Operation Manual

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risultato della moltiplicazione di j per k nell'aritmetica modulo n è, in sostanza,
il resto intero di j·k/n in aritmetica infinita, se j·k>n. Nell'aritmetica modulo 12,
ad esempio, dati 7·3 = 21 = 12 + 9, (oppure 7·3/12 = 21/12 = 1 + 9/12,
per cui il resto intero di 21/12 è 9). Ora è possibile scrivere 7·3
≡ 9 (mod 12)
e leggere l'ultimo risultato come "sette per tre congruo nove, modulo dodici".
L'operazione della divisione può essere definita in termini di moltiplicazione,
come segue: r/k
≡ j (mod n), se j·k ≡ r (mod n). Questo significa che r deve
essere il resto di j·k/n. Ad esempio, 9/7
≡ 3 (mod 12) perché 7·3 ≡ 9 (mod
12). In aritmetica modulare alcune divisioni non sono consentite.
Nell'aritmetica modulo 12, ad esempio, non è possibile definire 5/6 (mod 12)
perché la tabella moltiplicativa del 6 non prevede il risultato 5 in aritmetica
modulo 12. Tale tabella è riportata di seguito:
Definizione formale di un anello in aritmetica finita
L'espressione a
≡ b (mod n) viene interpretata come "a congruo a b, modulo n"
e resta valida per (b-a) multiplo di n. In base a questa definizione, le regole
aritmetiche si semplificano come segue:
Se a
≡ b (mod n) Se c ≡ d (mod n),
allora
a+c
≡ b+d (mod n),
a-c
≡ b - d (mod n),
a
×c ≡ b×d (mod n).
Per la divisione valgono le regole esposte in precedenza. Ad esempio, 17
≡ 5
(mod 6) e 21
≡ 3 (mod 6). In base a queste regole si può scrivere:
17 + 21
≡ 5 + 3 (mod 6) => 38 ≡ 8 (mod 6) => 38 ≡ 2 (mod 6)
17 – 21
≡ 5 - 3 (mod 6) => -4 ≡ 2 (mod 6)
17
× 21 ≡ 5 × 3 (mod 6) => 357 ≡ 15 (mod 6) => 357 ≡ 3 (mod 6)
6*0 (mod 12) 0 6*6 (mod 12) 0
6*1 (mod 12) 6 6*7 (mod 12) 6
6*2 (mod 12) 0 6*8 (mod 12) 0
6*3 (mod 12) 6 6*9 (mod 12) 6
6*4 (mod 12) 0 6*10 (mod 12) 0
6*5 (mod 12) 6 6*11 (mod 12) 6