzando il Matrix Writer.
Θ @)STAT @)£PAR @RESET ripristina i parametri statistici L @)STAT @PLOT @SCATR @STATL visualizza un diagramma di dispersione disegna l’interpolazione dei dati come una retta @CANCL torna al display principale Determina l’equazione di interpolazione e alcune delle sue statistiche: @)STAT @)FIT@ @£LINE @@@LR@@@ 3 @PREDX 1 @PREDY @CORR @@COV@@ L@PCOV Θ visualizza visualizza visualizza visualizza visualizza visualizza visualizza '1.5+2*X' Intercept: 1.5, Slope: 2 0.75 3. 50 1.0 23.04 19.
Θ Adatta i dati utilizzando le colonne 1 (x) e 3 (y) mediante un'interpolazione logaritmica: L @)STAT @)£PAR 3 @YCOL selezionare Ycol = 3 e @)MODL @LOGFI selezionare Model = Logfit L @)STAT @PLOT @SCATR @STATL visualizza un diagramma di dispersione di y vs. x visualizza la riga per l’interpolazione logaritmica Naturalmente, l’interpolazione logaritmica non è una buona scelta. @CANCL torna al display normale.
L @)STAT @PLOT @SCATR @STATL Θ Θ visualizza un diagramma di dispersione di y vs. x visualizza la riga per l’interpolazione logaritmica Per ritornare al menu STAT premere: L@)STAT Per riaprire il menu variabili utilizzare: J. Intervalli di confidenza L’inferenza statistica è il processo per dedurre le caratteristiche di una popolazione in base alle informazioni rilevate attraverso i dati del campione.
Θ Θ Θ Θ Stima puntuale: quando è fornito un singolo valore del parametro θ. Intervallo di confidenza: un intervallo numerico che contiene il parametro θ ad un dato livello di probabilità. Stimatore: regola o metodo di stima del parametro θ. Stima: valore prodotto dallo stimatore in una particolare applicazione. Esempio 1 -- Supponiamo che X rappresenti il tempo (ore) richiesto per il completamento di uno specifico processo produttivo. Dati i seguenti campioni di valori di X: 2.2 2.5 2.1 2.3 2.2.
Θ Θ Un intervallo di confidenza a una coda superiore è definito da Pr[θ < Cu] = 1 - α. Il parametro α è noto come livello di significatività. I valori tipici di α sono 0.01, 0.05, 0.1, che corrispondono rispettivamente ai livelli di confidenza di 0.99, 0.95 e 0.90. Intervalli di confidenza della media della popolazione quando la varianza della popolazione è nota Si consideri⎯X la media di un campione casuale di dimensione n, basata su una popolazione infinita con una deviazione standard nota σ.
Piccoli campioni e grandi campioni La distribuzione t di Student si comporta in modo tale che, per n > 30, non è distinguibile dalla distribuzione normale standard. Pertanto, per campioni composti da più di 30 elementi di cui non è nota la varianza della popolazione, è possibile utilizzare lo stesso intervallo di confidenza utilizzabile se la variazione fosse nota, ma sostituendo σ con S. I campioni in cui n > 30 sono solitamente detti grandi campioni. In caso contrario, sono detti piccoli campioni.
Gli stimatori della media e della deviazione standard della differenza e della somma delle statistiche S1 e S2 sono dati da: μˆ S ± S = X 1 ± X 2 , 1 2 σˆ S ± S = 1 2 σ S21 n1 + σ S22 n2 In queste espressioni⎯X1 e⎯X2 sono i valori delle statistiche S1 e S2 ricavati dai campioni delle due popolazioni e σS12 e σS22 sono le varianze delle popolazioni delle statistiche S1 e S2 dalle quali sono stati prelevati i campioni.
In questo caso, gli intervalli di confidenza centrati per la somma e la differenza dei valori medi delle popolazioni, ovvero μ1±μ2, sono dati da: (( X 1 ± X 2 ) − tν ,α / 2 ⋅ s 2p , ( X 1 ± X 2 ) + tν ,α / 2 ⋅ s 2p ) dove ν = n1+n2-2 è il numero di gradi di libertà nella distribuzione t di Student. Nelle ultime due opzioni è possibile specificare che le varianze delle popolazioni, sebbene non note, debbano essere uguali.
Queste sono da interpretare come indicato di seguito: 1. Z-INT: 1 μ.: intervallo di confidenza di un singolo campione per la media della popolazione, μ, con varianza della popolazione nota o per grandi campioni con varianza della popolazione non nota. 2. Z-INT: μ1−μ2.: intervallo di confidenza per la differenza delle medie delle popolazioni, μ1- μ2, con varianze delle popolazioni note o per grandi campioni con varianze delle popolazioni non note. 3. Z-INT: 1 p.
Premere il tasto @HELP per visualizzare una schermata in cui è spiegato il significato dell'intervallo di confidenza in termini di numeri casuali generati da una calcolatrice. Per scorrere la schermata visualizzata, utilizzare il tasto freccia giù ˜. Dopo aver ultimato la lettura della schermata della Guida, premere il tasto @@@OK@@@. Viene così visualizzata la schermata riportata sopra. Per calcolare l'intervallo di confidenza, premere il tasto @@@OK@@@.
Esempio 2 -- I dati di due campioni (campioni 1 e 2) indicano che⎯x1 = 57.8 e⎯x2 = 60.0. Le dimensioni dei campioni sono n1 = 45 e n2 = 75. Se è noto che le deviazioni standard delle popolazioni sono σ1 = 3.2 e σ2 = 4.5, determinare l'intervallo di confidenza del 90% per la differenza delle medie delle popolazioni, ovvero μ1- μ 2. Premere il tasto ‚Ù—@@@OK@@@!per accedere alla funzione dell'intervallo di confidenza della calcolatrice. Premere il tasto ˜@@@OK@@@ per selezionare l'opzione 2. Z-INT: μ 1 – μ2..
Premere quindi il tasto @@@OK@@@. I risultati nei formati testuale e grafico sono riportati di seguito: Esempio 4 -- Determinare un intervallo di confidenza del 90% per la differenza tra due proporzioni se per il campione 1 si riportano 20 successi su 120 prove e per il campione 2 si riportano 15 successi su 100 prove. Premere il tasto ‚Ù—@@@OK@@@ per accedere alla funzione dell'intervallo di confidenza della calcolatrice. Premere il tasto ˜˜˜@@@OK@@@ per selezionare l'opzione 4. Z-INT: p1 – p2..
Esempio 5 – Determinare un intervallo di confidenza del 95% per la media della popolazione se un campione di 50 elementi ha una media di 15.5 e una deviazione standard pari a 5. La deviazione standard della popolazione non è nota. Premere il tasto ‚Ù—@@@OK@@@ per accedere alla funzione dell'intervallo di confidenza della calcolatrice. Premere il tasto — — @@@OK@@@ per selezionare l'opzione 5. T-INT: μ. Immettere i seguenti valori: Premere quindi il tasto @@@OK@@@.
Premere quindi il tasto @@@OK@@@. I risultati nei formati testuale e grafico sono riportati di seguito: Questi risultati partono dal presupposto che i valori s1 e s2 sono deviazioni standard delle popolazioni. Se questi valori rappresentano effettivamente le deviazioni standard dei campioni, è necessario immettere nuovamente i valori immessi in precedenza, ma con l'opzione _pooled (congiunto) selezionata.
L'intervallo di confidenza per la varianza della popolazione σ2 è pertanto [(n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 ; (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2]. dove χ2n-1,α/2 e χ2n-1,1-α/2 sono i valori che una variabile χ2, con ν = n-1 gradi di libertà, supera, rispettivamente, con probabilità α/2 e 1- α /2. Il limite di confidenza superiore per una coda con σ2 è definito come (n-1)⋅ S2/ χ2n-1,1-α.
Test delle ipotesi Un’ipotesi è una dichiarazione relativa a una popolazione (per esempio, rispetto alla sua media). L’accettazione dell’ipotesi si basa su un test statistico svolto su un campione di popolazione. L’azione che ne consegue e il processo decisionale sono denominati test dell’ipotesi. Il processo di test dell’ipotesi consiste nel prelevare un campione casuale di popolazione e nel creare un’ipotesi statistica relativa alla popolazione.
Nota: 1. Nell’esempio considerato, l’ipotesi alternativa H1: μ1-μ2 ≠ 0 restituisce ciò che è noto come test a due code. Se l’ipotesi alternativa è H1: μ1-μ2 > 0 o H1: μ1-μ2 < 0, si ottiene un test a una coda. 2. La probabilità di rifiuto dell’ipotesi nulla è uguale al livello di significatività, ovvero Pr[T∈R|H0]=α. La notazione Pr[A|B] rappresenta la probabilità condizionale dell’evento A dato che si verifichi l’evento B.
Il valore di β, ovvero la probabilità di commettere un errore di Tipo II, dipende da α, dalle dimensioni del campione n e dal valore vero del parametro testato. Pertanto, il valore di β viene determinato dopo l’esecuzione del test dell’ipotesi. È consuetudine tracciare grafici che mostrano β, o la potenza del test (1- β), come funzione del valore vero del parametro testato. Tali grafici sono denominati rispettivamente curve operative caratteristiche o grafici della funzione potenza.
valore P = P(|z|>|zo|), o, valore P = P(|t|>|to|). I criteri da usare per il test dell’ipotesi sono: Θ Θ Rifiutare Ho se il valore P < α Non rifiutare Ho se il valore P > α. Il valore P per un test bilaterale può essere calcolato servendosi delle funzioni di probabilità della calcolatrice nel modo seguente: Θ Se si usa z, valore P = 2⋅UTPN(0,1,|zo|) Θ Se si usa t, valore P = 2⋅UTPT(ν,|to|) Esempio 1 -- Test dell’ipotesi nulla Ho: μ = 22.5 ( = μo), a fronte dell’ipotesi alternativa, H1: μ ≠22.
Quindi, si calcola il valore P associato a zο o tο , e lo si confronta con a per stabilire se rifiutare o meno l’ipotesi nulla. Il valore P per un test bilaterale viene definito come valore P = P(z > |zo|), oppure valore P = P(t > |to|). I criteri da usare per il test dell’ipotesi sono: Θ Rifiutare Ho se il valore P < α Θ Non rifiutare Ho se il valore P > α. Osservare come i criteri tei siano esattamente identici a quelli utilizzati nel test bilaterale.
dimensioni n1 e n2, valori medi⎯x1 e⎯x2, e deviazioni standard s1 e s2.
Θ Se si usa t, valore P = UTPT(ν,|to|) I criteri da usare per il test dell’ipotesi sono: Θ Θ Rifiutare Ho se P < α Non rifiutare Ho se il valore P > α. Test di coppie di campioni Quando si ha a che fare con due campioni di dimensioni n con dati appaiati, invece di testare l’ipotesi nulla, Ho: μ1-μ2 = δ, utilizzando i valori medi e le deviazioni standard dei due campioni, è necessario affrontare il problema a livello di campione singolo delle differenze dei valori appaiati.
dove Φ(z) è la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) della distribuzione normale standard (vedere Capitolo 17). Rifiuto dell’ipotesi nulla, H0, se z0 >zα/2, oppure se z0 < - zα/2. In altre parole, la regione di rifiuto è R = { |z0| > zα/2 }, mentre la regione di accettazione è A = {|z0| < zα/2 }. Test a una coda Se si usa un test a una coda si ricaverà il valore di S da Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α, o!,: Φ(z α) = 1- α, Rifiuto dell’ipotesi nulla, H0, se z0 >zα e H1: p>p0, oppure se z0 < - zα, e H1: p
Test a due code Se si utilizza un test a due code, si trova il valore di z α/2, da Pr[Z> zα/2] = 1-Φ(zα/2) = α/2, o Φ(z α/2) = 1- α/2, dove Φ(z) è la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) della distribuzione normale standard. Rifiutare l’ipotesi nulla, H0, se z0 >zα/2, o se z0 < - zα/2. In altre parole, la regione di rifiuto è R = { |z0| > zα/2 }, entre la regione di accettazione è A = {|z0| < zα/2 }.
1. Z-Test: 1 μ.: Test delle ipotesi sulla base di un solo campione per la media della popolazione, μ, con varianza della popolazione nota, o nel caso di grandi campioni con varianza della popolazione non nota. 2. Z-Test: μ1−μ2.: Test delle ipotesi sulla differenza delle medie della popolazione, μ1- μ2, con varianze della popolazione note o, nel caso di grandi campioni, con varianze della popolazione non note. 3. Z-Test: 1 p.
In seguito si rifiuta H0: μ = 150, in favore di H1: μ ≠ 150. Il valore del test z è z0 = 5.656854. Il value P è 1.54×10 -8. I valori critici di ±zα/2 = ±1.959964, corrispondenti al range critico⎯x di {147.2 152.8}. Queste informazioni possono essere visualizzate graficamente premendo il tasto funzione @GRAPH: Esempio 2 -- Per μ0 = 150, ⎯x = 158, s = 10, n = 50, per α = 0.05, testare l’ipotesi H0: μ = μ0, contro l’ipotesi alternativa, H1: μ > μ0. La deviazione standard della popolazione, σ, non è nota.
Si rifiuta l’ipotesi nulla, H0: μ0 = 150, in favore dell’ipotesi alternativa, H1: μ > 150. Il valore del test t è t0 = 5.656854, con un valore P = 0.000000393525. Il valore critico di t è tα = 1.676551, corrispondente a un⎯x = 152.371!critico. Premere @GRAPH per visualizzare graficamente i risultati come segue: Esempio 3 – I dati di due campioni mostrano che⎯x1 = 158, ⎯x1 = 160, s1 = 10, s2 = 4.5, n1 = 50 e n2 = 55. Per α = 0.
Di conseguenza, si accetta (o, più precisamente, non si rifiuta) l’ipotesi: H0: μ1− μ2 = 0, o H0: μ1=μ2, contro l’ipotesi alternativa H1: μ1−μ2 < 0, o H1: μ1=μ2. Il valore del test t è t0 = -1.341776, con un valore P = 0.09130961 e il t critico è -tα = -1.659782. Il risultato grafico è: Questi tre esempi dovrebbero essere sufficienti per capire il funzionamento della funzione preprogrammata di test delle ipotesi della calcolatrice.
I criteri del test sono gli stessi del test delle ipotesi sulle medie, cioè Θ Rifiutare Ho se il valore P < α Θ Non rifiutare Ho se il il valore P > α. Da notare che questa procedura è valida solo se la popolazione dalla quale è tratto il campione è una popolazione normale. Esempio 1 -- Si consideri il caso in cui σo2 = 25, α=0.05, n = 25 e s2 = 20 ed il campione proviene da una popolazione normale.
La tabella seguente mostra come scegliere il numeratore ed il denominatore per Fo a seconda dell’ipotesi alternativa scelta: ____________________________________________________________________ Ipotesi Statistica Gradi di alternativa del test libertà ____________________________________________________________________ Fo = s22/s12 νN = n2-1, νD = n1-1 H1: σ12 < σ22 (unilaterale) H1: σ12 > σ22 (unilaterale) H1: σ12 ≠σ22 (bilaterale) Fo = s12/s22 Fo = sM2/sm2 νN = n1-1, νD = n2-1 νN = nM-1,νD = nm-1
Perciò, la statistica del test F è Fo = sM2/sm2=0.36/0.25=1.44 Il valore P è valore P = P(F>Fo) = P(F>1.44) = UTPF(νN, νD,Fo) = UTPF(20,30,1.44) = 0.1788… Poiché 0.1788… > 0.05, ovvero, valore P > α, di conseguenza non è possibile rifiutare l’ipotesi nulla che Ho: σ12 = σ22. Note aggiuntive sulla regressione lineare In questa sezione svilupperemo le idee di regressione lineare presentate precedentemente in questo capitolo e illustreremo una procedura per il test delle ipotesi sui parametri di regressione.
Si ottengono le cosiddette, equazioni normali: n n i =1 i =1 ∑ y i = a ⋅ n + b ⋅ ∑ xi n n n i =1 i =1 i =1 ∑ xi ⋅ yi = a ⋅ ∑ xi + b ⋅ ∑ xi2 Si tratta di un sistema di equazioni lineari con a e b come incognite, che può essere risolto utilizzando le funzioni della calcolatrice per le equazioni lineari. Tuttavia, non è necessario preoccuparsi di questi calcoli perché si può utilizzare l’opzione 3. Fit Data … disponibile nel menu ‚Ù, come indicato in precedenza.
Da cui ne consegue che le deviazioni standard di x e y e la covarianza di x,y sono date rispettivamente da sx = S xx sy = n −1 , S yy n − 1 , and sxy = Inoltre, il coefficiente di correlazione del campione è! rxy S yx n −1 = S xy S xx ⋅ S yy . In termini di⎯x, ⎯y, Sxx, Syy, e Sxy, la soluzione delle equazioni normali è: a = y − bx , b= S xy S xx = s xy s x2 Errore di previsione La curva di regressione di Y su x è definita come Y = Α + Β⋅x + ε.
Θ Limiti di confidenza per i coefficienti di regressione: Per la pendenza (Β): b − (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx < Β < b + (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx, Per l’intercetta (Α): a − (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2 < Α < a + (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+⎯x2/ Sxx]1/2, dove t segue la distribuzione t di Student con ν = n – 2 gradi di libertà e n rappresenta il numero di punti nel campione. Θ Test delle ipotesi sulla pendenza, Β: Ipotesi nulla, H0: Β = Β0, testata contro l’ipotesi alternativa, H1: Β ≠ Β0.
Procedure per le statistiche di inferenza nella regressione lineare utilizzando la calcolatrice 1) Inserire (x,y) come colonne di dati nella matrice statistica ΣDAT. 2) Creare un diagramma di dispersione per le colonne appropriate di ΣDAT e utilizzare i parametri H- e V-VIEWS appropriati per verificare la tendenza lineare. 3) Premere ‚Ù˜˜@@@OK@@@ per adattare una retta ed ottenere a, b, sxy (covarianza), and rxy (correlazione). 4) Premere ‚Ù˜@@@OK@@@, per ottenere⎯x, ⎯y, sx, sy.
1: Covariance: 2.025 Questi risultati sono interpretati come a = -0.86, b = 3.24, rxy = 0.989720229749 e sxy = 2.025. Il coefficiente di correlazione è sufficientemente vicino a 1.0 da confermare la tendenza lineare osservata nel grafico. Dall’opzione Single-var… del menu ‚Ù si trova: ⎯x = 3, sx = 0.790569415042,⎯y = 8.86, sy = 2.58804945857. In seguito, con n = 5, calcolare S xx = (n − 1) ⋅ s x2 = (5 − 1) ⋅ 0.790569415042 2 = 2.5 s e2 = n −1 2 ⋅ s y ⋅ (1 − rxy2 ) = n−2 5 −1 ⋅ 2.5880...2 ⋅ (1 − 0.9897.
Esempio 2 -- Si supponga che i dati di y usati nell’Esempio 1 rappresentino l’allungamento (in centesimi di pollice) di un filo metallico soggetto ad una forza x (in decine di libbre). Il fenomeno fisico è tale da supporre che l'intercetta A sia zero. Per verificare se questo è il caso, si testi l’ipotesi nulla, H0: Α = 0, contro l’ipotesi alternativa, H1: Α ≠ 0, con un livello di significanza α = 0.05. La statistica del test è t0 = (a-0)/[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2 = (-0.86)/ [(1/5)+32/2.5] ½ = -0.44117.
Adattamento lineare multiplo Si consideri un insieme di dati della forma x1 x2 x3 … xn y x11 x21 x31 … xn1 y1 x12 x22 x32 … xn2 y2 x13 x32 x33 … xn3 y3 . . . . . . . . . . x1,m-1 x 2,m-1 x 2,m x 3,m-1 x 3,m x n,m-1 x n,m ym-1 x1,m . … … ym Si supponga di dover calcolare l'adattamento dei dati della forma y = b0 + b1·x1 + b2·x2 + b3·x3 + … + bn·xn.
x1 x2 x3 y 1.20 2.50 3.50 4.00 6.00 3.10 3.10 4.50 4.50 5.00 2.00 2.50 2.50 3.00 3.50 5.70 8.20 5.00 8.20 9.50 Con la calcolatrice in modalità RPN, si può procedere come segue: Creare innanzitutto, nella propria directory HOME, una sottodirectory chiamata MPFIT (Multiple linear and Polynomial data FITting) e accedervi. Nella sottodirectory, digitare il seguente programma: « X y « X TRAN X * INV X TRAN * y * » » e memorizzarlo in una variabile chiamata MTREG (MulTiple REGression).
Confrontare questi valori interpolati con i dati originali, come mostrato nella tabella in basso: x1 x2 x3 y y-interpolato 1.20 2.50 3.50 4.00 6.00 3.10 3.10 4.50 4.50 5.00 2.00 2.50 2.50 3.00 3.50 5.70 8.20 5.00 8.20 9.50 5.63 8.25 5.03 8.22 9.45 Interpolazione polinomiale Dato l'insieme di dati x-y {(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn)}. Si supponga di volere interpolare un polinomio o ordinare p in base a questo insieme di dati.
Se p > n-1, si aggiungano le colonne n+1, …, p-1, p+1 a Vn per formare la matrice X. Al punto 3 di questo elenco, occorre sapere che la colonna i (i= n+1, n+2, …, p+1) è il vettore [x1i x2i … xni]. Se si utilizza un elenco di valori per x anziché un vettore, ovvero, x = { x1 x2 … xn}, è possibile calcolare facilmente la sequenza {x1i x2i … xni}. Quindi, è possibile trasformare questo elenco in un vettore e utilizzare il menu COL per aggiungere colonne alla matrice Vn fino a quando X è completato.
Θ Calcolare b utilizzando il programma MTREG (vedere l'esempio relativo all'interpolazione lineare multipla presentato in precedenza) Di seguito viene riportata la traduzione dell'algoritmo in un programma scritto utilizzando il linguaggio User RPL.
x 2.30 3.20 4.50 1.65 9.32 1.18 6.24 3.45 9.89 1.22 y 179.72 562.30 1969.11 65.87 31220.89 32.81 6731.48 737.41 39248.46 33.45 Siccome verranno utilizzati gli stessi dati x-y per l'interpolazione di polinomi di diversi gradi, è consigliabile salvare gli elenchi di valori di x e y rispettivamente nelle variabili xx e yy. In questo modo, non sarà necessario digitarli nuovamente in ogni applicazione del programma POLY. Pertanto, procedere come segue: { 2.3 3.2 4.5 1.65 9.32 1.18 6.24 3.45 9.89 1.
Θ Θ Θ Coefficiente di correlazione, r. Questo valore è compreso nell'intervallo -1 < r < 1. Più r si avvicina a +1 o -1, migliore sarà l'interpolazione dei dati. Somma dei quadrati degli errori (SSE). Si tratta della quantità che deve essere minimizzata mediante l'approccio dei minimi quadrati. Grafico dei residui. Si tratta del grafico dell'errore corrispondente a ciascuno dei punti dati originali.
x VANDERMONDE IF ‘pn-1’ THEN n1+ p1+ FOR j x j ^ OBJ ARRY j COL+ NEXT END END y OBJ ARRY X yv « X yv MTREG NUM b « b yv Xb* ABS SQ DUP y ΣLIST n / n 1 LIST SWAP CON yv − ABS SQ / NEG 1 + √ “r” TAG SWAP Inserisce x nello stack, ottiene Vn THEN Questo IF è il passaggio 3 nell'algoritmo Inserisce n nello stack Calcola p+1 Avvia il ciclo, da j = n-1 a p+1, incremento = -1 Toglie la colonna, la elimina dallo stack Chiude il ciclo FOR-STEP Calcola
“SSE” TAG » Applica il tag SSE al risultato Chiude il sottoprogramma 4 Chiude il sottoprogramma 3 Chiude il sottoprogramma 2 Chiude il sottoprogramma 1 Chiude il programma principale » » » » Salvare questo programma con il nome POLYR, in riferimento al calcolo del coefficiente di correlazione r. Se si utilizza il programma POLYR per i valori di p compresi tra 2 e 6, si ottiene la seguente tabella di valori del coefficiente di correlazione, r, e la somma dei quadrati degli errori, SSE: p 2 3 4 5 6 r 0.
Capitolo 19 Numeri in Basi Differenti In questo Capitolo verranno presentati esempi di calcolo di numeri in basi differenti da quella decimale. Definizioni Il sistema numerico utilizzato per l’aritmetica di tutti i giorni è conosciuto come sistema decimale poiché utilizza 10 cifre (in latino, deca), cioè da 0 a 9, per scrivere qualsiasi numero reale. I computer, invece, utilizzano un sistema basato su due possibili stati, detto sistema binario.
Con il flag di sistema 117 impostato sui menu FUNZIONE, il menu BASE visualizza le seguenti voci: Con questo formato, è evidente che le voci LOGIC, BIT, e BYTE contenute nel menu BASE sono a loro volta sottomenu. Questi menu verranno trattati più avanti in questo Capitolo. Funzioni HEX (Esadecimale), DEC (Decimale), OCT (Ottale), e BIN (Binario) I numeri in sistemi non decimali sono scritti preceduti dal simbolo # sulla calcolatrice. Il simbolo # è disponibile premendo „â(il tasto 3).
Come il sistema decimale (DEC) è formato da 10 cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), quello esadecimale (HEX) è formato da 16 cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), quello ottale (OCT) da 8 cifre (0,1,2,3,4,5,6,7), e quello binario (BIN) da sole due cifre (0,1). Conversione tra sistemi numerici Indipendentemente dal sistema numerico selezionato, ci si riferisce ad esso come sistema binario allo scopo di utilizzare le funzioni R B e B R.
Per vedere cosa succede se si seleziona la configurazione @DEC@ provare le seguenti conversioni: L’unico effetto nel selezionare il sistema decimale (DEC) è che i numeri decimali, se preceduti dal simbolo #, vengono scritti con il suffisso d. Wordsize Si definisce wordsize il numero di bit in un oggetto binario. Come impostazione predefinita, la wordsize è di 64 bit. La funzione RCWS (Richiama Wordsize) mostra la wordsize corrente.
Menu LOGIC (Logica) Il menu LOGIC, disponibile all'interno del menu (‚ã) BASE, fornisce le seguenti funzioni: Le funzioni AND (e), OR (o), XOR (o esclusiva), e NOT (non) sono funzioni logiche.!I dati per queste funzioni sono due valori o espressioni (una nel caso della funzione NOT) che possono essere espressi come risultati binari logici, vale a dire come 0 o 1.!I confronti di numeri tramite gli operatori comparativi =, ≠, >, <, ≤, e ≥, sono formulazioni logiche che possono essere vere (1) o false (0).
AND (BIN) OR (BIN) XOR (BIN) NOT (HEX) Menu BIT Il menu BIT, disponibile dal (‚ã) BASE, fornisce le seguenti funzioni: Le funzioni RL, SL, ASR, SR, RR, contenute nel menu BIT, sono utilizzate per manipolare i bit in un numero intero binario. Le definizioni di queste funzioni vengono mostrate di seguito: RL: Rotazione a sinistra un bit, ad es. #1100b #11000b SL: Scambiare a sinistra un bit, ad es. #1101b #11010b ASR: Traslazione aritmetica di un bit a destra, ad es.
Menu BYTE Il menu BYTE, disponibile dal (‚ã) BASE, fornisce le seguenti funzioni: Le funzioni RLB, SLB, SRB, RRB, contenute nel menu BIT, sono utilizzate per manipolare i bit in un numero intero binario. Le definizioni di queste funzioni vengono mostrate di seguito: RLB: Rotazione a sinistra di un byte, ad es. #1100b #110000000000b SLB: Traslazione a sinistra di un byte, ad es. #1101b #110100000000b SRB: Traslazione a destra di un byte, ad es. #11011b #0b RRB: Rotazione a destra di un byte, ad es.
Capitolo 20 Personalizzazione dei menu e della tastiera Utilizzando i molti menu della calcolatrice, gli utenti sono ormai a conoscenza del funzionamento dei menu in molteplici applicazioni. L’utente sarà inoltre ormai esperto nell'uso di molte funzioni disponibili utilizzando la tastiera, direttamente o in combinazione con i tasti shift sinistro („), shift destro (‚) o ALPHA (~).
Numeri di menu (funzioni RCLMENU e MENU) Ciascun menu predefinito ha un numero ad esso collegato. Ad esempio, attivare il menu MTH („´). Quindi, utilizzando il Function Catalog (‚N), trovare la funzione RCLMENU e attivarla. In modalità ALG premere semplicemente ` quando il display visualizza RCLMENU(). Il risultato è il numero 3.01. Pertanto è possibile attivare il menu MTH utilizzando MENU(3.01), in modalità ALG, o 3.01 MENU, in modalità RPN.
Per attivare una qualsiasi di queste funzioni basta semplicemente inserire l’argomento della funzione (un numero) e quindi premere il tasto del menu funzione corrispondente. In modalità ALG, l’elenco da inserire come argomento della funzione TMENU o della funzione MENU è più complesso: {{“exp”,”EXP(“},{“ln”,”LN(“},{“Gamma”,”GAMMA(“},{“!”,”!(“}} Il motivo è che, in modalità RPN, i nomi dei comandi sono sia etichette del menu funzione sia comandi.
È possibile provare ad usare questo elenco con le funzioni TMENU o MENU in modalità RPN per verificare di aver ottenuto lo stesso menu ottenuto in precedenza in modalità ALG. Specifiche dei menu e variabile CST Dai due esercizi mostrati in alto si nota che l’elenco di specifiche del menu più generale include una serie di sottoelenchi pari al numero di opzioni da visualizzare nel proprio menu personalizzato.
Personalizzazione della tastiera Ogni tasto sulla tastiera può essere identificato da due numeri che rappresentano la sua riga e la sua colonna. Ad esempio, il tasto VAR (J) si trova alla riga 3 della colonna 1 e verrà identificato come tasto 31. Ora, siccome ogni tasto possiede fino a dieci funzioni associate, ogni funzione è specificata da cifre decimali comprese tra 0 e 1, secondo le seguenti specifiche: .0 oppure 1, tasto senza shift .2, tasto premuto in combinazione con „ .
Le funzioni disponibili sono: ASN: STOKEYS: RCLKEYS: DELKEYS: Assegna un oggetto a un tasto specificato da XY.Z Memorizza l’elenco dei tasti definiti dall’utente Restituisce l’elenco corrente dei tasti definiti dall’utente Cancella l’assegnazione di uno o più tasti nell’elenco tasti corrente definito dall’utente, gli argomenti sono 0, per cancellare l’assegnazione di tutti i tasti definiti dall’utente, oppure XY.Z, per cancellare l’assegnazione del tasto XY.Z.
Attivazione dei tasti definiti dall’utente Per utilizzare questo tasto definito dall'utente, digitare „Ì prima di premere il tasto C. Notare che dopo aver premuto „Ì lo schermo mostra la specifica 1USR nella seconda riga del display.
Per rimuovere l’assegnazione di tutti i tasti definiti dall’utente utilizzare: In modalità ALG: DELKEYS(0) In modalità RPN: 0 DELKEYS Controllare che le definizioni dei tasti definiti dall’utente siano state rimosse utilizzando la funzione RCLKEYS.
Capitolo 21 Programmazione in linguaggio User RPL Il linguaggio User RPL è il linguaggio di programmazione più comunemente utilizzato per programmare le calcolatrici. I componenti del programma possono essere assemblati nell’editor di riga includendoli tra i simboli di delimitazione programma « » nell’ordine appropriato. La maggior parte degli esempi in questo Capitolo verrà presentata in modalità RPN: questo perché tra gli utenti della calcolatrici è più diffusa la programmazione in questa modalità.
1#~„x „º 1 x SQ „´ @LIST @ADD@ / [']~„x™ „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE ` _______________________ ADD / 'x' PURGE __________ Inserire 1 e calcolare x2 Calcolare (1+x2), quindi dividere Eliminare la variabile x Programmare nel livello 1 _____________________ Per salvare il programma utilizzare:[']~„gK Premere J per recuperare il proprio menu variabili e valutare g(3.5) inserendo il valore dell’argomento nel livello 1 (3.5`), quindi premere @@@g@@@. Il risultato è 1.2485…, vale a dire g(3.5) = 1.2485.
possibile utilizzare all’interno del programma una variabile locale che sia definita soltanto per quel programma e che non sarà disponibile per l’utilizzo dopo l’esecuzione del programma stesso. Il precedente programma potrebbe essere modificato per visualizzare: « → x « x SINH 1 x SQ ADD / » » Il simbolo freccia (→) si ottiene premendo il tasto shift destro ‚ unitamente al tasto 0, cioè ‚é.
« → x « x SINH 1 x SQ ADD / » ». Una volta terminata la modifica del programma, premere `. Il programma modificato viene salvato nuovamente nella variabile @@g@@. Ambito globale delle variabili Tutte le variabili definite nella directory HOME o in qualsiasi altra directory o sottodirectory sono considerate variabili globali dal punto di vista dello sviluppo del programma.
Tutte queste regole possono inizialmente disorientare i nuovi utenti della calcolatrice. Tuttavia possono venire semplificate dal seguente suggerimento: Creare directory e sottodirectory con nomi che ne richiamino la funzione, in modo da organizzare i propri dati e assicurare che le variabili globali si trovino nelle sottodirectory corrette. Ambito locale di una variabile l'ambito di tali variabili è limitato al programma o al sottoprogramma nelle quali sono definite.
BRCH: IF: CASE: START: FOR: DO: WHILE: TEST: TYPE: LIST: ELEM: PROC: GROB: PICT: CHARS: MODES: FMT: ANGLE: FLAG: KEYS: MENU: MISC: IN: OUT: TIME: ALRM: ERROR: IFERR: RUN: Gruppo di sottomenu con salto di programma (branching) e funzioni di looping Costrutto IF-THEN-ELSE-END per branching Costrutto CASE-THEN-END per branching Costrutto START-NEXT-STEP per branching Costrutto FOR-NEXT-STEP per looping Costrutto DO-UNTIL-END per looping Costrutto WHILE-REPEAT-END per looping Operatori di confronto, operatori
Funzioni elencate in base al sottomenu Viene riportato di seguito un elenco di funzioni all'interno dei sottomenu PRG, elencate in base ai sottomenu.
LIST/ELEM GET GETI PUT PUTI SIZE POS HEAD TAIL GROB GROB BLANK GOR GXOR SUB REPL LCD LCD SIZE LIST/PROC ANIMATE DOLIST PICT DOSUB NSUB PICT ENDSUB PDIM STREAM LINE REVLIST TLINE SORT BOX SEQ ARC PIXON PIXOF PIX? PVIEW PX C C PX CHARS SUB REPL POS SIZE NUM CHR OBJ STR HEAD TAIL SREPL MODES/FMT STD FIX SCI ENG FM, ML MODES/FLAG SF CF FS? FC? FS?C FS?C FC?C STOF RCLF RESET MODES/KEYS ASN STOKEYS RECLKEYS DELKEYS MODES/MENU MENU CST MODES/ANGLE TMENU DEG RCLMENU RAD GRAD RECT CYLIN SPHERE MODES/MISC B
TIME DATE DATE TIME TIME TICKS ERROR DOERR ERRN ERRM ERR0 LASTARG TIME/ALRM ACK ACKALARM STOALARM RCLALARM DELALARM FINDALARM ERROR/IFERR IFERR THEN ELSE END RUN DBUG SST SST↓ NEXT HALT KILL OFF Tasti di scelta rapida nel menu PRG Molte delle funzioni elencate in precedenza e contenute nel menu PRG sono richiamabili anche in altri modi: Θ Θ Θ Θ Θ Θ Gli operatori di confronto (≠, ≤, <, ≥, >) sono disponibili nella tastiera.
„ @)@IF@@ „@CASE@ „ @)@IF@@ „@CASE@ „ @)START „@)@FOR@ „ @)START „@)@FOR@ „ @)@@DO@@ „@WHILE Si noti che il prompt di inserimento ( ) è posizionato dopo la parola che definisce ciascun costrutto, pertanto è possibile iniziare a digitare nella posizione corretta. Sequenze di tasti per i comandi più usati Di seguito sono presentate le sequenze di tasti che consentono di eseguire i comandi utilizzati con maggiore frequenza per la programmazione numerica all'interno del menu PRG.
@)STACK DUP SWAP DROP „°@)STACK @@DUP@@ „°@)STACK @SWAP@ „°@)STACK @DROP@ @)@MEM@@ @)@DIR@@ PURGE ORDER „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @ORDER @)@BRCH@ @)@IF@@ IF THEN ELSE END „°@)@BRCH@ „°@)@BRCH@ „°@)@BRCH@ „°@)@BRCH@ @)@BRCH@ @)CASE@ CASE THEN END „°@)@BRCH@ @)CASE@ @CASE@ „°@)@BRCH@ @)CASE@ @THEN@ „°@)@BRCH@ @)CASE@ @@END@ @)@BRCH@ @)START START NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)START @START „°@)@BRCH@ @)START @NEXT „°@)@BRCH@ @)START @STEP @)@BRCH@ @)@FOR@ FOR NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)@F
@)@BRCH@ @)WHILE@ WHILE REPEAT END @)TEST@ @)TYPE@ „°@)@BRCH@ @)WHILE@ @WHILE „°)@BRCH@ @)WHILE@ @REPEA „°)@BRCH@ @)WHILE@ @@END@ == AND OR XOR NOT SAME SF CF FS? FC? FS?C FC?C „° @)TEST@ @@@≠@@@ „° @)TEST@ L @@AND@ „° @)TEST@ L @@@OR@@ „° @)TEST@ L @@XOR@ „° @)TEST@ L @@NOT@ „° @)TEST@ L @SAME „° @)TEST@ L L @@@SF@@ „°@)TEST@ L L @@@CF@@ „° @)TEST@ L L @@FS?@ „° @)TEST@ L L @@FC?@ „° @)TEST@ L L @FS?C „° @)TEST@ L L @FC?C OBJ ARRY LIST STR TAG NUM CHR TYPE „°@)TYPE@ @OBJ @ „°@)TYPE@ @ ARRY „°@
@)LIST@ @)PROC@ REVLIST „°@)LIST@ @)PROC@ @REVLI@ SORT „°@)LIST@ @)PROC@ L @SORT@ SEQ „°@)LIST@ @)PROC@ L @@SEQ@@ @)MODES @)ANGLE@ DEG „°L@)MODES @)ANGLE@ @@DEG@@ RAD „°L@)MODES @)ANGLE@ @@RAD@@ @)MODES @)MENU@ CST „°L@)MODES @)MENU@ @@CST@@ MENU „°L@)MODES @)MENU@ @@MENU@ BEEP „°L@)MODES @)MISC@ @@BEEP@ INFORM „°L@)@@IN@@ @INFOR@ INPUT „°L@)@@IN@@ @INPUT@ MSGBOX „°L@)@OUT@ @MSGBO@ PVIEW „°L@)@OUT@ @PVIEW@ DBUG „°LL @)@RUN@ @@DBG@ SST „°LL @)@RUN@ @@SST@ SST↓ „°LL @)@RUN@ @SST↓@
alle operazioni con gli elenchi, quali SORT, ΣLIST, ecc., disponibili mediante il menu MTH/LIST. Quali esercizi di programmazione aggiuntivi e per fare pratica con le sequenze di tasti presentate, verranno illustrati tre programmi per la creazione e la manipolazione di elenchi.
Esempi di programmazione sequenziale In generale, si definisce programma una qualsiasi sequenza di istruzioni per la calcolatrice racchiusa tra i simboli di delimitazione programma e ». I sottoprogrammi possono essere inclusi come parte di un programma.
dove Cu è una constante che dipende dal sistema unitario utilizzato [Cu = 1.0 per unità del Sistema Internazionale (S.I.), e Cu = 1.486 per unità del Sistema Anglosassone (E.S.)], n è il coefficiente di resistenza di Manning, che dipende dal tipo di allineamento del canale e da altri fattori, y0 è la profondità del flusso, e S0 è la pendenza del letto del canale data come frazione adimensionale.
È inoltre possibile separare con degli spazi i dati di input in una singola linea di stack invece di utilizzare `. Programmi che simulano una sequenza di operazioni nello stack In questo caso, si presume che i termini da includere nella sequenza di operazioni siano presenti nello stack. Per prima cosa, inserire il programma aprendo i simboli di delimitazione programma con ‚å. Quindi inserire la sequenza di operazioni da effettuare.
Come si può notare, la variabile y è utilizzata per prima, quindi b, g, e Q, in questo ordine. Pertanto, allo scopo di questo calcolo è necessario inserire le variabili nell’ordine inverso, vale a dire (non digitare quanto segue): Q ` g `b `y ` Per i valori specifici presi in considerazione si utilizzerà: 23 ` 32.
Nota: SQ è la funzione risultante dalla sequenza tasti „º. Salvare il programma nella variabile chiamata hv: ³~„h~„v K Una nuova variabile @@@hv@@@ dovrebbe risultare disponibile nel menu tasti funzione. (Premere J per visualizzare l’elenco di variabili.) Il programma rimasto nello stack può essere calcolato utilizzando la funzione EVAL . Il risultato dovrebbe essere 0.228174…, come prima. Inoltre, il programma è disponibile per un utilizzo futuro nella variabile @@@hv@@@. Ad esempio, per Q = 0.
è sempre possibile richiamare la definizione del programma nello stack (‚@@@q@@@) per vedere l’ordine in cui le variabili devono essere inserite, riportato di seguito → Cu n y0 S0. Tuttavia, nel caso del programma @@hv@@, la sua definizione « * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / » non fornisce indizi sull’ordine in cui i dati devono essere inseriti, a meno che, naturalmente, non si sia davvero esperti in RPN e nel linguaggio User RPL.
S 42 , 2 ⋅ S 3 ⋅ ( S 2 ⋅ S1) 2 che indica la posizione dei diversi livelli di input nello stack per la formula. Confrontando questo risultato con la formula originale che è stata programmata, vale a dire Q2 hv = , 2 g (by ) 2 è chiaro che bisogna inserire y nel livello di stack 1 (S1), b nel livello di stack 2 (S2), g nel livello di stack 3 (S3), e Q nel livello di stack 4 (S4). Suggerire con una stringa di input Questi due approcci per identificare l’ordine dei dati di input non sono molto efficienti.
Il risultato è uno stack che suggerisce all’utente il valore di a e posiziona il cursore davanti ad :a: Inserire il valore di a, ad esempio 35, quindi premere `. Il risultato è la stringa di input :a:35 nel livello di stack 1.
@SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Risultato: stack vuoto, esecuzione in corso →a Risultato: stack vuoto, inserimento del sottoprogramma in corso « Risultato: ‘2*a^2+3’ Risultato: '2*a^2+3', chiusura del sottoprogramma in corso » Risultato: '2*a^2+3', chiusura del programma principale in corso» L’ulteriormente pressione del tasto funzione @SST↓@ non produce altri risultati poiché sì è eseguito l’intero programma passo a passo.
Correzione del programma L’unica spiegazione plausibile per la mancata esecuzione del programma sembra essere l’assenza del comando NUM dopo l’espressione algebrica ‘2*a^2+3’. Modificare il programma aggiungendo la funzione mancante EVAL. Dopo la modifica, il programma si presenterà come segue: « “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ NUM » » Memorizzare nuovamente nella variabile FUNCa, ed eseguire il programma con a = 2. Questa volta il risultato sarà 11, ad esempio, 2*22+3 = 11.
Programma per stringhe di input con due valori di input Un programma per stringhe di input con due valori di input, ad esempio, a e b, può avere il seguente aspetto: « “Enter a and b: “ {“ :a: :b: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ » Il programma può essere facilmente creato modificando i contenuti di INPTa. Memorizzare il programma nella variabile INPT2.
stringa di input, infine premere `. Il risultato così ottenuto sarà 49887.06_J/m^3. Le unità di J/m^3 sono equivalenti a Pascal (Pa), l’unità di pressione più utilizzata nel sistema S.I.. Nota: poiché sono state deliberatamente incluse le unità di misura nella definizione della funzione, i valori di input devono avere delle unità di misura collegate per generare risultati corretti.
Inserire i valori V = 0.01_m^3, T = 300_K, e n = 0.8_mol. Prima di premere `, lo stack si presenterà come segue: Premere ` per ottenere il risultato 199548.24_J/m^3, o 199548.24_Pa = 199.55 kPa. Inserimento di valori mediante i moduli di input La funzione INFORM („°L@)@@IN@@ @INFOR@.) può essere utilizzata per creare moduli di input dettagliati per un programma. La funzione INFORM richiede cinque argomenti nel seguente ordine: 1. Titolo: stringa di caratteri che descriva il modulo di input 2.
Gli elenchi di cui ai punti 4 e 5 possono essere vuoti. Inoltre, se nessun valore deve essere selezionato per queste opzioni è possibile utilizzare il comando („°L@)@@IN@@ @NOVAL@)!NOVAL.
3. Informazioni sul formato del campo: { } (un elenco vuoto, quindi, valori predefiniti utilizzati) 4. Elenco dei valori di reinizializzazione: { 120 1 .0001} 5. Elenco dei valori iniziali: { 110 1.5 .00001} Salvare il programma nella variabile INFP1: Premere @INFP1 per eseguire il programma.
Con questo esempio si è mostrato l’utilizzo della funzione INFORM. Per vedere come utilizzare questi valori di input in un calcolo, modificare il programma nel modo seguente: « “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .
« “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { 2 1 } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .00001 } INFORM IF THEN OBJ DROP C R S ‘C*(R*S)’ NUM “Q” TAG ELSE “Operation cancelled” MSGBOX END » Eseguendo il programma @INFP2 si ottiene il seguente modulo di input: Esempio 3 – Modificare l’elenco delle informazioni relative al formato del campo in {3 0} e salvare il programma modificato nella variabile INFP3.
L’attivazione della funzione CHOOSE restituirà il valore zero, se si utilizza l'azione @CANCEL o, nel caso sia stata eseguita una selezione, l'opzione selezionata (ad esempio, v) e il numero 1, ad esempio, nello stack in modalità RPN: 2: 1: v 1 Esempio 1 – L’equazione di Manning, che permette di calcolare la velocità del flusso in un canale aperto, include un coefficiente, Cu, che dipende dal sistema di unità di misura utilizzato. Se si utilizza il sistema S.I. (System International), Cu = 1.
1 è zero, i comandi “Operation cancelled” MSGBOX determineranno la comparsa di un messaggio indicante che l’operazione è stata annullata. Identificazione dell'output nei programmi Il modo più semplice per identificare l’output dei programmi numerici è l'applicazione di un “tag” ai risultati del programma. Un tag è una semplice stringa unita ad un numero o a un oggetto. La stringa sarà il nome associato all’oggetto.
Nota: per le operazioni matematiche con quantità con tag, il calcolatore esegue automaticamente la separazione del tag "dalla" quantità automaticamente prima dell’operazione. Ad esempio, il numero in basso a sinistra mostra due quantità con tag prima e dopo aver premuto il tasto * in modalità RPN: Esempi di output con tag Esempio 1 – applicare un tag all’output dalla funzione FUNCa Modificare la funzione FUNCa, definita in precedenza, per ottenere un output con tag.
« “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ EVAL ”F” →TAG a SWAP» » (Notare che la funzione SWAP è disponibile utilizzando „°@)STACK @SWAP@). Salvare nuovamente il programma nella funzione FUNCa utilizzando „ @FUNCa. Eseguire il programma premendo @FUNCa . Inserire un valore di 2 quando richiesto e premere `. Il risultato corrisponde a due numeri con tag a:2. nel livello di stack 2, e F:11. nel livello di stack 1.
Esempio 3 – applicare un tag a input e output della funzione p(V,T) In questo esempio è stato modificato il programma @@@p@@@ in modo che l'output applichi un tag ai valori di input e al risultato. Utilizzare ‚@@@p@@@ per richiamare i contenuti del programma allo stack: « “Enter V, T, and n:“ {“ :V: :T: :n:“ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n ‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ » Modificarlo come segue: « “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n:“ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V T n ‘(8.
Salvare nuovamente il programma nella variabile p utilizzando „@@@p@@@. Eseguire quindi il programma premendo @@@p@@@. Inserire i valori di V = 0.01_m^3, T = 300_K e n = 0.8_mol, quando richiesto. Prima di premere ` per l’input, lo stack apparirà in questo modo: Dopo aver eseguito il programma, lo stack apparirà come segue: In conclusione: il filo conduttore nei tre esempi mostrati è l’utilizzo dei tag per identificare le variabili di input e output.
Il risultato è il seguente riquadro messaggi: Premere @@@OK@@@ per chiudere il riquadro messaggi. È possibile utilizzare un riquadro messaggi per l’output di un programma, utilizzando un output con tag, convertito in una striga, come la stringa di output per MSGBOX. Per convertire un risultato con tag, o qualsiasi valore algebrica o senza tag in una stringa, utilizzare la funzione →STR disponibile in „°@)TYPE@ @ STR.
Premere @@@OK@@@ per chiudere il riquadro messaggi ottenuto come output. Lo stack apparirà come segue: Inserimento di input e output nel riquadro messaggi È possibile modificare il programma in modo che nel messaggio non sia compreso solo l’output, ma anche l’input. Nel caso del programma @@@p@@@, il programma modificato avrà l’aspetto di: « “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V →STR “ ” + T →STR “ ” + n →STR “ ” + ‘(8.
Notare che dopo aver digitato la sequenza di tasti ‚ë viene generata una nuova riga nello stack. L’ultima modifica che deve essere apportata è l'inserimento del segno più tre volte dopo la chiamata alla funzione alla fine del sottoprogramma. Nota: il segno più (+) nel programma è utilizzato per concatenare le stringhe. La concatenazione è una semplice operazione di unione dei singoli caratteri delle stringhe.
Incorporazione di unità all’interno di un programma Come è stato possibile osservare da tutti gli esempi delle diverse versioni del programma @@@p@@@ presentate in questo capitolo, collegare le unità di misura ai valori di input può essere laborioso. È possibile chiedere al programma stesso di collegare le unità ai valori di input e di output. Verrà ora illustrata questa possibilità modificando ancora una volta il programma @@@p@@@ come segue.
2. ‘1_m^3’ : Le unità S.I. corrispondenti a V vengono quindi collocate nel livello 1 dello stack, l’input con tag di V viene spostato al livello 2 dello stack. 3. * : Moltiplicando il contenuto dei livelli 1 e 2 dello stack, si genera un numero con unità di misura (ad es., 0.01_m^3) ma si perde il tag. 4. T ‘1_K’ * : Calcolo del valore di T incluse le unità di misura del S.I. 5. n ‘1_mol’ * : Calcolo del valore di n incluse le unità di misura 6.
Premere @@@OK@@@ per chiudere il riquadro messaggi ottenuto come output. Riquadro messaggi di output senza unità Modificare il programma @@@p@@@ ancora una volta per eliminare l’utilizzo delle unità. Il programma senza unità avrà il seguente aspetto: « “Enter V,T,n [S.I.]: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V DTAG T DTAG n DTAG → V T n « “V=” V →STR + “ “ ” + ”+ “T=” T →STR + “ ” + “n=” n →STR + ‘8.
istruzione può essere vera (rappresentata dal valore numerico 1. nella calcolatrice) o falsa (rappresentata dal valore numerico 0. nella calcolatrice).
Operatori logici Per operatori logici si intendono quelle particelle logiche utilizzare per unire o modificare istruzioni logiche semplici. È possibile accedere facilmente agli operatori logici disponibili nella calcolatrice utilizzando la sequenza di tasti: „° @)TEST@ L. Gli operatori logici disponibili sono i seguenti: AND, OR, XOR (exclusive or), NOT e SAME. Gli operatori produrranno risultati veri o falsi, in base al valore di verità della corrispondente istruzione logica.
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p XOR q 0 1 1 0 La calcolatrice include anche l’operatore logico SAME. Si tratta di un operatore logico non standard utilizzato per stabilire se due oggetti sono identici. Se lo sono, viene restituito il valore 1 (vero), in caso contrario viene restituito il valore 0 (falso).!Ad esempio, il seguente esercizio in modalità RPN restituisce il valore 0: ‘SQ(2)’ ` 4 ` SAME Tenere presente che l’uso di SAME implica un’interpretazione molto rigida della parola “identico.
Branching con IF In questa sezione verranno illustrati esempi con i costrutti IF…THEN…END e IF…THEN…ELSE…END. Costrutto IF...THEN...END IF…THEN…END è il più semplice tra i costrutti di programma IF. Il formato generico di questo costrutto è il seguente: IF logical_statement THEN program_statements END. Per eseguire questo costrutto procedere come indicato di seguito: 1. Valutare l'istruzione_logica. 2.
Il cursore posizionato subito davanti alla l'istruzione IF chiede all’utente di digitare l'istruzione logica che attiverà il costrutto IF all'esecuzione del programma. Esempio: digitare il seguente programma: « → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ EVAL END ”Done” MSGBOX » » e salvarlo con il nome ‘f1’. Premere J e verificare che la variabile @@@f1@@@ sia effettivamente disponibile nel menu delle variabili. Verificare i seguenti risultati: 0 @@@f1@@@ Risultato: 0 3.5 @@@f1@@@ Risultato: no action 1.
Esempio: digitare il seguente programma: « → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ ELSE ‘1-x’ END EVAL ”Done” MSGBOX » » e salvarlo con il nome ‘f2’. Premere J e verificare che la variabile @@@f2@@@ sia effettivamente disponibile nel menu delle variabili. Verificare i seguenti risultati: 0 @@@f2@@@ Risultato: 0 1.2 @@@f2@@@ Risultato: 1.44 3.5 @@@f2@@@ Risultato: -2.5 10 @@@f2@@@ Risultato: -9 Questi risultati confermano il corretto funzionamento del costrutto IF…THEN… ELSE…END.
IF x<3 THEN x2 ELSE 1-x END Se questo costrutto semplice funziona bene quando la funzione ha solo due salti, potrebbe essere necessario annidare i costrutti IF…THEN…ELSE…END er funzioni con tre o più salti.
Un costrutto IF complesso come questo viene chiamato set di costrutti IF … THEN … ELSE … END annidati. Una possibile soluzione per valutare f3(x), basandosi sul costrutto IF annidato illustrato sopra, è scrivere il programma seguente: → x « IF ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ ELSE IF ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ ELSE IF ‘x<3*π‘ THEN ‘SIN(x)‘ ELSE IF ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ ELSE –2 END END END END EVAL » » « Salvare il programma nella variabile @@@f3@@@ e provare a fare le seguenti valutazioni: 1.5!@@f3@@@ 2.5!@@@f3@@@ 4.2!@@@f3@@@ 5.
corrispondente istruzioni_programma e trasmette il flusso del programma all'istruzione che segue l'istruzione END. Le istruzioni CASE, THEN e END possono essere selezionate utilizzando „°@)@BRCH@ @)CASE@ . Se ci si trova nel menu BRCH, ad es.
5.6 @@f3c@ Risultato: -0.631266… (ad es., sin(x), con x nei radianti) 12 @@f3c@ Risultato: 162754.791419 (ad es., exp(x)) 23 @@f3c@ Risultato: -2. (ad es., -2) Come si vede, f3c genera esattamente lo stesso risultato di f3. L’unica differenza nei programmi è il costrutto di branching utilizzato. Nel caso della funzione f3(x) che richiede cinque espressioni per essere definita, il costrutto CASE è il più semplice da creare rispetto ai vari costrutti IF…THEN…ELSE…END annidati.
I comandi utilizzati nel costrutto START sono disponibili mediante: „°@)@BRCH@ @)START @START All’interno del menu BRCH („°@)@BRCH@) sono disponibili le seguenti sequenze di tasti per generare costrutti START (il simbolo indica la posizione del cursore): Θ „ @START: Avvia il costrutto START…NEXT construct: START NEXT Θ ‚ @START: Avvia il costrutto START…STEP construct: START STEP Costrutto START...
1. Questo programma richiede come input un numero intero. Pertanto, prima di eseguire il programma, quel numero (n) si trova nel livello 1 dello stack. Il programma viene quindi eseguito. 2. Viene inserito uno zero, n viene spostato al livello 2 dello stack. 3. Il comando DUP, che può essere inserito come ~~dup~, copia i contenuti del livello 1 dello stack, sposta tutti i livelli dello stack di un gradino verso l'alto e colloca la copia appena eseguita nel livello 1 dello stack.
„°LL @)@RUN@ @@DBG@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Avvia il debugger. SL1 = 2. SL1 = 0., SL2 = 2. SL1 = 0., SL2 = 0., SL3 = 2. (DUP) Vuota lo stack (-> n S k) Vuota lo stack (« - avvia il sottoprogramma) SL1 = 0., (valore iniziale dell'indice del ciclo) SL1 = 2.(n), SL2 = 0. (valore finale dell'indice del ciclo) Vuota lo stack (START - inizio del ciclo) --- numero di esecuzione del ciclo 1 per k = 0 @SST↓@ SL1 = 0. (k) @SST↓@ SL1 = 0. (SQ(k) = k2) @SST↓@ SL1 = 0.(S), SL2 = 0.
@SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ SL1 = 1. (S + k2) [Vuota lo stack [Memorizza il valore di SL2 = 2 in SL1 = ‘k’] SL1 = ‘S’, SL2 = 1. (S + k2) Vuota lo stack [Vuota lo stack [Memorizza il valore di SL2 = 1 in SL1 = ‘S’] Vuota lo stack (NEXT - fine del ciclo) --- numero di esecuzione del ciclo 3 per k = 2 @SST↓@ SL1 = 2. (k) @SST↓@ SL1 = 4. (SQ(k) = k2) @SST↓@ SL1 = 1.(S), SL2 = 4. (k2) @SST↓@ SL1 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1., SL2 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 2.(k), SL2 = 1., SL3 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 3.
3 5 10 30 @@@S1@@ @@@S1@@ @@@S1@@ @@@S1@@ Risultato: S:14 Risultato: S:55 Risultato: S:385 Risultato: S:9455 4 8 20 100 @@@S1@@ @@@S1@@ @@@S1@@ @@@S1@@ Risultato: Risultato: Risultato: Risultato: S:30 S:204 S:2870 S:338350 Costrutto START...STEP La forma generale di questa istruzione è: start_value end_value START program_statements increment NEXT Lo start_value (valore_iniziale), l'en_value (valore_finale) e increment (l’increment) dell’indice del ciclo possono essere quantità positive o negative.
J1 # 1.5 # 0.5 ` Digitare i parametri 1 1.5 0.5 [ ‘ ] @GLIST ` Inserire il nome del programma al livello 1 „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Avviare il debugger. Utilizzare @SST↓@ per entrare nel programma e vedere nel dettaglio il funzionamento di ogni comando. Costrutto FOR Come per il comando START, il comando FOR ha due varianti: il costrutto FOR…NEXT per incrementi dell'indice del ciclo pari a 1 e il costrutto FOR…STEP per incrementi dell’indice del ciclo impostati dall’utente.
Per evitare un ciclo infinito, assicurarsi che start_value < end_value. Esempio - calcolare la sommatoria S utilizzando un costrutto FOR…NEXT Il seguente programma calcola la sommatoria n S = ∑k2 k =0 Uso del ciclo FOR…NEXT: « 0 → n S « 0 n FOR k k SQ S + ‘S‘ STO NEXT S “S” →TAG » » Memorizzare questo programma in una variabile @@S2@@.
Esempio - generare un elenco di numeri utilizzando un costrutto FOR…STEP Digitare il programma: « → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + → n « xs xe FOR x x dx STEP n →LIST » » » e memorizzarlo nella variabile @GLIS2. Θ Θ Verificare che la sequenza 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS2 del programma produca l’elenco {0.5 1. 1.5 2. 2.5}. Per seguire l’operazione passo per passo, utilizzare il programma DBUG per un elenco breve, ad esempio: J1 # 1.5 # 0.5 ` [‘] @GLIS2 ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Digitare i parametri 1 1.5 0.
Il seguente programma calcola la sommatoria n S = ∑k2 k =0 Utilizzando un ciclo DO…UNTIL…END: « 0. → n S « DO n SQ S + ‘S‘ STO n 1 – ‘n‘ STO UNTIL ‘n<0‘ END S “S” →TAG » » Memorizzare questo programma in una variabile @@S3@@.
Costrutto WHILE La struttura generale di questo comando è: WHILE logical_statement REPEAT program_statements END L’istruzione WHILE ripeterà i program_statements finché logical_statement non è vero (diverso da zero). In caso contrario, il comando del programma viene passato all’istruzione immediatamente successiva a END. I program_statements devono prevedere un indice di ciclo che viene modificato prima della verifica del logical_statement all’inizio della ripetizione successiva.
« → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + xs → n x « xs WHILE ‘x
Se si digita #11h ` @DOERR, si avrà il seguente messaggio: Error: Undefined FPTR Name (Nome FPTR non definito) Se si digita “TRY AGAIN“ ` @DOERR, si avrà il seguente messaggio: TRY AGAIN (Riprova) Infine, 0` @DOERR darà il seguente messaggio: Interrupted (Interrotto) ERRN Questa funzione restituisce un numero che rappresenta l’errore più recente. Ad esempio, provando 0Y$@ERRN, si avrà il numero #305h.
Questi sono i componenti del costrutto IFERR…THEN…END oppure del costrutto IFERR…THEN…ELSE…END. Entrambi i costrutti logici sono utilizzati per l'intercettazione degli errori nel corso dell’esecuzione dei programmi.
Programmazione nel linguaggio User-RPL in modalità algebrica Mentre tutti i programmi descritti finora sono prodotti ed eseguiti in modalità RPN, è sempre possibile digitare un programma utilizzando il linguaggio UserRPL, se ci si trova in modalità algebrica, richiamando la funzione RPL>. Questa funzione è disponibile nel Command Catalog. Ad esempio, si provi a creare il seguente programma in modalità algebrica e lo si memorizzi nella variabile « → X ‘2.
Se è possibile scrivere programmi in modalità algebrica senza utilizzare la funzione RPL>, alcuni costrutti RPL produrranno un messaggio di errore alla pressione di `, ad esempio: Mentre se si utilizza RPL non si avranno problemi nel caricamento di questo programma in modalità algebrica: Pagina 21-68
Capitolo 22 Programmi per la manipolazione dei grafici Il presente capitolo illustra una serie di esempi su come utilizzare le funzioni della calcolatrice per manipolare i grafici in modo interattivo o attraverso programmi. Come al Capitolo 21, si consiglia di utilizzare la modalità RPN e di impostare il flag di sistema 117 su SOFT menu (menu FUNZIONE). « » Nel Capitolo 12 si introducono una serie di applicazioni grafiche per la calcolatrice.
Per personalizzare un tasto è necessario aggiungere a questo elenco un comando o un programma seguito da un riferimento al tasto stesso (per i dettagli, vedere il Capitolo 20). Digitare l’elenco { S << 81.01 MENU >> 13.0 } nello stack e utilizzare la funzione STOKEYS („°L@)MODES @)@KEYS@ @@STOK@) per impostare il tasto C per l'accesso al menu PLOT. Verificarne la corretta memorizzazione nella calcolatrice utilizzando „°L@)MODES @)@KEYS@ @@RCLK@.
LABEL (10) La funzione LABEL (Etichetta) è utilizzata per etichettare gli assi di un grafico nonché i nomi delle variabili e i valori minimo e massimo degli assi stessi. I nomi delle variabili sono selezionati tra le informazioni contenute nella variabile PPAR. AUTO (11) La funzione AUTO (AUTOscale) calcola un intervallo di visualizzazione per l’asse y oppure per gli assi x e y nei grafici bidimensionali a seconda del tipo di grafico definito in PPAR.
EQ (3) La calcolatrice riserva la variabile denominata EQ per memorizzare l’equazione corrente in grafici o per la soluzione delle equazioni (vedere Capitolo…). Il tasto funzione denominato EQ in questo menu può essere utilizzato come se fosse disponibile il menu variabili, ossia, premendo [EQ] verrà visualizzato il contenuto corrente di quella variabile. ERASE (4) La funzione ERASE cancella il contenuto corrente della finestra dei grafici.
Nota: i comandi SCALE mostrati in figura rappresentano in realtà SCALE, SCALEW, SCALEH, in questo ordine. Lo schema seguente mostra le funzioni disponibili nel menu PPAR. Le lettere associate a ogni funzione nello schema sono utilizzate come riferimento nella seguente descrizione delle funzioni.
INDEP (a) Il comando INDEP specifica la variabile indipendente e il rispettivo intervallo grafico. Queste specifiche sono memorizzate come terzo parametro nella variabile PPAR. Il valore preimpostato è 'X'. I valori che possono essere assegnati alla variabile indipendente sono: • • • • • Un nome di variabile, es. 'Vel' Un nome di variabile in un elenco, es. { Vel } Un nome di variabile e un intervallo in un elenco, es. { Vel 0 20 } Un intervallo senza un nome di variabile, es.
CENTR (g) Il comando CENTR utilizza come argomento una coppia ordinata (x,y) o un valore x e adatta i primi due elementi nella variabile PPAR, ovvero (xmin, ymin) e (xmax, ymax) in modo che il centro del grafico sia rispettivamente (x,y) o (x,0). SCALE (h) Il comando SCALE (Scala) determina la scala del grafico rappresentata dal numero di unità per segno di spunta. La scala preimpostata corrisponde a 1 unità per segno di spunta.
Un elenco di due interi binari {#n #m}: imposta rispettivamente su #n e #m pixel le annotazioni di spunta per gli assi x e y. AXES (k) Il valore di input per il comando AXES (Assi) consiste in una coppia ordinata (x,y) oppure in un elenco {(x,y) atick "x-axis label" "y-axis label"}. Il parametro atick rappresenta la specifica delle annotazioni di spunta come descritto in precedenza per il comando ATICK. La coppia ordinata rappresenta il centro del grafico.
Menu PTYPE in 3D (IV) Il menu PTYPE in 3D prevede le seguenti funzioni: Queste funzioni corrispondono alle opzioni Slopefield, Wireframe, Y-Slice, PsContour, Gridmap e Pr-Surface presentate in precedenza. La pressione di uno di questi tasti funzione durante la digitazione di un programma, inserirà la chiamata relativa alla funzione all’interno del programma stesso. Premere L@)@3D@@ per tornare al menu 3D principale.
XVOL (N), YVOL (O), e ZVOL (P) Queste funzioni prendono come parametro iniziale un valore minimo e massimo e sono utilizzate per definire la dimensione del parallelepipedo all'interno del quale sarà generato il grafico (ossia, l'area a forma di parallelepipedo per la visualizzazione del grafico). Questi valori sono memorizzati nella variabile VPAR. I valori preimpostati per gli intervalli XVOL, YVOL e ZVOL vanno da -1 a 1.
AREA A FORMA DI PARALLELEPIPEDO PER LA VISUALIZZAZIONE DEL GRAFICO PUNTO DI VISTA PIANO DELLO SCHERMO Menu STAT in PLOT Il menu STAT permette di accedere a grafici relativi ad analisi statistiche. All’interno di questo menu si trovano i seguenti menu: Lo schema sottostante mostra la struttura del menu STAT all'interno di PLOT. I numeri e le lettere associati a ogni funzione o menu sono utilizzati come riferimento nelle descrizioni che seguono la figura.
Menu PTYPE in STAT (I) Il menu PTYPE prevede le seguenti funzioni: Questi tasti corrispondono ai seguenti tipi di grafico: Bar (A), Histogram (B) e Scatter (C), presentati in precedenza. La pressione di uno di questi tasti funzione durante la digitazione di un programma, inserirà una chiamata alla relativa funzione all’interno del programma stesso. Premere @)STAT per tornare al menu STAT.
XCOL (H) Il comando XCOL è utilizzato per indicare quale delle colonne di ΣDAT, se più di una, sarà la colonna x o la colonna della variabile indipendente. YCOL (I) Il comando YCOL è utilizzato per indicare quale delle colonne di ΣDAT, se più di una, sarà la colonna y o la colonna della variabile dipendente. MODL (J) Il comando MODL si riferisce al modello da selezionare per interpolare i dati in ΣDAT, se si utilizza un’interpolazione dei dati. Per vedere quali opzioni sono disponibili premere @!MODL.
Θ SIMU: quando è selezionata e se sono presenti più grafici da tracciare nello stesso insieme di assi, questa opzione traccia tutti i grafici simultaneamente. Premere @)PLOT per tornare al menu PLOT. Generazione di grafici usando i programmi A seconda che si stia lavorando con un grafico bidimensionale definito da una funzione, da dati presi da ΣDAT o da funzioni tridimensionali, sarà necessario impostare le variabili PPAR, ΣPAR e/o VPAR prima di generare un grafico in un programma.
Grafici tridimensionali I grafici tridimensionali disponibili, ossia le opzioni Slopefield, Wireframe, YSlice, Ps-Contour, Gridmap e Pr-Surface utilizzano la variabile VPAR con il seguente formato: {xleft, xright, ynear, yfar, zlow, zhigh, xmin, xmax, ymin, ymax, xeye, yeye, zeye, xstep, ystep} Queste coppie di valori di x, y e z rappresentano quanto segue: Θ Dimensioni dell'area a forma di parallelepipedo utilizzata per la visualizzazione dei grafici (xleft, xright, ynear, yfar, zlow, zhigh) Θ Intervallo
~„r` @INDEP ~„s` @DEPND 1 \# 10 @XRNG 1 \# 5 @YRNG L { (0,0) {.4 .
@)PPAR { θ 0 6.29} ` @INDEP ~y` @DEPND 3 \# 3 @XRNG 0.5 \# 2.5 @YRNG L { (0,0) {.5 .5} “x” “y”} ` @AXES L @)PLOT @ERASE @DRAX L @LABEL L @DRAW @)EDIT L@MENU LL@)PICT @CANCL Mostra i parametri del grafico Definisce "θ" come variabile indipendente Definisce "Y" come variabile dipendente Definisce (-3,3) come intervallo di x Definisce (-0.5,2.
« {PPAR EQ} PURGE ‘√r’ STEQ ‘r’ INDEP ‘s’ DEPND FUNCTION { (0.,0.) {.4 .2} “Rs” “Sr” } AXES –1. 5. XRNG –1. 5.
Esempio 3 – Grafico polare. Inserire il seguente programma: « Avvia il programma RAD {PPAR EQ} PURGE Modifica la misura degli angoli in radianti, elimina le variabili. ‘1+SIN(θ)’ STEQ Memorizza 'f(θ)' in EQ { θ 0. 6.29} INDEP Imposta la variabile indipendente come "θ", con intervallo ‘Y’ DEPND Imposta la variabile dipendente come "Y" POLAR Seleziona POLAR come tipo di grafico { (0.,0.) {.5 .5} “x” “y”} AXES Imposta le informazioni relative agli assi –3. 3. XRNG Imposta l'intervallo x –.5 2.
PICT Questo tasto funzione fa riferimento a una variabile denominata PICT che memorizza i contenuti correnti della finestra dei grafici. Tuttavia, il nome di questa variabile non può essere messo tra virgolette e la variabile può memorizzare unicamente oggetti grafici. In questo senso, la variabile PICT è diversa da tutte le altre variabili della calcolatrice. PDIM La funzione PDIM prende come parametro sia due coppie ordinate (xmin,ymin) (xmax,ymax) sia due numeri interi binari #w e #h.
SCHERMO H min = 131 pix H max = illimitata CALCOLATRICE BOX Questo comando prende come parametro due coppie ordinate (x1,y1) (x2,y2) oppure due coppie di coordinate pixel {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Il comando traccia un riquadro le cui diagonali sono rappresentate dalle due coppie di coordinate inserite. ARC Questo comando viene utilizzato per tracciare un arco.
• • • PIX? verifica se il pixel in corrispondenza della posizione (x,y) o {#n, #m} è acceso. PIXOFF spegne il pixel in corrispondenza della posizione (x,y) o {#n, #m}. PIXON accende il pixel in corrispondenza della posizione (x,y) o {#n, #m}. PVIEW Questo comando prende come parametro le coordinate di un punto in coordinate inserite dall'utente (x,y) o pixel {#n, #m} e posiziona il contenuto di PICT con l'angolo superiore sinistro in corrispondenza del punto specificato.
(50., 50.) 10. 0. 360. ARC Tracciare il centro del cerchio (50,50), r=10. (50., 50.) 12. –180. 180. ARC Tracciare il centro del cerchio (50,50), r=12. 1 8 FOR j Tracciare 8 linee all'interno del cerchio (50., 50.
Y = Quota del pelo libero Si consiglia di creare una sottodirectory separata dove memorizzare i programmi. La sottodirectory può essere chiamata FIUME, visto che si tratta di sezioni trasversali di canali aperti e irregolari, tipiche dei corsi d'acqua. Per vedere il programma XSECT in azione, utilizzare i seguenti insiemi di dati. Inserire i dati come matrici in due colonne: la prima colonna corrisponde a x e la seconda a y.
Insieme dati 1 x 0.4 1.0 2.0 3.4 4.0 5.8 7.2 7.8 9.0 y 6.3 4.9 4.3 3.0 1.2 2.0 3.8 5.3 7.2 Insieme dati 2 x 0.7 1.0 1.5 2.2 3.5 4.5 5.0 6.0 7.1 8.0 9.0 10.0 10.5 11.0 y 4.8 3.0 2.0 0.9 0.4 1.0 2.0 2.5 2.0 0.7 0.0 1.5 3.4 5.0 Nota: il programma FRAME, così come viene programmato originariamente (vedi dischetto o CD ROM), non mantiene il grafico in scala.
dall'utente, corrisponde a (xmin, ymax). Le coordinate massime in termini di pixel corrispondono all'angolo inferiore destro dello schermo {# 82h #3Fh}, che in coordinate definite dall'utente corrisponde al punto (xmax, ymin). Le coordinate degli altri due angoli, sia in pixel che in coordinate definite dall'utente, vengono mostrate nella figura. Animazione di grafici Di seguito viene mostrato un metodo per produrre un'animazione utilizzando un tipo di grafico Y-Slice.
Animazione di un gruppo di grafici La calcolatrice è dotata della funzione ANIMATE (Animare) utilizzata per animare un certo numero di grafici inseriti nello stack. È possibile generare un grafico nella schermata dei grafici mediante i comandi presenti nei menu PLOT e PICT. Per inserire il grafico nello stack, utilizzare il comando PICT RCL.
funzione ANIMATE è disponibile premendo i tasti „°L@)GROB L @ANIMA). L'animazione verrà riavviata. Premere $ per fermare nuovamente l'animazione. Il numero 11 rimarrà elencato nel livello 1 dello stack. Premere ƒ per eliminarlo dallo stack. Si supponga di voler conservare i valori usati per questa animazione in una variabile.
Esempio 2 – Animazione del grafico di diverse funzioni potenza Si supponga di voler animare il grafico delle funzioni f(x) = xn, n = 0, 1, 2, 3, 4, nello stesso sistema di assi.
un'immagine viene convertita in un GROB, essa diventa una sequenza di cifre binarie (binary digits = bits), ossia di 0 e di 1. Per comprendere l'utilizzo dei GROB e la conversione delle immagini in GROB, eseguire il seguente esercizio. Quando si genera un grafico nella calcolatrice, esso diventa il contenuto di una specifica variabile denominata PICT. Perciò, per visualizzare il contenuto più recente di PICT è possibile utilizzare questo comando: PICT RCL(„° L@)PICT @PICT „©).
In quanto oggetto grafico, l'equazione può ora essere inserita nel display grafico. Per tornare al display grafico premere š. Quindi, spostare il cursore su un settore vuoto del grafico e premere @)EDIT LL@REPL. L'equazione 'X^25' viene posizionata nel grafico, ad esempio: In questo modo, il formato GROB può essere utilizzato per documentare i grafici, inserendo equazioni o testo nel display grafico. Il menu GROB Il menu GROB, accessibile tramite „°L@)GROB @ GROB, contiene le seguenti funzioni.
BLANK Mediante la funzione BLANK (VUOTO), con argomenti #n e #m, si crea un oggetto grafico vuoto, i cui valori di larghezza e altezza corrispondono rispettivamente a #n e #m. È simile alla funzione PDIM del menu GRAPH. GOR La funzione GOR (Graphics OR) prende come parametro grob2 (un target GROB), un sistema di coordinate e grob1 e determina la sovrapposizione di grob1 su grob2 (o PICT) a partire dalle coordinate specificate.
Esempio di programma che utilizza un GROB Il seguente programma genera un grafico della funzione seno, comprensivo di riquadro – tracciato mediante la funzione BOX – e di GROB per etichettare il grafico. Di seguito si riporta la descrizione del programma: « RAD 131 R B 64 R B PDIM -6.28 6.28 XRNG –2. 2. YRNG FUNCTION ‘SIN(X)’ STEQ ERASE DRAX LABEL DRAW (-6.28,-2.) (6.28,2.) BOX PICT RCL “SINE FUNCTION” 1 GROB (-6., 1.
bidimensionale, dove σxx e σyy rappresentano le tensioni normali e τxy = τyx lo sforzo di taglio. La figura di destra mostra lo stato di tensione nel caso in cui l'elemento venga ruotato di un φ gradi. In questo caso, la tensione normale è rappresentata da σ’xx e σ’yy, mentre lo sforzo di taglio da τ'xy e τ'yx.
Cerchio di Mohr asse x asse x' Lo stato di tensione per il quale lo sforzo di taglio τ’xy è nullo, indicato dal segmento D'E', produce le cosiddette tensioni principali σPxx (nel punto D') e σPyy (nel punto E'). Per ottenere le tensioni principali, ruotare il sistema di coordinate x'-y' di φn, in senso antiorario rispetto al sistema x-y. Nel cerchio di Mohr, l'angolo tra i segmenti AC e D'C misura 2φn. Lo stato di tensione per il quale lo sforzo di taglio τ’xy è massimo è indicato dal segmento F'G'.
si chiamerà MOHRCIRCL. Prima di tutto creare una sottodirectory denominata MOHRC all'interno della directory HOME, quindi spostarsi all'interno di questa directory per digitare i programmi. Il passaggio successivo consiste nel creare il programma principale e i sottoprogrammi all'interno della sottodirectory. Il programma principale MOHRCIRCL utilizza i seguenti sottoprogrammi: Θ INDAT: richiede l'inserimento di valori di σx, σy, τxy da parte dell'utente; come risultato genera un elenco σL = {σx, σy, τxy}.
A questo punto il programma MOHRCIRCL inizia a richiamare i sottoprogrammi per creare la figura. Attendere alcuni istanti. Si otterrà un cerchio di Mohr simile a quello mostrato nella figura di sinistra. Poiché questa visualizzazione di PICT viene richiamata dalla funzione PVIEW, oltre alla visualizzazione della figura stessa non sarà possibile ottenere nessun'altra informazione dal grafico. Per ottenere ulteriori informazioni dal cerchio di Mohr, chiudere il programma premendo $.
Per ottenere il valore reale di φn, premere $. Digitare quindi l'elenco che corrisponde ai valori {σx σy τxy}, in questo caso { 25 75 50 } [ENTER] Quindi premere @CC&r. L'ultimo risultato, 58.2825255885°, è il valore reale di φn.
sottodirectory, in modo tale che i programmi @MOHRC e @PRNST siano le prime due variabili nelle etichette dei tasti funzione. Questo è possibile creando l'elenco {MOHRCIRCL PRNST} mediante il seguente comando: J„ä@MOHRC @PRNST ` Ordinare quindi l'elenco mediante: „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @ORDER. Una volta effettuata la chiamata alla funzione ORDER (ORDINE), premere J. Come si può notare, ora i programmi MOHRCIRCL e PRNST sono le prime due variabili del menu, come previsto.
Per ottenere i valori delle tensioni corrispondenti a una rotazione di 35° dell'angolo della particella sollecitata, procedere nel modo seguente: $š Cancella la schermata, visualizzare PICT nella schermata dei grafici @TRACE @(x,y)@. Sposta il cursore sul cerchio mostrando φ!e (x,y) Quindi premere ™ fino a visualizzare φ = 35. Le coordinate corrispondenti sono (1.63E0, -1.05E1), ossia a φ = 35°, σ'xx = 1.63 kPa e σ'yy = -10.5kPa.
Siccome il programma INDAT viene utilizzato anche per il programma @PRNST (PRiNcipal STresses), l'esecuzione di questo specifico programma utilizzerà ora un modulo di input, ad esempio, Dopo avere premuto @@@OK@@@, il risultato sarà il seguente: Pagina 22-41
Capitolo 23 Stringhe di caratteri Le stringhe di caratteri sono oggetti della calcolatrice racchiusi tra doppi apici. La calcolatrice li considera come testo. Ad esempio, la stringa "SINE FUNCTION", può essere trasformata in un GROB (Oggetto Grafico), per etichettare un grafico, oppure può essere utilizzata come output in un programma. Gli insiemi di caratteri digitati dall’utente come input di un programma sono trattati come stringhe. Inoltre, sono stringhe anche molti oggetti nell’output di un programma.
Di seguito vengono presentati degli esempi di applicazione di queste funzioni alle stringhe: Concatenazione di stringhe Le stringhe possono essere concatenate (unite assieme) utilizzando il segno più (+), ad esempio: La concatenazione di stringhe è un metodo pratico per creare l'output di un programma. Ad esempio, la concatenazione "YOU ARE" AGE + "YEAR OLD" crea la stringa " YOU ARE 25 YEAR OLD", dove 25 è memorizzato nella variabile chiamata AGE.
Il funzionamento di NUM, CHR, OBJ e STR è già stato presentato nel presente Capitolo. Sempre nel presente Capitolo, sono state illustrate anche le funzioni SUB e REPL relative ai grafici.
I caratteri non definiti appaiono nell’elenco dei caratteri come quadrati neri ( ) e viene visualizzata l’indicazione (None) in basso nel display, anche se per tutti esiste un codice numerico. Per i caratteri numerici si visualizza il numero corrispondente in basso nel display. Per le lettere si visualizza il codice (ovvero, ~) seguito dalla lettera corrispondente, ad esempio, quando si evidenzia M, si visualizzerà αM sul lato sinistro in basso del display, che indica l’utilizzo di ~m.
Capitolo 24 Oggetti e flag della calcolatrice Numeri, elenchi, vettori, matrici, oggetti algebrici, ecc., sono oggetti della calcolatrice. Sono classificati in base alla rispettiva natura in 30 diversi tipi, descritti di seguito. I flag sono variabili che possono essere usate per controllare le proprietà della calcolatrice. Sono stati presentati nel Capitolo 2.
Numero Tipo Esempio ____________________________________________________________________ 21 Numero reale esteso Long Real 22 Numero complesso esteso Long Complex 23 Array legato Linked rray 24 Oggetto carattere Character 25 Oggetto codice Code 26 Dati libreria Library Data 27 Oggetto esterno External 28 Numero intero 3423142 29 Oggetto esterno External 30 Oggetto esterno External ____________________________________________________________________ Funzione TYPE Questa funzione, disponibile nel sottomenu
Flag della calcolatrice Un flag è una variabile che può essere selezionata (impostata) o deselezionata. Lo stato di un flag determina il comportamento della calcolatrice (se il flag è un flag di sistema) o di un programma (se il flag è un flag utente). Questi flag sono descritti con maggiore dettaglio più avanti nel capitolo. Flag di sistema I flag di sistema sono accessibili utilizzando H @)FLAGS.
calcolatrice sono disponibili nel menu PRG/MODES/FLAG. Il menu PRG viene attivato mediante i tasti „°.
Capitolo 25 Funzioni data e ora Nel presente Capitolo verranno mostrate alcune funzioni e calcoli che utilizzano l'ora e la data. Il menu TIME Il menu TIME, accessibile mediante la sequenza di tasti ‚Ó (tasto 9) fornisce le funzioni illustrate di seguito: Impostazione di un allarme L'opzione 2. Set alarm (Imposta allarme)… fornisce un modulo di input che consente all'utente di impostare un allarme.
Elenco allarmi L'pzione 1. Browse alarms … (Elenco allarmi) nel menu TIME consente di visualizzare gli allarmi correnti.
Di seguito si illustrerà come usare tali funzioni. DATE: DATE: TIME: TIME: Inserisce la data corrente nello stack Imposta la data del sistema sul valore specificato Inserisce l'ora corrente nel formato 24 ore HH.MMSS Imposta l'ora del sistema sul valore specificato nel formato 24 ore HH.MM.SS TICKS: Fornisce l'ora del sistema come numero intero binario in tick dell'orologio. Ogni 1 tick corrisponde a 1/8192 sec ALRM..
Calcolo con le ore Le funzioni HMS, HMS , HMS+ e HMS- sono utilizzate per manipolare i valori nel formato HH.MMSS. Questo è lo stesso formato utilizzato per il calcolo della misura angolare in gradi, minuti e secondi. Pertanto, queste operazioni sono utili non solo per il calcolo dell'ora, ma anche per i calcoli angolari.
Capitolo 26 Gestione della memoria Nel Capitolo 2 sono stati presentati i concetti di base nonché le operazioni per generare e gestire variabili e directory. In questo Capitolo si tratterà invece la gestione della memoria della calcolatrice, incluse la partizioni e le tecniche per eseguire il back up dei dati. Struttura della memoria La calcolatrice dispone di una memoria complessiva di 2.5 MB di memoria, di cui 1 MB è utilizzato per memorizzare il sistema operativo (memoria di sistema) e 1.
La porta 1 (ERAM) può contenere fino a 128 KB di dati. La porta 1, la porta 0 e la directory HOME costituiscono il segmento RAM (Random Access Memory) della memoria della calcolatrice. Per funzionare, il segmento di memoria RAM deve essere costantemente alimentato attraverso le batterie della calcolatrice. Per evitare la perdita del contenuto della memoria RAM, la calcolatrice è dotata di una batteria di backup CR2032. Vedere la fine del capitolo per ulteriori dettagli.
Verifica degli oggetti in memoria Per visualizzare gli oggetti archiviati in memoria si può utilizzare la funzione FILES („¡). La schermata sottostante mostra la directory HOME con cinque directory: TRIANG, MATRX, MPFIT, GRPHS e CASDIR. Altre directory possono essere visualizzate spostando il cursore verso il basso lungo l’albero delle directory. Muovendo il cursore verso l’alto, è possibile invece selezionare una porta di memoria.
Oggetti di backup Gli oggetti di backup sono utilizzati per copiare dati dalla directory home nella porta di memoria. Il backup degli oggetti nella porta di memoria serve per conservare il contenuto degli oggetti per un utilizzo futuro.
Backup e ripristino di HOME È possibile eseguire il backup del contenuto della directory HOME corrente in un singolo oggetto di backup. Questo oggetto conterrà tutte le variabili, le assegnazioni dei tasti e gli allarmi attualmente definiti nella directory HOME. È inoltre possibile inoltre ripristinare il contenuto della propria directory HOME da un oggetto di backup precedentemente salvato nella porta di memoria. A seguire le istruzioni per queste operazioni.
Nota: quando si ripristina un backup della directory HOME avvengono due cose: Θ la directory di backup sovrascrive la directory HOME corrente. Di conseguenza, qualsiasi dato che non sia memorizzato nella directory HOME corrente andrà perso. Θ La calcolatrice si riavvia. Il contenuto della cronologia o dello stack va perso.
Utilizzo di dati in oggetti di backup Sebbene non sia possibile modificare direttamente il contenuto degli oggetti di backup, si può utilizzare quel contenuto nelle operazioni della calcolatrice. È possibile ad esempio eseguire programmi memorizzati come oggetti di backup o utilizzare dati presi da questi oggetti per eseguire programmi.
Per rimuovere una scheda SD, spegnere la HP 50g e premere delicatamente l’estremità sporgente della scheda. A questo punto la scheda verrà espulsa parzialmente dallo slot, permettendo così una semplice rimozione dalla calcolatrice. Formattazione di una scheda SD La maggior parte delle schede SD in commercio sono già formattate ma può capitare che esse siano state formattate con un file system non compatibile con la HP 50g. La HP 50g funziona solo con schede formattate in FAT16 o FAT32.
Accesso agli oggetti presenti su una scheda SD La procedura di accesso a un oggetto su una scheda SD è simile a quella utilizzata quando un oggetto si trova nelle porte 0, 1 o 2. Tuttavia, quando si usa la funzione LIB (‚á), l'opzione Port 3 non è visualizzata nel menu. I file SD possono essere gestiti solamente utilizzando il Filer o il File Manager („¡).
Si noti che se il nome dell’oggetto che si vuole memorizzare su una scheda SD ha più di otto caratteri, una volta memorizzato sulla scheda, esso apparirà nel Filer in formato 8.3 DOS nella porta 3. ! Richiamo di un oggetto da una scheda SD Per richiamare sullo schermo un oggetto dalla scheda SD, utilizzare la funzione RCL come segue: Θ In modalità algebrica: Premere „©, digitare il nome dell’oggetto memorizzato utilizzando la porta 3 (es., :3:V R1), premere `.
Si noti che, nel caso di oggetti con nomi di file lunghi, quando si valuta un oggetto su una scheda SD, è possibile specificare il nome del file per intero oppure la sua versione troncata 8.3. Cancellazione di un oggetto dalla scheda SD Per cancellare un oggetto dalla scheda SD sullo schermo, utilizzare la funzione PURGE come descritto di seguito: Θ In modalità algebrica: Premere I @PURGE, digitare il nome dell’oggetto memorizzato utilizzando la porta 3 (es., :3:V R1), premere `.
Questo memorizzerà l’oggetto precedentemente nello stack sulla scheda SD all’interno della directory denominata PROGS in un oggetto denominato PROG1. Nota: se PROGS non esiste, la directory verrà creata automaticamente. È possibile specificare qualsiasi numero di sottodirectory annidate. Ad esempio, per fare riferimento a un oggetto che si trova in una sottodirectory al terzo livello, la sintassi sarà: :3:”DIR1/DIR2/DIR3/NAME” Si noti che premendo ~ …/ si digiterà la barra.
Numeri libreria Se si utilizza il menu LIB (‚á) e si preme il tasto funzione corrispondente alla porta 0, 1 o 2, si visualizzerà l’elenco dei numeri delle librerie nelle etichette dei tasti funzione. Ad ogni libreria è associato un numero a tre o quattro cifre (ad esempio, le due librerie che formano la Equation Library sono nella porta 2 e sono identificate con i numeri 226 e 227). Questi numeri vengono assegnati dal creatore della libreria e sono utilizzati per cancellare una libreria.
messaggio a display indicherà quando questa batteria deve essere sostituita. Lo schema sottostante mostra la posizione della batteria di backup nel vano superiore sul retro della calcolatrice.
Capitolo 27! Equation Library L'Equation Library (Libreria di equazioni) è una raccolta di equazioni e comandi che consentono di risolvere problemi semplici di scienza e ingegneria. La libreria contiene più di 300 equazioni divise in gruppi in 15 materie tecniche che contengono più di 100 titoli di problemi. Ciascun titolo di problema contiene una o più equazioni che consentono di risolvere quel tipo di problema.
6. Premere #SOLV# per aprire il risolutore. 7. Per ogni variabile nota, immettere il valore e premere il tasto funzione corrispondente. Se una variabile non viene visualizzata, premere L per visualizzare le altre variabili. 8. Opzionale: fornire un valore di tentativo per una variabile non nota. In questo modo si velocizza il processo risolutivo o è possibile concentrarsi su una delle diverse soluzioni. Immettere il valore di tentativo desiderato come si farebbe per il valore di una variabile nota. 9.
Utilizzo dei tasti funzione Le azioni dei tasti funzione relativi alle variabile (sia in combinazione con il tasto shift che senza l'uso di tale tasto) per entrambi i risolutori sono identiche. Si noti che il risolutore di equazioni multiple utilizza due forme di etichette di menu: nera e bianca. Il tasto L visualizza le etichette di menu aggiuntive, se richiesto. Inoltre, ciascun risolutore presenta tasti funzione speciali che sono descritti nella seguente tabella.
Esplorazione dell'Equation Library Quando si seleziona un argomento e un titolo nell'Equation Library, specificare un gruppo di una o più equazioni. È possibile ottenere le seguenti informazioni sul gruppo di equazioni dai Catalog dell'Equation Library: Le equazioni stesse e il numero di equazioni. Le variabili utilizzate e le rispettive unità di misura (è anche possibile cambiare le unità). Un'immagine del sistema fisico (per la maggior parte dei gruppi di equazioni).
Visualizzazione delle variabili e selezione delle unità Dopo aver selezionato un oggetto e un titolo, è possibile visualizzare il catalogo dei nomi, delle descrizioni e delle unità per le variabili del gruppo di equazioni premendo #VARS#. La tabella sottostante riassume le operazioni disponibili nei Variable Catalog. Operazioni nei Variable Catalog Tasto Azione L Alterna il catalogo delle descrizioni e il catalogo delle unità.
Premere per memorizzare l’immagine in PICT, la memoria dei grafici. In seguito si può premere © PICT (o © PICTURE) per visualizzare nuovamente l’immagine dopo che si è usciti dall'Equation Library. Premere un tasto del menu per visualizzare altre informazioni sulle equazioni. Utilizzo del Risolutore di Equazioni Multiple L'Equation Library avvia automaticamente il Risolutore di equazioni multiple se il gruppo di equazioni contiene più di una equazione.
Annulla tutte le definizioni %ALL% Rende tutte le variabili non definibili dall’utente senza specificarne i valori. Risolvere per tutte !%ALL% Crea delle variabili se necessario e risolve per tutte quelle che non sono definibili dall’utente (o per il maggior numero possibile). Progress Catalog … %ALL% Mostra informazioni sull’ultima soluzione. Impostare come definito dall’utente MUSER Imposta gli stati su user-defined per una variabile o un elenco di variabili nello stack.
Significato delle etichette menu Etichetta Significato !!!!!!!!!X0!!!!!!!!! Il valore x0 non è definito dall'utente e non è stato utilizzato nell'ultima soluzione. Può variare alla prossima soluzione. !!!!!!!X0!!ëëëë!!! Il valore x0 non è definito dall'utente, ma è stato trovato nell'ultima soluzione. Può variare alla prossima soluzione. $$X0$$ Il valore x0 è definito dall'utente e non è stato utilizzato nell'ultima soluzione.
Ad esempio, le tre equazioni seguenti definiscono la velocità iniziale e l'accelerazione in base a due determinati valori di distanza e di tempo. Le prime due equazioni da sole sarebbero matematicamente sufficienti a risolvere il problema, però ciascuna equazione contiene due incognite. L'aggiunta della terza equazione rende la soluzione possibile, poiché contiene una sola incognita.
Modifica del titolo e del menu di un gruppo di equazioni 1. Accertarsi che il gruppo di equazioni sia il gruppo corrente (utilizzato quando viene avviato il risolutore di equazioni multiple). 2. Inserire nello stack una stringa di testo contenente il nuovo titolo. 3. Inserire un elenco con i nomi delle variabili nell'ordine in cui si vuole che esse appaiano nel menu. Utilizzare ""per inserire un'etichetta vuota.
Constant? (Costante?) Il valore iniziale di una variabile può condurre il root-finder nella direzione sbagliata. Effettuare un tentativo nella direzione opposta a un valore critico (se i valori negativi sono validi, provare con questi). Controllo delle soluzioni Le variabili con il segno š nell'etichetta menu, sono quelle relative alla soluzione più recente. Esse costituiscono un insieme di valori compatibili che soddisfano l'equazione utilizzata.
impossibile o illogico. Le soluzioni soddisferanno le equazioni utilizzate dal risolutore, ma il risolutore non proverà a verificare che tale soluzione soddisfi tutte le equazioni. Non pertinente. Una variabile può non essere utilizzata nella soluzione (non vi sarà alcun segno nell'etichetta), quindi non sarà compatibile con le variabili che sono invece state utilizzate. Direzione errata. Il valore iniziale di una variabile può condurre il rootfinder nella direzione sbagliata.
Appendice A Utilizzo dei moduli di input Questo esempio di impostazione dell’ora e della data mostra l’utilizzo dei moduli di input della calcolatrice. Alcune regole generali: Θ Premere i tasti freccia (š™˜—) per spostarsi da un campo a quello successivo nel modulo di input. Θ Premere uno qualsiasi dei tasti funzione @CHOOS per visualizzare le opzioni disponibili per un dato campo nel modulo di input.
In questo caso particolare si possono assegnare dei valori a tutte le variabili eccetto una, ovvero, n = 10, I%YR = 8.5, PV = 10000, FV = 1000 e si può risolvere per la variabile PMT (il significato di queste variabili verrà illustrato più avanti). Si esegua: 10 @@OK@@ Inserire n = 10 8.5 @@OK@@ Inserire I%YR = 8.
!CALC Accede allo stack per i calcoli !TYPES Determina il tipo di oggetto nel campo evidenziato !CANCL Annullare l’operazione @@OK@@ Conferma l’inserimento Premendo !RESET il programma chiederà di scegliere tra le due opzioni: Se si seleziona Reset value (Reimposta valore) soltanto il valore evidenziato verrà reimpostato al valore predefinito. Se invece si seleziona Reset all (Reimposta tutto), tutti i campi verranno ripristinati ai loro valori predefiniti (normalmente 0).
Premere @@OK@@ per inserire questo nuovo valore. Il modulo di input apparirà così: Premere !TYPES per vedere il tipo di dati nel campo PMT (il campo evidenziato). Come risultato si otterranno le seguenti specifiche: Ciò indica che il valore nel campo PMT deve essere un numero reale. Premere @@OK@@ per ritornare al modulo di input e L per tornare al menu iniziale. In seguito, premere il tasto ` o il tasto $ per ritornare allo stack.
Appendice B! Tastiera della calcolatrice La figura sottostante mostra uno schema della tastiera della calcolatrice con la numerazione delle righe e delle colonne. La figura mostra 10 righe di tasti che si estendono per 3, 5, o 6 colonne. La riga 1 ha 6 tasti, le righe 2 e 3 hanno 3 tasti ciascuna e le righe dalla 4 alla 10 hanno 5 tasti ciascuna. Sono presenti 4 tasti freccia situati sul lato destro della tastiera nello spazio occupato dalle file 2 e 3.
cinque funzioni. Le funzioni principali dei tasti sono mostrate nella figura sottostante. Per richiamare le funzioni principali dei tasti premere semplicemente il tasto corrispondente. Si farà riferimento ai tasti indicando la riga e la colonna nelle quali si trovano nello schema soprariportato, ad esempio il tasto (10,1) corrisponde al tasto ON.
Funzioni principali dei tasti I tasti dal A al F sono associati alle opzioni dei menu funzione che compaiono nel lato inferiore del display della calcolatrice. Questi tasti consentono quindi di attivare numerose funzioni, che variano in base a quale menu è attivo. I tasti freccia, —˜š™, sono usati per spostarsi di un carattere per volta nella direzione della freccia (ovvero, su, giù, sinistra o destra). La funzione APPS attiva il menu APPLICATIONS.
Il tasto shift sinistro „ e quello shift destro … sono usati in combinazione con altri tasti per attivare menu, inserire caratteri o calcolare funzioni, come descritto in altre parti del presente manuale. I tasti numerici (da 0 a 9) sono usati per inserire le cifre del sistema di numerazione decimale. È presente un tasto punto decimale (.) e un tasto spazio (SPC).
funzioni è associata al tasto shift sinistro „ (MTH), shift destro … (CAT) e ~ (P). Gli schemi presentati di seguito mostrano la funzione o il carattere ottenuto dalla combinazione di tasti della calcolatrice con il tasto shift sinistro „, destro … e ALPHA ~, ALPHA-shift sinistro ~„ e ALPHA-shift destro ~…. In questi schemi, il carattere ottenuto o la funzione attivata con ciascuna combinazione di tasti vengono mostrati su sfondo bianco.
La funzione CMD mostra i comandi più recenti, la funzione PRG attiva i menu di programmazione, la funzione MTRW attiva il Matrix Writer, Funzioni richiamabili con il tasto shift sinistro „ nella tastiera della calcolatrice La funzione CMD mostra i comandi più recenti. La funzione PRG attiva i menu di programmazione. La funzione MTRW attiva il Matrix Writer. La funzione MTH attiva un menu di funzioni matematiche. Il tasto DEL è usato per cancellare le variabili.
Il tasto x2 calcola il quadrato di x (tale tasto viene chiamato anche funzione SQ ). Le funzioni ASIN, ACOS e ATAN calcolano rispettivamente l'arcoseno, l'arcocoseno e l'arcotangente. La funzione 10x calcola l'antilogaritmo di x. I tasti , ≠, ≤, e ≥, sono usati per confrontare i numeri reali. La funzione ABS calcola il valore assoluto di un numero reale o il modulo di un numero complesso o di un vettore.
Funzioni richiamabili con il tasto shift destro … nella tastiera della calcolatrice Funzioni richiamabili con il tasto shift destro Lo schema soprariportato mostra le funzioni, i caratteri o i menu associati ai diversi tasti della calcolatrice, se premuti in combinazione con il tasto shift destro …. Le funzioni BEGIN, END, COPY, CUT e PASTE sono usate per eseguire modifiche. Il tasto UNDO (Annulla) è usato per annullare l'ultima operazione della calcolatrice.
La funzione CLEAR (Cancella) è usata per cancellare lo schermo. La funzione LN calcola il logaritmo naturale. La funzione La funzione Σ è usata per inserire le sommatorie (o la lettera greca sigma maiuscola). La funzione ∂ è usata per calcolare le derivate. La funzione ∫ è usata per calcolare gli integrali. La funzione LOG calcola il logaritmo in base 10. La funzione ARG calcola l'argomento di un numero complesso.
Caratteri associati al tasto ALPHA Il seguente schema mostra i caratteri associati ai diversi tasti della calcolatrice quando è attivato il tasto ALPHA ~. Si noti che la funzione ~ è usata principalmente per inserire lettere maiuscole dell'alfabeto latino (dalla A!alla Z I numeri, i simboli matematici (-, +), il punto decimale (.) e lo spazio (SPC) sono gli stessi delle funzioni principali di questi tasti. La funzione ~ produce un asterisco (*) se utilizzata in combinazione con il tasto "per", ossia, ~*.
Caratteri associati al tasto Alpha + shift sinistro Il seguente schema mostra i caratteri associati ai diversi tasti della calcolatrice quando il tasto ALPHA ~ è utilizzato in combinazione con il tasto shift sinistro „.!Si noti che la combinazione ~„ è usata principalmente per inserire le lettere minuscole dell'alfabeto latino (dalla A alla Z). I numeri, i simboli matematici (-, +, x), il punto decimale (.) e lo spazio (SPC) sono gli stessi delle funzioni principali di questi tasti.
Caratteri associati al tasto Alpha + shift destro Il seguente schema mostra i caratteri associati ai diversi tasti della calcolatrice quando il tasto ALPHA ~ è utilizzato in combinazione con il tasto shift destro …. "' Funzioni Alpha ~… della tastiera della calcolatrice Si noti che la combinazione ~… è usata principalmente per inserire diversi caratteri speciali da e per lo stack della calcolatrice.
speciali generati dalla combinazione ~… comprendono le lettere greche (α, β, Δ, δ, ε, ρ, μ, λ, σ, θ, τ, ω, e Π); altri caratteri generati dalla combinazione ~… sono |, ‘, ^, =, <, >, /, “, \, __, ~, !, ?, <<>>, e @.
Appendice C! Impostazioni del CAS CAS significa Computer Algebraic System (Sistema Algebrico del Computer). È il nucleo matematico della calcolatrice nel quale vengono programmate le funzioni e le operazioni simbolico matematiche. Il CAS dispone di un certo numero di impostazioni regolabili secondo il tipo di operazione da eseguire. Visualizzare le impostazioni opzionali del CAS nella seguente maniera: Θ Premere il tasto H per attivare il modulo di input CALCULATOR MODES.
Θ Per ritornare al menu originale del riquadro di input CALCULATOR MODES, premere il tasto L. Ora si osservi il cambiamento nelle impostazioni del CAS, che si ottiene premendo i tasti FUNZIONE @@ CAS@@. Di seguito sono visualizzati i valori predefiniti delle impostazioni del CAS: Θ Per muoversi tra le opzioni del modulo di input CAS MODES (Modalità CAS) utilizzare i tasti freccia š™˜—.
Nella directory {HOME CASDIR} della calcolatrice esiste una variabile denominata VX che per impostazione predefinita assume il valore di "X". In questo modo è denominata la variabile indipendente preferita per le applicazioni algebriche e di calcolo infinitesimale. Per tale ragione, la maggior parte degli esempi del presente Capitolo utilizzano X come variabile incognita. Se si utilizzano altri nomi per la variabile indipendente, ad esempio con la funzione HORNER, il CAS non funzionerà correttamente.
Di seguito, è illustrato lo stesso esempio in modalità RPN: Impostazioni del CAS Exact e Approximate Selezionando _Approx, le operazioni simboliche come ad esempio integrali definiti, radici quadrate, ecc., saranno calcolate numericamente. Deselezionando _Approx si attiva la modalità Exact e le operazioni simboliche saranno calcolate come espressioni algebriche in forma chiusa, se possibile.
Di seguito è mostrata la sequenza di tasti per inserire tali valori in modalità ALG: …¹2` R5` È possibile eseguire gli stessi calcoli in modalità RPN. I livelli dello stack 3: e 4: mostrano il CAS impostato su Exact (l'opzione CAS _Numeric è deselezionata), mentre i livelli dello stack 1: e 2: mostrano l’impostazione del CAS su Numeric (opzione Numeric selezionata).
Si consiglia di selezionare l’impostazione EXACT come predefinita del CAS e passare ad APPROX dietro richiesta della calcolatrice durante l’esecuzione di un’operazione. Per ulteriori informazioni su numeri reali e interi e altri oggetti della calcolatrice, vedere il Capitolo 2. Impostazioni del CAS Complex e Real Un numero complesso è un numero scritto nella forma a+bi, dove i, definito da i 2 = −1 , è l’unità immaginaria (gli ingegneri elettrici preferiscono il simbolo j), e a e b sono numeri reali.
Se si preme il tasto FUNZIONE () OK, si forza il passaggio all’impostazione _Complex con il seguente risultato: È stata utilizzata la seguente sequenza di tasti: R„Ü5„Q2+ 8„Q2` Quando viene richiesto di passare all’impostazione COMPLEX, utilizzare: F.
Ad esempio, le seguenti schemate illustrano la divisione di due polinomi ovvero (X3-5X2+3X-2)/(X-2) con l’impostazione_Step/step selezionata. La divisione viene eseguita utilizzando la funzione DIV2 come mostrato di seguito. Premere ` per visualizzare il primo passo: La schermata informa che la calcolatrice sta eseguendo la divisione dei polinomi A/B, di modo che A = BQ + R, dove Q = quoziente e R = resto. Nel caso in esame, i polinomi sono A = X3-5X2+3X-2, e B = X-2.
X 2 − 3X + 8 − 3X − 2 = X 2 − 3X − 3X − X −2 X −2. Impostazione del CAS a potenze crescenti Selezionando l’impostazione _Incr pow del CAS, i termini dei polinomi saranno elencati come potenze crescenti della variabile indipendente. Non selezionando l’impostazione _Incr pow del CAS (impostazione predefinita), i termini dei polinomi saranno elencati come potenze decrescenti della variabile indipendente.
Impostazione del CAS Rigorous Selezionando l’impostazione _Rigorous del CAS l’espressione algebrica |X|, ovvero il suo valore assoluto non viene semplificata a X. Se tale opzione non è selezionata, l’espressione algebrica |X| viene semplificata a X. Non selezionando la modalità Rigorous, il CAS potrà risolvere una vasta gamma di problemi. Tuttavia, il risultato, o il dominio di applicazione del risultato potrebbero essere più limitati.
Si osservi che, in questo momento, solamente i tasti funzione Ee F sono attivi: !!CANCL E CANCeL annulla l'opzione HELP !!@@OK#@ F OK attiva l'opzione HELP per il comando selezionato Se si preme il tasto !!CANCL E, lo strumento HELP viene annullato e la calcolatrice ritorna al display normale.
Si osservi che in questo caso vi sono sei comandi associati ai tasti FUNZIONE (è possibile controllare il numero dei comandi premendo L e constatando che non ne sono visualizzati altri).
È possibile accedere velocemente a un determinato comando di HELP senza utilizzare i tasti freccia, ma inserendo le prime lettere del nome del comando. Si supponga di voler cercare informazioni sul comando IBP (Integration By Parts); quando l’elenco dello strumento HELP è visualizzato, utilizzare il tasto ~ (il primo tasto della quarta riga della tastiera partendo dal basso) seguito dal tasto corrispondente alla lettera i (allo stesso modo del tasto I), ovvero ~i.
In nessun caso, eccetto ove stabilito dalle vigenti leggi, il titolare dei diritti sarà responsabile per verso l'utente per i danni, ivi inclusi quelli generali, secondari o accessori derivanti dall’utilizzo o dall’inabilità di utilizzo del software CAS (incluso, a titolo informativo ma non esaustivo, le perdite di dati o l’imprecisione degli stessi oppure le perdite sostenute dall’utente o da una terza parte o l’impossibilità del software CAS di funzionare con altri programmi), anche in caso nel quale il t
Appendice D! Set di caratteri aggiuntivi Potendo utilizzare sia le lettere latine maiuscole che quelle minuscole dalla tastiera, la calcolatrice dispone di 255 caratteri. Essi comprendono anche alcuni caratteri speciali come θ, λ, ecc., che possono essere utilizzati nelle espressioni algebriche. Per accedere a questi caratteri, utilizzare la combinazione di tasti …± (associata al tasto EVAL).
combinazione di scelta rapida è α Dα 9, ossia ~„d~…9, mentre il codice è 240). Il display mostra inoltre le tre funzioni associate ai tasti f4, f5 e f6. Queste funzioni sono: @MODIF: apre una schermata grafica all'interno della quale l'utente può modificare il carattere evidenziato. Utilizzare questa opzione con cautela, poiché il carattere rimane modificato fino a che la calcolatrice non viene resettata.
Di seguito vengono elencate le combinazioni di tasti ~‚ più comuni.
Appendice E! Albero di selezione nell'Equation Writer L'albero dell'espressione è un diagramma che mostra come l'Equation Writer interpreta un'espressione. La struttura dell'albero è data da una serie di regole, che vengono chiamate gerarchia delle operazioni. Le regole sono le seguenti: 1. All'interno di un'espressione, le operazioni tra parentesi vengono eseguite per prime, a partire dalla parentesi più interna è quella più esterna e da sinistra a destra. 2.
alla risoluzione dell'espressione. Di seguito viene mostrata la sequenza di operazioni selezionate dal tasto freccia su —: Fase A1 Fase A2 Fase A3 Fase A4 Fase A5 Fase A6 Si noti l'applicazione delle regole di gerarchia delle operazioni in questa selezione. Prima la y (Fase A1). Poi y-3 (Fase A2, parentesi). Poi (y-3)x (Fase A3, moltiplicazione). Quindi (y-3)x+5, (Fase A4, addizione). Poi ((y3)x+5)(x2+4) (Fase A5, moltiplicazione) e infine ((y-3)x+5)(x2+4)/SIN(4x-2) (Fase A6 divisione).
Fase B1 Fase B2 Fase B3 Fase B4 = Fase A5 Fase B5 = Fase A6 È possibile anche seguire la valutazione dell'espressione a partire dal 4 dell'argomento della funzione SIN del denominatore. Tenere premuto il tasto freccia giù ˜ fino ad attivare il cursore di modifica di nuovo sulla y. Premere il tasto freccia destra fino a portare il cursore sul 4 del denominatore. Quindi premere il tasto freccia su — per selezionare il 4.
Fase C3 Fase C4 Fase C5 = Fase B5 = Fase A6 Di seguito si mostra l'albero per l'espressione descritta sopra: Pagina E-4
Le fasi di valutazione dei termini dell'albero (da A1 a A6, da B1 a B5 e da C1 a C5) sono riportate accanto ai cerchi contenenti il numero, la variabile o l'operatore coinvolto.
Appendice F! Menu Applicazioni (APPS) Il menu Applicazioni (APPS) è richiamabile mediante il tasto G (primo tasto nella seconda fila della tastiera a partire dall'alto). Il tasto G mostra le seguenti applicazioni: Di seguito sono descritte le diverse applicazioni. Opzione Plot functions… Selezionando l'opzione 1.
I/O functions… Selezionando l'opzione 2. I/O functions… (Funzioni I/O) nel menu APPS verrà visualizzato il seguente elenco a menu di funzioni di input/output Queste applicazioni sono descritte di seguito: Invia alla calcolatrice Invia i dati a un'altra calcolatrice (o al PC mediante la porta a infrarossi) Ricevi dalla calcolatrice Riceve i dati da un'altra calcolatrice (o da un PC con una porta a infrarossi) Stampa schermo Invia la schermata alla stampante Stampa..
La Constants Library viene descritta nel dettaglio nel Capitolo 3. Numeric solver... Selezionando l'opzione 3. Constants lib… nel menu APPS si aprirà il menu del Numerical Solver (Risolutore numerico): Questa operazione è equivalente alla sequenza di tasti ‚Ï. Il menu del risolutore numerico è presentato nel dettaglio nei Capitoli 6 e 7. Time & date... Selezionando l'opzione 5.
Equation Writer... Selezionando l'opzione 6. Equation writer… nel menu APPS si aprirà l'Equation Writer: Questa operazione è equivalente alla sequenza di tasti ‚O. L'Equation Writer è presentato nel dettaglio nel Capitolo 2. Esempi che utilizzano l'Equation Writer sono illustrati in varie parti del presente manuale. File manager... Selezionando l'opzione 7. File manager… (Gestore file) nel menu APPS si apre l'applicazione di gestione dei file: Questa operazione è equivalente alla sequenza di tasti „¡.
Matrix Writer... Selezionando l'opzione 8. Matrix Writer… nel menu APPS si aprirà il Matrix Writer: Questa operazione è equivalente alla sequenza di tasti „². Il Matrix Writer è presentato nel dettaglio nel Capitolo 10. Text editor... Selezionando l'opzione 9. Text editor… (Editor di testo) nel menu APPS si aprirà il Line Editor: L'editor di testo può essere avviato in molti casi premendo il tasto freccia giù ˜.
Questa operazione è equivalente alla sequenza di tasti „´. Il menu MTH è presentato nel Capitolo 3 (per i numeri reali). Le altre funzioni del menu MTH sono presentate nel Capitolo 4 (numeri complessi), 8 (elenchi), 9 (vettori), 10 (creazione di matrici), 11 (operazioni con le matrici), 16 (trasformata di Fourier veloce), 17 (applicazioni di probabilità) e 19 (numeri in basi diverse). CAS menu... Selezionando l'opzione 11.
Si noti che il flag -117 deve essere selezionato per usare l'Equation Library. Occorre inoltre ricordare che l'Equation Library verrà visualizzata nel menu APPS solo se i due file dell'Equation Library sono memorizzati sulla calcolatrice. L'Equation Library viene descritta nel dettaglio nel Capitolo 27.
Appendice G! Tasti di scelta rapida Di seguito vengono presentati i tasti di scelta rapida più usati della calcolatrice: Θ Regolazione del contrasto del display: $ (tenere premuto) + o $ (tenere premuto) - Θ Passaggio tra modalità RPN e ALG: H\@@@OK@@ o H\`. Θ Seleziona/deseleziona il flag di sistema 95 (ALG vs.
Θ Θ Seleziona/deseleziona il flag di sistema 117 (CHOOSE boxes [Riquadri di SELEZIONE] vs. SOFT menus [Menu FUNZIONE]): H @)FLAGS —„ —˜ @@CHK@ Θ In modalità ALG, SF(-117) seleziona SOFT menus CF(-117) seleziona CHOOSE BOXES.
Θ Operazioni a livello di sistema (tenere premuto $, rilasciarlo dopo la pressione del secondo o terzo tasto): o o o o o o o o Θ Menu non accessibili da tastiera: in modalità RPN, inserire numero_menu, digitare MENU. In modalità ALG, digitare MENU(numero_menu).
Appendice H! Opzione Help del CAS È possibile utilizzare l'opzione Help del CAS premendo la sequenza di tasti I L@HELP `. La schermata seguente mostra la prima pagina dell’elenco dell'opzione Help del CAS. I comandi sono elencati in ordine alfabetico. Utilizzare i tasti freccia su e giù —˜ per scorrere l'elenco.
Θ È possibile digitare due o più lettere del comando cercato, attivando il blocco della tastiera alfabetica. Questa azione porterà l’utente al comando cercato o nelle sue vicinanze. Quindi, sbloccare la tastiera alfabetica e, se necessario, utilizzare i tasti freccia su e giù —˜ per trovare il comando. Premere @@OK@@ per attivare il comando.
Appendice I! Elenco comandi del Command Catalog È un elenco di tutti i comandi disponibili nel Command Catalog (‚N). Tali comandi sono elencati anche nell’Appendice H. Per un dato comando è disponibile la relativa voce nell'opzione Help del CAS se, evidenziando tale comando, appare il tasto FUNZIONE @HELP. Premere il tasto FUNZIONE per attivarne la relativa voce dell'opzione Help del CAS.
Appendice J! Menu MATHS Il menu MATHS (Matematica), accessibile mediante il comando MATHS (all'interno del Catalog N), contiene i seguenti sottomenu: Sottomenu CMPLX Il sottomenu CMPLX contiene le funzioni relative alle operazioni con i numeri complessi: Tali funzioni sono descritte nel Capitolo 4. Sottomenu CONSTANTS Il sottomenu CONSTANTS consente di accedere alle costanti matematiche della calcolatrice.
Sottomenu HYPERBOLIC Il sottomenu HYPERBOLIC contiene le funzioni iperboliche e i rispettivi inversi. Tali funzioni sono descritte nel Capitolo 3. Sottomenu INTEGER Il sottomenu INTEGER contiene funzioni relative alla manipolazione dei numeri interi e di alcuni polinomi. Queste funzioni sono presentate nel Capitolo 5: Sottomenu MODULAR Il sottomenu MODULAR contiene funzioni relative all'aritmetica modulare con numeri e polinomi.
Sottomenu POLYNOMIAL Il sottomenu POLYNOMIAL comprende le funzioni relative alla generazione e alla manipolazione di polinomi. Queste funzioni sono presentate nel Capitolo 5: Sottomenu TESTS Il sottomenu TESTS comprende gli operatori relazionali (ad esempio, ==, <, etc.), gli operatori logici (ad esempio, AND, OR, ecc.), la funzione IFTE e i comandi ASSUME e UNASSUME.
Appendice K! Menu MAIN Il menu MAIN (Principale) è disponibile nel Command Catalog. Questo menu comprende i seguenti sottomenu: Comando CASCFG Questa è la prima opzione del menu MAIN. Tale comando consente di configurare il CAS. Per informazioni relative alla configurazione del CAS, vedere l'Appendice C. Sottomenu ALGB Il sottomenu ALGB comprende i seguenti comandi: Queste funzioni, ad eccezione di 0.MAIN MENU e 11.UNASSIGN sono disponibili nel menu tastiera ALG (‚×).
Sottomenu DIFF Il sottomenu DIFF contiene le seguenti funzioni: Queste funzioni sono disponibili mediante il sottomenu CALC/DIFF (si avvia con „Ö). Queste funzioni sono descritte nei Capitoli 13, 14 e 15, ad eccezione della funzione TRUNC, che è descritta di seguito utilizzando la voce disponibile nell'Help del CAS: Sottomenu MATHS Il menu MATHS è descritto nel dettaglio nell'Appendice J.
Queste funzioni sono inoltre disponibili nel menu TRIG (‚Ñ). Per una descrizione di queste funzioni, vedere il Capitolo 5. Sottomenu SOLVER Il menu SOLVER comprende le seguenti funzioni: Queste funzioni sono disponibili nel menu CALC/SOLVE (si avvia con „Ö). Le funzioni sono descritte nei Capitoli 6, 11 e 16. Sottomenu CMPLX Il menu CMPLX comprende le seguenti funzioni: !!!!! Il menu CMPLX è inoltre disponibile da tastiera (‚ß).
I sottomenu INTEGER, MODULAR e POLYNOMIAL sono presentati nel dettaglio nell'Appendice J. Sottomenu EXP&LN Il menu EXP&LN contiene le seguenti funzioni: Questo menu è accessibile da tastiera utilizzando „Ð. Le funzioni di questo menu sono presentate nel Capitolo 5. Sottomenu MATR Il menu MATR contiene le seguenti funzioni: Queste funzioni sono disponibili mediante il menu MATRICES nella tastiera („Ø). Le funzioni sono descritte nei Capitoli 10 e 11.
Sottomenu REWRITE Il menu REWRITE contiene le seguenti funzioni: !!!!! Queste funzioni sono disponibili mediante il menu CONVERT/REWRITE (si avvia con „Ú).
Appendice L! Comandi del Line Editor Quando si attiva il Line Editor utilizzando „˜ nello stack in modalità RPN o in modalità ALG, sono disponibili le seguenti funzioni sotto forma di menu FUNZIONE (premere L per vedere le restanti funzioni): Tali funzioni sono brevemente descritte di seguito: SKIP: Salta i caratteri fino all'inizio della parola. SKIP : Salta i caratteri fino alla fine della parola. DEL: Cancella i caratteri fino all'inizio della parola.
Le opzioni visualizzate in questa schermata si spiegano da sé. Ad esempio, le voci Xposition e Yposition (posizioni di X e Y) indicano la posizione sulla riga (X) e il numero di riga (Y). Stk Size si riferisce al numero di oggetti nella cronologia della modalità ALG o nello stack in modalità RPN. Mem(KB) si riferisce alla quantità di memoria libera. Clip Size indica il numero di caratteri negli Appunti. Sel Size rappresenta il numero di caratteri nella selezione corrente.
Sottomenu SEARCH Le funzioni del sottomenu SEARCH sono: Find: utilizzare questa funzione per trovare una stringa nella riga di comando. Di seguito è mostrato il modulo di input fornito con questo comando: Replace: utilizzare questo comando per trovare e sostituire una stringa. Di seguito è mostrato il modulo di input fornito per questo comando: Find next...
Sottomenu GOTO Le funzioni nel sottomenu GOTO sono le seguenti: Goto Line: per spostarsi in una riga specificata. Di seguito è mostrato il modulo di input fornito con questo comando: Goto Position: porta a una posizione specifica nella riga di comando. Di seguito è mostrato il modulo di input fornito per questo comando: Labels: porta a un'etichetta specifica nella riga di comando.
Di seguito sono presentati alcuni esempi di stili diversi: Pagina L-5
Appendice M! Tabella delle equazioni incluse nell'Equation Library L'Equation Library è composta da 15 soggetti che corrispondono alle sezioni della tabella in basso e da oltre 100 titoli. I numeri tra parentesi indicano il numero di equazioni e il numero di variabili disponibili nel gruppo. Sono disponibili 315 equazioni che utilizzano un totale di 396 variabili.
3: Fluidi (29, 29) 1: Pressione in profondità (1, 4) 3: Perdite di carico (10, 17) 2: Equazione di Bernoulli (10, 15) 4: Portata in tubi pieni (8, 19) 4: Forze ed energia (31, 36) 1: Meccanica lineare (8, 11) 5: Urto elastico ID (2, 5) 2: Meccanica angolare (12, 15) 6: Forza resistente viscosa (1, 5) 3: Forza centripeta (4, 7) 7: Legge di gravitazione (1, 4) 4: Legge di Hooke (2, 4) 8: Relazione massa-energia (4, 9) 5: Gas (18, 26) 1: Legge dei gas perfetti (2, 6) 5: Flusso isentropico (4, 10)
9: Ottica (11, 14) 1: Legge della rifrazione (1, 4) 4: Riflessione sferica (3, 5) 2: Angolo limite (1, 3) 5: Rifrazione sferica (1, 5) 3: Legge di Brewster (2, 4) 6: Lenti sottili (3, 7) 10: Oscillazione (17, 17) 1: Sistemi mass-spring (1, 4) 4: Pendolo torsionale (3, 7) 2: Pendolo semplice (3, 4) 5: Armonica semplice (4, 8) 3: Pendolo conico (4, 6) 11: Geometria piana (31, 21) 1: Cerchio (5, 7) 4: Poligono regolare (6, 8) 2: Ellisse (5, 8) 5: Corona circolare (4, 7) 3: Rettangolo (5, 8) 6: T
Appendice N! Sommario A ABCUV 5-10 ABS 3-4, 4-6, 11-8 ACK 25-4 ACKALL 25-4 ACOS 3-6 ADD 8-9, 12-20 ADDTMOD 5-11 Albero di selezione nell’Equation Writer E-1 Algebra lineare 11-1 Allarmi 25-2 ALOG 3-5 Altri caratteri D-3 Ambiente PLOT 12-3 Ambiente PLOT SETUP 12-3 Ambiente PLOT WINDOW 12-4 Ambito di una variabile 21-4 Ambito globale delle variabili 21-4 Ambito, variabile globale 21-4 AMMORTAMENTO 6-10 AMORT 6-31 Analisi vettoriale 15-1 AND 19-5 Anello finito 5-14 Angolo tra vettori 9-15 ANIMARE 22-27 Animazi
B B R 19-3 Basi numeriche 19-1 BEG 6-31 BEGIN 2-27 BIG 12-18 BIN 3-2 Bip 1-25 BLANK 22-32 Blocca-sblocca tastiera alfanumerica G-2 BOL L-4 BOX 12-43, 12-45 BOXZ 12-48 C C PX 19-7 C R 4-6 Calcoli con date 25-3 Calcoli con ore 25-4 Calcoli di date 25-4 Calcoli finanziari 6-9 Calcoli relativi all’ora 25-4 Calcoli statistici a variabile singola 18-2 Calcolo infinitesimale 13-1 Calcolo infinitesimale multivariato 14-1 Cambio di segno 4-5 Campi 15-1 Campi di direzioni 12-33 Campi di direzioni per equazioni diffe
COL+ 10-19 COL 10-19 COLLECT 5-4 COL- 10-20 Comandi del Line Editor L-1 Comandi non CAS C-13 Comando MAIN/CASCFG K-1 COMB 17-2 Combinazioni 17-1 Complex, modalità del CAS C-6 Composizione di elenchi 8-2 CON 10-8 Concatenazione di stringhe 23-2 COND 11-10 CONJ 4-6 CONLIB 3-29 Constants lib F-2 CONVERT 3-27 Convoluzione 16-47 Coordinate in pixel 22-25 Coordinate polari, grafico 12-18 Coordinate polari, integrali doppi 14-9 COPY 2-27 COS 3-7 COSH 3-9 Costante di Eulero 16-54 Costanti della calcolatrice 3-16 C
DEG 3-1 DEL 12-46 DEL L L-1 DEL L-1 DELALARM 25-4 DELKEYS 20-6 Delta di Kronecker 10-1 DEPND 22-6 DERIV 13-3 Derivata direzionale 15-1 Derivate 13-1, 13-3 Derivate di equazioni 13-7 Derivate di grado superiore 13-13 Derivate implicite 13-7 Derivate parziali 14-1 Derivate parziali di grado superiore 14-3 Derivate parziali di ordine superiore 14-3 Derivate parziali, regola della catena 14-4 Derivate, estremi 13-12 Derivate, ordine superiore 13-13 Derivate, passo-passo 13-16 Derivative con ∂ 13-4 DERVX 13-3 D
DOERR 21-64 DOLIST 8-11 DOMAIN 13-9 DOSUBS 8-11 DOT 9-11 DOT+ e DOT- 12-44 DRAW 12-20, 22-4 DRAW3DMATRIX 12-52 DRAX 22-4 DROITE 4-9 DROP 9-20 DTAG 23-1 Dump della schermata visualizzata G-3 E e 3-16 EDIT L-1 Editor, comandi L-1 EGCD 5-18 EGDC 5-10 EGV 11-46 EGVL 11-46 Elementi del vettore 9-6, 9-7 Elenchi 8-1 Elenco comandi del Command Catalog I-1 Elenco dei caratteri 23-3 Elenco del Command Catalog I-1 Elenco delle voci, Help del CAS H-1 Eliminazione dalla scheda SD 26-11 Eliminazione del tag 21-33 Elimin
Equazioni differenziali, soluzioni 16-2 Equazioni differenziali, soluzioni grafiche 16-57 Equazioni differenziali, soluzioni numeriche 16-57 Equazioni differenziali, trasformata di Laplace 16-16 Equazioni polinomiali 6-6 Equazioni, risoluzione 27-1 Equazioni, sistemi lineari 11-17 EQW BIG 2-11 CMDS 2-11 CURS 2-11 Derivate 2-30 EDIT 2-11 EVAL 2-11 FACTOR 2-11 HELP 2-11 Integrali 2-32 SIMPLIFY 2-11 Sommatorie 2-29 ERASE 12-20, 22-4 ERR0 21-65 ERRM 21-65 ERRN 21-65 Errore di previsione, regressione lineare 18-
Formato scientifico 1-20 Formato standard 1-17 Formattazione di una scheda SD 26-8 Forme quadratiche associate a una matrice 11-52 Formula di Eulero 4-1 FOURIER 16-26 Fourier, serie 16-26 FP 3-14 Frazioni 5-23 Frazioni parziali, integrazione 13-20 Frequenza cumulativa 18-8 FROOTS 5-11, 5-24 Funzione a gradino (Heaviside) 16-15 Funzione dei minimi quadrati 11-22, 11-24 Funzione delta (Dirac) 16-15 Funzione delta di Dirac 16-15 Funzione di distribuzione cumulativa 17-4 Funzione di massa di probabilità 17-4 Fu
Grafici vero/falso 12-28 Grafici wireframe 12-36 Grafici Y-slice 12-39 Grafici, campi di direzioni 12-33 Grafici, curve coniche 12-20 Grafici, diagrammi a barre 12-29 Grafici, diagrammi di dispersione 12-31 Grafici, equazioni differenziali 12-26 Grafici, generati da programma 22-17 Grafici, istogrammi 12-29 Grafici, menu SYMBOLIC 12-49 Grafici, salvataggio 12-7 Grafici, zoom 12-47 Grafico delle equazioni differenziali 12-26 Grafico di una funzione 12-2 Grafico Ln(X) 12-8 Grafico polare 12-18 Grafico wirefra
Impostazione del CAS Simplyfy nonrational C-10 Impostazione dell’ora 1-7, 25-2 Impostazione della data 1-7 Impostazione della data e dell’ora 25-2 Impostazioni del CAS 1-26, C-1 Impostazioni del CAS Complex e Real C-6 Impostazioni del CAS numerica e simbolica C-3 INDEP 22-6 Inferenza statistica, distribuzioni di probabilità 17-9 INFO 22-3 INPUT 21-22 Input interattivo, programmazione 21-19 INS L-1 Inserimento di vettori 9-2 INT 13-14 Integrali 13-14 Integrali definiti 13-15 Integrali doppi 14-8 Integrali im
L M LABEL 12-45 Labels L-4 LAGRANGE 5-11, 5-19 LAP 16-11 LAPL 15-4 Laplace, antitrasformate 16-11 Laplace, teoremi relativi alle trasformate 16-12 Last Stack 1-26 LCM 5-11, 5-20 LCXM 11-16 LDEC 16-4 LEGENDRE 5-11, 5-20 Lettere greche D-3, G-2 lim 13-2 Limiti 13-1 Limiti di classe 18-6 LIN 5-5 Linea mediana 18-3 LINE 12-44 Linguaggio User RPL 21-1 LINSOLVE 11-41 LIST 2-34 LN 3-6 LNCOLLECT 5-5 LNP1 3-9 LOG 3-5 LQ 11-49, 11-51 LSQ 11-24 LU 11-49 LVARI 7-11 Maclaurin, serie 13-23 MAD 11-48 MANT 3-14 MAP 8-12
Media ponderata 8-17 Memoria 26-1~26-10 MENU 12-46 Menu 1-3 Menu ALG 5-3 Menu ALRM 25-3 Menu Applicazioni (APPS) F-1 Menu ARITHMETIC 5-9 Menu BASE 19-1 Menu BIT 19-6 Menu CALC/DIFF 16-3 Menu CAS F-6 Menu CHARS 23-2 Menu CMPLX 4-5 Menu CONVERT 5-26 Menu DERIV&INTEG 13-4 Menu di funzioni di input/output F-2 Menu DIFF 16-3 Menu File Manager...
Menu STAT (menu 96) G-3 Menu STAT in PLOT 22-11 Menu Style L-4 Menu SYMB/GRAPH 12-50 Menu SYMBOLIC 12-49 Menu Text editor... F-5 Menu TIME 25-1 Menu Time & date...
NEXTPRIME 5-10 Norma colonne 11-7 Norma infinito 11-9 NOT 19-5 NSUB 8-11 NUM 23-1 NUM.
PERIOD 2-37, 16-34 PERM 17-2 Permutazioni 17-1 PEVAL 5-22 PGDIR 2-44 piano 9-17 Piano nello spazio 9-17 PICT 12-8 Pivot 11-34 Pivot parziale 11-34 Pivot totale 11-35 PIX? 22-21 PIXOFF 22-21 PIXON 22-21 PLOT 12-50 Plot setup...
misura 21-37 Programmazione, uso di GROB 22-33 Programmi di debugging 21-22 Programmi per grafici bidimensionali 22-14 Programmi per grafici tridimensionali 22-15 Prompt con stringhe di input, programmazione 21-21 PROOT 5-21 PROPFRAC 5-10, 5-23 Proprieta del Line Editor 1-28 Proprieta dello stack 1-28 PSI 3-15 PTAYL 5-11, 5-21 PTYPE 22-4 Punti estremi 13-12 Punto decimale 1-22 Punto di sella 14-5 PUT 8-10 PUTI 10-6 PVIEW 22-22 PX C 19-7 Q QR 11-52 QUADF 11-52 QUOT 5-11, 5-21 QXA 11-53 R R B 19-3 R C 4-6 R
Replace L-3 Replace All L-3 Replace Selection L-3 Replace/Find Next L-3 RES 22-6 RESET 22-8 RESULTANT 5-11 REVLIST 8-9 Riavvio a caldo della calcolatrice G-3 Riavvio a freddo della calcolatrice G-3 Riavvio della calcolatrice G-3 Riepilogo, statistica 18-13 Riferimenti ai pixel 19-7 Riquadro di selezione 21-31 Riquadro messaggi, programmazione 21-37 RISCH 13-14 Risolutore di Equazioni Multiple 27-6 Risolutore numerico 6-5 Risultante di forze 9-15 RKF 16-67 RKFERR 16-71 RKFSTEP 16-69 RL 19-6 RLB 19-7 RND 3-14
Set di caratteri aggiuntivi D-1 SHADE in grafici 12-6 SI 3-30 SIGMA 13-14 SIGMAVX 13-14 SIGN 3-14, 4-6 SIGNTAB 12-50, 13-10 Simbolo dell’angolo (∠) G-2 Simbolo fattoriale (!) G-2 SIMP2 5-10, 5-23 SIMPLIFY 5-29 SIN 3-7 SINH 3-9 Sistema di coordinate 1-24 Sistema di equazioni 11-18 Sistema di numerazione binario 19-3 Sistema lineare di equazioni 11-18 SIZE 8-10, 10-7 SKIP L-1 SL 19-6 SLB 19-7 SLOPE in grafici 12-6 SNRM 11-8 SOFT menus (Menu FUNZIONE) 1-4 Soluzione grafica di ODE 16-57 Soluzione numerica di O
T Tabella 12-17, 12-25 TABVAL 12-50, 13-9 TABVAR 12-50, 13-10 TAIL 8-11 TAN 3-7 TANH 3-9 Tasti definiti dall’utente 20-6 Tasti di scelta rapida G-1 Tasti di scelta rapida nel menu PRG 21-9 Tastiera B-1 Tastiera, caratteri associati al tasto ALPHA B-10 Tastiera, caratteri associati al tasto Alpha + shift destro B-12 Tastiera, caratteri associati al tasto Alpha + shift sinistro B-11 Tastiera, funzioni alternative dei tasti B-4 Tastiera, funzioni associate al tasto shift sinistro B-5 Tastiera, funzioni princip
U UBASE 3-21 UFACT 3-28 UNASSIGN K-1 UNASSUME J-3 UNDE L-4 UNDO 2-62 UNIT 3-30 Unità di base 3-21 Unità di energia 3-20 Unità di forza 3-20 Unità di illuminazione 3-21 Unità di lunghezza 3-19 Unità di massa 3-20 Unità di misura 3-17 Unità di misura degli angoli 22-27, 22-29, 22-33 Unità di misura del volume 3-19 Unità di misura disponibili 3-19 Unità di misura in programmazione 21-37 Unità di potenza 3-20 Unità di pressione 3-20 Unità di radiazione 3-21 Unità di temperatura 3-20 Unità di tempo 3-19 Unità di
XNUM K-5 XOR 19-5 XPON 3-14 XQ K-5 XRNG 22-6 XROOT 3-5 XSEND 2-34 XVOL 22-10 XXRNG 22-10 XYZ 3-2 Y YCOL 22-13 YRNG 22-6 YVOL 22-10 YYRNG 22-10 Z ZAUTO 12-48 ZDECI 12-48 ZDFLT 12-48 ZEROS 6-4 ZFACT 12-47 ZFACTOR 3-32 ZIN 12-47 ZINTG 12-48 ZLAST 12-47 ZOOM 12-18, 12-47 ZOUT 12-48 ZSQR 12-49 ZTRIG 12-49 ZVOL 22-10 Menu BYTE 19-7 Simboli ! 17-2 % 3-12 %CH 3-12 %T 3-12 L-1 ARRY 9-6 BEG L-1 COL 10-18 DATE 25-3 DIAG 10-12 END L-1 GROB 22-31 HMS 25-3 LCD 22-32 LIST 9-20 ROW 10-22 STR 23-1 TAG 21-3
Garanzia limitata Calcolatrice grafica HP 50g; durata della garanzia: 12 mesi 1. HP garantisce all’utente finale che l’hardware HP, gli accessori e le forniture saranno privi di difetti sia a livello di materiali che della qualità di lavorazione a partire dalla data di acquisto, per il periodo specificato sopra. Se HP viene informata della presenza di tali difetti durante il periodo di garanzia, HP deciderà, a sua discrezione, di riparare o sostituire il prodotto reputato difettoso.
SOPRA, HP O I RELATIVI FORNITORI NON SARANNO IN NESSUN CASO RESPONSABILI PER LA PERDITA DI DATI O PER I DANNI DIRETTI, SPECIALI, INCIDENTALI, CONSEQUENZIALI (INCLUSA LA PERDITA DI DATI O DI PROFITTI) O PER ALTRI DANNI, SE BASATI SU UN CONTRATTO, UN PREGIUDIZIO O ALTRO. Alcuni paesi, stati o province non autorizzano le esclusioni o le limitazioni dei danni incidentali o consequenziali, dunque è possibile che la limitazione o l’esclusione sopra indicata non sia applicabile. 8.
Asia del Pacifico America del Sud America del Nord Turchia +420-5-41422523 Regno Unito +44-207-4580161 Repubblica Ceca +420-5-41422523 Sud Africa +27-11-2376200 Lussemburgo +32-2-7126219 Altri paesi europei +420-5-41422523 Paese: Numeri di telefono Australia +61-3-9841-5211 Singapore +61-3-9841-5211 Paese: Numeri di telefono Argentina 0-810-555-5520 Brasile Sao Paulo 3747-7799; ROTC 0-800-157751 Messico Mx City 5258-9922; ROTC 01-800-472-6684 Venezuela 0800-4746-8368 Cile 800
Regulatory information Federal Communications Commission Notice This equipment has been tested and found to comply with the limits for a Class B digital device, pursuant to Part 15 of the FCC Rules. These limits are designed to provide reasonable protection against harmful interference in a residential installation. This equipment generates, uses, and can radiate radio frequency energy and, if not installed and used in accordance with the instructions, may cause harmful interference to radio communications.
and (2) this device must accept any interference received, including interference that may cause undesired operation. For questions regarding your product, contact: Hewlett-Packard Company P. O. Box 692000, Mail Stop 530113 Houston, Texas 77269-2000 Or, call 1-800-474-6836 For questions regarding this FCC declaration, contact: Hewlett-Packard Company P. O.
xxxx* This marking is valid for non-Telecom prodcts and This marking is valid for EU non-harmonized Telecom products. EU harmonized Telecom products (e.g. Bluetooth).
