hp 48gII calculatrice graphique guide de l’utilisateur H Édition 4 Référence HP F2226-90024
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Préface Vous tenez entre vos mains un ordinateur compact symbolique et numérique qui va vous faciliter le calcul et l’analyse mathématique de problèmes dans une grande variété de disciplines, des mathématiques élémentaires aux sujets les plus avancés d’ingénierie et de sciences. Bien qu'on s’y réfère en tant qu'une calculatrice, en raison de sa taille proche de celle d'une calculatrice de poche ordinaire , le hp 48gII est en fait un ordinateur graphique portable et programmable.
Pour les opérations symboliques, la calculatrice comprend un puissant Computer Algebraic System (CAS) qui vous permet de choisir entre différents modes d’opération, c'est-à-dire nombres complexes ou nombres réels ou mode exact (symbolique) et mode arrondi (numérique). L’affichage peut-être réglé pour fournir des expressions semblables à celles employées dans les manuels, ce qui peut être utile lorsque l’on travaille avec des matrices, vecteurs, fractions, additions, dérivées et intégrales.
Table des matières Quelques remarques sur les prises d’écran de ce guide, Remarque-1 Chapitre 1 – Pour commencer, 1-1 Prise en main, 1-1 Piles, 1-1 Allumer et éteindre la calculatrice, 1-2 Ajuster le contraste de l’écran, 1-2 Description de l’écran de la calculatrice, 1-2 Menus, 1-3 Menus SOFT et CHOOSE boxes, 1-4 Sélectionner les menus SOFT ou les CHOOSE boxes, 1-5 Le menu TOOL, 1-7 Régler la date et l’heure, 1-8 Le clavier de la calculatrice, 1-11 Choisir les modes d’opération de la calculatrice, 1-13 Mo
Créer des expressions arithmétiques, 2-4 Editeur des expressions arithmétiques, 2-7 Créer des expressions algébriques, 2-8 Éditer des expressions algébriques, 2-9 Utiliser l’Editeur d’équation (Equation Writer - EQW) pour écrire des expressions, 2-12 Créer des expressions arithmétiques, 2-13 Éditer des expressions arithmétiques, 2-19 Créer des expressions algébriques, 2-22 Éditer des expressions algébriques, 2-24 Créer et éditer des sommes, des dérives et des intégrales, 2-33 Organiser les données dans la c
Vérifier les paramètres de la calculatrice, 3-1 Vérifier le mode de calcul, 3-2 Calculs sur les nombres réels, 3-2 Changer le signe d’un nombre, d’une variable ou d’une expression, 3-3 Fonction inverse, 3-3 Addition, soustraction, multiplication, division, 3-3 Utiliser les parenthèses, 3-4 Fonction valeur absolue, 3-5 Carrés et racines carrées, 3-5 Puissances et racines, 3-5 Logarithmes en base 10 et puissances de 10, 3-6 Entrer des données avec des puissances de 10, 3-6 Logarithmes népériens et fonction ex
Définir et utiliser des fonctions, 3-35 Fonctions définies par plus d’une expression, 3-37 Fonction IFTE, 3-38 Fonctions IFTE combinées, 3-38 Chapitre 4 – Calculs avec des nombres complexes, 4-1 Définitions, 4-1 Paramétrer la calculatrice en mode COMPLEX, 4-1 Saisie de nombres complexes, 4-2 Représentation polaire d’un nombre complexe, 4-3 Opérations simples avec des nombres complexes, 4-4 Changer le signe d’un nombre complexe, 4-5 Saisir le nombre imaginaireunitaire, 4-5 Les menus CMPLX, 4-6 Le menu CMPLX
Développement et mise en facteur en utilisant les fonctions trigonométriques, 5-9 Fonctions du menu ARITHMETIC, 5-10 DIVIS, 5-10 FACTORS, 5-10 LGCD, 5-11 PROPFRAC, 5-11 SIMP2, 5-11 Menu INTEGER, 5-11 Menu POLYNOMIAL, 5-11 Menu MODULO, 5-12 Applications du menu ARITHMETIC, 5-12 Arithmétique Modulaire, 5-13 Anneaux arithmétiques finis dans la calculatrice, 5-15 Polynômes, 5-18 Arithmétique modulaire avec des polynômes, 5-29 Fonction CHINREM, 5-19 Fonction EGCD, 5-20 Fonction GCD, 5-20 Fonction HERMITE, 5-21 F
Fonction FCOEF, 5-26 Fonction FROOTS, 5-27 Opérations étape par étape avec des polynômes et des fractions, 5-27 Le menu CONVERT et les opérations algébriques, 5-29 Menu de conversion UNITS (Option 1), 5-29 Menu de conversion BASE (Option 2), 5-29 Menu de conversion TRIGONOMETRIC (Option 3), 5-29 Menu de conversion MATRICES (Option 5), 5-29 Menu de conversion REWRITE (Option 4), 5-29 Chapitre 6 – Résolution d’équations singulières, 6-1 Résolution symbolique des équations algébriques, 6-1 Fonction ISOL, 6-2
Résoudre des équations simultanées avec MSLV, 7-5 Exemple 1 – Exemple de la fonction d’aide, 7-6 Exemple 2 – Entrée d’un lac dans un écoulement à surface libre , 7-7 Utilisation de résolution d’Equations Multiples (MES), 7-11 Application 1 – Résolution de triangles, 7-11 Application 2 – Vélocité et accélération en coordonnées polaires, 7-21 Chapitre 8 – Opérations avec les listes, 8-1 Définitions, 8-1 Créer et enregistrer des listes , 8-1 Composer et décomposer des listes, 8-2 Opérations avec des listes de
Saisie de vecteurs, 9-2 Saisie de vecteurs dans la pile, 9-2 Enregistrer des vecteurs dans des variables, 9-3 Utilisation de l’Editeur de matrices (MTRW) pour saisir les vecteurs, 9-3 Construire un vecteur avec ARRY, 9-7 Identifier, extraire et insérer des éléments de vecteur, 9-8 Opérations simples avec des vecteurs, 9-10 Changement de signe, 9-10 Addition, soustraction, 9-10 Multiplication et division par un scalaire, 9-10 Fonction valeur absolue, 9-11 Le menu MTH/VECTOR, 9-11 Magnitude, 9-12 Produit sca
Saisie de matrices dans la pile, 10-2 Utilisation de l’Editeur de matrice, 10-2 Saisir la matrice directement dans la pile, 10-3 Création de matrices à l’aide des fonctions de la calculatrice, 10-4 Fonctions GET et PUT, 10-6 Fonctions GETI et PUTI, 10-7 Fonction SIZE, 10-8 Fonction TRN, 10-8 Fonction CON, 10-9 Fonction IDN, 10-10 Fonction RDM, 10-11 Fonction RANM, 10-12 Fonction SUB, 10-13 Fonction REPL, 10-13 Fonction DIAG, 10-14 Fonction DIAG , 10-14 Fonction VANDERMONDE, 10-15 Fonction HILBERT, 10-16 Pr
Chapitre 11 – Matrices et algèbre linéaire, 11-1 Opérations avec des matrices, 11-1 Addition et soustraction, 11-2 Multiplication, 11-2 Caractérisation d’une matrice (Menu NORM), 11-7 Fonction ABS, 11-7 Fonction SNRM, 11-8 Fonctions RNRM et CNRM, 11-9 Fonction SRAD, 11-9 Fonction COND, 11-10 Fonction RANK, 11-11 Fonction DET, 11-12 Fonction TRACE, 11-14 Fonction TRAN, 11-15 Autres opérations matricielles (Le menu OPER matrice), 11-15 Fonction AXL, 11-16 Fonction AXM, 11-16 Fonction LCXM, 11-16 Résolutions d
Fonction EGV, 11-51 Fonction JORDAN, 11-52 Fonction MAD, 11-53 Factorisation de matrices, 11-54 Fonction LU, 11-55 Matrices orthogonales et décomposition en valeur singulière, 11-55 Fonction SCHUR, 11-56 Fonction LQ, 11-57 Fonction QR, 11-57 Formes quadratiques d’une matrice, 11-57 Le menu QUADF, 11-58 Applications linéaires, 11-60 Fonction IMAGE, 11-60 Fonction ISOM, 11-61 Fonction KER, 11-61 Fonction MKISOM, 11-61 Chapitre 12 – Graphiques, 12-1 Options graphiques de la calculatrice, 12-1 Tracé d’une expr
Tracé de la solution d’équations différentielles simples, 12-30 Graphiques Truth, 12-33 Tracé d’histogrammes, d’histogramme à barres et de diagramme de dispersion, 12-34 Histogramme à barres, 12-35 Nuages de points, 12-37 Isoclines, 12-39 Graphiques rapides 3D, 12-40 Graphiques filaires, 12-42 Graphiques Ps-Contour, 12-45 Graphiques Y-Slice (tranche Y), 12-46 Graphiques gridmap, 12-48 Graphique Pr-Surface, 12-49 La variable VPAR, 12-50 Graphiques interactif, 12-50 DOT+ et DOT-, 12-52 MARK, 12-52 LINE, 12-53
ZINTG, 12-58 ZSQR, 12-58 ZTRIG, 12-58 Le menu SYMBOLIC et les graphes, 12-58 Le menu SYMB/GRAPH, 12-59 Fonction DRAW3DMATRIX, 12-62 Chapitre 13 – Applications différentielles,13-1 Le menu CALC (Calculs), 13-1 Limites et dérivées, 13-1 Fonction lim, 13-2 Dérivées, 13-3 Fonctions DERIV et DERVX, 13-3 Le menu DERIV&INTEG, 13-4 Calcul de dérivées avec ∂,13-5 La règle de la chaîne, 13-6 Dérivées des équations, 13-7 Dérivées implicites, 13-8 Application des dérivées,13-8 Analyse des graphiques de fonctions, 13-8
Intégration avec des unités, 13-23 Séries infinies, 13-25 Séries de Taylor et Maclaurin, 13-25 Polynôme de Taylor et rappel, 13-26 Fonctions TAYLR, TAYRL0 et SERIES, 13-26 Chapitre 14 – Applications différentielles à plusieurs variables, 14-1 Fonctions de plusieurs variables, 14-1 Dérivées partielles, 14-1 Dérivées d’ordres supérieurs, 14-3 Règle de dérivation en chaîne des dérivées partielles, 14-4 Différentielle total e d’une fonction z = z(x,y), 14-5 Déterminer les extrêmes de fonctions à deux variables
Visualisation des solutions en isoclines , 16-3 Le menu CALC/DIFF, 16-4 Solution des équations linéaires et non linéaires, 16-5 Fonction LDEC, 16-5 Fonction DESOLVE,16-8 La variable ODETYPE, 16-8 Transformations de Laplace, 16-11 Définitions, 16-11 Transformation de Laplace et transformation inverse sur la calculatrice, 16-12 Théorèmes de la transformation de Laplace, 16-13 Fonction delta de Dirac et fonction d’étape de Heaviside, 16-16 Applications de la transformation de Laplace à la solution d’ODE linéai
Solutions graphiques pour une ODE de second ordre, 16-71 Solution numérique à une ODE de premier ordre raide, 16-73 Solution numérique d’ODE avec le menu SOLVE/DIFF, 16-74 Fonction RKF, 16-75 Fonction RRK, 16-76 Fonction RKFSTEP, 16-77 Fonction RRKSTEP, 16-78 Fonction RKFERR, 16-79 Fonction RSBERR, 16-80 Chapitre 17 – Applications de probabilités, 17-1 Sous-menu MTH/PROBABILITY..
Adapter les données à une fonction y = f(x), 18-11 Obtenir des statistiques de résumé additionnelles, 18-14 Calcul de percentiles, 18-15 Le menu logiciel STAT, 18-16 Le sous-menu DATA, 18-17 Le sous-menu ΣPAR, 18-17 Le sous-menu 1VAR, 18-18 Le sous-menu PLOT, 18-19 Le sous-menu FIT, 18-20 Le sous-menu SUMS, 18-20 Exemple d’opérations du menu STAT, 18-21 Intervalles de confiance , 18-24 Estimation des intervalles de confiance, 18-25 Définitions, 18-26 Intervalles de confiance pour la moyenne de population qu
Inférences concernant deux variances, 18-52 Notes supplémentaires sur la régression linéaire, 18-54 La méthode des moindres carrés, 18-54 Equations supplémentaires pour la régression linéaire, 18-55 Erreur de prédiction, 18-56 Intervalles de confiance et test d’hypothèse en régression linéaire, 18-57 Procédure pour les statistiques d’inférence pour la régression linéaire en utilisant la calculatrice, 18-58 Adaptations linéaires multiples, 18-61 Adaptation polynomiale, 18-63 Sélectionner la meilleure adaptat
Fonctionnement des touches définies par l’utilisateur, 20-7 Désaffectation d’une touche définie par l’utilisateur, 20-8 Affectation de plusieurs touches définies par l’utilisateur, 20-8 Chapitre 21 – Programmation en langage RPL Utilisateur, 21-1 Exemple de programmation, 21-1 Variables globales et locales et sous-programmes, 21-2 Portée de la variable globale, 21-4 Portée de la variable locale, 21-5 Le menu PRG, 21-5 Navigation dans les sous-menus RPN, 21-7 Fonctions répertoriées par sous-menu, 21-7 Racco
La construction CASE, 21-56 Boucles de programmes, 21-58 La construction START, 21-58 La construction FOR, 21-64 La construction DO, 21-67 La construction WHILE, 21-68 Erreurs et détection des erreurs, 21-70 DOERR, 21-70 ERRN, 21-71 ERRM, 21-71 ERR0, 21-71 LASTARG, 21-71 Sous-menu IFERR, 21-71 Programmation RPL Utilisateur en mode algébrique, 21-73 Chapitre 22 – Programmes de manipulation graphique, 22-1 Le menu PLOT, 22-1 Touche définie par l’utilisateur pour le menu PLOT, 22-2 Description du menu PLOT, 2
Exemples de programmation utilisant des fonctions de dessin, 22-28 Coordonnées en pixels, 22-31 Animation de graphiques, 22-32 Animation d’un ensemble de graphiques, 22-33 Plus d’informations sur la fonction ANIMATE, 22-36 Objets graphiques (GROBs), 22-36 Le menu GROB, 22-38 Programme avec fonctions de tracé et de dessin, 22-41 Programmation modulaire, 22-43 Exécution du programme, 22-45 Un programme pour calculer les stress principaux, 22-46 Mise en ordre des variables dans le sous-répertoire, 22-47 Deuxiè
Calculs faisant intervenir des dates, 25-4 Calculs faisant intervenir des heures, 25-4 Fonctions des alarmes, 25-4 Chapitre 26 – Gestion de la mémoire, 26-1 Structure de la mémoire, 26-1 Le répertoire HOME, 26-2 Mémoire des ports, 26-2 Contrôle des objets mémoire, 26-2 Objets de sauvegarde, 26-3 Sauvegarde d’objets dans la mémoire des ports, 26-4 Sauvegarde et restauration du répertoire HOME, 26-4 Stockage, suppression et restauration d’objets de sauvegarde, 26-5 Utilisation de données figurant dans des ob
Annexe L – Commandes de l’Editeur de ligne, L-1 Annexe M – Index, M-1 Garantie limitée – BG-1 Entretien, BG -2 Informations de réglementation, BG -4 Page TOC-23
Quelques remarques sur les prises d’écran de ce guide Une prise d’écran est une image représentant l’écran de la calculatrice. Par exemple, la première fois que vous allumez la calculatrice, vous obtenez l’écran suivant (les écrans de la calculatrice sont donnés avec des bords noirs et épais dans ce paragraphe) : Les deux lignes en haut de l’écran sont les lignes de l’entête et le reste de l’écran est utilisé pour taper dans la calculatrice.
Mais la calculatrice affichera en fait l’écran suivant : Veuillez remarquer que les lignes d’entête recouvrent la première et la moitié de la deuxième ligne de l’écran de le calculatrice. Mais ceci n’est pas un problème, car vous pouvez toujours accéder aux autres lignes de l’écran. Vous pouvez faire apparaître ces lignes sur votre calculatrice en appuyant sur la touche de flèche vers le haut (—), ce qui vous permettra de vous déplacer sur l’écran.
2.3+5*„Ê\2.3` déplacera les lignes de l’opération SIN(2.5) vers le haut, les cachant ainsi sous les lignes d’entête. Beaucoup de prises d’écran dans ce manuel ont été modifiées pour afficher uniquement les opérations voulues. Par exemple, la prise d’écran pour l’opération SIN(2.5) ci-dessus peut être simplifiée dans ce manuel de la manière suivante : Ces simplifications des prises d’écran sont faites pour réduire la taille des graphiques (et de ce manuel).
Chapitre 1 Pour commencer Le présent chapitre a pour but de vous fournir les informations de base nécessaires à l’utilisation de votre calculatrice. Les exercices vous permettront de vous familiariser avec le fonctionnement et les opérations de base avant d’effectuer un vrai calcul. Prise en main Le but des exercices suivants est de vous familiariser avec le boîtier de votre calculatrice.
b. Insérez une nouvelle pile CR2032 au lithium. Faites attention à ce que le pôle positif (+) soit en haut. c. Refermez le loquet et appuyez pour le remettre dans sa position initiale. Après avoir installé les piles, appuyez sur [ON] pour allumer la calculatrice. Attention : Si un message apparaît à l’écran vous signalant de changer cette pile, remplacez-la au plus tôt. En revanche, évitez d’enlever la pile de secours en même temps que les piles principales, afin de ne pas perdre de données.
Deux lignes decrivant les parametres de configuration de la calculatrice sont affichees en haut de l'ecran. La première ligne contient les caractères : RAD XYZ HEX R= 'X' Pour plus d'informations sur la signification de ces informations, consultez le Chapitre 2. La deuxième ligne contient les caractères : { HOME } qui indiquent que le répertoire HOME est le répertoire de fichiers actuellement chargé dans la mémoire de la calculatrice.
un menu peut comporter plus de six choix. Chaque groupe de 6 choix est appelé une Page menu. Le menu courant, aussi appelé menu TOOL (voir cidessous) contient huit entrées, disposées sur deux pages. La deuxième page devient visible en appuyant sur la touche L. Cette touche est la troisième touche en partant de la gauche dans la troisième ligne de touches du clavier.
Cette CHOOSE box, appelée BASE MENU,contient une liste de fonctions numérotées de 1. HEX x à 6. B R. Cet écran, première page du menu CHOOSE boxes, affiche six fonctions de menu. Vous pouvez vous déplacer dans ce menu en utilisant les touches directionnelles vers le haut et vers le bas, —˜, qui sont situées en haut à droite du clavier, juste en dessous des touches de menu E et F.
Par défaut, la ligne ressemblera à celle montrée ci-dessus. La ligne surlignée (117 CHOOSE boxes) indique que les CHOOSE boxes sont le mode d’affichage de menus actuellement sélectionné. Si vous préférez utiliser les touches de menu SOFT, appuyez sur la touche de menu @ @CHK@@ (C), suivi de @@@OK@@@ (F). Appuyez sur la touche @@@OK@@@ (F) pour revenir au mode d’affichage normal.
Notes: 1. Le menu TOOL, obtenu en appuyant sur I, s’affichera toujours sous forme de menu SOFT. 2. La plupart des exemples de ce guide de l’utilisateur sont indiqués à la fois en mode de menu SOFT et en mode de CHOOSE box. Les applications de programmation (Chapitres 21 et 22) utilisent uniquement les menus SOFT. 3. Des informations supplémentaires à propos des menus SOFT et des CHOOSE boxes sont présentées dans le Chapitre 2 de ce guide.
En appuyant sur la touche L, on fait réapparaître le menu TOOL de départ. En appuyant sur la touche I (troisième touche en partant de la gauche dans la deuxième ligne des touches du clavier), on dispose d’une autre façon de faire réapparaître le menu TOOL. Régler la date et l’heure La calculatrice contient une horloge interne. On peut afficher cette horloge en permanence sur l’écran et l’utiliser en tant que réveil ou pour lancer des tâches planifiées.
Régler l’heure du jour En utilisant les touches numériques, 123456789 0, commencez par ajuster l’heure du jour. En supposant qu’on fixe l’heure à 11, on compose 11 lorsque le champ de l’heure est surligné dans la feuille SET TIME AND DATE. Ceci affichera le nombre 11 ainsi entré sur la dernière ligne du formulaire : Appuyez sur la touche de menu !!@@OK#@ F pour valider l'opération.
En utilisant cette méthode, la dernière option sélectionnée deviendra le format de l’heure. • Si vous utilisez la touche de menu @CHOOS , les options disponibles sont les suivantes : Utilisez les touches directionnelles vers le haut et vers le bas, —˜, pour sélectionner l’une de ces trois options (AM, PM, 24-hour time). Appuyez sur la touche de menu !!@@OK#@ F pour valider le choix.
Utilisez la touche de menu @CHOOS ( B), pour afficher les options de format de date : Utilisez les touches directionnelles vers le haut et vers le bas,— ˜, pour faire votre choix et appuyez sur la touche de menu !!@@OK#@ F pour valider ce choix. Le clavier de la calculatrice La figure ci-dessous représente un schéma du clavier de la calculatrice et indique les numéros des lignes et des colonnes.
La figure montre 10 rangées de touches combinées avec 3, 5 ou 6 colonnes. La ligne 1 comporte 6 touches, les lignes 2 et 3 ont chacune 3 touches et les lignes 4 à 10 comportent chacune 5 touches. Il y a 4 touches directionnelles situées sur le côté droit du clavier dans l’espace occupé par les lignes 2 et 3. Chaque touche dispose de trois, quatre ou cinq fonctions. La fonction principale de la touche correspond à l'indication mise en évidence sur la touche.
(8,1), la touche rouge right-shift, touche (9,1) et la touche bleue ALPHA, touche (7,1), avec les autres touches pour activer les autres fonctionnalités indiquées sur le clavier.
Appuyez sur la touche !!@@OK#@ F pour revenir en mode d’affichage normal. Des exemples de sélection des différents modes de la calculatrice sont explicités ci-dessous. Mode d’opération La calculatrice comporte deux modes d’opération : le mode Algebraic et le mode Reverse Polish Notation (RPN). Le mode par défaut est le mode Algébrique (comme indiqué sur la figure ci-dessus), mais, les utilisateurs des calculatrices HP précédentes sont certainement davantage habitués au mode RPN.
Pour entrer cette expression dans la calculatrice, nous allons d’abord utiliser l’Editeur d’équations ‚O. Veuillez identifier les touches suivantes sur le clavier, à côté des touches du clavier numérique : !@.#*+-/R Q¸Ü‚Oš™˜—` L’Editeur d’équations est un mode d’affichage dans lequel vous pouvez construire des expressions mathématiques en utilisant les notations mathématiques explicites comme, notamment, les fractions, les dérivées, les intégrales, les racines, etc.
/23.Q3+!¸2.5` pour obtenir le même résultat. Passez en mode d’opération RPN en appuyant d’abord sur la touche H. Sélectionner le mode RPN soit en utilisant la touche \, soit en appuyant sur la touche de menu @CHOOS. Appuyez sur la touche de menu !!@@OK#@ F pour terminer l'opération. Pour le mode RPN, l’écran suivant s’affiche : Vous remarquerez qu’il apparaît plusieurs niveaux de sortie numérotés 1, 2, 3, etc.…, de bas en haut. On appelle cela la pile de la calculatrice.
Q. De la même façon, dans l’opération de racine cubique, y (niveau de pile 2) est le nombre en dessous du signe racine et x (niveau de pile 1) est la racine. Essayez l’exercice suivant qui implique 3 facteurs : (5 + 3) × 2 5`3`+ Calcule (5 +3) d’abord. 2X Termine le calcul. Essayons maintenant l’expression proposée plus haut : 3 ⋅ 5 − 3.` 5.` 3.` 3.* Y * 23.` 3.Q / 2.5 !¸ + R 3⋅3 2.
Bien que le mode RPN nécessite un peu plus de réflexion que le mode algébrique (ALG), il existe de nombreux avantages liés au mode RPN. Par exemple, en mode RPN, vous pouvez voir l’équation se dérouler pas à pas. Ceci est particulièrement utile pour détecter toute erreur possible d’entrée des données. De plus, en devenant familier avec ce mode et en en apprenant les astuces, vous serez capable de calculer des expressions plus rapidement et en utilisant moins de touches.
• En mode ALG, CF(-95) sélectionne le mode RPN • En mode RPN, 95 \` SF sélectionne le mode ALG Pour plus d’informations sur les indicateurs système de la calculatrice, reportez--vous au Chapitre 2. Format numérique et point décimal ou virgule Changer le format numérique vous permet de personnaliser la façon dont les nombres réels sont affichés par la calculatrice.
Dans le format standard d’affichage numérique, les nombres entiers sont affichés sans aucune décimale. L’affichage des nombres ayant un total de décimales différent sera restreint au nombre de décimales nécessaires. Des exemples supplémentaires de nombres affichés en format standard sont présentés ci-dessous : • Format fixe sans décimales : Appuyez sur la touche H. Ensuite, utilisez la flèche vers le bas ˜, pour sélectionner l’option Number format.
• Format fixe avec décimales : Ce mode est surtout utilisé lorsque vous travaillez en précision limitée. Par exemple, si vous effectuez des calculs financiers, il est utile d’utiliser le mode FIX 2 pour représenter les unités monétaires précises au centième. Appuyez sur la touche H. Ensuite, utilisez la flèche vers le bas ˜, pour sélectionner l’option Number format. Appuyez sur le menu @CHOOS et la touche ( B), puis sélectionnez l’option Fixed avec la touche directionnelle vers le bas ˜.
Vous noterez que le nombre est arrondi et non tronqué. Ainsi, le nombre 123.4567890123456, pour cet exemple, devient 123.457 à l’affichage et non pas 123.456 car le chiffre après 6 est supérieur à 5. • Format scientifique: Le format scientifique est utilisé principalement pour résoudre des problèmes de physique, où les chiffres sont en général représentés comme des chiffres imprécis multipliés par des puissances de dix. Pour activer ce format, commencez par appuyer sur la touche H.
comme indiqué ci-dessus. Donc, dans ce cas-ci, le nombre de chiffres significatifs est quatre. • Format ingénierie Le format ingénierie est très proche du format scientifique, mais les puissances de dix y sont des multiples de trois. Pour activer ce format, commencez par appuyer sur la touche H. Ensuite, utilisez la flèche vers le bas ˜, pour sélectionner l’option Number format. Appuyez sur le menu @CHOOS et la touche ( B) et sélectionnez l’option Engineering avec la touche directionnelle vers le bas ˜.
• • remplacer les points décimaux par des virgules, sélectionnez l’option FM dans la fenêtre CALCULATOR MODES pour virgule, comme indiqué cidessous (vous noterez que nous avons changé l’option de format numérique en Std) : Appuyez sur la touche H. Ensuite, appuyez une seule fois sur la touche directionnelle vers le bas, ˜, et appuyez à deux reprises sur la touche directionnelle vers la droite, ™, pour surligner l'option __FM,.
pour “simplifier” la notation des degrés, mais elle est rarement utilisée de nos jours. La mesure d’angle affecte les fonctions trigonométriques telles que SIN, COS, TAN et les fonctions qui leurs sont associées. Pour changer le mode de mesure d’angles, suivez la procédure suivante : • Appuyez sur la touche H. Ensuite, appuyez à deux reprises sur la touche directionnelle vers le bas, ˜. Sélectionnez le mode de Mesure d’Angles soit en utilisant la touche \ (deuxième à partir de la gauche dans la cinquième li
formé par la distance radiale et l’axe positif x (mesuré positif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre), et z est similaire au z du système de coordonnées cartésiennes (en système bi-dimensionnel, z vaut 0).
Bip, Clic et dernière pile La dernière ligne de la feuille CALCULATOR MODES comporte les options : _Beep _Key Click _Last Stack En sélectionnant la marque de validation située à côté de ces options, l’option correspondante est activée. Ces options sont décrites ci-dessous : _Beep : Lorsque cette option est sélectionnée, le bip de la calculatrice est activé. Cette opération s’applique surtout aux messages d’erreur, mais aussi à quelques fonctions telles que BEEP.
• • Appuyez sur la flèche gauche š pour choisir l'option _Key Click. Pour changer la sélection, appuyez sur la touche de menu @ @CHK@@ (c’est-à-dire la touche B). Appuyez sur la flèche gauche š pour choisir l'option _Beep. Pour changer la sélection, appuyez sur la touche de menu @ @CHK@@ (c’est-à-dire la touche B). Appuyez sur la touche de menu !!@@OK#@ F pour valider l'opération. Sélectionner les paramètres CAS CAS est l’acronyme de Computer Algebraic System.
• • • • Pour naviguer parmi les différentes options de la fenêtre DISPLAY MODES, utilisez les touches directionnelles : š™˜—. Pour sélectionner ou désélectionner l’un des paramètres affichés ci-dessus, qui nécessite une marque de validation, choisissez le symbole ‘souligné’ devant l’option en question et appuyez sur la touche de menu @ @CHK@@ jusqu’à ce que le paramètre désiré apparaisse.
défaut de la police d’affichage. En appuyant sur la touche de menu @CHOOS (B), vous obtiendrez la liste des polices disponibles dans le système, comme indiqué ci-dessous : Les options disponibles sont trois polices standards System Fonts (taille 8, 7 et 6) et l’option de navigation. Cette dernière vous permettra de parcourir la mémoire de la calculatrice pour y chercher des polices supplémentaires que vous avez pu créer (voir Chapitre 23) ou télécharger dans la calculatrice.
Choisir les propriétés de la pile D'abord, appuyez sur la touche H pour activer la fenêtre CALCULATOR MODES. Dans la fenêtre CALCULATOR MODES, appuyez sur la touche de menu @@DISP@ (D) pour afficher la fenêtre DISPLAY MODES. Appuyez deux fois sur la touche directionnelle vers le bas, ˜, pour arriver sur la ligne Stack . Cette ligne comporte deux propriétés qui peuvent être modifiées. Lorsque ces propriétés sont sélectionnées (validées), cela active les effets suivants : _Small Réduit la taille de la police.
Choisir les propriétés de l’Editeur d’équations (Equation writer EQW) D'abord, appuyez sur la touche H pour activer la fenêtre CALCULATOR MODES. Dans la fenêtre CALCULATOR MODES, appuyez sur la touche de menu @@DISP@ (D) pour afficher la fenêtre DISPLAY MODES. Appuyez à trois reprises sur la touche directionnelle vers le bas, ˜, pour accéder à la ligne EQW (Equation Writer). Cette ligne comporte deux propriétés qui peuvent être modifiées.
Choisir l’affichage de l’horloge D'abord, appuyez sur la touche H pour activer la fenêtre CALCULATOR MODES. Dans la fenêtre CALCULATOR MODES, appuyez sur la touche de menu @@DISP@ (D) pour afficher la fenêtre DISPLAY MODES. Appuyez à quatre reprises sur la touche directionnelle vers le bas, ˜, pour atteindre la ligne d’en-tête (Header). Le champ Header sera surligné. Utilisez la touche directionnelle vers la droite (™) pour sélectionner le symbole souligné en face des options _Clock ou _Analog.
Chapitre 2 Présentation de la calculatrice Dans ce chapitre nous présentons les fonctionnalités de base de la calculatrice, notamment l’utilisation de l’Editeur d’équations et la manipulation de données dans la calculatrice. Etudiez les exemples de ce chapitre pour acquérir une bonne connaissance des capacités de la calculatrice pour vos applications futures. Objets Tout nombre, expression, caractère, variable, etc., qui peut être créé et manipulé par la calculatrice est appelé objet.
Pour afficher de force un résultat réel (ou avec virgule), utilisez la fonction NUM ‚ï. On utilise fréquemment les entiers dans les fonctions de CAS puisqu‘elles sont faites de manière à garder la précision maximale dans les opérations. Si le mode d’approximation (APPROX) est actif dans le système CAS (voir Appendice C), les entiers seront automatiquement convertis en réels. Si vous ne prévoyez pas d’utiliser le système CAS, il peut être utile de sélectionner directement le mode d’approximation.
peuvent se révéler très utiles pour effectuer des calculs sur des ensembles de nombres. Par exemple, les colonnes d’un tableau peuvent être considérées comme des listes. Si l’on préfère, une liste peut être entrée comme une matrice ou comme un tableau. Les objets de type 8 sont les programmes en langage User RPL. Ce sont simplement des ensembles d’instructions rentrés entre les symboles << >>.
Afficher des expressions à l’écran Dans cette section, nous présentons des exemples d’affichage d’expressions directement sur l’écran de la calculatrice (affichage de l’historique en mode Aalgébrique ou de la pile en mode RPN). Créer des expressions arithmétiques Dans cet exemple, nous sélectionnons le mode Algébrique et choisissons le format Fix avec 3 décimales pour l’affichage. Nous allons entrer l’expression arithmétique suivante : 1.0 7.5 5.0 ⋅ 3.0 − 2.0 3 1.
Avant de donner un résultat, on vous demandera de passer en mode Approximate. Acceptez ce changement pour obtenir le résultat suivant (donné ici en mode décimal Fix avec trois décimales – voir Chapitre 1) : Dans le cas présent, lorsque vous saisissez l’expression directement dans la pile, dès que vous appuyez sur `, la calculatrice va essayer de calculer le résultat de l’expression. Cependant, si l’expression est saisie entre deux apostrophes, la calculatrice va reproduire l’expression telle quelle.
Nous allons maintenant entrer l’expression utilisée ci-dessus lorsque la calculatrice est en mode d’opérations RPN. Nous avons également placé le système CAS en mode Exact et l'affichage en mode Textbook. La séquence de touches pour saisir l’expression entre apostrophes est la même que précédemment, c’est-à-dire : .5*„Ü1+1/7.5™/ „ÜR3-2Q3` Ce qui donne comme résultat : Appuyez encore une fois sur ` pour garder deux copies disponibles de l’expression dans la pile, afin d’en effectuer le calcul.
Note: Évitez de mélanger les entiers et les réels pour éviter les conflits dans vos calculs. Pour de nombreuses applications en sciences physiques et en ingénierie, et notamment la résolution numérique d’équations, les applications statistiques, etc., le mode d’approximation APPROX (voir Appendice C) fonctionne bien mieux. Pour les applications mathématiques, comme les calculs, l’analyse vectorielle, l’algèbre, etc., on préférera le mode EXACT.
Les touches suivantes permettront de terminer l’édition pour notre exemple : • Appuyez sur la touche directionnelle vers la droite, ™, jusqu’à ce que le curseur se trouve juste à droite du point décimal dans le terme 1.75 • Appuyez deux fois sur la touche effacer, ƒ, pour enlever le caractère 1. • Appuyez une fois sur la touche directionnelle vers la droite, ™, pour déplacer le curseur et le placer à la droite du 7 • Entrez un point décimal en tapant .
Nous plaçons la calculatrice en mode d’opérations Algébrique, le système CAS en mode Exact et l'affichage en mode Textbook. Pour entrer cette expression algébrique, nous utilisons la séquence de touches suivante : ³2*~l*R„Ü1+~„x/~r™/ „ Ü ~r+~„y™+2*~l/~„b Appuyez sur ` pour obtenir le résultat suivant : Entrer cette expression lorsque la calculatrice est en mode RPN revient exactement au même que d’utiliser le mode Algébrique dans cet exercice.
gauche et vers la droite, š™, pour déplacer le curseur à l’endroit approprié pour l’édition, et la touche effacer, ƒ, pour effacer les caractères.
Vous remarquerez que l’expression a été complétée pour inclure des termes tels que |R|, la valeur absolue et SQ(b⋅R), le carré de b⋅R. Pour essayer de simplifier ce résultat, utilisez FACTOR(ANS(1)) en mode ALG : • Appuyez sur „˜ pour activer l’éditeur de ligne une fois de plus. Le résultat est maintenant : • En appuyant encore une fois sur ` on revient en mode d’affichage normal.
Utiliser l’Editeur d’équations (Equation Writer - EQW) pour écrire des expressions L’Editeur d’équations est un outil extrêmement puissant, qui non seulement vous permet de saisir et de visualiser une équation mais aussi de modifier et de marcher/d’appliquer des fonctions à l’équation ou à une partie de l’équation.
Ces deux touches de menu de l’Editeur d’équations activent les fonctions suivantes : @CMDS: permet d’accéder à l’ensemble des commandes du CAS ordonnées dans l’ordre alphabétique. Ceci est utile pour insérer des commandes de CAS dans une expression disponible dans l’Editeur d’équations. @HELP: active la fonction d’aide du CAS qui fournit des informations et des exemples pour les commandes du CAS. Des exemples d’utilisation de l’Editeur d’équations sont donnés ci-dessous.
Supposons que vous vouliez remplacer la quantité entre parenthèses dans le dénominateur (c’est-à-dire : 5+1/3) par (5+π2/2). Tout d’abord, nous utiliserons la touche effacer (ƒ) pour effacer l’expression 1/3, ensuite nous remplacerons cette fraction par π2/2, comme indiqué ci-dessous : ƒƒƒ„ìQ2 A ce moment-là, l’affichage est le suivant : Pour insérer le dénominateur 2 dans l’expression, nous devons surligner l’expression π2 dans sa totalité.
Tout d’abord, nous devons surligner la totalité du premier terme en utilisant la touche directionnelle vers la droite (™) ou la touche directionnelle vers le haut (—) de façon répétée jusqu’à ce que toute l’expression soit surlignée, ce qui donne donc : NOTE: On peut aussi utiliser, à partir de la position initiale du curseur (à la droite du 2 dans le dénominateur de π2/2), la combinaison de touches suivante ‚—, qui sera interprétée comme (‚ ‘ ).
Évaluer l’expression Pour calculer l’expression (ou une partie de l’expression) avec l’Editeur d’équations, surlignez la partie que vous souhaitez calculer et appuyez sur la touche de menu @EVAL D. Par exemple, pour calculer la totalité de l’expression de cet exercice, surlignez tout d’abord l’expression dans son ensemble, en appuyant sur ‚ ‘. Ensuite, appuyez sur la touche de menu @EVAL D.
Utiliser à nouveau la fonction UNDO ( …¯) pour revenir à l’expression de départ. Évaluer une expression en partie En supposant maintenant que vous ne vouliez évaluer que la partie de l’expression entre parenthèses dans le dénominateur de la première fraction de l’expression ci-dessus. Il faut utiliser les touches directionnelles pour sélectionner cette partie de l’expression.
Encore une fois, il s’agit d’une évaluation symbolique. Supposons qu’à ce moment-là, on souhaite évaluer uniquement la partie gauche de la fraction. Appuyez à trois reprises sur la touche directionnelle vers le haut (—) pour sélectionner cette fraction ; on obtient : Ensuite, appuyez sur la touche de menu @EVAL D pour obtenir : Essayons maintenant d’obtenir une évaluation numérique de ce terme.
Éditer des expressions arithmétiques Nous allons expliquer certaines fonctionnalités de l’Editeur d’équations sous forme d’exercices. Nous commençons en entrant l’expression suivante utilisée dans les exercices précédents : Nous allons donc utiliser les fonctions d’édition de l’Editeur d’équations pour la transformer et obtenir la nouvelle expression suivante : Dans l’exercice précédent, nous avons utilisé les touches directionnelles pour surligner des parties d’expressions dans le but de les évaluer.
Appuyez sur la touche directionnelle vers le bas (˜) pour afficher le curseur transparent d’édition. L’affichage est le suivant : En utilisant la touche directionnelle vers la gauche (š) vous pouvez déplacer le curseur globalement vers la gauche, mais il s’arrêtera sur chacune des composantes de l’expression. Par exemple, supposons que nous voulions d’abord transformer l’expression π 2/2 en LN(π5/3).
Ensuite, nous allons transformer le 5 entre parenthèses en un ½ en utilisant les touches : šƒƒ1/2 Puis, nous surlignons l’ensemble de l’expression entre parenthèses et y insérons une racine carrée en utilisant : ————R Ensuite, nous allons convertir le chiffre 2 devant les parenthèses du dénominateur en 2/3 en utilisant : šƒƒ2/3 L’affichage est alors le suivant : La dernière étape consiste à enlever le 1/3 de la partie droite de l’expression.
expression. Quand vous arrivez à l’endroit à éditer, utilisez la touche effacer (ƒ) pour afficher le curseur d’insertion avant de procéder à l’édition de l’expression. Créer des expressions algébriques Une expression algébrique est très similaire à une expression arithmétique, mis à part le fait qu’elle peut inclure des lettres des alphabets latins et grecs.
CHARS (…±) si vous ne voulez pas avoir à mémoriser la combinaison de touches qui permet de les obtenir. Une liste des combinaisons de touches ~‚les plus fréquemment utilisées se trouve dans un paragraphe précédent. L’arborescence d’expressions L’arborescence d’expressions est un diagramme représentant la manière selon laquelle l’Editeur d’équations interprète une expression. Un exemple détaillé d’arborescence est présenté dans l’Appendice E.
Éditer des expressions algébriques L’édition d’équations algébriques suit les mêmes règles que l’édition d’expressions algébriques. C’est-à-dire : • Utiliser les touches directionnelles (š™—˜) pour surligner les expressions • Utiliser la touche directionnelle vers le bas (˜), de façon répétée, pour afficher le curseur transparent d’édition. Dans ce mode, utilisez les flèches vers la gauche ou vers la droite (š™) pour vous déplacer de termes en termes dans une expression.
A tout moment, nous pouvons passer du curseur transparent d’édition au curseur d’insertion en appuyant sur la touche effacer (ƒ). Essayons d’utiliser ces deux curseurs (le curseur transparent d’édition et le curseur d’insertion) pour transformer l’expression actuelle en l’expression suivante : Si vous avez suivi l’exercice présenté juste au-dessus, vous devriez avoir le curseur transparent d’édition sur le chiffre 2 du premier facteur de l’expression.
Certaines des expressions ne peuvent pas être simplifiées davantage. Composez la combinaison de touches : —D. Vous constaterez que cela n’a aucun effet mis à part celui de surligner l’argument de la fonction LN. Cela se produit car l’expression ne peut pas être évaluée (ou simplifiée) davantage, selon les règles du CAS. Essayez encore cette combinaison : — D et vous n’obtiendrez aucun changement.
du numérateur. Ensuite, appuyez sur la touche directionnelle droite, ™, pour vous déplacer dans l’expression. Simplifier une expression Appuyez sur la touche de menu @BIG C pour obtenir un écran similaire à celui de la figure précédente (voir ci-dessus). Ensuite, appuyez sur la touche de menu @SIMP C , pour voir s’il est possible de simplifier cette expression telle qu’elle apparaît dans l’Editeur d’équations.
Appuyez sur ‚¯ pour revenir à l’expression de départ. Ensuite, entrez la séquence de touches suivante : ˜˜˜™™™™™™™—— —‚™ pour sélectionner les deux derniers termes de l’expression, c’està-dire : Appuyez sur la touche de menu @FACTO, pour obtenir : Appuyez sur ‚¯ pour revenir à l’expression de départ. Ensuite, sélectionnez la totalité de l’expression en appuyant une fois sur la touche directionnelle vers le haut (—).
les touches de menu @CMDS et @HELP. Ces deux commandes font partie de la deuxième partie du menu de l’Editeur d’équations. Essayons d’utiliser cet exemple, en tant qu’application de la touche de menu : @CMDS. Appuyez sur la touche de menu @CMDS pour obtenir la liste des commandes CAS : Ensuite, sélectionnez la commande DERVX (dérivation par rapport à la variable X, qui est la variable indépendante actuelle du CAS) en utilisant les touches : ~d˜˜˜.
commande DERVX. Appuyez sur la touche de menu @@OK@@ (F), pour obtenir des informations sur la commande DERVX : Une explication détaillée de l’utilisation des fonctions d’aide pour le système CAS est donnée au Chapitre 1. Pour revenir à l’Editeur d’équations, appuyez sur la touche de menu @EXIT. Appuyez sur la touche ` pour sortir de l’Editeur d’équations.
Nous souhaitons enlever la sous-expression x+2⋅λ⋅∆y de l’argument de la fonction LN et la déplacer à la droite du λ dans le premier terme. Une première possibilité est d’utiliser : ˜ššš———‚ªšš—*‚¬ L’expression modifiée est alors la suivante: Ensuite, nous allons copier la fraction 2/√3 du facteur le plus à gauche dans cette expression et la placer dans le numérateur de l’argument de la fonction LN.
L'écran de rédacteur de ligne ressemblera à ceci (affichage disponible seulement si la calculatrice est en mode RPN): Pour sélectionner la sous-expression qui nous intéresse, utilisons : ™™™™™™™™‚¢ ™™™™™™™™™™‚¤ L’écran affiche la sous-expression surlignée : Nous pouvons maintenant copier cette expression et la placer dans le dénominateur de l’argument de la fonction LN, de la façon suivante : ‚¨™™… (27 fois) … ™ ƒƒ… (9 fois) … ƒ ‚¬ L’éditeur de lignes indique alors: En appuyant sur ` , on fait apparaître
Créer et éditer des sommes, des dérives et des intégrales Les sommes, les dérivées et les intégrales sont utilisées couramment dans les calculs, pour les applications de probabilités et en calcul statistique. Dans cette section, nous présentons des exemples de telles opérations créées dans l’Editeur d’équations. Utilisez le mode ALG. Sommes Nous allons utiliser l’Editeur d’équations pour entrer la somme suivante : ∞ 1 ∑k k =1 2 Appuyez sur ‚O pour activer l’Editeur d’équations.
Pour revenir à la somme, composez ‚¯. Pour recalculer cette somme, vous pouvez utiliser la touche de menu D. Ce qui donne, à nouveau 1 π2 . = ∑ 2 6 k =1 k ∞ Vous pouvez utiliser l’Editeur d’équations pour prouver que ∞ 1 ∑ k = +∞ . k =1 Cette somme (qui représente une série infinie) est dite divergente.
Pour afficher l’expression correspondante dans l’éditeur de ligne, appuyez sur ‚— et sur la touche de menu A, ce qui donne : Cette expression illustre le format général d’une dérivation dans la pile ou dans l’éditeur de lignes : ∂variable (fonction de variables) Appuyez sur ` pour revenir dans l’Editeur d’équations. Cependant, l’affichage obtenu n’est pas la dérivée que nous avons saisie mais la valeur symbolique suivante : Pour retrouver l'expression dérivée, utilisez ‚¯.
Note: La notation ∂ ( ∂x ) est propre aux dérivées partielles. La notation correcte pour les dérivées standard (c’est-à-dire les dérivées à une variable) est : d ( ) . Cependant, la calculatrice ne fera pas de différence entre les dx dérivées partielles et standard. Intégrales définies Nous allons utiliser l’Editeur d’équations pour saisir l’intégrale suivante: ∫ τ 0 t ⋅ sin(t ) ⋅ dt . Appuyez sur ‚O pour activer l’Editeur d’équations. Appuyez ensuite sur ‚ Á pour entrer le signe intégral.
Appuyez sur ` pour revenir dans l’Editeur d’équations. Cependant, l’affichage obtenu n’est pas l’intégrale que nous avons saisie mais la valeur symbolique suivante, Pour retrouver l'expression de la dérivée, utilisez ‚¯. Pour recalculer cette intégrale, vous pouvez utiliser la touche de menu D. Ce qui donne, à nouveau : ∫ τ 0 t ⋅ sin(t ) ⋅ dt = sin(τ ) − τ ⋅ cos(τ ) Les intégrales doubles sont aussi possible. Par exemple : ce qui donne 36.
Cet écran vous donne un aperçu de la mémoire de la calculatrice et de l’arborescence des répertoires. L’affichage indique que la calculatrice comprend trois ports mémoire (aussi appelés partitions), port 0:IRAM, port 1:ERAM et port 2:FLASH. Les ports mémoires sont utilisés pour le stockage des applications et des bibliothèques fournis par des tiers, ainsi que pour les sauvegardes de sécurité. La taille de ces différents ports est également indiquée.
@EVAL @TREE Pour évaluer la variable surlignée Pour afficher l’arborescence de répertoires dans lequel se trouve la variable Si vous appuyez sur la touche L, la deuxième série de fonctions apparaît : @PURGE Pour effacer ou détruire une variable @RENAM Pour renommer une variable @NEW Pour créer une nouvelle variable @ORDER Pour classer un ensemble de variables dans un répertoire @SEND Pour envoyer une variable à une autre calculatrice ou à un ordinateur @RECV Pour recevoir une variable d’une autre calculatr
§, et appuyer sur ` en mode Algébrique. Dans cet exemple, le répertoire HOME contient uniquement le CASDIR.
L’écran affiche un tableau qui décrit les variables contenues dans le répertoire CASDIR. Ce sont les variables prédéfinies de la mémoire de la calculatrice et elles contiennent certains paramètres d'utilisation du système CAS (voir Appendice C).
• • • Pour visualiser le contenu de la variable EPS, par exemple, utilisez ‚@EPS@. Ceci affiche la valeur de EPS qui est . 0000000001 Pour afficher la valeur d’une variable numérique, il suffit d’appuyer sur la touche de menu de cette variable. Par exemple, en appuyant sur cz puis sur `, affiche la même valeur de la variable dans la pile, si la calculatrice est en mode Algébrique.. Si la calculatrice est en mode RPN, il vous suffit d’appuyer sur la touche de menu `.
touches ~, ~„, ou ~‚ pour entrer chaque lettre, vous pouvez maintenir enfoncée la touche ~ et entrer les différentes lettres. Vous pouvez également bloquer temporairement le clavier en mode alphabétique et entrer un nom complet avant de le débloquer. Les combinaisons de touches suivantes bloqueront le clavier en mode alphabétique : ~~ bloque le clavier alphabétique en mode majuscule.
Note: si l’indicateur système 60 est actif, vous pouvez bloquer le clavier alphabétique en appuyant simplement sur ~. Reportez--vous au Chapitre 1 pour obtenir davantage d’informations sur les indicateurs système. Créer des sous-répertoires On peut créer des sous-répertoires dans l’environnement FILES ou en utilisant la commande CRDIR. Ces deux approches pour créer des sous-répertoires sont présentées ci-dessous.
Le champ Object, premier champ du formulaire de saisie, est surligné par défaut. Ce champ contiendra le contenu de la nouvelle variable qui va être créée. Puisqu’il n’y a pas de contenu pour le nouveau sous-répertoire pour le moment, nous allons simplement ignorer ce champ en appuyant une fois sur la touche directionnelle vers le bas, ˜.
$ pour revenir en mode d’affichage normal (le menu TOOLS apparaîtra). Ensuite, appuyez sur J pour afficher contenu du répertoire HOME relatif aux indications des touches de menu.
• Par les menus de programmation Appuyez sur „°. Ceci affichera le menu déroulant suivant pour la programmation : Utilisez la touche directionnelle vers le bas (˜) pour sélectionner l’option 2. MEMORY… , ou appuyez simplement sur 2. Ensuite, appuyez sur @@OK@@. Ceci créera le menu déroulant suivant : Utilisez la touche directionnelle vers le bas (˜) pour sélectionner l’option 5. DIRECTORY ou appuyez simplement sur 5. Ensuite, appuyez sur @@OK@@.
A ce moment-là, vous devrez entrer un nom de répertoire, à savoir : chap1 : ~~„~chap1~` Le nom du nouveau répertoire apparaîtra sur les touches de menu, comme suit : Commande CRDIR en mode RPN Pour utiliser CRDIR en mode RPN, il faut que le nom du répertoire soit déjà disponible dans la pile avant d’accéder à la commande.
˜) pour sélectionner le sous-répertoire vers lequel vous souhaitez vous déplacer, puis appuyez sur !CHDIR (CHange DIRectory) ou sur la touche de menu A. Ceci affichera le contenu du sous-répertoire que vous visez sur les indications des touches de menu. Effacer des sous-répertoires Pour effacer un sous-répertoire, utilisez l’une des méthodes suivantes : En utilisant le menu des fichiers FILES Appuyez sur la touche „¡ pour ouvrir le menu FILES.
Et il faudra alors appuyer sur @@OK@@, avant de revenir à la liste des variables. En utilisant la commande PGDIR La commande PGDIR peut être utilisée pour effacer le contenu d’un répertoire. De la même façon que pour la commande CRDIR, on accède à la commande PGDIR par la touche ‚N ou par la touche „° ou on peut également simplement taper la commande. • Par la touche de catalogue Appuyez sur ‚N~~pg. Ceci devrait surligner la commande PGDIR. Appuyez sur la touche de menu @@OK@@ pour activer la commande.
Utilisez la touche directionnelle vers le bas (˜) pour sélectionner l’option 6. PGDIR . Ensuite, appuyez sur @@OK@@.
Puis, appuyez sur )@@S3@@ pour entrer l’argument de PGDIR, ‘S3’. Appuyez sur ` pour effacer le sous-répertoire : Commande PGDIR en mode RPN Pour utiliser la commande PGDIR en mode RPN, vous devez placer le nom du répertoire, entre apostrophes, dans la pile avant d’accéder à la commande.
En utilisant la commande PURGE du menu TOOL On accède au menu d’outils TOOL en appuyant sur la touche I (les modes Algébrique et RPN sont indiqués) : On accède à la commande PURGE en appuyant sur la touche de menu @PURGE (E). Dans les exemples suivants, nous voulons effacer le sous-répertoire S1 : • Mode Algébrique : Entrez @PURGE J)@@S1@@` • Mode RPN : Entrez J³@S1@@ `I@PURGE J Les variables Les variables fonctionnent comme les fichiers sur le disque dur d’un ordinateur.
Créer des variables Pour créer une variable, on peut utiliser le menu des fichiers FILES, de la même manière que les exemples illustrés ci-dessus pour la création d’un sousrépertoire. Par exemple, dans le sous-répertoire {HOME MANS INTRO}, qui a été créé dans un exemple précédent, nous voulons stocker les variables suivantes avec leurs valeurs, comme indiqué ci-dessous : Nom a α A12 Q R z1 p1 Contenu 12.5 -0.
Appuyez sur la touche L pour arriver à la deuxième page des touches de menu et appuyez sur la touche de menu @@NEW@@. Ceci ouvrira le formulaire NEW VARIABLE (pour entrer une nouvelle variable) : Pour entrer la variable A (voir la table ci-dessus), nous allons d’abord entrer son contenu, c’est-à-dire le nombre 12.5, puis son nom, A, de la façon suivante : 12.5 @@OK@@ ~a@@OK@@. Ce qui donne l’affichage suivant : Appuyez une fois de plus sur @@OK@@ pour créer la variable.
• • • Appuyez sur la touche de menu @TEXT (A) pour afficher le contenu en format texte. Appuyez sur @@OK@@ pour revenir à la liste des variables Appuyez sur $ pour revenir en mode d’affichage normal. La variable A devrait maintenant apparaître sur les indications des touches de menu : En utilisant la commande STO Une manière plus simple de créer une variable est d’utiliser la commande STO (c’est-à-dire la touche K ).
` pour créer la variable. La variable apparaît maintenant sur les indications des touches de menu : Pour entrer les variables restantes, utilisez les séquences de touches suivantes : A12: 3V5K~a12` Q: ³~„r/„Ü ~„m+~„r™™ K~q` R: „Ô3‚í2‚í1™ K~r` z1: 3+5*„¥K~„z1` (acceptez le passage en mode Complex si le programme vous le demande). p1: ‚å‚é~„r³„ì* ~„rQ2™™™ K~„p1`.. L’affichage est alors le suivant : Vous verrez six des sept variables affichées en bas de l’écran : p1, z1, R, Q, A12, α.
Cette expression signifie que la valeur –0.25 est prête à être enregistrée dans α. Appuyez sur K pour créer la variable.
En appuyant sur la touche de menu associée à la variable Cette méthode affichera le contenu d’une variable, si cette variable contient une valeur numérique ou algébrique, ou un tableau. Par exemple, pour les variables affichées précédemment, appuyez sur les touches suivantes pour afficher le contenu des variables : Mode Algébrique Tapez ces séquences de touches : J@@z1@@ ` @@@R@@ `@@@Q@@@ `. L’affichage est alors le suivant : Ensuite, tapez les séquences de touches : @@A12@ ` @@@ª@@ ` L @@@A@@@ `.
La structure du programme est la suivante : << → r 'π*r^2' >> Le symbole « »indique un programme écrit en langage User RPL (c’est le langage de programmation originel des calculatrices HP 28/48 qui est également disponible dans la série HP 49G). Les caractères → r indiquent qu’il faut fournir au programme une variable d’entrée, qui sera appelée r. L’action du programme est de prendre la valeur de cette variable r et de calculer l’expression algébrique 'π*r^2'.
Notez que pour utiliser le programme en mode RPN, vous devez seulement taper l'entrée (5) puis appuyer sur la touche de menu (en mode Algébrique, vous avez besoin d'utiliser les parenthèses pour taper l'argument). Utiliser la touche majuscule de droite right-shift ‚ suivie des touches de menu Cette méthode de visualisation des variables fonctionne de la même façon pour les modes algébrique et RPN.
peut illustrer le remplacement du contenu d’une variable, avec les exemples de création de variables présentés ci-dessus. En utilisant la commande STO En utilisant comme exemple les six variables créées précédemment, p1, z1, R, Q, A12, a, et A, nous allons modifier le contenu de la variable A12 (qui est pour l’instant une variable numérique) en la convertissant en l’expression algébrique ‘β/2’, grâce à la commande STO .
contenu de z1 en ‘a+bi’ : „î K @@@z1@@ `. Pour vérifier le nouveau contenu de la variable z1, composez : ‚@@@z1@@ Copier des variables Les exercices suivants illustrent diverses méthodes pour copier des variables d’un sous-répertoire à un autre. En utilisant le menu des fichiers FILES Pour copier une variable d’un répertoire à un autre, vous pouvez utiliser le menu FILES. Par exemple, à l’intérieur du sous-répertoire {HOME MANS INTRO}, nous avons les variables p1, z1, R, Q, A12, α et A.
Appuyez sur $ @INTRO@ `(en mode Algébrique) ou $ @INTRO@ (en mode RPN) pour revenir au répertoire INTRO. Appuyez sur „¡@@OK@@ pour créer la liste des variables de {HOME MANS INTRO}. Utilisez la touche directionnelle vers le bas (˜) pour sélectionner la variable R, puis appuyez sur @@COPY@. Utilisez la touche directionnelle vers le haut (—) pour sélectionner le répertoire HOME, et appuyez sur @@OK@@.
prête à exécuter la commande ANS(1) z1. Appuyez sur ` pour exécuter cette commande. Ensuite, utilisez la séquence ‚@@z1@, pour vérifier le contenu de la variable. En utilisant la pile en mode RPN Pour illustrer l’utilisation de la pile en mode RPN pour copier une variable d’un sous-répertoire à un autre, nous supposerons que vous vous trouvez dans le sous-répertoire {HOME MANS INTRO} et que vous devez copier le contenu de la variable z1 dans le répertoire HOME.
nous voulions copier les variables R et Q dans le sous-répertoire {HOME MANS}. Les séquences de touches suivantes permettent d’effectuer cette opération : ‚@@ @R@@ ³@@@R@@ ` ‚@@ @Q@@ ³@@@Q@@ ` „§K K Pour vérifier le contenu des variables, appuyez sur ‚@@ @R@ et ‚@@ @Q. Cette méthode peut être généralisée pour la copie de trois variables ou plus.
‚í³@@@@R@@@ ™‚í³@@A12@@ ` L’écran affiche maintenant les variables suivant le nouvel ordre : Mode RPN En mode RPN, on entre d’abord la liste des variables à réorganiser dans la pile avant d’appliquer la commande ORDER.
Vous remarquerez que la variable A12 a disparu. Si maintenant vous appuyez sur „§, l’écran affiche le contenu du sous-répertoire MANS, qui contient la variable A12 : Note: Vous pouvez utiliser la pile pour déplacer une variable en combinant les actions de copier et d’effacer une variable. La méthode pour effacer des variables est présentée dans la section suivante. Effacer des variables On peut effacer des variables, en utilisant la fonction PURGE.
Utiliser la fonction PURGE dans la pile en mode Algébrique Nous allons recommencer depuis le sous-répertoire {HOME MANS INTRO} qui contient maintenant uniquement les variables p1, z1, Q, R et α. Nous utiliserons la commande PURGE pour effacer la variable p1. Appuyez sur I @PURGE@ J@@p1@@ `. L’affichage indique maintenant que la variable p1 a été effacée : Vous pouvez utiliser la commande PURGE pour effacer plus d’une variable en plaçant leurs noms dans une liste dans l’argument de PURGE.
³@@p1@@ ` I @PURGE@. L’affichage indique maintenant que la variable p1 a été effacée : Pour effacer deux variables simultanément, par exemple les variables R et Q, créez tout d’abord une liste (en mode RPN, il n’est pas nécessaire de séparer les éléments d’une liste par des virgules, contrairement au mode Algébrique) : J „ä³ @@@R!@@ ™ ³ @@@Q!@@ `. Ensuite, appuyez sur I@PURGE@ pour effacer les variables.
Vous pouvez utiliser les touches directionnelles vers le bas et vers le haut (— ˜) pour vous déplacer dans la liste de ces commandes et pour surligner celle qui vous intéresse. Une fois que vous avez sélectionné la commande, appuyez sur @@@OK@@@. La fonction CMD s’applique de la même façon en mode RPN, mis à part le fait que la liste des commandes affiche seulement les nombres ou les expressions algébriques. Les fonctions saisies n’apparaissent pas.
Pour afficher l’indicateur du système actuel, appuyez sur le bouton H puis sur la touche de menu @FLAGS! (c’est-à-dire F1). Vous obtiendrez un écran appelé SYSTEM FLAGS qui affiche la liste des numéros des indicateurs système et leur état respectif. (Note: Sur cet écran, puisque seuls les indicateurs système sont présents, c’est la valeur absolue de leur numéro qui est affichée). On dit qu’un indicateur est actif s’il présente une marque de validation ( ) en face de son numéro.
Mode Algébrique Utilisez la séquence de touches suivante : ‚N~q (utilisez les touches directionnelles vers le haut et vers le bas, —˜, pour sélectionner la commande QUAD) , appuyez sur @@OK@@ . Pour entrer l’équation en tant que premier argument de la fonction QUAD, utilisez la séquence suivante : ‚O~ „t Q2™+5*~ „t+6—— ‚Å0` ‚í ~ „t` Voici le résultat : Maintenant, remplacez le paramètre de l’indicateur 01 par General solutions: H@FLAGS@ @ @CHK@@ @@OK@@ @@OK@@ .
Composez la séquence de touches suivante pour entrer la commande QUAD : ‚N~q (utilisez les touches directionnelles vers le haut et vers le bas, —˜, pour sélectionner la commande QUAD), et appuyez sur @@OK@@ . L’écran affiche la solution principale : Maintenant, remplacez le paramètre de l’indicateur 01 par General solutions: H@FLAGS@ @ @CHK@@ @@OK@@ @@OK@@ .
CHOOSE boxes et Menu SOFT Dans un certain nombre d’exercices présentés dans ce chapitre nous avons pu voir des menus de commandes affichés à l’écran. Ces menus sont appelés CHOOSE boxes.
Appuyez sur la touche de menu @ @CHK@@ pour activer l’indicateur 117 en mode MENU soft. L’écran indique que ce changement est effectif : Appuyez deux fois pour revenir en mode d’affichage normal. Maintenant, nous allons essayer de trouver la commande ORDER en utilisant les mêmes séquences de touches que précédemment, c’est-à-dire en commençant par „°.
Bien qu’il ne s’applique pas à un exemple particulier, l’exercice proposé présente les deux options de menus de la calculatrice (les CHOOSE boxes et les soft MENUs).
Chapitre 3 Calculs avec des nombres réels Ce chapitre explique comment utiliser la calculatrice pour effectuer des opérations ou pour utiliser des fonctions sur les nombres réels. Ce type d’opérations est utile pour la plupart des calculs en sciences physiques et en ingénierie. L’utilisateur devra être familier avec le clavier pour identifier certaines de ses fonctions (par exemple, SIN, COS, TAN, etc.).
1. Spécification de mesure d’angle (DEG, RAD, GRD) DEG : degrés, 360 degrés dans un cercle complet RAD : radians, 2π radians dans un cercle complet GRD : grades, 400 grades dans un cercle complet 2. Spécification du système de coordonnées (XYZ, R∠Z, R∠∠). Le symbole ∠ indique une coordonnée angulaire XYZ : Cartésien ou rectangulaire (x,y,z) R∠Z : Coordonnées polaires cylindriques (r,θ,z) R∠∠ : Coordonnées sphériques (ρ,θ,φ) 3.
Complex. Le mode Exact est le mode par défaut pour la plupart des opérations. Et donc, vous pouvez commencer vos calculs dans ce mode. S’il est nécessaire de passer en mode Approx pour terminer une opération, la calculatrice en fera la proposition. Il n’y a pas de préférences pour le mode de mesure d’angle ni pour le choix de la base numérique. Les calculs sur les nombres réels vous seront expliqués dans le mode Algébrique (ALG) et dans le mode Reverse Polish Notation (RPN).
En mode RPN, entrez les opérandes l’un après l’autre, séparés par un `, et appuyez ensuite sur la touche de l’opérateur. Exemples : 3.7` 5.2 + 6.3` 8.5 4.2` 2.5 * 2.3` 4.5 / En mode RPN, vous pouvez également séparer les opérandes avec un espace (#) avant d’appuyez sur la touche de l’opérateur. Exemples : 3.7#5.2 + 6.3#8.5 4.2#2.5 * 2.3#4.5 / Utiliser les parenthèses On utilise des parenthèses pour grouper des opérations, et aussi pour entrer les arguments des fonctions.
Fonction valeur absolue La fonction valeur absolue, ABS, est accessible par la combinaison de touches : „Ê. Lorsque vous effectuez le calcul dans la pile en mode ALG, entrez la fonction avant d’entrer l’argument, c’est-à-dire : „Ê \2.32` En mode RPN, entrez d’abord le nombre, et ensuite la fonction, c’est-à-dire : 2.32\„Ê Carrés et racines carrées La fonction carré, SQ, est accessible par la combinaison de touches : „º.
En mode RPN, entrez d’abord l’argument y, ensuite x, et enfin la fonction, c’est-à-dire : 27`3`‚» Logarithmes en base 10 et puissances de 10 Les logarithmes en base 10 sont calculés par la combinaison de touches ‚Ã (fonction LOG), alors que la fonction inverse (ALOG ou antilogarithme) est calculée en utilisant „Â. En mode ALG, on entre la fonction avant l’argument : ‚Ã2.45` „Â\2.3` En mode RPN, on entre l’argument avant la fonction : 2.45` ‚Ã 2.3\` „Â Entrer des données avec des puissances de 10 On entre
des systèmes de mesure d’angle (degrés, radians, grades). Par exemple, avec l’option DEG sélectionnée, nous pouvons calculer les fonctions trigonométriques suivantes : En mode ALG: S30` T45` U135` En mode RPN: 30`S 45`T 135`U Fonctions trigonométriques inverses Les fonctions trigonométriques inverses disponibles sur le clavier sont arc sinus (ASIN), arc cosinus (ACOS) et arc tangente (ATAN) et elles sont accessibles respectivement par les combinaisons de touches „¼, „¾ et „À.
mode ALG est directe, par exemple : ABS(x). Les fonctions telles que XROOT nécessitent deux arguments, par exemple : XROOT(x,y). Cette fonction correspond à la séquence de touches ‚». En revanche, les opérateurs sont placés après un argument unique ou entre deux arguments. L’opérateur factoriel (!), ainsi, est placé après un nombre, par exemple : 5~‚2`. Puisque cet opérateur nécessite un argument unique, on l’appelle opérateur unitaire.
chapitre suivant. L’option 10. CONSTANTS donne accès aux constantes de la calculatrice. Cette option sera présentée plus loin dans ce paragraphe. Enfin, l’option 11. SPECIAL FUNCTIONS.. contient des fonctions de mathématiques avancées qui seront également présentées dans ce paragraphe.
EXPM(x) = exp(x) – 1, LNP1(x) = ln(x+1). Enfin, l’option 9. MATH, permet de revenir au menu MTH. Par exemple, en mode ALG, la séquence de touches qui permet de calculer tanh(2.5), est la suivante : „´ Sélectionnez le menu MTH. 4 @@OK@@ Sélectionnez le menu 4. HYPERBOLIC.. 5 @@OK@@ Sélectionnez la fonction 5. TANH 2.5` Calcule tanh(2.5) L’écran affiche le résultat suivant : En mode RPN, la séquence de touches qui permet ce calcul est la suivante : 2.
Note: En appuyant sur „«on affichera la première partie des options MTH. De plus, en utilisant la combinaison ‚˜on affichera toutes les fonctions du menu à l’écran, comme indiqué ci-dessous. Ainsi, pour sélectionner, par exemple, le menu des fonctions hyperboliques, avec ce format de menu, appuyez sur )@@HYP@ , ce qui donne : Enfin, pour sélectionner, par exemple, la fonction tangente hyperbolique (tanh), appuyez simplement sur @@TANH@.
@@TANH@ Sélectionne la fonction TANH A titre d’exercice d’application des fonctions hyperboliques, vérifiez les valeurs suivantes : SINH (2.5) = 6.05020.. SINH-1(2.0) = 1.4436… COSH (2.5) = 6.13228.. ACOSH-1(2.0) = 1.3169… TANH (2.5) = 0.98661.. TANH-1(0.2) = 0.2027… EXPM (2.0) = 6.38905…. LNP1(1) = 0.69314…. Encore une fois, le processus général expliqué dans ce paragraphe peut s’appliquer à toute sélection d’options dans n’importe lequel des menus de calcul. Fonctions réelles Choisir l'option 5. REAL..
La toute dernière option, )@@MTH@, permet de revenir au menu, MTH. Fonctions pourcentage On utilise ces fonctions pour calculer des pourcentages et d’autres valeurs qui leurs sont associées de la façon suivante : % (y,x) : calcule x pour cent de y %CH(y,x) : calcule 100(y-x)/x, c'est-à-dire le changement de pourcentage, la différence entre deux nombres. %T(y,x) : calcule 100 x/y, c'est-à-dire le total du pourcentage, la partie qu'un nombre (x) est d'un autre nombre (y).
45` „´ 5 @@OK@@ 3 @@OK@@ Entrez le deuxième argument Sélectionnez le menu MTH Sélectionnez le menu 5. REAL.. Sélectionnez la fonction 5. %T Note: Les exercices de cette section illustrent l’utilisation générale des fonctions à deux arguments. On peut généraliser le fonctionnement des fonctions de 3 arguments ou plus à partir de ces exemples. A titre d’exercice utilisant les fonctions associées aux pourcentages, vérifiez le calcul des valeurs suivantes : %(5,20) = 1, %CH(22,25) = 13.
IP(x) : détermine la partie entière d’un nombre réel FP(x) : détermine la partie fractionelle d’un nombre réel A titre d’exercice, vérifiez que ABS(-3) = |-3| = 3, SIGN(-5) = -1, MANT(2540) = 2.540, XPON(2540) = 3, IP(2.35) = 2, FP(2.35) = 0.35.
Factorial of a number La factorielle d’un nombre entier positif n est définie par n!=n⋅(n-1)⋅(n2) …3⋅2⋅1, avec 0! = 1. La fonction factorielle est accessible en utilisant ~‚2. Dans l’un des deux modes ALG et RPN, entrez d’abord le nombre, et ensuite la séquence ~‚2. Exemple: 5~‚2`. La fonction Gamma, définie ci-dessus, a la propriété suivante : Γ(α) = (α−1) Γ(α−1), pour α > 1. Et donc, elle est liée à la factorielle d’un nombre, par la relation Γ(α) = (α−1)!, si α est un entier positif.
Les constantes de la calculatrice Les valeurs suivantes sont les constantes mathématiques de votre calculatrice : • e: base des logarithmes népériens. • i: unité imaginaire complexe, ii 2 = -1. • π: rapport du périmètre d’un cercle et de son diamètre. • MINR: le plus petit nombre réel de la calculatrice. • MAXR: le plus grand nombre réel de la calculatrice. Pour accéder à ces constantes, sélectionner l’option 11.
Opérations sur les unités Il est possible d’associer des unités aux nombres de la calculatrice. Ainsi, il est possible de calculer des résultats qui impliquent un système d’unités cohérent et de produire un résultat avec la combinaison d’unités appropriée. Le menu des unités (UNITS) On lance le menu des unités par la combinaison de touches ‚Û(associée à la touche 6). Avec l’indicateur système 117 paramétré sur CHOOSE boxes, vous obtenez le menu suivant : Option 1. Tools..
distinguer des grammes-masse, une unité de masse), kip = kilo-livres (1000 livres), lbf = livre-force (pour les distinguer des livres-masse),pdl = poundal. Pour affecter une unité à un nombre, le nombre doit être suivi d’un symbole ‘souligné’. Ainsi, une force de 5 N sera entrée en tant que 5_N. Pour effectuer des opérations plus complètes sur les unités, les touches menu SOFT permettent d’associer des unités de façon plus pratique.
Note: Utilisez la touche L ou la combinaison de touches „« pour naviguer dans les menus. Unités disponibles La liste des unités disponibles dans le menu des unités (UNITS) est donnée cidessous.
MASS (MASSE) kg (kilogramme), g (gramme), Lb (livre), oz (once), slug (balle), lbt (livre Troy), ton (short ton), tonUK (long ton), t (tonne), ozt (Troy once), ct (carat), grain (grain), u (unité de masse atomique), mol (mole) FORCE N (newton), dyn (dyne), gf (gramme-force), kip (kilolivre-force), lbf (livre-force) ENERGY (ENERGIE) J (joule), erg (erg), Kcal (kilocalorie), Cal (calorie), Btu (International table btu), ft×lbf (pied-livre), therm (EEC therm), MeV (mega electron-volt), eV (electronvolt) POWER
RADIATION Gy (gray), rad (rad), rem (rem), Sv (sievert), Bq (becquerel), Ci (curie), R (roentgen) VISCOSITY (VISCOSITE) P (poise), St (stokes) Unités non énumérées Les unités qui ne sont pas énumérées dans le menu des unités mais sont disponibles dans la calculatrice sont les suivantes :gmol (gramme-mole), lbmol (livre-mole), rpm (tours par minute), dB (décibels). On peut accéder à ces unités par le menu 117.02, en utilisant MENU(117.02) en mode ALG, ou 117.02 ` MENU en mode RPN.
@@OK@@ ˜ @@OK@@ 1 ‚Ý ‚Û — @@OK@@ @@OK@@ ` Sélectionnez le menu outils (TOOLS) Sélectionnez la fonction UBASE Entrez 1 et souligner Sélectionnez le menu unités (UNITS) Sélectionnez l’option viscosité (VISCOSITY) Sélectionnez le menu unités (UNITS) Convertissez les unités Ceci produit l’affichage suivant (à savoir : 1 poise = 0.
„« @)VISC @@@P@@ ‚Û )@TOOLS @UBASE Sélectionnez Sélectionnez Sélectionnez Sélectionnez Sélectionnez l’option viscosité (VISCOSITY) l’unité P (poise) le menu unités (UNITS) le menu outils (TOOLS) la fonction UBASE Associer des unités à des nombres Pour affecter une unité à un nombre, le nombre doit être suivi d’un symbole ‘souligné (‚Ý, key(8,5)). Ainsi, une force de 5 N sera entrée en tant que 5_N.
Vous remarquerez que le symbole souligné apparaît automatiquement, lorsque le mode RPN est actif. On obtient l’affichage suivant : Comme cela est expliqué plus haut, si l’indicateur système 117 est en position menus SOFT, le menu des unités (UNITS) apparaîtra sous la forme d’indications des touches de menu. Cette option est très pratique si vous souhaitez effectuer des opérations avec des unités de façon répétée.
L’abréviation du préfixe est indiquée et est suivie du nom et de l’exposant x de la puissance de 10x correspondant à chaque préfixe : ___________________________________________________ Préfixe Nom x Préfixe Nom x ____________________________________________________ Y iotta +24 d deci -1 Z zetta +21 c centi -2 E exa +18 m milli -3 P peta +15 µ micro -6 T tera +12 n nano -9 G giga +9 p pico -12 M mega +6 f femto -15 k,K kilo +3 a atto -18 h,H hecto +2 z zepto -21 D(*) deca +1 y yocto -24 ____________________
de fonctions (par exemple : SQ ou SIN). Ainsi, si vous essayez de calculer LN(10_m), un message d’erreur apparaît : Error: Bad Argument Type. Voici quelques exemples de calculs en mode ALG. Faites attention lorsque vous multipliez ou divisez des quantités avec unités, vous devez entrer chaque quantité et ses unités entre parenthèses. Ainsi, pour entrer le produit 12.5m × 5.2_yd, par exemple, tapez (12.5_m)*(5.2_yd) `: ce qui donne 65_(m⋅yd).
Une expression plus compliquée nécessiterait des parenthèses, comme dans le cas de, (12_mm)*(1_cm^2)/(2_s) `: Les calculs de pile en mode RPN ne nécessitent pas de parenthèses, et on a, par exemple : 12_m ` 1.
Note: Les unités ne sont pas acceptées dans les expressions écrites avec l’Editeur d’équation.
Exemples pour la fonction UVAL : UVAL(25_ft/s) ` UVAL(0.021_cm^3) ` Exemples pour la fonction UFACT : UFACT(1_ha,18_km^2) ` UFACT(1_mm,15.1_cm) ` Exemples pour la fonction UNIT : UNIT(25,1_m) ` UNIT(11.3,1_mph) ` Constantes physiques de la calculatrice Après l’utilisation des unités, nous allons maintenant présenter les constantes physiques disponibles dans la mémoire de la calculatrice. Ces constantes physiques sont mémorisées dans une bibliothèque des constantes accessible avec la commande CONLIB.
ou bien encore, vous pouvez sélectionner la commande CONLIB depuis le catalogue des commandes, comme suit : D’abord, ouvrez le catalogue en utilisant : ‚N~c. Utilisez ensuite les flèches vers le haut et vers le bas —˜ pour sélectionner CONLIB. Enfin, appuyez sur la touche de menu F(@@OK@@) Appuyez sur `, si nécessaire.
QUIT sort de la bibliothèque des constantes (*) Actif uniquement si la fonction VALUE a été choisie.
utilisant ce nombre ignorera l’étiquette.
TINC: Commande d’incrémentation de la température Parmi toutes les fonctions disponibles dans ce MENU (menu UTILITY), c’est-àdire les fonctions ZFACTOR, FANNING, DARCY, F0λ, SIDENS, TDELTA et TINC, les fonctions FANNING et DARCY sont décrites au Chapitre 6 dans le cadre de la résolution d’équations pour le débit d’un pipeline. Les autres fonctions sont décrites ci-dessous.
Fonction TDELTA La fonction TDELTA(T0,Tf) retourne l’incrément en température Tf – T0. Le résultat est donné dans les mêmes unités que T0, si elle en a. Sinon, elle renvoie simplement la différence entre ces deux nombres. Par exemple : L’utilité de cette fonction est de faciliter le calcul des différences de températures dans les différents systèmes d’unités. Sinon, il s’agit simplement d’une soustraction, et ainsi, on a : Fonction TINC La fonction TINC(T0,∆T) calcule T0+DT.
Nom_de_la_fonction(arguments) = expression_qui_contient_les_argumenteurs. Par exemple, on peut définir une fonction simple H(x) = ln(x+1) + exp(-x). Supposons que vous ayez besoin de calculer cette fonction pour un certain nombre de valeurs discrètes et que, par conséquent, vous souhaitiez n’appuyer que sur une seule touche pour obtenir le résultat sans devoir retaper l’expression pour chacune des valeurs. Dans l’exemple suivant, nous supposons que vous êtes en mode ALG.
Ceci est interprété de la façon suivante : on entre une valeur qui est temporairement affectée à la variable x (appelée variable locale), on calcule l’expression entre guillemets qui contient la variable locale et on affiche l’expression calculée. Pour activer la fonction en mode ALG, tapez le nom de la fonction suivi de l’argument entre parenthèses, par exemple : @@@H@@@ „Ü2`.
2 ⋅ x − 1, f (x) = 2 x − 1, x < 0 x > 0 La calculatrice comporte la fonction IFTE (IF-Then-Else) qui permet de décrire de telles fonctions. Fonction IFTE La fonction ITFE s’écrit IFTE(condition, opération_si_vrai, opération_si_faux) Si la condition est vraie alors l’opération_si_vrai est appliquée, sinon opération_si_faux est appliquée. Par exemple, on peut écrire ‘f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’, pour exprimer la fonction décrite plus haut.
− x, x < −2 x + 1, − 2 ≤ x < 0 g ( x) = x − 1, 0 ≤ x < 2 x2 , x ≥ 2 vous pouvez combiner plusieurs niveaux de fonctions IFTE, de la façon suivante : ‘g(x) = IFTE(x<-2, -x, IFTE(x<0, x+1, IFTE(x<2, x-1, x^2)))’, Trouvez cette fonction en utilisant n'importe quelle méthode ci-dessus et vérifiez que : g(-3) = 3, g(-1) = 0, g(1) = 0, g(3) = 9.
Chapitre 4 Calculs avec des nombres complexes Ce chapitre montre des exemples de calculs et d’applications de fonctions à des nombres complexes. Définitions Un nombre complexe z s’écrits z = x + iy, où x et y sont des nombres réels et i est l'unité imaginaire définie par i2 = -1. Le nombre complexe x+iy a une partie réelle, x = Re(z) et une partie imaginaire, y = Im(z).
Appuyez deux fois sur @@OK@@ afin de retourner à la pile. Saisie de nombres complexes On peut saisir des nombres complexes dans la calculatrice dans l’une des deux représentations cartésiennes, à savoir : x+iy ou (x,y). Les résultats seront affichés sur la calculatrice sous le format d'une paire ordonnée, c’est-à-dire, (x,y). Par exemple, si la calculatrice est en mode ALG, le nombre complexe (3.5,-1.2) est saisi de la façon suivante : „Ü3.5‚í\1.
Notez que la dernière entrée indique un nombre complexe de la forme x+iy. Ceci car le nombre est entré entre deux apostrophes, ce qui indique une expression algébrique. Pour faire l'opération, nous utilisons la touche EVAL (µ). Une fois que l'expression algébrique est évaluée, vous obtenez le nombre complexe (3.5,1.2). Représentation polaire d’un nombre complexe Le résultat illustré ci-dessus montre une représentation Cartésienne (rectangulaire) du nombre complexe 3.5-1.2i.
nombre complexe z = 5.2e1.5i peut être saisi comme suit (les illustrations montrent la pile RPN avant et après avoir saisi le nombre) : Parce que le système coordonné est configuré sur rectangulaire (ou cartésien) la calculatrice convertit automatiquement le nombre saisi en coordonnées cartésiennes, c'est-à-dire: x = r cos θ, y = r sin θ, égal, dans ce cas, à (0.3678…, 5.18…).
(3-i) (2-4i) = (2,-14) (5-2i)/(3+4i) = (0.28,-1.04) 1/(3+4i) = (0.12, -0.16) Notes: Le produit de deux nombres est représenté par : (x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2 - y1y2) + i (x1y2 + x2y1).
Autres opérations Les opérations telles que la magnitude, l'argument, les parties réelle et imaginaire et le conjugué complexe sont accessibles avec les menus CMPLX décrits ci-dessous. Les menus CMPLX Il existe deux menus CMPLX (Nombres CoMPLeXes) sur la calculatrice. L’un est disponible en passant par le menu MTH (expliqué au Chapitre 3) et l’autre reste directement accessible par le clavier (‚ß). Les deux menus CMPLX sont présentés ci-dessous.
SIGN(z) : Calcule un nombre complexe de magnitude unitaire z/|z|. NEG : Change le signe de z CONJ(z) : Produit le complexe conjugué de z Des exemples d’applications de ces fonctions sont illustrés ci-dessous. Se souvenir que pour le mode ALG, la fonction doit précéder l’argument, alors qu’en mode RPN, vous devez d’abord saisir l’argument avant de sélectionner la fonction.
Menu CMPLX accessible sur le clavier On peut accéder à un second menu CMPLX en utilisant l’option de la touche shift de droite associée à la touche 1, c’est-à-dire : ‚ß. En paramétrant l’indicateur de système 117 sur CHOOSE boxes, le menu CMPLX accessible par le clavier s’affiche comme sur les écrans suivants : Le menu qui en résulte comprend certaines fonctions déjà introduites dans les sections précédentes, à savoir ARG, ABS, CONJ, IM, NEG, RE et SIGN.
Note : Lorsque l’on utilise des fonctions trigonométriques et leurs inverses avec des nombres complexes, les arguments ne sont plus des angles. Par conséquent, la mesure angulaire sélectionnée pour la calculatrice n’a pas d’incidence sur le calcul de ces fonctions avec des arguments complexes. Pour comprendre la manière dont les fonctions trigonométriques et les autres fonctions s’appliquent aux nombres complexes, veuillez vous référer à un livre sur les variables complexes.
Fonction DROITE: équation d’une ligne droite La fonction DROITE prend pour argument deux nombres complexes (par ex. : x1+iy1 et x2+iy2) et retourne l’équation de la ligne droite (par ex. : y = a+bx), qui contient les points (x1,y1) et (x2,y2). Ainsi, la ligne passant entre les points A(5,-3) et B(6,2) peut être trouvée en procédant comme suit (en mode algébrique) : La fonction DROITE se trouve dans le catalogue de commandes (‚N).
Chapitre 5 L’algèbre et les opérations mathématiques Un objet algébrique, ou plus simplement un élément d’algèbre, est n’importe quel nombre, n’importe quelle variable ou n’importe quelle expression algébrique sur lesquels on peut effectuer des opérations, des manipulations et des combinaisons suivant les règles de l’algèbre. Voici ci-dessous quelques exemples d’objets algébriques : • Un nombre : 12.3, 15.2_m, ‘π’, ‘e’, ‘i’ • Un nom de variable : ‘a’, ‘ux’, ‘largeur’, etc.
Opérations simples avec les objets algébriques Les objets algébriques peuvent être additionnés, soustraits, multipliés ou divisés (sauf par zéro), élevés à une puissance, utilisés comme arguments dans de nombreuses fonctions courantes (fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques, hyperboliques etc.), comme on peut le faire avec n’importe quel nombre réel ou complexe. Afin de faire une démonstration des opérations de base avec des objets algébriques, nous allons créer deux objets, par ex.
@@A1@@ + @@A2@@ ` @@A1@@ - @@A2@@ ` @@A1@@ * @@A2@@ ` @@A1@@ / @@A2@@ ` ‚¹@@A1@@ „¸@@A2@@ On peut obtenir le même résultat en mode RPN en utilisant la combinaison de touches suivante : @@A1@@ ` @@A2@@ + @@A1@@ `@@A2@@ @@A1@@ ` @@A2@@ * @@A1@@ `@@A2@@ / @@A1@@ ` ‚¹ @@A2@@ `„¸ Fonctions du menu ALG Le menu ALG (Algébrique) est accessible en utilisant la séquence de touches, ‚× (associé à la touche ‚ ).
Plutôt que de faire une description détaillée de chaque fonction dans ce manuel, nous invitons l’utilisateur à consulter la description en utilisant la fonction d’aide de la calculatrice : I L @)HELP@ `. Afin de localiser une fonction particulière, saisir d’abord la première lettre de la fonction. Par exemple, pour la fonction COLLECT, nous saisissons ~c, puis utilisons les flèches haut et bas, —˜, pour localiser COLLECT dans la fenêtre d’aide. Pour terminer l’opération, appuyez sur @@OK@@.
Par la suite, nous laissons le lecteur explorer les applications des fonctions dans le menu ALG (ou ALGB).
SOLVE : SUBST : TEXPAND : Note: Rappelez-vous que, pour utiliser ces fonctions ou n’importe quelle autre fonction dans le mode RPN, vous devez d’abord saisir l’argument avant la fonction. Ainsi, l’exemple pour TEXPAND sera saisi en mode RPN comme suit : ³„¸+~x+~y` A ce stade, sélectionnez la fonction TEXPAND du menu ALG (ou directement dans le catalogue ‚N), pour terminer l’opération.
En mode RPN, on peut effectuer la même chose en saisissant d’abord l’expression dans laquelle la substitution doit être effectuée (x+x2), suivie par une liste (voir Chapitre 8) contenant la variable de substitution, un espace, et la valeur à substituer, c’est-à-dire {x 2}. L’étape finale consiste à appuyer sur la combinaison de touches suivante : ‚¦.
variables dans l’expression originale. Par exemple, en mode ALG, enregistrez les variables suivantes : Ensuite, saisissez l’expression A+B: La dernière expression saisie est automatiquement évaluée après avoir appuyé sur la touche ` ,ce qui produit le résultat montré ci-dessus.
Des informations et des exemples sur ces commandes sont disponibles dans la fonction d’aide de la calculatrice. Certaines des commandes listées dans le menu EXP&LN, c’est-à-dire LIN, LNCOLLECT et TEXPAND sont aussi contenues dans le menu ALG présenté précédemment. Les fonctions LNP1 et EXPM ont été introduites dans le menu HYPERBOLIC, dans le menu MTH (voir Chapitre 2). La seule fonction restante est EXPLN.
Ces fonctions permettent de simplifier des expressions en remplaçant certaines catégories de fonctions trigonométriques par d’autres. Par exemple, la fonction ACOS2S permet de remplacer la fonction arccosine (acos(x)) par son expression en termes de arcsine (asin(x)). La description de ces commandes ainsi que des exemples de leurs applications sont disponibles dans la fonction d’aide de la calculatrice (IL@HELP).
Nous présentons ensuite ci-dessous les entrées de la fonction d’aide pour les options 5 à 9 du menu ARITHMETIC : DIVIS: FACTORS: LGCD (Plus Grand Dénominateur Commun): PROPFRAC (fraction correcte): SIMP2: Les fonctions associées aux sous-menus de ARITHMETIC : INTEGER, POLYNOMIAL, MODULO et PERMUTATION sont les suivantes : Menu INTEGER EULER IABCUV IBERNOULLI ICHINREM IDIV2 IEGCD Nombre d’entiers o < n, copremiers avec n Résout au + bv = c, avec a,b,c = entiers nième nombre de Bernoulli Reste chinois p
IQUOT IREMAINDER ISPRIME? NEXTPRIME PA2B2 PREVPRIME Quotient euclidien de deux entiers Reste euclidien de deux entiers Teste si un nombre entier est un nombre premier Prochain nombre premier pour un entier donné Nombre premier comme norme au carré d’un nombre complexe Nombre premier précédant un entier donné Menu POLYNOMIAL ABCUV CHINREM CYCLOTOMIC DIV2 EGDC FACTOR FCOEF FROOTS GCD HERMITE HORNER LAGRANGE LCM LEGENDRE PARTFRAC PCOEF PTAYL QUOT RESULTANT REMAINDER STURM STURMAB Equation polynomiale de Béz
DIV2MOD EXPANDMOD FACTORMOD GCDMOD INVMOD MOD MODSTO MULTMOD POWMOD SUBTMOD Division euclidienne de 2 polynômes avec des coefficients modulaires Développe/simplifie un polynôme modulo le module actuel Factorise un polynôme modulo le module actuel GCD de 2 modules polynomiaux modulo le module actuel Inverse d'un entier modulo le module actuel (Aucune entrée disponible dans la fonction d’aide) Modifie les paramètres du module à la valeur spécifiée Multiplication de deux polynômes modulo le module actuel Elèv
quelconques, tous deux inférieurs à n, si j+k≥ n, alors j+k est définie comme j+k-n. Par exemple, dans le cas d’une horloge, à savoir pour n = 12, 6+9 “=” 3. Pour distinguer cette égalité des égalités arithmétiques infinies, le symbole ≡ est utilisé à la place du signe “=“ (égale) et la relation entre les nombres est appelée congruence plutôt qu’égalité. Par conséquent, pour l’exemple précédent nous écrirons 6+9 ≡ 3 (mod 12) et lirons cette expression ainsi “six plus neuf est congru à trois, modulo douze.
6*0 6*1 6*2 6*3 6*4 6*5 (mod (mod (mod (mod (mod (mod 12) 12) 12) 12) 12) 12) 0 6 0 6 0 6 6*6 (mod 12) 6*7 (mod 12) 6*8 (mod 12) 6*9 (mod 12) 6*10 (mod 12) 6*11 (mod 12) 0 6 0 6 0 6 Définition formelle d’un anneau arithmétique fini L’expression a ≡ b (mod n) est interprétée comme “a est congru à b, modulo n,” et est valable si (b-a) est un multiple de n.
Anneaux arithmétiques finis dans la calculatrice Depuis le début, nous avons défini nos opérations arithmétiques finies de telle sorte que les résultats soient toujours positifs. Le système arithmétique modulaire dans la calculatrice est paramétré de telle sorte que l’anneau de module n inclue les nombres -n/2+1, …,-1, 0, 1,…,n/2-1, n/2, si n est pair, et –(n-1)/2, -(n-3)/2,…,-1,0,1,…,(n-3)/2, (n-1)/2, si n est impair.
effectué, en les séparant par [ENTER] ou [SPC], puis appuyez sur la fonction d’arithmétique modulaire correspondante.
Dans les exemples d’opérations d’arithmétique modulaire présentés ci-dessus, nous avons utilisé des nombres qui n’appartiennent pas nécessairement à l’anneau, c’est-à-dire des nombres tels que 66, 125, 17, etc. La calculatrice convertit ces nombres en nombres de l’anneau avant de procéder au calcul. Vous pouvez aussi convertir n’importe quel nombre en nombre de l’anneau en utilisant la fonction EXPANDMOD.
Une application pratique de la fonction MOD à des fins de programmation est de déterminer quand un nombre entier est pair ou impair, puisque si n mod 2 = 0, si n est pair, et n mode 2 = 1, si n est impair. Elle peut aussi être utilisée pour déterminer quand un entier m est un multiple d’un autre entier n, car si tel est le cas m mod n = 0. Note: Se référer à l’option d’aide de la calculatrice pour la description et des exemples d’autres éléments d'arithmétique modulaire.
Arithmétique modulaire avec des polynômes De la même façon que nous avons défini un anneau arithmétique fini pour les nombres dans une section précédente, nous pouvons définir un anneau arithmétique fini pour les polynômes avec un polynôme donné comme module. Par exemple, nous pouvons écrire un certain polynôme P(X) comme P(X) = X (mod X2) ou un autre polynôme Q(X) = X + 1 (mod X-2).
+ V(X)*B(X). Par exemple, pour A(X) = X^2+1, B(X) = X^2-1, EGCD(A(X),B(X)) = {2, 1, -1}. c’est-à-dire 2 = 1*( X^2+1’)-1*( X^2-1). De même, EGCD(‘X^32*X+5’,’X’) = { 5, ‘-(X^2-2)’, 1}, c’est-à-dire 5 = – (X^2-2)*X + 1*(X^32*X+5). Fonction GCD La fonction GCD (Greatest Common Denominator, Plus grand dénominateur commun) peut être utilisée pour obtenir le plus grand dénominateur commun de deux polynômes ou de deux listes de polynômes de la même longueur.
Fonction HORNER La fonction HORNER effectue la division de Horner, ou division artificielle, d’un polynôme P(X) par le facteur (X-a). Les données d’entrée de la fonction sont les polynômes P(X) et le nombre a. La fonction retourne le quotient polynomial Q(X) qui résulte de la division de P(X) par (X-a), la valeur de a, et la valeur de P(a), dans cet ordre. En d’autres termes, P(X) = Q(X)(X-a)+P(a). Par exemple, HORNER(‘X^3+2*X^2-3*X+1’,2) = {‘X^2+4*X+5’, 2, 11}.
p1 ( x) = x − x2 x − x1 ( y − y2 ) ⋅ x + ( y2 ⋅ x1 − y1 ⋅ x2 ) ⋅ y1 + ⋅ y2 = 1 x1 − x2 x2 − x1 x1 − x2 Vérifiez ce résultat avec la calculatrice : LAGRANGE([[ x1,x2],[y1,y2]]) = ‘((y1-y2)*X+(y2*x1-y1*x2))/(x1-x2)’. D’autres exemples : LAGRANGE([[1, 2, 3][2, 8, 15]]) = ‘(X^2+9*X-6)/2’ LAGRANGE([[0.5,1.5,2.5,3.5,4.5][12.2,13.5,19.2,27.3,32.5]]) = ‘-(.1375*X^4+ -.7666666666667*X^3+ - .74375*X^2 = 1.991666666667*X-12.92265625)’. Note: les matrices sont introduites au Chapitre 10.
Fonction PCOEF Dans une série contenant les racines d’un polynôme, la fonction PCOEF génère une série contenant les coefficients du polynôme correspondant. Les coefficients correspondent à la valeur, dans l’ordre décroissant, de la variable indépendante. Par exemple : PCOEF([-2,–1,0,1,1,2]) = [1. –1. –5. 5. 4. –4. 0.], qui représente le polynôme X6-X5-5X4+5X3+4X2-4X.
Par conséquent, nous pouvons écrire : (X3-2X+2)/(X-1) = X2+X-1 + 1/(X-1). Note : Vous pourriez obtenir le même résultat en utilisant PROPFRAC: PROPFRAC(‘(X^3-2*X+2)/(X-1)’) = ‘X^2+X-1 + 1/(X-1)’. Fonction EPSX0 et la variable du CAS EPS La variable ε (epsilon) est généralement utilisée dans les manuels de mathématiques pour représenter un très petit nombre. Le CAS de la calculatrice crée une variable EPS avec une valeur par défaut de 0.0000000001 = 10-10, quand vous utilisez la fonction EPSX0.
génère un polynôme de deuxième type d’ordre n dont la définition est Tn(X) = sin(n⋅arccos(X))/sin(arccos(X)). Exemple : TCHEBYCHEFF(3) = 4*X^3-3*X TCHEBYCHEFF(-3) = 4*X^2-1 Fractions Les fractions peuvent être développées et mises en facteur commun en utilisant les fonctions EXPAND et FACTOR dans le menu ALG (‚×).
Fonction PARTFRAC La fonction PARTFRAC décompose une fraction rationnelle en fractions partielles qui produisent la fraction originale. Par exemple : PARTFRAC(‘(2*X^6-14*X^5+29*X^4-37*X^3+41*X^2-16*X+5)/(X^57*X^4+11*X^3-7*X^2+10*X)’) = ‘2*X+(1/2/(X-2)+5/(X-5)+1/2/X+X/(X^2+1))’ Cette technique est utile pour calculer les intégrales (voir chapitre sur les calculs) des fractions rationnelles.
‘(X^6+8*X^5+5*X^4-50*X^3)/(X^7+13*X^6+61*X^5+105*X^4-45*X^3297*X^2-81*X+243)’ Fonction FROOTS La fonction FROOTS calcule les racines et les pôles d’une fraction. A titre d’exemple, si l’on applique la fonction FROOTS au résultat obtenu ci-dessus, on obtient : [1 -2 . -3 -5. 0 3. 2 1. -5 2.]. Le résultat indique les pôles suivis de leur multiplicité sous forme de nombre négatif et les racines suivies de leur multiplicité sous forme de nombre positif.
Le menu CONVERT et les opérations algébriques Le menu logiciel CONVERT peut être activé en utilisant la touche „Ú (la touche 6). Ce menu résume tous les menus de conversion de la calculatrice. La liste de ces menus est présentée ci-dessous : Les fonctions acessibles dans les sous-menus sont également présentées cidessous.
Menu de conversion UNITS (Option 1) Ce menu est le même que le menu UNITS obtenu en utilisant ‚Û. Les applications de ce menu sont discutées en détail au Chapitre 3. Menu de conversion BASE (Option 2) Ce menu est le même que le menu BASE obtenu en utilisant ‚ã. Les applications de ce menu sont discutées en détail dans le Chapitre 19. Menu de conversion TRIGONOMETRIC (Option 3) Ce menu est le même que le menu TRIG obtenu en utilisant ‚Ñ.
Les fonctions I R et R I sont utilisées pour convertir un nombre d’entier (I) à réel (R), ou vice versa. Les nombres entiers sont affichés sans point décimal, tandis que les nombres réels représentant des entiers seront affectés d’un point décimal, c'est-à-dire La fonction NUM a le même effet que la combinaison de touches ‚ï (associée à la touche ` ). La fonction NUM convertit un résultat symbolique en sa valeur à virgule flottante. La fonction Q convertit une valeur à virgule flottante en une fraction.
EXP2POW FDISTRIB LIN LNCOLLECT POWEREXPAND SIMPLIFY Page 5-32
Chapitre 6 Résolution d’équations singulières Dans ce chapitre, nous introduisons les fonctions de la calculatrice utiles pour résoudre des équations singulières du type f(X) = 0. Deux menus de fonctions de résolution d’équations sont associés à la touche 7, le menu de résolution symbolique “Symbolic SOLVer“ („Î) et le menu de résolution numérique “NUMerical SoLVer“ (‚Ï). Nous vous présentons ci-dessous certaines des fonctions contenues dans ces menus.
Fonction ISOL La fonction ISOL (Equation, variable) donnera la ou les solutions à une Equation en isolant une variable. Par exemple, avec la calculatrice paramétrée en mode ALG, pour trouver t dans l’équation at3-bt = 0 nous pouvons procéder comme suit : En utilisant le mode RPN, on trouvera la solution en saisissant l’équation dans la pile, suivie de la variable, avant d’entrer dans la fonction ISOL. Juste avant d’exécuter la fonction ISOL, la pile RPN doit ressembler à l’illustration de gauche.
Fonction SOLVE La fonction SOLVE utilise la même syntaxe que la fonction ISOL, sauf que SOLVE peut aussi être utilisée pour résoudre des équations polynomiales. L’entrée de la fonction d’aide de la calculatrice pour la fonction SOLVE, présentant la solution de l’équation X^4 – 1 = 3, est illustrée ci-dessous : Les exemples suivants montrent comment utiliser la fonction SOLVE en mode ALG et RPN : La saisie d’écran ci-dessus affiche deux solutions.
Les écrans RPN correspondants à ces deux exemples, avant et après application de la fonction SOLVE, sont illustrés ci-dessous : Utiliser la flèches vers le bas (˜) en ce mode lancera l'éditeur de ligne : Fonction SOLVEVX La fonction SOLVEVX résout une équation avec la variable par défaut du CAS contenue dans la variable réservée nommée VX. Par défaut, cette variable est paramétrée comme ‘X’.
L'équation qui tient lieu d'argument pour la fonction SOLVEVX doit être simplifiable en une expression rationelle. Par exemple, l'équation suivante ne sera pas acceptée par SOLVEVX : Fonction ZEROS La fonction ZEROS trouve les solutions d’équations polynomiales sans indiquer leur multiplicité. Cette fonction nécessite de saisir l’expression de l’équation et le nom de la variable qui doit être trouvée.
Menu de Résolution numérique La calculatrice offre un environnement très puissant pour résoudre des équations algébriques simples ou des équations transcendantes. Pour accéder à cet environnement, vous devez lancer le calculateur numérique " numerical solver" (NUM.SLV) en utilisant ‚Ï. Cela affiche un menu déroulant qui présente les options suivantes : L'option 2. Solve diff eq.. sera présentée dans un autre chapitre, avec les équations différentielles. L'option 4. Solve lin sys..
(3) Obtenir une expression algébrique pour le polynôme sous forme de fonction de X. Trouver les solutions d’une équation polynomiale Une équation polynomiale est une équation de forme : anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 = 0. Le théorème fondamental algébrique indique qu'il y a n solutions pour toutes les équations polynominals d'ordre n. De toute façon, il se peut que certaines des solutions soient des nombres complexes. Par exemple, résolvons l’équation : 3s4 + 2s3 - s + 1 = 0.
Toutes les solutions sont des nombres complexes: (0.432,0.389), (-0.766, 0.632), (-0.766, -0.632). (0.432,-0.389), Note: N’oubliez pas que les nombres complexes sont représentés dans la calculatrice en paires ordonnées, le premier nombre de la paire étant la partie réelle et le deuxième nombre, la partie imaginaire. Par exemple, le nombre (0.432,-0.389), un nombre complexe, s’écrira normalement comme 0.432 - 0.389i, où i est l’unité imaginaire. Ainsi : i2 = -1.
Appuyez sur ˜pour enclencher l’éditeur de lignes afin de voir tous les coefficients. Note: Si vous voulez obtenir un polynôme avec des coefficients réels, en n’ayant que les racines complexes, vous devez inclure les racines complexes en paires de nombres conjugués. Pour illustrer ce point, générez un polynôme ayant pour racines [1 (1,2) (1,-2)]. Vérifiez que le polynôme résultant n’a que des coefficients réels.
Pour générer l’expression algébrique en utilisant les racines, essayer de suivre l’exemple suivant. Supposons que les racines polynomiales sont [1,3,-2,1]. Utiliser la combinaison de touches suivante : ‚Ϙ˜@@OK@@ ˜„Ô1‚í3 ‚í2\‚í 1@@OK@@ ˜@SYMB@ ` Sélectionner Solve poly… Saisir le vecteur de racines Générer l’expression symbolique Retour à la pile L’expression ainsi générée est indiquée dans la pile sous la forme suivante : '(X-1)*(X-3)*(X+2)*(X-1)'.
opérations dans cet environnement de calcul, certaines définitions sont nécessaires pour comprendre les opérations financières dans la calculatrice. Définitions Souvent, pour développer des projets, il est nécessaire d’emprunter de l’argent auprès d’un organisme financier ou de fonds publics. Le montant emprunté est appelé la Valeur Présente (PV). Cet argent doit être remboursé en n périodes (généralement des multiples ou sous-multiples d’un mois) assujeties à un taux d’intérêt annuel de I%YR.
— š @@SOLVE! Mettre PMT en surbrillance et résoudre L’affichage est le suivant : L’écran montre maintenant la valeur de PMT–39,132.30, Cela signifie que l’emprunteur doit payer au prêteur US $ 39,132.30 à la fin de chaque mois pendant 60 mois pour rembourser le montant total. Si la valeur de PMT s’affiche comme négative, c’est que la calculatrice calcule le montant du point de vue de l’emprunteur. L’emprunteur a +US$ 2,000,000.
Cet écran s’interprète comme suit : après 24 mois de remboursement de la dette, l’emprunteur a payé US $ 723,211.43 sur le montant principal emprunté et US $ 215,963.68 d’intérêts. L’emprunteur doit encore rembourser un solde de US $1,276,788.57 sur les 36 prochains mois. Vérifiez ce qui se passe si vous le remplacez par 60 à l’entrée Payments: de l’écran amortissement puis appuyez sur @@OK@@ @@AMOR@@.
L’écran affiche maintenant la valeur de PMT–38,921.47. Cela signifie que l’emprunteur doit payer au prêteur $ 38,921.48 au début de chaque mois pour les 60 prochains mois afin de rembourser le montant total. Notez que le montant que l’emprunteur paie mensuellement en début de la période de remboursement est légèrement inférieur à celui payé à la fin de la période de paiement.
³ ‚@I©YR@ ™ ‚í ³ ‚@@PV@@ ™ ‚í ³ ‚@@PMT@@ ™ ‚í ³ ‚@@PYR@@ ™ ‚í ³ ‚@@FV@@. ` Entrez le nom de la variable I%YR Entrez une virgule Entrez le nom de la variable PV Entrez une virgule Entrez le nom de la PMT Entrez une virgule Entrez le nom de la variable PYR Entrez une virgule Entrez le nom de la variable FV Exécutez la commande PURGE Les deux saisies d’écran suivantes montrent la commande PURGE permettant de purger toutes les variables du répertoire et le résultat après avoir exécuté la commande.
Résoudre des équations à une inconnue avec NUM.SLV Le menu de la calculatrice NUM.SLV offre l’option 1. Solve equation.. qui résout différents types d’équations à une seule variable, y compris les équations algébriques non linéaires et les équations transcendantes. Par exemple, résolvons l’équation : ex-sin(πx/3) = 0. Saisir simplement l’expression comme un objet algébrique et l’enregistrer dans la variable EQ.
L’équation que nous avons enregistrée dans la variable EQ est déjà chargée dans le champ Eq du formulaire de saisie SOLVE EQUATION. De même, un champ marqué x est prévu. Pour résoudre l’équation, tout ce que vous avez à faire, c’est de mettre en surbrillance le champ en face de X en utilisant ˜ et d'appuyer sur @SOLVE@. La solution affichée est X: 4.5006E-2: Cependant, il ne s’agit pas de la seule solution possible pour cette équation.
La calculatrice utilise un algorithme pour délimiter un intervalle pour lequel la fonction change de signe, ce qui indique l’existence d’une racine ou d’une solution. Elle utilise ensuite une méthode numérique pour trouver la solution par convergence. La solution que la calculatrice cherche est déterminée par la valeur initiale présente dans le champ " inconnue". Si aucune valeur n’est saisie, la calculatrice utilise la valeur par défaut de zéro.
A ce stade, conformez-vous aux instructions du Chapitre 2 sur la façon d’utiliser l’Editeur d’équation pour construire une équation. L’équation à saisir dans le champ Eq peut soit se présenter comme suit (notez que nous n’utilisons qu’un seul sous-index pour nous référer aux variables, c’est-à-dire : exx se traduit par ex etc.
La solution peut être lue dans le formulaire de saisie SOLVE EQUATION en appuyant sur @EDIT tandis que le champ ex: est en surbrillance. La valeur du résultat est 2.470833333333E-3. Appuyez sur @@@OK@@ pour quitter la fonction EDIT. Supposons que vous vouliez maintenant déterminer le module de Young qui produirait une déformation exx = 0.005 sous les mêmes contraintes, en négligeant l’expansion thermique. Dans ce cas, vous devez saisir la valeur 0.
y 1 m b Nous pouvons saisir l’équation pour E telle que montrée ci-dessus et utiliser des variables auxiliaires pour A et V, de telle sorte que le formulaire de saisie résultant affiche les champs suivants pour les variables fondamentales y, Q, g, m et b : • D’abord, créez un sous-répertoire appelé SPEN (SPecific ENergy) et travaillez dans ce sous-répertoire. • Ensuite, définissez les variables suivantes : • Lancez la résolution numérique pour résoudre les équations : ‚Ï@@OK@@.
• Résoudre y. Le résultat est 0.149836.., à savoir : y = 0.149836. • On sait cependant qu’il existe en fait deux solutions pour y pour une équation d’énergie spécifique. La solution que nous venons de trouver correspond à la solution numérique avec une valeur initiale de 0 (la valeur par défaut pour y, à savoir chaque fois que le champ de solution est vide, la valeur par défaut est zéro).
Dans les exemples suivants, nous allons utiliser la fonction DARCY pour trouver les facteurs de friction dans des tuyaux. Par conséquent, nous allons définir la fonction dans le cadre suivant. Fonction spéciale pour les flux dans les tuyaux : DARCY (ε/D,Re) L’équation de Darcy-Weisbach est utilisée pour calculer la perte d’énergie (par unité de poids), hf, d’un flux dans un tuyau de diamètre D, de rugosité absolue ε et de longueur L quand la vélocité du flux dans le tuyau est V. L’équation s’écrit.
Le résultat est f = DARCY (0.0001,1000000) = 0.01341… FANNING (ε/D,Re) Dans les applications aérodynamiques, on utilise un facteur de friction différent, le facteur de friction de Fanning. Le facteur de friction de Fanning, fF, est défini comme 4 fois le facteur de friction de Darcy-Weisbach, f. La calculatrice fournit aussi une fonction appelée FANNING qui utilise la même donnée d’entrée que DARCY, à savoir ε/D et Re, et calcule le facteur de friction de Fanning. Vérifiez que FANNING(0.0001,1000000) = 0.
Dans ce cas, nous avons enregistré l’équation principale (Equation de DarcyWeisbach) dans EQ, puis avons remplacé plusieurs de ces variables par d’autres expressions par le biais de la définition des variables f, A, V et Re. Pour voir l’équation combinée, utilisez EVAL(EQ).
Supposons que nous utilisions les valeurs hf = 2 m, ε = 0.00001 m, Q = 0.05 m3/s, Nu = 0.000001 m2/s, L = 20 m et g = 9.806 m/s2, trouvez alors le diamètre D. Saisir les valeurs et résoudre D. La solution est : 0.12, à savoir D = 0.12 m. Si l’équation s’applique à en termes de dimensions, vous pouvez ajouter des unités aux valeurs de saisie, comme illustré ci-dessous. Cependant, vous devez ajouter ces unités à la supposition initiale dans la solution.
Nous pouvons trouver n’importe quel terme de cette équation (sauf G) en saisissant l’équation comme suit : Cette équation est ensuite enregistrée dans EQ: En lançant la résolution numérique pour cette équation, un formulaire de saisie s’affiche avec des champs de saisie pour F, G, m1, m2 et r. Résolvons le problème en utilisant des unités avec les valeurs suivantes pour les variables connues m1 = 1.0×106 kg, m2 = 1.0×1012 kg, r = 1.0×1011 m.
Résoudre F et appuyer pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. La solution est F : 6.67259E-15_N, ou F = 6.67259×10-15 N. Note: Lorsque vous utilisez des unités dans la résolution numérique, assurezvous que toutes les variables ont les unités appropriées, que les unités sont compatibles et que l’équation est homogène en termes de dimensions.
Saisir une équation, disons X^2 - 125 = 0 directement dans la pile, et appuyer sur @@@OK@@@. A ce stade, l’équation est prête à être résolue. Alternativement, vous pouvez activer l’Editeur d’équation après avoir appuyé sur @EDIT pour saisir votre équation. Appuyez sur ` pour retourner à l’écran de la résolution numérique. Une autre façon de saisir une équation dans la variable EQ est de sélectionner des variables déjà existantes dans votre répertoire et de les saisir dans EQ.
Appuyez sur @@@OK@@@ après avoir sélectionné EQ1 pour la charger dans la variable EQ de la résolution. La nouvelle équation est prête à être résolue. Le menu SOLVE Le menu logiciel SOLVE donne accès à certaines des fonctions de résolution numérique par l’intermédiaire des touches de menu. Pour accéder à ce menu en mode RPN : 74 MENU, ou en mode ALG : MENU (74). Alternativement, vous pouvez utiliser ‚(maintenir) 7 pour activer le menu logiciel SOLVE.
supposition initiale au niveau 1. Les saisies d’écran montrent la pile RPN avant et après application de la fonction @ROOT: En mode ALG mode, vous utiliserez ROOT(‘TAN(θ)=θ’,’θ’,5) pour activer la fonction ROOT : La variable EQ La touche menu @@EQ@@ dans ce sous-menu est utilisée comme référence à la variable EQ. Appuyer sur cette touche menu revient à utiliser la fonction RCEQ (ReCall EQ).
maintenant : t: 4.0000000003. Pour vérifier ce résultat, appuyez sur la touche menu désignée par EXPR=, qui évalue l’expression dans EQ pour la valeur courante de t. Les résultats dans ce cas sont Pour quitter l’environnement SOLVR, appuyez sur J. L’accès au menu SOLVE est perdu à ce stade, aussi vous devez l’activer une fois de plus (comme cela a été expliqué précédemment) pour continuer les exercices suivants.
Vous pouvez aussi résoudre plus d’une équation, en les résolvant l’une après l’autre et en répétant le processus jusqu’à ce que la solution soit trouvée. Par exemple, si vous saisissez la liste d’équations suivante dans la variable EQ: { ‘a*X+b*Y = c’, ‘k*X*Y=s’}, la combinaison de touches @)ROOT @)SOLVR, dans le menu logiciel SOLVE ferra s’afficher l’écran suivant : La première équation, à savoir a*X + b*Y = c, sera affichée dans la partie supérieure de l’écran.
pour la seconde, jusqu’à ce que les valeurs de X et de Y convergent. Pour vous déplacer d’équation en équation, appuyer sur @NEXQ. Pour résoudre X et Y, utilisez „[ X ] et „[ Y ], respectivement. La séquence de solutions suivante s’affiche : Après avoir résolu les deux équations, à tour de rôle, nous notons que, jusqu’à la troisième décimale, X converge à une valeur de 7.500, tandis que Y converge à une valeur de 0.799.
Ces fonctions sont présentées en détails au Chapitre 16. Le sous-menu POLY Le sous-menu POLY effectue des opérations sur les polynômes. Les fonctions disponibles sont les suivantes : Fonction PROOT Cette fonction est utilisée pour trouver les racines des polynômes à partir d’un vecteur contenant les coefficients polynomiaux par ordre décroissant des puissances de la variable indépendante.
Ces fonctions sont présentées en détails au Chapitre 11. Le sous-menu TVM Le sous-menu TVM contient des fonctions pour calculer la Valeur Temporelle de l’Argent. Il s’agit d’une autre méthode pour résoudre les problèmes FINANCIERS (voir Chapitre 6). Les fonctions disponibles sont les suivantes : Le sous-menu SOLVR Le sous-menu SOLVR dans le sous-menu TMV lance la résolution pour les problèmes TMV.
Fonction TVMROOT Cette fonction nécessite comme argument le nom d’une des variables du problème TVM. La fonction retourne la solution de cette variable, à supposer que les autres variables existent et que des valeurs aient été enregistrées auparavant. Par exemple, ayant résolu le problème TVM ci-dessus, nous pouvons résoudre ‘N’ comme suit : [ ‘ ] ~n` @TVMRO. Le résultat est 10.
Chapitre 7 Résolution d’équations multiples De nombreux problèmes de sciences ou d’ingénierie nécessitent la résolution simultanée de plusieurs équations. La calculatrice propose plusieurs procédures pour résoudre des équations multiples qui sont présentées cidessous. Veuillez noter qu’aucune discussion sur la façon de résoudre des systèmes d’équations linéaires n’est présentée dans le présent chapitre.
A ce stade, nous n’avons besoin que d'appuyer à deux reprises sur K pour enregistrer ces variables. Pour procéder à la résolution, commencez par changer le mode du CAS en passant à Exact, puis faites la liste des contenu de A2 et A1, dans cet ordre : @@@A2@@@ @@@A1@@@ . Utilisez la commande SOLVE à ce stade (à partir du menu S.SLV : „Î).
Exemple 2 - Contraintes sur un cylindre à paroi épaisse Considérons un cylindre à paroi épaisse avec un rayon interne a et b, respectivement, soumis à une pression interne Pi et une pression externe Po.
Notez que nous utilisons le mode RPN dans cet exemple, mais la procédure en mode ALG serait très similaire. Créer l’équation pour σθθ: J@@@T1@@@ @@T2#@@ + ~‚s ~‚t ` ™ ‚Å Créer l’équation pour σrr: : J@@@T1@@@ @@T2#@@ - ~‚s ~„r ` ™ ‚Å Assemblez un vecteur avec les deux équations en utilisant la fonction ARRY (vous la trouverez en utilisant la commande catalogue ‚N) après avoir saisi un 2 : Supposons maintenant que vous vouliez résoudre Pi et Po, données par a, b, r, σrr, et σθθ.
Ces deux exemples constituent des systèmes d’équations linéaires qui peuvent être traités aussi bien avec la fonction LINSOLVE (voir Chapitre 11). L’exemple suivant montre la fonction SOLVE appliquée à un système d’équations polynomiales.
Exemple 1 - Exemple de la fonction d’aide Comme pour toutes les entrées relatives aux thèmes de la fonction d’Aide, un exemple est rattaché à l’entrée MSLV, comme illustré ci-dessous. Notez que la fonction MSLV nécessite trois arguments : 1. Un vecteur contenant les équations, à savoir ‘[SIN(X)+Y,X+SIN(Y)=1]’ 2. Un vecteur contenant les variables à trouver, à savoir ‘[X,Y]’ 3.
Exemple 2 - Entrée d’un lac dans un écoulement à surface libre Ce problème particulier de flux à surface libre nécessite la résolution simultanée de deux équations, l’équation d’énergie et l’équation de Cu A 5 / 3 V2 Manning : .
Pour voir les équations originales, EQ1 et EQ2, en termes de variables primaires énumérées ci-dessus, nous pouvons utiliser la fonction EVAL appliquée à chaque équation, à savoir µ@@@EQ1@@ µ @@@EQ2@@. Les équations sont affichées dans la pile comme suit (petite police d’affichage) : Nous pouvons voir que ces équations sont en effet données en termes de variables primaires b, m, y, g, So, n, Cu, Q et Ho. Afin de résoudre y et Q, nous devons donner des valeurs aux autres variables.
Nous sommes maintenant prêts à résoudre l’équation. Tout d’abord, nous devons mettre les deux équations ensemble dans un vecteur. Nous pouvons le faire en enregistrant le vecteur dans une variable que nous appellerons EQS (EQuationS): Comme valeurs initiales des variables y et Q, nous utiliserons y=5 (égal à la valeur de Ho, qui est la valeur maximale que y peut prendre) et Q = 10 (il s’agit d’une supposition). Pour obtenir la solution, nous sélectionnons la fonction MSLV dans le menu NUM.
‚í„Ô~„y‚í~q™ et des suppositions initiales ‚í„Ô5‚í 10. Avant d’appuyer sur `, l’écran doit se présenter comme suit : Appuyez sur ` pour résoudre le système d’équations. Il se peut, si votre mesure angulaire n’est pas paramétrée en radians, que vous voyiez s’afficher la requête suivante : Appuyez sur @@OK@@ et autorisez le processus de résolution à continuer.
Le résultat est une liste de trois vecteurs. Le premier vecteur dans la liste contient les équations résolues. Le deuxième vecteur est la liste des inconnues. Le troisième vecteur représente la solution. Afin de pouvoir voir ces vecteurs, appuyez sur la touche directionnelle vers le bas ˜ pour activer l’éditeur de ligne. Le résultat apparaîtra comme indiqué ci-dessous : La solution suggérée est [4.9936.., 20.661…]. Cela signifie que y = 4.99 ft et Q = 20.661 ft3/s.
Considérons le triangle ABC illustré ci-dessous. C ｙ a B β b c α A La somme des angles intérieurs d’un triangle quelconque est toujours 180o, à savoir α + β + γ = 180o. La loi des sinus indique que : sin α sin β sin γ = = . a b c La loi des cosinus indique que : a2 = b2 + c2 – 2⋅b⋅c⋅cos α, b2 = a2 + c2 – 2⋅a⋅c⋅cos β, c2 = a2 + b2 – 2⋅a⋅b⋅cos γ. Afin de résoudre le problème pour n’importe quel triangle, vous devez connaître au moins trois des six variables suivantes : a, b, c, α, β, γ.
cependant, que la résolution MES ne résout pas les équations simultanément. Au contraire, il prend les variables connues, et cherche ensuite dans une liste d’équations jusqu’à ce qu’il en trouve une qui puisse être résolue pour l’une des variables inconnues. Puis il cherche une autre équation qui peut être résolue pour l’inconnue suivante et ceci jusqu’à ce que toutes les inconnues aient été trouvées.
La variable EQ contient la liste des équations qui seront passées en revue par la résolution MES lorsqu’elle essaiera de résoudre les inconnues.
Ensuite, nous voulons conserver dans la pile le contenu de TITLE et LVARI, en utilisant : !@TITLE @LVARI! Nous allons utiliser les fonctions suivantes de la résolution MES • MINIT : MES INITialisation: initialise les variables des équations enregistrées dans EQ. • MITM : MES’ Menu Item: Prend un titre du niveau 2 de la pile et la liste de variables au niveau 1 de la pile et place le titre en haut de la fenêtre MES et la liste de variables comme touches de menu dans l’ordre indiqué par la liste.
Essayons une solution simple du Cas I en utilisant a = 5, b = 3, c = 5. Utilisez les valeurs suivantes : 5[ a ] a:5 est affichée dans le coin supérieur gauche de l’écran. 3[ b ] b:3 est affichée dans le coin supérieur gauche de l’écran. 5[ c ] c:5 est affichée dans le coin supérieur gauche de l’écran. Pour trouver les angles, utiliser : „[ α ] La calculatrice annonce Résoudre pour α et indique le résultat α: 72.5423968763.
Note: Lorsqu’une solution est trouvée, la calculatrice annonce les conditions pour la solution soit sous forme de zéro soit en signalant : Changement de Signe. D’autres messages peuvent s’afficher si la calculatrice a du mal à trouver la solution. En appuyant sur „@@ALL@@ la calculatrice cherchera toutes les variables, en montrant temporairement les résultats intermédiaires. Appuyez sur ‚@@ALL@@ pour visualiser ces solutions : Quand vous avez terminé, appuyez sur $ pour retourner à l’environnement MES.
1. Créer une liste contenant { EQ Mpar LVARI TITLE } en utilisant : „ä @@@EQ@@@ @Mpar! !@LVARI @@TITLE ` 2. Placer le contenu de LVARI dans la pile en utilisant : @LVARI. 3. Assembler les deux listes en appuyant sur +. Utiliser la fonction ORDER (utiliser le catalogue de commandes ‚N) pour ranger les variables comme présentées dans la liste de la pile de niveau 1. 4. Appuyez sur J pour récupérer votre liste de variables. Elle devrait maintenant se présenter comme suit : 5.
Utilisation du programme – exemples de solution Pour lancer le programme, appuyez sur la touche de menu @TRISO. Vous avez maintenant le menu MES correspondant à la solution du triangle. Essayons les exemples des trois cas énumérés plus tôt pour la résolution de problèmes du triangle. Exemple 1 – Triangle rectangle Utilisez a = 3, b = 4, c = 5. Voici la séquence pour obtenir la solution : 3[ a ] 4 [ b ] 5[ c ] Pour saisir les données „[ α ] Le résultat est α: 36.8698976458 „[ β ] Le résultat est β: 53.
Le point carré dans @VALU indique que les valeurs des variables, plutôt que les équations pour lesquelles elles ont été trouvées, sont affichées à l’écran. Pour voir les équations utilisées pour la résolution de chaque variable, appuyez sur la touche menu @EQNS@. L’affichage est le suivant : La touche de menu @PRINT est utilisée pour imprimer l’écran sur une imprimante, si besoin est. Et @EXIT vous ramène à l’environnement MES pour une nouvelle résolution, si nécessaire.
pour lancer la résolution d’un problème impliquant un triangle. Vous voudrez peut-être saisir dans le programme suivant : <<“Appuyer sur [TRISO] pour lancer.“ MSGBOX >> et l’enregistrer dans la variable appelée INFO. Comme résultat, la première variable de votre répertoire sera le bouton @INFO.
LIST = une liste de variables utilisées dans les calculs, placées dans l’ordre dans lequel vous voulez qu’elles apparaissent dans l’environnement de la résolution ; PEQ = liste des équations à résoudre, correspondant aux composantes radiales et traverses de la vélocité (vr, vθ) et de l’accélération (ar, aθ) en coordonnées polaires, ainsi que les équations pour calculer la magnitude de la vélocité (v) et l’accélaration (a) quand les composants polaires sont connus.
maintenant saisi les variables connues. Pour calculer les inconnues, vous pouvez procéder de deux manières : a). Résoudre les variables individuelles, par exemple „[ vr ] donne vr: 0.500. Appuyez sur L„[ vθ ] pour obtenir vθ : 5.750 et ainsi de suite. Les résultats restant sont v: 5.77169819031; ar: -14.725; aθ: 13.95; et a: 20.2836911089.; OU b). Résoudre toutes les variables à la fois, en appuyant sur „@ALL!. La calculatrice ferra clignoter les solutions au fur et à mesure qu’elle les trouve.
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Chapitre 8 Opérations avec les listes Les listes sont un type d’objets de la calculatrice qui peut être utile pour le traitement de données et la programmation. Ce chapitre présente des exemples d’opérations avec des listes. Définitions Une liste, dans le contexte de la calculatrice, est une série d’objets entre parenthèses et séparés par des espaces (#), en mode RPN, ou par des virgules (‚í), dans les deux modes.
L’illustration à gauche présente l’écran avant d’appuyer sur `, tandis que celle de droite montre l’écran après avoir enregistré la liste dans L1. Notez qu’avant d’appuyer sur ` la liste montre les virgules séparant ses éléments. Cependant, après avoir appuyé sur `, les virgules sont remplacées par des espaces.
puis utilisez les touches directionnelles haut et bas (—˜) pour localiser la fonction LIST).
Addition, soustraction, multiplication, division La multiplication et la division d’une liste par un nombre unique sont appliqués à toute la liste, par exemple : La soustraction d’un nombre unique à une liste produira la soustraction du même nombre de chacun des éléments de la liste, par exemple : L’addition d’un nombre unique à une liste ajoutera ce nombre à la liste, sans additionner ce même nombre à chacun des éléments de la liste.
La division L4/L3 produira une infinité d’entrées parce que l’un des éléments de la liste L3 est zéro. Si les listes concernées sont de longueur différente, un message d’erreur s’affiche (Error : Invalid Dimensions). Le signe plus (+), lorsqu’il est appliqué à des listes, joue le rôle d’opérateur de concaténation et rassemble les deux listes plutôt que de procéder à l’addition terme par terme.
LOG et ANTILOG SQ et racine carrée SIN, ASIN COS, ACOS TAN, ATAN INVERSE (1/x) Fonctions réelles dans le menu MTH Les fonctions intéressantes dans le menu MTH incluent dans le menu HYPERBOLIC : SINH, ASINH, COSH, ACOSH, TANH, ATANH et dans le menu REAL : %, %CH, %T, MIN, MAX, MOD, SIGN, MANT, XPON, IP, FP, RND, TRNC, FLOOR, CEIL, D R, R D.
TANH, ATANH SIGN, MANT, XPON IP, FP FLOOR, CEIL D R, R D Exemples de fonctions utilisant deux arguments Les saisies d’écran ci-dessous montrent des applications de la fonction % à des arguments listes. La fonction % nécessite deux arguments. Les deux premiers exemples illustrent des cas pour lesquels un seul des deux arguments est une liste. Les résultats sont des listes où la fonction % à été distribuée suivant l’argument liste.
Dans l’exemple suivant, les deux arguments de la fonction % sont des listes de la même taille. Dans ce cas, une distribution terme à terme des arguments est effectuée, comme, par ex. : %({10,20,30},{1,2,3}) = {%(10,1),%(20,2),%(30,3)} Cette description de la fonction % à des arguments liste montre le schéma général d’évaluation de toute fonction avec deux arguments lorsque l’un ou les deux sont des listes.
L’exemple suivant montre des applications des fonctions RE (partie réelle), IM (partie imaginaire), ABS (magnitude) et ARG (argument) de nombres complexes. Les résultats sont des listes de nombres réels : Listes d’objets algébriques Les exemples suivants présentent des listes d’objets algébriques lorsque la fonction SIN leur a été appliquée : Le menu MTH/LIST Le menu MTH propose une série de fonctions qui s’appliquent exclusivement aux listes.
Ensuite, l’indicateur système 117 est paramétré sur menus SOFT : Ce menu contient également les fonctions suivantes : ∆LIST ΣLIST ΠLIST SORT REVLIST ADD : : : : : : Calcule un incrément parmi les éléments consécutifs d’une liste Calcule la somme des éléments d’une liste Calcule le produit des éléments d’une liste Trie les éléments dans l’ordre croissant Inverse l’ordre de la liste Opérateur pour l’addition terme à terme de deux listes de même longueur (des exemples du fonctionnement de cet opérateur ont
Manipulation des éléments d’une liste Le menu PRG (programmation) comprend un sous-menu LIST avec plusieurs fonctions qui servent à manipuler les éléments d’une liste. Indicateur système 117 étant en position CHOOSE boxes : Le sous-menu 1. ELEMENTS..
fonction GET sont la liste et le nombre d’éléments que vous voulez extraire. Pour insérer un élément dans une liste, utilisez la fonction PUT (également disponible dans le sous-menu PRG/LST/ELEMENTS). Les arguments de la fonction PUT désignent la liste, l’emplacement de l’élément que vous souhaitez remplacer et la valeur qui sera substituée.
Fonction SEQ Le point de sous-menu 2. PROCEDURES.. dans le menu PRG/LIST contient les fonctions suivantes qui peuvent être utilisées pour manipuler des listes. Les fonctions REVLIST et SORT ont été introduites en tant que parties du menu MTH/LIST. Les fonctions DOLIST, DOSUBS, NSUB, ENDSUB et STREAM sont conçues comme des fonctions de programmation pour manipuler des listes en mode RPN.
La liste produite correspond aux valeurs {12, 22, 32, 42}. En mode RPN, vous pouvez faire une liste des différents arguments de la fonction comme suit : avant d’appliquer la fonction SEQ. Fonction MAP La fonction MAP, disponible par l’intermédiaire du catalogue (‚N), prend comme arguments une liste de nombres et une fonction f(X) ou un programme de la forme << a … >>, et produit une liste consistant en l’application de la fonction f ou du programme à la liste de nombres.
Nous pouvons utiliser des listes (à savoir les variables L1 et L2 définies plus tôt dans ce chapitre) pour évaluer la fonction, ce qui nous donne : Puisque la définition de la fonction ne contient pas d’additions, l’application de la fonction à des arguments liste est simple.
Ensuite, nous enregistrons l’expression éditée dans la variable @@@G@@@: L’évaluation de G(L1, L2) produit maintenant le résultat suivant : Comme alternative, nous pouvons définir la fonction avec ADD plutôt qu’avec le signe plus (+), dès le départ, ce qui revient à utiliser l’expression : DEFINE('G(X,Y)=(X ADD 3)*Y') : Vous pouvez aussi définir la fonction comme G(X,Y) = (X--3)*Y. Applications des listes Cette section montre quelques applications de listes au calcul de statistiques d’un échantillon.
Moyenne harmonique d’une liste Cet échantillon est suffisamment petit pour que nous puissions compter le nombre d’éléments à l’écran (n=10). Pour une liste plus grande, nous pouvons utiliser la fonction SIZE pour obtenir ce nombre, soit : Supposons que nous voulions calculer la moyenne harmonique d’un échantillon, défini par sh = 1 1 1 ∑ n k =1 s n n = 1 1 1 1 1 + + L + n s1 s 2 sn . Pour calculer cette valeur, nous pouvons suivre la procédure suivante : 1.
3. Divisez le résultat ci-dessus par n = 10: 4. Appliquez la fonction INV() au dernier résultat : Par conséquent, la moyenne harmonique de la liste S est sh = 1.6348… Moyenne géométrique d’une liste La moyenne géométrique d’un échantillon est définie par xg = n n ∏x k =1 k = n x1 ⋅ x 2 L x n Pour trouver la moyenne géométrique de la liste enregistrée en S, nous pouvons utiliser la procédure suivante : 1.
2. Appliquez la fonction XROOT(x,y), en saisissant la combinaison de touches ‚», au résultat du point 1. Par conséquent, la moyenne géométrique d’une liste S est sg = 1.
n sw = ∑w k =1 k ⋅ sk . n ∑w k =1 k Pour calculer la moyenne pondérée des données de la liste S par les coefficients de la liste W, nous pouvons suivre les étapes suivantes : 1. Multipliez les listes S et W . 2. Utilisez la fonction ΣLIST sur ce résultat pour calculer le numérateur de sw: 3. Utilisez à nouveau la fonction ΣLIST, pour calculer le dénominateur de sw: 4.
Par conséquent, la moyenne pondérée de la liste S par les coefficients de la liste W est sw= 2.2. Note: ANS(1) se réfère au résultat le plus récent (55), tandis que ANS(2) se réfère à l’avant-dernier résultat. (121). Statistiques de données groupées Les données groupées sont généralement affichées dans une table présentant la fréquence (w) des données par classes ou emplacements de stockage (=" bin" ) de données.
Etant donné la liste de marques de classe S = {s1, s2, …, sn } et la liste d’indice de fréquence W = {w1, w2, …, wn }, la moyenne pondérée des données de S par W représente la valeur moyenne des données groupées, que nous appelonss, dans ce contexte : n s= ∑ wk ⋅ s k k =1 n ∑w k =1 où N = k n = ∑w k =1 k ⋅ sk N , n ∑w k =1 k représente l’indice de fréquence total.
La variance de ces données groupées est définie par : n V = ∑ wk ⋅ ( s k − s ) 2 k =1 n ∑w k =1 k n = ∑w k =1 k ⋅ (sk − s ) 2 N Pour calculer ce dernier résultat, nous pouvons utiliser la procédure qui suit : L'écart type des données groupées est la racine carrée de la variance : Page 8-23
Chapitre 9 Vecteurs Ce chapitre donne des exemples de saisie et d’opérations avec des vecteurs, à la fois des vecteurs mathématiques de plusieurs éléments et des vecteurs physiques à 2 ou 3 composantes. Définitions D’un point de vue mathématique, un vecteur est un ensemble d’au moins deux éléments présentés en ligne ou en colonne. On les appelle vecteurs lignes et vecteurs colonnes.
(1/k)⋅A. L’addition et la soustraction de vecteurs est définie comme A±B = [Ax ± Bx, Ay ± By, Az ± By], où B est le vecteur B = [Bx, By, Bz]. Il existe deux définitions des produits de vecteurs physiques, un produit scalaire ou produit interne (produit scalaire) et un produit vectoriel ou externe (le produit croisé). Le produit scalaire d’une valeur définie comme A•B = |A||B|cos(θ), où θ est l’angle entre les deux vecteurs.
En mode RPN, vous pouvez saisir un vecteur dans la pile en ouvrant un couple de crochets et en saisissant les composantes ou les éléments du vecteur qui doivent être séparés soit par des virgules (‚í), soit par des espaces (#). Remarquez que, après avoir appuyé sur la touche ` , dans les deux modes, la calculatrice montre les éléments du vecteur séparés par des espaces. Enregistrer des vecteurs dans des variables Les vecteurs peuvent être stockés dans les variables.
aux lignes et colonnes d’une matrice (les détails sur l’utilisation de l’Editeur de matrices pour saisir des matrices seront présentés dans un des chapitres suivants). Pour un vecteur, nous n’avons besoin de saisir des éléments que dans la première ligne. La cellule de la première ligne, première colonne est sélectionnée par défaut.
L'onglet @WID→ est utilisé pour augmenter la largeur des colonnes de la feuille de calcul. Appuyez sur cet onglet à plusieurs reprises pour voir la largeur de la colonne augmenter dans votre Editeur de matrices. L'onglet @GO→ lorsqu’il est sélectionné, sélectionne automatiquement la cellule suivante à la droite de la cellule en cours d’utilisation quand vous appuyez sur `. Cette option est sélectionnée par défaut.
En appuyant sur L une fois de plus, vous accédez au dernier menu qui contient seulement une fonction @@DEL@ (effacer). L'onglet @@DEL@ effacera le contenu de la cellule sélectionnée et le remplacera par un zéro. Pour voir comment ces onglets fonctionnent, essayez les exercices suivants: (1) Activer l’Editeur de matrices en utilisant „². Assurez-vous que les onglets @VEC et @GO→ sont sélectionnés.
Construire un vecteur avec ARRY La fonction →ARRY, disponible dans le catalogue de fonctions (‚N‚ é, utilisez —˜ pour localiser la fonction), peut aussi être utilisée pour construire un vecteur ou un ensemble en procédant comme suit. En mode ALG saisir ARRY(éléments du vecteur, nombre d’éléments), c'est-à-dire : En mode RPN : (1) Saisissez les n éléments de l’ensemble dans l’ordre dans lequel vous voulez les voir apparaître dans l’ensemble (lu de gauche à droite) dans la pile RPN.
Identifier, extraire et insérer des éléments de vecteur Si vous enregistrez un vecteur sous un nom de variable, disons A, vous pouvez identifier les éléments du vecteur en utilisant A(i), où i est un nombre entier inférieur ou égal à la taille du vecteur. Par exemple, créez l’ensemble suivant et enregistrez-le dans la variable A: [-1, -2, -3, -4, -5]: Pour rappeler le troisième élément de A, par exemple, vous pouvez saisir A(3) dans la calculatrice. En mode ALG, saisir simplement A(3).
En mettant en surbrillance la totalité de l’expression et en utilisant la touche de menu @EVAL@ nous obtenons le résultat suivant : -15. Note: Le vecteur A peut aussi être appelé variable indexée parce que le nom A ne représente pas une mais plusieurs valeurs identifiées par un sousindex. Pour remplacer un élément dans un ensemble utilisez la fonction PUT (vous pouvez la trouver dans la catalogue de fonctions ‚N, ou dans le sousmenu PRG/LIST/ELEMENTS – ce dernier a été introduit au Chapitre 8).
Opérations simples avec des vecteurs Pour illustrer les opérations avec des vecteurs, nous utiliserons les vecteurs A, u2, u3, v2 et v3 mémorisés lors de l’exercice précédent. Changement de signe Pour changer le signe d’un vecteur, utilisez la touche \, ce qui donne : Addition, soustraction L’addition et la soustraction de vecteurs nécessitent que les opérandes des deux vecteurs soient de même longueur : Si vous essayez d’additionner ou de soustraire des vecteurs de longueurs différentes, vous obtenez le
Fonction valeur absolue La fonction valeur absolue (ABS), lorsqu’elle est appliquée à un vecteur, calcule la magnitude du vecteur. Pour un vecteur A = [A1,A2,…,An], la magnitude est | A |= Ax2 + Ay2 + L + Az2 . En mode ALG, entrez la fonction avant d’entrer l’argument du vecteur.
Magnitude La magnitude d’un vecteur, comme expliqué plus haut, peut être trouvée avec la fonction ABS. Cette fonction est aussi disponible sur le clavier („Ê). Des exemples d’applications de la fonction ABS sont illustrés ci-dessus. Produit scalaire La fonction DOT est utilisée pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs de même longueur. Quelques exemples d’application de la fonction DOT, utilisant les vecteurs A, u2, u3, v2 et v3, mémorisés précédemment, sont illustrés ci-dessous en mode ALG.
Des exemples de produits croisés d’un vecteur 3-D et d’un vecteur 2-D, ou vice-versa, sont présentés ci-dessous : Si vous essayez de calculer le produit croisé de vecteurs de longueur différente que 2 ou 3, vous obtenez le message d’erreur suivant (Invalid Dimension) : par exemple, CROSS(v3,A), etc. Décomposition d’un vecteur La fonction V est utilisée pour décomposer un vecteur en ses éléments ou composantes.
Construire un vecteur bidimensionnel La fonction V2 est utilisée en mode RPN pour construire un vecteur avec les valeurs aux niveaux de pile 1: et 2:. Les saisies d’écran montrent la pile avant et après application de la fonction V2: Construire un vecteur tridimensionnel La fonction V3 est utilisée en mode RPN pour construire un vecteur avec les valeurs aux niveaux de pile 1:,2: et 3:.
vecteur. Par conséquent, pour saisir le vecteur A = 3i+2j-5k, nous utilisons [3,2,-5] et le vecteur s’affiche comme : Si, plutôt que de saisir les composantes cartésiennes d’un vecteur, nous saisissons ses composantes cylindriques (polaires), il nous faut fournir la magnitude,r, de la projection de ce vecteur sur le plan x-y , un angle θ (dans la mesure angulaire actuelle) représentant l’inclinaison de r par rapport à l’axe positif des x et une composante z de ce vecteur.
L’illustration ci-dessous montre la conversion du vecteur des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes, avec les valeurs suivantes x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin (φ) cos (θ), z = ρ cos(φ). Dans ce cas, x = 3.204, y = 1.494, et z = 3.536. Si le système CYLINdrique est sélectionné, la ligne supérieure de l’affichage présente un champ R∠Z et un vecteur saisi en coordonnées cylindriques s’affichera dans sa forme en coordonnées cylindriques (ou polaires) (r,θ,z).
sous leur forme cartésienne. Pour forcer la conversion en coordonnées polaires, saisir les composantes du vecteur comme des nombres réels (à savoir ajouter un point décimal) c'est-à-dire : [2., 3., 5.]. Le système de coordonnées cylindriques étant sélectionné, si vous saisissez un vecteur en coordonnées sphériques, il sera automatiquement transformé en son équivalent cylindrique (polaire) (r,θ,z) avec r = ρ sin φ, θ = θ, z = ρ cos φ.
Application d’opérations vectorielles Cette section contient certains exemples d’opérations vectorielles que vous pourrez rencontrer dans des applications de physique ou de mécanique. Résultante de forces Supposons qu’une particule est soumise aux forces suivantes (en N): F1 = 3i+5j+2k, F2 = -2i+3j-5k et F3 = 2i-3k. Pour déterminer la résultante, à savoir la somme de toutes ces forces, vous pouvez utiliser l’approche suivante en mode ALG : Par conséquent la résultante est R = F1+ F2 + F3 = (3i+8j-6k)N.
Le résultat est θ = 122.891o. En mode RPN, utiliser : [3,-5,6] ` [2,1,-3] ` DOT [3,-5,6] ` ABS [2,1,-3] ` ABS * / ACOS NUM Moment d’une force Le moment exercé par une force F sur un point O est défini par le produit vectoriel M = r×F, où r, également connu comme le bras delevier de la force, est le vecteur de position basé en O et pointant vers le point d’application de la force. Supposons qu’une force F = (2i+5j-6k) N a un bras de levier r = (3i5j+4k)m.
Par conséquent, l’angle entre les vecteurs r et F est θ = 41.038o. En mode RPN, nous pouvons utiliser : [3,-5,4] ` [2,5,-6] ` CROSS ABS [3,-5,4] ` ABS [2,5,-6] ` ABS * / ASIN NUM Equation d’un plan dans l’espace Etant donné un point dans l’espace P0(x0,y0,z0) et un vecteur normal N = Nxi+Nyj+Nzk relatif à un plan contenant le point P0, le problème consiste à trouver l’équation du plan. Nous pouvons former un vecteur commençant au point P0 et se terminant au point P(x,y,z), un point générique du plan.
Finalement, nous prenons le produit scalaire de ANS(1) et ANS(4) et le rendons égal à zéro pour terminer l’opération N•r =0: Nous pouvons maintenant utiliser la fonction EXPAND (dans le menu ALG) pour développer cette expression : Par conséquent, l’équation du plan passant par le point P0(2,3,-1) et ayant un vecteur normal N = 4i+6j+2k, est 4x + 6y + 2z – 24 = 0.
[[1.2],[2.5],[3.2],[4.5],[6.2]] ` Ceci est représenté par le vecteur colonne suivant : Dans cette section, nous vous montrons des façons de transformer un vecteur colonne en vecteur ligne, un vecteur ligne en vecteur colonne, une liste en vecteur et un vecteur (ou une matrice) en liste. Nous procédons d’abord à ces démonstrations en mode RPN. Dans ce mode, nous utiliserons les fonctions OBJ , LIST, ARRY et DROP pour effectuer ces transformations.
Lorsque la fonction OBJ est appliquée à un vecteur, elle affiche les éléments du vecteur dans la pile, avec le nombre d’éléments au niveau 1, entre parenthèses : (une liste). Les exemples suivants illustrent cette application : [1,2,3] ` „°@)TYPE! @OBJ @ donne : Si nous appliquons la fonction OBJ une fois de plus, la liste au niveau 1: de la pile, {3.
Pour construire un vecteur colonne de n éléments, saisir les éléments du vecteur dans la pile et au niveau 1 de la pile, saisir la liste {n 1}. Par exemple,1` 2` 3` „ä 1‚í3` „°@)TYPE! ! ARRY@. Fonction DROP Cette fonction a le même effet que la touche effacer (ƒ). Transformation d’un vecteur ligne en vecteur colonne Nous illustrons cette transformation avec le vecteur [1,2,3]. Saisir ce vecteur dans la pile RPN pour effectuer l’exercice.
Une nouvelle variable, @@RXC@@, sera disponible dans les désignations des menus logiciels une fois que vous aurez appuyé sur J: Appuyez sur ‚@@RXC@@ pour voir le programme contenu dans la variable RXC : << OBJ 1 + ARRY >> Cette variable, @@RXC@@, peut maintenant être utilisée pour transformer directement un vecteur ligne en vecteur colonne. En mode RPN, entrez le vecteur et appuyez sur @@RXC@@. Essayez, par exemple : [1,2,3] ` @@RXC@@.
3 - Appuyez sur la touche effacer ƒ (aussi appelée fonction DROP) pour éliminer le nombre au niveau 1 de la pile : 4 - Utilisez la fonction LIST pour créer une liste 5 - Utilisez la fonction ARRY pour créer un vecteur ligne Ces cinq étapes peuvent être combinées dans un programme UserRPL, que vous pouvez saisir comme suit (toujours en mode RPN): ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ @OBJ @ „°@)STACK @DROP „°@)TYPE! ! LIST@ ! ARRY@ ` ³~~cxr ` K Une nouvelle variable, @@CXR@@, sera disponible dans le menu une fois que vous
Appuyez sur ‚@@CXR@@ pour voir le programme contenu dans la variable CXR : << OBJ OBJ DROP ARRY >> Cette variable, @@CXR@@, peut maintenant être utilisée pour transformer directement un vecteur colonne en vecteur ligne. En mode RPN, entrez le la colonne du vecteur et appuyez sur @@CXR@@. Essayez, par exemple, la combinaison suivante : [[1],[2],[3]] ` @@CXR@@. Après avoir défini la variable @@CXR@@, en mode ALG, vous pouvez l’utiliser pour transformer un vecteur ligne en vecteur colonne.
3 - Utilisez la fonction ARRY pour créer le vecteur Ces trois étapes peuvent être combinées dans un programme UserRPL, que vous pouvez saisir comme suit (toujours en mode RPN) : ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ 1 ! LIST@ ! ARRY@ ` ³~~lxv ` K Une nouvelle variable, @@LXV@@, sera disponible dans le menu une fois que vous aurez appuyé sur J: Appuyez sur ‚@@LXV@@ pour voir le programme contenu dans la variable LXV : << OBJ 1 LIST ARRY >> Cette variable, @@LXV@@, peut maintenant être utilisée pour transformer directemen
A titre d’exemple, appliquez la fonction AXL au vecteur [1,2,3] en mode RPN en utilisant : [1,2,3] ` AXL. La saisie d’écran suivante illustre l’application de la fonction AXL au même vecteur en mode ALG.
Chapitre 10 Création et manipulation de matrices Ce chapitre présente un certain nombre d’exemples permettant de créer des matrices dans la calculatrice et démontrant la manipulation des éléments de matrices. Définitions Une matrice est simplement un ensemble rectangulaire d’objets (par exemple des nombres ou des caractères algébriques) présentant un certain nombre de lignes et de colonnes. Une matrice A comprenant n lignes et m colonnes contiendra par conséquent n×m éléments.
1, si i = j δ ij = . 0, si i ≠ j Saisie de matrices dans la pile Dans cette section, nous présentons deux manières différentes de saisir des matrices dans la pile de la calculatrice : (1) en utilisant l’Editeur de matrice " Matrix Editor" et (2) en saisissant la matrice directement dans la pile.
Appuyez sur la touche ` une seconde fois pour stocker la matrice dans la pile. La pile du mode ALG est présentée ci-dessous (avant et après avoir appuyé une seconde fois) : Si vous avez choisi l’option d’affichage textbook (en utilisant H@)DISP! et en cochant Textbook), la matrice ressemblera à celle qui est présentée cidessus. Sinon l’affichage sera le suivant : L’affichage en mode RPN sera très similaire à celui-ci.
lignes. (Note: En mode RPN, vous pouvez ignorer les crochets secondaires, une fois que des crochets ont été utilisés, donc, au lieu de taper [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]] par exemple, tapez seulement [[1 2 3] 4 5 6 7 8 9].) Pour de futurs exercices, nous allons sauvegarder cette matrice sous le nom A. En mode ALG, utiliser K~a. En mode RPN, utiliser ³~a K.
alors que le sous-menu MATRICES/CREATE (appelons-le le menu CREATE) contient les fonctions suivantes : Comme vous pouvez le constater d’après l’exploration de ces menus (MAKE et CREATE), ils contiennent les mêmes fonctions GET, GETI, PUT, PUTI, SUB, REPL, RDM, RANM, HILBERT, VANDERMONDE, IDN, CON, →DIAG et DIAG→. Le menu CREATE comprend les sous-menus COLUMN et ROW, lesquels sont également disponibles dans le menu MTH/MATRIX.
Les fonctions disponibles apparaissent comme les étiquettes des touches de menu soft (appuyez sur L pour passer à la série de fonctions suivante) : Lorsque l’indicateur système 117 est paramétré sur les menus SOFT, les fonctions du menu CREATE, déclenchées par „Ø)@CREAT , apparaissent comme suit : Dans les sections suivantes, nous présenterons des applications des fonctions de la matrice dans les menus MAKE et CREATE.
Remarquez que l’on parvient au même résultat en tapant simplement A(2,3) et en appuyant sur `. En mode RPN, cet exercice s’effectue en entrant @@@A@@@ ` 3 ` GET ou en utilisant A(2,3) `. Supposons que nous souhaitions placer la valeur ‘π’ dans l’élément a31 de la matrice. Nous pouvons utiliser pour ce faire la fonction PUT, par exemple : En mode RPN, vous pouvez utiliser : J @@@A@@@ {3,1} ` „ì PUT. Toujours en mode RPN, vous pouvez également utiliser : „ì³A(2,3) ` K .
Supposons maintenant que vous souhaitiez insérer la valeur 2 dans l’élément {3 1} à l’aide de PUTI. Toujours en mode RPN, essayez les touches suivantes : ƒ ƒ{3 1} ` 2 ` PUTI. Les saisies d’écran suivantes montrent la pile RPN avant et après avoir utilisé la fonction PUTI: Dans ce cas, le 2 a été remis à sa place {3 1}, c’est-à-dire que maintenant A(3,1) = 2 et la liste d’index a été augmentée de 1 (par colonne d’abord), passant ainsi de {3,1} à {3,2}.
Si l’argument est une matrice réelle, TRN produit simplement la transposition de la matrice réelle. Essayez par exemple TRN(A) et comparez-le à TRAN(A). En mode RPN, la transconjugaison de la matrice A se calcule à l’aide de @@@A@@@ TRN.
En mode RPN, on utilise pour ce faire {4,3} ` 1.5 \ ` CON. Fonction IDN La fonction IDN (matrice IDeNtity) crée une matrice identité en tenant compte de la taille. N’oubliez pas que la matrice identité doit être carrée ; par conséquent, une seule valeur est requise pour la décrire complètement.
Fonction RDM La fonction RDM (ReDiMensionnement) permet de réécrire les vecteurs et les matrices en tant que matrices et vecteurs. L’entrée de la fonction se compose du vecteur ou de la matrice d’origine suivi d’une liste d’un seul nombre, en cas de conversion en vecteur, ou de deux nombres, en cas de conversion en matrice. Dans le premier cas, le nombre représente la dimension du vecteur, et dans le deuxième cas, les deux nombres représentent le nombre de lignes et de colonnes de la matrice.
Redimensionnement d’une matrice en vecteur Pour redimensionner une matrice en vecteur, on utilise comme arguments la matrice suivie d’une liste contenant le nombre d’éléments de la matrice. Par exemple, pour convertir la matrice de l’exemple précédent en un vecteur de longueur 6, en mode ALG, utilisez : En mode RPN, on suppose que la matrice est dans la pile et on utilise {6}` RDM.
aléatoires générés sont des nombres entiers distribués uniformément dans la plage [-10,10], c’est-à-dire que chacun de ces 21 nombres possède la même probabilité d’être sélectionné. La fonction RANM est utile pour générer des matrices de toute taille afin d’illustrer les opérations de la matrice ou l’application des fonctions de la matrice.
En mode RPN, en supposant que la matrice 2×2 était initialement dans la pile, on procède comme suit : [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]`™ (cette dernière touche échange le contenu des niveaux 1 et 2 de la pile) {1,2} ` ™ (un autre échange des niveaux 1 et 2) REPL. Fonction →DIAG La fonction →DIAG prend la diagonale principale d’une matrice carrée de dimensions n×n et crée un vecteur de dimension n contenant les éléments de la diagonale principale.
En mode RPN, on peut utiliser [1,-1,2,3] ` {3,3}` DIAG pour obtenir le même résultat que ci-dessus. Un autre exemple de l’application de la fonction DIAG→ suit, en mode ALG : En mode RPN, utilisez [1,2,3,4,5] ` {3,2}` DIAG . Dans ce cas, il faut créer une matrice 3×2 en utilisant en tant qu’éléments de la diagonale principale autant d’éléments que possible du vecteur [1,2,3,4,5].
1 1 1 M 1 x1 x2 x3 M xn x12 L x1n −1 x 22 L x 2n −1 x32 L x3n −1 M O M x n2 L x nn −1 Par exemple, la commande suivante en mode ALG pour la liste {1,2,3,4} : En mode RPN, entrez {1,2,3,4} ` VANDERMONDE. Fonction HILBERT La fonction HILBERT crée la matrice Hilbert, laquelle correspond à une dimension n.
pour but de vous entraîner à accéder aux fonctions de programmation dans la calculatrice. Les programmes sont répertoriés ci-dessous avec, du côté gauche, les touches nécessaires pour entrer les étapes du programme, et sur la droite, les caractères qui apparaissent à l’écran à mesure que vous utilisez ces touches. Nous présentons d’abord les étapes nécessaires pour produire le programme CRMC.
~ „j #1+ „°@)STACK! L@ROLL! „°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT! „°@)BRCH! )@@IF@! @END@ ~„n # „´@)MATRX! @)COL! @COL! j1+ ROLL NEXT END n COL ` Le programme est affiché au niveau 1 Pour sauvegarder un programme : ³~~crmc~K Note : si vous enregistrez ce programme dans votre répertoire HOME, il sera disponible à partir de tout autre sous-répertoire que vous utiliserez. Pour voir le contenu du programme, utilisez : J ‚@CRMC.
L’écran ALG présentant l’exécution du programme CRMC figure ci-dessous : Les listes représentent les lignes de la matrice Il est facile de modifier le programme précédent pour créer une matrice dans laquelle les listes d’entrée deviendront les lignes de la matrice obtenue. Le seul changement à apporter consiste à remplacer COL→ par ROW→ dans le contenu du programme.
via la séquence MTH/MATRIX/COL.. : („´) présentée dans la figure cidessous, l’indicateur système 117 étant paramétré sur CHOOSE boxes : ou via le sous-menu MATRICES/CREATE/COLUMN : Ces deux approches fournissent les mêmes fonctions : Lorsque l’indicateur système 117 est paramétré sur les menus SOFT, le menu COL est accessible via „´!)MATRX !)@MAKE@ !)@@COL@ ou via „Ø!)@CREAT@ !)@@COL@ . Ces deux approches offrent la même série de fonctions : L’utilisation de ces fonctions est présentée ci-dessous.
en mode ALG est présentée ci-dessous. La matrice utilisée a été stockée au préalable dans la variable A. La matrice s’affiche comme dans l’illustration de gauche : L’illustration de droite affiche la matrice en colonnes. Pour visualiser le résultat dans son ensemble, utilisez l’éditeur de lignes (déclenché en appuyant sur ˜). En mode RPN, vous devez répertorier la matrice dans la pile, puis activer la fonction COL, c’est-à-dire, @@@A@@@ COL.
En mode RPN, placez les n vecteurs aux niveaux n+1, n, n-1,…,2, de la pile et le nombre n au niveau 1 de la pile. Dans cette configuration, la fonction COL place les vecteurs en tant que colonnes dans la matrice produite. Les saisies d’écran montrent la pile RPN avant et après avoir appliqué la fonction COL . Fonction COL+ La fonction COL+ accepte comme argument une matrice, un vecteur de même longueur que le nombre de lignes de la matrice et un nombre entier n représentant l’emplacement d’une colonne.
Fonction COLLa fonction COL- accepte comme argument une matrice et un nombre entier représentant la position d’une colonne dans la matrice. La fonction retourne la matrice originelle, moins une colonne, ainsi que la colonne extraite en tant que vecteur. Voici un exemple en mode ALG en utilisant la matrice mémorisée dans A : En mode RPN, placez d’abord la matrice dans la pile, puis entrez le nombre représentant l’emplacement d’une colonne avant d’appliquer la fonction COL-.
niveaux 1 et 2 de la pile. Par exemple, la figure suivante présente la pile RPN avant et après l’application de la fonction CSWP à la matrice A pour permuter les colonnes 2 et 3 : Comme vous pouvez le constater, les colonnes qui occupaient initialement les positions 2 et 3 ont été permutées. La permutation de colonnes et de lignes (voir ci-dessous) est couramment utilisée pour résoudre des systèmes d’équations linéaires avec des matrices.
Lorsque l’indicateur système 117 est paramétré sur les menus SOFT, le menu ROW est accessible via „´!)MATRX !)@MAKE@ !)@@ROW@ , ou via „Ø!)@CREAT@ !)@@ROW@ . Ces deux approches offrent la même série de fonctions : L’utilisation de ces fonctions est présentée ci-dessous. Fonction →ROW La fonction →ROW accepte comme argument une matrice et la décompose en vecteurs correspondant à ses lignes. Une application de la fonction ROW en mode ALG est présentée ci-dessous.
Dans ce résultat, la première ligne occupe le niveau le plus élevé de la pile après décomposition, le niveau 1 de la pile étant occupé par le nombre de lignes de la matrice d’origine. La matrice ne survit pas à sa décomposition, c’est-à-dire qu’elle n’est plus disponible dans la pile.
Fonction ROW+ La fonction ROW+ accepte comme argument une matrice, un vecteur de même longueur que le nombre de lignes de la matrice et un nombre entier n représentant l’emplacement d’une ligne. La fonction ROW+ insère le vecteur dans la ligne n de la matrice. Par exemple, en mode ALG, nous insérerons la deuxième ligne dans la matrice A avec le vecteur [-1,-2,-3], c’est-à-dire, En mode RPN, entrez d’abord la matrice, puis le vecteur, suivi du nombre de lignes, avant d’appliquer la fonction ROW+.
Les saisies d’écran montrent la pile RPN avant et après avoir appliqué la fonction ROW-. Fonction RSWP La fonction RSWP (Row SWaP) accepte comme arguments deux index, par exemple i et j (représentant deux lignes distinctes d’une matrice) et une matrice, et produit une nouvelle matrice dans laquelle les lignes i et j sont permutées. L’exemple suivant, en mode ALG, présente une application de cette fonction. Nous utilisons la matrice mémorisée dans la variable A pour cet exemple.
suivant, rédigé en mode ALG, utilise la matrice mémorisée dans A et multiplie la valeur constante 5 dans la ligne numéro 3, remplaçant la ligne par ce produit. Les illustrations suivantes présentent le même exercice exécuté en mode RPN. L’illustration de gauche rappelle la paramétrage de la matrice, le facteur et le nombre de lignes aux niveaux 3, 2 et 1 de la pile. L’illustration de droite présente la matrice obtenue comme résultat de l’activation de la fonction RCI.
En mode RPN, entrez d’abord la matrice, puis la valeur constante, puis la ligne à multiplier par la constante et enfin la ligne qui sera remplacée.
Chapitre 11 Matrices et algèbre linéaire Au Chapitre 10, nous avons introduit le concept de matrice et présenté plusieurs fonctions permettant de saisir, créer ou manipuler des matrices. Dans le présent chapitre, nous présentons des exemples d’opérations matricielles et d’applications à des problèmes d’algèbre linéaire. Opérations avec des matrices Les matrices, comme les autres objets mathématiques, peuvent être additionnées et soustraites. Elles peuvent être multipliées par des scalaires ou entre elles.
{2,2}` {2,3}` {3,2}` {3,3}` RANM RANM RANM RANM 'A22'K 'A23'K 'A32'K 'A33'K {2,2}` {2,3}` {3,2}` {3,3}` RANM RANM RANM RANM 'B22'K 'B23'K 'B32'K 'B33'K Addition et soustraction Considérons un couple de matrices A = [aij]m×n et B = [bij]m×n. L’addition et la soustraction de ces deux matrices n’est possible que si elles ont le même nombre de lignes et de colonnes. La matrice résultante C = A ± B = [cij]m×n contient les éléments cij = aij ± bij.
Multiplication par un scalaire La multiplication de la matrice A = [aij]m×n par un scalaire k donne la matrice C = kA = [cij]m×n = [kaij]m×n. En particulier, la matrice négative est définie par l’opération -A =(-1)A = [-aij] m×n. Certains exemples de multiplication d’une matrice par un scalaire sont montrés ci-dessous.
La multiplication vecteur-matrice, en revanche, n’est pas définie. Cette multiplication peut être effectuée, cependant, comme cas particulier de multiplication de matrice, à définir par la suite. Multiplication de matrices La multiplication de matrices est définie par Cm×n = Am×p⋅Bp×n, où A = [aij]m×p, B = [bij]p×n, et C = [cij]m×n. Notez que la multiplication de matrices n’est possible que si le nombre de colonnes dans le premier opérande est égal au nombre de lignes du second opérande.
La multiplication matrice-vecteur introduite dans la section précédente peut être considérée comme le produit d’une matrice m×n par une matrice n×1 (à savoir : un vecteur colonne), résultant en une matrice m×1 (à savoir : un autre vecteur). Pour vérifier cette assertion, contrôlez les exemples de la section précédente. Par conséquent, les vecteurs définis au Chapitre 9 sont fondamentalement des vecteurs colonne dans le but de la multiplication de matrices.
La matrice identité Au Chapitre 9, nous avons introduit la matrice identité comme la matrice I = [δij]n×n, où δij est la fonction delta de Kronecker. Les matrices identité peuvent être obtenues en utilisant la fonction IDN décrite au Chapitre 9. La matrice identité a la propriété suivante A⋅I = I⋅A = A. Pour vérifier cette propriété, nous présentons les exemples suivants utilisant les matrices enregistrées précédemment.
Caractérisation d’une matrice (Menu NORM) On peut accéder au menu NORM (NORMalisation) des matrices grâce à la combinaison de touches „´ . (en paramétrant l’indicateur système 117 sur CHOOSE boxes) : Ce menu contient également les fonctions suivantes : Ces fonctions sont décrites ci-dessous. Comme plusieurs de ces fonctions utilisent des concepts de la théorie des matrices, tels que les valeurs singulières, le rang etc.
Si la matrice étudiée est un vecteur ligne ou un vecteur colonne, alors la norme de Frobenius, ||A||F , est simplement la magnitude du vecteur. On peut accéder à la fonction ABS directement sur le clavier avec „Ê.
où U et V sont des matrices orthogonales et S une matrice diagonale. Les éléments de la diagonale de S sont appelés les valeurs singulières de A et sont généralement classés de telle sorte que si ≥ si+1, pour i = 1, 2, …, n-1. Les colonnes [uj] de U et [vj] de V sont les vecteurs singuliers correspondants. (Les matrices orthogonales sont telles que U⋅ UT = I. Une matrice diagonale ne contient que des éléments autres que zéro dans sa diagonale principale).
Définitions des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matrice Les valeurs propres d’une matrice carrée résultent de l’équation matricielle A⋅x = λ⋅x. Les valeurs de λ qui satisfont l’équation sont connues comme les valeurs propres de la matrice A. Les valeurs x qui résultent de l’équation pour chaque valeur de l sont connues comme les vecteurs propres de la matrice. De plus amples détails sur le calcul des valeurs propres et des vecteurs propres seront présentés ultérieurement dans ce chapitre.
grand, plus la matrice est proche de la singularité (une matrice singulière est une matrice dont l’inverse n’existe pas.) Essayez l’exercice suivant pour le nombre condition de la matrice A33. Le nombre condition est COND(A33). La norme ligne et la norme colonne de A33 sont présentées à gauche. Les nombres correspondant à la matrice inverse INV(A33) sont présentés à droite : Puisque RNRM(A33) > CNRM(A33), alors nous prenons ||A33|| = RNRM(A33) = 21.
où les valeurs de dj sont constantes, nous disons que ck est linéairement dépendante des colonnes comprises dans la somme (notez que les valeurs j comprennent n’importe quelle valeur de l’ensemble {1, 2, …, n}, dans n’importe quelle combinaison, aussi longtemps que j≠k.) Si l’expression présentée ci-dessus ne peut être écrite pour aucun des vecteurs colonne, alors nous disons que toutes les colonnes sont linéairement indépendantes.
Le déterminant d’une matrice Les déterminants d’une matrice 2x2 ou d’une matrice 3x3 sont représentés par les mêmes classements d’éléments des matrices mais inclus entre deux lignes verticales, i.e., a11 a 21 a12 , a 22 a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 Un déterminant 2×2 est calculé en multipliant les éléments de sa diagonale et en additionnant ces produits, accompagnés du signe positif ou négatif tel qu’indiqué dans le diagramme présenté ci-dessous.
Pour des matrices carrées d’ordres supérieurs, les déterminants peuvent être calculés en utilisant des déterminants d’ordre inférieur appelés des cofacteurs. L’idée générale est de “développer” un déterminant d’une matrice n×n (aussi appelé déterminant n×n en une somme de cofacteurs, qui sont des déterminants (n-1)×(n-1) eux-mêmes multipliés par les éléments d’une seule ligne ou colonne, en alternant les signes positifs et négatifs.
Exemples : Fonction TRAN La fonction TRAN renvoie la transposée d’un réel ou la transposée conjuguée d’une matrice complexe. TRAN est équivalent à TRN. Le fonctionnement de la fonction TRN est décrit au Chapitre 10.
Les fonctions ABS, CNRM, COND, DET, RANK, RNRM, SNRM, TRACE et TRAN se trouvent aussi dans le menu MTH/MATRIX/NORM (objet de la section précédente). La fonction SIZE a été présentée au Chapitre 10. La fonction HADAMARD a été présentée précédemment, dans le cadre de la multiplication des matrices. Les fonctions LSQ , MAD et RSD sont liées à la résolution de systèmes d’équations linéaires et seront présentées dans une section ultérieure du présent chapitre.
colonnes de la matrice à générer, et un programme qui prend i et j comme données d’entrée. Les nombres n, m et le programme occupent les niveaux de pile 3, 2 et 1, respectivement. La fonction LCXM se trouve dans le catalogue de commandes ‚N. Par exemple, pour générer une matrice 2´3 dont les éléments sont donnés par aij = (i+j)2, nous commençons par enregistrer le programme suivant dans la variable P1 en mode RPN. Voici comment la pile RPN se présente avant d’appuyer sur K.
a11⋅x1 + a12⋅x2 + a13⋅x3 + …+ a21⋅x1 + a22⋅x2 + a23⋅x3 + …+ a31⋅x1 + a32⋅x2 + a33⋅x3 + …+ . . . … . . . … an-1,1⋅x1 + an-1,2⋅x2 + an-1,3⋅x3 + …+ an1⋅x1 + an2⋅x2 + an3⋅x3 + …+ a1,m-1⋅x m-1 a2,m-1⋅x m-1 a3,m-1⋅x m-1 . . an-1,m-1⋅x m-1 an,m-1⋅x m-1 + a1,m⋅x m + a2,m⋅x m + a3,m⋅x m . . + an-1,m⋅x m + an,m⋅x m = b1, = b2, = b3, . . = bn-1, = bn.
Un système carré Le système d’équations linéaires 2x1 + 3x2 –5x3 = 13, x1 – 3x2 + 8x3 = -13, 2x1 – 2x2 + 4x3 = -6, peut s’écrire sous forme d’une équation matricielle A⋅x = b, si 13 x1 2 3 − 5 A = 1 − 3 8 , x = x 2 et b = − 13. − 6 x3 2 − 2 4 Ce système, ayant le même nombre d’équations que d’inconnues, est appelé système carré. En général, il ne doit y avoir qu’une seule solution au système.
Après avoir saisi la matrice A et le vecteur b et le champ X: en surbrillance, nous pouvons appuyer @SOLVE! pour essayer de résoudre ce système d’équations : La solution A a été trouvée (comme cela est illustré ci-dessous) : Pour voir la solution dans la pile, appuyez sur `. La solution est x = [1,2,-1].
x1 – 3x2 + 8x3 = 85, peut s’écrire sous la forme d’une équation matricielle A⋅x = b, si x1 − 10 2 3 − 5 A= , x = x2 et b = . 85 1 − 3 8 x3 Ce système a plus d’inconnues que d’équations et n’est par conséquent pas uniquement déterminé. Nous pouvons visualiser la signification de cette assertion en nous rendant compte que chacune des équations linéaires représente un plan dans le système coordonné cartésien (x1, x2, x3).
Pour voir les détails du vecteur solution, si nécessaire, appuyez sur le bouton @EDIT! . Ceci active l’Editeur de matrice. Utilisez ensuite les touches directionnelles droite et gauche pour déplacer le vecteur. Par conséquent, la solution est x = [15.373, 2.4626, 9.6268]. Pour retourner à l’environnement de la résolution numérique, appuyez sur `. La procédure que nous décrivons ci-dessous peut être utilisée pour copier la matrice A et le vecteur solution X dans la pile.
Enregistrons le dernier résultat dans une variable X et la matrice dans la variable A, comme suit : Appuyez sur K~x` pour enregistrer le vecteur solution dans la variable X Appuyez sur ƒ ƒ ƒ pour effacer les trois niveaux de la pile Appuyez sur K~a` pour enregistrer la matrice dans la variable A Vérifions maintenant la solution en utilisant @@@A@@@ * @@@X@@@ `, qui donne (appuyez sur ˜ pour voir les éléments du vecteur) : [-9.99999999999 85. ], assez proche du vecteur original b = [-10 85].
x1 + 3x2 = 15, 2x1 – 5x2 = 5, -x1 + x2 = 22, peut s’écrire sous la forme d’une équation matricielle A⋅x = b, si 3 15 1 x1 A = 2 − 5 , x = et b = 5 . x2 22 − 1 1 Ce système a plus d’équations que d’inconnues (système sur-déterminé). Ce système n’a pas de solution unique. Chacune des équations linéaires dans le système présenté ci-dessus représente une ligne droite dans un système coordonné cartésien à deux dimensions (x1, x2).
Pour voir les détails du vecteur solution, si nécessaire, appuyez sur le bouton @EDIT!. Ceci active l’Editeur de matrices. Utiliser ensuite les touches directionnelles droite et gauche pour déplacer le vecteur. Appuyer sur ` pour retourner à l’environnement de résolution numérique. Pour vérifier que la solution est correcte, essayez la procédure suivante : • • • • • • Appuyer sur ——, pour mettre en surbrillance le champ A:. Appuyer sur L @CALC@ `, pour copier la matrice A dans la pile.
Vérifions maintenant la solution en utilisant : @@@A@@@ * @@@X@@@ `, qui donne un vecteur [8.6917… -3.4109… -1.1301…], qui n’est pas égal à [15 5 22], le vecteur original b. Comme " solution" , nous trouvons tout simplement le point le plus proche des trois lignes représentées par les trois équations du système et non une solution exacte.
13 x1 2 3 − 5 A = 1 − 3 8 , x = x2 et b = − 13. − 6 x3 2 − 2 4 La solution utilisant LSQ est présentée ci-dessous : Système sous-déterminé Considérons le système 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, avec x1 − 10 2 3 − 5 A= , x = x2 et b = .
3 15 1 x1 A = 2 − 5, x = et b = 5 . x2 22 − 1 1 La solution utilisant LSQ est présentée ci-dessous : Comparez ces trois solutions avec celles de résolution numérique. Résolution avec la matrice inverse La solution au système A⋅x = b, où A est une matrice carrée, est x = A-1⋅ b. Ceci résulte de la multiplication de la première équation par A-1, à savoir : A-1⋅A⋅x = A-1⋅b. Par définition, A-1⋅A = I, par conséquent, nous pouvons écrire I⋅x = A-1⋅b.
qui est le même résultat que celui trouvé précédemment. Résolution par “division“ de matrices Bien que l’opération de division ne soit pas définie dans les matrices, nous pouvons utiliser la touche / de la calculatrice pour “diviser” le vecteur b par la matrice A pour trouver x dans l’équation matricielle A⋅x = b.
Résolution d’ensembles multiples d’équations avec une matrice de même coefficient Supposons que nous voulions résoudre les trois ensembles d’équations suivants : X +2Y+3Z = 14, 2X +4Y+6Z = 9, 3X -2Y+ Z = 2, 3X -2Y+ Z = -5, 4X +2Y -Z = 5, 4X +2Y -Z = 19, 2X +4Y+6Z = -2, 3X -2Y+ Z = 2, 4X +2Y -Z = 12.
2 1 2 1 . X = 2 5 3 − 1 − 2 Elimination de Gauss et de Gauss-Jordan L’élimination gaussienne est une procédure par laquelle la matrice carrée des coefficients appartenant à un système de n équations linéaires à n inconnues est réduit à une matrice triangulaire supérieure (forme en échelon) par le biais d’une série d’opérations de ligne. Cette procédure est connue comme l'élimination en avant ou forward elimination.
Pour commencer le processus d’élimination en avant, nous divisons la première équation (E1) par 2 et l’enregistrons dans E1, puis affichons à nouveau les trois équations pour obtenir : Ensuite, nous remplaçons la deuxième équation E2 par (équation 2 – 3×équation 1, c’est-à-dire : E1-3×E2) et la troisième par (équation 3 – 4×équation 1), pour obtenir Ensuite, nous divisons la deuxième équation par –8 pour obtenir Ensuite, nous remplaçons la troisième équation, E3 par l’équation 3 + 6×équation 2, c’est-à-d
Notez que lorsque nous effectuons une combinaison linéaire d’équations, la calculatrice modifie le résultat en une expression du côté gauche de signe égale, ce qui équivaut à une expression = 0. Par conséquent, le dernier ensemble d’équations est interprété comme étant équivalent à l’ensemble d’équations : X +2Y+3Z = 7, Y+ Z = 3, -7Z = -14. La procédure de substitution en arrière par élimination gaussienne consiste à trouver les valeurs des inconnues, en commençant par la dernière équation et en remontant.
Exemple d’élimination gaussienne utilisant des matrices Le système d’équation utilisé dans l’exemple précédent peut s’écrire comme une équation matricielle A⋅x = b, si nous utilisons : 6 14 X 2 4 A = 3 − 2 1 , x = Y , b = − 3.
Enregistrez la matrice augmentée dans la variable AAUG: ³~~aaug~ K Ayant une copie de la matrice augmentée dans la pile, appuyez sur „´ @MATRX! @ROW! pour activer le menu ROW. Ensuite, effectuez les opérations de ligne suivantes sur la matrice augmentée : Multipliez la ligne 1 par ½: 2Y 1 @RCI! Multipliez la ligne 1 par –3 , ajoutez-la à la ligne 2, en la remplaçant : 3\ # 1 #2 @RCIJ! Multipliez la ligne 1 par –4, ajoutez-la à la ligne 3, en la remplaçant : 4\#1#3@RCIJ! Multipliez la ligne 2 par –1/8: 8\Y2
Le symbole ≅ ("est équivalent à") indique que ce qui suit est équivalent à la matrice précédente avec quelques opérations de lignes (ou de colonnes) en plus.
Aaug 1 2 0 1 1 0 0 − 1 ≅ 0 1 0 1 ≅ 0 1 0 1 . 0 0 1 2 0 0 1 2 Pivot Si vous observez les opérations de ligne dans les exemples présentés ci-dessus, vous constaterez que la plupart de ces opérations divisent une ligne par son élément correspondant dans la diagonale principale. Cet élément est appelé élément pivot ou simplement pivot.
permutation de ligne ou de colonne dans la matrice de permutation. Une fois que la solution a été obtenue, nous multiplions la matrice de permutation par le vecteur des inconnues x afin d’obtenir l’ordre des inconnues dans la solution. En d’autres termes, la solution finale est donnée par P⋅x = b’, où b’ est la dernière colonne de la matrice augmentée après que la solution a été trouvée. Exemple d’élimination de Gauss-Jordan avec pivot complet Illustrons le pivot complet par un exemple.
Tout d’abord, nous vérifions le pivot a11. Nous remarquons que l’élément avec la plus grande valeur absolue dans la première ligne et première colonne est la valeur de a31 = 8. Puisque nous voulons que ce nombre soit le pivot, nous allons permuter les lignes 1 et 3 en utilisant : 1#3L @RSWP.
0 0 25/8 -25/8 0 1 0 Après avoir rempli de zéros les éléments de la colonne 1 en dessous du pivot, nous pouvons maintenant continuer et vérifier le pivot en position (2,2).
à la matrice. Nous divisons la totalité de la troisième ligne par 2 pour convertir le pivot à 1, en utilisant : 2Y3@RCI 1 0 0 -1/16 1/2 1 0 0 1 41/16 -1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Ensuite, nous continuons en éliminant le ½ en position (1,3) en utilisant : 2 Y \#3#1@RCIJ 1 0 0 -1/16 1 0 0 0 1 33/16 -1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Enfin, nous éliminons le–1/16 de la position (1,2) en utilisant : 16 Y # 2#1@RCIJ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 -1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Nous avons maintenant une matrice identité dans la parti
0 1 0 X 3 0 0 1 ⋅ Y = − 1. 1 0 0 Z 1 Ce qui donne comme résultat : Y 3 Z = − 1. X 1 Procédure pas à pas sur la calculatrice pour résoudre des systèmes linéaires Dans l’exemple que nous venons de présenter, il s’agit, bien sûr, de la procédure pas à pas, pilotée par l’utilisateur, pour utiliser le pivot complet pour une élimination de Gauss-Jordan visant à résoudre des systèmes d’équations linéaires.
L2 = L2-2⋅L1 signifie “remplacer la ligne 2 (L2) avec l’opération L2 – 2⋅L1. Si nous avions effectué cette opération à la main, elle aurait correspondu à : 2\#1#1@RCIJ. Appuyez sur @@@OK@@@, et suivez les opérations à l’écran de la calculatrice.
Ce que la calculatrice a affiché n’est pas exactement une élimination de Gauss-Jordan avec pivot complet, mais une façon de calculer la matrice inverse en effectuant une élimination de Gauss-Jordan, sans pivot. Cette procédure pour calculer l’inverse est basée sur la matrice augmentée (Aaug)n×n = [A n×n |In×n]. La calculatrice vous a montré les étapes jusqu’au stade où la moitié de gauche de la matrice augmentée est convertie en matrice diagonale.
En se basant sur l’équation A-1 = C/det(A), ébauchée ci-dessus, la matrice inverse, A-1, n’est pas définie si det(A) = 0. Par conséquent, la condition det(A) = 0 définit aussi une matrice singulière. Résolution de systèmes linéaires en utilisant les fonctions de la calculatrice La façon la plus simple de résoudre des équations linéaires A⋅x = b dans la calculatrice est de saisir b, saisir A puis d’utiliser la fonction division /.
Voici un exemple en mode ALG : Saisissez les données suivantes : LINSOLVE([X-2*Y+Z=-8,2*X+Y-2*Z=6,5*X-2*Y+Z=-12], [X,Y,Z]) pour produire la solution : [X=-1,Y=2,Z = -3]. La fonction LINSOLVE travaille avec des expressions symboliques. Les fonctions REF, rref et RREF travaillent avec la matrice inverse dans une approche d’élimination gaussienne.
Le résultat est la matrice de forme haut de triangle (forme en échelon) des coefficients résultant de l’étape d’élimination en avant de la procédure d’élimination gaussienne. La matrice diagonale qui résulte d’une élimination de Gauss-Jordan est appelée forme en échelon réduite à une ligne.
Par exemple, pour la matrice AAUG, la fonction rref produit le résultat suivant : Le deuxième écran ci-dessus est obtenu en activant l’éditeur de ligne (appuyez sur ˜). Le résultat montre les pivots 3, 1, 4, 1, 5, et 2, ainsi qu’une matrice diagonale réduite. Fonction SYST2MAT Cette fonction convertit un système d’équations linéaires en son équivalent de matrice augmentée.
solution x(0). En évaluant f(x(0)) = b - A⋅x(0) = e ≠ 0. Par conséquent, e est un vecteur de restes de la fonction pour le vecteur x = x (0). Pour utiliser la fonction RSD vous avez besoin des termes b, A, et x(0), comme arguments. Le vecteur retourné est e = b - A⋅x(0). Par exemple, en utilisant A = [[2,-1][0,2]], x(0) = [1.8,2.7], et b = [1,6], nous pouvons trouver le vecteur de restes comme suit : Le résultat est e = b - A⋅x(0) = [ 0.1 0.6 ].
La calculatrice propose plusieurs fonctions qui donnent des informations concernant les valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice carrée. Certaines de ces fonctions sont situées dans le menu MATRICES/EIGEN, activé par „Ø. Fonction PCAR La fonction PCAR génère le polynôme caractéristique d’une matrice carrée en utilisant le contenu de la variable VX (une variable réservée du CAS, généralement égale à ‘X’) comme inconnue du polynôme.
Les valeurs propres λ = [ -√10, √10 ]. Note: Dans certains cas, il se peut que vous ne puissiez pas trouver une solution " exacte" au polynôme caractéristique et vous obtiendrez une liste vide comme résultat de l’utilisation de la fonction EGVL. Si cela devait vous arriver, changez le mode de calcul à Approx dans le CAS et recommencez votre calcul.
Le résultat montre les valeurs propres comme colonnes de la matrice dans la liste de résultat. Pour voir les valeurs propres, nous pouvons utiliser la formule : GET(ANS(1),2), ce qui revient à obtenir le deuxième élément dans la liste du résultat précédent. Les valeurs propres sont : En résumé, λ1 = 0.29, x1 = [ 1.00,0.79,–0.91]T, λ2 = 3.16, x2 = [1.00,-0.51, 0.65] T, λ3 = 7.54, x1 = [-0.03, 1.00, 0.84] T.
• Un vecteur avec les vecteurs propres de la matrice A (niveau de pile 4) Par exemple, essayez de poser cet exercice en mode RPN : [[4,1,-2],[1,2,-1],[-2,-1,0]] JORDAN Le résultat est le suivant : 4: 3: 2: 1: ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’ ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’ {} {} Le même exercice, en mode ALG, donne le résultat présenté sur les saisies d’écran suivantes : Fonction MAD Cette fonction, bien qu’elle ne soit pas disponible dans le menu EIGEN, fournit aussi des informations relatives aux valeurs propres d’une matric
Notez que l’équation (x⋅I-A)⋅p(x)=m(x)⋅I est similaire, dans sa forme, à l’équation à valeur propre A⋅x = λ⋅x. Par exemple, en mode RPN, essayez : [[4,1,-2] [1,2,-1][-2,-1,0]] MAD Le résultat est : 4: 3: 2: 1: -8. [[ 0.13 –0.25 –0.38][-0.25 0.50 –0.25][-0.38 –0.25 –0.
Les fonctions contenues dans ce menu sont : LQ, LU, QR,SCHUR, SVD, SVL. Fonction LU La fonction LU prend comme données d’entrée une matrice carrée A et renvoie une matrice triangulaire supérieure L, une matrice triangulaire supérieure U et une matrice de permutation P, aux niveaux de pile respectifs 3, 2 et 1. Les résultats L, U, et P, satisfont l’équation P⋅A = L⋅U. Quand vous avez recours à la fonction LU, la calculatrice effectue une décomposition Crout LU de A en utilisant un pivot partiel.
La décomposition en valeur singulière (Singular Value Decomposition) (SVD) d’une matrice rectangulaire Am×n consiste à déterminer les matrices U, S, et V, de telle sorte que Am×n = U m×m ⋅S m×n ⋅V T n×n, où U et V sont des matrices orthogonales, et Sest une matrice diagonale. Les éléments de la diagonale de S sont appelés les valeurs singulières de A et sont généralement classées de telle sorte que si ≥ si+1, for i = 1, 2, …, n-1.
donne: 2: [[0.66 –0.29 –0.70][-0.73 –0.01 –0.68][ -0.19 –0.96 0.21]] 1: [[-1.03 1.02 3.86 ][ 0 5.52 8.23 ][ 0 –1.82 5.52]] Fonction LQ La fonction LQ produit la Factorisation LQ d’une matrice An×m et renvoie une matrice trapézoïdale inférieure Ln×m , une matrice orthogonale Qm×m et une matrice de permutation Pn×n aux niveaux 3, 2 et 1. Les matrices A, L, Q et P sont liées par P⋅A = L⋅Q. (une matrice trapézoïdale issue d’une matrice n×m est l’équivalent d’une matrice triangulaire issue d’une matrice n×n ).
–1][5,4,2][3,5,–1]], et x = [X Y Z]T, la forme quadratique correspondante est calculée comme suit 2 1 − 1 X x ⋅ A ⋅ x = [ X Y Z ] ⋅ 5 4 2 ⋅ Y 3 5 − 1 Z 2X + Y − Z = [ X Y Z ] ⋅ 5 X + 4Y + 2 Z 3 X + 5Y − Z T x⋅A⋅xT = 2X2+4Y2-Z2+6XY+2XZ+7ZY Finalement : Le menu QUADF La calculatrice HP 49 G dispose du menu QUADF pour les opérations liées aux formes QUADratiques. On peut accéder au menu QUADF par l’intermédiaire de „Ø.
Fonction QXA La fonction QXA prend comme argument une forme quadratique au niveau de pile 2 et un vecteur de variable au niveau de pile 1 et renvoie la matrice carrée A dont la forme quadratique est dérivée au niveau de pile 2 et la liste de variables au niveau de pile 1.
• Un ensemble de coefficients représentant les termes diagonaux de D (niveau de pile 4) • Une matrice P telle que A = PT⋅D⋅P (niveau de pile 3) • La forme quadratique diagonalisée (niveau de pile 2) • La liste des variables (niveau de pile 1) Par exemple, 'X^2+Y^2-Z^2+4*X*Y-16*X*Z' ` ['X','Y','Z'] ` GAUSS donne 4: 3: 2: 1: [1 –0.333 20.
Funktion ISOM Funktion KER Funktion MKISOM Page 11-61
Chapitre 12 Graphiques Dans ce chapitre, nous introduirons certaines des possibilités graphiques de la calculatrice. Nous présenterons des graphiques de fonctions en coordonnées cartésiennes et en coordonnées polaires, à partir de points paramétrés, de graphiques de cônes, de barres d’histogramme, de diagrammes de dispersion et de graphiques rapides 3D.
Elles sont décrites ci-dessous. Function : Pour les équations de la forme y = f(x) en coordonnées de plan cartésiennes. Polar : Pour les équations de la forme r = f(θ) en coordonnées polaires dans un plan .
Tracé d’une expression de forme y = f(x) Dans cette section, nous vous présentons l’exemple du tracé d’une fonction de forme y = f(x). Avant de procéder au tracé, nous devons d’abord purger la variable x, si elle est définie dans le répertoire en cours (x sera la variable indépendante dans la fonction PLOT de la calculatrice et, par conséquent, vous ne souhaitez pas qu’elle soit prédéfinie).
Saisir la fonction que vous voulez tracer de telle sorte que l’Editeur d’équation se présente comme suit : • Appuyez sur ` pour retourner à la fenêtre de configutaion PLOT SETUP. L’expression ‘Y1(X) = EXP(-X^2/2)/√(2*π)’ est surlignée. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Note: Deux nouvelles variables s’affichent dans les désignations des touches, à savoir EQ et Y1. Pour voir le contenu de EQ, utilisez : ‚@@@EQ@@.
• • • • • Tracé du graphe : @ERASE @DRAW (attendre que la calculatrice ait terminé les graphes) Pour voir les étiquettes : @EDIT L @LABEL @MENU Pour restaurer le premier menu des graphiques : LL@)PICT Tracé de la courbe : @TRACE @@X,Y@@ . Utilisez ensuite les touches directionnelles droite et gauche (š™) pour vous déplacer sur la courbe. Les coordonnées du point sur lequel se trouve le curseur s’affichent en bas de l’écran. Vérifiez que pour x = 1.05 , y = 0.231. De même, vérifiez que pour x = -1.
` Retourne à l’affichage de la calculatrice Ensuite, enregistrez l’expression modifiée dans y en utilisant „@@@Y1@@ si vous êtes en mode RPN ou „îK @@@Y1@@ en mode ALG. La fonction f ( x) = 1 2π à exp(− tracer a maintenant l'équation suivante : 2 x ) − 0.1 2 Entrez dans l’environnement PLOT WINDOW en appuyant sur „ò (appuyez simultanément sur les deux touches en mode RPN). Conservez l’intervalle de –4 à 4 pour H-VIEW, appuyez sur ˜@AUTO pour générer la VVIEW.
• • • • • • • An appuyant sur @ISECT , vous obtiendrez l’intersection de la courbe avec les abscisses, qui représente essentiellement la racine. Placez le curseur exactement sur la racine et appuyez sur @ISECT. Vous obtenez le même message que précédemment, à savoir : SIGN REVERSAL, avant d’obtenir le résultat I-SECT: 1.6635…. La fonction @ISECT a pour but de déterminer l’intersection des deux courbes quelconques les plus proches de l’emplacement du curseur.
• • courbes se coupent en deux points. Déplacez le curseur près du point d’intersection de gauche et appuyez sur @)@FCN! @ISECT, pour obtenir ISECT: (-0.6834…,0.21585). Appuyez sur L pour retourner au menu. Pour quitter l'environnement FCN, appuyez sur @)PICT (ou L@)PICT). Appuyez sur @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Appuyez sur L @@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
Pour afficher à nouveau l’image, rapellez le contenu de la variable PIC1 dans la pile. La pile affichera la ligne: Graphic 131 × 64. Pour voir le graphe, entrez dans l’environnement PICTURE en appuyant sur š. Effacez l’image actuelle avec @EDIT L@ERASE. Déplacez le curseur dans l’angle supérieur gauche de l’écran en utilisant les touches š et — . Pour afficher l’image actuellement au niveau 1 de la pile, appuyez sur L REPL. Pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice, appuyez sur @)PICT @CANCL.
directionnelle vers le bas jusqu’à ce que le champ Indep soit surligné, appuyez sur la touche menu nommée @EDIT et modifiez la valeur de la variable pour identifier la coordonnée ‘X’. Appuyez sur @@@OK@@@ quand vous avez terminé. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Ensuite, nous allons redimensionner la fenêtre du graphique. En mode RPN, appuyez simultanément sur la touche directionnelle de gauche „ et sur la touche ñ (A) pour produire la fenêtre PLOT-FUNCTION.
graphique. Appuyez sur L pour retourner au menu des graphiques. Appuyez sur L@)PICT pour restaurer le premier menu des graphiques. Pour déterminer les coordonnées des points de la courbe, appuyez sur @TRACE (le curseur se déplace en haut de la courbe à un point situé envion à la moitié de l’intervalle de l’échelle horizontale). Ensuite, appuyez sur (X,Y) pour voir les coordonnées de l’emplacement actuel du vecteur. Ces coordonnées se trouveront en bas de l’écran.
calculatrice génère des valeurs comprises entre les limites de l’intervalle en utilisant un incrément constant et en enregistrant les valeurs générées, l’une après l’autre, dans la variable @@@X@@@ au fur et à mesure que le graphe est tracé. Pour l’intervalle horizontal, ( –1,10), l’incrément utilisé semble être 0.275. Quand la valeur de X devient supérieure à la valeur maximale de l’intervalle (dans ce cas, quand X = 10.275), le tracé du graphe s’arrête.
‚@PPAR pour obtenir le contenu de cette variable dans la pile. Appuyez sur la touche flèche vers le bas pour lancer l’éditeur de pile et utilisez les touches directionnelles vers le haut et vers le bas pour voir tout le contenu de PPAR. L’affichage est alors le suivant : PPAR signifie Plot PARameters, et son contenu comprend deux paires ordonnées de nombres réels (-8.,-1.10797263281) et (2.,7.
inverse. En utilisant cette notation, nous pouvons écrire : Si y = f(x), alors x = f -1 (y). De même, f(f -1(x)) = x et f -1(f(x)) = x. Comme indiqué précédemment, les fonctions ln(x) et exp(x) sont les inverses l’une de l’autre,ce qui signifie que : ln(exp(x)) = x et exp(ln(x)) = x. Ceci peut être vérifié avec la calculatrice en saisissant et évaluant les expressions suivantes dans l’Editeur d’équation : LN(EXP(X)) et EXP(LN(X)). Elles devraient toutes deux être égales à X.
Appuyez sur @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT FUNCTION WINDOW. Modifiez les intervalles verticaux et horizontaux pour lire : H-View: -8 8, V-View: -4 4 En sélectionnant ces intervalles, nous nous assurons que l’échelle du graphe reste 1 en vertical pour 1 horizontal. Appuyez sur @ERASE @DRAW et vous obtiendrez les tracés des fonctions logarithme naturel, exponentielles et y = x . Il sera évident sur le graphe que LN(X) et EXP(X) sont des reflets l’une de l’autre sur la ligne y = X.
• • Utilisez @EDIT pour éditer les fonctions des valeurs dans le champ sélectionné. Utilisez @CHOOS pour sélectionner le type de tracé à utiliser quand le champ Type: est surligné. Pour les exercices que nous effectuons actuellement, nous voulons que ce champ soit paramétré sur FUNCTION. Note: les touches menu @EDIT et @CHOOS ne sont pas disponibles simultanément. L’une ou l’autre sera sélectionnée suivant le champ de saisie surligné.
• Utilisez @@ADD@! pour ajouter de nouvelles équations au tracé. Note: @@ADD@! ou @EDIT lancent l’Editeur d’équation EQW que vous pouvez utiliser pour écrire de nouvelles équations ou pour en éditer d’anciennes. • Utilisez @@DEL@@ pour retirer l’équation surlignée. • Utilisez @CHOOS pour ajouter une équation qui est déjà définie dans votre Menu variables, mais pas affichée dans la fenêtre PLOT – FUNCTION. • Utilisez @ERASE pour effacer tout graphe actuellement dans la fenêtre d’affichage des graphes.
• • View pour générer automatiquement l’intervalle de la vue horizontale (HView). La calculatrice utilisera l’intervalle de la vue horizontale (H-View) pour générer les valeurs du graphe, sauf si vous changez les options Indep Low, (Indep) High et (Indep) Step. Ces valeurs déterminent respectivement les valeurs minimales, maximales et d’incrément de la variable indépendante utilisée dans le tracé.
• Appuyez sur @@@OK@@@ pour accepter les changements à l’écran PLOT WINDOW et retourner à l’affichage normal de la calculatrice Appuyez sur „ó, (simultanément en mode RPN) : Trace le graphe basé sur les paramètres enregistrés dans la variable PPAR et les fonctions actuellement définies dans l’écran PLOT – FUNCTION. Si un graphe différent de celui que vous êtes en train de tracer existe déjà à l’écran d’affichage graphique, le nouveau tracé se superposera au tracé existant.
ASINH(X) SINH & ASINH COSH(X) ACOSH(X) COS & ACOS TANH(X) ATANH(X) TAN & ATAN -5 -5 -2 -1 -5 -5 -1.2 -5 5 5 2 5 5 5 1.2 5 AUTO -5 AUTO AUTO -1 AUTO AUTO -2.5 5 5 2.5 Générer une table de valeurs pour une fonction En appuyant sur la combinaison de touches „õ(E) et „ö(F), (appuyer simultanément sur les deux touches en mode RPN), l’utilisateur obtient une table de valeurs des fonctions.
en face de l’option Small Font (petite police de caractère) si vous souhaitez activer cette option. Appuyez ensuite sur @@@OK@@@. Vous retournez ainsi à l’affichage normal de la calculatrice. La variable TPAR Après avoir fini l’écran de paramétrage, votre calculatrice produira une variable dénommée TPAR (Table PARameters) qui enregistre les informations concernant l'écran qui vient d'être affiché. Pour afficher le contenu de cette variable, appuyez sur ‚@TPAR.
• • • • • • • 0.25. Par conséquent, la fonction zoom in est pratique lorsque vous voulez plus de résolution pour les valeurs de x dans votre table. Pour augmenter la résolution d’un facteur supplémentaire de 0.5, appuyez sur @ZOOM, sélectionnez In une fois de plus et appuyez sur @@@OK@@@. L’incrément de x est maintenant de 0.0125. Pour restaurer l’incrément précédent, appuyez sur @ZOOM —@@@OK@@@ pour sélectionner l’option Un-zoom. L’incrément de x est augmenté à 0.25.
• • • • • • Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. • Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN - pour accéder à la fenêtre PLOT –POLAR). • Changez l’intervalle H-VIEW : de –8 à 8, en utilisant 8\@@@OK@@@8@@@OK@@@ et l’intervalle V-VIEW de : -6 à 2 en utilisant 6\@@@OK@@@2@@@OK@@@.
appuierez sur „ñ. après avoir fini l’exercice précédent, vous obtiendrez l’équation ‘2*(1-SIN(θ))’ surlignée. Supposons que nous voulions aussi tracer la fonction ‘2*(1-COS(θ))’ en même temps que l’équation précédente. • • Appuyez sur @@ADD@! et saisissez 2*„Ü1T~‚t `, afin de saisir la nouvelle équation. Appuyez sur @ERASE @DRAW pour voir les deux équations tracées sur le même graphique. Le résultat en est deux cardioïdes qui se croisent. Appuyez sur @CANCL $ pour retourner en mode d’affichage normal.
Assurez-vous que vous avez effacé les variables PPAR et EQ avant de continuer. Par exemple, enregistrons la liste d’équations { ‘(X-1)^2+(Y-2)^2=3’ , ‘X^2/4+Y^2/3=1’ } dans la variable EQ. Nous reconnaissons ces équations comme celles d’un cercle centré en (1,2) avec un rayon √3 et d’une ellipse centrée en (0,0) avec des longueurs de demi-axes a = 2 et b = √3. • • • • • • • Entrez dans l’environnement PLOT, en appuyant sur „ô, simultanément en mode RPN - et sélectionnez Conic comme TYPE.
Note: Les intervalles H-View et V-View ont été sélectionnés pour montrer l’intersection des deux courbes. Il n’existe pas de règle générale pour la sélection de ces intervalles, sauf de vous appuyer sur vos connaissances au sujet des courbes. Par exemple, pour les équations présentées ci-dessus, nous savons que le cercle s’étendra de -3+1 = -2 à 3+1 = 4 en abscisse, et de -3+2=-1 à 3+2=5 en ordonnée.
projectile, à savoir : x(t) = x0 + v0⋅COS θ0⋅t, y(t) = y0 + v0⋅sin θ0⋅t – ½⋅g⋅t2. Pour tracer des équations comme celles-ci, qui impliquent des valeurs constantes x0, y0, v0, et θ0, nous devons enregistrer les valeurs de ces paramètres dans des variables. Pour développer cet exemple, créez un sousrépertoire appelé ‘PROJM’ pour PROJectile Motion (mouvement des projectiles) et enregistrez au sein de ce sous-répertoire les variables suivantes : X0 = 0, Y0 = 10, V0 = 10 , θ0 = 30 et g = 9.806.
• de tracés, nous allons définir les valeurs inférieures et supérieures de la variable indépendante comme suit : Sélectionnez le champ Indep Low en appuyant sur ˜˜. Changez cette valeur à 0@@@OK@@@. Ensuite, changez la valeur de High en 2@@@OK@@@. Saisissez 0. 1@@@OK@@@ comme valeur Step (c’est-à-dire incrément = 0.1). Note: Par ces paramètres, nous indiquons que le paramètre y prendra les valeurs de t = 0, 0.1, 0.2, …, etc., jusqu’à ce qu’il atteigne une valeur de 2.0. • Appuyez sur @AUTO.
• courbe. En bas de l’écran, vous verrez la valeur du paramètre t et les coordonnées du curseur sous forme (X,Y). Appuyez sur L@CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Puis appuyez sur $ , or L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Si vous passez en revue les intitulés de vos touches menu, vous constaterez que vous disposez maintenant des variables suivantes : t, EQ, PPAR, Y, X, g, θ0, V0, Y0, X0.
paramètre t et les coordonnées des points correspondants. Pour cette table, les coordonnées sont dénommées X1 et Y1. • • Utilisez les touches directionnelles, š™—˜, pour vous déplacer dans la table. Appuyez sur $ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Cette procédure pour créer une table correspondant au type de tracé actuel peut être appliquée à d’autres types de tracés.
• • • • indépendante (qui sera sélectionnée plus tard) sera tracée dans l’axe horizontal. De plus, V-Var:1 signifie que la variable dépendante (nommée par défaut ‘Y’) sera tracée dans l’axe vertical. Appuyez sur ˜. Le curseur est maintenant dans le champ Indep. Appuyez sur ‚³~„t@@@OK@@@ pour changer la variable indépendante sur t. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
• • • • • • Appuyez sur L pour retourner au menu. Appuyez sur L@)PICT pour restaurer le premier menu des graphiques. Lorsque nous avons observé le graphe en cours de tracé, nous avons constaté que le graphe n’était pas très uniforme. Cela est dû au fait que le traceur utilise un incrément temporel trop grand. Pour améliorer le graphique et le rendre plus homogène, utilisez un incrément de 0.1. Essayez la combinaison de touches suivante : @CANCL ˜˜˜. 1@@@OK@@@ @ERASE @DRAW.
Graphiques Truth Les graphiques Truth (vérité) sont utilisés pour produire des tracés bidimensionnels de régions qui satisfont une certaine condition mathématique qui peut être vraie ou fausse. Par exemple, supposons que nous voulions tracer la région pour X^2/36 + Y^2/9 < 1. Procéder comme suit : • Appuyez sur les deux touches „ô, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. • Modifiez TYPE pour Truth.
retourner au menu. Appuyez sur L@)PICT pour restaurer le premier menu des graphiques. • Appuyez sur (X,Y) pour déterminer les coordonnées de n’importe quel point du graphe. Utilisez les touches directionnelles pour déplacer le curseur dans la région tracée. Vous verrez en bas de l’écran les coordonnées du curseur sous forme (X,Y). • Appuyez sur L@)CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Puis appuyez sur $, ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
Nous allons utiliser les données suivantes pour dessiner des diagrammes à barres et des diagrammes de dispersion : x 3.1 3.6 4.2 4.5 4.9 5.2 y 2.1 3.2 4.5 5.6 3.8 2.2 z 1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 Histogramme à barres Premièrement, mettez le CAS de votre calculatrice en mode Exact. Puis saisissez les données ci-dessus dans une matrice, à savoir : [[3.1,2.1,1.1],[3.6,3.2,2.2],[4.2,4.5,3.3], [4.5,5.6,4.4],[4.9,3.8,5.5],[5.2,2.2,6.
• • • • • • • Une matrice sera visible dans le champ ΣDAT. Il s'agit de la matrice que nous avons enregistrée auparavant dans ΣDAT. Surlignez le champ Col:. Ce champ vous permet de choisir la colonne de ΣDAT à tracer. La valeur par défault est 1. Gardez-la pour tracer colonne 1 dans ΣDAT. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la PLOT WINDOW. Changez V-View pour afficher : V-View: 0 5.
• • • • Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. Changez V-View pour afficher : V-View: 0 6 Puis appuyez sur @ERASE @DRAW. Appuyez sur @CANCL pour retourner à l'environnement PLOT WINDOW, puis $ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Nuages de points Nous allons utiliser la même matrice ΣDAT pour produire des diagrammes de dispersion. En premier lieu, nous allons tracer les valeurs de y vs.
• • Appuyez sur L@)PICT pour quitter l’environnement EDIT. Appuyez sur @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Puis appuyez sur $ ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Méthode pour tracer y contre Z : • • • • • • • • Appuyez sur les deux touches „ô, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. Appuyez sur ˜˜pour surligner le champ Cols:.
Isoclines Les isoclines sont utilisées pour afficher la solution d'une équation différentielle de la forme y’ = f(x,y). Ce qui est affiché dans le graphique ne représente, en fait, que des segments tangentiels aux courbes de solution, puisque y’ = dy/dx, évalué pour tous les points (x,y), représente la pente de la ligne tangente au point (x,y).
• Appuyez sur L@CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Puis appuyez sur $, or L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Si vous vouliez tracer ces isoclines sur un papier, il faudrait tracer des lignes tangentes aux lignes des segments du graphique. Ces lignes sont des lignes de y(x,y) = constant, pour la solution de y’ = f(x,y). Les isoclines du graphique sont donc des outils très utiles pour visualiser des opérations particulièrement compliquées.
• • • • • • Modifiez TYPE pour Fast3D. Appuyez sur ˜ et saisissez ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@. Assurez-vous que ‘X’ est sélectionné dans les variables Indep: et ‘Y’ dans les variables Depnd. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la PLOT WINDOW.
• • • Quand vous avez fini, appuyez sur @EXIT. Appuyez sur @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Appuyez sur $, ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Essayez également de tracer un graphique rapide 3D pour la surface z = f(x,y) = sin (x2+y2) • • • • • • Appuyez sur les touches „ô, - simultanément en mode RPN - pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. Appuyez sur ˜ et saisissez ‘SIN(X^2+Y^2)’ @@@OK@@@.
• • • • Assurez-vous que ‘X’ est sélectionné dans les variables Indep: et ‘Y’ dans les variables Depnd. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre PLOT.
Cette version du graphe prend plus d'espace que la version précédente. Nous pouvons changer à nouveau la direction de regard, pour voir une autre version de ce graphe. • • • • • Appuyez sur LL@)PICT @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Modifiez les coordonnées pour pouvoir y lire : XE:3 YE:3 ZE:3 Appuyez sur @ERASE @DRAW pour voir le tracé de la surface. Cette fois, l'ensemble des graphes se trouve à la droite de l'écran. Appuyez sur @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW.
• • Appuyez sur LL@)PICT pour quitter l’environnement EDIT. Appuyez sur @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Puis appuyez sur $ ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Graphiques Ps-Contour Les graphiques Ps-Contour sont des graphiques du contour des surfaces en trois dimensions, par z = f(x,y). Les contours sont des projections des niveaux de surface z = constante sur l'axe x-y.
• • Appuyez sur LL@)PICT @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Appuyez sur $ ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Essayez également de projeter un graphique contour Ps pour la surface z = f(x,y) = sin x cos y. • • • • • Appuyez sur „ô, - simultanément en mode RPN - pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. Appuyez sur ˜ et saisissez ‘SIN(X)*COS(Y)’ @@@OK@@@. Appuyez sur @ERASE @DRAW pour dessiner les isoclines du graphique.
• • • • • • • Appuyez sur les deux touches „ô, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. Modifiez TYPE pour Y-Slice. Appuyez sur ˜ et saisissez ‘X^3+X*Y^3’ @@@OK@@@. Assurez-vous que ‘X’ est sélectionné dans les variables Indep: et ‘Y’ dans les variables Depnd:. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre PLOT.
• Appuyez sur @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Puis appuyez sur $ ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Graphiques gridmap Les graphiques gridmap produisent une grille des courbes orthogonales représentant une fonction d'une variable complexe du type w =f(z) = f(x+iy), où z = x+iy est une variable complexe.
• • Appuyez sur LL@)PICT @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Appuyez sur $ ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice..
• • • Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la PLOT WINDOW. Conservez une échelle de graphique identique pour pouvoir lire : X-Left:-1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High:1, XE: 0, YE:-3, zE:0, Step Indep: 10, Depnd: 8 • • Appuyez sur @ERASE @DRAW pour dessiner la surface tridimensionnelle.
Grâce aux exemples ci-dessus, vous avez la possibilité d’essayer les fonctions LABEL, MENU, PICT , et REPL. De nombreuses fonctions restantes, telles que DOT+, DOT-, LINE, BOX, CIRCL, MARK, DEL etc., peuvent être utilisées pour tracer des points, des lignes, des cercles etc, sur l’écran des graphiques, comme cela a été décrit précédemment.
• Appuyez sur @EDIT L @LABEL pour ajouter des étiquettes d’identification au graphe. Appuyez sur LL (ou „«) pour restaurer le menu EDIT original. Ensuite, nous illustrons l’utilisation des différentes fonctions de dessin sur l’écran graphique qui résulte de ce paramétrage. Elles nécessitent d’utiliser le curseur et les touches directionnelles (š™—˜) pour déplacer le curseur dans l’écran graphique.
LINE Cette commande est utilisée pour tracer une ligne entre deux points dans un graphe. Pour voir comment elle fonctionne, positionnez le curseur quelque part dans le premier quart de l’écran et appuyez sur „«@LINE. Une marque est placée sur le curseur pour indiquer l’origine de la ligne. Utilisez la touche ™ pour déplacer le curseur sur la droite de cet emplacement, disons d’environ un centimètre vers la droite, et appuyez sur @LINE. Une ligne est tracée entre le premier et le dernier points.
boîte est toujours marquée par une croix. En déplaçant le curseur vers un autre endroit et en appuyant sur @BOX@ vous générez une nouvelle boîte contenant le point initial. Pour désélectionner BOX, déplacez le curseur jusqu’au point original où la commande BOX a été activée et appuyez sur @LINE @LINE. CIRCL Cette commande produit un cercle. Marquez le centre du cercle avec la commande MARK puis déplacez le curseur vers un point qui fera partie de la périphérie du cercle et appuyez sur @CIRCL.
MENU En appuyant sur @MENU on efface les dénominations des touches menu pour montrer le graphique non encombré de ces étiquettes. Pour restaurer les étiquettes, appuyez sur L. SUB Utilisez cette commande pour extraire un sous-ensemble d’un objet graphique. L’objet extrait est automatiquement placé dans la pile.
arrière sur l’affichage graphique actuel. Le menu ZOOM comprend les fonctions suivantes (appuyez sur L pour passer au menu suivant) : Nous présentons chacune de ces fonctions ci-dessous. Vous avez juste besoin de produire un graphe comme indiqué au Chapitre 12 ou dansl’un des programmes présentés précédemment dans ce chapitre. ZFACT, ZIN, ZOUT et ZLAST En appuyant sur @)ZFACT, un écran de saisie, qui vous permet de changer les facteurs X et Y actuels, s’affiche.
Vous pouvez toujours retourner à la toute dernière fenêtre de zoom en utilisant @ZLAST. BOXZ Le zoom avant et arrière sur un graphique donné peut être effectué en utilisant la touche menu BOXZ. Avec BOXZ, vous sélectionnez le secteur rectangulaire (la « boîte ») dans laquelle vous voulez effectuer le zoom avant. Déplacez le curseur sur l’un des coins de la boîte (en utilisant les touches directionnelles) et appuyez sur @)ZOOM @BOXZ.
CNTR Effectue un zoom avant avec le centre du zoom à l’emplacement actuel du curseur. Les facteurs de zoom sont les facteurs H et V actuels. ZDECI Effectue un zoom sur le graphe afin d’arrondir les limites de l’intervalle x à une valeur décimale. ZINTG Effectue un zoom sur le graphe afin que les unités pixels deviennent les unités définies par l’utilisateur. Par exemple, la fenêtre PICT minimale a 131 pixels.
Ce menu propose une liste de menus liés au ou système CAS (Computer Algebraic System). Voici ces fonctions : A une seule exception près, tous les menus sont accessibles directement depuis le clavier en effectuant la combinaison de touches appropriée, comme expliqué ci-dessous. La liste indique aussi le Chapitre du manuel de l’utilisateur où les menus sont décrits： ALGEBRA.. ARITHMETIC.. CALCULUS.. SOLVER.. TRIGONOMETRIC.. EXP&LN..
SIGNTAB (fonction): table de signe d’une fonction donnée montrant les intervalles des variations positives et négatives, les points zéro et les asymptotes infinies. TABVAL: table des valeurs pour une fonction TABVAR: table de variation d’une fonction Des exemples de certaines de ces fonctions sont fournis ci-dessous. PLOT (X^2-1) est similaire à „ô avec EQ: X^2 -1. L’utilisation de @ERASE @DRAW produit le tracé: PLOTADD (X^2-X) est similaire à „ô mais en ajoutant cette fonction à EQ: X^2 -1.
Une interprétation détaillée de la table de variation est plus facile à suivre en mode RPN: Le résultat est en format graphique et après simplification, il s’agit finalement d’une table de variation. La table consiste en deux lignes, désignées du côté droit. Par conséquent, la ligne supérieure représente les valeurs de X et la deuxième ligne représente les valeurs de F. Le point d’interrogation indique une incertitude ou l'absence de définition.
Fonction DRAW3DMATRIX Cette fonction prend comme argument une matrice n×m, Z, = [ zij ], nm, Z, = [ zij ] et des valeurs minimales et maximales pour le tracé. Vous souhaitez sélectionner les valeurs de vmin et vmax de telle sorte qu’elles contiennent les valeurs affichées dans Z. L’intitulé général de cette fonction est, par conséquent, DRAW3DMATRIX (Z,vmin,vmax).
Chapitre 13 Applications différentielles Dans ce chapitre, nous discuterons des applications des fonctions de la calculatrice à des opérations de type différentiel, c'est-à-dire les limites, dérivées, intégrales, séries de puissances, etc.
l’incrément de la variable indépendante tend vers zéro. Les limites sont aussi utilisées pour vérifier la continuité d’une fonction. Fonction lim La calculatrice dispose d’une fonction lim pour calculer les limites des fonctions. Cette fonction utilise comme donnée de base une expression représentant une fonction et la valeur à laquelle la limite doit être calculée. La fonction lim est disponible par le biais du catalogue de commande (‚N~„l) ou grâce à l’option 2.
Le symbole infini est associé à la touche 0 (c’est-à-dire : „è).
La fonction DERIV nécessite une fonction, disons f(t), et une variable indépendante, disons t, alors que la fonction DERVX ne nécessite qu’une fonction de VX. Des exemples sont montrés ci-dessous en mode ALG. Se souvenir qu’en mode RPN, les arguments doivent être saisis avant que la fonction ne soit appliquée. Le menu DERIV&INTEG Les fonctions fournies dans ce sous-menu sont également présentées ci-dessous : Parmi ces fonctions, DERIV et DERVX sont utilisées pour les dérivées.
Calcul de dérivées avec ∂ La symbole est facilement accessible grâce à ‚¿ (la touche T). Ce symbole peut être utilisé pour entrer une dérivée dans la pile ou dans l’Editeur d’équations (voir Chapitre 2). Si vous utilisez ce symbole pour écrire une dérivée dans la pile, faites-le suivre immédiatement de la variable indépendante, puis de deux parenthèses entourant la fonction à différencier.
Pour évaluer la dérivée dans l’Editeur d’équations, appuyez sur la flèche haut —, quatre fois afin de sélectionner l’expression entière, puis appuyez sur @EVAL. La dérivée sera évaluée ainsi dans l’Editeur d’équations : Note : le symbole ∂ est utilisé de manière formelle en mathématiques pour indiquer une dérivée partielle, c’est-à-dire la dérivée d’une fonction comprenant plusieurs variables.
Les termes d1 placés devant g(x) et f(g(x)) dans l’expression ci-dessus sont des abréviations utilisées par la calculatrice pour indiquer une première dérivée lorsque la variable indépendante, dans ce cas x, est clairement définie. Ainsi, ce dernier résultat est interprété comme dans la formule pour la règle de chaîne présentée ci-dessus.
Dérivées implicites Les dérivées implicites sont possibles dans les expressions telles que : Application des dérivées On peut utiliser les dérivées pour analyser les graphiques des fonctions et pour optimiser les fonctions d’une variable (c’est-à-dire pour trouver les valeurs minimale et maximale). Quelques exemples de dérivées partielles de premier ordre sont montrés ci-dessous.
• Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanémenten mode RPN - pour accéder à la fenêtre PLOT SETUP. • Remplacez la plage H-VIEW par –2 à 2 et la plage V-VIEW par –5 à 5. • Appuyez sur @ERASE @DRAW pour tracer la fonction en coordonnées polaires. Ainsi se présente le tracé obtenu : • • • • Remarquez les lignes verticales représentant les asymptotes. Elles ne font pas partie du graphique, mais indiquent les points où TAN(X) passe à ± ∞ à certaines valeurs de X.
Fonction DOMAIN La fonction DOMAIN, disponible via le catalogue de commandes (‚N), fournit le domaine de définition d’une fonction sous forme de liste de nombres et de spécifications. Par exemple, indique que de –∞ à 0, la fonction LN(X) n’est pas définie (?), alors que de 0 à +∞, elle est définie (+). D’autre part, indique que la fonction n’est pas définie de –∞ à -1, ni de 1 à +∞. Le domaine de cette fonction est par conséquent -1
Ce résultat indique que la plage de la fonction 1 f (X ) = X 2 +1 2 26 , . 2 26 correspondant au domaine D = { -1,5 } est R = Fonction SIGNTAB La fonction SIGNTAB, disponible par le catalogue de commandes (‚N), fournit des informations sur le signe d’une fonction par le biais de son domaine. Par exemple, pour la fonction TAN(X), SIGNTAB indique que TAN(X) est négatif de –π/2 à 0, et positif de 0 à π /2.
• Deux listes, la première indiquant la variation de la fonction (c’est-àdire l’endroit où elle augmente ou diminue) en fonction de variable indépendante VX, la deuxième indiquant la variation de la fonction en fonction de variable dépendante. • Un objet graphique indiquant la manière dont le tableau de variations a été calculée. Exemple : analysez la fonction Y = X3-4X2-11X+30, à l’aide de la fonction TABVAR.
listes peuvent être utiles à des fins de programmation. Appuyez sur ƒ pour supprimer ce dernier résultat de la pile. L’interprétation du tableau de variations présenté ci-dessus est la suivante : la fonction F(X) augmente pour X dans l’intervalle (-∞, -1), atteignant un maximum égal à 36 à X = -1. Puis, F(X) diminue jusqu’à X = 11/3, atteignant un minimum de -400/27. Après cela, F(X) augmente jusqu’à +∞. De même, à X = ±∞, F(X) = ±∞.
un maximum local. Pour le graphique de y = f(x), il s’ensuit que le maximum absolu dans l’intervalle [a,b] se situe à x = a, alors que le minimum absolu se situe à x = b. Par exemple, pour déterminer l’endroit où apparaissent les points critiques de la fonction 'X^3-4*X^2-11*X+30', on peut utiliser les entrées suivantes en mode ALG : On trouve deux points critiques, l’un à x = 11/3 et l’autre à x = -1.
Dérivées d’ordre supérieur On peut calculer les dérivées d’ordre supérieur en appliquant une fonction de dérivation plusieurs fois, par exemple , Primitive et intégrales La primitive d’une fonction f(x) est une fonction F(x) telle que f(x) = dF/dx. Par exemple, dans la mesure où d(x3) /dx = 3x2, une anti-dérivée f(x) = 3x2 est F(x) = x3 + C, où C est une constante. On, peut représenter une anti-dérivée sous forme d’intégrale indéfinie, c’est-à-dire, seulement si, f(x) = dF/dx, et C = constante.
Remarquez que les fonctions SIGMAVX et SIGMA sont prévues pour des intégrandes qui impliquent un certain type de fonction intégrale comme la fonction factorielle (!), illustrée précédemment. Leur résultat est ce que l’on appelle la dérivée discrète, c’est-à-dire une dérivée qui n’est définie que pour des nombres entiers.
l’intégrale et fournit des champs correspondant aux bornes de l’intégration (a,b), pour la fonction f(x) et pour la variable de l’intégration (x). Les captures d’écran suivantes présentent la construction d’une intégrale particulière. Le curseur d’insertion est d’abord situé à la borne inférieure de l’intégration : entrez une valeur et appuyez sur la flèche droite (™) pour passer à la borne supérieure de l’intégration.
Evaluation pas à pas des dérivées et des intégrales Si l’option pas à pas de la fenêtre CAS MODES est sélectionnée (voir Chapitre 1), l’évaluation des dérivées et des intégrales sera présentée pas à pas. Par exemple, voici l’évaluation d’une dérivée dans l’Editeur d’équations : Remarquez l’application de la règle de la chaîne à la première étape, qui laisse la dérivée de la fonction sous l’intégrale explicitement dans le numérateur.
Remarquez que le processus pas à pas fournit des informations sur les étapes intermédiaires, suivies du CAS permettant de résoudre cette intégrale. Dans un premier temps, le CAS identifie une intégrale de racine carrée, puis une fraction rationnelle, suivie d’une deuxième expression rationnelle, pour aboutir au résultat final. Remarquez que ces étapes sont très logiques pour la calculatrice, même si les informations fournies à l’utilisateur sur les étapes individuelles sont insuffisantes.
Substitution ou changement de variables Supposons que nous souhaitions calculer l’intégrale. ∫ 2 0 x 1− x2 dx Si nous utilisons le calcul pas à pas dans l’Editeur d’équations, voici la séquence des substitutions de variables : Cette deuxième étape indique la substitution appropriée à utiliser : u = x2-1. Les quatre dernières étapes présentent la progression de la solution : une racine carrée, suivie d’une fraction, d’une seconde fraction et du résultat final.
Intégration par parties et différentielles La différentielle d’une fonction y = f(x), est défini comme y = f’(x) dx, où f’(x) est la dérivée de f(x). On utilise les différentielles pour représenter les petits incréments des variables. La différentielle du produit de deux fonctions, y = u(x)v(x), est donné par dy = u(x)dv(x) +du(x)v(x), ou, plus simplement, d(uv) = udv - vdu. Ainsi, l’intégrale de udv = d(uv) - vdu, ∫ s’écrit.
Intégration par fractions partielles La fonction PARTFRAC, présentée au Chapitre 5, fournit la décomposition d’une fraction en fractions partielles. Cette technique est utile pour réduire une fraction complexe en une somme de fractions simples qui peuvent ensuite être intégrées terme par terme.
∫ ∞ 1 ε dx dx . = lim ε→∞ ∫ 1 x 2 x2 En utilisant la calculatrice, on procède comme suit : On peut aussi calculer l’intégrale jusqu’à l’infini à partir du début, par exemple, Intégration avec des unités Une intégrale peut être utilisée avec des unités incorporées dans les bornes de l’intégration, comme indiqué dans l’exemple ci-dessous du mode ALG, le système CAS étant paramétré sur mode Approx. La figure du côté gauche indique l’intégrale affichée dans la pile avant le appui sur `.
bornes de l’intégrale seront affichées dans un format différent de celui cidessous : Ces bornes représentent 1×1_mm et 0×1_mm, ce qui est pareil que 1_mm et 0_mm, comme précédemment. Faites attention avec les différents types de format.
4 – Si les bornes de l’intégration et l’intégrande ont des unités, les unités sont combinées selon les règles de l’intégration. Par exemple, Séries infinies ∞ Une série infinie se présente sous la forme ∑ h ( n)( x − a ) n . La série infinie n = 0 ,1 débute généralement par les indices n = 0 ou n = 1. Chaque terme de la série possède un coefficient h(n) qui dépend de l’indice n.
∞ f ( x) = ∑ n =0 f ( n ) ( 0) n ⋅x n! Polynôme de Taylor et rappel Dans la pratique, on ne peut pas évaluer tous les termes d’une série infinie ; on effectue une approximation de la série par un polynôme de l’ordre k, Pk(x), et on estime l’ordre d’un reste, Rk(x), tel que k f ( x) = ∑ n =0 ∞ f ( n ) ( xo ) f ( n ) ( xo ) ⋅ ( x − xo ) n + ∑ ⋅ ( x − xo ) n , n! n! n = k +1 f ( x) = Pk ( x) + Rk ( x). c’est-à-dire, Le polynôme Pk(x) est appelé polynôme de Taylor.
La fonction TAYLOR0 effectue un développement en séries de Maclaurin, c’està-dire de X = 0, d’une variable indépendante par défaut VX (généralement ‘X’). Le développement utilise une puissance relative de 4ème degré, à savoir la différence entre la puissance la plus forte et la plus faible du développement est 4. Par exemple, La fonction TAYLR produit un développement en séries de Taylor d’une fonction de n’importe quelle variable x de point x = a pour l’ordre k spécifié par l’utilisateur.
Du fait de la relative grande quantité de données produites, cette fonction est plus facile à manipuler en mode RPN. Par exemple : Déplacez le contenu du niveau de pile 1 vers le bas en appuyant sur ƒ, puis saisissez µ, pour décomposer la liste. Les résultats sont les suivants : Dans l’illustration de droite ci-dessus, nous utilisons l’éditeur de lignes pour voir le développement des séries en détail.
Chapitre 14 Applications différentielles à plusieurs variables Les calculs différentiels se réfèrent à des fonctions de deux variables ou plus. Dans ce chapitre, nous discuterons des concepts de base des calculs différentiels à plusieurs variables, y compris les dérivées partielles et les intégrales multiples. Fonctions de plusieurs variables Une fonction à deux variables ou plus peut être définie dans la calculatrice en utilisant la fonction DEFINE („à).
f ( x + h, y ) − f ( x , y ) ∂f . = lim h ∂x h→0 De même, ∂f f ( x, y + k ) − f ( x, y ) = lim . ∂y k →0 k Nous utiliserons les fonctions à plusieurs variables définies auparavant pour calculer les dérivées partielles en utilisant ces définitions. Voici les dérivées partielles. Ci-dessous les dérivées de f(x,y) par rapport à x et y, respectivement : Noter que la définition d’une dérivée partielle par rapport à x, par exemple, nécessite que nous conservions y fixe tout en prenant la limite telle que h 0.
De façon similaire, vous pouvez utiliser les fonctions de dérivation de la calculatrice, c’est-à-dire DERVX, DERIV, ∂ (décrites en détail au Chapitre 13) pour calculer des dérivées partielles. N’oubliez pas que la fonction DERVX utilise la variable par défaut du CAS VX (généralement, ‘X’) et que, par conséquent, vous ne pourrez calculer avec DERVX que des dérivées par rapport à X.
∂2 f ∂2 f . = ∂y∂x ∂x∂y Les dérivées de troisième, quatrième… ordres ou d’ordres supérieurs sont définies de la même manière. Pour calculer des dérivées d’ordres supérieurs, répéter simplement la fonction de dérivation autant de fois que nécessaire. Quelques exemples sont montrés ci-dessous : Règle de dérivation en chaîne des dérivées partielles Considérons la fonction z = f(x,y), telle que x = x(t) et y = y(t).
à la première variable indépendante, à savoir x" ou d1z(x(t),y(t)) = ∂z/∂x. De même, d2z(x(t),y(t)) = ∂z/∂y. Par conséquent, l’expression ci-dessus doit être interprétée comme : dz/dt = (dy/dt)⋅(∂z/∂y) + (dx/dt)⋅(∂z/∂x). Différentielle totale d’une fonction z = z(x,y) Partant de la dernière équation, si nous la multiplions par dt, nous obtenons la différentielle totale de la fonction z = z(x,y), à savoir : dz = (∂z/∂x)⋅dx + (∂z/∂y)⋅dy.
f(X,Y) = X3-3X-Y2+5. D’abord, nous définissons la fonction f(X,Y) et ses dérivées fX(X,Y) = ∂f/∂X, fY(X,Y) = ∂f/∂Y. Ensuite, nous résolvons les équations fX(X,Y) = 0 et fY(X,Y) = 0 simultanément : Nous trouvons les points critiques à (X,Y) = (1,0) et (X,Y) = (-1,0). Pour calculer le discriminant, nous continuons par le calcul des dérivées secondes fXX(X,Y) = ∂2f/∂X2, fXY(X,Y) = ∂2f/∂X/∂Y et fYY(X,Y) = ∂2f/∂Y2.
Utilisation de la fonction HESS pour analyser les extrêmes La fonction HESS peut être utilisée pour analyser les extrêmes d’une fonction à deux variables, comme cela est démontré ci-dessous. La fonction HESS, en général, prend comme donnée de départ une fonction de n variables indépendantes φ(x1, x2, …,xn) et un vecteur des fonctions [‘x1’ ‘x2’…’xn’].
Les variables s1 et s2, à ce stade, contiennent, respectivement les vecteurs [‘X=-1’,’Y=0] et [‘X=1’,’Y=0]. La matrice Hessienne est au niveau 1 à ce stade. ‘H’ K J @@@H@@@ @@s1@@ SUBST ‚ï Enregistrer la matrice Hessienne Substituer s1 dans H La matrice résultante A contient a11 éléments a11 = ∂2φ/∂X2 = -6., a22 = ∂2φ/∂X2 = -2., et a12 = a21 = ∂2φ/∂X∂Y = 0. Le discriminant, pour ce point critique s1(-1,0) est ∆ = (∂2f/∂x2)⋅ (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 = (-6.)(-2.) = 12.0 > 0.
Il est très simple de calculer une intégrale double avec la calculatrice. Une intégrale double peut être construire dans l’Editeur d’équation (voir l’exemple au Chapitre 2). Un exemple est présenté ci-dessous. Cette intégrale double est calculée directement dans l’Editeur d’équation en sélectionnant toute l’expression et en utilisant la fonction @EVAL. Le résultat est 3/2. La progression du résultat pas à pas est possible en paramétrant l’option Step/Step dans l’écran CAS MODES.
Intégrale double en coordonnées polaires Pour passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes nous utilisons x(r,θ) = r cos θ et y(r, θ) = r sin θ.
Chapitre 15 Applications d’analyse vectorielle Dans ce chapitre nous vous présentons plusieurs fonctions du menu CALC qui s’appliquent à l’analyse de champs scalaires et vectoriels. Le menu CALC a été présenté dans le détail au Chapitre 13. En particulier, dans le menu DERIV&INTEG, nous avons identifié un certain nombre de fonctions qui ont des applications en analyse vectorielle, à savoir CURL, DIV, HESS, LAPL. Pour les exercices de ce chapitre, paramétrez votre mesure d’angle en radians.
Le produit scalaire du gradient d’une fonction par un vecteur d’unité donnée représente le taux de variation de la fonction le long de ce vecteur particulier. Ce taux de variation s’appelle la dérivée directionnelle de la fonction, Duφ(x,y,z) = u•∇φ. A n’importe quel point particulier, le taux de variation maximum de la fonction intervient dans la direction du gradient, c’est-à-dire le long d’un vecteur d’unité u = ∇φ/|∇φ|.
Utilisation de la fonction HESS pour obtenir le gradient La fonction HESS peut être utilisée pour obtenir le gradient d’une fonction comme indiqué ci-dessous. Comme indiqué au Chapitre 14, la fonction HESS prend comme donnée de base une fonction de n variables indépendantes φ(x1, x2, …,xn) et un vecteur de fonctions [‘x1’ ‘x2’…’xn’].
Puisque la fonction SQ(x) représente x2, ce résultat indique la fonction potentielle du champ de vecteurs F(x,y,z) =xi+yj+zk, is φ(x,y,z) = (x2+y2+z2)/2. Noter que les conditions d’existence de φ(x,y,z), à savoir f = ∂φ/∂x, g = ∂φ/∂y, et h = ∂φ/∂z sont équivalentes aux conditions : ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x et ∂g/∂z = ∂h/∂y. Ces conditions fournissent une manière rapide de déterminer si le champ de vecteurs a une fonction potentielle associée.
Laplacien La divergence du gradient d’une fonction scalaire produit un opérateur que l’on appelle l’opérateur Laplacien. Par conséquent, le Laplacien d’une fonction scalaire φ(x,y,z) est donné par ∇ 2φ = ∇ • ∇ φ = ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 L’équation différentielle partielle ∇2φ = 0 est connue comme l’équation de Laplace. La fonction LAPL peut être utilisée pour calculer le Laplacien d’une fonction scalaire.
Le rotationnel d’un champ de vecteurs peut être calculée avec la fonction CURL. Par exemple, pour la fonction F(X,Y,Z) = [XY,X2+Y2+Z2,YZ], le rotationnel est calculé comme suit : Champ non rotationnel et fonction potentielle Dans une section précédente du présent chapitre, nous avons introduit la fonction POTENTIAL pour calculer la fonction potentielle φ(x,y,z) pour un champ de vecteurs, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+ g(x,y,z)j+ h(x,y,z)k, tel que F = grad φ = ∇φ.
Vecteur potentiel Etant donné un champ de vecteurs F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k, s’il existe, il existe une fonction vectorielle Φ(x,y,z) = φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k telle que F = curl Φ = ∇× Φ, fonction Φ(x,y,z) que l’on appelle le vecteur potentiel F(x,y,z). La calculatrice fournit une fonction VPOTENTIAL, disponible par l’intermédiaire du catalogue de commande (‚N) pour calculer le vecteur potentiel Φ(x,y,z), étant donné le champ de vecteurs F(x,y,z)=f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k.
Les composantes d’un champ de vecteurs donné F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j +h(x,y,z)k et celles d’une fonction de vecteur potentiel, Φ(x,y,z) = φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k sont liées par f = ∂η/∂y - ∂ψ/∂x, g = ∂φ/∂z ∂η/∂x, et h = ∂ψ/∂x - ∂φ/∂y. Une des conditions pour que la fonction Φ(x,y,z) existe est que div F = ∇•F = 0, c’est-à-dire : ∂f/∂x + ∂g/∂y + ∂f/∂z = 0. Par conséquent, si cette condition n’est pas satisfaite, la fonction de vecteur potentiel Φ(x,y,z) n’existe pas.
Chapitre 16 Equations différentielles Dans ce Chapitre, nous vous présentons des exemples de résolution d’équations différentielles ordinaires (ODE) en utilisant les fonctions de la calculatrice. Une équation différentielle est une équation impliquant les dérivées de la variable indépendante. Dans la plupart des cas, nous cherchons la fonction dépendante qui satisfait l’équation différentielle.
„Ü~„x™™™+3*~ „u„Ü ~„x™*‚¿~„x„ Ü~„u„ Ü ~„x ™™ +~„u„ Ü ~„x™ Q2 ‚ Å 1/ ~„x` Le résultat est ‘∂x(∂x(u(x)))+3*u(x)*∂x(u(x))+u^2=1/x ’. Ce format s’affiche à l’écran quand l’option _Textbook n’est pas sélectionnée sur l’écran de paramètre d’affichage (H@)DISP). Appuyez sur ˜ pour voir l’équation dans l’Editeur d’équations.
Vérifier des solutions avec la calculatrice Pour vérifier si une fonction satisfait une équation donnée en utilisant la calculatrice, utilisez la fonction SUBST (voir Chapitre 5) pour remplacer la solution sous forme ‘y = f(x)’ ou ‘y = f(x,t)’ etc. dans l’équation différentielle. Il se peut que vous ayez besoin de simplifier le résultat en utilisant la fonction EVAL pour vérifier la solution.
tracé. Ces lignes constituent les lignes de y(x,y) = constante, pour la solution de y’ = f(x,y). Par conséquent, les tracés d'isoclines sont des outils utiles pour visualiser les équations particulièrement difficiles à résoudre. En résumé les tracés isoclines sont des aides graphiques pour ébaucher le tracé des courbes y = g(x) qui correspondent aux solutions de l’équation différentielle dy/dx = f(x,y). Le menu CALC/DIFF Le sous-menu DIFFERENTIAL EQNS.
Solution des équations linéaires et non linéaires Une équation dans laquelle la variable dépendante et toutes ses dérivées pertinentes sont du premier degré est appelée équation différentielle linéaire . Dans le cas contraire, l’équation est dite non linéaire. Exemples d’équations différentielles linéaires : d2x/dt2 + β⋅(dx/dt) + ωo⋅x = A sin ωf t et ∂C/∂t + u⋅(∂C/∂x) = D⋅(∂2C/∂x2).
Ici cC0, cC1 et cC2 sont des constantes d’intégration. Ce résultat peut sembler compliqué, mais il peut être simplifié si K1 = (10*cC0-(7+cC1-cC2))/40, K2 = -(6*cC0-(cC1+cC2))/24, et K3 = (15*cC0+(2*cC1-cC2))/15. La solution devient alors : y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x.
prouver que les termes restants dans la solution présentée ci-dessus, à savoir : yp = (450⋅x2+330⋅x+241)/13500, constituent une solution particulière à l’ ODE. Note: Ce résultat est général pour toutes les ODE linéaires non homogènes, c’est-à-dire étant donné la solution de l’équation homogène yh(x), la solution de l’équation non homogène correspondante, y(x), peut s’écrire, y(x) = yh(x) + yp(x), où yp(x) est une solution particulière de l’ODE.
La solution est donnée par un vecteur contenant les fonctions [x1(t), x2(t)]. En appuyant sur ˜ , vous lancez l’Editeur de matrice permettant à l’utilisateur de voir les deux composantes du vecteur. Pour voir tous les détails de chaque composante, appuyez sur la touche menu @EDIT!.
Vous remarquerez dans les intitulés des touches menu une nouvelle variable appelée @ODETY (ODETYPE). Cette variable, qui s’affiche lorsqu’on fait appel à la fonction DESOL, donne accès à une chaîne présentant le type d’ ODE utilisé comme donnée de base de DESOLVE. Appuyez sur @ODETY pour obtenir la chaîne “1st order linear”. Exemple 2 -- Résoudre l'ODE du deuxième ordre : d2y/dx2 + x (dy/dx) = exp(x).
y ( x) = ∫ ⋅ ex + C dx + C 0 x En effectuant l’intégration à la main, vous ne pouvez pas aller plus loin que : ex y ( x) = ∫ ⋅ dx + C ⋅ ln x + C 0 x parce que l’intégrale de exp(x)/x n’est pas disponible en forme fermée. Exemple 3 – Résolution d’une équation à conditions initiales. Résoudre d2y/dt2 + 5y = 2 cos(t/2), avec les conditions initiales y(0) = 1.2, y’(0) = -0.5.
Saisissez µµ pour simplifier le résultat. ‘y(t) = -((19*√5*SIN(√5*t)-(148*COS(√5*t)+80*COS(t/2)))/190)’. Appuyez sur J @ODETY pour obtenir la chaîne “Linear w/ cst coeff” pour le type d’ODE correspondant à ce cas. Transformations de Laplace La transformation de Laplace d’une fonction f(t) produit une fonction F(s) dans le domaine image qui peut être utilisée pour résoudre, grâce à des méthodes algébriques, une équation différentielle linéaire impliquant f(t) .
par conséquent, la définition de la transformation de Laplace donnée cidessus implique une intégration pour des valeurs de t supérieures à zéro. La transformation de Laplace inverse calque la fonction F(s) sur la fonction initiale f(t) dans le domaine temporel, tel que L -1{F(s)} = f(t). L'intégrale de convolution ou produit de convolution de deux fonctions f(t) et g(t), où g est décalé dans le temps, est définie comme ( f * g )( t ) = ∫ t 0 f ( u ) ⋅ g ( t − u ) ⋅ du .
et vous remarquerez que la variable par défaut du CAS X dans l’Editeur d’équations remplace la variable s dans cette définition. Par conséquent, quand vous utilisez la fonction LAP, vous obtenez une fonction de X, qui est la transformation de Laplace de f(X). Exemple 2 – Obtenir la définition de la transformation de Laplace de f(t) = e2t⋅sin(t). Utilisez: ‘EXP(2*X)*SIN(X)’ ` LAP. La calculatrice renvoie le résultat suivant : 1/(SQ(X-2)+1). Appuyez µ pour obtenir, 1/(X2-4X+5).
• Théorème de différentiation pour la première dérivée. Supposons que fo est la condition initiale de f(t), à savoir f(0) = fo, alors L{df/dt} = s⋅F(s) - fo. Exemple 1 – La vélocité d’une particule mobile v(t) est définie par v(t) = dr/dt, où r = r(t) est la position de cette particule. Supposons que ro = r(0) et que R(s) =L{r(t)}, alors la transformation de la vélocité peut s’écrire :V(s) = L{v(t)}=L{dr/dt}= s⋅R(s)-ro. • Théorème de différentiation pour la seconde dérivée.
‘-6/(X^4+4*a*X^3+6*a^2*X^2+4*a^3*X+a^4)’ ou d3F/ds3 = -6/(s4+4⋅a⋅s3+6⋅a2⋅s2+4⋅a3⋅s+a4). Maintenant, utilisez : ‘(-X)^3*EXP(-a*X)’ ` LAP µ. Le résultat est exactement le même. • Théorème d’intégration. Supposons que F(s) = L{f(t)}, alors L • {∫ t 0 } f (u )du = 1 ⋅ F ( s ). s Théorème de convolution.
• • • Théorème de similarité. Supposons que F(s) = L{f(t)} et que a>0, alors L{f(a⋅t)} = (1/a)⋅F(s/a). Théorème d’amortissement. Supposons que F(s) = L{f(t)} et que L{e–bt⋅f(t)} = F(s+b). Théorème de division. Supposons que F(s) = L{f(t)}, alors ∞ f (t ) L = ∫ s F (u )du. t • Transformation de Laplace d’une fonction périodique de période T: L{ f (t )} = • T 1 ⋅ f (t ) ⋅ e − st ⋅ dt.
De même, si f(x) est une fonction continue, alors ∫ ∞ −∞ f ( x)δ ( x − x0 )dx = f ( x0 ). Une interprétation de l’intégrale ci-dessus, paraphrase de celle de Friedman (1990), consiste à dire que la fonction δ“sélectionne ” la valeur de la fonction f(x) at x = x0. La fonction delta de Dirac est généralement représentée par une flèche vers le haut au point x = x0, indiquant que la fonction a une seule valeur non égale à zéro pour cette valeur particulière de x0.
De même, en utilisant le théorème du retard pour un déplacement vers la droite, L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s), nous pouvons écrire que L{H(t-k)}=e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = (1/s)⋅e–ks. Un autre résultat important, connu comme le second théorème du retard pour un déplacement vers la droite, est que L -1{e–as ⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a), avec F(s) = L{f(t)}. Dans la calculatrice, la fonction d’étape de Heaviside H(t) est simplement nommée ‘1’.
L{df/dt} = s⋅F(s) - fo, L{d2f/dt2} = s2⋅F(s) - s⋅fo – (df/dt) o, et, en général : L{dnf/dtn} = sn⋅F(s) – sn-1⋅fo −…– s⋅f(n-2)o – f (n-1) , o sont particulièrement utiles pour transformer une ODE en équation algébrique. Exemple 1 – Pour résoudre une équation du premier ordre telle que : dh/dt + k⋅h(t) = a⋅e–t, en utilisant la transformation de Laplace, nous pouvons écrire : L{dh/dt + k⋅h(t)} = L{a⋅e–t}, L{dh/dt} + k⋅L{h(t)} = a⋅L{e–t}. Note: ‘EXP(-X)’ ` LAP , produit ‘1/(X+1)’, à savoir L{e–t }=1/(s+1).
. En remplaçant X par t dans cette Le résultat est expression et après simplification, le résultat devient h(t) = a/(k-1)⋅e-t +((k-1)⋅ho-a)/(k-1)⋅e-kt. Vérifiez quelle serait la solution à l’ODE si vous utilisiez la fonction LDEC : ‘a*EXP(-X)’ ` ‘X+k’ ` LDEC µ Le résultat est : , c’est-à-dire : h(t) = a/(k-1)⋅e-t +((k-1)⋅cCo-a)/(k-1)⋅e-kt. Par conséquent, cC0 dans les résultats de la fonction LDEC représente la condition initiale h(0).
Note: ‘SIN(3*X)’ ` LAP µ produit ‘3/(X^2+9)’, à savoir L{sin 3t}=3/(s2+9). Avec Y(s) = L{y(t)}, et L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, ou yo = h(0) and y1 = h’(0), l’équation transformée est s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + 2⋅Y(s) = 3/(s2+9). Utilisez la calculatrice pour résoudre Y(s), en écrivant : ‘X^2*Y-X*y0-y1+2*Y=3/(X^2+9)’ ` ‘Y’ ISOL Le résultat est ‘Y=((X^2+9)*y1+(y0*X^3+9*y0*X+3))/(X^4+11*X^2+18)’.
i.e., the same as before with cC0 = y0 and cC1 = y1. Note: En utilisant les deux exemples présentés ici, nous pouvons confirmer ce que nous avons indiqué plus tôt, à savoir que la fonction ILAP utilise la transformation de Laplace et la transformation de Laplace inverses pour résoudre des ODE linéaires à partir de la partie droite de l’équation et de l’équation caractéristique de l’ODE homogène correspondante. Exemple 3 – Considérons l’équation d2y/dt2+y = δ(t-3), où δ(t) est la fonction delta de Dirac.
Le résultat est ‘y1*SIN(X)+y0*COS(X)+SIN(X-3)*Heaviside(X-3)’. Notes : [1] Une autre méthode pour obtenir la transformation de Laplace inverse Cela signifie que la calculatrice « a jeté l’éponge » et a décidé de ne pas trouver une transformée de Laplace inverse pour l’expression ‘(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)’.
si nous pouvons trouver une transformée de Laplace inverse 1/(s2+1). Avec la calculatrice, essayez de saisir : ‘1/(X^2+1)’ ` ILAP. Le résultat est : ‘SIN(X)’. Par conséquent, L -1{e–3s/(s2+1))} = sin(t-3)⋅H(t-3) Vérifiez quelle serait la solution à l’ODE si vous utilisiez la fonction LDEC : ‘Delta(X-3)’ ` ‘X^2+1’ ` LDEC µ Le résultat est : ‘SIN(X-3)*Heaviside(X-3) + cC1*SIN(X) + cC0*COS(X)+’. Remarquez que la variable X dans cette expression représente en fait la variable t de l’ODE initiale.
Exemple 1 – Pour visualiser un tracé de H(t-2), par exemple, utiliser un tracé de type FUNCTION (voir Chapitre 12): • • Appuyez sur „ô, - simultanément en mode RPN - pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. Modifiez TYPE pour Function, si besoin est Modifiez EQ pour ‘H(X-2)’. Vérifiez que Indep est aussi sur ‘X’. Appuyez sur L @@@OK@@@ pour revenir à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre PLOT.
Appuyez sur @EDIT L @LABEL pour voir le tracé. Le graphe résultant ressemble à ceci : Notez que le signal commence avec une amplitude relativement faible, puis soudain, en t=3, il bascule en signal oscillatoire avec une plus grande amplitude. La différence de comportement avant et après t = 3 coïncide avec « l’enclenchement » de la solution particulière yp(t) = sin(t-3)⋅H(t-3).
ILAP obtient la transformée de Laplace inverse Le résultat est ‘y1*SIN(X-1)+y0*COS(X-1)-(COS(X-3)-1)*Heaviside(X-3)’. Par conséquent, nous écrivons la solution : y(t) = yo cos t + y1 sin t + H(t3)⋅(1+sin(t-3)).
A nouveau, on constate une nouvelle composante du mouvement en t=3, à savoir que la solution particulière yp(t) = [1+sin(t-3)]⋅H(t-3), ce qui change la nature de la solution pour t>3. La fonction d’étape de Heaviside peut être combinée avec une fonction constante et avec des fonctions linéaires pour générer des impulsions finies, carrées, triangulaires et en dents de scie, comme suit : • Impulsion carrée de taille Uo dans l’intervalle a < t < b : f(t) = Uo[H(t-a)-H(t-b)].
Séries de Fourier Les séries de Fourier sont des séries impliquant des fonctions sinus et cosinus qui sont généralement utilisées pour développer des fonctions périodiques. Une fonction f(x) est dite périodique, de période T, si f(x+T) = f(t). Par exemple, parce que sin(x+2π) = sin x et cos(x+2π) = cos x, les fonctions sin et cos sont des fonctions périodiques de période 2π.
Ensuite, nous utilisons l’Editeur d’équations pour calculer les coefficients : Par conséquent, les trois premiers termes de la fonction sont : f(t) ≈ 1/3 – (4/π2)⋅cos (π⋅t)+(2/π)⋅sin (π⋅t). Une comparaison graphique de la fonction initiale avec le développement de Fourier utilisant ces trois termes montre que l’adéquation est acceptable pour t < 1 ou alentour. Mais, là encore, nous avons stipulé que T/2 = 1. Par conséquent, l’adéquation n’est valable que pour –1 < t < 1.
où cn = 1 T 2 ⋅ i ⋅ n ⋅π f (t ) ⋅ exp(− ⋅ t ) ⋅ dt , n = −∞,...,−2,−1,0,1,2,..∞ . ∫ T 0 T La fonction de FOURIER fournit le coefficient cn de la forme complexe des séries de Fourier étant donnée la fonction f(t) et la valeur de n. La fonction de FOURIER nécessite que vous enregistriez la valeur de la période (T) d’une fonction périodique T dans la variable du CAS PERIOD avant d’utiliser la fonction. La fonction de FOURIER est disponible dans le sous-menu DERIV du menu („Ö).
Retournez au sous-répertoire où vous avez défini les fonctions f et g et calculez les coefficients (les modifications sont autorisées en mode Complex, le cas échéant) : Par conséquent, c0 = 1/3, c1 = (π⋅i+2)/π2, c2 = (π⋅i+1)/(2π2). Les séries de Fourier à trois éléments seront écrites comme suit : g(t) ≈ Re[(1/3) + (π⋅i+2)/π2⋅exp(i⋅π⋅t)+ (π⋅i+1)/(2π2)⋅exp(2⋅i⋅π⋅t)].
Une expression générale pour cn La fonction de FOURIER peut fournir une expression générale pour le coefficient cn du développement complexe des séries de Fourier.
Construire les séries de Fourier complexes Ayant déterminé l’expression générale de cn, nous pouvons construire des séries de Fourier finies complexes en utilisant la fonction somme (Σ) de la calculatrice comme suit : • Tout d’abord, définir une fonction c(n) représentant le terme général cn dans les séries de Fourier complexes. • Ensuite, définir les séries de Fourier finies complexes, F(X,k), où X est la variable indépendante et k détermine le nombre de termes à utiliser.
où T est la période T = 2. Les saisies d’écran ci-dessous présentent la définition de la fonction F et l’enregistrement de T = 2: La fonction @@@F@@@ peut être utilisée pour générer l’expression des séries de Fourier finies complexes pour une valeur finie de k. Par exemple, pour k = 2, c0 = 1/3 et, utilisant t comme variable indépendante, nous pouvons évaluer F(t,2,1/3) pour obtenir : Ce résultat ne montre que les premiers termes (c0) et une partie du premier terme exponentiel des séries.
Acceptez le changement en mode Approx selon que de besoin est. Le résultat est –0.40467…. La valeur réelle de la fonction g(0.5) est g(0.5) = -0.25. Les calculs suivants montrent combien les séries de Fourier parviennent à donner une bonne approximation de cette valeur quand le nombre des composantes des séries, donné par k, augmente : F F F F F F (0.5, (0.5, (0.5, (0.5, (0.5, (0.5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1/3) 1/3) 1/3) 1/3) 1/3) 1/3) = = = = = = (-0.303286439037,0.) (-0.404607622676,0.) (-0.192401031886,0.
Remarquez que les séries, avec 5 termes, “embrassent” le graphe de la fonction assez étroitement dans l’intervalle 0 à 2 (à savoir pendant la période T = 2). Vous pouvez aussi remarquer une périodicité dans le graphique des séries. Cette périodicité est facile à visualiser en augmentant l’échelle des abscisses sur le tracé à (-0.
La calculatrice vous demandera un changement en mode Approx à cause de l’intégration de la fonction IFTE() incluse dans l’intégrant. En acceptant, le changement sur Approx donne c0 = 0.5. Si nous voulons maintenant obtenir une expression générique pour le coefficient cn nous pouvons utiliser : La calculatrice renvoie une intégrale qui ne peut pas être évaluée numériquement car elle dépend du paramètre n.
Souvenez-vous que einπ = cos(nπ) + i⋅sin(nπ) = (-1)n . En procédant à cette substitution dans le résultat ci-dessus, nous obtenons : Appuyez sur `` pour copier ce résultat à l’écran. Ensuite, réactivez l’Editeur d’équations pour calculer la deuxième intégrale définissant le coefficient cn, à savoir, Une fois de plus, remplacez einπ = (-1)n, en utilisant e2inπ = 1, vous obtenez alors : Appuyez sur `` pour copier ce deuxième résultat sur l’écran.
En appuyant ˜, vous envoyez ce résultat dans l’Editeur d’équations, où vous pouvez le simplifier (@SIMP@) comme suit : Une fois de plus, remplacez einπ = (-1)n, ce qui donne Ce résultat est utilisé pour définir la fonction c(n) comme suit : DEFINE(‘c(n) = - (((-1)^n-1)/(n^2*π^2*(-1)^n)’) à savoir : Ensuite, nous définissons la fonction F(X,k,c0) afin de calculer les séries de Fourier (si vous avez effectué l’exemple 1, cette fonction est déjà enregistrée) : Page 16-40
DEFINE(‘F(X,k,c0) = c0+Σ(n=1,k,c(n)*EXP(2*i*π*n*X/T)+ c(-n)*EXP(-(2*i*π*n*X/T))’), Afin de comparer la fonction initiale et les séries de Fourier, nous pouvons produire le tracé simultané des deux fonctions.
Les séries de Fourier peuvent être utilisées pour générer une onde triangulaire périodique (ou onde en dents de scie) en changeant l’échelle des abscisses, par exemple, de –2 à 4. Le graphe présenté ci-dessous utilise k = 5: Séries de Fourier pour une onde carrée Une onde carrée peut être générée en utilisant la fonction 0, if 0 < x < 1 g ( x) = 1, if 1 < x < 3 0, if 3 < x < 4 Dans ce cas, la période T est 4. S’assurer de changer la valeur de la variable @@@T@@@ to 4 (utilisez : 4 K @@@T@@ `).
c0 = 1 3 ⋅ 1 ⋅ dX = 0.5 , T ∫1 et Nous pouvons simplifier cette expression en utilisant einπ/2 = in et e3inπ/2 = (-i)n afin d’obtenir : La simplification de la partie droite de c(n) ci-dessus, est plus facile sur papier (autrement dit manuellement). Ensuite, retapez l’expression de c(n) comme indiqué sur l’illustration de gauche ci-dessus, afin de définir la fonction c(n). Les séries de Fourier sont calculées avec F(X,k,c0), comme dans les exemples 1 et 2 ci-dessus, avec c0 = 0.5.
Pour k = 20, l’adéquation est encore meilleure, mais le graphe est plus long à produire : Applications des séries de Fourier aux équations différentielles Supposons que nous voulions utiliser une onde périodique carrée définie dans l’exemple précédent comme excitation d’un système de «masse-ressort» non amorti dont l’équation homogène est : d2y/dX2 + 0.25y = 0. Nous pouvons générer une force d’excitation en obtenant une approximation avec k =10 à partir des séries de Fourier en utilisant SW(X) = F(X,10,0.
Une pression sur la commande ˜ vous permet de voir la totalité de l’expression dans l’Editeur d’équations. En explorant l’équation dans l’Editeur d’équations, on constate l’existence de deux constantes d’intégration, cC0 et cC1. Ces valeurs seraient calculées en utilisant des conditions initiales. Supposons que nous utilisions les valeurs cC0 = 0.5 et cC1 = -0.5 ; nous pouvons remplacer ces valeurs dans la solution ci-dessus en utilisant la fonction SUBST (voir Chapitre 5).
La solution est présentée ci-dessous : Transformations de Fourier Avant de présenter le concept de transformations de Fourier, nous allons discuter de la définition générale d’une transformation intégrale. En général, une transformation intégrale est une transformation qui lie une fonction f(t) à une nouvelle fonction F(s) par une intégration de forme b F ( s ) = ∫ κ ( s, t ) ⋅ f (t ) ⋅ dt. La fonction κ(s,t) est connue comme le noyau de a la transformation.
Les amplitudes de An seront désignées comme le spectre de la fonction et seront une mesure de magnitude de la composante f(x) de fréquence fn = n/T. La fréquence de base, ou fréquence fondamentale des séries de Fourier, étant f0 = 1/T, par conséquent, toutes les autres fréquences sont des multiples de cette fréquence de base, à savoir fn = n⋅f0.
où C (ω ) = 1 2π ⋅∫ ∞ −∞ f ( x) ⋅ cos(ω ⋅ x) ⋅ dx, et S (ω ) = 1 2π ⋅∫ ∞ −∞ f ( x) ⋅ sin(ω ⋅ x) ⋅ dx. Le spectre continu est donné par la formule A(ω ) = [C (ω )] 2 + [ S (ω )] 2 Les fonctions C(ω), S(ω), et A(ω) sont des fonctions continues d’une variable ω, qui devient la variable transformée pour les transformations de Laplace définies ci-dessus. Exemple 1 – Déterminer les coefficients C(ω), S(ω) et le spectre continu A(ω) pour la fonction f(x) = exp(-x), pour x > 0 et f(x) = 0, x < 0.
Définissez cette expression comme une fonction en utilisant la fonction DEFINE („à). Puis tracez le spectre continu, dans la marge 0 < ω < 10, comme suit : Définition des transformations de Fourier Différents types de transformations de Fourier peuvent être définis.
Transformation en cosinus inverse ∞ Fc−1 {F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ dt 0 Transformation de Fourier (véritable) F { f (t )} = F (ω ) = ∞ 1 ⋅ ∫ f (t ) ⋅ e −iωt ⋅ dt 2π −∞ Transformation de Fourier inverse (véritable) F −1{F (ω )} = f (t ) = ∞ 1 ⋅ ∫ F (ω ) ⋅ e −iωt ⋅ dt 2π −∞ Exemple 1 – Déterminer la transformation de Fourier de la fonction f(t) = exp(t), pour t >0 et f(t) = 0, pour t<0.
= 1 2π ω 1 −i⋅ 2 1+ ω 2 1+ ω qui est une fonction complexe. Les parties réelle et imaginaire de la fonction peuvent être tracées comme cela est montré ci-dessous : Notes: La valeur absolue de la transformation de Fourier, |F(ω)|, est le spectre de fréquence de la fonction initiale f(t). Pour l’exemple ci-dessus, |F(ω)| = 1/[2π(1+ω2)]1/2. Le tracé de |F(ω)| vs. ω a été présenté précédemment. Certaines fonctions, comme les valeurs constantes, sin x, exp(x), x2, etc.
Convolution: pour les applications de la transformation de Fourier, l’opération de convolution est définie comme ( f * g )( x) = 1 2π ⋅ ∫ f ( x − ξ ) ⋅ g (ξ ) ⋅ dξ . La propriété suivante vaut pour la convolution : F{f*g} = F{f}⋅F{g}. Transformation de Fourier Rapide (FFT) La transformation de Fourier rapide est un algorithme informatique par lequel on peut calculer très efficacement une transformation de Fourier discrète (DFT).
l’algorithme, se référer, par exemple, à Newland, D.E., 1993, An Introduction to Random Vibrations, Spectral & Wavelet Analysis – Third Edition (Longman Scientific and Technical, New York - Chapitre 12). La seule condition d’application de la FFT est que le nombre n soit une puissance de 2, autrement dit, vous devez sélectionner vos données de telle sorte qu’elles contiennent les points 2, 4, 8, 16, 32, 62 etc.
5#0#100@GDATA! La figure ci-dessous est un histogramme des données obtenues. Pour obtenir le graphique, premièrement, copiez la matrice obtenue puis transformez-la en un vecteur colonne en utilisant : OBJ 1 + ARRY (les fonctions OBJ et ARRY sont disponibles dans le catalogue de commande, ‚N). Enregistrez la matrice dans la variable ΣDAT en utilisant la fonction STOΣ (aussi disponible dans ‚N).
Le spectre montre deux larges composantes pour deux fréquences (il s’agit des composantes sinusoïdales, sin (3x) et cos(5x)) et plusieurs composantes plus petites pour les autres fréquences.
avez seulement besoin d’utiliser la fonction IFFT du menu MTH/FFT ou le catalogue de commande, ‚N. Autrement, vous pourriez aussi saisir le nom de la fonction (par exemple : ~~ifft`. Le signal est affiché dans une matrice (vecteur ligne) avec des nombres complexes. Nous nous interessons seulement aux parties réelles de ces nombres. Pour obtenir leurs parties réelles, utilisez la fonction RE du menu CMPLX (voir Chapitre 4), c’est-à-dire entrez ~~re`. Ce qui est produit est un autre vecteur ligne.
L’équation de Cauchy ou d’Euler Une équation de forme x2⋅(d2y/dx2) + a⋅x⋅ (dy/dx) + b⋅y = 0, où a et b sont des réels constants, est connue sous le nom d’équation de Cauchy ou d’Euler. On peut trouver une solution à l’équation de Cauchy en supposant que y (x) = xn.
Les polynômes de Legendre sont préprogrammés dans la calculatrice et peuvent être utilisés en utilisant la fonction LEGENDRE en donnant l’ordre du polynôme, n. La fonction LEGENDRE peut être obtenue dans le catalogue de commandes (‚N) ou par l’intermédiaire du menu ARITHMETIC/POLYNOMIAL (voir Chapitre 5). Les cinq premiers polynômes de Legendre sont obtenus comme suit : 0 LEGENDRE, résultat : 1, à savoir P0(x) =1.0. 1 LEGENDRE, résultat : ‘X’, à savoir P1(x) = x.
(−1) m ⋅ x 2 m . 2m+n ⋅ m!⋅(n + m)! m =0 2 ∞ J n ( x) = x n ⋅ ∑ Indépendamment du fait que nous utilisions ν (non entier) ou n (entier) dans la calculatrice, nous pouvons définir les fonctions de Bessel de premier type en utilisant les séries finies suivantes : Par conséquent, vous contrôlez l’ordre de la fonction, n, et le nombre d’éléments de la série, k. Une fois que vous avez saisi cette fonction, vous pouvez utiliser la fonction DEFINE pour définir la fonction J(x,n,k).
Par conséquent, nous ne pouvons pas les utiliser pour obtenir une fonction générale à l’équation.
y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅Yν(x). Dans certains cas, il est nécessaire de fournir des solutions complexes aux équations de Bessel en définissant les fonctions de Bessel du troisième type d’ordre ν par Hn(1)(x) = Jν(x)+i⋅Yν(x), et Hn(2)(x) = Jν(x)−i⋅Yν(x), Ces fonctions sont aussi connues comme les première et seconde fonctions Hankel d’ordre ν.
de n > 0. Si l’entier n est négatif (n < 0), la fonction TCHEBYCHEFF génère un polynôme de deuxième type d’ordre n dont la définition est Un(x) = sin(n⋅arccos(x))/sin(arccos(x)). Vous pouvez accéder à la fonction TCHEBYCHEFF par l’intermédiaire du catalogue de commandes (‚N).
= 1− n ⋅ x + n(n − 1) 2 (−1) n n ⋅ x − ... + .... + ⋅x n! 4 Le terme n n! = = C (n, m) m m!(n − m)! est le coefficient m-th de l’expansion binomiale (x+y)n. Il représente aussi le nombre de combinaisons de n éléments pris par m à la fois. Cette fonction est disponible dans la calculatrice comme fonction COMB du menu MTH/PROB (voir Chapitre 17).
H 0 * = 1, H n * ( x) = (−1) n e x 2 d n − x2 (e ), n = 1,2,.. dx n Dans la calculatrice, la fonction HERMITE est disponible par l’intermédiaire du menu ARITHMETIC/POLYNOMIAL. La fonction HERMITE prend comme argument un nombre entier n, et renvoie le polynôme Hermite de nème degré. Par exemple, les quatre premiers polynômes Hermite sont obtenus en utilisant : 0 1 2 3 HERMITE, HERMITE, HERMITE, HERMITE, résultat résultat résultat résultat : : : : 1, ’2*X’, ’4*X^2-2’, ’8*X^3-12*X’, à savoir H0* = 1.
Ensuite, entrez dans l’environnement de résolution numérique (NUMERICAL SOLVER) et sélectionnez la résolution d’équation différentielle : ‚Ϙ @@@OK@@@. Saisissez les paramètres suivants : Pour obtenir la solution, appuyez sur : @SOLVE (attendre) @EDIT@. Le résultat est 0.2499 ≈ 0.25. Appuyez sur @@@OK@@@. Solution présentée sous forme de table de valeurs Supposons que nous voulions produire une table de valeurs de v pour t = 0.00, 0.25, …, 2.00.
(Remplacez la valeur initiale de t par 0.25 et la valeur finale de t par 0.5. Résolvez à nouveau pour v(0.5) = 2.640...) @@OK@@ @INIT+—.75 @@OK@@ ™™@SOLVE (attendre) @EDIT (Remplacez la valeur initiale de t par 0.5 et la valeur finale de t par 0.75. Résolvez à nouveau pour v(0.75) = 2.066...) @@OK@@ @INIT+—1 @@OK@@ ™ ™ @SOLVE (attendre) @EDIT (Remplacez la valeur initiale de t par 0.75 et la valeur finale de t par 1. Résolvez à nouveau pour v(1) = 1.562...) Recommencez pour t = 1.25, 1.50, 1.75, 2.00.
La calculatrice permet de créer le tracé de la solution des équations différentielles de forme Y'(T) = F(T,Y). Dans notre cas, nous laissons Y = x et T = t, par conséquent, F(T,Y) = f(t, x) = exp(-t2). Procédons au tracé de la solution, x(t), pour t = 0 à 5, en utilisant la séquence de touches suivante : • • • • • • • • • • „ô (simultanément si vous êtes en mode RPN) pour entrer dans l’environnement PLOT WINDOW Surlignez le champ en face de TYPE en utilisant les touches —˜.
Notez que les légendes des axes sont présentées comme 0 (horizontal pour t) et 1 (vertical pour les x). Il s’agit des définitions des axes telles qu’indiquées sur l’écran PLOT SETUP („ô), à savoir H-VAR: 0 et V-VAR: 1. Pour voir plus en détails la solution graphique, utilisez ce qui suit : LL@PICT @(X,Y)@ Pour restaurer le menu et revenir à l’environnement PICT. Pour déterminer les coordonnées de n’importe quel point du graphique. Utilisez les touches š™pour déplacer le curseur dans la zone graphique.
sujet aux conditions intiales, v = x' = 6, x = 0, pour t = 0. Nous voulons trouver x et x' pour t = 2. Réécrivez l’ODE comme suit : w' = Aw, où w = [ x x' ]T et A est la matrice 2 x 2 indiquée ci-dessous : ' 1 x x 0 x' = − 18.75 − 1.962 ⋅ x' Les conditions initiales sont maintenant écrites comme w = [0 6]T, pour t = 0. (Note: Le symbole [ ]T signifie la transposée du vecteur ou de la matrice). Pour résoudre ce problème, créez et enregistrez d’abord la matrice A.
Solution présentée sous forme de table de valeurs Dans l’exemple précédent, nous ne nous étions intéressés qu’à la recherche des valeurs de la position et de la vélocité à un temps t donné. Si nous voulions produire une table de valeurs de x et x', pour t = 0.00, 0.25, …, 2.00, nous procéderions comme suit : Tout d’abord, préparez une table pour noter les résultats : t 0.00 0.25 … 2.00 x 0.00 x' 6.00 … … Ensuite, dans l’environnement SOLVE, remplacez la valeur finale de la variable indépendante par 0.
0.75 1.00 -0.015 -0.469 -2.859 -0.607 2.00 0.167 -0.627 Solutions graphiques pour une ODE de second ordre Commencez par activer la résolution numérique d’équation différentielle, ‚ Ï ˜ @@@OK@@@ . L’écran SOLVE doit se présenter comme suit : Notez que la condition initiale pour la solution (Soln: w Init:[0., …) inclut le vecteur [0, 6]. Appuyez sur L @@OK@@. Ensuite, appuyez sur „ô (simultanément, en mode RPN) pour entrer dans l’environnement PLOT.
Pour tracer le graphe x’ par rapport à t, utilisez : @ERASE @DRAW . Le tracé de x’ par rapport à t se présente comme suit : Pour tracer la seconde courbe, vous devez utiliser le formulaire de saisie PLOT SETUP une fois de plus. Pour accéder à ce formulaire à partir du graphe ci-dessus, utilisez : @CANCL L @@OK@@ „ô (simultanément si vous êtes en mode RPN). Remplacez la valeur du champ V-Var : par 2 et appuyez sur @DRAW (n’appuyez pas sur @ERASE sous peine de perdre le graphique produit cidessus).
Solution numérique à une ODE de premier ordre raide Considérons l’ODE : dy/dt = -100y+100t+101, sujette à la condition initiale y(0) = 1. La solution exacte Cette équation peut s’écrire dy/dt + 100 y = 100 t + 101 et être résolue en utilisant un facteur d’intégration, IF(t) = exp(100t), comme suit (Mode RPN, avec le CAS réglé sur le mode Exact) : ‘(100*t+101)*EXP(100*t)’ ` ‘t’ ` RISCH Le résultat est ‘(t+1)*EXP(100*t)’.
vérifier qu'aucune solution n’est trouvée après 6 secondes. Appuyez sur $ pour annuler le calcul. Il s’agit d’un exemple d’une équation différentielle ordinaire raide. Une ODE raide est une équation dont la solution générale contient des composantes qui varient pour le même incrément de la variable indépendante.
les programmes. Ces fonctions sont expliquées ci-dessous pour le mode RPN et l’indicateur système paramétré 117 sur menus SOFT. Les fonctions proposées par le menu SOLVE/DIFF sont les suivantes : Fonction RKF Cette fonction est utilisée pour calculer la solution d’un problème à valeur initiale pour une équation différentielle de premier ordre en utilisant le modèle de solution Runge-Kutta-Fehlbert de 4ème -5ème ordre.
pouvez toujours ajouter ces valeurs à la solution fournie par RFK, en gardant en mémoire la relation suivante : Solution RKF x y Solution réelle x y 0 0 xinit yinit xfinal yfinal xinit + xfinal yinit + yfinal Les écrans suivants montrent la pile RPN avant et après application de la fonction RKF pour l’équation différentielle dy/dx = x+y, ε = 0.001, ∆x = 0.1. Après avoir appliqué la fonction RKF, la variable @@@y@@@ contient la valeur 4.3880...
la cadence ∆x comme petite valeur par défaut. Après avoir effectué la fonction @@RKF@@, la pile indiquera les lignes suivantes : 2: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’ ‘∂f/∂x’ ‘∂f/vy’ } 1: { ε ∆x } La valeur de la solution, yfinal, sera disponible dans la variable @@@y@@@. Cette fonction peut être utilisée pour résoudre les équations différentielles dites "raides". Les captures d’écran suivantes indiquent la pile RPN avant et après l’utilisation de la fonction RRK : La valeur enregistrée dans la variable y est 3.
Par conséquent, cette fonction est utilisée pour déterminer la taille appropriée d’un créneau temporel pour satisfaire la tolérance requise. Les captures d'écrans suivantes montrent l'état de la pile RPN avant et après l'application de la fonction RKFSTEP: Ces résultats indiquent que (∆x)next = 0.
Les captures d’écran suivantes montrent la pile RPN avant et après l’utilisation de la fonction RRKSTEP : Ces résultats indiquent que (∆x)next = 0.00558… et que la méthode RKF (CURRENT = 1) doit être utilisée. Fonction RKFERR Cette fonction renvoie l’estimation de l’erreur absolue pour un créneau donné quand elle résout un problème tel que celui décrit pour la fonction RKF.
Fonction RSBERR Cette fonction effectue une opération similaire à celle de RKERR mais avec les mêmes éléments des données d’entrée répertoriées pour la fonction RRK.
Chapitre 17 Applications de probabilités Dans ce chapitre, nous fournissons des exemples d’applications des fonctions de la calculatrice aux distributions de probabilités. Sous-menu MTH/PROBABILITY.. – 1ère partie Le sous menu MTH/PROBABILITY.. est accessible par l’intermédiaire de la combinaison de touches „´. Une fois l’indicateur système 117 paramétré sur CHOOSE boxes, la liste suivante d’options MTH s’affiche (voir l’illustration de gauche). Nous avons sélectionné l’option PROBABILITY.
n n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1) n! = = r! r!(n − r )! r Pour simplifier la notation, utilisez P(n,r) pour les permutations et C(n,r) pour les combinaisons. Nous pouvons calculer des combinaisons, des permutations et des factorielles avec les fonctions COMB, PERM et ! du sous-menu MTH/PROBABILITY.
d’arguments dans la fonction RAND, vous obtenez la liste de nombres plus un nombre aléatoire additionnel qui y est rattaché, comme illustré à droite : Les générateurs de nombres aléatoires, en général, fonctionnent en prenant une valeur, appelée «germe» du générateur et en effectuant certains algorithmes mathématiques sur ce «germe» qui génère un nombre (pseudo) aléatoire.
« n « 1 n FOR j RND NEXT n LIST » » Enregistrez-le dans la variable RLST (liste aléatoire) et utilisez J5@RLST! pour obtenir une liste de 5 nombres aléatoires. La fonction RNDM(n,m) peut être utilisée pour générer une matrice de n lignes et m colonnes dont les éléments sont des entiers aléatoires compris entre -1 et 1 (voir Chapitre 10). Distributions discrètes de probabilités Une variable aléatoire est dite discrète quand elle ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs.
Distribution binomiale La fonction de probabilité de masse d’une distribution binomiale est donnée par n f (n, p, x) = ⋅ p x ⋅ (1 − p ) n − x , x = 0,1,2,..., n x où (nx) = C(n,x) est la combinaison de n éléments pris par x à la fois. Les valeurs n et p sont les paramètres de la distribution. La valeur n représente le nombre de répétitions d’une expérience ou d’une observation qui peuvent avoir un résultat ou un autre seulement, à savoir succès ou échec.
x F (λ , x) = ∑ f (λ , x), x = 0,1,2,...
P[ X < x ] = F ( x ) = ∫ +∞ −∞ ∫ x −∞ f (ξ )dξ . f ( x)dx = 1. Les probabilités sont calculées en utilisant la fonction de distribution cumulative (cdf), F(x), définie par P[ X < x] = F ( x ) = ∫ x −∞ f (ξ )dξ , où P[X
tandis que sa cdf est donnée par F(x) = 1 - exp(-x/β), pour x>0, β >0. La distribution bêta La pdf de la distribution gamma est donnée par f ( x) = Γ(α + β ) ⋅ x α −1 ⋅ (1 − x) β −1 , for 0 < x < 1, α > 0, β > 0 Γ(α ) ⋅ Γ( β ) Comme dans le cas de la distribution gamma, la cdf correspondante pour la distribution bêta est également donnée par une intégrale qui n’a pas de solution explicite.
cdf Weibull : 'Wcdf(x) = 1 - EXP(-α*x^β)' Utilisez la fonction DEFINE pour définir toutes ces fonctions. Ensuite, saisissez les valeurs de α et β, c'est-à-dire 1K~‚a` 2K ~‚b` Finalement, pour la cdf des cdf Gamma et Bêta, vous devez éditer les définitions du programme pour ajouter NUM aux programmes produits par la fonction DEFINE. Par exemple, la cdf Gamma, c'est-à-dire la fonction gcdf, doit être modifiée comme suit : « x ' NUM( ∫ (0,x,gpdf(t),t))' » et enregistrée à nouveau dans @gcdf.
Distributions continues d’inférences statistiques Dans cette section, nous discutons de quatre distributions de probabilités continues qui sont souvent utilisées pour des problèmes liés aux inférences statistiques. Ces distributions sont la distribution normale, la distribution t de Student, la distribution chi-carré (χ2) et la distribution F.
où µ est la moyenne et σ2 est la variance de la distribution. Pour calculer la valeur de f(µ,σ2,x) pour la distribution normale, utilisez la fonction NDIST avec les arguments suivants : la moyenne, µ, la variance, σ2, et la valeur x, NDIST(µ,σ2,x). Par exemple, vérifiez que pour une distribution normale f(1.0,0.5,2.0) = 0.20755374. Distribution normale cdf La calculatrice a une fonction UTPN qui calcule la distribution normale de partie supérieure, à savoir UTPN(x) = P(X>x) = 1 - P(X
ν +1 Γ( ) ν +1 t2 − 2 f (t ) = ⋅ (1 + ) 2 ,−∞ < t < ∞ ν ν Γ( ) ⋅ πν 2 où Γ(α) = (α-1)! est la fonction GAMMA définie au Chapitre 3. La calculatrice calcule les valeurs de la partie supérieure (cumulative) de la fonction de distribution pour la distribution t, la fonction UTPT, à partir du paramètre ν et de la valeur de t, c'est-à-dire, UTPT(ν,t). La définition de cette fonction, est, par conséquent : UTPT (ν , t ) = ∫ ∞ t f (t )dt = 1 − ∫ t −∞ f (t )dt = 1 − P(T ≤ t ) Par exemple, UTPT(5,2.5) = 2.
f ( x) = 1 ν ν 2 2 ⋅ Γ( ) 2 ν −1 − x ⋅ x 2 ⋅ e 2 ,ν > 0, x > 0 La calculatrice calcule les valeurs de la partie supérieure (cumulative) de la fonction de distribution pour la distribution χ2-en utilisant la fonction [UTPC], à partir de la valeur de x et du paramètre ν.
νN νN −1 νN + νD νN 2 )⋅( ) ⋅ F 2 Γ( νD 2 f ( x) = νN +νD νN νD νN ⋅ F ( 2 ) ) Γ( ) ⋅ Γ( ) ⋅ (1 − 2 2 νD La calculatrice recherche les valeurs de la partie supérieure de la fonction de distribution (cumulative) pour la distribution F, la fonction UTPF, à partir des paramètres F. νN et νD, et de la valeur de F. La définition de cette fonction, est, par conséquent : ∞ t t −∞ UTPF (νN ,νD, F ) = ∫ f ( F )dF = 1 − ∫ f ( F )dF = 1 − P (ℑ ≤ F ) Par exemple, calculez UTPF(10,5, 2.5) = 0.
exponentielles et de Weitbull puisque leurs cdf ont une expression de forme simple : • • Exponentielle, F(x) = 1 - exp(-x/β) Weitbull, F(x) = 1-exp(-αxβ) Pour trouver les cdf inverses de ces deux distributions, nous avons juste à trouver x pour ces expressions, c'est-à-dire : Exponentielle: Weitbull: Pour les distributions Gamma et Bêta les expressions à résoudre seront plus compliquées du fait de la présence des intégrales, c'est-à-dire : • Gamma, • Bêta, 1 z ⋅ z α −1 ⋅ exp(− )dz β β Γ(α ) x Γ (α +
∫(0,X,z^(α-1)*(1-z)^(β-1)*GAMMA(α+β)/(GAMMA(α)*GAMMA(β)),z)-p Pour produire le tracé, il est nécessaire d’enregistrer les valeurs de α, β, et p, avant de tenter le tracé. Par exemple, pour α = 2, β = 3, et p = 0.3, le tracé de Y(X) pour la distribution Gamma est le suivant (veuillez noter que, de par la nature compliquée de la fonction Y(X), un certain temps sera nécessaire avant l’affichage du graphique. Soyez patient).
Ces estimations suggèrent des solutions x = -1.9 et x = 3.3. Vous pouvez vérifier ces “solutions” en évaluant la fonction Y1(X) pour X = -1.9 et X = 3.
Ce formulaire de saisie peut être utilisé pour résoudre n’importe laquelle des quatre variables impliquées dans l’équation pour la distribution normale. Pour faciliter la résolution des équations impliquant les fonctions UTPN, UTPT, UTPC et UTPF, vous souhaiterez peut-être créer un sous-répertoire UTPEQ dans lequel vous enregistrerez les équations répertoriées ci-dessus : Ainsi, à ce stade, vous aurez quatre équations disponibles à résoudre.
Notez que dans tous les exemples présentés ci-dessus, nous travaillons p = P(Xx) = α. De plus, pour la distribution normale, nous travaillerons très probablement avec la distribution normale standard dans laquelle µ =0, et σ2 = 1. La variable normale standard est typiquement appelée Z, de telle sorte que le problème à résoudre soit P(Z>z) = α.
Chapitre 18 Applications statistiques Dans ce chapitre, nous introduisons les applications statistiques de la calculatrice, y compris les statistiques d’échantillon, la fréquence de distribution des données, la régression simple, les intervalles de confiance et le test d’hypothèse. Fonctions statistiques préprogrammées La calculatrice propose des fonctions statistiques préprogrammées qui sont accessibles grâce à la combinaison de touches ‚Ù (touche 5 ).
« OBJ 1 2 LIST ARRY » Enregistrez le programme dans une variable appelée LXC. Après avoir enregistré ce programme en mode RPN, vous pouvez aussi l’utiliser en mode ALG. Pour enregistrer un vecteur de colonne dans la variable ΣDAT utilisez la fonction STOΣ, disponible dans le catalogue (‚N), c’est-à-dire STOΣ (ANS(1)) en mode ALG. Exemple 1 – En utilisant le programme LXC défini ci-dessus, créez un vecteur de colonne avec les données suivantes : 2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.5 1.6 2.2 1.2 2.5.
Exemple 1 – Pour les données enregistrées à l’exemple précédent, les résultats de statistiques à une seule variable sont les suivants : Mean: 2.133, Total: 25.6, Std Dev : 0.964, Maximum: 4.5, Variance: 0.929 Minimum: 1.1 Définitions Les définitions utilisées pour ces quantités sont les suivantes : Supposons que vous ayez un nombre de points de données x1, x2, x3, …, représentant différentes mesures de la même variable discrète ou continue x.
x g = n x1 ⋅ x 2 L x n , n 1 1 =∑ . x h i =1 xi Des exemples de calculs de ces mesures, utilisant des listes, sont disponibles au Chapitre 8. La médiane est la valeur qui divise l’ensemble de données par le milieu quand les éléments sont classés dans l’ordre croissant. Si vous avez un nombre impair n d’éléments ordonnés, la médiane de cet échantillon est la valeur située en position (n+1)/2.
Mesure d’une répartition La variance (Var) d’un échantillon est définie par s x2 = n 1 ⋅ ∑ ( xi − x ) 2 . n − 1 i =1 La déviation standard (St Dev) d’un échantillon est juste la racine carrée de la variance, c’est-à-dire : sx. L'intervalle de l’échantillon est la différence entre les valeurs maximum et minimum de l’échantillon.
être présentées sous forme d’un vecteur de colonne stocké dans la variable ΣDAT. Pour commencer, appuyer sur ‚Ù˜ @@@OK@@@. Le formulaire de saisie qui s’affiche contient les champs suivants : ΣDAT Col X-Min Bin Count Bin Width : : : : : la matrice contenant les données qui nous intéressent. La colonne de ΣDAT étudiée. la limite de classe minimum (par défaut = -6.5). le nombre de classes (par défaut = 13). la taille uniforme de chaque classe (par défaut = 1).
L’application 2. Fréquences.. du menu STAT effectuera ce calcul de fréquence, repérant les valeurs qui pourraient se trouver en dessous des limites de classe minimales ou au-dessus des limites de classe maximales (soit les déviants).
• • Sélectionnez le programme 2. Fréquences.. en utilisant = ‚Ù˜ @@@OK@@@. Les données sont déjà chargées dans ΣDAT et l’option Col devrait conserver la valeur 1, puisque nous n’avons qu’une colonne dans ΣDAT. Remplacez X-Min par 10, Bin Count par 8 et Bin Width par 10, puis appuyez sur @@@OK@@@. En utilisant le mode RPN, les résultats sont indiqués dans la pile sous forme de vecteur de colonne du niveau de pile 2 et d’un vecteur de ligne de deux composantes au niveau de pile 1.
Classe Classe N° i XBi Limite XB i+1 Marque classe Xmi Fréquence Fréquence fi Cumulative < XB1 déviants Éch. inf 1 10 20 2 20 30 3 30 40 4 40 50 5 50 60 6 60 70 7 70 80 k=8 80 90 >XBk déviants Ech.
nombre de classes et la taille des classes pour générer l’histogramme. Alternativement, vous pouvez générer le vecteur de colonne contenant le décompte de fréquence, comme effectué dans l’exemple ci-dessus, enregistrer ce vecteur dans ΣDAT et sélectionner Barplot comme type de graphe. Dans notre exemple suivant, nous vous montrons comment utiliser la première méthode pour générer un histogramme.
Un tracé de décompte de fréquence, fi, par rapport aux marques de classe, xMi, est appelé polygone de fréquence. Un tracé de la fréquence cumulative par rapport aux limites supérieures est appelé ogive de fréquence cumulative. Vous pouvez produire des diagrammes de dispersion qui simulent ces deux tracés en saisissant les données appropriées dans les colonnes 1 et 2 d’une nouvelle matrice ΣDAT et en remplaçant le Type: par SCATTER dans la fenêtre de configuration PLOT SETUP.
• Pour obtenir l’adaptation des données, appuyez sur @@OK@@. Le résultat de ce programme, indiqué ci-dessous pour notre ensemble de données particulier, consiste en ces trois lignes en mode RPN : 3 : '0.195238095238 + 2.00857242857*X' 2 : Correlation: 0.983781424465 1 : Covariance: 7.03 Le niveau 3 montre la forme de l’équation. Dans ce cas, y = 0.06924 + 0.00383 x. Le niveau 2 montre le coefficient de corrélation de l’échantillon et le niveau 1 montre la co-variance de x-y.
Relations linéarisées De nombreuses relations curbo-linéaires « sont restaurées » en une forme linéaire. Par exemple, les différents modèles pour l’adaptation des données fournis par la calculatrice peuvent être linéarisés comme indiqué dans le tableau ci-dessous. Actuel Linéaire Indep. Variable Dépend. Variable Covar. Modèle Modèle ξ η sξη Linéaire y = a + bx [idem] x y sxy Log. y = a + b ln(x) Type d’adaptati on Exp.
Meilleure adaptation des données La calculatrice peut déterminer laquelle de la relation linéaire ou linéarisée offre la meilleure adaptation pour un ensemble de données (x,y). Nous allons illustrer l’utilisation de cette fonction avec un exemple. Supposons que nous voulions trouver quelle est la fonction d’adaptation qui fournisse la meilleure adaptation pour les données suivantes : x y 0.2 3.16 0.5 2.73 1 2.12 1.5 1.65 2 1.29 4 0.47 5 0.29 10 0.
utilisant la flèche de direction vers le bas ˜ et appuyez sur @@@OK@@@. Le formulaire de saisie qui s’affiche contient les champs suivants : ΣDAT : X-Col, Y-Col : _ΣX _ ΣY… : la matrice contenant les données qui nous intéressent. Ces options s’appliquent uniquement si vous avez plus de deux colonnes dans la matrice ΣDAT. Par défaut, la colonne x est la colonne 1 et la colonne y est la colonne 2.
1. Classez les n observations de la plus petite à la plus grande 2. Déterminez le produit n⋅p A. Si n⋅p n’est pas un entier, l’arrondir à l’entier le plus proche et trouver la valeur ordonnée correspondante. B. Si n⋅p est un entier, disons k, calculez la moyenne des kème et (k-1) ème observations ordonnées. Note: La règle d’arrondi aux entiers, pour un non entier x.yz…, est la suivante : si y ≥ 5, arrondir à x+1; si y < 5, arrondir à x.
Vous pouvez créer votre propre programme, disons @STATm, pour activer le programme logiciel STAT directement. Le contenu de ce programme sera simplement : << 96 MENU >>. Le menu logiciel STAT contient les fonctions suivantes : Une pression sur la touche correspondant à n’importe lequel de ces menus donne accès aux différentes fonctions décrites ci-dessous.
Les paramètres affichés à l’écran sont les suivants : Xcol : indique la colonne de ΣDATA représentant x (par défaut : 1) Ycol : indique la colonne de ΣDATA représentant y (par défaut: 2) Intercept : montre les segments des adaptations de données les plus récentes (par défaut: 0) Slope : montre la pente des adaptations de données les plus récentes (par défaut: 0) Model : montre le modèle d’adaptation de données courant (par défaut: LINFIT) Les fonctions correspondant aux touches de menu fonctionnent comme su
TOT : montre la somme de chaque colonne de la matrice ΣDATA. MEAN : montre la moyenne de chaque colonne de la matrice ΣDATA. SDEV : montre la déviation standard de chaque colonne de la matrice ΣDATA. MAXΣ : montre la valeur maximum de chaque colonne de la matrice ΣDATA. MINΣ : montre le moyenne de chaque colonne de la matrice ΣDATA.
Le sous-menu FIT Le sous-menu FIT contient des fonctions utilisées pour faire correspondre des équations aux données des colonnes Xcol et Ycol de la matrice ΣDATA. Les fonctions disponibles dans ce sous-menu sont les suivantes : ΣLINE : fournit l’équation correspondant à l’adaptation la plus récente. LR : fournit le segment et la pente de l’adaptation la plus récente. PREDX : utilisée comme y @PREDX, à partir de y, trouve x pour l’adaptation y = f(x).
Exemple d’opérations du menu STAT Prenons ΣDATA comme la matrice présentée à la page suivante. • • • Saisir la matrice au niveau 1 de la pile en utilisant l’Editeur de matrice. Pour enregistrer la matrice dans ΣDATA, utiliser : @)DATA „ @£DAT Calculez les statistiques de chaque colonne : @)STAT @)1VAR: @TOT @MEAN @SDEV @MAX£ @MIN£ L @VAR @PSDEV @PVAR • • produit produit produit produit produit produit produit produit [38.5 87.5 82799.8] [5.5. 12.5 11828.54…] [3.39… 6.78… 21097.01…] [10 21.5 55066] [1.
• L @)STAT @PLOT @SCATR @STATL produit le diagramme de dispersion Dessine les données correspondantes comme une ligne droite @CANCL renvoie à l’affichage principal Détermine l’équation adaptée et certaines de ces statistiques : @)STAT @)FIT@ @£LINE @@@LR@@@ 3 @PREDX 1 @PREDX @CORR @@COV@@ L@PCOV • produit produit produit produit produit produit produit '1.5+2*X' Intercept: 1.5, Slope: 2 0.75 3. 50 1.0 23.04 19.
• Adapte les données des colonnes 1 (x) et 3 (y) en utilisant une adaptation logarithmique : L @)STAT @)£PAR 3 @YCOL @)MODL @LOGFI sélectionne Ycol = 3, et sélectionne Model = Logfit L @)STAT @PLOT @SCATR produit un diagramme de dispersion de y par rapport à. x montre la ligne pour l’adaptation log @STATL De toute évidence, le modèle log n’est pas le bon choix. @CANCL revient à l’affichage normal.
@CORR 2300 @PREDX 5.2 @PREDY L @)STAT @PLOT @SCATR @STATL • • produit 0.99995… (bonne corrélation) produit 6.8139 produit 463.37 produit un diagramme de dispersion de y vs. x montre la ligne pour l’adaptation log Pour revenir au menu STAT, faites appel à : L@)STAT Pour revenir à votre menu variable, utilisez : J. Intervalles de confiance L’inférence statistique est le processus qui consiste à tirer des conclusions sur une population basées sur les informations des données d’un échantillon.
• • • • • • Distribution de l’échantillon : distribution de probabilité cumulée de X1,X2,X3,... , Xn. Une statistique : toute fonction des observations qui est quantifiable et ne contient pas de paramètres inconnus. Une statistique est une variable aléatoire qui fournit un moyen d’estimation. Estimation de point : lorsqu’une seule valeur du paramètre θ est fournie. Intervalle de confiance : intervalle numérique qui contient le paramètre θ à un niveau donné de probabilité.
Définitions Prenons (Cl,Cu) comme intervalle de confiance contenant un paramètre inconnu θ. • • • • Le niveau de confiance ou coefficient de confiance est la quantité (1-α), où 0 < α < 1, telle que P[Cl < θ < Cu] = 1 - α, où P[ ] représente une probabilité (voir Chapitre 17). L’expression précédente définit ce que l’on appelle les limites de confiance bilatérales. Un intervalle de confiance unilatéral bas est défini par Pr[Cl < θ] = 1 - α.
Intervalles de confiance pour la moyenne de population quand la variance de population est inconnue Supposons que X et S, respectivement, soient les déviations moyenne et standard d’un échantillon aléatoire de taille n, prélevé sur une population infinie à déviation standard inconnue σ. L’intervalle de confiance bilatéral central 100⋅(1−α) % [soit 99%, 95%, 90%, etc.
Pour une taille d’échantillon importante, n>30 et n⋅p > 5 et n⋅(1-p)>5, la distribution de l’échantillon est presque normale. Par conséquent, l’intervalle de confiance bilatéral central 100(1-α) % pour la moyenne de la population p est (p’+zα/2⋅σp’, p’+zα/2⋅σp’ ). Pour un petit échantillon (n<30), l’intervalle peut être estimé comme (p’-tn-1,α/2⋅σp’,p’+tn-1,α/2⋅σp’).
Intervalles de confiance pour les sommes et les différences de valeurs moyennes Si les variances de la population σ12 et σ22 sont connues, les intervalles de confiance pour la différence et la somme des valeurs moyennes des populations, à savoir µ1±µ2, sont donnés par : 2 2 2 2 (X ± X ) − z ⋅ σ1 + σ 2 , (X ± X ) + z ⋅ σ1 + σ 2 2 1 2 α /2 α /2 1 n1 n2 n1 n2 Pour de grands échantillons, soit n1 > 30 et n2 > 30, et des variances de populations inconnues, mais égales σ12 = σ22, les intervalles d
Cependant, si nous avons des raisons de croire que les deux variances de populations inconnues sont différentes, nous pouvons utiliser l’intervalle de confiance suivant (( X 1 ± X 2 ) − tν ,α / 2 ⋅ s X2 1 ± X 2 , ( X 1 ± X 2 ) + tν ,α / 2 ⋅ s X2 1 ± X 2 ) où la déviation standard estimée pour la somme et la différence est s X1 ± X 2 = s12 s 22 + n1 n2 et n, les degrés de liberté de la variation t sont calculés en utilisant la valeur entière la plus proche de [( S12 / n1 ) + ( S 22 / n2 )] 2 ν = [(
2. Z-INT: µ1−µ2. : Intervalle de confiance pour la différence des moyennes de population, µ1- µ2, avec soit variances de population connues soit variances de populations inconnus pour les grands échantillons. 3. Z-INT: 1 p. : Intervalle de confiance simple pour la proportion p pour de grands échantillons à variance de population inconnue. 4. Z-INT: p1− p2. : Intervalle de confiance pour la différence de deux proportions, p1-p2, pour de grands échantillons à variance de population inconnue. 5. T-INT: 1 µ.
de direction vers le bas ˜. Appuyez sur @@@OK@@@ quand vous avez terminé la lecture de l’écran d’aide. Vous retournez à l’écran illustré ci-dessus. Pour calculer l’intervalle de confiance, appuyez sur @@@OK@@@. Le résultat qui s’affiche sur la calculatrice est le suivant : Le résultat indique qu’un intervalle de confiance de 95% a été calculé. La valeur Critique z affichée à l’écran ci-dessus correspond aux valeurs ±zα/2 dans la formule d’intervalle de confiance (X−zα/2⋅σ/√n , X+zα/2⋅σ/√n ).
et σ2 = 4.5, déterminer l’intervalle de confiance de 90% pour la différence des moyennes des populations, soit µ1- µ 2. Appuyez sur ‚Ù—@@@OK@@@pour accéder à la fonction intervalle de confiance de la calculatrice. Appuyez sur ˜@@@OK@@@ pour sélectionner l’option 2. Z-INT: µ 1 – µ2. Saisissez les valeurs suivantes : Quand vous avez terminé, appuyez sur @@@OK@@@. Les résultats, sous forme de texte et de graphe, sont présentés ci-dessous : La variable ∆µ représente µ1 – µ2.
Quand vous avez terminé, appuyez sur @@@OK@@@. Les résultats, sous forme de texte et de graphe, sont présentés ci-dessous : Exemple 4 -- Déterminez l'intervalle de confiance de 90% pour la différence entre les deux proportions si l’échantillon 1 montre 20 succès pour 120 tentatives et l’échantillon 2 montre 15 succès pour 100 tentatives. Appuyez sur ‚Ù—@@@OK@@@ pour accéder à la fonction intervalle de confiance de la calculatrice. Appuyez sur ˜˜˜@@@OK@@@ pour sélectionner 4. Z-INT: p1 – p2.
Exemple 5 – Déterminez l'intervalle de confiance de 95% pour la moyenne de la population si un échantillon de 50 éléments a une moyenne de 15.5 et une déviation standard de 5. La déviation standard de la population est inconnue. Appuyez sur ‚Ù—@@@OK@@@ pour accéder à la fonction intervalle de confiance de la calculatrice. Appuyez sur — — @@@OK@@@ pour sélectionner l’option 5. T-INT: µ. Saisissez les valeurs suivantes : Quand vous avez terminé, appuyez sur @@@OK@@@.
Quand vous avez terminé, appuyez sur @@@OK@@@. Les résultats, sous forme de texte et de graphe, sont présentés ci-dessous : Ces résultats supposent que les valeurs s1 et s2 sont les déviations standard des populations. Si ces valeurs représentent, en fait, les déviations standard des échantillons, vous devez saisir les mêmes valeurs que précédemment, mais en sélectionnant l’option _pooled.
La quantité ( n − 1) ⋅ n Sˆ 2 = ( X i − X ) 2 , a une distribution χn-12 (chi-carré) ∑ 2 σ i =1 avec ν = n-1 degrés de liberté. L’intervalle de confiance bilatéral (1-α)⋅100 % est trouvé à partir de Pr[χ2n-1,1-α/2 < (n-1)⋅S2/σ2 < χ2n-1,α/2] = 1- α. L’intervalle de confiance pour la variance de la population σ2 est par conséquent [(n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 ; (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2].
et (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2 = (25-1)⋅12.5/12.4011502175 = 24.1913044144 Par conséquent, l’intervalle de confiance 95% pour cet exemple est : 7.62116179676 < σ2 < 24.1913044144. Test d’hypothèses Une hypothèse est une déclaration faite au sujet d’une population (relative par exemple à sa moyenne). L’acceptation de cette hypothèse est basée sur un test statistique effectué sur un échantillon pris dans cette population. Les actions et prises de décisions consécutives sont appelées test d’hypothèse.
6. Utilisez les données observées pour déterminer si la valeur calculée de la statistique de test se trouve à l’intérieur ou à l’extérieur de la région critique. Si la statistique de test se trouve dans la zone critique nous disons alors que la quantité que nous testons est significative au niveau 100α %. Notes: 1. Pour l’exemple étudié, l’hypothèse H1: µ1-µ2 ≠ 0 produit ce qui s’appelle un test bilatéral. Si l’hypothèse alternative est H1: µ1-µ2 > 0 ou H1: µ1-µ2 < 0, alors nous avons un test unilatéral. 2.
Le complément de β est appelé le pouvoir du test de l’hypothèse nulle H0 opposée à l’alternative H1. Le pouvoir du test est utilisé, par exemple, pour déterminer une taille minimum d’échantillon pour réduire le nombre d’erreurs. Sélectionner des valeurs de α et β Une valeur typique du niveau de signification (ou probabilité de type I) est α = 0.05, (signifiant un rejet incorrest sur 20 en moyenne).
• Si n > 30 et si σ est connue, utilisez zo comme ci-dessus. Si σ n’est pas connue remplacez s par σ dans zo, ainsi, utilisez zo = • x − µo s/ n Si n < 30 et s est inconnue, utilisez la statistique t to = x − µo , avec s/ n ν = n - 1 degré de liberté. Ensuite, calculez la valeur P (une probabilité) associée soit à zο soit à tο et comparez-la avec α pour décider de rejeter ou non l’hypothèse nulle. La valeur P d’un test bilatéral est définie comme Valeur P = P (|z|>|zo|) ou valeur P = P(|t|>|to|).
La valeur P correspondante, pour n = 25 - 1 = 24 degrés de liberté est Valeur P = 2⋅UTPT(24,-0.7142) = 2⋅0.7590 = 1.5169, puisque 1.5169 > 0.05, à savoir valeur P > α, nous ne pouvons pas rejeter l’hypothèse nulle Ho: µ = 22.0.
Exemple 2 -- Tester l’hypothèse nulle Ho: µ = 22.0 ( = µo), par rapport à l’hypothèse alternative, H1: µ >22.5 à un niveau de confiance de 95% signifiant que α = 0.05, en utilisant un échantillon de taille n = 25 avec une moyennex = 22.0 et une déviation standard s = 3.5. Une fois de plus, nous supposons que nous ne connaissions pas la déviation standard de la population, et, par conséquent, la valeur de la statistique t est la même que pour le test bilatéral présenté plus haut, à savoir to = -0.
• • Utilisant z, Utilisant t , valeur P = 2⋅UTPN(0,1, |zo|) valeur P = 2⋅UTPT(ν,|to|) Avec les degrés de liberté pour la distribution t donnés par ν = n1 + n2 - 2. Les critères de test sont • • Rejeter Ho si la valeur P < α Ne pas rejeter Ho si la valeur P > α.
l’épreuve de Bernoulli. Pour tester l’hypothèse, nous effectuons n répétitions de l’expérience et trouvons k succès enregistrés. Donc, une valeur de p est estimée par p’ = k/n. La variance pour l’échantillon sera estimée comme sp2 = p’(1-p’)/n = k⋅(n-k)/n3. Supposons que le résultat, Z = (p-p0)/sp, suive la distribution normale standard, soit Z ~ N(0,1). La valeur particulière de la statistique à tester est z0 = (p’p0)/sp.
Tester la différence entre deux proportions Supposons que nous voulions tester l’hypothèse nulle, H0: p1-p2 = p0, où les p représentent la probabilité d’obtenir un succès lors de n’importe quelle répétition de l’épreuve de Bernoulli pour deux populations 1 et 2. Pour tester l’hypothèse, nous effectuons n1 répétitions de l’expérience sur la population 1 et trouvons k1 succès enregistrés. De même, nous trouvons k2 succès sur n2 tentatives pour l’échantillon 2.
Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α, ou Φ(z α) = 1- α, Rejeter l’hypothèse nulle, H0, si z0 >zα, et H1: p1-p2 > p0, ou si z0 < - zα, et H1: p1-p2
6. T-Test: µ1−µ2.: Intervalle de confiance pour la différence des moyennes de population, µ1- µ2, pour les petits échantillons à variance de population inconnue. Essayez les exercices suivants : Exemple 1 – Pour µ0 = 150, σ = 10, x = 158, n = 50, pour α = 0.05, tester l’hypothèse H0: µ = µ0, par rapport à l’hypothèse alternative, H1: µ ≠ µ0. Appuyez sur ‚Ù—— @@@OK@@@ pour accéder à la fonction intervalle de confiance de la calculatrice. Appuyez sur @@@OK@@@ pour sélectionner l’option 1. Z-Test: 1 µ.
Exemple 2 -- Pour µ0 = 150, x = 158, s = 10, n = 50, pour α = 0.05, testez l’hypothèse H0: µ = µ0, par rapport à l’hypothèse alternative, H1: µ > µ0. La déviation de la population standard, σ, est inconnue. Appuyez sur ‚Ù—— @@@OK@@@ pour accéder à la fonction intervalle de confiance de la calculatrice. Appuyez sur——@@@OK@@@ pour choisir l'option 5. T-Test: 1 µ.: Saisissez les données suivantes et appuyez sur @@@OK@@@: Choisissez l’hypothèse alternative, H1: µ > 150 et appuyez sur @@@OK@@@.
Exemple 3 – Données de 2 échantillons prouve que x1 = 158, x1 = 160, s1 = 10, s2 = 4.5, n1 = 50, et n2 = 55. Pour α = 0.05 et une variance « pondérée », tester l’hypothèse H0: µ1−µ2 = 0, sur l’hypothèse alternative H1: µ1−µ2 < 0. Appuyez sur ‚Ù——@@@OK@@@ pour accéder à la fonction intervalle de confiance de la calculatrice. Appuyez sur —@@@OK@@@ pour sélectionner l’option 5. T-Test: µ1−µ2.
Ces trois exemples devraient suffire à comprendre le fonctionnement des fonctions de test d’hypothèse préprogrammées dans la calculatrice. Inférences concernant une variance L’hypothèse nulle à tester est, Ho: σ2 = σo2, à un niveau de confiance (1-α)100 %, ou niveau de signification α, utilisant un échantillon de taille et une variance s2.
Exemple 1 -- Considérons le cas dans lequel σo2 = 25, α=0.05, n = 25 et s2 = 20 ; l’échantillon a été prélevé sur une population normale. Pour tester l’hypothèse, Ho: σ2 = σo2, par rapport à H1: σ2 < σo2, nous calculons d’abord (n − 1) s 2 (25 − 1) ⋅ 20 χ = = = 189.2 σ 02 25 2 o Avec ν = n - 1 = 25 - 1 = 24 degrés de liberté, nous calculons la valeur P comme, valeur P = P(χ2<19.2) = 1-UTPC(24,19.2) = 0.2587… Par conséquent, 0.2587… > 0.
____________________________________________________________________ Hypothèse Statistique de Degrés de alternative test liberté ____________________________________________________________________ H1: σ12 < σ22 (unilatéral) Fo = s22/s12 νN = n2-1, νD = n1-1 2 2 H1: σ1 > σ2 (unilatéral) Fo = s12/s22 νN = n1-1, νD = n2-1 2 2 2 2 H1: σ1 ≠σ2 (bilatéral) Fo = sM /sm νN = nM-1,νD = nm-1 sM2=max(s12,s22), sm2=min(s12,s22) ___________________________________________________________________ (*) nM est la valeur de
Puisque 0.1788… > 0.05, soit valeur P > α, par conséquent nous ne pouvons pas rejeter l’hypothèse nulle Ho: σ12 = σ22. Notes supplémentaires sur la régression linéaire Dans cette section, nous développons les idées de régression linéaire présentées précédemment dans ce chapitre et proposons une procédure pour le test d’hypothèse des paramètres de régression. La méthode des moindres carrés Supposons que x = une variable indépendante, non aléatoire et Y = une variable dépendante aléatoire.
Nous obtenons ce que l’on appelle les équations normales : n ∑y i =1 n i = a ⋅ n + b ⋅ ∑ xi i =1 n n n i =1 i =1 i =1 ∑ xi ⋅ yi = a ⋅ ∑ xi + b ⋅ ∑ xi2 Il s’agit d’un système d’équation linéaires avec a et b comme inconnues, qui peut être résolu et utilisant les fonctions d’équation linéaires de la calculatrice. Vous n’avez cependant pas besoin de vous préoccuper de ces calculs puisque vous pouvez utiliser l’option 3. Fit Data …du menu ‚Ù , comme cela a été présenté plus tôt.
D’où il s’ensuit que les déviations standard de x et y et la co-variance de x,y sont données, respectivement, par S xx , sy = n −1 sx = S yy n −1 , et sxy = S yx n −1 De même, le coefficient de corrélation de l’échantillon est rxy = S xy S xx ⋅ S yy . En termes de x, y, Sxx, Syy, et Sxy, la solution des équations normales est : a = y − bx , b= S xy S xx = s xy s x2 Erreur de prédiction La courbe de régression de Y sur x est définie comme Y = Α + Β⋅x + ε.
Intervalles de confiance et test d’hypothèse en régression linéaire Voici quelques concepts et équations liés à l’inférence statistique pour la régression linéaire : • Limites de confiance pour les coefficients de régression : Pour la pente (Β): b − (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx < Β < b + (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx, Pour le segment (Α): a − (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+x2/Sxx]1/2 < Α < a + (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+x2/Sxx]1/2, où t suit la distribution t de Student avec ν = n – 2, degrés de liberté, et n représente le nombre de poi
niveau de signification, α, déterminer la valeur critique de t, tα/2, et ensuite rejeter H0 si t0 > tα/2 ou si t0 < - tα/2. • Intervalle de confiance de la valeur moyenne de Y à x = x0, soit α+βx0: a+b⋅x−(t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+(x0-x)2/Sxx]1/2 < α+βx0 < a+b⋅x+(t n-2, α /2)⋅se⋅[(1/n)+(x0-x)2/Sxx]1/2. • Limites de prédiction : intervalle de confiance pour la valeur prédite Y0=Y(x0): a+b⋅x−(t n-2,α/2)⋅se⋅[1+(1/n)+(x0-x)2/Sxx]1/2 < Y0 < a+b⋅x+(t n-2, α /2)⋅se⋅[1+(1/n)+(x0-x)2/Sxx]1/2.
Exemple 1 -- Pour les données suivantes (x,y), déterminez l’intervalle de confiance 95% pour la pente B et le segment A x y 2.0 5.5 2.5 7.2 3.0 9.4 3.5 10.0 4.0 12.2 Saisissez les données (x,y) dans les colonnes de ΣDAT, respectivement. Un diagramme de dispersion des données montre une tendance linéaire correcte : Utilisez l’option Fit Data.. dans le menu ‚Ù pour obtenir : 3: '-.86 + 3.24*X' 2: Correlation: 0.989720229749 1: Covariance: 2.025 Ces résultats sont interprétés comme a = -0.86, b = 3.
• • Tout d’abord, nous obtenons t n-2,α/2 = t3,0.025 = 3.18244630528 (se référer au Chapitre 17 pour un programme permettant de résoudre tν,a) : Ensuite, nous calculons les termes (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx = 3.182…⋅(0.1826…/2.5)1/2 = 0.8602… (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+x2/Sxx]1/2 = 3.1824…⋅√0.1826…⋅[(1/5)+32/2.5] 1/2 = 2.65 • Enfin, pour la pente B, l’intervalle de confiance 95% est (-0.86-0.860242, -0.86+0.860242) = (-1.72, -0.00024217) Pour le segment A, l’intervalle de confiance 95% est (3.24-2.6514, 3.24+2.
Exemple 3 – Test de signification pour la régression linéaire. Tester la régression linéaire pour la pente H0: Β = 0, par rapport à l’hypothèse alternative, H1: Β ≠ 0, à un niveau d’importance α = 0.05, pour l’adaptation linéaire de l’Eeemple linéaire. La statistique de test est t0 = (b -Β0)/(se/√Sxx) = (3.24-0)/(√0.18266666667/2.5) = 18.95. La valeur critique de t, pour ν = n – 2 = 3, et α/2 = 0.025, a été obtenue à l’exemple 2, comme tn-2,α/2 = t3,0.025 = 3.18244630528.
Puis le vecteur de coefficients est obtenu à partir de b = (XT⋅X)-1⋅XT⋅y, où y est le vecteur y = [y1 y2 … ym]T. Par exemple, utilisez les données suivantes pour obtenir une adaptation linéaire multiple y = b0 + b1⋅x1 + b2⋅x2 + b3⋅x3, x1 1.20 2.50 3.50 4.00 6.00 x2 3.10 3.10 4.50 4.50 5.00 x3 2.00 2.50 2.50 3.00 3.50 y 5.70 8.20 5.00 8.20 9.
soit : y = -2.1649–0.7144⋅x1 -1.7850×10-2⋅x2 + 7.0941⋅x3 . Vous devriez avoir dans la pile de votre calculatrice la valeur de la matrice X et le vecteur b; les valeurs adaptées de y sont obtenues à partir de y = X⋅b, par conséquent, appuyez sur * pour obtenir : [5.63.., 8.25.., 5.03.., 8.23.., 9.45..]. Comparez ces valeurs adaptées avec les données originales telles que présentées dans la table ci-dessous : x1 x2 x3 y 1.20 2.50 3.50 4.00 6.00 3.10 3.10 4.50 4.50 5.00 2.00 2.50 2.50 3.00 3.50 5.70 8.
Ensuite, le vecteur de coefficients est obtenu à partir de b = (XT⋅X)-1⋅XT⋅y, où y est le vecteur y = [y1 y2 … yn]T. Au Chapitre 10, nous avons défini la matrice de Vandermonde correspondant au vecteur x = [x1 x2 … xm] . La matrice de Vandermonde est similaire à la matrice X intéressante pour l’adaptation, mais ayant seulement n, colonnes, plutôt que (p+1) colonnes. Nous pouvons profiter de la fonction VANDERMONDE pour créer la matrice X si nous observons les règles suivantes : Si p = n-1, X = Vn.
il est plus pratique de saisir les données (x,y) sous forme de liste). De même, saisissez la valeur de p. • • • • • Déterminez n = taille du vecteur x. Utilisez la fonction VANDERMONDE pour générer la matrice Vandermonde Vn pour la liste x saisie.
n1+ p1+ FOR j x j ^ OBJ ARRY j COL+ NEXT END END y OBJ ARRY MTREG NUM » » » Calcule n+1 Calcule p+1 Commence la boucle avec j = n, n+1, …, p+1. Calcule xj, comme une liste Convertit la liste en ensemble Ajoute une colonne à la matrice Ferme la boucle FOR-NEXT Termine la seconde clause IF. Termine la première clause IF.
Puisque que nous allons utiliser les même données x-y pour adapter les polynômes de différents ordres, nous recommandons d’enregistrer les listes de valeurs de données x et y en variables xx et yy, respectivement. De cette façon, nous n’aurons pas à les saisir à nouveau à chaque application du programme POLY. Par conséquent, procéder comme suit : { 2.3 3.2 4.5 1.65 9.32 1.18 6.24 3.45 9.89 1.22 } ` ‘xx’ K {179.72 562.30 1969.11 65.87 31220.89 32.81 6731.48 737.41 39248.46 33.
complètement aléatoires, le tracé des restes ne devrait pas montrer de tendance particulière. Avant de tenter de programmer ces critères, nous présentons quelques définitions : Etant donné les vecteurs de données x et y devant être adaptés à l’adéquation polynomiale, nous formons la matrice X et l’utilisons pour calculer un vecteur de coefficients polynomiaux b. Nous pouvons calculer un vecteur de données adaptées, y’, en utilisant y’ = X⋅b. Un vecteur d’erreur est calculé par e = y – y’.
n p2+ FOR j j COL− DROP -1 STEP ELSE IF ‘p>n-1’ THEN n1+ p1+ FOR j x j ^ OBJ ARRY j COL+ NEXT END END y OBJ ARRY X yv « X yv MTREG NUM b « b yv Xb* ABS SQ DUP y ΣLIST n / n 1 LIST SWAP CON Place n dans la pile Calcule p+1 Commence la boucle, j = n-1 à p+1, étape = -1 Retire une colonne, la supprime de la pile Ferme la boucle FOR-STEP Calcule n+1 Calcule p+1 Commence la boucle avec j = n, n+1, …, p+1.
yv − ABS SQ / NEG 1 + √ “r” TAG SWAP “SSE” TAG » » » » » Calcule SST Calcule SSE/SST Calcule r = [1–SSE/SST ]1/2 Indicateur donne “r” Echange les niveaux de pile 1 et 2 Indicateur donne SSE Ferme le sous-programme 4 Ferme le sous-programme 3 Ferme le sous-programme 2 Ferme le sous-programme 1 Ferme le programme principal Enregistre ce programme sous le nom POLYR pour faciliter le calcul du coefficient de corrélation r.
Chapitre 19 Nombres dans différentes bases Dans ce Chapitre, nous présentons des exemples de calculs de nombres dans des bases différentes de la base décimale. Définitions Le système numérique utilisé pour l’arithmétique de tous les jours est connu sous le nom de système décimal car il utilise 10 (en latin : déca) chiffres, à savoir 0 à 9, pour écrire tous les nombres réels. Les ordinateurs, par contre, utilisent un système basé sur deux états possibles ou système binaire .
Si l’indicateur système 117 est paramétré sur menus SOFT, le menu BASE affiche les entrées suivantes : Avec ce format, il est évident que les entrées LOGIC, BIT et BYTE dans le menu BASE sont elles-mêmes des sous-menus. Ces menus seront étudiés ultérieurement dans ce chapitre. Fonction HEX, DEC, OCT et BIN Les nombres dans les systèmes non décimaux sont précédés du symbole # dans la calculatrice. Le symbole # est facilement accessible grâce à „â(la touche 3).
OCT BIN Comme le système décimal (DEC) a dix chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), le système hexadécimal (HEX) en comporte seize chiffres (0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), le système octal (OCT) huit chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7) et le système binaire (BIN) seulement deux chiffres (0,1). Conversion entre les systèmes numériques Quel que soit le système sélectionné, il est appelé système binaire afin de pouvoir utiliser les fonctions R B et B R.
Nous présentons aussi des transformations utilisant le système binaire comme base actuelle : Notez que chaque fois que vous saisissez un nombre commençant par #, vous obtenez comme entrée le nombre saisi précédé de # et suivi de la lettre h, o ou b (hexadécimal, octal, ou binaire). Le type de lettre utilisé comme suffixe dépend du système numérique non décimal sélectionné, c’est-à-dire HEX, OCT, ou BIN.
premiers bits seront effacés avant que toute opération ne soit effectuée sur ce nombre. Opérations avec des entiers binaires Les opérations d’addition, soustraction, changement de signe, multiplication et division sont définies pour les entiers binaires.
Les fonctions AND, OR, XOR et NOT peuvent être appliquées à la comparaison de déclarations avec les règles suivantes : 1 AND 1 = 1 1 OR 1 = 1 1 XOR 1 = 0 NOT (1) = 0 1 AND 0 = 1 OR 0 = 1 XOR 0 = NOT (0) = 0 0 AND 1= 0 1 0 OR 1= 1 1 0 XOR 1= 1 1 0 AND 0 = 0 0 OR 0 = 0 0 XOR 0 = 0 Ces fonctions peuvent être utilisées pour construire des déclarations logiques dans un but de programmation.
Les fonctions RL, SL, ASR, SR, RR contenues dans le menu BIT sont utilisées pour manipuler les bits des chiffres binaires entiers.
RLB : Rotate Left one byte (rotation d’un octet vers la gauche) à savoir #1100b #1001b SLB : Shift Left one byte (déplacement d’un octet vers la gauche) à savoir #1101b #11010b SRB : Shift Right one byte, (déplacement vd’un octet ers la droite) à savoir #11011b #1101b RRB : Rotate Right one byte, (rotation d’un octet vers la droite) à savoir #1101b #1110b Nombres hexadécimaux pour références pixel Plusieurs spécifications d’option de tracé utilisent les références pixel comme mode de saisie, c'est-à
Chapitre 20 Personnalisation des menus et du clavier L’utilisation des nombreux menus de la calculatrice vous a familiarisé avec le fonctionnement des menus pour un certain nombre d’applications. Vous vous êtes également familiarisé avec les nombreuses fonctions disponibles via l’utilisation des touches du clavier, qu’il s’agisse de leur fonction principale ou de leur association à la touche majuscule gauche („), majuscule droite (‚) ou ALPHA (~) .
TMENU : Utilisez cette fonction plutôt que MENU pour créer un menu temporaire sans remplacer le contenu de CST. RCLMENU : Renvoie le numéro du menu en cours Numéros des menus (fonctions RCLMENU et MENU) Chaque menu prédéfini est associé à un numéro. Par exemple, supposons que vous activiez le menu MTH („´). Puis, à l’aide de la fonction catalogue (‚N) recherchez la fonction RCLMENU et activez-la. En mode ALG simple, appuyez sur ` après que RCLMENU() est apparu à l’écran. Le résultat est le numéro 3.01.
Par exemple, en mode RPN, vous créez un menu en utilisant : {EXP LN GAMMA !} ` TMENU ` ou {EXP LN GAMMA !} ` MENU ` pour produire le menu suivant : Pour activer l’une de ces fonctions, il suffit d’entrer l’argument de la fonction (un nombre), puis d’appuyer sur la touche de menu soft correspondante.
On peut définir une version plus simple du menu à l’aide de MENU({{”EXP(“,“LN(“,“GAMMA(“,”!(“}). Menu RPN avancé La liste présentée ci-dessus pour le mode ALG peut être modifiée légèrement afin d’être utilisée en mode RPN. La liste modifiée se présentera ainsi : {{“exp”,EXP},{“ln”,LN},{“Gamma”,GAMMA},{“!”,!}} Vous pouvez essayer d’utiliser cette liste avec TMENU ou MENU en mode RPN pour vérifier que vous obtenez le même menu que précédemment en mode ALG.
{“label1”,”function1(“,”ls1(“,”rs1(“}, {“label2”, “function2(“,”ls2(“,”rs2(“),…} En revanche, en mode RPN, la liste d’arguments se présente ainsi : {“label1”, function1, ls1, rs1}, {“label2”, function2, ls2, rs2},…} Dans ces caractéristiques, fonction1, fonction 2, etc. représentent les fonctions principales de la touche, alors que ls1, ls2, …, etc. représentent les fonctions activées par la touche majuscule gauche () maintenue enfoncée. De la même manière, rs1, rs2, …, etc.
.0 ou 1, touche sans touche .2, combinée touche .3, combinée touche .4, combinée touche .5, combinée fonction avec „ avec ‚ avec ~ avec ~„ 0.01 ou 0.11, non applicable touche .21, simultanément avec „ touche .31, simultanément avec ‚ touche .41, combinée avec ~ touche .51, ~ simultanément avec „ touche .6, combinée avec ~‚ touche .61, ~ simultanément avec ‚ Ainsi, la fonction VAR sera désignée comme touche 31.0 ou 3.1, alors que la fonction UPDIR sera la touche 31.2, la fonction COPY sera la touche 31.
DELKEYS: Désaffecte une ou toutes les touches définies dans la liste de l’utilisateur ; les arguments sont soit 0, pour désaffecter toutes les touches soit XY.Z, pour les touches XY.Z non définies. Rappel de la liste actuelle des touches définies par l’utilisateur Utilisez la commande RCLKEYS pour afficher la liste actuelle des touches définies par l’utilisateur. Avant toute affectation de touches définies par l’utilisateur, le résultat doit être une liste contenant la lettre S, c’est-à-dire {S}.
l’écran. En appuyant sur „Ì C pour cet exemple, vous devriez récupérer le menu PLOT comme suit : Si vous disposez de plusieurs touches définies par l’utilisateur et souhaitez en utiliser plusieurs à la fois, vous pouvez verrouiller le clavier en mode USER en entrant „Ì„Ì avant d’appuyer sur les touches définies par l’utilisateur. Lorsque le clavier est verrouillé en mode USER, la spécification USR apparaît sur la deuxième ligne de l’écran. Pour déverrouiller le clavier, appuyez une nouvelle fois sur „Ì.
5„ÌA 4„ÌB 2 „ÌD 1„ÌE 6„ÌC 2„ÌF Pour désaffecter toutes les touches définies par l’utilisateur, utilisez : Mode ALG : DELKEYS(0) mode RPN : 0 DELKEYS Vérifiez que les définitions des touches de l’utilisateur ont été supprimées en utilisant la fonction RCLKEYS.
Chapitre 21 Programmation en langage RPL Utilisateur Le langage RPL Utilisateur est le langage de programmation le plus couramment utilisé pour programmer la calculatrice. Les composants du programme peuvent être assemblés dans l’éditeur de lignes ; pour ce faire, on les inclut entre des conteneurs de programme « » dans l’ordre approprié. Dans la mesure où les utilisateurs ont plus d’expérience de la programmation en langage RPN, la plupart des exemples de ce chapitre seront présentés en mode RPN.
Pour intégrer ce programme, procédez comme suit : Séquence de touches : ‚å Produit : « [']~„x™K 'x' STO ~„x „´@)HYP @SINH 1#~„x „º „´@)@MTH@ @LIST @ADD@ x SINH 1 x SQ ADD / 'x' PURGE / [']~„x™ „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE ` _______________________ __________ Interprété comme : Lancement d’un programme RPL Stockage du niveau 1 dans la variable x Placement de x au niveau 1 Calcul du sinh du niveau 1 Saisie de 1 et calcul de x2 Calcul de (1+x2), puis division Purge de la variable x Programmation au niv
STO. Pendant l’exécution du programme, la variable x est stockée dans votre menu de variables comme toute autre variable précédemment stockée. Après avoir calculé la fonction, le programme purge (efface) la variable x, de sorte qu’elle n’apparaît pas dans votre menu de variables après l’évaluation du programme. Si la variable x n’était pas purgée dans le programme, sa valeur resterait disponible après l’exécution du programme.
La variable x dans la dernière version du programme n’occupe jamais une place parmi les variables de votre menu de variables. Elle est modifiée au sein de la mémoire de la calculatrice sans affecter toute variable de même nom dans votre menu de variables. C’est la raison pour laquelle la variable x dans ce cas est considérée comme variable locale pour le programme, c’est-àdire une variable locale.
• • • Une variable globale définie dans le répertoire HOME sera accessible à partir de tout sous-répertoire de HOME, sauf si elle est redéfinie au sein d’un répertoire ou d’un sous-répertoire. Si vous redéfinissez la variable au sein d’un répertoire ou d’un sousrépertoire, cette définition se substitue à toute autre définition dans les répertoires supérieurs au répertoire actuel.
commandes de programmation dans l’éditeur de ligne lorsque vous constituez un programme. Pour accéder au menu PRG, utilisez la combinaison de touches „°.
PICT : Fonctions permettant de dessiner des images dans l’écran de graphiques CHARS : Fonctions permettant de manipuler des chaînes de caractères MODES: Fonctions permettant de modifier les modes de la calculatrice FMT : Pour modifier le format des nombres ou le format des virgules ANGLE : Pour modifier la mesure des angles et les systèmes de coordonnées FLAG : Pour définir et désactiver les indicateurs et vérifier leur état KEYS : Pour définir et activer les touches définies par l’utilisateur (Chapitre 20
DROP OVER ROT UNROT ROLL ROLLD PICK UNPICK PICK3 DEPTH DUP2 DUPN DROP2 DROPN DUPDU NIP NDUPN MEM PURGE MEM BYTES NEWOB ARCHI RESTO LIST/ELEM GET GETI PUT PUTI SIZE POS HEAD TAIL STO PATH CRDIR PGDIR VARS TVARS ORDER ELSE END END TEST == ≠ < > ≤ MEM/ARITH BRCH/START ≥ STO+ START AND STONEXT OR STOx STEP XOR STO/ NOT BRCH/FOR INCR SAME DECR FOR TYPE SINV NEXT SF SNEG STEP CF SCONJ FS? BRCH/DO FC? BRCH DO FS?C IFT UNTIL FC?C IFTE END LININ GROB GROB BLANK GOR GXOR SUB REPL LCD LCD SIZE BRCH/CASE CASE
LIST/PROC DOLIST DOSUB NSUB ENDSUB STREAM REVLIST SORT SEQ ANIMATE TAIL SREPL PICT MODES/FMT PICT PDIM STD LINE FIX TLINE SCI BOX ENG ARC FM, PIXON ML PIXOF MODES/ANGLE PIX? PVIEW DEG PX C RAD C PX GRAD RECT CYLIN SPHERE TIME DATE DATE TIME TIME TICKS ERROR DOERR ERRN ERRM ERR0 LASTARG TIME/ALRM ACK ACKALARM STOALARM RCLALARM DELALARM FINDALARM ERROR/IFERR IFERR THEN ELSE END RESET MODES/KEYS ASN STOKEYS RECLKEYS DELKEYS MODES/MENU MENU CST TMENU RCLMENU INFORM NOVAL CHOOSE INPUT KEY WAIT PROMPT OUT
Raccourcis dans le menu PRG Bon nombre des fonctions répertoriées ci-dessus pour le menu PRG sont disponibles par d’autres moyens : • • • • • • Les opérateurs de comparaison (≠, ≤, <, ≥, >) sont disponibles sur le clavier. Beaucoup de fonctions et de paramètres du sous-menu MODES peuvent être activés par l’utilisation des fonctions d’entrée fournies par la touche H. Les fonctions du sous-menu TIME sont accessibles par la combinaison de touches ‚Ó.
‚@)START „@)@@DO@@ ‚@)@FOR@@ „@)WHILE Remarquez que l’invite d’insertion ( ) est disponible après le mot clé pour chaque construction, ce qui vous permet de commencer à taper à l’endroit approprié. Séquence de touches pour les commandes couramment utilisées Vous trouverez ci-dessous des séquences de touches permettant d’accéder aux commandes couramment utilisées pour la programmation numérique au sein du menu PRG.
THEN END „°@)@BRCH@ @)CASE@ @THEN@ „°@)@BRCH@ @)CASE@ @@END@ @)@BRCH@ @)START START NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)START @START „°@)@BRCH@ @)START @NEXT „°@)@BRCH@ @)START @STEP @)@BRCH@ @)@FOR@ FOR NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@FOR@@ „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@NEXT@ „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@STEP@ @)@BRCH@ @)@@DO@@ DO UNTIL END @)@BRCH@ @)WHILE@ WHILE REPEAT END @)TEST@ @)TYPE@ „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@@DO@@ „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @UNTIL „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@END@@ „°@)@BRCH@ @)WHILE@ @WHILE „°)@BRCH@ @)WHILE@ @REPEA „°)@
ARRY LIST STR TAG NUM CHR TYPE „°@)TYPE@ @ @ARRY „°@)TYPE@ @ @LIST „°@)TYPE@ @ @STR „°@)TYPE@ @ @TAG „°@)TYPE@ L @NUM@ „°@)TYPE@ L @CHR@ „°@)TYPE@ L @TYPE@ @)LIST@ @)ELEM@ GET GETI PUT PUTI SIZE HEAD TAIL „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ @)LIST@ @)PROC@ REVLIST SORT SEQ „°@)LIST@ @)PROC@ @REVLI@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @SORT@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @@SEQ@@ @)MODES @)ANGLE@ DEG RAD „°L@)MODES @)ANGLE@ @@DEG@@ „°L@)MODES @)ANGLE@ @@RAD@@ @)MODES @)MENU@ CST MENU B
DBUG SST SST↓ HALT KILL „°LL „°LL „°LL „°LL „°LL @)@RUN@ @)@RUN@ @)@RUN@ @)@RUN@ @)@RUN@ @@DBG@ @@SST@ @SST↓@ @HALT@ @KILL Programmes permettant de générer des listes de nombres Remarquez que les fonctions du menu PRG ne sont pas les seules qui puissent être utilisées en programmation. En fait, la plupart des fonctions de la calculatrice peuvent être incluses dans un programme. Ainsi, vous pouvez utiliser, par exemple, les fonctions du menu MTH.
: crée une liste de nombres de n1 à n2 avec l’incrément ∆n, c’est-à-dire : {n1, n1+∆n, n1+2⋅∆n, … n1+N⋅∆n }, où N=floor((n2-n1)/∆n)+1. Operation : entrez n1, entrez n2, entrez ∆n, appuyez sur @CRLST Exemple : 5 `3.5 `.5 ` @CRLST produit {0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5} (2) CRLST (3) CLIST : crée une liste contenant la somme cumulée des éléments, c’est-à-dire que si la liste d’origine est {x1 x2 x3 … xN}, CLIST crée la liste : N {x1 , x1 + x2 , x1 + x2 + x3 ,...
« x1, x2, … 'expression contenant les variables x1, x2, …'». Pour évaluer la fonction pour une série de variables d’entrée x1, x2, …, en mode RPN, entrez les variables dans la pile dans l’ordre approprié (c’est-àdire : x1 d’abord, suivi de x2, puis x3, etc.), et appuyez sur les touches de menu étiquetées function_name. La calculatrice retourne la valeur de la fonction function_name(x1, x2, …). Exemple: Equation de Manning pour un canal rectangulaire large.
en tant qu’argument de la fonction DEFINE. Remarquez que l'exposant 5./3. de cette équation, représente un rapport de nombres réels en raison des virgules décimales qui y figurent. Appuyez sur J, au besoin, pour récupérer la liste des variables. A ce stade, une variable appelée @@@q@@@ figurera dans les étiquettes de vos touches de menu. Pour afficher le contenu de q, utilisez ‚@@@q@@@. Le programme généré par la définition de la fonction q(Cu,n,y0,S0) est présenté comme suit : « → Cu n y0 S0 ‘Cu/n*y0^(5.
une décharge Q. L’énergie spécifique est calculée ainsi, hv = Q2/(2g(by)2), où g correspond à l’accélération de gravité (g = 9.806 m/s2 en unités S.I. ou g = 32.2 ft/s2 en unités E.S.). Si l’on devait calculer hv pour Q = 23 cfs (pieds cube par seconde = ft3/s), b = 3 ft, et y = 2 ft, on pourrait utiliser : hv = 232/(2⋅32.2⋅ (3⋅2)2). En utilisant la calculatrice en mode RPN de manière interactive, on peut calculer cette quantité comme suit : 2`3*„º32.2* 2*23„º™/ Cela donne le résultat : 0.228174, ou hv = 0.
et en conservant uniquement les opérations présentées ci-dessous (ne tapez pas ces données) : ` *„ *2* „º™/ Note : lorsque vous entrez le programme, n’utilisez pas la touche ™, mais plutôt la séquence de touches : „°@)STACK @SWAP@. Contrairement à l’utilisation interactive de la calculatrice présentée plus tôt, nous devons procéder à un échange des niveaux de pile 1 et 2 au sein du programme.
Une nouvelle variable @@@hv@@@ devrait être disponible dans votre menu de touches (appuyez sur J pour afficher votre liste de variables). Le programme restant dans la pile peut être évalué à l’aide de la fonction EVAL. Le résultat doit être 0.228174…, comme précédemment. De même, le programme est disponible pour une utilisation future dans la variable @@@hv@@@. Par exemple, pour Q = 0.5 m3/s, g = 9.806 m/s2, b = 1.5 m, et y = 0.5 m, utilisez : 0.5 # 9.806 #1.5 # 0.
il est toujours possible de rappeler la définition du programme dans la pile (‚@@@q@@@) pour afficher l’ordre dans lequel les variables doivent être saisies, à savoir → Cu n y0 S0. Toutefois, dans le cas du programme @@hv@@, sa définition « * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / » ne fournit pas d’indication quant à l’ordre dans lequel les données doivent être entrées, sauf, bien sûr, si vous disposez d’une grande expérience du RPN et du langage RPL Utilisateur.
si le style textbook est sélectionné. Dans la mesure où nous savons que la fonction SQ( ) correspond à x2, nous interprétons ce dernier résultat comme suit : S 42 , 2 ⋅ S 3 ⋅ ( S 2 ⋅ S1) 2 ce qui indique l’emplacement des différents niveaux d’entrée de la pile dans la formule.
sur un ordinateur. Les chaînes entre guillemets (“ “) sont tapées directement à partir du clavier alphanumérique. Enregistrez le programme dans une variable appelée INPTa (pour INPuT a). Essayez d’exécuter le programme en appuyant sur la touche de menu étiquetée @INPTa. Le résultat est une pile qui invite l’utilisateur à entrer la valeur de a et qui place le curseur devant l’invite :a: Entrez une valeur pour a, disons 35, puis appuyez sur `.
Débogage du programme Pour comprendre pourquoi le programme n’a pas fonctionné, nous utiliserons la fonction DBUG de la calculatrice comme suit : ³@FUNCa ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ 2` @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Copie le nom du programme dans le niveau 1 de la pile Lance le débogueur Débogage pas à pas, Résultat : “Enter a:” Résultat : {“ a:” {2 0} V} Résultat : l’utilisateur est invité à entrer la valeur de a Entrez une valeur de 2 pour a.
@SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ 2` @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Débogage pas à pas, Résultat : “Enter a:” Résultat : {“ a:” {2 0} V} Résultat : l’utilisateur est invité à entrer la valeur de a Entrez une valeur de 2 pour a. Résultat : “ :a:2” Résultat : a:2 Résultat : pile vide, exécution de →a Résultat : pile vide, entrée dans le sousprogramme « A ce stade, vous êtes dans le sous-programme « ‘2*a^2+3’ », lequel utilise la variable locale a.
fonction EVAL manquante. Après modification, le programme doit se présenter comme suit : « “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ NUM » » Stockez-le, de nouveau dans la variable FUNCa, puis exécutez une nouvelle fois le programme avec a = 2. Cette fois, le résultat est 11, à savoir : 2*22+3 = 11.
Programme de chaîne d’entrée pour deux valeurs d’entrée Le programme de chaîne d’entrée pour deux valeurs d’entrée, disons a et b, se présente comme suit : « “Enter a and b: “ {“ :a: :b: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ » Ce programme peut facilement être créé par la modification du contenu de INPTa. Stockez ce programme dans la variable INPT2.
dans la chaîne d’entrée, puis appuyez sur `. Le résultat ainsi obtenu est 49887.06_J/m^3. Les unités de J/m^3 sont équivalentes à des Pascals (Pa), l’unité de pression de prédilection du système S.I. Note : dans la mesure où nous avons délibérément inclus les unités dans la définition de la fonction, les valeurs d’entrée doivent avoir des unités jointes en entrée pour produire le résultat approprié.
Stockez ce résultat dans la variable @@@p@@@.Pour exécuter le programme, appuyez sur @@@p@@@. Entrez les valeurs de V = 0.01_m^3, T = 300_K, et n = 0.8_mol. Avant d’appuyer sur `, la pile se présente comme suit : Appuyez sur ` pour obtenir 199548.24_Pa = 199.55 kPa. le résultat 199548.24_J/m^3, ou Entrée via des formulaires d’entrée La fonction INFORM („°L@)@@IN@@ @INFOR@.) peut être utilisée pour créer des formulaires d’entrée détaillés pour un programme.
tabulation entre les étiquettes et les champs du formulaire. La liste peut être vide. Les valeurs par défaut sont col = 1 et tabs = 3. 4. La liste des valeurs de réinitialisation : un liste contenant les valeurs permettant de réinitialiser les différents champs si l’option @RESET est sélectionnée pendant l’utilisation du formulaire d’entrée. 5. La liste des valeurs initiales : une liste contenant les valeurs initiales des champs. Les listes des éléments 4 et 5 peuvent être vides.
Dans ce programme, on peut identifier les 5 composants de l’entrée comme suit : 1. Titre : “ CHEZY’S EQN” 2. Définitions des champs : il en existe trois, étiquetés “C:”, “R:”, “S:”, les chaînes d’information “Coefficient de Chezy”, “Rayon hydraulique”, “Pente du lit du canal”, et acceptant uniquement des données de type 0 - nombres réels pour les trois champs : { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } 3.
Entrez maintenant des valeurs différentes pour les trois champs, disons C = 95, R = 2.5, et S = 0.003, en appuyant sur @@@OK@@@ après avoir entré chacune de ces nouvelles valeurs. Après ces substitutions, le formulaire d’entrée se présentera comme suit : Maintenant, pour entrer ces valeurs dans le programme, appuyez une fois de plus sur @@@OK@@@. Cela active la fonction INFORM et produit le résultat suivant dans la pile : Ainsi, nous avons démontré l’utilisation de la fonction INFORM.
Ces commandes calculent la valeur de Q et placent une étiquette (ou label) dessus. D’autre part, si la valeur du niveau 1 de la pile est 0 (ce qui se produit lorsque vous entrez @CANCEL pendant que vous utilisez la case d’entrée), le contrôle du programme est transmis aux commandes : “Operation cancelled” MSGBOX Ces commandes produisent une boîte de message indiquant que l’opération a été annulée. Note : la fonction MSGBOX appartient à l’ensemble des fonctions de sortie dans le sous-menu PRG/OUT.
Exemple 3 : Modifiez le format du champ de la liste d’informations en le remplaçant par { 3 0 } et enregistrez le programme modifié dans la variable INFP3. Exécutez ce programme pour afficher le nouveau formulaire d’entrée : Création d’une CHOOSE boxes La fonction CHOOSE („°L@)@@IN@@ @CHOOS@) permet à l’utilisateur de créer une CHOOSE box dans un programme. Cette fonction requiert trois arguments : 1. Une invite (une chaîne de caractères décrivant la CHOOSE box) 2.
Exemple 1 – l’équation de Manning permettant de calculer la hauteur dynamique dans un flux de canal ouvert comprend un coefficient, Cu, lequel dépend du système d’unités utilisées. Si vous utilisez le S.I. (Système International), Cu = 1.0, alors que si vous utilisez le E.S. (Système Britannique), Cu = 1.486. Le programme suivant utilise une CHOOSE box pour permettre à l’utilisateur de sélectionner la valeur de Cu en sélectionnant le système d’unités.
cancelled” MSGBOX afficheront une boîte de message indiquant que l’opération a été annulée. Identification de la sortie dans les programmes Le moyen le plus simple d’identifier la sortie des programmes numériques consiste à “étiqueter” les résultats du programme. Une étiquette est simplement une chaîne attachée à un nombre ou à tout autre objet. Cette chaîne correspond au nom associé à l’objet.
“Désétiquetage” d’une quantité étiquetée Le “désétiquetage” consiste à extraire l’objet d’une quantité étiquetée. Cette fonction est accessible via la combinaison de touches suivante : „ ° @)TYPE@ L @DTAG. Par exemple, étant donnée la quantité étiquetée a:2, DTAG retourne la valeur numérique 2. Note : avant d’effectuer des opérations mathématiques sur des quantités étiquetées, la calculatrice “désétiquette” automatiquement ces quantités.
Dans cet exemple, nous modifions le programme FUNCa afin que la sortie comprenne non seulement la fonction évaluée, mais aussi une copie de l’entrée accompagnée d’une étiquette.
@SST↓@ 2` @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Résultat : l’utilisateur est invité à entrer la valeur de a Entrez une valeur de 2 pour a. Résultat : “ :a:2” Résultat : a:2 Résultat : pile vide, exécution de →a Résultat : pile vide, entrée dans le sousprogramme « Résultat : ‘2*a^2+3’ Résultat : pile vide, calcul en cours Résultat : 11., Résultat : “F” Résultat : F: 11. Résultat : a:2.
programme séparant les deux listes de variables d’entrée (V T N n), le programme considérerait que les variables d’entrée « V T →V T N V T n requièrent six valeurs d’entrée alors que trois seulement sont disponibles. Cela aurait généré un message d’erreur et entraîné l’interruption de l’exécution du programme. Pour inclure le sous-programme mentionné ci-dessus dans la définition modifiée du programme @@@p@@@, il faut utiliser ‚å au début et à la fin du sous-programme.
En résumé : l’élément commun aux trois exemples présentés ici est l’utilisation d’étiquettes pour identifier les variables d’entrée et de sortie. Si l’on utilise une chaîne d’entrée pour obtenir les valeurs d’entrée, ces valeurs sont déjà pré-étiquetées et il est facile de les rappeler dans la pile pour une sortie. L’utilisation de la commande →TAG vous permet d’identifier la sortie du programme.
algébrique ou non étiquetée, utilisez la fonction →STR disponible en „°@)TYPE@ @ STR. Utilisation d’une boîte de message pour la sortie d’un programme La fonction @@@p@@@ , du dernier exemple, peut être modifiée pour se présenter ainsi : “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V T n ‘(8.31451_J/(K*mol))* (n*T/V)‘ EVAL “p” →TAG →STR MSGBOX » » « Stockez de nouveau le programme dans la variable p en utilisant „@@@p@@@. Exécutez le programme en appuyant sur @@@p@@@.
Inclusion de l’entrée et de la sortie dans une boîte de message On pourrait modifier le programme afin que non seulement la sortie, mais aussi l’entrée soient incluses dans une boîte de message. Dans le cas du programme @@@p@@@, le programme modifié se présente ainsi : “Enter V, T and n: “{“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V →STR “ ” + T →STR “ ” + n →STR “ ” + ‘(8.
Note : le signe plus (+) dans ce programme est utilisé pour concaténer les chaînes. La concaténation est simplement l’opération de fusion de deux chaînes de caractères individuelles. Pour visualisez le fonctionnement du programme : • • • Stockez de nouveau le programme dans la variable p en utilisant „@@@p@@@. Exécutez le programme en appuyant sur @@@p@@@. Entrez les valeurs V = 0.01_m^3, T = 300_K, et n = 0.8_mol, lorsque vous y êtes invité.
d’entrée et de sortie. Nous illustrerons ces options en modifiant une fois encore le programme @@@p@@@, comme suit. Rappelez le contenu du programme @@@p@@@ dans la pile en utilisant ‚@@@p@@@, et modifiez-le pour qu’il se présente ainsi : Note : j’ai divisé le programme arbitrairement en plusieurs lignes pour faciliter sa lecture. Ce programme n’apparaît pas nécessairement ainsi dans la pile de la calculatrice. La séquence de commandes est cependant correcte.
0.01_m^3), mais l’étiquette disparaît. 4. T ‘1_K’ * : Calcul de la valeur de T, y compris les unités S.I. 5. n ‘1_mol’ * : Calcul de la valeur de n, y compris les unités 6. → V T n : Les valeurs de V, T, et n, situées respectivement aux niveaux 3, 2 et 1 de la pile, sont transmises au niveau suivant de la sous-programmation. Pour voir cette version du programme en action, procédez comme suit : • • • Stockez de nouveau le programme dans la variable p en utilisant [ ][ p ].
Sortie de boîte de message sans unités Modifions de nouveau le programme @@@p@@@ pour éliminer l’utilisation des unités dans tout le programme. Le programme sans unité se présente ainsi : « “Enter V,T,n [S.I.]: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V DTAG T DTAG n DTAG → V T n « “V=” V →STR + “ ”+ “T=” T →STR + “ ” + “n=” n →STR + “ ” + ‘8.31451*n*T/V‘ EVAL →STR “p=” SWAP + + + + MSGBOX » » » Lorsqu’il est exécuté avec les données d’entrée V = 0.01, T = 300, et n = 0.
dans la calculatrice) ou fausse (représentée par la valeur numérique 0. dans la calculatrice).
Opérateurs logiques Les opérateurs logiques sont des particules logiques utilisées pour joindre ou modifier des déclarations logiques simples. Les opérateurs logiques disponibles dans la calculatrice sont facilement accessibles via la séquence de touches suivante : „° @)TEST@ L. Les opérateurs logiques disponibles sont : AND, OR, XOR (ou exclusif), NOT, et SAME. Les opérateurs produisent des résultats vrais ou faux, selon la valeur de vérité des déclarations logiques concernées.
0 0 0 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p XOR q 0 1 1 0 La calculatrice comprend également l’opérateur logique SAME. Il s’agit d’un opérateur logique non standard utilisé pour déterminer si deux objets sont identiques. S’ils sont identiques, une valeur de 1 (vrai) est retournée ; dans le cas contraire, une valeur de 0 (faux) est retournée.
Les constructions de programmes IF…THEN..ELSE…END, et CASE…THEN…END seront désignées comme des constructions d’embranchements de programmes. START, FOR, DO, et WHILE, sont appropriées pour contrôler le traitement répétitif au sein d’un programme et seront désignées comme des constructions en boucle de programmes. Ces derniers types de constructions de programmes sont présentés avec de plus amples détails dans une section ultérieure.
Cela crée l’entrée suivante dans la pile : Le curseur placé devant la déclaration IF invite l’utilisateur à entrer la déclaration logique qui active la construction IF lorsque le programme est exécuté. Exemple : tapez le programme suivant : « → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ EVAL END ”Done” MSGBOX » » et enregistrez-le sous le nom ‘f1’. Appuyez sur J et vérifiez que la variable @@@f1@@@ est bien disponible dans votre menu de variables. Vérifiez les résultats suivants : 0 @@@f1@@@ Résultat : 0 3.
2. Si déclaration_logique est vraie, exécutez déclarations_programme_si_vrai et poursuivez le flux du programme après la déclaration END. 3. Si déclaration_logique est fausse, exécutez déclarations_programme_si_faux et poursuivez le flux du programme après la déclaration END.
Note : dans ce cas particulier, une alternative possible aurait consisté à utiliser une fonction IFTE sous la forme : ‘f2(x) = IFTE(x<3,x^2,1-x)’ Constructions IF…THEN…ELSE…END imbriquées Dans la plupart des langages de programmation informatique où la construction IF…THEN…ELSE…END est disponible, le format général utilisé pour la présentation du programme est le suivant : IF déclaration_logique déclarations_programme_si_vrai ELSE déclarations_programme_si_faux END Dans la conception d’un programme de calcu
x 2 , if x < 3 1 − x, if 3 ≤ x < 5 f 3 ( x) = sin( x), if 5 ≤ x < 3π exp( x), if 3π ≤ x < 15 − 2, elsewhere Voici un moyen possible d’évaluer cette fonction à l’aide de constructions IF… THEN … ELSE … END : IF x<3 THEN x2 ELSE IF x<5 THEN 1-x ELSE IF x<3π THEN sin(x) ELSE IF x<15 THEN exp(x) ELSE -2 END END END END Une construction IF complexe de ce type est appelée série de constructions IF … THEN … ELSE … END imbriquées.
Stockez ce programme dans la variable @@@f3@@@ et essayez les évaluations suivantes : 1.5 @@f3@@@ 2.5 @@@f3@@@ 4.2 @@@f3@@@ 5.6 @@@f3@@@ 12 @@@f3@@@ 23 @@@f3@@@ 2.25 (c’est-à-dire x2) 6.25 (c’est-à-dire x2) -3.2 (c’est-à-dire 1-x) -0.631266… (c’est-à-dire sin(x), avec x dans les radians) Résultat : 162754.791419 (c’est-à-dire exp(x)) Résultat : -2.
Dans le menu BRCH, c’est-à-dire, („°@)@BRCH@ ) vous pouvez utiliser les raccourcis suivants pour saisir votre construction CASE (l’emplacement du curseur est indiqué par le symbole ): • „@)CASE@: Lance la construction case en fournissant les invites : CASE THEN END END • ‚@)CASE@: Termine la ligne CASE en ajoutant les particules THEN END Exemple – programme f3(x) utilisant la déclaration CASE La fonction est définie par les 5 expressions suivantes : x 2 , if x < 3 1 − x, if 3 ≤ x < 5 f 3 (
23 @@f3c@ Résultat : -2. (c’est-à-dire -2) Comme vous pouvez le constater, f3c produit exactement les mêmes résultats que f3. La seule différence entre ces programmes tient aux constructions à embranchements utilisées. Dans le cas de la fonction f3(x), dont la définition requiert cinq expressions, la construction CASE peut être plus facile à coder qu’un certain nombre de constructions IF … THEN … ELSE … END imbriquées.
que la version START…STEP est utilisée lorsque l’incrément de l’index est déterminé par l’utilisateur.
Tapez le programme et enregistrez-le dans une variable appelée @@@S1@@@. Voici une brève explication du fonctionnement de ce programme : 1. Ce programme doit disposer d’un nombre entier en entrée. Par conséquent, avant de l’exécuter, ce nombre (n) se trouve au niveau 1 de la pile. Le programme est alors exécuté. 2. On entre un zéro, ce qui déplace n au niveau 2 de la pile. 3.
Pour visualiser le programme en action, pas à pas, vous pouvez utiliser le débogueur comme suit (utilisez n = 2). SL1 représente le niveau 1 de la pile : J2[‘] @@@S1@@ ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Placez un 2 au niveau 2 et le nom du programme, ‘S1’, au niveau 1 Lancez le débogueur. SL1 = 2. SL1 = 0., SL2 = 2. SL1 = 0., SL2 = 0., SL3 = 2. (DUP) Pile vide (-> n S k) Pile vide (« - démarrez le sousprogramme) SL1 = 0.
@SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ SL1 = 1. (SQ(k) = k2) SL1 = 0.(S), SL2 = 1. (k2) SL1 = 1. (S + k2) SL1 = 1., SL2 = 1. (S + k2) SL1 = 1.(k), SL2 = 1., SL3 = 1. (S + k2) SL1 = 2.(k+1), SL2 = 1. (S + k2) SL1 = ‘k’, SL2 = 2., SL3 = 1. (S + k2) SL1 = 1. (S + k2) [Stocke la valeur de SL2 = 2, dans SL1 = ‘k’] SL1 = ‘S’, SL2 = 1.
@SST↓@ @SST↓@ SL1 = S:5 (quitte le sous-programme ») SL1 = S:5 (quitte le programme principal ») Le listage pas à pas est terminé. Le résultat de l’exécution du programme @@@S1@@ avec n = 2, est S:5.
Dans ce programme, xs = valeur initiale de la boucle, xe = valeur finale de la boucle, dx = valeur d’incrément pour la boucle. Le programme place les valeurs de xs, xs+dx, xs+2⋅dx, xs+3⋅dx, … dans la pile. Il calcule ensuite le nombre d’éléments générés à l’aide de l’élément de code : xe xs – dx / ABS 1. + Enfin, le programme assemble une liste des éléments placés dans la pile. • • Vérifiez que l’appel de programme 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIST produit la liste {0.5 1. 1.5 2. 2.5}.
Dans le menu BRCH („°@)@BRCH@) les touches suivantes sont disponibles pour générer des constructions FOR (le symbole indique la position du curseur) : • „ @)@FOR: Lance la construction FOR…NEXT : FOR NEXT • ‚ @)@FOR: Lance la construction the FOR…STEP : FOR STEP Construction FOR…NEXT La forme générale de cette déclaration est : start_value end_value FOR loop_index program_statements NEXT Pour éviter une boucle sans fin, assurez-vous que valeur_initiale < valeur_finale.
Vous avez peut-être remarqué que ce programme est beaucoup plus simple que celui qui est stocké dans @@@S1@@. Il est inutile d’initialiser k ou d’incrémenter k au sein du programme. Le programme se charge lui-même de produire ces incréments. La construction FOR…STEP La forme générale de cette déclaration est : start_value end_value FOR loop_index program_statements increment STEP La valeur_initiale, la valeur_finale et l’increment de l’index de la boucle peuvent être des quantités positives ou négatives.
Use @SST↓@ pour entrer dans le programme et visualiser le fonctionnement détaillé de chaque commande. La construction DO La structure générale de cette commande est : DO déclarations_programme UNTIL déclaration_logique END La commande DO lance une boucle sans fin exécutant le programme déclarations_programme jusqu’à ce que la déclaration_logique retourne FALSE (0). La déclaration_logique doit contenir la valeur d’un index dont la valeur est modifiée dans les déclarations_programme.
3 5 10 30 @@@S3@@ @@@S3@@ @@@S3@@ @@@S3@@ Résultat Résultat Résultat Résultat : : : : S:14 S:55 S:385 S:9455 4 @@@S3@@ 8 @@@S3@@ 20 @@@S3@@ 100 @@@S3@@ Résultat Résultat Résultat Résultat :S:30 :S:204 :S:2870 :S:338350 Exemple 3 : générez une liste à l’aide d’une construction DO…UNTIL…END Tapez le programme suivant → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + xs → n x « xs DO ‘x+dx’ EVAL DUP ‘x’ STO UNTIL ‘x≥xe’ END n →LIST » » » « et stockez-le dans la variable @GLIS3.
END. Les déclarations_programme doivent comprendre un index de boucle qui sera modifié avant la vérification de la déclaration_logique au début de la répétition suivante. Contrairement à la commande DO, si la première évaluation de déclaration_logique est fausse, la boucle n’est jamais exécutée. Exemple 1 : calculez la somme S à l’aide d’une construction WHILE … REPEAT … END Le programme suivant calcule la somme n S = ∑k2 k =0 Utilisation d’une boucle WHILE…REPEAT…END : 0.
• • Vérifiez que l’appel de programme 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS4 produit la liste {0.5 1. 1.5 2. 2.5}. Pour visualiser le fonctionnement pas à pas, utilisez le programme DBUG pour obtenir une brève liste, par exemple : J1 # 1.5 # 0.5 ` [‘] @GLIS4 ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Entrez les paramètres 1 1.5 0.5 Entrez le nom du programme au niveau 1 Lancez le débogueur. Use @SST↓@ pour entrer dans le programme et visualiser le fonctionnement détaillé de chaque commande.
Enfin, 0` @DOERR, produit le message : Interrupted ERRN Cette fonction retourne un nombre représentant l’erreur la plus récente. Par exemple, si vous essayez 0Y$@ERRN, vous obtenez le nombre #305h. Il s’agit du nombre entier binaire représentant l’erreur : Infinite Result ERRM Cette fonction retourne une chaîne de caractères représentant le message correspondant à l’erreur la plus récente.
sein du sous-menu @)ERROR la saisie de „@)IFERR ou de ‚@)IFERR place les composants de la structure IFERR dans la pile, prêts pour que l’utilisateur remplisse les termes manquants, c’est-à-dire : La forme générale des deux constructions de détection des erreurs est la suivante : IF trap-clause THEN error-clause END IF trap-clause THEN error-clause ELSE normal-clause END Le fonctionnement de ces constructions logiques est similaire à celui des constructions IF … THEN … END et IF … THEN … ELSE … END.
Programmation RPL Utilisateur en mode algébrique Même si tous les programmes présentés précédemment sont produits et exécutés en mode RPN, vous pouvez toujours taper un programme en langage RPL Utilisateur lorsque vous êtes en mode algébrique en utilisant la fonction RPL>. Cette fonction est disponible via le catalogue de commandes. A titre d’exemple, essayez de créer le programme suivant en mode algébrique, et enregistrez le dans la variable P2 : « → X ‘2.
Vous pouvez écrire des programmes en mode algébrique, mais si vous n’utilisez pas la fonction RPL>, des messages d’erreurs peuvent apparaître quand vous appuyez sur `, par exemple : Par contre, si la fonction RPL a été utilisée, il n’y a aucun problème en mode algébrique : Page 21-74
Chapitre 22 Programmes de manipulation graphique Ce chapitre comprend un certain nombre d’exemples qui présentent l’utilisation des fonctions de la calculatrice pour manipuler les graphiques de manière interactive ou via l’utilisation des programmes. Comme au Chapitre 21, nous recommandons l’utilisation du mode RPN, l’indicateur système 117 étant réglé sur les étiquettes de menu SOFT. « » Nous présentons un certain nombre d’applications graphiques de la calculatrice au Chapitre 12.
Touche définie par l’utilisateur pour le menu PLOT Saisissez la commande suivante pour déterminer si des touches définies par l’utilisateur sont déjà stockées dans votre calculatrice : „°L@)MODES @)@KEYS@ @@RCLK@. A moins que vous n’ayez déjà défini des touches, vous devriez obtenir une liste contenant un S, à savoir {S}. Cela indique que le clavier standard est la seule définition de touches stockée dans votre calculatrice.
Description du menu PLOT Le schéma ci-dessous présente les sous-menus du menu PLOT. Les nombres accompagnant les différents menus et fonctions dans le schéma sont utilisés comme références dans la description de ces objets ci-après. Les touches de menu étiquetées 3D, STAT, FLAG, PTYPE et PPAR, produisent des menus supplémentaires, lesquels seront présentés plus en détail ultérieurement. A ce stade, nous décrivons les fonctions directement accessibles via les touches de menu pour le menu numéro 81.02.
• FUNCTION • CONIC • POLAR • PARAMETRIC • • TRUTH BAR • • HISTOGRAM SCATTER : selon la plage de tracés de x, elle échantillonne la fonction dans EQ et détermine les valeurs minimale et maximale de y. : définit l’échelle de l’axe y comme égale à l’échelle de l’axe x. : en fonction des valeurs de la variable indépendante (habituellement θ), elle échantillonne la fonction dans EQ et détermine les valeurs minimale et maximale de x et de y.
manière que si votre menu de variables était disponible ; par exemple, si vous appuyez sur la touche [ EQ ] elle répertorie le contenu actuel de cette variable. ERASE (4) La fonction ERASE efface le contenu actuel de la fenêtre de graphiques. En programmation, elle peut également permettre de s’assurer que la fenêtre des graphiques est vide avant de tracer un nouveau graphique. DRAX (5) La fonction DRAX dessine les axes dans le tracé actuel, s’ils sont visibles.
Note : les commandes SCALE présentées ici représentent en réalité les commandes SCALE, SCALEW, SCALEH, dans cet ordre. Le schéma ci-dessous illustre les fonctions disponibles dans le menu PPAR. Les lettres associées à chaque fonction du schéma sont utilisées à des fins de référence dans la description des fonctions présentées ci-dessous.
Ces informations indiquent que X est la variable indépendante (Indep), Y est la variable dépendante (Depnd), la plage de l’axe x se situe entre –6.5 et 6.5 (Xrng), la plage de l’axe y se situe entre –3.1 et 3.2 (Yrng). La dernière information figurant à l’écran, la valeur de Res (résolution) détermine l’intervalle de la variable indépendante utilisé pour générer le tracé.
ou l’autre de ces commandes se compose de deux nombres représentant les valeurs minimale et maximale de x ou de y. Les valeurs des plages des axes x et y sont stockées sous forme de paires ordonnées (xmin, ymin) et (xmax, ymax) dans les deux premiers éléments de la variable PPAR. Les valeurs par défaut de xmin et xmax sont respectivement -6.5 et 6.5. Les valeurs par défaut de xmin et xmax sont respectivement –3.1 et 3.2.
SCALEH (j) Etant donné un facteur yfactor, la commande SCALEH multiplie l’échelle verticale par ce facteur. Le H de SCALEH signifie 'hauteur'. L’exécution de SCALEH modifie les valeurs de ymin et ymax dans PPAR. Note : les modifications apportées par l’utilisation des commandes SCALE, SCALEW ou SCALEH peuvent être utilisées pour effectuer un zoom avant ou un zoom arrière dans un tracé. ATICK (l) La commande ATICK (cochage des axes) permet de définir les marques de cochage des axes.
Pour revenir au menu PLOT, appuyez sur @)PLOT. Appuyez sur L pour accéder au deuxième sous-menu du menu PLOT. RESET (f) Ce bouton réinitialise les paramètres du tracé en fonction des valeurs par défaut. Le menu 3D de PLOT (7) Le menu 3D contient deux sous-menus, PTYPE et VPAR, ainsi qu’une variable, EQ. Nous nous sommes déjà familiarisés avec la signification de EQ ; par conséquent, nous nous concentrerons ici sur le contenu des menus PTYPE et VPAR. Le schéma ci-dessous présente les subdivisions du menu 3D.
un programme, l’appel de la fonction correspondante est intégré au programme. Appuyez sur L@)@3D@@ pour revenir au menu 3D principal. Le menu VPAR de 3D (V) La variable VPAR correspond aux PARamètres de Volume, ce qui désigne un parallélépipède dans l’espace à l’intérieur duquel le graphique en trois dimensions est construit. Lorsque vous appuyez sur [VPAR] dans le menu 3D, vous obtenez les fonctions suivantes.
le graphique sera généré (le parallélépipède de vue). Ces valeurs sont stockées dans la variable VPAR. Les valeurs par défaut pour les plages XVOL, YVOL et ZVOL sont –1 à 1. XXRNG (Q) and YYRNG (R) Ces fonctions acceptent comme entrée une valeur minimale et une valeur maximale et permettent de spécifier les plages des variables x et y et de générer les fonctions z = f(x,y). La valeur par défaut des plages XXRNG et YYRNG sera identique à celle des plages XVOL et YVOL.
Le menu STAT dans PLOT Le menu STAT permet d’accéder aux tracés liés à l’analyse statistique. Ce menu contient les sous-menus suivants : Le schéma ci-dessous présente les subdivisions du menu STAT dans PLOT. Les nombres et les lettres accompagnant chaque fonction ou menu sont utilisés comme référence dans les descriptions qui suivent la figure.
Le menu PTYPE dans STAT (I) Le menu PTYPE fournit les fonctions suivantes : Ces touches correspondent aux types de tracés Bar (bâton) (A), Histogram (histogramme) (B) et Scatter (nuage) (C), présentés précédemment. Si vous appuyez sur l’une des ces touches de menu tout en saisissant un programme, l’appel de la fonction correspondante est intégré au programme. Appuyez sur @)STAT pour revenir au menu STAT.
Le menu ΣPAR de STAT (III) Le menu ΣPAR fournit les fonctions suivantes : INFO (M) et ΣPAR (K) La touche INFO de ΣPAR fournit les informations illustrées dans l’écran cidessus. Les informations répertoriées à l’écran se trouvent dans la variable ΣPAR. Les valeurs présentées sont les valeurs par défaut pour la colonne des x, la colonne des y, l’interception et l’inclinaison d’un modèle d’intégration de données, ainsi que le type de modèle à adapter aux données dans ΣDAT.
meilleure intégration. L’intégration des données est décrite avec de plus amples détails dans un chapitre ultérieur. Appuyez sur )£@PAR pour revenir au menu ΣPAR. ΣPAR (K) ΣPAR n’est qu’une référence à la variable ΣPAR pour une utilisation interactive. RESET (L) Cette fonction réinitialise le contenu de ΣPAR en utilisant les valeurs par défaut. Appuyez sur L @)STAT pour revenir au menu STAT. Appuyez sur [PLOT] pour revenir au menu PLOT principal.
Vous trouverez ci-dessous la description du format général des variables nécessaire pour produire les différents types de tracés disponibles dans la calculatrice.
• • • Plage des variables indépendantes x et y (xmin, xmax, ymin, ymax) Emplacement du point de vue (xeye, yeye, zeye) Nombre d’étapes dans les directions x et y (xstep, ystep) Les graphiques en trois dimensions requièrent également la variable PPAR avec les paramètres indiqués ci-dessus.
1 \# 10 @XRNG 1 \# 5 @YRNG L { (0,0) {.4 .
2.2 \# 2.2 @XRNG 1.1 \# 1.1 @YRNG L { (0,0) {} {.4 .2} “X(t)” “Y(t)”} ` @AXES L @)PLOT @ERASE @DRAX L @LABEL L @DRAW @)EDIT L@MENU LL@)PICT @CANCL Exemple 3 – Tracé polaire. „ÌC @)PTYPE @POLAR ‘1+SIN(θ)’ `„ @@EQ@@ @)PPAR { θ 0 6.29} ` @INDEP ~y` @DEPND 3 \# 3 @XRNG 0.5 \# 2.5 @YRNG L { (0,0) {.5 .5} “x” “y”} ` @AXES L @)PLOT @ERASE @DRAX L @LABEL Définissez (-2.2,2.2) en tant que plage x Définissez (-1.1,1.
L @DRAW @)EDIT L@MENU LL@)PICT @CANCL Dessinez la fonction et affichez l’image Supprimez les étiquettes de menus Revenez à l’affichage normal de la calculatrice Ces exemples font apparaître une tendance pour la génération interactive d’un graphique en deux dimensions via le menu PLOT : 1 – Sélectionnez PTYPE. 2 – Stockez la fonction pour le tracé dans la variable EQ (en utilisant le format approprié, par exemple ‘X(t)+iY(t)’ pour PARAMETRIC).
« {PPAR EQ} PURGE ‘√r’ STEQ ‘r’ INDEP ‘s’ DEPND FUNCTION { (0.,0.) {.4 .2} “Rs” “Sr” } AXES –1. 5. XRNG –1. 5.
PARAMETRIC { (0.,0.) {.5 .5} “X(t)” “Y(t)” } AXES –2.2 2.2 XRNG –1.1 1.1 YRNG ERASE DRAW DRAX LABEL PICTURE » Sélectionnez PARAMETRIC en tant que type de tracé Définissez les informations sur les axes Définissez la plage x Définissez la plage y Effacez & dessinez le tracé, les axes et les étiquettes Rappelez l’écran des graphiques sur la pile Terminez le programme Stockez le programme dans la variable PLOT2. Pour l’exécuter, appuyez sur J, au besoin, puis appuyez sur @PLOT2. Exemple 3 – Tracé polaire.
ERASE DRAW DRAX LABEL PICTURE » Effacez & dessinez le tracé, les axes et les étiquettes Rappelez l’écran des graphiques sur la pile Terminez le programme Stockez le programme dans la variable PLOT3. Pour l’exécuter, appuyez sur J, au besoin, puis appuyez sur @PLOT3. Ces exercices illustrent l’utilisation des commandes PLOT dans des programmes. Elles ne font qu’effleurer les utilisations des applications de programmation de tracés.
PICT Cette touche fait référence à une variable appelée PICT qui stocke le contenu actuel de la fenêtre de graphiques. Toutefois, le nom de cette variable ne peut pas être placé entre guillemets et elle peut uniquement stocker des objets graphiques. En ce sens, la variable PICT est différente de toutes les autres variables de la calculatrice. PDIM La fonction PDIM accepte en entrée soit deux paires ordonnées (xmin ,ymin) (xmax , ymax) soit deux entiers binaires #w et #h.
TLINE Cette commande (Toggle LINE) accepte en entrée deux paires ordonnées (x1,y1) (x2, y2) ou deux paires de coordonnées de pixels {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Elle trace une ligne entre ces deux coordonnées, désactivant les pixels situés sur la trajectoire de cette ligne et activant les autres. BOX Cette commande accepte en entrée deux paires ordonnées (x1,y1) (x2, y2) ou deux paires de coordonnées de pixels {#n1 #m1} {#n2 #m2}.
• • • Les coordonnées du centre de l’arc comme (x,y) en unités d’utilisateur ou {#n, #m} en pixels. Le rayon de l’arc comme r (unités d’utilisateur) ou #k (pixels). L’angle initial θ1 et l’angle final θ2. PIX?, PIXON et PIXOFF Ces fonctions acceptent en entrée les coordonnées de point en unités d’utilisateur, (x,y) ou en pixels {#n, #m}. • • • PIX? s’assure que le pixel situé à l’emplacement (x,y) ou {#n, #m} est activé. PIXOFF désactive le pixel à l’emplacement (x,y) ou {#n, #m}.
Exemples de programmation utilisant des fonctions de dessin Dans cette section, nous utiliserons les commandes décrites ci-dessus pour produire des graphiques à l’aide de programmes. La liste des programmes est fournie sur la disquette ou le CD ROM joint.
Exemple 2 - Un programme permettant de tracer une vue en coupe d’une rivière naturelle Cette application peut être utile pour déterminer la zone et le périmètre inondable des vues de coupe des rivières. Habituellement, on observe la vue de coupe d’une rivière ainsi qu’une série de points, représentant les coordonnées x et y par rapport à un jeu arbitraire d’axes de coordonnées. Ces points peuvent être tracés et on peut produire un schéma de la vue de coupe pour une profondeur d’eau donnée.
Il est recommandé de créer un sous-répertoire distinct pour stocker les programmes. Vous pouvez l’appeler RIVER, dans la mesure où il s’agit de vues de coupe ouvertes et irrégulières, typiques des rivières. Pour visualiser le programme XSECT en action, utilisez les jeux de données suivants. Saisissez-les en tant que matrices de deux colonnes, la première colonne correspondant à x et la deuxième à y.
5.8 7.2 7.8 9.0 2.0 3.8 5.3 7.2 4.5 5.0 6.0 7.1 8.0 9.0 10.0 10.5 11.0 1.0 2.0 2.5 2.0 0.7 0.0 1.5 3.4 5.0 Note : le programme FRAME, tel que programmé initialement (voir la disquette ou le CD ROM) ne préserve pas l’échelle appropriée du graphique.
Animation de graphiques Nous présentons ici une manière de produire des animations à l’aide du type de tracé Y-Slice. Supposons que vous souhaitiez animer la vague mouvante, f(X,Y) = 2.5 sin(X-Y). On peut considérer le X comme la valeur de temps dans l’animation produisant des tracés de f(X,Y) par opposition à Y pour des valeurs différentes de X. Pour produire un tel graphique, utilisez la commande suivante : • „ô simultanément. Sélectionnez Y-Slice comme TYPE. ‘2.5*SIN(X-Y)’ pour EQ. ‘X’ pour INDEP.
Animation d’un ensemble de graphiques La calculatrice fournit la fonction ANIMATE ("animer") pour animer un certain nombre de graphiques placés dans la pile. Vous pouvez générer un graphique dans l’écran de graphiques à l’aide des commandes des menus PLOT et PICT. Pour placer le graphique ainsi généré dans la pile, utilisez la commande PICT RCL.
NEXT 11 ANIMATE » Terminez la boucle FORNEXT Animez Terminez le programme Stockez ce programme dans une variable appelée PANIM (Plot ANIMation ou Animation du tracé). Pour exécuter le programme, appuyez sur J ( ou au besoin) @PANIM. Il faut à la calculatrice plus d’une minute pour générer les graphiques et faire apparaître l’animation. Par conséquent, soyez très patient.
» Terminez le programme Enregistrez ce programme dans une variable appelée RANIM (RANIMer). Pour l’exécuter, appuyez sur @RANIM.
0 4 FOR j ‘X^j’ STEQ ERASE DRAX LABEL DRAW PICT RCL NEXT 5 ANIMATE » Démarrez la boucle avec j = 0,1,…,4 Stockez ‘X^j’ dans la variable EQ Effacez le PICT actuel Dessinez les axes, étiquettes, fonction Placez le PICT actuel dans la pile Terminez la boucle FOR-NEXT Animez Stockez ce programme dans une variable appelée PWAN (PoWer function ANimation). Pour exécuter le programme, appuyez sur J (ou au besoin) @PWAN.
par pixel de l’image produite sur l’écran. Par conséquent, lorsqu’une image est convertie en GROB, elle devient une séquence de chiffres binaires (binary digits = bits), c’est-à-dire de 0 et de 1. Pour illustrer les GROBs et la conversion des images en GROBS, considérez l’exercice suivant. Lorsque l’on produit un graphique dans la calculatrice, le graphique devient le contenu d’une variable spéciale appelée PICT.
× 8. Toutefois, l’écran de graphiques est maintenant remplacé par une séquence de zéros et de uns qui représentent les pixels du graphique d’origine. Ainsi, le graphique d’origine a été remplacé par sa représentation en bits. Vous pouvez également convertir des équations en GROBs. Par exemple, utilisez le type rédacteur d’équation dans l’équation ‘X^2+3’ dans le niveau 1 de la pile, puis appuyez sur 1` „°L@)GROB @ GROB .
GROB Parmi ces fonctions, nous avons déjà utilisé SUB, REPL, (du menu EDIT des graphiques), ANIMATE [ ANIMA ], et GROB. ( [ PRG ] est simplement un moyen de revenir au menu de programmation). Lors de l’utilisation de GROB dans les deux exemples précédents, vous avez peut-être remarqué que nous avions utilisé un 3 pendant la conversion du graphique en GROB, alors que nous utilisions un 1 pour convertir l’équation en GROB.
LCD Utilise un GROB spécifié et l’affiche à l’écran de la calculatrice à partir de l’angle supérieur gauche. LCD Copie le contenu de la pile et l’affichage du menu dans un GROB de 131 x 64 pixels. SIZE La fonction SIZE, appliquée à un GROB, affiche la taille du GROB sous forme de deux nombres. Le premier nombre, figurant au niveau 2 de la pile, représente la largeur de l’objet graphique, tandis que le second nombre, au niveau 1 de la pile, correspond à sa hauteur.
“SINE FUNCTION” 1 GROB (-6., 1.5) SWAP GOR PICT STO { } PVIEW » Placez la chaîne d’étiquette du graphique dans la pile Convertissez la chaîne en un petit GROB Coordonnées pour placer l’étiquette GROB Associez PICT à l’étiquette GROB Enregistrez le GROB associé dans PICT Amenez PICT sur la pile Terminez le programme Enregistrez le programme sous le nom GRPR (GROB PRogram). Appuyez sur @GRPR pour exécuter le programme.
La relation entre l’état original des stress (σxx, σyy, τxy, τyx) et l’état de stress en cas de rotation des axes dans le sens inverse des aiguilles d’une montre selon un angle f (σ’xx, σ’yy, τ’xy, τ’yx), peut être représentée de manière graphique par la construction présentée dans la figure ci-dessous. Pour construire le cercle de Mohr, nous utilisons un système de coordonnées cartésiennes, l’axe x correspondant aux stress normaux (σ), et l’axe y correspondant aux axes de déchirure (τ).
a situation de stress pour laquelle le stress de déchirure, τ’xy, est nul, indiquée par le segment D’E’, produit ce que l’on appelle les stress principaux, σPxx (au point D’) et σPyy (au point E’). Pour obtenir les stress principaux, vous devez faire pivoter le système de coordonnées φn, selon un angle fn, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, par rapport au système x-y. Dans le cercle de Mohr, l’angle entre les segments AC et D’C mesure 2φn.
dans un certain nombre de sous-programmes créés en tant que variables distinctes dans la calculatrice. Ces sous-programmes sont liés par un programme principal, que nous appellerons MOHRCIRCL. Nous créerons d’abord un sous-répertoire appelé MOHRC dans le répertoire HOME, puis nous nous déplacerons dans ce répertoire pour entrer les programmes. L’étape suivante consiste à créer le programme principal et les sousprogrammes dans le sous-répertoire.
Exécution du programme Si vous avez entré les programmes dans l’ordre indiqué ci-dessus, votre sousrépertoire MOHRC contient les variables suivantes : PTTL, σAXS, PLPNT, σLBL, PPTS, DDIAM. En appuyant sur L vous obtenez également : PCIRC, DAXES, ATN2, CC&r, INDAT, MOHRC. Avant de réordonner les variables, exécutez le programme une fois en appuyant sur la touche étiquetée @MOHRC.
Appuyez sur la flèche droite (™) pour augmenter la valeur de φ et afficher la valeur correspondante de (σ’xx, τ’xy). Par exemple, pour φ = 45o, nous avons les valeurs (σ’xx, τ’xy) = (1.00E2, 2.50E1) = (100, 25). La valeur de σ’yy se trouvera à un angle de 90o en avant, où φ = 45 + 90 = 135o. Appuyez sur la touche ™ jusqu’à ce que vous atteigniez cette valeur de φ, pour trouver (σ’yy, τ’xy) = (-1.00E-10,-2.5E1) = (0, 25).
INDAT CC&r “φn” TAG 3 ROLLD R C DUP C R + “σPx” TAG SWAP C R - “σPy” TAG » Entrez les données comme dans le programme MOHRCIRC Calculez σc, r, et fn, comme dans MOHRCIRC Etiquetez l’angle pour les stress principaux Déplacez l’angle étiqueté jusqu’au niveau 3 Convertissez σc et r en (σc, r), dupliquez Calculez le stress principal σPx, étiquetez-le Echangez, calculez le stress σPy, étiquetez-le.
Ensuite, mettez la liste en ordre à l’aide de la commande : „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @ORDER. Une fois que cet appel de la fonction ORDER a été effectué, appuyez sur J. Vous constatez alors que les programmes MOHRCIRCL et PRNST sont les deux premières variables du menu, comme prévu. Deuxième exemple de calculs du cercle de Mohr Déterminez les stress principaux pour l’état de stress défini par σxx = 12.5 kPa, σyy = -6.25 kPa, et τxy = - 5.0 kPa.
Le résultat est le suivant : Pour obtenir la valeur des stress correspondant à une rotation de 35o de l’angle de la particule stressée, procédez comme suit : $š @TRACE @(x,y)@. Effacez l’écran, affichez PICT dans l’écran des graphiques Pour placer le curseur sur le cercleindiquant φ et (x,y) Appuyez ensuite sur ™ jusqu’à ce que vous obteniez la valeur φ = 35. Les coordonnées correspondantes sont (1.63E0, -1.05E1), soit à φ = 35o, σ’xx = 1.63 kPa, et σ’yy = -10.5kPa.
Appuyez sur @@@OK@@@ pour poursuivre l’exécution du programme.
Chapitre 23 Chaînes de caractères Les chaînes de caractères sont des objets de la calculatrice qui figurent entre parenthèses. La calculatrice les considère comme du texte. Par exemple, la chaîne “SINE FUNCTION”, peut être transformée en GROB (objet graphique) pour étiqueter un graphique ou utilisée comme sortie dans un programme. Les groupes de caractères d’entrée du programme, saisies par l’utilisateur, sont traités comme des chaînes.
CHR : Crée une chaîne d’un caractère correspondant au nombre utilisé en tant qu’argument NUM : Retourne le code correspondant au premier caractère d’une chaîne Vous trouverez ci-dessous des exemples d’applications de ces fonctions en chaînes : Concaténation des chaînes Il est possible de concaténer (fusionner) des chaînes à l’aide du signe +, par exemple : La concaténation de chaînes constitue un moyen pratique de créer des sorties dans les programmes.
Le sous-menu CHARS fournit les fonctions suivantes : L’opération de NUM, CHR, OBJ et STR a été présentée plus haut dans ce chapitre. Nous avons également examiné précédemment les fonctions SUB et REPL par rapport aux graphiques.
La liste des caractères L’ensemble des caractères disponibles dans la calculatrice est disponible via la séquence de touches ‚± Lorsque vous mettez un caractère en surbrillance, par exemple le caractère de retour à la ligne , vous voyez apparaître dans l’angle inférieur gauche de l’écran la séquence de touches permettant de produire ce caractère ( . dans ce cas) ainsi que le code numérique correspondant au caractère (10 dans ce cas).
Utilisez la touche @ECHO1@ pour copier un caractère vers la pile et revenir immédiatement à l’affichage normal de la calculatrice. Utilisez la touche @ECHO@ pour copier une série de caractères dans la pile. Pour revenir à l’affichage normal de la calculatrice, appuyez sur la touche $. Pour plus d’informations sur les caractères spéciaux, reportez-vous à l’annexe D. L’annexe G présente également les raccourcis permettant d’obtenir les caractères spéciaux.
Chapitre 24 Objets et indicateurs de la calculatrice Les nombres, listes, vecteurs, matrices, caractères algébriques, etc. sont des objets de la calculatrice. Ils sont qualifiés en fonction de leur nature en 30 types différents, lesquels sont décrits ci-dessous. Les indicateurs sont des variables qui peuvent être utilisées pour contrôler les propriétés de la calculatrice. Les indicateurs ont été présentés au Chapitre 2.
Numéro Type Exemple ____________________________________________________________________ 21 Nombre réel étendu Long Real 22 Nombre complexe étendu Long Complex 23 Série liée Linked Array 24 Objet caractère Character 25 Objet code Code 26 Données de bibliothèque Library Data 27 Objet externe External 28 Entier 3423142 29 Objet externe External 30 Objet externe External ____________________________________________________________________ Fonction TYPE Cette fonction, disponible dans le sous-menu PRG/TYPE ()
indicateur système, ou d’un programme, s’il s’agit d’un indicateur utilisateur. Ils sont décrits avec de plus amples détails ci-après. Indicateurs système Les indicateurs système sont accessibles via H @)FLAGS!. Appuyez sur la flèche descendante pour afficher une liste de l’ensemble des indicateurs système ainsi que leur numéro et un bref descriptif.
indicateurs utilisateur ne s’appliquent que dans la programmation afin de réguler le flux des programmes. Les fonctions permettant de manipuler les indicateurs de la calculatrice sont disponibles dans le menu PRG/MODES/FLAG. Le menu PRG est activé par „°.
Chapitre 25 Fonctions de date et d’heure Dans ce chapitre, nous présenterons certaines des fonctions et des calculs utilisant l’heure et la date. Le menu TIME Le menu TIME, disponible par la séquence de touches ‚Ó (la touche 9) fournit les fonctions décrites ci-après : Réglage d’une alarme L’option 2. Set alarm.. fournit un formulaire d’entrée qui permet à l’utilisateur de régler une alarme.
Liste des alarmes L’option1. Browse alarms... du menu TIME, permet de visualiser l’ensemble des alarmes actuelles.
L’application de ces fonctions est démontrée ci-dessous. DATE DATE TIME TIME : : : : TICKS : ALRM.. : DATE+ : DDAYS(x,y) : HMS : HMS : HMS+ : HMS: TSTR(time, date) : CLKADJ(x) : Place la date actuelle dans la pile Règle la date système en fonction de la valeur spécifiée Règle l’heure actuelle au format 24 h HH.MMSS Règle l’heure système en fonction de la valeur spécifiée au format 24 h HH.MM.
Calculs faisant intervenir des dates Pour les calculs faisant intervenir des dates, utilisez les fonctions DATE+, DDAYS. Voici un exemple d’application de ces fonctions, ainsi qu’un exemple de la fonction TICKS: Calculs faisant intervenir des heures Les fonctions HMS, HMS , HMS+, et HMS- permettent de manipuler des valeurs au format HH.MMSS. Il s’agit du même format utilisé pour les calculs avec des mesures d’angles en degrés, minutes et secondes.
FINDALARM(x) : Retourne la première alarme programmée après l’heure spécifiée L’argument x de la fonction STOALARM est une liste contenant une référence de date (mm.ddyyy), une heure au format 24 h (hh.mm), une chaîne contenant l’intitulé de l’alarme et le nombre de répétitions de l’alarme. Par exemple : STOALARM({6.092003,18.25,"Test",0}. L’argument x de toutes les autres fonctions d’alarme est un nombre entier positif indiquant le numéro de l’alarme à rappeler, annuler ou rechercher.
Chapitre 26 Gestion de la mémoire Dans le Chapitre 2 du guide de l’utilisateur, nous avons présenté les concepts et les opérations de base permettant de créer et de gérer des variables et des répertoires. Dans ce chapitre, nous évoquerons la gestion de la mémoire de la calculatrice en termes de partitions de la mémoire et de techniques de sauvegarde des données.
Le répertoire HOME Lorsque vous utilisez la calculatrice, vous pouvez créer des variables afin de stocker des résultats intermédiaires et définitifs. Certaines opérations de la calculatrice, de type graphiques ou statistiques par exemple, créent leurs propres variables pour stocker des données. Ces variables se trouvent dans le répertoire HOME ou dans l’un de ses sous-répertoires. Les manipulations des variables et des répertoires sont présentées plus en détail au Chapitre 2 du guide de l’utilisateur.
Si une bibliothèque est active dans votre calculatrice, elle apparaît sur cet écran. L'appui sur les touches de menu soft relatives au port 0 a pour effet d'ouvrir ce port mémoire. Les bibliothèques sont présentées avec de plus amples détails ci-dessous. Objets de sauvegarde Les objets de sauvegarde permettent de copier des données à partir du répertoire HOME vers un port de mémoire. Il est ainsi possible de préserver le contenu des objets en vue d’une utilisation ultérieure.
Sauvegarde d’objets dans la mémoire des ports L’opération de sauvegarde d’un objet à partir de la mémoire utilisateur dans l’un des ports de mémoire est similaire à celle qui consiste à copier une variable d’un sous-répertoire dans un autre (laquelle est évoquée plus en détail au Chapitre 2 du guide de l’utilisateur). Vous pouvez, par exemple, utiliser le Gestionnaire de fichiers („¡) pour copier et supprimer des objets de sauvegarde comme vous le feriez avec des objets normaux de la calculatrice.
Restauration du répertoire HOME Pour restaurer le répertoire home en mode algébrique, utilisez la commande suivante : RESTORE(: Numéro_de_port : Nom_de_sauvegarde) Par exemple, pour restaurer le répertoire HOME à partir de l’objet de sauvegarde HOME1, utilisez la commande : RESTORE(:0:HOME1) En mode RPN, utilisez la commande : : Numéro_de_port : Nom_de_sauvegarde ` RESTORE Note : lorsque vous restaurez un répertoire HOME sauvegardé, deux événements se produisent : • Le répertoire de sauvegarde se substitue
Pour supprimer un objet de sauvegarde d’un port : • Utilisez le Gestionnaire de fichiers („¡) pour supprimer l’objet comme vous supprimeriez une variable dans le répertoire HOME (voir le Chapitre 2 du guide de l’utilisateur).
• Pour rappeler un objet de sauvegarde sur la ligne de commande, saisissez : RCL(: Numéro_de_port : Nom_de_sauvegarde) En mode RPN : Pour évaluer un objet de sauvegarde, saisissez : Argument(s) ` : Numéro_de_port : Nom_de_sauvegarde EVAL Pour rappeler un objet de sauvegarde sur la ligne de commande, saisissez : : Numéro_de_port : Nom_de_sauvegarde ` RCL Utilisation des bibliothèques Les bibliothèques sont des programmes en langage binaire créés par l’utilisateur, qui peuvent être chargés dans la
Numéros des bibliothèques Si vous utilisez le menu LIB (‚á) et appuyez sur la touche de menu correspondant au port 0, les numéros des bibliothèques apparaissent dans les étiquettes des touches de menu. Chaque bibliothèque est associée à un numéro à quatre chiffres. Ces numéros sont affectés par le créateur de la bibliothèque et utilisés pour supprimer une bibliothèque.
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Annexe A Utiliser les formules de saisie des données Par cet exemple de réglage de l’heure et de la date, nous illustrons l’utilisation des formules de saisie des données sur la calculatrice. Quelques règles générales : • Passez d’un champ à un autre dans la formule de saisie des données à l’aide des flèches (š™˜—). • Appuyez sur n’importe quelle touche menu programmable @CHOOS pour voir s’afficher les options disponibles pour tout champ donné dans une formule de saisie des données.
Pour commencer les calculs financiers, sélectionnez à l’aide de la flèche (˜) l’élément 5. Solve finance. Appuyez sur @@OK@@, pour lancer l’application. L’écran obtenu est une formule de saisie des données avec des champs de données pour un nombre de variables (n, I%YR, PV, PMT, FV). Dans ce cas particulier, nous pouvons donner des valeurs à toutes les variables excepté une, disons, n = 10, I%YR = 8.
Dans cette formule de saisie des données vous remarquerez les étiquettes des touche menu programmables suivantes : @EDIT !)AMOR @SOLVE Appuyez sur cette touche pour éditer le champ sélectionné Menu d’amortissement - option spécifique à cette application Appuyez pour résoudre le champ sélectionné En appuyant sur L nous pouvons voir les étiquettes des touche menu programmable suivantes : !RESET !CALC !TYPES !CANCL @@OK@@ Réinitialiser les champs aux valeurs par défaut Appuyez pour accéder à la pile pour l
Vous avez maintenant accès à la pile et la dernière valeur sélectionnée dans la formule de saisie des données vous est fournie. Supposons que vous désiriez diviser par deux cette valeur, l’écran suivant apparaît en mode ALG lorsque vous accédez au programme : 1136.22/2: (En mode RPN, nous aurions utilisé 1136.22 ` 2 `/). Appuyez sur @@OK@@ pour entrer cette nouvelle valeur.
Ceci indique que la valeur dans le champ PMT doit être un nombre réel. Appuyez sur @@OK@@ pour retourner à la formule de saisie des données et appuyez sur L pour retrouver le premier menu. Ensuite, appuyez sur la touche ` ou la touche $ pour retourner à la pile. Dans le cas présent, les valeurs suivantes apparaîtront : Le résultat supérieur est la valeur résolue pour PMT dans la première partie de l’exercice. La deuxième valeur est le calcul que nous venons d’effectuer afin de redéfinir la valeur de PMT.
Annexe B Clavier de la calculatrice La figure ci-dessous représente un diagramme du clavier de la calculatrice, ainsi qu’une numérotation de ses rangées (row) et colonnes (column). Sur la figure, on peut voir 10 rangées de touches sur 3, 5 ou 6 colonnes. Rangée 1 comporte 6 touches, rangées 2 et 3 comportent 3 touches chacune et les rangées 4 à 10 comportent 5 touches chacune.
se trouvent 4 flèches au niveau des rangées 2 et 3. Chaque touche représente trois, quatre ou cinq fonctions. Les fonctions principales de ces touches sont illustrées sur la figure ci-dessous. Pour actionner les fonctions principales, il suffit d’appuyer sur la touche correspondante. Nous déterminerons les touches par leur emplacement (rangée et colonne) sur le schéma ci-dessus, ainsi, la touche (10,1) est la touche ON.
Fonctions principales des touches Les touches A à F sont liées aux options du menu de programmation apparaissant au bas de l’écran de la calculatrice. Ces touches commanderont ainsi de nombreuses fonctions, variables selon le menu actif. Les flèches, —˜š™, permettent de déplacer les caractères un à un dans la direction de la flèche en question (soit vers le haut, le bas, à droite ou à gauche). La fonction APPS déclenche le menu d’application. La fonction MODE déclenche le menu d’application.
La touche majuscule de gauche „ et la touche majuscule de droite …associées à d’autres touches déclenchent des menus, entrent des caractères ou calculent des fonctions décrites ailleurs. Les touches numériques (0 à 9) permettent d’entrer les chiffres du système décimal. Il existe une touche pour virgule décimale (.) et une touche espace (SPC).
Vous remarquerez que la couleur et l’emplacement des labels sur la touche, soit SYMB, MTH, CAT et P, signalent quelle est la fonction principale (SYMB) et laquelle des autres fonctions est associée avec les touches „(MTH), … (CAT ) , et ~ (P).
les paramètres de la fenêtre graphique, la fonction GRAPH sert à produire des graphiques, la fonction 2D/3D sert à sélectionner le type de graphique à réaliser, la fonction TBLSET sert à fixer les paramètres pour un tableau de valeurs d’une fonction, la fonction TABLE sert à produire le tableau de valeurs d’une fonction. La fonction FILE enclenche le navigateur fichiers de la mémoire de la calculatrice.
Fonctions „ du clavier de la calculatrice La La La La La La La fonction CMD affiche les commandes les plus récentes. fonction PRG enclenche les menus de programmation. fonction MTRW enclenche l’Editeur de matrice. fonction MTH enclenche un menu de fonctions mathématiques. touche DEL sert à effacer les variables. touche ex calcule la fonction exponentielle de x. touche x2 calcule la racine carrée de x (appelée fonction SQ ).
Les fonctions ASIN, ACOS, et ATAN calculent respectivement les fonctions sinus inverse, cosinus inverse et tangente inverse. La fonction 10x calcule l’antilogarithme de x. Les touches ≠, ≤ et ≥, servent à comparer des nombres réels. La fonction ABS calcule la valeur absolue d’un nombre réel ou le module d’un nombre complexe ou d’un vecteur. La fonction USER enclenche le menu-clavier défini par l’utilisateur. La fonction S.
Fonctions … du clavier de la calculatrice Fonctions Le schéma ci-dessus montre les fonctions, caractères ou menus associés aux différentes touches de la calculatrice lorsque la touche … est enclenchée Les fonctions BEGIN, END, COPY, CUT et PASTE permettent l’édition des données. La touche UNDO permet d’annuler la dernière opération de la calculatrice. La fonction CHARS enclenche le menu des caractères spéciaux.
La fonction EQW permet de démarrer l'Editeur d’équation. La fonction CAT fournit la liste des fichiers disponibles. La fonction CLEAR efface l'écran. La fonction LN calcule le logarithme naturel. La fonction x y calcule la racine x – ème de y. La fonction Σ permet d’entrer les totaux (ou la lettre grecque majuscule de cumul). La fonction ∂ permet de calculer les dérivées. La fonction ∫ permet de calculer les intégrales.
Caractères ALPHA Le schéma suivant illustre les caractères associés aux différentes touches de la calculatrice lorsque la touche ALPHA ~ est enclenchée. Vous remarquerez que la fonction ~ sert essentiellement à entrer les lettres majuscules de l’alphabet anglais (de A à Z). Les nombres, symboles mathématiques (-, +), la virgule décimale (.) et l’espace (SPC) sont identiques aux fonctions principales de ces touches. La fonction ~ ajoute un astérisque (*) lorsque associé à la touche heure, soit, ~*.
Caractères Alpha Le schéma suivant illustre les caractères associés aux différentes touches de la calculatrice lorsque la touche ALPHA ~ est associée à la touche „. Vous remarquerez que cette combinaison ~„ sert essentiellement à entrer les lettres minuscules de l’alphabet anglais (de A à Z). Les nombres, symboles mathématiques (-, +, ×), la virgule décimale (.) et l’espace (SPC) sont identiques aux fonctions principales de ces touches.
Caractères Alpha Le schéma suivant illustre les caractères associés aux différentes touches de la calculatrice lorsque la touche ALPHA ~ est associée à la touche …. "' Fonction Alpha ~… du clavier de la calculatrice Vous remarquerez que cette combinaison ~… sert essentiellement à entrer un nombre de caractères particuliers dans et à partir de la pile.
selon leur fonction principale, même lorsque la combinaison ~… est utilisée. Les caractères spéciaux produits par la combinaison ~… comprennent les lettres grecques (α, β, ∆, δ, ε, ρ, µ, λ, σ, θ, τ, ω, et Π) ; les autres caractères produits par la combinaison ~… sont |, ‘, ^, =, <, >, /, “, \, __, ~, ! , ?, <<>>, et @.
Annexe C Paramètres CAS Le terme CAS est l’acronyme de Computer Algebraic System. Il s’agit du noyau mathématique de la calculatrice, dans lequel sont programmées les opérations mathématiques symboliques et les fonctions. Le CAS comprend un certain nombre de paramètres qui peuvent être ajustés suivant le type d’opération choisi. Pour afficher les paramètres optionnels du CAS suivez les indications ci-dessous : • Appuyez sur la touche H pour activer la fenêtre CALCULATOR MODES.
Appuyer sur la touche L fera apparaître les autres options de la formule de saisie des données CALCULATOR MODES : @RESET !!CANCL @@@OK@@@@ Permet à l’utilisateur de réinitialiser l’option sélectionnée Ferme cette formule de saisie des données et retourne à l’écran normal Utiliser cette touche pour confirmer les réglages • Appuyez sur la touche L pour retrouver le menu original dans la case de saisie des données CALCULATOR MODES. Nous cherchons maintenant à changer les réglages CAS.
d’affichage normal de la calculatrice à ce moment-là, appuyez encore une fois sur la touche de menu @@@OK@@@. Sélectionner la variable indépendante Un grand nombre de fonctions fournies par le CAS utilisent une variable indépendante prédéterminée. On choisit par défaut pour cette variable la lettre X (majuscule), comme vous pouvez le voir ci-dessus dans la case de saisie des données CAS MODES.
trouverez ailleurs dans ce guide plus de détails quant à l’arithmétique modulaire. Mode CAS « numérique » et « symbolique » Lorsque le mode CAS Numeric est sélectionné, certaines constantes prédéfinies de la calculatrice sont affichées sous la forme de leur valeur complète en virgule flottante. Par défaut, l’option _Numeric n’est pas sélectionnée, ce qui veut dire que ces constantes prédéfinies apparaîtront sous forme de symbole, et non comme leur valeur, sur l’écran de la calculatrice.
En mode algébrique, l’objet entré par l’utilisateur apparaît à gauche sur l’écran, immédiatement suivi d’un résultat à droite sur l’écran. Les résultats cidessus montrent les expressions symboliques pour ln(2), soit le logarithme naturel de 2 et 5 , soit la racine carrée de 5.
APPROX, cependant, à chaque fois que vous entrez un nombre entier relatif, il est automatiquement transformé en nombre réel comme illustré ci-après : Lorsque la calculatrice affiche une valeur entière relative suivie d’une virgule décimale, cela signifie que le nombre entier relatif a été converti en une représentation réelle. Ceci indique que le nombre a été entré alors que le CAS était en mode APPROX.
Prenez note qu’en mode COMPLEX, le CAS pourra fournir une gamme plus étendue d’opérations qu’en mode REAL mais qu’il sera aussi beaucoup plus lent. C’est pourquoi nous conseillons de choisir le mode REAL comme mode par défaut et de passer en mode COMPLEX si la calculatrice le demande lors de la réalisation d’une opération. 2 2 L’exemple suivant montre le calcul de la quantité 5 − 8 en mode opératoire algébrique, tout d’abord avec l’option CAS nombres réels sélectionnée.
Mode CAS « verbose » et « non verbose » Lorsque l’option CAS _Verbose est sélectionnée, certains calculs sont agrémentés de commentaires sur l’écran principal. Si l’option CAS _Verbose n’est pas sélectionnée, alors ces calculs apparaîtront sans commentaires. Les commentaires apparaîtront momentanément sur les lignes supérieures de l’écran lors du calcul de l’opération.
Ainsi, les étapes intermédiaires affichées représentent les coefficients du quotient et le reste de la division synthétique étape par étape comme si elle avait été réalisée à la main, soit : − 3X 2 + 3X − 2 X 3 − 5X 2 + 3X − 2 = X2 + = X −2 X −2 X 2 − 3X + − 3X − 2 8 = X 2 − 3X − 3X − . X −2 X −2 Mode CAS « puissances croissantes » Lorsque l’option CAS _Incr pow pow est sélectionnée, les polynômes seront placés de façon à ce que les termes aient des puissances croissantes de la variable indépendante.
Dans le premier cas, le polynôme (X+3)5 est développé en ordre croissant des puissances de X, alors que dans le second cas, le polynôme offre un ordre décroissant des puissances de X. Les saisies dans les deux cas sont les suivantes : „Üx+3™Q5` Dans le premier cas, l’option _Incr pow était sélectionnée, alors que dans le second elle n’était pas sélectionnée.
Mettre en marche la calculatrice et appuyer sur la touche I pour enclencher le menu TOOL (outils). Puis appuyer sur la touche menu programmable B suivie de la touche ` (la touche tout en bas à droite du clavier) pour ouvrir la fonction HELP. Vous verrez apparaître l’écran suivant : Arrivé à ce stade, vous aurez une liste de toutes les commandes CAS en ordre alphabétique. La flèche pointant vers le bas, ˜, vous permet de naviguer de haut en bas dans cette liste.
Si vous appuyez sur la touche !!CANCL E, la calculatrice quitte la fonction HELP et retourne à son écran normal. Pour voir l’effet produit par !!@@OK#@ dans le cadre de la fonction HELP, répétons les étapes utilisées ci-dessus depuis la sélection de la commande ATAN2S dans la liste de commandes CAS : @HELP B` ˜ ˜ …(10 fois). Puis appuyez sur la touche !!@@OK#@ F afin d’obtenir des renseignements sur la commande ATAN2S.
Dans le cas présent nous voulons obtenir l’ECHO de l’exemple dans la pile en appuyant sur @ECHO B. L’écran obtenu est le suivant : Quatre lignes de l ‘écran sont à présent prises par les sorties. Les deux premières en partant du haut correspondent au premier exercice, avec l’utilitaire d’aide HELP dans lequel nous avons annulé notre demande d’aide. La troisième en partant du haut montre le dernier appel à l’utilitaire HELP, tandis que la dernière ligne montre l’ECHO de la commande exemple.
quatrième rangée en partant du bas du clavier) suivie de la touche pour la lettre i (la même que la touche I) , soit, ~i. Cela vous conduira automatiquement à la première commande commençant par un i, soit, IBASIS. Puis vous pouvez utiliser la flèche pointant vers le bas ˜ , deux fois pour trouver la commande IBP. En appuyant sur la touche !!@@OK#@ F vous enclenchez la fonction d’aide pour cette commande. Appuyez sur @!MAIN F pour retrouver la liste principale des commandes ou @EXIT A pour quitter l’aide.
dommages généraux ou spécifiques, qu’ils soient accidentels ou provoqués par une utilisation illicite du logiciel CAS (y compris, de manière non restrictive, en cas de perte ou de corruption des données ou en cas de perte de profit, touchant l’utilisateur ou tout tiers ou en cas de problème de compatibilité entre le logiciel CAS et tout autre logiciel), même si le propriétaire ou ledit tiers a pu être averti de la possibilité d’un tel dommage.
Annexe D Lot de caractères supplémentaires Si vous pouvez utiliser toutes les lettres majuscules et minuscules de l’alphabet anglais depuis le clavier, en fait, la calculatrice dispose de 255 caractères. Y compris les caractères spéciaux tels que θ, λ, etc., dont on peut se servir dans les expressions algébriques. Afin d’accéder à ces caractères, utilisez la combinaison clavier …± (associée à la touche EVAL).
α Dα 9, c'est-a-dire, ~„d~…9, et le code 240). Sur l’écran apparaissent aussi trois fonctions associées aux touches menu programmables, f4, f5 et f6. Ces fonctions sont : @MODIF: Affiche un écran graphique sur lequel l’utilisateur peut modifier le caractère sélectionné. Servez-vous avec précaution de cette option puisqu’elle altère le caractère sélectionné jusqu’à la prochaine réinitialisation de la calculatrice.(imaginez l’effet produit en changeant le caractère 1 pour qu’il ressemble à un 2 !).
Lettres grecques : α β δ ε θ λ µ ρ σ τ ω ∆ Π (alpha) (bêta) (delta) (epsilon) (thêta) (lambda) (mu) (rhô) (sigma) (tau) (oméga) (delta majuscule) (pi majuscule) ~‚a ~‚b ~‚d ~‚e ~‚t ~‚n ~‚m ~‚f ~‚s ~‚u ~‚v ~‚c ~‚p Autres caractères ~ ! ? \ @ (tilde) (factorielle) (point d’interrogation) (barre oblique inversée) (symbole d'angle ) (arobase) ~‚1 ~‚2 ~‚3 ~‚5 ~‚6 ~‚` Certains caractères fréquemment utilisés ne disposent pas de raccourci clavier simple, tels que : x (x barre), γ (gamma), η (êta), Ω (omég
Annexe E L’arborescence de sélections de l'Editeur d'équation L’arborescence d’expressions est un diagramme représentant la manière selon laquelle l’Editeur d’équation interprète une expression. La forme de l’arborescence d’expressions est déterminée par un nombre de règles connues sous l’expression de hiérarchie des opérations. Voici les règles dont il est question : 1.
bas ˜pour déclencher le curseur d’édition clair ( ) autour du 2 du dénominateur. Puis appuyez sur la flèche gauche š, de manière continue jusqu’à ce que le curseur d’édition clair se retrouve autour du y in du premier facteur du dénominateur. Puis appuyez sur la flèche pointant vers le haut pour activer le curseur de sélection ( ) autour du y.
second terme (x2+4), déjà calculé. Pour voir les étapes du calcul de ce second terme, appuyez sur la flèche pointant vers le bas ˜, de manière continue jusqu’à ce que le curseur d’édition clair se retrouve autour du y une fois de plus. Puis appuyez sur la flèche pointant vers la droite jusqu’à ce que ce curseur se retrouve autour du x du deuxième terme du numérateur. Puis appuyez sur la flèche pointant vers le haut pour sélectionner ce x.
Étape C1 Étape C3 Étape C2 Étape C4 Étape C5 = Étape B5 = Étape A6 Ci-après figure l’arborescence d’expressions pour l’expression présentée cidessus : Page E-4
Les étapes de l’évaluation des trois termes (A1 à A6, B1 à B5 et C1 à C5) sont présentées à côté du cercle contenant le nombre, la variable ou l’opérateur concerné.
Annexe F Le menu d’applications (APPS) Le menu d’applications (APPS) est disponible par la touche G (première touche de la deuxième rangée en partant du haut du clavier). La touche G propose les applications suivantes : Les différentes applications sont décrites ci-dessous. Fonctions d’exploitation des données.. Sélectionner l’option 1. Plot functions..
Sélectionner l’option 2. I/O functions.. de l’APPS fera apparaître la liste suivante de fonctions saisie/sortie : Ces applications sont décrites ci-dessous. Send to HP 49.. Get from HP 49 Print display Print.. Transfer.. Start Server..
Cette opération est équivalente à la combinaison de touche ‚Ï. Le menu de la résolution numérique est présenté en détail aux Chapitres 6 et 7. Heure & date.. Sélectionner l’option 5.Time & date.. du menu APPS fait apparaître le menu heure et date : Cette opération est équivalente à la combinaison de touche ‚Ó. Le menu heure et date est présenté en détail au Chapitre 26. Editeur d'équation.. Sélectionner l’option 6.Equation Writer..
Gestionnaire de fichier.. Sélectionner l’option 7.File manager.. du menu APPS ouvre l’application gestionnaire de fichiers : Cette opération est équivalente à la combinaison de touche „¡.Le gestionnaire de fichiers est présenté au Chapitre 2. I’Editeur de matrice.. Sélectionner l’option 8.Matrix Writer.. du menu APPS ouvre l‘Editeur de matrice : Cette opération est équivalente à la combinaison de touches „².I’Editeur de matrice est présenté en détail au Chapitre 10. I’Editeur de texte..
L’éditeur de texte peut être démarré dans de nombreux cas en appuyant sur la flèche pointant vers le bas ˜. Si l’objet sur l’écran est un objet algébrique, appuyer sur ˜ fera très certainement démarrer l’éditeur de texte. L’éditeur de texte est introduit au Chapitre 2 et présenté en détail à l’Annexe L. Menu maths.. Sélectionner l’option 10.Math menu.. du menu APPS fait apparaître le menu MTH (mathématiques) : Cette opération est équivalente à la combinaison de touche „´.
Cette opération est aussi disponible en appuyant sur la touche P. Le menu CAS ou SYMBOLIC est introduit au Chapitre 5 (l’algèbre et les opérations mathématiques). D’autres fonctions du menu CAS sont présentées aux Chapitres 4 (nombres complexes), 6 (résolution d’équations singulières), 10 (création de matrices), 11 (opérations avec des matrices), 13 (applications infinitésimales), 14 (applications infinitésimales à plusieurs variables) et 15 (applications d’analyse vectorielle).
Annexe G Raccourcis pratiques Vous trouverez ici un nombre de raccourcis clavier fréquemment utilisés dans la calculatrice : • Régler le contraste de l’écran : $ (maintenir) + ou $ (maintenir) - • Toggle entre les modes de RPN et ALG : H\@@@OK@@ ou H\`. • Activer / désactiver l’indicateur système 95 (mode d’opération ALG vs RPN) H @)FLAGS —„—„—„ — @ @CHK@@ • En mode ALG, CF(-95) sélectionne le mode RPN • En mode RPN, 95 \` SF sélectionne le mode ALG • Un raccourci clavier pour passer entre les mod
• • En mode RPN, 105 \` SF sélectionne le mode APPROX CAS 105 \` CF sélectionne le mode EXACT CAS Activer / désactiver l’indicateur système 117 (CHOOSE boxes et.menus SOFT) : H @)FLAGS —„ —˜ @ @CHK@@ • En mode ALG, SF(-117) sélectionne les menus SOFT CF(-117) sélectionne les CHOOSE boxes. • En mode RPN, 117 \` SF sélectionne les menus SOFT 117 \` CF sélectionne les menus SOFT • Changer les mesures d’angle : o En degrés : ~~deg` o En radian : ~~rad` • Caractères spéciaux : o Symbole angle (∠) : ~‚6
Mu (µ) : PI (Π) : Thêta (θ) : Oméga (ω) : • o o o o o o o $ (maintenir) AF : Redémarrage "à froid" - toute la mémoire est effacée $ (maintenir) B : Annule la frappe $ (maintenir) C : Redémarrage "à chaud" - la mémoire est conservée $ (maintenir) D : Lance l’autotest interactif $ (maintenir) E : Lance l’autotest continu $ (maintenir) # : Arrêt profond – registre d’horloge éteint $ (maintenir) A : Fournit une impression d’écran $ (maintenir) D : Annule l’alarme de répétition suivante Menu logiciel STAT : 9
o o o o o o o ‚( maintenir) 7 : menu SOLVE (menu 74) „ (maintenir) H : Menu PRG/MODES (Chapitre 21) „ (maintenir) ˜ : Lance l’éditeur de texte (Appendice L) „ (maintenir) § : HOME(), saute à l’annuaire HOME „ (maintenir) « : Retourne au dernier menu actif ‚ (maintenir) ˜ : Fournit la liste du contenu des variables ou des entrées de menu ‚(maintenir) ± : Menu PRG/CHAR (Chapitre 21) Page G-4
Annexe H Liste des menus de la fonction d'aide du CAS La fonction d'aide du CAS est accessible par la combinaison de touches : I L@HELP `. Les écrans présentés ci-dessous illustrent la première page de menu de la fonctionnalité d’aide CAS. Les commandes sont affichées dans l’ordre alphabétique. En utilisant les touches directionnelles verticales —˜ , il est possible de se déplacer dans le menu de l’aide.
• commence avec la lettre D, c’est-à-dire : DEGREE. Pour trouver DERIV, appuyez deux fois sur ˜. Pour sélectionner cette commande, appuyez sur @@OK@@. Vous pouvez taper deux ou plusieurs lettres de la commande voulue, en utilisant le clavier alphabétique. Ceci affichera la commande voulue ou l’une des commandes similaires. Ensuite, vous devez déverrouiller le clavier alpha et utiliser les touches directionnelles verticales —˜ pour sélectionner la commande, si besoin est.
Annexe I Liste des commandes du menu catalogue Voici une liste de toutes les commandes du menu catalogue (‚N). Les commandes du CAS (Système d'ordinateur algébrique) sont énumérées dans l’Annexe H. La fonction d'aide du CAS est disponible pour les commandes où la touche de menu @HELP apparaît. Appuyez sur cette touche de menu pour avoir accès à la fonction d'aide du CAS sur cette commande.
contient une fonction d’aide, alors la touche de menu @HELP apparaîtra quand vous surlignerez ces commandes définies par l’utilisateur.
Annexe J Le menu MATHS Le menu MATHS, accessible par l’intermédiaire de MATHS (dans le catalogue N), contient les sous-menus suivants : Le sous-menu CMPLX Le sous-menu CMPLX contient les fonctions d'opérations sur les nombres complexes : Ces fonctions sont présentées au Chapitre 4 : Le sous-menu CONSTANTS Le sous-menu CONSTANTS permet d’accéder aux constantes mathématiques de la calculatrice.
Le sous-menu HYPERBOLIC Le sous-menu HYPERBOLIC contient les fonctions hyperboliques et leur inverse .Ces fonctions sont présentées au Chapitre 3 : Le sous-menu INTEGER Le sous-menu INTEGER contient les fonctions de manipulation des nombres entiers et de certains polynômes. Ces fonctions sont présentées au Chapitre 5 : Le sous-menu MODULAR Le sous-menu MODULAR contient les fonctions de calcul modulaire des nombres et des polynômes.
Le sous-menu TESTS Le sous-menu TESTS contient les opérateurs de relation (par exemple, ==, <, etc.), les opérateurs logiques (par exemple, AND, OR, etc.), la fonction IFTE et les commandes ASSUME et UNASSUME. Les opérateurs de relation et les opérateurs logiques sont présentés au Chapitre 21 dans la situation de programmation de la calculatrice avec le code RPL. Cette fonction IFTE est présentée au Chapitre 3.
Annexe K Le menu MAIN Le menu MAIN est accessible avec le catalogue de commande. Le menu MAIN contient également les sous-menus suivants : La commande CASCFG Voici la première ligne du menu MAIN. Cette commande configure le CAS. Pour plus d'information sur la configuration du CAS, voir Appendice C. Le sous-menu ALGB Le sous-menu ALGB contient les commandes suivantes : Ces fonctions, sauf pour 0.MAIN MENU et 11.UNASSIGN , sont accessibles via le menu du clavier ALG (‚×).
Le sous-menu DIFF Le sous-menu DIFF contient les fonctions suivantes : Ces fonctions sont aussi accessibles via le sous-menu CALC/DIFF (commencer avec „Ö). Ces fonctions sont présentées aux Chapitres 13, 14 et 15, sauf la fonction TRUNC, qui est présentée ci-dessous avec le menu d'aide du CAS. Le sous-menu MATHS Le menu MATHS est présenté en détail dans Appendice J.
Ces fonctions sont aussi disponibles dans le menu TRIG (‚Ñ). Ces fonctions sont présentées en détail au Chapitre 5. Le sous-menu SOLVER Le menu SOLVER contient les fonctions suivantes : Ces fonctions sont disponibles dans le menu CALC/SOLVE (commencer avec „Ö). Les fonctions sont présentées aux Chapitres 6, 11, et 16. Le sous-menu CMPLX Le menu CMPLX contient les fonctions suivantes : Le menu CMPLX est aussi disponible sur le clavier (‚ß).
Les sous-menus INTEGER, MODULAR et POLYNOMIAL sont présentés en détail dans l’Annexe J. Le sous-menu EXP&LN Le menu EXP&LN contient les fonctions suivantes : Ce menu est aussi accessible sur le clavier en utilisant „Ð. Les fonctions de ce menu sont présentées au Chapitre 5.
Ces fonctions sont aussi disponibles dans le menu MATRICES du clavier („Ø). Les fonctions sont présentées au Chapitre 10 et 11. Le sous-menu REWRITE Le menu REWRITE contient les fonctions suivantes : Ces fonctions sont aussi disponibles dans le menu CONVERT/REWRITE (commencer avec „Ú).
Annexe L Commandes de l’Editeur de ligne Lorsque vous lancez l’éditeur de ligne à l’aide de „˜ dans la pile RPN ou en mode ALG, les fonctions de menu de programmation suivantes sont accessibles (appuyez sur L pour voir apparaître les fonctions restantes) : Les fonctions sont brièvement décrites comme suit : SKIP SKIP DEL DEL DEL L INS : : : : : : EDIT : BEG : END : INFO : Saute les caractères jusqu’au début d’un mot. Saute les caractères jusqu’à la fin d’un mot.
Les éléments apparaissant sur cet écran parlent d’eux-mêmes. Par exemple, X et Y positions signifie la position sur une ligne (X) et le numéro de la ligne (Y). Stk Size signifie le nombre d’objets dans l'historique en mode ALG ou dans la pile RPN. Mem(KB) signifie la quantité de mémoire disponible. Clip Size est le nombre de caractères dans la tablette électronique. Sel Size est le nombre de caractères sous la sélection actuelle. EXEC HALT : Exécute la commande sélectionnée.
Le sous-menu SEARCH Les fonctions du sous-menu SEARCH sont : Find : Utilisez cette fonction pour trouver une chaîne de caractères dans la ligne de commande. Voici la formule de saisie des données pour cette commande : Replace: Utilisez cette commande pour trouver et remplacer une chaîne. La formule de saisie des données fournie pour cette commande est : Find next..
Goto Line: pour se déplacer vers une ligne spécifique. La formule de saisie des données fournie avec cette commande est : Goto Position: pour se déplacer vers un emplacement spécifique. La formule de saisie des données fournie avec cette commande est : Labels: pour se déplacer vers une étiquette spécifique de la ligne de commande.
Annexe M Index A ABCUV, 5-12 ABS, 3-5, 4-7, 11-7 ACK, 25-4 ACKALL, 25-4 ACOS, 3-7 ACOSH, 3-9 Adaptation polynomiale, 18-63 Adaptations linéaires multiples, 18-61 Adapter les données, 18-11 ADD, 8-10, 12-10 ADDTMOD, 5-12 Affichage de l’horloge, 1-33 Alarmes, 25-2 Algèbre linéaire, 11-1 ALOG, 3-6 ALRM, 25-3 AMORT, 6-37 AMORTISSEMENT, 6-12 Analyse vectorielle, 15-1 AND, 19-5 Angle entre les vecteurs, 9-18 ANIMATE, 22-33 Animation de graphiques, 22-32 Animation, 22-32 Annule l’alarme de répétition, G-3 Applicat
BOX, 12-51 BOXZ, 12-57 C C PX, 19-8 C R, 4-6 Calcul de statistiques à une seule variable, 18-2 Calculs faisant intervenir des dates, 25-4 Calculs faisant intervenir des heures, 25-4 Calculs financiers, 6-10 Caractères ALPHA, B-11 Caractères Alpha , B-11, B-12 Caractères Alpha , B-12, B-13 Caractères ALPHA du clavier de la calculatrice, B-11 Caractères spéciaux, G-2 CASDIR, 2-38, 16-31, 16-32 CASINFO, 2-41 Distribution normale cdf, 17-11 Cdf inverses, 17-15 CEIL, 3-
Constante d’Euler, 16-60 Constantes de la calculatrice, 3-16, 3-17 Constantes physiques, 3-30 Constants lib.. F-2 Construction CASE, 21-56 Construction DO, 21-67 Construction FOR, 21-64 Construction START...
Dérivées implicites, 13-8 Dérivées d’ordres supérieurs, 14-3 Dérivées partielles, 14-1 Dérivées, 13-1, 13-3 Dernière pile, 1-27 DERVX, 13-3 Désétiquetage, 21-37 DESOLVE, 16-8 Dessin pour une utilisation en programmation, 22-24 DET, 11-12 Déterminants, 11-12 11-44 Déviation standard, 18-12 DIAG , 10-14 Diagonale principale, 10-1 Diagrammes de dispersion, 12-34 Différentielle totale, 14-5 Différentiel, 13-17 D'illumination, 3-21 DISTRIB, 5-31 Distribution Bêta, 17-15 Distribution binomiale, 17-4 Distribution
EGDC, 5-12 EGV, 11-51 EGVL, 11-50 Embranchement des programmes, 21-50 END, 2-30 ENDSUB, 8-13 ENGL, 3-31 Entiers, 2-1 Entrée interactive dans les programmes, 21-20 Entrée via des formulaires d’entrée 21-29 EPS, 2-41 EPSX0, 5-25 EQ, 6-28 Equation de Bessel, 16-58 Equation de Laguerre, 16-62 Equation de Legendre, 16-57 Equation de Manning, 21-16 Equation de Weber, 16-63 équation différentielle ordinaire raide, 16-74 Equations différentielles, 16-1 équations linéaires et non linéaires, 16-5 Equations polynomial
FACTORS, 5-10 FANNING, 3-33 Fast replace all, L-3 FCOEF, 5-12 FDISTRIB, 5-31 CHOOSE boxes, 1-4 FFT, 16-52 FILES, 2-44 Find Next, L-3 FINDALARM, 25-5 Flags, 2-72 FLOOR, 3-15 Fonction d’aide du CAS, C-10 Fonction ALPHA du clavier, B-11 Fonction avec chaîne d’entrée, 21-23 Fonction d’étape de Heaviside, 16-16 Fonction de Bessel, 16-61 Fonction de distribution cumulative, 17-4 Fonction de probabilité de masse, 17-4 Fonction Delta de Dirac, 16-16 Fonction exponentielle, 2-24 Fonctions I/O, F-1 Fonction potentiel
GAUSS, 11-58 GCD, 5-12, 5-21 GCDMOD, 5-13 Génération de graphiques avec des programmes, 22-16 Générer une table de valeurs pour une fonction, 12-20 Gestionnaire de fichier, F-4 GET, 10-6 GETI, 8-12 GOR, 22-39 Goto Line, L-4 Goto Position, L-4 Grades, 1-24 Gradient, 15-1 Graphique de Ln(X), 12-9 Graphique Pr-Surface, 12-49 Graphiques en coordonnées polaires, 12-22 Graphiques en trois dimensions, 22-17 Graphiques filaires, 12-42 Graphiques générés par des programmes, 22-21 Graphiques Gridmap, 12-48 Graphiques
l'Editeur d'équation, E-1 IEGCD, 5-11 IF...THEN..ELSE...END, 21-51 IF...THEN..
LCXM, 11-16 LDEC, 16-4 L’Editeur de texte, F-4 Le menu SYMBOLIC et les graphes, 12-58 Le rang d’une matrice, 11-11 LEGENDRE, 5-12, 5-23 Les préfixes d’unités, 3-25 Lettres grecques, D-3, G-2 LGCD, 5-10 Lim, 13-2 Limites de classe, 18-6 Limites, 13-1 LIN, 5-5 LINE, 12-51 LINSOLVE, 11-45 LIST, 2-41 Liste des caractères,23-4 Liste des commandes du menu catalogue, I-1 Liste des menus de la fonction d'aide du CAS, H-1 Listes, 8-8 LN, 3-6 LNCOLLECT, 5-5 LNP1, 3-10 LOG, 3-7 Longueur, 3-20 Lot de caractères supplém
Menu de Résolution Numérique , 6-6 Menu DERIV&INTEG, 13-4 Menu DIFF, 16-74, 16-80, K-2 Menu FLAG dans PLOT, 22-16 Menu GOTO, L-3 Menu GROB, 22-38 Menu LIST, 8-11 Menu LOGIC, 19-5 Menu MAIN, G-3 Menu maths, F-5 Menu MATHS, G-3 J-1 Menu MTH, 3-8 Menu MTH/LIST, 8-9 Menu MTH/PROBABILITY, 17-1 Menu MTH/VECTOR, 9-11 Menu NORM, 11-7 Menu OPER, 11-15 Menu PLOT, 22-1 Menu PRG, G-4 Menu PRG/MODES/MENU, 20-1 Menu REWRITE, 5-31 Menu SEARCH, L-3 Menu SOFT, 3-19 Menu SOLVE (menu 74), G-4 Menu SOLVE, 6-30 Menu SOLVE/DIFF,
Mode CAS Exact, 2-5 Mode CAS « numérique » et « symbolique », C-4 Mode CAS « puissances croissantes », C-9 Mode CAS « verbose » , C-7 Mode CAS « verbose » et « non verbose », C-8 Mode CAS, C-4, C-6 Mode COMPLEX, 4-1 Mode d’affichage, 1-28 Mode d’opération, 1-14 Mode réel, C-6 Mode RPN, 1-14 Mode, 20-7 Modes d’opération, 1-13 MODL, 22-15 MODSTO, 5-13 Module, C-3 MODULO, 2-41 Moment d’une force, 9-19 Moyenne géométrique, 18-3, 8-18 Moyenne harmonique, 8-17 Moyenne, 18-3, 18-17, 18-18, 18-19 MSGBOX, 21-33 MSLV
Objets graphiques (GROBs), 22-36 Objets, 2-1, 24-1, 26-3 ODETYPE, 16-8 OFF, 1-2 ON, 1-2 Opérateur de concaténation, 8-5 Opérateurs logiques, 21-49 Opérateurs relationnels, 21-47 Opérateurs, 3-7, 8-1, 19-5, 21-6 Opération niveau système, G-3 Opérations avec des matrices, 11-1 Opérations avec des unités, 3-25 Options graphiques, 12-1 OR, 21-8 ORDER, 2-66 Organiser les données dans, 2-37 Outils du menu TIME, 25-2 P PA2B2, 5-12 Paramètres du CAS, 1-28, C-2, 3-1, 17-15 PARTFRAC, 5-5, 5-37, 13-22 Partie imaginai
PRIMIT, 2-41 Primitives, 13-15 Probabilités, 17-1 Produit croisé, 9-12 Produit scalaire, 9-12 Programmation en langage RPL Utilisateur, 21-1 Programmation modulaire, 22-43 Programmation utilisant des fonctions de dessin, 22-28 Programmation, 21-1, 22-5 Programme avec, 21-26 Programmes de manipulation graphique, 22-1 Programmes , 22-1 IF…THEN..
RECV, 2-39 Redémarrage "à froid", G-3 Redémarrage, G-3 Redémarrer la calculatrice, 26-10 Réel, 2-1 REF, rref, RREF, 11-45 Références pixel, 19-8 Réglages CAS, C-2 Configuration CAS « Simplifier expression non rationnelle », C-10 Règle de dérivation en chaîne des dérivées partielles, 14-4 Réglage de l’heure et de la date, 25-2 Réglage de l’heure, 1-8, 25-2 Règle de la chaîne, 13-6 Régler la date, 1-8 Régression linéaire, 18-54 Relations linéarisées, 18-13 REMAINDER, 5-12 RENAM, 2-39 REPL, 10-13 Replace all,
Séries de Fourier pour une onde carrée, 16-42 Séries de Fourier pour une onde triangulaire, 16-37 Séries de Fourier, 16-37 Séries de Maclaurin, 13-25 Séries de Taylor, 13-26 Séries infinies, 13-25 Séries, 13-25 SERIES, 13-26 SHADE, 12-7 SI, 3-31 SIGMA, 13-4 SIGMAVX, 13-4 SIGN, 3-14, 4-7 SIGNTAB, 12-60,13-11 SIMP2, 5-10, 5-26 Simplifier une expression, 2-27 SIMPLIFY, 5-31 SIN, 3-1 SINH, 3-9 SIZE, 8-11, 9-9, 10-5, 10-8 SKIP , L-1 SL, 19-7 SLB, 19-8 SLOPE, 12-7 SNRM, 11-8 SOFT, 1-4, G-2 Solution numérique à un
SST, 18-68, 21-9 Statistiques de données groupées, 8-21 Statistiques de résumé, 18-14 Statistiques, 18-1 STEQ, 6-16 STO, 2-56 STOALARM, 25-4 STOKEYS, 20-6 STREAM, 8-13 STURM, 5-12 STURMAB, 5-12 SUB, 10-5, 12-55, 23-3 SUBST, 5-6 Substitution ou changement de variables, 13-20 SUBTMOD, 5-13 Suivante, G-3 SURFACE, 3-20 SVD, 11-8 SVL, 11-55 SYLVESTER, 11-58 Symbole angle (∠), G-2 Symbole factoriel (!), G-2 Symbolique, C-4 SYST2MAT, 11-45 Système binaire, 19-3 Système d’équations, 11-17 Système de coordonnées, 1-
Tracé d’une équation différentielle, 12-30 Tracés interactifs utilisant le menu PLOT, 22-18 Tracés paramétriques, 12-29 TRAN, 11-15 Transformation de Fourier, 16-51 Transformation de coordonnées, 14-9 Transformation de Fourier Rapide, 16-52 Transformation de Laplace à la solution d’ODE, 16-18 Transformation de Laplace, 16-12 Transformations de Fourier, 16-46 Transformation de Laplace à la solution d’ODE linéaires, 16-18 Transformation de Laplace inverses, 16-22 Transformations de Laplace, 16-11 TRN, 10-8 TR
Visualisation des solutions en isoclines, 16-3 Vitesse de la lumière, 3-20 Volume, 3-20 VPAR, 22-11 VPOTENTIAL, 15-8 VTYPE, 24-2 V-VIEW, 12-23 VX, 2-42 VZIN, 12-57 X X, Y , 12-55 XCOL, 22-15 XNUM, K-5 XOR, 19-5 XPON, 3-14 XQ, K-5 XRNG, 22-7 XROOT, 3-5 XSEND, 2-39 XVOL, 22-11 XXRNG, 22-12 XYZ, 3-2 Y YCOL, 22-15 YRNG, 22-7 YVOL, 22-11 YYRNG, 22-12 Z ZAUTO, 12-57 ZDECI, 12-58 ZDFLT, 12-57 ZEROS, 6-5 ZFACT, 12-56 ZFACTOR, 3-33 ZIN, 12-56 ZINTG, 12-58 ZLAST, 12-56 Zoom avant et arrière, 12-55 ZOOM, 12-21, 12
STR, 23-1 TAG, 21-33, 23-1 TIME, 25-3 UNIT, 3-29 V2, 9-14 V3, 9-14 Page M-19
Garantie limitée calculatrice graphique hp 48gII; Durée de la garantie : 12 mois 1. HP vous garantit, l’utilisateur final, que le matériel HP, les accessoires et alimentations sont dénués de vices tant au niveau du matériel que de la qualité d’usinage à compter de la date d’achat et pour la période spécifiée ci-dessus. Si HP est informé qu’un tel vice est apparu durant la période de garantie, HP décidera, à sa discrétion, de réparer ou de remplacer le produit avéré défectueux.
CARACTERE APPROPRIE POUR UN USAGE PARTICULIER EST LIMITEE A LA DUREE DE LA GARANTIE EXPRESSE MENTIONNEE CI-DESSUS. Certains pays, états ou provinces n’autorisent pas de limitions de la garantie implicite, donc il se peut que la restriction ci-dessus ne s’applique pas pour vous. Cette garantie vous donne des droits spécifiques et il se peut que vous ayez aussi d’autre droits y afférent qui varient en fonction du pays, de l’état ou de la province. 7.
Pays européens de l’Est +420-5-41422523 Finlande +35-89640009 France +33-1-49939006 Allemagne +49-69-95307103 Grèce +420-5-41422523 Pays-Bas +31-2-06545301 Italie +39-02-75419782 Norvège +47-63849309 Portugal +351-229570200 Espagne +34-915-642095 Suède +46-851992065 Suisse +41-1-4395358 (Allemande) +41-22-8278780 (Française) +39-02-75419782(Italienne) Turquie +420-5-41422523 GB +44-207-4580161 République Tchèque +420-5-41422523 Afrique du sud +27-11-2376200 Luxembourg +32-2-7126219 Autres pays européens +42
Amérique Centrale & les Caraïbes Guatemala Porto Rico Costa Rica Amérique du Nord Pays : USA Canada 1-800-711-2884 1-800-999-5105 1-877-232-0589 0-800-011-0524 Numéros de téléphone 1800-HP INVENT (905) 206-4663 or 800- HP INVENT ROTC = Autres pays Veuillez vous connecter au site Web http://www.hp.com pour obtenir l’information la plus récente de support et services.
Reorient or relocate the receiving antenna. Relocate the calculator, with respect to the receiver. Connections to Peripheral Devices To maintain compliance with FCC rules and regulations, use only the cable accessories provided. Canada This Class B digital apparatus complies with Canadian ICES-003. Cet appareil numerique de la classe B est conforme a la norme NMB-003 du Canada.
