hp 48gII grafikfähiger Taschenrechner Benutzeranleitung H 4. Ausgabe HP Artikel-Nr.
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Vorwort Sie halten einen kompakten Taschenrechner für symbolische und numerische Anwendungen in Händen, der Ihnen die Berechnung und mathematische Analyse einer Vielzahl von Aufgaben in den verschiedensten Fachbereichen erleichtern wird, von elementarer Mathematik über Berechnungen im Ingenieurwesen bis hin zu anspruchsvollen wissenschaftlichen Aufgabenstellungen.
Reihen und Fourier-Transformationen), Wahrscheinlichkeitsberechnungen und statistischen Anwendungen. Das Herz des Taschenrechners ist ein erweiterbares Betriebssystem, dass Sie durch den Download neuer Versionen von der Website des Taschenrechners aktualisieren können. Für Operationen mit Symbolen verfügt der Taschenrechner über eine mächtiges Computer Algebra System (CAS), mit dem Sie verschiedene Betriebsarten wählen können, z. B.
Inhaltsverzeichnis Hinweis zu Screenshots in dieser Anleitung, Hinweis-1 Kapitel 1 - Einführung, 1-1 Grundoperationen, 1-1 Batterien, 1-1 Ein- und Ausschalten des Taschenrechners , 1-2 Einstellen des Kontrasts für das Display , 1-2 Anzeigen im Display des Taschenrechners , 1-3 Menüs, 1-4 SOFT-Menüs vs.
Ausdrücke im Display bearbeiten, 2-4 Erstellen von arithmetischen Ausdrücken, 2-4 Bearbeiten von arithmetischen Ausdrücken, 2-7 Erstellen von algebraischen Ausdrücken, 2-9 Bearbeiten von algebraischen Ausdrücken, 2-9 Erstellen von Ausdrücken mithilfe des EquationWriters (EQW) (Gleichungsschreibers), 2-12 Erstellen von arithmetischen Ausdrücken, 2-14 Bearbeiten von arithmetischen Ausdrücken, 2-20 Erstellen von algebraischen Ausdrücken, 2-23 Bearbeiten von algebraischen Ausdrücken, 2-25 Erstellen und bearbeit
Ausgwählte CHOOSE boxes, 2-84 Kapitel 3 - Berechnung mit reellen Zahlen, 3-1 Überprüfen der Einstellungen des Taschenrechners , 3-1 Überprüfen des Taschenrechnermodus , 3-2 Berechnungen mit reellen Zahlen, 3-2 Änderung des Vorzeichens einer Zahl, einer Variablen oder eines Ausdrucks, 3-3 Die Umkehrfunktion, 3-3 Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, 3-3 Verwendung von Klammern, 3-4 Funktion Absoluter Wert, 3-5 Quadrate und Quadratwurzeln, 3-5 Potenzen und Wurzeln, 3-6 Logarithmen mit der Basis 10
Funktion SIDENS, 3-37 Funktion TDELTA, 3-37 Funktion TINC, 3-38 Definieren und Anwenden von Funktionen, 3-38 Funktionen die über mehr als einen Ausdruck definiert werden, 3-40 Die Funktion IFTE, 3-41 Kombinierte IFTE- Funktionen, 3-41 Kapitel 4 - Berechnungen mit komplexen Zahlen, 4-1 Definitionen, 4-1 Einstellen des Taschenrechners auf den COMPLEX Modus, 4-1 Eingabe von komplexen Zahlen, 4-2 Polare Darstellung einer komplexen Zahl, 4-3 Einfache Operationen mit komplexen Zahlen, 4-4 Änderung des Vorzeichen
Weitere Möglichkeiten zum Ersetzen in algebraischen Ausdrücken, 5-6 Operationen mit transzendenten Funktionen, 5-8 Erweitern und Zusammenfassen mithilfe der log-exp-Funktionen, 5-8 Erweitern und Zusammenfassen anhand trigonometrischer Funktionen, 5-9 Funktionen im Menü ARITHMETIC, 5-10 DIVIS, 5-11 FACTORS, 5-11 LGCD, 5-11 PROPFRAC, 5-11 SIMP2, 5-11 Menü INTEGER, 5-11 Menü POLYNOMIAL (Polynome), 5-12 Menü MODULO, 5-12 Anwendungen des Menüs ARITHMETIC, 5-13 Modulare Arithmetik, 5-14 Endliche arithmetische Rin
Die Funktion SIMP2, 5-27 Die Funktion PROPFRAC, 5-27 Die Funktion PARTFRAC, 5-27 Die Funktion FCOEF, 5-27 Die Funktion FROOTS, 5-28 Step-by-Step Operationen mit Polynomen und Brüchen, 5-28 Das Menü CONVERT und algebraische Operationen, 5-30 Menü Konvertierung von UNITS (Einheiten), 5-30 Konvertierungs-Menü BASE, 5-30 Konvertierungs-Menü TRIGONOMETRIC, 5-30 Konvertierungs-Menü MATRIZEN, 5-30 Konvertierungs-Menü REWRITE, 5-31 Kapitel 6 - Lösung für Einzelgleichungen, 6-1 Symbolische Lösung algebraischer Glei
Beispiel 2 – Spannungen in einem dickwandigen Zylinder, 7-3 Beispiel 3 – System von Polynomgleichnungen, 7-5 Lösungen zu simultanen Gleichungen mit MSLV, 7-5 Beispiel 1 – Beispiel aus der Hilfefunktion, 7-6 Beispiel 2 – Eingang aus einem See in einen offenen Kanal, 7-7 Der Multiple Equation Solver (MES) (Mehrfachgleichungslöser), 7-12 Anwendung 1 – Lösung von Dreiecken, 7-12 Anwendung 2 – Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten, 7-22 Kapitel 8 - Operationen mit Listen, 8-1 Definitionen, 8-1
Kapitel 9 - Vektoren, 9-1 Definitionen, 9-1 Eingabe von Vektoren, 9-2 Eingabe von Vektoren in den Stack, 9-3 Vektoren in Variablen speichern , 9-3 Eingabe von Vektoren mithilfe des MatrixWriters (MTRW), 9-4 Erstellen eines Vektors mithilfe von ARRY, 9-7 Kennung, Extrahieren und Hinzufügen von Elementen des Vektors, 9-8 Einfache Operationen mit Vektoren, 9-10 Änderung des Vorzeichens, 9-11 Addition, Subtraktion, 9-11 Multiplikation und Division mit einem Skalar, 9-11 Funktion Absoluter Wert, 9-11 Das Menü M
Kapitel 10 - Erstellen und Manipulieren von Matrizen, 10-1 Definitionen, 10-1 Eingaben von Matrizen in den Stack, 10-2 Verwendung des Matrix Editors, 10-2 Die Matrix direkt in den Stack eingeben, 10-3 Erstellen von Matrizen mit den Funktionen des Rechners, 10-4 Funktionen GET und PUT, 10-6 Funktionen GETI und PUTI, 10-7 Funktion SIZE, 10-8 Funktion TRN, 10-8 Funktion CON, 10-9 Funktion IDN, 10-10 Funktion RDM, 10-10 Funktion RANM, 10-12 Funktion SUB, 10-12 Funktion REPL, 10-13 Funktion DIAG, 10-14 Funktion
Funktion RCI, 10-28 Funktion RCIJ, 10-28 Kapitel 11 - Matrix-Operationen und lineare Algebra, 11-1 Operationen mit Matrizen, 11-1 Addition und Subtraktion, 11-2 Multiplikation, 11-2 Beschreiben einer Matrix (Das Matrixmenü NORM), 11-7 Funktion ABS, 11-7 Funktion SNRM, 11-8 Funktionen RNRM und CNRM, 11-9 Funktion SRAD, 11-9 Funktion COND, 11-10 Funktion RANK, 11-11 Funktion DET, 11-12 Funktion TRACE, 11-14 Funktion TRAN, 11-15 Weitere Matrix-Operationen (Das Matrix-Menü OPER), 11-15 Funktion AXL, 11-16 Funk
Eigenwerte und Eigenvektoren, 11-50 Funktion PCAR, 11-51 Funktion EGVL, 11-51 Funktion EGV, 11-52 Funktion JORDAN, 11-53 Funktion MAD, 11-54 Matrixfaktorisierung, 11-55 Die Funktion LU, 11-55 Orthogonalmatrizen und Singulärwertzerlegung, 11-56 Funktion SCHUR, 11-57 Funktion LQ, 11-57 Funktion QR, 11-58 Quadratische Formen einer Matrix, 11-58 Das Menü QUADF, 11-59 LINEAR APPLICATIONS, 11-61 Funktion IMAGE, 11-61 Funktion ISOM, 11-61 Funktion KER, 11-61 Funktion MKISOM, 11-62 Kapitel 12 - Grafik, 12-1 Grafik
Parametrische Diagramme, 12-27 Erzeugen einer Tabelle für parametrische Gleichungen, 12-30 Lösungsdarstellung für einfache Differentialgleichungen, 12-30 Truth-Plot-Funktion, 12-33 Darstellung von Histogrammen, Balkendiagrammen und Punktdiagrammen, 12-35 Balkendiagramme, 12-35 Punktdiagramme, 12-37 Steigungsfelder, 12-39 Fast 3D-Darstellung, 12-41 Drahtgitterdarstellung, 12-43 Ps-Contour-Darstellungen 12-45 Y-Schnitt-Darstellungen, 12-47 Netzbilddarstellungen, 12-48 Pr-Oberflächendarstellungen, 12-49 Die VP
CNTR, 12-58 ZDECI, 12-58 ZINTG, 12-58 ZSQR, 12-59 ZTRIG, 12-59 Symbolisches Menü und Grafiken, 12-59 Das Menü SYMB/GRAPH, 12-60 Funktion DRAW3DMATRIX, 12-62 Kapitel 13 - Anwendungen der Infinitesimalrechnung, 13-1 Das Menü CALC (Infinitesimalrechnung), 13-1 Grenzwerte und Ableitungen, 13-1 Funktion lim, 13-2 Ableitungen, 13-3 Funktionen DERIV und DERVX, 13-3 Das Menü DERIV&INTEG, 13-4 Berechnen von Ableitungen mit ∂, 13-5 Die Kettenregel, 13-6 Ableitungen von Gleichungen, 13-7 Implizite Ableitungen, 13-8 A
Integration durch Partialbruchzerlegung,13-22 Unzulässige Integrale,13-23 Integralrechnungen mit Einheiten, 13-23 Unendliche Reihen,13-25 Taylor- und MacLaurin-Reihen,13-25 Taylor-Polynom und Rest,13-26 Funktionen TAYLR, TAYLR0 und SERIES,13-27 Kapitel 14 - Anwendungen multivariater Infinitesimalrechnung, 14-1 Multivariate Funktionen, 14-1 Partielle Ableitungen, 14-2 Ableitungen höherer Ordnung, 14-3 Die Kettenregel für partielle Ableitungen, 14-4 Totales Differenzial einer Funktion z = z(x,y), 14-5 Bestim
Kapitel 16 - Differentialgleichungen, 16-1 Grundfunktionen mit Differentialgleichungen, 16-1 Differentialgleichungen eingeben, 16-1 Lösungen im Taschenrechner überprüfen, 16-3 Lösungen als Steigungsfeld anzeigen, 16-3 Das Menü CALC/DIFF, 16-4 Lösung linearer und nicht-linearer Gleichungen, 16-4 Funktion LDEC, 16-5 Funktion DESOLVE, 16-8 Die Variable ODETYPE, 16-9 Laplace-Transformationen, 16-11 Definitionen, 16-11 Laplace-Transformationen und Umkehrungen im Taschenrechner, 1612 Laplace-Transformations-Theor
Numerische und grafische Lösungen von ODE, 16-64 Numerische Lösung einer ODE erster Ordnung, 16-64 Grafische Lösung einer ODE erster Ordnung, 16-67 Numerische Lösung einer ODE zweiter Ordnung, 16-69 Grafische Lösung einer ODE zweiter Ordnung, 16-71 Numerische Lösung einer steifen ODE erster Ordnung, 16-73 Numerische Lösung von ODE mit dem Menü SOLVE/DIFF, 16-75 Funktion RKF, 16-76 Funktion RRK, 16-77 Funktion RKFSTEP, 16-78 Funktion RRKSTEP, 16-79 Funktion RKFERR, 16-80 Funktion RSBERR, 16-80 Kapitel 17 -
Vorprogrammierte Statistikfunktionen, 18-1 Eingeben von Daten, 18-1 Berechnen von Kenngrößen mit einer einzigen Variablen, 18-2 Erhalten von Häufigkeitsverteilungen, 18-6 Anpassen von Daten an die Funktion y = f(x), 18-11 Ermitteln zusätzlicher Summenkenngrößen, 18-15 Berechnung von Perzentilen, 18-16 Das Menü STAT, 18-17 Das Untermenü DATA, 18-17 Das Untermenü ΣPAR, 18-18 Das Untermenü 1VAR, 18-19 Das Untermenü PLOT, 18-19 Das Untermenü FIT, 18-20 Das Untermenü SUMS, 18-21 Beispiel für Operationen des Menü
Testen der Differenz zweier Quoten, 18-47 Hypothesentest mit vorprogrammierten Funktionen, 18-48 Inferenzen in Bezug auf eine einzige Varianz, 18-52 Inferenzen in Bezug auf zwei Varianzen, 18-54 Weitere Anmerkungen zur linearen Regression, 18-55 Die Methode der kleinsten Quadrate, 18-55 Weitere Gleichungen für lineare Regression, 18-57 Prognosefehler, 18-58 Vertrauensbereiche und Hypothesentest bei linearer Regression , 18-58 Vorgehensweise mit dem Taschenrechner bei InferenzKenngrößen für lineare Regressio
Untermenü PRG/MODES/KEY, 20-6 Die aktuelle benutzerdefinierte Tastenliste aufrufen, 20-7 Ein Objekt einer benutzerdefinierten Taste zuweisen, 20-7 Benutzerdefinierte Tasten anwenden, 20-7 Die Zuweisung einer benutzerdefinierten Taste rückgängig machen, 20-8 Mehrere benutzerdefinierte Tasten zuweisen, 20-8 Kapitel 21 - Programmieren mit UserRPL, 21-1 Programmierbeispiel, 21-1 Globale und lokale Variablen und Unterprogramme, 21-2 Geltungsbereich für globale Variablen, 21-4 Geltungsbereich für lokale Variable
Relationale und logische Operatoren, 21-47 Relationale Operatoren, 21-47 Logische Operatoren, 21-48 Programmverzweigung, 21-50 Verzweigung mit IF, 21-51 Die Anweisung CASE, 21-55 Programmschleifen, 21-57 Die Anweisung START, 21-58 Die Anweisung FOR, 21-64 Die Anweisung DO, 21-66 Die Anweisung WHILE, 21-68 Fehler und Fehler auffangen, 21-70 DOERR, 21-70 ERRN, 21-70 ERRM, 21-71 ERR0, 21-71 LASTARG, 21-71 Untermenü IFERR, 21-71 Programmieren in UserRPL im algebraischen Modus, 21-72 Kapitel 22 - Programme zum
ARC, 22-25 PIX?, PIXON, und PIXOFF, 22-26 PVIEW, 22-26 PX C, 22-26 C PX, 22-26 Programmierbeispiele mit Zeichenfunktionen, 22-26 Pixelkoordinaten, 22-30 Animieren von Grafiken, 22-30 Animation von Grafiksammlungen, 22-31 Weitere Informationen zu der Funktion ANIMATE, 22-34 Grafikobjekte (GROBs), 22-35 Das Menü GROB, 22-37 Ein Programm mit Plot- und Zeichenfunktionen, 22-39 Modulare Programmierung, 22-42 Ausführen des Programms, 22-43 Ein Programm zum Berechnen von Hauptspannungen, 22-44 Sortieren der Variab
Das Menü TIME, 25-1 Alarm einrichten, 25-1 Alarme suchen, 25-2 Datum und Uhrzeit einstellen, 25-2 TIME-Funktionen, 25-2 Berechnungen mit Daten, 25-4 Berechnungen mit Zeit, 25-4 Alarm-Funktionen, 25-5 Kapitel 26 - Speicherverwaltung, 26-1 Speicheraufbau, 26-1 Das HOME Verzeichnis, 26-2 Speicher-Port, 26-2 Prüfen von Objekten im Speicher, 26-2 Sicherungs-Objekte, 26-3 Sichern von Objekten im Port-Speicher, 26-4 HOME sichern und neu laden, 26-4 Speichern, Löschen und Wiederherstellen von Sicherungs-Objekten,
Anhang G - Nützliche Tastenkürzel, G-1 Anhang H - CAS Hilfesystem, H-1 Anhang I - Liste der Befehle im Befehlskatalog, I-1 Anhang J - Das Menü MATHS, J-1 Anhang K - Das Menü MAIN, K-1 Anhang L - Befehle des Zeileneditors, L-1 Anhang M - Index, M-1 Beschränkte Gewährleistung – BG-1 Service, BG-3 Regulierungsinformationen, BG-4 Seite TOC-23
Hinweis zu Screenshots in dieser Anleitung Ein Screenshot ist eine Dartsellung des Taschenrechner-Displays. Wenn der Taschenrechner beispielsweise das erste Mal eingeschaltet wird, wird das folgende Display angezeigt (in diesem Abschnitt werden die Displays des Taschenrechners mit einem dicken Rand dargestellt): Die oberen beiden Zeilen stellen die Kopfzeile des Displays dar und der verbleibende Bereich wird für die Taschenrechnerausgabe verwendet.
der Taschenrechner zeigt schließlich das folgende Display an: Beachten Sie, dass die Kopfzeilen die obere Hälfte und die ersten Zeilen der Ausgabe des Taschenrechner-Displays abdecken. Sie können die nicht sichtbaren Zeilen der Ausgabe dennoch verwenden. Sie können auf diese Zeilen zugreifen, indem Sie die Aufwärtstaste (—) betätigen, mit der Sie durch den Display-Inhalt blättern können.
erzwingt, dass die der Operation SIN(2.5) entsprechenden Zeilen nach oben verschoben und von dern Kopfzeilen verdeckt werden. Viele Screenshots in diesem Handbuch wurden zudem so geändert, dass sie nur die jeweils betreffende Operation anzeigen. Der Screenshot für die Operation SIN(2.5), oben dargestellt, kann in diesem Handbuch beispielsweise wie folgt vereinfacht dargestellt werden: Diese Vereinfachungen der Screenshots dienen dazu, den Platz in diesem Handbuch besser zu nutzen.
Kapitel 1 Einführung Dieses Kapitel ist dazu gedacht, Ihnen Grundkenntnisse zur Bedienung Ihres Taschenrechners zu vermitteln. Die Beispiele dienen dazu, Sie mit den Grundoperationen und Einstellungen des Taschenrechners vertraut zu machen, bevor Sie mit den eigentlichen Berechnungen beginnen. Grundoperationen Nachfolgende Beispiele sollen Sie mit der Hardware des Taschenrechners vertraut machen.
b. Setzen Sie eine neue CR2032-Lithium-Batterie ein. Stellen Sie sicher, dass der mit (+) gekennzeichnete Pol nach oben zeigt. c. Setzen Sie den Deckel wieder auf, und schieben Sie ihn an die ursprüngliche Position zurück. Nachdem Sie die Batterien installiert haben, drücken Sie [ON], um den Taschenrechner einzuschalten. Warnung: Sobald das Symbol für niedrigen Batteriefüllstand angezeigt wird, sollten die Batterien so schnell wie möglich ausgetauscht werden.
Anzeigen im Display des Taschenrechners Schalten Sie Ihren Taschenrechner erneut ein. Das Display sollte wie folgt aussehen: Im oberen Teil des Displays erscheinen zwei Zeilen mit den Einstellungen des Taschenrechners. In der ersten Zeile erscheinen folgende Zeichen: RAD XYZ HEX R= 'X' Details über die Bedeutung dieser Angaben finden Sie in Kapitel 2.
Die sechs Beschriftungen am unteren Rand des Taschenrechners befindlichen Beschriftungen wechseln abhängig vom aktuell angezeigten Menü. Die Funktionstaste A ist jedoch immer der ersten angezeigten Beschriftung zugeordnet, B der zweiten Beschriftung und so weiter. Menüs Die sechs den Funktionstasten A bis F zugeordneten Beschriftungen sind Befehle eines Funktionsmenüs. Von den sechs einer Taste zugeordneten Funktionen werden nur die ersten vier auf der Tastatur selbst angezeigt.
CHOOSE boxes zu sehen, aktivieren Sie das TOOL-Menü (durch Drücken der Taste I), und anschließend verwenden Sie die Tastenkombination ‚ã (der Taste 3 zugeordnet). Das folgende CHOOSE box wird angezeigt: Dieses CHOOSE box ist als BASE-Menü (Basismenü) beschriftet und stellte eine durchnummerierte Liste von Funktionen zur Verfügung, von 1. HEX x bis 6. B R. Diese Anzeige stellt die erste Seite dieses CHOOSE box Menüs dar und zeigt 6 Menüfunktionen.
können Sie die Anzeige von SOFT-Menü auf CHOOSE boxes ändern. Um zu diesem Flag zu gelangen, verwenden Sie die Tastefolge: H @)FLAGS —„ —˜ Auf Ihrem Display erscheint die folgende Anzeige, wobei die Zeile, beginnend mit der Nummer 117, hervorgehoben ist: Standardmäßig wird die Zeile wie oben aussehen. Die hervorgehobene Zeile (117 CHOOSE boxes) zeigt an, dass Ihre Anzeige im Display im Moment auf CHOOSE boxes steht.
Anmerkung: Sobald das Systemflag 117 auf SOFT-Menü gesetzt ist, erhalten Sie über die Tastenkombination ‚(halten) ˜, eine Liste der Funktionen aus dem aktuellen Menü. So z. B. erhalten Sie für die ersten beiden Seiten im BASE-Menü folgendes: Um die Einstellung auf CHOOSE boxes zurückzustellen, verwenden Sie die Tastefolge: H @)FLAGS —„ —˜@ CHK@@ @@@OK@@@ @@@OK@@@. Anmerkungen: 1. Das TOOL-Menü, welches Sie durch Drücken der Taste I erhalten, wird immer ein SOFT-Menü erzeugen. 2.
@CLEAR F CLEAR – löscht das Display oder den Stack Der Taschenrechner hat nur insgesamt sechs Funktionstasten, deshalb können jeweils lediglich 6 Beschriftungen gleichzeitig angezeigt werden. Ein Menü kann aber auch mehr als nur sechs Einträge besitzen. Eine Gruppe von 6 Einträgen wird als Menüseite bezeichnet. Eigentlich hat das TOOL-Menü acht Einträge, aufgeteilt auf zwei Seiten.
Wie oben bereits erwähnt stellt das TIME-Menü vier verschiedene Optionen, durchnummeriert von 1 bis 4, zur Verfügung. An dieser Stelle ist für uns nur Option 3. Set time, date... (Datum und Uhrzeit einstellen) von Interesse. Heben Sie mithilfe der Pfeiltaste ˜ heben diese Option hervor, und drücken Sie anschließend die Funktionstaten !!@@OK#@ F.
Ändern Sie nun das Minutenfeld auf 25 durch Drücken der Tasten 25 !!@@OK#@ . Nun wird das Sekundenfeld hervorgehoben. Um dieses Feld auf 45 zu ändern, geben Sie 45 !!@@OK#@ ein. Nun wird Feld für das Zeitformat hervorgehoben. Um die aktuellen Einstellungen des Feldes zu ändern, können Sie entweder die Taste W (zweite Taste von links, fünfte von unten) oder die Funktionstaste @CHOOS (B) drücken. • Benutzen Sie die Taste W, wird sich das Feld für das Zeitformat in eine der nachfolgenden Optionen ändern.
Benutzen Sie die Pfeiltasten, — ˜, um zwischen diesen drei Optionen (AM, PM und 24-h) auszuwählen. Um Ihre Auswahl zu bestätigen, drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ F. Einstellen des Datums Nachdem Sie das Format der Uhrzeit ausgewählt haben, wird die Eingabemaske SET TIME AND DATE wie folgt aussehen: Um das Datum einzustellen, müssen Sie zunächst das Datumsformat auswählen. Das standardmäßig eingestellte Format lautet M/D/Y (Monat/Tag/Jahr).
Mit den Pfeiltasten — ˜ heben Sie die gewünschte Auswahl hervor und drücken anschließend die Funktionstaste !!@@OK#@ F, um diese zu übernehmen. Einführung in die Tastatur des Taschenrechners Die nachfolgende Abbildung zeigt ein Diagramm der Tastatur Ihres Taschenrechners mit nummerierten Zeilen und Spalten.
Die Abbildung zeigt 10 Reihen von Tasten mit 3, 5 oder 6 Spalten. Reihe 1 hat 6 Tasten, Reihe 2 und 3, jeweils 3 Tasten, während Reihe 4 bis 10 jeweils 5 Tasten aufweisen. In der rechten oberen Ecke, in Höhe der Reihen 2 und 3, befinden sich 4 Pfeiltasten. Jeder einzelne Taste hat drei, vier oder fünf verschiedene Funktionen. Die Hauptfunktion der Taste entspricht der auf der Tastatur hervorgehobenen (größten) Beschriftung.
Weitere Informationen zur Tastatur des Taschenrechners finden Sie in Anhang B. Auswahl der Taschenrechnermodi In diesem Abschnitt wird vorausgesetzt, dass Sie mindestens teilweise im Umgang mit Auswahl- und Dialogboxen vertraut sind (sollten Sie es nicht sein, lesen Sie erst Kapitel 2 in dieser Anleitung nach).
˜) zur Auswahl des entsprechenden Modus und drücken anschließend die Funktionstaste !!@@OK#@ , um den Vorgang abzuschließen. Um den Unterschied zwischen diesen beiden Operationsmodi zu veranschaulichen, berechnen wir nachfolgenden Ausdruck in beiden Modi: 3 ⋅ 5 − 23 3⋅3 2.5 +e 1 3 Um diesen Ausdruck in den Taschenrechner einzugeben, verwenden wir zuerst den Equation Writer (Gleichungsschreiber), ‚O. Sie benötigen die folgende Tasten neben den numerischen Tasten des Tastenfeldes: !@.
z. B. 3, 5, 1 stellen exakte Werte dar. EXP(2,5) hingegen kann nicht als exakter Wert dargestellt werden, daher ist ein Umschalten in den Approx (Näherungs)-Modus erforderlich]: Sie könnten den Ausdruck jedoch auch direkt, ohne Verwendung des EquationWriter wie folgt eingeben: R!Ü3.*!Ü5.1./ !Ü3.*3.™™ /23.Q3+!¸2.5` Sie erhalten dasselbe Ergebnis. Ändern Sie nun den Modus auf RPN , indem Sie zuerst die Schaltfläche H drücken. Wählen Sie den RPN-Modus entweder über die Taste \ oder durch Drücken der Funktions
3+2` benutzen, sondern erst die Operanden in der richtigen Reihenfolge, dann erst den Operator, d. h. 3`2`+ eingeben. Während Sie die Operanden , eingeben, erscheinen diese in unterschiedlichen Stack-Ebenen. Geben Sie 3` ein, erscheint die 3 in Stack-Ebene 1. Geben Sie als Nächstes 2` ein, wird die 3 eine Ebene nach oben, d. h. in Stack-Ebene 2 verschoben. Geben wir schließlich + ein, sagen wir dem Taschenrechner, dass er den Operatoroder das Programm + auf die Objekte aus Stack-Ebene 1 und 2 anwenden soll.
3.` 5.` Geben Sie 3 in Ebene 1 ein Geben Sie 5 in Ebene 1 ein, 3 wird nach y verschoben 3.` Geben Sie 3 in Ebene 1 ein, 5 wird in Ebene 2 und 3 in Ebene 3 verschoben 3.* Setzen Sie 3 und das Multiplikationszeichen, 9 erscheint in Ebene 1 Y 1/(3x3), letzter Wert in Ebene 1; 5 in Ebene 2, 3 in Ebene 3 5 - 1/(3×3) belegt nun Ebene 1, 3 ist in Ebene 2 * 3× (5 - 1/(3×3)) belegt nun Ebene 1. 23.` Geben Sie 23 in Ebene 1 ein, 14,66666 wird in Ebene 2 verschoben. 3.Q Geben Sie 3 ein, berechnen Sie 233 in Ebene 1.
offensichtlich, können Sie auch im RPN-Modus, einen Ausdruck in der gleichen Reihenfolge wie im algebraischen Modus, unter Benutzung des EquationWriters eingeben. Beispiel: ‚OR3.*!Ü5.-1/3.*3. ——————— /23.Q3™™+!¸2.5` Der daraus resultierende Ausdruck wird in Stack-Ebene 1, wie folgt angezeigt: Beachten Sie, dass der Ausdruck in Stack-Ebene 1 nach dem Drücken der Taste ` erscheint. Drücken Sie jedoch die Taste EVAL an dieser Stelle, wird der numerische Wert des Ausdrucks berechnet.
Weitere Informationen zu den Systemflags des Taschenrechners, finden Sie in Kapitel 2. Zahlenformat und Dezimalpunkt oder Komma Das Wechseln des Zahlenformates erlaubt Ihnen die benutzerspezifische Anpassung, reelle Zahlen im Taschenrechner anzuzeigen. Sie werden sehen, dass dies in Operationen mit Zehnerpotenzen äußerst nützlich ist, oder aber um die Dezimalstellen in einem Ergebnis einzuschränken.
• Feststehendes Format ohne Dezimalzahlen: Drücken Sie die Schaltfläche H. Benutzen Sie anschließend die Pfeiltaste ˜, um die Option Number format (Zahlenformat) auszuwählen. Drücken Sie die Funktionstaste @CHOOS (B), und wählen Sie die Option Fix mit der Pfeiltaste ˜. Beachten Sie, dass das Zahlenformat auf Fix, gefolgt von einer Null (0) gesetzt ist. Diese Zahl zeigt die Anzahl der Dezimalstellen, welche nach dem Dezimalkomma im Display des Taschenrechners angezeigt werden sollen.
Feststehendes Format mit Dezimalzahlen: Dieser Modus wird bei der Arbeit mit begrenzter Präzision benutzt. So z. B., wenn Sie finanzmathematische Berechnungen, im FIX 2 Modus durchführen, ist es bequem, da man ganz einfach Währungseinheiten bis zu einer Präzision von 1/100 darstellen kann. Drücken Sie die Schaltfläche H. Benutzen Sie anschließend die Pfeiltaste ˜, um die Option Number format (Zahlenformat) auszuwählen.
Beachten Sie, dass die Zahl nun abgerundet und nicht abgeschnitten ist. Somit wird die Zahl 123,4567890123456 in dieser Einstellung als 123,457 und nicht als 123,456 angezeigt, da die Nachkommastelle nach der 6 > 5 ist. • Wissenschaftliches Format Das wissenschaftliche Format wird hauptsächlich zum Lösen von Problemen in der Physik, wo Zahlen gewöhnlich mit begrenzter Präzision, multipliziert mit einer Zehnerpotenz, angezeigt werden, benutzt. Zum Einstellen dieses Formats drücken Sie die Schaltfläche H.
nach dem Komma dar. Die wissenschaftliche Darstellung beinhaltet immer eine Ganzzahl (Integer), wie oben zu sehen ist. Deshalb ist in diesem Fall die Anzahl der Nachkommastellen vier. Technisches Format Das technische Format ähnelt sehr dem wissenschaftlichen Format, mit der Ausnahme, dass die Zehnerpotenzen ein Vielfaches von drei sind. Zum Einstellen dieses Formates drücken Sie die Schaltfläche H. Benutzen Sie anschließend die Pfeiltaste ˜, um die Option Number format (Zahlenformat) auszuwählen.
• Dezimalkomma vs. Dezimalpunkt Dezimalpunkte in Gleitpunktzahlen können durch ein Komma ersetzt werden, wenn der Benutzer mit diesen besser vertraut ist. Um Dezimalpunkte durch Kommas zu ersetzen, ändern Sie die Option FM in der CALCULATOR MODES-Eingabemaske wie folgt auf Kommas (Beachten Sie, dass wir das Zahlenformat auf Std geändert haben): Drücken Sie die Schaltfläche H. Drücken Sie anschließend die Pfeiltaste ˜ einmal und die Pfeiltaste nach rechts, ™, um die Option __FM hervorzuheben.
hauptsächlich bei der Lösung mathematischer oder physischer Probleme verwendet. Dies ist der Standardmodus des Taschenrechners. • Zentesimalgrade: Ein kompletter Umfang beträgt 400 Zentesimalgrade (400 g) oder 100 Zentesimalgrade (100 g) in einem rechten Winkel. Diese Notation ist ähnlich dem Gradmodus und war eigentlich zur "Vereinfachung" der Gradnotation gedacht, wird jedoch heute selten benutzt.
entlang von 3 zueinander senkrechten Achsen (im 2-D Modus wird z als 0 angenommen).
• Drücken Sie die Schaltfläche H. Drücken Sie anschließend die Pfeiltaste ˜ dreimal. Wählen Sie nun den Winkelmaßmodus entweder durch Drücken der Taste \ (zweite von links, Reihe fünf von unten) oder durch Drücken der Funktionstaste @CHOOS (B). Sollten Sie letztere zur Auswahl drücken, benutzen Sie die Pfeiltasten —˜ zur Auswahl des entsprechenden Modus und drücken anschließend die Funktionstaste !!@@OK#@ F, um den Vorgang abzuschließen.
Die _Beep Option kann bei Fehlermeldungen für den Anwender nützlich sein. Diese Option sollten vor Betreten eines Klassenzimmers oder einer Bibliothek ausschalten, in dem Sie den Taschenrechner benutzen möchten. Die _Key Click Option kann auch als hörbare Überprüfung für die Richtigkeit der Tastenanschläge dienen. Die _Last Stack Option ist besonders dann vor Vorteil, wenn wir den letzten Vorgang rückgängig machen möchten, wenn dieser für eine weitere Berechnung benötigt wird.
• • genauer Modus Vereinfachung von irrationalen Ausdrücken Weitere Details zur Auswahl der CAS Einstellungen finden Sie in Anhang C. Auswahl der verschiedenen Anzeige-Modi Durch Auswahl der verschiedenen Anzeigemodi kann das Display des Taschenrechners wie gewünscht angepasst werden. Um die möglichen Displayeinstellungen anzusehen, gehen Sie wie folgt vor: • Drücken Sie die Schaltfläche H, um die CALCULATOR MODESEingabemaske zu starten.
Funktionstaste @@@OK@@@. So kehren Sie zur CALCULATOR MODESEingabemaske zurück. Um zur Normalansicht des Taschenrechners zurückzukehren, drücken Sie die Taste @@@OK@@@ ein weiteres Mal. Auswahl der Schrift im Display Durch Veränderung der Schriftgröße, können Sie den Taschenrechner wie gewünscht einstellen. Wenn Sie z. B. eine 6-Pixel Schrift verwenden, können Sie in Ihrem Display bis zu 9 Stack Ebenen anzeigen.
wie sich die Stack-Anzeige verändert, um sich der neuen Schriftart anzupassen. Auswahl der Eigenschaften des Zeileneditors Drücken Sie die Schaltfläche H, um die CALCULATOR MODESEingabemaske zu starten. Drücken Sie die Funktionstaste @@DISP@ (D) innerhalb der CALCULATOR MODES-Eingabemaske, um die Eingabemaske DISPLAY MODES anzuzeigen. Drücken Sie die Pfeiltaste ˜ einmal, um zur Edit Zeile (Bearbeitungszeile) zu gelangen. Diese Zeile weist drei Merkmale auf, die verändert werden können.
Um diese Einstellungen zu veranschaulichen, wählen Sie entweder den algebraischen oder den PRN-Modus, und benutzen Sie den EquationWriter, um folgende bestimmte Integrale einzugeben: ‚O…Á0™„虄¸\x™x` Im algebraischen Modus, wenn weder _Small noch _Textbook ausgewählt wurden, sieht die nachfolgende Ansicht für das Ergebnis dieser Eingabe wie folgt aus: Wenn nur die Option _Small ausgewählt wurde, sieht die Eingabe wie folgt aus: Ist aber die Option _Textbook ausgewählt (Standardwert), unabhängig davon, ob
_Small Ändert die Schrift auf klein, während Sie den EquationEditor (Gleichungseditor) benutzen _Small Stack Disp Zeigt eine kleine Schriftart im Stack für die Anzeige im Format Textbook (Textbuch) an Genaue Anweisungen zur Benutzung des EquationWriters (EQW) werden an anderer Stelle in dieser Anleitung beschrieben. So wird z. B.
(Kopfzeile) wird hervorgehoben. Benutzen Sie die rechte Pfeiltaste (™), um den Unterstrich vor der Option _Clock oder _Analog auszuwählen. Drücken Sie die Funktionstaste @ CHK@@ solange, bis die gewünschte Einstellung erreicht ist. Ist die Auswahl _Clock hervorgehoben, wird die Uhrzeit und das Datum in der rechten oberen Ecke des Displays angezeigt. Ist auch die Option _Analog ausgewählt, wird eine analoge anstelle einer digitalen Uhr angezeigt.
Kapitel 2 Einführung in den Taschenrechner In diesem Kapitel werden eine Reihe von Basisoperationen des Taschenrechners erläutert, einschließlich der Anwendung des EquationWriters und der Manipulation von Datenobjekten im Taschenrechner. Studieren Sie die Beispiele in diesem Kapitel genau, um die Möglichkeiten des Taschenrechners für zukünftige Anwendungen genau zu erfassen. Taschenrechner-Objekte Alle Zahlen, Ausdrücke, Zeichen, Variablen usw.
2,142. Um ein Ergebnis als Realzahl (Gleitkommazahl) zu erzwingen, benutzen Sie die Funktion NUM ‚ï. Integer-Zahlen werden wegen Ihrer vollen Genauigkeit in Rechenoperationen häufig in CAS-basierten Funktionen verwendet. Wird im CAS (siehe Anhang C) der APPROX (Näherungs) ausgewählt, werden Integer-Zahlen automatisch in reelle Zahlen umgewandelt. Sollten Sie nicht planen, das CAS zu benutzen, wird empfohlen, gleich in den Näherungsmodus zu wechseln. Weitere Informationen dazu erhalten Sie in Anhang C.
als # beschriftet) oder im algebraischen Modus durch Kommas getrennt. Listen, Objekte des Typs 5, sind besonders bei der Berechnung von Zahlensammlungen nützlich. So können z. B. die Spalten einer Tabelle als Listen eingegeben werden. Falls gewünscht, kann die Tabelle auch als Matrix oder Array eingegeben werden. Objekte des Typs 8 sind Programme in der User RPL Sprache. Dies sind einfach Gruppen von Informationen, die zwischen den Symbolen << und >> eingegeben werden.
Objekte des Typs 18, und built-in commands (integrierte Befehlen) den Objekten des Typs 19. Ausdrücke im Display bearbeiten In diesem Abschnitt werden Beispiele von Ausdrücken gezeigt, welche direkt im Display des Taschenrechners (algebraische Veränderung oder RPN-Stack) bearbeitet und verändert werden können. Erstellen von arithmetischen Ausdrücken Für dieses Beispiel wählen wir den algebraischen Modus und ein Fix (festes) Format mit 3 Dezimalstellen als Anzeige im Display.
5*„Ü1+1/7.5™/ „ÜR3-2Q3 Bevor Sie ein Ergebnis erstellen, werden Sie darauf hingewiesen, auf den Approx mode (Näherungsmodus) umzustellen. Akzeptieren Sie die Änderung, um nachfolgendes Ergebnis zu erzielen (angezeigt im Fix decimal mode (festen Dezimalmodus) mit drei Nachkommastellen – siehe Kapitel 1): Wenn der Ausdruck direkt in den Stack eingegeben wird, wird der Taschenrechner in diesem Fall versuchen, einen Wert für den Ausdruck zu berechnen, sobald Sie die Taste ` drücken,.
Wie im vorangegangenen Beispiel, werden Sie auch diesmal gefragt, ob Sie das CAS auf Approx umstellen möchten. Sobald Sie dies getan haben, erhalten Sie das gleiche Ergebnis wie zuvor. Eine Alternative zu dem vorher eingegebenen Ausdruck in Anführungszeichen auszuwerten, ist die Anwendung der Option …ï. Um den Ausdruck aus dem bestehenden Stack wieder herzustellen, benutzen Sie folgende Tastenfolge: ƒƒ…ï Wir geben nun den obigen Ausdruck ein, während der Taschenrechner auf den RPN-Modus eingestellt ist.
Dieses Ergebnis ist nun rein numerisch, so dass die Ergebnisse im Stack, obwohl Sie den gleichen Ausdruck darstellen, unterschiedlich aussehen. Um aber zu überprüfen, ob diese das gleiche Ergebnis liefern, subtrahieren wir beide Werte und berechnen diese mit der Funktion EVAL: Subtrahieren Sie Ebene 1 von Ebene 2 µ Berechnen Sie mithilfe der Funktion EVAL Das Ergebnis ist Null (0). Anmerkung: Vermeiden Sie es, Integer- mit reellen Zahlen zu vermischen, um Konflikte in der Berechnung zu vermeiden.
Der Cursor zur Bearbeitung ist ein blinkender nach links gerichteter Pfeil, der sich über dem ersten Zeichen der zu bearbeitenden Zeile befindet. Da in diesem Fall die Bearbeitung im Löschen einiger Zeichen und Ersetzen dieser durch Andere besteht, werden wir die Pfeiltasten š™ dazu benutzen, den Cursor auf dem zu verändernden Zeichen zu positionieren und anschließend die Löschtaste ƒ betätigen, um diese Zeichen zu entfernen.
Erstellen von algebraischen Ausdrücken Algebraische Ausdrücke beinhalten nicht nur Zahlen, sondern auch Namen von Variablen. Als Beispiel geben wir nachfolgenden algebraischen Ausdruck ein: x R +2L R+ y b 2L 1 + Wir stellen den algebraischen Operationsmodus am Taschenrechner ein, CAS auf Exact und die Anzeige auf Textbook.
Um diesen algebraischen Ausdruck mit dem Zeileneditor zu bearbeiten benutzen wir „˜. Damit wird der Zeileneditor gestartet und der zu bearbeitende Ausdruck sieht wie folgt aus: Der Cursor zur Bearbeitung ist ein blinkender nach links gerichteter Pfeil, der sich über dem ersten Zeichen der zu bearbeitenden Zeile befindet.
• • Drücken Sie die Löschtaste ƒ einmal, um die linke Klammer des oben eingefügten Klammerpaares zu löschen. Drücken Sie die Taste `, um zur Normalanzeige des Taschenrechners zurückzukehren. Nachfolgend das Ergebnis: Beachten Sie, dass der Ausdruck um Faktoren wie |R|, den absoluten Wert und SQ(b⋅R), die Quadratwurzel von b⋅R, erweitert wurde einzugeben.
Um den gesamten Ausdruck im Display zu sehen, ändern wir die Option auf _Small Stack Disp in der DISPLAY MODES-Eingabemaske (siehe Kapitel 1). Nachdem Sie diese Änderung durchgeführt haben, sieht Ihre Anzeige wie folgt aus: Anmerkung: Um griechische oder andere Buchstaben in algebraische Ausdrücke einzugeben, benutzen Sie das Menü CHARS. Dieses Menü wird mit der Tastenkombination …± gestartet. Detailinformationen zu diesem Thema finden Sie in Anhang D.
@EDIT : ermöglicht es dem Anwender, eine Eingabe mit dem Zeileneditor bearbeiten (siehe obige Beispiele) @CURS : markiert einen Ausdruck und fügt diesem einen grafischen Cursor hinzu @BIG : falls ausgewählt (die Auswahl wird durch ein Zeichen in der Beschriftung angezeigt) wird die Schriftgröße 8 im Editor verwendet (die größte vorhandene Schrift) @EVAL : damit können Sie einen im EquationWriter hervorgehobenen Ausdruck, symbolisch oder numerisch auswerten (ähnlich wie …µ) @FACTO : ermöglicht es Ihnen, eine
Erstellen von arithmetischen Ausdrücken Die Eingabe von arithmetischen Ausdrücken in den EquationWriter ist ähnlich wie die Eingabe dieser in Anführungszeichen in den Stack. Der Hauptunterschied besteht darin, dass die in den EquationWriter eingegebenen Ausdrücke im "textbook"-Stil (wie in einen Texteditor) anstelle einer Eingabe Zeile für Zeile geschrieben werden. Sobald Sie ein Teilungszeichen (d. h. /) in den EquationWriter eingeben, wird ein Bruch erzeugt und der Cursor in den Zähler gesetzt.
An dieser Stelle angekommen, sieht Ihre Anzeige wie folgt aus: Um den Nenner 2 in den Ausdruck einzufügen, müssen wir den kompletten Ausdruck π2 hervorheben (markieren). Dazu drücken wir die rechte Pfeiltaste (™) einmal. An dieser Stelle fügen wir folgende Tastenfolge ein: /2 Der Ausdruck sieht nun wie folgt aus: Angenommen, Sie möchten den Bruch 1/3 zu diesem Ausdruck hinzufügen, d. h.
ANMERKUNG: Alternativ, von der Ursprungsposition des Cursors ausgehend (im Nenner rechts von der 2 im Ausdruck π2/2), kann auch die Tastenkombination ‚—, interpretiert als (‚ ‘ ), verwendet werden. Sobald der Ausdruck, wie oben gezeigt, hervorgehoben ist, tippen Sie folgende Tastenfolge ein, +1/3, um den Bruch 1/3 hinzuzufügen.
Möchten Sie den vorherigen, noch nicht berechneten Ausdruck, wiedergeben, benutzen Sie die Funktion UNDO, d. h. …¯ (die erste Taste in der dritten Reihe von oben). Der wiederhergestellte Ausdruck wird, wie vorhin markiert, angezeigt: Wünschen Sie eine Gleitkommaberechnung (numerisch), benutzen Sie die Funktion NUM (d. h. …ï).
dazu die Pfeiltasten, um diesen bestimmten Unterausdruck auszuwählen.
Anschießend drücken Sie die Funktionstaste @EVAL D, um den nachfolgenden Ausdruck zu erhalten: Versuchen wir es an dieser Stelle nun mit einer numerischen Berechnung dieses Gliedes.
Bearbeiten von arithmetischen Ausdrücken Nachfolgend zeigen wir einige Bearbeitungsmerkmale des EquationWriters als Beispiel. Wir beginnen, indem wir den im vorherigen Beispiel verwendeten Ausdruck eingeben: Dann verwenden wir die Bearbeitungsmerkmale des EquationWriters, um den Ausdruck wie folgt umzuwandeln: In vorangegangenen Übungen haben wir die Pfeiltasten zur Markierung von Unterausdrücken für Berechnungen verwendet.
Mit der linken Pfeiltaste (š) können Sie den Cursor im Allgemeinen nach links bewegen, dieser hält aber bei jeder einzelnen Komponente des Ausdrucks. Nehmen wir z. B. an, dass wir als erstes den Ausdruck π 2/2 in den Ausdruck LN(π5/3) umwandeln möchten. Mit der aktivierten reinen Cursortaste, wie oben angezeigt, drücken Sie die Pfeiltaste š zweimal, um die 2 im Nenner von π 2/2 hervorzuheben. Drücken Sie als Nächstes die Löschtaste ƒ einmal, um den Cursor in einen Einfügecursor umzuwandeln.
Als Nächstes werden wir die 5 innerhalb der Klammern in ½ ändern, indem wir nachfolgende Tastenanschläge benutzen: šƒƒ1/2 Dann markieren wir den gesamten Ausdruck in der Klammer und fügen das Quadratwurzelzeichen wie folgt ein: ————R Als Nächstes konvertieren wir die 2 vor der Klammer des Nenners in 2/3 wie folgt: šƒƒ2/3 An dieser Stelle sieht Ihre Anzeige wie folgt aus: Der letzte Schritt besteht darin, 1/3 rechts vom Ausdruck zu entfernen.
beliebigen Stelle wiederholt die Pfeiltaste (˜), um zum reinen Bearbeitungscursor zu gelangen. In diesem Modus verwenden Sie dann die Pfeiltasten (š™), um im Ausdruck von einem Glied zum nächsten zu wechseln. An einem der Punkte, den Sie bearbeiten möchten, angekommen benutzen Sie die Löschtaste (ƒ), um den Einfügecursor zu wählen und fahren mit der Bearbeitung des Ausdrucks fort.
In diesem Beispiel haben wir mehrere englische Kleinbuchstaben verwendet, und zwar x (~„x), mehrere griechische Buchstaben, und zwar λ (~‚n), aber auch eine Kombination aus englischen und griechischen Buchstaben, ∆y (~‚c ~„y). Sie erinnern sich: Um einen englischen Kleinbuchstaben eingeben zu können, benötigen Sie die Kombination ~„ gefolgt von dem Buchstaben, den Sie eingeben möchten.
Bearbeiten von algebraischen Ausdrücken Bei der Bearbeitung von algebraischen Ausdrücken gelten die gleichen Regeln wie bei der Bearbeitung von algebraischen Gleichungen: • Benutzen Sie die Pfeiltasten ( š™—˜), um den Ausdruck zu markieren • Drücken Sie wiederholt den Pfeil ( ˜), um zum reinen Bearbeitungscursor zu gelangen. In diesem Modus verwenden Sie dann die Pfeiltasten ( š™), um sich von einem Glied zum nächsten im Ausdruck zu bewegen.
1. Die 1 im Exponenten von 1/3 2. θ 3. ∆y 4. µ 5. 2 6. x 7. µ in der Exponentialfunktion 8. λ 9. 3 in der √3 10. die 2 im Bruch 2/√3 An dieser Stelle können wir den reinen Bearbeitungscursor in einen Einfügecursor ändern, indem wir die Löschtaste (ƒ) drücken.
Berechnen eines Unterausdrucks ( ) bereits hervorgehoben haben, drücken Da wir den Unterausdruck SIN θ 1/ 3 wir nun die Funktionstaste @EVAL D, um diesen Unterausdruck zu berechnen. Die Lösung lautet: Einige algebraische Ausdrücke können nicht weiter vereinfacht werden. Versuchen Sie folgende Tastenanschläge: —D. Sie werden feststellen, dass lediglich das vollständige Argument der Funktion LN hervorgehoben wird, sonst erfolgen keine Aktionen.
Dieser Ausdruck passt nicht mehr in den Anzeigebildschirm des EquationWriters. Der gesamte Ausdruck lässt sich aber in einer kleineren Schrift anzeigen. Drücken Sie die Funktionstaste @BIG C, um das folgende Ergebnis zu erhalten: Auch mit der größeren Schrift ist es möglich, sich durch den gesamten Ausdruck mit dem reinen Bearbeitungscursor zu bewegen. Versuchen Sie die Tastenfolge C˜˜˜˜, um den reinen Bearbeitungscursor über den Faktor 3 im ersten Glied des Zählers zu bewegen.
Die Anzeige zeigt das Argument der Funktion SIN, und zwar, 3 θ LN (θ ) 3 . Dies mag zwar nicht wie eine Vereinfachung umgewandelt in e aussehen, es ist jedoch in so fern eine Vereinfachung, als dass die Quadratwurzelfunktion mit der inversen Funktion exp-LN ersetzt wurde. Faktorieren eines Ausdrucks In diesem Beispiel werden wir versuchen einen Polynomausdruck zu faktorieren. Um mit dem vorangegangenen Beispiel weiterzumachen, drücken Sie die Taste `.
Um zum ursprünglichen Ausdruck zurückzukehren, drücken Sie ‚¯. Als Nächstes geben Sie die Tastefolge ˜˜˜™™™™™™™— ——‚™ ein, um die letzten beiden Glieder im Ausdruck zu markieren, d. h., Drücken Sie die Funktionstaste @FACTO, um Nachfolgendes zu erhalten: Um zum ursprünglichen Ausdruck zurückzukehren, drücken Sie ‚¯. Markieren wir nun den gesamten Ausdruck, indem wir die Pfeiltaste ( —) einmal drücken.
Verwenden der Menütaste CMDS Verwenden wir den Polynomenausdruck aus vorangegangenem Beispiel und drücken die Taste L, um die Funktionstasten der Menüs @CMDS und @HELP anzuzeigen. Diese beiden Befehle gehören zum zweiten Teil des Softwaremenüs im EquationWriter.
Verwenden des Menüs HELP (Hilfe) Drücken Sie die Taste L, um die Funktionstasten @CMDS und @HELP anzuzeigen. Drücken Sie die Funktionstaste @HELP, um eine Auflistung der CAS-Befehle zu erhalten: Drücken Sie dann ~ d ˜ ˜ ˜, um den Befehl DERVX auszuwählen. Drücken Sie die Funktionstaste @@OK@@ (F), um Informationen zum Befehl DERVX zu erhalten: Eine genaue Erklärung zur Verwendung der Hilfefunktion für das CAS finden Sie in Kapitel 1.
Um ein Beispiel zu sehen, starten wir den EquationWriter und geben den nachfolgenden Ausdruck ein (wurde in einem vorangegangenen Beispiel benutzt): 2 / R3 ™™ * ~‚m + „¸\ ~‚m ™™ * ‚¹ ~„x + 2 * ~‚m * ~‚c ~„y ——— / ~‚t Q1/3 Der ursprüngliche Ausdruck sieht wie folgt aus. Wir möchten nun den Unterausdruck x+2⋅λ⋅∆y aus dem Argument der Funktion LN entfernen und nach rechts von λ im ersten Glied verschieben.
Wenn Sie im EquationWriter arbeiten, benötigen Sie die Funktionen BEGIN und END nicht, da Zeichenketten mit den Pfeiltasten ausgewählt werden können. Die Funktionen BEGIN und END werden hauptsächlich dann benötigt, wenn wir uns im Zeileneditor befinden. Wählen wir z. B.
Die Anzeige des Zeileneditors sieht nun wie folgt aus: Drücken Sie `, erhalten Sie den Ausdruck im EquationWriter (in kleiner Schrift drücken Sie die Funktionstaste @BIG C): Drücken Sie `, um den EquationWriter zu verlassen. Erstellen und bearbeiten von Summen, Ableitungsfunktionen und Integralen Summen, Ableitungsfunktionen und Integrale werden im Allgemeinen bei Infinitesimalrechnungs-, Wahrscheinlichkeits- und Statistik-Anwendungen eingesetzt.
Die daraus resultierende Anzeige sieht wie folgt aus: Um den entsprechenden Ausdruck im Zeileneditor anzuzeigen, drücken Sie ‚—und die Funktionstaste A, um folgende Ansicht zu erhalten: Dieser Ausdruck zeigt eine allgemeine Form einer Summe, die direkt in den Stack oder Zeileneditor eingegeben wurde: Σ(index = starting_value, ending_value, summation expression) Drücken Sie `, um zum EquationWriter zurückzukehren.
Diese Summe (eine unendliche Reihe darstellend) wird als divergent bezeichnet. Auch doppelte Summen sind möglich, so z. B.: Ableitungsfunktionen Wir benutzen den EquationWriter, um folgende Ableitungsfunktion einzugeben: d (α ⋅ t 2 + β ⋅ t + δ ) dt Drücken Sie ‚O, um den EquationWriter zu starten. Drücken Sie anschließend ‚¿, um zu dem (partiellen) Ableitungsfunktionszeichen zu gelangen.
Daraus ersehen wir, dass der allgemeine Ausdruck einer Ableitungsfunktion im Zeileneditor oder Stack wie folgt lautet: ∂Variable(Funktion von Variablen) Drücken Sie `, um zum EquationWriter zurückzukehren. Die so entstandene Anzeige ist nicht die Ableitungsfunktion, die wir eingegeben haben, sondern deren symbolischer Wert, und zwar: Um die Ableitungsfunktion wiederherzustellen, verwenden Sie ‚¯. Um die Ableitungsfunktion neu zu berechnen, verwenden Sie die Funktionstaste D.
Anmerkung: Für eine Teilableitung ist die Notation ∂ ( ∂x ) einwandfrei. Die richtige Notation für eine Gesamtableitung (d. h. eine Ableitung einer Variablen) lautet d ( ) . Der Taschenrechner macht jedoch keinen dx Unterschied zwischen Teil- und Gesamtableitungen. Bestimmte Integrale Wir benutzen den EquationWriter, um folgende bestimmte Integrale ∫ τ 0 t ⋅ sin(t ) ⋅ dt einzugeben. Drücken Sie ‚O, um den EquationWriter zu starten. Drücken Sie anschließend ‚Á, um zu dem Integralzeichen zu gelangen.
Drücken Sie `, um zum EquationWriter zurückzukehren. Die entstandene Anzeige ist nicht die bestimmte Integrale, die wir eingegeben haben, sondern deren symbolischer Wert, und zwar: Um die Ableitungsfunktion wieder herzustellen, verwenden Sie ‚¯. Um die Ableitungsfunktion neu zu berechnen, verwenden Sie die Funktionstaste D. Diese zeigt erneut, dass ∫ τ 0 t ⋅ sin(t ) ⋅ dt = sin(τ ) − τ ⋅ cos(τ ) Auch Doppelintegrale sind möglich. So zum Beispiel: welche ausgewertet 36 ergibt.
Organisieren der Daten im Taschenrechner Sie können Daten in Ihrem Taschenrechner organisieren, indem Sie Variablen in einer Verzeichnisstruktur ablegen (speichern). Um den Speicher des Taschenrechners zu verstehen, sehen wir uns zunächst einmal das Datenverzeichnis an. Drücken Sie die Tastenkombination „¡(erste Taste in der zweiten Reihe von oben), um zu dem Datenmanager des Taschenrechners zu gelangen: Diese Ansicht ist eine Momentaufnahme des Taschenrechnerspeichers und der Verzeichnisstruktur.
Funktionen zur Manipulation von Variablen In dieser Anzeige stehen insgesamt 20 Befehle zur Verfügung, welche Funktionstasten zugeordnet sind und der Erstellung, Bearbeitung und Manipulation von Variablen dienen.
@XSEND um eine Variable mit dem X-Modem-Protokoll zu senden @CHDIR um das Verzeichnis zu wechseln Um zwischen den verschiedenen Funktionsmenü-Befehlen zu navigieren, können Sie nicht nur die Taste NEXT (L), sondern auch die Taste PREV („«) verwenden. Der Benutzer soll nun diese Funktionen selbst ausprobieren. Deren Anwendung ist ziemlich einfach. Das HOME-Verzeichnis Wie bereits erwähnt, ist das HOME-Verzeichnis das Basis-Verzeichnis des Taschenrechners.
Diesmal ist CASDIR in der Anzeige hervorgehoben. Um den Inhalt des Verzeichnisses anzuzeigen, drücken Sie die Funktionstaste @@OK@@ (F) oder `, um die folgende Ansicht zu erhalten: In der Anzeige ist eine Tabelle, die die Variablen im CASDIR beschreibt. Dies sind im Speicher des Taschenrechners vordefinierte Variablen, welche bestimmte Parameter für die CAS-Operation festlegen (siehe Anhang C). Die obige Tabelle enthält vier Spalten: • In der ersten Spalte ist der Typ der Variablen angezeigt (z. B.
Byte benötigt (1 Byte = 8 Bit, 1 Bit ist die kleinste Einheit im Speicher von Computern und Taschenrechnern). CASDIR-Variablen im Stack Drücken Sie die Taste $, wird die vorangegangene Anzeige geschlossen und Sie erhalten die Normalanzeige des Taschenrechners. Standardmäßig kommen wir zum TOOL-Menü zurück: Wir können die Variablen im aktuellen Verzeichnis CASDIR ansehen, indem wir die Taste J drücken (erste Taste in der zweiten Reihe von oben).
PRIMIT Letzte berechnete Stammfunktion, keine Standardvariable, sondern eine die wir in einem vorangegangenen Beispiel erstellt haben CASINFO ein Graph das CAS-Informationen liefert MODULO Modulo für modulare Arithmetik (Standard = 13) REALASSUME Auflistung von Variablennamen, von welchen angenommen wird, dass sie reelle Werte darstellen PERIOD Intervall für trigonometrische Funktionen (Standard = 2π) VX Name der unabhängigen Standardvariablen (Standard = X) EPS Wert des kleinen Inkrementes (Epsilon), (Sta
möchten, die Taste „ drücken. Um die Eingabe für Kleinbuchstaben rückgängig zu machen, drücken Sie „~ Um die Eingabe für Großbuchstaben rückgängig zu machen, drücken Sie ~ Versuchen wir nun einige Beispiele Verzeichnisse/Variablen-Namen in den Stack einzugeben. Angenommen, Sie befinden sich im algebraischen Modus (obwohl diese Anweisungen genauso im RPN-Modus funktionieren), versuchen Sie die nachfolgende Tastenkombination.
Unabhängig vom Operationsmodus des Taschenrechners (algebraisch oder RPN) können wir eine Verzeichnisstruktur basierend auf dem HOMEVerzeichnis, anhand der im FILES-Menü aktivierten Funktionen erstellen. Drücken Sie „¡, um das FILES-Menü zu starten. Sofern das HOMEVerzeichnis nicht bereits hervorgehoben ist, d. h. benutzen Sie die Pfeiltasten (—˜), um es hervorzuheben. Drücken Sie anschließend die Funktionstaste @@OK@@ ( F).
Unterverzeichnis an dieser Stelle gibt, überspringen wir dieses Eingabefeld einfach mit der Pfeiltaste ˜ einmal. Nun wird das Feld Name hervorgehoben. An dieser Stelle geben wir den Namen des neuen Unterverzeichnisses (oder der Variablen, welches auch der Fall sein mag) wie folgt ein: ~~mans` Der Cursor springt ins Kontrollfeld _Directory. Drücken Sie die Funktionstaste @ CHK@@ (C) um anzugeben, dass Sie ein Verzeichnis erstellen und anschließend @@OK@@, um die Eingabemaske zu verlassen.
Um in MANS-Verzeichnis zu wechseln, drücken Sie die entsprechende Funktionstaste (in diesem Fall die A) und, falls im algebraischen Modus, die Taste `. In der zweiten Zeile der Verzeichnisstruktur wird {HOME MANS} angezeigt. Die Funktionstasten aber, werden keine Beschriftung, wie unten gezeigt aufweisen, weil noch keine Variablen für dieses Verzeichnis gespeichert wurden.
Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 2. MEMORY… auszuwählen oder einfach nur die 2. Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Dadurch erhalten Sie das nachfolgende Pull-Down-Menü: Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 5. DIRECTORY… auszuwählen oder einfach nur die 5. Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Dadurch erhalten Sie das nachfolgende Pull-Down-Menü: Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 5. CRDIR … auszuwählen und dann @@OK@@.
An dieser Stelle, müssen Sie einen Verzeichnisnamen, sagen wir chap1, eingeben: ~~„~chap1~` Der Name des neuen Verzeichnisses wird im Funktionstastenmenü angezeigt, z. B. Befehl DRDIR im RPN-Modus Um CRDIR im RPN-Modus zu benutzen, muss, bevor Sie den Befehl starten, der Name des Verzeichnisses im Stack bereits existieren. So zum Beispiel: ~~„~chap2~` Starten Sie den Befehl CRDIR mit einer der oben genannten Möglichkeiten, z. B.
übergeordnetes Verzeichnis der Funktion zu wechseln, benutzen Sie die Funktion UPDIR, d. h. Sie geben „§ein. Alternativ, können Sie auch das FILES-Menü dazu benutzen, d. h. Sie drücken „¡. Benutzen Sie die Pfeiltasten ( —˜), um das Unterverzeichnis, in welches Sie wechseln möchten, auszuwählen, und anschließend !CHDIR (Change DIRectory = Verzeichnis wechseln) oder die Funktionstaste A.
(Variablen) fort !ABORT (E) Unterverzeichnis (Variable) nicht aus einer Liste löschen @@NO@@ (F) Unterverzeichnis (Variable) nicht löschen Nachdem Sie nun einen dieser vier Befehle ausgewählt haben, kommen Sie zur Anzeige der Inhalte des Unterverzeichnisses zurück. Der Befehl !ABORT, bringt jedoch eine Fehlermeldung: und Sie müssen die Taste @@OK@@ drücken, bevor Sie zur Auflistung der Variablen zurückkehren. Verwenden des Befehls PGDIR Mit dem Befehl PGDIR können Verzeichnisse bereinigt werden.
Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 5. DIRECTORY … auszuwählen. Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Dadurch erhalten Sie das nachfolgende Pull-Down-Menü: Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 6. PGDIR… auszuwählen und dann @@OK@@.
Anstatt den Namen des Verzeichnisses einzutippen, können Sie auch einfach die entsprechende Funktionstaste aus der Auflistung der PGDIR ( ) Befehle drücken, z. B. Drücken Sie @@OK@@, um Nachfolgendes zu erhalten: Anschließend drücken Sie )@@S3@@, um 'S3' als das Argument zu PGDIR einzugeben. Drücken Sie `, um das Unterverzeichnis zu löschen: Befehl PGDIR im RPN-Modus Um PGDIR im RPN-Modus zu benutzen, muss, bevor Sie den Befehl starten, der Name des Verzeichnisses im Stack bereits existieren.
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um den Befehl zum Löschen des Unterverzeichnisses zu aktivieren: Anwendung des PURGE Befehls aus dem TOOL-Menü Das TOOL-Menü erreicht man durch Drücken der Taste I (algebraischer und RPN-Modus werden angezeigt): Der Befehl PURGE kann über die Funktionstaste @PURGE (E) aktiviert werden.
Buchstaben. Somit ist ‘→A’ ein gültiger Name für eine Variable, ‘→’ hingegen nicht. Beispiele von gültigen Variablennamen sind: ‘A’, ‘B’, ‘a’, ‘b’, ‘α’, ‘β’, ‘A1’, ‘AB12’, ‘ A12’,’Vel’,’Z0’,’z1’, usw. Eine Variable kann nicht denselben Namen wie eine Funktion im Taschenrechner haben. Sie können also keine Variable mit den Namen SIN erstellen, weil ein Befehl mit dem Namen SIN im Taschenrechner existiert.
Drücken Sie @@OK@@ um ins Verzeichnis zu gelangen. Sie bekommen eine Anzeige "no entries" – keine Einträge (das Unterverzeichnis INTRO ist an dieser Stelle noch leer) Drücken Sie die Taste L, um zum nächsten Funktionstastenmenü zu gelangen und drücken Sie die Funktionstaste @@NEW@@.
Drücken Sie @@OK@@ ein weiteres Mal, um die Variable zu erstellen. Die neue Variable wird wie folgt in der Auflistung angezeigt: Die Auflistung zeigt eine reelle Variable (|R) mit dem Namen A, welche einen Speicherplatz von 10,5 Byte belegt. Um sich den Inhalt der Variablen anzuzeigen, drücken Sie L@VIEW@. • Drücken Sie die Funktionstaste @GRAPH (A), um den Inhalt in grafischer Form darzustellen. • • • • Drücken Sie die Funktionstaste @TEXT (A), um den Inhalt in Textform darzustellen.
A12 Q R z1 p1 3×105 ‘r/(m+r)' [3,2,1] 3+5i << → r 'π*r^2' >> reell Algebraik Vektor komplex Programm Algebraischer Modus Drücken Sie nachfolgende Tastenfolge, um den Wert -0,25 in die Variable α zu speichern: 0.25\ K ~‚a. An dieser Stelle wird Ihre Anzeige wie folgt aussehen: Dieser Ausdruck bedeutet, dass der Wert -0,25 in α gespeichert wird (das Symbol deutet darauf hin). Drücken Sie nun `, um die Variable zu erzeugen. Die Variable wird nun bei den Funktionstasten angezeigt.
Am unteren Rand werden Sie sechs oder sieben Variablen feststellen: p1, z1, R, Q, A12, α. RPN-Modus Drücken Sie nachfolgende Tastenfolge, um den Wert -0,25 in eine Variable α zu speichern: 0.25\` ~‚a`. An dieser Stelle wird Ihre Anzeige wie folgt aussehen: Dieser Ausdruck bedeutet, dass der Wert -0,25 bereit zur Speicherung nach α ist. Drücken Sie nun K, um die Variable zu erzeugen. Die Variable wird nun bei den Funktionstasten angezeigt.
z1: ³3+5*„¥ ³~„z1 K (Bestätigen Sie den Wechsel in den Complex Modus, falls gefragt). p1: ‚å‚é~„r³„ì* ~„rQ2™™™ ³ ~„p1™` K. An dieser Stelle, sieht Ihre Anzeige wie folgt aus: Am unteren Rand werden Sie sechs oder sieben Variablen feststellen: p1, z1, R, Q, A12, α. Überprüfen der Inhalte von Variablen Als Übung in den Inhalt einer Variablen reinzuspähen, werden wir die sieben vorhin eingegeben Variablen benutzen.
Als Nächstes, drücken Sie nachfolgende Tastenfolge: @@A12@ ` @@@ª@@ ` L @@@A@@@ `. An dieser Stelle sieht Ihre Anzeige wie folgt aus: Wenn Sie nun die Funktionstaste, die p1 entspricht, drücken, erhalten Sie eine Fehlermeldung (versuchen Sie es mit L @@@p1@@ `) Anmerkung: Durch Drücken von @@@p1@@ ` versuchen wir das Programm p1 zu starten (run). Dieses Programm aber erwartet eine numerische Eingabe. Versuchen Sie folgendes Beispiel: $@@@p1@ „Ü5`.
Programm berechnet somit eine Kreisfläche mit einem gegebenen Radius von r. RPN-Modus Im RPN-Modus, müssen Sie lediglich die entsprechende Funktionstaste drücken um den Inhalt einer numerischen oder algebraischen Variablen zu erhalten. Im vorliegenden Fall, können wir versuchen in die oben erstellten Variablen z1, R, Q, A12, α, und A, wie folgt hineinzuspähen: J@@z1@@ @@@R@@ @@@Q@@ @@A12@@ @@ª@@ An dieser Stelle sieht Ihre Anzeige wie folgt aus: Um den Inhalt von A anzuzeigen, drücken Sie L @@@A@@@.
Nach obiger Eingabe erscheint folgende Anzeige (algebraischer Modus links und RPN-Modus rechts) Beachten Sie, dass in diesem Fall der Inhalt des Programms p1 in der Anzeige erscheint. Um die noch verbleibenden Variablen in diesem Verzeichnis anzusehen, gehen Sie folgendermaßen vor: @@@ª@@ L ‚ @@@A@@ Anzeigen der Inhalte aller Variablen im Display Benutzen Sie die Tastenkombination ‚˜ um den Inhalt aller Variablen auf dem Display anzuzeigen.
Moment eine numerische Variable) mit dem algebraischen Ausdruck ‘β/2’, unter Verwendung des Befehls STO zu ändern. Zuerst im algebraischen Modus: ³~‚b/2™ K @@A12@@ ` Überprüfen Sie den neuen Inhalt der Variablen A12 mithilfe von ‚@@A12@@ . Im RPN-Modus: ³~‚b/2` ³@@A12@@ ` K oder vereinfacht ³~‚b/2™ ³@@A12@@ K Verwenden der linken Shift-Taste „ gefolgt von der Funktionstaste der Variablen (RPN) Dies ist eine äußerst einfache Art den Inhalt von Variablen zu ändern, funktioniert aber nur im RPN-Modus.
Verwenden der Variablen ANS(1) (Algebraischer Modus) Im algebraischen Modus können wir die Variable ANS(1) verwenden, um den Inhalt einer Variablen auszutauschen. So z. B. ist die Prozedur, den Inhalt von z1 auf ‘a+bi’ abzuändern, folgende: „î K @@@z1@@ `. Um uns den neuen Inhalt von z1 anzusehen, verwenden wir: ‚@@@z1@@ Kopieren von Variablen Die nachfolgenden Übungen zeigen uns verschiedene Wege Variablen aus einem Unterverzeichnis in ein anderes zu kopieren.
Benutzen Sie die Pfeiltaste —, um das Unterverzeichnis MANS auszuwählen und drücken Sie dann @@OK@@. Drücken Sie nun „§, erscheint in der Anzeige der Inhalt des Unterverzeichnisses MANS (beachten Sie dass die Variable A, wie erwartet, in der Liste auftaucht): Drücken Sie $ @INTRO@ ` (im algebraischen Modus) oder $ @INTRO@ (im RPN-Modus), um zum Verzeichnis INTRO zurückzukehren.
Unterverzeichnis zu wechseln. Die Anzeige des Taschenrechners sieht wie folgt aus: Benutzen Sie die Löschtaste ƒ ƒ ƒ (dreimal), um die letzten drei Zeilen im Display zu entfernen. An dieser Stelle ist der Stack bereit den Befehl ANS(1) z1 auszuführen. Drücken Sie `, um den Befehl auszuführen. Verwenden Sie anschließend ‚@@z1@, um den Inhalt der Variablen zu überprüfen.
kopieren. Die dafür erforderlichen Tastenanschläge, um diesen Vorgang abzuschließen sind wie folgt: ‚@@ @R@@ K@@@R@@ ` ‚@@ @Q@@ K@@@Q@@ ` „§` ƒ ƒ ƒ` ƒƒƒƒ` Um den Inhalt der Variablen zu überprüfen, verwenden Sie ‚@@ @R@ und ‚@@ @Q. Dieser Vorgang kann verallgemeinert werden, um drei oder mehrere Variablen zu kopieren. Zwei oder mehrere Variablen im RPN-Modus in den Stack kopieren Nachfolgende Übung ist zur Demonstration des Kopiervorgangs, zweier oder mehrerer Variablen über den Stack im RPN-Modus, gedacht.
Algebraischer Modus In diesem Fall befindet sich der Taschenrechner im algebraischen Modus. Angenommen, wir möchten die Anordnung der Variablen auf INTRO, A, z1, Q, R, A12 ändern.
Die neu angeordnete Liste wird wie folgt erzeugt: „ä )@INTRO @@@@A@@@ @@@z1@@ @@@Q@@@ @@@@R@@@ @@A12@@ ` Anschließend geben Sie den Befehl ORDER, wie vorhin ein, d. h.
Beachten Sie, dass die Variable A12 nicht mehr da ist. Drücken Sie nun „§, wird Ihnen der Inhalt des Unterverzeichnisses MANS, einschließlich der Variablen A12 angezeigt. Anmerkung: Mithilfe des Stacks können Sie eine Variable verschieben, indem Sie kopieren mit löschen einer Variable kombinieren. Wie Sie Variablen löschen können, wird im nächsten Abschnitt demonstriert. Löschen von Variablen Variablen können mithilfe der Funktion PURGE gelöscht werden.
Anwenden der Funktion PURGE im Stack im algebraischen Modus Wir beginnen wieder im Unterverzeichnis {HOME MANS INTRO}, in welchem sich die Variablen p1, z1, Q, R und α befinden. Wir wenden nun den PURGE Befehl an, um die Variable p1 zu löschen. Drücken Sie I @PURGE@ J@@p1@@ `. In der Anzeige wird nun gemeldet, dass die Variable p1 entfernt wurde: Mit dem PURGE Befehl können Sie mehr als eine Variable löschen, indem Sie deren Namen in die PURGE-Argumentliste eintragen. Wenn wir nun z. B.
Drücken Sie ³@@p1@@ ` I @PURGE@. In der Anzeige wird nun gemeldet, dass die Variable p1 entfernt wurde: Um zwei Variablen gleichzeitig zu löschen, sagen wir die Variablen R und Q, müssen wir zuerst eine Liste erstellen (im RPN-Modus müssen die Elemente der Liste nicht durch Komma, wie im algebraischen Modus, getrennt werden): J „ä³ @@@R!@@ ™ ³ @@@Q!@@ `. Drücken Sie anschließend I@PURGE@, um die Variablen zu löschen.
Als Nächstes verwenden Sie die Funktion CMD („®), um die letzten vier Befehle, die der Anwender eingegeben hat, anzuzeigen, d. h. Mithilfe der Pfeiltasten (—˜) können Sie durch diese Befehle nach oben und nach unten navigieren; dabei können Sie jeden hervorheben, den Sie neu eingeben möchten. Sobald Sie den Befehl ausgewählt haben, den Sie eingeben möchten, drücken Sie @@@OK@@@. Die Funktion CMD funktioniert im RPN-Modus genauso, ausgenommen dass die Befehlsliste nur Zahlen oder Algebraiks auflisten wird.
Flags Ein Flag ist ein Boolescher Wert, welcher gesetzt oder gelöscht werden kann (wahr oder falsch), der eine bestimmte Einstellung des Taschenrechners oder eine Option in einem Programm setzen kann. Flags, werden im Taschenrechner über Zahlen identifiziert. Im Taschenrechner existieren insgesamt 256 Flags, durchnumeriert zwischen -128 und 128. Die positiven Flags werden als Anwenderflags bezeichnet und diesem für Programmierzwecke zur Verfügung gestellt.
Beispiel einer Flageinstellung allgemeine Lösungen vs. Hauptwert So z. B. ist der Standardwert für Systemflag 01 Allgemeine Lösungen . Dies bedeutet, dass, wenn eine Gleichung mehrere Lösungen hat, werden alle Lösungen vom Taschenrechner angezeigt, höchstwahrscheinlich in einer Liste . Drücken Sie die Funktionstaste @ CHK@@ können Sie das Systemflag 01 auf Hauptwert setzen. Diese Einstellung zwingt den Taschenrechner einen einzigen Wert anzuzeigen, auch als Hauptwert der Lösung bezeichnet.
RPN-Modus Erster Satz Systemflags 01 (d. h. Principal Value – Hauptwert ). Drücken Sie @@OK@@ zweimal, um zur Normalanzeige des Taschenrechners zurückzukehren. Anschließend tippen Sie die quadratische Gleichung wie folgt ein: ‚O~ „t Q2™+5*~ „t+6—— ‚Å0` ` (behalten Sie eine zweite Kopie im RPN-Stack) ³~ „t` Verwenden Sie nachfolgende Tastenfolge, um den QUAD Befehl zu starten: ‚N~q. (Benutzen Sie dann die Pfeiltasten —˜, um QUAD auszuwählen) drücken Sie anschließend @@OK@@ .
Weitere erwähnenswerte Flags Nehmen wir nochmals die aktuelle Flag Einstellung, indem wir die Taste H drücken und anschließend die Funktionstaste @FLAGS!. Stellen Sie sicher, dass Sie das Systemflag 01, welches in einer früheren Übung gesetzt wurde, bereinigen. Verwenden Sie die Pfeiltasten ( —˜), um in der Systemflag Liste zu navigieren. Einige interessante Flags und deren bevorzugter Wert für die Übungen aus dieser Anleitung sind: 02 Constant → symb: Konstante Werte (z. B.
@@OK@@ —— Zeige Menüliste DIRECTORY und wähle ORDER @@OK@@ starten Sie den Befehl ORDER. Es gibt eine Alternative diese Menüs über die Funktionstasten zu erreichen, und zwar durch setzen des Systemflags 117. Um dieses Flag zu setzen versuchen Sie Folgendes: H @FLAGS! ——————— In der Anzeige erscheint Flag 117 nicht gesetzt (CHOOSE boxes), wie nachfolgend zu sehen ist: Drücken Sie die Funktionstaste @ CHK@@ um Flag 117 im Funktions-MENU zu setzen.
Drücken Sie zweimal, um zur Normalanzeige des Taschenrechners zurückzukehren. Nun werden wir versuchen den Befehl ORDER mit ähnlicher Tastenfolge wie oben zu finden, d. h. wir starten mit „°. Beachten Sie, dass wir in diesem Fall anstelle einer Menüliste, Funktionstasten für das Menü mit den verschiedenen Optionen für das Menü PROG erhalten, d. h. Drücken Sie B, um das Funktionsmenü MEMORY ()@@MEM@@) auszuwählen.
Ausgewählte CHOOSE boxes Einige Menüs erzeugen nur CHOOSE boxes, so z. B.
Kapitel 3 Berechnung mit reellen Zahlen In diesem Kapitel wird die Verwendung des Taschenrechners für Operationen und Funktionen in Zusammenhang mit reellen Zahlen erläutert. Die hier aufgeführten Operationen werden in den meisten Berechnungen in den Bereichen Physik und Technik angewendet. Der Benutzer sollte über Kenntnisse in Zusammenhang mit der Verwendung der Tastatur verfügen, um bestimmte auf der Tastatur befindliche Funktionen aufrufen zu können (z. B. SIN, COS, TAN usw.).
Beschreibung des Elementes angegeben. Darüber hinauswird die Erklärung für jeden einzelnen dieser Werte angezeigt: 1. Spezifikation des Winkelmaßes (DEG, RAD, GRD) DEG: Grad, 360 Grad bilden einen vollständigen Kreis RAD: Radian, 2π Radiane bilden einen vollständigen Kreis GRD: Zentesimalgrad, 400 Zentesimalgrad bilden einen vollständigen Kreis 2. Spezifikationen des Koordinatensystems (XYZ, R∠Z, R∠∠).
Taschenrechner aufgefordert werden, in den Complex-Modus zu wechseln. Der Exact-Modus ist der Standardmodus für die meisten Berechnungen. Sie sollten daher mit Ihren Berechnungen in diesem Modus starten. Sollte es erforderlich sein, in den Approx-Modus umzuschalten, werden Sie vom Taschenrechner dazu aufgefordert. Es gibt keine bevorzugte Auswahl für das Winkelmaß oder für die Zahlenbasisspezifikation.
Im RPN-Modus geben Sie einen Operanden nach dem anderen, jeweils durch ein ` getrennt, ein. Anschließend drücken Sie die Taste für den Operator. Beispiele: 3.7` 6.3` 4.2` 2.3` 5.2 8.5 2.5 4.5 + * / Im RPN-Modus können Sie alternativ dazu die Operanden durch Leerzeichen (#) trennen, bevor Sie die Befehlstaste drücken. Beispiele: 3.7#5.2 6.3#8.5 4.2#2.5 2.3#4.
Wenn Sie im RPN-Modus den Ausdruck in Anführungszeichen schreiben, können Sie diesen wie im algebraischen Modus eingeben. ³„Ü5+3.2™/ „Ü7-2.2`µ In beiden Fällen, im ALG- wie auch im RPN-Modus, kann der EquationWriter dazu verwendet werden: ‚O5+3.2™/7-2.2 Der Ausdruck kann innerhalb des EquationWriters ausgewertet werden, indem Sie nachfolgende Tastenfolgen verwenden ————@EVAL@ oder ‚—@EVAL@ Funktion Absoluter Wert Die Funktion absoluter Wert, ABS, kann über die Tastenkombination „Ê aufgerufen werden.
2.3\„º Die Quadratwurzelfunktion, √, kann über die Taste R aufgerufen werden. Sollten Sie im Stack im ALG-Modus Berechnungen durchführen, müssen Sie die Funktion vor dem Argument eingeben, z. B. wie folgt: : R123.4` Im RPN-Modus geben Sie zuerst die Zahl, dann die Funktion ein, z. B.: 123.4R Potenzen und Wurzeln Die Potenzfunktion, ^, wird über die Taste Q aufgerufen. Wenn Sie im Stack im ALG-Modus berechnen, geben Sie die Base (y) gefolgt von der Taste Q und anschließend den Exponenten (x) ein, z. B. 5.
Im RPN-Modus wird das Argument vor der Funktion eingegeben: 2.45` ‚Ã 2.3\` „Â Verwendung von Zehnerpotenzen bei der Dateneingabe Zehnerpotenzen, d. h. Zahlen wie -4.5×10-2 usw., werden mithilfe der Taste V eingegeben. So z. B. im ALG-Modus: \4.5V\2` Oder im RPN-Modus: 4.5\V2\` Natürliche Logarithmen und Exponentialfunktionen Natürliche Logarithmen (d. h.
Im ALG-Modus: Im RPN-Modus: S30` T45` U135` 30`S 45`T 135`U Inverse trigonometrische Funktionen Die über die Tastatur zur Verfügung stehenden inversen trigonometrischen Funktionen lauten Arcsinus (ASIN), Arccosinus (ACOS) und Arctangens (ATAN) und können über die jeweiligen Tastenkombinationen „¼, „¾ und „À aufgerufen werden. Da die Inversen der trigonometrischen Funktionen Winkel darstellen, werden die Ergebnisse in den ausgewählten Winkelmaßen (DEG, RAD, GRD) ausgegeben.
Operatoren hingegen werden nach einem einzigen Argument oder zwischen zwei Argumenten eingesetzt. Der faktorielle Operator (!) z. B. wird nach einer Zahl eingesetzt, z. B. 5~‚2`. Da dieser Operator lediglich ein einziges Argument benötigt, wird er als monadisch bezeichnet. Operatoren, welche zwei Argumente benötigen, wie z. B. + - * / Q, werden als Binäroperatoren bezeichnet, z. B. 3*5 oder 4Q2.
Abschnitt erörtert. Schließlich die Option 11. SPECIAL FUNCTIONS.., ´die Funktionen für höhere Mathematik einschließt, die ebenfalls in diesem Abschnitt erörtert werden.
Hyperbolische Cosinusfunktion, COSH, und deren Inverse ACOSH oder cosh-1 Hyperbolische Tangensfunktion, TANH, und deren Inverse ATANH oder tanh-1 Dieses Menü enthält zusätzlich die nachfolgenden Funktionen: EXPM(x) = exp(x) – 1, LNP1(x) = ln(x+1). Schließlich Option 9. MATH, welche den Anwender zurück in das Menü MTH versetzt. So benötigen Sie z. B. zum Berechnen der Funktion tanh(2,5) im ALG-Modus folgende Tastenfolge: „´ 4 @@OK@@ 5 @@OK@@ 2.5` Auswahl MTH Menü Auswahl Menü 4. HYPERBOLIC..
Die aufgeführten Operationen setzen voraus, dass Sie die StandardEinstellungen für Systemflag 117 (CHOOSE boxes) verwenden: Haben Sie die Einstellungen dieses Flags auf SOFT menu (siehe Kapitel 2) festgelegt, wird das MTH-Menü wie folgt angezeigt (linke Seite ALG-Modus, rechte Seite RPN-Modus): Wenn Sie die Taste L drücken, werden die weiteren noch zur Verfügung stehenden Optionen angezeigt: Anmerkung: Durch Drücken von „« gelangen Sie zu den ersten Optionen des Menüs MTH zurück.
Um z. B. dieselbe Funktion tanh(2,5) im ALG-Modus über CHOOSE boxes zu berechnen, wenn SOFT-Menü aktiviert ist, gehen Sie wie folgt vor: „´ @@HYP@ @@TANH@ 2.5` Wählen Sie das MTH-Menü Wählen Sie das Menü HYPERBOLIC.. Wählen Sie die Funktion TANH Berechnen von tanh(2,5) Denselben Wert errechnen Sie im RPN-Modus über nachfolgende Tastenfolge: 2.5` „´ @@HYP@ @@TANH@ Geben Sie das Argument in den Stack ein Wählen Sie das MTH-Menü Wählen Sie das Menü HYPERBOLIC..
Option 19., MATH, versetzt den Anwender zurück ins MTH-Menü. Die übrigen Funktionen sind in sechs verschiedene Gruppen zusammengefasst und werden nachfolgend beschrieben. Wenn das Systemflag 117 auf SOFT-Menüs gesetzt ist, werden die Funktionen REAL im ALG-Modus wie folgt dargestellt (der verwendete Modus ist der ALG-Modus, dieselben Funktionstasten stehen jedoch auch im RPNModus zur Verfügung): Die letzte Funktion, )@@MTH@, versetzt den Anwender zurück in das Menü MTH.
3 @@OK@@ 15 ‚í 45 ` Wählen Sie die 5, Funktion %T . Geben Sie das erste Argument ein. Geben Sie ein Komma ein, um die Argumente voneinander zu trennen. Geben Sie das zweite Argument ein. Berechnen Sie die Funktion. Nachfolgend das Ergebnis: Im RPN-Modus befindet sich Argument y in der zweiten Stack-Ebene, während sich Argument x in der ersten Stack-Ebene befindet. Dies bedeutet, dass Sie x vor y nur im ALG-Modus eingeben sollten.
Als Beispiel überprüfen Sie, ob MIN(-2,2) = -2 und MAX(-2,2) = 2 ist. Modulo: MOD: y mod x = Rest von y/x, d. h., wenn x und y Integer-Zahlen sind, y/x = d + r/x, wobei d = Quotient und r = Rest darstellt, im diesem Fall r = y mod x. Beachten Sie, dass MOD keine Funktion darstellt, sondern vielmehr einen Operator, d. h., dass im ALG Modus MOD als y MOD x und nicht als MOD(y,x) verwendet werden sollte. Somit ist die Vorgehensweise bei MOD ähnlich wie bei den Operatoren +, -, *, /.
R→D (x) : konvertiert Radiane in Grade. Als Übung überprüfen Sie, ob D R(45) = 0,78539 (d. h., 45o = 0,78539rad), R D(1,5) = 85,943669.. (d. h., 1,5rad = 85,943669..o) ist. Sonderfunktionen Option 11. Special functions… (Sonderfunktionen) im MTH-Menü beinhaltet folgende Funktionen: GAMMA: PSI: Psi: Die Gammafunktion Γ(α) N-te Ableitung der Digamma-Funktion Digamma-Funktion, Ableitung des In (Gamma) Die Gamma-Funktion wird wie folgt definiert Γ(α ) = ∫ ∞ 0 x α −1e − x dx .
Die Funktion PSI, Ψ(x,y) stellt die y-te Ableitung der Gamma-Funktion dar, d. h. Ψ ( n, x) = dn ψ ( x) , wobei ψ(x) als die Digamma-Funktion oder Psidx n Funktion bekannt ist. Für diese Funktion muss y eine positive Integer-Zahl sein. Die Funktion Psi, ψ(x) oder Digamma-Funktion, wird als ψ ( x ) = ln[Γ( x)] definiert. Beispiele dieser Sonderfunktionen werden sowohl im ALG- wie auch im PRNModus gezeigt. Als Beispiel überprüfen Sie, ob GAMMA(2,3) = 1,166711…, PSI(1,5,3) = 1,40909.
Die Konstanten werden wie folgt aufgelistet: Durch Auswahl einer dieser Einträge wird der ausgewählte Wert, entweder ein Symbol ( z. B. e, i, π, MINR, oder MAXR) oder ein Wert (2,71.., (0,1), 3,14.., 1E-499, 9,99..E499), in den Stack ausgegeben. Beachten Sie, dass e über die Tastatur als exp(1) zur Verfügung steht, d. h. „¸1` im ALG-Modus oder 1` „¸ im RPN-Modus. Auch π ist direkt über die Tastatur verfügbar als „ì. Schließlich ist auch i über die Tastatur verfügbar (über die Taste „¥).
Option 1. Tools.. enthält Funktionen, welche sich auf Einheiten beziehen (zu einem späteren Zeitpunkt diskutiert). Optionen 3. Length.. bis 17.Viscosity.. enthalten Menüs mit einer Reihe von Einheiten für jede der beschriebenen Mengen. Wenn Sie z. B. das Menü 8. Force.. (Kraft) auswählen, erhalten Sie das folgende Menü mit Einheiten: So wird der Benutzer die meisten der Einheiten (einige davon, wie z. B.
Wenn Sie die entsprechende Funktionstaste drücken, wird ein Untermenü mit Einheiten zu dieser Auswahl angezeigt. So z. B. stehen für das Untermenü @)SPEED folgende Einheiten zur Verfügung: Durch erneutes Drücken der Funktionstaste @)UNITS gelangen Sie zum UNITSMenü zurück. Beachten Sie, dass Sie jederzeit die vollständige Liste der Menüeinträge durch Drücken der Tastenfolge ‚˜ anzeigen können. Es werden z. B.
englische Meile), chain (Kette), rd (Rute), fath (Kubikfuß), ftUS (Vermessungsfuß), Mil (Mil), µ (Mikron), Å (Angström), fermi (Fermi) AREA (FÄCHE) m^2 (Quadratmeter), cm^2 (Quadratzentimeter), b (Barn – Maßeinheit des Wirkungsquerschnittes), yd^2 (Quadratyard), ft^2 (Quadratfuß), in^2 (Quadratzoll), km^2 (Quadratkilometer), ha (Hektar), a (Are), mi^2 (Quadratmeile), miUS^2 (gesetzliche englische Quadratmeile), acre (Acre) VOLUME (VOLUMEN) m^3 (Kubikmeter), st (Ster), cm^3 (Kubikzentimeter), yd^3 (Kubikyard
ENERGY (ENERGIE) J (Joule), erg (Erg), Kcal (Kilokalorie), Cal (Kalorie), Btu (englische Kalorie Wärmemenge), ft×lbf (Foot-Pound), therm (EEC (GB) Wärmeeinheit zur Lieferung von Stadtgas), MeV (Megaelektronen Volt), eV (Elektronenvolt) POWER (KRAFT) W (Watt), hp (Pferdestärke) PRESSURE (DRUCK) Pa (Pascal), atm (Atmosphäre), bar (bar), psi (Pfund pro Quadratzoll), torr (Torr), mmHg (Millimeter Quecksilbersäule), inHg (Zoll Quecksilbersäule), inH20 (Zoll Wassersäule) TEMPERATUR o C (Grad Celsius), o F (Grad F
Nicht aufgelistete Einheiten im UNITS-Menü, die dennoch im Taschenrechner vorhanden sind: gmol (Gramm-Mol), lbmol (Pound-Mol), rpm (Umdrehungen pro Minute), dB (Dezibel). Diese Maßeinheiten erreicht man über das Menü 117.02, welches im ALG-Modus über MENU (117.02) oder im RPN-Modus unter MENU 117.02 ` gestartet wird.
Als Ergebnis erhalten Sie die folgende Anzeige (d. h. 1 Poise = 0,1 kg/(m⋅s)): Im RPN-Modus, wobei Systemflag 117 auf CHOOSE boxes gesetzt ist: 1 Tragen Sie 1 (kein Unterstrich) ein. ‚Û Wählen Sie das Menü UNITS. — @@OK@@ Wählen Sie die Option VISCOSITY. @@OK@@ Wählen Sie die Einheit P (Poise.) ‚Û Wählen Sie das Menü UNITS. @@OK@@ Wählen Sie das Menü TOOLS. ˜ @@OK@@ Wählen Sie die Funktion UBASEIm ALG-Modus. Systemflag 117 ist auf SOFT-Menüs gesetzt. ‚Û Wählen Sie das Menü UNITS.
Einheiten den Zahlen zuordnen Um eine Einheit einer Zahl zuzuordnen, muss ein Unterstrich an diese Zahl angehängt werden (‚Ý, Taste(8,5)). So wird die Kraft von 5 N als 5_N eingegeben. Nachfolgend die Tastenfolge, die im ALG-Modus, mit auf CHOOSE boxes gesetztem Systemflag 117, eingegeben werden muss: 5 ‚Ý Tragen Sie die Zahl und den Unterstrich ein. ‚Û Begeben Sie sich in das Menü UNITS. 8 @@OK@@ Wählen Sie die Krafteinheiten (8. Force..). @@OK@@ Wählen Sie Newton (N).
Wie zuvor angedeutet, wird, wenn das Systemflag 117 auf SOFT-Menüs steht, das Menü UNITS als Bezeichnung für die Funktionstasten angezeigt. Diese Einstellung erweist sich für umfassende Berechnungen als äußerst praktisch. Nachfolgend die Tastenfolge zur Eingabe von Einheiten mit ausgewählter Option SOFT-Menü im ALG- und im PRN Modus: Um im ALG-Modus den Ausdruck 5_N einzugeben, verwenden Sie die Tastenfolge: 5 ‚Ý ‚Û L @)@FORCE @ @@N@@ ` Tragen Sie die Zahl und den Unterstrich ein.
Z Zetta +21 c Centi -2 E Exa +18 m Milli -3 P Peta +15 µ Micro -6 T Terra +12 n Nano -9 G Giga +9 p Pico -12 M Mega +6 f Femto -15 k,K Kilo +3 a Atto -18 h,H Hekto +2 z Zepto -21 D(*) Deka +1 y Yocto -24 _____________________________________________________ (*) Im SI-System wird höchstwahrscheinlich dieses Vorzeichen (da) anstelle von D stehen. Verwenden Sie dennoch das D für Deka im Taschenrechner. Um diese Vorzeichen einzugeben, tippen Sie einfach das Vorzeichen über die ~-Tastatur ein. Um z. B.
Um z. B. das Produkt 12,5m × 5,2 yd einzugeben, muss Ihre Eingabe wie folgt aussehen (12,5_m)*(5,2_yd) `: , welche dann als 65_(m⋅yd) angezeigt wird. Verwenden Sie die Funktion UBASE, um in die Einheiten des SI-Systems zu konvertieren: Anmerkung: Beachten Sie zu jedem Zeitpunkt, dass die Variable ANS(1) über die Tastenkombination „î(der Taste ` zugeordnet) aufgerufen werden kann. Um eine Division durchzuführen, z. B.
Kompliziertere Ausdrücke hingegen benötigen Klammern, z. B. wie folgt: (12_mm)*(1_cm^2)/(2_s) `: Bei Stack-Berechnungen im PRN-Modus werden keine Klammern bei der Eingabe unterschiedlicher Ausdrücke benötigt, z. B.
Anmerkung: In Ausdrücke des EquationWriters dürfen keine Einheiten eingegeben werden. Werkzeuge zur Manipulation von Einheiten Das Menü UNITS enthält ein Untermenü TOOLS, welches folgende Funktionen zur Verfügung stellt: CONVERT(x,y): konvertiert Objekteinheit x in Einheiten des Objektes y. UBASE(x): konvertiert Objekteinheit x in SI-Einheiten. UVAL(x): extrahiert den Wert aus Objekteinheit x UFACT(x,y): multipliziert eine Einheit y aus der Objekteinheit x.
UVAL-Beispiele: UVAL(25_ft/s) ` UVAL(0.
Physikalische Konstanten im Taschenrechner Analog zu der Behandlung von Einheiten erörtern wir ebenfalls die im Taschenrechner zur Verfügung stehenden physikalischen Konstanten. Die physikalischen Konstanten des Taschenrechners befinden sich in einer constants library (Konstantenbibliothek), welche mit dem Befehl CONLIB aufgerufen werden kann.
Die dieser Anzeige zugeordneten Funktionstasten der CONSTANTS LIBRARY enthalten folgende Funktionen: SI wenn ausgewählt, werden die Werte der Konstanten in SIEinheiten angezeigt. ENGL wenn ausgewählt, werden die Werte der Konstanten in Englischen-Einheiten angezeigt (*). UNIT wenn ausgewählt, werden die Konstanten zusammen mit den ihnen zugeordneten Einheiten ausgegeben (*). VALUE wenn ausgewählt, werden die Konstanten ohne Einheiten ausgegeben. STK kopiert den Wert (mit oder ohne Einheiten) in den Stack.
Schalten Sie die UNITS-Option aus (deselektieren Sie sie durch Drücken der Taste @UNITS ), werden lediglich die Werte angezeigt (in diesem Fall wurden englische Einheiten ausgewählt): Um den Wert Vm in den Stack zu kopieren, wählen Sie einen Variablen-Namen und drücken Sie erst die Taste !²STK, dann @QUIT@. Ist der Taschenrechner auf ALG-Modus eingestellt, wird die Anzeige wie folgt dargestellt: Die Anzeige zeigt einen so genannten tagged value (gekennzeichneten Wert) Vm:359,0394.
Die Funktionen schließen ein: ZFACTOR: Gaskompressibilität-Funktion Z Faktor FANNING: Widerstandsfaktor der Strömungsauffächerung DARCY: Darcy-Weisbach Widerstandsfaktor der Strömungsauffächerung F0λ: Ausströmende Kraftfunktion Schwarzer Körper (Planckscher Strahler) SIDENS: innere Dichte Silizium TDELTA: Delta-Funktion Temperatur Auf der zweiten Seite dieses Menüs (drücken Sie L) finden Sie nachfolgende Elemente: Auf dieser Menüseite befinden sich eine Funktion (TINC) und eine Anzahl Maßeinheiten, die in
kritischen Temperatur ist und yP der verringerte Druck, d. h. das Verhältnis des eigentlichen Drucks zum pseudo-kritischen Druck darstellt. Der Wert von xT muss zwischen 1,05 und 3,0 liegen, während der Wert von yP zwischen 0 und 30 liegen muss. Beispiel im ALG-Modus: Funktion F0λ Die Funktion F0λ (T, λ) berechnet den Bruch (dimensionslos) der gesamten ausströmenden Kraft der schwarzen Körper bei einer Temperatur T zwischen den Wellenlängen 0 und λ.
Der Zweck dieser Funktion besteht darin, eine Temperaturdifferenzberechnung bei unterschiedlichen Maßeinheiten der Temperatur zu vereinfachen. Andernfalls wird einfach nur die jeweilige Differenz der Zahlen berechnet. z. B. Funktion TINC Die Funktion TINC(T0,∆T) berechnet T0+DT. Diese Funktion ist TDELTA insofern ähnlich, als das Ergebnis in der Maßeinheit T0 ausgegeben wird. Andernfalls ist das Ergebnis eine einfache Addition dieser Werte, wie z. B.
‚¹~„x+1™+„¸~„x` Die Anzeige wird wie folgt dargestellt: Drücken Sie die Taste J. Sie werden feststellen, dass sich eine neue Variable in Ihrer Funktionstaste (@@@H@@) befindet. Um den Inhalt dieser Variablen anzuzeigen, drücken Sie ‚@@@H@@.
Im RPN-Modus müssen Sie zuerst das Argument eingeben und dann die Funktionstaste, welche der Variablen mit dem Namen @@@H@@@ entspricht, drücken, bevor die Funktion gestartet wird. Sie könnten z. B. Folgendes ausprobieren: 2`@@@H@@@ . Die weiteren oben aufgeführten Beispiele können wie folgt eingegeben werden: 1.2`@@@H@@@ , 2/3`@@@H@@@ . Funktionen können jedoch auch über mehr als zwei Argumente verfügen. So zeigt z. B.
Die Funktion IFTE Die IFTE-Funktion wird als IFTE (condition, operation_if_true, operation_if_false) geschrieben. Wenn die Bedingung wahr ist, wird die Bedingung-wenn-wahr ausgeführt, andernfalls Bedingung-wenn-falsch. So können wir z. B., um die obige Funktion zu beschreiben, ‘f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’ schreiben. Die Funktion IFTE befindet sich im Befehle-Katalog (‚N). Das Symbol ‘>’ (größer als) ist vorhanden als (der Taste Y zugeordnet).
, können Sie unterschiedliche Stufen der Funktion IFTE kombinieren, d. h.: ‘g(x) = IFTE(x<-2, -x, IFTE(x<0, x+1, IFTE(x<2, x-1, x^2)))’, Definieren Sie die Funktion über eine der oben vorgestellten Möglichkeiten, und überprüfen Sie, ob g(-3) = 3, g(-1) = 0, g(1) = 0, g(3) = 9 ergibt.
Kapitel 4 Berechnungen mit komplexen Zahlen In diesem Kapitel finden Sie Beispiele von Berechnungen und Anwendungen von Funktionen mit komplexen Zahlen. Definitionen Eine komplexe Zahl z ist eine als z = x + iy geschriebene Zahl, wobei x und y reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit, definiert durch i2 = -1 darstellt. Die Zahl x+iy hat einen reellen Teil x = Re(z) und einen imaginären Teil y = Im(z).
Drücken Sie @@OK@@ zweimal, um zum Stack zurückzukehren. Eingabe von komplexen Zahlen Komplexe Zahlen können in eine der beiden Kartesischen Darstellungsweisen in den Taschenrechner eingegeben werden, entweder x+iy oder (x,y). Die Ergebnisse im Taschenrechner werden im Format geordneter Paare, d. h. als (x,y) angezeigt. Im ALG-Modus z. B. wird die komplexe Zahl (3,5,-1.2) wie folgt eingegeben: „Ü3.5‚í\1.2` Eine komplexe Zahl kann jedoch auch als x+iy eingegeben werden.
(Beachten Sie auch, dass Sie im RPN-Modus einen Apostroph vor der Zahl 3,5-1,2i eingeben müssen.) Im RPN-Modus sieht die Anzeige wie folgt aus: Beachten Sie, dass die letzte Eingabe eine komplexe Zahl im Format x+iy ist, weil die Zahl zwischen Apostrophe eingegeben wurde, und somit einen algebraischen Ausdruck darstellt. Verwenden Sie die Taste EVAL (µ), um diese Zahl zu berechnen. Sobald der algebraische Ausdruck berechnet wurde, stellen Sie die komplexe Zahl wieder her (3,5,1,2).
geordnetes Paar erfolgen, das wie folgt aussieht (r, ∠θ). Das Winkelsymbol (∠) kann als ~‚6 eingegeben werden. So kann z. B. die komplexe Zahl z = 5,2e1.5i wie folgt eingegeben werden (die Zahlen stellen den RPNStack vor und nach Eingabe der Zahl dar): Da das Koordinatensystem auf rechtwinklige (oder Kartesische) Darstellung eingestellt ist, konvertiert der Taschenrechner die eingegebene Zahl in Kartesische Koordinaten, d. h. x = r cos θ, y = r sin θ, in diesem Fall (0,3678…, 5,18…).
dem reellen Teil 9 und dem imaginären Teil 2 darstellt. Versuchen Sie nachfolgende Berechnungen selbst: (5-2i) - (3+4i) = (2,-6) (3-i) (2-4i) = (2,-14) (5-2i)/(3+4i) = (0.28,-1.04) 1/(3+4i) = (0.12, -0.16) Anmerkungen: Das Produkt zweier Zahlen wird wie nachfolgend dargestellt: (x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2 - y1y2) + i (x1y2 + x2y1). Die Division zweier komplexer Zahlen wird erreicht, wenn man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners multipliziert, d. h.
Beachten Sie dabei, dass die Zahl i als geordnetes Zahlenpaar (0,1) eingegeben wird, wenn das CAS im APPROX-Modus steht. Im EXACT-Modus wir die Zahl des Typs imaginäre Einheit als i eingegeben. Weitere Operationen Operationen wie Magnitude, Argumente, reelle und imaginäre Teile, aber auch konjugiert komplexe Zahlen werden weiter unten innerhalb des Menüs CMPLX im Detail erläutert. Die CMPLX-Menüs Im Taschenrechner stehen zwei CMPLX (CoMPLeX – komplex) Menüs zur Verfügung.
R→C(x,y) : Bildet die komplexe Zahl (x,y) aus den reellen Zahlen x und y ABS(z) : Berechnet die Magnitude einer komplexen Zahl oder den absoluten Wert einer reellen Zahl. ARG(z) : Berechnet das Argument einer komplexen Zahl. Die noch verbleibenden Optionen (Optionen 7 bis 10) sind nachfolgende: SIGN(z) : Berechnet eine komplexe Zahl der Einheit Magnitude als z/|z|.
Funktion ARG, das einen Winkel darstellt, wird in den zuletzt ausgewählten Winkeleinheiten ausgegeben. In unserem Beispiel wird ARG(3.+5. i) = 1,0303… in Radian ausgegeben. In der nächsten Abbildung stellen wir Beispiele zu den Funktionen SIGN, NEG (welche als das negative Zeichen – angezeigt wird) und CONJ dar. Das CMPLX-Menü auf der Tastatur Ein zweites CMPLX-Menü kann über die Tastatur aufgerufen werden, indem Sie die rechte Shift-Taste, der Taste 1 zugeordnet, d. h. ‚ß eingeben.
Das tastaturbasierte CMPLX-Menü ist eine Alternative zum MTH-basierten CMPLX-Menü, in dem Grundfunktionen für komplexe Zahlen enthalten sind. Nehmen Sie die zuvor gezeigten Beispiele unter Verwendung des tastaturbezogenen CMPLX-Menüs als Übung. Auf komplexe Zahlen angewandte Funktionen Viele der tastaturbasierten Funktionen für reelle Zahlen in Kapitel 3, z. B. SQ, LN, ex, LOG, 10X, SIN, COS, TAN, ASIN, ACOS oder ATAN können auch auf komplexe Zahlen angewendet werden.
wie auf reelle auch auf komplexe Zahlen angewendet werden. Nachfolgend einige Beispiele: Die nachfolgende Anzeige zeigt, dass die Funktionen EXPM und LNP1 auf komplexe Zahlen nicht angewandt werden können.
Kapitel 5 Algebraische und arithmetische Operationen Ein algebraisches Objekt (auch als Algebraik bezeichnet) kann eine beliebige Zahl, Variable oder algebraischer Ausdruck sein, der nach den Regeln der Algebra berechnet, manipuliert oder kombiniert werden kann. Beispiele von algebraischen Objekten sind: • • • • Eine Zahl: Der Name einer Ein Ausdruck: Eine Gleichung: 12,3, 15,2_m, ‘π’, ‘e’, ‘i’ Variablen: ‘a’, ‘ux’, ‘width’ usw.
Nachdem Sie das Objekt erzeugt haben, drücken Sie, um es im Stack anzuzeigen (nachfolgend im ALG- und RPN-Modus angezeigt): Einfache Operationen mit algebraischen Objekten Algebraische Objekte können genau wie jede reelle oder komplexe Zahl addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert (ausgenommen durch Null), potenziert sowie als Argumente für eine Reihe von Standardfunktionen (exponential, logarithmisch, trigonometrisch, hyperbolisch usw.) verwendet werden.
Im ALG-Modus zeigen folgende Tastenanschläge eine Anzahl von Operationen mit algebraischen Zahlen, die in den Variablen @@A1@@ und @@A2@@ enthalten sind (drücken Sie J, um zum Variablen-Menü zurückzukehren): @@A1@@ + @@A2@@ ` @@A1@@ - @@A2@@ ` @@A1@@ * @@A2@@ ` @@A1@@ / @@A2@@ ` ‚¹@@A1@@ „¸@@A2@@ Zum gleichen Ergebnis kommen Sie, wenn Sie im RPN-Modus die folgenden Tastenfolgen verwenden: @@A1@@ ` @@A2@@ + @@A1@@ ` @@A2@@ * @@A1@@ ` ‚¹ @@A1@@ `@@A2@@ @@A1@@ `@@A2@@ / @@A2@@ `„¸ Funktionen im Menü AL
Wir möchten hier keine Beschreibung jeder einzelnen Funktion bringen, sondern den Anwender darauf hinweisen, dass er sie in der Hilfefunktion des Taschenrechners anzeigen lassen kann: I L @)HELP@ ` . Um eine bestimmte Funktion auszuwählen, geben Sie den ersten Buchstaben der Funktion ein. So z. B. geben Sie für die Funktion COLLECT ~c ein und verwenden anschließend die Pfeiltasten —˜, um im Hilfefenster zu COLLECT zu wechseln. Um den Vorgang abzuschließen, drücken Sie @@OK@@..
Die Hilfefunktion gibt nicht nur Informationen über die einzelnen Befehle, sondern auch ein Anwendungsbeispiel. Dieses Beispiel kann durch Drücken der Funktionstaste @ECHO! in Ihren Stack kopiert werden. Um z. B. für den obigen Eintrag zu EXPAND, das Beispiel in den Stack zu kopieren, drücken Sie die Funktionstaste @ECHO! (drücken Sie `, um den Befehl auszuführen): Nun überlassen wir es dem Benutzer, die Anwendung dieser Funktionen im ALG (oder ALGB) -Menü selbst zu ergründen.
SOLVE: SUBST: TEXPAND: Anmerkung: im PRN-Modus muss das jeweilige Argument der Funktion vorangestellt werden, erst dann wird die Funktion selbst ausgewählt. So z. B. müssen Sie für TEXPAND im RPN-Modus, wie folgt vorgehen: ³„¸+~x+~y` Wählen Sie an dieser Stelle die Funktion TEXPAND aus dem Menü ALG (oder direkt aus dem Katalog ‚N), um die Operation abzuschließen.
einzugeben ist, (der ersetzte Wert, x=2, muss zwischen zwei Klammern stehen) bevor Sie die Taste ` betätigen. Nachdem die Taste ` gedrückt wurde, wird das Ergebnis in der rechten Abbildung angezeigt: Im RPN-Modus wird dies erreicht, indem Sie zuerst den Ausdruck, in dem der Austausch stattfinden soll (x+x2), gefolgt von einer Liste (siehe Kapitel 8) mit den zu ersetzenden Variablen, einem Leerzeichen und dem Wert, der ausgetauscht werden soll, d. h. {x 2}, eingeben.
Ein anderen Ansatz für den Austausch ist, die im Taschenrechner zu ersetzenden Ausdrücke als Variable zu definieren und die Namen der Variablen in den ursprünglichen Ausdruck einzufügen. Im ALG-Modus speichern Sie z. B. folgende Variablen: Geben Sie anschließend den Ausdruck A+B ein: Der zuletzt eingefügte Ausdruck wird nach Drücken der Taste ` automatisch ausgewertet und bringt das oben gezeigte Ergebnis.
Logarithmus-Funktionen zu ersetzen. In den folgenden Abschnitten werden diese Menüs im Detail vorgestellt. Erweitern und Zusammenfassen mithilfe der log-exp-Funktionen Mit „Ð erhalten Sie das folgendes Menü: Informationen und Beispiele zu diesen Befehlen erhalten Sie über die Hilfefunktion des Taschenrechners. Einige der Befehle aus dem Menü EXP&LN, d. h. LIN, LNCOLLECT und TEXPAND befinden auch im ALG-Menü, welches vorher vorgestellt wurde.
Mithilfe dieser Funktionen können Ausdrücke durch Ersetzen einer bestimmten trigonometrischen Kategorie durch eine andere vereinfacht werden. So z. B. erlaubt die Funktion ACOS2S das Ersetzen der Funktion arccosine (acos(x)) durch deren Ausdruck arcsine (asin(x)). Eine Beschreibung dieser Befehle und Beispiele und ihrer Anwendung finden Sie über die Hilfefunktion des Taschenrechners (IL@HELP). Der Anwender wird dazu aufgefordert, diese Hilfe nach Informationen zu den Befehlen im Menü TRIG zu durchsuchen.
MODULO and 4. PERMUTATION) sind eigentlich Untermenüs von Funktionen, welche bestimmten mathematischen Objekten zugeordnet sind. Der Unterschied zwischen den Untermenüs (Optionen 1 bis 4) und reinen Funktionen (Optionen 5 bis 9) wird klar, wenn das Systemflag 117 auf SOFTMenüs gesetzt ist.
Menü INTEGER EULER IABCUV IBERNOULLI ICHINREM IDIV2 IEGCD IQUOT IREMAINDER ISPRIME? NEXTPRIME PA2B2 PREVPRIME Integer-Zahlen < n, die koprim/teilerfremd mit n sind Löst au + bv = c, wobei a, b, c = Integer-Zahlen sind n-te Bernoulli Zahl Chinesischer Restesatz für Integer-Zahlen Euklidische Division von zwei Integer-Werten Gibt als Ergebnis u, v, sodass au + bv = gcd(a,b) Euklidischer Quotient zweier Integer-Werte Euklidischer Algorithmus für zwei Integer-Werte mit Rest Überprüft, ob eine Integer-Zahl eine
PTAYL QUOT RESULTANT REMAINDER STURM STURMAB Gibt Q(x-a) in Q(x-a) = P(x) zurück, Taylor Polynom Euklidischer Quotient zweier Polynome Determinante der Sylvester-Matrix zweier Polynome Euklidischer Restesatz zweier Polynome Sturm-Kette eines Polynoms Zeichen an unterer Grenze und Anzahl der Nullen zwischen den Grenzen Menü MODULO ADDTMOD DIVMOD DIV2MOD EXPANDMOD FACTORMOD GCDMOD GCD INVMOD MOD MODSTO MULTMOD POWMOD SUBTMOD Addition zweier Ausdrücke, Modulo aktuelles Modul Division zweier Polynome, Modulo
werden unabhängig von den Einstellungen des Taschenrechners (ALG oder RPN) vorgestellt. Modulare Arithmetik Nehmen wir ein Zahlensystem bestehend aus Integer-Zahlen, welche periodisch auf sich selbst zurückgehen und neu starten, wie die Stunden einer Uhr. Ein solches Zählsystem wird als Ring bezeichnet. Da die in einem Ring verwendete Anzahl von Integer-Werten begrenzt ist, wird die Arithmetik in diesem Ring als endliche Arithmetik bezeichnet.
Modul 12-Arithmetik wäre 10-5 ≡ 5 (mod 12); 6-9 ≡ 9 (mod 12); 5 – 8 ≡ 9 (mod 12); 5 –10 ≡ 7 (mod 12) usw. Die Multiplikation erfolgt nach der Regel, dass wenn j⋅k > n, wobei j⋅k = m⋅n + r, wobei m und r positive Integer-Zahlen kleiner als n darstellen, dann ist j⋅k ≡ r (mod n). Das Produkt von j mal k in Modul n-Arithmetik ist im Grunde genommen der Ganzzahlrest von j⋅k/n in der unendlichen Arithmetik, wenn j⋅k>n. So gilt z. B. in Modul 12-Arithmetik 7⋅3 = 21 = 12 + 9, (oder 7⋅3/12 = 21/12 = 1 + 9/12, d. h.
a×c ≡ b×d (mod n). Für die Division befolgen Sie die zuvor beschriebenen Regeln. Z. B. ist 17 ≡ 5 (mod 6) und 21 ≡ 3 (mod 6).
EXPANDMOD, FACTORMOD, GCDMOD, INVMOD, MOD, MODSTO, MULTMOD, POWMOD und SUBTMOD. Eine kurze Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in dem entsprechenden Abschnitt oben. Zunächst stellen wir die Anwendung dieser Funktionen vor. Einstellung des Moduls (oder MODULO) Im Taschenrechner befindet sich eine Variable mit dem Namen MODULO , welche sich im Verzeichnis {HOME CASDIR} befindet und in welcher die Magnitude für modulare arithmetische Anwendungen gespeichert ist. Der Standartwert für MODULO lautet 13.
DIVMOD-Beispiele 12/3 ≡ 4 (mod 12) 25/5 ≡ 5 (mod 12) 66/6 ≡ -1 (mod 12) 12/8 (mod 12) gibt es nicht 64/13 ≡ 4 (mod 12) DIV2MOD-Beispiele 2/3 (mod 12) gibt es nicht 26/12 (mod 12) gibt es nicht 125/17 (mod 12) ≡ 1 mit Restwert = 0 68/7 ≡ -4 (mod 12) mit Restwert = 0 7/5 ≡ -1 (mod 12) mit Restwert = 0 Anmerkung: DIVMOD ermittelt den Quotienten der modularen Division j/k (mod n), während DIMV2MOD nicht nur den Quotienten, sondern auch den Restwert der modularen Division j/k (mod n) ermittelt.
erhält man mit der Funktion INVMOD in MODULO im Untermenü des Menüs ARITHMETIC. In Modul 12-Arithmetik z. B.: 1/6 (mod 12) gibt es nicht 1/7 ≡ -5 (mod 12) 1/11 ≡ -1 (mod 12) 1/5 ≡ 5 (mod 12) 1/3 (mod 12) gibt es nicht Der MOD-Operator Der MOD-Operator wird zur Ermittlung der Ringzahl, eines gegebenen Moduls, entsprechend einer gegebenen Integer-Zahl, verwendet. Auf Papier wird diese Operation als m mod n = p geschrieben und wir "m Modul von n ist gleich p" gelesen. So z. B.
Polynome Polynome sind algebraische Ausdrücke, die aus einem oder mehreren Gliedern, welche abfallende Potenzen einer gegebenen Variable enthalten, bestehen. So ist z. B. der Ausdruck ‘X^3+2*X^2-3*X+2’ ein Polynom dritten Grades der Variablen X, während ‘SIN(X)^2-2’ ein Polynome zweiten Grades in SIN(X) darstellt. Eine Aufzählung von Funktionen zu Polynomen im Menü ARITHMETIC wurde vorhin dargestellt. Als Nächstes finden Sie einige allgemeine Definitionen zu Polynomen.
Die Funktion CHINREM CHINREM steht für CHINese REMainder (Chinesischer Restesatz). Die in diesem Befehl kodierte Operation löst ein System von Kongruenten unter Anwendung des Chinesischen Restesatz-Theorems . Dieser Befehl kann mit Polynomen (wie auch mit Integer-Zahlen, Funktion ICHINREM) verwendet werden. Die Eingabe besteht aus zwei Vektoren [expression_1, modulo_1] und [expression_2, modulo_2].
Polynome oder aller Listen der Polynome darstellt. Es folgen Beispiele im RPNModus (Taschenrechner steht im Exact Modus): ‘X^3-1’`’X^2-1’`GCD ergibt: ‘X-1’ {‘X^2+2*X+1’,’X^3+X^2’} ` {‘X^3+1’,’X^2+1’} ` GCD ergibt {‘X+1’ 1} Die Funktion HERMITE Die Funktion HERMITE [HERMI] verwendet als Argument eine Integer-Zahl, k und gibt das Hermite-Polynom k-ten Grades zurück. Ein Hermite-Polynom, Hek(x) wird definiert als He0 = 1, Hen ( x) = (−1) n e x 2 /2 d n −x2 / 2 (e ), n = 1,2,...
3*X+1’,2) = {‘X^2+4*X+5’, 2, 11}. Wir könnten somit schreiben, dass X3+2X2-3X+1 = (X2+4X+5)(X-2)+11. Ein weiteres Beispiel: HORNER(‘X^6-1’,5)= {’X^5-5*X^4+25*X^3-125*X^2+625*X-3125’,-5, 15624} d. h., X65 4 3 2 1 = (X -5*X +25X -125X +625X-3125)(X+5)+15624. Die Variable VX Im Verzeichnis {HOME CASDIR} gibt es eine Variable mit dem Namen VX , welche standardmäßig den Wert 'X' annimmt. Dies ist der Name der bevorzugten unabhängigen Variablen für algebraische und Infinitesimalrechnungsanwendungen.
1,991666666667*X-12,92265625)’. Anmerkung: Matrizen werden in Kapitel 10 eingeführt. Die Funktion LCM Die Funktion LCM (Least Common Multiple – kleinstes gemeinsames Vielfaches) berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Polynome oder Listen von Polynomen der gleichen Länge. Beispiele: LCM(‘2*X^2+4*X+2’ ,‘X^2-1’ ) = ‘(2*X^2+4*X+2)*(X-1)’.
Die Funktion PTAYL Wenn wir ein Polynom P(X) und eine Zahl a haben, ergibt die Funktion PTAYL einen Ausdruck Q(X-a) = P(X), d. h. es erzeugt ein Polynom als Potenz von (Xa). Dies ist auch als Taylor-Polynom bekannt, von welchem auch der Name der Funktion abgeleitet wurde, Polynom & TAYLor, folgen. So z. B. ergibt PTAYL(‘X^3-2*X+2’,2) = ‘X^3+6*X^2+10*X+6’. Eigentlich sollten Sie dieses Ergebnis so interpretieren ‘(X-2) ^3+6*(X-2) ^2+10*(X-2) +6’.
ändern. Wird die Funktion EPSX0 auf ein Polynom angewendet, werden alle Koeffizienten, deren absoluter Wert kleiner als EPS ist, mit Null ersetzt. Die Funktion EPSX0 ist im ARITHMETIC-Menü nicht enthalten, sondern kann nur über die Funktion catalog (N) gestartet werden. Beispiel: EPSX0(‘X^3-1,2E-12*X^2+1,2E-6*X+6,2E-11)= ‘X^3-0*X^2+,0000012*X+0’. Mit µ: ‘X^3+,0000012*X’.
EXPAND(‘X*(X+Y)/(X^2-1)’) = ‘(X^2+Y*X)/(X^2-1)’ EXPAND(‘4+2*(X-1)+3/((X-2)*(X+3))-5/X^2’) = ‘(2*X^5+4*X^4-10*X^3-14*X^2-5*X)/(X^4+X^3-6*X^2)’ FACTOR(‘(3*X^3-2*X^2)/(X^2-5*X+6)’) = ‘X^2*(3*X-2)/((X-2)*(X-3))’ FACTOR(‘(X^3-9*X)/(X^2-5*X+6)’ ) = ‘X*(X+3)/(X-2)’ FACTOR(‘(X^2-1)/(X^3*Y-Y)’) = ‘(X+1)/((X^2+X+1)*Y)’ Die Funktion SIMP2 Die Funktionen SIMP2 und PROPFRAC werden zur Vereinfachung von Brüchen bzw. Erzeugung eines reinen Bruches verwendet.
Wenn Sie den Complex-Modus aktiviert haben, sieht das Ergebnis wie folgt aus: ‘2*X+(1/2/(X+i)+1/2/(X-2)+5/(X-5)+1/2/X+1/2/(X-i))’ Die Funktion FCOEF Die Funktion FCOEF erzeugt einen rationellen Bruch, wenn die Wurzeln und Pole des Bruches bekannt sind. Anmerkung: Wenn wir einen rationellen Bruch F(X) = N(X)/D(X) haben, können die Wurzeln dieses Bruches mit der Gleichung N(X) = 0 und die Pole über D(X) = 0 berechnet werden.
Ein weiteres Beispiel lautet: FROOTS(‘(X^2-5*X+6)/(X^5-X^2)’)= [0 –2,1 –1,3 1,2 1]., d. h., Pole = 0 (2), 1(1) und Wurzeln = 3(1), 2(1). Befinden Sie sich im Complex-Modus, sieht ihr Ergebnis wie folgt aus: [0 –2,1 –1 ‘((1+i*√3) /2’ –1. ‘-((1-i*√3)/2’ –1.]. Step-by-Step Operationen mit Polynomen und Brüchen Stellen Sie das CAS auf Step/step, wird der Taschenrechner schrittweise Vereinfachungen von Brüchen und Operationen mit Polynomen anzeigen.
Das Menü CONVERT und algebraische Operationen Das Menü CONVERT wird über die Tasten „Ú (die Taste 6) gestartet. Das Menü zeigt alle Umwandlungs-Menüs im Taschenrechner an. Nachstehend finden Sie eine Abbildung mit der Liste der Menüs: Die in den einzelnen Untermenüs vorhandenen Funktionen werden nachfolgend besprochen. Menü Konvertierung von UNITS (Einheiten) (Option 1) Dieses Menü entspricht dem Menü UNITS unter Verwendung von ‚Û. Die Anwendungen dieses Menüs werden ausführlich in Kapitel 3 erläutert.
Konvertierungs-Menü MATRIZEN (Option 5) Dieses Menü enthält zusätzlich die folgenden Funktionen: Diese Funktionen werden ausführlich in Kapitel 10 erläutert. Konvertierungs-Menü REWRITE (Option 4) Dieses Menü enthält zusätzlich die folgenden Funktionen: Die Funktionen I R und R I werden zur Konvertierung einer Integer- (I) in eine reelle Zahl (R) oder umgekehrt verwendet.
Die Funktion NUM hat den gleichen Effekt wie die Tastenkombination ‚ï (der Taste ` zugeordnet). Die Funktion NUM konvertiert ein symbolisches Ergebnis in ein Gleitpunkt-Ergebnis. Die Funktion Q konvertiert einen Gleitpunktwert in einen Bruch. Die Funktion Qπ konvertiert einen Gleitpunktwert in einen Bruch von π, wenn ein Bruch von π, für die Zahl gefunden werden kann; andernfalls konvertiert sie diese Zahl in einen Bruch. Nachfolgend einige Anwendungsbeispiele dieser Funktionen.
POWEREXPAND SIMPLIFY Seite 5-33
Kapitel 6 Lösung für Einzelgleichungen In diesem Kapitel behandeln wir die Funktionen des Taschenrechners zur Lösung von Einzelgleichungen der Form f(X) = 0. Der Taste 7 sind zwei Menüs für die Lösung von Gleichungen zugewiesen, der symbolische SOLVer (Löser) („Î) und der NUMerische SOLVer (Löser) (‚Ï). Nachfolgend werden einige Funktionen aus diesen Menüs beschrieben. Ändern Sie für diese Beispiele den CAS-Modus auf Complex (siehe Kapitel 2).
Gleichung at3-bt = 0 zu ermitteln, wenn der Taschenrechner im ALG-Modus ist, können wir wie folgt vorgehen: Im RPN-Modus erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn wir die Gleichung, gefolgt von der Variablen, in den Stack schreiben und anschließend die Funktion ISOL eingeben. Bevor Sie die Funktion ISOL ausführen, sollte die Anzeige im RPN-Modus, wie in der Abbildung auf der linken Seite, aussehen.
Funktion SOLVE Die Funktion SOLVE hat die gleiche Syntax wie die Funktion ISOL, nur dass SOLVE auch zur Lösung einer Menge von Polynomgleichungen verwendet werden kann. In der Abbildung unten finden Sie den Hilfetext für die Funktion SOLVE, mit der Lösung der Gleichung X^4 – 1 = 3: Die folgenden Beispiele zeigen die Funktion SOLVE im ALG- und im RPNModus: Die Abbildung zeigt zwei Lösungen. In der ersten, β4-5β =125, findet SOLVE keine Lösungen { }.
Die entsprechende Anzeige für diese beiden Beispiele im RPN-Modus ist nachstehend vor und nach der Anwendung der Funktion SOLVE zu sehen: Benutzen Sie in diesem Modus die Pfeiltaste ˜, wird der Zeileneditor gestartet: Funktion SOLVEVX Die Funktion SOLVEVX löst eine Gleichung für die Standard-CAS-Variable in der reservierten Variablen VX. Standardmäßig ist der Wert dieser Variablen 'X'. Nachfolgende Beispiele, im ALG-Modus mit VX = 'X': Im ersten Fall konnte SOLVEVX keine Lösung finden.
Wird die Gleichung als Argument für die Funktion SOLVEVX benutzt, muss diese auf einen rationalen Ausdruck vereinfacht werden können. So z. B. wird die nachfolgende Gleichung von SOLVEVX nicht verarbeitet: Funktion ZEROS Die Funktion ZEROS berechnet Lösungen einer Polynomgleichung, ohne deren Mehrwertigkeit anzuzeigen. Als Eingabe für die Funktion wird der Ausdruck für die Gleichung und der Name der Variablen, die zu lösen ist, benötigt.
Die Funktionen des oben aufgeführten symbolischen Lösers ermitteln Lösungen für rationale Gleichungen (hauptsächlich für Polynomgleichungen). Wenn alle Koeffizienten der zu lösenden Gleichung numerisch sind, ist auch eine numerische Lösung über den numerischen Löser des Taschenrechners möglich. Menü numerischer Löser Der Taschenrechner bietet eine starke Umgebung zur Lösung von einzelnen algebraischen oder transzendenten Gleichungen. Um auf diese Lösung zuzugreifen, starten sie den numerischen Löser (NUM.
Polynomgleichungen Wenn Sie die Option Solve poly… in der SOLVE Umgebung Ihres Taschenrechners benutzen, können Sie: (1) Lösungen zu einer Polynomgleichung finden, (2) die Koeffizienten des Polynoms, mit einer bekannten Anzahl von Wurzeln ermitteln, sowie (3) einen algebraischen Ausdruck für das Polynom als Funktion von X ermitteln. Lösungen zu einer Polynomgleichung berechnen Eine Polynomgleichung ist eine Gleichung mit folgender Struktur: anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 = 0.
Drücken Sie `, um zum Stack zurückzukehren. Der Stack zeigt die folgenden Ergebnisse im ALG-Modus an (die gleichen Ergebnisse werden auch im RPN-Modus angezeigt): Um alle Lösungen anzuzeigen, drücken Sie die Pfeiltaste (˜) zur Navigation im Zeileneditor: Alle Lösungen sind komplexe Zahlen: (0,432;-0,389), (0,432;0,389), (-0,766; 0,632) , (-0,766; -0,632).
‚Ϙ˜@@OK@@ ˜„Ô1‚í5 ‚í2\‚í 4@@OK@@ @SOLVE@ Wählen Sie Solve poly… Tragen Sie die Wurzeln in einen Vektor ein Lösen der Koeffizienten Drücken Sie `, um zum Stack zurückzukehren, die Koeffizienten werden im Stack angezeigt. Drücken Sie ˜, um alle Koeffizienten im Zeileneditor anzuzeigen. Anmerkung: Möchten Sie ein Polynom mit reellen Koeffizienten erhalten, dies aber komplexe Wurzeln besitzt, müssen Sie die komplexen Wurzeln als Paare von konjugierten Zahlen eingeben.
‚Ϙ˜@@OK@@ „Ô1‚í5 Wählen Sie Solve poly… Tragen Sie die Koeffizienten in einen Vektor ein ‚í2\‚í 4@@OK@@ —@SYMB@ ` Erzeugen Sie den Ausdruck Zurück zum Stack symbolischen Der so ermittelte Ausdruck wird im Stack wie folgt angezeigt: 'X^3+5*X^2+-2*X+4'. Um den algebraischen Ausdruck mithilfe der Wurzeln zu erstellen, nehmen Sie folgendes Beispiel. Nehmen wir an, die Wurzeln des Polynoms lauten [1,3,-2,1]. Verwenden Sie dazu folgende Tastenfolge: ‚Ϙ˜@@OK@@ ˜„Ô1‚í3 ‚í2\‚í 1@@OK@@ ˜@SYMB@ ` Wählen Sie So
algebraischen Ausdruck mit hervorgehobenen Koeffizienten. Versuchen Sie in diesem Fall: ‚Ϙ˜@@OK@@ Wählen Sie Solve poly… ˜„Ô1‚í3 Tragen Sie die Wurzeln in einen Vektor ein ‚í2\‚í 1@@OK@@ @SOLVE@ Solve (Lösung) für Koeffizienten ˜@SYMB@ Erzeugen Sie den symbolischen Ausdruck ` Zurück zum Stack Der so ermittelte Ausdruck wird im Stack wie folgt angezeigt: 'X^4+-3*X^3+ 3*X^2+11*X+-6*X^0'. Die Koeffizienten werden in Stack-Ebene 2 angezeigt. Finanzmathematische Berechnungen Die Berechnungen in Position 5.
Zeitabschnittes n der Leihfrist bezahlen muss. Der zukünftige Wert des Geldes (FV) ist der Wert der ausgeliehenen Geldsumme am Ende von n Zeitschabschnitten. Normalerweise erfolgt die Bezahlung jeweils am Ende eines Zeitabschnittes, sodass der Entleiher am End des ersten Zeitabschnittes mit der Bezahlung beginnt und die gleiche feste Summe am Ende des zweiten, dritten usw. Zeitabschnittes bis hin zum letzten Zeitabschnitt n bezahlt.
Monats innerhalb der kommenden 60 Monate zahlen, um den Gesamtbetrag zurückzuzahlen. Der Grund, warum der Wert PMT negativ ausgefallen ist, besteht darin, dass der Taschenrechner die Werte aus der Sicht des Kreditnehmers betrachtet. Der Kreditnehmer besitzt ein Plus von US $ 2.000.000,00 in der Zeitspanne t = 0, dann beginnt er mit der Zahlung, sodass jedes Mal – US $ 39.132,30 in den Perioden t = 1, 2, ..., 60 hinzuaddiert werden. Bei t = 60 liegt der tatsächliche Nettowert des Entleihers bei Null.
Das bedeutet, dass am Ende von 60 Monaten der entliehene Betrag von US $ 2.000.000,00 zusammen mit den Zinsen von US $ 347.937,79 abbezahlt wurde, der Differenzbetrag aber noch US $ 0,000316 beträgt, welche der Kreditnehmer dem Verleiher schuldet, ist. Sicherlich sollte der Differenzbetrag aber Null sein. Der im Display angezeigte Wert ist ein Rundungsfehler aus der numerischen Lösung. Drücken Sie $ oder ` zweimal, um zur Normalansicht des Taschenrechners zurückzukehren.
Gesamtbetrag zurückgezahlt hat. Beachten Sie, dass der Betrag den der Kreditnehmer monatlich zu bezahlen hat, wenn er diesen am Anfang jeden Monats bezahlt, geringfügig niedriger als am Ende des gleichen Monats ist. Der Grund dafür ist, dass der Verleiher Zinsguthaben für die Bezahlungen am Anfang des Monats bekommt, und somit die Schuldlast des Kreditnehmers etwas verringert. Anmerkungen: 1. Die finanzmathematische Umgebung erlaubt es, jeden enthaltenen Wert, d. h.
³ ‚@I©YR@ ™ ‚í ³ ‚@@PV@@ ™ ‚í ³ ‚@@PMT@@ ™ ‚í ³ ‚@@PYR@@ ™ ‚í ³ ‚@@FV@@.
` I@PURGE Geben Sie die Liste der Variablen in den Stack Löschen Sie die Variablen in der Liste Bevor Sie den PURGE-Befehl eingeben, sieht der RPN-Stack wie folgt aus: Lösen von Gleichungen mit einer Unbekannten über NUM.SLV Das Menü NUM.SLV des Taschenrechners bietet in Position 1. Solve equation.. die Lösung verschiedener Typen von Gleichungen in einer einzigen Variablen, einschließlich nicht-linearer algebraischer und transzendenter Gleichungen. Als Beispiel lösen wir die Gleichung ex-sin(πx/3) = 0.
Wechseln Sie anschließend in die SOLVE-Umgebung, und wählen Sie Solve equation… unter Verwendung der Tastenfolge: ‚Ï@@OK@@. Die entsprechende Anzeige sieht wie folgt aus: Die Gleichung, die wir gerade in der Variablen EQ gespeichert haben, ist bereits im Feld Eq in der Eingabemaske SOLVE EQUATION geladen. Auch ein mit x beschriftetes Feld wird bereitgestellt. Um die Gleichung zu lösen, müssen Sie einfach nur noch das Feld vor dem X markieren, indem Sie die Pfeiltaste ˜ benutzen und dann @SOLVE@ drücken.
• • • • • Erlaubt dem Anwender, die Gleichung einzugeben oder den Typ der zu lösenden Gleichung zu wählen @CHOOS. Erzeugt eine Eingabemaske mit Eingabefeldern für alle in der Gleichung vorkommenden Variablen, die in der Variablen EQ gespeichert sind. Der Anwender muss die Werte aller vorkommenden Variablen eingeben bis auf eine, die ermittelt werden soll.
Die Gleichung lautet e xx = 1 [σ xx − n ⋅ (σ yy + σ zz )] + α ⋅ ∆T , wobei exx E die Einheit der Dehnung in x-Richtung, σxx, σyy und σzz, die normale Spannung auf die Teilchen in Richtung der Achsen x, y und z, E die Youngs Elastizitätsmodul des Materials, n das Poisson-Verhältnis des Materials, α der thermische Dehnungskoeffizient des Materials und ∆T der Temperaturanstieg ist. Angenommen, Sie haben folgende Daten: σxx= 2500 psi, σyy =1200 psi, und σzz = 500 psi, E = 1200000 psi, n = 0.
Drücken Sie `, um zum Löser zurückzukehren. Geben Sie die oben vorgeschlagenen Werte in die entsprechenden Felder ein, sodass die Anzeige im Löser wie folgt aussieht: Mit hervorgehobenem ex: Feld, drücken Sie @SOLVE@, um die Lösung für ex zu ermitteln. Drücken Sie @EDIT, während das Feld ex: markiert ist, ist die Lösung in der SOLVE EQUATION Eingabemaske zu sehen. Das Ergebnis lautet 2,470833333333E-3. Drücken Sie @@@OK@@, um EDIT (Bearbeitungsmodus) zu verlassen.
Auch werden Sie in Ihren Funktionstasten die Variablen, die denen, die Sie in der Gleichung EQ gespeichert haben, entsprechen, finden (drücken Sie L, um alle Variablen in Ihrem Verzeichnis anzuzeigen), d. h. die Variablen ex, ∆T, α, σz, σy, n, σx und E. Beispiel 2 – Spezifische Leistung im offen Kanalsdurchfluss Spezifische Leistung in einem offenen Kanaldurchfluss wird als Leistung pro gemessene Gewichtseinheit zum Kanalboden bezeichnet.
• Starten Sie den numerischen Löser, um die Gleichungen zu lösen: ‚Ï@@OK@@. Beachten Sie, dass die Eingabemaske bereits Einträge für die Variablen y, Q, b, m und g enthält: • • Versuchen Sie folgende Eingabedaten: E = 10 ft, Q = 10 cfs (Kubikfuß pro Sekunde), b = 2,5 ft, m = 1,0, g = 32,2 ft/s2: • Lösen Sie die Gleichung für y. • Das Ergebnis ist 0,149836.., d. h. y = 0,149836. Es ist jedoch bekannt, dass es für y in dieser Gleichung für spezifische Leistung eigentlich zwei Lösungen gibt.
Ausgangswert von 0 (der voreingestellte Standardwert für y, d. h. wenn das Lösungsfeld leer ist, ist der Ausgangswert 0). Um die andere Lösung zu finden, müssen Sie einen größeren Wert für y eingeben, sagen wir 15, markieren anschließend das Eingabefeld y und lösen die Gleichung für y erneut: • Das Ergebnis ist 9,99990, d. h. y = 9,99990 ft. Dieses Beispiel veranschaulicht die Anwendung von zusätzlichen Variablen zur Erstellung komplizierter Gleichungen. Sobald NUM.
VD/ν definiert, wobei ρ und µ die Dichte und die dynamische Viskosität der Flüssigkeit darstellen, während ν = µ/ρ die kinematische Viskosität der Flüssigkeit darstellt. Der Taschenrechner stellt eine Funktion mit dem Namen DARCY zur Verfügung, welche als Eingabe in dieser Reihenfolge die relative Rauheit ε/D und die Reynoldsche Zahl zur Berechnung des Reibungsfaktors f erhält.
Beispiel 3 – Strömung in einem Rohr Für die nachfolgenden Beispiele sollten Sie eine separates Unterverzeichnis (PIPES) erstellen. Die Hauptgleichung für die Strömung in einem Rohr, ist selbstverständlich die Darcy-Weisbach-Gleichung.
Somit lautet die zu lösende Gleichung, nachdem diese mit den verschiedenen Variablen aus dem Verzeichnis kombiniert wurde, wie folgt: QD ε πD 2 / 4 8Q L h f = 2 5 ⋅ DARCY , D Nu π gD 2 Die kombinierte Gleichung enthält die primitiven Variablen hf, Q, L, g, D, ε und Nu. Starten Sie den numerischen Löser (‚Ï@@OK@@), um die in der SOLVE EQUATION-Eingabemaske vorhandenen primitiven Variablen anzuzeigen.
Ist die Gleichung dimensional gesehen konsistent, können Sie Einheiten zu den Eingabewerten, wie in der Abbildung unten gezeigt, hinzufügen. Sie müssen diese Einheiten jedoch zu den ursprünglichen Schätzwerten in der Lösung hinzufügen. Im nachstehenden Beispiel fügen wir vor Lösung des Problems 0_m ins Feld D: ein. Die Lösung ist auf der rechten Abbildung zu sehen: Drücken Sie die Taste `, um zur Normalansicht des Taschenrechners zurückzukehren. Die Lösung für D wird im Stack angezeigt.
Diese Gleichung speichern wir dann in EQ: Wenn Sie nun den numerischen Löser für diese Gleichung starten, erhalten Sie eine Eingabemaske mit den Eingabefeldern F, G, m1, m2 und r. Lösen wir dieses Problem nun, indem wir verschiedene Einheiten für die bekannten Variablen einsetzen: m1 = 1,0×106 kg, m2 = 1,0×1012 kg, r = 1,0×1011 m.
Anmerkung: Wenn Sie Einheiten im numerischen Löser benutzen, stellen Sie sicher, dass alle Variablen die richtigen Einheiten haben, dass diese kompatibel sind und dass die Gleichung dimensional gesehen homogen ist. Unterschiedliche Wege Gleichungen in EQ einzugeben In all den gezeigten Beispielen haben wir die zu lösende Gleichung vor Aktivierung des numerischen Lösers direkt in die Variable EQ eingegeben.
An dieser Stelle ist die Gleichung zur Lösung bereit. Alternativ dazu können Sie zur Eingabe Ihrer Gleichung den EquationWriter starten, nachdem Sie @EDIT gedrückt haben. Drücken Sie `, um zum numerischen Löser zurückzukehren. Eine weitere Möglichkeit, eine Gleichung in die Variable EQ einzugeben, ist eine bereits bestehende Variable, die in EQ eingegeben werden soll, aus dem Verzeichnis auszuwählen. Das bedeutet, dass Ihre Gleichung bereits in einer Variablen gespeichert sein muss. Nehmen wir z. B.
Nachdem Sie die Variable EQ1 ausgewählt haben, drücken Sie @@@OK@@@, um die Variable EQ in den Löser zu laden. Die neue Gleichung steht nun zur Lösung bereit. Das Funktionsmenü SOLVE Über das Menü SOLVE kann über Funktionstasten auf einige der Funktionen des numerischen Lösers zugegriffen werden. Um in dieses Menü im RPNModus zu gelangen, verwenden Sie 74-MENU (bzw. im ALG-Modus MENU(74). Alternativ dazu können Sie jedoch auch die Tastenkombination ‚ (halten) 7 zum Starten des Menüs SOLVE benutzen.
Im ALG-Modus würden Sie zum Starten der Funktion ROOT wie folgt vorgehen: ROOT(‘TAN(θ)=θ’,’θ’,5) Variable EQ Die Funktionstaste @@EQ@@ in diesem Untermenü wird als Referenz auf die Variable EQ verwendet. Das Drücken der Funktionstaste ist gleichwertig mit dem Verwenden der Funktion RCEQ (ReCall EQ). Das Untermenü SOLVER Das Untermenü SOLVR startet das Funktionsmenü Löser für die aktuell in EQ gespeicherte Gleichung.
Um die SOLVR Umgebung zu verlassen, drücken Sie J. An dieser Stelle haben Sie keinen Zugang zum Menü SOLVE, somit Sie müssen dieses erneut wie oben angezeigt, starten, um mit den nachfolgenden Beispielen fortzufahren. Beispiel 2 - Lösen der Gleichung Q = at2+bt In EQ kann auch eine Gleichung, die mehr als eine Variable enthält, gespeichert werden, beispielsweise ‘Q = at^2 + bt’.
Sie können mehr als eine Gleichung lösen, indem Sie erst eine Gleichung lösen und den gleichen Vorgang solange wiederholen, bis eine Lösung gefunden wurde. So erhalten Sie z. B., wenn Sie nachfolgende Liste von Gleichungen in die Variable EQ eingeben – EQ: { ‘a*X+b*Y = c’, ‘k*X*Y=s’}, mit der Tastenfolge @)ROOT @)SOLVR innerhalb des Funktionsmenüs SOLVE die folgende Anzeige: Die erste Gleichung, d. h. a*X + b*Y = c, wird im oberen Teil des Displays angezeigt.
entsprechend „[ X ] und „[ Y ]. Die folgende Sequenz von Lösungen wird erstellt: Nachdem Sie nun die beiden Gleichungen gelöst haben, jeweils eine auf einmal, bemerken wir, dass X sich bis zur dritten Nachkommastelle dem Wert 7,500, während Y sich dem Wert 0,799 nähert.
Diese Funktionen werden im Detail in Kapitel 16 erläutert. Das Untermenü POLY Das Untermenü POLY führt Operationen mit Polynomen durch. Die enthaltenen Funktionen sind: Funktion PROOT Diese Funktion wird dazu verwendet, die Wurzeln eines Polynoms mit bekanntem Vektor mit den Koeffizienten des Polynoms in absteigender Reihenfolge der Potenz der unabhängigen Variable zu ermitteln.
Diese Funktionen werden im Detail in Kapitel 11 erläutert. Das Untermenü TVM Das Untermenü TVM enthält Funktionen zur Berechnung des Geldzeitwertes (Time Value of Money). Dies ist eine alternative Möglichkeit, finanzmathematische Probleme zu lösen (siehe Kapitel 6). Die Funktionen werden nachfolgend angezeigt: Das Untermenü SOLVR Das Untermenü SOLVR aus dem Untermenü TVM startet den Löser zur Lösung von TVM-Problemen.
Funktion TVMROOT Diese Funktion benötigt als Argument den Namen einer der Variablen im TVM-Problem. Die Funktion gibt die Lösung für diese Variable zurück, vorausgesetzt, die anderen Variablen existieren und ihre Werte wurden zuvor gespeichert. So können wir z. B., nachdem wir eines der obigen TVMProbleme gelöst haben, beispielsweise für 'N' wie folgt lösen: [ ‘ ] ~n` @TVMRO. Das Ergebnis ist 10.
Kapitel 7 Lösen von Mehrfachgleichungen Viele wissenschaftliche und technische Probleme benötigen die gleichzeitige Lösung mehrerer Gleichungen. Der Taschenrechner stellt, wie unten gezeigt, mehrere Verfahrensweisen zur Lösung von Mehrfachgleichungen zur Verfügung. Beachten Sie, dass in diesem Kapitel keine Lösungen für Systeme mit linearen Gleichungen vorgestellt werden. Lösungen für lineare Systeme werden in einem späteren Kapitel über Matrizen und lineare Algebra ausführlich erklärt.
den Vektor mit den Variablen in die Variable A1. Im RPN-Stack sieht die Anzeige, bevor Sie die Variablen gespeichert haben, wie folgt aus: An dieser Stelle müssen wir nur noch K zweimal drücken, um die Variablen zu speichern. Für die Lösungsfindung wechseln Sie das CAS in den Exakt-Modus, listen Sie dann die Inhalte der Variablen A2 und A1 – in dieser Reihenfolge – @@@A2@@@ @@@A1@@@ auf. Verwenden Sie nun den Befehl SOLVE (aus dem Menü S.SLV: „Î).
darstellten. Diese Methode funktioniert jedoch nicht, wenn wir versuchen θ0 zu lösen, weil θ0 Teil eines transzendenten Ausdrucks ist. Beispiel 2 – Spannungen in einem dickwandigen Zylinder Nehmen wir an, wir haben einen dickwandigen Zylinder mit Innen- und Außendurchmesser a und b, welcher einem inneren Druck Pi und einem äußeren Druck Po ausgesetzt ist.
Beachten Sie, dass wir in diesem Beispiel den RPN-Modus verwenden, die Vorgehensweise im ALG-Modus ist jedoch ziemlich ähnlich.
Beachten Sie, dass das Ergebnis als Vektor [ ] innerhalb einer Liste { } dargestellt ist. Benutzen Sie µ, um das Symbol für Liste zu entfernen. Verwenden Sie die Funktion OBJ , um den Vektor zu zerlegen. Die Lösung lautet: Diese beiden Beispiele stellen Systeme von linearen Gleichungen dar, welche genauso gut mit der Funktion LINSOLVE (siehe Kapitel 11) bearbeitet werden können. Das nachfolgende Beispiel zeigt die Funktion SOLVE, angewendet auf ein System von Polynomgleichungen.
Nachfolgend finden Sie den Hilfeeintrag für die Funktion MSLV: Beispiel 1 – Beispiel aus der Hilfefunktion Wie für alle anderen Funktionseinträge gibt es in der Hilfefunktion auch ein Beispiel zum Eintrag MSLV, wie oben gezeigt. Beachten Sie, dass die Funktion MSLV drei Argumente benötigt: 1. Einen Vektor, der die Gleichungen enthält, d. h. ‘[SIN(X)+Y,X+SIN(Y)=1]’ 2. Einen Vektor, der die zu lösenden Variablen enthält, d. h. ‘[X,Y]’ 3.
Durch Aktivierung der Funktion MSLV erscheint folgende Anzeige. Sie haben wahrscheinlich festgestellt, dass während der Berechnung der Lösung in der linken oberen Ecke des Displays Zwischenergebnisse angezeigt werden. Da die von MSLV gelieferte Lösung numerisch ist, zeigen die Informationen in der linken oberen Ecke die Ergebnisse des wiederholten Prozesses auf dem Weg zur Lösung an. Die endgültige Lösung ist X = 1,8238, Y = -0,9681.
P = b + 2 y 1 + m 2 gegeben ist, wobei b die Breite des Bodens (m oder ft) und m die Seitenwandneigung (1V:mH) des Querschnittes darstellt. Normalerweise muss man die Energie- wie auch die Manning-Gleichung für y und Q gleichzeitig lösen. Sobald diese Gleichungen als primitive Variablen b, m, y, g, So, n, Cu, Q und Ho dargestellt sind, bleibt uns das folgende Gleichungssystem f1(y,Q) = 0, f2(y,Q) = 0. Diese beiden Gleichungen können wir wie folgt erstellen.
Gleichungen werden im Stack wie folgt angezeigt (kleine Schriftart ausgewählt): Wir stellen fest, dass diese Gleichungen tatsächlich als einfache Variable b, m, y, g, So, n, Cu, Q und Ho dargestellt werden können. Um y und Q zu lösen, müssen wir den anderen Variablen Werte zuweisen. Angenommen, wir verwenden folgende Werte: H0 = 5 ft, b = 1,5 ft, m = 1, n = 0,012, S0 = 0,00001, g = 32,2 und Cu = 1,486.
Als Anfangswert für die Variablen y und Q verwenden wir y = 5 (entspricht dem Wert von Ho, welches der Maximalwert ist, den y annehmen kann) und Q = 10 (dies ist nur eine Schätzung/Schätzwert). Um die Lösung zu erhalten, wählen wir die Funktion MSLV aus dem Menü NUM.SLV, z. B. ‚Ï6@@@OK@@@, zur Eingabe des Befehls im Display: Als Nächstes geben wir die Variable EQS LL@@EQS@ , gefolgt vom Vektor [y,Q] ein: ‚í„Ô~„y‚í~q™ zusammen mit unseren anfänglichen Schätzwerten ‚í„Ô5‚í 10 ein.
Drücken Sie @@OK@@, und fahren Sie mit der Lösung fort. Ein Zwischenergebnis könnte wie folgt aussehen: Der Vektor im oberen Teil, welcher, während der Lösungsprozess fortschreitet, die aktuellen Werte von [y,Q] und den Wert ,358822986286, welches die Konvergenzkriterien der numerischen Methode, die für die Lösungsfindung benutzt wurde, anzeigt. Wenn das System gut eingestellt ist, wird sich dieser Wert an Null annähern. An dieser Stelle sollte eine numerische Lösung gefunden worden sein.
Die vorgeschlagene Lösung ist [4,9936.. ; 20,661…]. Das bedeutet, y = 4,99 ft und Q = 20,66 ft3/s. Um die Lösung im Detail anzusehen, benutzen Sie die Pfeiltasten (š™—˜). Der Multiple Equation Solver (MES) (Mehrfachgleichungslöser) Der Mehrfachgleichungslöser ist eine Umgebung, in der Systeme von Mehrfachgleichungen durch Lösen jeweils einer Unbekannten aus einer Gleichung gelöst werden können.
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist immer 180°, d. h. α + β + γ = 180o. Der Sinussatz besagt dass: sin α sin β sin γ = = . a b c Der Kosinussatz besagt dass: a2 = b2 + c2 – 2⋅b⋅c⋅cos α, b2 = a2 + c2 – 2⋅a⋅c⋅cos β, c2 = a2 + b2 – 2⋅a⋅b⋅cos γ. Um ein Dreieck lösen zu können, müssen Sie mindestens 3 der folgenden sechs Variablen kennen: a, b, c, α, β, γ.
Wir werden den MES zur Lösung von Aufgabenstellungen in Zusammenhang mit Dreiecken verwenden, unter Verwendung einer Liste von Gleichungen, die dem Sinus- und Kosinus-Satz, der Regel der Summe der Innenwinkel eines Dreiecks und der Heronschen Formel für die Fläche entsprechen. Erstellen Sie als Erstes im HOME-Verzeichnis ein Unterverzeichnis mit dem Namen TRIANG, und wechseln Sie in dieses Verzeichnis. Anweisungen zur Erstellung von Unterverzeichnissen finden Sie in Kapitel 2.
‚Õ ~~„~ „triangle# „solution ` ³ ~~title` K Öffnen Sie die Anführungszeichen im Stack Sperrt die Tastatur für die Eingabe von Kleinbuchstaben.
Weiterhin möchten wir die Inhalte der Variablen TITLE und LVARI im Stack behalten; dies geschieht durch Verwendung von: !@TITLE @LVARI! Wir werden die nachfolgenden MES-Funktionen verwenden • MINIT: MES INITialization: (Initialisierung des MES) initialisiert die in EQ gespeicherten Variablen der Gleichungen • MITM: MES’ Menu Item: (Menüpunkt) Nimmt einen "title" aus StackEbene 2 und die Liste der Variablen aus Stack-Ebene 1 und setzt diese in der über die Liste angegebenen Reihenfolge über das MESFenster un
Versuchen wir eine einfache Lösung des Falles I unter Verwendung von a = 5, b = 3, c = 5. Benutzen Sie dazu folgende Einträge: 5[ a ] 3[ b ] 5[ c ] a:5 wird in der oberen linken Ecke des Displays angezeigt. b:3 wird in der oberen linken Ecke des Displays angezeigt. c:5 wird in der oberen linken Ecke des Displays angezeigt. Um die Winkel zu ermitteln, verwenden Sie: „[ α ] Der Rechner meldet Solving for α, (löse für α) und zeigt das Ergebnis α: 72.5423968763.
Anmerkung: Sobald eine Lösung gefunden wurde, meldet der Taschenrechner die Bedingungen für die Lösung entweder als Null oder Sign Reversal (Vorzeichenänderung). Möglicherweise werden weitere Meldungen angezeigt, sobald der Taschenrechner Schwierigkeiten bei der Lösungsfindung begegnet. Drücken Sie nun „@@ALL@@ werden alle Variablen gelöst, zeitweise werden Zwischenergebnisse angezeigt.
den Inhalt der Variablen Mpar anzeigen. Sie erhalten folgendes kryptische Ergebnis: Library Data. (Bibliotheksdaten). Dies bedeutet, dass die MESParameter in einer Binärdatei kodiert sind und der Anwender auf diese nicht zugreifen kann. Als Nächstes möchten wir die Reihenfolge der Parameter im Menü ändern, was wir unter Verwendung der folgenden Schritte durchführen können: 1. Erstellen Sie eine Liste, welche { EQ Mpar LVARI TITLE } enthält, unter Verwendung von: „ä @@@EQ@@@ @Mpar! !@LVARI @@TITLE ` 2.
@TITLE @LVARI Listen Sie den Namen TITLE im Programm auf Listen Sie den Namen LVARI im Programm auf ~~ Sperrt die alphanumerische Tastatur mitm# Geben Sie MITM_ ein msolvr Geben Sie MSOLVR ` Geben Sie das Programm in den Stack ein Speichern Sie das Programm in einer Variablen mit dem Namen TRISOL (für TRIangle SOLution – Lösung für das Dreieck) unter Verwendung von: ³~~trisol` K Drücken Sie J, falls nötig, um Ihre Variablenliste wieder herzustellen.
Verwenden Sie a = 3, b = 4, c = 6. Das hier verwendete Lösungsverfahren besteht darin, alle Variablen gleichzeitig zu lösen und anschließend die Lösung in den Stack zu laden. J @TRISO Um die Daten zu löschen und den MES neu zu starten 3[ a ] 4 [ b ] 6[ c ] Um Daten einzugeben L Um zum nächsten Variablenmenü zu gelangen. „ @ALL! Lösen aller Unbekannten.
um ggf. eine neue Lösung zu ermitteln. Um zur Normalansicht zurückzukehren, drücken Sie J. Die nachfolgende Tabelle von Lösungen für Dreiecke zeigt die Dateneingabe fettgedruckt und die Lösungen in Kursivschrift. Um die Lösungen zu überprüfen, versuchen Sie, das Programm mit diesen Eingaben auszuführen. Vergessen Sie nicht, am Ende jeder Lösung J @TRISO einzugeben, um die Variableninhalte zu löschen, und starten Sie dann die MES-Lösung erneut.
die Beschleunigung der gegebenen Partikel r, r’ = dr/dt, r” = d2r/dt2, θ, θ’ = d θ /dt und, θ” = d2θ/dt2. Nachfolgende Gleichungen werden verwendet: v r = r& vθ = rθ& a r = &r& − rθ& 2 a = rθ&& + 2r&θ& θ Erstellen Sie ein Unterverzeichnis POLC (POLar Coordinates Polarkoordinaten), das wir bei der Berechnung der Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten verwenden.
Polarkoordinaten, sowie die Gleichungen zur Berechnung der Magnitude der Geschwindigkeit (v) und der Beschleunigung (a), wenn die Polarkomponenten bekannt sind. r, rD, rDD = r (Radialkoordinaten), r-dot (erste Ableitungsfunktion von r), rdouble dot (zweite Ableitungsfunktion von r). θD, θDD = θ-dot (erste Ableitungsfunktion von θ), θ-double dot (zweite Ableitungsfunktion von θ).
b). Lösen Sie alle Variablen auf einmal, indem Sie „@ALL! drücken. Im Display werden die Werte, sobald diese ermittelt wurden, angezeigt. Ist die Berechnung beendet, können Sie ‚@ALL! drücken, um alle Ergebnisse anzuzeigen. In diesem Fall haben wir: Drücken Sie die Funktionstaste @EQNS, erhalten Sie die Gleichungen für jeden einzelnen Wert in der Anzeige, die zur Lösung benutzt wurden: Um einen neuen Satz von Werten zu verwenden, drücken Sie entweder @EXIT @@ALL@ LL oder J @SOLVE.
Kapitel 8 Operationen mit Listen Listen sind Objekte des Taschenrechners, die besonders bei der Datenverarbeitung und in der Programmierung hilfreich sein können. In diesem Kapitel werden Beispiele von Operation mit Listen vorgestellt. Definitionen Im Kontext des Taschenrechners wird eine Liste als eine Reihe von Objekten, eingeschlossen in ein Klammerpaar, getrennt durch Leerschritte (#) im RPNModus oder Kommas (‚í) in beiden Modi definiert.
Die linke Abbildung zeigt die Anzeige vor dem Drücken der Taste `, während auf der rechten Seite die Anzeige nach dem Speichern der Liste in L1 angezeigt wird. Beachten Sie vor dem Drücken der Taste `, dass in der Liste die Elemente durch ein Komma getrennt dargestellt werden. Nachdem Sie nun die Taste ` drücken, verschwinden die Kommas und die Elemente sind durch Leerschritte voneinander getrennt.
Sie diese mit folgender Tastenkombination aus dem Katalog ‚N‚é, und suchen Sie sie anschließend unter Verwendung der Pfeiltasten (—˜) und wählen diese aus).
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division Multiplikation und Division einer Liste durch eine einzelne Zahl, wird über die gesamte Liste angewandt, so z. B.: Subtraktion einer einzelnen Zahl von einer Liste, wird die Zahl von jedem Element der Liste abziehen, so z. B.: Addition einer einzelnen Zahl zu einer Liste, erzeugt eine um diese Zahl erhöhte Liste, aber nicht eine Addition zu jedem einzelnen Element der Liste.
Die Division L4/L3 ergibt eine Unendliche, weil eines der Elemente in L3 eine Null ist: Haben die Listen für Rechenoperation verschiedene Längen, wird eine Fehlermeldung (Error: Invalid Dimensions – Fehler: ungültige Dimensionen) ausgegeben. Wird das Pluszeichen (+) auf Listen angewandt, verhält sich dieses als Verkettungsoperator, indem es zwei Listen zusammenfügt und nicht Glied für Glied addiert.
Funktionen mit reellen Zahlen von der Tastatur aus In Listen können auch Funktionen mit reellen Zahlen (ABS, ex, LN, 10x, LOG, SIN, x2, √, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, yx) von der Tastatur aus verwendet werden.
die nur ein Argument benötigen und auf Listen von reellen Zahlen angewendet werden können: SINH, ASINH COSH, ACOSH TANH, ATANH SIGN, MANT, XPON IP, FP FLOOR, CEIL D R, R D Beispiele von Funktionen, die zwei Argumente verwenden In den nachfolgenden Abbildungen finden Sie Anwendungen der Funktion % zur Auflistung von Argumenten. Die Funktion % benötigt zwei Argumente. Das erste der beiden Beispiele zeigt Fälle, in denen nur eines der beiden Argumente eine Liste darstellt.
Die Ergebnisse sind Listen, die entsprechend der Liste der Argumente mit der Funktion % aufgeteilt sind. So zum Beispiel, %({10, 20, 30},1) = {%(10,1),%(20,1),%(30,1)}, und %(5,{10,20,30}) = {%(5,10),%(5,20),%(5,30)} Im nachfolgenden Beispiel sind beide Argumente der Funktion % Listen derselben Größe. In diesem Fall, wird eine gliedweise Verteilung der Argumente durchgeführt, d. h.
darstellt. Verwenden Sie L1 ADD i*L2. Die Anzeige zeigt auch, dass die daraus resultierende komplexe Zahlenliste in der Variablen L5 gespeichert wird: Auch Funktionen wie LN, EXP, SQ, usw. können auf Listen von komplexen Zahlen angewandt werden, z. B.: Das nachfolgende Beispiel zeigt Anwendungen der Funktion RE(reeller Teil), IM(imaginärer Teil), ABS(Magnitude) und ARG(Argument) für komplexe Zahlen.
Das MTH/LIST-Menü Das Menü MTH stellt eine Reihe von Funktionen, die ausschließlich auf Listen angewendet werden können, zur Verfügung. Mit dem Systemflag 117 auf CHOOSE boxes gesetzt: Als nächstes Systemflag auf 117 auf SOFT-Menüs gesetzt.
SORT und REVLIST können kombiniert werden, um eine Liste in absteigender Folge zu sortieren. Manipulation der Elemente einer Liste Das PRG (Programmier) Menü enthält eine Untermenü LIST mit verschiedenen Funktionen, die zur Manipulation von Elementen in einer Liste dienen. Mit dem Systemflag 117 auf CHOOSE boxes gesetzt: Position 1. ELEMENTS..
Listengröße Die Funktion SIZE (Größe) aus dem Untermenü PRG/LIST/ELEMENTS kann zur Ermittlung der Größe (oder Länge) der Liste verwendet werden, so z. B. Extrahieren und Einfügen von Elementen in eine Liste Um Elemente aus einer Liste zu extrahieren, benutzen wir die Funktion GET, welche im Untermenu PRG/LIST/ELEMENTS zu finden ist. Die Argumente der Funktion GET bilden eine Liste und die Anzahl der Elemente, die Sie aus dieser Liste extrahieren möchten.
Position eines Elementes in der Liste Zur Bestimmung der Position eines Elementes in einer Liste verwenden Sie die Funktion POS, welche die Liste und das gewünschte Element als Argument enthält. So zum Beispiel: Die Funktionen HEAD und TAIL Die Funktion HEAD extrahiert das erste Element der Liste. Die Funktion TAIL entfernt das erste Element einer Liste und gibt die noch verbleibende Liste zurück. Nachfolgend einige Beispiele: Die Funktion SEQ Position 2. PROCEDURES..
Die Funktion SEQ enthält als Argumente einen Ausdruck in Form eines Index, den Namen dieses Index und Start- und Endwerte, sowie deren Inkrement und gibt eine Liste zurück, die aus der Auswertung des Ausdruckes für alle möglichen Werte des Index zusammengesetzt ist. Die allgemeine Form der Funktion ist SEQ(expression, index, start, end, increment – Ausdruck, Index, Start, Ende, Inkrement).
Der nachfolgende Aufruf der Funktion MAP verwendet als zweites Argument ein Programm anstelle einer Funktion: Funktionen definieren, die Listen benutzen In Kapitel 3 haben wir die Funktion DEFINE ( „à), die zum Erzeugen von Funktionen aus reellen Zahlen mit einem oder mehreren Argumenten dient, vorgestellt. Eine über DEF definierte Funktion wird auch mit Argumentlisten verwendet.
Um dieses Problem zu beheben, können wir die Inhalte der Variablen @@@G@@@, welche wir im Stack über die Tasten …@@@G@@@ anzeigen können, bearbeiten: um das Pluszeichen (+) mit ADD zu ersetzen: Anschließend speichern wir den bearbeiteten Ausdruck in der Variablen @@@G@@@: Die Auswertung G(L1,L2) ergibt nur folgendes Ergebnis: Alternativ dazu können Sie die Funktion mit ADD anstelle des Pluszeichens (+) von Anfang an definieren, d. h.
DEFINE('G(X,Y)=(X ADD 3)*Y'): Sie können die Funktion jedoch auch als G(X,Y) = (X--3)*Y definieren. Anwendungen für Listen Dieser Abschnitt zeigte eine Reihe von Anwendungen von Listen, zur Berechnung von Statistiken einer Stichprobe. Unter Stichprobe verstehen wir eine Liste von Werten, beispielsweise {s1, s2, …, sn}.
Angenommen, wir möchten das harmonische Mittel der Stichprobe, welches wie nachfolgend definiert ist, berechnen sh = 1 1 1 ∑ n k =1 s n n = 1 1 1 1 1 + + L + n s1 s 2 sn . Um diesen Wert zu berechnen können wir wie folgt vorgehen: 1. Wenden Sie die Funktion INV() auf die Liste S an 2. Wenden Sie nun auf die in Ebene 1 erhaltene Liste die Funktion ΣLIST() an. 3. Teilen Sie das obige Ergebnis durch n = 10: 4.
Somit ist der harmonische Mittelwert der Liste S gleich sh = 1,6348… Geometrischer Mittelwert einer Liste Der geometrische Mittelwert einer Stichprobe wird wie folgt definiert xg = n n ∏x k =1 k = n x1 ⋅ x 2 L x n Um den geometrischen Mittelwert der in S gespeicherten Liste zu berechnen, können wir wie folgt vorgehen: 1. Wenden Sie die Funktion ΠLIST() auf die Liste S an: 2. Wenden Sie die Funktion XROOT(x,y), d. h.
Gewogenes Mittel Angenommen, die Daten in Liste S, wie oben definiert, also S = {1,5,3,1,2,1,3,4,2,1} werden von folgenden Gewichten beeinflusst W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Wenn wir die Liste der Gewichte als W = {w1,w2,…,wn} erstellen, stellen wir fest, dass das k-te Element in der Liste W, durch wk = k definiert werden kann.
2. Wenden Sie die Funktion ΣLIST auf das erzielte Ergebnis an, um den Zähler sw zu berechnen: 3. Wenden Sie die Funktion ΣLIST ein weiteres Mal an, um den Nenner von sw zu berechnen: 4. Verwenden Sie den Ausdruck ANS(2)/ANS(1), um das ausgewogene Mittel zu berechnen: Somit ist das ausgewogene Mittel einer Liste S mit Gewichten in Liste W gleich sw= 2,2.
Anmerkung: ANS(1) bezieht sich auf das letzte Ergebnis (55), während sich ANS(2) auf das vorletzte Ergebnis (121) bezieht. Statistiken gruppierter Daten Gruppierte Daten werden normalerweise als Tabelle, unter Angabe der Frequenz (w) der Daten in Klassen oder Bins angezeigt. Jede Klasse oder Bin wird durch eine Klassenmarke (s), normalerweise der Mittelpunkt der Klasse, repräsentiert.
n s= ∑ wk ⋅ s k k =1 n ∑w k =1 wobei N = n = ∑w k =1 k ⋅ sk , N k n ∑w k =1 k den gesamten Häufigkeitszähler darstellt. Der Mittelwert der Daten in Liste S und W kann somit mit folgendem Verfahren, wie oben für den gewogenen Mittelwert hervorgehoben, berechnet werden, d. h.
Die Standardabweichung der gruppierten Daten ist die Quadratwurzel der Abweichung: Seite 8-24
Kapitel 9 Vektoren Dieses Kapitel stellt Beispiele zur Eingabe und Operation mit Vektoren zur Verfügung, für beide, den mathematischen bestehend aus vielen Elementen, aber auch den physikalischen bestehend aus nur 2 bis 3 Komponenten. Definitionen Aus mathematischer Sicht ist ein Vektor eine Gruppierung von 2 oder mehr in einer Spalte oder Zeile angeordneten Elemente. Diese bezeichnen wir als Zeilen- oder Spaltenvektoren.
parallel zu Vektor A wenn k>0 oder antiparallel zu Vektor A, wenn k<0 ist. Die Negative eines Vektors wird als –A = (–1)A = [–Ax, –Ay, –Az] definiert. Division durch eine Skalarzahl kann als Multiplikation interpretiert werden, d. h. A/k = (1/k)⋅A. Addition und Subtraktion von Vektoren wird als A±B = [Ax ± Bx, Ay ± By, Az ± By] definiert, wobei B den Vektor B = [Bx, By, Bz] darstellt.
Eingabe von Vektoren in den Stack Ist der Taschenrechner im ALG-Modus, wird der Vektor durch Öffnen eines Klammerpaares („Ô) und eintippen der Komponenten oder Elemente innerhalb dieser, durch Komma getrennt (‚í), eingegeben. Die nachfolgenden Abbildungen zeigen die Eingabe eines numerischen, gefolgt von einem algebraischen Vektor. Die linke Abbildung zeigt den algebraischen Vektor vor Drücken der Taste „.
Eingabe von Vektoren mithilfe des MatrixWriters (MTRW) Vektoren können auch über den MatrixWriter „² , eingegeben werden (dritte Taste vierte Reihe von oben). Dieser Befehl erzeugt eine Art Tabelle, welche den Reihen und Spalten einer Matrix entspricht (Details zur Anwendung und Benutzung des MatrixWriters werden in einem nachfolgenden Kapitel erörtert). Für einen Vektor möchten wir Daten nur in die oberste Reihe eingeben. Standardmäßig ist die Zelle der ersten Zeile und Spalte ausgewählt.
einen Vektor im Gegensatz zur Matrix angewendet werden. Deshalb behalten wir die Funktionstaste @VEC selektiert, während wir den MatrixWriter benutzen. Die Taste ←@WID wird verwendet, um die Breite der Spalten in der Tabelle zu verringern. Drücken Sie die Taste mehrmals, um zu sehen wie sich die Spaltenbreite im MatrixWriter verringert. Die Taste @WID→ wird verwendet, um die Breite der Spalten in der Tabelle zu vergrößern.
Die Taste @+COL@ trägt eine ganze Spalte Nullen an der Stelle der ausgewählten Zelle der Tabelle ein. Die Taste @-COL@ löscht die Spalte in der sie eine Zelle ausgewählt haben. Die Taste @→STK@@ verschiebt den Inhalt der ausgewählten Zelle in den Stack. Wenn die Taste @GOTO@ gedrückt ist, wird der Anwender aufgefordert die Zahl für die Zeile und Spalte, an die der Cursor positioniert werden soll, einzugeben.
(9) Drücken Sie `. Dies sollte eine Null an Position (3,3) eintragen, trotzdem aber scheint diese Funktion einwandfrei zu funktionieren. Zusammenfassung der Verwendung des MatrixWriters zur Eingabe von Vektoren Zusammengefasst, um einen Vektor anhand des MatrixWriters einzugeben, starten Sie diesen („²) und geben Sie die Elemente des Vektors ein, indem Sie nach jedem einzelnen Element die Taste ` drücken. Drücken Sie anschließend ``. Stellen Sie sicher, dass die Tasten @VEC und @GO→ @ ausgewählt sind.
Im RPN-Modus, nimmt die Funktion [→ARRY] die Objekte aus den StackEbenen n+1, n, n-1, …, bis hin zu Ebenen 3 und 2 und konvertiert diese in einen Vektor bestehend aus n Elementen. Das Objekt, das sich ursprünglich in Stack-Ebene n+1 befindet, wird so zum ersten Element, das Objekt aus Ebene n das zweite Element und so weiter. Anmerkung: Die Funktion ARRY kann auch über das Menü PRG/TYPE („°) aufgerufen werden.
Sie können auch kompliziertere Ausdrücke, in denen die Elemente von A vorkommen, erstellen. So können wir z. B. mithilfe des EquationWriters (‚O) die folgende Summenbildung der Elemente aus A eingeben: Markieren wir nun den gesamten Ausdruck und benutzen die Funktionstaste @EVAL@, erhalten wir das Ergebnis: -15. Anmerkung: Vektor A können wir auch als indexierte Variable bezeichnen, weil A nicht nur einen, sondern mehrere Werte, welche durch den Unterindex identifiziert werden, darstellt.
Im RPN-Modus können sie den Wert eines Elementes aus A ändern, indem Sie einen neuen Wert in diesem Element speichern. Wenn wir z. B. den Inhalt von A(3) von seinem derzeitigen Wert -3 auf 4,5 ändern möchten, gehen wir wie folgt vor: 4.5`³~a„Ü 3`K Um diese Änderung zu überprüfen drücken wir: ‚@@@@A@@. Das Ergebnis sieht nun wie folgt aus: [-1 -2 4.5 -4 -5 ].
Änderung des Vorzeichens Um das Vorzeichen eines Vektors zu ändern, benutzen Sie die Taste \, z. B. Addition, Subtraktion Bei der Addition und Subtraktion von Vektoren müssen die beiden Operanden des Vektors die gleiche Länge haben: Ein Versuch Vektoren verschiedener Länge zu addieren oder zu subtrahieren, erzeugt eine Fehlermeldung (Invalid Dimension – ungültige Größe), so z. B. v2+v3, u2+u3, A+v3, usw.
[A1,A2,…,An] wird wie folgt definiert | A |= Ax2 + Ay2 + L + Az2 . Im ALG- Modus geben Sie den Namen der Funktion, gefolgt von den Argumenten des Vektors, ein. So zum Beispiel wird der Ausdruck ABS([1,-2,6]), ABS(A), ABS(u3) in der Anzeige wie folgt aussehen: Das Menü MTH/VECTOR Das Menü MTH („´) enthält ein für Objekte von Vektoren spezifisches Funktionsmenü.
Skalarprodukt Die Funktion DOT wird zur Berechnung des Skalarproduktes zweier Vektoren der gleichen Länge verwendet. Einige Beispiele zur Anwendung der Funktion DOT, unter Verwendung der zuvor gespeicherten Vektoren A, u2, u3, v2, and v3, werden als Nächstes im ALG-Modus gezeigt.
Der Versuch ein Kreuzprodukt zweier Vektoren deren Länge nicht 2 oder 3 ist, wird eine Fehlermeldung erzeugen: (Invalid Dimension), z. B. CROSS(v3,A), usw. Zerlegen eines Vektors Zum Zerlegen eines Vektors in seine Elemente und Komponenten wird die Funktion V verwendet. Wird diese im ALG-Modus benutzt, erzeugt V eine Liste mit den Elementen des Vektors, z. B. Wenn im RPN-Modus angewendet, listet die Funktion V die Liste der Elemente im Stack auf, z. B.
Erstellen eines dreidimensionalen Vektors Die Funktion V3 wird im RPN-Modus zur Erstellung eines Vektors mit den Werten in Stack-Ebene 1:, 2: und 3: verwendet. Ihre Anzeige, vor und nach Anwenden der Funktion V2, wird wie folgt aussehen: Änderung des Koordinatensystems Um das aktuelle Koordinatensystem in ein rechtwinkliges (Kartesisches), zylindrisches (Polar) oder sphärisches zu ändern, werden die Funktionen RECT, CYLIN und SPHERE verwendet.
Um anstelle einer Kartesischen Komponente eines Vektors eine zylindrische (Polar) Komponente einzugeben, müssen wir die Magnitude r zur Verfügung stellen, die Projektion des Vektors auf die x-y Ebene, einen Winkel θ (im aktuellen Winkelmaß), welcher die Neigung von r auf die positive x-Achse darstellt, sowie eine Z-Komponente des Vektors. Dem Winkel θ muss das Winkelzeichen (∠) vorangesetzt sein, erzeugt mit den Tasten ~‚6. Nehmen wir z. B.
Die nachfolgende Abbildung zeigt die Umwandlung des Vektors von sphärische in Kartesische Koordinaten, mit x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin (φ) cos (θ), z = ρ cos(φ). In diesem Fall ist x = 3,204, y = 1,494 und z = 3,536 Wenn das CYLINdrical (zylindrische) System gewählt wurde, erscheint in der obersten Zeile des Displays ein Feld R∠Z und ein in zylindrischen Koordinaten eingegebener Vektor mit dessen zylindrischen (Polar) Koordinaten als (r,θ,z).
Ist das zylindrische Koordinatensystem ausgewählt und wir geben einen Vektor mit sphärischen Koordinaten, wird dieser automatisch in seine zylindrischen (Polar) Äquivalente (r,θ,z) geändert, wobei r = ρ sin φ, θ = θ, z = ρ cos ist. Nachfolgend sehen Sie ein Beispiel eines Vektors, der mit sphärischen Koordinaten eingegeben und in seine Polar-Koordinaten umgewandelt wurde.
Resultante von Kräften Angenommen, ein Teilchen wird nachfolgenden Kräften (in N) ausgesetzt: F1 = 3i+5j+2k, F2 = -2i+3j-5k und F3 = 2i-3k. Um die Resultante zu ermitteln, d. h. die Summe all dieser Kräfte, können Sie im ALG-Modus folgenden Ansatz verwenden: Somit ist die Resultante R = F1+ F2 + F3 = (3i+8j-6k)N.
Dies ergibt das Ergebnis θ = 122,891o. Im RPN-Modus gehen Sie wie folgt vor: [3,-5,6] ` [2,1,-3] ` DOT [3,-5,6] ` ABS [2,1,-3] ` ABS * / ACOS NUM Kraftmoment Das Moment das von einer Kraft F auf einen Punkt O ausgeübt wird, wird als Kreuzprodukt M = r×F bezeichnet, wobei r, auch als Kraftarm bekannt ist und die Position des Vektors in Punkt O in Richtung des Anwendungspunktes der Kraft darstellt. Angenommen, eine Kraft F = (2i+5j-6k) hat einen Kraftarm von r = (3i-5j+4k)m.
Somit beträgt der Winkel zwischen den Vektoren r und F θ = 41,038o. Im RPN-Modus können wir wie folgt vorgehen: [3,-5,4] ` [2,5,-6] ` CROSS ABS [3,-5,4] ` ABS [2,5,-6] ` ABS * / ASIN NUM Gleichung einer Ebene im Raum Nehmen wir an, dass wir einen Punkt P0(x0,y0,z0) im Raum haben und einen Vektor N = Nxi+Nyj+Nzk normal zu einem Punkt auf dieser Ebene, welche den Punkt P0 enthält hat, unser Problem ist es die Gleichung für diese Ebene zu finden.
Schließlich nehmen wir das Skalarprodukt von ANS(1) und ANS(4) und setzen dies gleich Null, um die Operation N•r =0 zu vervollständigen: Nun können wir die Funktion EXPAND (im ALG-Menü) verwenden, um den Ausdruck zu expandieren (aufzufächern): Somit ist die Gleichung der Ebene durch den Punkt P0(2,3,-1) mit einem normalen Vektor von N = 4i+6j+2k, 4x + 6y + 2z – 24 = 0.
[[1.2],[2.5],[3.2],[4.5],[6.2]] ` Dies wird im nachfolgenden Spaltenvektor dargestellt: In diesem Abschnitt zeigen wir Ihnen, wie Sie einen Spalten- in einen Zeilenvektor, einen Zeilen- in einen Spaltenvektor, eine Liste in einen Vektor und einen Vektor (oder Matrix) in eine Liste umwandeln können. Zunächst zeigen wir diese Umwandlungen im RPN-Modus. In diesem Modus verwenden wir die Funktionen OBJ , LIST, ARRY und DROP, um die Umwandlung durchzuführen.
Wird die Funktion OBJ auf einen Vektor angewandt, wird eine Liste mit den Elementen des Vektors im Stack angezeigt, die Anzahl der Elemente des Vektors innerhalb von Klammern (eine Liste) in Stack-Ebene 1. Folgendes Beispiel veranschaulicht diese Anwendung: [1,2,3] ` „°@)TYPE! @OBJ @ ergibt: Wenden wir nun die Funktion OBJ erneut an, wird die Liste {3.
Funktion ARRY Diese Funktion wird zur Erstellung eines Vektors oder einer Matrix verwendet. In diesem Abschnitt werden wir diese zur Erstellung eines Vektors oder eines Spaltenvektors (d. h. eine Matrix aus n Zeilen und einer Spalte) verwenden. Um einen regulären Vektor zu erstellen, tragen wir die Elemente des Vektors in den Stack ein und in Stack-Ebene 1 geben wir die Vektorgröße als Liste an, z. B.: 1` 2` 3` „ä 3` „°@)TYPE! ! ARRY@ ein.
3 - die Funktion ARRY verwenden, um den Spaltenvektor zu erzeugen Wir können diese drei Schritte in ein UserRPL-Programm, wie nachfolgend (im RPN-Modus, immer noch) gezeigt, eingeben: ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ 1 + ! ARRY@ `³~~rxc` K Eine neue Variable, @@RXC@@, wird nach Drücken von J im Funktionsmenü zur Verfügung stehen: Drücken Sie ‚@@RXC@@, um das in der Variablen RCX enthaltene Programm anzuzeigen: << OBJ 1 + ARRY >> Diese Variable, @@RXC@@, kann nun zur direkten Umwandlung eines Zeilenvektors in einen S
Umwandlung eines Spaltenvektors in einen Zeilenvektor Um diese Umwandlung zu veranschaulichen, geben wir den Spaltenvektor [[1],[2],[3]] im RPN-Modus ein. Gehen Sie dann wie in nachfolgender Übung gezeigt vor, um den Spalten- in einen Zeilenvektor umzuwandeln.
4 - verwenden Sie die Funktion LIST, um eine Liste zu erzeugen 5 - verwenden Sie die Funktion ARRY, um den Zeilenvektor zu erzeugen Wir können diese fünf Schritte wie nachfolgend (immer noch im RPN-Modus) gezeigt, in ein UserRPL-Programm eingeben: ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ @OBJ @ „°@)STACK @DROP „°@)TYPE! ! LIST@ ! ARRY@ ` ³~~cxr ` K Eine neue Variable, @@CXR@, wird nach Drücken von J im Funktionsmenü zur Verfügung stehen: Drücken Sie ‚@@CXR@@, um das in der Variablen CXR enthaltene Programm anzuzeigen: << OB
[[1],[2],[3]] ` J @@CXR@@ „Ü „î Das Resultat sieht dann so aus: Eine Liste in einen Vektor umwandeln Um diese Umwandlung zu veranschaulichen, geben wir die Liste {1,2,3}im RPN-Modus ein. Gehen Sie dann wie in der folgenden Übung gezeigt vor, um die Liste in einen Vektor umzuwandeln. 1 - verwenden Sie die Funktion OBJ , um den Spaltenvektor zu zerlegen 2 - geben Sie eine 1 ein und verwenden dann die Funktion LIST, um eine Liste in Stack-Ebene 1 zu erstellen.
‚å„°@)TYPE! @OBJ @ @OBJ 1 ! LIST@ ! ARRY@ ` ³~~lxv ` K Eine neue Variable, @@LXV@@, wird nach Drücken der Taste J unter den Funktionstasten zur Verfügung stehen. Drücken Sie ‚@@LXV@@, um das in der Variablen LVX enthaltene Programm anzuzeigen: << OBJ 1 LIST ARRY >> Die Variable @@LXV@@ kann nun zur direkten Umwandlung einer Liste in einen Vektor verwendet werden. Geben Sie im RPN-Modus den Zeilenvektor ein, und drücken Sie anschließend @@LXV@@. Versuchen Sie z. B.: {1,2,3} ` @@LXV@@.
Als Beispiel wenden Sie im RPN-Modus die Funktion AXL auf den Vektor [1,2,3] unter Verwendung von [1,2,3] ` AXL an. Die folgende Anzeige zeigt die Anwendung der Funktion AXL auf den gleichen Vektor im ALG-Modus.
Kapitel 10 Erstellen und Manipulieren von Matrizen In diesem Kapitel finden Sie Beispiele zur Erstellung von Matrizen im Taschenrechner und zur Veranschaulichung der Manipulation von MatrizenElementen. Definitionen Bei einer Matrix handelt es sich ganz einfach um ein rechtwinkliges Array von Objekten (d. h. Zahlen, Algebraiks), bestehend aus mehreren Zeilen und Spalten. Eine Matrix A mit n Zeilen und m Spalten enthält somit n×m Elemente.
1, if i = j δ ij = . 0, if i ≠ j Eingaben von Matrizen in den Stack In diesem Abschnitt werden zwei unterschiedliche Methoden zur Eingabe von Matrizen in den Stack des Taschenrechners gezeigt: (1) mithilfe des Matrix Editors und (2) durch direktes Eingeben der Matrix in den Stack. Verwendung des Matrix Editors Analog zu Vektoren, wie in Kapitel 9 beschrieben, können Matrizen mithilfe des Matrix Editors in den Stack eingegeben werden. Um z. B. die folgende Matrix einzugeben: − 2 .5 4 .2 2 .0 0 .
Bei ausgewählter Textbuch-Anzeige (über H@)DISP! und angekreuzt), wird die Matrix wie oben angezeigt, folgendermaßen: Textbook andernfalls Im RPN-Modus wird die Anzeige annähernd gleich dargestellt. Anmerkung: Der Matrix Writer wurde in Kapitel 9 ausführlich erklärt. Die Matrix direkt in den Stack eingeben Dasselbe Ergebnis wie oben wird erzielt, wenn Nachfolgendes direkt in den Stack eingeben wird: „Ô „Ô 2.5\ ‚í 4.2 ‚í 2 ™ ‚í „Ô .3 ‚í 1.9 ‚í 2.8 ™ ‚í „Ô 2 ‚í .1\ ‚í .
Speichern Sie diese Matrix nun für spätere Übungen unter dem Namen A. Verwenden Sie hierzu im ALG-Modus K~a, im RPN-Modus ³~a K.
Das Untermenü MATRICES/CREATE (der Einfachheit halber als Menü CREATE bezeichnet) enthält die folgenden Funktionen: Wenn Sie die Menüs (MAKE und CREATE) näher betrachten, werden Sie feststellen, dass beide die gleichen Funktion enthalten (GET, GETI, PUT, PUTI, SUB, REPL, RDM, RANM, HILBERT, VANDERMONDE, IDN, CON, →DIAG und DIAG→). Im Menü CREATE finden Sie die Untermenüs COLUMN (Spalte) und ROW (Zeile), welche Sie jedoch auch im Menü MTH/MATRIX finden.
Ist Systemflag 117 auf SOFT-Menüs eingestellt, können die Funktionen des Menüs CREATE über „Ø)@CREAT ausgewählt werden und werden wie folgt dargestellt: In den nächsten Abschnitten wird die Anwendung der Matrix-Funktionen im Menü MAKE und CREATE vorgestellt. Funktionen GET und PUT Die Funktionsweise von GET, GETI, PUT und PUTI mit Matrizen ist mit derjenigen mit Listen oder Vektoren vergleichbar, d. h., Sie müssen die Position der Elemente, welche Sie mit GET oder PUT verwenden möchten, angeben.
Im RPN-Modus kann dies auf folgende Weise erfolgen: J @@@A@@@ {3,1} ` „ì PUT. Alternativ kann im RPN-Modus auch Nachfolgendes eingegeben werden: „ì³A(2,3) ` K. Um den Inhalt der Variablen A anzuzeigen, drücken Sie @@@A@@@. Funktionen GETI und PUTI Die Funktionen PUTI und GETI werden in UserRPL-Programmen verwendet, da sie in der Lage sind, einen Index für wiederholte Verwendung von PUT und GET zu speichern. Die Liste von Indizes in Matrizen variiert zunächst in Spalten.
In diesem Fall wurde die 2 in Position {3 1} ersetzt, d. h. jetziger Wert A(3,1) = 2 und die Indexliste um 1 (Spalte zuerst), d. h. von {3,1} auf {3,2} erhöht. Die Matrix befindet sich in Ebene 2 und die um einen Schritt erhöhte Indexliste in Ebene 1. Funktion SIZE Die Funktion SIZE stellt eine Liste bereit, in welcher die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix in Stack Ebene 1 angezeigt wird.
Anmerkung: Im Taschenrechner steht auch die Funktion TRAN im Untermenü MATRICES/OPERATIONS zur Verfügung: So z. B. im ALG-Modus: Funktion CON Das Argument der Funktion ist eine Liste zweier Elemente, entsprechend der Anzahl der Zeilen und Spalten der zu erzeugenden Matrix und einem konstanten Wert. Die Funktion CON erstellt eine Matrix mit konstanten Elementen. So erzeugt z. B.
Funktion IDN Die Funktion IDN (IDeNtity matrix) erstellt eine Identitätsmatrix von vorgegebener Größe. Beachten Sie, dass es sich bei einer Identitätsmatrix um eine hermitische Matrix handeln muss. Es wird nur ein Wert benötigt, um diese vollständig zu beschreiben. Um z. B. eine Identitätsmatrix von 4×4 im ALG-Modus zu erstellen, verwenden Sie: Sie können jedoch ebenso eine bestehende hermitische Matrix als Argument der Funktion IDN verwenden, z. B.
Umdimensionieren eines Vektors in eine Matrix Die nachfolgenden Beispiele veranschaulichen, wie im ALG-Modus ein Vektor, bestehend aus 6 Elementen, in eine Matrix von 2 Zeilen und 3 Spalten umdimensioniert wird: Um die obige Matrix im RPN-Modus zu erstellen, kann hierzu die Abfolge [1,2,3,4,5,6] ` {2,3} ` RDM verwendet werden.
Im RPN-Modus verwenden Sie {6} ` RDM, vorausgesetzt, die Matrix befindet sich im Stack. Anmerkung: Die Funktion RDM stellt einen direkteren und effizienteren Weg zur Umwandlung von Listen in Arrays und umgekehrt als diejenige Möglichkeit dar, die am Ende von Kapitel 9 beschrieben wurde. Funktion RANM Die Funktion RANM (RANdom Matrix) erstellt eine Matrix mit zufällig erzeugten Integer-Elementen, mit vorgegebener Liste der Anzahl der Zeilen und Spalten (die Dimensionen der Matrix). So werden z. B.
Im RPN-Modus, vorausgesetzt, die ursprüngliche Matrix 2×3 befindet sich bereits im Stack, verwenden wir {1,2} ` {2,3} ` SUB. Funktion REPL Die Funktion REPL ersetzt oder fügt eine Untermatrix in eine größere Matrix ein. Die Eingabe für diese Funktion ist die Matrix, in welcher der Austausch erfolgen soll, die Position an welcher dieser Austausch zu erfolgen hat und die einzufügende Matrix.
Funktion →DIAG Die Funktion →DIAG nimmt die Hauptdiagonale einer hermitischen Matrix mit den Dimensionen n×n und erstellt einen Vektor mit der Dimension n, der die Elemente der Hauptdiagonalen enthält. So können wir z. B. für die Matrix, die uns aus vorangegangenem Beispiel bleibt, die Hauptdiagonale wie folgt extrahieren: Im RPN-Modus, die Matrix 3×3 befindet sich im Stack, müssen wir einfach nur die Funktion DIAG starten, um das gleiche Ergebnis wie oben zu erzielen.
In diesem Fall soll eine 3×2 Matrix, mit so vielen Elementen des Vektors [1,2,3,4,5] wie möglich als Hauptdiagonalelemente erzeugt werden. Die Hauptdiagonale für eine rechtwinklige Matrix beginnt in Position (1,1) und bewegt sich weiter zu (2,2), (3,3) usw. bis entweder die Anzahl der Zeilen oder der Spalten aufgebraucht ist. In diesem Fall wurde die Anzahl der Spalten (2) vor der Anzahl der Zeilen (3) aufgebraucht, sodass die Hauptdiagonale nur die Elemente in den Positionen (1,1) und (2,2) enthält.
Funktion HILBERT Die Funktion HILBERT erstellt die Hilbert-Matrix für eine Dimension n. Die n×n Hilbert-Matrix Hn = [hjk]n×n, verhält sich wie folgt h jk = 1 j + k −1 Die Hilbert-Matrix wird zur Anpassung numerischer Kurven durch die lineare Quadrat-Methode verwendet. Programm zur Erstellung einer Matrix aus einer Anzahl von Listen In diesem Abschnitt stellen wir einige UserRPL-Programme zur Erstellung einer Matrix aus einer Anzahl von Listen von Objekten zur Verfügung.
„°@)BRCH! @)FOR@! @FOR@ ~„j „°@)TYPE OBJ ARRY@ „°@)BRCH! @)@IF@@ @@IF@@ ~ „j# ~ „n „°@)TEST! @@@<@@@ „°@)BRCH! @)@IF@ @THEN ~ „j #1+ „°@)STACK! L@ROLL „°@)BRCH! @)@IF@ @END „°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT „°@)BRCH! @)@IF@ @@IF@@ ~ „n #1 „°@)TEST! @@@>@@@ „°@)BRCH! @@IF@ @THEN 1# ~ „n #1„°@)BRCH! @)FOR@! @FOR@ ~ „j # ~ „j #1+ „°@)STACK! L@ROLL! „°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT! „°@)BRCH! )@@IF@! @END@ ~„n # „´@)MATRX! @)COL! @COL! FOR j OBJ ARRY IF j n < THEN j1 + ROLL END NEXT IF n1 > THEN 1 n1FOR j j1+ ROLL NEXT EN
« DUP → n « 1 SWAP FOR j OBJ→ →ARRY IF j n < THEN j 1 + ROLL END NEXT IF n 1 > THEN 1 n 1 - FOR j j 1 + ROLL NEXT END n COL→ » » Um dieses Programm im RPN-Modus zu verwenden, geben Sie die n Einträge in der Reihenfolge, in welcher diese als Spalten der Matrix dargestellt werden sollen, ein, tragen dann den Wert n ein und drücken @CRMC.
‚@CRMC ˜‚˜—ššš ƒƒƒ ~~row~` Das Programm CRMC im Stack listen Ans Ende des Programms gehen Löschen von COL ROW eintippen, ins Programm gehen Zum Speichern des Programms verwenden Sie: ³~~crmr~ K {1,2,3,4} ` {1,4,9,16} ` {1,8,27,64} ` 3 ` @CRMR Ihre Anzeige wird im RPN-Stack wie folgt aussehen – vor und nach Anwendung des Programms @CRMR: Diese Programme werden hauptsächlich bei statistischen Anwendungen verwendet, im Speziellen jedoch bei der Erstellung der Statistik-Matrix ΣDAT.
Beide Ansätze weisen die gleichen Funktionen auf: Ist das Systemflag 117 auf SOFT-Menüs gesetzt, kann das Menü COL entweder über „´!)MATRX !)@MAKE@ !)@@COL@ oder über „Ø!)@CREAT@ !)@@COL@ aufgerufen werden. Beide Ansätze weisen dieselben Funktionen auf: Die Anwendung dieser Funktionen wird nachfolgend dargestellt. Funktion →COL Die Funktion →COL nimmt als Argument eine Matrix und zerlegt diese in Vektoren, entsprechend ihrer Spalten. Nachfolgend wird eine Anwendung der Funktion COL im ALG-Modus gezeigt.
Im RPN-Modus müssen Sie die Matrix zuerst in den Stack laden, und dann erst die Funktion COL, d. h. @@@A@@@ COL starten. Nachfolgende Abbildungen zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion COL. In diesem Ergebnis befindet sich die erste Spalte nach der Zerlegung in der obersten Stack-Ebene, während in Stack-Ebene 1 die Anzahl der Spalten der ursprünglichen Matrix zu finden ist. Die Matrix bleibt bei der Zerlegung nicht erhalten, d. h. sie ist im Stack nicht mehr verfügbar.
Funktion COL+ Die Funktion COL+ nimmt als Argumente eine Matrix, einen Vektor der gleichen Länge wie die Anzahl der Zeilen in der Matrix und eine Integer-Zahl n, die die Position einer Spalte darstellt. Die Funktion COL+ fügt den Vektor in Spalte n der Matrix ein. Als Beispiel setzen wir im ALG-Modus die zweite Spalte in Matrix A mithilfe des Vektors [-1,-2,-3] ein, d. h. Im RPN-Modus geben wir zuerst die Matrix ein, dann den Vektor und die Nummer der Spalte, bevor wir die Funktion COL+ anwenden.
Funktion CSWP Die Funktion CSWP (Column SWaP – Austauschen von Spalten) verwendet als Argumente zwei Indizes, beispielsweise i und j, (welche zwei unterschiedliche Spalten in der Matrix darstellen) und eine Matrix und erstellt daraus eine neue Matrix mit den Spalten i und j vertauscht. Das nachfolgende Beispiel, im ALGModus, zeigt die Anwendung dieser Funktion. Als Beispiel nehmen wir die in der Variablen A gespeicherte Matrix. Zuerst wird diese Matrix gelistet.
aufgerufen werden, während Systemflag 117 auf CHOOSE boxes gesetzt wurde: oder über das Untermenü MATRICES/CREATE/ROW: Beide Ansätze weisen die gleichen Funktionen auf: Ist das Systemflag 117 auf SOFT-Menüs gesetzt, kann das Menü ROW entweder über „´!)MATRX !)@MAKE@ !)@@ROW@ oder über „Ø!)@CREAT@ !)@@ROW@ aufgerufen werden. Beide Ansätze weisen dieselben Funktionen auf: Die Anwendung dieser Funktionen wird nachfolgend dargestellt.
einem früheren Zeitpunkt bereits in der Variablen A gespeichert. Die Matrix ist in der linken Abbildung zu sehen: Die rechte Abbildung zeigt die in Zeilen zerlegte Matrix. Verwenden Sie den Zeileneditor, um das gesamte Ergebnis anzuzeigen (klicken Sie sich mit der Taste ˜durch). Im RPN-Modus müssen Sie die Matrix zuerst in den Stack laden, und dann erst die Funktion ROW, d. h. @@@A@@@ ROW starten. Die folgenden Abbildungen zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion ROW.
Geben Sie im RPN-Modus die n Vektoren in die Stack-Ebenen n+1, n, n1,…,2 ein und anschließend die Zahl n in Stack-Ebene 1. So eingegeben, wird die Funktion ROW die Vektoren als Zeilen in die Matrix eingeben. Die nachfolgende Abbildung zeigt den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion ROW . Funktion ROW+ Die Funktion ROW+ nimmt als Argument eine Matrix, einen Vektor der gleichen Länge wie die Anzahl der Zeilen in der Matrix und eine Integer-Zahl n, die die Position einer Zeile darstellt.
Im RPN-Modus laden Sie die Matrix erst in den Stack, dann geben Sie die Zahl, die eine Zeile der Matrix darstellt, vor Anwendung der Funktion ROWein. Die nachfolgende Abbildung zeigt den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion ROW-.
Funktion RCI Die Funktion RCI steht für Multiplikation der Zeile I mit einem konstanten Wert und Ersetzen der so entstandenen Zeile an der gleichen Stelle wie die vorhergehende. Das nachfolgende Beispiel, im ALG-Modus, nimmt die in der Variablen A gespeicherte Matrix und multipliziert den konstanten Wert 5 mit der Zeile Nr. 3, und ersetzt diese Zeile mit dem Produkt der Multiplikation. Die gleiche Übung wird in nachfolgender Abbildung im RPN-Modus angezeigt.
Im RPN-Modus, geben Sie zuerst die Matrix, gefolgt von der Konstanten, ein dann die Zeile, die mit der Konstanten multipliziert werden soll und schließlich dann die Zeile, die ersetzt werden soll.
Kapitel 11 Matrix-Operationen und lineare Algebra In Kapitel 10 führten wir das Konzept der Matrix ein und stellten mehrere Funktionen zum Eingeben, Erstellen und Bearbeiten von Matrizen vor. In diesem Kapitel präsentieren wir Beispiele für Matrix-Operationen und Anwendungen in Bezug auf Probleme der linearen Algebra. Operationen mit Matrizen Matrizen können wie andere mathematische Objekte addiert und subtrahiert werden. Sie können mit einem Skalar oder auch miteinander multipliziert werden.
Im RPN-Modus lauten die Schritte {2,2}` RANM 'A22'K {2,3}` RANM 'A23'K {3,2}` RANM 'A32'K {3,3}` RANM 'A33'K wie folgt: {2,2}` {2,3}` {3,2}` {3,3}` RANM RANM RANM RANM 'B22'K 'B23'K 'B32'K 'B33'K Addition und Subtraktion Gegeben seien zwei Matrizen A = [aij]m×n und B = [bij]m×n. Diese beiden Matrizen können nur addiert bzw. subtrahiert werden, wenn die Anzahl ihrer Zeilen und Spalten übereinstimmt. Die resultierende Matrix C = A ± B = [cij]m×n besitzt die Elemente cij = aij ± bij.
Multiplikation mit einem Skalar Durch Multiplikation der Matrix A = [aij]m×n mit einem Skalar ergibt sich die Matrix C = kA = [cij]m×n = [kaij]m×n. Eine negative Matrix wird durch die Operation -A =(-1)A = [-aij] m×n definiert. Unten sind einige Beispiele für die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar dargestellt. Durch die Kombination von Addition und Subtraktion mit der Skalarmultiplikation können wir lineare Kombinationen von Matrizen derselben Dimension bilden, z. B.
erfolgt nach den im nächsten Abschnitt dargestellten Regeln der MatrixMultiplikation. Es folgen mehrere Beispiele für die Matrix-Vektor-Multiplikation: Die Vektor-Matrix-Multiplikation ist hingegen nicht definiert. Diese Multiplikation kann jedoch als spezieller Fall der im Folgenden definierten Matrix-Multiplikation ausgeführt werden. Matrix-Multiplikation Die Matrix-Multiplikation ist durch Cm×n = Am×p⋅Bp×n, definiert, wobei A = [aij]m×p, B = [bij]p×n und C = [cij]m×n.
Die im vorherigen Abschnitt vorgestellte Matrix-Vektor-Multiplikation kann als Produkt einer m×n-Matrix mit einer n×1-Matrix (d. h. einem Spaltenvektor) gedacht werden, der eine m×1-Matrix (also einen anderen Vektor) ergibt. Überprüfen Sie die im vorherigen Abschnitt dargestellten Beispiele, um diese Aussage zu verifizieren. Für den Zweck der Matrixmultiplikation sind daher die in Kapitel 9 definierten Vektoren im Grunde genommen Spaltenvektoren.
Die Einheitsmatrix In Kapitel 9 wird die Einheitsmatrix als Matrix I = [δij]n×n vorgestellt, wobei δij die Kronecker-Deltafunktion darstellt. Einheitsmatrizen können durch Verwendung der in Kapitel 9 beschriebenen Funktion IDN erzeugt werden. Für die Einheitsmatrix gilt: A⋅I = I⋅A = A.
Beschreiben einer Matrix (Das Matrixmenü NORM) Das Matrixmenü NORM (NORMALIZE) wird mit der Tastenkombination „´ aufgerufen (Systemflag 117 ist auf CHOOSE boxes gesetzt): Das Menü enthält die folgenden Funktionen: Diese Funktionen werden im Folgenden beschrieben. Da viele dieser Funktionen Konzepte der Matrixtheorie, z. B. Singulärwerte, Rang usw., verwenden, enthalten die Beschreibungen der Funktionen kurze Darstellungen dieser Konzepte.
Wenn es sich bei der betreffenden Matrix um einen Zeilen- oder Spaltenvektor handelt, ist die Frobenius-Norm ||A||F einfach der Betrag des Vektors. Die Funktion ABS kann direkt über die Tastenkombination „Ê aufgerufen werden.
wobei es sich bei U und V um Orthogonalmatrizen und bei S um eine Diagonalmatrix handelt. Die diagonalen Elemente von S werden als Singulärwerte von A bezeichnet und sind in der Regel so angeordnet, dass für i = 1, 2, …, n-1 gilt, dass si ≥ si+1. Die Spalten [uj] von U und [vj] von V sind die entsprechenden Singulärvektoren. (Für Orthogonalmatrizen gilt: U⋅ UT = I. Eine Diagonalmatrix besitzt nur entlang ihrer Hauptdiagonalen Elemente ungleich Null.
Definition der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix Die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind das Ergebnis der Matrixgleichung A⋅x = λ⋅x. Die der Gleichung entsprechenden Werte von λ werden als Eigenwerte der Matrix A bezeichnet. Die für jeden Wert von λ aus der Gleichung resultierenden Werte von x werden als Eigenvektoren der Matrix bezeichnet. Weitere Informationen über das Berechnen von Eigenwerten und Eigenvektoren erhalten Sie im nächsten Kapitel.
an der Singularität. (Eine singuläre Matrix ist eine Matrix, für die keine inverse Matrix vorhanden ist.) Führen Sie für Matrix A33 folgende Übung zur Matrixkonditionszahl durch. Die Konditionszahl lautet COND(A33). Zeilennorm und Spaltennorm für A33 werden auf der linken Seite angezeigt. Die entsprechenden Zahlen für die inverse Matrix INV(A33) werden auf der linken Seite angezeigt: Da RNRM(A33) > CNRM(A33), ist ||A33|| = RNRM(A33) = 21.
wobei die Werte dj konstant sind, ist ck von den in der Summe enthaltenen Spalten linear unabhängig. (Beachten Sie, dass die Werte von j jeden Wert in der Menge {1, 2, …, n} in jeder beliebigen Kombination enthalten, solange j≠k.) Wenn der obige Ausdruck für keinen der Spaltenvektoren gebildet werden kann, sind alle Spalten linear unabhängig. Eine vergleichbare Definition der linearen Unabhängigkeit von Zeilen kann entwickelt werden, indem die Matrix als eine Spalte von Zeilenvektoren dargestellt wird.
Determinante einer Matrix Die Determinanten einer 2x2- und einer 3x3-Matrix werden durch dieselbe Anordnung der Elemente der Matrizen dargestellt, jedoch zwischen vertikalen Linien, also a11 a 21 a12 , a 22 a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 Eine 2×2-Determinante wird berechnet, indem die Elemente auf ihrer Diagonalen multipliziert und diese Produkte mit positivem bzw. negativem Vorzeichen addiert werden, wie im Diagramm unten dargestellt.
Determinanten für quadratische Matrizen höherer Ordnung können mithilfe von Determinanten niedrigerer Ordnung, die als Kofaktor bezeichnet werden, berechnet werden. Hierbei wird die Determinante einer n×n-Matrix (auch als n×n-Determinante bezeichnet) zu einer Summe der Kofaktoren „erweitert“, bei denen es sich um (n-1)×(n-1) Determinanten handelt, multipliziert mit den Elementen einer einzelnen Zeile oder Spalte, wobei die Vorzeichen abwechselnd positiv und negativ sind.
n tr (A ) = ∑ aii . i =1 Beispiele: Funktion TRAN Die Funktion TRAN gibt die Transponierte einer reellen Matrix oder die konjugierte Transponierte einer komplexen Matrix zurück. TRAN ist mit TRN äquivalent. Die Funktion TRN wurde in Kapitel 10 erläutert.
Die Funktionen ABS, CNRM, COND, DET, RANK, RNRM, SNRM, TRACE und TRAN sind auch im Menü MTH/MATRIX/NORM (das Thema des vorherigen Abschnitts) verfügbar. Die Funktion SIZE wurde in Kapitel 10 dargestellt. Die Funktion HADAMARD wurde bereits im Zusammenhang mit der MatrixMultiplikation vorgestellt. Die Funktionen LSQ, MAD und RSD werden bei der Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet und in einem späteren Abschnitt dieses Kapitels dargestellt.
Funktion sind zwei Ganzzahlen n und m, die die Anzahl der Zeilen und Spalten der zu erzeugenden Matrix darstellen, und ein Programm mit den Eingangswerten i und j. Die Zahlen n und m sowie das Programm belegen jeweils Ebene 3, 2 und 1 des Stacks. Die Funktion LCXM kann über den Befehlskatalog ‚Naufgerufen werden. Um beispielsweise eine 2´3-Matrix zu erzeugen, deren Elemente durch aij = (i+j)2 gegeben sind, speichern Sie zunächst im RPN-Modus das folgende Programm in der Variablen P1.
Lösung linearer Gleichungssysteme Ein System von n linearen Gleichungen mit m Variablen kann folgendermaßen beschrieben werden: a11⋅x1 + a12⋅x2 + a13⋅x3 + …+ a21⋅x1 + a22⋅x2 + a23⋅x3 + …+ a31⋅x1 + a32⋅x2 + a33⋅x3 + …+ . . . … . . . … an-1,1⋅x1 + an-1,2⋅x2 + an-1,3⋅x3 + …+ an1⋅x1 + an2⋅x2 + an3⋅x3 + …+ a1,m-1⋅x m-1 a2,m-1⋅x m-1 a3,m-1⋅x m-1 . . an-1,m-1⋅x m-1 an,m-1⋅x m-1 + a1,m⋅x m + a2,m⋅x m + a3,m⋅x m . . + an-1,m⋅x m + an,m⋅x m = b1, = b2, = b3, . . = bn-1, = bn.
Um das lineare Gleichungssystem A⋅x = b zu lösen, geben Sie die Matrix A im Format [[ a11, a12, … ], … [….]] in das Feld A: ein. Geben Sie außerdem den Vektor b in das Feld B: ein. Wenn das Feld X: markiert ist, drücken Sie [SOLVE]. Ist eine Lösung verfügbar, wird im Feld X: der Lösungsvektor x angezeigt. Die Lösung wird außerdem in Ebene 1 des Stacks kopiert. Es folgen einige Beispiele.
Drücken Sie ˜, um das Feld B: auszuwählen. Vektor b kann mit einfachen Klammern als Zeilenvektor eingegeben werden, d. h. [13,-13,-6] @@@OK@@@. Nachdem wir Matrix A und Vektor b eingegeben haben und das Feld X: markiert ist, können wir @SOLVE! drücken, um eine Lösung für dieses Gleichungssystem zu bestimmen: Die Lösung wird unten dargestellt. Um die Lösung im Stack anzuzeigen, drücken Sie `. Die Lösung lautet x = [1,2,-1].
Unterbestimmtes Gleichungssystem Das lineare Gleichungssystem 2x1 + 3x2 – 5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, kann als Matrixgleichung A⋅x = b beschrieben werden, wenn x1 2 3 − 5 A= , x = x 2 , und 1 − 3 8 x3 − 10 b= . 85 Dieses Gleichungssystem verfügt über mehr Unbekannte als Gleichungen und ist daher nicht eindeutig bestimmt.
Um ggf. Details des Lösungsvektors anzuzeigen, drücken Sie die Taste @EDIT!. Hierdurch wird MatrixWriter aktiviert. Verwenden Sie in MatrixWriter die Tasten mit dem Pfeil nach rechts bzw. nach links, um innerhalb des Vektors zu navigieren, z. B. Die Lösung lautet somit x = [15,373 2,4626 9,6268]. Um zum numerischen Gleichungslöser zurückzukehren, drücken Sie `. Das im Folgenden beschriebene Verfahren kann zum Kopieren von Matrix A und Lösungsvektor X in den Stack verwendet werden.
• • Drücken Sie @@@OK@@@ , um zum numerischen Gleichungslöser zurückzukehren. Drücken Sie `, um zum Stack zurückzukehren. Der Stack wird nun im ALG-Modus wie folgt angezeigt: Speichern Sie nun das letzte Ergebnis in einer Variablen X und die Matrix in einer Variablen A: Drücken Sie K~x`, um den Lösungsvektor in der Variablen X zu speichern. Drücken Sie ƒ ƒ ƒ, um drei Ebenen des Stacks zu leeren. Drücken Sie K~a`, um die Matrix in der Variablen A zu speichern.
Wie berechnet der Taschenrechner die zuvor dargestellte Lösung x = [15,37… 2,46… 9,62…]? Der Taschenrechner minimiert den Abstand von einem Punkt, der die Lösung darstellt, zu jeder der durch die Gleichungen im linearen Gleichungssystem dargestellten Ebenen. Der Taschenrechner verwendet die Methode der kleinsten Quadrate , d. h., die Summe der Quadrate dieser Abstände bzw. Fehler wird minimiert.
Um ggf. Details des Lösungsvektors anzuzeigen, drücken Sie die Taste @EDIT!. Hierdurch wird MatrixWriter aktiviert. Verwenden Sie in MatrixWriter die Tasten mit dem Pfeil nach rechts bzw. nach links, um innerhalb des Vektors zu navigieren, z. B. Drücken Sie `, um zum numerischen Gleichungslöser zurückzukehren. Um die Richtigkeit der Lösung zu überprüfen, gehen Sie folgendermaßen vor: • • • • • • Drücken Sie ——, um das Feld A: zu markieren. Drücken Sie L @CALC@ `, um Matrix A in den Stack zu kopieren.
Speichern Sie nun das letzte Ergebnis in einer Variablen X und die Matrix in einer Variablen A: Drücken Sie K~x`, um den Lösungsvektor in der Variablen X zu speichern. Drücken Sie ƒ ƒ ƒ, um drei Ebenen des Stacks zu leeren. Drücken Sie K~a`, um die Matrix in der Variablen A zu speichern. Überprüfen Sie nun die Lösung, indem Sie @@@A@@@ * @@@X@@@ ` drücken, sodass als Ergebnis der Vektor [8.6917… -3.4109… -1.1301…] angezeigt wird. Dies unterscheidet sich von [15 5 22], dem ursprünglichen Vektor b.
echte Lösung des Gleichungssystems, sondern lediglich der Wert mit dem kleinsten Residuum. Die Eingangswerte für die Funktion LSQ sind Vektor b und Matrix A in dieser Reihenfolge. Die Funktion LSQ ist über den Funktionskatalog (‚N) verfügbar.
x1 2 3 − 5 , x = x 2 , und A= 1 − 3 8 x3 − 10 b= . 85 Die mit LSQ ermittelte Lösung wird unten dargestellt: Überbestimmtes Gleichungssystem Gegeben sei das System x1 + 3x2 = 15, 2x1 – 5x2 = 5, -x1 + x2 = 22, 3 1 x A = 2 − 5, x = 1 , und x2 − 1 1 15 b = 5 . 22 Die mit LSQ ermittelte Lösung wird unten dargestellt: Vergleichen Sie diese drei Lösungen mit den Lösungen, die mit dem numerischen Gleichungslöser berechnet wurden.
Lösung mit der inversen Matrix Die Lösung des Gleichungssystems A⋅x = b, wobei A eine quadratische Matrix ist, lautet x = A-1⋅b. Dieses Ergebnis entsteht durch Multiplikation der ersten Gleichung mit A-1, also A-1⋅A⋅x = A-1⋅b. Definitionsgemäß ist A-1⋅A = I, daher schreiben wir I⋅x = A-1⋅b. Darüber hinaus ist I⋅x = x, somit gilt x = A1 ⋅b.
vorherigen Abschnitt. Das Verfahren für die „Division“ von b durch A wird unten für 2x1 + 3x2 – 5x3 = 13, x1 – 3x2 + 8x3 = -13, 2x1 – 2x2 + 4x3 = -6, veranschaulicht. In den folgenden Bildschirmabbildungen wird das Verfahren dargestellt: Es handelt sich um dieselbe Lösung, die oben mit der inversen Matrix ermittelt wurde.
14 9 − 2 B = 2 − 5 2 . 5 19 12 Die Indizes in den Variablennamen X, Y und Z geben an, auf welches Gleichungssystem sie sich beziehen. Zur Lösung dieses erweiterten Systems verwenden wir im RPN-Modus folgendes Verfahren: [[14,9,-2],[2,-5,2],[5,19,12]] ` [[1,2,3],[3,-2,1],[4,2,-1]] `/ Das Ergebnis dieser Operation lautet: 2 1 2 1 .
Wir speichern diese Gleichungen mit dem Taschenrechner in den Variablen E1, E2 bzw. E3, wie unten dargestellt. Für Backup-Zwecke wurde außerdem eine Liste mit den drei Gleichungen erstellt und in der Variablen EQS gespeichert. Falls eine fehlerhafte Eingabe erfolgt, sind die Gleichungen somit dennoch für den Benutzer verfügbar.
Anschließend ersetzen wir die dritte Gleichung E3 durch (Gleichung 3+6×Gleichung 2, also E2+6×E3) und erhalten Beachten Sie, dass der Taschenrechner beim Ausführen einer Linearkombination von Gleichungen das Ergebnis in einen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung ändert, d. h. Ausdruck = 0. Die letzte Gruppe von Gleichungen wird somit als folgende äquivalente Gruppe von Gleichungen interpretiert: X + 2Y + 3Z = 7, Y + Z = 3, -7Z = -14.
Anschließend setzen wir in E1 für Z=2 und für Y=1 ein und ermitteln X in E1: Die Lösung lautet somit X = -1, Y = 1, Z = 2. Beispiel für die Gauß-Elimination mit Matrizen Das im obigen Beispiel verwendete Gleichungssystem kann als Matrixgleichung A⋅x = b dargestellt werden, wenn wir schreiben: 6 14 X 2 4 A = 3 − 2 1 , x = Y , b = − 3.
Bei Matrix Aaug handelt es sich um die ursprüngliche Matrix A mit einer neuen Zeile, die den Elementen von Vektor b entspricht und rechts von der äußersten rechten Spalte von A eingefügt (d. h. erweitert) wird. Nachdem die erweiterte Matrix gebildet wurde, können wir mit ihr Zeilenoperationen durchführen, mit denen die ursprüngliche Matrix A zu einer oberen Dreiecksmatrix reduziert wird. Hierfür verwenden wir den RPN-Modus (H\@@OK@@), wobei Systemflag 117 auf Soft MENU gesetzt ist.
2 4 6 14 1 2 3 7 A aug = 3 − 2 1 − 3 ≅ 3 − 2 1 − 3 4 2 −1 − 4 4 2 −1 − 4 1 2 3 7 1 2 3 7 A aug ≅ 0 − 8 − 8 − 24 ≅ 0 1 1 3 0 − 6 − 13 − 32 0 − 6 − 13 − 32 A aug 1 2 3 7 ≅ 0 1 1 3 0 0 − 7 − 14 Das Symbol ≅ („entspricht“) gibt an, dass der folgende Ausdruck mit der vorherigen Matrix, auf die einige Zeilenoperationen (bzw. Spaltenoperationen) angewendet wurden, äquivalent ist.
Multiplizieren Sie Zeile 3 mit -1, und fügen Sie sie Zeile 2 hinzu, indem Sie diese ersetzen: 1\ # 3 #2 @RCIJ! Multiplizieren Sie Zeile 3 mit -3, und fügen Sie sie Zeile 1 hinzu, indem Sie diese ersetzen: 3\#3#1@RCIJ! Multiplizieren Sie Zeile 2 mit -2, und fügen Sie sie Zeile 1 hinzu, indem Sie diese ersetzen: 2\#2#1 @RCIJ! Wenn Sie diesen Vorgang manuell durchführen, ergeben sich folgende Schritte: A aug 1 2 3 7 1 2 3 7 1 2 3 7 = 0 1 1 3 ≅ 0 1 1 3 ≅ 0 1 1 1 0 0 − 7 − 14
Bei der Pivotisierung während einer Matrixelimination können Sie die numerische Lösung noch weiter vereinfachen, indem Sie das Element mit dem größten absoluten Wert in der betreffenden Spalte bzw. Zeile als PivotElement auswählen. Dies erfordert möglicherweise, dass bei einigen Pivotisierungsoperationen nicht nur Zeilen, sondern auch Spalten vertauscht werden. Wenn bei der Pivotisierung Zeilen- und Spaltentausch zulässig ist, wird dieses Verfahren als Totalpivotisierung bezeichnet.
A aug 1 0 0 1 2 3 2 = 2 0 3 − 1, P = 0 1 0. 0 0 1 8 16 − 1 41 Speichern Sie die erweiterte Matrix in der Variablen AAUG, und drücken Sie dann ‚ @AAUG, um die erweiterte Matrix in den Stack zu kopieren. Wir möchten, dass der Befehl CSWP (Spalten vertauschen) verfügbar bleibt, für den wir Folgendes eingeben: ‚N~~cs~ (CSWP suchen), @@OK@@. Sie erhalten eine Fehlermeldung. Drücken Sie $, und ignorieren Sie die Meldung.
Der größte mögliche Wert befindet sich jetzt an Position (1,1), d. h., wir haben an Position (1,1) eine Totalpivotisierung durchgeführt. Anschließend dividieren wir durch das Pivot-Element: 16Y1L @RCI@. Die Permutationsmatrix bleibt unverändert, doch die erweiterte Matrix lautet nun: 1 0 2 1/2 -1/16 41/16 2 3 -1 1 3 2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Als Nächstes entfernen wir die 2 aus Position (3,2): 2\#1#3@RCIJ 1 0 0 1/2 -1/16 41/16 2 3 -1 0 25/8 -25/8 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Nachdem wir die Elemente von Spalte 1 unt
Nun können wir Spalte 2 durch das Pivot-Element 25/8 dividieren, indem wir ³8/25™#2 L @RCI eingeben. 1 0 0 -1/16 1/2 1 0 3 2 41/16 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Anschließend entfernen wir die 3 aus Position (3,2) durch folgende Eingabe: 3\#2#3@RCIJ 1 0 0 -1/16 1/2 1 0 0 2 41/16 -1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 Nachdem wir die Stellen unter dem Pivot-Element mit Nullen aufgefüllt haben, überprüfen wir das Pivot-Element an Position (3,3). Der aktuelle Wert 2 ist größer als ½ oder 0, daher lassen wir ihn unverändert.
0 0 1 1 1 0 0 Nun verfügen wir über eine Einheitsmatrix in dem der ursprünglichen Koeffizientenmatrix A entsprechenden Abschnitt der erweiterten Matrix und können mithilfe des in Permutationsmatrix P codierten Zeilen- und Spaltentausches die Lösung ermitteln. Wir bestimmen den Vektor der Unbekannten x, den Vektor der geänderten Unabhängigen b' und die Permutationsmatrix P wie folgt: 0 1 0 2 X x = Y , b' = − 1, P = 0 0 1.
in einem CAS MODES-Fenster des Taschenrechners die Option Step/Step wie folgt auswählen. Verwenden Sie dann für dieses Beispiel im RPN-Modus folgende Eingabe: [2,-1,41] ` [[1,2,3],[2,0,3],[8,16,-1]] `/ Der Taschenrechner zeigt eine erweiterte Matrix an, die aus der Koeffizientenmatrix A und der Einheitsmatrix I besteht, während gleichzeitig die nächste Berechnung angezeigt wird. L2 = L2-2⋅L1 bedeutet „Reihe 2 (L2) durch die Operation L2-2 L1 ersetzen“.
Wenn Sie @@@OK@@@ drücken, gibt der Taschenrechner das Endergebnis [1 2 –1] aus. Schrittweises Berechnen der inversen Matrix Die Berechnung einer inversen Matrix kann als Berechnung der Lösung eines erweiterten Systems [A | I ] betrachtet werden. Beispielsweise würden wir für Matrix A aus dem vorherigen Beispiel die erweiterte Matrix wie folgt schreiben: A aug ( I ) 1 2 3 1 0 0 = 3 − 2 1 0 1 0.
Der Taschenrechner zeigt die Schritte bis zu dem Punkt an, an dem die linke Seite der erweiterten Matrix in eine Diagonalmatrix umgewandelt wurde. Nun besteht der letzte Schritt im Dividieren jeder Zeile durch das entsprechende Pivot-Element der Hauptdiagonalen. Mit anderen Worten, der Taschenrechner hat (Aaug)n×n = [A n×n |In×n] in [I |A-1], konvertiert.
bietet der Taschenrechner jedoch andere Möglichkeiten zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Die Funktionen dieses Menüs lauten LINSOLVE, REF, rref, RREF und SYST2MAT. Funktion LINSOLVE Als Argumente der Funktion LINSOLVE werden ein Feld von Gleichungen und ein Vektor verwendet, der die Namen der Unbekannten enthält. Die Funktion ermittelt die Lösung linearer Gleichungssysteme.
Funktionen REF, rref und RREF Die obere Dreiecksmatrix, zu der die erweiterte Matrix bei der Vorwärtssubstitution im Rahmen der Gauß-Elimination reduziert wird, wird als Staffelform bezeichnet. Die Funktion REF (Reduce to Echelon Form, zu Staffelform reduzieren) erzeugt eine solche Matrix, wenn die erweiterte Matrix auf Ebene 1 des Stacks vorhanden ist. Gegeben sei die erweiterte Matrix A aug 1 − 2 1 0 = 2 1 − 2 − 3.
Die als Ergebnis der Gauß-Jordan-Elimination gebildete Diagonalmatrix wird als zeilenreduzierte Staffelform (bzw. reduzierte Staffelform) bezeichnet. Funktion RREF (Row-Reduced Echelon Form, zeilenreduzierte Staffelform): Durch Aufruf dieser Funktion wird eine zeilenreduzierte Staffelform erzeugt, sodass die Koeffizientenmatrix zu einer Einheitsmatrix reduziert wird. Die zusätzliche Spalte der erweiterten Matrix enthält die Lösung des Gleichungssystems.
Die Ausgabe im zweiten Fenster oben erhalten Sie durch Aktivieren des Befehlszeileneditors (drücken Sie ˜). Das Ergebnis enthält die PivotElemente 3, 1, 4, 1, 5 und 2 sowie eine reduzierte Diagonalmatrix. Funktion SYST2MAT Mit dieser Funktion wird ein lineares Gleichungssystem in die äquivalente erweiterte Matrix konvertiert.
Das Ergebnis lautet e = b - A⋅x(0) = [ 0.1 0.6 ]. Hinweis: Wenn wir die Korrektur der Werte von x(0) durch den Vektor ∆x = x – x (0) darstellen, können wir für ∆x eine neue Matrixgleichung A⋅∆x = e erstellen. Durch das Ermitteln von ∆x finden wir mit x = x(0) + ∆x die tatsächliche Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems.
Funktion PCAR Mit der Funktion PCAR wird unter Verwendung der Werte der Variablen VX (eine für CAS reservierte Variable, die in der Regel gleich „X“ ist) ein charakteristisches Polynom einer quadratischen Matrix erzeugt. Geben Sie beispielsweise im ALG-Modus folgende Matrix ein, und ermitteln Sie mit PCAR die charakteristische Gleichung: [[1,5,-3],[2,-1,4],[3,5,2]] Unter Verwendung der Variablen λ zur Darstellung der Eigenwerte ist dieses charakteristische Polynom als λ 3-2λ 2-22λ +21=0 zu interpretieren.
Hinweis: In einigen Fällen können Sie möglicherweise keine „exakte“ Lösung für das charakteristische Polynom ermitteln und erhalten bei Verwendung der Funktion EGVL als Ergebnis eine leere Liste. Wenn dieser Fall eintritt, ändern Sie den Berechnungsmodus in CAS in den Näherungsmodus und wiederholen die Berechnung. Beispielsweise wird bei der folgenden Übung im exakten Modus als Ergebnis eine leere Liste ausgegeben. Ändern Sie den Modus in den Näherungsmodus, und wiederholen Sie die Eingabe.
In der Ergebnisliste werden die Eigenwerte als Spalten der Matrix angezeigt. Um die Eigenwerte anzuzeigen, können wir den Befehl GET(ANS(1),2) verwenden, d. h. das zweite Element in der Liste des vorherigen Ergebnisses abrufen.Die Eigenwerte lauten: Gesamt: λ1 = 0,29; x1 = [ 1,00;0,79;–0,91]T; λ2 = 3,16; x2 = [1,00;-0,51; 0,65] T; λ3 = 7,54; x1 = [-0,03; 1,00; 0,84] T. Hinweis: Eine symmetrische Matrix erzeugt alle echten Eigenwerte, und ihre Eigenvektoren sind zueinander orthogonal.
4: 3: 2: 1: ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’ ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’ {} {} Dieselbe Übung wird im ALG-Modus wie in den folgenden Bildschirmabbildungen dargestellt: Funktion MAD Obwohl diese Funktion nicht im Menü EIGEN zur Verfügung steht, stellt sie auch Informationen über die Eigenwerte einer Matrix bereit. Die Funktion MAD ist im Untermenü MATRICES OPERATIONS („Ø) verfügbar und zum Erzeugen der adjungierten Matrix einer Matrix konzipiert.
Das Ergebnis lautet: 4: 3: 2: 1: -8. [[ 0,13 –0,25 –0,38][-0,25 0,50 –0,25][-0,38 –0,25 –0,88]] {[[1 0 0][0 1 0][0 0 1]] [[ -2 1 –2][1 –4 –1][-2 –1 –6] [[-1 2 3][2 –4 2][3 2 7]]} ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’ Dasselbe Beispiel wird im ALG-Modus wie folgt angezeigt: Matrixfaktorisierung Die Faktorisierung bzw. Zerlegung einer Matrix besteht im Ermitteln von Matrizen, die durch Multiplikation die Ausgangsmatrix ergeben. Wir stellen die Matrixzerlegung durch die Funktionen im Matrixmenü FACT dar.
für L, U und P stimmen mit der Gleichung P⋅A = L⋅U überein. Beim Aufruf der Funktion LU führt der Taschenrechner mithilfe einer Teilpivotisierung eine LUZerlegung von A nach dem Crout-Algorithmus durch.
Vektor s zurück. Die Dimension des Vektors s ist gleich dem geringsten Wert von n bzw. m. Die Matrizen U und V entsprechen der bereits erläuterten Definition für die Singulärwertzerlegung, während der Vektor s die Hauptdiagonale der bereits verwendeten Matrix S darstellt.
die Werte 3: [[-5,48 0 0][-1,10 –2,79 0][-1,83 1,43 0,78]] 2: [[-0,27 0,81 –0,18][ -0,36 –0,50 –0,79][-0,20 –0,78 –0,59]] 1: [[0 0 1][0 1 0][1 0 0]] Funktion QR Die Funktion QR erzeugt im RPN-Modus die QR-Faktorisierung einer Matrix An×m und gibt auf Ebene 3, 2 bzw. 1 des Stacks eine Orthogonalmatrix Qn×n, eine obere Trapezmatrix Rn×m und eine Permutationsmatrix Pm×m zurück. Für die Matrizen A, P, Q und R gilt A⋅P = Q⋅R.
Das Menü QUADF Der Taschenrechner HP 49 G enthält das Menü QUADF für Operationen mit QUADratischen Formen. Das Menü QUADF wird mit „Ø aufgerufen. Dieses Menü enthält die Funktionen AXQ, CHOLESKY, GAUSS, QXA und SYLVESTER. Funktion AXQ Die Funktion AXQ erzeugt im RPN-Modus unter Verwendung von n Variablen eines Vektors auf Ebene 1 des Stacks die einer Matrix An×n auf Ebene 2 des Stacks entsprechende quadratische Form.
2: [[1 2 –8][2 1 0][-8 0 –1]] 1: [‘X’ ‘Y’ ‘Z’] Diagonale Darstellung einer quadratischen Form Für eine symmetrische quadratische Matrix A kann die Matrix A „diagonalisiert“ werden, indem eine Orthogonalmatrix P ermittelt wird, für die gilt: PT⋅A⋅P = D, wobei D eine Diagonalmatrix ist.
3: [[1 2 –8][0 –3 16][0 0 1]] 2: ’61/3*Z^2+ -1/3*(16*Z+-3*Y)^2+(-8*z+2*Y+X)^2‘ 1: [‘X’ ‘Y’ ‘Z’] LINEAR APPLICATIONS Das Menü LINEAR APPLICATIONS wird über „Ø aufgerufen. Unten sind die Informationen über die Funktionen dieses Menüs dargestellt, die Sie mit der Hilfefunktion des Taschenrechners aufrufen können. Die Abbildungen stellen den entsprechenden Eintrag der Hilfefunktion und die zugehörigen Beispiele dar.
Funktion MKISOM Seite 11-62
Kapitel 12 Grafik In diesem Kapitel werden einige der Grafikfunktionen des Taschenrechners vorgestellt. Wir stellen Grafiken von Funktionen kartesischer Koordinaten und Polarkoordinaten vor, von parametrischen Diagrammen, Punktdiagrammen, Balkendiagrammen und einer Vielzahl von dreidimensionalen Grafiken. Grafikoptionen des Taschenrechners Über die Tastenkombination „ô(D) gelangen Sie zur Liste der im Taschenrechner verfügbaren Grafikformate.
Diese Grafikoptionen werden im Folgenden kurz beschrieben. Function: für Gleichungen der Form y = f(x) in ebenen kartesischen Koordinaten. Polar: für Gleichungen der Form r = f(θ) in Polarkoordinaten in der Ebene. Parametric: zur Darstellung von Gleichungen der Form x = x(t), y = y(t) in der Ebene. Diff Eq: zur Darstellung numerischer Lösungen linearer Differentialgleichungen. Conic: zur Darstellung von Kegelschnitt-Gleichungen (Kreise, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln).
(x soll die unabhängige Variable in der Taschenrechnerfunktion PLOT sein und sollte deshalb nicht vorbelegt sein). Erstellen Sie ein Unterverzeichnis mit der Bezeichnung 'TPLOT' (für Testplot = Testdarstellung) oder einem anderen aussagekräftigen Namen, um folgende Übung durchzuführen. Als Beispiel stellen wir nun die folgende Funktion dar: f ( x) = 1 2π exp(− x2 ) 2 • Gehen Sie zunächst in das Menü PLOT SETUP durch „ô.
• Drücken Sie `, um zum Fenster PLOT SETUP zurückzukehren. Der Ausdruck ‘Y1(X) = EXP(-X^2/2)/√(2*π)’ wird hervorgehoben. Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Hinweis: Unter Softkeys werden zwei neue Variablen angezeigt, EQ und Y1. Um den Inhalt von EQ anzuzeigen, drücken Sie ‚@@@EQ@@. Der Inhalt von EQ ist einfach die Funktionsbezeichnung ‘Y1(X)’. Die Variable EQ wird vom Taschenrechner dazu verwendet, die darzustellende/n Gleichung/en zu speichern.
• • • • • Graph darstellen: @ERASE @DRAW (Warten Sie, bis der Taschenrechner den Graph fertig gestellt hat.) Bezeichnungen anzeigen: @EDIT L @LABEL @MENU Erstes Grafik-Menü wiederherstellen: LL@)PICT Kurvenverlauf verfolgen: @TRACE @@X,Y@@ . Mit den Pfeiltasten „nach links” bzw. „nach rechts” (š™) können Sie sich auf der Kurve hin und her bewegen. Die Koordinaten der Punkte, die sie verfolgen, werden unten auf dem Display angezeigt. Prüfen Sie, dass für x = 1,05; y = 0,231 gilt.
Anschließend speichern Sie den geänderten Ausdruck in der Variablen y mithilfe von „@@@Y1@@ im RPN-Modus oder über „îK @@@Y1@@ im ALGModus. Die darzustellende Funktion ist jetzt: f ( x) = 1 2π exp(− x2 ) − 0.1 2 Durch Drücken von „ò gelangen Sie in das Menü PLOT WINDOW (gleichzeitig drücken, wenn im RPN-Modus). Behalten Sie einen Bereich von –4 bis 4 für H-VIEW bei und drücken Sie anschließend ˜@AUTO, um VVIEW zu erzeugen.
• • • • • Platzieren Sie den Cursor genau auf den Kurvenbeginn und drücken Sie @ISECT. Sie werden dieselbe Meldung wie zuvor erhalten, und zwar SIGN REVERSAL (Vorzeichenumkehr), bevor das Ergebnis für ISECT angezeigt wird: 1,6635…. Die Funktion @ISECT ist dafür vorgesehen, den Schnittpunkt zweier beliebiger Kurven zu ermitteln, der dem Cursor am nähesten ist. In diesem Fall, in dem es lediglich um eine Kurve geht, nämlich Y1(X), ist der gesuchte Schnittpunkt f(x) der mit der x-Achse.
• • • wird in der unteren linken Ecke des Displays angezeigt. Drücken Sie L, um zum Menü zurückzukehren. Wenn Sie @@F ' @@ drücken, stellt der Taschenrechner die abgeleitete Funktion f'(x) = df/dx sowie auch die ursprüngliche Funktion f(x) dar. Beachten Sie, dass sich die beiden Kurven an zwei Punkten schneiden. Bewegen Sie den Cursor in die Nähe des linken Schnittpunkts und drücken Sie @)@FCN! und @ISECT, um den Wert für ISECT zu erhalten: (-0,6834…;0,21585). Drücken Sie L, um zum Menü zurückzukehren.
In Ebene 1 des Stacks sehen Sie ein Grafikobjekt, dasmit Graphic 131 x 64 bezeichnet ist. Dieses kann unter einem beliebigen Variablennamen gespeichert werden, z. B. PIC1. Um die Abbildung erneut anzuzeigen, rufen Sie den Inhalt von PIC1 aus dem Stack ab. Der Stack enthält folgende Zeile: Graphic 131 × 64. Um die Grafik anzuzeigen, drücken Sie auf š, um das Fenster PICTURE aufzurufen. Löschen Sie das aktuelle Bild, @EDIT L@ERASE.
@CHOOS und wählen mit den Auf- und Abwärtstasten die Option Function und drücken Sie anschließend @@@OK@@@, um die Auswahl abzuschließen. Stellen Sie sicher, dass das Feld Indep: die Variable ‘X’ enthält. Wenn das nicht der Fall ist, drücken Sie die Pfeiltaste „nach unten“ zweimal, bis das Feld Indep hervorgehoben ist. Drücken Sie anschließend den Softkey @EDIT und ändern Sie den Wert der unabhängigen Variablen in ‘X’. Drücken Sie anschließend @@@OK@@@.
der Grafik anzuzeigen. Drücken Sie L, um zum aktuellen Grafikmenü zurückzukehren. Drücken Sie L@)PICT, um zum ursprünglichen Grafikmenü zurückzukehren. Um die Punktkoordinaten der Kurve zu ermitteln, drücken Sie @TRACE (der Cursor bewegt sich dann zu einem Punkt auf der Kurve, der etwa in der Mitte des horizontalen Bereichs liegt). Drücken Sie anschließend (X,Y), um die Koordinaten der aktuellen Cursorposition anzuzeigen. Diese Koordinaten erscheinen am unteren Bildschirmrand.
haben einen Bereich zwischen -1 und 10 für X gewählt. Zum Erstellen der Grafik erzeugt der Taschenrechner Werte innerhalb dieses Bereichs mithilfe konstanter Schritte und die erzeugten Werte werden beim Zeichnen des Graphen nach und nach in der Variablen @@@X@@@ abgelegt. Im horizontalen Bereich (-1,10) scheint die verwendete Schrittweite 0,275 zu sein. Wenn der Wert für X größer als der Maximalwert des Bereichs wird (in diesem Fall, wenn X = 10,275 ist), dann endet die Darstellung des Graphs.
Die Variable PPAR Drücken Sie J, um bei Bedarf zum Variablenmenü zurückzukehren. In Ihrem Variablenmenü sollte sich eine Variable mit der Bezeichnung PPAR befinden. Drücken Sie ‚@PPAR , um den Inhalt dieser Variablen in den Stack zu laden. Drücken Sie die Pfeiltaste „nach unten“, um den Stack-Editor zu starten; und verwenden Sie die Pfeiltasten, um den vollständigen Inhalt von PPAR anzuzeigen.
Umkehrfunktionen und deren grafische Darstellung Nehmen wir an, y = f(x). Wenn wir nun eine Funktion y = g(x) finden, bei der g(f(x)) = x, dann können wir sagen, dass g(x) die Umkehrfunktion von f(x) ist. In der Regel wird die Schreibweise g(x) = f -1(x) verwendet, um eine Umkehrfunktion anzuzeigen. Mit dieser Schreibweise können wir dann Folgendes schreiben: Wenn y = f(x), dann ist x = f -1(y). Also f(f -1(x)) = x und f -1(f(x)) = x.
WINDOW drücken, dann erzeugt der Taschenrechner den vertikalen Bereich entsprechend der ersten Funktion in der Liste der darzustellenden Funktionen. Und in diesem Fall ist dies die Funktion Y1(X) = EXP(X). Sie müssen den vertikalen Bereich nun selbst eingeben, damit die anderen beiden Funktionen in derselben Darstellung angezeigt werden. Drücken Sie @CANCL, um wieder in das Fenster PLOT FUNCTION – WINDOW zu gelangen.
• Wenn Sie _Pixels aktivieren, bedeutet dies, dass die durch H-Tick und V-Tick angezeigten Markierungen durch entsprechend viele Pixel getrennt werden. • Der voreingestellte Wert für H-Tick und V-Tick ist 10. Softkey-Menüoptionen: • Mit @EDIT können Sie Wertfunktionen in einem ausgewählten Feld ändern. • Mit @CHOOS können Sie die Art der Darstellung auswählen, wenn das Feld Type: hervorgehoben ist. Für diese Übung wird dieses Feld auf FUNCTION gesetzt.
Softkey-Menüoptionen: • Mit @EDIT können hervorgehobene Gleichungen geändert werden. • Mit @@ADD@! können neue Gleichungen der Darstellung hinzugefügt werden. Hinweis: Mit @@ADD@! bzw. @EDIT wird der Equation Writer EQW gestartet, mit dem Sie neue Gleichungen eingeben bzw. vorhandene Gleichungen ändern können. • Mit @@DEL@@ können hervorgehobene Gleichungen entfernt werden.
• • • View-Felder steht, um den Bereich der vertikalen Ansicht (V-View) automatisch zu erzeugen. Oder, geben Sie die untere und obere Begrenzung für die vertikale Ansicht (VView) ein und drücken Sie @AUTO , während der Cursor in einem der HView-Felder steht, um den Bereich der horizontalen Ansicht (H-View) automatisch zu erzeugen.
• • • • • Verwenden Sie @CANCL, wenn Sie die aktuelle Rechnung beenden und zum Bildschirm PLOT WINDOW zurückkehren möchten. Oder, Verwenden Sie @@@OK@@@, um die Ergebnisse Ihrer Berechnung zu übernehmen und zur Maske PLOT WINDOW zurückzukehren. Mit @TYPES erhalten Sie Informationen über die Objektarten, die im ausgewählten Optionsfeld verwendet werden können. Mit @CANCL machen Sie alle Änderungen im Fenster PLOT WINDOW rückgängig und kehren zum normalen Taschenrechneranzeige zurück.
SIN & ASIN COS(X) ACOS(X) COS & ACOS TAN(X) ATAN(X) TAN & ATAN SINH(X) ASINH(X) SINH & ASINH COSH(X) ACOSH(X) COS & ACOS TANH(X) ATANH(X) TAN & ATAN -3.2 -3.15 -1.2 -3.2 -3.15 -10 -2 -2 -5 -5 -2 -1 -5 -5 -1.2 -5 3.2 3.15 1.2 3.2 3.15 10 -2 2 5 5 2 5 5 5 1.2 5 -1.6 AUTO AUTO -1.6 -10 -1.8 -2 AUTO AUTO -5 AUTO AUTO -1 AUTO AUTO -2.5 1.6 1.6 10 1.8 -2 5 5 2.
• • Um die im Fenster PLOT SETUP vorgenommenen Änderungen zu übernehmen, drücken Sie L @@@OK@@@. Damit kehren Sie zur normalen Anzeige zurück. Der nächste Schritt ist das Öffnen des Fensters für das Einrichten der Tabelle mithilfe der Tastenkombination „õ (d. h. Softkey E) – gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus sind. Damit rufen Sie einen Bildschirm auf, in dem Sie den Anfangswert (Start) und die Schritte (Step) auswählen können. Geben Sie Folgendes ein: 5\ @@@OK@@@ 0.5 @@@OK@@@ 0.5 @@@OK@@@ (d. h.
• • Mit der Taste @@BIG@ wird die Schriftart in der Tabelle von klein auf groß und umgekehrt geändert. Probieren Sie es aus. Wenn die Taste @ZOOM gedrückt wird, erscheint ein Menü mit den folgenden Optionen: In, Out, Decimal, Integer und Trig. Führen Sie folgende Übungen aus: • • • • • • • • Wenn die Option In hervorgehoben ist, drücken Sie @@@OK@@@. Die Tabelle wird daraufhin erweitert und die x-Inkremente betragen jetzt 0,25 und nicht mehr 0,5.
verbunden sind, gelöscht. Drücken Sie J, um zu prüfen, ob tatsächlich alle Variablen entfernt wurden. Versuchen Sie, die Funktion f(θ) = 2(1-sin(θ)) wie folgt darzustellen: • Stellen Sie zunächst sicher, dass das Winkelmaß Ihres Taschenrechners auf Radianten eingestellt ist. • Drücken Sie „ô, gleichzeitig wenn im RPN-Modus, um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. • Ändern Sie TYPE in Polar, indem Sie @CHOOS ˜ @@@OK@@@ drücken. • Drücken Sie ˜ und geben Sie Folgendes ein: ³2* „ Ü1-S~‚t @@@OK@@@.
• • • Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU um den Graphen mit Bezeichnern anzuzeigen. Drücken Sie L, um zum Menü zurückzukehren. Drücken Sie L @)PICT, um zum ursprünglichen Grafikmenü zurückzukehren. Drücken Sie @TRACE @x,y @ , um die Kurve zu verfolgen. Die am unteren Rand des Displays angezeigten Daten sind der Winkel θ und der Radius r, wobei letzterer mit dem Buchstaben Y bezeichnet ist (Vorgabebezeichnung abhängiger Variablen). Drücken Sie L@CANCL, um wieder zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
• • • • Kreis : Ellipse : Parabel: Hyperbel: (x-xo)2+(y-yo)2 = r2 (x-xo) 2/a2 + (y-yo) 2/b2 = 1 (y-b)2 = K(x-a) or (x-a)2 = K(y-b) (x-xo) 2/a2 + (y-yo) 2/b2 = 1 or xy = K, wobei xo, yo, a, b und K konstant sind. Die Bezeichnung Kegelschnitt-Kurve resultiert daraus, dass diese Abbildungen (Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel) aus der Verschneidung einer Ebene mit einem Kegel entstehen.
• • Ändern Sie die Felder Indep Low: und High: auf “Default” (Vorgabewert) durch Drücken von L @RESET, während diese beiden Felder hervorgehoben sind. Wählen Sie die Option Reset value (Wert zurückstellen), nachdem Sie @RESET gedrückt haben. Drücken Sie @@@OK@@@ , um das Zurückstellen der Werte abzuschließen. Drücken Sie L, um zum Hauptmenü zurückzukehren. Stellen Sie den Graph dar: @ERASE @DRAW.
• • Um das Menü wieder herzustellen und in das Fenster PLOT zurückzukehren, drücken Sie L@CANCL. Um zur normalen Taschenrechner-Anzeige zurückzukehren, drücken Sie L@@@OK@@@. Parametrische Diagramme Parametrische Diagramme in der Ebene sind Diagramme, deren Koordinaten durch ein System von Gleichungen x = x(t) und y = y(t) erzeugt werden, und bei denen t als Parameter bekannt ist.
• • • • • • • Drücken Sie „ô, gleichzeitig wenn im RPN-Modus, um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Ändern Sie TYPE auf Parametric durch Drücken von @CHOOS ˜˜@@@OK@@@. Drücken Sie ˜ und geben ‘X(t) + i*Y(t)’ @@@OK@@@ ein, um das parametrische Diagramm als das einer komplexen Größe zu definieren. (Die realen und imaginären Teile der komplexen Größe entsprechen den x- und y-Koordinaten der Kurve.) Der Cursor ist jetzt im Feld Indep. Drücken Sie ³~„t @@@OK@@@, um die unabhängige Variable auf t zu ändern.
• Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU, um die Grafik mit Bezeichnern anzuzeigen. Die Fensterparameter sind so, dass nur die Hälfte der Bezeichner der x-Achse zu sehen ist. • Drücken Sie L, um zum Menü zurückzukehren. Drücken Sie L@)PICT, um zum ursprünglichen Grafikmenü zurückzukehren. Drücken Sie TRACE @(X,Y)@ , um die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Grafik zu bestimmen. Mit ™ und š bewegen Sie den Cursor entlang der Kurve.
zurückzukehren. Drücken Sie $ oder L@@@OK@@@, um zur normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Erzeugen einer Tabelle für parametrische Gleichungen In einem früheren Beispiel haben wir eine Wertetabelle (X,Y) für einen Ausdruck der Form Y=f(X) erzeugt, d. h. eine Grafik des Typs Function. In diesem Abschnitt zeigen wir, wie eine Tabelle für ein parametrisches Diagramm erzeugt wird. Zu diesem Zweck nutzen wir die parametrischen Gleichungen, die im Beispiel oben definiert sind.
darstellen, und zwar mit den folgenden Ausgangswerten: x = 0 bei t = 0. Mit dem Taschenrechner kann die Lösung der Differentialgleichung der Form Y'(T) = F(T,Y) dargestellt werden. In unserem Fall ist Y x und T t, und damit F(T,Y) f(t,x) = exp(-t2). Vor Darstellung der Lösung, x(t), für t = 0 bis 5, löschen wir die Variablen EQ und PPAR. • • • • • • • • Drücken Sie „ô, gleichzeitig wenn im RPN-Modus, um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Ändern Sie TYPE auf Diff Eq.
• • • • • • Der Wert Init-Soln stellt den ursprünglichen Wert der Lösung für das numerische Ergebnis dar. In diesem Fall haben wir die Ausgangsbedingung x(0) = 0, und deshalb müssen wir diesen Wert mithilfe von 0@@@OK@@@ auf 0.0 ändern. Drücken Sie @ERASE @DRAW , um die Lösung für die Differentialgleichung darzustellen. Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU, um die Grafik mit Bezeichnern anzuzeigen. Drücken Sie L, um zum Menü zurückzukehren.
• • • Drücken Sie LL@)PICT, um zum Menü und in den PICT-Bereich zurückzukehren. Drücken Sie (X,Y) , um die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Graphen zu bestimmen. Mit ™ und š bewegen Sie den Cursor im Grafikbereich. Am unteren Rand des Displays werden die Koordinaten des Cursors als (X,Y) angezeigt. Der Taschenrechner verwendet X und Y als voreingestellte Standardbezeichnung für die horizontale und vertikale Achse. Drücken Sie L@)CANCL, um wieder in den Bereich PLOT WINDOW zu gelangen.
Hinweis: Wenn der Fensterbereich nicht die voreingestellten Standardeinstellungen zeigt, dann können diese am schnellsten durch Drücken von L@RESET@ (wählen Sie „Reset all“) @@@OK@@@ L zurückgestellt werden. • Drücken Sie @ERASE @DRAW, um den Truth-Plot zu zeichnen. Da der Taschenrechner den gesamten Darstellungsbereich Punkt für Punkt abfragt, dauert es ein paar Minuten bis der Truth-Plot fertiggestellt ist.
Darstellung von Histogrammen, Balkendiagrammen und Punktdiagrammen Histogramme, Balkendiagramme und Punktdiagramme werden zur Darstellung von Einzeldaten verwendet, die in der reservierten Variable ΣDAT abgelegt sind. Diese Variable wird nicht nur für diese Arten von Grafiken verwendet, sondern auch für viele andere Statistikanwendungen, die wir in Kapitel 18 vorstellen.
Erzeugung der Grafik: • • • • • • • • • Drücken Sie „ô, gleichzeitig wenn im RPN-Modus, um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Ändern Sie TYPE auf Bar. Im Feld ΣDAT wird eine Matrix angezeigt. Das ist die Matrix, die wir zuvor unter ΣDAT abgelegt haben. Markieren Sie das Feld Col: . Mit diesem Feld können Sie die Spalte aus ΣDAT wählen, die dargestellt werden soll. Der voreingestellte Standardwert ist 1. Lassen Sie diesen stehen, um die Spalte 1 in ΣDAT darzustellen..
Balkendiagramme sind hilfreich bei der Darstellung kategorischer (d. h. nichtnumerischer) Daten. Nehmen wir an, wir möchten die Daten aus Spalte 2 der ΣDAT-Matrix darstellen: • • • • • • Drücken Sie „ô, gleichzeitig wenn im RPN-Modus, um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Drücken Sie ˜˜, um das Feld Col: hervorzuheben und drücken Sie 2 @@@OK@@@, und anschließend L@@@OK@@@. Drücken Sie „ò, gleichzeitig wenn im RPN-Modus, um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
• • • • • • Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Drücken Sie „ò, gleichzeitig wenn im RPN-Modus, um zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Ändern Sie den Grafikfensterbereich folgendermaßen: H-View: 0 6, VView: 0 6. Drücken Sie @ERASE @DRAW um das Balkendiagramm zu zeichnen. Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU um die Grafik ohne Menü im Vollbild und mit Bezeichnern zu sehen (Der Cursor bleibt jedoch in der Mitte der Grafik): Drücken Sie LL@)PICT um den Bereich EDIT zu verlassen.
• • Drücken Sie LL@)PICT, um den Bereich EDIT zu verlassen. Drücken Sie @CANCL, um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Drücken Sie anschließend $, oder L@@@OK@@@, um zur normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Steigungsfelder Steigungsfelder werden dazu verwendet, Lösungen für Differentialgleichungen der Form y’ = f(x,y) zu veranschaulichen.
• Drücken Sie LL@)PICT, um den Bereich EDIT zu verlassen. • Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Dann drücken Sie $, oder L@@@OK@@@, um zur normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Wenn Sie die Darstellung des Steigungsfeldes auf Papier bringen, dann können Sie von Hand Linien nachvollziehen, die tangential zu den Liniensegmenten in der Darstellung liegen. Diese Linien bilden Linien von y(x,y) = Konstante für die Lösung von y’ = f(x,y).
• Drücken Sie @CANCL um wieder zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Dann drücken Sie $, oder L@@@OK@@@, um zur normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Fast 3D-Darstellung Die Fast 3D-Darstellung wird dazu verwendet, dreidimensionale Oberflächen, die durch Gleichungen der Form z = f(x,y) dargestellt werden, zu veranschaulichen.
• • • Wenn Sie fertig sind, drücken Sie @EXIT. Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Ändern Sie die „Step”-Daten folgendermaßen ab: Step Indep: 20 Depnd: 16 • Drücken Sie @ERASE @DRAW um das Zeichnen der Oberfläche zu verfolgen. Musteransichten: • • • Wenn Sie fertig sind, drücken Sie @EXIT. Drücken Sie @CANCL um wieder zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Drücken Sie $, oder L@@@OK@@@, um zur normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Drahtgitterdarstellung Drahtgitter-Darstellungen sind Grafiken dreidimensionaler Oberflächen, die folgendermaßen beschrieben werden z = f(x,y). Im Gegensatz zu Fast-3DDarstellungen sind Drahtgitterdarstellungen feststehende Grafiken. Der Benutzer kann den Blickwinkel für die Darstellung wählen, d. h. von welchem Punkt aus die Oberfläche betrachtet wird.
• • Drücken Sie LL@)PICT @CANCL um wieder in den Bereich PLOT WINDOW zu gelangen. Ändern Sie die Augenkoordinaten folgendermaßen ab: XE:0 YE:-3 ZE:3 • • Drücken Sie @ERASE @DRAW um das Zeichnen der Oberfläche zu verfolgen. Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU um die Grafik mit Bezeichnern und Bereichen anzuzeigen. Diese Version der Grafik beansprucht mehr Raum im Display als die vorherige. Wir können den Blickwinkel noch einmal ändern, um eine andere Version der Grafik zu sehen.
• • Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Drücken Sie $, oder L@@@OK@@@, um zur normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Versuchen Sie auch, eine Drahtgitterdarstellung für die Oberfläche z = f(x,y) = sin x2+y2 zu erstellen. • • • • • Drücken Sie „ô, gleichzeitig wenn im RPN-Modus, um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Drücken Sie ˜ und geben ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@ ein. Drücken Sie @ERASE @DRAW um die Steigungsfelddarstellung zu zeichnen.
auf der xy-Ebene. Um beispielsweise eine PS-Contour-Darstellung für die Oberfläche z = x2+y2 zu erzeugen, gehen Sie wie folgt vor: • Drücken Sie „ô, gleichzeitig wenn im RPN-Modus, um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. • Ändern Sie TYPE auf Ps-Contour. • Drücken Sie ˜ und geben ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@ ein. • Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und bei Depnd: ‘Y’ . • Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
• • Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘SIN(X)*COS(Y)’ @@@OK@@@ ein. Drücken Sie @ERASE @DRAW, um die Steigungsfelddarstellung zu zeichnen. Drücken @EDIT L@)LABEL @MENU, um die Grafik im Vollbild, ohne Menü und mit Bezeichnern zu sehen. • • Drücken Sie LL@)PICT um den Bereich EDIT zu verlassen. Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. Drücken Sie anschließend $, oder L@@@OK@@@, um zur normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Taschenrechner mit der Erstellung aller Y-Schnitt-Kurven fertig ist, dann geht er automatisch zur Animation der verschiedenen Kurven über. Eine Kurve sehen Sie unten. • Drücken Sie $ um die Animation abzubrechen. Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen. • Drücken Sie $, oder L@@@OK@@@, um zur normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Versuchen Sie auch, eine Ps-Contour-Darstellung für die Oberfläche z = f(x,y) = (x+y) sin y zu erstellen.
• • • • • • • • • Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘SIN(X+i*Y)’ @@@OK@@@ ein. Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und bei Depnd: ‘Y’ . Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Drücken Sie „ò, gleichzeitig wenn im RPN-Modus, um zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
x(X,Y), y = y(X,Y), z=z(X,Y) beschrieben werden, wobei X und Y unabhängige Parameter sind. Hinweis: Die Gleichungen x = x(X,Y), y = y(X,Y) und z=z(X,Y) stellen die parametrische Beschreibung einer Oberfläche dar. X und Y sind unabhängige Parameter. In den meisten Lehrbüchern werden u und v als Parameter verwendet und nicht X und Y. Deshalb wird die parametrische Beschreibung einer Oberfläche mit x = x(u,v), y = y(u,v), z=z(u,v) angegeben.
• • Drücken Sie LL@)PICT @CANCL um wieder in den Bereich PLOT WINDOW zu gelangen. Drücken Sie $, oder L@@@OK@@@, um zur normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren. Die VPAR-Variable Die Variable VPAR (Volumenparameter) enthält Informationen bezüglich des „volumens“, das benötigt wird, um eine dreidimensionale Grafik zu erzeugen. Deshalb wird sie immer erzeugt, wenn Sie eine dreidimensionale Darstellung wie z.B. Fast3D, Wireframe (Drahtgitter) oder Pr-Surface (Pr-Oberfläche) erstellen.
Zunächst gehen wir in den Grafikbildschirm, und zwar gemäß der folgenden Anweisungen: • • • • • • • • • Drücken Sie „ô, gleichzeitig wenn im RPN-Modus, um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen. Ändern Sie TYPE auf Function falls erforderlich. Ändern Sie EQ auf ‘X’ Stellen Sie sicher, dass Indep: auch auf ‘X” eingestellt ist. Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Drücken Sie „ò gleichzeitig, wenn im RPN-Modus, um zum PLOT-Fenster zu gelangen (in diesem Fall heißt es PLOT –POLAR).
MARK Mit diesem Befehl kann der Benutzer einen Markierungspunkt setzen, der vielfältig verwendet werden kann, zum Beispiel als: • • • Linienanfang für den Befehl LINE oder TLINE, Eckpunkt für den Befehl BOX (Rechteck), Mittelpunkt für den Befehl CIRCLE (Kreis). Wenn nur der Befehl MARK verwendet wird, dann erscheint an der markierten Stelle ein x (Kreuzchen). Drücken Sie L@MARK zur Demonstration. LINE Dieser Befehl wird zum Ziehen einer Linie zwischen zwei Punkten in der Grafik verwendet.
zum zuerst gewählten Bezugspunkt gezogen. Nun erscheint eine Linie, die konträr zum Hintergrund ist, d. h. Pixel, die zuvor aktiviert waren, werden jetzt deaktiviert bzw. andersherum. Um die letzte gezogene Line zu entfernen, drücken Sie noch einmal @TLINE . Um die Funktion TLINE zu deaktivieren, bewegen Sie den Cursor an den Punkt zurück, an dem TLINE aktiviert worden ist, und drücken dann @LINE @LINE. BOX Dieser Befehl wird zum Zeichnen eines Rechteckes in der Grafik verwendet.
LABEL Durch Drücken von @LABEL setzen Sie Bezeichner an der x- und y-Achse der aktuellen Grafik. Diese Funktion wurde bereits ausführlich in diesem Kapitel besprochen. DEL Dieser Befehl wird dazu verwendet, einen Teil der Grafik, der zwischen zwei Markierungen (MARK) liegt, zu entfernen. Bewegen Sie den Cursor zu einem Punkt in der Grafik und drücken dann @MARK. Bewegen Sie den Cursor dann zu einem anderen Punkt und drücken dann noch einmal @MARK . Drücken Sie anschließend @@DEL@.
REPL Mit diesem Befehl kann der Inhalt eines Grafikobjekts, das sich in Ebene 1 des Stack befindet, an der Cursorposition im Grafikfenster eingefügt werden. Die linke obere Ecke des einzufügenden Grafikobjekts kommt dann an die Cursorposition. Wenn Sie also eine Grafik aus dem Stack in das Grafikfenster einfügen möchten, sodass das gesamte Fenster ausgefüllt wird, sollten Sie sich vergewissern, dass der Cursor ganz in der oberen linken Ecke des Displays steht.
Wir stellen im Folgenden jede dieser Funktionen vor. Wir müssen lediglich eine Grafik gemäß den Anweisungen in Kapitel 12 erzeugen, oder mit einem der Programme, die an früherer Stelle in diesem Kapitel behandelt worden sind. ZFACT, ZIN, ZOUT und ZLAST Nach Drücken von @)ZFACT erscheint eine Eingabemaske, mit der Sie die aktuellen X- und Y-Faktoren ändern können. Die X- und Y-Faktoren beziehen sich auf die horizontalen und vertikalen benutzerdefinierten Bereichseinheiten der entsprechenden Pixelbereiche.
Taschenrechner vergrößert den Inhalt der Zoombox, sodass dieser den gesamten Bildschirm ausfüllt. Wenn Sie jetzt @ZOUT drücken, dann fährt der Taschenrechner aus der aktuellen Zoombox unter Anwendung der H- und V-Faktoren heraus, sodass es sein kann, dass die Grafik nicht ganz so wiederhergestellt wird, wie sie vor dem Zoomen war. ZDFLT, ZAUTO Durch Drücken von @ZDFLT wird die aktuelle Darstellung neu gezeichnet, und zwar mithilfe der voreingestellten Standardwerte der x- und y-Bereiche, d. h. –6.5 bis 6.
Wenn Sie nun ZINTG verwenden und der Cursor auf dem Bildschirmmittelpunkt steht, dann wird das Fenster vergrößert, sodass die xAchse von –64,5 bis 65,5 reicht. ZSQR Vergrößert die Grafik so, dass der Darstellungsmaßstab bei 1:1 bleibt, wobei die x-Skala angepasst wird und die y-Skala bestehen bleibt, wenn das Fenster breiter als höher ist. Dies erfordert proportionales Zoomen.
ALGEBRA.. ARITHMETIC.. CALCULUS.. SOLVER.. TRIGONOMETRIC.. EXP&LN.. ‚× (Taste 4) „Þ (Taste 1) „Ö (Taste 4) „Î (Taste 7) ‚Ñ (Taste 8) „Ð (Taste 8) Kap. Kap. Kap. Kap. Kap. Kap. 5 5 13 6 5 5 Das Menü SYMB/GRAPH Das Untermenü GRAPH im Menü SYMB enthält folgende Funktionen: DEFINE: gleicht der Tastenfolge „à (Taste 2). GROBADD: fügt zwei GROBs ein, den ersten über den zweiten (siehe Kapitel 22).
PLOTADD(X^2-X) ist ähnlich wie „ô, aber fügt diese Funktion EQ hinzu: X^2 -1. Mithilfe von @ERASE @DRAW wird die Darstellung erzeugt: TABVAL(X^2-1,{1, 3}) erzeugt eine Liste von {min max} –Werten der Funktion im Intervall {1,3}, während SIGNTAB(X^2-1) das Vorzeichen der Funktion im Intervall zeigt (-∞,+), wobei f(x) > 0 bei (-∞,-1), f(x) <0, bei (-1,1), und f(x) > 0 bei (1,+ ∞) ist.
Die Ausgabe erfolgt in einem grafischen Format, wobei die ursprüngliche Funktion F(X) gezeigt wird, die Ableitung F’(X) gleich nach Ableitung und Bereinigung, und schließlich eine Variationstabelle. Die Tabelle besteht aus zwei Reihen, die auf der rechten Seite bezeichnet sind. Die obere Reihe zeigt nun also die Werte für X und die zweite Reihe die Werte für F. Die Fragezeichen kennzeichnen Unsicherheiten bzw. fehlende Definitionen.
Die Darstellung ähnelt der Fast-3D-Darstellung.
Kapitel 13 Anwendungen der Infinitesimalrechnung In diesem Kapitel werden Anwendungen der Taschenrechnerfunktionen auf Operationen der Infinitesimalrechnung erläutert, z. B. Grenzwerte, Ableitungen, Integrale, Potenzreihen usw. Das Menü CALC (Infinitesimalrechnung) Zahlreiche der in diesem Kapitel dargestellten Funktionen befinden sich im Menü CALC des Taschenrechners, das über die Tastenkombination „Ö (der Taste 4 zugeordnet) aufgerufen wird.
einer Funktion definiert, wenn das Inkrement der unabhängigen Variablen gegen Null geht. Grenzwerte werden außerdem verwendet, um die Stetigkeit von Funktionen zu überprüfen. Funktion lim Der Taschenrechner enthält die Funktion lim zum Berechnen der Grenzwerte von Funktionen. Bei dieser Funktion wird ein Ausdruck als Eingangswert verwendet, der eine Funktion und ihren Wert darstellt, wobei der Grenzwert zu berechnen ist. Die Funktion lim kann über den Befehlskatalog (‚N ~„l) oder über die Option 2.
Das Unendlichkeitssymbol ist der Taste 0 zugeordnet. d. h. ., „è.
Die Funktion DERIV erfordert eine Funktion, beispielsweise f(t), und eine unabhängige Variable, z. B. t, während für die Funktion DERVX nur eine Funktion von VX erforderlich ist. Im Folgenden werden Beispiele im ALGModus dargestellt. Beachten Sie, dass im RPN-Modus die Argumente vor dem Anwenden der Funktion eingegeben werden müssen. Das Menü DERIV&INTEG Die in diesem Untermenü verfügbaren Funktionen sind unten aufgelistet: Von diesen Funktionen werden DERIV und DERVX für Ableitungen verwendet.
Berechnen von Ableitungen mit ∂ Das Symbol ist als ‚¿ (die T-Taste) verfügbar. Dieses Symbol kann zum Eingeben einer Ableitung in den Stack oder in EquationWriter verwendet werden (siehe Kapitel 2). Wenn Sie mithilfe des Symbols eine Ableitung in den Stack eingeben, geben Sie direkt danach die unabhängige Variable und dann zwei Klammern um die abzuleitende Funktion ein.
Geben Sie anschließend die abzuleitende Funktion ein, z. B. s*ln(s): Zum Berechnen der Ableitung in EquationWriter drücken Sie viermal die Nach-Oben-Taste —, um den gesamten Ausdruck auszuwählen, und drücken Sie anschließend @EVAL. Die Ableitung wird in EquationWriter wie folgt berechnet: Hinweis: Das Symbol ∂ wird in der Mathematik verwendet, um eine partielle Ableitung anzugeben, d. h. die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen.
Bei dem Ausdruck d1 vor g(x) und f(g(x)) in der Formel oben handelt es sich um eine Abkürzung, die vom Taschenrechner verwendet wird, um eine erste Ableitung anzugeben, wenn die unabhängige Variable, in diesem Fall x, eindeutig definiert ist. Somit wird das Ergebnis wie in der oben dargestellten Formel für die Kettenregel interpretiert. Es folgt ein weiteres Beispiel für eine Anwendung der Kettenregel: Ableitungen von Gleichungen Mit dem Taschenrechner können Sie Ableitungen von Gleichungen berechnen, d.
Gleichung beibehalten wird, doch nicht in den Fällen, in denen die Funktion DERVX verwendet wurde. In diesen Fällen wurde die Gleichung neu geschrieben, und alle zugehörigen Ausdrücke wurden auf die linke Seite des Gleichheitszeichens verschoben. Außerdem wurde das Gleichheitszeichen entfernt, doch der Ergebnisausdruck ist selbstverständlich gleich Null. Implizite Ableitungen Implizite Ableitungen können z. B.
• Drücken Sie im RPN-Modus gleichzeitig „ô,, um das Fenster PLOT SETUP zu öffnen. • Ändern Sie ggf. mithilfe von [@CHOOS] TYPE in FUNCTION. • Drücken Sie ˜, und geben Sie die Gleichung ’TAN(X) ’ ein. • Stellen Sie sicher, dass die unabhängige Variable auf ’X’ gesetzt ist. • Drücken Sie L @@@OK@@@, um zum normalen Display des Taschenrechners zurückzukehren. • Drücken Sie gleichzeitig „ò, um das PLOT-Fenster aufzurufen. • Ändern Sie den H-VIEW-Bereich auf -2 bis 2 und den V-VIEW-Bereich auf -5 bis 5.
• Drücken Sie L @PICT @CANCL $, um zum normalen Display des Taschenrechners zurückzukehren. Beachten Sie, dass die gewünschte Steigung und Tangente im Stack aufgelistet sind. Funktion DOMAIN Mit der über den Befehlskatalog (‚N) verfügbaren Funktion DOMAIN erhalten Sie den Definitionsbereich einer Funktion als eine Liste von Zahlen und Beschreibungen. Beispielsweise gibt an, dass die Funktion LN(X) zwischen –∞ und 0 nicht definiert ist (?), dass sie jedoch zwischen 0 und +∞ definiert ist (+).
Durch dieses Ergebnis wird angegeben, dass der Bereich der Funktion f (X ) = 1 , der dem Definitionsbereich D = { -1,5 } entspricht, R = X 2 +1 2 26 , ist. 2 26 Funktion SIGNTAB Mit der über den Befehlskatalog (‚N) aufrufbaren Funktion SIGNTAB erhalten Sie Informationen über das Vorzeichen einer Funktion in ihrem Definitionsbereich. Beispielsweise gibt SIGNTAB für die Funktion TAN(X) an, dass TAN(X) zwischen –π/2 und 0 negativ und zwischen 0 und π/2 positiv ist.
• Ebene 3: die Funktion f(VX). • Zwei Listen. Die erste Liste gibt die Abweichung der Funktion (d. h. die Punkte, an denen die Werte ab- oder zunehmen) in Bezug auf die unabhängige Variable VX an, die zweite Liste die Abweichung der Funktion in Bezug auf die abhängige Variable. • Ein Grafikobjekt, das anzeigt, wie die Abweichungstabelle berechnet wurde. Beispiel: Berechnen Sie mithilfe der Funktion TABVAR die Funktion Y = X3-4X211X+30.
Ebene 1 enthält nun zwei Listen, die der obersten und untersten Zeile der zuvor dargestellten Grafikmatrix entsprechen. Diese Listen können zum Programmieren verwendet werden. Drücken Sie ƒ, um dieses letzte Ergebnis aus dem Stack zu entfernen. Im Folgenden wird die oben dargestellte Abweichungstabelle erläutert: Die Funktion F(X) nimmt für X im Intervall (-∞, -1) zu und erreicht das Maximum 36 bei X = -1. Dann nimmt F(X) bis X = 11/3 ab und erreicht das Minimum 400/27. Anschließend nimmt F(X) bis +∞ zu.
In dieser Abbildung beschränken wir uns darauf, die Extrempunkte der Funktion y = f(x) im x-Intervall [a,b] zu bestimmen. In diesem Intervall befinden sich zwei Punkte, x = xm und x = xM, wobei f’(x)=0 ist. Der Punkt x = xm stellt ein lokales Minimum dar, wobei f”(x)>0 ist, während der Punkt x = xM ein lokales Maximum darstellt, wobei f”(x)<0 ist. Aus dem Graphen von y = f(x) folgt, dass sich das absolute Maximum im Intervall [a,b] bei x = a und das absolute Minimum bei x = b befindet.
Dieses Ergebnis bedeutet, dass f“(-1) = -14, sodass x = -1 ein relatives Maximum ist. Berechnen Sie die Funktion an diesen Punkten, um zu überprüfen, ob tatsächlich gilt: (-1) > f(11/3). Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen höherer Ordnung können durch mehrfaches Anwenden einer Ableitungsfunktion berechnet werden. Beispiel: Stammfunktionen und Integrale Die Stammfunktion einer Funktion f(x) ist die Funktion F(x), wobei f(x) = dF/dx. Da z. B.
Stammfunktion berechnet wird. Die Funktionen INTVX und SIGMAVX benötigen nur den Ausdruck der in Bezug auf VX zu integrierenden Funktion. Im Folgenden werden einige Beispiele im ALG-Modus dargestellt. Beachten Sie, dass die Funktionen SIGMAVX und SIGMA für Integranden konzipiert sind, die eine ganzzahlige Funktion, z. B. die oben dargestellte Fakultätsfunktion (!), umfassen. Sie erzeugen eine so genannte diskrete Ableitung, d. h. eine ausschließlich für ganze Zahlen definierte Ableitung.
werden (ein Beispiel hierfür finden Sie in Kapitel 2). In EquationWriter erhalten Sie mit dem Symbol ‚Á das Integralzeichen sowie Platzhalter für die Integrationsgrenzen (a,b), für die Funktion f(x) und für die Variable (x) der Integration. In den folgenden Bildschirmabbildungen wird das Erstellen eines bestimmten Integrals veranschaulicht. Der Einfügecursor befindet sich zunächst an der unteren Grenze der Integration.
Das Integral kann auch in EquationWriter berechnet werden, indem Sie den gesamten Ausdruck auswählen und die Menütaste @EVAL verwenden. Schrittweise Berechnung von Ableitungen und Integralen Wenn in den CAS MODES-Fenstern die Option Step/Step ausgewählt ist (siehe Kapitel 1), wird die Berechnung von Ableitungen und Integralen in einzelnen Schritten angezeigt. In der folgenden Abbildung wird z. B.
Beachten Sie, dass durch den schrittweisen Vorgang Informationen über die von CAS zum Lösen dieses Integrals ausgeführten Zwischenschritte bereitgestellt werden. CAS bestimmt zunächst ein Quadratwurzelintegral, dann einen rationalen Bruch sowie einen zweiten rationalen Ausdruck und liefert dann das Endergebnis. Beachten Sie, dass diese Schritte für den Taschenrechner von großer Bedeutung sind, obwohl für den Benutzer nicht genügend Informationen über die einzelnen Schritte geboten werden.
Methoden der Integration Wie in den folgenden Beispielen gezeigt, können mit dem Taschenrechner mehrere Integrationsmethoden angewendet werden. Substitution oder Ändern von Variablen Angenommen, wir möchten das Integral ∫ 2 x 0 1− x2 dx berechnen. Bei einer schrittweisen Berechnung in EquationWriter lautet die Abfolge der Variablensubstitutionen wie folgt: Im zweiten Schritt wird die zu verwendende ordnungsgemäße Substitution dargestellt, u = x2-1.
Partielle Integration und Differenziale Ein Differenzial einer Funktion y = f(x) ist als dy = f'(x) dx definiert, wobei f'(x) die Ableitung von f(x) ist. Differenziale werden für die Darstellung kleiner Inkremente in den Variablen verwendet. Das Differenzial eines Produkts zweier Funktionen y = u(x)v(x) wird durch dy = u(x)dv(x) + du(x)v(x) oder einfach durch d(uv) = udv - vdu berechnet. Somit wird das Integral von udv = d(uv) - vdu als ∫ udv = ∫ d (uv) − ∫ vdu geschrieben.
Somit können wir die Funktion IBP verwenden, um die Komponenten einer partiellen Integration bereitzustellen. Der nächste Schritt muss separat ausgeführt werden. Es ist wichtig zu erwähnen, dass das Integral direkt berechnet werden kann, indem z. B. folgende Eingabe verwendet wird: Integration durch Partialbruchzerlegung Die in Kapitel 5 vorgestellte Funktion PARTFRAC ermöglicht die Zerlegung eines Bruches in Partialbrüche.
Unzulässige Integrale Hierbei handelt es sich um Integrale mit Unendlich als Integrationsgrenze. Üblicherweise wird bei einem unzulässigen Integral zunächst das Integral als Grenzwert gegen Unendlich berechnet, z. B. ∫ ∞ 1 ε dx dx = lim ∫ 2 . 2 ε →∞ 1 x x Mit dem Taschenrechner setzen wir die Berechnung wie folgt fort: Stattdessen können Sie auch das Integral mit Unendlich als Grenzwert sofort berechnen, z. B.
Geben Sie die Integrale mit dem CAS auf Exact-Modus eingestellt ein, erhalten Sie die Meldung in den Approx-Modus umzustellen, die Grenzen der Integrale aber, werden in einem anderen, als hier gezeigten, Format ausgegeben: Die hier gezeigten Grenzen sind 1×1_mm und 0×1_mm, welches 1_mm und 0_mm, wie vorher gezeigt entspricht. Beachten Sie nur die unterschiedlichen Ausgabeformate.
3 – Der Integrand könnte zwei Einheiten beinhalten. So zum Beispiel: 4 – Beinhalten beide, die Grenzwerte wie auch der Integrand, Einheiten, wird das Ergebnis eine Kombination, entsprechend den Regeln der Integrale sein, dieser Einheiten darstellen. So zum Beispiel: Unendliche Reihen ∞ Eine unendliche Reihe hat die Form ∑ h ( n)( x − a ) n . Unendliche Reihen n = 0 ,1 beginnen normalerweise mit dem Index n = 0 oder n = 1.
wobei f(n)(x) die n-te Ableitung von f(x) darstellt, mit x, f(0)(x) = f(x). Wenn x0 gleich Null ist, wird die Reihe als MacLaurin-Reihe bezeichnet, d. h. ∞ f ( x) = ∑ n =0 f ( n ) ( 0) n ⋅x n! Taylor-Polynom und Rest In der Realität können nicht alle Glieder einer unendlichen Reihe berechnet werden. Stattdessen berechnen wir mit einem Polynom der Ordnung k, Pk(x) einen Näherungswert für die Reihe und schätzen die Ordnung eines Residuums Rk(x), sodass k f ( x) = ∑ n =0 d. h.
Funktionen TAYLR, TAYLR0 und SERIES Die Funktionen TAYLR, TAYLR0 und SERIES werden zum Erzeugen von TaylorPolynomen sowie für Taylor-Reihen mit Residuen verwendet. Diese Funktionen sind im Menü CALC/LIMITS&SERIES verfügbar, das bereits in diesem Kapitel beschrieben wurde. Die Funktion TAYLOR0 ergibt eine MacLaurin-Entwicklung um X = 0 eines Ausdrucks in der unabhängigen Standardvariablen VX (in der Regel ‘X’). Bei der Entwicklung wird eine relative Potenz 4. Ordnung verwendet, d. h.
1 -Einen bidirektionalen Grenzwert der Funktion am Entwicklungspunkt, d. h. lim f ( x) x→ a 2 - Einen Äquivalenzwert der Funktion nahe x = a 3 - Einen Ausdruck für das Taylor-Polynom 4 - Die Ordnung des Residuums bzw. Restes Wegen der relativ umfangreichen Ausgabe ist diese Funktion im RPN-Modus leichter zu handhaben. Beispiel: Entfernen Sie den Inhalt der Ebene 1 des Stacks, indem Sie ƒ drücken, und geben Sie dann µ ein, um die Liste in ihre Bestandteile zu zerlegen.
Kapitel 14 Anwendungen multivariater Infinitesimalrechnung Die Bezeichnung „Multivariate Infinitesimalrechnung“ bezieht sich auf Funktionen mit mindestens zwei Variablen. In diesem Kapitel werden die Grundkonzepte der multivariaten Infinitesimalrechnung einschließlich partieller Ableitungen und mehrfacher Integrale erläutert: Multivariate Funktionen Eine Funktion mit mindestens zwei Variablen kann im Taschenrechner mit der Funktion DEFINE („à) definiert werden.
Partielle Ableitungen Betrachten Sie die Funktion mit zwei Variablen z = f(x,y). Die partielle Ableitung der Funktion für x ist definiert durch den Grenzwert f ( x + h, y ) − f ( x , y ) ∂f = lim . h ∂x h→0 Entsprechend ist ∂f f ( x, y + k ) − f ( x, y ) = lim . ∂y k →0 k Wir verwenden die zuvor definierten multivariaten Funktionen, um mit diesen Definitionen partielle Ableitungen zu berechnen. Dies sind die Ableitungen von f(x,y) für x bzw.
Bei dieser Berechnung behandeln wir y als Konstante und berechnen Ableitungen des Ausdrucks für x. Entsprechend können Sie die Ableitungsfunktionen des Taschenrechners, z. B. DERVX, DERIV und ∂ (in Kapitel 13 ausführlich beschrieben), zum Berechnen von partiellen Ableitungen verwenden. Entsinnen Sie sich, dass die Funktion DERVX die CAS-Standardvariable VX (in der Regel „X“) verwendet. Sie können daher mit DERVX nur Ableitungen für X berechnen.
Ableitung an. Auf der linken Seite wird die Ableitung zunächst für x und dann für y berechnet, und auf der rechten Seite ist die Reihenfolge umgekehrt. Es ist wichtig darauf hinzuweisen, dass bei einer stetigen und differenzierbaren Funktion Folgendes gilt: ∂2 f ∂2 f . = ∂y∂x ∂x∂y Ableitungen dritter, vierter und höherer Ordnung werden auf ähnliche Weise definiert. Um mit dem Taschenrechner Ableitungen höherer Ordnung zu berechnen, wenden Sie einfach die Ableitungsfunktion so häufig wie erforderlich an.
Das Ergebnis wird durch d1y(t)⋅d2z(x(t),y(t))+d1x(t)⋅d1z(x(y),y(t)) ausgegeben. Der Ausdruck d1y(t) bedeutet „die Ableitung von y(t) für die erste unabhängige Variable, d. h. t“ oder d1y(t) = dy/dt. Entsprechend ist d1x(t) = dx/dt. Andererseits bedeutet d1z(x(t),y(t)) „die erste Ableitung von z(x,y) für die erste unabhängige Variable, d. h. x“ oder d1z(x(t),y(t)) = ∂z/∂x. Entsprechend ist d2z(x(t),y(t)) = ∂z/∂y.
relatives Minimum, wenn ∂2f/∂x2 > 0. Der Wert ∆ wird als Diskriminante bezeichnet. Wenn ∆ = (∂2f/∂x2)⋅(∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 < 0, liegt eine als Sattelpunkt bezeichnete Bedingung vor, wobei die Funktion bei x ein Maximum erreicht, wenn y als Konstante beibehalten wird, während gleichzeitig ein Minimum erreicht wird, wenn x als Konstante beibehalten wird, oder umgekehrt. Beispiel 1 – Bestimmen Sie die Extrempunkte (sofern vorhanden) der Funktion f(X,Y) = X3-3X-Y2+5.
Verwenden der Funktion HESS zum Berechnen von Extremwerten Die Funktion HESS kann wie folgt zum Berechnen der Extremwerte einer Funktion zweier Variablen verwendet werden. Als Eingabe für die Funktion HESS werden generell eine Funktion mit n unabhängigen Variablen φ(x1, x2, …,xn) und ein Vektor der Funktionen [’x1’ ’x2’… ’xn’] verwendet.
zum Berechnen der Extremwerte von Funktionen mit zwei Variablen verwendet werden. Gehen Sie beispielsweise für die Funktion f(X,Y) = X3-3X-Y2+5 im RPN-Modus wie folgt vor: ’X^3-3*X-Y^2+5’ ` [‘X’,’Y’] ` HESS SOLVE µ ‘s1’ K ‘s2’ K Funktion und Variablen eingeben Funktion HESS anwenden Kritische Punkte suchen Vektor zerlegen Kritische Punkte speichern Die Variablen s1 und s2 enthalten an dieser Stelle die Vektoren [’X=-1’, ’Y=0’] bzw. [’X=1’, ’Y=0’].
Erweiterung eines normalen Integrals auf drei Dimensionen ist ein doppeltes Integral einer Funktion f(x,y) über einem Bereich R auf der x-y-Fläche, das den Rauminhalt des Körpers unter der Fläche f(x,y) über dem Bereich R darstellt. Der Bereich R kann als R = {a
Jacobimatrix einer Koordinatentransformation Betrachten Sie die Koordinatentransformation x = x(u,v), y = y(u,v). Die Jacobimatrix dieser Transformation wird definiert als ∂x | J |= det( J ) = det ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v Wenn Sie mit dieser Transformation ein Integral berechnen, lautet der zu verwendende Ausdruck ∫∫φ ( x, y)dydx = ∫∫φ[ x(u, v), y(u, v)] | J | dudv , R R' wobei R' der durch die Koordinaten (u,v) angegebene Bereich R ist.
im Integranden enthalten ist.
Kapitel 15 Anwendungen der Vektorrechnung In diesem Kapitel stellen wir mehrere Funktionen im Menü CALC für die Berechnung von Skalar- und Vektorfeldern vor. Das Menü CALC wurde in Kapitel 13 ausführlich dargestellt. Wir haben insbesondere auf mehrere Funktionen im Menü DERIV&INTEG hingewiesen, die für die Vektorrechnung verwendet werden können, nämlich CURL, DIV, HESS und LAPL. Ändern Sie für die Übungen in diesem Kapitel das Winkelmaß in Radiant.
gradφ = ∇φ = i ⋅ ∂φ ∂φ ∂φ + j⋅ +k⋅ ∂x ∂y ∂z definiert ist. Das skalare Produkt des Gradienten einer Funktion mit einem bestimmten Einheitsvektor stellt die Änderungsrate der Funktion entlang diesem bestimmten Vektor dar.Diese Änderungsrate wird als Richtungsableitung Duφ(x,y,z) = u•∇φ der Funktion bezeichnet. Die maximale Änderungsrate der Funktion erfolgt an jedem beliebigen Punkt in der Richtung des Gradienten, d. h. entlang einem Einheitsvektor u = ∇φ/|∇φ|.
Geben Sie das Programm im RPN-Modus ein. Nachdem Sie den ALG-Modus gestartet haben, können Sie die Funktion GRADIENT wie im folgenden Beispiel aufrufen: Verwenden der Funktion HESS zum Erhalten des Gradienten Mit der Funktion HESS können Sie den Gradienten einer Funktion wie im Folgenden dargestellt erhalten. Wie in Kapitel 14 erläutert, wird als Eingabe für die Funktion HESS eine Funktion mit n unabhängigen Variablen φ(x1, x2, …,xn) und ein Vektor der Funktionen [„x1“ „x2“…„xn“] verwendet.
Der Taschenrechner enthält die Funktion POTENTIAL, die über den Befehlskatalog (‚N) verfügbar ist, um die Potentialfunktion eines Vektorfeldes zu berechnen, sofern vorhanden. Wenn beispielsweise F(x,y,z) = xi + yj + zk ist, ergibt sich durch Anwenden der Funktion POTENTIAL Folgendes: Da die Funktion SQ(x) den Wert x2 darstellt, gibt dieses Ergebnis an, dass die Potentialfunktion für das Vektorfeld F(x,y,z) = xi + yj + zk durch die Gleichung φ(x,y,z) = (x2+y2+z2)/2 dargestellt wird.
Die Divergenz eines Vektorfeldes kann mit der Funktion DIV berechnet werden. Beispielsweise wird für F(X,Y,Z) = [XY,X2+Y2+Z2,YZ] die Divergenz wie folgt im ALG-Modus berechnet: Laplace-Operator Die Divergenz des Gradienten einer Skalarfunktion ergibt einen Operator, der als Laplace-Operator bezeichnet wird. Der Laplace-Operator einer Skalarfunktion φ(x,y,z) wird somit durch ∇ 2φ = ∇ • ∇ φ = ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 angegeben.
i j k ∂ ∂ ∂ [] [] [] curlF = ∇ × F = ∂x ∂y ∂z f ( x, y , z ) g ( x, y , z ) h ( x, y , z ) ∂h ∂g ∂h ∂g ∂f ∂h = i − + j − + k − ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x Die Rotation des Vektorfeldes kann mit der Funktion CURL berechnet werden.
überprüfen, ob es sich hierbei um ein Rotationsfeld handelt (d. h. ∇×F ≠ 0), verwenden wir für dieses Feld die Funktion CURL: Andererseits ist das Vektorfeld F(x,y,z) = xi + yj + zk tatsächlich rotationsfrei, wie unten gezeigt: Vektorpotential Wenn für ein Vektorfeld F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k eine Vektorfunktion Φ(x,y,z) = φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k vorhanden ist, sodass F = curl Φ = ∇× Φ, wird die Funktion Φ(x,y,z) als Vektorpotential von F(x,y,z) bezeichnet.
wird die Vektorpotentialfunktion Φ2 = [0, ZYX-2YX, Y-(2ZX-X)] erstellt, die sich von Φ1 unterscheidet. Der letzte Befehl in der Bildschirmabbildung zeigt, dass tatsächlich F = ∇× Φ2. Somit ist eine Vektorpotentialfunktion nicht eindeutig bestimmt. Die Beziehung der Komponenten des Vektorfeldes F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j +h(x,y,z)k und der Vektorpotentialfunktion Φ(x,y,z) = φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k wird durch f = ∂η/∂y - ∂ψ/∂x, g = ∂φ/∂z - ∂η/∂x und h = ∂ψ/∂x - ∂φ/∂y bestimmt.
Kapitel 16 Differentialgleichungen In diesem Kapitel stellen wir Beispiele zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODE) mithilfe der Rechnerfunktionen vor. Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die Ableitungen der unabhängigen Variable einschließt. In den meisten Fällen suchen wir die abhängige Funktion, welche die Differentialgleichung erfüllt.
„Ü ~„x™™™+3*~„u„Ü ~„x™*‚¿~„x„ Ü~„u„ Ü ~„x ™™ +~„u„ Ü ~„x™ Q2 ‚ Å 1/ ~„x` Das Ergebnis lautet: ‘∂x(∂x(u(x)))+3*u(x)*∂x(u(x))+u^2=1/x ’. Dieses Format wird auf dem Display angezeigt, wenn die Option _Textbook in der Display-Einstellung (H@)DISP) nicht aktiviert ist. Drücken Sie ˜ zum Anzeigen der Gleichung im Gleichungsschreiber.
Lösungen im Taschenrechner überprüfen Um zu überprüfen, ob eine Funktion eine bestimmte Gleichung unter Verwendung des Taschenrechners erfüllt, verwenden Sie die Funktion SUBST (siehe Kapitel 5), um die Lösung in der Form ‘y = f(x)’ oder ‘y = f(x,t)’, usw. in der Differentialgleichung zu ersetzen. Möglicherweise müssen Sie das Ergebnis mithilfe von EVAL vereinfachen, um die Lösung zu bestätigen. Um z. B.
Wenn Sie die Steigungsfeld-Zeichnung manuell nachzeichnen könnten, könnten Sie mit der Hand die Linien verfolgen, die zu den in der Zeichnung gezeigten Liniensegmenten tangential verlaufen. Diese Linien bilden die Linien von y(x,y) = konstant für die Lösung von y’ = f(x,y). Steigungsfelder sind nützliche Hilfsmittel bei der Anzeige außergewöhnlich schwierig zu lösender Gleichungen.
Eine Gleichung, in der die abhängige Variable und all deren relevante Ableitungen ersten Grades sind, wird lineare Differentialgleichung genannt. Anderenfalls wird die Gleichung als nicht-linear bezeichnet. Beispiele für lineare Differentialgleichungen sind: d²x/dt2 + β⋅(dx/dt) + ωo⋅x = A sin ωf t, und ∂C/∂t + u⋅(∂C/∂x) = D⋅(∂2C/∂x2). Eine Gleichung, dessen rechter Teil (die Funktion oder dessen Ableitungen ausgeschlossen) gleich Null ist, wird als homogene Gleichung bezeichnet.
wobei cC0, cC1, und cC2 Integrationskonstanten sind. Dieses Ergebnis scheint sehr kompliziert zu sein und kann vereinfacht werden durch Verwendung von K1 = (10*cC0-(7+cC1-cC2))/40, K2 = -(6*cC0-(cC1+cC2))/24, und K3 = (15*cC0+(2*cC1-cC2))/15. Die Lösung lautet dann: y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x.
dass die verbleibenden Terme in der oben angeführten Lösung, d.h. yp = (450⋅x2+330⋅x+241)/13500 eine besondere Lösung der ODE darstellen. Hinweis: Dieses Ergebnis ist allgemein für alle nicht-homogenen linearen ODE, d.h. vorausgesetzt die Lösung der homogenen Gleichung yh(x), die Lösung der entsprechenden nicht-homogenen Gleichung y(x), kann als y(x) = yh(x) + yp(x), geschrieben werden, wobei yp(x) eine besondere Lösung der ODE ist.
Die Lösung wird als Vektor mit den Funktionen [x1(t), x2(t)] angezeigt. Durch Drücken von ˜ wird der Matrix-Schreiber ausgelöst und ermöglicht dem Anwender die Komponenten des Vektors anzusehen. Um alle Details jeder einzelnen Komponente zu sehen, drücken Sie die Softmenü-Taste @EDIT!. Vergewissern Sie sich, dass die Komponenten wie folgt lauten: Funktion DESOLVE Der Taschenrechner kann mithilfe der Funktion DESOLVE (Löser für Differentialgleichungen) bestimmte Arten von Differentialgleichungen lösen.
Die Variable ODETYPE Auf den Kennzeichnungen für die Softmenü-Taste werden Sie eine neue Variable @ODETY (ODETYPE) erkennen. Diese Variable wird unter Verwendung der Funktion DESOL erzeugt und enthält einen String, der die Art der verwendeten ODE als Eingabe für DESOLVE zeigt. Drücken Sie @ODETY, um den String “1st order linear” zu erhalten. Beispiel 2 – Lösen Sie die ODE zweiter Ordnung: d2y/dx2 + x (dy/dx) = exp(x).
‘d1y(x) = (C + EXP(x))/x’ ` ‘y(x)’ ` DESOLVE Das Ergebnis lautet: { ‘y(x) = INT((EXP(xt)+C)/xt,xt,x)+C0’ }, d.h.., ex + C dx + C 0 y ( x) = ∫ ⋅ x Wenn wir versuchen die Integration manuell durchzuführen, schaffen wir das nur bis dahin: y ( x) = ∫ ⋅ ex dx + C ⋅ ln x + C 0 x weil das Integral von exp(x)/x in geschlossener Form nicht vorhanden ist. Beispiel 3 – Eine Lösung mit Anfangsbedingungen lösen. Lösen Sie d2y/dt2 + 5y = 2 cos(t/2), mit den Anfangsbedingungen y(0) = 1,2, y’(0) = -0,5.
Die Lösung hierfür lautet: Drücken Sie µµ, um das Ergebnis wie folgt zu vereinfachen: ‘y(t) = -((19*√5*SIN(√5*t)-(148*COS(√5*t)+80*COS(t/2)))/190)’. Drücken Sie J @ODETY ,um den String “Linear w/ cst coeff” für die ODE-Art in diesem Fall zu erhalten. Laplace-Transformationen Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t) erzeugt eine Funktion F(s) in der Bilddomäne und kann verwendet werden, um die Lösung einer linearen Differentialgleichung mit f(t) über algebraische Methoden zu erhalten.
Die Bildvariable s kann eine komplexe Zahl sein und ist normalerweise auch eine. Viele praktische Anwendungen der Laplace-Transformation enthalten eine ursprüngliche Funktion f(t), wobei t für Zeit steht, z. B. Kontrollsysteme in elektrischen oder hydraulischen Schaltkreisen. Normalerweise ist die Systemantwort nach der Zeit t>0 von Interesse, somit enthält die oben genannte Definition für die Laplace-Transformation eine Integration für Werte mit t größer als Null.
Vergleichen Sie die Ausdrücke mit der vorher in der Definition der LaplaceTransformation angegebenen, d.h., ∞ L{ f (t )} = F ( s ) = ∫ f (t ) ⋅ e − st dt , 0 und Sie werden merken, dass die CAS Standardvariable X im Bildschirm des Gleichungsschreibers die Variable in dieser Definition ersetzt. Somit erhalten Sie durch Verwendung der Funktion LAP eine Funktion durch X, welche die Laplace-Transformation von f(X) ist. Beispiel 2 – Bestimmen Sie die Laplace-Transformation von f(t) = e2t⋅sin(t).
Beispiel 5 – Bestimmen Sie die Laplace-Transformation der Funktion f(t) = cos (a⋅t+b). Verwenden Sie: ‘COS(a*X+b)’ ` LAP. Der Taschenrechner kommt zu folgendem Ergebnis: Drücken Sie µ, um –(a sin(b) – X cos(b))/(X2+a2) zu erhalten. Die Transformation wird wie folgt interpretiert: L {cos(a⋅t+b)} = (s⋅cos b – a⋅sin b)/(s2+a2). Laplace-Transformations-Theoreme Um die Bestimmung der Laplace-Transformation von Funktionen zu erleichtern, können Sie verschiedene Theoreme verwenden. Einige sind unten aufgelistet.
• Ableitungssatz für die n-te Ableitung. Nehmen Sie f fo = f(0), dann (k) o L{dnf/dtn} = sn⋅F(s) – sn-1⋅fo −…– s⋅f(n-2)o – f = dkf/dxk|t = 0, und (n-1) . o • Linearitätssatz. L{af(t)+bg(t)} = a⋅L{f(t)} + b⋅L{g(t)}. • Ableitungssatz für die Bildfunktion. Angenommen F(s) = L{f(t)}, dann ist dnF/dsn = L{(-t)n⋅f(t)}. Beispiel 3 – Nehmen Sie f(t) = e–at, unter Verwendung des Taschenrechners mit ‘EXP(-a*X)’ ` LAP, und Sie erhalten ‘1/(X+a)’, oder F(s) = 1/(s+a).
Beispiel 4 – Verwenden Sie das Konvolutionstheorem und berechnen Sie die Laplace-Transformation von (f*g)(t), if f(t) = sin(t), und g(t) = exp(t). Zur Berechnung von F(s) = L{f(t)}, und G(s) = L{g(t)}, verwenden Sie: ‘SIN(X)’ ` LAP µ. Ergebnis, ‘1/(X^2+1)’, d.h., F(s) = 1/(s2+1). Und, ‘EXP(X)’ ` LAP. Ergebnis, ‘1/(X-1)’, d.h. G(s) = 1/(s-1). Somit ist L{(f*g)(t)} = F(s)⋅G(s) = 1/(s2+1)⋅1/(s-1) = 1/((s-1)(s2+1)) = 1/(s3-s2+s-1). • Verschiebungssatz für eine Verschiebung nach rechts.
f 0 = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s )]. t →0 • s →∞ Grenzwerttheorem für den endgültigen Wert: Nehmen Sie F(s) = L{f(t)}, dann f ∞ = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s )].
1, x > 0 H ( x) = 0, x < 0 Auch für die kontinuierliche Funktion f(x) sind die ∫ ∞ −∞ ∞ f ( x) H ( x − x0 )dx = ∫ f ( x)dx. x0 Die Dirac’sche Deltafunktion und Heavisides Schrittfunktion sind durch dH/dx = δ(x) verbunden. Die zwei Funktionen sind in der nachfolgenden Abbildung angeführt. y y (x _ x 0 ) H(x _ x 0 ) 1 x0 x x0 x Sie können beweisen, dass L{H(t)} = 1/s, woraus hervorgeht, dass L{Uo⋅H(t)} = Uo/s ist, wobei Uo eine Konstante ist.
Sie erhalten die Dirac’sche Deltafunktion Verwendung von: 1` ILAP Das Ergebnis lautet ‘Delta(X)’. im Taschenrechner durch Das Ergebnis ist rein symbolisch, z. B. können Sie keinen numerischen Wert für ‘Delta(5)’ finden. Dieses Ergebnis kann als Laplace-Transformation der Dirac’schen Deltafunktion bezeichnet werden, weil aus L -1{1.0}= δ(t), folgt, dass L{δ(t)} = 1.
Beispiel 1 – So lösen Sie die ODE erster Ordnung, dh/dt + k⋅h(t) = a⋅e–t, unter Verwendung schreiben: der Laplace-Transformation können wir Folgendes L{dh/dt + k⋅h(t)} = L{a⋅e–t}, L{dh/dt} + k⋅L{h(t)} = a⋅L{e–t}. Hinweis: ‘EXP(-X)’ ` LAP , ergibt ‘1/(X+1)’, d.h., L{e–t }=1/(s+1). Bei H(s) = L{h(t)}, und L{dh/dt} = s⋅H(s) - ho, wobei ho = h(0) ist, lautet die umgewandelte Gleichung s⋅H(s)-ho+k⋅H(s) = a/(s+1).
‘a*EXP(-X)’ ` ‘X+k’ ` LDEC µ Das Ergebnis lautet: d.h. h(t) = a/(k-1)⋅e-t +((k-1)⋅cCo-a)/(k-1)⋅e-kt. Somit stellt cC0 im Ergebnis von LDEC die Anfangsbedingung h(0) dar. Hinweis: Wenn Sie die Funktion LDEC zur Lösung einer linearer ODE der Ordnung n in f(X) verwenden, wird das Ergebnis als n-Konstanten cC0, cC1, cC2, …, cC(n-1) angezeigt und stellt die Anfangsbedingungen f(0), f’(0), f”(0), …, f(n-1) (0) dar.
Das Ergebnis lautet ‘Y=((X^2+9)*y1+(y0*X^3+9*y0*X+3))/(X^4+11*X^2+18)’. Um die Lösung der ODE y(t) zu finden, müssen wir die inverse LaplaceTransformation wie folgt verwenden: OBJ ƒ ƒ ILAPµ Isoliert den rechten Teil des letzten Ausdrucks Ergibt die inverse Laplace-Transformation Das Ergebnis lautet d.h. y(t) = -(1/7) sin 3x + yo cos √2x + (√2 (7y1+3)/14) sin √2x. Überprüfen Sie die Lösung der ODE, wenn Sie die Funktion LDEC verwenden würden. ‘SIN(3*X)’ ` ‘X^2+2’ ` LDEC µ Das Ergebnis lautet: d.h.
d2y/dt2+y = δ(t-3), wobei δ(t) eine Dirac’sche Deltafunktion ist. Unter Verwendung der Laplace-Transformation können wir Folgendes schreiben: L{d2y/dt2+y} = L{δ(t-3)}, L{d2y/dt2} + L{y(t)} = L{δ(t-3)}. Bei ‘Delta(X-3)’ ` LAP errechnet der Taschenrechner EXP(-3*X), d.h., L{δ(t-3)} = e–3s. Bei Y(s) = L{y(t)}, und L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, wobei yo = h(0) ist und y1 = h’(0), lautet die umgewandelte Gleichung s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + Y(s) = e–3s.
und die Verwendung des Linearitätssatzes der inversen LaplaceTransformation L -1{a⋅F(s)+b⋅G(s)} = a⋅L -1{F(s)} + b⋅L -1{G(s)}, zum Schreiben von: L -1{yo⋅s/(s2+1)+y1/(s2+1)) + e–3s/(s2+1)) } = yo⋅L -1{s/(s2+1)}+ y1⋅L -1{1/(s2+1)}+ L -1{e–3s/(s2+1))}, Somit können wir den Taschenrechner verwenden, um folgendes Ergebnis zu erhalten: ‘X/(X^2+1)’ ` ILAP ‘1/(X^2+1)’ ` ILAP ‘EXP(-3*X)/(X^2+1)’ ` ILAP Ergebnis, ‘COS(X)’, d.h., L -1{s/(s2+1)}= cos t. Ergebnis, ‘SIN(X)’, d.h.., L -1{1/(s2+1)}= sin t.
Bitte beachten Sie, dass die Variable X in diesem Ausdruck tatsächlich die Variable t in der ursprünglichen ODE ist. Somit kann die Lösung auf Papier wie folgt geschrieben werden: y (t ) = Co ⋅ cos t + C1 ⋅ sin t +sin(t − 3) ⋅ H (t − 3) Wenn wir dieses Ergebnis mit dem vorherigen Ergebnis für y(t) vergleichen, schließen wir daraus, dass cCo = yo, cC1 = y1 ist.
Drücken Sie @ERASE @DRAW zum Anzeigen der Funktion. Die Funktion H(X) kann im Taschenrechner nicht mit LDEC, LAP, oder ILAP verwendet werden. Sie müssen die Hauptergebnisse verwenden, die Sie vorher mit der Schrittfunktion von Heaviside errechnet haben, verwenden, d.h. L{H(t)} = 1/s, L -1{1/s}=H(t), L{H(t-k)}=e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = ⋅(1/s)⋅e–ks und L 1 {e–as ⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a).
Die Lösung einer Gleichung mit einem Treibersignal nach der Schrittfunktion von Heaviside wird unten angeführt. Beispiel 3 – Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung d2y/dt2+y = H(t-3), wobei H(t) eine Schrittfunktion von Heaviside ist. Unter Verwendung der Laplace-Transformation können wir Folgendes schreiben: L{d2y/dt2+y} = L{H(t3)}, L{d2y/dt2} + L{y(t)} = L{H(t-3)}. Der letzte Term im Ausdruck lautet: L{H(t-3)} = (1/s)⋅e–3s.
Bitte beachten Sie, dass die Variable X in diesem Ausdruck tatsächlich die Variable t in der ursprünglichen ODE darstellt, und dass die Variable ttt in diesem Ausdruck eine Hilfsvariable ist. Somit kann die Lösung auf Papier wie folgt geschrieben werden: ∞ y (t ) = Co ⋅ cos t + C1 ⋅ sin t + sin t ⋅ ∫ H (u − 3) ⋅ e −ut ⋅ du. 0 Beispiel 4 – Zeigen Sie die Lösung zu Beispiel 3 unter Verwendung der gleichen Werte für yo und y1 an, die in der Zeichnung in Beispiel 1 oben verwendet wurden.
f(t) = Uo⋅ ((t-a)/(b-a)⋅[H(t-a)-H(t-b)]+(1-(t-b)/(b-c))[H(t-b)-H(t-c)]). • Sägezahnimpuls steigt bis zu einem Maximalwert von Uo für a < t < b und sinkt bei b = t plötzlich auf Null ab: f(t) = Uo⋅ (t-a)/(b-a)⋅[H(t-a)-H(t-b)]. • Sägezahnimpuls steigt plötzlich bis zu einem Maximalwert von Uo bei t = a, und sinkt dann linear bis Null für a < t < b: f(t) = Uo⋅[1-(t-a)/(b-1)]⋅[H(t-a)-H(t-b)].
Funktionen, bekannt als Fourier-Reihe, entwickelt werden, die gegeben ist durch: ∞ 2nπ 2nπ f (t ) = a 0 + ∑ a n ⋅ cos t + bn ⋅ sin t T T n =1 wobei die Koeffizienten an und bn gegeben sind durch a0 = 1 T ∫ T/2 −T / 2 f (t ) ⋅ dt , a n = bn = ∫ T /2 −T / 2 2 T /2 2nπ t ⋅ dt , f (t ) ⋅ cos ∫ − T / 2 T T f (t ) ⋅ sin 2 nπ t ⋅ dt. T Die folgenden Übungen werden im ALG-Modus durchgeführt, wobei der CASModus auf Exact gesetzt ist.
Somit sind die ersten drei Terme der Funktion: f(t) ≈ 1/3 – (4/π2)⋅cos (π⋅t)+(2/π)⋅sin (π⋅t). Ein grafischer Vergleich der ursprünglichen Funktion mit der FourierAusweitung unter Verwendung der drei Terme zeigt, dass die Annäherung für t < 1, oder um diesen Bereich herum, akzeptabel ist. Wir hatten jedoch angenommen, dass T/2 = 1. Deshalb ist die Annäherung nur zwischen –1 < t < 1 gültig.
Die Funktion FOURIER ergibt den Koeffizienten cn der komplexen Form der Fourier-Reihe, wenn die Funktion f(t) und der Wert von n gegeben sind. Die Funktion FOURIER erfordert, dass Sie den Wert der Periode (T) einer Tperiodischen Funktion in die CAS Variable PERIOD speichern, bevor Sie die Funktion aufrufen. Die Funktion FOURIER ist im Untermenü DERIV im CALCMenü vefügbar („Ö).
Somit ist c0 = 1/3, c1 = (π⋅i+2)/π2, c2 = (π⋅i+1)/(2π2). Die Fourier-Reihe mit drei Elementen wird wie folgt geschrieben: g(t) ≈ Re[(1/3) + (π⋅i+2)/π2⋅exp(i⋅π⋅t)+ (π⋅i+1)/(2π2)⋅exp(2⋅i⋅π⋅t)]. Eine Zeichnung der verschobenen Funktion g(t) und die Fourier-ReihenAnnäherung folgt: Die Annäherung ist einigermaßen annehmbar für 0
Ein allgemeiner Ausdruck für cn Die Funktion FOURIER kann einen allgemeinen Ausdruck für den Koeffizienten cn der komplexen Fourier-Reihen-Entwicklung ergeben. Z. B.
Die komplexe Fourier-Reihe zusammenfügen Nachdem wir den allgemeinen Ausdruck für cn, festgelegt haben, können wir eine endliche komplexe Fourier-Reihe zusammenfügen, indem wir die Summenfunktion (Σ) im Taschenrechner wie folgt verwenden: • Bestimmen Sie zuerst eine Funktion c(n), die den allgemeinen Term cn in der komplexen Fourier-Reihe darstellt. • Definieren Sie nun die endliche komplexe Fourier-Reihe F(X,k), wobei X die unabhängige Variable ist und k die Anzahl der zu verwendenden Terme bestimmt.
wobei T die Periode T = 2 darstellt. Die folgenden Screenshots zeigen die Definition der Funktion F und die Speicherung von T = 2. Die Funktion @@@F@@@ kann verwendet werden, um den Ausdruck für komplexe Fourier-Reihen für einen endlichen Wert von k zu verändern. Z. B. für k = 2, c0 = 1/3 und unter Verwendung von t als unabhängige Variable können wir F(t,2,1/3) auswerten, um Folgendes zu erhalten: Das Ergebnis zeigt nur den ersten Term (c0) und einen Teil des ersten Exponentialterms in der Reihe.
-0,25. Die folgenden Berechnungen zeigen wie sehr sich die Fourier-Reihe an diesen Wert nähert, wenn die Anzahl der Komponenten in der Reihe, gegeben durch k, zunimmt: F (0,5; 1; 1/3) = (-0,303286439037,0.) F (0,5; 2; 1/3) = (-0,404607622676,0.) F (0,5; 3; 1/3) = (-0,192401031886,0.) F (0,5; 4; 1/3) = (-0,167070735979,0.) F (0,5; 5; 1/3) = (-0,294394690453,0.) F (0,5; 6; 1/3) = (-0,305652599743,0.
eine Periodizität in der Grafik der Reihen zu erkennen. Diese Periodizität kann leicht veranschaulicht werden, indem der horizontale Bereich der Zeichnung auf (-0,5;4) ausgedehnt wird: Fourier-Reihe für eine Dreieckschwingung Beachten Sie die Funktion x, if 0 < x < 1 g ( x) = 2 − x, if 1 < x < 2 die wir als periodisch mit T = 2 annehmen.
Bestätigung des Wechsels zu Approx erscheint c0 = 0,5. Wenn wir nun einen allgemeinen Ausdruck für den Koeffizienten cn erhalten wollen, verwenden wir: Der Taschenrechner ermittelt ein Integral, das numerisch nicht ausgewertet werden kann, weil es vom Parameter n abhängt. Der Koeffizient kann dennoch berechnet werden, indem seine Definition in den Taschenrechner eingegeben wird, d.h.
Rufen Sie einπ = cos(nπ) + i⋅sin(nπ) = (-1)n auf. Durch den Austauschvorgang im oben erhaltenen Ergebnis erhalten wir: Drücken Sie ``, um dieses Ergebnis auf den Bildschirm zu kopieren. Aktivieren Sie dann erneut den Gleichungsschreiber, um das zweite Integral zu berechnen, das den Koeffizienten cn, definiert, d.h., Durch Ersetzen von einπ = (-1)n und Verwenden von e2inπ = 1 erhalten wir: Drücken Sie ``, um dieses zweite Ergebnis auf den Bildschirm zu kopieren.
Durch Ersetzen von einπ = (-1)n erhalten wir: Dieses Ergebnis wird verwendet, um die Funktion c(n) wie folgt zu definieren: DEFINE(‘c(n) = - (((-1)^n-1)/(n^2*π^2*(-1)^n)’) d.h.
Die resultierende Grafik ist unten für k = 5 angeführt (die Anzahl der Elemente in der Reihe ist 2k+1, d.h. 11 in diesem Fall): In der Zeichnung ist es schwierig, die ursprüngliche Funktion von der FourierReihen-Annäherung zu unterscheiden. Die Verwendung von k= 2 oder 5 Termen in der Reihe führt nicht zu einer so guten Annäherung: Die Fourier-Reihe kann verwendet werden, um eine periodische Dreieckschwingung (oder Sägezahnwelle) zu verändern, indem der horizontale Achsenbereich z. B.
Fourier-Reihe für eine Rechteckschwingung Eine Rechteckschwingung kann verändert werden unter Verwendung der Funktion: 0, if 0 < x < 1 g ( x) = 1, if 1 < x < 3 0, if 3 < x < 4 In diesem Fall ist die Periode T 4. Achten Sie darauf, dass Sie den Wert der Variable @@@T@@@ auf 4 setzen (verwenden Sie: 4 K @@@T@@ `).
Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir einπ/2 = in und e3inπ/2 = (-i)n verwenden, um Folgendes zu erhalten: Die Vereinfachung des rechten Teils von c(n) oben ist einfacher auf Papier zu vollziehen, (d.h. manuell). Geben Sie dann den Ausdruck für c(n) erneut wie in der linken oberen Abbildung ein, um die Funktion c(n) zu definieren. Die Fourier-Reihe wird mit F(X,k,c0) berechnet, wie in den Beispielen 1 und 2 oben mit c0 = 0,5. Für k = 5, d.h.
Bei k = 20 ist die Annäherung sogar noch besser, aber die Erstellung der Grafik dauert länger. Fourier-Reihen-Anwendungen bei Differentialgleichungen Angenommen wir wollen die periodische Rechteckschwingung aus dem vorherigen Beispiel als Anregung eines ungedämpften Feder-Masse-Systems berechnen, dessen homogene Gleichung wie folgt lautet: d2y/dX2 + 0.25y = 0.
bringt hervor, dass zwei Integrationskonstanten existieren, cC0 und cC1. Die Werte wurden mithilfe der Anfangsbedingungen berechnet. Angenommen wir verwenden die Werte cC0 = 0,5 und cC1 = -0,5, dann können wir diese Werte in der obigen Lösung mithilfe der Funktion SUBST (siehe Kapitel 5) ersetzen. Verwenden Sie in diesem Fall SUBST(ANS(1),cC0=0,5) `, gefolgt von SUBST(ANS(1),cC1=-0,5) `.
Fourier-Transformationen Bevor wir auf das Konzept von Fourier-Transformationen eingehen, sprechen wir über die allgemeine Definition einer Integral-Transformation. Generell gesehen, ist eine Integral-Transformation eine Transformation, die eine Funktion f(t) mit einer neuen Funktion F(s) verbindet und zwar durch die Integration der Form F ( s ) = b ∫ κ (s, t ) ⋅ f (t ) ⋅ dt. Die Funktion κ(s,t) wird als a Kern der Transformation bezeichnet.
∞ f ( x) = a 0 + ∑ An ⋅ cos(ω n x + φ n ). n =1 ∞ = a 0 + ∑ (a n ⋅ cos ω n x + bn ⋅ sin ω n x ) n =1 Eine Zeichnung der Werte An vs. ωn ist die typische Darstellung eines diskreten Spektrums für eine Funktion. Das diskrete Spektrum wird zeigen, dass die Funktion Komponenten bei Winkelfrequenzen ωn aufweist, die Integervielfache der fundamentalen Winkelfrequenz ω0 sind. Angenommen wir müssen eine nicht periodische Funktion in eine Sinus- und Kosinus-Komponente entwickeln.
A(ω ) = [C (ω )]2 + [ S (ω )] 2 Die Funktionen C(ω), S(ω) und A(ω) sind kontinuierliche Funktionen einer Variable ω, welche zur transformierten Variable für die Fourier-Transformation wird, die unten angeführt ist: Beispiel 1 – Bestimmen Sie die Koeffizienten C(ω), S(ω) und das kontinuierliche Spektrum A(ω), für die Funktion f(x) = exp(x) für x > 0, und f(x) = 0, x < 0. Geben Sie die folgenden Integrale in den Taschenrechner ein und werten Sie diese aus, um C(ω) und S(ω) zu berechnen.
Definieren Sie den Ausdruck als Funktion durch Verwendung der Funktion DEFINE („à). Dann plotten Sie das ununterbrochene Spektrum, in der Strecke 0 < w < 10, wie: Definition von Fourier-Transformationen Es können verschiedene Arten von Fourier-Transformationen definiert werden.
Beispiel 1 – Bestimmen Sie die Fourier-Transformation der Funktion f(t) = exp(t), für t >0, und f(t) = 0, für t<0. Das kontinuierliche Spektrum F(ω)wird mit dem folgenden Integral berechnet: 1 2π ∫ 1 ε →∞ 2π = lim 1 ε →∞ 2π ∞ 0 e −(1+iω ) t dt = lim ε ∫e −(1+ iω ) t 0 dt 1 1 − exp(−(1 + iω )ε ) 1 . = ⋅ 1 + iω 2π 1 + iω Dieses Ergebnis kann durch Multiplizieren von Zähler und Nenner mit der Konjugate des Nenners vereinfacht werden, d. h. 1-iω.
Die Größenordnung oder der Absolutwert der Fourier-Transformation |F(ω)| ist das Frequenzspektrum der ursprünglichen Funktion f(t). Für das oben angeführte Beispiel gilt |F(ω)| = 1/[2π(1+ω2)]1/2. Die Zeichnung für |F(ω)| vs. ω wurde vorher gezeigt. Einige Funktionen, wie konstante Werte, sin x, exp(x), x2, etc., haben keine Fourier-Transformation. Funktionen, die gleich schnell auf Null gehen wie x gegen Unendlich geht, haben Fourier-Transformationen.
Die diskrete Fourier-Transformation einer Reihe von Datenwerten {xj}, j = 0, 1, 2, …, n-1, ist eine neue endliche Folge {Xk}, definiert als Xk = 1 n −1 ∑ x j ⋅ exp(−i ⋅ 2πkj / n), n j =0 k = 0,1,2,..., n − 1 Die direkte Berechnung der Folge Xk bezieht n2 Produkte ein, die einen enormen Aufwand an Computerzeit (oder Taschenrechnerzeit), vor allem für große Werte von n, benötigen würden. Die Fast Fourier-Transformation reduziert die benötigte Anzahl an Vorgängen in der Ordnung von n log2n. Z. B.
Beispiel 1 – Definieren Sie die Funktion f(x) = 2 sin (3x) + 5 cos(5x) + 0,5*RAND, wobei RAND der gleichförmige Zufalls-Zahlengenerator ist, der vom Taschenrechner erstellt wird. Erzeugen Sie 128 Datenpunkte mithilfe der Werte von x im Intervall (0;12,8). Speichern Sie diese Werte in einer Matrix und führen Sie eine FFT an der Matrix durch. Zuerst definieren wir die Funktion f(x) als RPN-Programm: << x ‘2*SIN(3*x) + 5*COS(5*x)’ EVAL RAND 5 * + NUM >> und speichern dieses Programm in Variable @@@@f@@@.
Um die FFT an der Matrix auf der Speicherebene 1 durchzuführen, verwenden Sie die Funktion FFT im Menü MTH/FFT auf die Matrix ΣDAT: @£DAT FFT. Die FFT errechnet eine Matrix mit komplexen Zahlen, welche die Matrix für die Koeffizienten Xk der DFT sind. Die Größenordnung der Koeffizienten Xk stellt ein Frequenzspektrum der ursprünglichen Daten dar.
<< m a b << ‘2^m’ EVAL n << ‘(b-a)/(n+1)’ EVAL Dx << 1 n FOR j ‘a+(j-1)*Dx’ EVAL f ABS NEXT n ARRY >> >> >> >> Speichern Sie diese Programmversion unter dem Namen GSPEC (Generate SPECtrum). Führen Sie das Programm dann für die Werte m = 6, a = 0, b = 100 aus, indem Sie folgendes verwenden: 6#0#100@GSPEC! Drücken Sie nach Abschluss `, um eine zusätzliche Kopie der SpektrumMatrix zu behalten. Konvertieren Sie diesen Reihenvektor in einen Spaltenvektor und speichern Sie diesen in ΣDAT .
Außer einer großen Spitze bei t = 0, ist das Signal vorwiegend Geräusch. Ein kleinerer vertikaler Bereich (-0,5 to 0,5) zeigt das Signal folgendermaßen: Lösung spezifischer Ordnung Differentialgleichungen zweiter In diesem Abschnitt zeigen und lösen wir verschiedene Arten gewöhnlicher Differentialgleichungen, deren Lösungen nach einigen klassischen Funktionen definiert werden, z. B. Bessel-Funktion, Hermite'sche Polynome usw. Die Beispiele sind im RPN-Modus angeführt.
x^n erhalten wir eine algebraische Hilfsgleichung: ‘n*(n-1)+a*n+b = 0’, oder. n 2 + (a − 1) ⋅ n + b = 0 . • • Wenn die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln enthält, z. B. n1 und n2, dann ist die allgemeine Lösung zu dieser Gleichung y(x) = K1⋅x n1 + K2⋅x n2. Wenn b = (1-a)2/4, dann hat die Gleichung eine Doppelwurzel n1 = n2 = n = (1-a)/2, und die Lösung lautet y(x) = (K1 + K2⋅ln x)xn.
4 LEGENDRE, Ergebnis: ‘(35*X^4-30*X^2+3)/8’, d.h. P4(x) =(35x4-30x2+3)/8. 5 LEGENDRE, Ergebnis: ‘(63*X^5-70*X^3+15*X)/8’, d.h. P5(x) =(63x5-70x3+15x)/8. Die ODE (1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+[n⋅ (n+1)-m2/(1-x2)] ⋅y = 0, hat folgende Funktion als Lösung: y(x) = Pnm(x)= (1-x2)m/2⋅(dmPn/dxm). Diese Funktion wird eine assozierte Legendre-Funktion genannt.
Somit haben wir die Kontrolle über Funktionsordnung n und über die Anzahl der Elemente in der Reihe k. Sobald Sie diese Funktion eingegeben haben, können Sie die Funktion DEFINE verwenden, um die Funktion J(x,n,k) zu definieren. Dies ergibt die Variable @@@J@@@ in den Softmenü-Tasten. Um z. B. J3(0,1) mithilfe von 5 Termen in der Reihe auszuwerten, berechnen Sie J(0.1,3,5), z. B. im RPN-Modus: .1#3#5@@@J@@@. Das Ergebnis lautet 2,08203157E-5.
wobei γ die Euler-Konstante ist, definiert durch γ = lim[1 + r →∞ 1 1 1 + + ... + − ln r ] ≈ 0.57721566490..., 2 3 r und hm stellt die harmonische Reihe dar. hm = 1 + 1 1 1 + + ... + m 2 3 Für den Fall n = 0 wird die Bessel-Funktionen zweiter Gattung definiert als ∞ (−1) m −1 ⋅ hm 2 m x 2 Y0 ( x) = ⋅ J 0 ( x) ⋅ (ln + γ ) + ∑ 2 m ⋅ x . π 2 ⋅ (m!) 2 m =0 2 Bei diesen Definitionen ist eine allgemeine Lösung der Bessel-Gleichung für alle Werte von ν gegeben durch y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅Yν(x).
sind auch Lösungen dieser ODE. Sie können Funktionen anwenden, indem Sie die Bessel-Funktionen im Taschenrechner auf ähnliche Weise verwenden, wie sie zur Definition von Bessel-Funktionen erster Gattung verwendet werden, indem Sie darauf achten, dass die unendlichen Reihen im Taschenrechner in endliche Reihen umgewandelt werden müssen.
Laguerre-Gleichung Laguerre’s Gleichung ist die lineare ODE zweiter Ordnung der Form x⋅(d2y/dx2) +(1−x)⋅ (dy/dx) + n⋅y = 0. Laguerre-Polynome, definiert als L0 ( x) = 1, Ln ( x) = e x d n (xn ⋅ e−x ) ⋅ , n = 1,2,... , n! dx n sind Lösungen zur Laguerre-Gleichung. Laguerre-Polynome können auch berechnet werden mit (−1) m m! m =0 n Ln ( x ) = ∑ = 1− n ⋅ x + n ⋅ ⋅ x m . m ( −1) n n n ( n − 1) 2 ⋅ x − ... + ....
Um die ersten vier Laguerre-Polynome zu generieren, verwenden Sie L(x,0), L(x,1), L(x,2), L(x,3). Die Ergebnisse lauten: L0(x) = . L 1(x) = 1-x. L 2(x) = 1-2x+ 0.5x2 L 3(x) = 1-3x+1.5x2-0.16666…x3.
Differentialgleichungen erster Ordnung lösen können. Die Anwendung dieser Funktion wird mit folgendem Beispiel vorgestellt. Die in der Lösung verwendete Methode ist ein Runge-Kutta Algorithmus vierter Ordnung, der im Taschenrechner vorprogrammiert ist. Beispiel 1 – Angenommen wir möchten die Differentialgleichung dv/dt = -1,5 v1/2, mit v = 4 at t = 0 lösen. Wir müssen v für t = 2 finden. Zuerst erstellen wir den Ausdruck, indem wir die Ableitung definieren und sie in der Variable EQ speichern.
t 0.00 0.25 … 2.00 v 0.00 … Als nächstes ändern Sie in der SOLVE-Umgebung den endgültigen Wert der unabhängigen Variable auf 0,25, verwenden Sie dazu: —.25 @@OK@@ ™™ @SOLVE (warten) @EDIT (Löst auf nach v bei t = 0,25, v = 3,285 …. ) @@OK@@ INIT+ — .5 @@OK@@ ™™@SOLVE (warten) @EDIT (Verändert Anfangswert von t auf 0,25 und endgültigen Wert von t auf 0,5, lösen Sie auf nach v(0,5) = 2,640…). @@OK@@ @INIT+—.
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 1.562 1.129 0.766 0.473 0.250 Grafische Lösung einer ODE erster Ordnung Wenn wir keine Lösung geschlossener Form für das Integral erhalten können, können wir das Integral zeichnen, indem im Feld TYPE der PLOT-Umgebung die Funktion Diff Eq wie folgt auswählen: Angenommen wir wollen die Position x(t) für eine Schnelligkeitsfunktion v(t) = exp(-t2), mit x = 0 bei t = 0 zeichnen.
• • Um die Grafik zu zeichnen, verwenden Sie: @ERASE @DRAW Wenn Sie beobachten, wie die Grafik gezeichnet wird, werden Sie erkennen, dass die Grafik nicht sehr fein ist. Der Grund dafür ist, dass der Zeichner einen Zeitschritt verwendet, der für eine feine Zeichnung zu groß sein könnte. Um die Grafik zu vereinfachen und feiner zu gestalten, verwenden Sie einen Schritt von 0,1. Drücken Sie @CANCL und ändern Sie den Step-Wert auf 0,1. Verwenden Sie dann @ERASE @DRAW erneut, um die Grafik zu wiederholen.
horizontalen und die vertikalen Achsen. Drücken Sie L@CANCL, um das Menü wiederherzustellen und zur Umgebung PLOT WINDOW zurückzukehren. Drücken Sie schlussendlich $, um in das normale Display zurückzukehren. Numerische Lösung einer ODE zweiter Ordnung Die Integration einer ODE zweiter Ordnung kann durch Definieren der Lösung als Vektor geschehen.
Aktivieren Sie dann den numerischen Differentialgleichungs-Löser mithilfe von: ‚ ‚ Ï ˜ @@@OK@@@. Um die Differentialgleichung mit Startzeit t = 0 und Endzeit t = 2 zu lösen, sollte die Eingabeform für den DifferentialgleichungsLöser wie folgt aussehen (achten Sie darauf, dass der Init:-Wert für Soln: ein Vektor ist [0, 6]): Drücken Sie @SOLVE (warten) @EDIT , um nach w(t=2) aufzulösen. Die Lösung lautet [,16716… -,6271…], d.h., x(2) = 0,16716, und x'(2) = v(2) = 0,6271.
(Verändert Anfangswert von t auf 0,25 und endgültigen Wert von t auf 0,5, lösen Sie nochmals auf nach w(0,5) = [0,748 –2,616]) @@OK@@ @INIT+ —.
Drücken Sie dann „ô (gleichzeitig, wenn im RPN-Modus), um in die PLOT—Umgebung zu gelangen. Markieren Sie das Feld vor TYPE, mithilfe der Tasten —˜. Drücken Sie dann @CHOOS, und markieren Sie Diff Eq mithilfe der Tasten —˜. Drücken Sie @@OK@@. Ändern Sie den Rest des Bildschirms PLOT SETUP, damit er wie folgt aussieht: Beachten Sie, dass die Option V-Var: auf 1 gesetzt ist, was darauf hinweist, dass das erste Element in der Vektorlösung, d.h. in x’ gegen die unabhängige Variable t gezeichnet werden muss.
Um die zweite Kurve zu zeichnen, müssen wir das Eingabefenster PLOT SETUP nochmals verwenden. Um auf diese Form der Grafik zuzugreifen, verwenden Sie: @CANCL L @@OK@@ „ô (gleichzeitig, wenn im RPN-Modus). Ändern Sie die Werte des Feldes V-Var: auf 2 und drücken Sie @DRAW (drücken Sie nicht auf @ERASE oder Sie verlieren die oben erzeugte Grafik). Verwenden Sie: @EDIT L @LABEL @MENU, um Namen und Bereich der Achsen zu sehen.
Dann fügen wir eine Integrationskonstante hinzu, mithilfe von: ‘C’ `+ Dann teilen wir durch FI(x), mithilfe von: ‘EXP(100*t)’ `/. Das Ergebnis lautet: ‘((t+1)*EXP(100*t)+C)/EXP(100*t)’, d.h., y(t) = 1+ t +C⋅e100t. Die Anwendung der Anfangsbedingung y(0) = 1 ergibt 1 = 1 + 0 + C⋅e0, or C = 0, wobei die besondere Lösung y(t) = 1+t ist.
Der numerische ODE-Löser des Taschenrechners ermöglicht die Lösung steifer ODE, indem die Funktion _Stiff im Bildschirm SOLVE Y’(T) = F(T,Y) ausgewählt wird. Ist diese Funktion aktiviert, müssen Sie die Werte für ∂f/∂y und ∂f/∂t eingeben. Im vorliegenden Fall ∂f/∂y =-100 und ∂f/∂t = 100. Geben Sie diese Werte in die entsprechenden Felder des Bildschirms SOLVE Y’(T) = F(T,Y) ein. Danach verschieben Sie den Kursor auf das Feld Soln:Final und drücken Sie @SOLVE. Diesmal erhalten Sie die Lösung nach ca.
Funktion RFK Diese Funktion wird verwendet, um Lösungen eines Anfangswert-Problems für Differentialgleichungen erster Ordnung mithilfe des Runge-Kutta-Fehlbert Lösungsschemas 4th -5th. Ordnung zu berechnen. Angenommen die zu lösende Differentialgleichung ist gegeben durch dy/dx = f(x,y), mit y = 0 at x = 0, und Sie lassen ein Konvergenzkriterium ε für die Lösung zu. Sie können auch eine Verminderung der unabhängigen Variable ∆x für die Verwendung in der Funktion spezifizieren.
Die folgenden Bildschirme zeigen den RPN-Speicher vor und nach Anwendung der Funktion RKF für die Differentialgleichung dy/dx = x+y, ε = 0,001, ∆x = 0,1 Nach Anwendung der Funktion RKF enthält die Variable @@@y@@@ den Wert 4.3880.
Die folgenden Screenshots zeigen den RPN-Speicher vor und nach Anwendung der Funktion RRK: Der in der Variable y gespeicherte Wert ist 3,00000000004. Funktion RKFSTEP Die Eingabeliste dieser Funktion ist ähnlich wie die der Funktion RKF, auch die Toleranz für die Lösung und ein möglicher Schritt ∆x sind ähnlich. Die Funktion ergibt die gleiche Eingabeliste, gefolgt von der Toleranz und einer Schätzung des nächsten Schrittes in der unabhängigen Variable.
Die Ergebnisse zeigen an, dass (∆x)next = 0,34049…. Funktion RRKSTEP Die Eingabeliste dieser Funktion ist ähnlich wie die der Funktion RRK, auch die Toleranz für die Lösung und ein möglicher Schritt ∆x sind ähnlich und eine Zahl (LAST), welche die in der Lösung zuletzt verwendete Methode spezifiziert (1, wenn RKF verwendet wurde, oder 2, wenn RRK verwendet wurde).
Die Ergebnisse zeigen, dass (∆x)next = 0,00558 und dass die RKF-Methode (CURRENT = 1) verwendet werden sollte. Funktion RKFERR Diese Funktion ergibt den absoluten Fehler des Schätzverhaltens für einen bestimmten Schritt, wenn ein ähnliches Problem gelöst wird, wie auch in der Funktion RKF beschrieben.
Diese Funktion funktioniert ähnlich wie die Funktion RKERR, aber mit den Eingabeelementen, die für die Funktion RRK aufgelistet sind.
Kapitel 17 Wahrscheinlichkeitsanwendungen In diesem Kapitel geben wir Beispiele für Rechnerfunktionen zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Anwendungen der Das MTH/PROBABILITY.. Untermenü - Teil 1 Das Untermenü MTH/PROBABILITY.. ist über die Tastenkombination „´verfügbar. Wenn das Systemflag 117 auf CHOOSE boxes gesetzt ist, erscheint die folgende MTH-Optionsliste (siehe Abb. auf der linken Seite unten). Wir haben die Option PROBABILITY..
n n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1) n! = = r! r!(n − r )! r Um das System zu vereinfachen, verwenden Sie P(n, r) für Permutationen und C(n, r) für Kombinationen. Wir können Kombinationen, Permutationen und Fakultäten mit den Funktionen COMB, PERM und ! aus dem Untermenü MTH/PROBABILITY.. berechnen.
Argumentenliste in die Funktion RAND einsetzen, erhalten Sie die Zahlenliste plus eine zusätzliche Zufallszahl, die wie in der rechten Abbildung gezeigt angehängt wird. Zufallszahlengeneratoren arbeiten im Allgemeinen so, dass sie einen Wert nehmen, der als “Ausgangszahl” des Generators bezeichnet wird, und einen mathematischen Algorithmus auf diese "Ausgangszahl" ausführen, was eine neue (pseudo)zufällige Zahl erzeugt.
Sie im ALG-Modus: SEQ(RAND(),1,5,1) verwenden. Im RPN-Modus verwenden Sie nachfolgendes Programm: « n « 1 n FOR j RND NEXT n LIST » » Speichern Sie es in der Variablen RLST (Random LiST) und verwenden Sie J5@RLST!, um eine Liste mit 5 Zufallszahlen zu erzeugen. Die Funktion RNDM(n,m) kann dazu verwendet werden, um eine Matrix mit n Reihen und m Spalten zu erzeugen, deren Elemente aus zufälligen Integeren zwischen -1 und 1 bestehen (siehe Kapitel 10).
Binomische Verteilung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der binomische Verteilung ist gegeben durch n f (n, p, x) = ⋅ p x ⋅ (1 − p ) n − x , x = 0,1,2,..., n x wobei (nx) = C(n,x) die Kombination von n Elementen mit x Elementen auf einmal ist. Die Werte n und p sind die Verteilungsparameter. Der Wert n stellt die Anzahl der Wiederholungen eines Experiments oder eine Beobachtung, die ein von zwei Ergebnissen haben können, z.B. Erfolg oder Misserfolg.
x F (λ , x) = ∑ f (λ , x), x = 0,1,2,...
P[ X < x ] = F ( x ) = ∫ +∞ −∞ ∫ x −∞ f (ξ )dξ . f ( x)dx = 1. Wahrscheinlichkeiten werden mit der kumulativen Verteilungsfunktion (cdf), F(x), berechnet und definiert durch P[ X < x ] = F ( x ) = ∫ x −∞ f (ξ )dξ , wobei P[X
Die Betaverteilung Die pdf für die Gammaverteilung ist gegeben durch f ( x) = Γ(α + β ) ⋅ x α −1 ⋅ (1 − x) β −1 , f 0 < x < 1, α > 0, β > 0 Γ(α ) ⋅ Γ( β ) Wie im Fall der Gammaverteilung ist die entsprechende cdf für die Betaverteilung auch durch ein Integral mit einer Auflösung ohne geschlossene Form gegeben.
Weibull-cdf: 'Wcdf(x) = 1 - EXP(-α*x^β)' Verwenden Sie die Funktion DEFINE, um diese Funktionen zu definieren. Geben Sie als nächstes die Werte für α und β ein, z.B., 1K~‚a` 2K ~‚b` Zuletzt müssen Sie für die cdf für Gamma- und Beta-cdfs die Programmdefinitionen bearbeiten, um NUM zu den durch die Funktion DEFINE erstellten Programme hinzuzufügen. So sollte beispielsweise die Gamma-cdf, d.h.
Stetige Verteilungen für statistische Inferenz In diesem Abschnitt besprechen wir vier stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die allgemein für Probleme in Zusammenhang mit statistischer Inferenz verwendet werden. Diese Verteilungen sind die normale Verteilung, die studentische t-Verteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung (χ2) und die F-Verteilung.
wobei µ das Mittel ist und σ2 die Verteilungsvarianz. Um den Wert von f(µ,σ2,x) für die normale Verteilung zu berechnen, verwenden Sie die Funktion NDIST mit den folgenden Argumenten: das Mittel µ, die Varianz σ2 und den Wert x, d.h., NDIST(µ,σ2,x). Überprüfen Sie das beispielsweise für eine normale Verteilung, f(1,0;0,5;2,0) = 0,20755374. Normale Verteilung cdf Der Taschenrechner besitzt eine Funktion UTPN, die das obere Ende der normalen Verteilung berechnet, d.h., UTPN(x) = P(X>x) = 1 - P(X
Die studentische t-Verteilung Die studentische t- oder einfach die t-Verteilung hat einen Parameter ν, der als der Freiheitsgrad der Verteilung bekannt ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung (pdf) ist gegeben durch ν +1 Γ( ) ν +1 t2 − 2 f (t ) = ⋅ (1 + ) 2 ,−∞ < t < ∞ ν ν Γ( ) ⋅ πν 2 wobei Γ(α) = (α-1)! die im Kapitel 3 definierte GAMMA-Funktion ist.
Die Chi-Quadrat-Verteilung Die Chi-Quadrat-Verteilung (χ2) hat einen Parameter ν, der als Freheitsgrade bekannt ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung (pdf) ist gegeben durch f ( x) = 1 ν 2 ν 2 ⋅ Γ( ) 2 ν −1 − x ⋅ x 2 ⋅ e 2 ,ν > 0, x > 0 Der Taschenrechner sieht Werte für das obere Ende der (kumulativen) Verteilung für die χ2-Verteilung unter Verwendung von [UTPC] vor, wenn der Wert x und der Parameter ν gegeben sind.
Die F-Verteilung Die F-Verteilung hat zwei Parameter νN = Zähler der Freiheitsgrade und νD = Nenner der Freiheitsgrade. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung (pdf) ist gegeben durch νN νN −1 νN + νD νN 2 )⋅( ) ⋅ F 2 Γ( νD 2 f ( x) = νN +νD νN νD νN ⋅ F ( 2 ) ) Γ( ) ⋅ Γ( ) ⋅ (1 − νD 2 2 Der Taschenrechner sieht Werte für das obere Ende der (kumulativen) Verteilung für die F-Verteilung, die Funktion UTPF, wenn die Parameter νN und νD gegeben sind, und den Wert von F vor.
Für eine stetige Zufallsvariable X mit der kumulativen Dichtefunktion (cdf) F(x) = P(X
Y(X) = ∫(0,X,z^(α-1)*(1-z)^(β-1)*GAMMA(α+β)/(GAMMA(α)*GAMMA(β)),z)-p Um den Plot zu erstellen, ist es notwendig, die Werte von α, β und p zu speichern, bevor Sie einen Plot starten. Zum Beispiel ist für α = 2, β = 3 und p = 0,3 der Plot von Y(X) für die Gamma-Verteilung der folgende (Beachten Sie bitte, dass wegen der komplizierten Natur der Funktion Y(X), einige Zeit benötigt wird, bevor der Graph erzeugt wird. Bleiben Sie geduldig).
Diese Berechnungen schlagen die Lösungen x = -1,9 und x = 3,3 vor. Sie können diese “Lösungen” durch Auswertung der Funktion Y1(X) für X = -1,9 und X = 3,3 überprüfen, d.h.
Der nächste Schritt besteht in der Eingabe der Werte von µ, σ2 und p und der Auflösung für x: Dieses Eingabefeld kann zur Auflösung jeder der vier Variablen, die in der Gleichung für die Normalverteilung vorkommen, genutzt werden. Um die Auflösung der Gleichungen mit den Funktionen UTPN, UTPT, UTPC und UTPF zu erleichtern, können Sie ein Unterverzeichnis UTPEQ anlegen, in das Sie die oben aufgelisteten Gleichungen abspeichern: Daher haben Sie an diesem Punkt vier Gleichungen zur Auflösung zur Verfügung.
Wir weisen darauf hin, dass wir in allen oben gezeigten Beispielen mit p = P(Xx) = α. Weiterhin arbeiten wir am ehesten für die Normalverteilung mit Standardnormalverteilung, in welcher µ =0 und σ2 = 1. Auf die Standardnormalvariable wird normalerweise als Z Bezug genommen, sodass das zu lösende Problem P(Z>z) = α ist.
Kapitel 18 Statistikanwendungen In diesem Kapitel werden statistische Anwendungen des Taschenrechners vorgestellt, z. B. Stichprobenkenngrößen, die Häufigkeitsverteilung von Daten, einfache Regression, Vertrauensbereiche und Hypothesentests. Vorprogrammierte Statistikfunktionen Der Taschenrechner enthält vorprogrammierte Statistikfunktionen, auf die über die Tastenkombination ‚Ù zugegriffen werden kann (mit der Taste für die Zahl 5 identisch).
« OBJ 1 2 LIST ARRY » Speichern Sie das Programm in einer Variablen mit der Bezeichnung LCX. Nachdem Sie das Programm im RPN-Modus gespeichert haben, können Sie es auch im ALG-Modus verwenden. Um einen Spaltenvektor in der Variablen ΣDAT zu speichern, verwenden Sie die Funktion STOΣ, die über den Katalog (‚N) verfügbar ist, z. B. STOΣ (ANS(1)) im ALG-Modus.
entsprechenden Beschriftung auf dem Bildschirm des Taschenrechners aufgelistet.
x= 1 n ⋅ ∑ xi . n i =1 Dieser durch obige Gleichung ermittelte, mit Total beschriftete Wert stellt die Summe der Werte von x oder Σxi = n⋅x dar. Dies ist der Wert, den der Taschenrechner unter der Überschrift Mean ausgibt. Andere in bestimmten Anwendungen verwendete Werte sind das geometrische Mittel xg bzw. das harmonische Mittel xh, die wie folgt definiert sind: x g = n x1 ⋅ x 2 L x n , n 1 1 =∑ . x h i =1 xi Beispiele für die Berechnung dieser Werte mithilfe von Listen finden Sie in Kapitel 8.
Beispiel 2 – Um das Programm auszuführen, müssen Sie zunächst die Matrix ΣDAT vorbereiten. Geben Sie anschließend die Nummer der Spalte in ΣDAT ein, deren Medianwert Sie ermitteln möchten, und drücken Sie @@MED@@. Verwenden Sie für die derzeit in ΣDAT vorhandenen Daten (die in einem vorherigen Beispiel eingegeben wurden) das Programm MED, um anzuzeigen, dass Median: 2.15. Der häufigste Wert einer Stichprobe wird besser durch Histogramme bestimmt, daher wird er in einem späteren Abschnitt definiert.
Hauptunterschied besteht in den Werten der Varianz und der Standardabweichung, die berechnet werden, indem im Nenner der Varianz n und nicht (n-1) verwendet wird. Beispiel 3 – Wenn Sie Beispiel 1 dieses Abschnitts wiederholt ausführen und als Type nicht Sample, sondern Grundgesamtheit verwenden, erhalten Sie für Mittelwert, Gesamtwert, Maximum und Minimum dieselben Werte. Für Varianz und Standardabweichung sind jedoch folgende Werte gegeben: Varianz: 0,852; Standardabweichung: 0,923.
xB1-xB2 begrenzt ist, Klasse 2 durch xB2- xB3 usw. Die letzte Klasse, Klasse k, ist durch xBk - xB k +1 begrenzt. Der der Mitte jeder Klasse entsprechende Wert x wird als Klassenmittelpunkt bezeichnet und ist für i = 1, 2, …, k durch xMi = (xBi + xB i+1)/2 definiert. Wenn die Klassen so gewählt werden, dass die Klassengröße identisch ist, können wir die Klassengröße als Bin Width = ∆x = (xmax - xmin) / k definieren, und die Klassengrenzen können mit xBi = xbot + (i - 1) * ∆x berechnet werden.
• Ermitteln Sie über ‚Ù @@@OK@@@ Informationen zu den einzelnen Variablen. Verwenden Sie als Typ des Datensatzes Sample, und wählen Sie für die Ergebnisse alle Optionen aus. Die Ergebnisse für dieses Beispiel lauten: Mean: 51,0406, Standardabweichung: 29,5893…, Variance: 875,529… Total: 10208,12, Maximum: 99,35, Minimum: 0,13 Dies bedeutet, dass die Daten im Bereich von Werten nahe Null bis Werten nahe 100 liegen.
Durchschnittswert der Klassengrenzen für jede Klasse. Schließlich wird die Summenhäufigkeit ermittelt, indem zu jedem Wert in der letzten Spalte außer dem ersten Wert die Häufigkeit in der nächsten Zeile addiert und das Ergebnis in der letzten Spalte der nächsten Zeile ersetzt wird. Somit ist die Summenhäufigkeit für die zweite Klasse 18+15 = 33, während die Summenhäufigkeit für die dritte Klasse 33+16 = 49 ist usw.
Speichern Sie das Programm unter dem Namen CFREQ. Verwenden Sie das Programm zum Generieren einer Liste von Summenhäufigkeiten (drücken Sie @CFREQ, wenn der Spaltenvektor der Häufigkeiten im Stack vorhanden ist). Das Ergebnis für dieses Beispiel ist ein Spaltenvektor, der die letzte Spalte der obigen Tabelle darstellt. Histogramme Ein Histogramm ist ein Balkendiagramm, in dem die Häufigkeit als Höhe der Balken und die Klassengrenzen als Sockel der Balken dargestellt werden. Wenn die Ursprungsdaten (d. h.
• Drücken Sie @CANCEL, um zum vorherigen Fenster zurückzukehren. Ändern Sie die Werte für V-View und Bar Width erneut, sodass diese nun wie folgt lauten: V-View: 0 30, Bar Width: 10. Das neue Histogramm, das auf demselben Datensatz beruht, wird nun wie folgt dargestellt: Die Darstellung der Häufigkeit fi gegen die Klassenmittelpunkte xMi wird als Häufigkeitspolygon bezeichnet.
• • • Geben Sie zunächst die Daten in den beiden Zeilen in die Spalten der Variablen ΣDAT ein, indem Sie MatrixWriter und die Funktion STOΣ verwenden. Verwenden Sie zum Aufrufen des Programms 3. Fit data.. die folgende Tastenkombination: ‚Ù˜˜@@@OK@@@. In der Eingabemaske wird die aktuelle Variable ΣDAT angezeigt, die bereits geladen ist. Legen Sie ggf. für eine lineare Anpassung im Einrichtungsfenster die folgenden Parameter fest: Drücken Sie @@OK@@, um die Datenanpassung auszuführen.
s xy = 1 n ∑ ( x i − x )( y i − y ) n − 1 i =1 Der Stichprobenkorrelationskoeffizient für x,y wird definiert als rxy = s xy sx ⋅ s y . Hierbei stellen sx, sy die Standardabweichungen von x bzw. y dar, d. h. 1 n ( xi − x ) 2 s = ∑ n − 1 i =1 2 x 1 n ( yi − y ) 2 s = ∑ n − 1 i =1 2 y Bei den Werten sxy und rxy handelt es sich um die Werte für „Covariance“ bzw. „Correlation“, die mit der Funktion „Fit data“ des Taschenrechners ermittelt wurden.
Die Stichprobenkovarianz von ξ,η ist durch sξη = 1 ∑ (ξ i − ξ )(ηi − η ) n −1 definiert. Wir definieren außerdem die Stichprobenvarianz von ξ bzw. η als sξ2 = 1 n (ξ i − ξ ) 2 ∑ n − 1 i =1 sη2 = 1 n (η i − η ) 2 ∑ n − 1 i =1 Der Stichprobenkorrelationskoeffizient rξη lautet rξη = sξη sξ ⋅ sη . Die allgemeine Form der Regressionsgleichung lautet η = A + Bξ.
Drücken Sie @@@OK@@@, um die folgende Ausgabe zu erhalten: 1: '3,99504833324*EXP(-,579206831203*X)' 2: Correlation: -0,996624999526 3: Covariance: -6,23350666124 Die beste Anpassung für die Daten lautet daher y = 3,995 e-0.58⋅x. Ermitteln zusätzlicher Summenkenngrößen Für einige Berechnungen von Stichprobenkenngrößen bietet sich die Anwendung 4. Summary stats.. im Menü STAT an. Drücken Sie zunächst erneut ‚Ù, wechseln Sie mit der Nach-Unten-Taste ˜ zur vierten Option, und drücken Sie @@@OK@@@.
• • • • Rufen Sie die Option summary stats... mit ‚Ù˜˜˜@@@OK@@@ auf. Wählen Sie die den x- und y-Daten entsprechenden Spaltennummern aus, d. h. X-Col: 1 und Y-Col: 2. Wählen Sie mit der Taste @ CHK@ alle Optionen für die Ausgabe aus, d. h. _ΣX, _ΣY usw. Drücken Sie @@@OK@@@, um die folgenden Ergebnisse zu erhalten: ΣX: 24,2; ΣY: 11,72; ΣX2: 148,54; ΣY2: 26,6246; ΣXY: 12,602; NΣ:8 Hinweis: Das Menü STAT enthält zwei weitere Anwendungen, nämlich 5. und 6. Conf. Interval..
« SORT DUP SIZE p X n « n p * k « IF k CEIL k FLOOR - NOT THEN X k GET X k 1 + GET + 2 / ELSE k 0 RND X SWAP GET END » » » Wir speichern dieses Programm in der Variablen %TILE (percent-tile bzw. Perzentil). Für dieses Programm ist als Eingabe ein Wert p zwischen 0 und 1 erforderlich, der das 100p-Perzentil darstellt, sowie eine Liste von Werten. Das Programm gibt das 100p-Perzentil der Liste zurück. Beispiel 1 – Bestimmen Sie das 37%-Perzentil der Liste { 2 1 0 1 3 5 1 2 3 6 7 9}.
Diese Funktionen bewirken Folgendes: Σ+ : fügt dem unteren Rand der Matrix ΣDATA eine Zeile auf Ebene 1 hinzu. Σ- : entfernt die letzte Zeile in der Matrix ΣDATA und legt diese auf Ebene 1 des Stacks ab. Die geänderte Matrix ΣDATA wird gespeichert. CLΣ : löscht die aktuelle Matrix ΣDATA. ΣDAT: legt Inhalte der aktuellen Matrix ΣDATA auf Ebene 1 des Stacks ab. „ΣDAT: speichert die Matrix auf Ebene 1 des Stacks in der Matrix ΣDATA.
Das Untermenü MODL in ΣPAR Dieses Untermenü enthält Funktionen, mit denen Sie durch Drücken der entsprechenden Taste das Datenanpassungsmodell in LINFIT, LOGFIT, EXPFIT, PWRFIT oder BESTFIT ändern können. Das Untermenü 1VAR Das Untermenü 1VAR enthält Funktionen zum Berechnen der Kenngrößen für die Spalten in der Matrix ΣDATA. Folgende Funktionen sind verfügbar: TOT MEAN SDEV MAXΣ MINΣ BINS VAR PSDEV PVAR MINΣ : zeigt die Summe jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an.
Diese Funktionen lauten: BARPL HISTP SCATR : erzeugt ein Balkendiagramm mit den Daten in der Spalte Xcol der Matrix ΣDATA. : erzeugt ein Histogramm der Daten in der Spalte Xcol der Matrix ΣDATA, wobei die 13 Klassen entsprechende Standardbreite verwendet wird, sofern die Klassengröße nicht mit der Funktion BINS im Untermenü 1VAR (siehe oben) geändert wird. : erzeugt eine Punktwolke der Daten in der Spalte Ycol der Matrix ΣDATA gegen die Daten in der Spalte Xcol der Matrix ΣDATA.
Das Untermenü SUMS Das Untermenü SUMS enthält Funktionen zum Ermitteln von Summenkenngrößen der Daten in den Spalten Xcol und Ycol der Matrix ΣDATA. ΣX ΣY ΣX^2 ΣY^2 ΣX*Y NΣ : stellt die Summe der Werte in der Spalte Xcol bereit. : stellt die Summe der Werte in der Spalte Ycol bereit. : stellt die Summe der Quadrate der Werte in der Spalte Xcol bereit. : stellt die Summe der Quadrate der Werte in der Spalte Ycol bereit. : stellt die Summe von x⋅y bereit, d. h.
1.1 3.7 2.2 5.5 6.8 9.2 10.0 • • 3.7 7.8 8.9 101 5.9 25 12.5 612 15.1 2245 19.9 24743 21.
@@@LR@@@ 3 @PREDX 1 @PREDY @CORR @@COV@@ L@PCOV • Intercept: 1,5, Slope: 2 0,75 3,50 1,0 23,04 19,74… Ermitteln Sie Summenkenngrößen für die Daten in den Spalten 1 und 2: @)STAT @)SUMS: @@@£X@@ @@@£Y@@ @@£X2@ @@£Y2@ @@£XY@ @@@N£@@ • ergibt ergibt ergibt ergibt ergibt ergibt ergibt ergibt ergibt ergibt ergibt ergibt 38,5 87,5 280,87 1370,23 619,49 7 Passen Sie die Daten in den Spalten 1 (x) und 3 (y) mit einer logarithmischen Anpassung an: L @)STAT @)£PAR 3 @YCOL @)MODL @LOGFI legt Ycol = 3 und legt
Offensichtlich ist die logarithmische Anpassung keine gute Lösung.
Vertrauensbereiche Bei der statistischen Inferenz handelt es sich um Schlussfolgerungen in Bezug auf eine Grundgesamtheit anhand der aus den Stichprobendaten gewonnenen Informationen. Damit die Stichprobendaten aussagekräftig sind, muss die Stichprobe zufällig sein, d. h., die Auswahl einer bestimmten Stichprobe muss mit derselben Wahrscheinlichkeit wie die Auswahl jeder anderen möglichen Stichprobe aus einer bestimmten Grundgesamtheit erfolgen.
• Schätzwert : der Wert, den die Schätzfunktion in einer bestimmten Anwendung zurückgibt. Beispiel 1 – X stelle die Zeit (Stunden) dar, die für die Ausführung eines bestimmten Fertigungsprozesses erforderlich ist. Gegeben sei folgende Stichprobe der Werte von X: 2,2 2,5 2,1 2,3 2,2. Die Grundgesamtheit, der die Stichprobe entnommen wurde, ist die Menge aller möglichen Werte für die Fertigungszeit und daher eine unendliche Grundgesamtheit.
• • Ein oberer einseitiger Vertrauensbereich wird durch Pr[θ < Cu] = 1 - α definiert. Der Parameter α wird als Signifikanzniveau bezeichnet. Typische Werte für α sind 0,01, 0,05 und 0,1, die den Aussagewahrscheinlichkeiten 0,99, 0,95 bzw. 0,90 entsprechen. Vertrauensbereiche für den Grundgesamtheitsmittelwert bei bekannter Grundgesamtheitsvarianz X sei der Mittelwert einer Zufallsstichprobe der Größe n, die einer unendlichen Grundgesamtheit mit der bekannten Standardabweichung σ entnommen wurde.
/√n , X+ tn-1, α/2 ⋅S/√n ), wobei tn-1, α/2 eine Studentsche t-Verteilung mit dem Freiheitsgrad ν = n-1 und der Überschreitungswahrscheinlichkeit α/2 darstellt. Die obere und untere einseitige Vertrauensgrenze 100 ⋅ (1-α)% für den Grundgesamtheitsmittelwert µ lautet X + tn-1, α/2⋅S/√n bzw. X− tn-1, α/2⋅S /√n. Kleine und große Stichproben Für die Studentsche t-Verteilung gilt, dass sie für n>30 nicht von der Standardnormalverteilung zu unterscheiden ist.
Stichprobenverteilung für Differenzen und Summen von Kenngrößen S1 und S2 seien unabhängige Kenngrößen auf der Grundlage von zwei Stichproben der Größe n1 bzw. n2 aus zwei Grundgesamtheiten. Außerdem seien die jeweiligen Mittelwerte und Standardfehler der Stichprobenverteilungen dieser Kenngrößen µS1 und µS2 bzw. σS1 und σS2. Die Differenz der aus den beiden Grundgesamtheiten S1-S2 weist eine Stichprobenverteilung mit dem Mittelwert µ S1−S2 = µS1 - µS2 und dem Standardfehler σ S1−S2 = (σS12 + σS22)1/2 auf.
Bei großen Stichproben, d. h. n1>30 und n2>30, und unbekannten, jedoch gleichen Grundgesamtheitsvarianzen σ12 = σ22 werden die Vertrauensbereiche für Differenz und Mittelwerte der Grundgesamtheiten, d. h. µ1±µ2, durch folgenden Ausdruck definiert: 2 2 2 2 ( X ± X ) − z ⋅ S1 + S 2 , ( X ± X ) + z ⋅ S1 + S 2 . 2 1 2 α /2 α /2 1 n1 n2 n1 n2 Wenn eine der Stichproben klein ist, d. h.
Hierbei ist die geschätzte Standardabweichung für Summe oder Differenz durch s X1 ± X 2 = s12 s 22 + n1 n2 definiert und ν, der Freiheitsgrad der t-Abweichung, wird mit folgender Formel berechnet (das Ergebnis wird auf die nächste Ganzzahl gerundet): ν = [( S12 / n1 ) + ( S 22 / n2 )] 2 [( S12 / n1 ) /(n1 − 1)] + [( S 22 / n2 ) /(n2 − 1)] Bestimmen von Vertrauensbereichen Die Anwendung 6. Conf Interval kann mit ‚Ù—@@@OK@@@ aufgerufen werden.
3. 4. 5. 6. Z-INT : 1 p : Vertrauensbereich einer einzelnen Stichprobe für die Quote p bei großen Stichproben mit unbekannter Varianz der Grundgesamtheit. Z-INT : p1− p2: Vertrauensbereich für die Differenz zweier Quoten p1-p2 für große Stichproben mit unbekannten Varianzen der Grundgesamtheit. T-INT : 1 µ : Vertrauensbereich einer einzelnen Stichprobe für den Grundgesamtheitsmittelwert µ bei kleinen Stichproben mit unbekannter Varianz der Grundgesamtheit.
Drücken Sie @@@OK@@@, um den Vertrauensbereich zu berechnen. Das vom Taschenrechner angezeigte Ergebnis lautet: Das Ergebnis bedeutet, dass ein Vertrauensbereich von 95 % berechnet wurde. Der im obigen Fenster angezeigte Wert für Critical z entspricht den Werten ±zα/2 in der Formel des Vertrauensbereichs (X−zα/2⋅σ/√n , X+zα/2⋅σ/√n ). Die Werte µ Min und µ Max stellen die obere bzw. untere Grenze dieses Intervalls dar, d. h µ Min = X−zα/2⋅σ/√n und µ Max = X+zα/2⋅σ/√n.
Vertrauensbereich von 90 % für Grundgesamtheitsmittelwerte, d. h. µ1- µ 2. die Differenz der Drücken Sie ‚Ù—@@@OK@@@, um die Vertrauensbereichsfunktion des Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie ˜@@@OK@@@, um Option 2. Z-INT: µ1– µ2.. auszuwählen. Geben Sie folgende Werte ein: Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten in Text- und Diagrammform dargestellt: Die Variable ∆µ stellt µ1–µ2 dar.
Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten als Text- und Diagramm dargestellt: Beispiel 4 – Bestimmen Sie einen Vertrauensbereich von 90 % für die Differenz der beiden Anteile, wenn Stichprobe 1 unter 120 Versuchen 20 Erfolge aufweist und Stichprobe 2 unter 100 Versuchen 15 Erfolge aufweist. Drücken Sie ‚Ù—@@@OK@@@, um die Vertrauensbereichsfunktion des Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie ˜˜˜@@@OK@@@, um Option 4. ZINT: p1–p2.. aufzurufen.
Beispiel 5 – Bestimmen Sie einen Vertrauensbereich von 95 % für den Mittelwert der Grundgesamtheit, wenn eine Stichprobe von 50 Elementen den Mittelwert 15,5 und die Standardabweichung 5 aufweist. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist nicht bekannt. Drücken Sie ‚Ù—@@@OK@@@, um die Vertrauensbereichsfunktion des Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie — — @@@OK@@@, um Option 5. T-INT: µ aufzurufen. Geben Sie folgende Werte ein: Drücken Sie anschließend @@@OK@@@.
Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten in Text- und Diagrammform dargestellt: Bei diesen Ergebnissen wird vorausgesetzt, dass die Werte s1 und s2 die Standardabweichungen der Grundgesamtheiten darstellen. Wenn diese Werte jedoch die Standardabweichungen der Stichproben darstellen, müssen Sie dieselben Werte wie zuvor, jedoch mit Auswahl der Option _pooled eingeben.
ist eine erwartungstreue Schätzfunktion der Varianz σ2. Die Menge ( n − 1) ⋅ n Sˆ 2 = ∑ ( X i − X ) 2 , weist eine Chi-Quadrat-Verteilung σ 2 i =1 χn-12 mit dem Freiheitsgrad ν = n-1 auf. Der beidseitige Vertrauensbereich (1α)⋅100 % wird durch Pr[χ2n-1,1-α/2 < (n-1)⋅S2/σ2 < χ2n-1,α/2] = 1- α ermittelt. Der Vertrauensbereich für die Grundgesamtheitsvarianz σ2 lautet daher [(n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 ; (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2].
Die oberen und unteren Grenzen des Vertrauensbereichs lauten wie folgt (führen Sie diese Berechnungen im ALG-Modus aus): (n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 = (25-1)⋅12,5/39,3640770266 = 7,62116179676 (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2 = (25-1)⋅12,5/12,4011502175 = 24,1913044144 Der Vertrauensbereich von 95 % lautet für dieses Beispiel somit 7,62116179676 < σ2 < 24,1913044144. Hypothesentest Eine Hypothese ist eine Aussage über eine Grundgesamtheit (beispielsweise über ihren Mittelwert).
2. 3. 4. 5. 6. Geben Sie eine Alternativhypothese H1 an. Diese kann für das vorliegende Beispiel H1: µ1-µ2 ≠ 0 lauten. [Hinweis: Dies ist es, was wir eigentlich testen möchten.] Bestimmen Sie eine Testkenngröße T, oder geben Sie diese an. Im vorliegenden Beispiel beruht T auf der Differenz der Mittelwerte X1-X2. Verwenden Sie die bekannte (oder vermutete) Verteilung der Testkenngröße T.
Pr[Fehler Typ I] = Pr[T∈R|H0] = α Nicht Zurückweisen einer falschen Hypothese Pr[Fehler Typ II] = Pr[T∈A|H1] = β Betrachten wir nun die Fälle, in denen wir die richtige Entscheidung treffen: Nicht Zurückweisen einer wahren Hypothese Pr[Not(Fehler Typ I)] = Pr[T∈A|H0] = 1 - α Zurückweisen einer falschen Hypothese Pr[Not(Fehler Typ II)] = Pr [T∈R|H1] = 1 - β Das Komplement von β wird als Mächtigkeit des Tests der Nullhypothese H0 gegen die Alternativhypothese H1 bezeichnet.
Das Problem besteht im Testen der Nullhypothese Ho: µ = µo gegen die Alternativhypothese H1: µ≠ µο bei einer statistischen Sicherheit von (1-α)100% oder einem Signifikanzniveau α bei einer Stichprobe der Größe n mit einem Mittelwert x und einer Standardabweichung s. Dieser Test wird als zweiseitiger Test bezeichnet.
• Bei Verwendung von z: P-Wert = 2⋅UTPN(0,1,|zo|) • Bei Verwendung von t: P-Wert = 2⋅UTPT(ν,|to|) Beispiel 1 – Testen Sie die Nullhypothese Ho: µ = 22,5 ( = µo) gegen die Alternativhypothese H1: µ ≠22,5 bei einer statistischen Sicherheit von 95 %, d. h. α = 0,05, und verwenden Sie hierfür eine Stichprobe der Größe n = 25 mit dem Mittelwert x = 22,0 und der Standardabweichung s = 3,5. Wir setzen voraus, dass wir den Wert der Standardabweichung für die Grundgesamtheit nicht kennen.
P-Wert = P(z > |zo|) oder durch P-Wert = P(t > |to|). Die beim Hypothesentest zu verwendenden Kriterien lauten: • Ho zurückweisen, wenn P-Wert < α • Ho nicht zurückweisen, wenn P-Wert > α Beachten Sie, dass es sich um dieselben Kriterien wie beim zweiseitigen Test handelt. Der Hauptunterschied liegt in der Art der Berechnung des P-Wertes.
entsprechenden Grundgesamtheitsstandardabweichungen σ1 und σ 2 bekannt sind oder wenn n1 > 30 und n2 > 30 (große Stichproben), lautet die zu verwendende Testkenngröße zo = ( x1 − x2 ) − δ σ 12 σ 22 + n1 n2 Wenn n1 < 30 oder n2 < 30 (mindestens eine kleine Stichprobe), verwenden Sie folgende Testkenngröße: t= ( x1 − x2 ) − δ (n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 22 n1n2 (n1 + n2 − 2) n1 + n2 Zweiseitige Hypothese Wenn die Alternativhypothese eine zweiseitige Hypothese ist, d. h.
Die beim Hypothesentest zu verwendenden Kriterien lauten: • Ho zurückweisen, wenn P-Wert < α • Ho nicht zurückweisen, wenn P-Wert > α Tests mit paarigen Stichproben Wenn zwei Stichproben der Größe n mit paarigen Datenpunkten vorhanden sind, müssen wir diesen Fall wie eine einzige Stichprobe der Differenzen der paarigen Werte behandeln, statt die Nullhypothese H: µ1-µ2 = δ unter Verwendung der Mittelwerte und Standardabweichungen der beiden Stichproben zu testen.
wobei Φ(z) die Summenverteilungsfunktion der Standardnormalverteilung darstellt (siehe Kapitel 17). Weisen Sie die Nullhypothese H0 zurück, wenn z0 >zα/2 oder wenn z0 < - zα/2. Mit anderen Worten, der Zurückweisungsbereich ist R = { |z0| > zα/2 } und der Beibehaltungsbereich ist A = {|z0| < zα/2 }. Einseitiger Test Bei Verwendung eines einseitigen Tests ermitteln wir den Wert von S mit Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α oder Φ(z α) = 1- α.
Zweiseitiger Test Bei Verwendung eines zweiseitigen Tests ermitteln wir den Wert von z α/2 mit Pr[Z> zα/2] = 1-Φ(zα/2) = α/2 oder Φ(z α/2) = 1- α/2, wobei Φ(z) die Summenverteilungsfunktion der Standardnormalverteilung darstellt. Weisen Sie die Nullhypothese H0 zurück, wenn z0 >zα/2 oder wenn z0 < - zα/2. Mit anderen Worten, der Zurückweisungsbereich ist R = { |z0| > zα/2 } und der Beibehaltungsbereich ist A = {|z0| < zα/2 }.
Diese Optionen werden Vertrauensbereich erläutert: 1. 2. 3. 4. 5. 6. entsprechend den Anwendungen für den Z-Test: 1 µ: Hypothesentest einer einzelnen Stichprobe für den Mittelwert der Grundgesamtheit µ mit bekannter Varianz der Grundgesamtheit oder bei großen Stichproben mit unbekannter Varianz der Grundgesamtheit.
Anschließend werden Sie aufgefordert, die Alternativhypothese auszuwählen. Wählen Sie µ ≠150 aus und drücken Sie @@OK@@. Das Ergebnis lautet: Anschließend weisen wir H0: µ = 150 gegen H1: µ ≠ 150 zurück. Der Testwert z lautet z0 = 5,656854. Der P-Wert lautet 1,54×10-8. Die kritischen Werte ±zα/2 = ±1,959964 entsprechen dem kritischen Bereich x {147,2 152,8}.
Wählen Sie die Alternativhypothese H1: µ > 150 aus und drücken Sie @@@OK@@@. Das Ergebnis lautet: Wir weisen die Nullhypothese H0: µ0 = 150 gegen die Alternativhypothese H1: µ > 150 zurück. Der Testwert lautet t0 = 5,656854 mit P-Wert = 0,000000393525. Der kritische Wert von t lautet tα = 1,676551 und entspricht dem kritischen Wertx = 152,371.
Wählen Sie die Alternativhypothese µ1< µ2 aus und drücken Sie @@OK@@. Das Ergebnis lautet Somit behalten wir die Hypothese µ1−µ2 = 0 oder H0: µ1=µ2 gegen die Alternativhypothese H1: µ1−µ2 < 0 oder H1: µ1=µ2 bei. Der Testwert t lautet t0 = -1,341776 mit dem P-Wert = 0,09130961 und der kritische Wert t lautet –tα = -1, 659782. Die Ergebnisse werden wie folgt grafisch dargestellt: Diese drei Beispiele sollten für das Verständnis der vorprogrammierten Hypothesentestfunktion des Taschenrechners ausreichen.
χ o2 = (n − 1) s 2 σ 02 Je nach der ausgewählten Alternativhypothese wird der P-Wert wie folgt berechnet: • H1: σ2 < σo2 P-Wert = P(χ2<χo2) = 1-UTPC(ν,χo2) • H1: σ2 > σo2 P-Wert = P(χ2>χo2) = UTPC(ν,χo2) 2 2 • H1: σ ≠ σo P-Wert =2⋅min[P(χ2<χo2), P(χ2>χo2)] = 2⋅min[1-UTPC(ν,χo2), UTPC(ν,χo2)] Hierbei erzeugt die Funktion min[x,y] den Minimalwert von x bzw. y (entsprechend erzeugt max[x,y] den Maximalwert von x bzw. y).
Da 0,2587… > 0,05, d. h. P-Wert > α, können wir die Nullhypothese Ho: σ2 =25(= σo2) nicht zurückweisen. Inferenzen in Bezug auf zwei Varianzen Die zu testende Nullhypothese lautet Ho: σ12 = σ22 bei einer statistischen Sicherheit von (1-α)100% oder dem Signifikanzniveau α sowie der Verwendung zweier Stichproben mit den Größen n1 und n2 und den Varianzen s12 und s22.
Die Testkriterien lauten: • Ho zurückweisen, wenn P-Wert < α • Ho nicht zurückweisen, wenn P-Wert > α Beispiel 1 – Gegeben seien zwei Normalgrundgesamtheiten entnommene Stichproben, sodass n1 = 21, n2 = 31, s12 = 0,36 und s22 = 0,25. Wir testen die Nullhypothese Ho: σ12 = σ22 bei Signifikanzniveau α = 0,05 gegen die Alternativhypothese H1: σ12 ≠ σ22. Für eine beidseitige Hypothese müssen wir sM und sm, wie folgt bestimmen: sM2=max(s12,s22) = max(0,36;0.
Die Regressionskurve von Y auf x sei linear, d. h. die Mittelwertverteilung der Werte von Y ist durch Α + Βx definiert. Y unterscheidet sich vom Mittelwert (Α + Β⋅x) durch den Wert ε, sodass Y = Α + Β⋅x + ε, wobei ε eine Zufallsvariable ist. Zeichnen Sie ein Streuungsdiagramm oder eine Punktwolke, um visuell zu überprüfen, ob die Daten einem linearen Trend entsprechen. Für n paarige Werte (xi, yi) sei y durch ∧ y = a + b⋅x definiert, wobei a und b konstant sind.
diesen Berechnungen zu beschäftigen, da Sie die weiter oben dargestellte Option 3. Fit Data.. im Menü ‚Ù verwenden können. ____________________________________________________________________ Hinweise: • a,b sind erwartungstreue Schätzfunktionen von Α, Β. • Das Gauß-Markov-Theorem besagt, dass unter allen erwartungstreuen Schätzfunktionen für Α und Β die Schätzfunktionen mit den kleinsten Quadraten (a,b) am effizientesten sind.
Fürx, y, Sxx, Syy und Sxy lautet die Lösung der Normalgleichungen a = y − bx , b= S xy S xx = s xy s x2 Prognosefehler Die Regressionskurve von Y auf x ist durch Y = Α + Β⋅x + ε definiert. Bei einer Menge von n Datenpunkten (xi, yi) gilt Yi = Α + Β⋅xi + εI, (i = 1,2,…,n), mit Yi = unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit dem Mittelwert (Α + Β⋅xi) und der gemeinsamen Varianz σ2 sowie εi = unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit dem Mittelwert Null und der gemeinsamen Varianz σ2.
Die Nullhypothese H0: Β = Β0, getestet gegen die Alternativhypothese H1: Β ≠ Β0. Die Testkenngröße lautet t0 = (b -Β0)/(se/√Sxx), wobei t der Studentschen t-Verteilung mit dem Freiheitsgrad ν = n – 2 entspricht und n die Anzahl der Datenpunkte in der Stichprobe darstellt. Der Test wird wie ein Mittelwert-Hypothesentest ausgeführt, d. h, bei gegebenem Signifikanzniveau α wird der kritische Wert von t , tα/2 bestimmt und anschließend H0 zurückgewiesen, wenn t0 > tα/2 oder wenn t0 < - tα/2.
2) Erzeugen Sie für die entsprechenden Spalten von ΣDAT eine Punktwolke und überprüfen Sie den linearen Verlauf anhand der entsprechenden Anzeige von H-VIEW und V-VIEW. 3) Verwenden Sie für die Datenanpassung als gerade Linie ‚Ù˜˜@@@OK@@@, und ermitteln Sie a, b, sxy (Kovarianz) sowie rxy (Korrelation). 4) Ermitteln Sie x, y, sx, sy mit ‚Ù˜@@@OK@@@,. In Spalte 1 werden die Kenngrößen für x und in Spalte 2 die Kenngrößen für y angezeigt.
3: '-0,86 + 3,24*X' 2: Correlation: 0,989720229749 1: Covariance: 2,025 Diese Ergebnisse bedeuten, dass a = -0,86, b = 3,24, rxy = 0,989720229749 und sxy = 2,025. Der Korrelationskoeffizient ist nahe genug an 1,0, um den linearen Verlauf des Diagramms zu bestätigen. Über die Option Single-var… des Menüs ‚Ù erhalten wir x = 3, sx = 0,790569415042,y = 8,86, sy = 2,58804945857. Anschließend berechnen wir für n = 5 S xx = (n − 1) ⋅ s x2 = (5 − 1) ⋅ 0.790569415042 2 = 2.
Der Vertrauensbereich von 95 % lautet für den Abschnitt A: (3,242,6514; 3,24+2,6514) = (0,58855;5,8914). Beispiel 2 – Angenommen die in Beispiel 1 verwendeten Daten für y stellen die Dehnung (in hundertstel Zentimeter) eines einer Kraft x (in zehntel Kilogramm) ausgesetzten Metallseiles dar. Wir nehmen für dieses physikalische Phänomen an, dass der Abschnitt A den Wert Null aufweist.
Mehrfache lineare Anpassung Gegeben sei ein Datensatz der Form x1 x11 x12 x13 . . x1,m-1 x1,m x2 x21 x22 x32 . . x3 x31 x32 x33 . . x 2,m-1 x 2,m x 3,m-1 x 3,m … … … … . … … xn xn1 xn2 xn3 . . x n,m-1 x n,m y y1 y2 y3 . . ym-1 ym Angenommen wir möchten eine Datenanpassung der Form y = b0 + b1⋅x1 + b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bn⋅xn ermitteln.
1,20 2,50 3,50 4,00 6,00 3,10 3,10 4,50 4,50 5,00 2,00 2,50 2,50 3,00 3,50 5,70 8,20 5,00 8,20 9,50 Sie können mit dem Taschenrechner im RPN-Modus wie folgt vorgehen: Erstellen Sie zunächst im Verzeichnis HOME ein Unterverzeichnis MPFIT (Multiple linear and Polynomial data FITting, Mehrfache lineare Anpassung und Polynomanpassung) und geben Sie das Unterverzeichnis MPFIT ein.
x1 x2 x3 y 1,20 2,50 3,50 4,00 6,00 3,10 3,10 4,50 4,50 5,00 2,00 2,50 2,50 3,00 3,50 5,70 8,20 5,00 8,20 9,50 an y angepasst 5,63 8,25 5,03 8,23 9,45 Polynomanpassung Gegeben sei der x-y-Datensatz {(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn)}. Angenommen wir möchten ein Polynom der Ordnung p an diesen Datensatz anpassen. Mit anderen Worten, wir möchten eine Datenanpassung der Form y = b0 + b1⋅x + b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bp⋅xp durchführen.
Wenn p = n-1, ist X = Vn. Wenn p < n-1, entfernen Sie die Spalten p+2, …, n-1, n aus Vn, um X zu erzeugen. Wenn p > n-1, fügen Sie die Spalten n+1, …, p-1, p+1 zu Vn hinzu, um die Matrix X zu erzeugen. In Schritt 3 dieser Liste müssen wir berücksichtigen, dass die Spalte i (i= n+1, n+2, …, p+1) den Vektor [x1i x2i … xni] darstellt. Wenn wir für x eine Liste von Datenwerten und keinen Vektor verwenden, d. h. x = { x1 x2 … xn }, können wir die Folge { x1i x2i … xni } einfach berechnen.
• • die Spalten n+1, …, p+1 zu Vn hinzufügen, um X zu erstellen (FOR-Schleife, xi berechnen, in Vektor konvertieren, COL+ verwenden) y in Vektor konvertieren b mit dem Programm MTREG berechnen (siehe obiges Beispiel für mehrfache lineare Anpassung) Es folgt die Übertragung des Algorithmus in ein Programm in der Sprache USER RPL. (Weitere Informationen über das Programmieren erhalten Sie in Kapitel 21.
y OBJ ARRY MTREG NUM » » » Liste y in ein Feld konvertieren Von Programm MTREG verwendetes X und y In Dezimalformat konvertieren Unterprogramm 2 beenden Unterprogramm 1 beenden Hauptprogramm beenden Speichern Sie das Programm in einer Variablen POLY (POLYnomanpassung). Verwenden Sie als Beispiel die folgenden Daten, um eine Polynomanpassung mit p = 2, 3, 4, 5, 6 zu erhalten.
@@xx@@ @@yy@@ d. h. @@xx@@ @@yy@@ d. h. @@xx@@ @@yy@@ d. h. @@xx@@ @@yy@@ d. h. @@xx@@ @@yy@@ d. h. y 2 @POLY. Ergebnis: [4527,73 -3958,52 742,23] y = 4527,73-39,58x+742,23x2 3 @POLY. Ergebnis: [ –998,05 1303,21 -505,27 79,23] y = -998,05+1303,21x-505,27x2+79,23x3 4 @POLY. Ergebnis: [20,92 –2,61 –1,52 6,05 3,51] y = 20,92-2,61x-1,52x2+6,05x3+3,51x4. 5 @POLY. Ergebnis: [19,08 0,18 –2,94 6,36 3,48 0,00] y = 19,08+0,18x-2,94x2+6,36x3+3,48x4+0,0011x5 6 @POLY.
Ein Fehlervektor wird mit e = y – y' berechnet. Die Summe der quadratischen Fehler ist gleich dem Quadrat des Betrags des Fehlervektors, d. h. SSE = |e|2 = e•e = Σ ei2 = Σ (yi-y'i)2. Zum Berechnen des Korrelationskoeffizienten müssen wir zunächst die Gesamtquadratsumme SST (Sum of Squared Totals) ermitteln, die als SST = Σ (yi-y)2 definiert ist, wobei y den Mittelwert der ursprünglichen Werte von y darstellt, d. h. y = (Σyi)/n.
ELSE IF 'p>n-1' THEN n1+ p1+ FOR j x j ^ OBJ ARRY j COL+ NEXT END END y OBJ ARRY X yv « X yv MTREG NUM b « b yv Xb* ABS SQ DUP y ΣLIST n / n 1 LIST SWAP CON yv − ABS SQ / NEG 1 + √ “r” TAG SWAP “SSE” TAG » n+1 berechnen p+1 berechnen Schleife mit j = n, n+1, …, p+1 starten xj als Liste berechnen Liste in Feld konvertieren Spalte zu Matrix hinzufügen FOR-NEXT-Schleife beenden Zweite IF-Klausel beenden Erste IF-Klausel beenden.
» » » » Unterprogramm 3 beenden Unterprogramm 2 beenden Unterprogramm 1 beenden Hauptprogramm beenden Speichern Sie dieses Programm unter dem Namen POLYR, um auf die Berechnung des Korrelationskoeffizienten r hinzuweisen.
Kapitel 19 Zahlen mit unterschiedlicher Basis In diesem Kapitel zeigen wir Beispiele für Zahlenberechnungen mit anderer Basis als der Dezimalbasis. Definitionen Das Zahlensystem, dass für das tägliche Rechnen verwendet wird, ist als Dezimalsystem bekannt, da es 10 (Latein, deca) Stellen, nämlich 0-9, verwendet, um eine wirkliche Zahl zu schreiben. Anderseits verwenden Computer ein System, das auf zwei möglichen Zuständen basiert oder dem Binärsystem.
Ist die Systemmarkierung 117 auf die Menüs SOFT eingestellt, zeigt das Menü BASE das Folgende: Mit diesem Format wird deutlich, dass die Einträge LOGIC, BIT und BYTE selbst im Menü BASE Untermenüs sind. Diese Menüs werden später in diesem Kapitel besprochen. Die Funktionen HEX, DEC, OCT und BIN Zahlen in Nicht-Dezimalsystemen wird ein #-Symbol im Rechner vorangestellt. Das Symbol # ist sofort verfügbar als „â(die Taste 3).
OCT BIN Da das Dezimalsystem (DEC) 10 Stellen besitzt (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), umfasst das Hexadezimalsystem (HEX) 16 Stellen (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), das Oktalsystem (OCT) 8 Stellen (0,1,2,3,4,5,6,7) und das Binärsystem (BIN) nur 2 Stellen (0,1). Umwandlung zwischen Zahlensystemen Unabhängig davon welches Zahlensystem gewählt wurde, es wird als Binärsystem bezeichnet, um die Funktionen R B und B R verwenden zu können.
Wir weisen darauf hin, dass Sie immer, wenn Sie eine Nummer mit vorangestelltem # eingeben, als Eintrag die eingegebene Zahl mit vorangestelltem # und nachgestelltem h, o, oder b (hexadezimal, oktal oder binär) erhalten. Der als Suffix verwendete Buchstabe hängt davon ab, welches nichtdezimale Zahlensystem ausgewählt wurde, d.h. HEX, OCT, oder BIN.
Rechenoperationen mit binären Integerzahlen Die Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Zeichenwechsel, Multiplikation und Division sind für binäre Integerzahlen definiert.
1 OR 1 = 1 1 XOR 1 = 0 NOT(1) = 0 1 OR 0 = 1 1 XOR 0 = 1 NOT(0) = 1 0 OR 1 = 1 0 XOR 1 = 1 0 OR 0 = 0 0 XOR 0 = 0 Diese Funktionen können zur Bildung logischer Anweisungen zu Programmierzwecken verwendet werden. Im Kontext dieses Kapitels werden sie zur Darstellung der Bit-by-Bit-Ergebnisse entsprechend der oben gezeigten Regeln verwendet.
RL: Rotate Left one bit (ein Bit links drehen), z.B., #1100b #1001b SL: Shift Left one bit (ein Bit nach links schieben), z.B., #1101b #11010b ASR: Arithmetic Shift Right one bit (ein Bit arithmetisch rechts schieben), z.B., #1100010b #110001b SR: Shift Right one bit (ein Bit nach rechts schieben), z.B., #11011b #1101b RR: Rotate Right one bit (ein Bit rechts drehen), z.B.
Unten werden einige Beispiele gezeigt: Page 19-8
Kapitel 20 Benutzerdefinierte Menüs und Tastatur Durch die Anwendung der verschiedenen Taschenrechner-Menüs kennen Sie sich nun mit der Menü-Funktion für verschiedene Anwendungen aus. Sie kennen sich auch mit vielen der Funktionen aus, die mit Hilfe der Tastatur, entweder aufgrund ihrer Hauptfunktion oder durch die Kombination mit der linken Umschalttaste („), rechten Umschalttaste (‚) oder ALPHA-Taste (~) aufgerufen werden können.
TMENU: Wird anstatt MENU verwendet, um ein temporäres Menü zu erstellen, ohne die Inhalte von CST zu überschreiben. RCLMENU: Zeigt die Menü-Nummer des aktuellen Menüs an. Menü-Nummern (RCLMENU und MENU-Funktionen) Jedes voreingestellte Menü hat eine zugewiesene Nummer. Angenommen Sie aktivieren das MTH-Menü („´).Dann gehen Sie über den Funktionskatalog (‚N) zur Funktion RCLMENU und aktivieren Sie diese. Im ALG-modus ` drücken, nachdem RCLMENU() im Bildschirm angezeigt wird. Das Ergebnis ist die Zahl 3.01.
Spezifikationen verloren, nachdem das temporäre Menü mit einem anderen ersetzt wird. Z. B. wird ein Menü im RPN-Modus wie folgt eingerichtet: {EXP LN GAMMA !} ` TMENU ` oder {EXP LN GAMMA !} ` MENU ` um das folgende Menü zu erstellen: Um eine dieser Funktionen zu aktivieren, brauchen Sie nur ein Funktionsargument (eine Nummer) einzugeben und dann die entsprechende Softmenü-Taste zu drücken.
Eine einfachere Version des Menüs kann wie folgt definiert werden: MENU({{”EXP(“,“LN(“,“GAMMA(“,”!(“}). Erweitertes RPN-Menü Die oben angeführte Liste für den ALG-Modus kann leicht verändert werden, um sie im RPN-Modus anzuwenden. Die veränderte Liste sieht dann wie folgt aus: {{“exp”,EXP},{“ln”,LN},{“Gamma”,GAMMA},{“!”,!}} Sie können versuchen, diese Liste mit TMENU oder MENU im RPN-Modus zu verwenden, um sicherzustellen, dass Sie das gleiche Menü erhalten, wie vorher im ALG-Modus.
{“label1”,”function1(“,”ls1(“,”rs1(“}, {“label2”, “function2(“,”ls2(“,”rs2(“},…} Im RPN-Modus hat die Argumentenliste hingegen folgendes Format: {“label1”, function1, ls1, rs1}, {“label2”, function2, ls2, rs2},…} Hierbei stellen Spezifikationen, Funktion1, Funktion 2, usw. die Hauptfunktion der Taste dar, während ls1, ls2, usw. die Tastenfunktion Verschiebung nach links darstellen. Ähnlich dazu stellen rs1, rs2, usw. die Tastenfunktion Verschiebung nach rechts dar.
,2, ,3, ,4, ,5, ,6, Taste Taste Taste Taste Taste in in in in in Kombination Kombination Kombination Kombination Kombination mit mit mit mit mit „ ‚ ~ ~„ ~‚ ,21, ,31, ,41, ,51, ,61, Taste gleichzeitig mit „ Taste gleichzeitig mit ‚ Taste gleichzeitig mit ~ ~Taste gleichzeitig mit „ ~Taste gleichzeitig mit ‚ Somit wird die VAR-Funktion als Taste 31,0 oder 31,1, bezeichnet und die UPDIR-Funktion als Taste 31,2. Die COPY-Funktion wird Taste 31,3 sein, das große J ist Taste 31.
Tasten, oder XY.Z zum Rückgängigmachen der Zuweisung für Taste XY.Z. Die aktuelle benutzerdefinierte Tastenliste aufrufen Verwenden Sie den Befehl RCLKEYS um die aktuelle benutzerdefinierte Tastenliste anzuzeigen. Vor jeder benutzerdefinierten Tastenzuweisung, sollte das Ergebnis eine Liste sein, die den Buchstaben S, z. B. {S} enthält.
anzeigt. Durch Drücken von „Ì C in diesem Beispiel, sollten Sie das Menü PLOT wie folgt wieder herstellen: Wenn Sie mehr als eine benutzerdefinierte Taste haben und mehr als eine gleichzeitig anwenden möchten, können Sie die Tastatur im USER-Modus durch Eingabe von „Ì„ sperren, bevor Sie die benutzerdefinierten Tasten drücken. Ist die Tastatur im USER-Modus gesperrt, wird die Spezifikation USR in der zweiten Display-Zeile angezeigt. Um die Tastatur wieder freizugeben, drücken Sie nochmals „Ì.
5„ÌA 4„ÌB 2„ÌD 1„ÌE 6„ÌC 2„ÌF Um die Zuweisung für alle benutzerdefinierten Tasten rückgängig zu machen, verwenden Sie: ALG-Modus: DELKEYS(0) RPN-Modus: 0 DELKEYS Überprüfen Sie mit Hilfe der Funktion RCLKEYS, ob die benutzerdefinierten Definitionen gelöscht wurden.
Kapitel 21 Programmieren mit UserRPL Die allgemein verwendete Programmiersprache zur Programmierung des Taschenrechners ist UserRPL. Programmkomponenten können im Zeileneditor, durch Einfügen dieser zwischen den Programm-Containern, « », zusammengeführt werden. Da die meisten Anwender in der Programmierung im RPN-Modus erfahrener sind, werden die meisten Beispiele in diesem Kapitel im RPN-Modus dargestellt.
Tastenfolge: ‚å [']~„x™K Erzeugt: « ~„x „´@)HYP @SINH 1#~„x „º x SINH 1 x SQ „´@)@MTH@ @LIST @ADD@ ADD / 'x' PURGE 'x' STO / [']~„x™ „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE ` _______________________ __________ Interpretiert als: Starte ein RPL Programm Speichere Ebene 1 in Variable x Setze x in Ebene 1 Berechne sinh aus Ebene 1 Gebe 1 ein und berechene x2 Berechne (1+x2), dividiere dann durch Lösche Variable x Programm in Ebene 1 _____________________ Verwenden Sie diese Tastenfolge: [']~„gK zum Speichern de
Sie vorher gespeichert haben, in ihrem Variablen-Menü gespeichert. Nach Berechnen der Funktion wird die Variable x vom Programm gelöscht, sodass diese nach Beenden des Programms im Variablen-Menü nicht mehr angezeigt wird. Würde die Variable x nach Beenden des Programms nicht gelöscht werden, stünde sie uns auch weiterhin zur Verfügung. Aus diesem Grunde bezeichnet man die Variable x, wie sie in diesem Programm verwendet wird, als eine globale Variable.
Speichers des Taschenrechners verarbeitet, und hat keinen Einfluss auf gleichlautende Variablen Ihres Variablen-Menüs. Aus diesem Grunde wird die Variable x, wie hier lokal innerhalb eines Programms verwendet, als eine lokale Variable bezeichnet.. Anmerkung: Wollen Sie das Programm @@@g@@@ modifizieren, setzen Sie den Programmnamen in den Stack (³@@@g@@@ `) und drücken dann „˜. Verwenden Sie anschließend die Pfeiltasten (š™—˜) zum Navigieren innerhalb des Programms.
• • sofern diese nicht in einem Verzeichnis oder Unterverzeichnis des HOMEVerzeichnisses neu definiert wurde. Sobald Sie eine Variable innerhalb eines Verzeichnisses oder Unterverzeichnisses neu definieren, hat diese Definition Vorrang vor allen anderen Definitionen innerhalb eines übergeordneten Verzeichnisses. Wird ein Programm gestartet, das auf eine gegebene globale Variable zugreift, verwendet das Programm den Wert der globalen Variablen aus dem Verzeichnis, aus dem das Programm gestartet wurde.
Funktionstasten dargestellt. Dies vereinfacht das Eingeben von Programmierbefehlen im Zeileneditor. Um das Menü PRG aufzurufen, verwenden Sie die Tastenfolge „°.
MODES:Funktionen zum Ändern der Rechenmodi FMT: Ändern des Zahlen- und Kommaformats ANGLE:Ändern des Winkelmaßes und Koordinatensystems FLAG: Setzen und Löschen von Flags, Prüfen des Flag-Status KEYS: Definieren und Aktivieren anwenderdefinierter Tasten (Kapitel 20) MENU: Definieren und Aktivieren anwenderdefinierter Menüs (Kapitel 20) MISC: Ändern verschiedener anderer Modi (Warnton, Uhr usw.
UNROT ROLL ROLLD PICK UNPICK PICK3 DEPTH DUP2 DUPN DROP2 DROPN DUPDU NIP NDUPN MEM PURGE MEM BYTES NEWOB ARCHI RESTO LIST/ELEM GET GETI PUT PUTI SIZE POS HEAD TAIL PGDIR VARS TVARS ORDER BRCH/CASE CASE THEN END == ≠ < > ≤ MEM/ARITH BRCH/START ≥ STO+ START AND STONEXT OR STOx STEP XOR STO/ NOT BRCH/FOR INCR SAME DECR FOR TYPE SINV NEXT SF SNEG STEP CF SCONJ FS? BRCH/DO FC? BRCH DO FS?C IFT UNTIL FC?C IFTE END LININ GROB GROB BLANK GOR GXOR SUB REPL LCD LCD SIZE LIST/PROC ANIMATE CHARS SUB REPL POS S
DOLIST DOSUB NSUB ENDSUB STREAM REVLIST SORT SEQ SREPL PICT PICT PDIM LINE TLINE BOX ARC PIXON PIXOF PIX? PVIEW PX C C PX MODES/FMT STD FIX SCI ENG FM, ML MODES/KEYS ASN STOKEYS RECLKEYS DELKEYS MODES/MENU MENU CST MODES/ANGLE TMENU DEG RCLMENU RAD GRAD RECT CYLIN SPHERE TIME DATE DATE TIME TIME TICKS ERROR DOERR ERRN ERRM ERR0 LASTARG TIME/ALRM ACK ACKALARM STOALARM RCLALARM DELALARM FINDALARM ERROR/IFERR IFERR THEN ELSE END NOVAL CHOOSE INPUT KEY WAIT PROMPT OUT PVIEW TEXT CLLCD DISP FREEZE MSG
Kürzel innerhalb des Menüs PRG Viele der oben für das Menü PRG aufgeführten Funktionen stehen auch auf andere Weise zur Verfügung: • • • • • • Vergleichsoperatoren (≠, ≤, <, ≥, >) sind über die Tastatur verfügbar. Viele Funktionen und Einstellungen im Untermenü MODES können über die Eingabefunktionen der H-Taste aktiviert werden. Auf Funktionen des Untermenüs TIME kann über die Tastenfolge ‚Ó zugegriffen werden. Die Funktionen STO und RCL (im Untermenü MEM/DIR) sind über die Tasten K und „© verfügbar.
‚@)START „@)@@DO@@ ‚@)@FOR@@ „@)WHILE Beachten Sie, dass das Einfügezeichen ( ) nach dem Schlüsselwort jeder Anweisung steht, sodass Sie mit der Eingabe gleich an der richtigen Stelle beginnen können. Tastenfolge für häufig verwendete Befehle Im Folgenden finden Sie Tastenfolgen, mit denen Sie häufig vorkommende Befehle zur numerischen Programmierung im Menü PRG aufrufen können.
CASE THEN END „°@)@BRCH@ @)CASE@ @CASE@ „°@)@BRCH@ @)CASE@ @THEN@ „°@)@BRCH@ @)CASE@ @@END@ )@BRCH@ @)START START NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)START @START „°@)@BRCH@ @)START @NEXT „°@)@BRCH@ @)START @STEP )@BRCH@ @)@FOR@ FOR NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@FOR@@ „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@NEXT@ „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@STEP@ )@BRCH@ @)@@DO@@ DO UNTIL END „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@@DO@@ „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @UNTIL „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@END@@ )@BRCH@ @)WHILE@ WHILE REPEAT END „°@)@BRCH@ @)WHILE@ @WHILE „°)@BRCH@ @)WHILE@
@)TYPE@ OBJ ARRY LIST STR TAG NUM CHR TYPE „°@)TYPE@ @OBJ @ „°@)TYPE@ @ ARRY „°@)TYPE@ @ LIST „°@)TYPE@ @ STR „°@)TYPE@ @ TAG „°@)TYPE@ L @NUM@ „°@)TYPE@ L @CHR@ „°@)TYPE@ L @TYPE@ @)LIST@ @)ELEM@ GET GETI PUT PUTI SIZE HEAD TAIL „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ @)LIST@ @)PROC@ REVLIST SORT SEQ „°@)LIST@ @)PROC@ @REVLI@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @SORT@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @@SEQ@@ @)MODES @)ANGLE@ DEG RAD „°L@)MODES @)ANGLE@ @@DEG@@ „°L@)MODES @)ANGLE@ @@RAD@@
@)@RUN@ MSGBOX PVIEW „°L@)@OUT@ @MSGBO@ „°L@)@OUT@ @PVIEW@ DBUG SST SST↓ HALT KILL „°LL „°LL „°LL „°LL „°LL @)@RUN@ @)@RUN@ @)@RUN@ @)@RUN@ @)@RUN@ @@DBG@ @@SST@ @SST↓@ @HALT@ @KILL Programme zum Generieren von Zahlenlisten Beachten Sie, dass außer den Funktionen des Menüs PRG weitere Funktionen, die Sie beim Programmieren verwenden können, zur Verfügung stehen. Im Grunde können fast alle Funktionen des Taschenrechners in ein Programm integriert werden.
(1) LISC: Erzeugt eine Liste mit n Elementen, die alle gleich einer Konstante c sind. Ablauf: Geben Sie nacheneinander n, dann c ein, drücken Sie anschließend @LISC Beispiel: 5 ` 6,5 ` @LISC erzeugt folgende Liste: {6,5 6,5 6,5 6,5 6,5} (2) CRLST: Erzeugt eine Liste mit Zahlen von n1 bis n2 mit einem Wertzuwachs von ∆n, d.h.,{n1, n1+∆n, n1+2⋅∆n, … n1+N⋅∆n }, wobei N = floor((n2n1)/∆n)+1. Ablauf: geben Sie nacheinander n1, dann n2, dann ∆n ein und drücken Sie anschließend @CRLST Beispiel: .
Über Definition einer Funktion generierte Programme Hierbei handelt es sich um Programme, die mithilfe der Funktion DEFINE („à), die mit einem Argument, das wie folgt aussieht, erstellt wurden: 'function_name(x1, x2, …) = Ausdruck mit den Variablen x1, x2, …' Das Programm wird in der Variablen mit dem Namen function_name gespeichert. Wird das Programm mit der Tastenfolge ‚function_name wieder in den Stack geladen, sieht das Programm wie folgt aus: « x1, x2, … Ausdruck mit Variablen x1, x2, …'».
ausgegeben, d.h., m2/s in S.I. und ft2/s in E.S. Die Manning-Gleichung ist daher nicht dimensionskonsistent. Angenommen wir wollen die Funktion q(Cu, n, y0, S0) zur Berechnung des Durchhflusses q für diesen Fall erstellen . Verwenden Sie den Ausdruck: ‘q(Cu,n,y0,S0)=Cu/n*y0^(5./3.)*√S0’, als Argument der Funktion DEFINE. Beachten Sie, dass der Exponent 5./3. in der Gleichung das Verhältnis von reellen Zahlen durch Dezimalkomma darstellt. Falls erforderlich drücken Sie J, um die Variablenliste zu laden.
eingegeben haben, drücken Sie `, um das Programm abzuschließen. Wenn Sie das Programm nur ein einziges Mal verwenden wollen, können Sie an dieser Stelle µ drücken, um das Programm mit den verfügbaren Eingabedaten durchzuführen. Soll das Programm immer wieder verwendet werden, muss es unter einem Variablennamen gespeichert werden.
Für die einzelnen zu berücksichtigenden Werte verwenden wir: 23 ` 32,2 ` 3 `2 ` Das Programm selbst enthält nur die Tastenfolgen (oder Anweisungen), die durch Entfernen der Werte aus vorangegangener Berechnung ersetzt wurden d.h.
Hinweis: SQ ist die Funktion, die sich aus der Tastenfolge „º ergibt. Erstellen wir nun eine Kopie des Programms und speichern dieses unter dem Variablen-Namen hv: ³~„h~„v K Im Funktionstastenmenü sollte jetzt eine neue Variable @@@hv@@@ vorhanden sein. (Drücken Sie J, um die Variablenliste aufzurufen.) Das Programm, das sich noch im Stack befindet, kann mit der Funktion EVAL untersucht werden. Das Ergebnis sollte wie zuvor 0,228174... betragen.
ist es immer möglich, die Programmdefinitionen neu in den Stack (‚@@@q@@@) zu laden, die Reihenfolge in der die Variablen eingegeben werden müssen, anzuzeigen; hier → Cu n y0 S0. Bei dem Programm @@@hv@@@ bietet die Definition « * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / » keinen Hinweis auf die Eingabereihenfolge der Daten. Es sei denn, Sie sind mit RPN und der UserRPL Sprache gut vertraut.
wenn der “Textbook”-Stil ausgewählt wurde. Da wir wissen, dass die Funktion SQ( ) für x2 steht, interpretieren wird das letzte Resultat als S 42 , 2 ⋅ S 3 ⋅ ( S 2 ⋅ S1) 2 welches die Positionen der verschiedenen Eingabeebenen des Stacks in der Formel anzeigt. Wenn wir dieses Resultat mit der von uns programmierten Originalformel vergleichen, d.h.
Speichern Sie das Programm in eine Variable mit der Bezeichnung INPTa (für INPuT a). Starten Sie das Programm durch Drücken der Funktionstaste @INPTa. Als Resultat wird der Anwender aufgefordert einen Wert für a einzugeben. Der Cursor wird direkt rechts von dem Prompt :a: gesetzt. Geben Sie beispielsweise 35 ein und drücken `. Als Resultat erscheint der Eingabestring :a:35 in Stack-Ebene 1.
Fehlersuche im Programm Um die Fehlerursache herauszufinden, verwenden wir die Funktion DBUG wie folgt: ³@FUNCa ` Kopiert den Programmnamen in StackEbene 1 „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Startet die Fehlersuche (den Debugger) @SST↓@ Fehlersuche Schritt für Schritt, Ergebnis: “Enter a:” @SST↓@ Ergebnis: {“ a:” {2 0} V} @SST↓@ Ergebnis: der Anwender wird aufgefordert, einen Wert für a einzugeben 2` Geben Sie den Wert 2 für a ein.
@SST↓@ 2` @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Ergebnis: Anwender wird aufgefordert, für a einen Wert einzugeben Geben Sie den Wert 2 für a ein. Ergebnis: “ :a:2” Ergebnis: a:2 Ergebnis: Stack leeren, Ausführung von →a Ergebnis: Stack leeren, ins Unterprogramm springen « An dieser Stelle befinden wir uns im Unterprogramm « ‘2*a^2+3’ », das die lokale Variable a verwendet. Um den Wert von a anzuzeigen, verwenden Sie: ~„aµ Tatsächlich wird für die lokale Variable a = 2 angezeigt.
Programm und fügen die fehlende Funktion EVAL ein. Das bearbeitete Programm sieht dann wie folgt aus: « “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ NUM » » Speichern Sie das Programm wieder unter FUNCa und starten Sie es mit a = 2. Dieses Mal ist das Ergebnis 11, d.h., 2*22+3 = 11.
Programm mit Eingabestring für zwei Eingabewerte Ein Programm für zwei Eingabewerte, beispielsweise a und b, sieht wir folgt aus: « “Enter a and b: “ {“ :a: :b: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ » Dieses Programm kann durch Modifizieren des Inhalts von INPTa leicht erstellt werden. Speichern Sie dieses Programm in die Variable INPT2.
Speichern Sie das modifizierte Programm wieder unter @@@p@@@. Drücken Sie @@@p@@@ , um das Programm zu starten. Geben Sie für V = 0.01_m^3 und für T = 300_K ein und drücken dann `. Als Ergebnis erscheint 49887.06_J/m^3. Die Einheit J/m^3 entspricht der Einheit Pascals (Pa), die im S.I.-System bevorzugte Maßeinheit für Druck. Hinweis: Da wir absichtlich bei der Definition der Funktion Einheiten verwendet haben, müssen auch die Werte zum Erzielen eines korrekten Ergebnisses mit Einheiten eingegeben werden.
Definition der Funktion p(V.T) angewendet haben. Das Programm sieht dann wie folgt aus: “Enter V, T, and n:“ {“ :V: :T: :n:“ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n ‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V) ‘ » « Speichern Sie dieses Programm in der Variablen @@@p@@@. Um das Programm zu starten, drücken Sie @@@p@@@. Geben Sie für V = 0.01_m^3, für T = 300_K und für n = 0,8_mol ein. Bevor Sie ` drücken, sieht der Stack folgendermaßen aus: Drücken Sie `. Das Resultat ist 199548,24_J/m^3, oder 199548,24_Pa = 199,55 kPa.
Spezifikation ist eine Liste von Variablentypen, die in dem Feld erlaubt sind (siehe Objekttypen im Kapitel 24). 3. Information zum Feldformat: Eine einzelne Zahl col oder eine Liste {col tabs}. In dieser Spezifikation ist col die Anzahl der Spalten in der Eingabebox und tabs (optional) legt die Anzahl der Tab-Stops der Labels und die Felder der Maske fest. Die Liste kann eine leere Liste sein. Vorgabewert sind col = 1 und tabs = 3. 4.
« “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .00001 } INFORM » Im Programm sind die oben angeführten 5 Komponenten wie folgt: 1. Titel: “ CHEZY’S EQN” 2.
Geben Sie nun verschiedene Werte für die drei Felder ein, sagen wir C = 95, R = 2,5 und S = 0,003. Drücken Sie nach jedem neuen Wert @@@OK@@@. Nach dieser Änderung sieht die Eingabemaske folgendermaßen aus: Um nun die Werte in das Programm zu übertragen, drücken Sie noch einmal @@@OK@@@. Hierdurch wird die Funktion INFORM aktiviert und im Stack erscheint: Soweit die Demonstration der Verwendung von INFORM.
Möglichkeiten springen. Ist der Wert 1, springt das Programm zu den Befehlen: OBJ DROP C R S ‘C*√(R*S)’ NUM “Q” TAG Diese Befehle errechnen Q und setzen einen Tag auf Q. Befindet sich aber der Wert 0 in Stack-Ebene 1 (was der Fall ist, wenn @CANCEL beim Verwenden der Eingabemaske gedrückt wird) , springt das Programm zu den Befehlen: “Operation cancelled” MSGBOX Diese Befehle erzeugen die Meldung, dass die Operation abgebrochen wurde.
Beispiel 3 - Ändern Sie das Feldformat in { 3 0 } und speichern Sie das Programm als INFP3. Starten Sie das Programm und schauen Sie sich die neue Eingabemaske an: Erstellen einer Auswahlbox Die Funktion CHOOSE („°L@)@@IN@@ @CHOOS@) bietet dem Anwender die Möglichkeit, eine Auswahlbox in ein Programm zu integrieren. Diese Funktion benötigt drei Argumente: 1. Ein Prompt (eine Zeichenkette, die die Auswahlbox beschreibt) 2. Eine Liste der Auswahldefinitionen {c1 c2 … cn}.
verwendeten Einheiten abhängigen Koeffizienten Cu. Verwenden Sie das S.I. (Systeme International), dann ist Cu = 1,0. Verwenden Sie jedoch das E.S. (English System), dann ist Cu = 1,486. Das folgende Programm verwendet eine Auswahlbox zum Festlegen des zu verwendenden Maßsystems von Cu. Speichern Sie es in die Variable CHP1 (CHoose-Programm 1): « “Units coefficient” { { “S.I. units” 1} { “E.S. units” 1.
Identifizieren der Ausgabe von Programmen Der einfachste Weg numerische Ausgaben von Programmen zu identifizieren ist, diese Ergebnisse zu kennzeichnen. Bei einem "Tag" (Kennzeichnung) handelt es sich einfach um einen String, der an eine Zahl oder an ein Objekt angehängt wird. Der String bekommt einen Namen, der dem Objekt entspricht. Als wir beispielsweise weiter oben in den Programmen INPTa (oder INPT1) und INPT2 nach Fehlern gesucht haben, erhielten wir als Ergebnis numerische Ausgaben wie :a:35.
Tastenfolge aufgerufen: „ ° @)TYPE@ L @DTAG. So gibt DTAG beispielsweise bei einer gekennzeichneten Größe a:2 den Wert 2 zurück. Hinweis: Bei mathematischen Operationen mit gekennzeichneten Größen extrahiert der Taschenrechner die numerischen Werte automatisch.
Rufen Sie mit ‚ @FUNCa den Inhalt von FUNCa in den Stack. « “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ NUM ”F” →TAG » » Modifizieren Sie sie wie folgt: « “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ EVAL ”F” →TAG a SWAP» » (Beachten Sie, dass die Funktion SWAP über die Tastenfolge „°@)STACK @SWAP@) aufgerufen wird. Speichern Sie das modifizierte Programm wieder mithilfe von „ @FUNCa unter FUNCa. Starten Sie das Programm durch Drücken von @FUNCa.
2` @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ einen Wert einzugeben Geben Sie 2 für a ein. Ergebnis: “ :a:2” Ergebnis: a:2 Ergebnis: Stack leeren, Ausführung von →a Ergebnis: Stack leeren, ins Unterprogramm springen « Ergebnis: ‘2*a^2+3’ Ergebnis: Stack leeren, ins Unterprogramm springen Ergebnis: 11., Ergebnis: “F” Ergebnis: F: 11. Ergebnis: a:2.
Trennung der beiden Variablenlisten (V T N « V T n) durch Programmsymbole das Programm davon ausgeht, dass der Eingabebefehl →V T N V T n sechs Eingabewerte erfordert, obwohl nur drei vorhanden sind. Es würde zu einer Fehlermeldung kommen und die Programmausführung würde abgebrochen werden. Um das Unterprogramm in die modifizierte Version des Programms @@@p@@@ einzufügen, müssen wir sowohl am Anfang als auch am Ende des Unterprogramms ‚å verwenden.
Zusammenfassung: Die Verwendung von Markierungen, um Ein- und Ausgabevariable zu identifizieren, zieht sich wie ein Faden durch alle drei Beispiele. Verwenden wir einen Eingabe-String für den Eingabewert, werden diese vorgekennzeichnet und können einfach wieder zur Ausgabe in den Stack geladen werden. Der Befehl →TAG erlaubt es uns, die Ausgabe eines Programms zu identifizieren. Verwenden von Meldefenstern Eine vornehmere Art, die Ausgabe eines Programms anzuzeigen, ist über Meldefenster.
einen nicht gekennzeichneten Wert in einen String umzuwandeln, verwenden Sie die Funktion →STR, verfügbar über die Tastenfolge „°@)TYPE@ @ STR. Verwenden eines Meldefensters zur Programmausgabe Die Funktion @@@p@@@ aus dem letzten Beispiel kann folgendermaßen geändert werden: “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ →V T n « V T n ‘(8.34451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p” →TAG →STR MSGBOX » » « Speichern Sie das Programm mit der Tastenfolge „@@@p@@@ in die Variable p.
Ein- und Ausgabe in einem Meldefenster anzeigen Wir können das Programm so modifizieren, dass sowohl Ein- als auch Ausgabe im Meldefenster angezeigt werden. Das dahingehend abgeänderte Programm @@@p@@@ sieht folgendermaßen aus: “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V →STR “ ” + T →STR “ ” + n →STR “ ” + ‘(8.
Hinweis: Das Pluszeichen (+) wird in diesem Programm zur Verknüpfung von Strings verwendet. Verknüpfung bedeutet einfach die Zusammenführung einzelner Strings. Um die Funktionsweise des Programms anzusehen, • • • Speichern Sie das Programm mit der Tastenfolge „@@@p@@@ in die Variable p. Starten Sie das Programm durch Drücken der Taste @@@p@@@. Geben Sie, wenn Sie dazu aufgefordert werden, für V = 0,01_m^3, für T = 300_K und für n = 0,8_mol ein.
Einheiten an die Ein- und Ausgabewerte anhängt. Veranschaulichen wir diese Option, indem wir unser Programm @@@p@@@ ein weiteres Mal wie folgt abändern. Laden Sie den Inhalt des Programms @@@p@@@ mit der Tastenfolge ‚@@@p@@@ wieder in den Stack und modifizieren es wie folgt: Hinweis: Zur besseren Übersicht und zum leichterem Verständnis haben wir das Programm willkürlich in verschiedene Zeilen aufgeteilt. Das Programm muss nicht unbedingt so im Stack angezeigt werden.
Einheiten (z.B., 0.01_m^3), der Tag geht jedoch verloren. 4. T ‘1_K’ * : Wert von T mit S.I.-Einheiten berechnen 5. n ‘1_mol’ * : Wert von n mit S.I.-Einheiten berechnen 6. → V T n : Die Werte von V, T und n in den Stack-Ebenen 3, 2 und 1 werden an die nächste Unterprogrammebene weitergegeben. Um zu sehen, wie diese Programmversion arbeitet, führen Sie folgende Schritte durch: • • • Speichern Sie das Programm mit der Tastenfolge [ ][ p ] in die Variable p.
Zum Löschen des Meldefensters drücken Sie @@@OK@@@. Ausgabe im Meldefenster ohne Einheiten Ändern wir das Programm @@@p@@@ ein weiteres Mal, um es ganz ohne Einheiten zu verwenden. Das Programm ohne Einheiten, sieht dann wie folgt aus: “Enter V,T,n [S.I.]: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V DTAG T DTAG n DTAG → V T n « “V=” V →STR + “ ”+ “T=” T →STR + “ ” + “n=” n →STR + “ ” + ‘8.
Operatoren die relativen Positionen von zwei oder mehreren reellen Zahlen ermittelt. Abhängig von den tatsächlich verwendeten Zahlen können solche Aussagen wahr (im Taschenrechner durch die Zahl 1 dargestellt) oder falsch (im Taschenrechner durch die Zahl 0 dargestellt) sein.
Operatoren können über die nachstehende Tastenfolge aufgerufen werden: „° @)TEST@ L. Folgende Operatoren stehen zur Verfügung: AND, OR, XOR (exklusiv oder), NOT und SAME. Abhängig vom Wert der betroffenen logischen Aussage erzeugen die Operatoren Ergebnisse die entweder wahr oder unwahr sind. Der Operator NOT (Negation) gilt für einzelne logische Aussagen. Alle anderen gelten immer für zwei logische Aussagen.
1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Auch der logische Operator SAME ist im Taschenrechner integriert. Hierbei handelt es sich nicht um einen logischen Standardoperator. Dieser ermittelt, ob zwei Objekte identisch sind. Ist dies der Fall, wird 1 (wahr) zurückgegeben, ist dies nicht der Fall, wird 0 (unwahr) zurückgegeben.
Verzweigung mit IF In diesem Absatz finden Sie Beispiele zu den Anweisungen IF…THEN…END und IF…THEN…ELSE…END. Die Anweisung IF…THEN…END IF…THEN…END ist die einfachste Form des IF-Befehls. Die allgemeine Syntax des Befehls lautet wie folgt: IF logical_statement THEN program_statements END. Diese Anweisung arbeitet wie folgt: 1. Ermitteln der logischen Aussage (logical_statement) 2.
Der Cursor befindet sich vor der IF-Anweisung und der Anwender muss nun seine logische Aussage eingeben, die beim Ausführen des Programms dann aktiviert wird. Beispiel: Geben Sie das folgende Programm ein « → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ EVAL END ”Done” MSGBOX » » und speichern es unter dem Namen ‘f1’. Drücken Sie J, um sich zu vergewissern, dass die Variable @@@f1@@@ tatsächlich in Ihrem Variablen-Menü zur Verfügung steht. Prüfen Sie die folgenden Ergebnisse: 0 @@@f1@@@ Ergebnis: 0 3.
Alternativ können Sie die Anweisung IF…THEN...ELSE…END mit der nachstehenden Tastenfolge direkt in den Stack eingeben: „°@)@BRCH@ ‚ @)@IF@@ Hierdurch wird im Stack folgende Eingabe abgelegt: Beispiel: Geben Sie das folgende Programm ein: « → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ ELSE ‘1-x’ END EVAL ”Done” MSGBOX » » und speichern es unter dem Namen ‘f2’. Drücken Sie J, um sich zu vergewissern, dass die Variable @@@f2@@@ tatsächlich in Ihrem Variablen-Menü zur Verfügung steht.
ELSE END program_statements_if_true program_statements_if_false Wenn Sie ein Programm mit einer IF-Anweisung für den Taschenrechner erstellen, können Sie zunächst den Code, wie oben dargestellt, von Hand notieren. Für Programm @@@f2@@@ könnten Sie beispielsweise wie folgt schreiben: IF x<3 THEN x2 ELSE 1-x END Diese Anweisung funktioniert einwandfrei, wenn Ihre Funktion nur zwei Verzweigungen hat. Bei Funktionen mit drei oder mehr Verzweigungen müssen Sie die IF...THEN...ELSE...
ELSE IF x<3π THEN sin(x) ELSE IF x<15 THEN exp(x) ELSE -2 END END END END Eine komplexe IF-Anweisung wie diese wird verschachtelte IF … THEN … ELSE … END Anweisung genannt.
CASE Logical_statement1 THEN program_statements1 END Logical_statement2 THEN program_statements2 END . . . Logical_statement THEN program_statements END Default_program_statements (optional) END Bei der Auswertung dieser Anweisung testet das Programm jede einzelne logische Aussage (logical_statements), bis es eine findet, die wahr ist. Das Programm führt dann die entsprechenden Programmanweisungen (program_statements) aus und fährt mit dem Programm nach dem Befehl END fort.
x 2 , if x < 3 1 − x, if 3 ≤ x < 5 f 3 ( x) = sin( x), if 5 ≤ x < 3π exp( x), if 3π ≤ x < 15 − 2, elsewhere Mit CASE-Anweisungen in der UserRPL-Sprache können wir diese Funktion als folgt codieren: → x « CASE ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ END ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ END ‘x<3*π‘ THEN ‘SIN(x)‘ END ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ END –2 END EVAL » » « Speichern Sie das Programm unter @@f3c@.
n S = ∑k2 k =0 Um diese Summe zu berechnen, müssen Sie im Gleichungs-Editor nur ‚½ eingeben und dann die Grenzwerte und Ausdrücke für die Summenbildung laden (Beispiele hierzu finden Sie in den Kapiteln 2 und 13). Um den Einsatz von Programmschleifen zu veranschaulichen, werden wir diese Summenbildung mit unserem eigenen UserRPL-Code berechnen. UserRPL bietet vier verschiedene Anweisungen zur Programmierung von Programmschleifen, START, FOR, DO und WHILE.
Die Anweisung START…NEXT Die allgemeine Form der Anweisung sieht wie folgt aus: start_value end_value START program_statements NEXT Da in diesem Fall das Inkrement 1 ist, sollten Sie sicherstellen, dass start_value < end_value damit die Schleife beendet werden kann. Anderenfalls kommt es zu einer sogenannten Endlosschleife. Beispiel – Berechnen der oben definierten Summenbildung S Die START…NEXT-Anweisung hat einen Index, auf dessen Wert der Anwender nicht zugreifen kann.
4. Der Programmcode → n S k speichert die Werte von n, 0 und 0 in die lokalen Variablen n, S, k. Man sagt, dass die Variablen n, S und k initialisiert wurden (S und k auf 0 und n auf den Wert, den der Anwender ausgewählt hat). 5. Der Programmcode 0. n START beschreibt eine START-Schleife deren Index die Werte 0, 1, 2, …, n annehmen wird. 6. Die Summe S wird durch den folgenden Programmcode um k2 erhöht: k SQ S + 7. Der Index k wird durch den folgenden Programmcode um 1 erhöht: 1. k + 8.
@SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ SL1 = 0., (Startwert des Schleifenindex) SL1 = 2.(n), SL2 = 0 (Endwert des Schleifenindex) Leeren des Stacks (START – Beginn der Schleife) --- Erster Durchlauf der Schleife für k = 0 @SST↓@ SL1 = 0. (k) @SST↓@ SL1 = 0. (SQ(k) = k2) @SST↓@ SL1 = 0.(S), SL2 = 0. (k2) @SST↓@ SL1 = 0. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1., SL2 = 0. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 0.(k), SL2 = 1., SL3 = 0. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1.(k+1), SL2 = 0. (S + k2) @SST↓@ SL1 = ‘k’, SL2 = 1., SL3 = 0. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 0.
SL2 = 1, in SL1 = ‚S’] Leeren des Stacks (NEXT – Ende der Schleife) @SST↓@ --- Dritter Durchlauf der Schleife für k = 2 @SST↓@ SL1 = 2. (k) @SST↓@ SL1 = 4. (SQ(k) = k2) @SST↓@ SL1 = 1.(S), SL2 = 4. (k2) @SST↓@ SL1 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1., SL2 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 2.(k), SL2 = 1., SL3 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 3.(k+1), SL2 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = ‘k’, SL2 = 3., SL3 = 5. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 5. (S + k2) [Speichert den Wert von SL2 = 3, in SL1 = ‚k’] @SST↓@ SL1 = ‘S’, SL2 = 5.
5 @@@S1@@ 10 @@@S1@@ 30 @@@S1@@ Ergebnis: S:55 Ergebnis: S:385 Ergebnis: S:9455 8 @@@S1@@ 20 @@@S1@@ 100 @@@S1@@ Ergebnis: S:204 Ergebnis: S:2870 Ergebnis: S:338350 Die Anweisung START…STEP Die allgemeine Form der Anweisung lautet wie folgt: start_value end_value START program_statements increment NEXT start_value (Startwert), end_value (Endwert) und increment (Inkrement) des Schleifenindex können positive oder negative Werte haben.
• Um die Schritt-für-Schritt-Ausführung anzusehen, verwenden Sie das Programm DBUG für eine kurze Liste, beispielsweise: J1 # 1,5 # 0,5 ` [ ‘ ] @GLIST ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Parameter 1 1,5 0,5 eingeben Programmnamen in Ebene 1 Start der Fehlersuche (des Debuggers) Verwenden Sie @SST↓@ , um in das Programm zu springen und zu beobachten, wie die einzelnen Anweisungen abgearbeitet werden.
start_value end_value FOR loop_index program_statements NEXT Um eine Endlosschleife zu verhindern, stellen Sie sicher, dass start_value < end_value ist. Beispiel – Berechnung der Summenbildung S mit einer FOR…NEXT Anweisung Das folgende Programm berechnet die Summenbildung n S = ∑k2 k =0 Verwenden Sie beispielsweise eine FOR…NEXT-Schleife: « 0 →n S « 0 n FOR k k SQ S + ‘S‘ STO NEXT S “S” TAG » » Speichern Sie dieses neue Programm in die Variable @@S2@@.
start_value (Startwert), end_value (Endwert) und increment (Inkrement) des Schleifenindex können positive oder negative Werte sein. Bei einem increment > 0 wird die Schleife so lange ausgeführt, wie der Index kleiner oder gleich end_value ist. Bei einem increment < 0 wird die Schleife so lange ausgeführt, wie der Index größer oder gleich end_value ist. Die Programmanweisungen werden mindestens ein Mal ausgeführt (z.B. 1 0 START 1 1 STEP gibt 1 zurück).
zurückgibt. logical_statement muss den Wert eines Index enthalten, dessen Wert durch program_statements (Programm-Aussage) verändert wird. Beispiel 1 – Dieses Programm erzeugt in der oberen linken Ecke der Anzeige einen Zähler, der in einer Endlosschleife 1 aufaddiert, bis durch Drücken auf eine Taste der Zähler gestoppt wird: « 0 DO DUP 1 DISP 1 + UNTIL KEY END DROP » Der Befehl KEY erkennt TRUE, sobald eine Taste gedrückt wird. Beispiel 2 – Berechnen der Summenbildung S mit einer DO...UNTIL...
und speichern es in die Variable @GLIS3 . • • Prüfen Sie, ob der Programmaufruf 0,5 ` 2,5 ` 0,5 ` @GLIS3 folgende Liste {0,5 1. 1,5 2. 2,5} erstellt.
Verwenden einer WHILE…REPEAT…END-Schleife: 0. → n S « WHILE ‘n≥0‘ REPEAT n SQ S + ‘S‘ STO n 1 – ‘n‘ STO END S “S” TAG » » « Speichern Sie das neue Programm in die Variable @@S4@@. Versuchen Sie folgendes Beispiel: J 3 5 10 30 @@@S4@@ @@@S4@@ @@@S4@@ @@@S4@@ Ergebnis: Ergebnis: Ergebnis: Ergebnis: S:14 S:55 S:385 S:9455 4 8 20 100 @@@S4@@ @@@S4@@ @@@S4@@ @@@S4@@ Ergebnis: S:30 Ergebnis: S:204 Ergebnis: S:2870 Ergebnis: S:338350 Beispiel 2 – Erzeugen einer Liste mit einer WHILE…REPEAT...
Fehler und Fehler auffangen Mithilfe der Funktionen des Untermenüs PRG/ERROR können Sie Fehler im Taschenrechner und Fehler in Programmen auffangen. Das Menü PRG/ERROR kann mit der Tastenfolge „°LL@)ERROR@ aufgerufen werden. Es enthält die folgenden Funktionen und Untermenüs: DOERR Diese Funktion simuliert einen benutzerdefinierten Fehler, wobei sich der Taschenrechner so verhält, als wäre dieser Fehler tatsächlich aufgetreten.
ERRM Diese Funktion gibt eine Zeichenkette mit der Meldung des letzten Fehlers zurück. Z.B. Approx im Modus, wenn Sie versuchen 0Y$@ERRM, Sie erhalten die folgende Zeichenkette: “Infinite Result” (unendliches Ergebnis) ERR0 Mit dieser Funktion wird die letzte Fehlernummer gelöscht, sodass die Funktion ERRN, Approx im Modus, #0h zurückgibt, wenn Sie beispielsweise 0Y$@ERR0 @ERRN versuchen, erhalten Sie # 0h. Versuchen Sie hingegen 0Y$@ERR0 @ERRM einzugeben, erhalten Sie eine leere Zeichenkette “ “.
IF Abfangbedingung THEN Fehlerbedingung END IF Abfangbedingung THEN Fehlerbedingung ELSE Normalbedingung END Die Arbeitsweise dieser logischen Anweisungen entspricht denen, die Sie bei IF … THEN … END und IF … THEN … ELSE … END bereits kennen gelernt haben. Wird während der Ausführung der Abfangbedingungen ein Fehler entdeckt, wird die Fehlerbedingung ausgeführt. In allen anderen Fällen werden die Normalbedingungen ausgeführt.
deren Namen angehängt, dargestellt. Die Funktion RPL> ist hier keine Ausnahme. Bevor Sie aber ein Programm in den Display eingeben, müssen Sie diese Klammern entfernen. Zum Löschen der Klammern aus der RPL>() Anweisung verwenden Sie die Pfeiltasten (š™) sowie die Löschtaste (ƒ). An dieser Stelle können Sie das RPL-Programm eingeben. Nachfolgende Abbildung zeigt den RPL> Befehl zusammen mit dem Programm vor und nach Drücken der Taste `. Zum Speichern des Programms verwenden Sie den Befehl STO.
Verwenden Sie dagegen RPL, gibt es beim Laden des Programms im ALGModus keine Probleme: Seite 21-74
Kapitel 22 Programme zum Manipulieren von Grafiken Dieses Kapitel enthält einige Beispiele, mit denen die Funktionen des Taschenrechners für interaktive bzw. programmgesteuerte Manipulierung von Grafiken erläutert werden. Wie in Kapitel 21, empfiehlt sich auch hier die Verwendung des RPN-Modus, sowie das Setzen des Systemflags 117 auf SOFT-Menüeinträge. « » In Kapitel 12 wurden mehrere Grafikanwendungen des Taschenrechners vorgeführt.
Falls keine benutzerdefinierten Tasten gespeichert sind, wird eine Liste mit einem S zurückgegeben (z.B. {S}). Dies bedeutet, dass auf Ihrem Taschenrechner nur die standardmäßige Tastendefinition gespeichert ist. Um eine Taste als benutzerdefinierte Taste anzugeben, müssen Sie zu dieser Liste eine Anweisung bzw. ein Programm, gefolgt von der Angabe der Taste hinzufügen (mehr dazu finden Sie in Kapitel 20). Geben Sie die nachfolgende Liste { 8 << 81.01 MENU >> 13.
Die Funktionstasten 3D, STAT, FLAG, PTYPE und PPAR haben auch eigene Untermenüs, die zu einem späteren Zeitpunkt ausführlicher beschrieben werden. An dieser Stelle werden nur die Funktionen beschrieben, die im Menü Nummer 81.02 direkt mit den Funktionstasten aufgerufen werden können. Diese Funktionen lauten: LABEL (10) Mit der Funktion LABEL werden die Achsen eines Plots beschriftet, einschließlich der Variablennamen bzw. der unterer Grenzwerte und oberer Grenzwerte der Achsen.
• • • • • PARAMETRIC : Führt zu einem ähnlichen Ergebnis wie POLAR, bezogen auf die Werte des Parameters, der die Gleichungen für x und y definiert. TRUTH : Hat keine Wirkung. BAR : Der Bereich der x-Achse wird zwischen 0 und n+1 gesetzt, wobei n die Anzahl der Elemente aus ΣDAT ist. Der Wertebereich von y hängt vom Inhalt von ΣDAT ab. Die unteren Grenzwerte und oberen Grenzwerten von y werden so bestimmt, dass die x-Achse immer in der Grafik eingeschlossen ist. HISTOGRAM : Ähnlich wie BAR.
DRAW (6) Die Funktion DRAW zeichnet den Plot, der in PPAR definiert wurde. Das Menü PTYPE unter PLOT (1) Das Menü PTYPE listet die Namen aller zweidimensionalen, im Taschenrechner vorprogrammierten Plottypen auf. Das Menü enthält die folgenden Funktionstasten: Diese Tasten entsprechen den Plottypen Function, Conic, Polar, Parametric, Truth und Diff Eq, die weiter oben beschrieben wurden.
INFO (n) und PPAR (m) Wenn Sie @INFO drücken oder ‚ @PPAR eingeben, während Sie sich in diesem Menü befinden, erscheint eine Liste mit den aktuellen PPAREinstellungen. Beispiel: Diese Informationen haben die folgende Bedeutung: X ist eine unabhängige Variable (Indep), Y ist die abhängige Variable (Depnd), der Bereich der xAchse liegt zwischen –6,5 und 6,5 (Xrng), der Bereich der y-Achse liegt zwischen -3,1 und 3,2 (Yrng).
• • • Name einer Variablen und ein Bereich aus einer Liste, z.B. { Vel 0 20 } Ein Bereich ohne einen Variablen-Namen, z.B. { 0 20 } Zwei Werte, die einen Bereich darstellen, z.B. 0 20 In einem Programm steht nach all diesen Angaben der Befehl INDEP. DEPND (b) Der Befehl DEPND gibt den Namen der abhängigen Variablen an. Bei TRUTH-Plots spezifiziert er außerdem den Plotbereich. Der Standardwert ist Y. Die Angaben für die Variable DEPND sind identisch mit denen für die Variable INDEP.
Der Befehl SCALE bestimmt den Maßstab des Plots, der als Anzahl von Benutzereinheiten pro Tick-Zeichen angegeben wird. Der Standardwert beträgt 1 Benutzereinheit pro Tick-Zeichen. Der Befehl SCALE benötigt zwei Zahlen als Argumente, xscale und yscale für die neuen horizontalen und vertikalen Maßstäbe. Dieser Befehl bewirkt, dass die Parameter (xmin, ymin) und (xmax, ymax) in PPAR an den gewünschten Maßstab angepasst werden. Die Mitte des Plots bleibt erhalten.
Eine Liste mit zwei binären Integer-Zahlen { #n #m }: setzt die Tick-Vermerke für beide Achsen (x und y) auf #n bzw. #m Pixel. AXES (k) Der Eingabewert für den Befehl AXES besteht entweder aus einem geordneten Paar (x,y) oder aus einer Liste {(x,y) atick "Beschriftung x-Achse" "Beschriftung y-Achse"}. Der Parameter atick wird für die Angabe der Tick-Vermerke verwendet, wie bereits beim Befehl ATICKbeschrieben wurde. Das geordnete Paar ist die Mitte des Plots.
Das Menü PTYPE unter 3D (IV) Das Menü PTYPE unter 3D enthält die folgenden Funktionen: Diese Funktionen entsprechen den Grafikoptionen Slopefield, Wireframe, YSlice, Ps-Contour, Gridmap und Pr-Surface, die bereits in diesem Kapitel beschrieben wurden. Wird eine dieser Funktionstasten während der Eingabe eines Programms gedrückt, wird an dieser Stelle im Programm der entsprechende Funktionsaufruf eingefügt. Drücken Sie L )@)@3D@@, um zum Hauptmenü 3D zurückzukehren.
Drücken Sie L und @INFO (Y), um die Informationen zu erhalten, die in der oberen Abbildung auf der rechte Seite dargestellt sind. Dieses sind die Werte für die Position des Blickwinkels für die dreidimensionale Grafik (Xeye, Yeye, Zeye), sowie die Anzahl der Schritte in x und y, die für die Erstellung eines Rasters zur Darstellung der Oberfläche erforderlich sind. XVOL (N), YVOL (O) und ZVOL (P) Diese Funktion benötigt die Eingabe des unteren bzw.
Die Parameter auf dem Bildschirm werden auf ihre Standardwerte zurückgesetzt. Drücken Sie L )@)@3D@@ , um zum Menü 3D zurückzukehren. Drücken Sie @)PLOT, um zum Menü PLOT zurückzukehren. Das Menü STAT unter PLOT Das Menü STAT ermöglicht den Zugang zu Plots, die für statistische Analysen verwendet werden. Hier stehen die folgenden Untermenüs zu Verfügung: Die folgende Abbildung zeigt die Struktur des Menüs STAT aus dem Menü PLOT.
Das Menü PTYPE unter STAT (I) Das Menü PTYPE enthält die folgenden Funktionen: Diese Tasten entsprechen den Plottypen Bar (A), Histogram (B) und Scatter(C), die bereits beschrieben wurden. Wird eine dieser Funktionstasten während der Eingabe eines Programms gedrückt, wird an dieser Stelle im Programm der entsprechende Funktionsaufruf eingefügt. Drücken Sie @)STAT, um zum Menü STAT zurückzukehren.
Das Menü ΣPAR unter STAT (III) Das Menü ΣPAR enthält die folgenden Funktionen: INFO (M) und ΣPAR (K) Die Taste INFO in ΣPAR enthält die oben abgebildeten Informationen. Diese Informationen sind in der Variablen ΣPAR zu finden. Die angezeigten Werte sind die Standardwerte für Spalte x, Spalte y, den Achsenabschnitt und den Richtungskoeffizienten des Daten-Angleichungsmodells, sowie der Modelltyp, der an die Daten in ΣDAT angeglichen werden muss.
Diese Funktionen entsprechen der linearen, logarithmischen, Exponential-, Potenz- oder der besten Angleichung. Mehr zur Datenangleichung finden Sie weiter unten in diesem Kapitel. Drücken Sie )£@PAR, um zum Menü ΣPAR zurückzukehren. ΣPAR (K) ΣPAR ist lediglich eine Referenz zur Variablen ΣPAR für interaktive Aktionen. RESET (L) Diese Funktion setzt die Inhalte von ΣPAR auf ihre Standardwerte zurück. Drücken Sie L @)STAT, um zum Menü STAT zurückzukehren.
Als Nächstes wird das allgemeine Format von Variablen, die für die Erzeugung von verschiedenen Plottypen erforderlich sind, beschrieben.
• • • • Dimensionen des Betrachtungsparallelepipeds (xleft, xright, ynear, yfar, zlow, zhigh) Bereich der unabhängigen Variablen x und y (xmin, xmax, ymin, ymax) Position des Betrachtungspunktes (xeye, yeye, zeye) Anzahl der Schritte in die Richtungen x und y (xstep, ystep) Dreidimensionale Grafiken benötigen auch die Variable PPAR mit den oben angegebenen Parametern.
~„s`@DEPND 1 \# 10 @XRNG 1 \# 5 @YRNG L { (0,0) {.4 .
@AXES L @)PLOT @ERASE @DRAX L @LABEL L @DRAW @)EDIT L@MENU LL@)PICT @CANCL Definieren der Achsenmitte, Ticks, Beschriftungen Rückkehr zum Menü PLOT Löschen des Bildes, Zeichnen der Achsen und Beschriftungen Zeichnen der Funktion und Anzeigen des Bildes Plot beenden Beispiel 3 – Polarplot: „ÌC @)PTYPE @POLAR ‘1+SIN(θ)’ `„ @@EQ@@ @)PPAR { θ 0 6,29} ` @INDEP ~y` @DEPND 3 \# 3 @XRNG 0,5 \# 2,5 @YRNG L { (0,0) {.5 .
1 – PTYPE auswählen 2 – Die zu plottende Funktion in der Variablen EQ speichern (dabei auf das richtige Format achten, z.B.
PICTURE » des Plots, der Achsen und der Beschriftungen Grafikbildschirm wieder in den Stack laden Speichern Sie das Programm in der Variable PLOT1. Um das Programm auszuführen, drücken Sie J, falls erforderlich, und anschließend drücken Sie @PLOT1. Beispiel 2 – Parametrischer Plot: Geben Sie das folgende Programm ein: « Starten des Programms RAD {PPAR EQ} PURGE Auf Radianten wechseln, Löschen der Werte der Variablen ‘SIN(t)+i*SIN(2*t)’ STEQ Speichern von ‘X(t)+iY(t)’ in EQ { t 0. 6.
‘1+SIN(θ)’ STEQ { θ 0. 6.29} INDEP ‘Y’ DEPND POLAR { (0.,0.) {.5 .5} “x” “y”} AXES –3. 3. XRNG –.5 2.
Offensichtlich führen die Befehle LINE, TLINE und BOX die gleichen Operationen aus, wie die deren interaktiven Gegenstücke, vorausgesetzt die entsprechenden Eingaben werden getätigt. Diese, sowie die anderen Funktionen im Menü PICT beziehen sich auf das Grafikfenster, in dem die Bereiche von x und y in der Variable PPAR bestimmt werden, wie dies bereits weiter oben für unterschiedliche Typen von Grafiken demonstriert wurde. Nachstehend werden die Funktionen des Befehls PICT beschrieben.
und her bewegt werden kann, wie in der nachstehenden Abbildung zu sehen ist. LINE Dieser Befehl benötigt als Eingabe zwei geordnete Paare (x1,y1) (x2, y2) oder zwei Paare von Pixelkoordinaten {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Der Befehl zeichnet eine Linie zwischen den angegebenen Koordinaten. TLINE Dieser Befehl (Toggle LINE – umgekehrte Linie) benötigt als Eingabe zwei geordnete Paare (x1,y1) (x2, y2) oder zwei Paare von Pixelkoordinaten {#n1 #m1} {#n2 #m2}.
BOX Dieser Befehl benötigt als Eingabe zwei geordnete Paare (x1,y1) (x2, y2) oder zwei Paare von Pixelkoordinaten {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Der Befehl zeichnet ein Kästchen, bei dem die Diagonalen von den zwei eingegebenen Koordinatenpaaren bestimmt werden. ARC Dieser Befehl wird zum Zeichnen eines Bogens verwendet. ARC benötigt nachfolgende Objekte als Eingabe: • • • Koordinaten der Bogenmitte als (x,y) in benutzerdefinierten Koordinaten oder {#n, #m} in Pixel.
PIX?, PIXON und PIXOFF Diese Funktionen benötigen als Eingabe die Koordinaten des Punktes in Benutzereinheiten (x,y) oder in Pixel {#n, #m}. • • • PIX? überprüft, ob an der Position (x,y) bzw. {#n, #m} der Pixel an ist. PIXOFF schaltet den Pixel an der Position (x,y) bzw. {#n, #m} aus. PIXON schaltet den Pixel an der Position (x,y) bzw. {#n, #m} ein.
« DEG 0. 100. XRNG 0. 50. YRNG ERASE (5., 2.5) (95., 47,5) BOX (50., 50.) 10. 0. 360. ARC (50., 50.) 12. –180. 180. ARC 1 8 FOR j (50., 50.
Dieses Programm, das auf der mitgelieferten Diskette bzw. CD-ROM zu finden ist, verwendet vier Unterprogramme: FRAME, DXBED, GTIFS und INTRP. Das Hauptprogramm, XSECT genannt, benötigt als Eingabe eine Matrix mit den Werten von x und y, sowie die Höhe der Wasseroberfläche Y (siehe Abbildung), in dieser Reihenfolge. Das Programm erzeugt eine Grafik des Querschnitts, wobei die Eingabedaten auf der Grafik als Punkte dargestellt werden. Außerdem wird die freie Oberfläche des Querschnitts angezeigt.
Taschenrechner zeigt eine Entwurfszeichnung des Querschnitts mit der entsprechenden Wasseroberfläche an. Drücken Sie $, um die Grafikanzeige zu beenden. Versuchen Sie folgende Beispiele: @XYD1! @XYD1! @XYD1! @XYD1! 2 3 4 6 @XSECT @XSECT @XSECT @XSECT Bei der Ausführung des Programms XSECT müssen Sie ein wenig Geduld haben. Aufgrund der hohen Anzahl von Grafikfunktionen, ohne die numerische Iterationen mitzuzählen, kann es eine Weile dauern, bis die Grafik erzeugt wird (etwa 1 Minute).
« STOΣ MINΣ MAXΣ 2 COL DUP COL DROP – AXL ABS AXL 20 / DUP NEG SWAP 2 COL + ROW DROP SWAP yR xR « 131 DUP R B SWAP yR OBJ DROP – xR OBJ DROP - / * FLOOR R B PDIM yR OBJ DROP YRNG xR OBJ DROP XRNG ERASE » » Dieses Programm beschränkt die Breite der Variablen PICT auf 131 Pixel – die minimale Pixelgröße der horizontalen Achse – und passt die Anzahl der Pixel der vertikalen Achse so an, dass der 1:1 Maßstab zwischen der vertikalen und der horizontalen Achse erhalten bleibt.
• „ô gleichzeitig drücken. Wählen Sie Y-Slice für TYPE. ‘2.5*SIN(X-Y)’ für EQ. ‘X’ für INDEP. Drücken Sie L@@@OK@@@. • „ò gleichzeitig drücken (im RPN-Modus). Verwenden Sie die folgenden Werte: • Drücken Sie @ERASE @DRAW. Geben Sie dem Taschenrechner ein wenig Zeit, damit er alle erforderlichen Grafiken erzeugen kann. Wenn die Operation abgeschlossen ist, wird auf dem Bildschirm eine sinusförmige Wanderwelle angezeigt.
RAD 131 R B 64 R B PDIM 0 100 XRNG 0 100 YRNG 1 11 FOR j ERASE (50., 50.) ‘5*(j-1)’ NUM 0 ‘2*π’ NUM ARC PICT RCL NEXT 11 ANIMATE » Setzen der Winkeleinheit auf Radianten PICT auf 131x64 Pixel setzen x- und y-Bereiche auf 0-100 setzen Schleife bei j = 1 ..
Nehmen wir an, dass Sie die Zahlen, die diese Animation bilden, in einer Variablen speichern wollen. Sie können eine Liste, sagen wir WLIST, mit diesen Zahlen zusammenstellen, wenn Sie wie folgt vorgehen: 11 „°@)TYPE@ @ LIST ³ ~~wlist~ K Drücken Sie J, um die Liste mit den Variablen wiederherzustellen. Die Variable @WLIST sollte jetzt in der Auflistung der Funktionstasten erscheinen.
Beispiel 2 - Animation von Potenzfunktionen Nehmen wir an, Sie wollen den Plot der Funktionen f(x) = xn, n = 0, 1, 2, 3, 4 im selben Achsensystem animieren.
n stellt die Anzahl der Grafiken dar, {#X #Y} steht für die Pixelkoordinaten der rechten unteren Ecke der zu plottenden Fläche (siehe Abbildung unten), delay sind die Sekunden zwischen den Darstellungen von aufeinander folgenden Grafiken der Animation und rep ist die Anzahl der Wiederholungen der Animation. Grafikobjekte (GROBs) Das Wort GROB kommt von GRaphics OBjects (Grafikobjekte) und es entspricht der Pixel-für-Pixel-Beschreibung eines Bildes auf dem Display.
3`„°L@)GROB @ GROB . Nun erscheinen die folgenden Informationen auf Ebene 1: Der erste Teil der Beschreibung ähnelt dem, was wir ursprünglich hatten, und zwar Graphic 131×64, aber diesmal wird es als Graphic 13128 × 8 dargestellt. Die Grafikanzeige jedoch wird hier von einer Reihe von Nullen und Einsen ersetzt, welche die Pixel des Originalgraphen darstellen. Somit wurde der Originalgraph in seine entsprechende Bit-Darstellung konvertiert. Auch Gleichungen können in GROBs konvertiert werden.
Das Menü GROB Das Menü GROB kann mit „°L@)GROB @ GROB aufgerufen werden und enthält die folgenden Funktionen. Um zum nächsten Menü zu gelangen, drücken Sie L. GROB Von diesen Funktionen haben wir bereits: SUB, REPL (aus dem Grafikmenü EDIT), ANIMATE [ANIMA] und GROB verwendet. ([ PRG ] ist nur eine Möglichkeit, zum Programmmiermenü zurückzukehren.
GXOR Die Funktion GXOR (Graphics XOR ) hat die gleiche Funktion wie GOR, in diesem Fall wird der endgültige Zustand der Pixel jedoch im überlappenden Bereich zwischen den Objekten grob1 und grob2 mit XOR ermittelt. Hinweis: Wird in GOR oder GXOR grob2 durch PICT ersetzt, erfolgt keine Ausgabe. Um die Ausgabe anzusehen, müssen Sie PICT mit PICT RCL oder PICTURE wieder in den Stack laden. LCD Nimmt das angegebene GROB und zeigt es auf dem Bildschirm beginnend in der linken oberen Ecke.
ERASE DRAX LABEL DRAW (-6,28;-2.) (6,28;2.) BOX PICT RCL “SINE FUNCTION” 1 GROB (-6.
Winkel von φ gedreht wird. In diesem Fall sind die normalen Spannungen σ’xx und σ’yy und die Schubspannungen τ’xy und τ’yx. Das Verhältnis zwischen dem ursprünglichen Spannungszustand (σxx, σyy, τxy, τyx) und dem Spannungszustand nachdem die Achsen von f (σ’xx, σ’yy, τ’xy, τ’yx) gegen den Uhrzeigersinn gedreht wurden, kann mit der unten gezeigten Abbildung grafisch dargestellt werden.
einen Winkel von 2φ im Uhrzeigersinn in Bezug auf AB gedreht ist. Die Koordinaten von Punkt A’ ergeben die Werte (σ’xx,τ’xy), während die von Punkt B’ (σ’yy,τ’xy) ergeben. Der Spannungszustand bei dem die Schubspannung τ’xy gleich Null ist, zu sehen im Segment D’E’, erzeugt die sogenannten Hauptspannungen, σPxx (in Punkt D’) und σPyy (in Punkt E’).
Modulare Programmierung Um das Programm, welches zum Plotten des Mohr’schen Kreises in einem gegebenen Spannungszustand verwendet wird, zu entwickeln, verwenden wir die modulare Programmierung. Im Prinzip ist dies nichts Anderes als ein Zerlegen des Programms in mehrere Unterprogramme, welche im Taschenrechner als separate Variablen angelegt werden. Diese Unterprogramme werden dann von einem Hauptprogramm zusammengefasst, welches wir MOHRCIRCL benennen.
Ausführen des Programms Wenn Sie die Programme in der oben aufgeführten Reihenfolge eingegeben haben, müssen die folgenden Variablen: PTTL, σAXS, PLPNT, σLBL, PPTS, DDIAM im Unterverzeichnis MOHRC vorhanden sein. Drücken Sie L, werden zusätzlich die folgenden Variablen angezeigt: PCIRC, DAXES, ATN2, CC&r, INDAT, MOHRC. Vor Neuordnen der Variablen führen Sie das Programm durch Drücken der Funktionstaste @MOHRC erst einmal aus.
Drücken Sie die rechte Pfeiltaste (™), um den Wert von φ zu erhöhen und den entsprechenden Wert von (σ’xx, τ’xy) anzuzeigen. Beispielsweise haben wir für φ = 45o die Werte (σ’xx, τ’xy) = (1,00E2; 2,50E1) = (100, 25). Der Wert von σ’yy befindet sich bei einem Winkel von 90o davor, d.h. bei φ = 45 + 90 = 135o. Drücken Sie die rechte Pfeiltaste ™, bis dieser Wert von φ erreicht wird, und Sie erhalten das folgende Ergebnis: (σ’yy, τ’xy) = (-1,00E10;-2,5E1) = (0, 25).
Programm MOHRCIRC Markieren der Winkel für Hauptspannungen Markierten Winkel in Stack-Ebene 3 verschieben R C DUP Konvertieren von σc und r in (σc, r), anschließend duplizieren C R + “σPx” TAG Hauptspannung σPx berechnen, dann markieren SWAP C R - “σPy” TAG Spannung σPy austauschen, berechnen, dann markieren.
Nach Ausführen des Funktionsaufrufs ORDER drücken Sie J. Sie werden feststellen, dass nun die Programme MOHRCIRCL und PRNST, wie erwartet, die ersten zwei Variablen im Menü darstellen. Ein zweites Beispiel zum Berechnen des Mohr’schen Kreises Ermitteln Sie die Hauptspannung für den Spannungszustand, der durch σxx = 12.5 kPa, σyy = -6,25 kPa und τxy = - 5,0 kPa definiert ist. Zeichnen Sie den Mohr’schen Kreis und ermitteln Sie aus der Figur die Werte von σ’xx, σ’yy und τ’xy bei einem Winkel von φ = 35o.
Beim Ermitteln der Spannungswerte, die einer Drehung von 35o des Winkels der gespannten Partikel entsprechen, gehen Sie wie folgt vor: $š @TRACE @(x,y)@. Bildschirm löschen, PICT auf dem Grafikbildschirm anzeigen Den Cursor über den Kreis bewegen, wo φ und (x,y) angezeigt werden. Drücken Sie zunächst die rechte Pfeiltaste ™ bis Sie φ = 35 erreichen. Die entsprechenden Koordinaten sind (1,63E0; -1,05E1), d.h. bei φ = 35o, σ’xx = 1,63 kPa und σ’yy = -10,5kPa.
Drücken Sie @@@OK@@@, um den Lauf des Programms fortzusetzen: Das Ergebnis ist die folgende Figur: Da das Programm INDAT auch für das Programm @PRNST (PRiNcipal STresses) verwendet wird, wird beim Ausführen dieses Programms auch eine Eingabemaske verwendet, wie z.B.
Kapitel 23 Zeichenketten Zeichenketten sind zwischen Anführungszeichen eingeschlossene Objekte des Taschenrechners. Der Taschenrechner behandelt diese als Texte. So kann beispielsweise die Zeichenkette “SINE FUNCTION” in ein GROB (Grafikobjekt) zum Benennen einer Grafik umgewandelt werden, oder als Ausgabe eines Programms verwendet werden. Jede Folge von Zeichen, die ein Anwender als Eingabe für ein Programm eintippt, wird als Zeichenkette behandelt.
NUM : Gibt den Code für erste Zeichen in einem String zurück Nachfolgend einige Anwendungsbeispiele dieser Funktionen. Verknüpfen von Zeichenketten Strings können mit Hilfe des + Zeichens verknüpft (zusammen geführt) werden, beispielsweise: Die Verknüpfung von Strings ist ein praktischer Weg, Ausgaben eines Programms zu erzeugen. Verknüpfen Sie beispielsweise "YOU ARE " AGE + " YEAR OLD", wird, wenn in der Variablen AGE 25 gespeichert ist, als "YOU ARE 25 YEAR OLD" ausgegeben.
Im Menü CHARS stehen folgende Funktionen zur Verfügung: Die Operationen NUM, CHR, OBJ und STR wurden bereits vorgestellt. Außerdem haben wir die Funktionen SUB und REPL in Bezug auf Grafiken kennengelernt.
Die Zeichenliste Alle Zeichen, die auf dem Taschenrechner zur Verfügung stehen, können über die Tastenfolge ‚± erreicht werden. Wenn Sie ein Zeichen hervorheben, beispielsweise das Zeichen Line Feed , sehen Sie unten links auf der Anzeige die Tastenfolge, die dieses Zeichen aufruft (in diesem Fall .) und den numerischen Code des Zeichens (in diesem Fall 10).
Drücken Sie @ECHO1@, wird nur ein Zeichen in den Stack übertragen und der Taschenrechner kehrt sofort in die Normalanzeige zurück. Verwenden Sie hingegen @ECHO@ zum Übertragen mehrerer Zeichen in den Stack. Drücken Sie $, um zur Normalanzeige zurückzukehren. Näheres zur Verwendung von Sonderzeichen finden Sie in Anhang D. Tastenkombinationen, mit denen Sie Sonderzeichen erstellen können, finden Sie in Anhang G.
Kapitel 24 Objekte des Taschenrechners und Flags Zahlen, Listen, Vektoren, Matrizen, Formeln usw. werden als Objekte des Taschenrechners bezeichnet. Diese werden in 30 verschiedene Typen unterteilt. Eine nähere Beschreibung finden Sie weiter unten in diesem Kapitel. Flags sind Variablen, die zum Steuern von Eigenschaften des Taschenrechners verwendet werden können. Flags wurden bereits in Kapitel 2 näher erläutert.
Nummer Typ Beispiel ____________________________________________________________________ 21 Erweiterte reelle Zahl Long Real 22 Erweiterte komplexe Zahl Long Complex 23 Verknüpftes Array Linked Array 24 Zeichen-Objekt Character 25 Code-Objekt Code 26 Bibliotheks-Daten Library Data 27 Externes Objekt External 28 Integer-Zahl 3423142 29 Externes Objekt External 30 Externes Objekt External ____________________________________________________________________ Funktion TYPE Mit dieser Funktion wird der Typ eines
Taschenrechner-Flags Ein Flag ist eine Variable, die entweder gesetzt oder nicht gesetzt ist. Der Status des Flags beeinflusst das Verhalten des Taschenrechners bei einem Systemflag, einem Programmflag oder einem Anwenderflag. Eine Beschreibung der einzelnen Typen finden Sie nachfolgend. Systemflags Auf Systemflags kann über H @)FLAGS! zugegriffen werden. Drücken Sie die Nach-Unten-Pfeiltaste, um die Flags mit ihrer Nummer und einer Kurzbeschreibung anzuzeigen.
Funktionen zum Setzen und Ändern von Flags Diese Funktionen können zum Setzen oder Löschen von Anwender- oder Systemflags oder zum Überprüfen des Status derselben verwendet werden. Der Zugriff auf Systemflags erfolgt mit diesen Funktionen über negative Integer-Zahlen. So wird auf das Systemflag 117 über -117 zugegriffen. Für Anwenderflags werden hierzu positive Integer-Zahlen verwendet. Es ist wichtig, dass Anwenderflags nur in der Programmierung, zur Steuerung des Programmflusses, verwendet werden.
FS?C FC?C STOF RCLF RESET Testet Flag wie FS und löscht es dann Testet Flag wie FC und löscht es dann Speichert neue Systemflag-Einstellungen Lädt die bestehenden Flag-Einstellungen Setzt die gegenwärtigen Feldwerte zurück (kann zum Zurücksetzen eines Flag verwendet werden) Anwenderflags Für die Programmierung stehen dem Anwender die Flags von 1 bis 256 zur Verfügung. Diese beeinflussen die Funktion des Taschenrechners nicht.
Kapitel 25 Datum- und Zeit-Funktionen In diesem Kapitel stellen wir einige Funktionen und Berechnungen mit Zeiten und Daten vor. Das Menü TIME Das Menü TIME wird über die Tastenfolge ‚Ó (die Taste 9) aufgerufen und bietet die nachfolgend beschriebenen Funktionen: Alarm einrichten Die Option 2. Set alarm.. bietet eine Eingabemaske zum Einrichten eines Alarms durch den Anwender.
Alarme suchen Mit der Option 1. Browse alarms... aus dem Menü TIME können Sie durch Ihre gegenwärtigen Alarme blättern. Haben Sie beispielsweise den obigen Alarm eingegeben, zeigt Ihnen die Option die nachfolgende Anzeige: Diese Anzeige enthält vier Funktionstasten: EDIT : Editieren des Alarms über die Eingabemaske NEW : Eingeben eines neuen Alarms PURG : Löschen eines Alarms OK : Rückkehr zur Normalanzeige Datum und Uhrzeit einstellen Die Option 3. Set time, date..
Die Funktionensweise dieser Funktionen werden nachfolgend erläutert: DATE DATE TIME TIME : : : : TICKS : ALRM.. : DATE+ : DDAYS(x,y) : HMS : HMS : HMS+ HMSTSTR(time, date) CLKADJ(x) : : : : Stellt das gegenwärtige Datum in den Stack Stellt das Systemdatum auf den eingegebenen Wert Stellt die momentane Zeit im Format HH.MMSS in den Stack. Stellt die momentane Zeit im Format HH.MMSS auf den eingegebenen Wert ein.
Die Funktionen DATE, TIME, CLKADJ werden zur Einstellung der Zeit und des Datums verwendet. Für diese Funktionen werden keine Beispiele angeführt. Nachfolgend finden Sie Beispiele für die Funktionen DATE, TIME und TSTR: Berechnungen mit Daten Zur Berechnung mit Daten verwenden Sie die Funktionen DATE+ und DDAYS.
Alarm-Funktionen In dem Menü TIME/Tools.../ALARM...
Kapitel 26 Speicherverwaltung In Kapitel 2 des Benutzerhandbuchs wurden Sie mit dem Erstellen und Verwalten von Variablen und Verzeichnissen vertraut gemacht. In diesem Kapitel werden wir die Speicherverwaltung des Taschenrechners hinsichtlich Speicherpartitionen und die Technik der Datensicherung erörtern. Speicheraufbau Der Taschenrechner besitzt insgesamt 80 KB für den Betrieb des Taschenrechners und die Speicherung von Daten (Benutzerspeicher).
Das HOME-Verzeichnis Wenn Sie den Taschenrechner verwenden, erstellen Sie Variablen zum Speichern von Zwischenund Endergebnissen. Einige Taschenrechnerfunktionen, wie Grafik und Statistik, erzeugen ihre eigenen Variablen zum Speichern von Daten. Diese Variablen werden dann im HOME-Verzeichnis oder einem der Unterverzeichnisse abgelegt. Einzelheiten zum Manipulieren von Variablen und Verzeichnissen können Sie in Kapitel 2 des Benutzerhandbuches nachlesen.
Ist eine Bibliothek aktiv, wird sie hier angezeigt. Dieser Speicheranschluss wird Durch Drücken der Softmenütasten für Anschluss 0 geöffnet. Zusätzliche Informationen zu Bibliotheken finden Sie weiter unten. Sicherungs-Objekte Sicherungs-Objekte dienen dazu, Daten von Ihrem HOME-Verzeichnis in einen Speicher-Port zu kopieren. Zweck dieser Speicherung ist, den Inhalt dieser Objekte für zukünftige Verwendung zu sichern.
So können Sie beispielsweise den Dateimanager („¡) zum Kopieren und Löschen von Sicherungss-Objekten verwenden, genauso wie Sie diesen für normale Taschenrechner-Objekte einsetzen würden. Wie nachfolgend beschrieben gibt es zusätzlich spezielle Befehle zum Manipulieren von Sicherungs-Objekten. HOME sichern und neu laden Sie können den gesamten Inhalt des HOME-Verzeichnisses in einem einzigen Sicherungs-Objekt speichern.
Um das momentane home-verzeichnis im algebraischen Modus wiederherzustellen, geben Sie folgenden Befehl ein: RESTORE(: Port_Number : Backup_Name) Um das HOME-Verzeichnis aus Ihrem Sicherungs-Objekt HOME 1 wiederherzustellen, geben Sie ein: RESTORE(:0:HOME1) Im RPN-Modus geben Sie ein: : Port_Number : Backup_Name ` RESTORE Hinweis: Wenn Sie ein HOME-Verzeichnis wiederherstellen, passieren zwei Dinge: • Das gesicherte Verzeichnis überschreibt das momentane HOMEVerzeichnis.
• Um eine Sicherung Ihres HOME-Verzeichnisses zu erstellen, verwenden Sie den Befehl ARCHIVE (siehe oben). Um ein Sicherungs-Objekt in einem Port zu löschen: • Verwenden Sie den Dateimanager („¡) zum Löschen eines Objekts, genau so wie Sie es vom Löschen einer Variablen im HOME-Verzeichnis kennen (siehe Kapitel 2 des Bedienerhandbuches).
• Im RPN-Modus: Um ein Sicherungs-Objekt auszuwerten, geben Sie ein: Argument(s) ` : Port_Number : Backup_Name EVAL Um ein Sicherungs-Objekt auszuwerten, geben Sie ein: : Port_Number : Backup_Name ` RCL Verwenden von Bibliotheken Bibliotheken sind vom Anwender erstellte Programme in binärer Sprache, die in den Taschenrechner geladen werden können und aus einem Unterverzeichnis des HOME-Verzeichnisses aufgerufen werden.
von der Funktion, die diese Bibliotheken erstellt hat, zugeordnet und beim Löschen einer Bibliothek verwendet. Bibliothek löschen Um eine Bibliothek in einem Port zu löschen, geben Sie folgendes ein: • • Im algebraischen Modus: Im RPN-Modus: PURGE(:port_number: lib_number) port_number : lib_number PURGE lib_number ist die oben beschriebene Bibliotheksnummer.
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Anhang A Benutzen von Eingabeformularen Dieses Beispiel, bei dem Zeit und Datum gesetzt werden, veranschaulicht die Verwendung von Eingabeformularen im Taschenrechner. Einige Grundregeln: • Benutzen sie die Pfeiltasten (š™˜—), um von einem Feld des Eingabeformulars zum nächsten zu springen. • Drücken Sie eine beliebige der @CHOOS Funktionstasten, um die zur Verfügung stehenden Optionen für ein gegebenes Feld des Eingabeformulars zu sehen.
Um mit der finanzmathematischen Berechnung zu beginnen, wählen Sie mit der Pfeiltaste (˜) die Position 5 Solve finance aus. Drücken Sie die @@OK@@Taste, um die Anwendung zu starten. Es erscheint ein Eingabeformular mit Eingabefelder für eine bestimmte Anzahl von Variablen (n, I%YR, PV, PMT, FV).
@SOLVE Zum Lösen des hervorgehobenen Feldes Durch Drücken von L werden die folgenden Beschriftungen auf den Funktionstasten angezeigt: !RESET !CALC !TYPES !CANCL @@OK@@ Zurücksetzen aller Felder auf Standardwerte Zugriff auf den Stack für Berechnungen Bestimmung des Objekttyps des hervorgehobenen Feldes Operation abbrechen Eingabe annehmen Wenn Sie die Taste !RESET drücken, werden Sie aufgefordert, zwischen folgenden beiden Optionen zu wählen: Wenn Sie Reset value (Wert zurücksetzen) auswählen, wird l
Nun haben Sie Zugriff auf den Stack, und es wird der letzte hervorgehobene Wert des Eingabeformulars angezeigt. Nehmen wir an, Sie möchten diesen Wert halbieren. Nachdem Sie 1136,22/2 eingegeben haben, erscheint folgende Anzeige im ALG-Modus: (Im RPN-Modus hätten wir 1136,22 ` 2 `/ eingeben müssen). Drücken Sie @@OK@@, um diesen neuen Wert einzugeben. Das Eingabeformular sieht nun etwa so aus: Drücken Sie !TYPES, damit der Datentyp im Feld PMT angezeigt wird (dies ist das hervorgehobene Feld).
Das obere Ergebnis ist der Wert, der im ersten Teil der Übung für PMT errechnet wurde. Der zweite Wert ist das Ergebnis der Berechnung, die wir durchgeführt haben, um den Wert von PMT neu zu definieren.
Anhang B Die Tastatur des Taschenrechners In der nachfolgenden Abbildung sehen Sie die Tastatur Ihres Taschenrechners mit durchnummerierten Zeilen und Spalten. Diese Abbildung zeigt 10 Reihen von Tasten, in Kombination mit 3, 5 oder 6 Spalten. Reihe 1 hat 6 Tasten, Reihe 2 und 3, jeweils 3, während Reihe 4 bis 10 jeweils 5 Tasten aufweisen. In der rechten oberen Ecke, in Höhe der Reihen 2 und 3, befinden sich 4 Pfeiltasten.
vier oder fünf verschiedene Funktionen zugeordnet. In der Abbildung unten werden die Hauptfunktionen der Tasten dargestellt. Um die Hauptfunktionen auszuführen, drücken Sie einfach die entsprechende Taste. Wir werden die Tasten je nach Reihe und Spalte in der diese sich gemäß der Abbildung oben befinden, beschreiben, d. h. Taste (10,1) ist die Taste ON (Einschalttaste).
mit diesen Tasten je nach aktivem Menü unterschiedliche Funktionen ausgeführt werden. Die Pfeiltasten —˜š™ werden zur Navigation in Richtung der gedrückten Pfeiltaste verwendet (d. h. nach oben, unten, links und rechts). Die Funktion APPS startet das Anwendungsmenü. Die Funktion MODE startet das Menü Modus. TOOL aktiviert ein Menü mit verschiedenen Werkzeugen zum Bearbeiten von Variablen und für die Hilfestellung. Die Funktion VAR zeigt die im aktiven Verzeichnis gespeicherten Variablen.
Die linke- „ bzw. die rechte … Shift-Taste wird in Kombination mit anderen Tasten zum Aktivieren von Menüs verwendet. Der Zahlenblock (Ziffern 0 bis 9) wird zur Eingabe der Ziffern des Dezimalzahlensystems verwendet. Es gibt einen Dezimalpunkt (.) und eine Leertaste (SPC). Die Taste ENTER wird zur Eingabe einer Zahl, eines Ausdrucks oder einer Funktion zum Anzeigen dieser im Stack verwendet. Die Taste ON dient zum Einschalten des Taschenrechners.
Beachten Sie, dass durch Farbe und Position der Beschriftungen auf der Taste, SYMB, MTH, CAT und P bestimmt wird, bei welcher Funktion es sich um die Hauptfunktion (SYMB) handelt und welche der drei weiteren Funktionen der jeweiligen Tastenkombination zugeordnet ist: linke Shift-Taste „(MTH), rechte Shift-Taste … (CAT ) und ~ (P).
verwendet, die Funktion WIN wird zum Einstellen der Parameter für das Plot-Fenster verwendet, GRAPH erzeugt einen Graphen, mit der Funktion 2D/3D wählen Sie den Typ des zu erzeugenden Graphen aus, TBLSET wird zum Einstellen der Parameter für eine Wertetabelle einer Funktion verwendet, mit TABLE können Sie eine Tabelle mit den Werten einer Funktion erstellen. FILE aktiviert den Datei-Browser des Taschenrechners.
Funktionen in Kombination mit der linken Shift-Taste „ CMD zeigt die letzten verwendeten Befehle. PRG aktiviert die Programmiermenüs. Das Menü MTRW startet den MatrixWriter. MTH aktiviert das Menü mit den mathematischen Funktionen. Die Taste DEL wird zum Löschen von Variablen verwendet. Die Taste ex berechnet die Exponentialfunktion von x. x2 berechnet das Quadrat von x (wird als Funktion SQ bezeichnet).
Die Funktion 10x berechnet den Antilogarithmus von x. Die Tasten ≠, ≤ und ≥ werden zum Vergleichen von reellen Zahlen verwendet. Die Funktion ABS berechnet den absoluten Wert einer reellen Zahl oder die Magnitude einer komplexen Zahl oder eines Vektors. Die Funktion USER aktiviert die anwenderdefinierte Menütastatur. Die Funktion S.SLV aktiviert das symbolische Löser-Menü.
Funktionen in Kombination mit der rechten Shift-Taste … Funktionen in Kombination mit der rechten Shift-Taste In der obigen Abbildung sehen Sie Funktionen, Zeichen und Menüs, die den Tasten des Taschenrechners zugeordnet sind, wenn die rechte Shift-Taste (…) aktiviert ist. Die Funktionen BEGIN, END, COPY, CUT und PASTE werden zum Bearbeiten verwendet. Die Taste UNDO wird zum Rückgängigmachen der letzten Operation im Taschenrechner verwendet. Die Funktion CHARS aktiviert das Menü für Sonderzeichen.
Die Funktion EQW dient zum Starten des EquationWriters. Die Funktion CAT wird zum Aufrufen des Katalogs verwendet. Die Funktion CLEAR löscht die Tastatur. Die Funktion LN berechnet den natürlichen Logarithmus. Die Funktion x y berechnet die x-te Wurzel von y. Die Funktion Σ (der große griechische Buchstabe Sigma) dient zum Berechnen von Summen. Die Funktion ∂ wird zum Berechnen der Ableitung verwendet.
ALPHA Zeichen Nachfolgende Abbildung zeigt die Zeichen, die den verschiedenen Taschenrechnertasten zugeordnet sind, wenn ALPHA ~ aktiviert ist. Beachten Sie, dass die Funktion ~ hauptsächlich zur Eingabe von Großbuchstaben des englischen Alphabets (von A bis Z) verwendet werden. Die Zahlen, mathematischen Symbole (-, +), Dezimalpunkt (.) und die Leertaste (SPC) entsprechen den Hauptfunktionen dieser Tasten. Die Funktion ~ erzeugt ein Sternchen (*), wenn diese mit dem Malzeichen kombiniert wird, d. h. ~*.
Zeichenkombinationen mit Alpha und der linken Shift-Taste Nachfolgende Abbildung zeigt die Zeichen, welche verschiedenen Taschenrechnertasten zugeordnet sind, wenn die Taste ALPHA ~ mit der linken Shift-Taste „ kombiniert wird. Beachten Sie, dass die ~„Kombination hauptsächlich zur Eingabe von Kleinbuchstaben des englischen Alphabets (von A bis Z) verwendet wird. Die Zahlen, mathematischen Symbole (-, +, ×), Dezimalpunkt (.) und die Leertaste (SPC) entsprechen den Hauptfunktionen dieser Tasten.
Zeichenkombinationen mit Alpha und der rechten Shift-Taste Nachfolgende Abbildung zeigt die Zeichen, welche verschiedenen Taschenrechnertasten zugeordnet sind, wenn ALPHA ~ mit der rechten Shift-Taste … kombiniert wird. "' Funktionen von Alpha ~… in Kombination mit der rechten Shift-Taste Beachten Sie, dass die Kombination ~… hauptsächlich zur Eingabe von Sonderzeichen in den Stack verwendet wird.
Sonderzeichen, die Sie mit der Kombination ~… eingeben können, sind griechische Buchstaben (α, β, ∆, δ, ε, ρ, µ, λ, σ, θ, τ, ω, und Π). Weitere Sonderzeichen, die Sie mit der Kombination ~… eingeben können, sind |, ‘, ^, =, <, >, /, “, \, __, ~, !, ?, <<>> und @.
Anhang C CAS-Einstellungen CAS steht für Computer-Algebra-System. Dies ist das mathematische Herzstück des Taschenrechners, in dem die symbolischen mathematischen Operationen und Funktionen programmiert sind. Das CAS-Modul bietet eine Reihe von Einstellungen, die nach Typ oder Operationsart eingestellt werden können. Um die möglichen CAS-Einstellungen anzusehen, gehen Sie wie folgt vor: • Drücken Sie die Schaltfläche H zum Starten der Eingabemaske CALCULATOR MODES.
Drücken Sie die Taste L, erhalten Sie eine Anzeige der noch verbleibenden Optionen in der Eingabemaske CALCULATOR MODES: @RESET !!CANCL @@@OK@@@@ Der Anwender kann eine hervorgehobene Option rückgängig machen. Schließt die aktuelle Eingabemaske und wechselt zur Normalansicht. Verwenden Sie diese Taste zum Bestätigen Ihrer Einstellungen. • Um zum ursprünglichen Menü der Eingabemaske CALCULATOR MODES zurückzukehren, drücken Sie die Taste L.
Damit kehren Sie zur Eingabemaske CALCULATOR MODES zurück. Um zur Normalansicht des Taschenrechners zurückzukehren, drücken Sie erneut die Taste @@@OK@@@ . Auswählen der unabhängigen Variablen Viele der vom CAS-Modul zur Verfügung gestellten Funktionen verwenden eine vordefinierte unabhängige Variable. Standardmäßig wird eine solche Variable mit dem Großbuchstaben X, wie in der nachfolgenden Eingabemaske CAS MODES angezeigt, ausgewählt.
Auswählen von Modulen Die Option Modulo im Eingabefeld CAS MODES stellt eine Zahl (Standardwert = 13) dar, die in der modularen Arithmetik verwendet wird. Weitere Details zur modularen Arithmetik werden an der entsprechenden Stelle in dieser Anleitung beschrieben. Numerischer vs. symbolischer CAS-Modus Wird der Numeric (numerische) CAS-Modus ausgewählt, werden bestimmte vordefinierte Konstanten des Taschenrechners mit vollständigem Gleitpunktwert angezeigt.
Nachfolgende Abbildung zeigt eine Reihe von symbolischen Ausdrücken, welche mit aktiviertem algebraischen Modus eingegeben wurden: Im algebraischen Modus werden die vom Anwender eingegebenen Objekte auf der linken Seite des Displays angezeigt, die Ergebnisse werden auf der rechten Seite des Displays angezeigt. Die obigen Ergebnisse zeigen die symbolischen Ausdrücke für ln(2), den natürlichen Logarithmus von 2, und 5 , die Quadratwurzel von 5.
Eine Abkürzung auf der Tastatur zum schnellen Wechsel zwischen dem Modus APPROX und EXACT kann durch gleichzeitiges Drücken der rechten Shift-Taste und der Taste ENTER , d. h. ‚ (halten) `, genutzt werden. Reelle Zahlen vs. Integer-Zahlen In CAS-Operationen werden Integer-Zahlen verwendet, um die volle Genauigkeit bei Berechnungen beizubehalten. Reelle Zahlen werden als Mantisse mit einem Exponenten gespeichert und haben eine begrenzte Präzision.
Ist die CAS-Option _Complex ausgewählt und das Ergebnis der Berechnung eine komplexe Zahl, dann wird das Ergebnis entweder als a+bi oder als geordnetes Paar (a,b) angezeigt. Wenn der Modus _Complex nicht ausgewählt ist (d. h. der Modus REAL ist aktiv), und das Ergebnis der Berechnung ist eine komplexe Zahl, werden Sie dazu aufgefordert, in den Modus Complex zu wechseln. Bestätigen Sie diesen Wechsel nicht, erhalten Sie eine Fehlermeldung.
Benutzen Sie die Taste F, wenn Sie dazu aufgefordert werden, in den Modus COMPLEX zu wechseln. Möchten Sie den Wechsel in den Modus COMPLEX nicht durchführen, erhalten Sie nachfolgende Fehlermeldung: Ausführlicher vs. kurzer CAS-Modus Ist die _Verbose (ausführliche) CAS-Option ausgewählt, werden verschiedene Anwendungen mit Kommentaren im Display ausgegeben. Ist diese Option nicht ausgewählt, erhalten Sie keine Kommentare zu jenen Anwendungen.
= X-2. Diese Polynome werden im Display als Auflistung ihrer Koeffizienten dargestellt. So stellt beispielsweise der Ausdruck A: {1,-5,3,-2} das Polynom A = X3-5X2+3X-2, B:{1,-2} das Polynom B = X-2, Q: {1} das Polynom Q = X und R:{-3,3,-2} das Polynom R = -3X2+3X-2 dar. Drücken Sie an dieser Stelle beispielsweise die Taste `.
Im ersten Fall wird das Polynom (X+3)5 in aufsteigender Folge der Potenz von X aufgelistet, während im zweiten Beispiel das Polynom in absteigender Reihenfolge der Potenz von X angezeigt wird. Die für beide Fälle erforderlichen Tastenanschläge sind: „Üx+3™Q5` Im ersten Fall war die Option _Incr pow ausgewählt, während diese im zweiten Fall nicht ausgewählt war.
Vereinfachen von nicht rationellen CAS-Einstellungen Ist die Option _Simp Non-Rational ausgewählt, werden nicht-rationelle Ausdrücke automatisch vereinfacht. Ist diese Option nicht ausgewählt, werden nicht-rationelle Ausdrücke nicht automatisch vereinfacht. Verwenden der CAS-Hilfefunktion Schalten Sie den Taschenrechner ein, und drücken Sie die Taste I, um das Menü TOOL zu starten.
!!CANCL !@@OK#@ E F CANCeL zum Abbrechen der Hilfefunktion OK zum Aktivieren der Hilfefunktion für den ausgewählten Befehl Drücken Sie die Taste !!CANCL E, wird die Funktion HELP (Hilfe) übergangen und der Taschenrechner kehrt zur Normalansicht zurück.
@@SEE2@ D !@@SEE3@ E @!MAIN F Wechselt zum zweiten Link (falls einer existiert) in der Referenzliste. Wechselt zum dritten Link (falls einer existiert) in der Referenzliste Rückkehr zur Befehlsliste MAIN (Haupt) der Hilfefunktion In diesem Fall möchten wir das Beispiel durch Drücken der Tasten @ECHO B in den Stack ECHOen (kopieren). Die daraus resultierende Anzeige sieht wie folgt aus. Nun zeigen vier Zeilen des Displays jeweils eine Ausgabe an.
Um direkt, ohne die Pfeiltasten zu benutzen, einen bestimmten Befehl in der Hilfefunktion anzusteuern, kann auch nur der erste Buchstabe dieses Befehls eingegeben werden. Angenommen, Sie möchten Informationen zum Befehl IBP (Integration by Parts – Integration durch Teile) erhalten, können Sie nach angezeigter Liste der Hilfefunktionen zunächst die Taste ~ (erste Taste in der vierten Reihe von unten) und dann die Taste i (die gleiche Taste wie die I Taste), d. h. ~i drücken.
Wenn nicht durch geltendes Recht ausgeschlossen, übernimmt der CopyrightBesitzer keinerlei Haftung für Schäden, einschließlich allgemeiner, spezieller, direkter oder indirekter Schäden, die sich aus der Verwendung der CASSoftware ergeben (einschließlich aber nicht beschränkt auf Datenverlust, falscher Datenverarbeitung oder Verlusten, die der Anwender oder Dritte durch Fehler der CAS-Software in der Zusammenarbeit mit anderen Programmen erleiden), selbst wenn der Anwender oder Dritte auf die Möglichkeit von
Anhang D Zusätzlicher Zeichensatz Während Sie alle englischen Groß- und Kleinbuchstaben und alle Ziffern direkt über die Tastatur erreichen. Es gibt jedoch insgesamt 255 verschiedene Zeichen in Ihrem Taschenrechner, beispielsweise Sonderzeichen wie θ, λ, usw., die in algebraischen Ausdrücken verwendet werden. Wir benötigen, um auf diese Sonderzeichen zugreifen zu können, die Tastenkombination …± (zusammen mit der Taste EVAL ).
Eines der Zeichen ist immer hervorgehoben. Die untere Zeile des Displays zeigt das Tastenkürzel des hervorgehobenen Zeichens, sowie den diesem Zeichen entsprechenden ASCII-Code an (beispielsweise ist in der obigen Anzeige das Tastenkürzel α Dα 9 hervorgehoben, also ~„d~…9, mit ASCII-Code 240). Das Display zeigt auch drei Funktionen, die den Funktionstasten f4, f5, und f6 zugeordnet sind.
Nachfolgend eine Auflistung der gebräuchlichsten ~‚ Tastenkombinationen: Griechische Buchstaben α β δ ε θ λ µ ρ σ τ ω ∆ Π (Alpha) ~‚a (Beta) ~‚b (Delta) ~‚d (Epsilon) ~‚e (Theta) ~‚t (Lambda) ~‚n (Mu) ~‚m (Rho) ~‚f (Sigma) ~‚s (Tau) ~‚u (Omega) ~‚v (Großbuchstabe Delta) ~‚c (Großbuchstabe Pi) ~‚p Andere Zeichen ~ ! ? \ @ (Tilde) (Faktorielle) (Fragezeichen) (Schrägstrich rückwärts) (Winkelsymbol) (At-Zeichen) ~‚1 ~‚2 ~‚3 ~‚5 ~‚6 ~‚` Einige gebräuchliche Zeichen, die nicht über einfache Tastenkombina
stabe Omega). Diese Zeichen müssen aus der Zeichensatz-Anzeige CHARS “geechot” werden: …±.
Anhang E Auswahlbaum im EquationWriter Der Ausdruck Baum ist ein Diagramm, das anzeigt, auf welche Weise der EquationWriter einen Ausdruck darstellt (interpretiert). Die Form des Ausdrucksbaums hängt von gewissen Regeln ab, bekannt als Operationshierarchie. Die Regeln lauten wie folgt: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Operationen in Klammern werden zuerst ausgeführt, beginnend von der innersten bis hin zur äußersten Klammer, und innerhalb des Ausdrucks von links nach rechts.
reinen Bearbeitungscursor ( ) um die 2 herum, im Nenner zu erhalten. Anschließend drücken Sie die linke Pfeiltaste š so lange, bis sich der reine Bearbeitungscursor um das y herum im ersten Faktor des Nenners befindet. Drücken Sie anschließend die Pfeiltaste nach oben, um den Auswahlcursor ( ) um das y herum zu erhalten. Drücken Sie nun wiederholt die Pfeiltaste nach oben —. Wir können dem Ausdrucksbaum folgen, welcher nun bei y beginnt und bis hin zur Vervollständigung des Ausdrucks folgt.
Glied ((y-3)x+5) mit einem zweiten Glied (x2+4), welches bereits berechnet wurde, beinhaltet. Um die Schritte in der Kalkulation des zweiten Gliedes zu sehen, drücken Sie wiederholt die Taste Pfeil nach unten ˜, bis sich der reine Bearbeitungscursor um das y herum befindet. Drücken Sie anschließend die Pfeiltaste, bis sich dieser Cursor über dem x im zweiten Glied des Nenners befindet. Drücken Sie dann die Taste Pfeil nach Oben, um dieses x auszuwählen.
oben —, um die 4 auszuwählen.
Die Schritte bei der Berechnung der Glieder des Baumes (A1 bis A6, B1 bis B5 und C1 bis C5) werden neben dem Kreis, der Zahlen, Variablen oder Operatoren enthält, angezeigt.
Anhang F Das Menü (APPS) Anwendungen Das Menü (APPS) kann über die Taste G erreicht werden (erste Taste in der zweiten Reihe von oben). Die Taste G zeigt die folgenden Anwendungen: Die verschiedenen Anwendungen werden nachfolgend beschrieben. Plot-Funktionen Die Auswahl von Option 1. Plot functions.. im Menü APPS zeigt die folgende Menüliste mit grafikbezogenen Optionen: Die sechs gezeigten Optionen entsprechen den unten aufgeführten Tastenkombinationen: Eingeben der Gleichung… „ñ Grafik-Anzeige...
I/O functions.. (Ein-/Ausgabe-Funktionen) Die Auswahl von Option 2. I/O functions.. im Menü APPS zeigt die folgende Menüliste von Ein-/Ausgabe-Funktionen: Nachfolgend eine Erläuterung dieser Anwendungen: Send to HP 49.. Get from HP 49 Print display Print.. Transfer.. Start Server..
Numeric solver.. (Numerischer Löser) Die Auswahl von Option 3. Numeric solver.. im Menü APPS liefert das Menü für den numerischen Löser: Diese Operation entspricht der Tastenkombination ‚Ï. Weitere Informationen zu dem Menü für den numerischen Löser finden Sie in den Kapiteln 6 und 7. Time & date.. (Datum & Zeit) Die Auswahl von Option 5.Time & date.. im Menü APPS startet das Menü für Zeit und Datum: Diese Operation entspricht der Tastenkombination ‚Ó.
Diese Operation entspricht der Tastenkombination ‚O. Weitere Informationen zum EquationWriter finden Sie in Kapitel 2. Beispiele zum Anwenden des EquationWriters finden Sie durchgehend in diesem Handbuch. File manager.. (Dateimanager) Option 7.File manager.. des Menüs APPS startet den Dateimanager: Diese Operation entspricht der Tastenkombination „¡. Weitere Informationen zum Dateimanager finden Sie in Kapitel 2. Matrix Writer.. (MatrixWriter) Option 8.Matrix Writer..
Text editor.. (Texteditor) Option 9.Text editor.. des Menüs APPS startet den Zeilen Texteditor: In vielen Fällen kann der Texteditor durch Drücken der ˜ Taste gestartet werden. Ist jedoch das im Display angezeigte Objekt ein algebraisches Objekt, wird mit der ˜Taste in der Regel der EquationWriter gestartet. Der Texteditor wird in Kapitel 2 vorgestellt und in Appendix L detailliert erläutert. Math menu .. (Menü Mathematik) Die Option 10.Math menu..
Matrizen), 11 (Matrix Operationen), 16 (Schnelle Fourier-Transformationen), 17 (Wahrscheinlichkeitsrechnungen) und 19 (Zahlensysteme). CAS menu.. (Menü CAS) Option 11.CAS menu.. des Menüs APPS öffnet das Menü CAS oder SYMBOLIC: Das Menü erscheint auch durch Drücken der Taste P. Weitere Informationen zu dem Menü CAS bzw.
Anhang G Nützliche Tastaturkürzel Hier finden Sie einige gebräuchliche Tastaturkürzel, die bei diesem Taschenrechner benutzt werden können: • Einstellen des Display-Kontrasts: $ (festhalten) +, oder $ (festhalten) - • Betätigen zwischen RPN und ALG Modi: H\@@@OK@@ oder H\`. • Setzen/Löschen des Systemflags 95 (ALG- vs. RPN-Modus) H @)FLAGS —„—„—„ —@ CHK@@ • Im ALG-Modus: CF(-95) wählt den RPN-Modus • Im RPN-Modus: 95 \` SF wählt den ALG-Modus Ein Tastaturkürzel zum Umschalten zwischen den Modi APPR
105 \` CF wählt den EXACT CAS-Modus • • Setzen/Löschen des Systemflags 117 (CHOOSE Boxes vs. SOFTMenüs): H @)FLAGS —„ —˜@ CHK@@ • Im ALG-Modus: SF(-117) wählt die SOFT Menüs CF(-117) wählt die CHOOSE Boxes. • Im RPN-Modus: 117 \` SF wählt die SOFT Menüs 117 \` CF wählt die SOFT Menüs Winkelmaßänderung: o auf Grad: o auf Radiant: ~~deg` ~~rad` • Sonderzeichen: o Symbol für Winkel (∠): ~‚6 o Symbol für Faktorielle (!): ~‚2 o Symbol für Grad (o): ~‚(festhalten)6 • Sperren/Entsperren der Alphatastat
Theta (θ): Omega (ω): • ~‚t ~‚v Tau (t): ~‚u System-Level-Betrieb (Halten Sie $ gedrückt, lassen Sie die Taste los nachdem Sie die zweite oder dritte Taste gedrückt haben): o o o o o o o o $ (festhalten) AF: “Kaltstart” – der gesamte Speicher wird gelöscht $ (festhalten) B: macht den letzten Tastenanschlag rückgängig $ (festhalten) C: “Warmstart” – Speicherinhalt bleibt erhalten $ (festhalten) D: Startet interaktiven Selbsttest $ (festhalten) E: Startet kontinuierlichen Selbsttest $ (festhalten) #: Ruh
o o o o o o „ (festhalten) ˜ : Startet den Texteditor (Anhang L) „ (festhalten) § : HOME(), springt ins HOMEVerzeichnis „ (festhalten) « : Wiederherstellen des letzten aktiven Menüs ‚ (festhalten) ˜ : Anzeigen von Variableninhalten oder Menüeinträgen ‚(festhalten) ± : Menü PRG/CHAR (Kapitel 21) Seite G-4
Anhang H CAS-Hilfesystem Auf das CAS-Hilfesystem können Sie mit der Tastenkombination IL@HELP ` zugreifen. Die folgende Abbildung stellt die erste Seite der Auflistung des CAS-Hilfesystems dar: Die Befehle sind in alphabetischer Folge aufgelistet. Mithilfe der Pfeiltasten —˜können Sie sich durch die Liste bewegen. Im Folgenden finden Sie einige nützliche Hinweise zur Steuerung des Hilfesystems.
• mit D beginnt, ausgewählt, d. h. DEGREE. Um zu DERIV zu gelangen, drücken Sie die Pfeiltaste ˜ zweimal. Um den Befehl auszuwählen, drücken Sie @@OK@@. Durch Sperren der alphabetischen Tastatur können Sie zwei oder mehr Anfangsbuchstaben des gesuchten Befehls eingeben. Auf diese Weise werden Sie direkt zum gesuchten Befehl oder zumindest in seine Nähe gebracht.
Anhang I Liste der Befehle im Befehlskatalog Dies ist eine Liste aller zur Verfügung stehenden Befehle des Befehlskatalogs (‚N). Befehle, die zum CAS-Modul (Computer Algebraic System) gehören, sind auch in Anhang H aufgeführt. Einträge des CAS-Hilfesystem sind für einen Befehl verfügbar, wenn die Funktionstaste @HELP beim Hervorheben des gewünschten Befehls erscheint. Drücken Sie diese Funktionstaste, um die CAS-Hilfe für den Befehl zu erhalten.
erscheint die Funktionstaste @HELP , sobald Sie einen anwenderdefinierten Befehl anklicken, für den ein Hilfetext hinterlegt wurde.
Anhang J Das Menü MATHS Das Menü MATHS, auf welches mit dem Befehl MATHS (verfügbar im Befehlskatalog N) zugegriffen werden kann, enthält folgende Untermenüs: Das Untermenü CMPLX Das Untermenü CMPLX enthält Funktionen für Operationen mit komplexen Zahlen: Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 4. Das Untermenü CONSTANTS Das Untermenü CONSTANTS erlaubt den Zugriff auf die im Taschenrechner verfügbaren mathematischen Konstanten.
Das Untermenü HYPERBOLIC Das Untermenü HYPERBOLIC enthält die hyperbolischen Funktionen und deren Umkehrfunktionen. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 3: Das Untermenü INTEGER Das Untermenü INTEGER stellt Funktionen zur Manipulation von Integer-Zahlen sowie einiger Polynome zur Verfügung. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 5: Das Untermenü MODULAR Das Untermenü MODULAR stellt Funktionen für modulare Arithmetik mit Zahlen und Polynomen zur Verfügung.
Das Untermenü POLYNOMIAL Das Untermenü POLYNOMIAL beinhaltet Funktionen zum Erstellen und Manipulieren von Polynomen. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 5: Das Untermenü TESTS Das Untermenü TESTS beinhaltet relationale Operatoren (==, <, usw.), logische Operatoren (AND, OR, usw.), die Funktion IFTE und die Befehle ASSUME und UNASSUME.
Anhang K Das Menü MAIN Das Menü MAIN ist über den Befehls-Katalog verfügbar. Es enthält folgende Untermenüs: Der Befehl CASCFG Dies ist der erste Eintrag im Menü MAIN. Dieser Befehl konfiguriert das CASModul. Informationen zur CAS-Konfiguration erhalten Sie in Anhang C. Das Untermenü ALGB Das Untermenü ALGB enthält die folgenden Befehle: Diese Funktionen, mit Ausnahme von 0. MAIN MENU und 11.UNASSIGN sind im ALG-Tastaturmenü (‚×) verfügbar.
Das Untermenü DIFF Das Untermenü DIFF enthält die folgenden Funktionen: Diese Funktionen sind auch im Untermenü CALC/DIFF („Ö) verfügbar. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in den Kapiteln 13, 14 und 15, mit Ausnahme der Funktion TRUNC, die nachfolgend anhand ihres Eintrags im CAS-Hilfesystem beschrieben wird. Das Untermenü MATHS Eine genaue Beschreibung des Untermenüs MATHS finden Sie in Anhang J.
Diese Funktionen sind auch im TRIG Menü (‚Ñ) verfügbar. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 5. Das Untermenü SOLVER Das Untermenü SOLVER enthält die folgenden Funktionen: Diese Funktionen sind im Menü CALC/SOLVE („Ö) verfügbar. Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in den Kapiteln 6, 11 und 16. Das Untermenü CMPLX Das Untermenü CMPLX enthält die folgenden Funktionen: Das Untermenü CMPLX kann auch über die Tastatur erreicht (‚ß) werden.
Die Untermenüs INTEGER, MODULAR und POLYNOMIAL werden ausführlich in Anhang J beschrieben. Das Untermenü EXP&LN Das Menü EXP&LN enthält die folgenden Funktionen: Dieses Menü kann auch über die Tastatur über „Ð erreicht werden. Eine Beschreibung der Funktionen dieses Menüs finden Sie in Kapitel 5. Das Untermenü MATR Das Menü MATR enthält die folgenden Funktionen: Diese Funktionen sind auch im Menü MATRICES der Tastatur („Ø) verfügbar. Eine Beschreibung dieser finden Sie in den Kapiteln 10 und 11.
Das Untermenü REWRITE Das Menü REWRITE enthält die folgenden Funktionen: Diese Funktionen sind verfügbar im Menü CONVERT/REWRITE (starten Sie dieses mit „Ú). Eine Beschreibung dieser Funktionen finden Sie in Kapitel 5, ausgenommen die Funktionen XNUM und XQ, die nachfolgend anhand ihrer Einträge im CAS-Hilfsystem erläutert werden.
Anhang L Befehle des Zeileneditors Rufen Sie im RPN-Stack oder im ALG-Modus den Zeileneditor mit „˜ auf, werden Ihnen die folgenden Untermenüs zur Verfügung gestellt (drücken Sie L, um die verbleibenden Funktionen zu sehen): Die Funktionen werden wie folgt kurz beschrieben: SKIP: Überspringt alle Zeichen bis zum Wortanfang. SKIP : Überspringt alle Zeichen zum Wortende. DEL: Löscht alle Zeichen bis zum Wortanfang. DEL : Löscht alle Zeichen bis zum Wortende. DEL L: Löschen alle Zeichen einer Zeile.
Die in dieser Abbildung angezeigten Daten sind selbsterklärend. Beispielsweise bezeichnen X und Y positions die Position auf einer Zeile (X) und die Zeilennummer (Y). Stk Size bezeichnet die Anzahl der Objekte in der ALG-Modus-History oder im RPN-Stack. Mem(KB) bezeichnet die Größe des freien Speichers. Clip Size ist die Anzahl der Zeichen im Clipboard. Sel Size ist die Anzahl der Zeichen im aktuell ausgewählten Bereich. EXEC: führt den gewählten Befehl aus HALT: stoppt die Befehlsausführung.
Das Untermenü SEARCH Die Funktionen des Untermenüs SEARCH sind: Find : Benutzen Sie diese Funktion, um einen String in der Befehlszeile zu finden. Nachfolgend das Eingabeformular, dass bei diesem Befehl zur Verfügung steht: Replace: Benutzen Sie diesen Befehl, um einen String zu finden und zu ersetzen. Nachfolgend das Eingabeformular, das bei diesem Befehl zur Verfügung steht: Find next..
Das Untermenü GOTO Die Funktionen des Untermenüs GOTO sind: Goto Line: springt zu einer angegebenen Zeile. Das Eingabeformular für diesen Befehl sieht wie folgt aus: Goto Position: springt zu einer angegebenen Position in der Befehlszeile. Das Eingabeformular für diesen Befehl sieht wie folgt aus:: Labels: springt zu einer angegebenen Marke in der Befehlszeile.
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Anhang M Index A ABCUV, 5-12 Abkürzungen, 1-19 Ableitungen höherer Ordnung, 13-15 Ableitungen von Gleichungen, 13-7 Ableitungen zum Berechnen von Extrempunkten, 13-13 Ableitungsfunktionen, 2-35 ABS, 11-7 Absolutwert der Fourier-Transformation, 16-52 Abweichung, 18-8 ACK, 25-5 ACKALL, 25-5 ACOS, 3-8 ACOSH, 3-11 ADD, 8-10 Addition, 8-4 ADDTMOD, 5-13 ALRM, 21-7 Alarme, 25-2 Alarm-Funktionen, 25-5 Algebraische Objekte, 5-1 Algebraischer Modus, 2-61 ALOG, 3-6 ALPHA Funktion, 1-13 ALPHA linke-Shift Funktion, 1-13
AXES, 22-15 AXL, 9-30 AXM, 11-16 AXQ, 11-59 B B R, 19-3 Balkengrafik, 16-55 Batterien, 1-1 Befehl CASCFG, K-1 Befehle des Zeileneditors, L-1 Befehlskatalog, I-1 BEG, 6-39 BEGIN, 2-32 Beispiele von Interaktiven Plots mit dem Menü PLOT, 22-17 Beispiele von programm-generierten Plots, 22-20 Benutzen von Eingabeformularen im Menü NUM.
CMDS, 2-31 CMPLX-Menüs, 4-6 CNCT, 22-15 CNTR, 12-58 COL-, 10-22 COL+, 10-22 COL , 10-17 COLLECT, 5-4 COMB, 17-2 COMPLEX-Modus, 5-28 CON, 10-9 COND, 11-10 CONJ, 4-8 CONLIB, 3-33 CONVERT, 3-31 COPY, 2-32 COS, 3-1 COSH, 3-11 CRDIR, 2-50 CROSS, 9-13 CST, 20-1 CSWP, 10-23 CURS, 2-24 CUT, 2-32 CYCLOTOMIC, 5-12 CYLIN, 4-3 D D R, 3-16 DARCY, 3-36 Darstellung von Kegelschnitt-Kurven, 1224 Darstellungen in Polarkoordinaten, 12-22 Darstellungen, 18-19 DATE, 25-3 DATE+, 25-3 Datum und Uhrzeit einstellen, 25-2 DBUG, 2
DISTRIB, 5-32 DIV2, 5-12 DIV2MOD, 5-13 Divergenz, 15-4 DIVIS, 5-11 Division, 8-4 DIVMOD, 5-13 DOERR, 21-70 DOLIST, 8-13 DOMAIN, 13-10 Doppelte Integrale in Polarkoordinaten, 14-10 DOSUBS, 8-13 DOT, 9-13 DOT+ und DOT--,12-52 Drahtgitterdarstellung, 12-43 DRAW, 22-5 DRAW3DMATRIX, 12-62 DRAX, 22-4 Dreidimensionale Grafiken, 22-17 DROITE, 4-10 DROP, 9-23 Druck, 3-23 DTAG, 23-1 E e, 3-18 Ebenen im Raum, 11-21 EDIT, 1-7, 2-12 EGCD, 5-21 EGDC, 5-12 EGV, 11-52 EGVL, 11-51 Eigenschaften der Fourier-Transformation,
Erzeugen grafischer, 18-19 Erzeugen von Plots durch Programme, 22-15 EULER, 5-12 Euler-Gleichung, 16-57 Euler-Konstante, 16-61 EVAL, 2-6 Exakter CAS-Modus, C-4 EXEC, L-2 EXP, 3-8 EXP2POW, 5-32 EXPAND, 5-5 EXPANDMOD, 5-13 EXPLN, 5-32 EXPM, 3-11 Exponentialverteilung, 17-7 Extrempunkte, 13-13 EYEPT, 22-11 F FACTOR, 5-27 FACTORMOD, 5-13 Faktorielle, 3-17 Faktorieren eines Ausdrucks, 2-29 FANNING, 3-36 Fast 3D-Darstellung, 12-41 Fast Fourier-Transformation (FFT), 16-52 FCOEF, 5-12 FDISTRIB, 5-32 Fehler im Tasc
G GAMMA, 3-17 Gamma-Verteilung, 17-15 Gauß- und Gauß-Jordan-Elimination, 1131 GAUSS, 11-60 GCD, 5-22 GCDMOD, 5-13 Gekennzeichnete Ausgaben, 21-37 Genaue CAS-Einstellung, C-10 Geometrischer Mittelwert, 8-19 GET, 10-6 GETI, 10-7 Gewogenes Mittel, 8-20 Gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODE), 16-1 Gleichungssysteme, 11-18 Globale Variablen, 21-4 GOR, 22-37 Grade, 1-25 Grafik für ln(X), 12-9 Grafiken transzendenter Funktionen, 12-9 Grafiken, 22-1 Grafikoptionen, 22-10 Grafische Objekte, 2-3 Graphen, 13-8 GRD
ICHINREM, 5-12 Identitätsmatrix, 10-10 IDIV2, 5-12 IDN, 10-10 IEGCD, 5-12 IFTE, 3-41 ILAP, 16-4 IM, 4-8 IMAGE, 11-61 Imaginärer Teil, 4-6 Implizite Ableitungen, 13-8 INDEP, 22-6 Infinitesimalrechnung, 13-1 INFO, 22-4 INPUT, 21-22 INS, L-1 INT, 13-15 Integer, 2-1 Integer-Zahlen, C-6, 2-1 Integrale, 2-35 Integralrechnungen mit Einheiten, 13-23 Integrand, Variable der Integration, 1317 Integration durch Teile, C-14 Integrieren einer Gleichung, 13-19 Interaktive Eingabe in Programmen, 2120 Interaktiven Selbstte
Kroneckers Delta, 10-1 Kumulative Verteilungsfunktion, 17-4 L LABEL, 22-3 LAGRANGE, 5-12 Legendre-Funktion, 16-59 Laguerre-Gleichung, 16-63 LAP, 16-4 LAPL, 15-1 Laplace-Gleichung, 15-5 Laplace-Operator, 15-5 Laplace-Transformation, 16-11 LCM, 5-12 LCXM, 11-17 LDEC, 16-4 LEGENDRE, 5-12 Leistung, 6-23 Letzter Stack, 1-28 LGCD, 5-11 LICHT, 3-23 Lim, 13-2 LIN, 5-5 LINE, 12-53 Lineare Algebra, 11-1 Lineare Differentialgleichungen, 16-4 Lineare Gleichungssysteme, 11-18 Lineare Regression, 18-57 LINSOLVE, 11-46 L
MAX, 3-15 Maximum, 3-15 MAXR, 3-8 Median, 18-4 Mehrfache lineare Anpassung, 18-63 Menü ALG, 5-3 Menü APPS, F-1 Menü ARITHMETIC, 5-10 Menü BASE, 19-1 Menü BIT, 19-6 Menü BYTE, 19-7 Menü CALC/DIFF, 16-4 Menü CAS, F-6 Menü CHARS, 23-2 Menü CONVERT, 5-30 Menü DERIV&INTEG, 13-4 Menü GROB, 22-37 Menü LOGIC, 19-5 Menü MAIN, G-3, K-1 Menü MATHS, G-3, J-1 Menü MTH, 3-9 Menü MTH/VECTOR, 9-12 Menü OPER, 11-15 Menü FLAG unter PLOT, 22-15 Menü STAT unter PLOT, 22-12 Menü DATA unter STAT, 22-13 Menü PRG aufzurufen, 21-6
NEW, 2-42, 25-2 NEXTPRIME, 5-12 Normale Verteilung cdf, 17-11 Normale Verteilung pdf, 17-10 NOT, 19-5 NSUB, 8-13 NUM, 21-8, 23-2 NUM.
PLOT-Operationen, 12-6 Poisson-Verteilung, 17-5 Polare Darstellung, 4-3 Polarplot, 22-21 Polynome, 5-20 Polynomgleichungen, 6-7 Polynomial data FITting, 18-63, 18-64 POS, 8-13 POTENTIAL, 15-3 Potentialfunktion eines Vektorfeldes, 15-3 Potentialfunktion, 15-6 POWEREXPAND, 5-32 POWMOD, 5-13 PPAR, 12-13 PREVAL, 13-16 PREVPRIME, 5-12 PRIMIT, 2-46 Pr-Oberflächendarstellungen, 12-49 Prognosefehler, 18-58 Programmablauf, 21-47 Programmausgaben, 21-7 Programmerstellung, 21-6 Programmierbefehlen, 21-6 Programmierbei
RDM, 10-10 RDZ, 17-3 RE, 4-6 REALASSUME, 2-46 RECT, 4-3 RECV, 2-42 Reelle Zahlen vs.
SOLVEVX, 6-4 Sonderzeichen, G-2 SORT, 8-10 Spaltennorm, 11-9 Spaltenvektoren, 9-22 Sperren/Entsperren der Alphatastatur, G2 SPHERE, 9-15 SQ, 3-5 SR, 19-7 SRAD, 11-9 SRB, 19-7 SREPL, 23-3 SST, 18-70 Stack-Eigenschaften, 1-32 Stammfunktionen, 13-15 Standardabweichung, 18-5 Standardformat, 1-20 Standardnormalverteilung, 18-27 START…NEXT Anweisung, 21-59 START…STEP Anweisung, 21-63 Statistiken, 8-17 Steigungsfelder, 12-39 Step-by-Step-CAS-Modus, C-8 STEQ, 6-17 Stichprobe und Grundgesamtheit, 18-5 Stichprobenkor
TDELTA, 3-36 Technisches Format, 1-24 Teilpivotisierung, 11-37 Temperatur, 3-36 Testen der Hypothese führen, 18-46 Testen der Hypothese, 18-46 Tests mit paarigen Stichproben, 18-46 TEXPAND, 5-6 Text Editor..
UTPT, 17-12 UVAL, 3-31 V V, 21-45 VALUE, 3-34 VANDERMONDE, 10-15 Variable EQ, 6-33 Variablen, 18-11 Variationskoeffizient, 18-5 Vektorelemente, 11-23 Vektoren, F-5 Vektorfeldern, 15-1 Vektorpotentialfunktionen, 15-7 Vereinfachen von nicht rationellen CASEinstellungen, C-11 Vergleichsoperatoren, 21-10 Verlauf, 18-60 Verschiedene Rechenmethoden, B-8 Vertrauensbereiche, 18-25 Verwendung des Matrix Editors, 10-2 Verwendung von Einheiten, 13-24 Viskosität, 3-23 Volumen, 3-22 Vorzeichen ändern, 4-2 Vorzeichen vo
Z Zahlen, 17-2 Zahlenbasen, 3-2 Zahlenformat, 1-20 ZAUTO, 12-58 ZDECI, 12-58 ZDFLT, 12-58 Zeichenbefehle für die Programmierung, 22-22 Zeichenfolge, 2-53 Zeichenkombinationen mit Alpha und der linken Shift-Taste, B-12 Zeichenkombinationen mit Alpha und der rechten Shift-Taste, B-13 Zeichenliste, 23-4 Zeichensatz, D-1 Zeit-Funktionen, 25-1 Zerlegen eines Vektors, 9-14 ZEROS, 6-5 ZFACTOR, 3-36 ZIN, 12-57 ZINTG, 12-59 ZLAST, 12-57 ZOOM, 12-59 ZOUT, 12-57 ZSQR, 12-59 ZTRIG, 12-59 Zufallsvariable betrachtet, 17-
Beschränkte Garantie Grafiktaschenrechner hp 48gII, Garantiezeitraum: 12 Monate 1. HP garantiert Ihnen, dem Endbenutzer, dass HP Hardware, Zubehör und Verbrauchsmaterialien frei von Material- und Verarbeitungsfehlern sind. Diese Garantie beginnt mit dem Kaufdatum und gilt für den oben angegebenen Zeitraum.
Wartung des Standorts. 6. SOWEIT GEMÄSS ÖRTLICHEM RECHT ZULÄSSIG, STELLEN DIE OBEN GENANNTEN GARANTIEANSPRÜCHE DIE ALLEINIGEN ANSPRÜCHE DAR, UND ES GELTEN KEINE WEITEREN SCHRIFTLICHEN ODER MÜNDLICHEN GARANTIEN ODER GEWÄHRLEISTUNGEN, WEDER AUSDRÜCKLICH NOCH STILLSCHWEIGEND. HP WEIST INSBESONDERE ALLE STILLSCHWEIGENDEN GARANTIEN ODER GEWÄHRLEISTUNGEN BEZÜGLICH MARKTGÄNGIGKEIT; ZUFRIEDENSTELLENDER QUALITÄT UND EIGNUNG ZU EINEM BESTIMMTEN ZWECK ZURÜCK.
FÜR ENDVERBRAUCHER-KAUFABSCHLÜSSE IN AUSTRALIEN UND NEUSEELAND: SOFERN GEMÄSS GELTENDEM RECHT ZULÄSSIG, SCHLIESSEN DIE IN DIESER ERKLÄRUNG ENTHALTENEN GARANTIEBESTIMMUNGEN DIE VERBINDLICHEN, GESETZLICH FESTGELEGTEN RECHTE FÜR DEN VERKAUF DIESES PRODUKTS AN SIE WEDER AUS NOCH SCHRÄNKEN SIE DIESE EIN ODER ÄNDERN DIESE, SONDERN ERWEITERN DIESE RECHTE.
Australien Singapur +61-3-9841-5211 +61-3-9841-5211 Lat. Amerika Land: Telefonnummern Argentinien Brasilien 0-810-555-5520 Sao Paulo 3747-7799; ROTC 0-800-157751 Mexiko Mx City 5258-9922; ROTC 01-800-472-6684 Venezuela 0800-4746-8368 Chile 800-360999 Kolumbien 9-800-114726 Peru 0-800-10111 Mittelamerika & Karibik 1-800-711-2884 Guatemala 1-800-999-5105 Puerto Rico 1-877-232-0589 Costa Rica 0-800-011-0524 N.
USA This calculator generates, uses, and can radiate radio frequency energy and may interfere with radio and television reception. The calculator complies with the limits for a Class B digital device, pursuant to Part 15 of the FCC Rules. These limits are designed to provide reasonable protection against harmful interference in a residential installation. However, there is no guarantee that interference will not occur in a particular installation.
Entsorgung von Altgeräten aus privaten Haushalten in der EU Das Symbol auf dem Produkt oder seiner Verpackung weist darauf hin, dass das Produkt nicht über den normalen Hausmüll entsorgt werden darf. Benutzer sind verpflichtet, die Altgeräte an einer Rücknahmestelle für Elektro- und Elektronik-Altgeräte abzugeben.