hp 48gII grafische rekenmachine gebruikershandleiding H Editie 4 HP artikelnummer F2226-90025
Mededeling Het REGISTER JE PRODUCT AAN: www.register.hp.com DE INHOUD VAN DEZE HANDLEIDING EN DE HIERIN VERVATTE FICTIEVE PRAKTIJKVOORBEELDEN KUNNEN ZONDER AANKONDIGING VERANDERD WORDEN. HEWLETT–PACKARD COMPANY GEEFT GEEN GARANTIE AF VAN WELKE AARD DAN OOK MET BETREKKING TOT DEZE HANDLEIDING, WAARONDER OOK STILZWIJGENDE GARANTIES VAN VERHANDELBAARHEID, GESCHIKTHEID VOOR EEN BEPAALD DOEL EN GEEN INBREUK VORMEND VAN TOEPASSING ZIJN, MAAR DIE HIER NIET TOT BEPERKT ZIJN. HEWLETT–PACKARD CO.
Voorwoord U heeft een compacte symbolische en numerieke computer in handen die de berekening en wiskundige analyse van problemen in een verscheidenheid van disciplines vergemakkelijkt. Deze problemen kunnen variëren van elementaire wiskunde tot de gevorderde techniek en wetenschappelijke onderwerpen.
differentiaalvergelijkingtoepassingen (incl. Laplace-transformaties en Fourierreeksen en -toepassingen) en kans- en statistische toepassingen. Het hart van de rekenmachine bestaat uit een besturingssysteem dat u kunt updaten door nieuwe versies te downloaden van de webpagina van de rekenmachine. Voor symbolische bewerkingen beschikt de rekenmachine over een krachtig Computer Algebraïsch Systeem (CAS) dat u in staat stelt verschillende bewerkingsmodi te selecteren, bijv. complexe nummers vs.
Inhoudsopgave Een opmerkingen over de schermafbeeldingen in deze gids, opmerkingen-1 Hoofdstuk 1 - Beginnen, 1-1 Basisbediening, 1-1 Batterijen, 1-1 De rekenmachine in- en uitschakelen, 1-2 Het beeldschermcontrast instellen, 1-2 Inhoud van het beeldscherm van de rekenmachine, 1-2 Menu's, 1-3 SOFT menu's versus CHOOSE boxes, 1-4 SOFT menu's of CHOOSE boxes selecteren, 1-5 Het menu TOOL, 1-7 Tijd en datum instellen, 1-8 Het toetsenbord van de rekenmachine, 1-11 Modi van de rekenmachine selecteren, 1-13 Bedie
Het aanmaken van aritmetische uitdrukking, 2-4 Het bewerken van aritmetische uitdrukkingen, 2-7 Het aanmaken van algebraïsche uitdrukkingen, 2-8 Het bewerken van algebraïsche uitdrukkingen, 2-9 Het gebruiken van de Vergelijkingenschrijver (EQW) voor het aanmaken van uitdrukkingen, 2-11 Het aanmaken van aritmetische uitdrukkingen, 2-13 Het bewerken van aritmetische uitdrukkingen, 2-18 Het aanmaken van algebraïsche uitdrukkingen, 2-21 Het bewerken van algebraïsche uitdrukkingen, 2-22 Het aanmaken en bewerken
Hoofdstuk 3 - Berekeningen met reële getallen, 3-1 De instellingen van de rekenmachine nagaan, 3-1 De rekenmodus nagaan, 3-2 Berekeningen met reële getallen, 3-3 Het teken van een getal, variabele of uitdrukking wijzigen, 3-3 De inversiefunctie, 3-3 Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, 3-3 Het gebruik van de haakjes, 3-4 Absolute waardefunctie, 3-5 Kwadraten en vierkantswortels, 3-5 Machten en wortels, 3-6 Basis- 10 logaritmen en machten van 10, 3-6 Het gebruik van machten van 10 bij het invoeren
De functie TINC, 3-36 Functies definiëren en gebruiken, 3-36 Functies die worden gedefinieerd met behulp van meer dan één uitdrukking, 3-38 De functie IFTE, 3-38 Gecombineerde IFTE functies, 3-39 Hoofdstuk 4 - Berekeningen met complexe getallen, 4-1 Definities, 4-1 De rekenmachine in de modus COMPLEX instellen, 4-1 Complexe getallen invoeren, 4-2 Polaire weergave van een complex getal, 4-3 Eenvoudige bewerkingen met complexe getallen, 4-4 Wijzigingsteken van een complex getal, 4-5 Het invoeren van de denkb
Bewerkingen met transcendente functies, 5-8 Uitbreiding en factorisering met log-exp-functies, 5-8 Uitbreiding en factorisering met trigonometrische functies, 5-8 Functies in het menu ARITHMETIC, 5-9 DIVIS, 5-10 FACTORS, 5-10 LGCD, 5-10 PROPFRAC, 5-10 SIMP2, 5-10 Het menu INTEGER, 5-11 Het menu POLYNOMIAL, 5-11 Het menu MODULO, 5-12 Toepassingen van het menu ARITHMETIC, 5-12 Modulaire rekenkunde, 5-12 Eindige rekenkundige ringen in de rekenmachine, 5-15 Polynomen, 5-18 Modulaire rekenkunde met polynomen, 5-
De functie PARTFRAC, 5-26 De functie FCOEF, 5-26 De functie FROOTS, 5-27 Stapsgewijze bewerking van polynomen en breuken, 5-27 Het menu CONVERT en algebraïsche bewerkingen, 5-28 UNITS in het menu convert, 5-29 BASE in het menu convert, 5-29 TRIGONOMETRIC in het menu convert, 5-29 MATRICES in het menu convert, 5-29 REWRITE in het menu convert, 5-29 Hoofdstuk 6 - Oplossingen voor enkelvoudige vergelijkingen, 6-1 Symbolische oplossing van algebraïsche vergelijkingen, 6-1 De functie ISOL, 6-1 De functie SOLVE,
Voorbeeld 3 - Stelsel van polynoomvergelijkingen, 7-5 Oplossingen van simultane vergelijkingen met MSLV, 7-5 Voorbeeld 1 – Voorbeeld uit de helptekst, 7-6 Voorbeeld 2 – Binnenstroming van een meer in een open kanaal, 7-7 Gebruik van de Meervoudige Vergelijkingenoplosser (MES), 7-11 Toepassing 1 - Oplossing van driehoeken, 7-11 Toepassing 2 - Snelheid en versnelling in polaire coördinaten, 7-21 Hoofdstuk 8 - Bewerkingen met lijsten, 8-1 Definities, 8-1 Het aanmaken en opslaan van lijsten, 8-1 Het samenstell
Definities, 9-1 Vectoren invoeren, 9-2 Vectoren invoeren in het stapelgeheugen, 9-2 Vectoren opslaan in variabelen, 9-3 De Matrixschrijver (MTRW) invoeren om vectoren in te voegen, 9-3 Een vector opbouwen met ARRY, 9-7 Vectorelementen identificeren, onttrekken en invoegen, 9-8 Eenvoudige bewerkingen met vectoren, 9-10 Het teken wijzigen, 9-10 Optellen, aftrekken, 9-10 Vermenigvuldiging met een scalair, deling door een scalair, 9-10 Absolute waardefunctie, 9-11 Het menu MTH/VECTOR, 9-11 Grootte, 9-12 Scalai
Definities, 10-1 Invoeren van matrices in het stapelgeheugen, 10-2 De Matrixbewerker gebruiken, 10-2 De matrix rechtstreeks invoeren in het stapelgeheugen, 10-3 Aanmaken van matrices met de functies van de rekenmachine, 10-4 De functies GET en PUT, 10-6 De functies GETI en PUTI, 10-7 De functie SIZE, 10-8 De functie TRN, 10-8 De functie CON, 10-9 De functie IDN, 10-9 De functie RDM, 10-10 De functie RANM, 10-11 De functie SUB, 10-12 De functie REPL, 10-12 De functie DIAG, 10-13 De functie DIAG , 10-14 De f
De functie RCIJ, 10-27 Hoofdstuk 11 - Matrixbewerkingen en lineaire algebra, 11-1 Bewerkingen met matrices, 11-1 Optellen en aftrekken, 11-2 Vermenigvuldiging, 11-2 Een matrix karakteriseren (Het matrixmenu NORM), 11-6 De functie ABS, 11-7 De functie SNRM, 11-8 De functies RNRM en CNRM, 11-8 De functie SRAD, 11-9 De functie COND, 11-9 De functie RANK, 11-11 De functie DET, 11-12 De functie TRACE, 11-14 De functie TRAN, 11-14 Aanvullende matrixbewerkingen (Het matrixmenu OPER), 11-14 De functie AXL, 11-15 D
De functie EGVL, 11-48 De functie EGV, 11-49 De functie JORDAN, 11-50 De functie MAD, 11-51 Het factoriseren van matrices, 11-52 De functie LU, 11-52 Orthogonale matrices en singuliere-waardedecompositie, 11-53 De functie SCHUR, 11-54 De functie LQ, 11-54 De functie QR, 11-55 Matrix Kwadratische Vormen, 11-55 Het menu QUADF, 11-56 Lineaire toepassingen, 11-58 De functie IMAGE, 11-58 De functie ISOM, 11-58 De functie KER, 11-58 De functie MKISOM, 11-59 Hoofdstuk 12 - Grafieken, 12-1 Grafische opties in de r
Een tabel voor parametrische vergelijkingen genereren, 12-28 De oplossing van eenvoudige differentiaalvergelijkingen plotten, 12-29 Waarheidsdiagrammen, 12-32 Kolomdiagrammen, staafdiagrammen en puntgrafieken plotten, 12-33 Staafdiagrammen, 12-34 Puntgrafieken, 12-36 Richtingscoëfficiëntvelden, 12-37 Snelle 3D-grafieken, 12-39 Draaddiagrammen, 12-41 Ps-Contour-diagrammen, 12-44 Y-snede-diagrammen, 12-45 Roosterdiagrammen , 12-47 Pr-oppervlakdiagrammen, 12-48 De variabele VPAR, 12-49 Interactief tekenen, 12-
ZINTG, 12-56 ZSQR, 12-56 ZTRIG, 12-56 Het SYMBOLIC-menu en grafieken, 12-57 Het SYMB/GRAPH-menu, 12-57 De functie DRAW3DMATRIX, 12-60 Hoofdstuk 13 - Calculustoepassingen, 13-1 Het menu CALC (Calculus), 13-1 Limieten en afgeleiden, 13-1 De functie Lim, 13-2 Afgeleiden, 13-3 De functies DERIV en DERVX, 13-3 Het menu DERIV&INTEG, 13-4 Afgeleiden berekenen met ∂, 13-4 De kettingregel, 13-6 Afgeleiden van vergelijkingen, 13-7 Impliciete afgeleiden, 13-8 Toepassing van afgeleiden, 13-8 Grafieken van functies ana
Integratie met eenheden, 13-23 Oneindige reeksen, 13-25 Taylor- en Maclaurin-reeksen, 13-25 Taylorpolynoom en geheugensteun, 13-25 De Functies TAYLR, TAYLR0 en SERIES, 13-26 Hoofdstuk 14 - Multi-variabele calculustoepassingen, 14-1 Multi-variabele functies, 14-1 Partiële afgeleiden, 14-1 Afgeleiden van hogere orde, 14-3 De kettingregel voor partiële afgeleiden, 14-4 Differentiaaltotale van een functie z = z(x,y), 14-5 Uiterste waarden in functies van twee variabelen bepalen, 14-5 De functie HESS gebruiken
Het menu CALC/DIFF, 16-4 Oplossing voor lineaire en niet-lineaire vergelijkingen, 16-4 De functie LDEC, 16-5 De functie DESOLVE, 16-8 De variabele ODETYPE, 16-9 Laplace-transformaties, 16-11 Definities, 16-11 Laplace-transformaties en inversies in de rekenmachine, 16-12 Stelling van de Laplace-transformatie, 16-13 Dirac’s delta functie en Heaviside’s stapfunctie, 16-16 Toepassingen van Laplace-transformatie voor de oplossing van lineaire ODE’s, 16-18 Fourierreeksen, 16-28 De functie FOURIER, 16-30 Fourierre
Numerieke oplossing van ODE’s met het menu SOLVE/DIFF, 16-74 De functie RKF, 16-74 De functie RRK, 16-76 De functie RKFSTEP, 16-77 Functie RRKSTEP, 16-77 De functie RKFERR, 16-78 De functie RSBERR, 16-79 Hoofdstuk 17 - Waarschijnlijkheidstoepassingen, 17-1 Het submenu MTH/PROBABILITY – deel 1, 17-1 Faculteiten, combinaties en permutaties, 17-1 Willekeurige getallen, 17-2 Discrete kansverdelingen, 17-4 Binomische verdeling, 17-5 Poisson-verdeling, 17-5 Continue kansverdelingen, 17-6 De gammaverdeling, 17-7
Berekening van percentielen, 18-15 Het softmenu STAT, 18-16 Het submenu DATA, 18-17 Het submenu ΣPAR, 18-17 Het submenu 1VAR, 18-18 Het submenu PLOT, 18-19 Het submenu FIT, 18-19 Het submenu SUMS, 18-20 Voorbeeld van handelingen in het menu STAT, 18-20 Betrouwbaarheidsintervallen, 18-24 Schatting van betrouwbaarheidsintervallen, 18-25 Definities, 18-25 Betrouwbaarheidsintervallen voor het populatiegemiddelde als de populatievariantie bekend is, 18-26 Betrouwbaarheidsintervallen voor het populatiegemiddelde
Voorspellingsfout, 18-56 Betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetoetsing in lineaire regressie, 18-56 Procedure voor inferentiestatistieken van lineaire regressie met de rekenmachine, 18-58 Meervoudige lineaire aanpassing, 18-61 Polynomiale aanpassing, 18-63 De beste aanpassing selecteren, 18-67 Hoofdstuk 19 - Getallen met verschillende grondtallen, 19-1 Definities, 19-1 Het menu BASE, 19-1 De functies HEX, DEC, OCT en BIN, 19-2 Conversie tussen talstelsels, 19-3 Woordlengte, 19-4 Bewerkingen met binaire
Hoofdstuk 21 - Programmeren in de RPL-gebruikerstaal, 21-1 Een programmeervoorbeeld, 21-1 Globale en lokale variabelen en sub-programma’s, 21-2 Bereik van de globale variabele, 21-4 Bereik van de lokale variabele, 21-5 Het menu PRG, 21-5 Navigeren door RPN submenu’s, 21-7 Lijst van functies per submenu, 21-7 Sneltoetsen in het menu PRG, 21-9 Toetsencombinatie voor veelgebruikte commando’s, 21-11 Programma’s voor het aanmaken van lijsten met nummers, 21-14 Voorbeelden van sequentieel programmeren, 21-15 Prog
De FOR-constructie, 21-64 De DO-constructie, 21-66 De WHILE-constructie, 21-68 Fouten en het ontdekken van fouten, 21-69 DOERR, 21-69 ERRN, 21-70 ERRM, 21-70 ERR0, 21-70 LASTARG, 21-70 Submenu IFERR, 21-71 Programmeren met de RPL-gebruikerstaal in de algebraïsche modus, 21-72 Hoofdstuk 22 - Programma’s voor het werken met grafieken, 22-1 Het menu PLOT, 22-1 Door de gebruiker gedefinieerde toets voor het menu PLOT, 22-1 Beschrijving van het menu PLOT, 22-2 Diagrammen genereren met programma’s, 22-15 Tweedim
Een verzameling van grafieken laten bewegen, 22-29 Meer informatie over de functie ANIMATE, 22-32 Grafische objecten (GROBs), 22-33 Het menu GROB, 22-34 Een programma met plot- en tekenfuncties, 22-37 Modulair programmeren, 22-39 Het programma activeren, 22-40 Een programma om de voornaamste drukpunten te berekenen, 22-42 De variabelen ordenen in de subdirectory, 22-42 Een tweede voorbeeld van de berekening van de cirkel van Mohr, 2243 Een invoerscherm voor het programma van de cirkel van Mohr, 22-44 Hoofd
Alarmfuncties, 25-4 Hoofdstuk 26 - Geheugen beheren, 26-1 Structuur van het geheugen, 26-1 De HOME directory, 26-2 Poortgeheugen, 26-2 Objecten in het geheugen controleren, 26 -2 Back-upobjecten, 26-3 Een back-up maken van objecten in het poortgeheugen, 26-4 Een back-up maken van de HOME directory en terugzetten, 26-4 Opslaan, verwijderen en terugzetten van back-upobjecten, 26-5 Gegevens gebruiken in back-upobjecten, 26-6 Bibliotheken gebruiken, 26-7 Een bibliotheek installeren en koppelen, 26-7 Bibliothee
Beperkte Garantie – BG-1 Service, BG-2 Regelgeving, BG-4 Blz.
Een opmerkingen over de schermafbeeldingen in deze gids Een schermafbeelding is een representatie van het scherm van de rekenmachine. Bijvoorbeeld, de eerste keer dat u uw rekenmachine aanzet, ziet u het volgende scherm. (Het scherm wordt getoond met een dikke rand): De bovenste twee regels zijn de kop van het scherm en de ruimte daaronder dient voor de uitvoer van de rekenmachine. De meeste schermafbeeldingen in deze gids zijn gegenereerd met een emulator op de computer.
terwijl u op de rekenmachine het volgende ziet: U ziet hier dat de kopregels de eerste regel en de helft van de tweede regel afdekken. Desondanks kunt u ook deze gegevens zichtbaar maken. U ziet deze regels door te drukken op de knop met de pijl omhoog (—), waarmee de gegevens op het scherm omlaag schuiven. Voert u de drie bewerkingen uit deze schermafbeelding uit, dan toont het scherm ze op hogere niveaus, zoals hier is getoond: Om deze oefeningen uit te voeren, drukt u op de volgende toetsen: S2.
schermafbeelding voor de bewerking SIN(2.5), die hierboven is getoond, kan in deze gids vereenvoudigd worden tot: De schermafbeeldingen worden zo vereenvoudigd om ruimte te sparen in de gids. Denk eraan dat er verschil kan zijn tussen de schermafbeeldingen in de gids en de werkelijke weergave op het scherm. U zult dan geen probleem hebben met de oefeningen in deze gids. Blz.
Hoofdstuk 1 Beginnen Dit hoofdstuk beschrijftde basisinformatie over het gebruik van uw rekenmachine. De doelstelling van de oefeningen is dat u vertrouwd raakt met de basisfuncties en instellingen voordat u daadwerkelijk een berekening maakt . Basisbediening De volgende oefeningen zijn bedoeld om de hardware van uw rekenmachine beter te leren kennen. Batterijen De rekenmachine gebruikt 3 AAA(LR03)-batterijen als hoofdvoeding en een CR2032 lithiumbatterij voor geheugenbackup.
b. Plaats een nieuwe CR2032 lithiumbatterij. Zorg ervoor dat de positieve kant (+) naar boven is geplaatst. c. Plaats het afdekplaatje terug en duw het in de beginpositie. Druk, nadat de batterijen zijn geplaatst, op [ON] om de rekenmachine in te schakelen. Waarschuwing: als de pictogram van een zwakke batterij in het beeldscherm verschijnt, dienen de batterijen zo spoedig mogelijk vervangen te worden.
In het bovenste gedeelte van het beeldscherm worden twee regels met informatie getoond die de instellingen van de rekenmachine beschrijven. De eerste regel toont de lettertekens RAD XYZ HEX R= 'X' Raadpleeg Hoofdstuk 2 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine voor meer informatie over de betekenis van deze specificaties. De tweede regel toont de lettertekens: { HOME } en dit betekent dat de HOME-directory de huidige directory in het geheugen van de rekenmachine is.
softmenutoetsen heeft, worden er maar 6 labels per keer weergegeven. Een menu kan echter uit meer dan zes invoeren bestaan softmenutoets . Elke groep van 6 ingangen wordt menupagina genoemd. Het huidige menu, bekend als het menu TOOL (zie hieronder), heeft acht ingangen gerangschikt over twee pagina's. De volgende pagina, die de volgende twee ingangen van het menu bevat, is beschikbaar door op de toets L (menu NEXT) te drukken. Deze toets is de derde toets links in de derde toetsenrij op het toetsbord.
Dit CHOOSE box draagt het label BASE MENU en verschaft een lijst van genummerde functies, van 1. HEX x tot en met 6. B R. Dit beeldscherm betreft de eerste pagina van dit CHOOSE box en toont zes menufuncties. U kunt door het menu bladeren met de pijltoetsen omhoog en omlaag, —˜, die zich rechtsbovenin het toetsenbord bevinden, meteen onder de softmenutoetsen E en Fsoftmenutoets.
Standaard ziet de regel eruit zoals in de bovenstaande afbeelding. De gemarkeerde regel (117 CHOOSE boxes) geeft aan dat CHOOSE boxes kaste de huidige menuinstelling is. Indien u verkiest de Softmenutoets te gebruiken, druk dan op desoftmenutoets @ @CHK@@ (C), gevolgd door @@@OK@@@ (F). Druk opnieuw op @@@OK@@@ (F) om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren.
H @)FLAGS —„ —˜ @ @CHK@@ @@@OK@@@ @@@OK@@@. Opmerkingen: 1. Het menu TOOL, verkregen door op Ite drukken, zal altijd een SOFT menu produceren. 2. De meeste voorbeelden die in deze handleiding getoond worden, gebruiken zowel SOFT menus als CHOOSE boxes. Bij het programmeren van toepassingen (Hoofdstuk 21 en 22) worden uitsluitend SOFT menu's gebruikt. 3. Aanvullende informatie over SOFT menu's versus CHOOSE boxes worden in Hoofdstuk 2 in deze handleiding behandeld.
Door op de toets L te drukken, verschijnt het originele menu TOOL. Het menu TOOL kan ook worden verkregen door op de toets I te drukken (dit is de derde toets van links in de tweede toetsenrij boven in het toetsenbord). Tijd en datum instellen De rekenmachine heeft een interne datum/tijd-klok. Deze klok kan ononderbroken uin het scherm worden getoond en kan worden gebruikt voor alarmen en voor geprogrammeerde taken.
Het instellen van het uur van de dag Met de nummertoetsen 1234567890 kan het uur van de dag worden ingesteld. Stel dat we het uur naar 11 veranderen door op 11 te drukken als het uurveld in het invoerscherm SET TIME AND DATE gemarkeerd is. Nummer 11 wordt nu in de onderste regel van het invoerscherm ingevoerd: Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ F om de wijziging door te voeren.
Met deze procedure wordt de laatst geselecteerde optie de ingestelde optie voor de tijdopmaak. • Als de softmenutoets @CHOOS gebruikt wordt, zijn de volgende opties beschikbaar. Gebruik de pijltoetsen omhoog en omlaag ,— ˜, om één van deze drie opties te selecteren (AM, PM, 24-hour time). Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ F om de keuze te maken.
Markeer uw keuze met de pijltoetsen omhoog en omlaag ,— ˜, en druk op de softmenutoets !!@@OK#@ F om uw keuze te maken. Het toetsenbord van de rekenmachine In onderstaande afbeelding ziet u een weergave van het toetsenbord van de rekenmachine met genummerde rijen en kolommen. Blz.
Column: 1 2 3 5 4 6 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Column: 1 2 3 4 5 De afbeelding toont 10 toetsenrijen gecombineerd met 3, 5 of 6 kolommen Rij 1 heeft 6 toetsen, rijen 2 en 3 hebben elk 3 toetsen en rijen 4 tot en met 10 hebben elk 5 toetsen. Er zijn 4 pijltoetsen aan de rechterkant van het toetsenbord bij de rijen 2 en 3. Elke toets heeft drie, vier of vijf functies. De hoofdfunctie van een toets heeft de meest zichtbare markering op de toets.
functies in het toetsenbord te activeren.
Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ F om terug te keren naar het normale beeldscherm. Hier volgen enkele voorbeelden voor het selecteren van verschillende rekenmachinemodi. Bedieningsmodus De rekenmachine bevat twee bedieningsmodi: de modus Algebraic en de modus Reverse Polish Notation (RPN). De rekenmachine staat standaard in de modus Algebraic (zoals in de bovenstaande afbeelding te zien is), maar gebruikers van oudere modellen van HP-rekenmachines zijn misschien meer bekend met de RPN-modus.
Om deze uitdrukking in de rekenmachine in te voeren, gebruiken we eerst de vergelijkingenschrijver, ‚O. Zoek de volgende toetsen op het toetsenbord, samen met de numerieke toetsenuitdrukking: !@.#*+-/R Q¸Ü‚Oš™˜—` De vergelijkingenschrijver is een beeldschermmodus waarmee u wiskundige uitdrukkingen kunt opstellen met expliciet wiskundige aanduidingen, zoals breuken, afgeleiden, integralen, wortels, enz.
R!Ü3.*!Ü5.1./ !Ü3.*3.™™ /23.Q3+!¸2.5` Zo krijgt u hetzelfde resultaat. Verander de bedieningsmodus in RPN door eerst op de toets H te drukken. Selecteer de bedieningsmodus RPN met de toets \ of door op de softmenutoets @CHOOS te drukken. Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ F om de handeling te voltooien. Het beeldscherm ziet er bij de RPN-modus als volgt uit: U ziet dat het beeldscherm meerdere niveaus van de uitkomst heeft genummerd met van onder naar boven 1, 2, 3, enz.
123/32 123`32/ 42 4`2Q 3 √27 27`3@» Let op de posities van de y en de x in de laatste twee handelingen. De basis in de exponentiële handeling is y (stapelgeheugenniveau 2), terwijl het exponent x is (stapelgeheugenniveau 1) voordat de toets Q wordt ingedrukt. In de derdemachtswortel is y (stapelgeheugenniveau 2) het getal onder het wortelteken en x (stapelgeheugenniveau 1) de wortel. Probeer de volgende oefening met de volgende 3 factoren: (5 + 3) × 2 5`3+ 2X Berekent eerst (5 + 3). Voltooit de berekening.
!¸ + R e2.5, gaat naar niveau 1, niveau 2 toont vorige waarde. (3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2.5 = 12.18369, op niveau. 1. √((3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2.5) = 3.4905156, naar 1. Alhoewel er in de RPN-modus wat meer nagedacht moet worden dan in de algebraïsche (ALG) modus, biedt het gebruik van RPN talrijke voordelen. In de RPN-modus kunt u bijvoorbeeld zien hoe de vergelijking zich stapsgewijs ontvouwt. Dit is buitengewoon nuttig om een mogelijke invoerfout te achterhalen.
stapelgeheugenniveaus naar een niveau hoger). Dit is buitengewoon handig, zoals in het vorige voorbeeld wordt getoond. Om tussen de ALG-modus en de RPN-modus te kiezen, kunt u ook systeemvlag 95 instellen met de volgende toetsencombinatie: H @)FLAGS —„—„—„ — @ @CHK@@ @@OK@@ @@OK@@ Als alternatief kunt u een van de volgende snelkoppelingen gebruiken: • In de ALG-modus, CF(-95) selecteert de RPN-modus • In de RPN-modus, 95 \` SF selecteert de ALG-modus meer informatie over het systeemvlaggen van de rekenmac
Deze modus wordt het meeste gebruikt, omdat de cijfers in de meest bekende notatie worden weergegeven. Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ , met Number format ingesteld op Std, om terug te keren naar het beeldscherm van de rekenmachine. Voer het getal 123.4567890123456 in (met 16 significante cijfers). Druk op de toets `.
Deze instelling verplicht dat alle resultaten worden afgerond op het dichtstbijzijnde volledige getal (0 cijfers na de komma). Het getal is echter nog steeds in de rekenmachine opgeslagen met de complete 12 significante cijferprecisie. Als we het aantal weer te geven decimalen veranderen, zult u zien dat de aanvullende cijfers opnieuw worden getoond. • Vaste opmaak met decimalen: Deze modus wordt hoofdzakelijk gebruikt wanneer met eindige precisie wordt gewerkt.
Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om terug te keren naar het beeldscherm van de rekenmachine. Het getal wordt nu weergegeven als: U ziet dat het getal is afgerond en niet afgekapt. Het getal 123.4567890123456 wordt voor deze instelling dus weergegeven als 123.457 en niet als 123.
wetenschappelijke notatie geeft het getal 3 voor de getalopmaak Sci (zoals eerder getoond) het aantal significante cijfers na de komma weer. De wetenschappelijke notatie heeft altijd één geheel getal, zoals hierboven. In dit geval is het aantal significante cijfers dus vier.. • Technische opmaak De technische opmaak (Engineering) lijkt sterk op de wetenschappelijke opmaak, maar de tiende machten zijn hier meervouden van drie. U stelt deze opmaak in door op de toets H te drukken.
• • • Decimale komma versus decimale punt De punten in cijfers met zwevende punten kunnen worden vervangen door komma's als de gebruiker hier liever mee werkt. Om de punten te vervangen door komma's wijzigt u de optie FM in CALCULATOR MODES als volgt naar komma's (U ziet dat we Number Format hebben gewijzigd in Std). Druk op de toets H. Druk daarna een keer op de toets pijltje omlaag, ˜, en keer op het pijltje rechts, ™, om de optie __FM, te markeren.
De hoekmeting is van invloed op trigonometrische functies als SIN, COS, TAN en de bijbehorende functies. Gebruik de volgende procudure om de hoekmetingmodus te wijzigen: • Druk op de toets H. Druk daarna twee keer op de toets pijltje omlaag, ˜. Selecteer de modus Hoekmeting met de toets \ (tweede van links in de vijfde rij onder in het toetsenbord) of door op de softmenutoets @CHOOS ( B) te drukken. Bij de tweede methode kunt u de pijltjes omhoog en omlaag, —˜, gebruiken om de gewenste modus te selecteren.
als 0).
De opties Beep, Key Click en Last Stack De laatste regel in het invoerscherm CALCULATOR MODES bevat de opties: _Beep _Key Click _Last Stack Door het aankruisvakje naast elk van deze opties te kiezen, wordt de overeenkomstige optie geactiveerd. Deze opties worden hierna beschreven: _Beep : Indien geselecteerd, wordt het geluidssignaal van de rekenmachine geactiveerd. Deze functie wordt hoofdzakelijk toegepast bij foutmeldingen, evenals voor enkele gebruikersfuncties zoals BEEP.
CAS-instellingen selecteren CAS staat voor Computer Algebraic System. Dit is het wiskundige hart van de rekenmachine waar de symbolisch wiskundige bewerkingen en functies geprogrammeerd en uitgevoerd worden. Het CAS biedt een aantal instellingen die aangepast kunnen worden in overeenstemming met de gewenste bewerking.
• • optie selecteren en op de softmenutoets @ @CHK@@ drukken totdat u de gewenste instelling krijgt. Als er een optie is geselecteerd, verschijnt er een vinkje op het onderliggende streepje (bijvoorbeeld de bovenstaande optie Textbook in de Stapelgeheugen:-regel). De ongeselecteerde opties hebben geen vinkje op het onderliggende streepje voor de gewenste optie (bijvoorbeeld de bovenstaande opties _Small, _Full page, en _Indent ) in de bovenstaande Edit:-regel)..
rekenmachine bladeren voor aanvullende lettertypes die u eventueel aangemaakt (zie Hoofdstuk 23) of gedownload heeft in de rekenmachine. Oefen in het wijzigen van de lettertypes van het beeldscherm naar de groottes 7 en 6. Druk op de softmenutoets OK om de keuze uit te voeren. Wanneer een lettertype keuze gedaan is Druk op de softmenutoets @@@OK@@@ om naar het invoerscherm CALCULATOR MODES terug te keren wanneer de keuze is gemaakt.
_Small Het lettertype wordt gewijzigd naar klein. Zo staat er zoveel mogelijk informatie op het scherm. Let op, deze selectie overschrijft het lettertype voor de stapelgeheugen-weergave. _Textbook De wiskundige uitdrukkingen worden in grafische wiskundige notatie weergegeven. Ter illustratie van deze instellingen, zowel in de algebraïsche modus als de RPN-modus, kunt u de vergelijkingenschrijver gebruiken om de volgende definitieve integraal in te voeren: ‚O…Á0™„虄¸\x™x` In de algebraïsche modus toont het
_Small De grootte van het lettertype wordt gewijzigd naar klein tijdens het gebruik van de vergelijkingeneditor _Small Stack Disp Een klein lettertype wordt in het stapelgeheugen weergegeven na het gebruik van de vergelijkingeneditor Gedetailleerde instructies over het gebruik van de equatie editor (EQW) zijn in een ander gedeelte van deze handleiding te vinden.
Header te gaan. Het Header-veld wordt gemarkeerd. Druk op de pijltoets naar rechts (™), om een markering te plaatsen op het onderliggende streepje voor de opties _Clock of _Analog. Gebruik de softmenutoets @ @CHK@@ totdat de gewenste instelling geselecteerd is. Als de optie _Clock geselecteerd is, worden de tijd en de datum in de rechterbovenhoek in het beeldscherm getoond. Als de optie _Analog geselecteerd is, wordt eerder een analoge dan een digitale klok in de rechterbovenhoek in het beeldscherm getoond.
Hoofdstuk 2 Introductie van de rekenmachine In dit hoofdstuk laten we een aantal basisbewerkingen zien van rekenmachine, waaronder het gebruik van de vergelijkingenschrijver en bewerkingen van gegevensobjecten in de rekenmachine. Bestudeer voorbeelden in dit hoofdstuk om een goed overzicht te krijgen van capaciteiten van de rekenmachine voor toekomstige toepassingen. de de de de Objecten van de rekenmachine Elk getal, uitdrukking, letterteken, variabele, enz.
als resultaat en niet 2.142…. Om een reëel (of drijvende punt) resultaat te forceren, kunt u gebruik maken van de functie NUM ‚ï. Hele getallen worden veel gebruikt bij functies die op het CAS zijn gebaseerd, omdat ze zijn ontworpen om een volledige precisie te behouden tijdens hun bewerking. Indien u de benaderingsmodus (APPROX) in het CAS selecteert (zie bijlage C), worden hele getallen automatisch omgezet in reële getallen.
zeer handig zijn bij het verwerken van verzamelingen van getallen. De kolommen van een tabel bijvoorbeeld kunnen als lijsten ingevoerd worden. Indien gewenst kunt u een tabel invoeren als een matrix x of array. Het objecttype 8 zijn programma’s in de User RPL-taal. Dit zijn instructieparen ingesloten tussen de symbolen << >>. Objecttypes 6 en 7 zijn met programma’s verbonden; Globale en Locale namen, respectievelijk. Deze namen, of variabelen, worden gebruikt voor het opslaan van elk willekeurig objecttype.
Het opmaken van uitdrukking in het beeldscherm In deze paragraaf laten we voorbeelden zien van het opmaken van uitdrukking rechtstreeks in het beeldscherm van de rekenmachine (algebraïsche geheugen of RPN-stapelgeheugen). Het aanmaken van aritmetische uitdrukking Voor dit voorbeeld selecteert u de Algebraïsche modus en selecteert u de opmaak Fix met drie decimalen voor het beeldscherm. We voeren nu de aritmetische uitdrukking in: 1.0 7.5 5.0 ⋅ 3.0 − 2.0 3 1.
volgende resultaat te krijgen (weergegeven in de decimale modus Fix met drie decimalen– zie Hoofdstuk 1): In dit geval, wanneer u de uitdrukking rechtstreeks in het stapelgeheugen invoert, en zodra u op `drukt, zal de rekenmachine proberen een waarde voor de uitdrukking te berekenen. Indien de uitdrukking echter tussen haakjes is ingevoerd, reproduceert de rekenmachine de uitdrukking zoals ingevoerd. In het volgende voorbeeld voert u dezelfde uitdrukking in als hierboven, maar dan tussen haakjes.
Wij voeren nu de bovenvermelde uitdrukking in terwijl de rekenmachine op de RPN-modus is ingesteld. Ook moet het CAS ingesteld zijn op Exact en het beeldscherm op Textbook. De toetsencombinaties voor de invoer van de uitdrukking zijn dezelfde als die eerder zijn gebruikt: ³5*„Ü1+1/7.5™/ „ÜR3-2Q3` Het resultaat: Druk opnieuw op ` zodat er twee kopieën van de uitdrukking beschikbaar blijven in het stapelgeheugen. Eerst evalueert u de uitdrukking met de functie EVAL en daarna met de functie NUM .
vele toepassingen in de fysica en techniek, waaronder de numerieke oplossing van vergelijking, statistische toepassingen, enz. werkt de modus APPROX (zie bijlage C) beter. Voor wiskundige toepassingen, bijvoorbeeld calculus, vectoranalyse, algebra, enz. wordt de modus EXACT verkozen. Raak bekend met de bewerkingen in beide modi en leer hoe u van de ene naar de andere modus kunt omschakelen naar gelang de bewerking (zie bijlage C).
• • • • • • • • Druk op de pijltoets naar rechts, ™, totdat de cursor onmiddellijk rechts van het decimale punt in de term 1.75 staat Druk twee keer op de wistoets, ƒ, om de lettertekens 1 te wissen. Druk één keer op de pijltoets naar rechts, ™, om de cursor tot rechts van de 7 te bewegen Voer een decimale punt in met .
Druk op ` om het volgende resultaat te krijgen: Het invoeren van deze uitdrukking met de rekenmachine ingesteld op de RPNmodus gebeurt op precies dezelfde manier als die voor deze oefening in de ALG-modus. Het bewerken van algebraïsche uitdrukkingen Het bewerken van een algebraïsche uitdrukking met de regeleditor lijkt sterk op dat van een aritmetische uitdrukking (zie oefening boven).
• • • • • • • • • • • • Voer Q2 in om macht 2 voor de x toe te passen Druk op de pijltoets naar rechts, ™, totdat de cursor zich rechts van de y bevindt Druk één keer op de wistoets, ƒ, om het letterteken y te wissen.
• Druk op „˜ om de regeleditor opnieuw te activeren. Het resultaat is nu: • Druk opnieuw op ` om naar het normale beeldscherm terug te keren. Indien u de volledige uitdrukking in het beeldscherm wilt bekijken, kunt u _Small Stack Disp in het invoerscherm DISPLAY MODES veranderen (zie Hoofdstuk 1).
De Vergelijkingenschrijver wordt geactiveerd met de toetsencombinatie … ‚O (de derde toets in de vierde rij boven in het toetsenbord). Hetgeen resulteert in het volgende beeldscherm: De zes softmenutoetsen voor de Vergelijkingenschrijver activeert de volgende functies: @EDIT : @CURS : @BIG : @EVAL : @FACTO : @SIMP : hiermee kan de gebruiker een ingang in de regeleditor bewerken (zie bovenstaande voorbeelden) Markeert de uitdrukking en voegt er een grafische cursor aan toe.
van CAS-commando’s in een beschikbare uitdrukking in de Vergelijkingenschrijver. @HELP : Hiermee wordt de helptekst geactiveerd van het CAS van de rekenmachine voor informatie en voorbeelden van de CAScommando’s. Hieronder volgen enkele voorbeelden voor het gebruik van de Vergelijkingenschrijver.
Stel dat u de hoeveelheid tussen haakjes in de noemer (d.w.z. 5+1/3) wilt vervangen door (5+π2/2). U gebruikt eerst de wistoets (ƒ) om de huidige 1/3 uitdrukking te wissen en daarna vervangt u als volgt deze breuk door π2/2: ƒƒƒ„ìQ2 Hierna ziet het beeldscherm er als volgt uit: Om de noemer 2 in de uitdrukking in te voegen, moet u de volledige π2 uitdrukking markeren. U kunt dit doen door één keer op de pijltoets naar rechts (™) te drukken.
Opmerking: vanuit de oorspronkelijke positie van de cursor (rechts van de 2 in de noemer van π2/2) kunt u de toetsencombinatie ‚— gebruiken, in de vorm van (‚ ‘ ). Voer wanneer de uitdrukking gemarkeerd wordt, zoals hierboven, +1/3 in om de breuk 1/3 toe te voegen, hetgeen resulteert in: De uitdrukking in een kleinere grootte weergeven Om de uitdrukking in een kleiner lettertype te tonen (wat handig kan zijn in geval de uitdrukking lang en ingewikkeld is), drukt u gewoon op de softmenutoets @BIG C.
op de softmenutoets @EVAL D. Indien uw rekenmachine ingesteld is op de CAS-modus Exact CAS-modus (d.w.z. de _Approx CAS modus is niet gemarkeerd), dan krijgt u het volgende symbolische resultaat: Gebruik de functie UNDO, d.w.z. …¯(keyboarded eerste toets in de derde rij boven in het toetsenbord) asl u nu de ongeëvalueerde uitdrukking wit herstellen. De herstelde uitdrukking verschijnt met de eerdere markering: Indien u een drijvende punt (numerieke) evaluatie wilt, gebruik de functie NUM (d.w.z., …ï).
™ ˜ ™ ˜ ™ Markeert de Markeert de Markeert de Markeert de eerste breuk Markeert de noemer van de eerste breuk eerste term in de noemer van de eerste breuk tweede term in de noemer van de eerste breuk eerste factor in de tweede term in de noemer van de uitdrukking tussen haakjes in noemer van de eerste breuk Aangezien dit de subuitdrukking is die wij willen evalueren, kunt u nu op de softmenutoets @EVAL D drukken, hetgeen resulteert in: Opnieuw een symbolische evaluatie.
Laten we het rechtergedeelte van de breuk markeren, een numerieke evaluatie van deze term maken en de som van deze twee decimale waarden in een klein lettertype weer te geven met:™ …ï CHet resultaat: Voor het markeren en evalueren van de uitdrukking in de Vergelijkingenschrijver gebruikt u — D, hetgeen resulteert in: Het bewerken van aritmetische uitdrukkingen Als oefening worden enkele van de bewerkingsfuncties in de Vergelijkingenschrijver getoond.
Druk op de pijltoets omlaag (˜) om de bewerkingscursor in te activeren. Nu ziet het beeldscherm er als volgt uit: Door gebruik te maken van de pijltoets naar links (š) kunt u de cursor in de gangbare richting naar links verplaatsen, maar u kunt bij ieder specifiek element van de uitdrukking stoppen. We gaan ervan uit dat u bijvoorbeeld, eerst de uitdrukking π 2/2 wilt veranderen in de uitdrukking LN(π5/3) .
Vervolgens verandert u de 5 tussen de haakjes in een ½ met de volgende toetsencombinaties: šƒƒ1/2 Daarna markeert u de volledige uitdrukking tussen haakjes en voegt u het vierkantswortelsymbool in met: ————R Vervolgens verandert u de 2 vóór de haakjes in de noemer in 2/3 met: šƒƒ2/3 Nu ziet de uitdrukking er als volgt uit: De laatste stap is het verwijderen van 1/3 rechts van de uitdrukking.
Het aanmaken van algebraïsche uitdrukkingen Een algebraïsche uitdrukking lijkt sterk op een aritmetische uitdrukking, met uitzondering dat het Engelse en Griekse letters kan bevatten. Derhalve wordt een algebraïsche uitdrukking op dezelfde manier aangemaakt als een aritmetische uitdrukking, met uitzondering dat het alfabetische toetsenbord gebruikt kan worden.
De uitdrukkingstructuur De uitdrukkingstructuur is een diagram dat laat zien hoe de Vergelijkingenschrijver een uitdrukking omzet. In bijlage E wordt een gedetailleerd voorbeeld van een structuur getoond. De functie CURS De functie CURS (@CURS) in het menu van de Vergelijkingsschrijver (de toets B) zet het beeldscherm in een grafisch beeldscherm om en produceert een grafische cursor die u kunt bewegen met de pijltoetsen (š™—˜) om subuitdrukkingen te selecteren.
• • Gebruik de pijltoetsen (š™—˜) om uitdrukkingen te markeren Gebruik herhaaldelijk de pijltoets omlaag (˜) om de bewerkingscursor te activeren. Maak in deze modus gebruik van de pijltoetsen naar links of naar rechts (š™) om in een uitdrukking van term naar term te bewegen. • Wanneer u de bewerken positie komt, gebruikt u de wistoets (ƒ) om de cursor te activeren en om de uitdrukking te bewerken.
Indien u de bovenstaandeoefening gevolgd heeft, moet de bewerkingscursor op het getal 2 in de eerste factor van de uitdrukking staan.
hele argument van de functie LN gemarkeerd wordt. Dit komt omdat de uitdrukking, overeenkomstig de CAS-regels,niet meer geëvalueerd of vereenvoudigd kan worden . Gebruik de toetsencombinatie: —D dan ziet u dat de uitdrukking weer niet wordt veranderd. Door —D weer te gebruiken, wijzigt de uitdrukking als volgt: Een volgende toepassing van de toetsencombinatie —D veroorzaakt meer wijzigingen: Deze uitdrukking past niet in het beeldscherm van de Vergelijkingenschrijver.
Dit beeldscherm toont het argument van de functie SIN, d.w.z. 3 θ , LN (θ ) 3 . Dit lijkt misschien niet op een vereenvoudiging, maar het gewijzigd in e is er wel degelijk een in de zin dat de kubieke wortelfunctie vervangen is door de inverse functies exp-LN. Het factoriseren van een uitdrukking: In deze oefening probeert u een polynoomuitdrukking te factoriseren. Druk op de toets ` om verder te gaan met de vorige oefening . Activeer de Vergelijkingenschrijver opnieuw met ‚O.
Druk nu op de softmenutoets @FACTO om het volgende te krijgen Druk op ‚¯om de oorspronkelijke uitdrukking te herstellen. Selecteer nu de gehele uitdrukking door één keer op de pijltoets omhoog (—) te drukken. En druk op de softmenutoets @FACTO om het volgende te krijgen Druk op ‚¯om de oorspronkelijke uitdrukking te herstellen.
Selecteer vervolgens het commando DERVX (de afleiding met betrekking tot de variabele X, de huidige onafhankelijke CAS-variabele) met: ~d˜˜˜ Het commando DERVX wordt nu geselecteerd: Druk op de softmenutoets @@OK@@ (F) voor het volgende beeldscherm: Druk vervolgens op de toets L voor het oorspronkelijke menu van de Vergelijkingenschrijver en druk op de softmenutoets @EVAL@ (D) om deze afleiding te evalueren.
De opmaakfuncties BEGIN, END, COPY, CUT en PASTE gebruiken Om bewerkingen eenvoudiger te maken, hetzij met de Vergelijkingenschrijver, hetzijin het stapelgeheugen, biedt de rekenmachine vijf opmaakfuncties, nl. BEGIN, END, COPY, CUT en PASTE, die geactiveerd worden door de shifttoets naar rechts (‚) te combineren met de toetsen (2,1), (2,2), (3,1), (3,2) en (3,3), respectievelijk. Deze toetsen bevinden zich in helemaal links in rijen 2 en 3.
Vervolgens kopieert u de breuk 2/√3 van de factor helemaal links in de uitdrukking en plaatst deze in de teller van het argument voor de functie LN. Voer de volgende toetsencombinaties uit: ˜˜šš———‚¨˜˜ ‚™ššš‚¬ Het resulterende beeldscherm is als volgt: De functies BEGIN en END zijn niet nodig als u in de Vergelijkingenschrijver werkt, aangezien u reeksen van lettertypes kunt selecteren met de pijltoetsen. De functies BEGIN en END zijn handiger wanneer u een uitdrukking met de regeleditor bewerkt.
Op het beeldscherm verschijnt gemarkeerd de benodigde subuitdrukking: Nu kan deze uitdrukking als volgt gekopieerd en in de noemer van het LNargument geplaatst worden:‚¨™™… (27 keer) … ™ ƒƒ… (9 keer) … ƒ ‚¬ De regeleditor ziet er nu als volgt uit: Door op ` te drukken wordt de uitdrukking in de Vergelijkingenschrijver getoond (in klein lettertype, druk op de softmenutoets @BIG C): Druk op de ` toets om de Vergelijkingenschrijver te verlaten.
Druk op ‚O om de Vergelijkingenschrijver te activeren. Druk daarna op ‚½om de operator voor het optellen in te voeren. U ziet dat de operator wanneer het in de Vergelijkingenschrijver wordt ingevoerd, invoerposities verschaft voor de index van de optelling evenals voor de op te tellen hoeveelheid.
Dubbele optellingen zijn ook mogelijk, bijvoorbeeld: Afleidingen De Vergelijkingenschrijver wordt gebruikt om de volgende afleiding in te voeren: d (α ⋅ t 2 + β ⋅ t + δ ) dt Druk op ‚O om de Vergelijkingenschrijver te activeren. Druk daarna op ‚¿om het (gedeeltelijke) afleidingsteken in te voeren. U ziet dat het signaal wanneer het in de Vergelijkingenschrijver wordt ingevoerd, de invoerposities biedt voor het differentiëren van de uitdrukking en de variabele van differentiatie.
Druk op ‚¯ om de afleiding te herstellen. Om de afleiding opnieuw te evalueren, kunt u de softmenutoets D gebruiken. Dit laat opnieuw zien dat d (α ⋅ t 2 − β ⋅ t + δ ) = 2α ⋅ t + β . dt Afleidingen van de tweede orde zijn mogelijk, bijvoorbeeld: hetgeen evalueert tot: Opmerking: de notatie ∂ ( ∂x ) is kenmerkend voor gedeeltelijke afleidingen. De juiste notatie voor hele afleidingen (d.w.z. afleidingen van een variabele) is d ( ) .
t*S~„t™~„t Hetgeen resulteert in het volgende beeldscherm: Druk op —— en de softmenutoets A, om de bijbehorende uitdrukking in de regeleditor te visualiseren: Dit duidt erop dat de algemene uitdrukking voor een afleiding in de regeleditor of in het stapelgeheugen de volgende is: ∫(laagste_grens,hoogste_grens,integrand,variabele_van_integratie) Druk op de toets ` om naar de Vergelijkingenschrijver terug te keren.
Deze integraal evalueert tot 36 Gegevens organiseren in de rekenmachine U kunt gegevens in uw rekenmachine organiseren door variabelen in een directorystructuur op te slaan. Om de werking van het rekenmachinegeheugen te begrijpen, moet u eerst het directorybestand openen.
Functies voor de bewerking van variabelen Dit beeldscherm bevat 20 commando’s behorende bij de softmenutoetsen die gebruikt kunnen worden voor het aanmaken, bewerken en behandelen van variabelen.
Voor het verplaatsen naar de verschillende softmenucommando’s, kunt u naast de toets NEXT (L), ook de toets PREV („«) gebruiken. De gebruiker kan deze functies zelf oefenen. De toepassingen zijn eenvoudig. De HOME directory De HOME directory, zoals eerder vermeld, is de basisdirectory voor de geheugenbewerking van de rekenmachine.
Dit keer wordt de CASDIR in het beeldscherm gemarkeerd. Druk op de softmenutoets @@OK@@ (F) of ` voor de inhoud van de directory, zoals weergegeven in het onderstaande beeldscherm: Het beeldscherm toont een tabel met de beschrijving van de variabelen in de CASDIR. Dit zijn variabelen die vantevoren zijn bepaald in het rekenmachinegeheugen dat bepaalde parameters vaststelt voor de CASbewerking (zie bijlage C).
CASDIR-variabelen in het stapelgeheugen Door op de toets $ te drukken, sluit het vorige beeldscherm en keert u terug naar het normale beeldscherm van de rekenmachine. U keert standaard terug naar het menu TOOL: U kunt de variabelen in de huidige CASDIR directory bekijken door op de toets J te drukken (eerste toets in de tweede rij boven in het toetsenbord).
REALASSUME PERIOD VX EPS Lijst van variabelennamen aangenomen als reële waarden Periode voor trigonometrische functies (standaard = 2π) Naam van standaard onafhankelijke variabele (standaard = X) Waarde van kleine toename (epsilon) (standaard = 10-10) Deze variabelen worden gebruikt voor de bewerking van het CAS De directory en namen van variabelen invoeren Om subdirectories, en soms variabelen te benoemen, moet u letterketens in één keer invoeren, welke wel of niet met getallen gecombineerd kan worden.
RPN-modus kan worden uitgevoerd), probeer de volgende toetsenencombinaties. Met deze commando’s voert u de woorden ‘MATH’, ‘Math’ en ‘MatH’ in ³~~math` ³~~m„a„t„h` ³~~m„~at„h` Het beeldscherm van de rekenmachine zal het volgende tonen (links staat de ALG-modus en rechts de RPN-modus: Opmerking: als systeemvlag 60 is ingesteld, kunt u het alfabetische toetsenbord vergrendelen door alleen op ~te drukken. Raadpleeg Hoofdstuk 1 voor meer informatie over systeemvlaggen.
de pijltoetsen omhoog en omlaag (—˜) om de directory te markeren. Druk daarna op de softmenutoets @@OK@@ (F). Het beeldscherm ziet er waarschijnlijk als volgt uit: en toont dat er momenteel in de HOME directory slechts een object staat, namelijk de CASDIR subdirectory. We gaan nu een andere subdirectory aanmaken met de naam MANS (voor MANualS), waarin de variabelen staan die zijn aangemaakt in de oefeningen in deze handleiding. Voer eerst L @@NEW@@ (C) in om deze subdirectory aan te maken.
om het invoerscherm te verlaten. De variabele voor de HOME directory wordt als volgt in het beeldscherm weergegeven: Het scherm geeft aan dat er in de HOME directory een nieuwe directory (MANS) staat. Vervolgens maakt u een subdirectory aan met de naam INTRO (voor INTROduction) in MANS, voor de variabelen die zijn aangemaakt in de oefeningen in dit hoofdstuk. Druk op de softmenutoets $ om naar het normale beeldscherm terug te keren (het menu TOOLS zal weergegeven worden).
Het gebruiken van het commando CRDIR Het commando CRDIR kan gebruikt worden om directory's aan te maken. Dit commando is beschikbaar via de commandocatalogus (de toets ‚N, tweede toets in de vierde rij boven in het toetsenbord, via de programmeermenus (de toets „°, dezelfde toets als de toets‚N) of door het gewoon in te voeren. • Via de catalogustoets Druk op ‚N~c. Gebruik vn de pijltoetsen omhoog en omlaag (—˜) om het commando CRDIR te vinden. Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om het commando te activeren.
Commando CRDIR in de Algebraïsche modus Als u eenmaal het commando CRDIR geselecteerd heeft via een van de aangegeven manieren, is het commando als volgt in uw stapelgeheugen beschikbaar: Nu moet u een directorynaam invoeren, bijvoorbeeld chap1 : ~~„~chap1~` De naam van de nieuwe directory zal bij de softmenutoetsen getoond worden, bijvoorbeeld, Commando CRDIR in de RPN-modus Om de CRDIR in de RPN-modus te gebruiken, moet er al een directorynaam in het stapelgeheugen beschikbaar zijn voor het commando toeg
Als alternatief kunt u het menu FILES gebruiken, d.w.z. druk op „¡. Maak gebruik van de pijltoetsen omhoog en omlaag (—˜) om de gewenste subdirectory te selecteren en druk daarna op !CHDIR (CHange DIRectory) of A. Dit zal de inhoud van de huidige subdirectory weergeven in de labels van de softmenutoetsen. Het verwijderen van directory's Voor het verwijderen van een subdirectory, kunt u een van de volgende methoden gebruiken: Via het menu FILES Druk op „¡ om het menu FILES te activeren.
en u moet op @@OK@@ drukken voordat u terugkeert naar de variabelenlijst. Via het commando PGDIR Het commando PGDIR kan gebruikt worden om directory's te wissen. Zoals bij het commando CRDIR, is het commando PGDIR beschikbaar via de toetsen ‚N of „°, of het kan gewoon ingevoerd worden. • Via de catalogustoets Druk op ‚N~~pg. Het commando PGDIR moet gemarkeerd worden. Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om het commando te activeren. • Via de programmeermenus Druk op „°.
Gebruik daarna de pijltoets omlaag, ˜, om de optie 6. PGRDIR te selecteren en druk op @@OK@@.
Het commando PGDIR in de RPN-modus Om de PGDIR in de RPN-modus te gebruiken, moet u de naam van de directory tussen haakjes al in het stapelgeheugen staan voordat het commando wordt toegepast.
een letter (een Engelse of een Griekse). Enkele niet alfabetische lettertekens, zoals de pijl (→) kunnen in een variabele gebruikt worden indien gecombineerd met een alfabetisch letterteken. ‘→A’ is dus een geldige variabelennaam, maar ‘→’ daarentegen niet. Geldige voorbeelden van variabelennamen zijn: ‘A’, ‘B’, ‘a’, ‘b’, ‘α’, ‘β’, ‘A1’, ‘AB12’, ‘ A12’,’Vel’,’Z0’,’z1’, enz. Een variabele kan niet dezelfde naam hebben als een functie van de rekenmachine.
toetsencombinatie om naar deze subdirectory te gaan: „¡ en selecteer de INTRO subdirectory zoals in het beeldscherm getoond wordt: Druk op @@OK@@ om de directory in te voeren: Er verschijnt een bestandenlijst zonder invoer (momenteel is de INTRO subdirectory leeg) Druk op de toets L om naar de volgende softmenutoetsen te gaan en druk op de softmenutoets @@NEW@@. Nu verschijnt het invoerscherm NEW VARIABLE: Voor het invoeren van variabele A (zie tabel hierboven) voert u eerst als volgt de inhoud in, d.w.
De lijst geeft een reële variabele (|R) aan met de naam A en 10.5 bytes aan geheugen. Druk op L@VIEW@ om de inhoud van de variabele op dit beeldscherm te zien. • Druk op de softmenutoets @GRAPH (A) om de inhoud in een grafische opmaak te bekijken. • • • Druk op de softmenutoets @TEXT (A) om de inhoud in een tekstopmaak te bekijken. Druk op @@OK@@ om naar de variabelenlijst terug te keren. Druk opnieuw op $ om naar het normale beeldscherm terug te keren.
Gebruik de volgende toetsenaanslagen om de waarde van –0.25 in de variabele α op te slaan: 0.25\ K ~‚a. Nu zal het beeldscherm er als volgt uitzien: Deze uitdrukking betekent dat de waarde –0.25 opgeslagen is in α (het symbool stelt de bewerking voor). Druk op ` om de variabele aan te maken.
Gebruik de volgende toetsencombinatie om de waarde van –0.25 in de variabele α op te slaan: 0.25\` ~‚a`. Nu ziet het beeldscherm er als volgt uit: Deze uitdrukking betekent dat de waarde –0.25 opgeslagen is in α. Druk op K om de variabele aan te maken.
Het controleren van de inhoud van variabelen Als oefening voor het bekijken van de inhoud van de variabelen maakt u gebruik van de zeven variabelen ingevoerd in de voorgaande oefening. In een eerdere oefening voor het aanmaken van de variabele A, toonden wij u hoe het menu FILES gebruikt kan worden om de inhoud van een variabele zichtbaar te maken. In deze paragraaf wordt een eenvoudige manier getoond om de inhoud van een variabele te bekijken.
Opmerking: door op @@@p1@@ ` te drukken, probeert u het p1 programma te activeren. Dit programma verwacht echter een numerieke invoer. Probeer de volgende oefening: $@@@p1@ „Ü5`. Het resultaat is: Het programma heeft de volgende structuur: << → r 'π*r^2' >> De symbolen « » duiden op een programma in de User RPL-taal (de oorspronkelijke programmeertaal van de HP 28/48 rekenmachines, en beschikbaar in de HP 49G serie).
U ziet dat om het programma in de RPN-modus te activeren u alleen de invoer (5) dient in te voeren en op de desbetreffende softmenutoets moet drukken. In de algebraïsche modus moet u haakjes plaatsen om het argument in te voeren. Via de rechtershifttoets ‚ gevolgd door de softmenutoetslabel Deze methode om de inhoud van een variabele te visualiseren werkt in de ALG-modus en RPN-modus op dezelfde wijze.
Met als voorbeeld de zes eerder aangemaakte variabelen p1, z1, R, Q, A12, a en A vervangt u de inhoud van variabele A12 (momenteel een numerieke variabele) door de algebraïsche uitdrukking ‘β/2’, met het commando STO . Eerst in de Algebraïsche modus: ³~‚b/2™ K @@A12@@ ` Controleer de nieuwe inhoud van de variabele A12 met ‚@@A12@@ .
Het kopiëren van variabelen De volgende oefeningen laten de verschillende methodes zien om variabelen van de ene subdirectory naar de andere te kopiëren. Via het menu FILES Voor het kopiëren van een variabele van de ene directory naar de ander, kunt u het menu FILES gebruiken. Bijvoorbeeld, in de subdirectory {HOME MANS INTRO} staan de variabelen p1, z1, R, Q, A12, α en A. Stel dat u variabele A wilt kopiëren en een kopie in subdirectory {HOME MANS} wilt plaatsen.
omlaag (˜) om de variabele R, te selecteren, druk dan op @@COPY@. Gebruik de pijltoets omhoog (—) om de HOME directory te selecteren en druk op @@OK@@.
dat u de inhoud van variabele z1 in de HOME directory wilt kopiëren. Voer de volgende toetsencombinatie uit: ‚@@z1@ `³@@z1@ ` Deze methode geeft een lijst van de inhoud en de naam van de variabele in het stapelgeheugen. Het beeldscherm ziet er dan als volgt uit: Gebruik nu „§„§ om naar de HOME directory te gaan en druk op K om de bewerking te voltooien. Gebruik vervolgens ‚@@z1@ om de inhoud van de variabele te verifiëren.
Gebruik ‚@@ @R@ en ‚@@ @Q om de inhoud van de variabelen te verifiëren. Deze procedure kan uitgebreid worden voor het kopiëren van drie of meer variabelen. Het herschikken van variabelen in een directory In deze paragraaf wordt het gebruik van het commando ORDER behandeld voor het herschikken van variabelen in een directory. Stel dat u in de subdirectory {HOME MANS} staat met de variabelen A12, R, Q, z1, A en de subdirectory INTRO, zoals hieronder getoond wordt. (Kopieer A12 vanuit INTRO naar MANS).
RPN-modus In de RPN-modus geeft het stapelgeheugen een lijst van herschikte variabelen voordat het commando ORDER is toegepast. Stel dat u vanuit dezelfde situatie begint als hierboven, alleen dan in de RPN-modus, d.w.z., De herschikte lijst wordt aangemaakt met: „ä )@INTRO @@@@A@@@ @@@z1@@ @@@Q@@@ @@@@R@@@ @@A12@@ ` Voer daarna het commando ORDER in, zoals u al eerder heeftgedaan, d.w.z.
Opmerking: u kunt het stapelgeheugen gebruiken om een variabele te verplaatsen door het kopiëren en verwijderen van een variabele. De procedure voor het verwijderen van variabelen wordt in de volgende paragraaf behandeld. Het verwijderen van variabelen Variabelen kunnen verwijderd worden met de functie PURGE . Deze functie is rechtstreeks toegankelijk het menu TOOLS (I) of via het menu FILES „¡@@OK@@ . Via het commando FILES Het commando FILES kan gebruikt worden om één variabele per keer te verwijderen.
variabele p1 te verwijderen. Druk op I @PURGE@ J@@p1@@ `. Het beeldscherm toont nu de verwijderde variabele p1 U kunt het commando PURGE gebruiken om meer dan een variabele te verwijderen door hun namen in een lijst in het argument van PURGE te plaatsen. Indien u nu bijvoorbeeld te variabelen R en Q, tegelijkertijd wilt verwijderen, kunt u de volgende oefening proberen.
De functies UNDO en CMD De functies UNDO en CMD zijn handig om recente commando’s te achterhalen of een bewerking ongedaan te maken als er een fout is gemaakt. Deze functies zijn verbonden met de toets HIST. UNDO wordt uitgevoerd met de toetsencombinatie ‚¯, terwijl CMD wordt uitgevoerd met „®. Om het gebruik van UNDO te verduidelijken, kunt u de volgende oefening in de algebraïsche (ALG) modus proberen: 5*4/3`. Het commando UNDO (‚¯) verwijdert gewoon het resultaat.
Zoals u kunt zien, staan de getallen 3, 2 en 5, gebruikt in de eerste bovenstaande berekening in het keuzevenster, evenals de algebraïsche ‘SIN (5X2)’, maar staat de functie SIN er niet in die eerder ingevoerd werd in de ALG-modus. Vlaggen Een vlag is een Boolean waarde, die ingesteld of gewist kan worden (waar of vals) en die een gegeven instelling van de rekenmachine of een optie in een programma weergeeft. In de rekenmachine worden vlaggen geïdentificeerd door getallen.
die niet toegankelijk zijn voor de gebruiker staan niet in dit beeldscherm. In Hoofdstuk 24 staat de volledige vlaggenlijst. Voorbeeld van vlaginstelling : algemene oplossingen versus hoofdwaarde De standaardwaarde voor bijvoorbeeld systeemvlag 01 is Algemene oplossingen. Dit betekent dat wanneer een vergelijking meerdere oplossingen heeft, alle oplossingen teruggestuurd worden door de rekenmachine, hoogstwaarschijnlijk in een lijst.
Verander nu de instelling van vlag 1 naar General solutions (Algemene oplossingen): H@FLAGS@ @ @CHK@@ @@OK@@ @@OK@@ . En probeer de oplossing opnieuw: ——``. De oplossing bevat nu twee waarden: RPN-modus Stel eerst de systeemvlag in op 01 (d.w.z. Hoofdwaarde). Druk twee keer op @@OK@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren.
Andere belangrijke vlaggen Activeer opnieuw de huidige vlaginstelling door op de toets H en daarna op de softmenutoets @FLAGS! te drukken. Verwijder de instelling van de systeemvlag zoals in de voorgaande oefening. Gebruik de pijltoetsen omhoog en omlaag (—˜) om door de lijst van de systeemvlag te schuiven. Andere belangrijke vlaggen en hun voorkeurswaarde voor de oefeningen in deze handleiding zijn: 02 Constant → symb: Constante waarden (bijvoorbeeld π) worden als symbolen bewaard.
@@OK@@ —— Voor het weergeven van de menulijst in DIRECTORY menulijst en het selecteren van ORDER @@OK@@ Voor het activeren van het commando ORDER Er bestaat een andere manier omdeze menu's te openen als soft MENU toetsen door de instelling van vlag 117 te veranderen.
Druk op B om het softmenu MEMORY ()@@MEM@@) te selecteren. Het beeldscherm ziet er nu als volgt uit: Druk op E om het softmenu DIRECTORY ()@@DIR@@) te selecteren. Het commando ORDER wordt niet op het beeldscherm weergegeven. Gebruik de toets L om het te vinden: Druk op de softmenutoets C(@ORDER) om het commando ORDER te activeren. Hoewel niet toegepast op een specifiek voorbeeld, geeft deze oefening de twee opties weer voor menu's in de rekenmachine (keuzevensters en softmenu's).
• Het menu CMDS (CoMmanDS), geactiveerd in de Vergelijkingenschrijver, d.w.z. ‚O L @CMDS Blz.
Hoofdstuk 3 Berekeningen met reële getallen In dit hoofdstuk laten we het gebruik van de rekenmachine voor bewerkingen en functies met reële getallen zien. Dit soort bewerkingen zijn handig voor de meest frequente berekeningen in de fysica en de bouwtechniek. We gaan er vanuit dat de gebruiker bekend is met het toetsenbord zodat hij bepaalde functies op het toetsenbord herkent (b.v. SIN, COS, TAN, enz.). We gaan er ook vanuit dat de lezer weet hoe hij de bewerkingen van de rekenmachine kan instellen, d.w.z.
beschrijving van het element. Ook de uitleg van elk van die waarden wordt weergegeven. 1. Specificatie van de hoekmeting (DEG, RAD, GRD) DEG : graden, 360 graden in een volledige cirkel RAD : radialen, 2π radialen in een volledige cirkel GRD : rangordeninggraden, 400 rangordeninggraden in een volledige cirkel 2. Specificatie van het coördinatensysteem (XYZ, R∠Z, R∠∠). Symbool ∠ duidt een hoekcoördinaat aan.
Berekeningen met reële getallen Bij berekeningen met reële getallen kan het CAS het beste worden ingesteld op de modus Real (en niet Complex). In sommige gevallen kan er een complex resultaat verschijnen en de rekenmachine zal u dan vragen over te schakelen op de modus Complex. De modus Exact is de standaardmodus voor de meeste bewerkingen. Daarom is het aan te raden uw berekeningen in deze modus te beginnen.
De eerste drie van de bovenstaande bewerkingen worden weergegeven in het volgende beeldscherm: In de RPN-modus moet u de operanden achtereenvolgens in te voeren, gescheiden door de `-toets en pas aan het einde moet u op een operator drukken. Voorbeelden: 3.7` 6.3` 4.2` 2.3` 5.2+ 8.52.5* 4.5/ In de RPN-modus daarentegen, kunt u de operanden van elkaar scheiden met een spatie (#), alvorens op de operator te drukken. Voorbeelden: 3.7#5.2 6.3#8.5 4.2#2.5 2.3#4.
³„Ü5+3.2™/ „Ü7-2.2`µ In zowel de ALG- als de RPN-modus kunt u de Vergelijkingenschrijver gebruiken: ‚O5+3.2™/7-2.2 De uitdrukking kan geëvalueerd worden binnen de Vergelijkingenschrijver, door middel van de volgende formule: ————@EVAL@ of ‚—@EVAL@ Absolute waardefunctie De absolute waardefunctie, ABS, wordt verkregen met de volgende toetsencombinatie: „Ê. Indien u in het stapelgeheugen werkt in de ALGmodus, moet u de functie vóór het argument in te voeren, bijv. „Ê \2.
Machten en wortels De machtsfunctie, ^, kan met de Q-toets geactiveerd worden. Indien u in het stapelgeheugen werkt in de ALG-modus, moet u eerst de basis invoeren (y), gevolgd door de Q-toets en vervolgens de exponent (x), bijv.: 5.2Q1.25. In de RPN-modus, moet u eerst het getal invoeren en vervolgens de functie, bijv.: 5.2`1.25`Q De wortelfunctie, XROOT(y,x) kan met de volgende toetsencombinatie geactiveerd worden: ‚».
inverse functie, de exponentiële functie (functie EXP), wordt berekend met „¸. In de ALG-modus wordt de functie ingevoerd vóór het argument: ‚¹2.45` „¸\2.3` In de RPN-modus wordt het argument vóór de functie ingevoerd. 2.45` ‚¹ 2.3\` „¸ Trigonometrische functies Drie trigonometrische functies zijn rechtstreeks beschikbaar via het toetsenbord: sinus (S), cosinus , (T) en tangent (U).
In de RPN-modus: 0.25`„¼ 0.85`„¾ 1.35`„À Alle functies die hierboven worden beschreven, namelijk , ABS, SQ, √, ^, XROOT, LOG, ALOG, LN, EXP, SIN, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, kunnen worden gecombineerd met de basisbewerkingen (+-*/) om complexere uitdrukkingen te vormen. De vergelijkingenschrijver, waarvan de werking wordt beschreven in Hoofdstuk 2, is ideaal om zulke uitdrukkingen op te bouwen, ongeacht de modus van de rekenmachine.
Aangezien de rekenmachine een groot aantal wiskundige functies aanbiedt, wordt het menu gerangschikt volgens het type object waarop de functie kan worden toegepast. Bijvoorbeeld, de opties 1. VECTOR.., 2. MATRIX.. en 3. LIST.. zijn van toepassing op de overeenkomstige gegevenstypes (vectoren, matrices en lijsten) en worden uitvoerig beschreven in de volgende hoofdstukken. Opties 4. HYPERBOLIC.. en 5. REAL ..zijn van toepassing op reële getallen en worden verderop uitgebreid beschreven. Optie 6. BASE..
de werking van de menu's van een rekenmachine. Let vooral goed op hoe u verschillende opties selecteert. 2. Om snel één van de genummerde opties te selecteren in een menulijst (of CHOOSE boxes) moet u eenvoudigweg het nummer van de optie indrukken op het toetsenbord. Bijvoorbeeld, om optie 4. HYPERBOLIC.. te selecteren in het menu MTH, drukt u gewoon op 4. Hyperbolische functies en hun inversies Als u Optie 4. HYPERBOLIC ..
Het beeldscherm geeft ons de volgende informatie: In de RPN-modus kan deze berekening met de volgende toetsencombinaties worden uitgevoerd: 2.5` „´ 4 @@OK@@ 5 @@OK@@ Voert het argument in in het stapelgeheugen Selecteert het menu MTH Selecteert het menu 4. HYPERBOLIC.. Selecteert de functie 5. TANH Het resultaat is: De bewerkingen die hierboven worden weergegeven, gaan er vanuit dat systeemvlag 117 is ingesteld op de standaardinstellingen (CHOOSE boxes).
Druk op @HYP om bijvoorbeeld het hyperbolische functiemenu in de volgende opmaak te selecteren: Druk op @@TANH . om bijvoorbeeld de hyperbolische tangentfunctie (tanh) te selecteren. Opmerking: druk op L of „«om de overige opties van deze softmenu's te bekijken. Volg de volgende procedure uit om in de ALG-modus tanh(2.5) te berekenen, terwijl SOFT menus is geselecteerd in plaats van CHOOSE boxes: „´ )@@HYP@ @@TANH@ 2.5` Selecteert het menu MTH Selecteert het menu HYPERBOLIC..
Reële getalfuncties Door optie 5. REAL.. in het menu MTH te selecteren, met systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE boxes, wordt de volgende menulijst aangemaakt: Met optie 19. MATH.. keert de gebruiker terug naar het menu MTH.
%T(y,x) : berekent 100 x/y d.w.z. het totaalpercentage, het gedeelte dat een getal (x) is van een ander (y). Deze functies vereisen 2 argumenten. Hierna volgt de berekening van %T(15,45), d.w.z. de berekening van 15% van 45. We gaan ervan uit dat de rekenmachine ingesteld is op de ALG-modus en dat systeemvlag 117 ingesteld is op CHOOSE boxes. De stappen zijn als volgt: „´ Selecteert het menu MTH 5 @@OK@@ Selecteert het menu 5. REAL.. 3 @@OK@@ Selecteert de functie 5.
Als oefening voor functies met percentages kunt u de volgende waarden berekenen: %(5,20) = 1, %CH(22,25) = 13.6363.., %T(500,20) = 4 Minimum en maximum Gebruik deze functies om de minimum en de maximumwaarde te bepalen van twee argumenten. MIN(x,y) : minimumwaarde van x en y MAX(x,y) : maximum waarde van x en y Ga als oefeninghet volgende na: MIN(-2,2) = -2, MAX(-2,2) = 2 Modulo MOD: y mod x = residu van y/x, d.w.z. als x en y hele getallen zijn, y/x = d + r/x, als d = quotiënt, r = residu.
FLOOR(x) : dichtste hele getal dat kleiner of gelijk is aan x CEIL(x) : dichtste hele getal dat groter of gelijk is aan x Ga als oefening het volgende na: RND(1.4567,2) = 1.46, TRNC(1.4567,2) = 1.45, FLOOR(2.3) = 2, CEIL(2,3) = 3 Radialen-naar-graden en graden-naar-radialenfunctie D→R (x) : zet graden om in radialen R→D (x) : zet radialen om in graden. Ga als oefening het volgende na: D R(45) = 0.78539 (d.w.z. 45o = 0.78539rad), R D(1.5) = 85.943669.. (d.w.z. 1.5rad = 85.943669..o).
Γ(α) = (α−1) Γ(α−1), voor α > 1. Daarom kan deze functie in relatie gebracht worden met het factorieel van een getal, m.a.w. Γ(α) = (α−1)!, als α een positief heel getal is. We kunnen de factoriële functie ook gebruiken om de Gamma-functie te berekenen, en viceversa. Bijvoorbeeld, Γ(5) = 4! of 4~‚2`. De factorieelfunctie kan geactiveerd worden met optie 7. PROBABILITY.. in het menu MTH. De PSI-functie: Ψ(x,y) stelt de y-ste afgeleide voor van de digamma-functie, d.w.z.
• MAXR: het grootste reële getal beschikbaar op de rekenmachine. Selecteer optie 11. CONSTANTS.. in het menu MTH om deze constanten te activeren. De constanten worden als volgt weergegeven: Indien u één van deze opties selecteert, wordt de geselecteerde waarde in het stapelgeheugen opgeslagen, ongeacht het nu gaat om een symbool (bijv. e, i, π, MINR of MAXR) of een waarde (2.71.., (0,1), 3.14.., 1E-499, 9.99..E499). e is rechtstreeks te activeren via het toetsenbord als exp(1), d.w.z.
Optie 1. Tools bevat functies die gebruikt worden om met eenheden te werken (dit wordt later besproken). Opties 3. Length.. tot en met 17.Viscosity .. bevatten menu’s met een aantal eenheden voor ieder van de beschreven hoeveelheden. Bijvoorbeeld, door optie 8. Force..
Door op de juiste softmenutoets te drukken, wordt het submenu geopend met eenheden voor die specifieke selectie. Voor het SPEED-submenu zijn bijvoorbeeld de volgende eenheden beschikbaar: Door op )UNITS te drukken, keert u terug naar het menu UNITS. We hebben al gezien dat u alle menulabels in het scherm kunt weergeven door middel van ‚˜. Voor de @)ENRG-eenheden worden de volgende labels weergegeven: Opmerking: gebruik de toets L of de toetsencombinatie „« om door de menu’s te bladeren.
OPPEVLAKTE m^2 (vierkante meter), cm^2 (vierkante centimeter), b (barn), yd^2 (vierkante yard), ft^2 (vierkante feet), in^2 (vierkante inch), km^2 (vierkante kilometer), ha (hectare), a (are), mi^2 (vierkante mijl), miUS^2 (vierkante Amerikaanse mijl), acre (acre) VOLUME m^3 (kubieke meter), st (stère), cm^3 (kubieke centimeter), yd^3 (kubieke yard), ft^3 (kubieke feet), in^3 (kubieke inch), l (liter), galUK (Engelse gallon), galC (Canadese gallon), gal (Amerikaanse gallon), qt (quart), pt (pint), ml (milli
ENERGIE J (joule), erg (erg), Kcal (kilocalorie), Cal (calorie), Btu (Intenationale btu tabel), ft×lbf (voetpond), therm (EEC warmte-eenheid), MeV (mega electronvolt), eV (electronvolt) VERMOGEN W (watt), hp (paardenkracht), DRUK Pa (pascal), atm (atmosfeer), bar (bar), psi (pond per vierkante inch), torr (torr), mmHg (millimeters kwikkolom), inHg (inches kwikkolom), inH20 (inches waterkolom), TEMPERATUUR C (graden Celsius), o F (graden Fahrenheit), K (Kelvin), o R (graden Rankine), o ELECTRISCHE STROOM (
Eenheden die niet zijn opgenomen Eenheden die niet zijn opgenomen in het eenhedenmenu, maar wel beschikbaar zijn op de rekenmachine, zijn de volgende: gmol (grammole), lbmol (pondmole), rpm (omwentelingen per minuut), dB (decibels). Deze eenheden zijn beschikbaar via het menu 117.02, dat geactiveerd wordt via MENU(117.02) in de ALG-modus of 117.02 ` MENU in de RPN-modus.
Deze bewerking resulteert in het volgende beeldscherm (d.w.z. 1 poise = 0.
Eenheden aan getallen koppelen Om een eenheidsobject aan een getal te koppelen, moet het getal worden gevolgd door een onderliggend streepje (‚Ý, toets (8,5)). Een kracht van 5N wordt dus ingevoerd als 5_N. Hier volgt de procedure om deze waarde in te voeren in de ALG-modus met systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE boxes: 5 ‚Ý Voert het getal en het onderliggende streepje in ‚Û Opent het menu UNITS 8 @@OK@@ Selecteert de eenheden voor kracht (8. Force..
Hieronder worden de toetsencombinaties weergegeven om eenheden in te voeren met de SOFT menu optie. Dit geldt zowel in de ALG-modus, als in de RPN-modus.
G giga +9 p pico -12 M mega +6 f femto -15 k,K kilo +3 a atto -18 h,H hecto +2 z zepto -21 D(*) deka +1 y yocto -24 _____________________________________________________ (*) In het SI-systeem is deze prefix da en niet D. Gebruik D echter voor deka in deze rekenmachine. Om deze prefixen in te voeren, voert u de prefix in met behulp van het -toets.
wat resulteert in 65_(m⋅yd). Om dit om te zetten naar de eenheden van het SIsysteem moet u de functie UBASE gebruiken: Opmerking: Onthoud dat de ANS (1)-variabele geactiveerd kan worden met de toetsencombinatie „î(behorende bij de toets `). Voer het volgende in om bijvoorbeeld de deling 3250 mi / 50 h te berekenen : (3250_mi)/(50_h) `: omgezet naar het SI-systeem met de functie UBASE, resulteert dit in: Optellen en aftrekken kan in de ALG-modus worden uitgevoerd, zonder haakjes.
Bij berekeningen in het stapelgeheugen in de RPN-modus is het ook niet nodig haakjes te gebruiken, bijv.: 12_m ` 1.5_yd ` * 3250_mi ` 50_h ` / Deze bewerkingen geven het volgende resultaat: Probeer ook de volgende bewerkingen: 5_m ` 3200_mm ` + 12_mm ` 1_cm^2 `* 2_s ` / De laatste twee bewerkingen geven het volgende resultaat: Opmerking: eenheden kunnen niet worden gebruikt in uitdrukkingen die worden ingevoerd in de vergelijkingenschrijver.
UNIT(x,y) : combineert de waarde van x met de eenheden van y De functie UBASE werd eerder in dit hoofdstuk uitvoerig beschreven. Om één van die functies te gebruiken, moet u de voorbeelden opvolgen behorende bij UBASE. Onthoud dat de functie UVAL slechts één argument vereist en de functies CONVERT, UFACT, en UNIT twee argumenten vereisen. Probeer de volgende oefeningen te maken in de instelling van uw keuze.
Voorbeelden van UNIT UNIT(25,1_m) ` UNIT(11.3,1_mph) ` Fysische constanten in de rekenmachine Als vervolg op de bewerking van eenheden,wordt het gebruik van fysieke constanten besproken die beschikbaar zijn in het geheugen van de rekenmachine. Deze fysische constanten staan in een constants library die wordt geactiveerd met het commando CONLIB.
De softmenutoetsen voor het CONSTANTS LIBRARY-beeldscherm bevatten de volgende functies: SI als deze functie is geselecteerd, worden de waarden van de constanten in SI-eenheden weergegeven ENGL als deze functie is geselecteerd, worden de waarden van de constanten in Engelse meeteenheden weergegeven (*) UNIT als deze functie is geselecteerd, worden de waarden weergegeven met de eenheden eraan vastgehecht (*) VALUE als deze functie is geselecteerd, worden de waarden zonder eenheden weergegeven STK als deze f
Druk op de optie @ENGL om de waarden van de constanten in het Engelse (of Imperial) systeem te zien: Als we de optie UNITS deselecteren (druk op UNITS), worden alleen de waarden weergegeven (in dit geval zijn de Engelse eenheden geselecteerd): Om de waarde van Vm te kopiëren naar het stapelgeheugen, selecteert u de benaming van de variabele en drukt u op ²STK, vervolgens drukt u op QUIT.
Speciale fysische functies Het menu 117, dat opgeroepen wordt met behulp van MENU(117) in de ALG-modus of 117` MENU in de RPN-modus, geeft het volgende menu weer (de labels kunnen in het beeldscherm worden weergegeven met ‚˜): De functies bestaan uit: ZFACTOR : Samendrukbaarheid van gas Z factor-functie FANNING : Factor voor ventilatiefrictie bij het stromen van vloeistoffen DARCY : Factor voor Darcy-Weisbach frictie bij vloeistofstroom F0λ : Functie voor emissiekracht van zwarte lichamen SIDENS : Intrinsi
De functie ZFACTOR De functie ZFACTOR berekent de correctiefactor voor de samendrukbaarheid van gas voor niet-ideaal gedrag van koolwaterstof. Deze functie wordt opgeroepen door gebruik te maken van ZFACTOR(xT, yP), waar xT staat voor de gereduceerde temperatuur, d.w.z. de verhouding tussen de werkelijke temperatuur en de pseudo-kritische temperatuur, en waar yP staat voor de gereduceerde druk, d.w.z. de verhouding tussen de werkelijke druk en de pseudo-kritische druk. De waarde van xT moet tussen 1.
De bedoeling van deze functie is om de berekening te vergemakkelijken van temperatuursverschillen, wanneer we te maken hebben met temperaturen in verschillende eenheden. Anders berekent de functie eenvoudigweg een aftrekking, bijv.: De functie TINC De functie TINC(T0,∆T) berekent T0+DT. De bewerking van deze functie is vergelijkbaar met die van functie TDELTA in die zin dat het een resultaat geeft in de eenheden van T0. Anders wordt een som van waarden weergegeven, bijv.
„à³~h„Ü~„x™‚Å ‚¹~„x+1™+„¸~„x` Het beeldscherm zal er als volgt uitzien: Door op de toets J te drukken, ziet u dat er een nieuwe variabele in uw softmenutoets (@@@H@@) staat. Om de inhoud van deze variabele te bekijken, drukt u op ‚@@@H@@. In het beeldscherm zal nu het volgende verschijnen: De variabele H bevat een programma dat als volgt gedefinieerd is: << x ‘LN(x+1) + EXP(x)’ >> Dit is een eenvoudig programma in de standaardprogrammeertaal van de HP 48 G serie, en is ook ingebouwd in de HP 49 G serie.
Om de functie te activeren in de RPN-modus moet eerst het argument ingevoerd worden en daarna op de softmenutoets gedrukt worden van de benaming van de variabele @@@H@@@. Probeer bijvoorbeeld: 2`@@@H@@@ . De andere bovenstaande voorbeelden kunnen als volgt worden ingevoerd: 1.2`@@@H@@@ en 2/3`@@@H@@@ . Functies kunnen meer dan twee argumenten hebben. In het onderstaande beeldscherm vindt u bijvoorbeeld de definitie terug van de functie K(α,β) = α+β en de evaluatie met de argumenten K(√2,π) en K(1.2,2.
(groter dan) is beschikbaar als (behorende bij de toets Y). Gebruik het commando DEF(f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)) om deze functie in de ALGmodus weer te geven. Druk vervolgens op `. Voer in de RPN-modus de functiedefinitie in tussen aanhalingstekens: ‘f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’ druk vervolgens op „à. Druk op J om terug te keren naar het variabelenmenu. De functie @@f@@@ zou dan beschikbaar moeten zijn in het softtoetsenmenu.
Hoofdstuk 4 Berekeningen met complexe getallen In dit hoofdstuk laten wij voorbeelden zien van berekeningen en toepassingen van functies voor complexe getallen. Definities Een complex getal z wordt geschreven als z = x + iy, waarbij x en y reële getallen zijn en i de denkbeeldige eenheid is die wordt gedefinieerd door i2 = -1. Het complexe getal x+iy heeft een reël deel, x = Re(z) en een denkbeeldig, y = Im(z).
Druk twee keer op @@OK@@ om terug te keren naar het stapelgeheugen. Complexe getallen invoeren Complexe getallen kunnen in de rekenmachine op een van de twee Cartesische weergaven worden ingevoerd, namelijk x+iy of (x,y). De resultaten in de rekenmachine worden weergegeven in de vorm van gerangschikte paren, dus (x,y). Als de rekenmachine bijvoorbeeld in de ALGmodus staat, wordt het complex getal (3.5,-1.2),ingevoerd als: „Ü3.5‚í\1.2` Een complex getal kan ook ingevoerd worden in de vorm x+iy.
U ziet dat de laatste invoer een complex getal in de vorm x+iy weergeeft. Dit komt omdat het getal tussen apostroffen ingevoerd is, welke een algebraïsche uitdrukking voorstellen. Gebruik de toets EVAL ( µ) om dit getal te evalueren. Zodra de algebraïsche formule is geëvalueerd, achterhaalt u het complex getal (3.5,1.2). Polaire weergave van een complex getal Het hierboven getoonde resultaat geeft een Cartesische (rechthoekige) weergave weer van het complex getal 3.5-1.2i.
Aangezien het coördinatenstelsel ingesteld is op rechthoekig (of Cartesisch), zet de rekenmachine het ingevoerde getal automatisch om naar Cartesische coördinaten, d.w.z. x = r cos θ, y = r sin θ verandert in dit geval naar (0.3678…, 5.18…). Als echter het coördinatenstelsel ingesteld is op cilindrische coördinaten (gebruik CYLIN), zal het invoeren van een complex getal (x,y), waar x en y reële getallen zijn, een polaire weergave opleveren. Voer bijvoorbeeld in de cilindrische coördinaten het getal (3.,2.
Opmerkingen: Het product van twee getallen wordt weergegeven door: (x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2 - y1y2) + i (x1y2 + x2y1).
Andere bewerkingen Bewerkingen zoals grootte, argument, reële en denkbeeldige delen en complex geconjugeerde zijn beschikbaar via de menu's CMPLX die later uitvoerig beschreven worden. De CMPLX-menu's De rekenmachine beschikt over twee CMPLX-menu's (CoMPLeX getallen). Een is toegankelijk via het menu MTH (zie in Hoofdstuk 3) en en de ander is direct toegankelijk via het toetsenbord (‚ß). Hierna worden de twee CMPLXmenu's toegelicht.
SIGN(z) : NEG : CONJ(z) : Berekent een complex getal van eenheidgrootte als z/|z|. Wijzigt het teken van z Produceert de complex geconjugeerde van z Hierna worden voorbeelden van toepassingen van deze functies weergegeven. Vergeet niet dat in de ALG-modus de functie voor het argument moet staan, terwijl in de RPN-modus het argument eerst moet worden ingevoerd en vervolgens de functie moet worden geselecteerd.
In het volgende beeldscherm worden de functies SIGN, NEG (weergegeven als het negatieve teken -) en CONJ weergegeveb. Menu CMPLX in het toetsenbord Er kan een tweede CMPLX-menu worden geopend met de optie rechtershift optie samen met de toets 1, d.w.z. ‚ß. Met systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE boxes, verschijnt het toetsenbordmenu CMPLX als volgt in het scherm: Het menu bevat enkele functies die al eerder zijn behandeld, namelijk ARG, ABS, CONJ, IM, NEG, RE en SIGN.
Functies toegepast op complex getallen Een groot deel van de op het toetsenbord gebaseerde functies voor reële getallen,die beschreven in Hoofdstuk 3 , namelijk SQ, ,LN, ex, LOG, 10X, SIN, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, kunnen worden toegepast op complexe getallen. Het resultaat is een ander complex getal, zoals verduidelijkt wordt in de volgende voorbeelden. Deze functies worden op dezelfde manier toegepast als bij reële getallen (zie Hoofdstuk 3).
Het volgende beeldscherm geeft weer dat de functies EXPM en LNP1 niet toegepast kunnen worden op complexe getallen. De functies GAMMA, PSI en Psi accepteren echter wel complexe getallen: De functie DROITE: vergelijking van een rechte lijn De functie DROITE heeft twee complexe getallen als argument, bijvoorbeeld x1+iy1 and x2+iy2 en geeft de vergelijking van een rechte lijn, bijvoorbeeld y = a+bx, die de punten (x1,y1) en (x2,y2) bevat.
Hoofdstuk 5 Algebraïsche en rekenkundige bewerkingen Een algebraïsch object , of eenvoudig algebraïsch, is elk getal, variabelenaam of algebraïsche uitdrukking die uitgevoerd, bewerkt en gecombineerd kan worden in overeenstemming met de regels van de algebra. Hier volgen voorbeelden van algebraïsche objecten: • Een getal: 12.3, 15.2_m, ‘π’, ‘e’, ‘i’ • Een variabelenaam: ‘a’, ‘ux’, ‘breedte’, enz. • Een formule: ‘p*D^2/4’,’f*(L/D)*(V^2/(2*g))’ • Een vergelijking: ‘Q=(Cu/n)*A(y)*R(y)^(2/3)*So^0.
Druk, nadat het object is samengesteld, op ` zodat het in het stapelgeheugen wordt weergegeven (zowel in de ALG- als in de RPN-modus weergegeven): Eenvoudige bewerking met algebraïsche objecten Algebraïsche objecten kunnen worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd, gedeeld (behalve door nul), tot een macht worden verheven, als argumenten voor verscheidene standaardfuncties worden gebruikt (exponentieel, logaritmisch, trigonometrisch, hyperbolisch, enz.
In de ALG-modus laat de volgende toetsencombinatie een aantal bewerkingen zien met de algebraïsche objecten behorende bij de variabelen @@A1@@ en @@A2@@ (druk op J voor het variabelenmenu): @@A1@@ + @@A2@@ ` @@A1@@ - @@A2@@ ` @@A1@@ * @@A2@@ ` @@A1@@ / @@A2@@ ` ‚¹@@A1@@ „¸@@A2@@ In de RPN-modus worden dezelfde resultaten verkregen als de volgende toetsencombinatie wordt gebruikt: @@A1@@ ` @@A2@@ + @@A1@@ `@@A2@@ @@A1@@ ` @@A2@@ * @@A1@@ `@@A2@@ / @@A1@@ ` ‚¹ @@A2@@ `„¸ Functies in het menu ALG Het AL
Wij zullen in deze handleiding niet alle beschrijvingen van de functies geven. De gebruiker kan deze vinden in de helptekst van de rekenmachine. I L @)HELP@ ` . Voer de eerste letter van de functie in om een specifieke functie te vinden. Voor de functie COLLECT voeren we bijvoorbeeld ~c in. Daarna gebruiken we de pijltoetsen omhoog en omlaag, —˜, om COLLECT in het hulpvenster te zoeken. Druk op @@OK@@ om de bewerking te voltooien.
Druk bijvoorbeeld voor de hierboven weergegeven EXPAND-invoer op de softmenutoets @ECHO! zodat het volgende voorbeeld gekopieerd wordt naar het stapelgeheugen (druk op ` om het commando uit te voeren.): Verder laten we de gebruiker zelf de toepassingen van de functies in het ALG(of ALGB-) menu verkennen. Dit is een lijst van de commando’s: De helptekst geeft de volgende informatie over de commando’s: COLLECT: EXPAND: FACTOR: LNCOLLECT: LIN: PARTFRAC: Blz.
SOLVE: SUBST: TEXPAND: Opmerking : als u deze of elke andere functie in de RPN-modus wilt gebruiken, moet u eerst het argument invoeren en dan de functie. Het voorbeeld for TEXPAND wordt in de RPN-modus als volgt ingevoerd: ³„¸+~x+~y` Selecteer nu de functie TEXPAND in het ALG-menu (of direct uit de catalogus ‚N), om de bewerking te voltooien. Andere vormen van substitutie in algebraïsche formules De hierboven weergegeven functie SUBST wordt gebruikt om een variabel in een uitdrukking te substitueren.
In de RPN-modus kan dit verkregen worden door eerst de uitdrukking in te voeren waar de substitutie wordt uitgevoerd (x+x2), gevolgd door een lijst (zie hoofdstuk 8) met de substitutievariabele, een spatie en de te substitueren waarde d.w.z. {x 2}. De laatste stap is het drukken op de toetsencombinatie ‚¦.
van de variabelen in de oorspronkelijke uitdrukking. Sla bijvoorbeeld in de ALG-modus de volgende variabelen op: Voer dan de uitdrukking A+B in: De laatst ingevoerde uitdrukking wordt automatische geëvalueerd na het indrukken van de toets ` en geeft het bovenstaande resultaat.
Informatie over en voorbeelden van deze commando’s staan in de hulptekst van de rekenmachine. Enkele commando’s die in het menu EXP&LNstaan, d.w.z. LIN, LNCOLLECT en TEXPAND staan ook in het eerder beschreven ALG-menu. De functies LNP1 en EXPM werden in het menu HYPERBOLIC van het menu MTH geïntroduceerd (zie hoofdstuk 2). Nu blijft alleen nog de functie EXPLN over.
U ziet dat het eerste commando in het menu TRIG het menu HYPERBOLIC is. De functies van dit menu werden in hoofdstuk 2 behandeld. Functies in het menu ARITHMETIC Het menu ARITHMETIC bevat een aantal submenus voor specifieke toepassingen in getallentheorie (hele getallen, polynomen, enz.), alsmede een aantal functies die van toepassing zijn op algemene aritmetische bewerkingen. Het menu ARITHMETIC wordt geactiveerd met de toetsencombinatie „Þ (behorende bij de toets 1).
DIVIS: FACTORS: LGCD PROPFRAC (Greatest Common Denominator) (proper fraction) SIMP2: De functies behorende bij de ARITHMETIC-submenus: INTEGER, POLYNOMIAL, MODULO en PERMUTATION, zijn de volgende: Het menu INTEGER EULER Aantal hele getallen < n, co -priem met n IABCUV Lost au + bv = c op met a,b,c = integers (hele getallen) IBERNOULLI n-de Bernoulli-getal ICHINREM Chinese rest voor hele getallen IDIV2 Euclidische deling van twee hele getallen IEGCD Retourneert u,v, zodat au + bv = gcd(a,b) IQUOT Euc
PA2B2 PREVPRIME Priem getal als kwadraat norm van een complex getal Vorige priem voor een gegeven heel getal Het menu POLYNOMIAL ABCUV CHINREM CYCLOTOMIC DIV2 EGDC FACTOR FCOEF FROOTS GCD HERMITE HORNER LAGRANGE LCM LEGENDRE PARTFRAC PCOEF PTAYL QUOT RESULTANT REMAINDER STURM STURMAB Bézout polynomische vergelijking (au+bv=c) Chinese rest voor polynomen n-de cyclotomische polynoom Euclidische deling van twee polynomen Retourneert u,v, van au+bv=gcd(a,b) Factoriseert een heel getal of een polynoom Produce
GCDMOD INVMOD MOD MODSTO MULTMOD POWMOD SUBTMOD GCD van 2 polynomen modulo current modulus Invers van heel getal modulo current modulus geen ingang beschikbaar in de hulptekst Verandert de moduloinstelling naar gespecificeerde waarde Vermenigvuldiging van 2 polynomen modulo current modulus Verheft polynoom tot een macht modulo current modulus Aftrekking van 2 polynomen modulo current modulus Toepassingen van het menu ARITHMETIC Deze paragraaf is bedoeld om de nodige informatie te geven voor het toepassen
rekenkundige vergelijkingen, wordt het symbool ≡ gebruikt in plaats van het vergelijkingsteken, en er wordt eerder naar de relatie tussen de getallen verwezen met congruentie dan met een vergelijking. Voor het vorige voorbeeld zouden we dus 6+9 ≡ 3 (mod 12) schrijven en deze uitdrukking lezen als “zes plus negen is congruent aan drie, modulus twaalf”.
6*0 6*1 6*2 6*3 6*4 6*5 (mod (mod (mod (mod (mod (mod 12) 12) 12) 12) 12) 12) 0 6 0 6 0 6 6*6 (mod 12) 6*7 (mod 12) 6*8 (mod 12) 6*9 (mod 12) 6*10 (mod 12) 6*11 (mod 12) 0 6 0 6 0 6 Formele definitie van een eindige rekenkundige ring De uitdrukking a ≡ b (mod n) wordt gelezen als “a is congruent aan b, modulus n” en betekent dat (b-a) een meervoud is van n.
Eindige rekenkundige ringen in de rekenmachine Vanaf het begin hebben wij onze eindige rekenkundige bewerking gedefinieerd zodat de resultaten altijd positief zijn. Het modulaire rekenkundige systeem in de rekenmachine is zodanig ingesteld dat de modulusring n de getallen -n/2+1, …,-1, 0, 1,…,n/2-1, n/2 betreft als n even is, en de getallen –(n-1)/2, -(n-3)/2,…,-1,0,1,…,(n-3)/2, (n-1)/2 als n oneven is.
invoeren, gescheiden met een [ENTER] of een [SPC] en druk dan op de desbetreffende modulaire rekenkundige functie.
In de voorbeelden van modulaire aritmetische bewerkingen die hierboven zijn weergegeven, hebben we getallen gebruikt die niet noodzakelijk tot de ring behoren, d.w.z. getallen zoals 66, 125, 17, enz. De rekenmachine zet deze getallen om naar ringgetallen alvorens ze te gebruiken. Met de functie EXPANDMOD kunt u ook elk willekeurig getal in een ringgetal omzetten.
Een praktische toepassing van de functie MOD voor programmeringsdoeleinden is het bepalen wanneer een heel getal even of oneven is, aangezien n mod 2 = 0 als n even is en n mod 2 = 1 als n oneven is. Het kan ook gebruikt worden om te bepalen wanneer een heel getal m een meervoud is van een ander heel getal n, in dat geval m mod n = 0. Opmerking: raadpleeg de helptekst in de rekenmachine voor een beschrijving en voorbeelden voor andere modulaire rekenkunde.
rekenkundige ring voor polynomen met een gegeven polynoom als modulus definiëren. We kunnen bijvoorbeeld een bepaalde polynoom P(X) als P(X) = X (mod X2) schrijven of een andere polynoom Q(X) = X + 1 (mod X-2). Een polynoom P(X) behoort tot een eindige rekenkundige ring van polynoommodulus M(X) als er een derde polynoom Q(X) bestaat, zodat (P(X) – Q(X)) een meervoud is van M(X). Dan zouden wij schrijven: P(X) ≡ Q(X) (mod M(X)).
De functie CGD De functie GCD (Greatest Common Denominator) kan worden gebruikt voor het verkrijgen van de grootste gemene noemer van twee polynomen of van twee lijsten van polynomen van dezelfde lengte. De twee polynomen of polynomenlijsten worden in stapelgeheugenniveaus 2 en 1 geplaatst alvorens de functie GCD te gebruiken. Het resultaat is een polynoom of een lijst met de grootste gemene noemer van de twee polynomen of van elke polynomenlijst.
waarde van P(a) in deze volgorde. Met andere woorden, P(X) = Q(X)(Xa)+P(a). Voorbeeld: HORNER(‘X^3+2*X^2-3*X+1’,2) = {‘X^2+4*X+5’, 2, 11}. Wij zouden daarom het volgende kunnen schrijven: X3+2X2-3X+1 = (X2+4X+5)(X-2)+11. Tweede voorbeeld: HORNER(‘X^6-1’,-5)= {’X^55*X^4+25*X^3-125*X^2+625*X-3125’,-5, 15624} d.w.z. X6-1 = (X55*X4+25X3-125X2+625X-3125)(X+5)+15624. De variabele VX Een variabele met de naam VX staat in de {HOME CASDIR} directory van de rekenmachine en neemt standaard de waarde ‘X’ aan.
‘-(.1375*X^4+ -.7666666666667*X^3+ - .74375*X^2 = 1.991666666667*X-12.92265625)’. Opmerking: In Hoofdstuk 10 worden matrices behandeld. De functie LCM De functie LCM (Least Common Multiple) verkrijgt de kleinste gemene meervoud van twee polynomen of polynomenlijsten van dezelfde lengte. Voorbeelden: LCM(‘2*X^2+4*X+2’ ,‘X^2-1’ ) = ‘(2*X^2+4*X+2)*(X-1)’.
De functie PTAYL Bij een polynoom P(X) en een getal a, wordt de functie PTAYL gebruikt voor het verkrijgen van de uitdrukking Q(X-a) = P(X), d.w.z. om een polynoom in machten van (X- a) te genereren. Deze staat ook bekend als een Taylorpolynoom, waarvan de naam van de functie van Polynomial & TAYLor, is afgeleid. Voorbeeld: PTAYL(‘X^3-2*X+2’,2) = ‘X^3+6*X^2+10*X+6’. In werkelijkheid lezen we dit resultaat als ‘(X-2) ^3+6*(X-2) ^2+10*(X-2) +6’. Controleer dit door middel van de aftrekking: ‘X = x – 2’.
variabel EPS aan met de standaardwaarde 0.0000000001 = 10-10, wanneer u de functie EPSX0 gebruikt. U kunt deze waarde, na het aanmaken, veranderen wanneer u een andere waarde wilt instellen voor EPS. De functie EPSX0, wanneer toegepast op een polynoom, vervangt alle coëfficiënten met een absolute waarde minder dan EPS door een nul. De functie EPSX0 is niet beschikbaar in het menu ARITHMETIC en moet geactiveerd worden vanuit de functiecatalogus (N). Voorbeeld: EPSX0(‘X^3-1.2E-12*X^2+1.2E-6*X+6.
EXPAND(‘(1+X)^3/((X-1)(X+3))’) = ‘(X^3+3*X^2+3*X+1)/(X^2+2*X-3)’ EXPAND(‘(X^2*(X+Y)/(2*X-X^2)^2’) = ‘(X+Y)/(X^2-4*X+4)’ EXPAND(‘X*(X+Y)/(X^2-1)’) = ‘(X^2+Y*X)/(X^2-1)’ EXPAND(‘4+2*(X-1)+3/((X-2)*(X+3))-5/X^2’) = ‘(2*X^5+4*X^4-10*X^3-14*X^2-5*X)/(X^4+X^3-6*X^2)’ FACTOR(‘(3*X^3-2*X^2)/(X^2-5*X+6)’) = ‘X^2*(3*X-2)/((X-2)*(X-3))’ FACTOR(‘(X^3-9*X)/(X^2-5*X+6)’ ) = ‘X*(X+3)/(X-2)’ FACTOR(‘(X^2-1)/(X^3*Y-Y)’) = ‘(X+1)/((X^2+X+1)*Y)’ De functie SIMP2 De functies SIMP2 en PROPFRAC worden gebruikt om respectievelij
Met de Complex-modus geactiveerd, is het resultaat: ‘2*X+(1/2/(X+i)+1/2/(X-2)+5/(X-5)+1/2/X+1/2/(X-i))’ De functie FCOEF De functie FCOEF wordt gebruikt om een rationele breuk te krijgen, waarbij de wortels en de polen van de breuk zijn gegeven. Opmerking: als een rationele breuk wordt gegeven als F(X) = N(X)/D(X), zijn de wortels van de breuk het resultaat de vergelijking N(X) = 0, terwijl de polen het resultaat zijn van de vergelijking D(X) = 0.
Nog een voorbeeld is: FROOTS(‘(X^2-5*X+6)/(X^5-X^2)’) = [0 –2. 1 –1. 3 1. 2 1.]. d.w.z. polen = 0 (2), 1(1), en wortels = 3(1), 2(1). Met de Complex-modus ingesteld, is het resultaat: [0 –2. 1 –1. ‘-((1+i*√3)/2’ –1. ‘ ((1-i*√3)/2’ –1.]. Stapsgewijze bewerking van polynomen en breuken Als de CAS-modus wordt ingesteld op Step/step geeft de rekenmachine vereenvoudigde breuken of bewerkingen met polynomen stapsgewijs weer. Dit is zeer handig om de stappen te zien van een synthetische deling.
Het menu CONVERT en algebraïsche bewerkingen Het menu CONVERT wordt geactiveerd met de toets „Ú (de toets 6). Dit menu bevat alle omzettingsmenus in de rekenmachine. Hierna wordt de menulijst getoond: Hierna worden de beschikbare functies in elk van de submenu's getoond. UNITS in het menu convert (Optie 1) Dit menu is hetzelfde als het menu UNITS beschikbaar via ‚Û. De toepassingen van dit menu worden in hoofdstuk 3 nader behandeld.
MATRICES in het menu convert (Optie 5) Dit menu bevat de volgende functies: Deze functie worden in hoofdstuk 10 nader behandeld. REWRITE in het menu convert (Optie 4) Dit menu bevat de volgende functies: De functies I R en R I worden gebruikt om een getal van een heel getal (I) om te zetten in een reël getal (R) of vice versa.
symbolisch resultaat om in zijn zwevende kommawaarde. De functie Q zet een zwevende kommawaarde om in een breuk. De functie Qπ zet een zwevende kommawaarde om in een breuk van π, als een breuk van π voor het getal wordt gevonden, anders wordt het getal omgezet in een breuk. Hierna worden voorbeelden van deze drie functies getoond.
LIN LNCOLLECT POWEREXPAND SIMPLIFY Blz.
Hoofdstuk 6 Oplossingen voor enkelvoudige vergelijkingen Dit hoofdstuk beschrijft de functies van de rekenmachine voor het oplossen van enkelvoudige vergelijkingen in de vorm f(X) = 0. Er zijn twee menu's voor het oplossen van vergelijkingen, behorende bij de toets 7, Symbolic SOLVer („Î) en NUMerical SoLVer (‚Ï). Hierna worden enkele toepassingen van deze functies behandeld. Voor deze oefeningen moet u de CAS-modus op Complex in te stellen. (zie hoofdstuk 2).
vergelijking at3-bt = 0 met de rekenmachine ingesteld in de ALG-modus, kan bijvoorbeeld het volgende gebruikt worden: In de RPN-modus wordt de oplossing verkregen door de vergelijking in het stapelgeheugen in te voeren, gevolgd door de variabele vóór het invoeren van de functie ISOL. Net vóór het uitvoeren van ISOL moet het RPNstapelgeheugen er uit moeten zien zoals in de linkerafbeelding.
De functie SOLVE: De functie SOLVE heeft dezelfde syntaxis als de functie ISOL behalve dat SOLVE ook gebruikt kan worden om een set polynoomvergelijkingen op te lossen. Hieronder wordt de helptekst voor de functie SOLVE weergegeven met de oplossing voor de vergelijking X^4 – 1 = 3 : De volgende voorbeelden tonen het gebruik van de functie SOLVE in de ALGmodus en de RPN-modus: Het bovenstaande beeldscherm laat twee oplossingen zien. In de eerste, β4-5β =125, produceert SOLVE geen oplossingen { }.
Hieronder worden de RPN-beeldschermen voor deze twee voorbeelden vóór en na de toepassing van de functie SOLVE getoond: Het gebruik van de pijltoets omlaag, (˜), in deze modus activeert de regeleditor: De functie SOLVEVX: De functie SOLVEVX lost een vergelijking op voor de standaard CASvariabelemet de variabelennaam VX. Deze variabele is standaard ingesteld op ‘X’. Hieronder worden voorbeelden in de ALG-modus met VX = ‘X’, getoond: In het eerste geval vond SOLVEVX geen oplossing.
De vergelijking gebruikt als argument voor de functie SOLVEVX moet herleiden kunnen worden tot een rationele uitdrukking. De volgende vergelijking zal bijvoorbeeld niet door SOLVEVX bewerkt worden: De functie ZEROS: De functie ZEROS geeft de oplossingen van een polynoomvergelijking zonder hun veelvoud te tonen. Voor het oplossen vereist de functie als invoer de uitdrukking van de vergelijking en de op te lossen variabelennaam.
De hierboven toegelichte functies van het menu Symbolic Solver geven oplossingen voor rationele vergelijkingen (met name polynoomvergelijkingen). Indien de op te lossen vergelijking alleen numerieke coëfficiënten bevat, is een numerieke oplossing mogelijk met de functies van het menu Numerical Solver van de rekenmachine. Het menu numerieke probleemoplosser De rekenmachine voorziet in een zeer krachtige omgeving voor het oplossen van enkelvoudige of transcendentale vergelijkingen.
Polynoomvergelijkingen: Door de Solve poly… optie te gebruiken in de SOLVE-omgeving van de rekenmachine kunt u: (1) de oplossingen vinden voor een polynoomvergelijking: (2) de coëfficiënten krijgen van de polynoom die een aantal gegeven wortels heeft; (3) een algebraïsche uitdrukking krijgen voor de polynoom als een functie van X. Het vinden van de oplossingen voor een polynoomvergelijking Een polynoomvergelijking is een vergelijking in de vorm: anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 = 0.
Druk op ` om naar het stapelgeheugen terug te keren. Het stapelgeheugen toont de volgende resultaten in de ALG-modus (de RPN-modus zou hetzelfde resultaat tonen): Druk op de pijltoets omlaag, (˜), om de regeleditor te activeren. Alle oplossingen zijn complexe getallen: (0.432,-0.389), (0.432,0.389), (0.766, 0.632), (-0.766, -0.632).
‚í2\‚í 4@@OK@@ @SOLVE@ Voert de vector van wortels in Lost de coëfficiënten op Druk op ` om naar het stapelgeheugen terug te keren. Het stapelgeheugen zal de coëfficiënten tonen. Druk op ˜ om de regeleditor te activeren, zodat u alle coëfficiënten kunt bekijken. Opmerking: Indien u een polynoom met reële coëfficiënten wilt, maar deze complexe wortels heeft, moet u de complexe wortels in tweetallen van geconjugeerde getallen invoeren. Maak een polynoom aan met de wortels [1 (1,2) (1,-2)].
—@SYMB@ ` Genereert de symbolische uitdrukking Keert terug naar het stapelgeheugen. De uitdrukking die op deze wijze aangemaakt stapelgeheugen getoond als: 'X^3+5*X^2+-2*X+4'. is, wordt in het Probeer het volgende voorbeeld om de algebraïsche uitdrukking aan te maken met de wortels. We gaan ervan uit dat de wortels van de polynoom [1,3,-2,1] zijn. Gebruik de volgende toetsencombinaties: ‚Ϙ˜@@OK@@ ˜„Ô1‚í3 ‚í2\‚í 1@@OK@@ ˜@SYMB@ ` Selecteert Solve poly… Voert de vector van wortels in Genereert de sym
Financiële berekeningen De berekeningen in item 5. Solve finance.. in het menu Numerical Solver (NUM.SLV) worden gebruikt voor berekeningen van geldtijdwaarde van belang in de economische wetenschappen en andere financiële toepassingen. U kunt deze toepassing ook activeren met de toetsencombinatie „sÒ (behorende bij de toets 9).
0, P/YR = 12. Gebruik de volgende toetsencombinaties voor de invoer van de gegevens en de oplossing voor de betaling, PMT,: „Ò Activeert het invoerscherm van de financiële berekening 60 @@OK@@ Voert n = 60 in 6.5 @@OK@@ Voert 1%YR = 6.
aantal betalingen. We gaan ervan uit dat er 24 perioden in de eerste regel van het aflossingsbeeldscherm gebruikt worden, d.w.z. 24 @@OK@@. Druk vervolgens op @@AMOR@@. U krijgt het volgende resultaat: In dit scherm wordt aangegeven dat na 24 maanden terugbetaling van de schuld, de lener US $ 723.211.43 betaald heeft van het geleende hoofdbedrag en US $ 215.963.68 aan rente. Gedurende de volgende 36 maanden moet de lener moet nog een restbedrag betalen van US $1,276,788.57.
Voorbeeld 3 – Het berekenen van de aflossing bij betalingen aan het begin van een periode. Wij gaan hetzelfde probleem oplossen als in de Voorbeelden 1 en 2, maar maken hierbij gebruik van de optie dat de betaling uitgevoerd wordt aan het begin van betalingsperiode. Gebruik: „Ò 60 @@OK@@ 6.5 @@OK@@ 2000000 @@OK@@ ˜ 0 @@OK@@ @@CHOOS !—@@OK@@ — š @@SOLVE! Activeert het invoerscherm van de financiële berekening Voert n = 60 in Voert 1%YR = 6.
Het verwijderen van variabelen Wanneer u de financiële omgeving van de rekenmachine voor de eerste keer in de HOME directory gebruikt, of elke willekeurige subdirectory, zal het de variabelen @@@N@@ @I©YR@ @@PV@@ @@PMT@@ @@PYR@@ @@FV@@ aanmaken om de bijbehorende termen in de berekeningen op te slaan. U kunt de inhoud van deze variabelen bekijken met de volgende toetsencombinatie: ‚@@ @n@@ ‚@I©YR@ ‚@@PV@@ ‚@@PMT@@ ‚@@PYR@@ ‚@@FV@@.
J „ä @@@n@@ @I©YR@ @@PV@@ @@PMT@@ @@PYR@@ @@FV@@ ` I@PURGE Bereid een lijst van de te verwijderen variabelen voor Voert variabelennaam N in Voert variabelennaam 1%YR in Voert variabelennaam PV in Voert variabelennaam PMT in Voert variabelennaam PYR in Voert variabelennaam FV in Voert een variabelenlijst in het stapelgeheugen in Verwijdert de variabelen van de lijst Voordat het commando PURGE wordt ingevoerd, ziet het RPN-stapelgeheugen er als volgt uit: Het oplossen van vergelijkingen met een onbekend el
In de RPN-modus voert u de vergelijking tussen apostroffen in en activeert u het commando STEQ. De functie STEQ kan dus gebruikt worden als snelkoppeling om een uitdrukking in variabele EQ op te slaan. Druk op J om de nieuwe variabele EQ te bekijken: Voer dan de SOLVE-omgeving in en selecteer Solve equation… met ‚Ï@@OK@@. Het volgende beeldscherm ziet er als volgt uit: De vergelijking die in variabele EQ opgeslagen werd, is al in het Eq-veld geladen van het invoerscherm SOLVE EQUATATION.
opgelost wordt om een negatieve oplossing te krijgen. Probeer de toetsencombinatie 3\@@@OK@@˜@SOLVE@. Nu is het resultaat X: -3.045. Procedure voor oplossing voor Equation Solve... De numerieke solver voor enkelvoudige onbekende elementen van vergelijking werkt op de volgende wijze: • Het staat de gebruiker toe een op te lossen vergelijking in te typen of te selecteren ( @CHOOS).
σ xx σ yx σ zx de vergelijking is exx = σ xy σ yy σ zy σ xz σ yz σ zz 1 [σ xx − n ⋅ (σ yy + σ zz )] + α ⋅ ∆T , hier is exx de E krachteenheid in de x-richting, σxx, σyy en σzz, zijn de normale uitrekkingen op het deeltje in richting van de x-, y-, en z-assen, E is de Young’s modulus of elasticiteitsmodulus van het materiaal, n is de Poisson verhouding van het materiaal α is de thermische uitzettingscoëfficiënt van het materiaal, en ∆T is een temperatuursverhoging.
σ: ~‚s α: ~‚a ∆: ~‚c en vergeet niet dat de kleine letters worden ingevoerd met ~„ voor de lettertoets, dus x wordt ingevoerd als ~„x. Druk op ` om naar het beeldscherm van de probleemoplosser terug te keren.
U ziet dat de resultaten van de berekeningen uitgevoerd in de numerieke problemenoplosser-omgeving gekopiëerd zijn naar het stapelgeheugen: U kunt ook op uw softmenutoetsen de variabelenlabels zien die overeenkomen met de variabelen in de vergelijking die is opgeslagen in EQ (druk op L om alle variabelen in uw directory te zien), d.w.z. variabelen ex, ∆T, α, σz, σy, n, σx, en E.
• • U moet eerst een subdirectory, genaamd SPEN (Specific Energy), aanmaken en in deze subdirectory werken. Vervolgens moet u de volgende variabelen bepalen: • Activeer de numerieke probleemoplosser voor het oplossen van vergelijkingen: ‚Ï@@OK@@. U ziet dat het invoerscherm ingangen bevat voor de variabelen y, Q, b, m en g: • Probeer de volgende invoergegevens: E = 10 ft, Q = 10 cfs (kubieke voet per seconde), b = 2.5 ft, m = 1.0, g = 32.2 ft/s2: • Los y op. • Het resultaat is 0.149836.., d.w.z.
worden, bijv. 15, moet het invoerveld y gemarkeerd worden en moet y opnieuw worden opgelost: Het resultaat is nu 9.99990, d.w.z. y = 9.99990 ft. Dit voorbeeld verduidelijkt het gebruik van extra variabelen voor het schrijven van complexe vergelijkingen. Wanneer NUM.
De rekenmachine bevat een functie genaamd DARCY die als invoer de relatieve ruwheid ε/D en het Reynolds getal gebruikt, in deze volgorde, om de wrijvingsfactor f te berekenen. U kunt de functie DARCY via de commandocatalogus vinden: U kunt bijvoorbeeld voor ε/D = 0.0001, Re = 1000000 de wrijvingsfactor vinden door middel van: DARCY(0.0001,1000000). In het volgende beeldscherm werd de functie NUM ()gebruikt om een numerieke waarde van de functie te krijgen: Het resultaat is f = DARCY(0.0001,1000000) = 0.
Voorbeeld 3 – Stroming in een pijp Waarschijnlijk wilt u een aparte subdirectory (PIPES) aanmaken om dit voorbeeld te proberen. De hoofdvergelijking die de stroming in een pijp uitrekent is, natuurlijk de Darcy-Weisbach-vergelijking.
Op deze wijze ziet de op te lossen vergelijking het combineren van de verschillende variabelen in de directory als volgt: QD 2 ε 8Q L h f = 2 5 ⋅ DARCY , πD / 4 D Nu π gD 2 De gecombineerde vergelijking bevat de primitieve variabelen: hf, Q, L, g, D, ε en Nu. Activeer de numerieke probleemoplosser (‚Ï@@OK@@) om de primitieve variabelen op de lijst in het invoerscherm SOLVE EQUATION inputvorm zichtbaar te maken: We gaan ervan uit dat u werkt met de waarden hf = 2 m, ε = 0.
probleem werd opgelost. De oplossing wordt in het rechterbeeldscherm getoond: Druk op ` om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. De oplossing voor D zal in het stapelgeheugen verschijnen. Voorbeeld 4 - Zwaartekracht De wet van de zwaartekracht van Newton geeft aan dat de orde van de aantrekkingskracht tussen twee lichamen m1 en m2 gescheiden door een afstand r is gegeven door de vergelijking F = G ⋅ M1 ⋅ M 2 .
Het activeren van de numerieke probleemoplosser voor deze vergelijking resulteert in een invoerscherm met de invoervelden voor F, G, m1, m2 en r. Laten we dit probleem oplossen door eenheden te gebruiken met de volgende waarden voor de bekende variabelen m1 = 1.0×106 kg, m2 = 1.0×1012 kg, r = 1.0×1011 m.
rechtstreeks in de probleemoplosser invoeren na deze te activeren door de inhoud van het EQ-veld te bewerken in het invoerscherm van de numerieke probleemoplosser. Indien variabele EQ niet van tevoren bepaald is, wordt het EQ-veld gemarkeerd bij het activeren van de numerieke probleemoplosser (‚Ï@@OK@@),: Nu kunt u een nieuwe vergelijking invoeren door op @EDIT te drukken. U krijgt een set apostroffen, zodat u de uitdrukking ertussen kunt invoeren: Voer een vergelijking, bijv.
Stel bijvoorbeeld dat we de volgende vergelijkingen in variabelen EQ1 en EQ2 ingevoerd hebben: Activeer nu de numerieke probleemoplosser (‚Ï@@OK@@) en markeer het EQ-veld. Druk nu op de softmenutoets @CHOOS. Gebruik de pijltoetsen omhoog en omlaag, (—˜) ,om labijv. variabele EQ1 te selecteren: Druk op @@@OK@@@ na het selecteren van EQ1 om de variabele EQ in de probleemoplosser te laden. De nieuwe vergelijking is klaar om te worden opgelost.
Het submenu ROOT Het submenu ROOT bevat de volgende functies en submenu's: De functie ROOT De functie ROOT wordt gebruikt om een vergelijking voor een gegeven variabele met een vermoedelijke initiële waarde op te lossen. In de RPNmodus zal de vergelijking zich op niveau 3 in het stapelgeheugen bevinden, terwijl de variabelennaam zich op niveau 2 bevindt en het initiële vermoeden op niveau 1.
Indien u bijvoorbeeld de vergelijking ‘t^2-5*t=-4’ opslaat in EQ en op @)SOLVR, drukt, zal het het volgende menu verschijnen: Dit resultaat geeft aan dat u een waarde van t kunt oplossen voor de vergelijking boven in het beeldscherm. Als u bijvoorbeeld „[ t ] probeert, krijgt u het resultaat t: 1., nadat het bericht “Solving for t” kort wordt weergegeven. Er bestaat een tweede wortel voor deze vergelijking, die u kunt vinden door de waarde van t te veranderen, alvorens het opnieuw op te lossen.
waarden Q = 14, a = 2 en b = 3 in. U zou dan gebruik maken van: 14 [ Q ], 2 [ a ], 3 [ b ]. Aangezien de variabelen Q, a en b, numerieke waarden toegekend krijgen, staan deze toekenningen in de linkerbovenhoek in het beeldscherm. Nu kunnen we t oplossen met „[ t ]. Het resultaat is t: 2.
Stel dat we de waarden k = 2, s = 12 invoeren. Los daarna Y op en druk op @EXPR=. Nu zijn de resultaten, Y: Vervolgens beweegt u van de eerste naar de tweede vergelijking , terwijl u de eerste vergelijking voor X oplost en de tweede voor Y, totdat de waarden van X en Y convergeren in een oplossing. Gebruik @NEXQ om tussen vergelijkingen te bewegen. Gebruik respectievelijk „[ X ] en „[ Y ] om X en Y op te lossen.
• • U kunt een lijst getallen geven als schatting voor een variabele. In dat geval zal de eenheid worden genomen die wordt gebruikt voor het laatste getal in de lijst. Als u bijvoorbeeld { 1.41_ft 1_cm 1_m } invoert, betekent dit dat meters (m) zullen worden gebruikt voor die variabele. De uitdrukking die wordt gebruikt in de oplossing, moet consistente eenheden bevatten, aangezien u anders een fout zult bekomen wanneer u een waarde probeert op te lossen.
gegeven zijn door [-1, 2, 2, 1, 0], zal de volgende coëfficiënten geven: [1, -4, 3, 4, -4, 0]. De polynoom is x5 - 4x4 + 3x3 + 4x2 - 4x. De functie PEVAL Deze functie evalueert een polynoom met een gegeven vector van de coëfficiënten, [an, an-1, … , a2, a1 , a0], en een waarde x0, d.w.z. PEVAL berekent anx0n + an-1x0n-1 + … + a2x02 + a1x0 + a0. Voor bijvoorbeeld de coëfficiënten [2, 3, -1, 2] en een waarde van 2, retourneert PEVAL de waarde 28.
Probeer als oefening de waarden n = 10, I%YR = 5.6, PV = 10000 en FV = 0 en voer „[ PMT ] in voor het resultaat PMT = -1021.08…. Door op L te drukken, krijgt u het volgende beeldscherm: Druk op J om de SOLVR-omgeving te verlaten. Keer terug naar het submenu TVM in het submenu SOLV en probeer de overige functies. De functie TVMROOT: Als argument vereist deze functie de naam van een van de variabelen in het TVM probleem.
Hoofdstuk 7 Oplossingen van meervoudige vergelijkingen Vele problemen uit de wetenschap en de techniek vereisen gelijktijdige oplossingen van meer dan een vergelijking. Deze rekenmachine bevat verschillende procedures om meervoudige vergelijkingen op te lossen, zoals hieronder wordt getoond. U ziet dat dit hoofdstuk geen paragraaf bevat over de oplossing van stelsels van lineaire vergelijkingen.
Nu hoeven we slechts twee keer op K te drukken om deze variabelen op te slaan. Wijzig voor het oplossen eerst de CAS-modus naar Exact, daarna geeft u de lijst van de inhoud van respectievelijk A2 en A1 : @@@A2@@@ @@@A1@@@ . Gebruik commando SOLVE nu (uit het menu S.
Voorbeeld 2 – Spanningen in een dikke cilinderwand Neem een dikwandige cilinder voor respectievelijk de binnen- en buitenradius a en b , die onderhevig is aan een binnendruk Pi en een buitendruk Po. Op iedere radiale afstand r van de as van de cilinder liggen de normale uitrekkingen in radiale- en dwarsrichtingen, σrr en σθθ, respektievelijk, verkregen door a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po ) , + b2 − a 2 r 2 ⋅ (b 2 − a 2 ) a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po ) σ rr = − .
U ziet dat we in dit voorbeeld de RPN-modus gebruiken. De procedure zou in de ALG-modus hetzelfde moeten zijn. Maak de vergelijking voor σθθ: J@@@T1@@@ @@T2#@@ + ~‚s ~‚t ` ™ ‚Å Maak de vergelijking voor σrr: J@@@T1@@@ @@T2#@@ - ~‚s ~„r ` ™ ‚Å Maak een vector met de twee vergelijkingen, gebruik functie ARRY (zoek deze functie in de commandocatalogus ‚N) na het invoeren van een 2: Stel nu dat we een oplossing willen voor Pi en Po, waarbij a, b, r, σrr en σθθ zijn gegeven.
Deze twee voorbeelden vormen stelsels van lineaire vergelijkingen die beide even goed met de functie LINSOLVE (zie Hoofdstuk 11) kunnen worden opgelost. Het volgende voorbeeld toont de functie SOLVE die is toegepast op een stelsel van polynoomvergelijkingen.
Voorbeeld 1 – Voorbeeld uit de helptekst Zoals bij alle functie-invoeren in de helptekst, is er een voorbeeld toegevoegd aan de bovenstaande MSLV-invoer. U ziet dat de functie MSLV drie argumenten vereist: 1. Een vector met de vergelijkingen, d.w.z. ‘[SIN(X)+Y,X+SIN(Y)=1]’ 2. Een vector met de variabelen waarvoor een oplossing moet worden gezocht, d.w.z. ‘[X,Y]’ 3. Een vector met initiële waarden voor de oplossing, d.w.z. de initiële waarden voor X en Y zijn nul voor dit voorbeeld.
Voorbeeld 2 - Binnenstroming van een meer in een open kanaal Dit speciale probleem in een open kanaalstroming vereist de simultane oplossing van twee vergelijkingen, de vergelijking van energie: Ho = y + V2 Cu A 5 / 3 ⋅ ⋅ S o .
Om de originele vergelijkingen, EQ1 en EQ2, te bekijken uitgaande van de bovenstaande primitieve variabelen, kunnen we de functie EVAL gebruiken, die werd toegepast op alle vergelijkingen, d.w.z. µ@@@EQ1@@ µ @@@EQ2@@. De vergelijkingen zijn als volgt opgeslagen in het stapelgeheugen (de optie kleine lettertype is geselecteerd): We kunnen hier zien dat deze vergelijkingen inderdaad zijn gegeven uitgaande van de primitieve variabelen b, m, y, g, So, n, Cu, Q en Ho.
Nu zijn we klaar om de vergelijking op te lossen. Eerst moeten de twee vergelijkingen samen in een vector geplaatst worden. Dit kan door de vector feitelijk op te slaan in een variabele die we EQS (EQuationS) zullen noemen: Als beginwaarden voor de variabelen y en Q gebruiken we y = 5 (gelijk aan de waarde van Ho, wat de maximale waarde is die y kan aannemen) en Q = 10 (dit is een schatting). Om de oplossing te verkrijgen, selecteren we de functie MSLV uit het menu NUM.
Voor het indrukken van ` ziet het scherm er als volgt uit: Druk op ` om het systeem van vergelijkingen op te lossen. Het is mogelijk dat, indien uw hoekmeting niet in de radiale modus staat, u de volgende vraag ontvangt: Druk op @@OK@@ en laat de rekenmachine verder gaan met de oplossing. Een tussenoplossing kan er als volgt uitzien: De vector bovenaan stelt de huidige waarde voor van [y,Q] naargelang de oplossing voortzet en de waarde .
Het resultaat is een lijst met drie vectoren. De eerste vector in de lijst toont de opgeloste vergelijkingen. De tweede vector is de lijst met onbekenden. De derde vector vertegenwoordigt de oplossing. Om deze vectoren te kunnen bekijken, drukt u op de pijltoets omlaag ˜ om zo de regeleditor te activeren. De oplossing ziet er als volgt uit: De gegeven oplossing is [4.9936.., 20.661…]. Dit betekent, y = 4.99 ft en Q = 20.661... ft3/s.
De oplossing wordt toegepast in de rekenmachine met behulp van de Meervoudige Vergelijkingsoplosser, of MES. Bekijk de driehoek ABC in de onderstaande afbeelding. C ｙ a B β b c α A De som van de binnenhoeken van elke driehoek is altijd 180o, d.w.z., α + β + γ = 180o. De sinuswet geeft aan dat: sin α sin β sin γ = = . a b c De cosinuswet geeft aan dat: a2 = b2 + c2 – 2⋅b⋅c⋅cos α, b2 = a2 + c2 – 2⋅a⋅c⋅cos β, c2 = a2 + b2 – 2⋅a⋅b⋅cos γ.
Oplossing van driehoek met de Meervoudige Vergelijkingsoplosser (MES) De Meervoudige Vergelijkingsoplosser (MES) is een functie die u kunt gebruiken om twee of meer gekoppelde vergelijkingen op te lossen. Er moet echter wel op gewezen worden dat de MES de vergelijkingen niet simultaan oplost. De MES neemt de bekende variabelen en zoekt in een lijst met vergelijkingen tot hij er één vindt die een oplossing kan zijn voor één van de onbekende variabelen.
Voer daarna het nummer 9 in en maak een lijst met vergelijkingen met de functie LIST (gebruik de commandocatalogus ‚N). Sla deze lijst op in de variabele EQ. De variabele EQ bevat de lijst met vergelijkingen die zullen gescand door de MES wanneer die probeert om de onbekende elementen op te lossen.
Voorbereiding om te werken met MES De volgende stap is het activeren van de MES en het uitproberen van een voorbeeldoplossing. Van te voren moet echter de hoekeenheden op DEGrees (graden) ingesteld worden, als dat nog niet gebeurt is, met ~~deg`. Daarna moet de inhoud van TITLE en LVARI, in het stapelgeheugen opgeslagen worden met: !@TITLE @LVARI! We gebruiken de volgende MES-functies: • MINIT: MES INITialization: begint met de variabelen in de vergelijkingen opgeslagen in EQ.
Druk nogmaals op L om het eerste variabelenmenu te herstellen. We proberen een eenvoudige oplossing voor Geval I, waarbij a = 5, b = 3, c = 5. Gebruik de volgende gegevens: 5[ a ] a:5 staat in de linkerbovenhoek in het scherm. 3[ b ] b:3 staat in de linkerbovenhoek in het scherm. 5[ c ] c:5 staat in de linkerbovenhoek in het scherm. Om de hoeken op te lossen: „[ α ] De rekenmachine rapporteert Solving for α, en toont het resultaat α: 72.5423968763.
Opmerking: als een oplossing wordt gevonden, rapporteert de rekenmachine de condities voor de oplossing als Zero of Sign Reversal. Andere berichten kunnen voorkomen als de rekenmachine moeilijkheden ondervindt bij het vinden van een oplossing. Door op „@@ALL@@ te drukken worden alle variabelen opgelost en worden tijdelijk de tussenresultaten weergegeven. Druk op ‚@@ALL@@ om de oplossingen te bekijken: Druk, wanneer u klaar bent, op $ om terug te keren naar de MESomgeving.
Daarna willen we de variabelen in de menulabels plaatsen in een andere rangorde dan die van de bovengaande lijst. Voer de volgende stappen uit. 1. Maak een lijst aan met { EQ Mpar LVARI TITLE }, met „ä @@@EQ@@@ @Mpar! !@LVARI @@TITLE ` 2. Plaats de inhoud van LVARI in het stapelgeheugen met @LVARI. 3. Voeg de twee lijsten samen door op + te drukken. Gebruik de functie ORDER (gebruik de commandocataloog ‚N) om de variabelen te ordenen zoals getoond in de lijst in het stapelgeheugen op niveau 1. 4.
Druk, indien nodig, op J, om de variabelenlijst te herstellen. Een softtoetslabel @TRISO moet in uw menu beschikbaar zijn. Het programma uitvoeren – voorbeelden van oplossing Druk op de programmeerbare menutoets @TRISO om het programma uit te voeren. Het menu MES verschijnt dat overeenkomt met de oplossing van de driehoek. Hierna volgen voorbeelden van de drie gevallen die al eerder zijn gebruikt voor het oplossen van de driehoek. Voorbeeld 1– Rechthoekige driehoek Gebruik a = 3, b = 4, c = 5.
@VALU @EQNS! @PRINT %%%% %%%% @EXIT Het vierkante punt in @VALU geeft aan dat de waarden van de variabelen en niet de vergelijkingen waarin ze werden opgelost, hier in dit scherm worden getoond. Om de vergelijkingen die werden gebruikt voor de oplossing van iedere variabele, te bekijken, drukt u op de programmeerbare menutoets @EQNS! . Het scherm ziet er nu als volgt uit: De programmeerbare menutoets @PRINT drukt het scherm af op een printer, indien beschikbaar.
Een INFO-knop toevoegen aan uw directory Een informatieknop kan handig zijn voor uw directory als geheugensteuntje voor de werking van de functies in de directory. In deze directory moeten we alleen onthouden om op @TRISO te drukken om een driehoek op te lossen. U kunt het volgende programma invoeren: <<“Press [TRISO] to start.“ MSGBOX >> en sla het op in een variabele met de naam INFO. Als resultaat verschijnt de knop @INFO als eerste variabele in uw directory.
NAME = een variabele die de naam opslaat van de meervoudige vergelijkingsoplosser, nl. "vel. & acc. polar coord.
U ziet dat na het invoeren van een bepaalde waarde, de rekenmachine de variabele en de waarde in de linkerbovenhoek in het scherm toont. De bekende variabelen zijn nu ingevoerd. Om de onbekende elementen te berekenen zijn er twee mogelijkheden: a). Individuele variabelen oplossen, bijvoorbeeld „[ vr ] geeft vr: 0.500. Druk op L„[ vθ ] en u krijgt vθ : 5.750 , enz. De overige resultaten zijn v: 5.77169819031; ar: -14.725; aθ: -13.95; en a: 20.2836911089.; of, b).
Blz.
Hoofdstuk 8 Bewerkingen met lijsten Lijsten zijn een soort objecten van de rekenmachine die handig zijn voor gegevensverwerking en voor programmering. Dit hoofdstuk geeft voorbeelden van bewerkingen met lijsten. Definities Een lijst, in de context van de rekenmachine, is een reeks objecten tussen haakjes en gescheiden door spaties (#) in de RPN-modus, of komma’s (‚í), in beide modi. Objecten die in een lijst kunnen staan, zijn getallen, letters, letterreeksen, namen van variabelen, en/of operators.
De linkerafbeelding toont het beeldscherm vóór het indrukken van ` te, terwijl de rechterafbeelding het beeldscherm toont na het opslaan van de lijst in L1. U ziet dat vóór het indrukken van ` lijst de komma’s toont die de elementen scheiden. Na het indrukken van ` worden de komma’s echter vervangen door spaties.
‚N‚é, vervolgens gebruikt u de pijltoetsen omhoog en omlaag (—˜) om de functie LIST te zoeken).
Optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling De vermenigvuldiging en deling van een lijst door een enkelvoudig getal is over de hele lijst verdeeld, bijvoorbeeld; De aftrekking van een enkelvoudig getal van een lijst, zal hetzelfde getal van elk element op de lijst worden afgetrokken, bijvoorbeeld: De optelling van een enkelvoudig getal bij een lijst geeft een lijst die vermeerderd is met het getal, en geen optelling van het enkelvoudige getal bij elk element dat op de lijst staat.
De deling L4/L3 zal een oneindige invoer produceren omdat een van de elementen in L3 nul is: Indien de lijsten die betrokken zijn bij de bewerking verschillende lengtes hebben, verschijnt er een foutmelding (Error: Invalid Dimension). Het plusteken (+), wanneer toegepast op lijsten, werkt als een aaneenschakelingsoperator, die de twee lijsten samenvoegt in plaats van ze term-voor-term op te tellen.
ABS EXP en LN LOG en ANTILOG SQ en vierkantswortel SIN, ASIN COS, ACOS TAN, ATAN INVERSE (1/x) Reële getallen functie vanaf het menu MTH De belangrijke functies vanuit het menu MTH bevatten in het menu HYPERBOLIC: SINH, ASINH, COSH, ACOSH, TANH, ATANH en in het menu REAL: %, %CH, %T, MIN, MAX, MOD, SIGN, MANT, XPON, IP, FP, RND, TRNC, FLOOR, CEIL, D R, R D. Enkele van de functies die een enkel argument nemen,toegepast op een lijst van reële getallen, worden hieronder verduidelijkt: Blz.
SINH, ASINH COSH, ACOSH TANH, ATANH SIGN, MANT, XPON IP, FP FLOOR, CEIL D R, R D Voorbeelden van de functies die twee argumenten gebruiken De volgende beeldschermen tonen toepassingen van de functie % om argumenten op te nemen. De functie % vereist twee argumenten. De eerste twee voorbeelden laten gevallen zien waarin slechts een van de twee argumenten een lijst is. Blz.
De resultaten zijn lijsten waarbij de functie % verdeeld is volgens het argument van de lijst. Voorbeeld, %({10, 20, 30},1) = {%(10,1),%(20,1),%(30,1)}, terwijl %(5,{10,20,30}) = {%(5,10),%(5,20),%(5,30)} In het volgende voorbeeld zijn beide argumenten van de functie % lijsten van dezelfde lengte. In dit geval wordt een term- voor-term verdeling van de argumenten uitgevoerd, d.w.z.
Functies zoals LN, EXP, SQ, enz. kunnen ook toegepast worden op een lijst van complexe getallen, bijvoorbeeld, Het volgende voorbeeld toont de toepassingen van de functies RE (Reële gedeelte), IM (imaginaire gedeelte), ABS (orde) en ARG (argument) van complexe getallen. De resultaten zijn lijsten van reële getallen: Lijsten van algebraïsche objecten Hier volgen voorbeelden van lijsten van algebraïsche objecten waarop de functie SIN is toegepast: Blz.
Het menu MTH/LIST Het menu MTH voorziet in een aantal functies die uitsluitend lijsten betreffen. Met vlag 117 ingesteld op CHOOSE boxes: Vervolgens met systeemvlag 117 ingesteld op SOFT menu's: Dit menu bevat de volgende functies: ∆LIST ΣLIST ΠLIST SORT REVLIST ADD : : : : : : Berekent toename onder de opeenvolgende elementen in de lijst Berekent de optelsom van de elementen in de lijst. Berekent het product van de elementen in de lijst.
U kunt SORT en REVLIST combineren om een lijst in afnemende volgorde te rangschikken: Het bewerken van elementen van een lijst Het menu PRG (programmeringmenu) bevat een submenu LIST met een aantal functies voor het bewerken van elementen van een lijst. Met systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE boxes: Item 1. ELEMENTS..
Het uittrekken en invoegen van elementen in een lijst Voor het uittrekken van een lijst gebruikt u de functie GET, beschikbaar in het submenu PRG/LIST/ELEMENTS. De argumenten van de functie GET zijn de lijst en het getal van het element dat u wenst uit te trekken. Voor het invoegen van een element op de lijst gebruikt u de functie PUT (ook beschikbaar in het submenu PRG/LIST/ELEMENTS). De argumenten van de functie PUT zijn de lijst, de positie die u wilt vervangen en de waarde die vervangen zal worden.
De functie SEQ Item 2. PROCEDURES.. in het menu PRG/LIST bevat de volgende functies die u kunt gebruiken voor de bewerking in lijsten: De functies REVLIST en SORT werden eerder behandeld als onderdeel van het menu MTH/LIST. De functies DOLIST, DOSUBS, NSUB, ENDSUB en STREAM zijn ontworpen als programmeringsfuncties voor de bewerking van lijsten in de RPN-modus. De functie SEQ is handig voor het produceren van een waardenlijst met een gegeven speciale uitdrukking en wordt hier nader toegelicht.
De gevormde lijst komt overeen met de waarden {12, 22, 32, 42}. In de RPNmodus, kunt u op volgende wijze de verschillende argumenten van de functie op een lijst weergeven: alvorens de functie SEQ toe te passen. De functie MAP De functie MAP, beschikbaar via het commandocatalogus (‚N), neemt als argumenten een lijst van getallen en een functie f (X) of een programma van de << a … >> en produceert een lijst die bestaat uit de toepassing van de functie f of van het programma voor de lijst van getallen.
kunt u lijsten (bijvoorbeeld variabelen L1 en L2,die eerder gedefinieerd zijn in dit hoofdstuk) gebruiken om de functie te evalueren, hetgeen resulteert in: Aangezien de functieverklaring geen optellingen bevat, is de toepassing voor het opnemen van argumenten eenvoudig. Indien u echter de functie G(X,Y) = (X+3)*Y definieert, zal de poging mislukken om deze functie met lijstargumenten (L1, L2) te evalueren: Dit probleem kan worden opgelost door de inhoud van variabele @@@G@@@ te bewerken.
Vervolgens slaat u de bewerkte uitdrukking op in variabele @@@G@@@: Het evalueren van G(L1,L2) geeft nu het volgende resultaat: Als alternatief, kunt u de functie definiëren met ADD in plaats van met het plusteken (+), d.w.z. gebruik DEFINE('G(X,Y)=(X ADD 3)*Y') : U kunt de functie ook als G(X,Y) = (X--3)*Y definiëren. Toepassingen van lijsten Deze paragraaf toont enkele toepassingen van lijsten voor de berekeningen van statistieken van een monster.
De harmonische betekenis van een lijst Het gaat om een monster groot genoeg is, zodat u het aantal elementen (n=10) in het beeldscherm kunt tellen. Voor een langere lijst kunt u de functie SIZE gebruiken om dat getal te krijgen, bijvoorbeeld Stel dat u de harmonische betekenis van het monster gedefinieerd als sh = 1 1 1 ∑ n k =1 s n n = 1 1 1 1 1 + + L + n s1 s 2 sn . wilt berekenen. Voor de berekening van deze waarde kunt u de volgende procedure volgen: 1.
4. Pas functie INV () toe op het laatste resultaat: De harmonische betekenis van lijst S is dus sh = 1.6348… De geometrische betekenis van een lijst De geometrische betekenis van een monster wordt gedefinieerd als xg = n n ∏x k =1 k = n x1 ⋅ x 2 L x n Voor de geometrische betekenis van de lijst opgeslagen in S kunt de volgende procedure gebruiken: 1. Pas de functie ΠLIST() toe op lijst S: 2. Pas functie XROOT(x,y), d.w.z. toetsencombinatie ‚», toe op het resultaat in 1: Blz.
De geometrische betekenis van lijst S is dus sg = 1.003203… Het gewogen gemiddelde Stel dat de gegevens in lijst S, hierboven gedefinieerd, nl.: S = {1,5,3,1,2,1,3,4,2,1} beïnvloed zijn door de gewichten, W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Indien u de gewichtenlijst definieert als W = {w1,w2,…,wn}, ziet u dat u het k de element is in lijst W, hierboven, kunt definiëren door wk = k.
2. Gebruik de functie ΣLIST in dit resultaat voor de berekening van de teller sw: 3. Gebruik de functie ΣLIST opnieuw voor de berekening van de noemer s w: 4. Gebruik de uitdrukking ANS(2)/ANS(1) voor de berekening van het gewogen gemiddelde: Het gewogen gemiddelde van de lijst S met de gewichten in lijst W is dus sw= 2.2. Opmerking: ANS(1) verwijst naar het meest recente resultaat (55), terwijl ANS (2) naar het voorlaatste resultaat (121) verwijst. Blz.
Stastistieken van gegroepeerde gegevens De gegroepeerde gegevens worden gewoonlijk uitgedrukt in een tabel met de frequentie (w) van gegevens in gegevenklassen of bins toont. Elke klasse of bin wordt weergegeven door een soortteken (s), gewoonlijk het middelpunt van de klasse.
U kunt daarom de gemiddelde waarde voor de gegevens in de lijsten S en W berekenen door middel van de eerder beschreven procedure voor het gewogen gemiddelde, d.w.z.
Blz.
Hoofdstuk 9 Vectoren Dit hoofdstuk laat voorbeelden zien van het invoeren en bewerken van vectoren, zowel wiskundige vectoren die uit vele elementen bestaan, als fysieke vectoren met 2 en 3 componenten. Definities Wiskundig gezien is een vector een reeks van 2 of meer elementen, geplaatst in een rij of een kolom. Deze worden rij- en kolomvectoren genoemd.
deling door een scalair, kan worden gezien als een vermenigvuldiging, d.w.z. A/k = (1/k)⋅A. Optelling en aftrekking van vectoren kan worden gedefinieerd als A±B = [Ax ± Bx, Ay ± By, Az ± By], waarbij B de vector B = [Bx, By, Bz] is. Er zijn twee definities van producten van fysieke vectoren, een scalair of intern product (het scalaire product) en een vector of extern product (het vectoriële product).
In de RPN-modus kunt u een vector invoeren in het stapelgeheugen door twee haakjes te openen en de vectorcomponenten of -elementen in te voeren, gescheiden door komma’s (‚í) of spaties (#). U ziet dat nadat u op ` heeft gedrukt de rekenmachine de vectorelementen gescheiden door spaties weergeeft in beide modi. Vectoren opslaan in variabelen Vectoren kunnen worden opgeslagen in variabelen.
informatie gegeven over het gebruik van de Matrixschrijver). Voor een vector willen we alleen elementen in de bovenste rij invoeren. De cel in de bovenste rij en de eerste kolom wordt automatisch geselecteerd. Onder in de spreadsheet vindt u de volgende softmenutoetsen: @EDIT! @VEC ←WID @WID→ @GO→ @GO↓ De toets @EDIT wordt gebruikt om de inhoud van een geselecteerde cel in de Matrixschrijver weer te geven.
De toets @GO→ , wanneer geselecteerd, zorgt ervoor dat u automatisch naar de cel verhuist die zich rechts bevindt van de huidige cel wanneer u op `drukt. Deze optie vormt de standaardinstelling. De toets @GO↓ , wanneer geselecteerd, zorgt ervoor dat u automatisch naar de cel verhuist die zich onder de huidige cel bevindt, wanneer u op `drukt. Naar rechts bewegen vs. naar beneden bewegen in de Matrix-schrijver Activeer de Matrixschrijver en voer 3`5`2`` in waarbij de toets @GO→ is geselecteerd (standaard).
De functie @@DEL@ verwijdert de inhoud van de geselecteerde cel en vervangt die door een nul. Om de werking van deze toetsen beter te begrijpen, raden we u aan de volgende oefening te maken: (1) Activeer de Matrixschrijver door op „² te drukken. Controleer of VEC en GO→ geselecteerd zijn. (2) Druk op de volgende toetsencombinaties: 1`2`3` L @GOTO@ 2@@OK@@ 1 @@OK@@ @@OK@@ 2`1`5` 4`5`6` 7`8`9` (3) Breng de cursor twee posities omhoog met de pijltoets omhoog —— —. Druk vervolgens op -ROW.
Een vector opbouwen met ARRY De functie →ARRY, beschikbaar in de functiecatalogus (‚N‚é, maak gebruik van —˜om de functie te zoeken), kan ook gebruikt worden om als volgt een vector of reeks op te bouwen. In de ALG-modus voert u ARRY in (vectorelementen, aantal elementen), bijv.: In de RPN-modus: (1) Voer de n elementen in van de reeks in de volgorde waarop u wilt dat ze verschijnen in de reeks (van links naar rechts) in het RPN-stapelgeheugen. (2) Voer n in als laatste element.
Vectorelementen identificeren, onttrekken en invoegen Wanneer u een vector opslaat met een variabelennaam, bijv. A, kunt u de elementen van die vector identificeren als A(i), waar i een heel getal is die kleiner dan of gelijk is aan de vectorgrootte. Maak bijvoorbeeld de volgende pijl aan en sla hem op in variabele A: [-1, -2, -3, -4, -5]: Om bijvoorbeeld het derde element van A op te roepen , kunt u A(3) invoeren in de rekenmachine. In de ALG-modus, voert u gewoon A(3) in.
Door de volledige uitdrukking te markeren en door de softmenutoets @EVAL@ te gebruiken, krijgen we het volgende resultaat: -15. Opmerking: vector A kan ook worden omschreven als een geïndexeerde variabele, omdat de benaming A niet één maar vele waarden vertegenwoordigt, die worden geïdentificeerd door middel van een subindex. Om een element in een reeks te vervangen, moet u bijvoorbeeld gebruikmaken van de functie PUT (beschikbaar in de functiecatalogus ‚N of in het submenu PRG/LIST/ELEMENTS.
Eenvoudige bewerkingen met vectoren Om bewerkingen met vectoren te illustreren, gebruiken we de vectoren A, u2, u3, v2, en v3, die al zijn opgeslagen in een eerdere oefening. Het teken wijzigen Gebruik de toets \ om het teken van een vector te wijzigen, bijv.
Absolute waardefunctie De absolute waardefunctie (ABS), wanneer toegepast op een vector, geeft de grootte weer van de vector. Voor een vector A = [A1,A2,…,An] wordt de grootte als volgt gedefinieerd: | A |= Ax2 + Ay2 + L + Az2 . In de ALG-modus moet u de functiebenaming invoeren, gevolgd door het vectorargument.
Grootte De grootte van een vector, zoals we al eerder besproken hebben, kan worden nagegaan met behulp van de functie ABS. Deze functie kan ook rechtstreeks geactiveerd worden vanaf het toetsenbord („Ê). Voorbeelden van toepassingen van de functie ABS vindt u hierboven: Scalair product De functie DOT wordt gebruikt om het scalaire product te berekenen van twee vectoren van dezelfde lengte.
Voorbeelden van vectoriële producten van een 3-D vector met een 2-D vector, of viceversa, worden hieronder weergegeven: Wanneer u een vectorieel product berekent van vectoren van een andere lengte dan 2 of 3, wordt de foutmelding (Invalid Dimension) weergegeven, b.v. CROSS(v3,A), enz. Een vector ontleden De functie V wordt gebruikt om een vector te ontleden in zijn elementen of componenten. Indien de functie wordt gebruikt in de ALG-modus, zal V de elementen van een vector in een lijst weergeven, b.v.
Een twee-dimensionele vector opbouwen Functie V2 wordt gebruikt in de RPN-modus om een vector op te bouwen met waarden uit geheugenniveaus 1: en 2:. De volgende beeldschermen geven het stapelgeheugen weer vóór en na het toepassen van functie V2. Een driedimensionele vector opbouwen Functie V3 wordt gebruikt in de RPN-modus om een vector op te bouwen met de waarden in het stapelgeheugen op niveaus 1:, 2:, en 3:.
Wanneer het rechthoekige, of Cartesische coördinatenstelsel wordt geselecteerd, wordt in de bovenste regel van het scherm een XYZ-veld weergegeven, en elke 2-D of 3-D vector die in de rekenmachine wordt ingevoerd, wordt weergegeven als de (x,y,z) componenten van de vector.
standaard het huidige coördinatenstelsel is. Voor dit geval is gegeven x = 4.532, y = 2.112 en z = 2.300. Stel dat we nu een vector invoeren in sferische coördinaten (d.w.z. in de vorm (ρ,θ,φ), waarbij ρ de lengte voorstelt van de vector, θ de hoek is die de xyprojectie vormt van de vector met de positieve zijde van de x-as, en φ de hoek is die ρ vormt met de positieve zijde van de z-as), waarbij ρ = 5, θ = 25o en φ = 45o.
Dit komt omdat de hele getallen bedoeld zijn om met het CAS gebruikt te worden en daarom worden de componenten van deze vector in de Cartesische vorm behouden. Om de omzetting naar polaire coördinaten te verkrijgen, moet u de componenten van de vector invoeren als reële getallen (m.a.w. u dient een decimale punt toe te voegen), b.v. [2., 3., 5.].
U ziet dat de vectoren die ingevoerd werden met behulp van cilindrische polaire coördinaten nu omgezet zijn naar het sferisch coördinatenstelsel. De omzetting is als volgt: ρ = (r2+z2)1/2, θ = θ en φ = tan-1(r/z). Maar de vector die oorspronkelijk in Cartesische coördinaten werd ingevoerd, blijft in deze vorm staan. Vectorbewerkingen toepassen Deze sectie bevat enkele voorbeelden van vectorbewerkingen die u kunt terugvinden in toepassingen van de fysica en de mechanica.
De te volgen stappen worden in de volgende beeldschermen weergegeven (uiteraard in deALG-modus,): Het resultaat is dus θ = 122.891o.
hoek berekenen als θ = sin-1(|M| /|r||F|) met behulp van de volgende bewerking: 1 – ABS(ANS(1))/(ABS(ANS(2))*ABS(ANS(3)) berekent sin(θ) 2 – ASIN(ANS(1)), gevolgd door NUM(ANS(1)) berekent θ In de volgende beeldschermen worden deze bewerkingen in de ALG-modus weergegeven: De hoek tussen de vectoren r en F is θ = 41.038o.
Vervolgens, berekenen we vector P0P = r als ANS(1) – ANS(2) Tenslotte nemen we het scalaire product van ANS(1) en ANS(4) en stellen het gelijk aan nul om de bewerking N•r =0 te voltooien: We kunnen nu de functie EXPAND gebruiken (in het ALG-menu) om deze uitdrukking uit te breiden: De vergelijking van het vlak door punt P0(2,3,-1) en met een normaalvector N = 4i+6j+2k, is de volgende: 4x + 6y + 2z – 24 = 0. In de RPN-modus maakt u gebruik van: [2,3,-1] ` ['x','y','z'] ` - [4,6,2] DOT EXPAND Blz.
Rijvectoren, kolomvectoren en lijsten De vectoren die in dit hoofdstuk worden behandeld, zijn allemaal rijvectoren. Soms is het nodig om een kolomvector aan te maken (bijv. om gebruik te maken van de vooringestelde statistische functies van de rekenmachines). De eenvoudigste manier om een kolomvector in te voeren is om elk vectorelement tussen haakjes te plaatsen, elk met een paar externe haakjes. Voer bijvoorbeeld het volgende in: [[1.2],[2.5],[3.2],[4.5],[6.
Indien de functie OBJ toegepast wordt op een vector, geeft die de elementen weer van de vector in het stapelgeheugen, met het aantal elementen op niveau 1: tussen haakjes (een lijst). Het volgende voorbeeld illustreert deze toepassing: [1,2,3] ` „°@)TYPE! @OBJ @ resulteert in: Indien we nu de OBJ functie nogmaals toepassen, wordt de lijst in het stapelgeheugen op niveau 1:, {3.
in het stapelgeheugen en op niveau 1: van het stapelgeheugen voeren we de vectorgrootte als een lijst in, bijv.: 1` 2` 3` „ä 3` „°@)TYPE! ! ARRY@. Om een kolomvector van n elementen samen te stellen, moet u de elementen van de vector in te voeren in het stapelgeheugen en op niveau 1 van het stapelgeheugen moet u de lijst {n 1} invoeren. Bijvoorbeeld, 1` 2` 3` „ä 1‚í3` „°@)TYPE! ! ARRY@. De functie DROP Deze functie heeft hetzelfde effect als de wistoets (ƒ).
Deze drie stappen kunnen samengevoegd worden in een UserRPL-programma, dat als volgt wordt ingevoerd (nog steeds in de RPN-modus): ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ 1 + ! ARRY@ `³~~rxc` K Een nieuwe variabele, @@RXC@, zal beschikbaar zijn in de labels van het softmenu, nadat u op J gedrukt heeft: Druk op ‚@@RXC@@ om het programma te zien dat zich in de variabele RXC bevindt: << OBJ 1 + ARRY >> Deze variabele, @@RXC@@, kan nu worden gebruikt om rechtstreeks een rijvector om te zetten in een kolomvector.
2 - Maak gebruik van de functie OBJ om de lijst op het geheugenniveau 1: te ontleden: 3- Druk op de wistoets ƒ (ook bekend als de functie DROP) om het cijfer in het stapelgeheugen op niveau 1: te wissen. 4 - Maak gebruik van de functie LIST om een lijst aan te maken 5 - Maak gebruik van de functie ARRY om een rijvector aan te maken Deze vijf stappen kunnen samengevoegd worden in een UserRPL-programma, dat als volgt wordt ingevoerd (nog steeds in de RPN-modus): Blz.
‚å„°@)TYPE! @OBJ @ @OBJ @ „°@)STACK @DROP „°@)TYPE! ! LIST@ ! ARRY@ ` ³~~cxr ` K Een nieuwe variabele, @CXR, zal beschikbaar zijn in de labels van het softmenu, nadat u op J gedrukt heeft: Druk op ‚@@CXR@@ om het programma te zien in de variabele CXR: << OBJ OBJ DROP ARRY >> Deze variabele, @@CXR@@, kan nu gebruikt worden om rechtstreeks een kolomvector om te zetten in een rijvector. In de RPN-modus, moet u de kolomvector invoeren en vervolgens op @@CXR@@ drukken.
2 - Voer een 1 in en gebruik de functie LIST om een lijst samen te stellen in het stapelgeheugen op niveau 1: 3 - Gebruik de functie ARRY om een vector samen te stellen Deze drie stappen kunnen worden samengevoegd in een UserRPL-programma, dat als volgt wordt ingevoerd (in de RPN-modus): ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ @OBJ 1 ! LIST@ ! ARRY@ ` ³~~lxv ` K Een nieuwe variabele, @@LXV@, zal beschikbaar worden in de labels van het softmenu door op de toets J te drukken: Druk op ‚@@LXV@@ om het programma te zien in de
Een vector (of een matrix) omzetten in een lijst Om een vector in een lijst om te zetten, beschikt de rekenmachine over de functie AXL. U kunt deze functie vinden met de commandocatalogus: ‚N~~axl~@@OK@@ Als oefening past u de functie AXL toe op de vector [1,2,3] in de RPNmodus met [1,2,3] ` AXL. Het volgende beeldscherm geeft de toepassing weer van de functie AXL op dezelfde vector in de ALG-modus. Blz.
Hoofdstuk 10 Aannmaken en gebruiken van matrices Dit hoofdstuk laat een aantal voorbeelden zien gericht op het maken van matrices in de rekenmachine en het gebruiken van matrixelementen. Definities Een matrix is niets meer dan een rechthoekige reeks van objecten (bijv., nummers, algebraïsch) met een aantal rijen en kolommen. Daarom heeft een matrix A met n rijen en m kolommen n×m elementen.
Invoeren van matrices in het stapelgeheugen In deze paragraaf stellen wij twee verschillende methoden voor om matrices in het stapelgeheugen van de rekenmachine in te voeren: (1) via de Matrixbewerker en (2) rechtstreeks invoeren van de matrix in het stapelgeheugen. De Matrixbewerker gebruiken Zoals bij de vectoren, behandeld in Hoofdstuk 9, kunnen matrices via de Matrixbewerker in het stapelgeheugen worden ingevoerd. Bijvoorbeeld, om de matrix in te voeren: − 2.5 4.2 2.0 0.3 1.9 2.8, 2 − 0.
Als u de optie Textbook heeft geselecteerd (met H@)DISP! en het aanvinken van Textbook), zal de matrix eruitzien zoals hierboven. Anders ziet het beeldscherm er als volgt uit: Het beeldscherm in de RPN-modus zal hier erg op lijken. Opmerking: raadpleeg Hoofdstuk 9 voor meer informatie over het gebruik van de matrixschrijver.
Bewaar deze matrix onder de naam A voor later gebruik. Gebruik K~a in de ALG- modus. Gebruik ³~a K in de RPN-modus. Aanmaken van matrices met de functies van de rekenmachine Sommige matrices kunnen worden aangemaakt met de functies van de rekenmachine, toegankelijk via het submenu MTH/MATRIX/MAKE in het menu MTH („´), of via het menu MATRICES/CREATE toegankelijk via „Ø: Het submenu MTH/MATRIX/MAKE (voortaan het menu MAKE genoemd) bevat de volgende functies: Blz.
Het submenu MATRICES/CREATE (voortaan het menu CREATE genoemd) bevat echter de volgende functies: Zoals u bij het bestuderen van deze menu’s (MAKE en CREATE) kunt zien, bevatten ze dezelfde functies GET, GETI, PUT, PUTI, SUB, REPL, RDM, RANM, HILBERT, VANDERMONDE, IDN, CON, →DIAG en DIAG→. Het menu CREATE bevat ook de submenu’s COLUMN (kolom) en ROW (rij), die ook toegankelijk zijn in het menu MTH/MATRIX. Het menu MAKE bevat ook de functie SIZE, die niet in het menu CREATE staat.
In de volgende paragrafen passen we de matrixfuncties in de menu's MAKE en CREATE toe. De functies GET en PUT De functies GET, GETI, PUT, en PUTI werken op dezelfde wijze met matrices als met lijsten of vectoren, dat wil zeggen dat u de positie van het element dat u wilt met GET of PUT moet aangeven. Terwijl lijsten en vectoren echter maar één index verlangen om een element te identificeren, hebben matrices een lijst van twee indexen {rij, kolom} nodig om matrixelementen te identificeren.
„ì³A(2,3) ` K. Voer @@@A@@@ in om de inhoud van variabele A na deze bewerking te bekijken. De functies GETI en PUTI De functies PUTI en GETI worden gebruikt in UserRPL-programma’s, omdat ze een index bijhouden van herhaalde toepassingen van de functies PUT en GET. De kolommen in de indexlijst in matrices veranderen eerst. Ter verduidelijking raden wij de volgende oefening aan in de RPN-modus: @@@A@@@ {2,2}` GETI.
De functie SIZE De functie SIZE geeft een lijst met het aantal rijen en kolommen van de matrix op niveau 1 van het stapelgeheugen. Het volgende beeldscherm laat een aantal toepassingen zien met de functie SIZE in de ALG-modus: Deze oefeningen worden in de RPN-modus uitgevoerd met @@@A@@@ SIZE, en [[1,2],[3,4]] ` SIZE . De functie TRN De functie TRN wordt gebruikt voor het verkrijgen van de transconjugaat van een matrix, bijv. de transpositie (TRAN) gevolgd door haar conjugaat complexe (CONJ).
Bijvoorbeeld, in de ALG-modus: De functie CON De functie neemt als argument een constante waarde en een lijst van twee elementen overeenkomstig het aantal rijen en kolommen van de aan te maken matrix. Defunctie CON maakt een matrix met constante elementen aan. In de ALG-modus maakt het volgende commando een 4×3 matrix aan met elementen die allemaal gelijk zijn aan: –1.5: In de RPN-modus wordt dit uitgevoerd met {4,3} ` 1.5 \ ` CON.
U kunt ook een bestaande vierkantmatrix gebruiken als het argument van functie IDN, bijv. De uiteindelijke identiteitsmatrix zal dezelfde dimensies als de argumentmatrix hebben. Een poging om een rechthoekmatrix (bijv. niet-vierkant) als het argument van IDN te gebruiken, zal een foutmelding geven. De twee bovenstaande oefeningen worden in de RPN-modus gemaakt met: 4` IDN en @@@A@@@ IDN.
Een vector opnieuw in een andere matrix dimensioneren We gebruiken de hierboven gemaakte matrix nu in de ALG-modus en we dimensioneren het opnieuw in een matrix van 3 rijen en 2 kolommen: In de RPN-modus gebruiken we: {3,2}` RDM. Een matrix opnieuw in een vector dimensioneren Om een matrix opnieuw in een vector te dimensioneren, gebruiken we als argumenten de matrix gevolgd door een lijst met het aantal elementen in de matrix.
Gebruik in de RPN-modus: {2,3} ` RANM. Het is bijna vanzelfsprekend dat de resultaten in uw rekenmachine verschillend zullen zijn dan de hierboven genoemde. De aangemaakte willekeurige getallen zijn hele getallen die gelijkmatig over de reeks [-10,10], verdeeld zullen worden, d.w.z. alle 21 getallen hebben dezelfde kans om te worden geselecteerd. Defunctie RANM is handig voor het aanmaken van matrices van elke lengte om matrixbewerkingen van matrixfuncties te verduidelijken.
[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]. Het onderstaande linkerbeeldscherm laat de nieuwe matrix in de ALG-modus zien, voordat ` is ingedrukt.
De functie DIAG→ De functie DIAG→ neemt een vector en een lijst met matrixdimensies {rijen, kolommen} en maakt een diagonaalmatrix waarbij de hoofddiagonaal vervangen wordt door de juiste vectorelementen. Voorbeeld: het commando DIAG ([1,-1,2,3],{3,3}) produceert een diagonaalmatrix met de eerste 3 elementen van het vectorargument: In de RPN-modus kunnen we [1,-1,2,3] ` {3,3}` DIAG gebruiken om hetzelfde resultaat te krijgen als hierboven.
1 1 1 M 1 x1 x2 x3 M xn x12 L x1n −1 x 22 L x 2n −1 x32 L x3n −1 M O M x n2 L x nn −1 Gebruik bijvoorbeeld het volgende commando in de ALG-modus voor de lijst {1,2,3,4}: Gebruik in de RPN-modus: {1,2,3,4} ` VANDERMONDE. De functie HILBERT De functie HILBERT maakt de Hilbertmatrix aan overeenkomstig een dimensie n.
in de RPN-modus en de instructies voor de toetsen met systeemvlag 117 ingesteld op SOFT menu’s. Deze paragraaf is bedoeld als oefening voor het invoeren van programmeerfuncties in de rekenmachine. U vindt de programma’s hieronder. Links staan de toetsen die nodig zijn om de stappen van het programma uit te voeren en rechts staan de karakters die u na invoer in uw beeldscherm ziet staan. We beginnen met de stappen die nodig zijn om het programma CRMC te activeren.
~ „j # ~ „j #1+ „°@)STACK! L@ROLL! „°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT! „°@)BRCH! )@@IF@! @END@ ~„n # „´@)MATRX! @)COL! @COL! j j1+ ROLL NEXT END n COL ` Programma staat op niveau 1 ³~~crmc~ K Zo slaat u het programma op: Opmerking: als u dit programma in uw HOME directory bewaart, zal het vanuit elke andere subdirectory toegankelijk zijn. voer om de inhoud van het programma te bekijken het volgende in J ‚@CRMC.
Het ALG-beeldscherm met de uitvoering van programma CRMC is de volgende: Lijsten symboliseren rijen van de matrix Het vorige programma kan makkelijk worden aangepast voor het maken van een matrix als de invoerlijsten de rijen van de uiteindelijke matrix zullen worden. De enige uit te voeren verandering is het veranderen van COL→ in ROW→ in de programmalijst.
menu MTH/MATRIX/COL.: („´) zoals in de onderstaande afbeelding met systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE boxes: of via het submenu MATRICES/CREATE/COLUMN: Beide manieren zullen dezelfde functies weergeven: Wanneer systeemvlag 117 ingesteld is op SOFT menu’s, is het menu COL beschikbaar via „´!)MATRX !)@MAKE@ !)@@COL@ of via „Ø!)@CREAT@ !)@@COL@ . Beide manieren zullen dezelfde functies laten zien: De werking van deze functies vindt u hieronder.
In de RPN-modus moet u de matrix in het stapelgeheugen plaatsen en in de functie COL activeren met bijv. @@@A@@@ COL. De onderstaande afbeelding laat het RPN-stapelgeheugen zien voor en na het toepassen van de functie COL. Met dit resultaat staat na ontleding de eerste kolom op het hoogste niveau van het stapelgeheugen en op niveau 1 van het stapelgeheugen staat het aantal kolommen van de originele matrix. De matrix blijft bij de ontleding niet bestaan d.w.z.
kolommen in de uiteindelijke matrix. De volgende afbeelding laat het RPNstapelgeheugen zien voor en na het gebruik van de functie COL . De functie COL+ De functie COL+ neemt als argument een matrix, een vector van dezelfde lengte als het aantal rijen in de matrix en een heel getal n dat de locatie van een kolom aangeeft. De functie COL+ voegt de vector in kolom n van de matrix in.
Plaats in de RPN-modus eerst de matrix in het stapelgeheugen, voer daarna het getal in dat de positie van een kolom vertegenwoordigt en als laatste de functie COL-. De volgende afbeelding laat het RPN-stapelgeheugen zien voor en na het toepassen van de functie COL-. De functie CSWP De functie CSWP (Colom SWaP) neemt als argumenten twee indexen, bijv. i en j (twee verschillende kolommen in een matrix) en een matrix en maakt een nieuwe matrix waarbij kolommen i en j verwisseld zijn.
Bewerken van matrices via rijen De rekenmachine bevat een menu met functies voor het bewerken van matrices door te werken in de rijen. Dit menu is toegankelijk via het menu MTH/MATRIX/ROW..
opgeslagen onder de naam variabele A. De matrix wordt afgebeeld in het linkerbeeldscherm. Het rechterbeeldscherm laat de matrix ontleed in kolommen zien. Om het volledige resultaat te zien, gebruikt u de regeleditor (activeren met ˜). In de RPN-modus moet u de matrix in het stapelgeheugen plaatsen en de functie ROW activeren met @@@A@@@ ROW. De onderstaande afbeelding laat het RPN-stapelgeheugen zien voor en na het toepassen van de functie ROW.
Plaats in de RPN-modus de n vectoren op niveaus n+1, n, n-1,…,2 van het stapelgeheugen en het aantal n op niveau 1 van het stapelgeheugen. Op deze manier plaatst de functie ROW de vectoren als kolommen in de uiteindelijke matrix. De volgende afbeelding laat het RPN-stapelgeheugen zien voor en na het toepassen van de functie ROW .
Plaats in de RPN-modus eerst de matrix in het stapelgeheugen, voer daarna het getal in dat de positie van een rij vertegenwoordigt en als laatste de functie ROW-. De volgende afbeelding laat het RPN-stapelgeheugen zien voor en na het toepassen van de functie ROW -. De functie RSWP De functie RSWP (Row SWaP) neemt als argumenten twee indexen, bijv. i en j (twee verschillende rijen in een matrix) en een matrix en maakt een nieuwe matrix aan waarbij rijen i en j zijn verwisseld.
De functie RCI De functie RCI stelt u in staat Rij I te vermenigvuldigen met een Constante waarde en de uiteindelijke rij op dezelfde positie te vervangen. Het volgende voorbeeld in de ALG-modus neemt de in A opgeslagen matrix en vermenigvuldigt de constante waarde 5 in rij nummer 3, waardoor de rij met dit product vervangen wordt. Dezelfde oefening in de RPN-mode staat in de volgende afbeelding.
Voer in de RPN-modus eerst de matrix in gevolgd door de constante waarde, vervolgens door de met de constante waarde te vermenigvuldigende rij en tenslotte de rij die vervangen moet worden. De volgende afbeelding laat het RPN-stapelgeheugen zien voor en na het toepassen van de functie RCIJ onder dezelfde omstandigheden als in het bovengenoemde ALG-voorbeeld: Blz.
Hoofdstuk 11 Matrixbewerkingen en lineaire algebra In Hoofdstuk 10 hebben we een matrix geïntroduceerd en een aantal functies laten zien om matrices in te voeren, aan te maken of te bewerken. In dit Hoofdstuk laten we voorbeelden van matrixbewerkingen zien en toepassingen op problemen van lineaire algebra Bewerkingen met matrices Matrices kunnen net als andere wiskundige grootheden worden opgeteld en afgetrokken. Ze kunnen met een scalair of onderling worden vermenigvuldigd.
{3,3}` RANM 'A33'K {3,3}` RANM 'B33'K Optellen en aftrekken Neem enkele matrices als A = [aij]m×n en B = [bij]m×n als voorbeeld. Optellen en aftrekken van deze twee matrices is alleen mogelijk als ze hetzelfde aantal rijen en kolommen hebben. De resulterende matrix C = A ± B = [cij]m×n heeft de elementen cij = aij ± bij. Hieronder ziet u enkele voorbeelden in de ALGmodus met de hierboven opgeslagen matrices (e.g.
Door optellen en aftrekken te combineren met vermenigvuldiging met een scalair kunnen we combinaties vormen van matrices van dezelfde lengte, bijv. In een lineaire combinatie van matrices kunnen we een matrix vermenigvuldigen met een imaginair getal om een matrix van complexe getallen te krijgen, bijv. Matrix-vectorvermenigvuldiging Matrix-vectorvermenigvuldiging is alleen mogelijk indien het aantal kolommen van de matrix gelijk is aan de lengte van de vector.
Anderzijds is vector-matrixvermenigvuldiging niet gedefinieerd. Deze vermenigvuldiging kan echter wel uitgevoerd worden als een speciaal geval van matrixvermenigvuldiging, zoals hieronder gedefinieerd. Matrixvermenigvuldiging Matrixvermenigvuldiging is gedefinieerd als Cm×n = Am×p⋅Bp×n, waarbij A = [aij]m×p, B = [bij]p×n en C = [cij]m×n. Matrixvermenigvuldiging is alleen mogelijk als het aantal kolommen in de eerste operand gelijk is aan het aantal rijen in de tweede operand.
(d.w.z. nog een vector) geeft. Bekijk de voorbeelden uit de vorige paragraaf om deze bewering te verifiëren. De vectoren die zijn gedefinieerd in hoofdstuk 9 zijn matrixvermenigvuldiging dus eigenlijk kolomvectoren. Het product van een vector met een matrix is mogelijk als de vector een rijvector is, d.w.z. een 1×m matrix, die vermenigvuldigd met een matrix m×n een 1xn matrix (nog een rijvector) geeft.
De inverse matrix De inverse van een vierkante matrix A is de matrix A-1 zodat A⋅A-1 = A-1⋅A = I, waarbij I de identiteitsmatrix is met dezelfde afmetingen als A. U verkrijgt de inverse van een matrix met de inverse functie INV (d.w.z. de toets Y) in de rekenmachine.
Dit menu bevat de volgende functies: Deze functies worden hieronder beschreven. Omdat veel van deze functies concepten uit de matrixtheorie zoals singuliere waarden, rangorde, enz. gebruiken, zullen we samen met de beschrijving van de functies een korte beschrijvingen van deze concepten geven. De functie ABS De functie ABS berekent wat de Frobenius-norm van een matrix wordt genoemd.
De functie SNRM De functie SNRM berekent de Spectrale NoRM van een matrix, gedefinieerd als de grootste singuliere waarde van de matrix, ook bekend als de Euclidische norm van de matrix. Bijvoorbeeld: Singuliere waardeontbinding Om de werking van de functie SNRM, te begrijpen, is het nodig het begrip van matrixontbinding te introduceren.
Rijnorm en kolomnorm van een matrix De rijnorm van een matrix wordt berekend door de sommen te nemen van de absolute waarden van alle elementen in iedere rij en dan het maximum van deze sommen te selecteren. De kolomnorm van een matrix wordt berekend door de sommen te nemen van de absolute waarden van alle elementen in iedere kolom en dan het maximum van deze sommen te selecteren.
Conditiegetal van een matrix Het conditiegetal van een vierkante niet-singuliere matrix wordt gedefinieerd als het product van de matrixnorm maal de norm van de inverse matrix, d.w.z. cond(A) = ||A||×||A-1||. We kiezen als matrixnorm ||A||, het maximum van de rijnorm (RNRM) en kolomnorm (CNRM) en de norm van de inverse matrix ||A-1||, wordt geselecteerd als het minimum van de rijnorm en kolomnorm. Dus, ||A|| = max(RNRM(A),CNRM(A)) en ||A-1|| = min(RNRM(A-1), CNRM(A-1)).
De functie RANK De functie RANK berekent de rangorde van een vierkante matrix. Probeer de volgende voorbeelden: De rangorde van een matrix De rangorde van een vierkante matrix is het maximale aantal lineaire onafhankelijke rijen of kolommen dat de matrix bevat.
U zult zien dat de rangorde 2 is. Dat komt omdat de tweede rij [2,4,6] gelijk is aan de eerste rij [1,2,3] met 2 vermenigvuldigd, dus is rij twee lineair afhankelijk van rij 1 en het maximum aantal lineaire onafhankelijke rijen is 2. U kunt controleren dat het maximum aantal lineaire onafhankelijke kolommen 3 is. Aangezien de rang het maximum aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen is, is het in dit geval 2. De functie DET De functie DET berekent de determinant van een vierkante matrix.
Een 3x3 determinant wordt berekend door de determinant aan te vullen, een bewerking die bestaat uit het kopiëren van de eerste twee kolommen van de determinant en ze rechts van kolom 3 te plaatsen zoals in het diagram hieronder. Het diagram laat tevens de te vermenigvuldigen elementen zien met het corresponderende teken dat bij het product hoort. Dit is uitgevoerd op een vergelijkbare manier zoals eerder is gedaan voor een 2×2 determinant.
Om de determinant van een matrix A aan te duiden, schrijven we det(A). De determinant van een singuliere matrix is gelijk aan nul. De functie TRACE De functie TRACE berekent de diagonaalsom van een vierkante matrix, gedefinieerd als de som van de elementen in de hoofddiagonaal,oftewel n tr (A ) = ∑ aii . i =1 Voorbeelden: De functie TRAN De functie TRAN geeft de getransponeerde van een reële of de toegevoegde getransponeerde van een complexe matrix. TRAN is gelijk aan TRN.
De functies ABS, CNRM, COND, DET, RANK, RNRM, SNRM, TRACE en TRAN- vindt u ook in het menu MTH/MATRIX/NORM (het onderwerp van de vorige paragraaf). De functie SIZE werd behandeld in hoofdstuk 10. De functie HADAMARD werd eerder behandeld in de context van matrixvermenigvuldiging. De functies LSQ , MAD en RSD hebben betrekking op de oplossing van stelsels van lineaire vergelijkingen en zullen worden behandeld verderop in dit hoofdstuk.
Functie LCXM Functie LCXM kan worden gebruikt om matrices te genereren zodat het element aij een functie is van i en j. De invoer voor deze functie bestaat uit twee hele getallen, n en m die het aantal rijen en kolommen van de te genereren matrix weergeven en een programma dat i en j als invoer neemt. De getallen n en m en het programma bezetten respectievelijk de niveaus 3, 2 en 1 van het stapelgeheugen. De dunctie LCXM is toegankelijk via de commandocatalogus ‚N.
Oplossing van lineaire stelsels Een stelsel van n lineaire vergelijkingen in m variabelen kan geschreven worden als a11⋅x1 + a12⋅x2 + a13⋅x3 + …+ a21⋅x1 + a22⋅x2 + a23⋅x3 + …+ a31⋅x1 + a32⋅x2 + a33⋅x3 + …+ . . . … . . . … an-1,1⋅x1 + an-1,2⋅x2 + an-1,3⋅x3 + …+ an1⋅x1 + an2⋅x2 + an3⋅x3 + …+ a1,m-1⋅x m-1 a2,m-1⋅x m-1 a3,m-1⋅x m-1 . . an-1,m-1⋅x m-1 an,m-1⋅x m-1 + a1,m⋅x m + a2,m⋅x m + a3,m⋅x m . . + an-1,m⋅x m + an,m⋅x m = b1, = b2, = b3, . . = bn-1, = bn.
Wanneer het X-veld is geselecteerd, druk dan op [SOLVE]. De oplossingsvector x zal worden getoond in het X:-veld indien er een oplossing beschikbaar is. De oplossing wordt tevens gekopieerd naar niveau 1 van het stapelgeheugen. Een aantal voorbeelden volgen.
Druk op ˜ om het B:-veld te selecteren. De vector b kan worden ingevoerd als een rijvector met een enkele set haakjes, bijv. [13,-13,-6] @@@OK@@@. Na het invoeren van matrix A en vector b en met het X:-veld geselecteerd kunnen we op @SOLVE drukken om te proberen dit stelsel van vergelijkingen op te lossen: De volgende oplossing werd gevonden. Druk op ` om de oplossing in het stapelgeheugen te bekijken. De oplossing is x = [1,2,-1].
Onderbepaald stelsel Het stelsel van lineaire vergelijkingen 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, kan worden geschreven als de matrixvergelijking A⋅x = b, indien x1 2 3 − 5 , x = x2 , and A= 1 − 3 8 x3 − 10 b= . 85 Dit stelsel heeft meer onbekenden dan vergelijkingen en is daarom niet uniek bepaald.
deze omgeving de pijltoetsen rechts en links om door de vector te bewegen, bijv. De oplossing is dus x = [15.373, 2.4626, 9.6268]. Druk op ` om terug te keren naar de numerieke solveromgeving. De procedure die we hieronder beschrijven, kan worden gebruikt om de matrix A en de oplossingsvector X naar het stapelgeheugen te kopiëren. Probeer het volgende om te controleren of de oplossing correct is: • • • • • • Druk op —— om het A:-veld te markeren.
Laten we het laatste resultaat als volgt in een variabele X, opslaan en de matrix in variabele A: Druk op K~x` om de oplossingsvector op te slaan in variabele X Druk op ƒ ƒ ƒ om de drie niveaus van het stapelgeheugen te wissen Druk op K~a` om de matrix in variabele A op te slaan Laten we nu de oplossing controleren met: @@@A@@@ * @@@X@@@ `,wat als uitkomst het volgende geeft (druk op ˜ om de vectorelementen te zien): [9.99999999999 85. ], redelijk dichtbij de originele vector b = [-10 85].
-x1 + x2 = 22, kan worden geschreven als de matrixvergelijking A⋅x = b, indien 3 1 x A = 2 − 5, x = 1 , and x2 − 1 1 15 b = 5 . 22 Dit stelsel heeft meer vergelijkingen dan onbekenden (een overbepaald stelsel). Het stelsel heeft niet een enkele oplossing. Elk van de lineaire vergelijkingen in het stelsel hierboven vertegenwoordigt een rechte lijn in een tweedimensionaal cartesisch coördinatenstelsel (x1, x2).
Druk op ` om terug te keren naar de numerieke solveromgeving. Probeer het volgende om te controleren of de oplossing correct is: • • • • • • Druk op —— om het A:-veld te markeren. Druk op L @CALC@ ` om matrix A naar het stapelgeheugen te kopiëren. Druk op @@@OK@@@ om terug te keren naar de numerieke solveromgeving. Druk op ˜ ˜@CALC@ ` om de oplossingsvector X naar het stapelgeheugen te kopiëren. Druk op @@@OK@@@ om terug te keren naar de numerieke solveromgeving.
bij de drie lijnen ligt dat vertegenwoordigd wordt door de drie vergelijkingen in het stelsel, en niet een exacte oplossing. Kleinste kwadraat oplossing (functie SQ) De functie LSQ geeft de minimumnorm kleinste kwadraatoplossing van een lineair stelsel Ax = b, aan de hand van de volgende criteria: • • • Als A een vierkante matrix is en A is niet-singulier (d.w.z. de inverse matrix bestaat, of de determinant is niet gelijk aan nul), geeft LSQ de exacte oplossing voor het lineaire stelsel.
De oplossing met LSQ ziet u hieronder: Onderbepaald stelsel Bekijk het stelsel 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, met x1 2 3 − 5 A= , x = x 2 , and − 1 3 8 x3 − 10 b= . 85 De oplossing met LSQ ziet u hieronder: Overbepaald stelsel Bekijk het stelsel x1 + 3x2 = 15, 2x1 – 5x2 = 5, -x1 + x2 = 22, met Blz.
3 1 x A = 2 − 5, x = 1 , and x2 − 1 1 15 b = 5 . 22 De oplossing met LSQ ziet u hieronder: Vergelijk deze drie oplossingen met de oplossingen die berekend zijn met de numerieke solver. Oplossing met de inverse matrix De oplossing voor het stelsel A⋅x = b, waarbij A een vierkante matrix is, is x = A -1⋅ b. Dit is de uitkomst van vermenigvuldiging van de eerste vergelijking met A-1, d.w.z. A-1⋅A⋅x = A-1⋅b. Per definitie is A-1⋅A = I, dus schrijven we I⋅x = A-1⋅b.
dat is dezelfde uitkomst die we eerder hebben gevonden. Oplossing door “deling” van matrices Terwijl de bewerking delen voor matrices niet is gedefinieerd, kunnen we de toets / van de rekenmachine gebruiken om vector b door matrix A te delen om x op te lossen in de matrix vergelijking A⋅x = b. Dit is een willekeurige uitbreiding van de algebraïsche deelbewerking voor matrices, d.w.z.
3X -2Y+ Z = 2, 3X -2Y+ Z = -5, 3X -2Y+ Z = 2, 4X +2Y -Z = 5, 4X +2Y -Z = 19, 4X +2Y -Z = 12. We kunnen de drie stelsels van vergelijkingen als een matrixvergelijking schrijven: A⋅X = B, waarbij X (1) 3 1 2 A = 3 − 2 1 , X = Y(1) Z (1) 4 2 − 1 X ( 2) Y( 2) Z ( 2) enkele X ( 3) Y( 3) , Z ( 3) 14 9 − 2 B = 2 − 5 2 . 5 19 12 De subindices in de namen van de variabelen X, Y en Z, bepalen naar welk vergelijkingenstelsel zij verwijzen.
met gebruik van maar een vergelijking tegelijkertijd in een procedure die bekend staat als achterwaartse substitutie. Voorbeeld van Gauss' eliminatie met gebruik van vergelijkingen Om de Gauss' eliminatieprocedure te verduidelijken, gebruiken we het volgende stelsel van 3 vergelijkingen in 3 onbekenden: 2X +4Y+6Z = 14, 3X -2Y+ Z = -3, 4X +2Y -Z = -4. We kunnen deze vergelijkingen opslaan in respectievelijk de variabelen E1, E2 en E3, in de rekenmachine zoals u hieronder kunt zien.
Vervolgens delen we de tweede vergelijking door –8 en krijgen Vervolgens vervangen we de derde vergelijking E3, door (vergelijking 3 + 6×vergelijking 2, d.w.z. E2+6×E3) en krijgen U ziet dat wanneer we een lineaire combinatie van vergelijkingen uitvoeren de rekenmachine de uitkomst verandert in een uitdrukking aan de linkerzijde van het isteken, d.w.z. de uitdrukking = 0. Zo wordt de laatste verzameling vergelijkingen geïnterpreteerd als zijnde de volgende equivalente verzameling van vergelijkingen.
Vervolgens vervangen we Z=2 en Y=1 in E1 en lossen E1 voor X op: De oplossing is daarom X = -1, Y = 1, Z = 2. Voorbeeld van Gauss' eliminatie met matrices Het stelsel van vergelijkingen dat we hebben gebruikt in het voorbeeld hierboven kan worden geschreven als de matrixvergelijking A⋅x = b, als we het volgende gebruiken: 6 14 X 2 4 A = 3 − 2 1 , x = Y , b = − 3.
oefening gebruiken we de RPN-modus (H\@@OK@@), met systeemvlag 117 ingesteld op SOFT menu. Gebruik in uw rekenmachine dan de volgende toetsencombinaties. Voer eerst de aangevulde matrix in en maak er een extra kopie van in het stapelgeheugen (Deze stap is niet noodzakelijk, maar is een verzekering dat u een extra kopie heeft van de aangevulde matrix voor het geval u een fout maakt in de voorwaartse eliminatieprocedure die we gaan uitvoeren.
A aug 1 2 3 7 1 2 3 7 1 ≅ 0 − 8 − 8 − 24 ≅ 0 1 3 0 − 6 − 13 − 32 0 − 6 − 13 − 32 1 2 3 7 A aug ≅ 0 1 1 3 0 0 − 7 − 14 Het teken ≅ (“ is equivalent aan”) geeft aan dat hetgeen volgt equivalent is aan de vorige matrix met enkele rij- (of kolom-) bewerkingen. De resulterende matrix is bovendriehoeks en equivalent aan het stelsel van vergelijkingen.
Vermenigvuldig rij 2 met –2, voeg het toe aan rij 1, waarbij deze vervangen wordt: 2\#2#1 @RCIJ! Als u dit proces met de hand schrijft, krijgt u de volgende stappen: A aug 1 2 3 7 1 2 3 7 1 2 3 7 = 0 1 1 3 ≅ 0 1 1 3 ≅ 0 1 1 1 0 0 − 7 − 14 0 0 1 2 0 0 1 2 Aaug 1 2 0 1 1 0 0 − 1 ≅ 0 1 0 1 ≅ 0 1 0 1 .
Bij het verwisselen van rijen en kolommen tijdens gedeeltelijk of volledig pivoteren is het noodzakelijk om de verwisselingen te volgen, omdat de volgorde van de onbekenden in de oplossing door deze verwisselingen wordt veranderd. Een manier om de kolomverwisselingen te volgen in gedeeltelijke of volledige pivotmodus is om aan het begin van de procedure een permutatiematrix P = In×n aan te maken.
Nu zijn we klaar om de Gauss-Jordan-eliminatie met volledig pivoteren te beginnen. We moeten de permutatiematrix met de hand volgen, dus neem uw notitieboekje en schrijf de hierboven getoonde matrix P. Eerst controleren we de pivot a11. U ziet dat het element met de grootste absolute waarde in de eerste rij en eerste kolom de waarde is van a31 = 8. Aangezien we willen dat dit getal de pivot is, verwisselen we de rijen 1 en 3, met: 1#3L @RSWP.
1 0 0 1/2 -1/16 41/16 2 3 -1 0 25/8 -25/8 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Nu we de elementen van kolom 1 onder de pivot hebben opgevuld met nullen kunnen we verdergaan met het controleren van de pivot op positie (2,2).
we de hele derde rij door 2 om de pivot naar 1, te converteren met: 2Y3@RCI 1 0 0 -1/16 1/2 1 0 0 1 41/16 -1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Vervolgens elimineren we de ½ op positie (1,3) met: 2 Y \#3#1@RCIJ 1 0 0 -1/16 1 0 0 0 1 33/16 -1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Tenslotte elimineren we de –1/16 van de positie (1,2) met: 16 Y # 2#1@RCIJ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 -1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Nu hebben we een identiteitsmatrix in het gedeelte van de aangevulde matrix dat correspondeert met de originele coëfficiëntmatrix A
0 1 0 X 3 0 0 1 ⋅ Y = − 1. 1 0 0 Z 1 Hetgeen resulteert in: Y 3 Z = − 1. X 1 Stap-voor-stap rekenmachineprocedure om lineaire stelsels op te lossen Het voorbeeld dat we zojuist hebben uitgewerkt, is natuurlijk de stap-voorstapprocedure die door de gebruiker wordt uitgevoerd om volledig pivoteren te gebruiken voor het oplossen van lineaire vergelijkingen met de GaussJordaneliminatie.
L2 = L2-2⋅L1 staat voor “vervang rij 2 (L2) met de bewerking L2 – 2⋅L1. Als we deze bewerking met de hand hadden uitgevoerd, zou dat op volgende hebben geleken: 2\#1#1@RCIJ. Druk op @@@OK@@@ en volg de bewerkingen in het beeldscherm van uw rekenmachine. U ziet de volgende bewerkingen uitgevoerd worden: L3=L3-8⋅L1, L1 = 2⋅L1--1⋅L2, L1=25⋅L1--3⋅L3, L2 = 25⋅L2-3⋅L3, en uiteindelijk het bericht “Reduction result”: Wanneer u op @@@OK@@@ drukt, geeft de rekenmachine de uiteindelijke uitkomst [1 2 –1].
Nadat u door de verschillende stappen bent gelopen, is de gegeven oplossing: Hetgeen de rekenmachine liet zien was, niet precies een Gauss-Jordaneliminatie met volledig pivoteren, maar een manier om de inverse van een matrix te berekenen door een Gauss-Jordan-eliminatie zonder pivoteren uit te voeren. Deze procedure om de inverse te berekenen, is gebaseerd op de aangevulde matrix (Aaug)n×n = [A n×n |In×n].
Gebaseerd op de hierboven weergegeven vergelijking A-1 = C /det(A), is de inverse matrix A-1niet gedefinieerd als det(A) = 0. Dus de voorwaarde det(A) = 0 definieert ook een singuliere matrix. Oplossing voor lineaire stelsels met functies van de rekenmachine De eenvoudigste manier om een stelsel van lineaire vergelijkingen A⋅x = b, in de rekenmachine op te lossen, is om b, in te voeren, A, in te voeren en dan de deelfunctie / te gebruiken.
om de oplossing te produceren: [X=-1,Y=2,Z = -3]. De functie LINSOLVE werkt met symbolische uitdrukkingen. De functies REF, rref en RREF, werken met de aangevulde matrix in een benadering volgens de Gauss' eliminatie. De functies REF, rref en RREF De bovendriehoekse vorm waartoe de aangevulde matrix is gereduceerd tijdens het voorwaartse eliminatiegedeelte van de Gauss' eliminatieprocedure noemen we de Echelonvorm.
De uitkomst is de bovendriehoekse (echelonvorm) coëfficiëntenmatrix die resulteert uit de voorwaartse eliminatiestap in een Gauss' eliminatieprocedure. De diagonale matrix die resulteert uit de Gauss-Jordan-eliminatie noemen we een gereduceerde echelonvorm. De RREF-function staat voorGereduceerde Echelonvorm Deze functieoproep moet een gereduceerde echelonvorm produceren zodat de coëfficiëntenmatrix is gereduceerd tot een identiteitsmatrix.
Het tweede scherm hierboven wordt verkregen door de regeleditor te activeren (druk op ˜). De uitkomst laat pivots zien van 3, 1, 4, 1, 5 en 2 en een gereduceerde diagonale matrix. De functie SYST2MAT Deze functie converteert een stelsel van lineaire vergelijkingen in een equivalente aangevulde matrix.
Om de functie RSD te gebruiken, heeft u de termen b, A en x(0), als argumenten nodig. De vector die wordt gegeven is e = b - A⋅x(0). Als we bijvoorbeeld A = [[2,-1][0,2]], x(0) = [1.8,2.7] en b = [1,6] gebruiken, kunnen we de restvector als volgt vinden: De uitkomst is e = b - A⋅x(0) = [ 0.1 0.6 ]. Opmerking: Als we de vector ∆x = x – x (0) de correctie in de waarden van x (0), laten vertegenwoordigen, kunnen we een nieuwe matrixvergelijking voor ∆x, schrijven, namelijk A⋅∆x = e.
deze functies vindt u in het menu MATRICES/EIGEN dat u activeert met „Ø. De functie PCAR De functie PCAR genereert de karakteristieke polynoom van een vierkante matrix met behulp van de inhoud van de variabele VX (een CASgereserveerde variabele, standaard ‘X’) als de onbekende in de polynoom.
De eigenwaarden λ = [ -√10, √10 ]. Opmerking: in sommige gevallen kan het zijn dat u de ‘exacte’ oplossing voor de karakteristieke polynoom niet kunt vinden en dan krijgt u als uitkomst een lege lijst na het toepassen van de functie EGVL. Verander de berekeningsmodus in Approx in het CAS, wanneer dit gebeurt, en herhaal de berekening.
De uitkomst laat de eigenwaarden als de kolommen van de matrix zien in de uitkomstenlijst. Om de eigenwaarden te zien, kunnen we het volgende gebruiken: GET(ANS(1),2), d.w.z. neem het tweede element in de lijst van de vorige uitkomst. De eigenwaarden zijn: In het kort: λ1 = 0.29, x1 = [ 1.00, 0.79, –0.91]T, λ2 = 3.16, x2 = [1.00, -0.51, 0.65] T, λ3 = 7.54, x1 = [-0.03, 1.00, 0.84] T. Opmerking: een symmetrische matrix produceert alle reële eigenwaarden en de eigenvectoren zijn wederzijds loodrecht.
De uitvoer is als volgt: 4: 3: 2: 1: ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’ ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’ {} {} Dezelfde oefening in de ALG-modus, ziet er als volgt in de volgende beeldschermen uit: De functie MAD Deze functie verschaft ook informatie m.b.t. de eigenwaarden van een matrix ook al is deze niet beschikbaar in het menu EIGEN.
Het resultaat is: 4: 3: 2: 1: -8. [[ 0,13 –0,25 –0,38][-0,25 0,50 –0,25][-0,38 –0,25 –0,88]] {[[1 0 0][0 1 0][0 0 1]] [[ -2 1 –2][1 –4 –1][-2 –1 –6] [[-1 2 3][2 –4 2][3 2 7]]} ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’ Dezelfde oefening in de ALG-modus ziet er als volgt uit: Het factoriseren van matrices Het factoriseren van een matrix bestaat uit het verkrijgen van matrices die bij vermenigvuldiging een gegeven matrix geven. We laten het factoriseren van matrices zien via de functies in het matrixmenu FACT.
LU oproept voert de rekenmachine een Crout LU-ontbinding van A uit met gedeeltelijk pivoteren. In de RPN-modus geeft bijvoorbeeld: [[-1,2,5][3,1,-2][7,6,5]] LU het volgende: 3:[[7 0 0][-1 2.86 0][3 –1.57 –1] 2: [[1 0.86 0.71][0 1 2][0 0 1]] 1: [[0 0 1][1 0 0][0 1 0]] Dezelfde oefening in de ALG-modus ziet er als volgt uit: Orthogonale matrices en singuliere-waardedecompositie Een vierkante matrix is orthogonaal wanneer de kolommen eenheidsvectoren vertegenwoordigen die wederzijds orthogonaal zijn.
vector s vertegenwoordigt de hoofddiagonaal van de matrix S die we eerder hebben gebruikt. In de RPN-modus bijvoorbeeld: [[5,4,-1],[2,-3,5],[7,2,8]] SVD 3: [[-0.27 0.81 –0.53][-0.37 –0.59 –0.72][-0.89 3.09E-3 0.46]] 2: [[ -0.68 –0.14 –0.72][ 0.42 0.73 –0.54][-0.60 0.67 0.44]] 1: [ 12.15 6.88 1.42] De functie SVL De functie SVL (Singuliere waarden) geeft de singuliere waarden van een matrix An×m als een vector s wiens afmeting gelijk is aan het minimum van de waarden n en m.
3: [[-5.48 0 0][-1.10 –2.79 0][-1.83 1.43 0.78]] 2: [[-0.91 0.37 -0.18] [-0.36 -0.50 0.79] [-0.20 -0.78 -0.59]] 1: [[0 0 1][0 1 0][1 0 0]] De functie QR In de RPN-modus produceert de functie QR de QR factorisering van een matrix An×m en geeft een Q n×n orthogonale matrix, een Rn×m boventrapezoïdale matrix en een Pm×m permutatiematrix in stapelgeheugenniveaus 3, 2 en 1. De matrices A, P, Q en R staan met elkaar in verband door A⋅P = Q⋅R.
Het menu QUADF De HP 49 G rekenmachine bevat het menu QUADF voor bewerkingen met kwadratische vormen. Het menu QUADF is toegankelijk via „Ø. Dit menu bevat de functies AXQ, CHOLESKY, GAUSS, QXA en SYLVESTER. De functie AXQ De functie AXQ produceert in RPN-modus de kwadratische vorm die correspondeert met een matrix An×n op stapelgeheugenniveau 2 met de n variabelen in een vector op stapelgeheugenniveau 1.
Diagonale weergave van een kwadratische vorm Bij een gegeven symmetrische vierkante matrix A, is het mogelijk de matrix A te diagonaliseren door een orthogonale matrix P te vinden zodat PT⋅A⋅P = D, waarbij D een diagonale matrix is. Als Q = x⋅A⋅xT een kwadratische vorm gebaseerd op A is, dan is het mogelijk om de kwadratische vorm Q zo te schrijven dat deze alleen vierkante termen bevat van een variabele y, zo dat x = P⋅y, door Q te gebruiken als Q = x⋅A⋅xT = (P⋅y)⋅A⋅ (P⋅y)T = y⋅(PT⋅A⋅P)⋅yT = y⋅D⋅yT.
Lineaire toepassingen Het LINEAIRE Toepassingenmenu is beschikbaar via „Ø. Informatie over de functies in dit menu vindt u hieronder met behulp van de eigen helpteksten van de rekenmachines. De afbeeldingen tonen de helpteksten en de bijgevoegde voorbeelden. De functie IMAGE De functie ISOM De functie KER Blz.
De functie MKISOM Blz.
Hoofdstuk 12 Grafieken In dit hoofdstuk introduceren we enkele van de grafische mogelijkheden van de rekenmachine. We geven grafieken van functies weer in Cartesische coördinaten en polaire coördinaten, parametrische diagrammen, conische grafieken, staafdiagrammen, puntgrafieken en een aantal driedimensionale grafieken. Grafische opties in de rekenmachine Voor de lijst van grafische opmaken van de rekenmachine gebruikt u de toetsencombinaties „ô(D).
Deze grafische opties worden hieronder kort beschreven.
dus beter om deze niet vooraf te definiëren). Maak een subdirectory met de naam 'TPLOT' (voor ‘test plot’ ) of een andere naam aan om de volgende oefening uit te voeren. Laten we bijvoorbeeld de volgende functie plotten: f ( x) = x2 exp(− ) 2 2π 1 • Ga eerst naar de PLOT SETUP-omgeving door op „ô te drukken. Zorg dat de optie Function is geselecteerd als TYPE en dat ‘X’ is geselecteerd als de onafhankelijke variabele (INDEP).
• Druk op ` om terug te keren naar het scherm PLOT SETUP. De uitdrukking ‘Y1(X) = EXP(-X^2/2)/√(2*π)’ wordt gemarkeerd. Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Opmerking : Er verschijnen twee nieuwe variabelen in de labels van de softmenutoets, namelijk EQ en Y1. Druk op ‚@@@EQ@@ om de inhoud van EQ te bekijken. De inhoud van EQ is alleen de functienaam ‘Y1(X)’.
• Om de curve te traceren: @TRACE @@X,Y@@ . Gebruik dan de pijltjes links en rechts (š™) om door de grafiek te bewegen. De coördinaten van de punten die u traceert, worden onder in het scherm getoond. Controleer of x = 1.05 , y = 0.231. Controleer ook of x = -1.48 , y = 0.134. Hier ziet u de afbeelding van de grafiek in de traceermodus • Druk op L@CANCL en dan L@@OK@@ om terug te keren naar het menu en de PLOT WINDOW-omgeving.
tot 4 voor de H-VIEW en druk dan op ˜@AUTO om de V-VIEW te genereren. Druk op @ERASE @DRAW om de grafiek te plotten. • • • • • Als de grafiek is geplot, drukt u op @)@FCN! om in het menu function te komen. Met dit menu kunt u meer informatie krijgen over het diagram, dus de snijpunten met de x-as, wortels, richtingscoëffiënten van de raaklijn, het gebied onder de curve, enz. Als u bijvoorbeeld de wortel links van de curve wilt vinden, zet u de cursor bij dat punt en drukt u op @ROOT.
• • • • • • • Om het hoogste punt in de curve te krijgen, zet u de cursor naast de top en drukt u op @EXTR. Het resultaat is EXTRM: 0. Druk voor L om het menu. De andere toetsen in het eerste menu zijn @AREA voor het berekenen van het gebied onder de curve en @SHADE om een gebied onder de curve te arceren. Druk op L voor meer opties. Het tweede menu heeft onder meer de toets @VIEW die enkele seconden knippert als de vergelijking wordt geplot. Druk op @VIEW.
• Druk op ‚@@EQ@@ om de inhoud van EQ te controleren. U ziet dat er nu een lijst staat in plaats van een enkele uitdrukking. De lijst heeft als elementen een uitdrukking voor de afgeleide van Y1(X) en Y1(X) zelf. Eerder bevatte EQ alleen Y1(x). Als we op @@F' @@ hebben gedrukt in de @)FCN@-omgeving, voegt de rekenmachine automatisch de afgeleide van Y1(x) toe aan de lijst met vergelijkingen in EQ.
Grafieken van transcendente functies In dit deel gebruiken we enkele grafiekkenmerken van de rekenmachine om het typische gedrag van de natuurlijke log-, exponentiële, trigonometrische en hyperbolische functies te laten zien. U ziet in dit hoofdstuk geen grafieken, omdat ik die in uw rekenmachine wil zien. Grafiek van ln(X) Druk, tegelijkertijd in de RPN-modus, op de toets links-shift „ en de toets ô (D) om het venster PLOT SETUP op te roepen. Het veld Type wordt gemarkeerd.
-1 10 met 1\@@@OK@@ 10@@@OK@@@. Druk daarna op softtoets @AUTO zodat de rekenmachine het verticale bereik kan bepalen. Na een paar seconden wordt dit bereik in het venster PLOT WINDOW-FUNCTION getoond. We kunnen nu de grafiek ln(X) produceren. Druk op @ERASE @DRAW om de natuurlijkelogaritmefunctie te plotten. Druk op @EDIT L@)LABEL om labels aan de grafiek toe te voegen. Druk op @MENU om de menulabels te verwijderen en de grafiek volledig te zien. Druk op L om het huidige grafiekmenu op te roepen.
Druk daarna op ‚@@@X@@@ om de inhoud van deze variabele te bekijken. De waarde 10.275 wordt in het stapelgeheugen geplaatst. Deze waarde wordt bepaald door uw selectie van het horizontale weergavenbereik. We hebben een bereik tussen -1 en 10 geselecteerd voor X. Voor de grafiek genereert de rekenmachine waarden tussen de bereikgrenzen door een constante toename te gebruiken en de gegenereerde waarden een voor een op te slaan in de variabele @@@X@@@ als de grafiek wordt getekend.
De PPAR-variabele Druk indien nodig op J om de variabelenmenu’s op te roepen. In het variabelenmenu moet een variabele PPAR staan. Druk op ‚@PPAR om de inhoud van deze variabele in het stapelgeheugen te zetten. Druk op de pijltoets omlaag om de stapelgeheugeneditor te activeren en gebruik de pijltoetsen omhoog en omlaag om de volledige inhoud van PPAR te bekijken.
Inverse functies en de grafieken Als y = f(x), als we de functie y = g(x) kunnen vinden, zodat, g(f(x)) = x, dan zeggen we dat g(x) de inverse functie van f(x) is. Meestal wordt de notatie g(x) = f -1(x) gebruikt om een inverse functie aan te geven. Met deze functie kunnen we het volgende schrijven: als y = f(x), dan x = f -1(y). Ook f(f -1(x)) = x en f -1(f(x)) = x. Zoals we eerder al aangaven, zijn de functies ln(x) en exp(x) inverse functies van elkaar, dus ln(exp(x)) = x en exp(ln(x)) = x.
in de lijst met functies die geplot moeten worden. In dit geval is dat dus Y1(X) = EXP(X). We moeten het verticale bereik zelf invoeren om de andere twee functies in hetzelfde diagram weer te geven. Druk op @CANCL om terug te keren naar het scherm PLOT FUNCTION – WINDOW. Pas de verticale en horizontale bereiken aan zodat u het volgende krijgt: H-View: -8 8, V-View: -4 4 Als we deze bereiken selecteren, zorgen we dat de schaal van de grafiek 1 verticaal tot 1 horizontaal blijft.
• Een vinkje bij _Pixels betekent dat de markeringen die door H-Tick en V-Tick worden aangegeven, door zoveel pixels worden gescheiden. • De standaardwaarde voor de H-Tick en V-Tick is 10. Menuopties voor softtoetsen: • Gebruik @EDIT om functies van waarden in het geselecteerde veld te bewerken. • Gebruik @CHOOS om het diagramtype te selecteren dat moeten worden gebruikt als het veld Type: is gemarkeerd. Voor deze oefeningen moet het veld worden ingesteld op FUNCTION.
Opties voor softmenutoetsen • Gebruik @EDIT om de gemarkeerde vergelijking te bewerken. • Gebruik @@ADD@! om nieuwe vergelijkingen aan het diagram toe te voegen. Opmerking : @@ADD@! of @EDIT zal de vergelijkingenschrijver EQW activeren, waarmee u nieuwe vergelijkingen kunt schrijven of oude vergelijkingen kunt bewerken. • Gebruik @@DEL@@ om de gemarkeerde vergelijking te verwijderen.
• • • Voer de onder- en bovengrens in voor het verticale beeld (V-View) en druk op @AUTO, terwijl de cursor in een van de H-View-velden staat om het horizontale (H-View) bereik automatisch te genereren. De rekenmachine gebruikt het horizontale (H-View) bereik om gegevenswaarden te genereren voor de grafiek, tenzij u de opties Indep Low, (Indep) High en (Indep) Step wijzigt.
• • • Gebruik @TYPES voor informatie over het type objecten dat in het geselecteerde optieveld kan worden gebruikt. Gebruik @CANCL om eventuele wijzigingen in het venster PLOT WINDOW te annuleren en terug te keren naar het normale beeldscherm van de rekenmachine. Druk op @@@OK@@@ om eventuele wijzigingen in het venster PLOT WINDOW te accepteren en terug te keren naar het normale beeldscherm van de rekenmachine. Druk op „ó, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus.
ACOS(X) COS & ACOS TAN(X) ATAN(X) TAN & ATAN SINH(X) ASINH(X) SINH & ASINH COSH(X) ACOSH(X) COS & ACOS TANH(X) ATANH(X) TAN & ATAN -1.2 -3.2 -3.15 -10 -2 -2 -5 -5 -2 -1 -5 -5 -1.2 -5 1.2 3.2 3.15 10 -2 2 5 5 2 5 5 5 1.2 5 AUTO -1.6 -10 -1.8 -2 AUTO AUTO -5 AUTO AUTO -1 AUTO AUTO -2.5 1.6 10 1.8 -2 5 5 2.5 Een tabel met waarden voor een functie aanmaken Met de toetsencombinaties „õ(E) en „ö(F), tegelijkertijd ingedrukken in de RPN-modus, kan de gebruiker een tabel met waarden van functies maken.
• De volgende stap is om naar het scherm Table Set-up te gaan met de toetsencombinatie „õ (dus de softtoets E) – tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus. U krijgt een scherm waarin u de beginwaarde (Start) en de stapgrootte (Step) kunt selecteren. Voer het volgende in: 5\ @@@OK@@@ 0.5 @@@OK@@@ 0.5 @@@OK@@@ (dus Zoomfactor = 0.5). Indien gewenst, kunt u herhaaldelijk op de @ @CHKsoftmenutoets drukken tot een vinkje verschijnt voor de optie Small Font. Druk dan op @@@OK@@@.
• • • • • • • • Druk op @@@OK@@@ met de optie In gemarkeerd. De tabel wordt zo uitgebreid dat de x-stapgrootte nu 0.25 in plaats van 0.5 is. De rekenmachine vermenigvuldigt dus heel eenvoudig de originele stapgrootte 0.5 met de zoomfactor 0.5 en komt zo tot de nieuwe stapgrootte 0.25. De optie zoom in is handig wanneer u een hogere resolutie wilt voor de waarden van x in uw tabel. Druk op @ZOOM, selecteer nogmaals In en druk dan op @@@OK@@@ om de resolutie met nog een factor 0.5 te verhogen.
³2* „ Ü1-S~‚t @@@OK@@@. • • • • • • De cursor staat nu in het veld Indep. Druk op ³~‚t @@@OK@@@ om de onafhankelijke variabele te wijzigen in θ. • Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. • Druk op „ò, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om in het venster PLOT te komen (in dit geval wordt dit venster PLOT–POLAR) genoemd. • Wijzig het bereik van de H-VIEW in –8 tot 8 met 8\@@@OK@@@8@@@OK@@@ en het bereik van de V-VIEW in -6 tot 2 met 6\@@@OK@@@2@@@OK@@@
In deze oefening hebben we de te plotten vergelijking direct in het venster PLOT SETUP ingevoerd. We kunnen ook vergelijkingen invoeren met het venster PLOT, druk dan, tegelijkertijd in de RPN-modus, op „ñ. Als u bijvoorbeeld op „ñ drukt nadat u de vorige oefening heeft voltooid, wordt de vergelijking ‘2*(1-SIN(θ))’ gemarkeerd. Daarnaast willen we ook nog de functie ‘2*(1-COS(θ))’ samen met de vorige vergelijking plotten. • • Druk op @@ADD@! en voer 2*„Ü1- T~‚t` in om de nieuwe vergelijking in te voeren.
een kegel. Een cirkel is bijvoorbeeld het snijpunt van een kegel met een loodvlak met de hoofdas van de kegel. De rekenmachine heeft de mogelijkheid een of meer conische curven te plotten door Conic te selecteren als de functie TYPE in de PLOT-omgeving. Zorg dat u de variabelen PPAR en EQ verwijdert voordat u verder gaat. Laten we bijvoorbeeld de volgende lijst vergelijkingen opslaan. { ‘(X-1)^2+(Y-2)^2=3’ , ‘X^2/4+Y^2/3=1’ } in de variabele EQ.
Opmerkingen: de bereiken H-View en V-View zijn geselecteerd om het snijpunt van de twee curven weer te geven. Er is geen algemene regel voor het selecteren van deze bereiken, alleen op basis van de informatie over de curven. Voor de bovenstaande vergelijkingen weten we bijvoorbeeld dat de cirkel reikt van -3+1 = -2 tot 3+1 = 4 in x en van -3+2=-1 tot 3+2=5 in y. Daarnaast zal de ellips, die bij de oorsprong (0,0) is ingevoerd, reiken van -2 tot 2 in x en van -√3 tot √3 in y.
Parametrische diagrammen Parametrische diagrammen in het vlak zijn diagrammen waarvan de coördinaten worden gegenereerd via het systeem van vergelijkingen x = x(t) en y = y(t), waarbij t de parameter is. Een voorbeeld van zo’n grafiek is de baan van een projectiel, x(t) = x0 + v0⋅COS θ0⋅t, y(t) = y0 + v0⋅sin θ0⋅t – ½⋅g⋅t2. Om deze vergelijkingen, met de constante waarde x0, y0, v0 en θ0, te plotten, moeten we de waarden van deze parameters in variabelen opslaan.
• • • Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Druk op „ò, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om in het venster PLOT te komen (in dit geval wordt ditt venster PLOT–PARAMETRIC). We passen nu niet eerst de horizontale en verticale beelden aan, zoals bij andere diagramtypen, maar we stellen de laagste en hoogste waarden van de onafhankelijke variabele eerst als volgt in: Selecteer het veld Indep Low door op ˜˜ te drukken. Wijzig deze waarde in 0@@@OK@@@.
• • • Druk op L om het menu op te roepen. Druk op L @)PICT om het originele grafiekmenu op te roepen. Druk op TRACE @(X,Y)@ om de coördinaten van een punt in de grafiek te bepalen. Gebruik ™ en š om de cursor in de curve te laten bewegen. Onder in het scherm ziet u de waarde van de parameter t en de coördinaten van de cursor als (X,Y). Druk op L@CANCL om terug te keren naar de omgeving PLOT WINDOW. Druk vervolgens op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren.
• • • • We gaan eerst naar het venster TABLE SETUP door op „õ te drukken, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus. Voor de onafhankelijke variabele wijzigen we de waarde Starting in 0,0 en de waarde Step in 0,1. Druk op @@@OK@@@. Genereer de tabel door op „ö te drukken, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus. De ontstane tabel heeft drie kolommen die de parameter t en de coördinaten van de bijbehorende punten weergeven. Voor deze tabel zijn de coördinaten X1 en Y1 genoemd.
• • • • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Wijzig TYPE in Diff Eq. Druk op ˜ en voer ³„ ¸-~ „tQ2@@@OK@@@ in. De cursor staat nu in het veld H-Var. Er moet staan: H-Var:0 en ook VVar:1. Dit is de code die door de rekenmachine wordt gebruikt om te bepalen welke variabelen er moeten worden geplot. H-Var:0 betekent dat de onafhankelijke variabele (die later wordt geselecteerd) op de horizontale as wordt geplot.
• • • • • • Druk op L voor het menu. Druk op L @)PICT om het originele grafiekmenu op te roepen. Terwijl de grafiek wordt geplot, zien we dat de grafiek niet echt mooi loopt. Dat komt omdat de plotter een te grote tijdstap heeft genomen. Om de grafiek te verfijnen en mooier te maken, gebruiken we een stap van 0.1. Probeer de volgende toetsencombinaties: @CANCL ˜˜˜. 1@@@OK@@@ @ERASE @DRAW. Het duurt nu langer voordat het diagram klaar is, maar de vorm is een stuk beter geworden.
Raadpleeg Hoofdstuk 16 voor meer informatie over het gebruik van grafische oplossingen van differentiaalvergelijkingen. Waarheidsdiagrammen Waarheidsdiagrammen worden gebruikt om tweedimensionale diagrammen van gebieden te maken die voldoen aan een bepaalde wiskundige voorwaarde die waar of niet waar kan zijn. Stel dat u het gebied voor X^2/36 + Y^2/9 < 1 wilt plotten, ga dan als volgt te werk: • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan.
Druk op L om het menu op te roepen. Druk op L @)PICT voor het originele grafiekmenu. • Druk op (X,Y) om de coördinaten van een punt in de grafiek te bepalen. Gebruik de pijltjestoetsen om met de cursor door het geplotte gebied te bewegen. Onder in het scherm ziet u de waarde van de coördinaten van de cursor als (X,Y). • Druk op L@)CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOW-omgeving. Druk vervolgens op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren.
We gebruiken de volgende gegevens voor het plotten van staafdiagrammen en puntgrafieken: x 3.1 3.6 4.2 4.5 4.9 5.2 y 2.1 3.2 4.5 5.6 3.8 2.2 z 1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 Staafdiagrammen Zorg eerst dat het CAS van de rekenmachine in de modus Exact staat. Voer daarna de hierboven gegeven gegevens in als een matrix, dus [[3.1,2.1,1.1],[3.6,3.2,2.2],[4.2,4.5,3.3], [4.5,5.6,4.4],[4.9,3.8,5.5],[5.2,2.2,6.6]] ` Om de gegevens op te slaan in ΣDAT, gebruikt u de functie STOΣ (via de functiecatalogus, ‚N).
• • • • • • • Er verschijnt een matrix in het veld ΣDAT. Dit is de matrix die we eerder in ΣDAT hebben opgeslagen. Markeer het veld Col:. In dit veld kunt u de kolom van ΣDAT kiezen die moet worden geplot. De standaardwaarde is 1. Houd dit op diagramkolom 1 in ΣDAT. Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Druk op „ò, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT WINDOW te gaan. Wijzig de V-View in: V-View: 0 5.
• • Wijzig de V-View in: V-View: 0 Druk op @ERASE @DRAW. • Druk op @CANCL om terug te keren naar het scherm PLOT WINDOW, daarna op $ om terug te keren naar het normale beeldscherm van de rekenmachine. 6 Puntgrafieken We gebruiken dezelfde ΣDAT-matrix om puntgrafieken te maken. We plotten eerst de waarden van y vs. x, daarna die van y vs. z. Dat doen we als volgt: • • • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Verander TYPE in Scatter.
• • Druk op LL@)PICT om de EDIT-omgeving te verlaten. Druk op @CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOW-omgeving. Druk vervolgens op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Ga als volgt te werk om y vs. z te plotten: • • • • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Druk op ˜˜ om het veld Cols: te markeren.
er in het diagram segmenten die de oplossingscurven raken, omdat y’ = dy/dx, geëvalueerd op elk punt (x,y), de richtingscoëffiënt van de raaklijn bij punt (x,y) weergeeft. Om bijvoorbeeld de oplossing voor de differentiaalvergelijking y’ = f(x,y) = x+y weer te geven, kunt u het volgende doen: • • • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Verander TYPE in Slopefield. Druk op ˜ en voer ‘X+Y’ @@@OK@@@ in.
Deze lijnen bestaan uit lijnen van y(x,y) = constant, voor de oplossing van y’ = f(x,y). De richtingscoëfficiëntvelden zijn dus handig voor het in beeld brengen van moeilijk op te lossen vergelijkingen. Probeer ook een diagram voor het richtingscoëfficientveld voor de functie y’ = f(x,y) = - (y/x)2 met: • • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Verander TYPE in Slopefield. Druk op ˜ en voer ‘− (Y/X)^2’ @@@OK@@@ in.
• • • Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Druk op „ò, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT WINDOW te gaan. Houd de standaardbereiken van het diagramvenster als volgt: X-Left:-1, XRight:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High: 1, Step Indep: 10, Depnd: 8 Opmerking: de waarden Step Indep: en Depnd: geven het aantal stippellijnen aan dat in het diagram gebruikt moet worden.
• • • Druk op @EXIT wanneer u klaar bent. Druk op @CANCL om terug te keren naar het PLOT WINDOW. Druk op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Probeer ook een Snelle 3D-grafiek voor het vlak z = f(x,y) = sin (x2+y2) • • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Druk op ˜ en voer ‘SIN(X^2+Y^2)’ @@@OK@@@ in. Druk op @ERASE @DRAW om het diagram te tekenen. Druk op @EXIT wanneer u klaar bent.
• Houd de standaardbereiken voor het diagramvenster als volgt: X-Left:-1, XRight:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High: 1, XE:0,YE:-3, ZE:0, Step Indep: 10 Depnd: 8 De coördinaten XE, YE, ZE staan voor “oogcoördinaten”, de coördinaten waar vandaan een toeschouwer het diagram ziet. De gegeven waarden zijn de standaardwaarden. De waarden Step Indep: en Depnd: geven het aantal stippellijnen aan dat in het diagram gebruikt moet worden.
Deze versie van de grafiek neemt meer ruimte in het beeldscherm in dan de vorige. We wijzigen het gezichtspunt nog een keer om een andere versie van de grafiek te zien. • • • • • Druk op LL@)PICT @CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOWomgeving. Verander de oogcoördinaten als volgt: XE:3 YE:3 ZE:3 Druk op @ERASE @DRAW om het diagram van het oppervlak te zien. Nu zien we dat het grootste deel van het diagram aan de rechterzijde van het beeldscherm staat.
• Druk op @CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOW-omgeving. Druk vervolgens op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Ps-Contour-diagrammen Ps-Contour-diagrammen zijn contourdiagrammen met driedimensionale oppervlakken, die worden beschreven als z = f(x,y). De contouren zijn projecties van vlakke oppervlakken z = constant op het x-y-vlak.
• • Druk op LL@)PICT@CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOWomgeving. Druk op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Probeer ook een Ps-Contour-diagram voor het vlak z = f(x,y) = sin x cos y. • • • • • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Druk op ˜ en voer ‘SIN(X)*COS(Y)’ @@@OK@@@ in. Druk op @ERASE @DRAW om het diagram van het richtingscoëfficiëntveld te tekenen.
• • • • Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Druk op „ò, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT WINDOW te gaan. Houd de standaardbereiken van het diagramvenster als volgt: X-Left:-1, XRight:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low:-1, Z-High:1, Step Indep: 10 Depnd: 8 Druk op @ERASE @DRAW om het driedimensionale oppervlak te tekenen. U ziet dat de rekenmachine een reeks curven op het scherm zet, die meteen weer verdwijnen.
komen overeen met het reële en denkbeeldige deel van w = Φ(x,y) + iΨ(x,y), ze geven dus de curven Φ(x,y) =constant en Ψ(x,y) = constant. Als u bijvoorbeeld een Roosterdiagram wilt maken voor de functie w = sin(z), doe dan als volgt: • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. • Verander TYPE in Gridmap. • Druk op ˜ en voer ‘SIN(X+i*Y)’ @@@OK@@@ in. • Zorg dat ‘X’ is geselecteerd als de variabele Indep: en ‘Y’ als de variabele Depnd:.
(3) (5) (7) (9) EXP((X,Y)) TAN((X,Y)) (X,Y)^3 √ (X,Y) dus dus dus dus F(z) F(z) F(z) F(z) = = = = ez tan(z) z3 z1/2 (4) SINH((X,Y)) dus F(z) = sinh(z) (6) ATAN((X,Y)) dus F(z) = tan-1(z) (8) 1/(X,Y) dus F(z) = 1/z Pr-oppervlakdiagrammen Pr-oppervlakdiagrammen (Pr-Surface - parametrische oppervlak) worden gebruikt om een driedimensionaal oppervlak te plotten waarvan de coördinaten (x,y,z) worden beschreven als x = x(X,Y), y = y(X,Y), z=z(X,Y), waarbij X en Y onafhankelijke parameters zijn.
• Druk op @EDITL @LABEL @MENU om de grafiek met labels en bereiken te bekijken. • Druk op LL@)PICT @CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOWomgeving. Druk op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. • De variabele VPAR De variabele VPAR (Volumeparameter) bevat informatie over het “volume” en wordt gebruikt om een driedimensionale grafiek te maken.
Met de bovenstaande voorbeelden kunt u de functies LABEL, MENU, PICT en REPL proberen. Veel van de overgebleven functies, zoals DOT+, DOT-, LINE, BOX, CIRCL, MARK, DEL, enz., kunnen worden gebruikt om punten, lijnen, cirkels, enz. in het grafiekscherm te tekenen, zoals we hierna zullen uitleggen.
Gebruik bijvoorbeeld de toetsen ™— om de cursor ergens in het midden van het eerste kwadrant van het x-y-vlak te zetten. Druk daarna op @DOT+@@. Het label wordt geselecteerd (DOT+ @). Druk op de toets ™ en houd deze ingedrukt. U ziet dat de horizontale lijn getraceerd wordt. Druk nu op @DOT-@ en selecteer deze optie ( @DOT- @ ). Druk op de toets š en houd deze ingedrukt. U ziet dat de lijn nu wordt gewist. Druk op @DOT- als u klaar bent om deze optie te deselecteren.
TLINE (Toggle LINE) Zet de cursor op het tweede kwadrant om deze functie in werking te zien. Druk op @TLINE. Er wordt een MARK aan het begin van de togglelijn gezet. Beweeg de cursor met de pijltoetsen bij dit punt vandaan en druk op @TLINE. Er wordt een lijn getekend van de huidige cursorpositie naar het eerder geselecteerde referentiepunt. Pixels die aan staan in het lijnpad worden uitgeschakeld en andersom. Druk opnieuw op @TLINE om de recentste lijn te wissen.
LABEL Als u op @LABEL drukt, worden de labels in de x- en y-assen van het huidige diagram geplaatst. Deze functie hebben we al regelmatig gebruikt in dit hoofdstuk. DEL Dit commando wordt gebruikt om delen van de grafiek tussen de twee MARKposities te verwijderen. Zet de cursor op een punt in de grafiek en druk op @MARK. Zet de cursor op een ander punt en druk opnieuw op mark. Druk daarna op @@DEL@. Het deel van de grafiek tussen de twee markeringen wordt verwijderd.
wordt bij de cursorpositie geplaatst. Als u dus een grafiek wilt maken uit het stapelgeheugen dat het grafiekvenster volledig vult, moet de cursor in de linkerbovenhoek in het beeldscherm staan. PICT Dit commando plaatst een kopie van de grafiek in het grafiekvenster in het stapelgeheugen als een grafiekobject. Het grafiekobject dat in het stapelgeheugen wordt geplaatst, kan worden opgeslagen met een variabelennaam voor opslag of andere bewerkingen.
ZFACT, ZIN, ZOUT en ZLAST Als u op @)ZFACT drukt, verschijnt er een invoervenster waarmee u de huidige Xen Y-factoren kunt wijzigen. De X- en Y-factoren hebben betrekking op de horizontale en verticale door de gebruiker gedefinieerde eenheidbereiken voor de betreffende pixelbereiken. Wijzig de H-Factor in 8., en druk op @@@OK@@@, wijzig de V-Factor in 2., en druk op @@@OK@@. Verwijder het vinkje voor Recenter on cursor en druk op @@@OK@@. Als u weer in de grafiekweergave zit, drukt u op @@ZIN@ .
ZDFLT, ZAUTO Als u op @ZDFLT drukt, wordt het huidige diagram opnieuw getekend met de standaard x- en y-bereiken, dus –6.5 tot 6.5 in x en –3.1 tot 3.1 in y. Het commando @ZAUTO maakt daarentegen een zoomvenster met het bereik van de huidige onafhankelijke variabele (x), maar past het bereik van de afhankelijke variabele (y) aan zodat deze in de curve past (net als met de functie @AUTO in het invoervenster PLOT WINDOW („ò, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus).
Opmerking: geen van deze functies is programmeerbaar. Ze zijn alleen interactief bruikbaar. Verwar het commando @ZFACT in het menu ZOOM niet met de functie ZFACTOR, die wordt gebruikt bij toepassingen in de gasdynamica en scheikunde (zie Hoofdstuk 3). Het SYMBOLIC-menu en grafieken Het SYMBOLIC-menu wordt geactiveerd met de toets P (vierde toets vanaf links in de vierde rij vanaf boven).
DEFINE: hetzelfde als de toetsencombinatie „à (de toets 2) GROBADD: plakt twee GROBs eerste over de twee (zie Hoofdstuk 22) PLOT(functie): plot een functie, hetzelfde als „ô PLOTADD(functie): voegt deze functie toe aan de lijst met te plotten functies, hetzelfde als „ô Plot setup: hetzelfde als „ô SIGNTAB(functie): tekentabel van bepaalde functies met intervallen van positieve en negatieve variantie, nulpunten en oneindige asymptoten TABVAL: tabel met waarden voor een functie TABVAR: variantietabel voor een
TABVAL(X^2-1,{1, 3}) produceert een lijst met {min max} waarden van de functie in het interval {1,3}, terwijl SIGNTAB(X^2-1) het teken toont van de functie in het interval (-∞,+), met f(x) > 0 in (-∞,-1), f(x) <0, in (-1,1), en f(x) > 0 in (1,+ ∞).
door de pijltoets omhoog, en neemt af als deze waarde (X=e) iets groter dan nul is geworden (+:0) terwijl X oneindig wordt. Deze observaties wordt als volgt weergegeven in de grafiek: De functie DRAW3DMATRIX Deze functie heeft als argument een n×m-matrix, Z, = [ zij ], en de minimumen maximumwaarden voor het diagram. U wilt de waarden vmin en vmax selecteren, zodat ze de waarde in Z bevatten. De algemene oproep voor deze functie is daarom DRAW3DMATRIX(Z,vmin,vmax).
Hoofdstuk 13 Calculustoepassingen In dit hoofdstuk laten we toepassingen zien van de functies van de rekenmachine op bewerkingen die betrekking hebben op calculus, bijvoorbeeld limieten, afgeleiden, integralen, machtreeksen, enz. Het menu CALC (Calculus) Veel van de functies in dit hoofdstuk staan in het menu CALC van de rekenmachine dat toegankelijk is met de toetsencombinatie „Ö (behorende bij de toets 4).
wanneer de toename in de onafhankelijke variabele de nul benadert. Limieten worden gebruikt om de continuïteit van functies te controleren. De functie lim De rekenmachine biedt de functie lim om limieten van functies te berekenen. Deze functie gebruikt als invoer een uitdrukking die een functie weergeeft en de waarde waarvan de limiet dient te worden berekend. De functie lim is beschikbaar via de commandocatalogus (‚N~„l) of via optie 2 LIMITS & SERIES… in het menu CALC (zie hierboven).
Het oneindigheidssymbool behoort bij de toets 0, d.w.z. „è. Afgeleiden De afgeleide van een functie f(x) bij x = a wordt gedefinieerd als de limiet f ( x + h) − f ( x ) df = f ' ( x) = lim h − >0 h dx Enkele voorbeelden van afgeleiden met deze limiet worden in de volgende beeldschermen getoond: De functies DERIV en DERVX De functie DERIV wordt gebruikt om afgeleiden die betrekking op een onafhankelijke variabele aan te nemen, terwijl de functie DERVX afgeleiden aanneemt m.b.t.
De functie DERIV vereist een functie, bijv. f(t), en een onafhankelijke variabele, bijv. t. De functie DERVX vereist alleen een functie van VX. Voorbeelden in de ALG-modus ziet u hieronder. Vergeet niet dat in RPN-modus de argumenten ingevoerd moeten worden voordat de functie wordt toegepast. Het menu DERIV&INTEG De functies die beschikbaar zijn in dit submenu ziet u hieronder: Van deze functies worden DERIV en DERVX gebruikt voor afgeleiden.
afgeleide in het stapelgeheugen te schrijven, moet het onmiddellijk gevolgd worden door de onafhankelijke variabele en daarna een paar haakjes rond de te differentiëren functie. Om de afgeleide d(sin(r),r) te berekenen in de ALG-modus voeren we dus het volgende in: ‚¿~„r„ÜS~„r` In de RPN-modus moet deze uitdrukking tussen aanhalingstekens staan alvorens het in het stapelgeheugen in te voeren.
Om de afgeleide in de vergelijkingenschrijver te evalueren, drukt u vier keer op de pijltoets omhoog —om de hele uitdrukking te selecteren. Druk dan op @EVAL. De uitdrukking wordt in de vergelijkingenschrijver geëvalueerd als: Opmerking: het symbool ∂ wordt formeel in de wiskunde gebruikt om een partiële afgeleide aan te duiden, d.w.z. de afgeleide van een functie met meer dan een variabele.
De termen d1 voor g(x) en f(g(x)) in de bovenstaande uitdrukking zijn afkortingen die de rekenmachine gebruikt om een eerste afgeleide aan te duiden wanneer de onafhankelijke variabele, in dit geval x, duidelijk gedefinieerd is. Het laatste resultaat wordt dus geïnterpreteerd als in de hierboven getoonde uitdrukking voor de kettingregel. Hier is nog een voorbeeld van een kettingregeltoepassing: Afgeleiden van vergelijkingen U kunt de rekenmachine gebruiken om afgeleiden van vergelijkingen te berekenen, d.
Impliciete afgeleiden Impliciete afgeleiden zijn mogelijk in uitdrukkingen als: Toepassing van afgeleiden Afgeleiden kunnen gebruikt worden om grafieken van functies te analyseren en om functies van een variabele te optimaliseren (d.w.z. het vinden van de minima en maxima). Enkele toepassingen van afgeleiden ziet u hieronder.
• Verander het H-VIEW-bereik in -2 tot 2 en het V-VIEW-bereik in -5 tot 5. • Druk op @ERASE @DRAW om de functie in polaire coördinaten te plotten. Het resulterende diagram ziet er als volgt uit: • • • • U ziet dat er verticale lijnen zijn die asymptoten weergeven. Deze maken geen deel uit van de grafiek maar laten punten zien waar TAN(X) naar ± ∞ gaat voor bepaalde waarden van X. Druk op TRACE @(X,Y)@ en beweeg de cursor naar het punt X: 1.08E0, Y: 1.86E0. Druk vervolgens op L@)@FCN@ @SLOPE.
geeft aan dat tussen –∞ en 0, de functie LN(X) niet gedefinieerd is (?), terwijl van 0 tot +∞, de functie gedefinieerd is (+). Terwijl aangeeft dat de functie tussen –∞ en -1 niet gedefinieerd is en tussen 1 en +∞ ook niet. Het domein van deze functie is daarom -1
SIGNTAB geeft aan dat TAN(X) negatief is tussen –π/2 en 0 en positief tussen 0 en π /2. Voor dit geval geeft SIGNTAB geen informatie (?) in de intervallen tussen –∞ en -π /2 en ook niet tussen +π /2 en ∞. SIGNTAB geeft hier dus alleen informatie over het hoofddomein van TAN(X), namelijk -π /2 < X < +π /2. Een tweede voorbeeld van de functie SIGNTAB ziet u hieronder: Hier is de functie negatief voor X<-1 en positief voor X> -1.
'X^3-4*X^2-11*X+30' `‚N ~t(selecteer TABVAR) @@OK@@ Dit is wat de rekenmachine laat zien in stapelgeheugenniveau 1: Dit is een grafisch object. Druk op ˜om het volledige resultaat te zien. De variatietabel van de functie wordt als volgt getoond: Druk op $ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Druk op ƒ om deze laatste uitkomst uit het stapelgeheugen te halen.
Met afgeleiden extreme punten berekenen “Extreme punten” of extrema, is de algemene aanduiding voor maximum- en minimumwaarden van een functie in een gegeven interval. Omdat een afgeleide van een functie op een gegeven punt de richtingscoëfficiënt weergeeft van een lijn die de curve op dat punt raakt, geven waarden van x waarvoor f’(x) = 0, punten weer waar de grafiek van de functie een maximum of minimum bereikt.
We vinden twee kritieke punten, een bij X = 11/3 en een bij X = -1. Gebruik om de tweede afgeleide voor ieder punt te evalueren: Het laatste scherm laat zien dat f”(11/3) = 14, dus x = 11/3 een relatief minimum is. Voor x = -1 krijgen we het volgende: Deze uitkomst geeft aan dat f”(-1) = -14, dus x = -1 een relatief maximum is. Evalueer de functie op deze punten om te verifiëren dat f(-1) > f(11/3) inderdaad waar is.
Primitieven en integralen Een primitieve van een functie f(x) is een functie F(x) zodat f(x) = dF/dx. Bijvoorbeeld omdat d(x3) /dx = 3x2, is F(x) = x3 + C een primitieve van f(x) = 3x2 waarbij C een constante is. Een manier om een primitieve weer te geven is als een ongedefinieerde integraal, d.w.z.: echt alleen als f(x) = dF/dx en C = constant.
Let op: de functies SIGMAVX en SIGMA zijn bestemd voor integranden die betrekking hebben op een integraalfunctie zoals de faculteit(!)-functie hierboven. Het resultaat is een zogenaamde discrete afgeleide, d.w.z. alleen gedefinieerd voor hele getallen . Eindige integralen In een eindige integraal van een functie wordt de waarde van de resulterende primitieve geëvalueerd bij de boven- en benedenlimiet van een interval (a,b) en de geëvalueerde waarden afgetrokken.
Nu kunt u op ` drukken om de integraal in het stapelgeheugen te plaatsen, u krijgt dan de volgende tekst (weergave in de ALG-modus): Dit is de algemene vorm voor de eindige integraal wanneer deze direct in het stapelgeheugen is ingevoerd, d.w.z.
U ziet de toepassing van de kettingregel in de eerste stap, waardoor de afgeleide van de functie onder de integraal expliciet in de noemer blijft. In de tweede stap wordt de resulterende breuk gerationaliseerd (door de vierkantswortel uit de noemer te elimineren) en vereenvoudigd. De uiteindelijke versie ziet u in de derde stap.
U ziet dat de stap-voor-stapprocedure informatie verschaft over de tussenstappen van CAS om deze integraal op te lossen. Eerst identificeert CAS een vierkantswortelintegraal, vervolgens een rationele breuk en een tweede rationele uitdrukking om dan het uiteindelijke resultaat te tonen. U ziet dat deze stappen voor de rekenmachine belangrijk zijn, ook al krijgt de gebruiker niet voldoende informatie over de individuele stappen.
Deze tweede stap laat de juiste te gebruiken substitutie zien u = x2-1. De laatste vier stappen laten de voortgang in de oplossing zien: een vierkantswortel gevolgd door een breuk, een tweede breuk en het uiteindelijke resultaat. Dit resultaat kan worden vereenvoudigd met de functie @SIMP om te komen tot: Partiële integratie en differentialen Een differentiaal van een functie y = f(x) wordt gedefinieerd als dy = f’(x) dx, waarbij f’(x) de afgeleide is van f(x).
∫ udv = uv − ∫ vdu . Deze formulering, die we partiële integratie noemen, kan worden gebruikt om een integraal te vinden als dv makkelijk te integreren is. De integraal ∫xexdx bijvoorbeeld, kan worden opgelost door partiële integratie als we gebruiken: u = x, dv = exdx, omdat v = ex. Met du = dx, wordt de integraal ∫xexdx = ∫udv = uv - ∫vdu = xex - ∫exdx = xex - ex. De rekenmachine beschikt over de functie IBP in het menu CALC/DERIV&INTG.
∫ X5 +5 dX X 4 + 2X 3 + X te integreren, kunnen we de breuk als volgt ontleden in partiële componentbreuken: De directe integratie geeft met wat wisselen van de termen hetzelfde resultaat (Rigorous-modus ingesteld in het CAS – zie hoofdstuk 2): Oneigenlijke integralen Dit zijn integralen met oneindige limieten van integratie. Gewoonlijk gaan we met een oneigenlijke integraal om door eerst de integraal te berekenen als een limiet naar oneindig, bijv. ∫ ∞ 1 ε dx dx = lim ∫ 2 .
Anders kunt u de integraal direct naar oneindig evalueren, bijv. Integratie met eenheden Een integraal kan worden berekend met eenheden die in de integratiegrenzen zijn opgenomen, zoals u in het onderstaande voorbeeld in de ALG-modus kunt zien. Het CAS is ingesteld op de modus Approx. In de linkerafbeelding ziet u de integraal ingevoerd in de regeleditor voordat er op ` is gedrukt. In de rechterafbeelding ziet u het resultaat als er al wel op ` is gedrukt.
Enkele opmerkingen over het gebruik van eenheden in de integratiegrenzen: 1 – De eenheden van de onderste integratiegrens worden ook in het eindresultaat gebruikt, zoals u in de twee onderstaande voorbeelden kunt zien: 2 – De eenheden van de bovengrenzen moeten gelijk zijn aan de eenheden van de ondergrenzen. Anders geeft de rekenmachine gewoon de nietgewaardeerde integraal. Bijvoorbeeld: 3 – De integrant kan ook eenheden hebben.
Oneindige reeksen ∞ Een oneindige reeks heeft de vorm: ∑ h ( n)( x − a ) n . De oneindige reeks n = 0 ,1 begint gewoonlijk met indexen n = 0 of n = 1. Iedere term in de reeks heeft een coëfficiënt h(n) die afhankelijk is van de index n. Taylor- en Maclaurin-reeksen Een functie f(x) kan worden ontwikkeld tot een oneindige reeks rond een punt x=x0 d.m.v.
De polynoom Pk(x) noemen we een Taylorpolynoom. De orde van de restterm wordt geschat met betrekking tot een kleine hoeveelheid h = x-x0, d.w.z. de polynoom evalueren bij een waarde van x die heel dicht bij x0 ligt. De restterm, indien gegeven door Rk ( x ) = f ( k +1) (ξ ) k +1 ⋅h , k! waarbij ξ een getal dichtbij x = x0 is. Omdat ξ gewoonlijk onbekend is, geven we in plaats van een schatting van de restterm, een schatting van de orde van de restterm ten opzichte van h, d.w.z.
De functie SERIES geeft een Taylor-polynoom en gebruikt als argumenten de te ontwikkelen functie f(x), een enkele variabelenaam (voor Maclaurin-reeks) of een uitdrukking in de vorm ‘variabele = waarde’ die het punt van uitbreiding van een Taylorreeks aangeeft en de volgorde van de aan te maken reeks. De functie SERIES geeft twee uitvoeritems: een lijst met vier items en een uitdrukking voor h = x – a, als het tweede argument in de functieoproep ‘x=a’ is, d.w.z. een uitdrukking voor de stapgrootte h.
In de bovenstaande rechterafbeelding gebruiken we de regeleditor om de reeksuitbreiding in detail te bekijken. Blz.
Hoofdstuk 14 Multi-variabele calculustoepassingen Met multi-variabel calculus worden functies van twee of meer variabelen bedoeld. In dit hoofdstuk laten we de basisconcepten zien van multi-variabele calculus, met onder meer partiële afgeleiden en meervoudige integralen. Multi-variabele functies Een functie van twee of meer variabelen kan in de rekenmachine worden gedefinieerd met de functie DEFINE („à).
f ( x + h, y ) − f ( x , y ) ∂f . = lim h → 0 h ∂x En: ∂f f ( x, y + k ) − f ( x, y ) = lim . k → 0 ∂y k We gebruiken de eerder gedefinieerde multi-variabele functies om partiële afgeleiden te berekenen aan de hand van deze definities. Dit zijn de afgeleiden van f(x,y) met betrekking tot respectievelijk x en y: U ziet dat bij de definitie van een partiële afgeleide met betrekking tot bijvoorbeeld x vereist daty vast wordt gehouden, terwijl we als limiet h 0 nemen.
afgeleiden te berekenen. U weet nog dat de functie DERVX de CASstandaardvariabele VX (meestal ‘X’) gebruikt. Daarom kunt u met DERVX alleen afgeleiden berekenen met betrekking tot X.
∂2 f ∂2 f . = ∂y∂x ∂x∂y Afgeleiden van de derde, vierde en vijfde orde worden op gelijke manier gedefinieerd. Als u afgeleiden van een hogere orde wilt berekenen met de rekenmachine, herhaalt u de afgeleidenfunctie gewoon zo vaak als nodig is. U ziet hieronder enkele voorbeelden: De kettingregel voor partiële afgeleiden Neem de functie z = f(x,y), waarbij x = x(t), y = y(t). De functie z staat eigenlijk voor een samengestelde functie van t als we deze schrijven als z = f[x(t),y(t)].
x” of d1z(x(t),y(t)) = ∂z/∂x. Dan geldt ook d2z(x(t),y(t)) = ∂z/∂y. De bovenstaande uitdrukking kan dus worden geïnterpreteerd als: dz/dt = (dy/dt)⋅(∂z/∂y) + (dx/dt)⋅(∂z/∂x). Differentiaaltotale van een functie z = z(x,y) Uit de laatste vergelijking, als we vermenigvuldigen met dt, krijgen we de differentiaaltotale van de functie z = z(x,y), dus dz = (∂z/∂x)⋅dx + (∂z/∂y)⋅dy. Een andere versie van de kettingregel is van toepassing als z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v), dus z = f[x(u,v), y(u,v)].
fX(X,Y) = ∂f/∂X, fY(X,Y) = ∂f/∂Y. Daarna lossen we de vergelijkingen fX(X,Y) = 0 en fY(X,Y) = 0 tegelijkertijd op: We vinden kritische punten bij (X,Y) = (1,0) en (X,Y) = (-1,0). Om de discriminant te berekenen gaan we verder met het berekenen van de twee afgeleiden, fXX(X,Y) = ∂2f/∂X2, fXY(X,Y) = ∂2f/∂X/∂Y en fYY(X,Y) = ∂2f/∂Y2. Het laatste resultaat geeft aan dat de discriminant ∆ = -12X is, dus voor (X,Y) = (1,0), ∆ <0 (zadelpunt) en voor (X,Y) = (-1,0), ∆>0 en ∂2f/∂X2<0 (relatief maximum).
De functie HESS gebruiken om uiterste waarden te analyseren Met de functie HESS kunnen de uiterste waarden van een functie van twee variabelen worden geanalyseerd, zoals u hierna kunt zien. De functie HESS neemt meestal als invoer een functie van n onafhankelijke variabelen φ(x1, x2, …,xn) en een vector van de functies [‘x1’ ‘x2’…’xn’].
J @@@H@@@ @@s1@@ SUBST ‚ï Vervangt s1 door H De resulterende matrix A heeft a11 elementen a11 = ∂2φ/∂X2 = -6., a22 = ∂2φ/∂X2 = -2. en a12 = a21 = ∂2φ/∂X∂Y = 0. De discriminant voor dit kritische punt s1(-1,0) is ∆ = (∂2f/∂x2)⋅ (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 = (-6.)(-2.) = 12.0 > 0. Omdat ∂2φ/∂X2 <0, geeft punt s1 een relatief maximum. Nu vervangen we het tweede punt, s2, in H: J @@@H@@@ @@s2@@ SUBST ‚ï Vervang s2 door H De resulterende matrix heeft elementen a11 = ∂2φ/∂X2 = 6., a22 = ∂2φ/∂X2 = -2.
resultaat is 3/2. Als u de berekening stap voor stap wilt zien, kunt u de optie Step/Step in het scherm CAS MODES instellen. Jacobi-matrix van coördinaattransformatie Neem de coördinaattransformatie x = x(u,v), y = y(u,v). De Jacobi-matrix van deze transformatie wordt gedefinieerd als: ∂x | J |= det( J ) = det ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v .
∂x | J |= ∂r ∂y ∂r ∂x ∂θ = cos(θ ) − r ⋅ sin(θ ) = r ∂y sin(θ ) r ⋅ cos(θ ) ∂θ Met dit resultaat worden de integralen in polaire coördinaten geschreven als β g (θ ) α f (θ ) ∫∫ φ ( r,θ )dA = ∫ ∫ R' φ ( r,θ ) rdrdθ waarbij het gebied R’ in polaire coördinaten wordt geschreven als R’ = {α < θ < β, f(θ) < r < g(θ)}. Dubbele integralen in polaire coördinaten kunnen in de rekenmachine worden ingevoerd, zodat de Jacobi-matrix |J| = r aan de integrant wordt toegevoegd.
Hoofdstuk 15 Toepassingen van vectoranalyse In dit hoofdstuk laten we een aantal functies zien uit het menu CALC die van toepassing zijn op de analyse van scalaire en vectorvelden. Het menu CALC is uitvoerig behandeld in hoofdstuk 13. Met name in het menu DERIV&INTEG zijn een aantal functies geïdentificeerd die in vectoranalyses worden toegepast, namelijk CURL, DIV, HESS, LAPL. Wijzig voor de oefeningen in dit hoofdstuk de hoekmeting naar radialen.
bepaalde vector. Deze veranderingssnelheid noemt men de directionele afgeleide van de functie, Duφ(x,y,z) = u•∇φ. Op elk moment doet de maximale veranderingssnelheid van de functie zich voor in de richting van de gradiënt, dus via een eenheidvector u = ∇φ/|∇φ|. De waarde van die directionele afgeleide is gelijk aan de grootte van de gradiënt op elk punt Dmaxφ(x,y,z) = ∇φ •∇φ/|∇φ| = |∇φ| De vergelijking φ(x,y,z) = 0 geeft een oppervlak in de ruimte aan.
De functie HESS gebruiken om de gradiënt te krijgen De functie HESS kan worden gebruikt om als volgt de gradiënt van een functie te verkrijgen. Zoals we al in hoofdstuk 14 lieten zien, neemt de functie HESS als invoer een functie van n onafhankelijke variabelen φ(x1, x2, …,xn) en een vector van de functies [‘x1’ ‘x2’…’xn’].
Omdat functie SQ(x) de waarde x2 geeft, betekent dit resultaat dat de potentiaalfunctie voor het vectorveld F(x,y,z) = xi + yj + zk, φ(x,y,z) = (x2+y2+z2)/2 is. U ziet dat de voorwaarden voor het bestaan van φ(x,y,z), namelijk f = ∂φ/∂x, g = ∂φ/∂y en h = ∂φ/∂z, gelijk zijn aan de volgende voorwaarden: ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x en ∂g/∂z = ∂h/∂y. Deze voorwaarden bieden een snelle manier om te bepalen of het vectorveld een bijbehorende potentiaalfunctie heeft.
Laplace-operator De divergentie van de gradiënt van een scalaire functie geeft een operator, de laplace-operator. De laplace-operator van een scalaire functie φ(x,y,z) wordt weergegeven als ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∇ φ = ∇ • ∇φ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂x ∂x 2 De partiële-differentieelvergelijking ∇2φ = 0 staat bekend als de laplacevergelijking. De functie LAPL kan worden gebruikt om de laplace-operator van een scalaire functie te berekenen.
Rotatievrije velden en potentiaalfunctie Eerder in dit hoofdstuk hebben we de functie POTENTIAL geïntroduceerd voor het berekenen van de potentiaalfunctie φ(x,y,z) voor een vectorveld, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+ g(x,y,z)j+ h(x,y,z)k, zodat F = grad φ = ∇φ. We hebben ook aangegeven dat de voorwaarden voor het bestaan van φ de volgende waren: ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x en ∂g/∂z = ∂h/∂y. Deze voorwaarden zijn gelijk aan de vectoruitdrukking. rotatie F = ∇×F = 0.
De rekenmachine bevat de functie VPOTENTIAL, via de commandocatalogus (‚N), voor de berekening van de vectorpotentiaal, Φ(x,y,z), met het vectorveld, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k. Met het vectorveld F(x,y,z) = -(yi+zj+xk) geeft de functie VPOTENTIAL bijvoorbeeld het volgende: dus Φ(x,y,z) = -x2/2j + (-y2/2+zx)k. We merken daarbij op dat er meerdere vectorpotentiaalfuncties Φ kunnen zijn voor een gegeven vectorveld F.
De voorwaarde ∇•F ≠ 0 staat weergegeven in het volgende beeldscherm: Blz.
Hoofdstuk 16 Differentiaalvergelijkingen In dit hoofdstuk laten we voorbeelden zien van oplossingen voor gewone differentiaalvergelijkingen (ODE) met de functies van de rekenmachine. Een differentiaalvergelijking is een vergelijking die betrekking heeft op afgeleiden van de onafhankelijke variabele. In de meeste gevallen zoeken we de afhankelijke functie die aan de differentiaalvergelijking voldoet.
~„x™*‚¿~„x„ Ü~„u„ Ü ~„x ™™ +~„u„ Ü ~„x™ Q2 ‚ Å 1/ ~„x` De uitkomst is ‘∂x(∂x(u(x)))+3*u(x)*∂x(u(x))+u^2=1/x ’. Deze vorm verschijnt in het scherm wanneer de optie _Textbolk in de beeldscherminstellingen (H@)DISP) niet is geselecteerd. Druk op ˜ om de vergelijking te zien in de vergelijkingenschrijver.
Oplossingen in de rekenmachine controleren Om met de rekenmachine te controleren of een functie voldoet aan een bepaalde vergelijking, gebruikt u de functie SUBST (zie hoofdstuk 5) om de oplossing in de vorm ‘y = f(x)’ of ‘y = f(x,t)’, enz. in de differentiaalvergelijking te vervangen. Het kan nodig zijn de uitkomst te vereenvoudigen met de functie EVAL om de oplossing te controleren.
Als u de diagram van de richtingscoëffientvelden op papier zou kunnen maken, kunt u met de hand lijnen traceren die de lijnsegmenten in het diagram raken. Deze lijnen bestaan uit lijnen van y(x,y) = constant, voor de oplossing van y’ = f(x,y). De richtingscoëffientvelden zijn dus handig voor het in beeld brengen van moeilijk op te lossen vergelijkingen.
differentiaalvergelijking genoemd. In andere gevallen is de vergelijking nietlineair. Voorbeelden van lineaire differentiaalvergelijkingen zijn: d2x/dt2 + β⋅(dx/dt) + ωo⋅x = A sin ωf t en ∂C/∂t + u⋅(∂C/∂x) = D⋅(∂2C/∂x2). Een vergelijking waaronder rechterkant (zonder de functie of de afgeleiden) gelijk is aan nul wordt een homogene vergelijking genoemd. Anders wordt de vergelijking niet-homogeen genoemd. De oplossing voor een homogene vergelijking wordt een algemene oplossing genoemd.
en K3 = (15*cC0+(2*cC1-cC2))/15. Dan is de oplossing y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x. De reden waarom de uitkomst van LDEC een dermate ingewikkelde combinatie van constanten is, is dat LDEC om de oplossing te produceren interne Laplace-transformaties gebruikt (die later in dit hoofdstuk behandeld zullen worden) die de oplossing van een ODE in een algebraïsche oplossing transformeren.
kan de oplossing voor de corresponderende niet-homogene vergelijking y(x) geschreven worden als y(x) = yh(x) + yp(x), waarbij yp(x) een speciale oplossing is voor de ODE. Om te controleren dat yp = (450⋅x2+330⋅x+241)/13500 inderdaad een speciale oplossing is voor de ODE, gebruikt u het volgende: 'd1d1d1Y(X)-4*d1d1Y(X)-11*d1Y(X)+30*Y(X) = X^2'` 'Y(X)=(450*X^2+330*X+241)/13500' ` SUBST EVAL Geef de rekenmachine ongeveer tien seconden om de uitkomst te produceren. ‘X^2 = X^2’.
op de softmenutoets @EDIT! om alle details van iedere component te zien. Controleer dat de componenten de volgende zijn: De functie DESOLVE De rekenmachine geeft de functie DESOLVE (Differentiaalvergelijking SOLVer) om bepaalde soorten differentiaalvergelijkingen op te lossen. De functie vereist als invoer de differentiaalvergelijking en de onbekende functie en geeft indien beschikbaar de oplossing voor de vergelijking.
y ( x ) = exp( − x 3 / 3 ) ⋅ (∫ 5 ⋅ exp( x 3 / 3 ) ⋅ dx + C 0 ). De variabele ODETYPE In de toetslabels van het sofmenu zult u een nieuw variabele genaamd @ODETY (ODETYPE) zien staan. Deze variabele is aangemaakt bij het oproepen van de functie DESOL en bevat een string die het soort ODE toont dat gebruikt wordt als invoer voor DESOLVE. Druk op @ODETY om de volgende string te krijgen: “1st order linear”. Voorbeeld 2 – Los de tweede orde ODE op: d2y/dx2 + x (dy/dx) = exp(x).
y ( x) = ∫ ⋅ ex + C dx + C 0 x Als we de integratie met de hand uitvoeren, komen we niet verder dan: y ( x) = ∫ ⋅ ex dx + C ⋅ ln x + C 0 x omdat de integraal van exp(x)/x niet in gesloten vorm beschikbaar is. Voorbeeld 3 – Een vergelijking met beginvoorwaarden oplossen. Los op d2y/dt2 + 5y = 2 cos(t/2) met de beginvoorwaarden y(0) = 1.2, y’(0) = -0.5.
Druk op µµ om het resultaat te vereenvoudigen naar ‘y(t) = -((19*5*SIN(√5*t)-(148*COS(√5*t)+80*COS(t/2)))/190)’. Druk op J @ODETY om de string “Linear w/ cst coeff” te krijgen voor het ODE-type van dit geval. Laplace-transformaties De Laplace-transformatie van een functie f(t) geeft een functie F(s) in het imagedomein die gebruikt kan worden om de oplossing te vinden van een lineaire differentiaalvergelijking met betrekking tot f(t) middels algebraïsche methodes. Deze toepassing omvat drie stappen: 1. 2.
De inverse Laplace-transformatie zet de functie F(s) uit tegen de originele functie f(t) in het tijddomein, d.w.z. L -1{F(s)} = f(t). De convolutieintegraal of het convolutieproduct van twee functies f(t) en g(t), waarbij g wordt verplaatst in tijd wordt gedefinieerd als ( f * g )( t ) = ∫ t 0 f ( u ) ⋅ g ( t − u ) ⋅ du .
dus de functie LAP gebruikt, verkrijgt u een functie van X die de Laplacetransformatie is van f(X). Voorbeeld 2 – Bepaal de Laplace-transformatie van f(t) = e2t⋅sin(t). Gebruik: ‘EXP(2*X)*SIN(X)’ ` LAP. De rekenmachine geeft de volgende uitkomst: 1/(SQ(X-2)+1). Druk op µ voor, 1/(X2-4X+5). Als u dit resultaat op papier zet, zou dat er als volgt uitzien F ( s ) = L{e 2t ⋅ sin t} = 1 s − 4⋅s +5 2 Voorbeeld 3 – Bepaal de inverse Laplace-transformatie van F(s) = sin(s). Gebruik: ‘SIN(X)’ ` ILAP.
• Differentiatiestelling voor de eerste afgeleide. Laat fo de beginvoorwaarde zijn voor f(t), d.w.z. f(0) = fo, dan L{df/dt} = s⋅F(s) - fo. Voorbeeld 1 – De snelheid van een bewegend deeltje v(t) wordt gedefinieerd als v(t) = dr/dt, waarbij r = r(t) de positie is van het deeltje. Bij ro = r(0) en R(s) =L{r(t)}, dan kan de transformatie van de snelheid geschreven worden als V(s) = L{v(t)}=L{dr/dt}= s⋅R(s)-ro. • Differentiatiestelling voor de tweede afgeleide.
Het resultaat is ‘-6/(X^4+4*a*X^3+6*a^2*X^2+4*a^3*X+a^4)’, of d3F/ds3 = -6/(s4+4⋅a⋅s3+6⋅a2⋅s2+4⋅a3⋅s+a4). Gebruik nu ‘(-X)^3*EXP(-a*X)’ ` LAP µ. De uitkomst is precies hetzelfde. • Integratiestelling. Bij F(s) = L{f(t)}, dan L • {∫ t 0 } f (u )du = 1 ⋅ F ( s ). s Convolutiestelling.
• • Dempingstelling. Bij F(s) = L{f(t)}, dan L{e–bt⋅f(t)} = F(s+b). Delingsstelling. Bij F(s) = L{f(t)}, dan ∞ f (t ) L = ∫ s F (u )du. t • Laplace-transformatie van een periodieke functie van periode T: L{ f (t )} = • T 1 ⋅ f (t ) ⋅ e − st ⋅ dt. − sT ∫ 0 1− e Limietstelling voor de beginwaarde: Bij F(s) = L{f(t)}, dan f 0 = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s )]. t →0 • s →∞ Limietstelling voor de eindwaarde: Bij F(s) = L{f(t)}, dan f ∞ = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s )].
∫ ∞ −∞ f ( x)δ ( x − x0 )dx = f ( x0 ). Een interpretatie voor de integraal hierboven, citaat van Friedman (1990) is dat de δ-functie de waarde van de functie f(x) at x = x0 “eruit pikt”. Dirac’s deltafunctie wordt meestal weergegeven als een naar boven gerichte pijl bij het punt x = x0, hetgeen aangeeft dat de functie alleen bij die waarde van x0 een waarde heeft die ongelijk is aan nul.
En ook met gebruik van de verschuivingstelling voor een verschuiving naar rechts L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s), kunnen we schrijven L{H(t-k)}=e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = (1/s)⋅e–ks. Een andere belangrijke uitkomst, bekend als de tweede verschuivingstelling voor een verschuiving naar rechts is dat L -1{e–as ⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a) met F(s) = L{f(t)}. In de rekenmachine wordt naar de Heaviside stapfunctie H(t) eenvoudigweg verwezen als ‘1’.
De stellingen over de afgeleiden van een functie, d.w.z.: L{df/dt} = s⋅F(s) - fo, L{d2f/dt2} = s2⋅F(s) - s⋅fo – (df/dt) o, en in het algemeen L{dnf/dtn} = sn⋅F(s) – sn-1⋅fo −…– s⋅f(n-2)o – f (n-1) , o zijn bijzonder handig bij het transformeren van een ODE in een algebraïsche vergelijking. Voorbeeld 1 – Om de volgende eerste orde vergelijking op te lossen: dh/dt + k⋅h(t) = a⋅e–t, kunnen we met Laplace-transformatie het volgende schrijven: L{dh/dt + k⋅h(t)} = L{a⋅e–t}, L{dh/dt} + k⋅L{h(t)} = a⋅L{e–t}.
OBJ ƒ ƒµ ILAP Isoleert de rechterzijde van de laatste uitdrukking Verkrijgt de inverse Laplace-transformatie Het resultaat is . Als u X vervangt door t in deze uitdrukking en deze vereenvoudigt, krijgt u h(t) = a/(k-1)⋅e-t +((k-1)⋅ho-a)/(k1)⋅e-kt. Controleer wat de oplossing voor de ODE zou zijn met de functie LDEC: ‘a*EXP(-X)’ ` ‘X+k’ ` LDEC µ Het resultaat is: dus h(t) = a/(k-1)⋅e-t +((k-1)⋅cCo-a)/(k-1)⋅e-kt. Dus geeft cC0 in de uitkomsten van LDEC de beginvoorwaarde h(0) weer.
L{d2y/dt2} + 2⋅L{y(t)} = L{sin 3t}. Opmerking: ‘SIN(3*X)’ ` LAP µ geeft ‘3/(X^2+9)’, d.w.z. L{sin 3t}=3/(s2+9). Met Y(s) = L{y(t)} en L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, waarbij yo = h(0) en y1 = h’(0), is de getransformeerde vergelijking s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + 2⋅Y(s) = 3/(s2+9). Gebruik de rekenmachine om Y(s) op te lossen door te schrijven: ‘X^2*Y-X*y0-y1+2*Y=3/(X^2+9)’ ` ‘Y’ ISOL Het resultaat is ‘Y=((X^2+9)*y1+(y0*X^3+9*y0*X+3))/(X^4+11*X^2+18)’.
d.w.z. hetzelfde als voorheen met C0 = y0 en C1 = y1. Opmerking: met de twee voorbeelden die u hier ziet, kunnen we bevestigen wat eerder is aangegeven, nl. dat de functie ILAP Laplace-transformaties en inverse transformaties gebruikt om lineaire ODE’s op te lossen waarvan de rechterzijde van de vergelijking en de karakteristieke vergelijking van de corresponderende homogene ODE zijn gegeven. Voorbeeld 3 – Bekijk de vergelijking d2y/dt2+y = δ(t-3), waarbij δ(t) Dirac’s delta functie is.
Opmerking: [1]. Dit betekent dat de rekenmachine het heeft opgegeven en besloten dat het geen inverse Laplace-transformatie kan vinden voor de uitdrukking ‘(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)’. Laten we kijken of we de rekenmachine kunnen helpen door de uitdrukking in partiële breuken te verdelen, d.w.z.
Controleer wat de oplossing voor de ODE zou zijn met de functie LDEC: ‘Delta(t-3)’ ` ‘X^2+1’ ` LDEC µ Het resultaat is: ‘SIN(X-3)*Heaviside(X-3) + cC1*SIN(X) + cC0*COS(X)+’. U ziet dat de variabele X in deze uitdrukking eigenlijk de variabele t in de originele ODE weergeeft en dat de variabele t in deze uitdrukking een dummyvariabele is.
• • Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om naar het scherm PLOT SETUP te gaan. Verander TYPE zo nodig in Function. Wijzig EQ in ‘H(X-2)’. Zorg ervoor dat Indep is ingesteld op ‘X’. Druk op L @@@OK@@@ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine terug te keren. Druk op tegelijkertijd „ò om naar het scherm PLOT te gaan. Verander het H-VIEW bereik in 0 tot 20 en het V-VIEW bereik in -2 tot 2. Druk op @ERASE @DRAW om de functie te plotten.
U ziet dat het signaal begint met een relatief kleine breedte maar dat het plotseling bij t=3 overgaat in een slingerend signaal met een grotere breedte. Het verschil tussen het gedrag van het signaal voor en na t = 3 is het ‘aanzetten’ van de speciale oplossing yp(t) = sin(t-3)⋅H(t-3). Het gedrag van het signaal voor t = 3 geeft de bijdrage van de homogene oplossing yh(t) = yo cos t + y1 sin t weer.
‘H(X-3)’ `[ENTER] ‘X^2+1’ ` LDEC Het resultaat is: U ziet dat de variabele X in deze uitdrukking eigenlijk staat voor de variabele t in de originele ODE en dat de variabele ttt in deze uitdrukking een dummyvariabele is. We kunnen dat als volgt op papier zetten: ∞ y (t ) = Co ⋅ cos t + C1 ⋅ sin t + sin t ⋅ ∫ H (u − 3) ⋅ e −ut ⋅ du. 0 Voorbeeld 4 – Plot de oplossing van Voorbeeld 3 met dezelfde waarden van yo en y1 die we hebben gebruikt in het diagram van Voorbeeld 1 hierboven.
f(t) = Uo[H(t-a)-H(t-b)]. • Driehoekige trilling met een maximumwaarde Uo, toenemend van a < t < b, afnemend van b < t < c: f(t) = Uo⋅ ((t-a)/(b-a)⋅[H(t-a)-H(t-b)]+(1-(t-b)/(b-c))[H(t-b)-H(t-c)]). • Zaagtandtrilling toenemend tot een maximumwaarde Uo voor a < t < b en plotseling naar beneden vallend tot nul bij t = b: f(t) = Uo⋅ (t-a)/(b-a)⋅[H(t-a)-H(t-b)].
x en cos(x+2π) = cos x zijn de functies sin en cos 2π-periodieke functies. Als twee functies f(x) en g(x) periodiek zijn met periode T, dan is hun lineaire combinatie h(x) = a⋅f(x) + b⋅g(x), ook periodiek met periode T.
Dus zijn de eerste drie termen van de functie: f(t) ≈ 1/3 – (4/π2)⋅cos (π⋅t)+(2/π)⋅sin (π⋅t). Een grafische vergelijking van de originele functie met de Fourieruitbreiding met deze drie termen laat zien dat de invulling acceptabel is voor t < 1of daaromtrent. Maar we hadden bepaald dat T/2 = 1. Daarom is de invulling alleen geldig tussen –1 < t < 1.
cn = 1 T 2 ⋅ i ⋅ n ⋅π f (t ) ⋅ exp(− ⋅ t ) ⋅ dt , n = −∞,...,−2,−1,0,1,2,...∞ . ∫ 0 T T De functie FOURIER geeft de coëfficiënt cn van de complexe vorm van de Fourierreeks met de functie f(t) en de waarde van n gegeven. De functie FOURIER vereist dat u voordat u de functie oproept de waarde van de periode (T) van een T-periodieke functie opslaat in de CAS-variabele PERIOD. De functie FOURIER is beschikbaar in het submenu DERIV in het menu CALC („Ö).
Ga terug naar de subdirectory waar u de functies f en g heeft gedefinieerd en bereken de coëfficiënten (Accepteer de wijziging naar de Complex-modus als hierom wordt gevraagd): Dus c0 = 1/3, c1 = (π⋅i+2)/π2, c2 = (π⋅i+1)/(2π2). De Fourierreeks met drie elementen wordt als volgt geschreven g(t) ≈ Re[(1/3) + (π⋅i+2)/π2⋅exp(i⋅π⋅t)+ (π⋅i+1)/(2π2)⋅exp(2⋅i⋅π⋅t)]. Een diagram van de verschoven functie g(t) en de invulling van de Fourierreeks volgt: Blz.
De invulling is redelijk acceptabel voor 0
De complexe Fourierreeks samenstellen Als de algemene uitdrukking voor cn eenmaal bepaald is, kunnen we als volgt een eindige complexe Fourierreeks samenstellen met de optelfunctie (Σ) van de rekenmachine: • Definieer eerst een functie c(n) die de algemene term cn weergeeft in de complexe Fourierreeks. • Definieer vervolgens de eindige complexe Fourierreeks F(X,k) waarbij X de onafhankelijke variabele is en k het aantal te gebruiken termen bepaald.
waarbij T de periode T = 2 is. De volgende beeldscherm laten de definitie van functie F zien en het opslaan van T = 2. De functie @@@F@@@ kan worden gebruikt om de uitdrukking te genereren voor de complexe Fourierreeks voor een eindige waarde van k. Bijvoorbeeld voor k = 2, c0 = 1/3 en met t als de onafhankelijke variabele kunnen we F(t,2,1/3) evalueren en krijgen: Deze uitkomst laat alleen de eerste term (c0) zien en een gedeelte van de eerste exponentiële term in de lijst.
Accepteer indien gevraagd de verandering naar de Approx –modus. De uitkomst is de waarde –0.40467…. De eigenlijke waarde van de functie g(0.5) is g(0.5) = -0.25. De volgende berekeningen laten zien hoe goed de Fourierreeks deze waarde benadert met het stijgen van het aantal componenten in de reeks, gegeven door k. F (0.5, 1, 1/3) = (-0.303286439037,0.) F (0.5, 2, 1/3) = (-0.404607622676,0.) F (0.5, 3, 1/3) = (-0.192401031886,0.) F (0.5, 4, 1/3) = (-0.167070735979,0.) F (0.5, 5, 1/3) = (-0.294394690453,0.
U ziet dat de reeks, met 5 termen, de grafiek van de functie zeer dicht benadert in het interval 0 tot 2 (d.w.z. door de periode T = 2). U kunt ook een periodiciteit zien in de grafiek van de reeks. Deze periodiciteit is gemakkelijk te visualiseren door het x-bereik van het diagram uit te breiden naar (-0.5,4): Fourierreeks voor een driehoekige golf Bekijk de functie x, if 0 < x < 1 g ( x) = 2 − x, if 1 < x < 2 waarvan we aannemen dat deze periodiek is met periode T = 2.
De rekenmachine zal om de Approx-modus vragen vanwege de integratie van de functie IFTE () in de integrand. Indien u accepteert geeft de verandering naar Approx c0 = 0.5. Gebruik nu een generische uitdrukking om de coëfficiënt cn te verkrijgen: De rekenmachine geeft een integraal die niet numeriek kan worden geëvalueerd, omdat deze afhankelijk is van de parameter n. De coëfficiënt kan toch worden berekend door de definitie in de rekenmachine in te voeren, d.w.z.
Haal de einπ = cos(nπ) + i⋅sin(nπ) = (-1)n terug. Als we deze vervanging uitvoeren in de uitkomst hierboven hebben we: Druk op `` om deze uitkomst naar het scherm te kopiëren. Activeer dan de vergelijkingenschrijver opnieuw om de tweede integraal te berekenen door de coëfficiënt cn te definiëren, namelijk Nogmaals einπ = (-1)n vervangen en e2inπ = 1 gebruiken en dan krijgen we: Druk op `` om deze tweede uitkomst naar het scherm te kopiëren.
Door op ˜ te drukken, wordt deze uitkomst in de vergelijkingenschrijver geplaatst, waar het vereenvoudigd (@SIMP@) kan worden om het volgende te lezen: Nogmaals einπ = (-1)n vervangen, geeft: Deze uitkomst wordt gebruikt om de functie c(n) als volgt te definiëren: DEFINE(‘c(n) = - (((-1)^n-1)/(n^2*π^2*(-1)^n)’) d.w.z. Vervolgens definiëren we de functie F(X,k,c0) om de Fourierreeks te berekenen (deze functie is al opgeslagen als u voorbeeld 1 heeft afgemaakt): Blz.
DEFINE(‘F(X,k,c0) = c0+Σ(n=1,k,c(n)*EXP(2*i*π*n*X/T)+ c(-n)*EXP(-(2*i*π*n*X/T))’), Om de originele functie en de Fourierreeks te vergelijken, kunnen we een gecombineerd diagram van beide functies aanmaken. De details zijn vergelijkbaar met die van voorbeeld 1, behalve dat we hier voor x een bereik van 0 tot 2 gebruiken en voor y van 0 tot 1.
Fourierreeks voor een rechthoekige golf Een vierkante golf kan worden gegenereerd met de functie 0, if 0 < x < 1 g ( x) = 1, if 1 < x < 3 0, if 3 < x < 4 In dit geval is de periode T 4. Zorg ervoor dat de waarde van de variabele @@@T@@@ in 4 (gebruik: 4 K @@@T@@ `) wordt veranderd. Functie g(X) kan in de rekenmachine worden gedefinieerd met DEFINE(‘g(X) = IFTE((X>1) AND (X<3),1,0)’) De functie ziet als volgt uit (horizontaal bereik: 0 to 4, verticaal bereik:0 to 1.
en We kunnen deze uitdrukking vereenvoudigen met einπ/2 = in en e3inπ/2 = (-i)n om te krijgen: De vereenvoudiging van de rechterzijde van c(n) hierboven is makkelijker op papier (d.w.z. met de hand). Voer dan nogmaals de uitdrukking in voor c(n) zoals in de bovenstaande linkerafbeelding om de functie c(n) te definiëren. De Fourierreeks wordt berekend met F(X,k,c0) zoals in de bovenstaande voorbeelden 1 en 2 met c0 = 0.5. Voor k = 5, d.w.z.
Voor k = 20 is de invulling nog beter, maar het duurt langer om de grafiek aan te maken: Fourierreekstoepassingen in differentiaalvergelijkingen Stel dat we de periodieke vierkante golf die in het vorige voorbeeld is gedefinieerd willen gebruiken als de opwekking van een ongedempt massaveer-systeem met als homogene vergelijking: d2y/dX2 + 0.25y = 0. We kunnen de opwekkingskracht genereren door een benadering te verkrijgen met k = 10 uit de Fourierreeks met SW(X) = F(X,10,0.
twee integratieconstanten cC0 en cC1. Deze waarden zouden berekend zijn met het gebruik van beginvoorwaarden. Stel dat we de waarden cC0 = 0.5 en cC1 = -0.5 gebruiken, dan kunnen we de waarden in de oplossing hierboven vervangen met de functie SUBST (zie hoofdstuk 5). Gebruik in dit geval SUBST(ANS(1),cC0=0.5) `, gevolgd door SUBST(ANS(1),cC1=-0.5) `.
Fouriertransformaties Alvorens Fouriertransformaties te introduceren, zullen we een algemene definitie van een integrale transformatie geven. In het algemeen is een integrale transformatie een transformatie die een functie f(t) verbindt met een nieuwe functie F(s) door integratie van de vorm b F ( s ) = ∫ κ ( s, t ) ⋅ f (t ) ⋅ dt. a De functie κ(s,t) noemen we de kern van de transformatie.
Met de hoekfrequentienotatie wordt de Fourierreeksutibreiding geschreven als ∞ f ( x) = a 0 + ∑ An ⋅ cos(ω n x + φ n ). n =1 ∞ = a 0 + ∑ (a n ⋅ cos ω n x + bn ⋅ sin ω n x ) n =1 Een diagram van de waarden An vs. ωn is de typische weergave van een discreet spectrum voor een functie. Het discrete spectrum laat zien dat de functie componenten heeft op hoekfrequenties ωn die hele veelvouden zijn van de fundamentele hoekfrequentie ω0.
Het continue spectrum wordt gegeven door A(ω ) = [C (ω )]2 + [ S (ω )] 2 De functies C(ω), S(ω) en A(ω) zijn continue functies van een variabele ω, die de transformatievariabele wordt voor de hieronder gedefinieerde Fouriertransformaties. Voorbeeld 1 – Bepaal de coëfficiënten C(ω), S(ω) en het continue spectrum A(ω) voor de functie f(x) = exp(-x) voor x > 0 en f(x) = 0, x < 0.
Definieer deze uitdrukking als een functie met de functie DEFINE („à). Plot dan, binnen het bereik 0 < ω < 10 het continue spectrum als: Definitie van Fouriertransformaties Er kunnen verschillende soorten Fouriertransformaties worden gedefinieerd.
Inverse Fouriertransformatie (echte). ∞ F −1{F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ e −iωt ⋅ dt −∞ Voorbeeld 1 – Bepaal de Fouriertransformatie van de functie f(t) = exp(-t), voor t >0 en f(t) = 0 voor t<0. Het continue spectrum F(ω) wordt berekend met de integraal: 1 2π = lim ε →∞ ∫ ∞ 0 e −(1+iω ) t dt = lim ε →∞ 1 2π ∫ 1 1 − exp(−(1 + iω )t ) = 1 + iω 2π ε 0 e −(1+iω ) t dt 1 1 .
Opmerkingen: De absolute waarde van de Fouriertransformatie |F(ω)| is het frequentiespectrum van de originele functie f(t). Voor het voorbeeld hierboven |F(ω)| = 1/[2π(1+ω2)]1/2. Het diagram van |F(ω)| vs. ω werd eerder afgebeeld. Sommige functies, zoals constante waarden, sin x, exp(x), x2, enz. hebben geen Fouriertransformatie. Functies die snel genoeg nul benaderen wanneer x de oneindigheid benadert, hebben Fouriertransformaties.
F{f*g} = F{f}⋅F{g}. Snelle Fouriertransformatie (FFT) De snelle Fouriertransformatie is een computeralgoritme waarmee men op zeer efficiënte wijze een discrete Fouriertransformatie (DFT) kan berekenen. Dit algoritme heeft toepassingen in de analyse van verschillende soorten tijdsafhankelijke signalen variërend van turbulentiemetingen tot communicatiesignalen.
Voorbeelden van FFT-toepassingen FFT wordt meestal toegepast op gegevens die zijn gediscretiseerd uit een tijdafhankelijk signaal. Die gegevens kunnen uit bijvoorbeeld een computer of een gegevenslogger in de rekenmachine ingevoerd worden om verwerkt te worden. U kunt ook uw eigen gegevens genereren door een functie te programmeren en er een aantal willekeurige getallen aan toe te voegen. Voorbeeld 1 – Definieer de functie f(x) = 2 sin (3x) + 5 cos(5x) + 0.
H-VIEW: 0 32, V-VIEW: -10 10 en BarWidth in 1. Druk op @CANCL $ om terug te keren naar het normale beeldscherm van de rekenmachine. Om de FFT uit te voeren op de verzameling in stapelgeheugeniveau 1 gebruiken we de functie FFT via het menu MTH/FFT op verzameling ΣDAT: @£DAT FFT. DE FFT geeft een verzameling van complexe getallen die verzamelingen van coëfficiënten Xk van de DFT zijn. De grootte van de coëfficiënten Xk staan voor een frequentiespectrum van de originele gegevens.
Voorbeeld 2 – Om met het gegeven spectrum het signaal te produceren veranderen we het programma GDATA zodanig dat het een absolute waarde bevat en dan wordt het als volgt: << m a b << ‘2^m’ EVAL n << ‘(b-a)/(n+1)’ EVAL Dx << 1 n FOR j ‘a+(j-1)*Dx’ EVAL f ABS NEXT n ARRY >> >> >> >> Sla deze versie van het programma op onder de naam GSPEC (Genereer SPECtrum). Voer het programma uit met m = 6, a = 0, b = 100.
getoond met een horizontaal bereik van 0 tot 64 en een verticaal bereik van –1 tot 1: Behalve een grote piek bij t = 0 bestaat het signaal vooral uit ruis. Een kleinere verticale schaal (-0.5 tot 0.5) toont het signaal als volgt: Oplossing voor specifieke tweede-orde differentiaalvergelijkingen In dit gedeelte behandelen we en lossen we specifieke soorten gewone differentiaalvergelijkingen op.
n 2 + (a − 1) ⋅ n + b = 0 . • Als de vergelijking twee verschillende wortels heeft, bijv. n1 en n2, dan is de algemene oplossing voor deze vergelijking y(x) = K1⋅x n1 + K2⋅x n2. • Als b = (1-a)2/4 dan heeft de vergelijking een dubbele wortel n1 = n2 = n = (1-a)/2 en de oplossing blijkt y(x) = (K1 + K2⋅ln x)xn te zijn. Legendre’s vergelijking Een vergelijking in de vorm (1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0, waarbij n een reëel getal is, noemen we Legendre’s differentiaalvergelijking.
3 LEGENDRE, uitkomst: ‘(5*X^3-3*X)/2’, d.w.z. P3(x) =(5x3-3x)/2. 4 LEGENDRE, uitkomst: ‘(35*X^4-30*X^2+3)/8’, d.w.z. P4(x) =(35x4-30x2+3)/8. 5 LEGENDRE, uitkomst: ‘(63*X^5-70*X^3+15*X)/8’, d.w.z. P5(x) =(63x5-70x3+15x)/8. De ODE (1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+[n⋅ (n+1)-m2/(1-x2)] ⋅y = 0, heeft als oplossing de functie y(x) = Pnm(x)= (1-x2)m/2⋅(dmPn/dxm). Deze functie is een geassocieerde Legendre functie.
Zo hebben we controle over de volgorde n van de functie en het aantal elementen in de reeks k. Wanneer u deze functie heeft ingevoerd, kunt u de functie DEFINE gebruiken om de functie J(x,n,k) te definiëren. Hiermee wordt de variabele @@@J@@@ aangemaakt in de softmenutoetsen. Bereken J(0.1,3,5) om bijvoorbeeld J3(0.1) te evalueren met 5 termen in de reeks. Dus in de RPNmodus: .1#3#5@@@J@@@. De uitkomst is 2.08203157E-5. Als u een uitdrukking wilt verkrijgen voor J0(x) met bijv.
Yn ( x) = x x n ∞ (−1) m −1 ⋅ (hm + hm + n ) 2 m 2 ⋅ J n ( x) ⋅ (ln + γ ) + ⋅∑ ⋅x π π m =0 2 2 m + n ⋅ m!⋅(m + n)! 2 − x − n n −1 (n − m − 1)! 2 m ⋅∑ ⋅x π m =0 2 2 m − n ⋅ m! waarbij γ de Euler-constante is die wordt gedefinieerd door γ = lim[1 + r →∞ 1 1 1 + + ... + − ln r ] ≈ 0.57721566490..., 2 3 r en waar hm de harmonische reeks weergeeft hm = 1 + 1 1 1 + + ...
Deze functies noemen we ook de eerste en tweede Hankelfuncties van orde ν . Bij sommige toepassingen kan het voorkomen dat u ook de zogenaamde gemodificeerde Besselfuncties van de eerste soort van orde ν moet gebruiken die gedefinieerd worden als Iν(x)= i-ν⋅Jν(i⋅x), waarbij i het imaginaire eenheidsgetal is. Deze functies zijn oplossingen voor de differentiaalvergelijking x2⋅(d2y/dx2) + x⋅ (dy/dx)- (x2+ν2) ⋅y = 0.
De functie TCHEBYCHEFF is toegankelijk via de commandocatalogus (‚N). De eerste vier Chebyshev of Tchebycheff polynomen van de eerste en tweede soort worden als volgt verkregen: 0 TCHEBYCHEFF, uitkomst: 1, -0 TCHEBYCHEFF, uitkomst: 1, 1 TCHEBYCHEFF, uitkomst: ‘X’, -1 TCHEBYCHEFF, uitkomst: 1, 2 TCHEBYCHEFF, uitkomst: ‘2*X^2-1, -2 TCHEBYCHEFF, uitkomst: ‘2*X’, 3 TCHEBYCHEFF, uitkomst: ‘4*X^3-3*X’, -3 TCHEBYCHEFF, uitkomst: ‘4*X^2-1’, d.w.z. d.w.z. d.w.z. d.w.z. d.w.z. d.w.z. d.w.z. d.w.z. T0(x) = 1.0.
is de m-ste coëfficiënt van de binominale ontwikkeling (x+y)n. Het geeft ook het aantal combinaties van n elementen genomen m per keer weer. Deze functie is in de rekenmachine beschikbaar als functie COMB in het menu MTH/PROB. (zie hoofdstuk 17). U kunt de volgende functie definiëren om Laguerre-polynomen te berekenen: Wanneer u klaar bent met het invoeren in de vergelijkingenschrijver, drukt u op de functie DEFINE om de functie L(x,n) aan te maken in variabele @@@L@@@.
In de rekenmachine is de functie HERMITE beschikbaar via het menu ARITHMETIC/POLYNOMIAL. De functie HERMITE neemt als argument een heel getal n en geeft de Hermite polynoom van de n-de orde. De eerste vier Hermite polynomen bijvoorbeeld worden verkregen door: 0 1 2 3 HERMITE, HERMITE, HERMITE, HERMITE, uitkomst: uitkomst: uitkomst: uitkomst: 1, ‘2*X’, ‘4*X^2-2’, ’8*X^3-12*X’, d.w.z. d.w.z. d.w.z. d.w.z. H0* H1* H2* H3* = = = = 1. 2x. 4x2-2. 8x3-12x.
Om op te lossen druk op: @SOLVE (wacht) @EDIT@. De uitkomst is 0.2499 ≈ 0.25. Druk op @@@OK@@@. De oplossing wordt weergegeven als een waardetabel Stel dat we een waardetabel willen produceren van v, voor t = 0.00, 0.25, …, 2.00, dan gaan we als volgt te werk: Maak eerst een tabel aan om de uitkomsten in op te schrijven. Schrijf in uw tabel de stapsgewijze uitkomsten: t 0.00 0.25 … 2.00 v 0.00 … Vervolgens verandert u in de SOLVE-omgeving de uiteindelijke waarde van de onafhankelijke variabele in 0.25.
(Verander de beginwaarde van t in 0.75 en de eindwaarde van t in 1, los deze opnieuw op v(1) = 1.562) Herhalen voor t = 1,25, 1,50, 1,75, 2,00. Druk op @@OK@@ nadat u het laatste resultaat in @EDIT heeft bekeken. Druk op $ of L@@OK@@ om terug te keren naar het normale beeldscherm van de rekenmachine. De verschillende oplossingen worden in het stapelgeheugen weergegeven, met het laatste resultaat op niveau 1. De eindresultaten zien er als volgt uit (afgerond op drie decimalen): t 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.
• • • • • • • • • • „ô (tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus) om naar de PLOTomgeving te gaan Markeer het veld voor TYPE, met de pijltoetsen —˜. Druk dan op @CHOOS en markeer Diff Eq met de pijltoetsen —˜. Druk op @@@OK@@@. Voer de functie f(t,x) in op de juiste locatie in het invoerscherm. Zorg ervoor dat de volgende parameters ingesteld zijn op: H-VAR: 0, V-VAR: 1 Verander de onafhankelijke variabele in t .
U ziet dat de labels voor de assen worden weergegeven als 0 (horizontaal) en 1 (verticaal). Dit zijn de definities voor de assen die in het venster PLOT SETUP („ô) worden gegeven, d.w.z. H-VAR (t): 0 en V-VAR(x): 1. LL@PICT @(X,Y)@ Activeert het menu en keert terug naar de PICT-omgeving. Bepaalt de coördinaten van een punt in de grafiek . Gebruik de pijltoetsen š™ om de cursor in het diagramgebied te bewegen. Onder in het scherm ziet u de coördinaten van de cursor als (X,Y), d.w.z.
Activeer dan de numerieke differentiaalvergelijkingsolver met: ‚ Ï ˜ @@@OK@@@. Om de differentiaalvergelijking met starttijd t = 0 en eindtijd t = 2 op te lossen, moet het invoerscherm voor de differentiaalvergelijkingsolver er als volgt uitzien (u ziet dat de Init-waarde voor de Soln een vector [0, 6] is): Druk op @SOLVE (vasthouden) @EDIT om w(t=2) op te lossen. De oplossing luidt [.16716… -.6271…], d.w.z. x(2) = 0.16716 en x'(2) = v(2) = -0.6271. Druk op @CANCL om terug te keren naar de SOLVE-omgeving.
@@OK@@ INIT+ —. 5 @@OK@@ ™™@SOLVE (vasthouden) @EDIT (Verander de beginwaarde van t in 0.25 en de eindwaarde van t in 0.5, los deze opnieuw op w(0.5) = [0.748 -2.616]) @@OK@@ @INIT+ —.75 @@OK@@™™@SOLVE (vasthouden) @EDIT (Verander de beginwaarde van t in 0.5 en de eindwaarde van t in 0.75, los deze opnieuw op w(0.75) = [0.0147 -2.859]) @@OK@@ @INIT+ —1 @@OK@@ ™ ™ @SOLVE (vasthouden) @EDIT (Verander de beginwaarde van t in 0.75 en de eindwaarde van t in 1, los deze opnieuw op w(1) = [-0.469 -0.
Druk vervolgens op „ô (tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus) om naar de PLOT-omgeving te gaan. Markeer het veld voor TYPE, met de pijltoetsen —˜. Druk dan op @CHOOS en markeer Diff Eq met de pijltoetsen —˜. Druk op @@@OK@@@. Pas de rest van het beeldscherm PLOT SETUP zodanig aan dat het er als volgt uit ziet: Accepteer de veranderingen voor de PLOT SETUP door op L @@OK@@ te drukken.
Om de tweede curve te plotten, moeten we nogmaals het invoerscherm van de PLOT SETUP te gebruiken. Voer het volgende uit om naar dit scherm te gaan vanuit de grafiek hierboven: @CANCL L @@OK@@ „ô(tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus). Verander de waarde van het V-Var-veld in 2 en druk op @DRAW (druk niet op @ERASE, want dan verliest u de hierboven geproduceerde grafiek). Gebruik: @EDIT L @LABEL @MENU om de labels van de assen en het bereik te zien.
Numerieke oplossing Als we een directe numerieke oplossing voor de originele vergelijking dy/dt = -100y+100t+101 proberen met de eigen numerieke solver van de rekenmachine zien we dat de solver een buitensporige hoeveelheid tijd lijkt te gebruiken om de vergelijking op te lossen. Om dit te controleren, stelt u uw differentiaalvergelijking numerieke solver in op (‚ Ϙ @@@OK@@@): Hier proberen we de waarde te krijgen voor y(2) gegeven y(0) = 1. Met het Soln: Final-veld gemarkeerd, drukt u op @SOLVE.
Beweeghierna met de cursor naar het veld Final en drukt op @SOLVE. Druk op @EDIT om de oplossing te bekijken: 2.9999999999, d.w.z. 3.0 Opmerking: de optie Stiff is ook beschikbaar voor grafische oplossingen van differentiaalvergelijkingen. Numerieke oplossing van ODE’s met het menu SOLVE/DIFF Het softmenu SOLVE wordt geactiveerd met 74 MENU in de RPN-modus. Dit menu wordt behandeld in hoofdstuk 6.
waarbij fs(x) de oplossing weergeeft voor de differentiaalvergelijking. Het tweede stapelgeheugenniveau kan alleen de waarde van ε bevatten en de stap ∆x zal worden genomen als een kleine standaardwaarde. Na het uitvoeren van de functie @@RKF@@ geeft het stapelgeheugen de regels: 2: 1: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} ε De waarde van de oplossing , yfinal is beschikbaar in variabele @@@y@@@.
De functie RRK Deze functie lijkt op de functie RKF, behalve dat RRK (Rosenbrock en RungeKutta methodes) als de invoerlijst in stapelgeheugenniveau 3 niet alleen de namen van de onafhankelijke en afhankelijke variabelen en de functie die de differentiaalvergelijking vereist, maar ook de uitdrukkingen voor de eerste en tweede afgeleiden van de uitdrukking.
De functie RKFSTEP Deze functie gebruikt een invoerlijst die lijkt op die van de functie RKF, net als de tolerantie voor de oplossing en een mogelijke stap ∆x en geeft dezelfde invoerlijst, gevolgd door de tolerantie en een schatting van de volgende stap in de onafhankelijke variabele. De functie geeft de invoerlijst, de tolerantie en de volgende stap in de onafhankelijke variabele die voldoet aan die tolerantie.
3: 2: 1: ε ∆x LAST Na deze functie laat het stapelgeheugen de volgende regels zien: 4: 3: 2: 1: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} ε (∆x)next CURRENT Deze functie werd dus gebruikt om de juiste grootte van een tijdstap ((∆x)next) te bepalen om te voldoen aan de gewenste tolerantie, en de methode die werd gebruikt om bij dat resultaat te komen (CURRENT). De volgende schermweergaven tonen het RPN-stapelgeheugen voor en na toepassing van de RRKSTEP-functie: Deze resultaten geven aan dat (∆x)next = 0.
2: 1: ∆y error Dus wordt deze functie gebruikt om de toename ∆y in de oplossing en de absolute fout (error) te bepalen. De volgende schermweergaven tonen het RPN-stapelgeheugen voor en na toepassing van de RKFERR-functie. Dit resultaat toont dat ∆y = 0.827… en fout = -1.89…×10-6. De functie RSBERR Deze functie is gelijk aan RKERR, maar met de invoerelementen voor de functie RRK.
Dit resultaat geeft aan dat ∆y = 4.1514… en fout = 2.762..., voor Dx = 0.1. Controleer of, als Dx wordt verminderd tot 0,01, ∆y = -0.00307… en fout = 0.000547. Opmerking: wanneer u de commando's in het menu DIFF uitvoert, krijgt u de waarden van x en y en zullen deze als variabelen in uw rekenmachine worden opgeslagen. De resultaten die worden gegeven door de functies in deze paragraaf zijn afhankelijk van de huidige waarden van x en y.
Hoofdstuk 17 Waarschijnlijkheidstoepassingen In dit hoofdstuk laten we voorbeelden van toepassingen zien van de functies van de rekenmachine voor kansverdelingen. Het submenu MTH/PROBABILITY..– deel 1 Het submenu MTH/PROBABILITY.. is toegankelijk via de toetsencombinatie „´. Met systeemvlag 117 ingesteld op de CHOOSE boxes (keuzevensters) wordt de volgende lijst met opties MTH gegeven (zie de onderstaande linkerafbeelding). We hebben de optie PROBABILITY..
n n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1) n! = = r! r!(n − r )! r Om de notatie te vereenvoudigen gebruiken we P(n,r) voor permutaties en C(n,r) voor combinaties. We kunnen combinaties, permutaties en faculteiten berekenen met de functies COMB, PERM en ! van het submenu MTH/PROBABILITY...
getallen die zijn aangemaakt met behulp van de functie RAND. De getallen in de linkerafbeelding worden geproduceerd met de oproepfunctie RAND zonder een argument. Als u een argumentenlijst in de functie RAND plaatst, krijgt u een lijst met getallen waaraan een extra willekeurig getal is gekoppeld, zoals u in de rechterafbeelding kunt zien.
Gebruik de functie SEQ om een reeks willekeurig getallen te genereren. Zo maakt u bijvoorbeeld een lijst met 5 willekeurig getallen in de ALG-modus: SEQ(RAND(),j,1,5,1). Gebruik in de RPN-modus de volgende toetsencombinatie: « n « 1 n FOR j RND NEXT n LIST » » Zaak op te wisselend RLST (Random LiST), en toepassing J5@RLST! voor voedingsmiddelen te tochtband van 5 willekeurige getallen.
willekeurige steekproef en de cumulatieve verdelingsfuncties voor de binomische en Poisson-verdelingen definiëren. Binomische verdeling De waarschijnlijkheidsmassafunctie van de binomische verdeling wordt gegeven als n f (n, p, x) = ⋅ p x ⋅ (1 − p ) n − x , x = 0,1,2,..., n x waarbij (nx) = C(n,x) de combinatie is van n elementen die x op een moment aannemen. De waarden n en p zijn de parameters van de verdeling.
x F (λ , x) = ∑ f (λ , x), x = 0,1,2,...
P[ X < x ] = F ( x ) = ∫ +∞ −∞ ∫ x −∞ f (ξ )dξ . f ( x)dx = 1. Kansen worden berekend met behulp van de cumulatieve verdelingsfunctie (cdf), F(x), gedefinieerd door P[ X < x ] = F ( x ) = ∫ x −∞ f (ξ )dξ , waarbij P[X
De bètaverdeling De pdf voor de gammaverdeling wordt gegeven als f ( x) = Γ(α + β ) ⋅ x α −1 ⋅ (1 − x) β −1 , for 0 < x < 1, α > 0, β > 0 Γ(α ) ⋅ Γ( β ) Net als bij de gammaverdeling wordt de bijbehorende cdf voor de bètaverdeling ook gegeven als een integraal zonder ‘closed-form’ oplossing.
Gebruik de functie DEFINE om al deze functies te definiëren. Voer daarna de waarden α en β in , bijvoorbeeld 1K~‚a` 2K ~‚b` Tenslotte moet u voor de cdf voor Gamma en de cdf’s voor Bèta de programmadefinities bewerken om NUM toe te voegen aan de programma’s die door de functie DEFINE worden geproduceerd. De Gammacdf, dus de functie gcdf, moet bijvoorbeeld worden aangepast zodat hij er als volgt uitziet: « x ' NUM( ∫ (0,x,gpdf(t),t))' » en weer opgeslagen in @gcdf. Herhaal de procedure voor β−cdf.
Continue verdelingen voor statistische inferentie In dit deel behandelen we vier continue kansverdelingen die veel worden gebruikt voor problemen met betrekking tot statistische inferentie. Deze verdelingen zijn de normale verdeling, de Student-t-verdeling, de chikwadraatverdeling (χ2) en de F-verdeling. De functies in de rekenmachine om kansen te evalueren voor deze verdelingen staan in het menu MTH/PROBABILITY dat we eerder in dit hoofdstuk hebben besproken.
de functie NDIST met de volgende argumenten. het gemiddelde, µ, de variantie, σ2, en de waarde x , dus NDIST(µ,σ2,x). Controleer bijvoorbeeld dat voor een normale verdeling, f(1.0,0.5,2.0) = 0.20755374. Cdf normale verdeling De rekenmachine heeft ook de functie UTPN die het bovenste deel van de normale verdeling berekent, dus UTPN(x) = P(X>x) = 1 - P(X
ν +1 Γ( ) ν +1 t2 − 2 f (t ) = ⋅ (1 + ) 2 ,−∞ < t < ∞ ν ν Γ( ) ⋅ πν 2 waarbij Γ(α) = (α-1)! de GAMMA-functie is die we in hoofdstuk 3 hebben gedefinieerd. De rekenmachine geeft waarden van de bovenste (cumulatieve) verdelingsfunctie voor de t-verdeling, functie UTPT, met de parameter ν en de waarde van t gegeven, dus UTPT(ν,t). De definitie voor deze functie is daarom UTPT (ν , t ) = ∫ ∞ t f (t )dt = 1 − ∫ t −∞ f (t )dt = 1 − P (T ≤ t ) Voorbeeld: UTPT(5,2.5) = 2.7245…E-2.
f ( x) = 1 ν ν 2 2 ⋅ Γ( ) 2 ν −1 − x ⋅ x 2 ⋅ e 2 ,ν > 0, x > 0 De rekenmachine geeft waarden voor de bovenste (cumulatieve) verdelingsfunctie voor de χ2-verdeling met [UTPC] met de waarde x en de parameter ν. De definitie van deze functie is dan UTPC (ν , x ) = ∫ ∞ t f ( x )dx = 1 − ∫ t −∞ f ( x )dx = 1 − P ( X ≤ x ) Om deze functie te gebruiken, hebben we de vrijheidsgraden, ν, en de waarden van de chi-kwadraatvariabele, x, dus UTPC(ν,x). Bijvoorbeeld UTPC(5, 2.5) = 0.
νN νN −1 νN + νD νN 2 )⋅( ) ⋅ F 2 Γ( νD 2 f ( x) = νN +νD νN νD νN ⋅ F ( 2 ) ) Γ( ) ⋅ Γ( ) ⋅ (1 − 2 2 νD De rekenmachine geeft voor waarden van de bovenste (cumulatieve) verdelingsfunctie voor de F-verdeling, functie UTPF, met de parameters νN en νD en de waarde F. De definitie van deze functie is dan UTPF (νN ,νD, F ) = ∫ ∞ t f ( F )dF = 1 − ∫ t −∞ f ( F )dF = 1 − P ( ℑ ≤ F ) Bereken bijvoorbeeld UTPF(10,5, 2.5) = 0.
• • Exponentieel, F(x) = 1 - exp(-x/β) Weibull, F(x) = 1-exp(-αxβ) (Verwijder variabelen α en β alvorens verder te gaan).
door de complexe aard van de functie Y(X), het enige tijd duurt voordat de grafiek wordt geproduceerd. Wees geduldig.) Er zijn twee wortels van deze functie die u kunt vinden met behulp van de functie @ROOT binnen de plotomgeving. Door de integraal in de vergelijking wordt de wortel geschat en is deze dus niet te zien in het plotscherm. U krijgt alleen de melding Constant? weergegeven in het scherm Als u nu echter op ` drukt, wordt de benaderde wortel vermeld in het beeldscherm.
Voor de normale, Student-t-, Chi-kwadraat- (χ2) en F-verdelingen, die worden weergegeven door de functies UTPN, UTPT, UPTC en UTPF in de rekenmachine, kan de inverse cuff worden gevonden door een van de volgende vergelijkingen op te lossen: • • • • Normaal, Student-t, Chi-kwadraat, F-verdeling: p p p p = = = = 1 1 1 1 – – – – UTPN(µ,σ2,x) UTPT(ν,t) UTPC(ν,x) UTPF(νN,νD,F) U ziet dat de tweede parameter in de UTPN-functie σ2 en niet σ2 is, wat de variantie van de verdeling aangeeft.
Dit invoervenster kan worden gebruikt om een van de vier variabelen uit deze vergelijking voor de normale verdeling op te lossen. Om de oplossing van vergelijkingen met de functies UTPN, UTPT, UTPC en UTPF te vereenvoudigen, kunt u een subdirectory UTPEQ aanmaken, als u de hierboven gegeven vergelijkingen wilt opslaan: Op dit punt heeft u dus vier vergelijkingen op te lossen.
voor P(X>x) = α. Daarnaast werken we meestal bij de normale deling met de standaard normale verdeling waarbij µ =0 en σ2 = 1. De normale standaardvariabele wordt meestal Z genoemd, dus het probleem dat we moeten oplossen is dus P(Z>z) = α.
Hoofdstuk 18 Statistische Toepassingen In dit hoofdstuk laten we statistische toepassingen zien van de rekenmachine, waaronder statistieken van een steekproef, frequentieverdeling van gegevens, eenvoudige regressie, betrouwbaarheidsintervallen en het toetsen van hypothesen. Voorgeprogrammeerde statistische functies De rekenmachine geeft de vooraf geprogrammeerde functies die u via de toetsencombinatie ‚Ù (dezelfde toets als de toets 5) krijgt.
« OBJ 1 2 LIST ARRY » Sla het programma op in de variabele LXC. Als u dit programma in de RPNmodus heeft opgeslagen, kunt u het ook in de ALG-modus gebruiken. Als u een kolomvector in variabele ΣDAT wilt opslaan, gebruikt u de functie STOΣ, via de catalogus (‚N), bijvoorbeeld STOΣ (ANS(1)) in de ALGmodus. Voorbeeld 1 – Maak met het programma LXC, zie hierboven, een kolomvector met de volgende gegevens: 2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.5 1.6 2.2 1.2 2.5. Zet de gegevens in de RPG-modus in een lijst: {2.1 1.
Gemiddelde: 2.133, Totaal: 25.6, Std Afw: 0.964, Maximum: 4.5, Variantie: 0.929 Minimum: 1.1 Definities De gebruikte definities voor deze hoeveelheden zijn de volgende: Stel dat u de gegevenspunten s x1, x2, x3, … heeft, die staan voor de verschillende metingen van dezelfde discrete of continue variabele x. De verzameling van alle mogelijke waarden van de hoeveelheid x wordt de populatie van x genoemd. Een eindige populatie heeft slechts een vast aantal elementen xi.
x g = n x1 ⋅ x 2 L x n , n 1 1 =∑ . x h i =1 xi Voorbeelden van berekeningen van deze metingen, met behulp van lijsten, staan in hoofdstuk 8. De mediaan is de waarde die de gegevensverzameling in het midden opsplitst als de elementen in oplopende volgorde zijn gerangschikt. Als u een oneven getal, n, van geordende elementen heeft, dan is de mediaan van deze steekproef de waarde in de positie (n+1)/2.
Metingen van spreiding De variantie (Var) van de steekproef wordt gedefinieerd als s x2 = n 1 ⋅ ∑ ( xi − x ) 2 . n − 1 i =1 De standaardafwijking (St Dev) van de steekproef is slechts de vierkantswortel van de variantie, dus sx. Het bereik van de steekproef is het verschil tussen de maximum- en minimumwaarden van de steekproef. Omdat de rekenmachine via de vooraf geprogrammeerde statistische functies de maximum- en minimumwaarden van de steekproef geeft, kunt u het bereik eenvoudig berekenen.
Frequentieverdelingen verkrijgen De toepassing 2. Frequencies.. in het menu STAT kan worden gebruikt om frequentieverdelingen te krijgen voor een verzameling gegevens. De gegevens moeten weer in de vorm van een kolomvector zijn opgeslagen in de variabele ΣDAT. Druk op ‚Ù˜ @@@OK@@@ om te beginnen. Het invoerscherm dat u krijgt, bevat de volgende velden: ΣDAT: Col: X-Min: Bin Count: Bin Width: de matrix met de betreffende gegevens. de kolom van ΣDAT die wordt onderzocht.
Elk gegevenspunt, xj, j = 1, 2, …, n, behoort tot de i-ste klasse, als xBi ≤ xj < xB i+1 De toepassing 2. Frequencies.. in het menu STAT voert deze frequentietellingen uit en volgt de waarden die onder de minimum- en boven de maximale klassengrenzen vallen (d.w.z. de uitbijters).
• • Selecteer het programma 2. Frequencies.. met ‚Ù˜ @@@OK@@@. De gegevens zijn al geladen in ΣDAT en de optie Col zou de waarde 1 moeten bevatten aangezien er maar een kolom staat in ΣDAT. Verander X-Min in 10, Bin Count in 8 en Bin Width in 10. Druk dan op @@@OK@@@. In de RPN-modus worden de resultaten in het stapelgeheugen getoond als een kolomvector op niveau 2 in het stapelgeheugen en een rijvector van twee componenten op niveau 1 in het stapelgeheugen.
Klassen Klasse nr. i XBi < XB1 uitbijter grens XB i+1 onder bereik 1 10 20 2 20 30 3 30 40 4 40 50 5 50 60 6 60 70 7 70 80 k=8 80 90 >XBk uitbijter boven s bereik Klassenm Frequentie Cumulatief idden.
variabele ΣDAT staan, kunt u Histogram selecteren als grafiektype en informatie geven over de beginwaarde van x, het aantal bins en de binbreedte, om het kolomdiagram te genereren. U kunt de kolomvector ook genereren met de frequentietelling, zoals we dat in het bovenstaande voorbeeld hebben gedaan, deze vector in ΣDAT opslaan en Barplot selecteren als grafiektype. In hetzelfde voorbeeld tonen we u hoe u de eerste methode kunt gebruiken om een kolomdiagram te genereren.
Een diagram van frequentietelling, fi, vs. klassenmiddens, xMi, noemen we een frequentiepolygoon. Een diagram van de cumulatieve frequentie vs. de bovenste grenzen noemen we een cumulatieve frequentieogief. U kunt puntgrafieken produceren die deze twee diagrammen simuleren door de juiste gegevens in de kolommen 1 en 2 van een nieuwe ΣDAT-matrix in te voeren en het Type: te wijzigen in SCATTER in het scherm PLOT SETUP. Gegevens in een functie y = f(x) plaatsen Het programma 3. Fit data..
3: '0.195238095238 + 2.00857242857*X' 2: Correlation: 0.983781424465 1: Covariance: 7.03 Niveau 3 toont de vorm van de vergelijking. In dit geval y = 0.06924 + 0.00383 x. Niveau 2 toont de coëfficiënt van de steekproefcorrelatie en niveau 1 toont de covariantie van x-y.
Onafh. Afh. variabele Variabele Covar. ξ η sξη Type aanpassin g Lineair Werkelijk Model Gelineariseerd Model y = a + bx [zelfde] x y sxy Log. y = a + b ln(x) Exp.
Voer de gegevens eerst in als een matrix, via de matrixeditor en het invoeren van de gegevens, of door twee lijsten met gegevens die overeenkomen met x en y in te voeren en het programma CRMC te gebruiken (zie hoofdstuk 10). Sla deze matrix daarna op in de statistische matrix ΣDAT met de functie STOΣ. Start daarna de toepassing voor de gegevensaanpassing met: ‚Ù˜˜@@@OK@@@. Het beeldscherm toont de huidige ΣDAT, die al geladen is.
Veel van deze samenvattende statistieken worden gebruikt om statistieken van twee variabelen (x,y) te berekenen die gerelateerd kunnen zijn aan een functie y = f(x). Daarom kan dit programma opgevat worden als een compagnon voor het programma 3. Fit data.. Voorbeeld 1 – Haal alle samenvattende statistieken voor de huidige x-ygegevens in ΣDAT op. • • • • Gebruik om de optie summary stats… te activeren: ‚Ù˜˜˜@@@OK@@@ Selecteer de kolomnummers behorende bij de x- en y-gegevens, dus X-Col: 1 en Y-Col: 2.
Opmerking: afrondregel tot gehele getallen, voor een niet-geheel getal x.yz…, als y ≥ 5, omhoog afronden tot x+1; als y < 5, omhoog afronden tot x. Dit algoritme kan worden ingevoerd in het volgende programma dat in de RPN-modus wordt ingevoerd (zie hoofdstuk 21 voor informatie over programmeren): « SORT DUP SIZE p X n « n p * k « IF k CEIL k FLOOR - NOT THEN X k GET X k 1 + GET + 2 / ELSE k 0 RND X SWAP GET END » » » die we opslaan in variabele % TILE (percent-tile: percentiel).
Als u op de toets drukt die bij een van deze menu’s hoort, verschijnen verschillende functies, zie hieronder. Het submenu DATA Het submenu DATA bevat functies voor het bewerken van de statistiekmatrix ΣDATA: De bewerking van deze functies is als volgt: Σ+ : voegt eenrij toe op niveau 1 aan de onderzijde van de ΣDATAmatrix. Σ: verwijdert de laatste rij in de ΣDATA-matrix en plaats deze op niveau 1 van het stapelgeheugen. De aangepaste ΣDATA-matrix blijft in het geheugen.
Intercept: toont snijpunt van de meest recente gegevensaanpassing (Standaard: 0) Slope: toont richtingscoëffiënt van de meest recente gegevensaanpassing (Standaard: 0) Model: toont huidige model gegevensaanpassing (Standaard: LINFIT) De functies van de softmenutoetsen werken als volgt: XCOL : ingevoerd als n @XCOL, wijzigt Xcol in n. YCOL : ingevoerd als n @YCOL, wijzigt Ycol in n. ΣPAR : toont statistische parameters.
van elke kolom in de ΣDATA-matrix. PVAR : toont de populatievariantie van elke kolom in de ΣDATA-matrix. MINΣ : toont het gemiddelde van elke kolom in de ΣDATA-matrix. Het submenu PLOT Het submenu PLOT bevat functies voor het produceren van diagrammen met de gegevens in de ΣDATA-matrix. Dit zijn de functies: BARPL: produceert een staafdiagram met gegevens in de Xcol-kolom van de ΣDATA-matrix.
PREDX : wordt gebruikt als y @PREDX, zoekt x met y gegeven voor de aanpassing y = f(x). PREDY : wordt gebruikt als x @PREDY, zoekt y met x gegeven voor de aanpassing y = f(x). CORR : geeft de correlatiecoëfficiënt voor de meest recentte aanpassing. COV : geeft de steekproefcovariantie voor de meest recentte aanpassing. PCOV : geeft de populatiecovariantie voor de meest recentte aanpassing.
L @VAR @PSDEV @PVAR • • geeft [11.52 46.08 445084146.33] geeft [3.142… 6.284… 19532.04…] geeft [9.87… 39.49… 381500696.85…] Gegevens: 1.1 3.7 2.2 5.5 6.8 9.2 10.0 3.7 7.8 8.9 101 5.9 25 12.5 612 15.1 2245 19.9 24743 21.
• Bepaal de aanpassingsvergelijking en enkele statistieken ervan: @)STAT @)FIT@ @£LINE @@@LR@@@ 3 @PREDX 1 @PREDX @CORR @@COV@@ L@PCOV • '1.5+2*X' Intercept: 1.5, Slope: 2 0.75 3.50 1.0 23.04 19.74… Haal samenvattende statistieken op voor gegevens in de kolommen 1 en 2: @)STAT @)SUMS: @@@£X@@ @@@£Y@@ @@£X2@ @@£Y2@ @@£XY@ @@@N£@@ • geeft geeft geeft geeft geeft geeft geeft geeft geeft geeft geeft geeft geeft 38.5 87.5 280.87 1370.23 619.
De log-aanpassing is duidelijk geen goede keuze. @CANCL keert terug naar het normale beeldscherm. • Selecteer de beste aanpassing met: @)STAT @£PAR @)MODL @BESTF toont EXPFIT als de beste aanpassing voor deze gegevens L@)STAT @)FIT @£LINE @CORR 2300 @PREDX 5.2 @PREDY L @)STAT @PLOT @SCATR @STATL • • geeft '2.6545*EXP(0.9927*X)' geeft 0.99995… (goede correlatie) geeft 6.8139 geeft 463.37 produceert de puntgrafiek van y vs.
Betrouwbaarheidsintervallen Statistische inferentie is het proces van het maken van conclusies over een populatie op basis van de informatie van de steekproefgegevens. De steekproefgegevens hebben alleen maar betekenis als de steekproef willekeurig is, dus de selectie van een bepaalde steekproef moet dezelfde waarschijnlijkheid hebben als die van andere mogelijke steekproeven van een bepaalde populatie.
waarden van X: 2.2 2.5 2.1 2.3 2.2. De populatie waaruit deze steekproef is genomen, is de verzameling van alle mogelijke waarden van de verwerkingstijd en daarom is het een oneindige populatie. Stel dat de populatieparameter die we proberen te schatten de gemiddelde waarde, µ, is. We gebruiken als schattingsfunctie de gemiddelde waarde van de steekproef, X, gedefinieerd door (een regel): X = 1 n ⋅∑ Xi. n i =1 Voor de betreffende steekproef is de geschatte µ de steekproefstatistiekx = (2.2+2.5+2.1+2.
Betrouwbaarheidsintervallen voor het populatiegemiddelde als de populatievariantie bekend is Stel dat X het gemiddelde is van een willekeurige steekproef met de grootte n, opgemaakt uit een oneindige populatie met bekende standaardafwijking σ. Het centrale, tweezijdige betrouwbaarheidsinterval 100(1-α) % [dus 99%, 95%, 90%, enz.] voor het populatiegemiddelde µ is (X−zα/2⋅σ/√n , X+zα/2⋅σ/√n ), waarbij zα/2 een standaard normale variabele is die wordt overschreden met een waarschijnlijkheid van α /2.
X + tn-1, α/2 ⋅S/√n en X− tn-1, α/2 ⋅S /√n. Kleine steekproeven en grote steekproeven Het gedrag van de Student-t-verdeling is zodanig dat voor n>30 de verdeling niet te onderscheiden is van de standaard normale verdeling. Voor steekproeven die groter zijn dan 30 elementen waarvan de populatievariantie onbekend is, kunt u hetzelfde betrouwbaarheidsinterval gebruiken als wanneer de populatievariantie bekend is, maar vervangt u σ door S.
standaardfout σ S1−S2 = (σS12 + σS22)1/2. Daarnaast heeft de som van de statistieken T1+T2 een gemiddelde µ S1+S2 = µS1 +µS2, en standaardfout σS1+S2 = (σS12 + σS22)1/2.
Als een van de steekproeven klein is, dus n1 < 30 of n2 < 30 en met de onbekende, maar gelijke populatievarianties σ12 = σ22, kunnen we een “gepoolde” schatting krijgen van de variantie van µ1±µ2, want sp2 = [(n11)⋅s12+(n2-1)⋅s22]/( n1+n2-2).
ν = [( S12 / n1 ) + ( S 22 / n2 )] 2 [( S12 / n1 ) /(n1 − 1)] + [( S 22 / n2 ) /(n2 − 1)] Betrouwbaarheidsintervallen bepalen De toepassing 6. Conf Interval is toegankelijk via ‚Ù—@@@OK@@@. De toepassing biedt de volgende opties: Deze opties dienen als volgt geïnterpreteerd te worden: 1. Z-INT: 1 µ. 2. 3. 4. 5. 6. : Betrouwbaarheidsinterval van een enkelvoudige steekproef voor het populatiegemiddelde µ met bekende populatievariantie of voor grote steekproeven met een onbekende populatievariantie.
Voorbeeld 1 – Bepaal het gecentreerde betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde van een populatie als een steekproef van 60 elementen aangeeft dat de gemiddelde waarde van de steekproefx = 23.2 is en de standaarddeviatie s = 5.2 is. Gebruik α = 0.05. Het betrouwbaarheidsniveau is C = 1-α = 0.95. Selecteer geval 1 uit het hierboven afgebeelde menu door op @@@OK@@@ te drukken.
Druk op @GRAPH om een grafische weergave te zien van de informatie van het betrouwbaarheidsinterval: De grafiek toont de kansdichtheidsfunctie (pdf: standaard normale verdeling), de locatie van de kritieke punten ±zα/2, de gemiddelde waarde (23.2) en de corresponderende intervalgrenzen (21.88424 en 24.51576). Druk op @TEXT om terug te keren naar de vorige resultatenschermen en/of druk op @@@OK@@@ om de betrouwbaarheidsintervalomgeving te verlaten.
De variabele ∆µ staat voor µ 1 – µ2. Voorbeeld 3 – Een onderzoek van de publieke opinie geeft aan dat in een steekproef van 150 mensen er 60 mensen zijn die voor verhoging van de grondbelasting voor het financieren van enkele openbare projecten zijn. Bereken het betrouwbaarheidsinterval van 99% voor de populatieproportie dat voor de belastingverhoging is. Druk op ‚Ù—@@@OK@@@ om de functie betrouwbaarheidsinterval in de rekenmachine te activeren. Druk op ˜˜ @@@OK@@@ voor selectie van de optie 3.
Druk op ‚Ù—@@@OK@@@ om de functie betrouwbaarheidsinterval in de rekenmachine te activeren. Druk op ˜˜˜@@@OK@@@ voor selectie van optie 4. Z-INT: p1 – p2. Voer de volgende waarden in: Druk op @@@OK@@@ als u klaar bent. e resultaten worden als tekst en grafiek worden hieronder getoond: Voorbeeld 5 – Bereken een betrouwbaarheidsinterval van 95% voor het gemiddelde van de populatie als een steekproef van 50 elementen een gemiddelde van 15.5 en een standaardafwijking van 5 heeft.
De afbeelding toont de pdf van de Student-t voor ν = 50 – 1 = 49 vrijheidsgraden. Voorbeeld 6 -- Bereken het betrouwbaarheidsinterval van 99% voor het verschil in gemiddelde van twee populaties met de steekproefgegevens:x1 = 157.8 ,x2 = 160.0, n1 = 50, n2 = 55. De standaardafwijkingen van de populatie zijn s1 = 13.2, s 2 = 24.5. Druk op ‚Ù—@@@OK@@@ om de functie betrouwbaarheidsinterval in de rekenmachine te activeren. Druk op —@@@OK@@@ voor selectie van optie 6. T-INT: µ1−µ2..
waarden net als voorheen invoeren, maar dan met de optie _pooled geselecteerd. De resultaten zijn dan: Betrouwbaarheidsintervallen voor de variantie Om een formule te ontwikkelen voor het betrouwbaarheidsinterval voor de variantie, introduceren we eerst de steekproefverdeling van de variantie: Neem een willekeurige steekproef X1, X2 ..., Xn van onafhankelijke normaal verdeelde variabelen met gemiddelde µ, variantie σ2 en steekproefgemiddelde X.
De eenzijdige bovenste betrouwbaarheidsgrens voor σ2 wordt gedefinieerd als (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α. Voorbeeld 1 – Bereken het betrouwbaarheidsinterval van 95% voor de populatievariantie σ2 op basis van de resultaten van een steekproef van grootte n = 25 die aangeeft dat de steekproefvariantie s2 = 12.5 is. In hoofdstuk 17 gebruiken we de numerieke oplosser om de vergelijking α = UTPC(γ,x) op te lossen.
voortkomende actie en de beslissingen die hierover worden genomen worden hypothesetesten genoemd. Bij een hypothesetest nemen we een willekeurige steekproef uit de populatie en maken we een statistische hypothese over de populatie. Als de observaties het gestelde model of theorie niet ondersteunen, wordt de hypothese verworpen. Als de observaties de hypothese ondersteunen, dan wordt de hypothese niet verworpen, maar ook niet meteen geaccepteerd. Bij de beslissing hoort een significantieniveau α.
2. De kans op verwerping van de nulhypothese is gelijk aan het significantieniveau, dus Pr[T∈R|H0]=α. De notatie Pr[A|B] staat voor de voorwaardelijke kans op gebeurtenis A als gebeurtenis B zich voordoet. Fouten bij hypothesetesten Bij het testen van hypothesen gebruiken we de begrippen fouten van Type I en Type II om de gevallen te definiëren waarin een ware hypothese wordt verworpen of een foute hypothese wordt geaccepteerd (niet verworpen).
Meestal maken we een grafiek waarin β of de kracht van de toets (1- β) wordt weergegeven als een functie van de werkelijke waarde van de getestte parameter. Deze grafieken noemen we respectievelijk de curven van de keuringskarakteristiek of de machtsfunctiecurven.
P-waarde = P(|z|>|zo|) of P-waarde = P(|t|>|to|). De criteria voor het toetsen van de hypothese zijn: • • Verwerp Ho als P-waarde < α Verwerp Ho niet als P-waarde > α. De P-waarde voor een tweezijdige toets kan als volgt worden berekend met de kansfuncties in de rekenmachine: • • Met z, P-waarde = 2⋅UTPN(0,1,|zo|) Met t, P-waarde = 2⋅UTPT(ν,|to|) Voorbeeld 1 -- Toets de nulhypothese Ho: µ = 22.5 ( = µo) tegen de alternatieve hypothese, H1: µ ≠22.5, op een betrouwbaarheidsniveau van 95%, dus α = 0.
van een eenzijdige toets begint net als de tweezijdige toets met het berekenen van de juiste statistiek voor de toets (to of zo), zoals hierboven wordt aangegeven. Daarna gebruiken we de P-waarde met zο of tο en vergelijken we deze met α om te beslissen of de nulhypothese wordt verworpen of niet. De P-waarde voor een tweezijdige toets worden gedefinieerd als P-waarde = P(z > |zo|) of P-waarde = P(t > |to|).
Inferenties met twee gemiddelden De nulhypothese die moet worden getest is Ho: µ1-µ2 = δ, met een betrouwbaarheidsniveau (1-α)100% of significantieniveau α, met twee steekproeven van grootte, n1 en n2, gemiddelde waardenx1 en x2, en standaardafwijkingen s1 en s2.
• • Met z, P-waarde = UTPN(0,1, |zo|) Met t, P-waarde = UTPT(ν,|to|) De criteria voor het toetsen van de hypothese zijn: • • Verwerp Ho als P-waarde < α Verwerp Ho niet als P-waarde > α.
Tweezijdige toets Als we een tweezijdige toets gebruiken, vinden we de waarde van z α/2 uit Pr[Z> zα/2] = 1-Φ(zα/2) = α/2 of Φ(z α/2) = 1- α/2, waarbij Φ(z) de cumulatieve verdelingsfunctie (CDF) van de standaard normale verdeling is (zie hoofdstuk 17). Verwerp de nulhypothese, H0, als z0 >zα/2 of als z0 < - zα/2. Het verwerpingsgebied is dus R = { |z0| > zα/2 }, terwijl het acceptatiegebied A = {|z0| < zα/2 } is.
En de variantie van het verschil tussen de proporties wordt geschat uit: sp2 = s12 + s22 . Stel dat de Z-score, Z = (p1-p2-p0)/sp, de standaard normale verdeling volgt, dus Z ~ N(0,1). De specifieke waarde van de statistiek die wordt getoetst, is z0 = (p1’-p2’-p0)/sp. Tweezijdige toets Als we een tweezijdige toets gebruiken, vinden we de waarde van z α/2 uit Pr[Z> zα/2] = 1-Φ(zα/2) = α/2 of Φ(z α/2) = 1- α/2, waarbij Φ(z) de cumulatieve verdelingsfunctie (CDF) van de standaard normale verdeling is.
Deze opties hebben dezelfde betekenis als bij de toepassingen voor betrouwbaarheidsintervallen: 1. Z-Test: 1 µ. 2. 3. 4. 5. 6. : Hypothesetesten van een steekproef voor het populatiegemiddelde µ met bekende populatievariantie of voor grote steekproeven met een onbekende populatievariantie. Z-Test: µ1−µ2. : Hypothesetesten voor het verschil van het populatiegemiddelden µ1- µ2 met bekende populatievarianties of voor grote steekproeven met onbekende populatievarianties. Z-Test: 1 p.
Druk op ‚Ù—— @@@OK@@@ voor toegang tot de functie betrouwbaarheidsinterval in de rekenmachine. Druk op @@@OK@@@ om optie 1 te selecteren. Z-Test: 1 µ. Voer de volgende gegevens in en druk op @@@OK@@@: Dan wordt u gevraagd de alternatieve hypothese te selecteren. Selecteer µ ≠ 150. Druk dan op @@@OK@@@. Het resultaat is: Dan verwerpen we H0: µ = 150 tegen H1: µ ≠ 150. De test z-waarde is z0 = 5.656854. De P-waarde is 1.54×10-8. De kritieke waarden van ±zα/2 = ±1.
Druk op ‚Ù—— @@@OK@@@ om de functie betrouwbaarheidsinterval te activeren in de rekenmachine. Druk op ——@@@OK@@@ voor selectie van optie 5. T-Test: 1 µ.: Voer de volgende gegevens in en druk op @@@OK@@@: Selecteer de alternatieve hypothese, H1: µ > 150 en druk op @@@OK@@@. Het resultaat is: We verwerpen de nulhypothese, H0: µ0 = 150, tegen de alternatieve hypothese, H1: µ > 150. De t-waarde van de toets is t0 = 5.656854, met een P-waarde = 0.000000393525. De kritieke waarde van t is tα = 1.
Druk op ‚Ù—— @@@OK@@@ voor toegang tot de functie betrouwbaarheidsinterval in de rekenmachine. Druk op — @@@OK@@@ voor selectie van optie 6. T-Test: µ1−µ2.: Voer de volgende gegevens in en druk op @@@OK@@@: Selecteer de alternatieve hypothese µ1< µ2 en druk op @@@OK@@@. Het resultaat is We accepteren (of beter, we de hypothese verwerpen niet) de hypothese: H0: µ1−µ2 = 0 of H0: µ1=µ2, tegen de alternatieve hypothese H1: µ1−µ2 < 0 of H1: µ1=µ2. De t-waarde van de toets is t0 = -1.
Inferenties met een variantie De nulhypothese die moet worden getoetst is Ho: σ2 = σo2, met een betrouwbaarheidsniveau (1-α)100% of een significantieniveau α, met een steekproef van grootte n en variantie s2.
P-waarde = P(χ2<19.2) = 1-UTPC(24,19.2) = 0.2587… Omdat 0.2587… > 0.05, dus P-waarde > α, kunnen we nulhypothese Ho niet verwerpen: Ho: σ2 =25(= σo2). Inferenties met twee varianties De nulhypothese die moet worden getest, is Ho: σ12 = σ22, op een betrouwbaarheidsniveau (1-α)100% of significantieniveau α, met twee steekproeven van grootten, n1 en n2, en varianties s12 en s22.
De P-waarde wordt in alle gevallen berekend als: P-waarde = P(F>Fo) = UTPF(νN, νD,Fo) De toetscriteria zijn: • Verwerp Ho als P-waarde < α • Verwerp Ho niet als P-waarde > α. Voorbeeld – Neem bijvoorbeeld twee steekproeven die uit normale populaties worden gehaald, zodat n1 = 21, n2 = 31, s12 = 0.36 en s22 = 0.25. We toetsen de nulhypothese, Ho: σ12 = σ22 op een significantieniveau α = 0.05, tegen de alternatieve hypothese, H1: σ12 ≠ σ22.
de relatie tussen x en het gemiddelde van de bijbehorende verdeling van de Y’s. Stel dat de regressiecurve van Y op x lineair is, dus de gemiddelde verdeling van Y’s wordt gegeven als Α + Βx. Y verschilt van het gemiddelde (Α + Β⋅x) door een waarde ε, dus Y = Α + Β⋅x + ε, waarbij ε een willekeurige variabele is. Teken een puntdiagram of een puntgrafiek om te controleren of de gegevens een lineaire trend volgen.
de optie 3. Fit Data … in het menu ‚Ù kunnen gebruiken zoals we eerder konden zien. ____________________________________________________________________ Opmerking: • a,b zijn zuivere schatters van Α, Β. • De theorie van Gauss-Markov van kans geeft aan dat er van alle zuivere schatters voor Α en Β de kleinste-kwadraatschatters (a,b) het meest efficiënt zijn.
a = y − bx , b= S xy S xx = s xy s x2 Voorspellingsfout De regressiecurve van Y op x wordt gedefinieerd als Y = Α + Β⋅x + ε. Als we een verzameling van n gegevenspunten (xi, yi) hebben, dan kunnen we schrijven Yi = Α + Β⋅xi + εI, (i = 1,2,…,n), waarbij Yi = onafhankelijke, normale willekeurige variabelen met gemiddelde (Α + Β⋅xi) en de gemeenschappelijke variantie σ2; εi = onafhankelijke, normaal verdeelde willekeurige variabelen met gemiddelde nul en de gemeenschappelijke variantie σ2.
• Hypothesetoetsing op de richtingscoëffiënt, Β: Nulhypothese, H0: Β = Β0, getoetst tegen de alternatieve hypothese, H1: Β ≠ Β0. De teststatistiek is t0 = (b -Β0)/(se/√Sxx), waarbij t de Student-tverdeling volgt met ν = n – 2, vrijheidsgraden, en n staat voor het aantal punten in de steekproef.
Procedure voor inferentiestatistieken van lineaire regressie met de rekenmachine 1) Voer (x,y) in als kolommen gegevens in de statistische matrix ΣDAT. 2) Maak een puntgrafiek voor de juiste kolommen van ΣDAT en gebruik de juiste H- en V-VIEWS om de lineaire trend te controleren. 3) Gebruik ‚Ù˜˜@@@OK@@@ om de rechte lijn aan te passen en a, b, sxy (Covariantie) en rxy (Correlatie) te krijgen. 4) Gebruik ‚Ù˜@@@OK@@@ om x, y, sx, sy te krijgen.
Gebruik de optie Fit Data.. in het menu ‚Ù voor het volgende: 3: '-.86 + 3.24*X' 2: Correlation: 0.989720229749 1: Covariance: 2.025 Deze resultaten worden geïnterpreteerd als a = -0.86, b = 3.24, rxy = 0.989720229749 en sxy = 2.025. De correlatiecoëfficiënt ligt dicht genoeg bij 1,0 om de lineaire trend uit de grafiek te bevestigen. Via de optie Single-var… van het menu ‚Ù menu vinden we: x = 3, sx = 0.790569415042,y = 8.86, sy = 2.58804945857.
Voor het snijpunt A is het betrouwbaarheidsinterval van 95% (3.242.6514, 3.24+2.6514) = (0.58855,5.8914). Voorbeeld 2 -- Stel dat de y-gegevens uit voorbeeld 1 staan voor de verlenging (in honderdsten van een inch) van een metalen draad die dan wordt onderworpen aan een kracht x (in tienden van ponden). Het fysieke fenomeen is zodanig dat we verwachten dat het snijpunt, A, nul is.
Meervoudige lineaire aanpassing Stel dat u een gegevensverzameling in de volgende vorm heeft x1 x11 x12 x13 . . x1,m-1 x1,m x2 x21 x22 x32 . . x3 x31 x32 x33 . . x 2,m-1 x 2,m x 3,m-1 x 3,m … … … … . … … xn xn1 xn2 xn3 . . x n,m-1 x n,m y y1 y2 y3 . . ym-1 ym Stel dat we een gegevensaanpassing in de vorm y = b0 + b1⋅x1 + b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bn⋅xn zoeken.
2.50 3.50 4.00 6.00 3.10 4.50 4.50 5.00 2.50 2.50 3.00 3.50 8.20 5.00 8.20 9.50 Met de rekenmachine kunt u in de RPN-modus als volgt te werk gaan: Maak eerst in de HOME-directory een subdirectory MPFIT (Multiple linear and Polynomial data FITting; meervoudige lineaire en polynomiale gegevensaanpassing) en ga naar de MPFIT-subdirectory.
Vergelijk deze aangepaste waarden met de originele gegevens uit de onderstaande tabel: x1 1.20 2.50 3.50 4.00 6.00 x2 3.10 3.10 4.50 4.50 5.00 x3 2.00 2.50 2.50 3.00 3.50 y 5.70 8.20 5.00 8.20 9.50 y-aangepast 5.63 8.25 5.03 8.23 9.45 Polynomiale aanpassing We nemen de gegevensverzameling x-y {(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn)}. Stel dat we een polynoom willen aanpassen of p willen sorteren in deze gegevensverzameling. We zoeken dus een aanpassing van de vorm y = b0 + b1⋅x + b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bp⋅xp.
Als p = n-1, X = Vn. Als p < n-1, verwijder dan kolommen p+2, …, n-1, n uit Vn zodat X wordt gevormd. Als p > n-1, voeg dan kolommen n+1, …, p-1, p+1, toe aan Vn zodat de matrix X wordt gevormd. In stap 3 uit deze lijst moeten we erop letten dat de kolom i (i= n+1, n+2, …, p+1) de vector [x1i x2i … xni] is. Als we een lijst met gegevenswaarden voor x in plaats van een vector gebruiken, dus x = { x1 x2 … xn }, dan kunnen we de volgorde eenvoudig berekenen { x1i x2i … xni }.
Of • • Voeg de kolommen n+1, …, p+1 toe aan Vn om X te vormen (FOR-lus, bereken xi, zet om naar vector, gebruik COL+) Zet y om in vector Bereken b met het programma MTREG (zie het voorbeeld voor meervoudige lineaire aanpassing hierboven) Hier staat de vertaling van het algoritme naar een programma in User RPL-taal. (Zie hoofdstuk 21 voor meer informatie over programmeren.
MTREG NUM » » » X en y gebruikt door programma MTREG Zet om in decimale opmaak Sluit subprogramma 2 Sluit subprogramma 1 Sluit hoofdprogramma Sla deze op in de variabele POLY (POLYnomial fitting; polynomiale aanpassing). Gebruik als een voorbeeld de volgende gegevens voor een polynomiale aanpassing p = 2, 3, 4, 5, 6. x y 2.30 179.72 3.20 562.30 4.50 1969.11 1.65 65.87 9.32 31220.89 1.18 32.81 6.24 6731.48 3.45 737.41 9.89 39248.46 1.22 33.
@@xx@@ @@yy@@ 3 @POLY, Resultaat: [ –998.05 1303.21 -505.27 79.23] dus y = -998.05+1303.21x-505.27x2+79.23x3 @@xx@@ @@yy@@ 4 @POLY, Resultaat: [20.92 –2.61 –1.52 6.05 3.51 ] dus y = 20.97-2.61x-1.52x2+6.05x3+3.51x4 @@xx@@ @@yy@@ 5 @POLY, Resultaat: [19.08 0.18 –2.94 6.36 3.48 0.00 ] dus y = 19.08+0.18x-2.94x2+6.36x3+3.48x4+0.0011x5 @@xx@@ @@yy@@ 6 @POLY, Resultaat: [-16.73 67.17 –48.69 21.11 1.07 0.19 0.00] dus y = -16.73+67.17x-48.69x2+21.11x3+1.07x4+0.19x5+0.
Om de correlatiecoëfficiënt te berekenen, moeten we eerst berekenen wat we de som van kwadraattotalen (SST- Sum of Squared Totals) noemen, gedefinieerd als SST = Σ (yi-y)2, waarbij y de gemiddelde waarde van de originele y-waarden is,dus y = (Σyi)/n. Met betrekking tot SSE en SST wordt de correlatiecoëfficiënt gedefinieerd als r = [1-(SSE/SST)] 1/2 .
END END y OBJ ARRY X yv « X yv MTREG NUM b « b yv Xb* ABS SQ DUP y ΣLIST n / n 1 LIST SWAP CON yv − ABS SQ / NEG 1 + √ “r” TAG SWAP “SSE” TAG » » » » » Eindigt tweede IF-clausule Eindigt eerste IF-clausule Geeft X Zet lijst y om in een verzameling Voert matrix en verzameling in als X en y Activeert het subprogramma 3 X en y gebruikt door programma MTREG Zet zonodig om in zwevende komma Vector gaat door als b Activeert het subprogramma 4 Plaats b en yv in stapelgeheugen Berekent X⋅b Berekent e = y
3 4 5 6 0.9999768 0.9999999 0.9999999 0.9999998 88619.36 7.48 8.92 432.61 Hoewel de correlatiecoëfficiënt dicht bij 1.0 ligt voor alle waarden van p, kunnen de waarden van SSE erg variëren. De kleinste waarde van SSE komt overeen met p = 4. U kunt de gewenste gegevensaanpassing voor de originele x-y-gegevens als volgt selecteren: y = 20.97-2.61x-1.52x2+6.05x3+3.51x4. Blz.
Hoofdstuk 19 Getallen met verschillende grondtallen In dit hoofdstuk laten we voorbeelden zien van berekeningen met getallen die een ander grondtal dan een decimaal hebben. Definities Het talstelsel dat voor gewone rekenkunde wordt gebruikt, noemen we het decimaalstelsel omdat het 10 (Latijns, deca) cijfers gebruikt, namelijk 0-9, om elk reëel getal uit te schrijven. Computers gebruiken daarentegen een systeem dat is gebaseerd op twee mogelijke standen, het binaire systeem.
Met systeemvlag 117 ingesteld op SOFTmenus laat het menu BASE het volgende zien: Bij deze opmaak is het duidelijk dat de ingangen LOGIC, BIT en BYTE in het menu BASE zelf submenu’s zijn. Deze menu’s worden later in dit hoofdstuk behandeld. De functies HEX, DEC, OCT en BIN Getallen in niet-decimale stelsels worden voorafgegaan door het #-symbool in de rekenmachine. Het #-symbool is toegankelijk via „â(de toets 3).
OCT BIN Het decimale stelsel (DEC) heeft 10 cijfers (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), het hexadecimale stelsel (HEX) heeft 16 cijfers (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), het achttallige stelsel (OCT) heeft 8 cijfers (0,1,2,3,4,5,6,7) en het binaire stelsel (BIN) heeft slechts 2 cijfers (0,1). Conversie tussen talstelsels Welk talstelsel er ook is geselecteerd, er wordt naar verwezen als het binaire stelsel vanwege het gebruik van de functies R B en B R.
U ziet dat telkens als u een getal invoert dat met # begint, u het cijfer voorafgegaan door een # en gevolgd door de letter h, o of b (hexadecimaal, achttallig of binair) krijgt. Het type letter dat als suffix wordt gebruikt, hangt af van welk niet-decimaal stelsel is geselecteerd, dus HEX, OCT of BIN.
Bewerkingen met binaire gehele getallen De bewerkingen optellen, aftrekken, tekenveranderingen, vermenigvuldigen en delen worden gedefinieerd voor binaire hele getallen.
De functies AND, OR, XOR en NOT kunnen worden toegepast op vergelijkingsverklaringen bij de volgende regels: 1 AND 1 = 1 1 OR 1 = 1 1 XOR 1 = 0 NOT(1) = 0 1 AND 0 = 0 1 OR 0 = 1 1 XOR 0 = 1 NOT(0) = 1 0 AND 1 = 0 0 OR 1 = 1 0 XOR 1 = 1 0 AND 0 = 0 0 OR 0 = 0 0 XOR 0 = 0 Deze functies kunnen worden gebruikt om logische verklaringen te maken voor programmeerdoeleinden.
De functies RL, SL, ASR, SR, RR in het menu BIT worden gebruikt om bits in een binair heel getal te bewerken. De definitie van deze functies ziet u hieronder: RL SL : : ASR : SR : RR : Rotate Left: draai een bit naar links, bijv. #1100b #1001b Shift Left: schuifbeweging een bit naar links, bijv. #1101b #11010b Arithmetic Shift Right: rekenkundige schuifbeweging een bit naar rechts, bijv. #1100010b #110001b Shift Right: schuifbeweging een bit naar rechts, bijv.
gebruiker-eenheid en pixelreferenties eenvoudig in elkaar om te zetten. U vindt deze functies via de commandocatalogus (‚N). Hieronder staan enkele voorbeelden: Blz.
Hoofdstuk 20 Menu’s en toetenbord aanpassen Door het gebruik van de vele rekenmachinemenu’s bent u vertrouwd geraakt met de werking van de menu’s voor een verscheidenheid aan toepassingen. U bent ook vertrouwd met de vele functies die beschikbaar zijn met de toetsen op het toetsenbord, hetzij door hun hoofdfunctie, hetzij door ze te combineren met de linkershifttoets („), de rechtershifttoets (‚) of de toets ALPHA (~).
TMENU: In plaats van MENU gebruiken om een tijdelijk menu aan te maken zonder de inhoud van CST te overschrijven RCLMENU: Geeft het menunummer van het huidige menu Menunummers (functies RCLMENU en MENU) Ieder voorgedefinieerd menu heeft een nummer. Stel bijvoorbeeld dat u het menu MTH activeert („´). Zoek vervolgens met de functiecatalogus (‚N) de functie RCLMENU en activeer deze. U drukt gewoon op ` in de ALG-modus wanneer RCLMENU() in het scherm verschijnt. Het resultaat is het nummer 3.01.
of {EXP LN GAMMA !} ` MENU ` om het volgende menu te produceren: Om deze functies te activeren, moet u gewoon het functieargument (nummer) invoeren en dan op de bijbehorende softmenutoets drukken. In de ALG-modus is de als argument voor functie TMENU of MENU in te voeren lijst ingewikkelder: {{“exp”,”EXP(“},{“ln”,”LN(“},{“Gamma”,”GAMMA(“},{“!”,”!(“}} De reden hiervoor is dat in de RPN-modus de commandonamen zowel softmenulabels als commando’s zijn.
MENU({{”EXP(“,“LN(“,“GAMMA(“,”!(“}). Verbeterd RPN-menu De hierboven gepresenteerde reeks voor de ALG-modus kan met een kleine verandering in RPN-modus gebruikt worden. De aangepaste lijst ziet er zo uit: {{“exp”,EXP},{“ln”,LN},{“Gamma”,GAMMA},{“!”,!}} U kunt deze lijst met MENU of TMENU uitproberen in de RPN-modus om te zien dat u hetzelfde menu krijgt als eerder in de ALG-modus.
MENU is gebruikt. Deze lijst wordt opgeslagen in de variabele CST als het commando MENU is gebruikt. U kunt altijd een andere CST-variabele hebben in iedere subdirectory en u kunt altijd de huidige inhoud van CST vervangen door die van andere variabelen die de correct opgemaakte lijst bevatten om een ander aangepast menu te produceren. Opmerking: U kunt een 21x8 GROB (zie Hoofdstuk 22) gebruiken om een pictogram in de softmenutoetsen te maken.
We kunnen een gegeven toets combineren met de toets USER (linkershifttoets behorende bij de toets ~ of „Ì) om een aangepaste toetsactie aan te maken. In principe kan het hele toetsenbord opnieuw gedefinieerd worden om een aantal aangepaste bewerkingen uit te voeren. Het submenu PRG/MODES/KEYS Commando’s die handig zijn bij het aanpassen van het toetsenbord staan in het menu KEYS dat toegankelijk is via het menu PRG („°).
niet direct beschikbaar zijn via het toetsenbord. Het menunummer voor dit menu is 81.01. U kunt dit menu activeren met In de ALG-modus: MENU(81.01) In de RPN-modus: 81.01 ` MENU ` Voor een snelle manier om dit menu te activeren met het toetsenbord kunt u dit menu koppelen aan de toets GRAPH (C), met referentienummer 13.0, d.w.z. eerste rij, derde kolom, hoofdfunctie. Om een object aan een toets te koppelen, gebruikt u de functie ASN als volgt: In de ALG-modus: ASN(<>,13.
Een door de gebruiker gedefinieerde toets ontkoppelen Om de hierboven uitgevoerde koppeling te verwijderen, gebruikt u de functie DELKEYS als volgt: In de ALG-modus: DELKEYS(13.0) In de RPN-modus: 13.0 ` DELKEYS ` Meerdere door de gebruiker gedefinieerde toetsen koppelen De makkelijkste manier om verschillende door de gebruiker gedefinieerde toetsen te koppelen is door een lijst met commando’s en toetsspecificaties op te geven.
Hoofdstuk 21 Programmeren in de RPL-gebruikerstaal RPL-gebruikerstaal is de meest gebruikte programmeertaal om de rekenmachine te programmeren. De componenten van het programma kunnen samen worden geplaatst in de regeleditor door ze in de juiste volgorde tussen programmahaakjes « » te zetten. Omdat gebruikers van rekenmachines meer ervaring hebben met het programmeren in de RPN-modus, zullen de meeste voorbeelden in dit hoofdstuk weergegeven worden in de RPN-modus.
Toetsencombinaties ‚å Resulteert in: « [']~„x™K ~„x „´@)HYP @SINH 1#~„x „º „´@)@MTH@ @LIST @ADD@ / [']~„x™ „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE Geïnterpreteerd als: Activeert een RPLprogramma 'x' STO Slaat niveau 1 op in variabele x x Plaatst x op niveau 1 SINH Berekent sinh van niveau 1 1 x SQ Voert 1 in en berekent x² ADD Berekent (1+x2), / deelt daarna 'x' PURGE ` _______________________ __________ Verwijdert variabele x programma op niveau 1 _____________________ Gebruik [']~„gK om het programma op te sl
verwijdert het programma de variabele x zodat die niet verschijnt in uw variabelenmenu na de evaluatie van het programma. Indien we de variabele x niet zouden wissen in het programma, zou zijn waarde beschikbaar blijven na de uitvoering van het programma. Daarom wordt de variabele x, zoals gebruikt in dit programma, aangeduid als een globale variabele.
De variabele x in de laatste versie van het programma neemt nooit een plaats in tussen de variabelen in uw variabelenmenu. Er wordt mee gewerkt in het geheugen van de rekenmachine zonder invloed te hebben op elke andere gelijknamige variabele in uw variabelenmenu. Daarom wordt de variabele x in dit geval aangeduid als een variabele die eigen is aan het programma, dus een lokale variabele.
• • • Een globale variabele gedefinieerd in de HOME-directory zal toegankelijk zijn vanaf elke directory binnen HOME, tenzij de variabele opnieuw werd rgedefinieerd binnen een directory of subdirectory Als u een variabele opnieuw definieert binnen een directory of subdirectory, dan krijgt deze definitie voorrang op elke definitie in de directory’s boven de huidige.
het menu PRG getoond als softmenulabels. Dit vergemakkelijkt het invoeren van programmeercommando’s in de regeleditor wanneer u een programma samenstelt. Gebruik de toetsencombinatie „° om toegang te krijgen tot het menu PRG.
FLAG: Om vlaggen in- of uit te schakelen en hun status te controleren KEYS: Om door de gebruiker gedefinieerde toetsen te definiëren en te activeren (Hoofdstuk 20) MENU: Om eigen menu’s te definiëren en activeren (Hoofdstuk 20) MISC: Overige modusveranderingen (geluidssignalen, klok, enz.
PICK3 DEPTH DUP2 DUPN DROP2 DROPN DUPDU NIP NDUPN MEM PURGE MEM BYTES NEWOB ARCHI RESTO LIST/ELEM GET GETI PUT PUTI SIZE POS HEAD TAIL MEM/ARITH STO+ STOSTOx STO/ INCR DECR SINV SNEG SCONJ BRCH IFT IFTE GROB GROB BLANK GOR GXOR SUB REPL LCD LCD SIZE LIST/PROC ANIMATE DOLIST PICT DOSUB NSUB PICT ENDSUB PDIM STREAM LINE REVLIST TLINE BRCH/START START NEXT STEP BRCH/FOR FOR NEXT STEP BRCH/DO DO UNTIL END CHARS SUB REPL POS SIZE NUM CHR OBJ STR HEAD TAIL SREPL MODES/FMT STD FIX SCI ≥ AND OR XOR NOT S
SORT SEQ BOX ARC PIXON PIXOF PIX? PVIEW PX C C PX ENG FM, ML MODES/MENU MENU CST MODES/ANGLE TMENU DEG RCLMENU RAD GRAD RECT CYLIN SPHERE TIME DATE DATE TIME TIME TICKS ERROR DOERR ERRN ERRM ERR0 LASTARG TIME/ALRM ACK ACKALARM STOALARM RCLALARM DELALARM FINDALARM ERROR/IFERR IFERR THEN ELSE END OUT PVIEW TEXT CLLCD DISP FREEZE MSGBOX BEEP RUN DBUG SST SST↓ NEXT HALT KILL OFF Sneltoetsen in het menu PRG Veel van de functies voor het menu PRG in de bovenstaande lijst zijn makkelijk te bereiken via
• • • • • Veel functies en instellingen in het submenu MODES kunnen worden geactiveerd door gebruik te maken van de invoerfuncties voorzien met de toets H. Functies uit het submenu TIME kunnen worden bereikt met de toetsencombinatie ‚Ó. De functies STO en RCL (in het submenu MEM/DIR) zijn beschikbaar via het toetsenbord met de toetsen K en „©. De functies RCL en PURGE (in het submenu MEM/DIR) zijn beschikbaar via het menu TOOL (I).
„@)@@DO@@ „@)WHILE U ziet dat de invoegprompt ( ) beschikbaar is achter het sleutelwoord voor elke constructie zodat u kunt beginnen met invoeren op de juiste positie. Toetsencombinatie voor veelgebruikte commando’s Hier volgen toetsencombinaties om veelgebruikte commando’s te activeren die gebruikt worden bij het numeriek programmeren in het menu PRG.
@)@BRCH@ @)@FOR@ FOR NEXT STEP „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@FOR@@ „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@NEXT@ „°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@STEP@ @)@BRCH@ @)@@DO@@ DO UNTIL END „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@@DO@@ „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @UNTIL „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@END@@ @)@BRCH@ @)WHILE@ WHILE REPEAT END „°@)@BRCH@ @)WHILE@ @WHILE „°)@BRCH@ @)WHILE@ @REPEA „°)@BRCH@ @)WHILE@ @@END@ @)TEST@ @)TYPE@ == AND OR XOR NOT SAME SF CF FS? FC? FS?C FC?C „° @)TEST@ @@@≠@@@ „° @)TEST@ L @@AND@ „° @)TEST@ L @@@OR@@ „° @)TEST@ L @@XOR@ „° @)TEST@ L @@NOT@
CHR TYPE „°@)TYPE@ L @CHR@ „°@)TYPE@ L @TYPE@ @)LIST@ @)ELEM@ GET GETI PUT PUTI SIZE HEAD TAIL „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ @)LIST@ @)PROC@ REVLIST SORT SEQ „°@)LIST@ @)PROC@ @REVLI@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @SORT@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @@SEQ@@ @)MODES @)ANGLE DEG RAD „°L@)MODES @)ANGLE @@DEG@@ „°L@)MODES @)ANGLE @@RAD@@ @)MODES @)MENU@ CST MENU BEEP „°L@)MODES @)MENU@ @@CST@@ „°L@)MODES @)MENU@ @@MENU@ „°L@)MODES @)MISC@ @@BEEP@ @)@@IN@@ @)@RUN@ @)ELEM@ @@GET@@
Programma’s voor het aanmaken van lijsten met nummers U ziet dat de functies in het menu PRG niet de enige functies zijn die kunnen worden gebruikt bij het programmeren. Bijna alle functies in de rekenmachine kunnen worden ingepast in een programma. Zo kunt u, bijvoorbeeld, functies uit het menu MTH gebruiken. Meer specifiek kunt u functies gebruiken voor bewerkingen met lijsten zoals SORT, ΣLIST, enz., beschikbaar in het menu MTH/LIST.
Voorbeeld: .5 `3.5 `.5 ` @CRLST geeft: {0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5} (3) CLIST: maakt een lijst met cumulatieve sommen van de elementen, d.w.z. als de originele lijst {x1 x2 x3 … xN} is, dan maakt CLIST de volgende lijst aan: N {x1 , x1 + x2 , x1 + x2 + x3 ,..., ∑ xi } i =1 Werking: plaats de originele lijst op niveau 1, druk op @CLIST. Voorbeeld: {1 2 3 4 5} `@CLIST geeft {1 3 6 10 15}.
Om de functie voor een reeks invoervariabelen x1, x2, …, in de RPN-modus te evalueren, voer dande variabelen in de juiste volgorde in in het stapelgeheugen (d.w.z. eerst x1, gevolgd door x2, dan x3, enz.) en druk op de softmenutoets met het label function_name. De rekenmachine zal de waarde van de functie functie_naam (x1, x2,...) weergeven. Voorbeeld: vergelijking van Manning voor een breed rechthoekig kanaal.
als argemument voor de functie DEFINE . U ziet dat de exponent 5./3. in de vergelijking staat voor een verhouding van reële getallen, door de decimale punten. Druk J, indien nodig, om de variabelenlijst op te roepen. Nu zal er een variabele met de naam @@@q@@@ in uw softmenutoetsenlabels staan. Gebruik ‚@@@q@@@ om de inhoud van q te zien, . Het programma dat wordt aangemaakt door het definiëren van de functie q(Cu,n,y0,S0)wordt weergegeven als: « → Cu n y0 S0 ‘Cu/n*y0^(5./3.)*√S0’ ».
Voorbeeld: Snelheidshoogte voor een rechthoekig kanaal. Stel dat we de snelheidshoogte h willen berekenen in een rechthoekig kanaal met breedte b, met een stroomdiepte y met een afvoer Q heeft. De specifieke energie wordt berekend als hv = Q2/(2g(by)2), waarbij g de versnelling van de zwaartekracht is (g = 9.806 m/s2 in S.I. eenheden of g = 32.2 ft/s2 in E.S. eenheden).
en het houden van enkel de hieronder getoonde bewerkingen (tik het volgende niet in): ` *„ *2* „º™/ Opmerking: gebruik de toets ™ niet bij het invoeren van een programma, maar gebruik de toetsencombinatie: „°@)STACK @SWAP@. In tegenstelling tot het interactief gebruik van de rekenmachine dat we eerder hebben toegepast, moeten we de niveaus 1 en 2 van het stapelgeheugen binnen het programma omwisselen.
Een nieuwe variabele @@@hv@@@ moet nu in uw softtoetsenmenu. (Druk op J om uw lijst met variabelen te zien Het programma dat is achtergebleven in het stapelgeheugen kan worden geëvalueerd met de functie EVAL. Het resultaat zou, zoals voorheen, 0.228174… moeten zijn. Het programma is tevens beschikbaar voor toekomstig gebruik in de variabele @@@hv@@@. Gebruik bijvoorbeeld voor Q = 0.5 m3/s, g = 9.806 m/s2, b = 1.5 m en y = 0.5 m: 0.5 # 9.806 #1.5 # 0.
moeten worden ingevoerd, namelijk → Cu n y0 S0. Echter, in het geval van het programma @@hv@@, geeft de definitie « * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / » geen aanwijzing over de volgorde waarin de gegevens moeten worden ingevoerd, tenzij u natuurlijk heel ervaren bent met RPN en de RPL gebruikerstaal.
als de stijl Textbook is geselecteerd. Aangezien we weten dat de functie SQ( ) staat voor x2, interpreteren we het laatste resultaat als: S 42 , 2 ⋅ S 3 ⋅ ( S 2 ⋅ S1) 2 wat de positie aangeeft van de verschillende invoerniveaus van het stapelgeheugen in de formule. Door dit resultaat te vergelijken met de originele formule die we hebben geprogrammeerd, d.w.z.
Sla het programma op in een variabele met de naam INPTa (voor INPuT a). Probeer het programma uit te voeren door op de softmenutoets met het label @INPTa te drukken. Het resultaat is een stapelgeheugen dat de gebruiker vraagt naar de waarde van a en dat de cursor precies voor de prompt :a plaatst. Voer een waarde voor a in, bijvoorbeeld 35, druk op ` Het resultaat is de invoerstring :a:35 op niveau 1 van het stapelgeheugen.
Het programma debuggen Om uit te vinden waarom het programma niet werkte, gebruiken we de functie DBUG van de rekenmachine als volgt: ³@FUNCa ` Kopieert de naam van het programma op niveau 1 van het stapelgeheugen „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Activeer de debugger @SST↓@ Stap-voor-stap debugging, resultaat “Voer a: in” @SST↓@ Resultaat: {“ a:” {2 0} V} @SST↓@ Resultaat: gebruiker wordt gevraagd de waarde van a in te geven 2` Voert een waarde van 2 in voor a.
@SST↓@ @SST↓@ 2` @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Resultaat: {“ a:” {2 0} V} Resultaat: gebruiker wordt gevraagd de waarde van a in te geven Voert een waarde van 2 in voor a. Resultaat: “ :a:2” Resultaat: a:2 Resultaat: maakt stapelgeheugen leeg, is →a aan het uitvoeren Resultaat: maakt stapelgeheugen leeg, activeert het subprogramma « Op dit moment zijn we binnen het subprogramma « ‘2*a^2+3’ » dat de lokale variabele a gebruikt.
« “Enter a: “ {“ :a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ NUM » » Sla het opnieuw op in de variabele FUNCa en voer het programma opnieuw uit met a = 2. Dit keer is het resultaat 11, d.w.z. 2*22+3 = 11. Invoerstring voor twee of drie invoerwaarden In deze paragraaf maken we een subdirectory aan in de HOME directory die voorbeelden van invoerstrings bevat voor één, twee en drie waarden van invoergegevens.
Programma voor een invoerstring met twee invoerwaarden Het programma voor een invoerstring met twee invoerwaarden, laten we zeggen a en b, ziet er als volgt uit: « “Enter a and b: “ {“ :a: :b: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ » Dit programmma kan makkelijk worden aangemaakt door de inhoud van INPTa aan te passen. Sla dit programma op in de variabele INPT2.
= 300_K in in de invoerstring en druk daarna op `. Het resultaat is 49887.06_J/m^3. De eenheden J/m^3 zijn equivalent aan Pascal (Pa), de voorkeurseenheid van druk in het S.I.-systeem. Opmerking: omdat we bewust eenheden hebben gebruikt in de definitie van de functie, moeten de invoerwaarden ook eenheden meekrijgen in de invoer voor het juiste resultaat.
Sla dit resultaat opnieuw op in de variabele @@@p@@@. Druk op @@@p@@@ om het programma uit te voeren. Voer de waarden V = 0.01_m^3, T = 300_K en n = 0.8_mol in. Voor u op `drukt, zal het stapelgeheugen er als volgt uitzien: Druk op ` om het volgende resultaat te krijgen: 199548.24_J/m^3 of 199548.24_Pa = 199.55 kPa. Invoer via invoerschermen De functie INFORM („°L@)@@IN@@ @INFOR@.) kan worden gebruikt om gedetailleerde invoerschermen voor een programma te maken.
4. Een lijst van reset-waarden: een lijst met de waarden om de verschillende velden naar terug te zetten wanneer de optie @RESET wordt geselecteerd bij het gebruik van het invoerscherm . 5. Een lijst van initiële waarden: een lijst met de initiële waarden van de velden. De lijsten in punt 4 en 5 kunnen lege lijsten zijn. Tevens kunt u, als er geen waarden moeten worden geselecteerd voor deze opties, het commando NOVAL gebruiken („°L@)@@IN@@ @NOVAL@).
1. Titel: “ CHEZY’S EQN” 2. Velddefinities: er zijn er drie, met de labels “C:”, “R:”, “S:”, de informatiestrings “coëfficient van Chezy”, “Hydraulische radius”, “Helling van kanaalbedding” en allemaal accepteren ze allen gegevenstype 0 (reële getalen) voor de drie velden: { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } 3. Informatie over veldnotatie: { } (een lege lijst, de standaardwaarden worden gebruikt) 4. Lijst van reset-waarden: { 120 1 .0001} 5.
Voer nu deze waarden in het programma in en druk nogmaals op @@@OK@@@. Dit activeert de functie INFORM en geeft de volgende resultaten in het stapelgeheugen: Zo hebben we het gebruik van de functie INFORM aangetoond. Pas het programma als volgt aan om te zien hoe u deze invoerwaarden in een berekening gebruikt: « “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .
Deze commando’s zullen een berichtvenster laten verschijnen dat aangeeft dat de bewerking werd afgebroken. Opmerking: de functie MSGBOX behoort tot de uitvoerfuncties in het submenu PRG/OUT. De commando’s IF, THEN, ELSE, END zijn beschikbaar in het submenu PRG/BRCH/IF. De functies OBJ , TAG zijn beschikbaar in het menu PRG/TYPE. De functie DROP is beschikbaar in het menu PRG/STACK. De functies en NUM zijn beschikbaar op het toetsenbord.
Een keuzevenster maken Met de functie CHOOSE („°L@)@@IN@@ @CHOOS@) kan de gebruiker een keuzevenster aanmaken in een programma. De functie vereist de volgende argumenten: 1. Een prompt (een karakterstring met de beschrijving van het keuzevenster) 2. Een lijst van keuzedefinities {c1 c2 … cn}. De keuzedefinitie ci kan elke van deze twee notaties hebben: a. Een object, bijv. een getal, algebraïsch, enz. dat wordt weergegeven in het keuzevenster en tevens het resultaat van de keuze zal zijn. b.
{ “E.S. units” 1.486} } 1 CHOOSE » Het volgende keuzevenster wanneer dit programma wordt uitgevoerd (druk op @CHP1) : Afhankelijk of u het S.I. units of het E.S. units selecteert, plaatst CHOOSE een waarde van 1 of een waarde van 1.486 op stapelgeheugenniveau 2 en een 1 op niveau 1. Als u het keuzevenster annuleert, geeft CHOICE een nul weer (0).
wanneer we eerder de programma’s INPTa (of INPT1) en INPT2 debugden, kregen we als resultaat de getagde uitvoer:a:35. Een numeriek resultaat taggen Om een numeriek resultaat te taggen, moet u het getal op niveau 2 en de tagstring op niveau 2 van het stapelgeheugen plaatsen en dan de functie →TAG („ ° @)TYPE@ @ TAG) gebruiken. Gebruik bijvoorbeeld voor het getagde resultaat B:5.
Voorbeelden van getagde uitvoer Voorbeeld 1 – de uitvoer van de functie FUNCa taggen Laten we de functie FUNCa, die we eerder hebben gedefinieerd, aanpassen zodat ze een getagde uitvoer geeft. Gebruik ‚ @FUNCa om de inhoud van FUNCa opnieuw op te roepen naar het stapelgeheugen.
programma uit door op @FUNCa te drukken. Voer de waarde 2 in wanneer u daarom wordt gevraagd en druk op `. Het resultaat zijn nu twee getagde getallen a:2. op niveau 2 van het stapelgeheugen en F:11. op niveau 1 van het stapelgeheugen. Opmerking: omdat we een invoerstring gebruiken om de waarde van de invoergegevens te krijgen, slaat de locale variabele in feite een getagde waarde (:a:2 in het voorbeeld hierboven) op. Daarom moeten we het niet taggen in de uitvoer.
@SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Resultaat: 11., Resultaat: “F” Resultaat: F: 11. Resultaat: a:2. Resultaat: verwisselt niveaus 1 en 2 Sluit subprogramma » af Sluit hoofdprogramma » af Voorbeeld 3 – taggen van de invoer en uitvoer van functie p(V,T) In dit voorbeeld passen we het programma @@@p@@@ zodat de uitvoer de getagde invoerwaarden en het getagde resultaat geeft. Gebruik ‚@@@p@@@ om de inhoud van het programma weer op te roepen naar het stapelgeheugen.
Om het hierboven genoemde subprogramma op te nemen in de aangepaste definitie van het programma @@@p@@@, moet u ‚å gebruiken aan het begin en het einde van het subprogramma. Omdat de programmasymbolen in paren voorkomen, moet u, telkens als ‚å wordt opgeroepen, het afsluitende programmasymbool (») aan het begin en het openingsprogrammasymbool («) aan het einde van het subprogramma wissen.
stapelgeheugen opgeroepen voor de uitvoer. Met het commando →TAG kunt u de uitvoer van een programma identificeren. Een berichtvenster gebruiken Een berichtvenster is een leukere manier om de uitvoer van een programma weer te geven. Het commando een berichtvenster in de rekenmachine wordt geactiveerd met „°L@)@OUT@ @MSGBO@ te gebruiken. Het commando een berichtvenster vereist dat de uitvoerstring die in het venster moet worden geplaatst, beschikbaar is op niveau 1 van het stapelgeheugen.
Sla het programma weer op in de variabele p met „@@@p@@@. Voer daarna het programma uit door op @@@p@@@ te drukken. Voer de waarden V = 0.01_m^3, T = 300_K en n = 0.8_mol in wanneer u daarom wordt gevraagd. Zoals bij een vorige versie van @@@p@@@, zal het stapelgeheugen er als volgt uitzien voor u op ` drukt voor de invoer: De eerste programma-uitvoer is een berichtvenster met de string: Druk op @@@OK@@@ om de uitvoer van het berichtvenster te annuleren.
U ziet dat u het volgende codefragment moet toevoegen na de naam van elke variabele V, T en n in het subprogramma: →STR “ ”+ Gebruik het volgende om dit codefragment voor het eerst in te voeren: „°@)TYPE@ @ STR ‚Õ ‚ë ™+ Omdat de functies van het menu TYPE beschikbaar blijven in de softmenutoetsen, is alles wat u hoeft te gebruiken bij de tweede en derde keer dat het codefragment (→STR “ ” + ) in het subprogramma voorkomt (dus respectievelijk na de variabelen T en n): @ STR ‚Õ ‚ë ™+ U zult zien dat er
De eerste programma-uitvoer is een berichtvenster met de string: Druk op @@@OK@@@ om de uitvoer van het berichtvenster te annuleren. Eenheden in een programma plaatsen Zoals u heeft kunnen zien in alle voorbeelden bij de verschillende versies van het programma @@@p@@@ die we in dit hoofdstuk hebben laten zien, is het vaak een vervelend process om eenheden te koppelen aan invoerwaarden. U kunt het programma zelf deze eenheden aan de in- en uitvoerwaarden laten koppelen.
‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p” →TAG →STR + + + MSGBOX » » » Deze nieuwe versie van het programma bevat een extra niveau van subprogrammering (dus een derde niveau van programmasymbolen « » en enkele stappen die gebruik maken van lijsten, d.w.z. V ‘1_m^3’ * { } + T ‘1_K’ * + n ‘1_mol’ * + EVAL → V T n De interpretatie van dit codefragment is als volgt. (We gebruiken de in de invoerstring de waarden :V:0.01, :T:300 en :n:0.8): 1.
• Voer het programma uit door op [ p ] te drukken. Voer de waarden V = 0.01, T = 300 en n = 0.8 in, wanneer u daarom wordt gevraagd (nu zijn er geen eenheden nodig). Voor u op ` drukt voor de invoer, ziet het stapelgeheugen er als volgt uit: Druk op ` om het programma uit te voeren. De uitvoer is een berichtvenster met de string: Druk op @@@OK@@@ om de uitvoer van het berichtvenster te annuleren.
Druk op @@@OK@@@ om de uitvoer van het berichtvak te annuleren. Relationele en logische operatoren Tot nu toe hebben we hoofdzakelijk met sequentiële programma’s gewerkt. De RPL-gebruikerstaal geeft beweringen die de programmaloop kunnen vertakken en in een lus kunnen plaatsen. Vele daarvan maken hun beslissingen op basis van het feit of een logische bewering al dan niet waar is.
< “is kleiner dan” ‘m “is groter dan” ‘10>a’ ≥ “is groter of gelijk aan” ‘p ≥ q’ ≤ “is kleiner of gelijk aan” ‘7≤12’ _____________________________________________________ Al deze operatoren, met uitzondering van == (dat kan worden ingevoerd met ‚Å ‚Å ), zijn beschikbaar op het toetsenbord. Ze zijn ook beschikbaar via „° @)TEST@. Twee getallen, variabelen of algebraïsche waarden verbonden door een relationele operator vormen een logische uitdrukking die de waarde waar (1.) of niet waar (0.
Als we alle mogelijke combinaties van één of twee beweringen samen met de resulterende waarde bij de toepassing van een bepaalde logische operator in een tabel zetten, krijgen we de zogenoemde waarheidstabel van de operator.
weergegeven. De volgende oefening in de RPN-modus geeft bijvoorbeeld een waarde 0: ‘SQ(2)’ ` 4 ` SAME U ziet dat het gebruik van SAME een heel strikte interpretatie van het woord “identiek” inhoudt. Daarom is SQ(2) niet identiek aan 4, hoewel ze bij evaluatie allebei de numerieke waarde 4 geven. Vertakken van programma’s Het vertakken van de loop van een programma houdt in dat het programma een keuze maakt tussen twee of meer richtingen die de programmaloop uitgaat.
De IF…THEN…END-constructie De IF…THEN…END is de eenvoudigste programmaconstructie met IF. De algemene notatie van deze constructie is: IF logical_statement THEN program_statements END. De werking van deze constructie is als volgt: 1. Evalueer de logische bewering. 2. Indien de logische bewering waar is, voer dan de programmabeweringen uit en voer het programma verder uit na de bewering END. 3.
« → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ EVAL END ”Done” MSGBOX » » en sla het op onder de naam ‘f1’. Druk op J en controleer of de variabele @@@f1@@@ daadwerkelijk beschikbaar is in uw variabelenmenu. Controleer de volgende resultaten: 0 @@@f1@@@ Resultaat: 0 3.5 @@@f1@@@ Resultaat: geen actie 1.2 @@@f1@@@ Resultaat: 1.44 10 @@@f1@@@ Resultaat: geen actie Deze resultaten bevestigen de correcte werking van de IF…THEN…END constructie.
Voorbeeld: Voer het volgende programma in: → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ ELSE ‘1-x’ END EVAL ”Done” MSGBOX » » en sla het op onder de naam ‘f2’. Druk op J en controleer dat variabele @@@f2@@@ daadwerkelijk aanwezig is in uw variabelenmenu. Controleer de volgende resultaten: 0 @@@f2@@@ Resultaat: 0 1.2 @@@f2@@@ Resultaat: 1.44 3.5 @@@f2@@@ Resultaat: -2.5 10 @@@f2@@@ Resultaat: -9 Deze resultaten bevestigen de correcte werking van de IF…THEN…ELSE…END-constructie.
IF x<3 THEN x2 ELSE 1-x END Terwijl deze simpele constructie behoorlijk werkt wanneer uw functie slechts twee takken heeft, is het mogelijk dat u IF…THEN…ELSE…END-constructies moet nesten voor de functies met drie of meer takken.
END END END Een complexe IF-constructie als deze wordt een set van geneste IF … THEN … ELSE … END-constructies genoemd. Een mogelijke manier om f3(x) te evalueren, gebaseerd op de bovenstaande geneste IF-constructie, is om het programma als volgt te schrijven: → x « IF ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ ELSE IF ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ ELSE IF ‘x<3*π‘ THEN ‘SIN(x)‘ ELSE IF ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ ELSE –2 END END END END EVAL » » « Sla het programma op in de variabele @@@f3@@@ en probeer de volgende evaluaties: 1.5 @@f3@@@ 2.
Default_program_statements (optional) END Bij het evalueren van deze contructie test het programma iedere logische_bewering tot het er één vindt die waar is. Het programma voert de bijbehorende programmabeweringen uit en geeft de programmaloop door naar de verklaring volgende op de END-verklaring. De verklaringen CASE, THEN en END zijn beschikbaar voor selectief invoeren via de toetsencombinatie „°@)@BRCH@ @)CASE@ .
Sla het programma op in een variabele met de naam @@f3c@. Probeer daarna de volgende oefeningen: 1.5 @@f3c@ 2.5 @@@f3c 4.2 @@@f3c@ 5.6 @@@f3c@ 12 @@@f3c@ 23 @@@f3c@ 2.25 (d.i. x2) 6.25 (d.i. x2) -3.2 (d.i. 1-x) -0.631266… (d.w.z. sin(x), met x in radialen) Resultaat: 162754.791419 (d.w.z. exp(x)) Resultaat: -2. (d.i. -2) Resultaat Resultaat: Resultaat: Resultaat: Zoals u kunt zien, geeft f3c exact dezelfde resultaten als f3.
hoeveel keer de lus wordt uitgevoerd. De commando’s DO en WHILE vallen terug op een logische bewering om te beslissen wanneer de uitvoering van een lus wordt gestopt. De werking van de luscommando’s wordt hierna uitvoerig behandeld. De START-constructie De START-constructie gebruikt twee waarden van een index om een aantal beweringen herhaald uit te voeren. Er zijn twee versies van de STARTconstructie: START…NEXT en START...STEP. De versie START...
Voorbeeld – berekenen van de som S hierboven gedefinieerd De START…NEXT-constructie bevat een index waarvan de waarde niet toegankelijk is voor de gebruiker. Omdat voor de berekening van de som de index zelf (k, in dit geval) nodig is, moeten we onze eigen index k aanmaken die we steeds zullen verhogen in de lus, wanneer die lus wordt uitgevoerd. Een mogelijke implementatie voor de berekening van S is het programma: 0. DUP → n S k « 0. n START k SQ S + 1.
locale variabele k. De bijgewerkte waarde van S staat nu op niveau 1 van het stapelgeheugen. 9. Het codefragment ‘S‘ STO slaat de waarde van niveau 1 van het stapelgeheugen op in de locale variabele k. Het stapelgeheugen is nu leeg. 10. Het partikel NEXT verhoogt de index met één en stuurt de controle naar het begin van de lus (stap 6). 11. De lus wordt uitgevoerd tot de index van de lus de maximale waarde, n, bereikt. 12.
@SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ SL1 = 0. (S + k2) SL1 = 1., SL2 = 0. (S + k2) SL1 = 0.(k), SL2 = 1., SL3 = 0. (S + k2) SL1 = 1.(k+1), SL2 = 0. (S + k2) SL1 = ‘k’, SL2 = 1., SL3 = 0. (S + k2) SL1 = 0. (S + k2) [Slaat de waarde van SL2 = 1 op in SL1 = ‘k’] SL1 = ‘S’, SL2 = 0. (S + k2) Maakt het stapelgeheugen leeg [Slaat de waarde van SL2 = 0 op in SL1 = ‘S’] Maakt het stapelgeheugen leeg (NEXT – einde van de lus) --- uitvoering nummer 2 van de lus voor k = 1 @SST↓@ SL1 = 1.
SL1 = 2.(k), SL2 = 1., SL3 = 5. (S + k2) SL1 = 3.(k+1), SL2 = 5. (S + k2) SL1 = ‘k’, SL2 = 3., SL3 = 5. (S + k2) SL1 = 5. (S + k2) [Slaat de waarde van SL2 = 3 op in SL1 = ‘k’] SL1 = ‘S’, SL2 = 5.
start_value end_value START program_statements increment NEXT De startwaarde, eindwaarde en verhoging van de lusindex kunnen positieve of negatieve hoeveelheden zijn. Voor verhoging > 0, blijft de uitvoering doorgaan zolang de index kleiner of gelijk is aan de eindwaarde.Voor verhoging < 0, blijft de uitvoering doorgaan zolang de index groter of gelijk is aan eindwaarde. Voorbeeld – een lijst van waarden aanmaken Stel dat u een lijst van waarden van x wilt aanmaken van x = 0.5 tot x = 6.5 in stappen van 0.
Gebruik @SST↓@ om stapsgewijs door het programma te lopen en de gedetailleerde werking van elk commando te zien. De FOR-constructie Zoals bij het commando START, heeft het FOR-commando twee varieties: de FOR…NEXT-constructie, waarbij de verhoging van de lusindex 1 is, en de FOR…STEP-constructie, waarbij de verhoging van de lusindex wordt gekozen door de gebruiker. In tegenstelling tot het START-commando echter, vereist het FOR-commando dat we een naam geven aan de lusindex (bijv. j, k, n).
n S = ∑k2 k =0 Met een FOR…NEXT-lus: « 0 →n S « 0 n FOR k k SQ S + ‘S‘ STO NEXT S “S” TAG » » Sla dit programma op in een variabele @@S2@@.
Voorbeeld – maak een lijst aan van getallen met een FOR…STEP-constructie Voer dit programma in: → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + → n x dx STEP n →LIST » » » « « xs xe FOR x en sla het op in variabele @GLIS2. • • Zorg ervoor dat de programmaroep 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS2 de lijst {0.5 1. 1.5 2. 2.5} geeft. Gebruik het programma DBUG voor een korte lijst om de werking stap voor stap te zien, bijvoorbeeld: J1 # 1.5 # 0.5 ` [ ‘ ] @GLIS2 ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Voert de parameters 1 1.5 0.
Example 2 – bereken de som S met een DO…UNTIL…END-constructie Het volgende programma berekent de som n S = ∑k2 k =0 met een DO…UNTIL…END-lus: 0. → n S « DO n SQ S + ‘S‘ STO n 1 – ‘n‘ STO UNTIL ‘n<0‘ END S “S” TAG » » « Sla dit programma op in de variabele @@S3@@.
Gebruik @SST↓@ om stapsgewijs door het programma te lopen en de gedetailleerde werking van elk commando te zien. De WHILE-constructie De algemene structuur van dit commando bestaat uit: WHILE logische bewering REPEAT programmabeweringen END De bewering WHILE zal de programmabeweringen herhalen zolang de logische bewering waar is (niet nul). Indien dit niet het geval is, dan wordt de programmacontrole doorgegeven aan het commando direct na END.
30 @@@S4@@ Resultaat: S:9455 100 @@@S4@@ Resultaat: S:338350 Voorbeeld 2 – Mmaak een lijst aan met een WHILE…REPEAT…ENDconstructie Voer het volgende programma in → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + xs → n x « xs WHILE ‘x
voorgedaan. De functie kan als argument een heel getal, een binair heel getal, een foutmelding of het getal nul (0) hebben. Het invoeren van 5` @DOERR in de RPN-modus, geeft de volgende foutmelding: Error: Memory Clear Als u #11h ` @DOERR invoert, verschijnt de volgende melding: Error: Undefined FPTR Name Als u “TRY AGAIN” ` @DOERR invoert, verschijnt de volgende melding: TRY AGAIN Tenslotte geeft 0` @DOERR de melding: Interrupted ERRN Deze functie geeft een getal weer dat staat voor de meest recente fout.
in de RPN-modus is het volgende: 5U`. Als u na deze invoer LASTARG gebruikt, verschijnt een 5. Submenu IFERR Het submenu @)IFERR heeft de volgende functies: Dit zijn de componenten van de IFERR … THEN … END-constructie of van de IFERR … THEN … ELSE … END-constructie. Beide logische constructies worden gebruikt voor het vinden van fouten tijdens de uitvoering van het programma.
gevonden, activeert het programma de functie LSQ (Least SQuares, zie Hoofdstuk 11) om het systeem van vergelijkingen op te lossen: « A b « IFERR A b / THEN LSQ END » » Probeer dit met de argumenten A = [ [ 2, 3, 5 ] , [1, 2, 1 ] ] en b = [ [ 5 ] , [ 6 ] ]. Een eenvoudige deling van deze twee argumenten geeft de foutmelding: /Error: Invalid Dimension. Echter, met de foutopsporingsconstructie, @ERR1, geeft het met dezelfde argumenten: [0.262295…, 0.442622…].
Een evaluatie van programma P2 voor het argument X = 5 wordt in de volgende schermweergave getoond: U kunt wel programma’s in de algebraïsche modus schrijven zonder de functie RPL> te gebruiken, maar sommige RPL-constructies geven een foutmelding als u op ` drukt, bijvoorbeeld: Als u daarentegen RPL gebruikt, zijn er geen problemen bij het laden van dit programma in de algebraïsche modus: Blz.
Hoofdstuk 22 Programma’s voor het werken met grafieken Dit hoofdstuk bevat een aantal voorbeelden die u tonen hoe u de functies van de rekenmachine gebruikt voor het interactief of via programma’s werken met grafieken. Net zoals in Hoofdstuk 21 raden we u aan om de RPN-modus te gebruiken en systeemvlag 117 in te stellen op SOFT menu labels. « » Er zijn een aantal grafische toepassingen van de rekenmachine behandeld in Hoofdstuk 12.
voorkomt. Dit geeft aan dat het Standaard toetsenbord de enige toetsendefinitie is die is opgeslagen in uw rekenmachine. Om zelf een toets te definiëren, moet u een programma of lijst aan deze lijst toevoegen, gevolgd door een verwijzing naar de toets (zie Hoofdstuk 20). Voer de lijst { S << 81.01 MENU >> 13.0 } in in het stapelgeheugen en gebruik de functie STOKEYS („°L@)MODES @)@KEYS@ @@STOK@) om de toets Czelf te definiëren om het menu PLOT te activeren.
De softmenutoetsen met de labels 3D, STAT, FLAG, PTYPE en PPAR geven extra menu’s die later uitvoeriger zullen worden behandeld. Hier beschrijven we de functies die direct toegankelijk zijn via de softmenutoets voor menu nummer 81.02. Dit zijn: LABEL (10) De functie LABEL wordt gebruikt om de assen in een diagram te labelen met inbegrip van de variabelennamen en de maximumwaarden van de assen. De variabelennamen worden geselecteerd uit informatie in de variabele PPAR.
INFO (12) De functie INFO is enkel interactief (d.w.z. ze kan niet worden geprogrammeerd). Wanneer men op de bijbehorende softmenutoets drukt, geeft deze functie informatie over de parameters van het huidige diagram. EQ (3) De variabelenaam EQ wordt door de rekenmachine voorbehouden om de huidige vergelijking in diagrammen op te slaan of als oplossing van vergelijkingen (zie hoofdstuk...) De softmenutoets met het label EQ kan worden gebruikt zoals in uw variabelenmenu, d.w.z.
Het menu PPAR (2) Het menu PPAR geeft een lijst van de verschillende opties voor de variabele PPAR zoals ze worden gegeven bij de volgende softmenutoetsenlabels. Druk op L om naar de volgende menu’s te gaan: Opmerking: het commando SCALE hier staan eigenlijk voor SCALE, SCALEW en SCALEH, in die volgorde. Het volgende diagram illustreert de functies die beschikbaar zijn in het menu PPAR.
Deze informatie geeft aan dat X de onafhankelijke variabele (Indep) is, Y de afhankelijke variabele (Depnd), het x-as-bereik reikt van –6.5 tot 6.5 (Xrng) en het y-as-bereik reikt van –3.1 tot 3.2 (Yrng). Het laatste stukje informatie in het scherm, de waarde van Res (resolutie) bepaalt de interval van de onafhankelijke variabele gebruikt bij het maken van het diagram. De softmenutoetsenlabels in het menu PPAR(2) vertegenwoordigen commando’s die kunnen worden gebruikt in programma’s.
eerste elementen van de variabele PPAR. Standaardwaarden voor xmin en xmax zijn respectievelijk -6.5 en 6.5. Standaardwaarden voor xmin en xmax zijn respectievelijk -3.1 en 3.2. RES (e) Het commando RES (RESolution) specifieert de interval tussen de waarden van de onafhankelijke variabele bij het maken van een specifiek diagram. De resolutie kan worden uitgedrukt in gebruikerswaarden als reëel getal of in pixels als een binair heel getal (getallen beginnend met #, bijv. #10).
Opmerking: veranderingen door het gebruik van SCALE, SCALEW of SCALEH kunnen worden gebruikt om in- of uit te zoomen in een diagram. ATICK (l) Het commando ATICK (Axes TICK mark) wordt gebruikt om de merkstreepjes voor de assen in te stellen.
Het menu 3D in PLOT (7) Het menu 3D bevat twee submenu’s , PTYPE en VPAR, en één variabele, EQ. We zijn reeds bekend met de betekenis van EQ en zullen ons daarom concentreren op de inhoud van de menu’s PTYPE en VPAR. Het onderstaande diagram toont de structuur van het menu 3D.
Hierna beschrijven we de betekenis van deze functies: INFO (S) en VPAR (W) Wanneer u op @INFO (S) drukt, krijgt u de informatie zoals weergegeven in het bovenstaande linkerbeeldscherm. Het bereik in Xvol, Yvol en Zvol beschrijven de grootte van het parallelopipedum in de ruimte waar de grafiek zal worden gemaakt.
De functie EYEPT heeft als invoer reële waarden x, y en z die de plaats van het oogpunt voor een driedimensionale grafiek aanduiden. Het oogpunt is een punt in de ruimte van waaruit de driedimensionele grafiek wordt bekeken. Door het oogpunt te veranderen zullen verschillende weergaven van de grafiek worden weergegeven. De onderstaande afbeelding illustreert oogpunt in de actuele grafische ruimte en de projectie in het vlak van het scherm.
Het STAT menu in PLOT Het menu STAT geeft toegang tot diagrammen met betrekking tot statistische analyse. In dit menu staan de volgende menu’s: Het onderstaande diagram toont de structuur van het menu STAT in PLOT. De nummers en letters bij elke functie worden gebruikt als verwijzing in de beschrijvingen die volgen op de afbeelding. Blz.
Het menu PTYPE in STAT (I) Het menu PTYPE in bevat de volgende functies: Deze functies komen overeen met de diagramtypes BAR(A), Histogram (B) en Scatter (C) die al eerder zijn behandeld. Door een van deze softmenutoetsen in te drukken terwijl u een programma invoert, wordt de bijbehorende functie in het programma geplaatst. Druk op )STAT om naar het hoofdmenu STAT terug te keren.
waarden zijn de standaardwaarden voor de x-kolom, de y-kolom, het snijpunt en de helling van een pasmodel waarvan het modeltype overeenkomt met de gegevens in ΣDAT. XCOL (H) Het commando XCOL wordt gebruikt om aan te geven welke van de kolommen van ΣDAT, indien er meer dan één is, de x-kolom of de kolom van de onafhankelijke variabele is.
Het menu FLAG in PLOT Het menu FLAG is eigenlijk interactief, zodat u elk van de volgende opties kunt selecteren: • • • AXES: wanneer dit is geselecteerd, worden de assen binnen de diagramruimte of het volume weergegeven, indien deze zichtbaar zijn.. CNCT: wanneer dit is geselecteerd, wordt het diagram gemaakt zodat individuele punten verbonden zijn. SIMU: wanneer dit is geselecteerd en indien meer dan één grafiek moet worden geplot met dezelfde set assen, worden alle grafieken simultaan geplot.
De tweedimensionele grafieken opgemaakt met gegevens in de statistische matrix ΣDAT, namelijk Bar, Histogram en Scatter gebruiken de variabele ΣPAR met de volgende notatie: { x-column y-column slope intercept model } terwijl ze tegelijk PPAR met de hierboven getoonde notatie gebruiken. De betekenis van de verschillende parameters in PPAR en ΣDAT werd weergegeven in de voorgaande paragraaf.
Gebruik tenslotte de naam van het juiste diagramtype: FUNCTION, CONIC, POLAR, PARAMETRIC, TRUTH, DIFFEQ, BAR, HISTOGRAM, SCATTER, SLOPE, WIREFRAME, YSLICE, PCONTOUR, GRIDMAP of PARSURFACE om uw diagram te maken. Voorbeelden van interactieve plots met het PLOT menu Probeer de volgende voorbeelden van interactieve diagrammen met het menu PLOT om beter te begrijpen hoe een programma werkt met de commando’s en variabelen PLOT.
„ @@EQ@@ @)PPAR {t 0 6.29} ` @INDEP ~y` @DEPND 2.2 \# 2.2 @XRNG 1.1 \# 1.1 @YRNG L { (0,0) {.4 .2} “X(t)” “Y(t)”} ` @AXES L @)PLOT @ERASE @DRAX L @LABEL L @DRAW @)EDIT L@MENU LL@)PICT @CANCL Voorbeeld 3 – Een polair diagram: „ÌC @)PTYPE @POLAR ‘1+SIN(θ)’ ` „ @@EQ@@ @)PPAR { θ 0 6.29} ` @INDEP ~y` @DEPND 3 \# 3 @XRNG 0.5 \# 2.5 @YRNG L { (0,0) {.5 .
1 – Kies PTYPE. 2 – Sla de te plotten functie op in variabele EQ (met de passende notatie, bijv., ‘X(t)+iY(t)’ voor PARAMETRIC). 3 – Voer de naam in (en bereik, indien nodig) van de onafhankelijke en afhankelijke variabelen 4 – Voer de specificaties van de assen in als een lijst { center atick x-label ylabel } 5 – Gebruik ERASE, DRAX, LABEL, DRAW om een volledig gelabelde grafiek met assen te maken.
PICTURE » labels Roept het grafische scherm op in het stapelgeheugen Sla het programma op in de variabele PLOT1. Druk, indien nodig, op Jen daarna op @PLOT1 om het programma te activeren. Voorbeeld 2 –Een parametrisch diagram. Voer hetvolgende programma in: « Activeert het programma RAD {PPAR EQ} PURGE Verandert naar radialen, wist variabelen ‘SIN(t)+i*SIN(2*t)’ STEQ Slaat ‘X(t)+iY(t)’ op in EQ { t 0. 6.29} INDEP Stelt ‘r’ als de onafh.
‘Y’ DEPND POLAR { (0.,0.) {.5 .5} “x” “y”} AXES –3. 3. XRNG –.5 2.5 YRNG ERASE DRAW DRAX LABEL PICTURE » Stelt ‘Y’ als de afhankelijke variabele in Kiest POLAR als het diagramtype Stelt de assen-informatie in Bepaalt het x-bereik Bepaalt het y-bereik Wist en tekent het diagram, assen en labels Roept het grafische scherm op in het stapelgeheugen Beëindigt het programma Sla het programma op in de variabele PLOT3. Druk, indien nodig, op Jen daarna @PLOT3 om het programma te activeren.
PICT Deze softtoets verwijst naar een variabele met de naam PICR dat de huidige inhoud van het grafische venster opslaat. Deze variabelenaam kan echter niet tussen aanhalingstekens worden geplaatst en kan enkel grafische objecten opslaan. In die zin verschilt PICT van alle andere variabelen van de rekenmachine. PDIM De functie PDIM heeft als invoer 2 geordende paren (xmin,ymin) (xmax ymax) of 2 binaire hele getallen #w en #h. PDIM vervangt de huidige inhoud van PICT door een leeg scherm.
TLINE Dit commando (Toggle LINE) heeft als invoer twee geordende paren (x1,y1) (x2, y2) of twee paren van pixelcoördinaten {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Het tekent de lijn tussen deze coördinaten en zet daarbij pixels uit in het pad van de lijn die aan staan en vice versa. BOX Dit commando heeft als invoer twee geordende paren (x1,y1) (x2, y2) of twee paren van pixelcoördinaten {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Het tekent het vierkant waarvan de diagonalen worden vertegenwoordigd door de twee coördinatenparen in de invoer.
• • • Coördinaten van het midden van de boog als (x,y) in gebruikerscoördinaten of {#n, #m} in pixels. De straal van de boog als r (gebruikerscoördinaten) of #k (pixels). Oorspronkelijke hoek θ1 en uiteindelijke hoek θ2. PIX?, PIXON en PIXOFF Deze functies hebben als invoer de puntcoördinaten in gebruikerscoördinaten (x,y) of in pixels {#n, #m}. • • • PIX? Controleert of de pixel op positie (x,y) of {#n, #m} aan staat. PIXOFF zet de pixel op positie (x,y) of {#n, #m} uit.
Het volgende programma maakt een tekening in het grafische scherm. (Dit programma heeft geen andere bedoeling dan te tonen hoe u commando’s van de rekenmachine gebruikt om tekeningen op het scherm te maken). « DEG 0. 100. XRNG 0. 50. YRNG ERASE (5., 2.5) (95., 47.5) BOX (50., 50.) 10. 0. 360. ARC (50., 50.) 12. –180. 180. ARC 1 8 FOR j (50., 50.
geplot en een schets van de dwarsdoorsnede kan worden gemaakt voor een bepaalde verhoging van het wateroppervlak. De onderstaande afbeelding geeft de termen weer die in deze paragraaf worden gebruikt. Het programma, beschikbaar op de diskette of cd-rom die bij uw rekenmachine hoort, gebruikt vier subprogramma’s FRAME, DXBED, GTIFS en INTRP. Het hoofdprogramma, XSECT, heeft als invoer een matrix van waarden voor x en y en de hoogte van het wateroppervlak Y (zie de bovenstaande afbeelding), in die volgorde.
XYD2 (X-Y gegevens 2). Plaats om het programma uit te voeren één van de gegevensreeksen in het stapelgeheugen, b.v. J @XYD1!, voer daarna een hoogte van het wateroppervlak in, bijv. 4.0 en druk op @XSECT. De rekenmachine zal een schets van de doorsnede tonen met het corresponderende wateroppervlak. Druk op $ om het grafische scherm te verlaten. Probeer de volgende voorbeelden: @XYD1! @XYD1! @XYD1! @XYD1! 2 3 4 6 @XSECT @XSECT @XSECT @XSECT Wees geduldig als u het programma XSECT uitvoert.
Opmerking: Het programma FRAME, zoals het origineel is geprogrammeerd (zie de diskette of CD ROM), behoudt niet de juiste schaal van de grafiek.
In de animatie kunnen we X als tijd beschouwen en diagrammen aan te maken van f(X,Y) vs. Y voor verschillende waarden van X. Om deze grafiek te maken, gebruiken we het volgende: • „ô tegelijkertijd indrukken. Kies Y-Slice als TYPE. ‘2.5*SIN(X-Y)’ als EQ. ‘X’ als INDEP. Druk op L@@@OK@@@. • „ò, gelijktijdig indrukken (in de RPN-modus). Gebruik de volgende waarden: • Druk op @ERASE @DRAW. Geef de rekenmachine de tijd om de nodige grafieken te genereren.
131 R B 64 R B PDIM 0 100 XRNG 0 100 YRNG 1 11 FOR j ERASE (50., 50.) ‘5*(j-1)’ NUM 0 ‘2*π’ NUM ARC PICT RCL NEXT 11 ANIMATE » radialen Stelt PICT in op 131×64 pixels Stelt de x- en y-bereiken in op 0-100 Activeert de lus met j = 1 ..
11 „°@)TYPE@ @ LIST ³ ~~wlist~ K Druk op J om uw lijst met variabelen weer op te roepen. De variabele @WLIST zou nu bij uw softmenutoetsen moeten staan. Om deze lijst met variabelen opnieuw te animeren, zou u het volgende programma kunnen gebruiken: « Activeert het programma WLIST Plaatst de lijst WLIST in het stapelgeheugen OBJ Breekt de lijst af, stapelgeheugen niveau 1 = 11 ANIMATE Start animatie » Sluit het programma af Sla dit programma op in een variabele met de naam RANIM (Re-ANIMate).
« RAD 131 R B 64 R B PDIM 0 2 XRNG 0 20 YRNG 0 4 FOR j ‘X^j’ STEQ ERASE DRAX LABEL DRAW PICT RCL NEXT 5 ANIMATE » Activeert het programma Stelt de hoekeenheden in op radialen Stelt PICT in op 131×64 pixels Stelt de x- en y-bereiken in Start lus met j = 0,1,…,4 Slaat ‘X^j’ op in de variabele EQ Wist de huidige PICT Tekent assen, labels, functie Plaatst de huidige PICT in het stapelgeheugen Beëindigt FOR-NEXT lus Laat het diagram bewegen Sla dit programma op in een variabele met de naam PWAN (PoWer function
Grafische objecten (GROBs) Het woord GROB staat voor GRafische OBjecten en wordt in de programmeeromgeving van de rekenmachine gebruikt om de pixel-voor-pixelbeschrijving voor te stellen van een afbeelding in het scherm van de rekenmachine. Daarom wordt een afbeelding, wanneer ze wordt geconverteerd naar een GROB, een reeks van binaire getallen (binaire digits = bits), d.w.z. 0’s en 1’s. Bekijk de volgende oefening voor GROBs en de conversie van afbeeldingen naar GROBs.
Graphic 13128 × 8. Het grafische scherm is nu vervangen door een reeks nullen en enen die de pixels van de originele grafiek voorstellen. Dus is die originele grafiek nu omgezet naar zijn equivalent in bits. U kunt ook vergelijkingen omzetten naar GROBs. Voer bijvoorbeeld de vergelijking ‘X^2+3’ in op niveau 1 van het stapelgeheugen met de Vergelijkingenschrijver en druk daarna op 1` „°L@)GROB @ GROB .
is gebruikt om de grafiek te converteren naar een GROB, terwijl een 1 is gebruikt om de vergelijking te converteren naar een GROB. Deze parameter van de functie GROB geeft de grootte van het object dat wordt geconverteerd naar een GROB als 0 of 1 – voor een klein object, 2 – een medium en 3 – een groot object. De andere functies in het menu GROB worden hierna beschreven.
SIZE De functie SIZE, wanneer ze wordt toegepast op een GROB, toont de afmetingen van het GROB’s in de vorm van twee getallen. Het eerste getal, weergegeven op niveau 2 van het stapelgeheugen, is de breedte van het grafische object, het tweede getal, op niveau 1 van het stapelgeheugen, geeft de hoogte. Een voorbeeld van een programma dat GROB gebruikt Het volgende programma maakt de grafiek van de sinusfunctie met een kader – getekend met de functie BOX – en een GROB om de grafiek van een label te voorzien.
Sla het programma op onder de naam GRPR (GROB PRogram). Druk op @GRPR om het programma te activeren. De uitvoer zal er als volgt uitzien: Een programma met plot- en tekenfuncties In deze paragraaf maken wij een programma aan om de cirkel van Mohr voor een gegeven voorwaarde van tweedimensionele druk te maken, te tekenen en van een label te voorzien. De linkerafbeelding toont de gegeven staat van druk in twee dimensies met σxx en σyy als normale drukpunten en τxy = τyx als schuine drukpunten.
Om de cirkel van Mohr te construeren, gebruiken we een Cartesisch coördinatensysteem waarbij de x-as overeenkomt met de normale drukpunten (σ) en de y-as correspondeert met de schuine drukpunten (τ). Bepaal de punten A(σxx,τxy) en B (σyy, τxy) en teken het segment AB. Het punt C, waar het segment AB de σn –as kruist, zal het middelpunt van de cirkel zijn. U ziet dat de coördinaten van punt C (½⋅(σyy + σxy), 0) zijn.
De voorwaarde waarvoor de schuine druk, τ’xy, gelijk is aan nul, aangegeven door segment D’E’, geeft de zgn. voornaamste drukpunten σPxx (bij punt D’) en σPyy (bij punt E’). Om de voornaamste drukpunten te verkrijgen, moet u het coördinatenstelsel x’-y’ tegen de klok in draaien volgens een hoek φn ten opzichte van het systeem x-y. Bij de cirkel van Mohr meet de hoek tussen de segmenten AC en D’C 2φn. De voorwaarde waarvoor de schuine druk τ’xy, het maximum is, wordt aangegeven door segment F’G’.
• • • • DDIAM: Gebruikt σL als invoer, tekent segment AB (zie de bovenstaande afbeelding van de cirkel van Mohr) en verbindt de punten van de ingevoerde gegevens in de cirkel van Mohr. σLBL: Gebruikt σL als invoer, plaatst labels om de punten A en B te identificeren met labels “σx” en “σy”. σAXS: Plaatst de labels “σ” en “τ” bij respectievelijk de x- en de yassen. PTTL: Plaatst de titel “cirkel van Mohr” bij de afbeelding.
Omdat deze weergave van PICT werd aangeroepen via de functie PVIEW, kunnen we geen andere informatie uit het diagram krijgen dan de afbeelding zelf. Om aanvullende informatie te verkrijgen van de cirkel van Mohr, sluit u het programma af door op $te drukken. Druk daarna op š om de inhoud van PICT weer op te roepen in de grafische omgeving. De cirkel van Mohr ziet er nu uit als in de rechterafbeelding (zie hierboven). Druk op de softmenutoetsen @TRACE en @(x,y)@.
Een programma om de voornaamste drukpunten te berekenen De hierboven gevolgde procedure om φn te berekenen, kan als volgt worden geprogrammeerd: Programma PRNST: « INDAT CC&r “φn” TAG 3 ROLLD R C DUP C R + “σPx” TAG SWAP C R - “σPy” TAG » Het programma activeren: J@PRNST 25˜ 75˜ 50` Activeert het programma PRNST (PRiNcipal STresses) Voert gegevens in in het programma MOHRCIRC Berekent σc, r, en fn, zoals in MOHRCIRC Voorziet de hoek voor voornaamste drukpunten van een tag Verplaatst de getagde hoek naa
wordt aanbevolen om de variabelen in de subdirectory te herschikken zodat de programma’s @MOHRC en @PRNST de eerste twee variabelen zijn in de softmenutoetslabels. Dit wordt gedaan door het aanmaken van de lijst { MOHRCIRCL PRNST } met: J„ä@MOHRC @PRNST ` En daarna de lijst te rangschikken met: „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @ORDER. druk op J nadat de functie ORDER is geactiveert . U zult zien dat de programma’s MOHRCIRCL en PRNST als twee eerste variabelen in het menu staan, zoals verwacht.
Het resultaat is: Om de waarden de vinden van de drukpunten die corresponderen met een rotatie van 35° in de hoek van het partikel onder druk, gebruiken we: $š Wist eht scherm, toont PICT in het grafische scherm @TRACE @(x,y)@. Beweegt de cursor over de cirkel en toont φ en (x,y) Druk daarna op ™ totdat u φ = 35 ziet. De corresponderende coördinaten zijn (1.63E0, -1.05E1), d.w.z. voor φ = 35o, σ’xx = 1.63 kPa en σ’yy = 10.5kPa.
Druk op @@@OK@@@ om het programma verder uit te voeren. Het resultaat is de volgende afbeelding: Aangezien het programma INDAT ook wordt gebruikt voor het programma @PRNST (PRiNcipal STresses), zal ook dit programma bij activering een invoerscherm gebruiken, bijvoorbeeld: Het volgende resultaat wordt weergegeven, nadat u op @@@OK@@@ hebt gedrukt: Blz.
Hoofdstuk 23 Karakterstrings Karakterstrings zijn rekenmachine-objecten ingesloten tussen dubbele aanhalingstekens. Ze worden door de rekenmachine behandeld als tekst. De string “SINE FUNCTION“ bijvoorbeeld, kan worden omgevormd tot een GROB (Grafisch Object) om een grafiek van een label te voorzien, of de string kan worden gebruikt als uitvoer in een programma. Elke karakters reeks die wordt ingevoerd door de gebruiker als invoer in een programma, wordt beschouwd als string.
getal gebruikt als argument NUM: Geeft de code voor het eerste karakter in een string Voorbeelden van de toepassing van deze functies voor strings worden hierna weergegeven: Samenvoegen van strings Strings kunnen worden samengevoegd met het plusteken +, bijvoorbeeld: Het samenvoegen van strings is een praktische manier om uitvoer te genereren in programma’s.
De werking van NUM, CHR, OBJ , en STR is al eerder in dit hoofdstuk al behandeld. Ook de functies SUB en REPL met betrekking tot grafische afbeeldingen hebben we al eerder in dit hoofdstuk behandeld.
De lijst van karakters De volledige verzameling van karakters aanwezig in de rekenmachine kan worden bereikt via de toetsen ‚±. Wanneer u een karakter markeert, bijv. het karakter voor een nieuwe regel , zult u links onder in het scherm de toetsencombinatie zien voor dergelijk karakter ( . in dit geval) samen met de numerieke code behorende bij het karakter (10 in dit geval).
Hoofdstuk 24 Objecten en vlaggen in de rekenmachine Getallen, lijsten, vectoren, matrices, algebraïsche tekens, enz. zijn rekenmachine-objecten. Ze worden naargelang hun aard onderverdeeld in 30 verschillende types, die hieronder worden beschreven. Vlaggen zijn variabelen die kunnen worden gebruikt voor het instellen van de eigenschappen van de rekenmachine.
18 19 Ingebouwde functie Ingebouwd commando COS CLEAR Nummer Type Voorbeeld ____________________________________________________________________ 21 Uitgebreid reëel getal Long Real 22 Uitgebreid complex getal Long Complex 23 Gekoppelde array Linked Array 24 Karakterobject Character 25 Code-object Code 26 Bibliotheekgegevens Library Data 27 Extern object External 28 Heel getal 3423142 29 Extern object External 30 Extern object External ____________________________________________________________________
Vlaggen van de rekenmachine Een vlag is een variable die al of niet ingesteld kan worden. De status van een vlag heeft invloed op het gedrag van de rekenmachine, als het een systeemvlag is, of van een programma als het een gebruikersvlag is. Ze worden hierna meer uitvoerig behandeld. Systeemvlaggen Systeemvlaggen kunnen worden geactiveerd met H @)FLAGS. Druk op de pijltoets naar beneden om een lijst van alle systeemvlaggen met hun nummer en een korte beschrijving te zien.
gebruikt met deze functies worden systeemvlaggen aangeduid door getallen met negatieve hele getallen. Zo zal naar systeemvlag 117 worden verwezen als vlag -117. Anderzijds worden bij toepassing van deze functies gebruikersvlaggen aangeduid met positieve hele getallen. Het is belangrijk om te begrijpen dat gebruikersvlaggen enkel toepassing vinden bij het programmeren om de werking van het programma te helpen beheren.
een vlag opnieuw in te stellen) Gebruikersvlaggen Voor programmeerdoeleinden zijn de vlaggen 1 tot 256 beschikbaar voor de gebruiker. Zij hebben geen betekenis voor de werking van de rekenmachine. Blz.
Hoofdstuk 25 De functies Date en Time In dit hoofdstuk demonstreren we enkele van de functies en bewerkingen die gebruik maken van tijden en data. Het menu TIME Het menu TIME, beschikbaar via de toetsencombinatie ‚Ó (de toets 9) bevat de volgende functies, die hierna worden beschreven: Een alarm instellen Optie 2. Set alarm.. geeft een invoerscherm voor de gebruiker om een alarm in te stellen.
Bladeren door alarms Met optie 1. Browse alarms... in het menu TIME kunt u uw huidige alarmen bekijken. Deze optie geeft het volgende beeldscherm na het invoeren van het alarm in het bovenstaande voorbeeld: Dit scherm bevat vier labels van softmenutoetsen: EDIT: Om het geselecteerde alarm te bewerken, met een invoerscherm om het alarm in te stellen NEW: Om een nieuw alarm te programmeren PURG Om een alarm te verwijderen OK: Om terug te keren naar het normale beeldscherm. Tijd en datum instellen Optie 3.
De toepassing van deze functies wordt hieronder aangetoond. DATE: Plaatst de huidige tijd in het stapelgeheugen DATE: Stelt de systeemdatum in op een bepaalde waarde TIME: Plaatst de huidige tijd in de 24-uur UU.MM.SS-notatie TIME: Stelt de systeemtijd in op een bepaalde waarde in de 24-uur UU.MM.SS-notatie TICKS: Geeft de systeemtijd weer als een binair heel getal in de eenheid van kloktikken waarbij 1 tik = 1/8192 sec ALRM..
Berekeningen met datums Gebruik de functies DATE+, DDAYS voor berekeningen met datums. Hier is een voorbeeld van de toepassing van deze functies, samen met een voorbeeld van de functie TICKS: Berekeningen met tijden De functies HMS, HMS , HMS+ en HMS- worden gebruik om waarden in de UU.MM.SS-notatie te bewerken. Dit is dezelfde notatie die wordt gebruikt voor het berekenen van hoekmetingen in graden, minuten en seconden.
ACK: Bevestigt een verlopen alarm ACKALL: Bevestigt alle verlopen alarms STOALARM(x): Slaat alarm (x) op in de alarmlijst van het systeem RCLALARM(x): Roept het gegeven alarm (x) op uit de alarmlijst van het systeem DELALARM(x): Verwijdert alarm x uit de alarmlijst van het systeem FINDALARM(x): Geeft het eerste alarm weer dat na een gegeven tijd komt Het argument x in de functie STOALARM is een lijst met een datumverwijzing (mm.dd.jj), de tijd van de dag in 24 uur-notatie (uu.
Hoofdstuk 26 Geheugen beheren In Hoofdstuk 2 van de gebruikshandleiding laten we de basisconcepten en bewerkingen zien voor het aanmaken en beheren van variabelen en directory’s. In dit hoofdstuk wordt het beheer behandeld van het geheugen van de rekenmachine met betrekking tot geheugenpartities en technieken om een back-up van de gegevens te maken. Structuur van het geheugen De rekenmachine bevat in totaal 80 Kb voor de werking van de rekenmachine en de opslag van gegevens (gebruikersgeheugen).
De HOME directory Wanneer u de rekenmachine gebruikt, zult u waarschijnlijk variabelen aanmaken om tussentijdse en uiteindelijke resultaten op te slaan. Sommige bewerkingen van de rekenmachine, zoals grafische of statistische bewerkingen maken hun eigen variabelen aan om gegevens op te slaan. Deze variabelen zullen worden bijgehouden in de HOME directory of één van de directory’s. Informatie over het behandelen van variabelen en directory’s vindt u in Hoofdstuk 2 van de gebruikshandleiding.
Indien een bibliotheek actief is in uw rekenmachine wordt dit in dit scherm weergegeven. Deze geheugenpoort wordt geopend door op de softmenutoetsen van poort 0 te drukken.Bijkomende informatie over bibliotheken wordt hieronder gegeven. Back-upobjecten Back-upobjecten worden gebruikt om gegevens te kopiëren van uw home directory naar een geheugenpoort. Het doel van het maken van backupobjecten in een geheugenpoort is om de inhoud van de objecten te bewaren voor toekomstig gebruik.
Een back-up maken van objecten in het poortgeheugen De procedure om een back-up te maken van een object van het gebruikersgeheugen naar één van de geheugenpoorten is gelijk aan de procedure om een variabele van de ene subdirectory naar een andere te kopiëren (zie Hoofdstuk 2 van de gebruikshandleiding). U kunt bijvoorbeeld de File Manager („¡) gebruiken om back-upobjecten te kopiëren en te verwijderen, net zoals u met gewone objecten van de rekenmachine zou doen.
: Port_Number : Backup_Name ` ARCHIVE De HOME directory terugzetten Gebruik om de home directory terug te zetten in de algebraïsche modus het commando: RESTORE(: Port_Number : Backup_Name) Gebruik bijvoorbeeld om de HOME directory terug te zetten vanuit het backupobject HOME1: RESTORE(:0:HOME1) In de RPN-modus gebruikt u: : Port_Number : Backup_Name ` RESTORE Opmerking: Wanneer u de back-up van een HOME directory terugzet gebeuren er twee dingen: • De back-up directory overschrijft de huidige HOME directory
Een back-upobject uit een poort verwijderen: • Gebruik de File Manager („¡) om het object te verwijderen, net zoals u zou doen met een variabele in de HOME directory (zie Hoofdstuk 2 van de gebruikshandleidingboek). • Gebruik het commando PURGE als volgt: In de algebraïsche modus: PURGE(: Port_Number : Backup_Name) In de RPN-modus: : Port_Number : Backup_Name PURGE Een back-upobject terugzetten: • Gebruik de File Manager („¡) om het back-upobject te kopiëren van het poortgeheugen naar de HOME directory.
Voer om een back-upobject te evalueren het volgendein: Argument(en) ` : Port_Number : Backup_Name EVAL Voer om een back-upobject opnieuw op te roepen naar de commandoregel het volgendein: : Port_Number : Backup_Name ` RCL Bibliotheken gebruiken Bibliotheken zijn programma’s in binaire taal, gemaakt door de gebruiker, die in de rekenmachine kunnen worden geladen en beschikbaar worden gesteld voor gebruik in elke subdirectory van de HOME directory.
zich gehecht. De nummers worden toegekend door de maker van de bibliotheek en worden gebruikt voor het verwijderen van een bibliotheek. Een bibliotheek verwijderen Gebruik om een bibliotheek uit een poort te verwijderen: • In de algebraïsche modus: PURGE(:port_number: lib_number) • In de RPN-modus: : port_nubmer : lib_number PURGE Waarbij lib_nummer staat voor het hierboven beschreven bibliotheeknummer.
Blz.
Bijlage A Werken met invoerschermen Dit voorbeeld van het instellen van de tijd en de datum illustreert het gebruik van invoerschermen in de rekenmachine. Enkele algemene regels: • Gebruik de pijltoetsen (š™˜—) om in het invoerscherm van veld naar het veld te bewegen. • Gebruik de softmenutoets @CHOOS om de mogelijkheden te bekijken die er zijn voor een willekeurig veld in het invoerscherm.
Om te beginnen met financiele berekeningen gebruikt u de pijltoets omlaag (˜) om item 5. Solve finance te selecteren. Druk op @@OK@@ om de toepassing te activeren. Het resulterende scherm is een invoerscherm met invoervelden voor een aantal variabelen (n, I%YR, PV, PMT, FV). In dit geval kunnen we waarden geven aan alle variabelen op een na, bijv. n = 10, I%YR = 8.5, PV = 10000, FV = 1000 en variabele PMT oplossen (de betekenis van deze variabelen zal later worden uitgelegd).
!RESET !CALC !TYPES !CANCL @@OK@@ Voor Voor Voor Voor Voor het het het het het terugzetten van de velden op de standaardwaarden. activeren van het stapelgeheugen voor berekeningen bepalen van het objecttype in het gemarkeerde veld annuleren van de bewerking accepteren van de invoer Als u op !RESET drukt, zult u gevraagd worden om tussen de twee opties te kiezen: Als u Reset value selecteert, zal alleen de gemarkeerde waarden worden worden teruggezet op de standaardwaarden.
(In de RPN-modus zouden we 1136.22 ` 2 `/ hebben ingevoerd.) Druk op @@OK@@ om de nieuwe waarde in te voeren. Het invoerscherm zal er nu als volgt uitzien: Druk op !TYPES om het gegevenstype in het PMT-veld te bekijken (het gemarkeerde veld). Als gevolg hiervan krijgt u de volgende specificatie: Dit geeft aan dat de waarde in het PMT-veld een reëel getal moet zijn. Druk op @@OK@@ om terug te keren naar het invoerscherm en druk op L om het eerste menu te herstellen.
Het bovenste resultaat is de waarde die werd opgelost voor PMT in het eerste deel van de oefening. De tweede waarde is de berekening die we maakten om de waarde van PMT opnieuw te definieren. Blz.
Bijlage B Het toetsenbord van de rekenmachine De onderstaande afbeelding toont een diagram van het toetsenbord van de rekenmachine met de nummering van de rijen en kolommen. De afbeelding toont 10 rijen met toetsen samen met 3, 5 of 6 kolommen. Rij 1 heeft 6 toetsen, de rijen 2 en 3 hebben elk 3 toetsen en de rijen 4 tot en met 10 hebben elk 5 toetsen. Er zijn 4 pijltoetsen die zich bevinden aan de rechterkant van het toetsenbord in rij 2 en 3 – Elke toets heeft drie, vier of vijf functies.
Om met de functies van de hoofdtoetsen te werken, drukt u gewoon op de bijbehorende toets. We verwijzen naar de toetsen per rij en kolom waar deze zich in het bovenstaande diagram bevinden, dus: toets (10,1) is de toets ON. De functies van de hoofdtoetsen op het toetsenbord van de rekenmachine Functies van de hoofdtoetsen De toetsen A tot en met F zijn verbonden met de opties in het softmenu die onder in het beeldscherm van de rekenmachine worden weergegeven.
De pijltoetsen, —˜š™, worden gebruikt om één teken per keer in de richting van de ingedrukte toets te gaan (omhoog, omlaag, naar links of naar rechts). De functie APPS activeert het toepassingenmenu. De functie MODE activeert het modimenu van de rekenmachine. De functie TOOL activeert een menu met hulpmiddelen die handig zijn voor het werken met variabelen en het verkrijgen van hulp op de rekenmachine.
Er is een toets voor een decimale punt (.) en een spatietoets (SPC). De toets ENTER wordt gebruikt om een getal of een functie in het beeldscherm of het stapelgeheugenin te voeren en. De toets ON wordt gebruikt om de rekenmachine aan te zetten.
gearceerde achtergrond weergegeven. Toetsen die niet geactiveerd worden, worden tegen een zwarte achtergrond weergegeven. Shift-links functies De volgende afbeelding toont de functies, tekens of menu’s behoren bij verschillende rekenmachinetoetsen, wanneer de Shift-links toets „ wordt geactiveerd. De zes Shift-links-functies die horen bij de toetsen A tot en met Fhebben te maken met de configuratie en de aanmaak van grafische afbeeldingen en tabellen.
spijskaart , naar de MTRW verrichting activeren naar de voedingsbodem writer , Shift-links „ functies op het toetsenbord van de rekenmachine De functie CMD toont de meest recente opdrachten. De functiePRGactiveert de programmamenu's. De functie MTRW activeert de Matrixschrijver. De functie MTH activeert een menu met een wiskundige functie. De toets DEL wordt gebruikt om variabelen te verwijderen. De toets ex berekent de exponentiële functie van x. Blz.
De toets x2 berekent het kwadraat van x (hiernaar wordt verwezen als de functie SQ). De functies ASIN, ACOS en ATAN berekenen respectievelijk de functies boogsinus, de boogcosinus en de boogtangens. De functie 10x berekent het anti-logaritme van x. De toetsen ≠, ≤ en ≥ worden gebruikt voor het vergelijken van reële getallen. De functie ABS berekent de absolute waarde van een reëel getal of de grootte van een complex getal of van een vector.
De pijtoetsen, in combinatie met de Shift-links-toets, verplaatsen de cursor naar het eerste teken in de richting van de ingedrukte toets. Shift-rechts … functies op het toetsenbord van de rekenmachine Shift-rechts-functies De afbeelding hierboven toont de functies, tekens of menu’s behorende bij de verschillende rekenmachinetoetsen, wanneer de Shift-rechts toets … wordt geactiveerd. De functies BEGIN, END, COPY, CUT en PASTE worden gebruikt voor bewerkingsdoeleinden. Blz.
De toets UNDO wordt gebruikt om de laatste bewerking op de rekenmachine ongedaan te maken. De functie CHARS activeert het menu met speciale tekens. De functie EQW wordt gebruikt om de vergelijkingenschrijver te activeren. De functie CAT wordt gebruikt om de opdrachtcatalogus te activeren. De functie CLEAR schoont het beeldscherm. De functie LN berekent het natuurlijk logaritme. De functie x y berekent de x – te wortel van y.
De toets OFF zet de rekenmachine uit, de toets NUM geeft een numerieke (of “drijvende punt”) waarde van een uitdrukking. De toets “ “ voert een paar dubbele aanhalingstekens in die gebruikt worden voor het invoeren van tekststrings. De toets __ voert een onderliggend streepje in. De toets << >> voert het symbool van een programma in. De toets voert een pijl in die een invoergegeven in een programma aanduidt. De toets voer een Return-teken in programma’s of tekststrings in.
Alpha ~ functies op het toetsenbord van de rekenmachine Alpha-Shift-links-tekens De volgende afbeelding toont de tekens die horen bij de verschillende toetsen van de rekenmachine wanneer de toets ALPHA ~ wordt gecombineerd met de Shift-links toets „. U ziet dat de combinatie ~„ gewoonlijk wordt gebruikt om de kleine letters van het Engelse alfabet in te voeren (A tot en met Z). De getallen, wiskundige symbolen (-, +, ×), het decimaalteken (.
Alpha ~„ functies op het toetsenbord van de rekenmachine Alpha-Shift-rechts-tekens De volgende afbeelding toont de tekens die horen bij de verschillende toetsen van de rekenmachine wanneer de toets ALPHA ~ wordt gecombineerd met de rechts-Shift-toets …. Blz.
"' Alpha ~…-functies op het toetsenbord van de rekenmachine U ziet dat de combinatie ~… hoofdzakelijk wordt gebruikt om een aantal speciale tekens in het stapelgehugen van de rekenmachine in te voeren. De toetsen CLEAR, OFF, , , komma (,) de toetsen Enter en OFF werken ook als hun hoofdfunctie, zelfs wanneer de combinatie ~… wordt gebruikt.
Bijlage C CAS-instellingen CAS is de afkorting van Computer Algebraic System. Dit is het wiskundige hart van de rekenmachine waarin de symbolische wiskundige bewerkingen en functies geprogrammeerd zijn. Het CAS biedt een aantal instellingen die kunnen worden aangepast volgens het gewenste bewerkingstype. De volgende stappen laten de optionele CAS-instellingen zien: • Druk op de knop H om het invoerscherm CALCULATOR MODES te activeren.
Door te drukken op de toets L te drukken, krijgt u de overige opties in het invoerscherm CALCULATOR MODES op het scherm: @RESET !!CANCL @@@OK@@@@ Stelt de gebruiker in staat een gemarkeerde optie terug te zetten. Sluit dit invoerscherm en keert terug naar het normale beeldscherm. Gebruikt om de instellingen te accepteren. • Om het oorspronkelijke menu in het invoervenster CALCULATOR MODES te herstellen, drukt u op de toets L. Hier is het interessante punt het veranderen van de CAS-instellingen .
Druk nogmaals op de softmenutoets @@@OK@@@ om terug te keren naar het normale beeldscherm van de rekenmachine . De onafhankelijke variabele selecteren Veel van de functies die door het CAS aangeboden worden, gebruiken een vooraf bepaalde onafhankelijke variabele. Standaard wordt elke variabele gekozen als de letter X (hoofdletter) zoals u ziet in het bovenstaande invoerscherm CAS MODES.
De modulus selecteren De optie Modulo in het invoervenster CAS MODES staat voor een getal (standaardwaarde = 13) dat gebruikt wordt in modulaire rekenkunde. Meer informatie over modulair rekenen wordt elders beschreven. Numerieke versus symbolische CAS-modus Wanneer de CAS-modus Numeric geselecteerd wordt, worden bepaalde constanten die vooraf gedefinieerd zijn in de rekenmachine weergegeven in hun volledige waarde met “drijvende punt”.
Het volgende scherm toont een aantal symbolische expressies ingevoerd met een actieve modus Exact in de handelingsmodus Algebraic. In de Algebraic-modus wordt het object dat door de gebruiker ingevoerd wordt links in het scherm weergegeven, onmiddellijk gevolgd door een resultaat rechts in het scherm. De bovenstaande resultaten tonen de symbolische uitdrukkingen voor ln(2), de natuurlijke logaritme van 2 en 5 , d.w.z. de wortel van 5.
Een sneltoets om tussen de modus APPROX en EXACT te wisselen, is door de Shift-rechts-toets vast te houden en de toets ENTER gelijktijdig in te drukken, bijvoorbeeld ‚ (vasthouden) `. Reële getallen versus hele getallen CAS-bewerkingen gebruiken hele getallen om tot volledige nauwkeurigheid bij berekeningen te komen. Reële getallen worden opgeslagen in de vorm van een mantisse en een exponent en zijn qua nauwkeurigheid beperkt.
Wanneer de optie _Complex CAS geselecteerd wordt, als een bewerking een complex getal oplevert, zal het resultaat weergegeven worden in de vorm a+bi of in de vorm van een geordend paar (a,b). Aan de andere kant geldt, dat als de optie _Complex CAS niet ingesteld is (de CAS-optie Real is actief) en een bewerking resulteert in een complex getal, u gevraagd zult worden om te wisselen naar de modus Complex. Doet u dit niet, dan zal de rekenmachine een foutmelding geven.
Gebruik F wanneer u gevraagd wordt om over te schakelen naar de modus COMPLEX. Als niet naar de modus COMPLEX gaat, krijgt u de volgende foutmelding: Verbose versus niet-verbose CAS-modus Wanneer de CAS-optie _Verbose geselecteerd is, worden bepaalde calculustoepassingen met opmerkingenregels in het hoofdscherm weergegen. Als de CAS-optie _Verbose niet geselecteerd is, zullen er bij die calculustoepassingen geen opmerkingenregels worden weergeven.
Het scherm vertelt ons dat de rekenmachine werkt aan een deling van polynomen A/B, zodat A = BQ + R, waarbij Q = quotiënt en R = rest. In dit geval is A = X3-5X2+3X-2 en B = X-2. Deze polynomen worden in het beeldscherm weergegeven door lijsten van hun coëfficiënten. De uitdrukking A bijvoorbeeld: {1,-5,3,-2} staat voor de polynoom A = X3-5X2+3X-2, B:{1,-2} staat voor de polynoom B = X-2, Q: {1} die staat voor de polynoom Q = X, en R:{-3,3,-2} die staat voor de polynoom R = -3X2+3X-2. Druk nu op de toets `.
termen steeds lagere machten zullen zijn van de onafhankelijke variabele. Hieronder wordt een voorbeeld weergegeven in de Algebraic-modus. In het eerste geval wordt de polynoom (X+3)5 uitgebreid in een volgorde waarbij de machten van X toenemen, terwijl in het tweede geval de polynoom in afnemende volgorde van de machten van X wordt weergegeven.
De CAS-instelling Simplify non-rational Wanneer de CAS-optie _Simp Non-Rational geselecteerd is, zullen nietrationele uitdrukkingen automatisch worden vereenvoudigd. Wanneer de CAS-optie _Simp Non-Rational niet geselecteerd is, zullen niet-rationele uitdrukkingen niet automatisch worden vereenvoudigd. Werken met de HELPvan CAS Schakel de rekenmachine in en druk op de toets I om het menu TOOL te activeren.
U ziet dat in dit geval de softmenutoetsen E en F de enige toetsen zijn met bijbehorende opdrachten, namelijk: !!CANCL !!@@OK#@ E F CANCeL de Help OK om de Help te activeren voor de geselecteerde opdracht Als u op de toets !!CANCL E drukt, wordt HELP overgeslagen en keert de rekenmachine terug naar het normale beeldscherm.
@ECHO B @@ SEE1@@ C @@SEE2@ D !@@SEE3@ E @!MAIN F ECHO: kopieer de voorbeeldopdracht naar het stapelgeheugen en sluit Help af. SEE1: verwijst naar de eerste koppeling (indien aanwezig) in de lijst met verwijzingen. SEE2: verwijst naar de tweede koppeling (indien aanwezig) in de lijst met verwijzingen. SEE3: verwijst naar de derde koppeling (indien aanwezig) in de lijst met verwijzingen. Main: keert terug naar de opdrachtlijst MAIN in HELP.
praktijkvoorbeeld van de opdracht bezitten, evenals verwijzingen zoals in dit voorbeeld weergegeven. Om snel naar een bepaalde opdracht in de lijst van Help te gaan zonder dat u steeds de pijltoetsen hoeft te gebruiken, kunnen we een sneltoets gebruiken die bestaat uit het invoeren van de eerste letter van de naam van de opdracht. Stel dat we informatie willen vinden over de opdracht IBP (Integration By Parts), wanneer HELP eenmaal geactiveerd is.
In geen enkel geval, tenzij vereist door de toepasselijke wetgeving, zal enige auteursrechthouder verantwoordelijk zijn voor schade, met inbegrip van algemene, speciale, incidentele of gevolgschade, die kan voortkomen uit het gebruik of de onmogelijkheid van het gebruik van de CAS-software (met inbegrip van, maar niet beperkt tot, het verlies van gegevens of onnauwkeurige gegevens, verliezen opgelopen door u of derde partijen, of de onmogelijkheid van de CAS-software om met enige andere programma’s te werke
Bijlage D Extra tekenset U kunt elke hoofdletter en kleine letter van het alfabet op het toetsenbord gebruiken, terwijl er 255 tekens zijn die op de rekenmachine gebruikt kunnen worden. Hieronder vallen ook speciale tekens zoals θ, λ, enz. die in algebraïsche uitdrukkingen kunnen worden gebruikt. Gebruik de toetsencombinatie …± (behorende bij de toets EVAL) om deze tekens te kunnen gebruiken.
code van het ASCII-teken (zie bijvoorbeeld in het bovenstaande scherm: de sneltoets is α Dα 9, dus ~„d~…9, en de code is 240). Het beeldscherm toont ook drie functies die te maken hebben met de softmenutoetsen f4, f5 en f6. Deze functies zijn: @MODIF: Opent een grafische scherm waarin de gebruiker gemarkeerde tekens kan aanpassen. Gebruik deze optie voorzichtig, aangezien het aangepaste teken gewijzigd zal blijven totdat de rekenmachine voor de volgende keer teruggezet zal worden.
Hierna sommen we een aantal van de meest voorkomende toetscombinaties voor ~‚op: Griekse letters α β δ ε θ λ µ ρ σ τ ω ∆ Π (alpha) (bèta) (delta) (epsilon) (thèta) (lambda) (mu) (rho) (sigma) (tau) (omega) (hoofdletter delta) (hoofdletter pi) ~‚a ~‚b ~‚d ~‚e ~‚t ~‚n ~‚m ~‚f ~‚s ~‚u ~‚v ~‚c ~‚p Andere tekens ~ ! ? \ @ (tilde) (faculteit) (vraagteken) (achterwaartse schuine streep) (symbool voor hoek) (at) ~‚1 ~‚2 ~‚3 ~‚5 ~‚6 ~‚` Sommige tekens die vaak gebruikt worden en geen eenvoudige sneltoetscom
omega). Deze tekens moet doorgegeven worden vanaf het scherm CHARS: …±. Blz.
Bijlage E De selectieboom in de Vergelijkingenschrijver De uitdrukkingenboom is een diagram dat weergeeft hoe de Vergelijkingenschrijver een uitdrukking interpreteert. De vorm van de uitdrukkingenboom wordt bepaald door een aantal regels die bekend staat als de hiërarchie van de bewerkingen. De regels zijn als volgt: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Bewerkingen tussen haakjes worden eerst uitgevoerd, van de binnenste tot de buitenste haakjes en van links naar rechts in de uitdrukking.
De invoegcursor ( ) bevindt zich op dit moment rechts van de 2 in het argument van de functie SIN in de noemer. Druk op de pijltoets omlaag ˜om de doorzichtige bewerkencursor ( ) rond de 2 in de noemer te plaatsen. Vervolgens drukt u continu op de pijltoets naar links š, totdat de doorzichtige bewerkencursor zich rond de y in de eerste factor in de noemer bevindt. Vervolgens drukt u op de pijltoets omhoog om de selectiecursor ( ) rond de y te activeren.
duidelijk te maken dat de vermenigvuldiging in stap A5 de eerste term ((y3)x+5) omvat met een tweede term (x2+4), die al berekend is. Om de stappen te bekijken voor het berekenen van de tweede term drukt u continu op de pijltoets omlaag ˜, totdat de onzichtbare bewerkencursor opnieuw rond de y staat. Vervolgens drukt u op de pijltoets naar rechts totdat deze cursor boven de x in de tweede term in de noemer staat. Vervolgens drukt u op de pijltoets omhoog om deze x te selecteren.
te selecteren. De stappen in de evaluatie van de uitdrukking, te beginnen vanaf dit punt, worden hieronder weergegeven. Stap C1 Stap C2 Stap C3 Stap C4 Stap C5 = stap B5 = stap A6 De uitdrukkingenboom voor de uitdrukking hierboven wordt hierna weergegeven. Blz.
De stappen in de evaluatie van de drie termen (A1 tot A6, B1 tot B5 en C1 tot C5) worden naast de omcirkelde getallen, variabelen of operators weergegeven. Blz.
Bijlage F Het menu Applications (APPS) Het menu Applications (APPS) is beschikbaar via de toets G(eerste toets in tweede rij boven in het toetsenbord). De toets G toont de volgende toepassingen: De verschillende toepassingen worden hierna beschreven. Plot functions.. Door optie 1. Plot functions.. in de APPS te selecteren, verschijnt de volgende menulijst van opties die met grafieken te maken hebben in het scherm: De zes weergegeven opties zijn gelijk aan de onderstaande toestscombinaties.
Deze toepassingen worden hierna beschreven. Send to HP 49.. Get from HP 49 Print display Print.. Transfer.. Start Server.. Stuurt gegevens naar een andere rekenmachine. Ontvangt gegevens van een andere rekenmachine. Stuurt scherm naar printer. Drukt geselecteerd object af van rekenmachine. Brengt gegevens over naar andere apparaten. Rekenmachine ingesteld als server om met computers te communiceren. Constants lib.. Door optie 3. Constants lib..
Deze bewerking is dezelfde als de toetscombinatie ‚Ï. Het menu Numerical solver wordt uitvoerig behandeld in hoofdstuk 6 en 7. Time & date.. Door optie 5.Time & date.. in het menu APPS te selecteren, verschijnt het menu Time and date in het scherm: Deze bewerking is dezelfde als de toetscombinatie ‚Ó. Het menu Time and date wordt uitvoerig behandeld in Hoofdstuk 26. Equation Writer.. Door optie 6.Equation Writer..
File manager.. Door optie 7. File manager.. in het menu APPS te selecteren, wordt de toepassing File manager geactiveerd: Deze bewerking is dezelfde als de toetscombinatie„¡. De file manager wordt behandeld in Hoofdstuk 2. Matrix Writer.. Door optie 8. Matrix Writer.. in het menu APPS te selecteren, wordt de Matrixschrijver geactiveerd: Deze bewerking is dezelfde als de toetscombinatie „². De Matrixschrijver wordt uitvoerig behandeld in Hoofdstuk 10. Text editor.. Door optie 9. Text editor..
De regeleditro kan in veel gevallen worden geactiveerd door op de pijltoets omlaag ˜ te drukken. Als het object in het beeldscherm een algebraïsch object is, zult u door te drukken op ˜ waarschijnlijk de Vergelijkingenschrijver activeren. De regeleditor wordt behandeld in Hoofdstuk 2 en uitvoerig behandeld in bijlage L. Menu Math .. Door optie 10.Math menu.. in het menu APPS te selecteren, verschijnt het menu MTH (mathematics) in het scherm: Deze bewerking is dezelfde als de toetscombinatie „´.
aritmetische bewerkingen). Andere functies in het menu CAS menu worden behandeld in de hoofdstuk 4 (complexe getallen), 6 (oplossingen van vergelijkingen), 10 (matrixen aanmaken), 11 (bewerkingen met matrixen), 13 (calculus), 14 (multi-variabele calculus) en 15 (vectoranalyse). Blz.
Bijlage G Handige sneltoetsen Hier worden een aantal sneltoetsen gepresenteerd die vaak in de rekenmachine gebruikt worden: • Beeldschermcontrast aanpassen $ (vasthouden) + of $ (vasthouden) - • Wissel tussen de RPN-modus en de ALG-modus: H\@@@OK@@ of H\`. • Systeemvlag 95 instellen/wissen (ALG-modus versus RPN-modus) H @)FLAGS —„—„—„ — @ @CHK@@ • In de ALG-modus, CF(-95) selecteert de RPN-modus • In de RPN-modus, 95 \` SF selecteert de ALG-modus • De sneltoets om te wisselen tussen de modi APPROX
• • Systeemvlag 117 instellen/wissen (CHOOSE boxes versus SOFT menu) H @)FLAGS —„ —˜ @ @CHK@@ • In de ALG-modus, SF(-117) selecteert SOFT menus CF(-117) selecteert selecteert CHOOSE BOXES. • In de RPN-modus, 117 \` SF selecteert SOFT menus 117 \` CF selecteert SOFT menus Hoekmeting wijzigen o Naar graden: o Naar radiaal: ~~deg` ~~rad` • Speciale tekens: o Hoeksymbool (∠): ~‚6 o Faculteitsymbool (!): ~‚2 o Gradensymbool (o): ~‚(vasthouden)6 • Alpha-toetsenbord vergrendelen/ontgrendelen o Alpha-toe
o o o o o o o o • $ (vasthouden) AF: “Koude” herstart – al het geheugen wordt gewist $ (vasthouden) B: Annuleert toetscombinatie $ (vasthouden) C: “Warme” herstart – geheugen wordt bewaard $ (vasthouden) D: Start interactieve zelftest $ (vasthouden) E: Start continue zelftest $ (vasthouden) #: Afsluiten diepe slaap – timer uit $ (vasthouden) A:Maakt een screendump van het beeldscherm $ (vasthouden) D:Annuleert volgende zich herhalende alarm Menu’s niet toegankelijk via toetsenbord.
Bijlage H Opsommingen CAS-hulpfaciliteit Men kan toegang tot de CAS-hulpafaciliteit krijgen door de toetscombinatie: IL@HELP ` . De eerste paar Help-schermen worden hieronder weergegeven. De opdrachten worden in alfabetische volgorde voorgesteld. Gebruik de verticale pijltjestoetsen —˜ om door de lijst van de helpfunctie te navigeren.
• start, geselecteerd worden, d.i. DEGREE. Om DERIV te vinden, drukt u tweemaal op ˜. Om de opdracht te activeren, drukt u op @@OK@@. U kunt twee of meer letters van de gewenste opdracht typen, door het alfabetische toetsenbord te vergrendelen. Hiermee wordt u naar, of in de buurt van de gewenste opdracht gebracht. Daarna moet u het alfatoetsenbord ontgrendelen, en de verticale pijltjestoetsen —˜ gebruiken om de opdracht te vinden. Druk op @@OK@@ om de opdracht te activeren.
Bijlage I Commandocataloguslijst Hier volgt een lijst met alle opdrachten in de commandocatalogus (‚N). De opdrachten die behoren tot het CAS (Computer Algebraic System) worden ook genoemd in bijlage H. De gegevens van de helptekst van CAS zijn voor een bepaalde commando beschikbaar als de softmenutoets @HELP zichtbaar wordt wanneer u die bepaalde commando markeert. Druk op deze softmenutoets voor de invoer uit de CAS-tekst. De eerste schermen van de catalogus worden hieronder weergegeven: Blz.
Bijlage J Het menu MATHS Het menu MATHS, toegankelijk via de MATHS (beschikbaar in de catalogus N), bevat de volgende submenu’s: Het submenu CMPLX Het submenu CMPLX bevat functies die horen bij bewerkingen van complexe getallen. Deze functies worden behandeld in Hoofdstuk 4: Het submenu CONSTANTS Het submenu CONSTANTS geeft toegang tot de wiskundige constanten van de rekenmachine. Deze worden behandeld in Hoofdstuk 3: Blz.
Het submenu HYPERBOLIC Het submenu HYPERBOLIC bevat de hyperbolische functies en hun inversen. Deze functies worden behandeld in Hoofdstuk 3: Het submenu INTEGER Het submenu INTEGER bevat functies voor het werken met hele getallen en enkele polynomen. Deze functies worden behandeld in Hoofdstuk 5: Het submenu MODULAR Het submenu MODULAR bevat functies voor de modulaire rekenkunde met getallen en polynomen.
Het submenu TESTS Het submenu TESTS bevat relationele operators ( ==, <, enz.), logische operators (AND, OR, enz.), de functie IFTE en de functies ASSUME en UNASSUME. Relationele en logische operators worden in Hoofdstuk 21 behandeld met betrekking tot het programmeren van de rekenmachine in de User RPL-taal. De functie IFTE wordt behandeld in Hoofdstuk 3. De functies ASSUME en UNASSUME worden hieronder behandeld met behulp van de gegevens van de CAS-helptekst (zie bijlage C). ASSUME UNASSUME Blz.
Bijlage K Het menu MAIN Het menu MAIN is beschikbaar in de commandocatalogus. Het menu bevat de volgende submenu’s. De opdracht CASCFG Dit is de eerste ingang in het menu MAIN. Deze opdracht configureert het CAS. Zie bijlage C voor informatie over de configuratie van het CAS. Het submenu ALGB Het submenu ALGB bevat de volgende opdrachten: Deze functies, behalve 0.MAIN MENU en 11.UNASSIGN zijn beschikbaar in het toetsenbordmenu ALG (‚×). Raadpleeg Hoofdstuk 5 voor uitvoerige uitleg van deze functies.
Het submenu DIFF Het submenu DIFF bevat de volgende functies: Deze functies zijn tevens beschikbaar in het submenu CALC/DIFF (geactiveerd met „Ö). Deze functies worden beschreven in de hoofdstukken 13, 14 en 15, behalve de functie TRUNC, die hierna wordt behandeld met behulp van de ingang in de CAS-helptekst. Het submenu MATHS Het menu MTHAS wordt uitvoerig beschreven in bijlage J. Het submenu TRIGO Het submenu TRIGO bevat de volgende functies: Blz.
Deze functies zijn ook beschikbaar in het menu TRIG (‚Ñ). Een beschrijving van deze functies vindt u ook in Hoofdstuk 5. Het submenu SOLVER Het submenu SOLVER bevat de volgende functies: Deze functies zijn tevens beschikbaar in het submenu CALC/SOLVE (geactiveerd met „Ö). De functies worden beschreven in de hoofdstukken 6, 11 en 16. Het submenu CMPLX Het submenu CMPLX bevat de volgende functies: Het menu CMPLX is ook beschikbaar via het toetsenbord (‚ß).
De submenu’s INTEGER, MODULAR en POLYNOMIAL worden uitvoerig behandeld in bijlage J. Het submenu EXP&LN Het submenu EXP&LN bevat de volgende functies: Het menu kan ook geactiveerde worden via het toetsenbord met „ Ð. De functies in het dit menu worden behandeld in Hoofdstuk 5. Het submenu MATR Het menu MATR bevat de volgende functies: Blz.
Deze functies zijn tevens beschikbaar via het menu MATRICES op het toetsenbord („Ø). De functies worden beschreven in de hoofdstukken 10 en 11. Het submenu REWRITE Het menu REWRITE bevat de volgende functies: Deze functies zijn tevens beschikbaar via het submenu CONVERT/REWRITE (geactiveerd met „Ú). De functies worden behandeld in Hoofdstuk 5, behalve de functies XNUM en XQ, die hierna worden behandeld met behulp van de bijbehorende gegevens in de CAS-helptekst (IL@HELP ): XNUM XQ Blz.
Bijlage L Opdrachten van de regeleditor Wanneer u de regeleditor activeert met „˜ in het RPN-stapelgeheugen of in de ALG-modus, worden de volgende softmenufuncties weergegeven (druk op L om de overige functies te bekijken): De functies worden in het kort als volgt beschreven: SKIP: Slaat tekens aan begin van woord over. SKIP : Slaat tekens aan eind van woord over. DEL: Verwijdert tekens aan begin van woord. DEL : Verwijdert tekens aan eind van woord. DEL L: Verwijdert tekens in regel.
De items die op dit scherm staan, spreken voor zich. Zo betekent bijvoorbeeld X en Y position de positie van een regel (X) en het regelnummer (Y). Stk Size betekent het aantal objecten in de historie van de ALG-modus of in het RPNstapelgeheugen. Mem(KB) betekent de hoeveelheid aan vrij geheugen. Clip Size is het aantal tekens op het klembord. Clip Size is het aantal tekens in de huidige selectie. EXEC: Voert geselecteerde opdracht uit. HALT: Stopt uitvoering opdracht.
Het submenu SEARCH De functies van het submenu SEARCH zijn: Find: Gebruik deze functie om een string in de opdrachtregel te vinden. Het invoerscherm dat bij deze opdracht geleverd wordt, wordt hieronder weergegeven. Replace: Gebruik deze opdracht om een string te zoeken en te vervangen. Het volgende invoerscherm hoort bij deze opdracht : Find next.. : Zoekt het volgende zoekpatroon zoals gedefinieerd in Find.
Het submenu GOTO De functies van het submenu GOTO zijn de volgende: Goto Line: Om naar een opgegeven regel te gaan. Het volgende invoerscherm hoort bij deze opdracht: Goto Position: Gaat naar een opgegeven positie in de opdrachtregel. Het volgende invoerscherm hoort bij deze opdracht: Labels: Gaat naar een opgegeven label in de opdrachtregel.
Blz.
Bijlage M Index A Aan, 1-2 Aaneenschakelingsoperator, 8-5 Aanvullende lettertypes, 1-30 ABCUV, 5-12 ABS, 3-5, 4-6, 8-5, 9-11, 11-7 ACK, 25-5 ACKALL, 25-5 ACOS, 3-7, 4-9, 8-5, 9-18 ACOSH, 3-10, 8-6 ADD, 12-9, 8-5, 21-1 ADDTMOD, 5-12 Afgeleiden berekenen met, 13-4 Afgeleiden van vergelijkingen,13-7 Afkortingen, 13-7 Afleidingen, 2-31 AFLOSSING, 6-12 Alarmfuncties, 25-4 Alarms, 25-2 Alfabetische lettertekens, 2-51 Alfabetische toetsenbord, 2-21 Alfabettekens, B-3 Algebraïsche modus, 1-18 Algebraïsche objecten,
BEGIN, 2-29 Benaderingsmodus (APPROX) in het CAS, 2-2 Bepaalde integralen, 2-34 Berekeningen met datums, 25-4 Berekeningen met tijden, 25-4 Beschikbare eenheden, 3-20 Bessel’s vergelijking, 16-58 Besselfunctie, 16-58 BESTANDEN, 2-50 Beste aanpassing, 18-13 Beste gegevensaanpassing, 18-13 Betekenis, 18-6 Bewerkingen met eenheden, 3-18 Bewerkingen, 5-8, 8-1, 11-1, 12-54 BIG, 12-20 Bij deze opmaak, 19-2 Bij,1-25 BIN, 3-2 Binaire getallen, 3-2 Binaire systeem, 19-1 Binomische verdeling, 17-5 BLANK, 22-35 BOL, L
Complexe versus reële CAS-modus, C-6 CON, 10-9 COND, 11-9 Conditiegetal van een matrix, 11-9 Conische curven plotten, 12-23 Conische curven, 12-23 CONJ, 4-7 CONLIB, 3-31 Constanten van de rekenmachine, 3-17 Constants lib, F-2 Continue zelftest, G-3 CONVERT, 3-29, 5-29 Convolutie, 16-51 Coördinaattransformatie, 14-9 Coördinatensysteem, 3-2 COPY, 2-29 Correlatiecoëfficiënt, 18-20 COS, 3-8 COSH, 3-10 Covariantie, 18-12 CRDIR, 2-42 CROSS, 9-12 CST, 20-1 CSWP, 10-22 Cumulatieve frequentie, 18-8 Cumulatieve verde
DIV, 15-4 DIV2, 5-12 DIV2MOD, 5-12, 5-16 Divergentie, 15-4 DIVIS, 5-10 DIVMOD, 5-16 DO-constructie, 21-66 DOERR, 21-69 DOLIST, 8-13 DOMAIN, 13-9 DOSUBS, 8-13 DOT-, 12-50 DOT, 9-12 DOT+, 12-50 Draaien volgens, 22-39 DRAW, 22-4 DRAW3DMATRIX, 12-60 DRAX, 22-4 Drie-dimensionele vector componenten, 1-25 Driehoekoplossing, 7-18 DROITE, 4-10 DROP, 9-22 Drukken, 3-20 DTAG, 23-1 E e, 3-17 Een driedimensionele vector opbouwen, 9-14 Een twee-dimensionele vector opbouwen, 9-14 Een vector ontleden, 9-13 Een vierkant st
EULER, 5-11 Euler-constante, 16-60 Eulervergelijking, 16-56 EVAL, 2-5 Exacte modus, 1-28 EXEC, L-2 EXP, 3-8 EXP2POW, 5-31 EXPAND, 5-5 EXPANDMOD, 5-12 EXPLN, 5-9, 5-31 EXPM, 3-10 Exponentiële verdeling, 17-7 Extrema, 13-13 Extreme punten, 13-13 EYEPT, 22-10 F F0λ, 3-34 FACTOR, 2-10 Factoriseren van een uitdrukking, 2-26 Factoriseren van matrices, 11-52 FACTORMOD, 5-12 FACTORS, 5-11 Faculteit, 17-1 Faculteitsymbool (!), G-2 FANNING, 3-34 FCOEF, 5-12 FDISTRIB, 5-31 FFT, 16-52 File manager..
G Ga naar de vierde optie, 18-14 GAMMA, 3-16 Gamma-verdeling, 17-15 Gauss' eliminatie, 11-30 GAUSS, 11-56 Gauss-Jordan-eliminatie, 11-30, 11-37 GCD, 5-12 GCDMOD, 5-13 Gebruik Laplace-transformaties, 16-20 Gebruik van invoerschermen, 6-6 Gedeeltelijke breuken, 5-26 Gedeeltelijke, 2-34 Gegevens organiseren, 2-36 Gegevenspunten, 18-10 Gegroepeerde gegevens worden, 8-22 Gegroepeerde gegevens, 8-21 Gelineariseerde relaties, 18-12 Geneste IF … THEN … ELSE … END, 21-57 Geometrische betekenis, 8-18 GET, 10-6 Getall
H Haakje, 19-6 HADAMARD, 11-5 Harmonische betekenis, 8-17 HEAD, 8-12 Heaviside’s stapfunctie, 16-16 Hele getallen, 2-1 HELP, 2-28 Hermite polynomen, 16-63 HERMITE, 5-12, 5-21 HESS, 15-3 Hessian-matrix, 15-3 Het betrouwbaarheidsinterval voor de variantie, 18-36 Het factoriseren van matrices, 11-52 Het instellen van tijd en datum, 1-8 Het menu Applications (APPS), F-1 Het programma debuggen, 21-24 Het STAT menu in PLOT, 22-12 Het toetsenbord van de rekenmachine, 1-11 HEX, 19-2 Hexadecimale stelsel, 19-1 HILBE
INFO, 22-5 INPUT, 21-22 INS, L-1 INT, 13-15 Integralen, 13-16 Integratie met partiële breuken, 13-21 Integratietechnieken 13-19 Interactief tekenen, 12-49 Interactieve invoer in programma’s, 21-20 Interactieve plots met het PLOT menu , 22-17 Interactieve zelftest , G-3 INTVX, 13-15 INV, 4-5 Inverse cdf, 17-15 Inverse cumulatieve verdelingsfuncties, 17-14 Inverse Laplace-transformatie, 16-11 Inverse matrix, 11-6 Inversie, 3-10 INVMOD, 5-13 Invoer/uitvoer-functies, F-1 Invoeren van vectoren, 9-6 Invoerscherm
Legendre’s vergelijking, 16-57 Lengte, 3-20 Lettertekens, 21-4 lettertype van het beeldscherm, 1-29 LGCD, 5-10 Lijst van de helpfunctie, H-1 Lijsten symboliseren kolommen van de matrix, 10-18 Lijsten symboliseren rijen van de matrix, 10-16 Lijsten, 8-1 Lim, 13-2 LIN, 5-5 LINE, 12-50 Lineaire algebra, 11-1 Lineaire differentiaalvergelijking,16-4 Lineaire regressie,18-53 Lineaire toepassingen, 11-58 Lineaire vergelijkingen, 11-17 LINSOLVE, 11-43 LIST, 2-37 LN, 3-6 LNCOLLECT, 5-5 LNP1, 3-10 Locale variabelen,
Matrixmenu NORM , 11-6 Matrixschrijver, 9-3 , Matrix-vectorvermenigvuldiging, 11-3 Matrixvermenigvuldiging, 11-4 MAX, 3-15, Maximum, 12-18, MAXR, 3-18 Median, 18-4 Meervoudige lineaire aanpassing, 18-61 Meervoudige lineaire vergelijkingen ,6-1 MENU, 12-50, 12-53 Menu ARITHMETIC, 5-10 Menu BASE,19-1 Menu BIT, 19-7 Menu BYTE, 19-7 Menu CALC/DIFF, 16-4 Menu CAS, F-5 Menu CMPLX, 4-8 Menu CONVERT, 5-29 Menu DATA in STAT, 22-13 Menu DERIV&INTEG, 13-4 Menu FLAG, 22-15 Menu GROB, 22-34 Menu LOGIC, 19-5 Menu MAIN, G
Modus, 1-15 MSGBOX, 21-42 MSLV, 7-5 MSOLV, 7-15 MTRW, 9-3 Multi-variabele calculus, 14-1 MULTMOD, 5-16 N NDIST, 17-10 NEG, 4-7 NEW, 25-2 NEXQ, 6-34 NEXTPRIME, 5-11 Nieuwe vergelijkingen, 12-16 Normale verdeling, 18-26 NOT, 18-16 NSUB, 21-8 NULLEN, 6-1 NUM, 23-2 NUM.SLV, 6-16 Numerieke en grafische oplossingen voor GDV’s, 16-64 Numerieke oplossing van differentiële vergelijkingen.
PLOT –POLAR, 12-50 PLOTADD, 12-58 Poisson-verdeling, 17-5 Polaire weergave , 4-3 POS, 21-8 POTENTIAL, 15-3 POWEREXPAND, 5-31 POWMOD, 5-13 PPAR, 12-3, 12-12 PREVAL, 13-4 PREVPRIME, 5-12 PRIMIT, 2-39 PROOT, 5-23 PROPFRAC, 5-10, 5-24 Pr-oppervlakdiagrammen, 12-48 Ps-Contour-diagrammen, 12-44 Psi, 3-16 PTAYL, 5-12, 5-24 PTYPE, 22-3 PUT, 8-12 PUTI, 10-5 PVIEW, 22-24 PX-->C, 19-7 Q QR, 11-52 QUAD, 2-69 QUADF, 11-56 QUIT, 3-32 QUOT, 5-12 QUOTIËNT, 3-15 QXA, 11-56 R R-->B, 19-3 R-->C, 4-6 R-->D, 3-16 R-->I, 5-30
RESULTANT, 5-12 REVLIST, 8-10 Richtingscoëffiëntveld, 12-38 Rigorous-modus, 13-22 RISCH, 13-15 RKF, 16-74 RKFERR, 16-78 RKFSTEP, 16-77 RL, 19-7 RLB, 19-7 RND, 3-15 RNRM, 11-8 Roosterdiagrammen, 12-46 ROW-, 10-25 ROW+, 10-25 ROW-->, 10-25 RPN-modus, 1-14 RR, 19-7 RRB, 19-7 RRK, 16-76 RSBERR, 16-79 RSD, 11-46 S Samenstellen en ontleden van lijsten, 8-2 Scalair product, 9-12 SCALE, 22-7 SCALEH, 22-7 SCALEW, 22-7 Schatting van betrouwbaarheidsintervallen, 18-25 SDAT, 16-55 SEQ, 8-13 SERIES, 13-26 SI, 3-32 SID
Stap-voor-stap evaluatie van afgeleiden en integralen, 13-17 Statistics, 18-2 Stelsels van lineaire vergelijkingen, 7-5 Stelsels van rationele vergelijkingen, 7-1 Stap-voor-stap CAS-modus, C-8 STEQ, 6-16 Stiff, 16-74 Stijlen, L-4 STO, 2-53 STOALARM, 25-5 STOKEYS, 20-6 Straling, 3-22 STROMING, 7-7 STURM, 5-12 STURMAB, 5-12 STWS, 19-4 SUB, 10-12 Submenu DIFF, K-2 Submenu DIFFE, 6-35 Submenu GOTO, L-4 Submenu IFERR, 21-71 Submenu LIST, 8-11 Submenu MTH/MATRIX/MAKE, 10-4, Submenu PRG/MODES/KEYS, 20-6 Submenu SE
Tijd, 3-21 TIME, 25-3 TINC, 3-34 TITLE, 7-15 TLINE, 12-51 TMENU, 20-2 Toegenomen indexlijst, 10-7 Toenemende, 8-10 Toepassingen van Laplacetransformatie voor de oplossing van lineaire ODE’s, 16-18 Toetsenbord, 1-11, B-1 TPAR, 12-20 TRACE, 11-14 TRAN, 11-14 TRN, 10-8 TRNC, 3-15 TSTR, 25-3 TVMROOT, 6-37 Tweedimensionele grafieken, 22-15 Tweevoudige integralen, 2-35 TYPE, 24-2 U UBASE, 3-23 UFACT, 3-29 Uitdrukkingstructuur, 2-22 Uitvoerregel, 6-3 UNASSIGN, K-1 UNASSUME, J-3 UNDE, L-4 UNDO, 2-67 UTPC, 17-10 UT
VTYPE, 24-2 V-VIEW, 12-18 VX, 2-39 VZIN, 12-56 W WAARDE, 3-29 Waardentabel, 12-28 Wetenschappelijke, 1-22 Woordlengte, 19-4 WORTEL, 6-32 X X,Y , 12-54 XCOL, 22-14 XNUM, K-5 XOR, 19-5 XPON, 3-15 XQ, K-5 XRNG, 22-6 XROOT, 3-6 XSEND, 2-37 XVOL, 22-10 XXRNG, 22-10 XYZ, 3-1 Y YCOL, 22-14 YRNG, 22-6 Y-snede-diagrammen, 12-45 YVOL, 22-10 YYRNG, 22-10 Z ZAUTO, 12-56 ZDECI, 12-56 ZDFLT, 12-56 ZENDEN, 2-37 ZFACT, 12-55 ZFACTOR, 3-34 Zijn de volgende, L-4 ZIN, 12-55 ZINTG, 12-56 ZLAST, 12-55 ZOOM, 12-21 ZOUT, 12-5
STK, 3-32 STR, 23-1 TAG, 21-33 TIME, 25-3 UNIT, 3-30 V2, 9-14 V3, 9-14 DEL, L-1 SKIP, L-1 ΣDAT, 16-54 ΣLIST, 8-10 ΣPAR, 22-14 Blz.
Beperkte Garantie hp 48gII grafische rekenmachine; Garantieperiode: 12 maanden 1. 2. 3. 4. 5. 6. HP garandeert u, de eindgebruiker, dat HP hardware, accessoires en bijgeleverde producten vrij zijn van defecten in materiaal en afwerking na de aankoopdatum voor de hierboven aangegeven periode. Indien HP een mededeling ontvangt van dergelijke defecten gedurende de garantieperiode zal HP, naar eigen goeddunken, de producten die defect blijken te zijn repareren of vervangen.
de duur van een impliciete garantie, het kan dus zijn dat de bovenstaande beperking of uitsluiting niet op u van toepassing is. Deze garantie geeft u specifieke wettelijke rechten en u kunt ook andere rechten hebben die van land tot land, staat tot staat of provincie tot provincie variëren. 7. VOORZOVER TOEGESTAAN DOOR LOKALE WETGEVING ZIJN DE REMEDIES IN DEZE GARANTIEVERKLARING UW ENIGE EN EXCLUSIEVE REMEDIES.
Oost-Europa Finland Frankrijk Duitsland Griekenland Nederland Italië Noorwegen Portugal Spanje Zweden Zwitserland Turkije VK Tsjechische Republiek Zuid-Afrika Luxemburg Andere Europese landen Azië-Oceanië Land: Australië Singapore L-Amerika Land: Argentinië Brazilië Mexico Venezuela Chili Colombia Peru Midden-Amerika & +420-5-41422523 +35-89640009 +33-1-49939006 +49-69-95307103 +420-5-41422523 +31-2-06545301 +39-02-75419782 +47-63849309 +351-229570200 +34-915-642095 +46-851992065 +41-1-4395358 (Duits) +4
Caribische gebied Guatemala Puerto Rico Costa Rica N-America 1-800-999-5105 1-877-232-0589 0-800-011-0524 Land: VS Canada Telefoonnummers 1800-HP INVENT (905) 206-4663 or 800- HP INVENT RVHL = Rest van het land Ga naar http://www.hp.com voor de laatste informatie over onze service en ondersteuning. Regelgeving Deze paragraaf bevat informatie die laat zien hoe de hp 48gII grafische rekenmachine voldoet aan de regelgeving in bepaalde regio’s.
To maintain compliance with FCC rules and regulations, use only the cable accessories provided. Canada This Class B digital apparatus complies with Canadian ICES-003. Cet appareil numerique de la classe B est conforme a la norme NMB-003 du Canada.
